Ders: Denklemin tamamı ve kökleri. Bütün denklem ve kökleri

Ders konusu: “Denklem ve köklerinin tamamı.”

Hedefler:

eğitici:

çarpanlara ayırmayı kullanarak bir denklemin tamamını çözmenin bir yolunu düşünün;

gelişmekte:

eğitici:

Sınıf: 9

Ders Kitabı: Cebir. 9. sınıf: ders kitabı Eğitim Kurumları/ [Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neşkov, S.B. Suvorov]; tarafından düzenlendi S.A. Telyakovsky.- 16. baskı. – M.: Eğitim, 2010

Teçhizat: projektörlü bilgisayar, “Tüm Denklemler” sunumu

Dersler sırasında:

Zamanı organize etmek.

“Her şey sizin elinizde” videosunu izleyin.

Hayatta pes ettiğiniz zamanlar vardır ve hiçbir şey yolunda gitmeyecekmiş gibi görünür. O zaman bilgenin “Her şey senin elinde” sözlerini hatırlayın ve bu sözler dersimizin mottosu olsun.

Sözlü çalışma.

2x + 6 =10, 14x = 7, x 2 – 16 = 0, x – 3 = 5 + 2x, x 2 = 0,

Ders konusunun mesajı, hedefler.

Bugün yeni bir denklem türüyle tanışacağız - bunlar tam denklemler. Bunları nasıl çözeceğimizi öğrenelim.

Sayıyı defterimize yazalım, Sınıf çalışması ve dersin konusu: “Tüm denklem, kökleri.”

2.Temel bilgilerin güncellenmesi.

Denklemi çözün:

Cevaplar: a)x = 0; b) x =5/3; c) x = -, ; d) x = 1/6; - 1/6; e) kök yok; e) x = 0; 5; - 5; g) 0; 1; -2; h)0; 1; - 1; i) 0,2; - 0,2; j) -3; 3.

3.Yeni kavramların oluşturulması.

Öğrencilerle söyleşi:

Denklem nedir? (bilinmeyen bir sayı içeren eşitlik)

Ne tür denklemler biliyorsunuz? (doğrusal, kare)

3.Kaç kökü olabilir? Doğrusal Denklem?) (bir, çok ve kök yok)

4.İkinci dereceden bir denklemin kaç kökü olabilir?

Kök sayısını ne belirler? (ayrımcıdan)

İkinci dereceden bir denklemin hangi durumda 2 kökü vardır (D0)?

İkinci dereceden bir denklemin hangi durumda 1 kökü vardır? (D=0)

İkinci dereceden bir denklemin hangi durumda kökleri yoktur? (D0)

Tüm denklem tam bir ifade olan sol ve sağ tarafların denklemidir. (yüksek sesle oku).

Düşünülen doğrusal ve ikinci dereceden denklemler, kök sayısının derecesinden fazla olmadığını görüyoruz.

Denklem çözmeden kök sayısını bulmanın mümkün olduğunu düşünüyor musunuz? (olası çocukların cevapları)

Bütün bir denklemin derecesini belirleme kuralını tanıyalım mı?

Tek değişkenli bir denklem P(x)=0 olarak yazılırsa, burada P(x) bir polinomdur standart görünüm ise bu polinomun derecesine denklemin derecesi denir. Rasgele bir tamsayı denkleminin derecesi, P(x)=0 formundaki eşdeğer bir denklemin derecesidir; burada P(x), standart formda bir polinomdur.

DenklemN ah derece artık yokN kökler

Denklemin tamamı birkaç yolla çözülebilir:

denklemlerin tamamını çözmenin yolları

çarpanlara ayırma grafik tanıtımı yeni

değişken

(Şemayı bir not defterine yazın)

Bugün bunlardan birine bakacağız: örnek olarak aşağıdaki denklemi kullanarak çarpanlara ayırma: x 3 – 8x 2 – x +8 = 0. (öğretmen tahtada açıklar, öğrenciler denklemin çözümünü deftere yazarlar)

kullanılabilecek çarpanlara ayırma yönteminin adı nedir? Sol Taraf Denklemleri çarpanlara ayıralım mı? (gruplama yöntemi). Denklemin sol tarafını çarpanlara ayıralım ve bunu yapmak için denklemin sol tarafındaki terimleri gruplayalım.

Faktörlerin çarpımı ne zaman sıfıra eşit olur? (çarpanlardan en az biri sıfıra eşit). Denklemin her faktörünü sıfıra eşitleyelim.

Ortaya çıkan denklemleri çözelim

Kaç kök aldık? (not defterine yazın)

x 2 (x – 8) – (x – 8) = 0

(x – 8) (x 2 – 1) = 0

(x – 8)(x – 1)(x + 1) = 0

x 1 = 8, x 2 = 1, x 3 = - 1.

Cevap: 8; 1; -1.

4.Beceri ve yeteneklerin oluşumu. Pratik kısım.

265 numaralı ders kitabı üzerinde çalışın (not defterine yazın)

Denklemin derecesi nedir ve her denklemin kaç kökü vardır:

Cevaplar: a) 5, b) 6, c) 5, d) 2, e) 1, f) 1

№ 266(a)(açıklamalı tahtadaki çözüm)

Denklemi çözün:

5. Ders özeti:

Konsolidasyon teorik materyal:

Tek değişkenli hangi denkleme tamsayı denir? Örnek vermek.

Bir denklemin tamamının derecesi nasıl bulunur? Birinci, ikinci ve n'inci dereceden bir değişkenli bir denklemin kaç kökü vardır?

6.Yansıma

Çalışmanızı değerlendirin. Elini kaldır kim...

1) konuyu mükemmel bir şekilde anladım

2) konuyu iyi anladım

Hala zorluklar yaşıyorum

7.Ev ödevi:

madde 12 (s. 75-77 örnek 1) Sayı 267 (a, b).

“öğrenci kontrol listesi”

Öğrenci kontrol listesi

İşin aşamaları

Seviye

Toplam

Sözlü sayma

Denklemi çözün

İkinci Dereceden Denklemleri Çözme

Kübik denklemleri çözme

Öğrenci kontrol listesi

Sınıf______ Soyadı Adı ___________________

İşin aşamaları

Seviye

Toplam

Sözlü sayma

Denklemi çözün

Tanıdık denklemlerin derecesi nedir

İkinci Dereceden Denklemleri Çözme

Kübik denklemleri çözme

Öğrenci kontrol listesi

Sınıf______ Soyadı Adı ___________________

İşin aşamaları

Seviye

Toplam

Sözlü sayma

Denklemi çözün

Tanıdık denklemlerin derecesi nedir

İkinci Dereceden Denklemleri Çözme

Kübik denklemleri çözme

Belge içeriğini görüntüle
"Bildiri"

1. Denklemleri çözün:

a) x 2 = 0 e) x 3 – 25x = 0

a) x 2 = 0 e) x 3 – 25x = 0
b) 3x – 5 = 0 g) x(x – 1)(x + 2) = 0
c) x 2 –5 = 0 h) x 4 – x 2 = 0
d) x 2 = 1/36 i) x 2 –0,01 = 0,03
e) x 2 = – 25 j) 19 – c 2 = 10

3. Denklemleri çözün:

x 2 -5x+6=0 y 2 -4y+7=0 x 2 -12x+36=0

4. Denklemleri çözün:

I. seçenek II. seçenek III. seçenek

x 3 -1=0 x 3 - 4x=0 x 3 -12x 2 +36x=0

"Ölçek"

Merhaba! Şimdi size 4 soruluk bir matematik testi sunulacak. Size göre doğru cevabı olan soruların altındaki ekrandaki butonlara tıklayın. Teste başlamak için "ileri" düğmesine tıklayın. İyi şanlar!

