Konuyla ilgili ders ve sunum: "Sayı dizileri. Geometrik ilerleme"
Ek materyaller
Sevgili kullanıcılar, yorumlarınızı, yorumlarınızı, dileklerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm materyaller antivirüs programı ile kontrol edilmiştir.
9. sınıf için Integral çevrimiçi mağazasında eğitim yardımcıları ve simülatörler
Kuvvetler ve kökler Fonksiyonlar ve grafikler
Arkadaşlar, bugün başka bir ilerleme türüyle tanışacağız.
Bugünkü dersin konusu geometrik ilerlemedir.
Geometrik ilerleme
Tanım. İkinciden başlayarak her terimin bir öncekinin çarpımına eşit olduğu ve sabit bir sayının olduğu sayısal diziye geometrik ilerleme denir.Dizimizi yinelemeli olarak tanımlayalım: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
burada b ve q verilen belirli sayılardır. q sayısına ilerlemenin paydası denir.
Örnek. 1,2,4,8,16... Birinci terimin bire eşit olduğu ve $q=2$ olan geometrik dizi.
Örnek. 8,8,8,8... İlk terimin sekize eşit olduğu geometrik dizi,
ve $q=1$.
Örnek. 3,-3,3,-3,3... İlk terimin üçe eşit olduğu geometrik dizi,
ve $q=-1$.
Geometrik ilerleme monotonluk özelliklerine sahiptir.
$b_(1)>0$, $q>1$ ise,
sonra sıra artıyor.
$b_(1)>0$ ise, $0 Dizi genellikle şu biçimde gösterilir: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.
Tıpkı aritmetik ilerlemede olduğu gibi, geometrik ilerlemede de eleman sayısı sonluysa bu ilerlemeye sonlu geometrik ilerleme denir.
$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Bir dizi geometrik bir ilerleme ise, terimlerin kareleri dizisinin de geometrik bir ilerleme olduğunu unutmayın. İkinci dizide, ilk terim $b_(1)^2$'a eşittir ve payda $q^2$'a eşittir.
Geometrik ilerlemenin n'inci terimi için formül
Geometrik ilerleme analitik biçimde de belirtilebilir. Bunu nasıl yapacağımızı görelim:$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Şu modeli kolayca fark ediyoruz: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Formülümüze "geometrik ilerlemenin n'inci teriminin formülü" denir.
Örneklerimize dönelim.
Örnek. 1,2,4,8,16... İlk terimin bire eşit olduğu geometrik dizi,
ve $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.
Örnek. 16,8,4,2,1,1/2… İlk terimin on altıya eşit olduğu geometrik dizi ve $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.
Örnek. 8,8,8,8... İlk terimin sekize eşit olduğu ve $q=1$ olan geometrik dizi.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.
Örnek. 3,-3,3,-3,3... İlk terimin üçe eşit olduğu ve $q=-1$ olan geometrik dizi.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.
Örnek. $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $ geometrik ilerlemesi verilmiştir.
a) $b_(1)=6, q=3$ olduğu bilinmektedir. $b_(5)$'ı bulun.
b) $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$ olduğu bilinmektedir. N'yi bulun.
c) $q=-2, b_(6)=96$ olduğu bilinmektedir. $b_(1)$'ı bulun.
d) $b_(1)=-2, b_(12)=4096$ olduğu bilinmektedir. Q'yu bulun.
Çözüm.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$, çünkü $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.
Örnek. Geometrik ilerlemenin yedinci ve beşinci terimleri arasındaki fark 192, ilerlemenin beşinci ve altıncı terimlerinin toplamı 192'dir. Bu ilerlemenin onuncu terimini bulun.
Çözüm.
Şunu biliyoruz: $b_(7)-b_(5)=192$ ve $b_(5)+b_(6)=192$.
Şunu da biliyoruz: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Daha sonra:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Bir denklem sistemi aldık:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$.
Denklemlerimizi eşitlersek şunu elde ederiz:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
İki çözümümüz var: q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
İkinci denklemde sırayla yerine koyarız:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ çözüm yok.
Şunu anladık: $b_(1)=4, q=2$.
Onuncu terimi bulalım: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.
Sonlu bir geometrik ilerlemenin toplamı
Sonlu bir geometrik ilerlemeye sahip olalım. Tıpkı bir aritmetik ilerlemede olduğu gibi, terimlerinin toplamını hesaplayalım.Sonlu bir geometrik ilerleme verilsin: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Terimlerinin toplamının gösterimini tanıtalım: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
$q=1$ olması durumunda. Geometrik ilerlemenin tüm terimleri ilk terime eşitse, o zaman $S_(n)=n*b_(1)$ olduğu açıktır.