1. Denklemi çözün:

3x + 6 = 0

Doğru

Cevapsız

Kökler

Doğru

Cevapsız

Kökler

4. Denklemi çözün: 0 x = - 4

Kökler

Birçok

kökler

Sunum içeriğini görüntüle
"1"

Denklemi çözün:

SÖZLÜ ÇALIŞMA

Hedefler:

eğitici:

denklemlerle ilgili bilgileri genelleştirmek ve derinleştirmek; bütün denklem kavramını, derecesini ve köklerini tanıtmak; Çarpanlara ayırmayı kullanarak bir denklemin tamamını çözmenin bir yolunu düşünün.
denklemlerle ilgili bilgileri genelleştirmek ve derinleştirmek;
bütün denklem kavramını, derecesini ve köklerini tanıtmak;
Çarpanlara ayırmayı kullanarak bir denklemin tamamını çözmenin bir yolunu düşünün.

gelişmekte:

Matematiksel ve genel bakış açısının geliştirilmesi, mantıksal düşünme analiz etme, sonuç çıkarma yeteneği;
matematiksel ve genel bakış açısının gelişimi, mantıksal düşünme, analiz etme, sonuç çıkarma yeteneği;

eğitici:

Eylemlerde bağımsızlığı, netliği ve doğruluğu geliştirin.
Eylemlerde bağımsızlığı, netliği ve doğruluğu geliştirin.

Psikolojik tutum

Denklemlerle ilgili bilgileri genelleştirmeye ve derinleştirmeye devam ediyoruz;
Tüm denklem kavramını tanımak,

Denklem derecesi kavramı ile;

denklem çözme becerilerini geliştirmek;
maddi asimilasyon düzeyini kontrol etmek;
Derste hata yapabilir, şüphe duyabilir ve danışabiliriz.
Her öğrenci kendi talimatlarını belirler.

Hangi denklemlere tamsayı denir?
Bir denklemin derecesi nedir?
Kaç kökü var? denklem n'inci derece?
Birinci, ikinci ve üçüncü derece denklemleri çözme yöntemleri.

Ders planı

a)x 2 = 0 e)x 3 – 25x = 0 c)x 2 –5 = 0 sa)x 4 - X 2 = 0 d)x 2 = 1/36 i)x 2 –0,01 = 0,03 eski 2 = – 25 k) 19 – sn 2 = 10

Denklemleri çözün:

Örneğin:

X²=x³-2(x-1)

Denklemler

Tek değişkenli bir denklem ise

olarak yazılmıştır

P(x) = 0, burada P(x) standart formda bir polinomdur,

o zaman bu polinomun derecesi denir

bu denklemin derecesi

2x³+2x-1=0 (5.derece)

14x²-3=0 (4.derece)

Örneğin:

Tanıdıklık derecesi nedir bizim için denklemler?

a)x 2 = 0 e)x 3 – 25x = 0
b) 3x – 5 = 0 g) x(x – 1)(x + 2) = 0
c)x 2 – 5 = 0 sa)x 4 - X 2 = 0
d)x 2 = 1/36 i)x 2 – 0,01 = 0,03
eski 2 = – 25 k) 19 – sn 2 = 10

Denklemleri çözün:

2 ∙x + 5 =15
0∙x = 7

Derece 1 denkleminin kaç kökü olabilir?

Birden fazla değil!

0, D=-12, D x 1 =2, x 2 =3 kök yok x=6. Derece I (ikinci dereceden) bir denklemin kaç kökü olabilir? En fazla iki!" genişlik = "640"

Denklemleri çözün:

X 2 -5x+6=0 2 -4y+7=0x 2 -12x+36=0
D=1, D0, D=-12, D

X 1 =2, x 2 =3 kök yok x=6.

Bir derece denkleminin kaç kökü olabilir? (kare) ?

İkiden fazla değil!

Denklemleri çözün:

I. seçenek II. seçenek III. seçenek

X 3 -1=0x 3 - 4x=0x 3 -12x 2 +36x=0

X 3 =1x(x 2 - 4)=0x(x) 2 -12x+36)=0

x=1 x=0, x=2, x= -2 x=0, x=6

1 kök 3 kök 2 kök

I derecesine ait bir denklemin kaç kökü olabilir?

Üçten fazla değil!

Sizce denklemin kaç kökü olabilir?

IV, V, VI, VII, N bu derece?

En fazla dört, beş, altı, yedi kök!

Artık hiç yok N kökler!

ax²+bx+c=0

İkinci dereceden denklem

balta + b = 0

Doğrusal Denklem

Kök yok

Bir kök

Denklemin sol tarafını genişletelim

çarpanlara göre:

x²(x-8)-(x-8)=0

Cevap:=1, =-1.

Formun üçüncü derece denklemi: ax³+bx²+cx+d=0

çarpanlara ayırma yoluyla

(8x-1)(2x-3)-(4x-1)²=38

Parantezleri açıp verelim

benzer terimler

16x²-24x-2x+3-16x²+8x-138=0

Cevap: x=-2

Dersimizin sloganı: “Ne kadar çok bilirsem, o kadar çok yapabilirim.”
Kim hiçbir şeyi fark etmez
Hiçbir şey çalışmıyor.
Kim hiçbir şey çalışmıyor
Sürekli sızlanıyor ve sıkılıyor.
(şair R. Seph).

Matematiksel dikte

1.Eksik olanları ekleyin
kelimeler ve eşleşmeleri belirtin
1. Buna ne denir?
denklem?
1. Hepsini bulun... veya
bunu kanıtla... hayır.
2. Buna ne denir?
denklemin kökü?
2. ……, içeren
değişken.
3.Karar vermek ne anlama geliyor?
denklem?
3. ……., burada
denklem tersine döndü
doğru numaraya
eşitlik.

Denklemleri sözlü olarak çözün:

a) x² = 0
b) 3x – 6 = 0
c) x² – 9 = 0
d) x(x – 1)(x + 2) = 0
e) x² = – 25

Denklemi çözün:

x⁴-6x²+5=0

Denklemin tamamı ve kökleri

Dersin Hedefleri:

hakkındaki bilgileri özetlemek ve derinleştirmek
denklemler
bütün kavramına giriş
denklem
derece kavramına giriş
denklemler
çözüm becerilerinin oluşturulması
denklemler

Denklemler

X
5
2
x 1 x 1
3
X
2
x 5
x3 1x2 1
3x2
4
2
(x 3 1) x 2 x 3 2(x 1)
X
2x1
x 12
tüm
denklemler
kesirli
denklemler

Tüm denklem

Bir ile tam bir denklem
değişken denklemdir
sol ve sağ kısımları
tüm ifadeler.

10. Güç denklemi

Bir ile bir denklem varsa
değişken P(x)=0 olarak yazılır,
burada P(x) standart polinomdur
formu, o zaman bu polinomun derecesi
denklemin derecesi denir, yani
derecelerin en büyüğü
monomiyaller.
Örnekler: x⁵-2x³+2x-1=05.
derece
4.
x⁴-14x²-3=0
derece

11. Denklemin derecesi nedir?

5
a) 2x²-6x⁵+1=0
2
d) (x+8)(x-7)=0
6
b) x⁶-4x²-3=0
1 5
x 0
7
V)
5x(x²+4)=17
D)
x x
5
2 4
5
1
3
e) 5x-

12. Tekrarlayalım

Doğrusal Denklem
aх+b=0
aх2 + bx + c = 0
bir demet
kökler
kök yok
bir kök
ikinci dereceden denklem
D=0
bir kök
D>0
iki kök
D<0
kök yok

13. Birinci derece denklem

14. Üçüncü derece denklem

Denklemi çözün
x3 8x 2x8 0
Çözüm: sol tarafı genişletin
çarpanlarına ayırma denklemleri 2
x (x 8) (x 8) 0
(x 8)(x 2 1) 0
x 8 0
x2 1 0
x1 8, x2cevap
1, x3 1

15. Denklemi çözün:

(8x-1)(2x-3)-(4x-1)²=38
Çözüm: Parantezleri açıp verelim
benzer terimler
16x²-24x-2x+3-16x²+8x-1-38=0
-18x-36=0
KENDİNİ KONTROL ET!
x+2=0
x=-2
Cevap: x=-2

16. İkinci dereceden denklemi çözelim:

X⁴ - 5 x² - 36 = 0
Yerine bir değişiklik yapalım: x² = a, a≥ 0
a² - 5a -36 =0
D=169
a1= -4 (uygun değil çünkü a≥0)
a2 = 9
X² = 9
x1 = 3 ve x2 = -3
Cevap: 3 ve -3.

17. Denklemi çözün:

x⁴-6x²+5=0
Cevap: 1, -1, V5, - V5

18. Eşleşmenin kurulması: Denklem yöntemi.

Örnek yazı
İkinci seviye
Üçüncü seviye
Dördüncü seviye
Beşinci seviye

19. Test

1) Denklemin derecesini belirleyin
(x 2 3) 5 x(x 1) 15
a) 2
3)
1'de
2) Hangi sayılar köktür
x(x 1)(x 2) 0?
denklemler
a) -1
b) 0
2'de
3) 9 x 3 27 x 2 0 denklemini çözün
a) 0;-3
b) -3;0;3
c) 0;3

20.

1)
Hangi denklem denir
bütün ve ondan nasıl ayırt edileceği
kesirli mi?
2)
Bir denklemin derecesi nedir?
3)
Bir denklemin kökleri nelerdir?
4)
5)
Kaç kökü olabilir?
1. derece denklem?
Kaç kökü olabilir?
2. derece denklem?

21. Ödev:

Şu soruyu düşünün ve cevaplayın: “Ne kadar
köklerin tam bir denklemi olabilir
2., 3., 4., üçüncü dereceden bir değişken mi?

Denklemi düşünün.
31X 3 – 10X = (X – 5) 2 + 6X 2
Denklemin hem sol hem de sağ tarafı tam sayı ifadeleridir.
Bu tür denklemlere tam denklemler denildiğini hatırlayın.
Orijinal denklemimize dönelim ve kareli fark formülünü kullanarak parantezleri açalım.
Denklemin tüm terimlerini sola taşıyıp benzer terimleri sunalım.
“Eksi on x” ve “artı on x” ifadeleri birbirini götürmektedir.
Benzer terimleri getirdikten sonra, sol tarafında standart formda bir polinomun (genel anlamda buna “x'ten Pe” diyeceğiz) ve sağ tarafında sıfırın bulunduğu bir denklem elde ederiz.
Bir denklemin tamamının derecesini belirlemek için, onu x eşittir sıfırdan pe formuna, yani sol tarafın standart formun bir polinomunu ve sağ tarafın sıfır içerdiği bir denkleme indirgemek gerekir.
Bundan sonra polinomun x'ten derecesini belirlemek gerekir. Bu denklemin derecesi olacaktır.
Bir örneğe bakalım. Bu denklemin derecesini belirlemeye çalışalım.
Toplamın karesi formülünü kullanarak parantezleri açalım.
Daha sonra denklemin tüm terimlerini sol tarafa taşıyıp benzer terimleri sunuyoruz.
Böylece, sol tarafında ikinci derecenin standart formunun polinomu ve sağ tarafında sıfır olan bir denklem elde ettik. Bu, bu denklemin derecesinin ikinci olduğu anlamına gelir.
Denklemin derecesi kaç köke sahip olduğunu belirler.
Birinci dereceden bir denklemin bir kökü olduğu, ikinci dereceden bir denklemin ikiden fazla kökü olmadığı, üçüncü dereceden bir denklemin üçten fazla kökü olmadığı vb. kanıtlanabilir.
Bir denklemin derecesi aynı zamanda denklemin nasıl çözülebileceğini de bize söyler.
Örneğin, birinci dereceden bir denklemi a x artı be eşittir ce biçimine indirgeriz; burada a sıfıra eşit değildir.
İkinci dereceden bir denklemi, sol tarafında kare bir trinomial ve sağ tarafında sıfır olan eşdeğer bir denkleme indirgeriz. Böyle bir denklem, ikinci dereceden bir denklemin köklerine ilişkin formül veya Vieta teoremi kullanılarak çözülür.
Daha yüksek dereceli denklemleri çözmek için evrensel bir yöntem yoktur, ancak örneklerle ele alacağımız temel yöntemler vardır.
Üçüncü kuvvet x üzeri üçüncü kuvvet eksi sekiz x üzeri ikinci kuvvet eksi x artı sekiz eşittir sıfır denklemini çözelim.
Bu denklemi çözmek için gruplama yöntemini ve kareler farkı formülünü kullanarak sol tarafını çarpanlara ayırıyoruz.
Daha sonra, faktörlerden biri sıfıra eşit olduğunda çarpımın sıfıra eşit olduğunu hatırlamanız gerekir. Buna dayanarak, ya x eksi 8'in sıfıra eşit olduğu ya da x eksi 1'in sıfıra eşit olduğu ya da x artı birin sıfıra eşit olduğu sonucuna varıyoruz. Dolayısıyla denklemin kökleri eksi bir, bir ve sekiz sayıları olacaktır.
Bazen derecesi ikiden yüksek olan denklemleri çözmek için yeni bir değişken eklemek uygun olabilir.
Benzer bir örneğe bakalım.
Parantezleri açarsak, denklemin tüm terimlerini sol tarafa taşırsak, benzer terimler getirirsek ve denklemin sol tarafını standart formda bir polinom şeklinde sunarsak, bildiğimiz yöntemlerin hiçbiri yardımcı olmayacaktır. bu denklemi çöz. Bu durumda her iki parantez içinde aynı ifadelerin yer almasına dikkat etmekte fayda var.
Yeni değişken igrik olarak göstereceğimiz bu ifadedir.
Daha sonra denklemimiz ig değişkeni ile bir denkleme indirgenecek...
Daha sonra parantezleri açıp denklemin tüm terimlerini sol tarafa taşıyacağız.
Benzer terimleri getirelim ve bize zaten tanıdık gelen ikinci dereceden denklemi elde edelim.
Bu denklemin köklerini bulmak zor değil. Birinci oyun altıya eşittir, ikinci oyun ise eksi on altıya eşittir.
Şimdi ters yerine koyma işlemini gerçekleştirerek orijinal denkleme dönelim.
Başlangıçta oyun olarak iki x kare eksi x ifadesini aldık. Ve y değişkeni için iki değere sahip olduğumuz için iki denklem elde ederiz. Her denklemde tüm terimleri sol tarafa aktarıyoruz ve ortaya çıkan iki ikinci dereceden denklemi çözüyoruz. İlk denklemin kökleri eksi bir virgül beş ve iki sayılarıdır ve ikinci denklemin diskriminantı sıfırdan küçük olduğundan kökleri yoktur.
Yani bu dördüncü derece denklemin çözümü eksi bir virgül beş ve iki sayılarıdır.
Tüm denklemlerin sınıflandırılmasında özel bir yer, a x üzeri dördüncü kuvvet artı x üzeri ikinci kuvvet artı ce eşittir sıfır şeklinde bir denklemdir. Bu tür denklemlere iki ikinci dereceden denklemler denir.
Bu tür denklemler değişken değişikliği kullanılarak çözülebilir.
Bir örneğe bakalım.
Bu denklemde x kareyi igrik ile gösterelim. iGrik değişkeninin negatif değerler alamayacağını belirtmekte fayda var.
Kökleri bir yirmi beşinci ve bir sayıları olan ikinci dereceden bir denklem elde ediyoruz.
Ters değiştirme işlemini yapalım.
Birinci denklemin kökleri beşte bir ve eksi beşte bir, ikincinin kökleri ise bir ve eksi birdir.
Böylece orijinal iki ikinci dereceden denklemin dört kökünü bulduk.