Şimdi $q≠1$ durumunu ele alalım.
Yukarıdaki miktarı q ile çarpalım.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Not:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.
$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.
$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.
$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.
$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.
Sonlu bir geometrik ilerlemenin toplamının formülünü elde ettik.
Örnek.
İlk terimi 4 ve paydası 3 olan bir geometrik dizinin ilk yedi teriminin toplamını bulun.
Çözüm.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.
Örnek.
Geometrik ilerlemenin bilinen beşinci terimini bulun: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.
Çözüm.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.
$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
341$q=1364$.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.
Geometrik ilerlemenin karakteristik özelliği
Arkadaşlar geometrik bir ilerleme veriliyor. Ardışık üç üyesine bakalım: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.Biz biliyoruz ki:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Daha sonra:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
İlerleme sonlu ise bu eşitlik ilk ve sonuncu hariç tüm terimler için geçerlidir.
Dizinin hangi forma sahip olduğu önceden bilinmiyorsa ancak şu şekilde bilinmektedir: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
O halde bunun geometrik bir ilerleme olduğunu rahatlıkla söyleyebiliriz.
Bir sayı dizisi, yalnızca her bir üyenin karesi, ilerlemenin iki bitişik üyesinin çarpımına eşit olduğunda geometrik bir ilerlemedir. Sonlu bir ilerleme için bu koşulun ilk ve son dönemler için sağlanmadığını unutmayın.
Şu kimliğe bakalım: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ a ve b sayılarının geometrik ortalaması olarak adlandırılır.
Geometrik ilerlemenin herhangi bir teriminin modülü, iki bitişik terimin geometrik ortalamasına eşittir.
Örnek.
$x+2; olacak şekilde x'i bulun. 2x+2; 3x+3$ geometrik ilerlemenin ardışık üç terimiydi.
Çözüm.
Karakteristik özelliğini kullanalım:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ ve $x_(2)=-1$.
Çözümlerimizi sırayla orijinal ifadede yerine koyalım:
$x=2$ ile şu diziyi elde ettik: 4;6;9 – $q=1.5$ olan geometrik bir ilerleme.
$x=-1$ için şu diziyi elde ederiz: 1;0;0.
Cevap: $x=2.$
Bağımsız olarak çözülmesi gereken sorunlar
1. 16;-8;4;-2… geometrik dizisinin sekizinci birinci terimini bulun.2. 11,22,44… geometrik ilerlemesinin onuncu terimini bulun.
3. $b_(1)=5, q=3$ olduğu biliniyor. $b_(7)$'ı bulun.
4. $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$ olduğu biliniyor. N'yi bulun.
5. 3;12;48… geometrik dizisinin ilk 11 teriminin toplamını bulun.
6. $3x+4 olacak şekilde x'i bulun; 2x+4; x+5$ geometrik ilerlemenin ardışık üç terimidir.
Önemli notlar!
1. Formüller yerine gobbledygook'u görürseniz önbelleğinizi temizleyin. Tarayıcınızda bunu nasıl yapacağınız burada yazılmıştır:
2. Makaleyi okumaya başlamadan önce, en yararlı kaynaklar için gezginimize dikkat edin.
Numara dizisi
O halde oturup bazı sayıları yazmaya başlayalım. Örneğin:
Herhangi bir sayı yazabilirsiniz ve istediğiniz kadar sayı olabilir (bizim durumumuzda vardır). Ne kadar sayı yazarsak yazalım her zaman hangisinin birinci, hangisinin ikinci olduğunu vb. sonuncuya kadar söyleyebiliriz, yani onları numaralandırabiliriz. Bu bir sayı dizisi örneğidir:
Numara dizisi her birine benzersiz bir numara atanabilen bir sayı kümesidir.
Örneğin dizimiz için:
Atanan numara, dizideki yalnızca bir numaraya özeldir. Yani dizide üç saniyelik sayı yok. İkinci sayı (inci sayı gibi) her zaman aynıdır.
Sayıyı taşıyan sayıya dizinin n'inci üyesi denir.
Genellikle dizinin tamamını bir harfle (örneğin,) çağırırız ve bu dizinin her üyesi, bu üyenin numarasına eşit bir indeksle aynı harftir: .
Bizim durumumuzda:
En yaygın ilerleme türleri aritmetik ve geometriktir. Bu başlıkta ikinci tip hakkında konuşacağız - geometrik ilerleme.