Rasyonel ve kesirli rasyonel denklemlerle tanışalım, tanımlarını verelim, örnekler verelim ve ayrıca en yaygın problem türlerini analiz edelim.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Rasyonel denklem: tanım ve örnekler

Rasyonel ifadelerle tanışma okulun 8. sınıfında başlar. Bu dönemde cebir derslerinde öğrenciler notlarında rasyonel ifadeler içeren denklemlerle ilgili ödevlerle giderek daha fazla karşılaşmaya başlıyorlar. Ne olduğu konusunda hafızamızı tazeleyelim.

Tanım 1

Rasyonel denklem her iki tarafın da rasyonel ifadeler içerdiği bir denklemdir.

Çeşitli kılavuzlarda başka bir formülasyon bulabilirsiniz.

Tanım 2

Rasyonel denklem- bu, sol tarafı rasyonel bir ifade içeren ve sağ tarafı sıfır içeren bir denklemdir.

Rasyonel denklemler için verdiğimiz tanımlar aynı şeyi söyledikleri için eşdeğerdir. Sözlerimizin doğruluğu, herhangi bir rasyonel ifade için P Ve Q denklemler P = S Ve P - S = 0 eşdeğer ifadeler olacaktır.

Şimdi örneklere bakalım.

örnek 1

Rasyonel denklemler:

x = 1 , 2 x - 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .

Rasyonel denklemler, diğer türdeki denklemler gibi, 1'den birkaçına kadar herhangi bir sayıda değişken içerebilir. Başlangıç olarak denklemlerin yalnızca bir değişken içereceği basit örneklere bakacağız. Ve sonra görevi yavaş yavaş karmaşıklaştırmaya başlayacağız.

Rasyonel denklemler iki büyük gruba ayrılır: tam sayı ve kesirli. Her bir gruba hangi denklemlerin uygulanacağını görelim.

Tanım 3

Rasyonel bir denklem, sol ve sağ taraflarının tüm rasyonel ifadeleri içermesi durumunda bir tamsayı olacaktır.

Tanım 4

Bir rasyonel denklemin parçalarından biri veya her ikisi de kesir içeriyorsa kesirli olacaktır.

Kesirli rasyonel denklemler mutlaka bir değişkene bölünmeyi içerir veya değişken paydada bulunur. Denklemlerin tamamının yazılmasında böyle bir bölümleme yoktur.

Örnek 2

3 x + 2 = 0 Ve (x + y) · (3 · x 2 − 1) + x = − y + 0, 5– tüm rasyonel denklemler. Burada denklemin her iki tarafı da tam sayı ifadeleriyle temsil edilmektedir.

1 x - 1 = x 3 ve x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5 kesirli rasyonel denklemlerdir.

Bütün rasyonel denklemler doğrusal ve ikinci dereceden denklemleri içerir.

Denklemlerin tamamını çözme

Bu tür denklemleri çözmek genellikle onları eşdeğer cebirsel denklemlere dönüştürmekten ibarettir. Bu, aşağıdaki algoritmaya uygun olarak denklemlerin eşdeğer dönüşümlerinin gerçekleştirilmesiyle elde edilebilir:

Öncelikle denklemin sağ tarafında sıfır elde ediyoruz; bunun için denklemin sağ tarafındaki ifadeyi sol tarafa taşıyıp işaretini değiştirmemiz gerekiyor;
daha sonra denklemin sol tarafındaki ifadeyi standart formda bir polinom haline dönüştürürüz.

Cebirsel bir denklem elde etmeliyiz. Bu denklem orijinal denkleme eşdeğer olacaktır. Kolay durumlar, sorunu çözmek için tüm denklemi doğrusal veya ikinci dereceden bir denkleme indirgememize olanak tanır. Genel olarak cebirsel bir derece denklemini çözeriz N.

Örnek 3

Tüm denklemin köklerini bulmak gerekiyor 3 (x + 1) (x - 3) = x (2 x - 1) - 3.

Çözüm

Eşdeğer bir cebirsel denklem elde etmek için orijinal ifadeyi dönüştürelim. Bunun için denklemin sağ tarafında yer alan ifadeyi sol tarafa aktarıp işaretin tersini koyacağız. Sonuç olarak şunu elde ederiz: 3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = 0.

Şimdi sol taraftaki ifadeyi standart formda bir polinoma dönüştürelim ve bu polinomla gerekli işlemleri yapalım:

3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = (3 x + 3) (x − 3) − 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 − 9 x + 3 x − 9 − 2 x 2 + x + 3 = x 2 − 5 x − 6

Orijinal denklemin çözümünü ikinci dereceden bir denklemin çözümüne indirgemeyi başardık. x 2 − 5 x − 6 = 0. Bu denklemin diskriminantı pozitiftir: D = (− 5) 2− 4 · 1 · (− 6) = 25 + 24 = 49 . Bu, iki gerçek kökün olacağı anlamına gelir. İkinci dereceden bir denklemin kökleri formülünü kullanarak bunları bulalım:

x = - - 5 ± 49 2 1,

x 1 = 5 + 7 2 veya x 2 = 5 - 7 2,

x 1 = 6 veya x 2 = - 1

Çözüm sırasında bulduğumuz denklemin köklerinin doğruluğunu kontrol edelim. Bunun için aldığımız sayıları orijinal denklemde yerine koyarız: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3 Ve 3 · (− 1 + 1) · (− 1 − 3) = (− 1) · (2 · (− 1) − 1) − 3. İlk durumda 63 = 63 , saniyede 0 = 0 . Kökler x=6 Ve x = − 1 aslında örnek koşulda verilen denklemin kökleridir.

Cevap: 6 , − 1 .

"Bir denklemin tamamının derecesi"nin ne anlama geldiğine bakalım. Bir denklemin tamamını cebirsel biçimde temsil etmemiz gereken durumlarda bu terimle sıklıkla karşılaşacağız. Konsepti tanımlayalım.

Tanım 5

Tüm denklemin derecesi orijinal tamsayı denklemine eşdeğer bir cebirsel denklemin derecesidir.

Yukarıdaki örnekteki denklemlere bakarsanız şunu tespit edebilirsiniz: tüm bu denklemin derecesi ikincidir.

Dersimiz ikinci derece denklemlerin çözümüyle sınırlı olsaydı konunun tartışması burada bitebilirdi. Ama bu o kadar basit değil. Üçüncü dereceden denklemleri çözmek zorluklarla doludur. Ve dördüncü derecenin üzerindeki denklemler için hiçbir genel kök formülü yoktur. Bu bakımdan üçüncü, dördüncü ve diğer derecedeki denklemlerin tamamının çözülmesi, bir takım başka teknik ve yöntemlerin kullanılmasını gerektirir.

Rasyonel denklemlerin tamamını çözmek için en yaygın kullanılan yaklaşım, çarpanlara ayırma yöntemine dayanmaktadır. Bu durumda eylemlerin algoritması aşağıdaki gibidir:

sıfırın kaydın sağ tarafında kalması için ifadeyi sağ taraftan sola doğru hareket ettiriyoruz;
Sol taraftaki ifadeyi faktörlerin çarpımı olarak temsil ediyoruz ve ardından daha basit denklemlerden oluşan bir diziye geçiyoruz.

Örnek 4

(x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) = 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) denkleminin çözümünü bulun.

Çözüm

İfadeyi kaydın sağ tarafından ters işaretle sola doğru taşıyoruz: (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) − 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) = 0. Sol tarafı standart formun bir polinomuna dönüştürmek uygun değildir çünkü bu bize dördüncü dereceden bir cebirsel denklem verecektir: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. Dönüşümün kolaylığı böyle bir denklemin çözümündeki tüm zorlukları haklı çıkarmaz.

Diğer tarafa gitmek çok daha kolay: ortak çarpanı parantezlerden çıkaralım x 2 − 10 x + 13 . Böylece formun bir denklemine ulaşıyoruz (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. Şimdi ortaya çıkan denklemi iki ikinci dereceden denklemle değiştiriyoruz x 2 − 10 x + 13 = 0 Ve x 2 − 2 x − 1 = 0 ve bunların köklerini diskriminant aracılığıyla bulun: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.

Cevap: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.

Aynı şekilde yeni bir değişken ekleme yöntemini de kullanabiliriz. Bu yöntem, orijinal tamsayı denklemindeki derecelerden daha düşük derecelere sahip eşdeğer denklemlere geçmemizi sağlar.

Örnek 5

Denklemin kökleri var mı? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

Çözüm

Şimdi bir rasyonel denklemin tamamını cebirsel bir denkleme indirgemeye çalışırsak, rasyonel kökleri olmayan 4. dereceden bir denklem elde ederiz. Bu nedenle diğer tarafa gitmemiz daha kolay olacaktır: denklemdeki ifadenin yerini alacak yeni bir y değişkeni eklemek x 2 + 3 x.

Şimdi tüm denklemle çalışacağız (y + 1) 2 + 10 = − 2 (y − 4). Denklemin sağ tarafını ters işaretle sola kaydırıp gerekli dönüşümleri yapalım. Şunu elde ederiz: y 2 + 4 y + 3 = 0. İkinci dereceden denklemin köklerini bulalım: y = − 1 Ve y = − 3.

Şimdi ters değiştirme işlemini yapalım. İki denklem elde ediyoruz x 2 + 3 x = − 1 Ve x 2 + 3 · x = − 3 . Bunları x 2 + 3 x + 1 = 0 olarak yeniden yazalım ve x 2 + 3 x + 3 = 0. Elde edilenlerden ilk denklemin köklerini bulmak için ikinci dereceden bir denklemin kökleri formülünü kullanıyoruz: - 3 ± 5 2. İkinci denklemin diskriminantı negatiftir. Bu, ikinci denklemin gerçek kökleri olmadığı anlamına gelir.

Cevap:- 3 ± 5 2

Yüksek dereceli denklemlerin tamamı problemlerde oldukça sık görülür. Onlardan korkmanıza gerek yok. Bunları çözmek için bir dizi yapay dönüşüm de dahil olmak üzere standart olmayan bir yöntem kullanmaya hazır olmanız gerekir.

Kesirli rasyonel denklemleri çözme

Bu alt konuyu değerlendirmeye p(x) q(x) = 0 formundaki kesirli rasyonel denklemleri çözmeye yönelik bir algoritma ile başlayacağız; burada p(x) Ve q(x)– bütün rasyonel ifadeler. Diğer kesirli rasyonel denklemlerin çözümü her zaman belirtilen türdeki denklemlerin çözümüne indirgenebilir.

p (x) q (x) = 0 denklemlerini çözmek için en yaygın kullanılan yöntem aşağıdaki ifadeye dayanmaktadır: sayısal kesir sen v, Nerede v- bu, sıfırdan farklı, yalnızca kesir payının sıfıra eşit olduğu durumlarda sıfıra eşit bir sayıdır. Yukarıdaki ifadenin mantığını takip ederek, p (x) q (x) = 0 denkleminin çözümünün iki koşulun yerine getirilmesine indirgenebileceğini iddia edebiliriz: p(x)=0 Ve q(x) ≠ 0. Bu, p (x) q (x) = 0 formundaki kesirli rasyonel denklemleri çözmeye yönelik bir algoritma oluşturmanın temelidir:

tüm rasyonel denklemin çözümünü bulun p(x)=0;
çözüm sırasında bulunan kökler için koşulun sağlanıp sağlanmadığını kontrol ederiz q(x) ≠ 0.

Bu koşul sağlanıyorsa, bulunan kök, değilse, o zaman kök, soruna çözüm değildir.

Örnek 6

3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 denkleminin köklerini bulalım.

Çözüm

p (x) q (x) = 0 formunda, p (x) = 3 x − 2, q (x) = 5 x 2 − 2 = 0 olan kesirli bir rasyonel denklemle uğraşıyoruz. Doğrusal denklemi çözmeye başlayalım 3 x - 2 = 0. Bu denklemin kökü x = 2 3.

Koşulu karşılayıp karşılamadığını görmek için bulunan kökü kontrol edelim. 5 x 2 − 2 ≠ 0. Bunu yapmak için ifadeye sayısal bir değer koyun. Şunu elde ederiz: 5 · 2 3 2 - 2 = 5 · 4 9 - 2 = 20 9 - 2 = 2 9 ≠ 0.

Koşul karşılanıyor. Bu demektir x = 2 3 orijinal denklemin köküdür.

Cevap: 2 3 .

Kesirli rasyonel denklemleri p (x) q (x) = 0 çözmek için başka bir seçenek daha var. Bu denklemin tüm denkleme eşdeğer olduğunu hatırlayın p(x)=0 orijinal denklemin x değişkeninin izin verilen değerleri aralığında. Bu, p (x) q (x) = 0 denklemlerini çözerken aşağıdaki algoritmayı kullanmamıza olanak tanır:

denklemi çözün p(x)=0;
x değişkeninin izin verilen değerlerinin aralığını bulun;
orijinal kesirli rasyonel denklemin istenen kökleri olarak x değişkeninin izin verilen değerleri aralığında yer alan kökleri alıyoruz.

Örnek 7

x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 denklemini çözün.

Çözüm

İlk önce ikinci dereceden denklemi çözelim x 2 − 2 x − 11 = 0. Köklerini hesaplamak için çift ikinci katsayı için kök formülünü kullanırız. Aldık D 1 = (− 1) 2 − 1 · (− 11) = 12 ve x = 1 ± 2 3.

Şimdi orijinal denklem için x değişkeninin ODZ'sini bulabiliriz. Bunların hepsi rakamlar x 2 + 3 x ≠ 0. Aynısı x (x + 3) ≠ 0, buradan x ≠ 0, x ≠ − 3.

Şimdi çözümün ilk aşamasında elde edilen x = 1 ± 2 3 köklerinin x değişkeninin izin verilen değerleri aralığında olup olmadığını kontrol edelim. geldiklerini görüyoruz. Bu, orijinal kesirli rasyonel denklemin iki kökü x = 1 ± 2 3 olduğu anlamına gelir.

Cevap: x = 1 ± 2 3

Açıklanan ikinci çözüm yöntemi, x değişkeninin izin verilen değer aralığının kolayca bulunabildiği ve denklemin köklerinin bulunduğu durumlarda birinciden daha basittir. p(x)=0 mantıksız. Örneğin, 7 ± 4 · 26 9. Kökler rasyonel olabilir ancak büyük bir pay veya paydaya sahip olabilir. Örneğin, 127 1101 Ve − 31 59 . Bu, durumu kontrol ederken zaman kazandırır q(x) ≠ 0: ODZ'ye göre uygun olmayan köklerin çıkarılması çok daha kolaydır.

Denklemin köklerinin olduğu durumlarda p(x)=0 tam sayılardır, p (x) q (x) = 0 formundaki denklemleri çözmek için açıklanan algoritmalardan ilkini kullanmak daha uygundur. Bir denklemin tamamının köklerini daha hızlı bulun p(x)=0 ve ardından koşulun kendileri için karşılanıp karşılanmadığını kontrol edin q(x) ≠ 0 ODZ'yi bulmak ve ardından denklemi çözmek yerine p(x)=0 bu ODZ'de. Bunun nedeni, bu gibi durumlarda kontrol etmenin genellikle DZ'yi bulmaktan daha kolay olmasıdır.

Örnek 8

Denklemin köklerini bulun (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0.

Çözüm

Denklemin tamamına bakarak başlayalım (2 x − 1) (x − 6) (x 2 − 5 x + 14) (x + 1) = 0 ve onun köklerini bulmak. Bunu yapmak için denklemleri çarpanlara ayırma yoluyla çözme yöntemini uyguluyoruz. Orijinal denklemin, üçü doğrusal ve 2 x − 1 = 0, x − 6 = 0, x 2 − 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0 olmak üzere dört denklemden oluşan bir diziye eşdeğer olduğu ortaya çıktı ve biri ikinci derecedendir. Kökleri bulma: ilk denklemden x = 1 2, ikinciden itibaren – x=6, üçüncüden – x = 7 , x = − 2 , dördüncüden – x = − 1.

Elde edilen kökleri kontrol edelim. Bu durumda ODZ'yi belirlemek bizim için zor çünkü bunun için beşinci dereceden cebirsel denklemi çözmemiz gerekecek. Denklemin sol tarafında yer alan kesrin paydasının sıfıra gitmemesi durumunu kontrol etmek daha kolay olacaktır.

İfadedeki x değişkeninin yerine kökleri sırayla koyalım x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112 ve değerini hesaplayın:

1 2 5 − 15 1 2 4 + 57 1 2 3 − 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 − 15 16 + 57 8 − 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ≠ 0 ;

6 5 − 15 · 6 4 + 57 · 6 3 − 13 · 6 2 + 26 · 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 − 15 · 7 4 + 57 · 7 3 − 13 · 7 2 + 26 · 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 · (− 2) 4 + 57 · (− 2) 3 − 13 · (− 2) 2 + 26 · (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 · (− 1) 4 + 57 · (− 1) 3 − 13 · (− 1) 2 + 26 · (− 1) + 112 = 0 .

Gerçekleştirilen doğrulama, orijinal kesirli rasyonel denklemin köklerinin 1 2, 6 ve 6 olduğunu tespit etmemizi sağlar. − 2 .

Cevap: 1 2 , 6 , - 2

Örnek 9

5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 kesirli rasyonel denkleminin köklerini bulun.

Çözüm

Denklemle çalışmaya başlayalım (5 x 2 − 7 x − 1) (x − 2) = 0. Köklerini bulalım. Bu denklemi bir dizi ikinci dereceden ve doğrusal denklem olarak hayal etmek bizim için daha kolaydır. 5 x 2 − 7 x − 1 = 0 Ve x - 2 = 0.

İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulmak için kök formülünü kullanırız. İlk denklemden iki kök x = 7 ± 69 10, ikincisinden ise iki kök elde ederiz. x = 2.

Koşulları kontrol etmek için köklerin değerini orijinal denklemde yerine koymamız oldukça zor olacaktır. X değişkeninin ODZ'sini belirlemek daha kolay olacaktır. Bu durumda, x değişkeninin ODZ'si, koşulun karşılandığı durumlar dışındaki tüm sayılardır x 2 + 5 x - 14 = 0. Şunu elde ederiz: x ∈ - ∞, - 7 ∪ - 7, 2 ∪ 2, + ∞.

Şimdi bulduğumuz köklerin x değişkeninin izin verilen değerleri aralığına ait olup olmadığını kontrol edelim.

Kökler x = 7 ± 69 10 -'e aittir, dolayısıyla bunlar orijinal denklemin kökleridir ve x = 2- ait değildir, bu nedenle yabancı bir köktür.

Cevap: x = 7 ± 69 10 .

p(x) q(x) = 0 formundaki kesirli rasyonel denklemin payının bir sayı içerdiği durumları ayrı ayrı inceleyelim. Bu gibi durumlarda pay sıfırdan farklı bir sayı içeriyorsa denklemin kökleri olmayacaktır. Bu sayı sıfıra eşitse denklemin kökü ODZ'den herhangi bir sayı olacaktır.

Örnek 10

Kesirli rasyonel denklemi çözün - 3, 2 x 3 + 27 = 0.

Çözüm

Denklemin sol tarafındaki kesrin payı sıfırdan farklı bir sayı içerdiğinden bu denklemin kökleri olmayacaktır. Bu, x'in hiçbir değerinde problem ifadesinde verilen kesirin değerinin sıfıra eşit olmayacağı anlamına gelir.

Cevap: kök yok.

Örnek 11

0 x 4 + 5 x 3 = 0 denklemini çözün.

Çözüm

Kesirin payı sıfır içerdiğinden denklemin çözümü, x değişkeninin ODZ'sinden herhangi bir x değeri olacaktır.

Şimdi ODZ'yi tanımlayalım. X'in tüm değerlerini içerecektir. x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Denklemin çözümleri x 4 + 5 x 3 = 0öyle 0 Ve − 5 , çünkü bu denklem denkleme eşdeğerdir x 3 (x + 5) = 0 ve bu da iki x 3 = 0 denkleminin birleşimine eşdeğerdir ve x + 5 = 0, bu köklerin görülebildiği yer. İstenilen kabul edilebilir değer aralığının, hariç herhangi bir x olduğu sonucuna varıyoruz. x = 0 Ve x = − 5.

0 x 4 + 5 · x 3 = 0 kesirli rasyonel denkleminin, sıfır ve - 5 dışında herhangi bir sayı olan sonsuz sayıda çözümü olduğu ortaya çıktı.

Cevap: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Şimdi keyfi biçimdeki kesirli rasyonel denklemler ve bunları çözme yöntemleri hakkında konuşalım. Şu şekilde yazılabilirler: r(x) = s(x), Nerede r(x) Ve s(x)– rasyonel ifadeler ve bunlardan en az biri kesirlidir. Bu tür denklemlerin çözülmesi, p(x) q(x) = 0 formundaki denklemlerin çözülmesine indirgenir.

Denklemin sağ tarafındaki bir ifadeyi ters işaretli olarak sola aktararak eşdeğer bir denklem elde edebileceğimizi zaten biliyoruz. Bu şu anlama gelir: denklem r(x) = s(x) denklemin eşdeğeridir r (x) - s (x) = 0. Ayrıca rasyonel bir ifadeyi rasyonel kesre dönüştürmenin yollarını da zaten tartıştık. Bu sayede denklemi kolaylıkla dönüştürebiliriz. r (x) - s (x) = 0 p(x) q(x) formunun özdeş rasyonel kesrine dönüştürür.

Böylece orijinal kesirli rasyonel denklemden hareket ediyoruz r(x) = s(x)çözmeyi öğrendiğimiz p(x) q(x) = 0 formundaki bir denkleme.

Geçişler yapılırken dikkate alınmalıdır. r (x) - s (x) = 0 p(x)q(x) = 0'a ve sonra p(x)=0 x değişkeninin izin verilen değer aralığının genişlemesini dikkate almayabiliriz.

Orijinal denklemin olması oldukça mümkündür. r(x) = s(x) ve denklem p(x)=0 dönüşümlerin sonucunda eşdeğer olmaktan çıkacaklar. O zaman denklemin çözümü p(x)=0 bize yabancı olacak kökler verebilir r(x) = s(x). Bu bağlamda, her durumda yukarıda açıklanan yöntemlerden herhangi birini kullanarak doğrulamanın yapılması gerekmektedir.

Konuyu incelemenizi kolaylaştırmak için, tüm bilgileri formun kesirli rasyonel denklemini çözmeye yönelik bir algoritmada özetledik. r(x) = s(x):

ifadeyi sağ taraftan ters işaretle aktarıyoruz ve sağdan sıfır alıyoruz;
orijinal ifadeyi rasyonel bir kesire dönüştürün p (x) q (x) , kesirler ve polinomlarla sırayla işlemler gerçekleştirin;
denklemi çözün p(x)=0;
ODZ'ye ait olduklarını kontrol ederek veya orijinal denklemde ikame yaparak yabancı kökleri belirleriz.

Görsel olarak eylem zinciri şöyle görünecek:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → eliminasyon DIŞ KÖKLER

Örnek 12

Kesirli rasyonel denklemi çözün x x + 1 = 1 x + 1 .

Çözüm

Şimdi x x + 1 - 1 x + 1 = 0 denklemine geçelim. Denklemin sol tarafındaki kesirli rasyonel ifadeyi p (x) q (x) formuna dönüştürelim.

Bunu yapmak için rasyonel kesirleri ortak bir paydaya indirgememiz ve ifadeyi basitleştirmemiz gerekecek:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x · (x + 1) = - 2 · x - 1 x · (x + 1)

- 2 x - 1 x (x + 1) = 0 denkleminin köklerini bulmak için denklemi çözmemiz gerekiyor − 2 x − 1 = 0. Bir kök alıyoruz x = - 1 2.

Tek yapmamız gereken yöntemlerden herhangi birini kullanarak kontrol etmek. İkisine de bakalım.

Ortaya çıkan değeri orijinal denklemde yerine koyalım. - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 elde ederiz. Doğru sayısal eşitliğe ulaştık − 1 = − 1 . Bu demektir x = − 1 2 orijinal denklemin köküdür.

Şimdi ODZ'yi kontrol edelim. X değişkeninin izin verilen değer aralığını belirleyelim. Bu, - 1 ve 0 hariç tüm sayı kümesi olacaktır (x = − 1 ve x = 0'da kesirlerin paydaları kaybolur). Elde ettiğimiz kök x = − 1 2 ODZ'ye aittir. Bu, orijinal denklemin kökü olduğu anlamına gelir.

Cevap: − 1 2 .

Örnek 13

x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 · x denkleminin köklerini bulun.

Çözüm

Kesirli rasyonel bir denklemle uğraşıyoruz. Bu nedenle algoritmaya göre hareket edeceğiz.

İfadeyi sağ taraftan sola doğru ters işaretle taşıyalım: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

Gerekli dönüşümleri yapalım: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 · x = x 3 + 2 · x 3 = 3 · x 3 = x.

Denkleme varıyoruz x = 0. Bu denklemin kökü sıfırdır.

Bu kökün orijinal denklemin dışında olup olmadığını kontrol edelim. Değeri orijinal denklemde yerine koyalım: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 · 0. Gördüğünüz gibi ortaya çıkan denklemin hiçbir anlamı yok. Bu, 0'ın yabancı bir kök olduğu ve orijinal kesirli rasyonel denklemin kökleri olmadığı anlamına gelir.

Cevap: kök yok.

Eğer diğer eşdeğer dönüşümleri algoritmaya dahil etmediysek, bu onların kullanılamayacağı anlamına gelmez. Algoritma evrenseldir ancak sınırlamak için değil, yardımcı olmak için tasarlanmıştır.

Örnek 14

7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24 denklemini çözün

Çözüm

En kolay yol, verilen kesirli rasyonel denklemi algoritmaya göre çözmektir. Ama başka bir yol daha var. Bunu düşünelim.

Sağ ve sol taraftan 7 çıkarırsak şunu elde ederiz: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 24.

Buradan, sol taraftaki paydadaki ifadenin sağ taraftaki sayının tersine eşit olması gerektiği, yani 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7 olduğu sonucunu çıkarabiliriz.

Her iki taraftan da 3 çıkarın: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7. Benzer şekilde, 2 + 1 5 - x 2 = 7 3, buradan 1 5 - x 2 = 1 3 ve ardından 5 - x 2 = 3, x 2 = 2, x = ± 2

Bulunan köklerin orijinal denklemin kökleri olup olmadığını kontrol edelim.

Cevap: x = ± 2

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Okul: Belediye Eğitim Kurumu Ortaokulu Şubesi ile. Svyatoslavka köyde. Vozdvizhenka

Konu: matematik.

Müfredat – Haftada 5 saat (3 saati cebir, 2 saati geometri)

Konu: Denklemin tamamı ve kökleri. Denklemlerin tamamını çözme.

Ders türü: Beceri ve yeteneklerin geliştirilmesi.

Dersin Hedefleri:

didaktik : öğrencilerin ikinci derecenin üzerinde bir değişkenle tüm denklemleri çözme bilgilerinin sistemleştirilmesi ve genelleştirilmesi, genişletilmesi ve derinleştirilmesi; Öğrencileri Birleşik Devlet Sınavı için standart dışı durumlarda bilgiyi uygulamaya hazırlamak.

gelişen : bağımsız yaratıcı çalışma yoluyla öğrencinin kişiliğinin geliştirilmesi, öğrenci inisiyatifinin geliştirilmesi; istikrarlı bir motivasyon ortamı sağlamak, çalışılan konuya ilgi sağlamak; genelleme yeteneğini geliştirmek, bir denklemi çözmek için yöntemleri doğru seçmek;

eğitici: matematik çalışmalarına ilgi geliştirmek, öğrencileri standart olmayan durumlarda bilgiyi uygulamaya hazırlamak; Nihai sonuçlara ulaşmak için irade ve azim geliştirmek

Ders adımları	Zaman	Biçim	Öğretmen faaliyetleri	Öğrenci aktiviteleri	Not
1.1.Org. An (*Öğrencilerin etkinliklerini geliştirmek amacıyla giriş ve motivasyon bölümü)*		(Ek 1)	Tanımlar öğrenci hazırlığı. Öğrencilerin dikkatini yoğunlaştırır. Dersin sloganını ve epigrafını derse aktarır.	Dinleyin, soruları yanıtlayın, sonuç çıkarın,
1.2. Ödev kontrol ediliyor Referans bilgilerinin güncellenmesi		Sözlü anket (Ek 2-4)	Öğrenci faaliyetlerini koordine eder	Denklemin tanımını, denklemin köklerini, denklem çözme kavramını verin Denklemleri sözlü olarak çözerler ve denklemlerin tamamını onlardan ayırırlar.	bilişsel yeterliliğin oluşumu
1.3. Hedef belirleme ve motivasyon		Planlama	Öğrencileri motive eder Ders hedeflerini iletir	İsim verin ve yazın dersin konusunu, kendi ders hedefini belirler.	iletişimsel yeterliliğin oluşumu
2.1 Bilginin sistemleştirilmesi. *Hedefler* : Kısa rasyonel yazmayı öğretin, sonuç ve genelleme yapma becerisini uygulayın		(Ek 5)	Çeşitli türlerdeki tüm denklemlerin örneklerini verir.	Dinliyorlar, soruları yanıtlıyorlar, sonuçlar çıkarıyorlar ve denklemlerin tamamının nasıl çözüleceğini açıklıyorlar. Dersin destekleyici bir özetini derleyin ve bir not defterine yazın.	bilişsel, iletişimsel ve sosyal yeterliliklerin oluşumu
2.2. beden eğitimi dakikası		Yorum yapma	Bir dizi göz egzersizi hakkında yorumlar	Öğrenciler alıştırmaları tekrarlarlar.
2.3. Konsolidasyon. Denklemlerin tamamını çözme Hedef: Bilgiyle çalışmayı öğretmek, bilgiyi kullanmada esnekliği geliştirmek		Pratik aktiviteler (Ek 6)	Öğrenci faaliyetlerini düzenler ve kontrol eder. Farklı çözümleri belirtir	Denklemlerin tamamını defterlerinde çözerler, çözümü tahtada gösterirler ve kontrol ederler. Sonuca varmak	Konsolidasyon Bilginin oluşumu ve bilişsel yeterlilikleri
3.1. Dersi özetlemek		Refleks (Ek 7)	Öğrencileri dersi özetlemeye motive eder Not verir.	Çalışılan materyali özetleyin. Bir sonuca varıyorlar. Ödevinizi yazın. Çalışmalarını değerlendirin	Tam denklemler

(Ek 1)

1. Organizasyon anı– dersin amaç ve hedefleri belirlenir.

Çocuklar! Matematik alanında Devlet Sınavı ve Birleşik Devlet Sınavı şeklinde bir final sertifikasına sahip olacaksınız. Devlet Sınavını ve Birleşik Devlet Sınavını başarıyla geçmek için matematiği yalnızca minimum düzeyde bilmeniz değil, aynı zamanda bilginizi standart dışı durumlarda da uygulamanız gerekir. Birleşik Devlet Sınavının B ve C bölümlerinde genellikle daha yüksek dereceli denklemler bulunur. Görevimiz: ikinci derecenin üzerinde bir değişkenle tüm denklemlerin çözümüne ilişkin bilginin sistemleştirilmesi ve genelleştirilmesi, genişletilmesi ve derinleştirilmesi; Devlet Sınavı ve Birleşik Devlet Sınavı için standart dışı durumlarda bilginin uygulanmasına hazırlık.

Slogandersimiz: “Ne kadar çok bilirsem, o kadar çok yapabilirim.”

Epigaf:

Kim hiçbir şeyi fark etmez

Hiçbir şey çalışmıyor.

Kim hiçbir şey çalışmıyor

Sürekli sızlanıyor ve sıkılıyor.

(şair R. Seph).

Denklem en basit ve en yaygın matematik problemidir. Çeşitli denklemleri çözme konusunda bir miktar deneyim biriktirdiniz ve bizim bilgimizi düzene koymamız ve standart olmayan denklemleri çözme tekniklerini anlamamız gerekiyor.

sen denklemlerin kendileri inceleme için ilgi çekicidir. En eski el yazmaları, doğrusal denklem çözme tekniklerinin Eski Babil ve Eski Mısır'da bilindiğini göstermektedir. İkinci dereceden denklemler M.Ö. 2000 yıl önce çözülebiliyordu. e. Babilliler.

Temel cebirsel denklemlerin çözümüne yönelik standart teknikler ve yöntemler, her tür denklemin çözülmesinin ayrılmaz bir parçasıdır.

En basit durumlarda, bir bilinmeyenli bir denklemin çözümü iki adıma ayrılır: denklemi standart bir denkleme dönüştürmek ve standart denklemi çözmek. Denklem çözme sürecini tamamen algoritmik hale getirmek imkansızdır, ancak tüm denklem türlerinde ortak olan en yaygın teknikleri hatırlamakta fayda vardır. Birçok standart dışı teknikler kullanıldığında denklemler çok daha kısa ve daha basit çözülür.

Dikkatimizi onlara yoğunlaştıracağız.

(Ek 2)

Bilginin güncellenmesi.

Ev ödevi olarak size denklemler konusunu ve bunların nasıl çözüleceğini tekrarlama görevi verildi.

Ø Denklem neye denir? ( Değişken içeren denkleme tek değişkenli denklem denir)

Ø Bir denklemin kökü nedir?(Denkleminin doğru sayısal değere dönüştüğü değişkenin değeri

eşitlik.)

Ø Bir denklemi çözmek ne anlama gelir?(Bütün köklerini bulun veya köklerin olmadığını kanıtlayın.)

Birkaç denklemi sözlü olarak çözmenizi öneririm:

a) x2 = 0 e) x3 – 25x = 0

b) 3x – 6 = 0 g) x(x – 1)(x + 2) = 0

c) x2 – 9 = 0 h) x4 – x2 = 0

d) x2 = 1/36 i) x2 – 0,01 = 0,03

e) x2 = – 25 j) 19 – c2 = 10

Söyle bana, bu denklemleri birleştiren ne?(tek değişken, tam denklemler, vb.)

Ø Tek değişkenli denklemin tamamına ne denir? ( Sol ve sağ tarafları tam sayı olan denklemler

ifade

Ø Bir denklemin tamamının derecesine ne denir?(Formun eşdeğer denkleminin derecesi P(x) = 0, Nerede P(x) – polinom

standart tip)

Ø Bir denklemin 2., 3., 4. değişkenli kaç kökü olabilir? P derece(en fazla 2, 3, 4, P)

Denklemlerin tamamını çözmenin yöntemlerini biliyor muyum?

Bu yöntemleri nasıl uygulayacağımı biliyor muyum?

Denklemleri kendi başıma çözebilecek miyim?

Derste kendinizi rahat hissettiniz mi?

6. “3” üzerinde - kalan tablolardan tablo No. 1 + 1 denklemi.

“4” üzerinde - herhangi iki tablodan tablo No. 1 + 1 denklemi

“5” üzerinde - Kalan her birinden Tablo No. 1 + 1 denklem

tablolar

https://pandia.ru/text/80/110/images/image007_63.gif" genişlik = "594" yükseklik = "375 src = ">

Özetleme:

Öz değerlendirme tablosunun doldurulması

Not verme

Evde: tüm tablolardan kalan çözülmemiş denklemleri tamamlayın.

Ders: Denklemin tamamı ve kökleri. Bütün denklem ve kökleri

“öğrenci kontrol listesi”

Belge içeriğini görüntüle "Bildiri"

"Ölçek"

Sunum içeriğini görüntüle "1"

Matematiksel dikte

Denklemleri sözlü olarak çözün:

Denklemi çözün:

Denklemin tamamı ve kökleri

Dersin Hedefleri:

Denklemler

Tüm denklem

10. Güç denklemi

11. Denklemin derecesi nedir?

12. Tekrarlayalım

13. Birinci derece denklem

14. Üçüncü derece denklem

15. Denklemi çözün:

16. İkinci dereceden denklemi çözelim:

17. Denklemi çözün:

18. Eşleşmenin kurulması: Denklem yöntemi.

19. Test

20.

21. Ödev:

Rasyonel denklem: tanım ve örnekler

Denklemlerin tamamını çözme

Kesirli rasyonel denklemleri çözme

Belge içeriğini görüntüle
"Bildiri"

Sunum içeriğini görüntüle
"1"