Geometrik ilerlemeye neden ihtiyaç duyulur ve tarihi?
Antik çağda bile, İtalyan matematikçi keşiş Pisalı Leonardo (daha çok Fibonacci olarak bilinir) ticaretin pratik ihtiyaçlarıyla ilgileniyordu. Keşiş, bir ürünü tartmak için kullanılabilecek en küçük ağırlık sayısını belirleme göreviyle karşı karşıyaydı. Fibonacci, çalışmalarında böyle bir ağırlık sisteminin optimal olduğunu kanıtlıyor: Bu, insanların muhtemelen zaten duymuş olduğunuz ve en azından genel bir anlayışa sahip olduğunuz geometrik ilerlemeyle uğraşmak zorunda kaldıkları ilk durumlardan biridir. Konuyu tam olarak anladıktan sonra böyle bir sistemin neden optimal olduğunu düşünün.
Şu anda, yaşam pratiğinde geometrik ilerleme, bir bankaya para yatırırken, önceki dönemde hesapta biriken tutara faiz tahakkuk ettirildiğinde kendini göstermektedir. Başka bir deyişle, bir tasarruf bankasındaki vadeli mevduata para yatırırsanız, bir yıl sonra mevduat orijinal miktarı kadar artacaktır, yani. yeni miktar katkı payının çarpımına eşit olacaktır. Bir sonraki yıl bu miktar artacak, yani. o sırada elde edilen miktar tekrar çarpılacaktır vb. Benzer bir durum sözde hesaplama problemlerinde de anlatılmaktadır. bileşik faiz- Yüzde, önceki faiz dikkate alınarak her seferinde hesaptaki tutardan alınır. Bu görevlerden biraz sonra bahsedeceğiz.
Geometrik ilerlemenin uygulandığı daha birçok basit durum vardır. Örneğin, gribin yayılması: bir kişi başka bir kişiye bulaştırdı, o da başka bir kişiye bulaştırdı ve dolayısıyla enfeksiyonun ikinci dalgası bir kişiye dönüştü ve o da bir başkasına bulaştırdı... ve böyle devam etti. .
Bu arada, aynı MMM olan finansal piramit, geometrik ilerlemenin özelliklerine dayanan basit ve kuru bir hesaplamadır. İlginç? Hadi çözelim.
Geometrik ilerleme.
Diyelim ki bir sayı dizimiz var:
Bunun kolay olduğunu ve böyle bir dizinin adının üyelerinin farkıyla olduğunu hemen cevaplayacaksınız. Buna ne dersin:
Önceki sayıyı sonraki sayıdan çıkarırsanız, her seferinde yeni bir fark elde ettiğinizde (vb.) göreceksiniz, ancak dizi kesinlikle mevcuttur ve fark edilmesi kolaydır - sonraki her sayı bir öncekinden kat daha büyüktür!
Bu tür sayı dizisine denir geometrik ilerleme ve belirlenir.
Geometrik ilerleme (), ilk terimi sıfırdan farklı olan ve ikinciden başlayarak her terim bir öncekine eşit olan ve aynı sayıyla çarpılan sayısal bir dizidir. Bu sayıya geometrik ilerlemenin paydası denir.
İlk terimin ( ) eşit olmadığı ve rastgele olmadığı kısıtlamaları. Diyelim ki hiçbiri yok ve ilk terim hala eşit ve q eşittir, hmm.. öyle olsun, o zaman ortaya çıkıyor:
Bunun artık bir ilerleme olmadığını kabul edin.
Anladığınız gibi sıfır a'dan başka bir sayı varsa aynı sonuçları elde edeceğiz. Bu durumlarda, sayı serisinin tamamı ya tamamen sıfır ya da bir sayı olacağı ve geri kalanların tümü sıfır olacağı için hiçbir ilerleme olmayacaktır.
Şimdi geometrik ilerlemenin paydası yani o hakkında daha detaylı konuşalım.
Tekrarlayalım: - bu sayı birbirini takip eden her terim kaç kez değişir? geometrik ilerleme.
Sizce ne olabilir? Bu doğru, olumlu ve olumsuz, ancak sıfır değil (bunun hakkında biraz daha yukarıda konuştuk).
Bizimkinin olumlu olduğunu varsayalım. Bizim durumumuzda a. İkinci terimin değeri nedir ve? Buna kolayca cevap verebilirsiniz:
Bu doğru. Buna göre, ilerlemenin sonraki tüm terimleri aynı işarete sahipse - bunlar olumlu.
Ya olumsuzsa? Örneğin, a. İkinci terimin değeri nedir ve?
Bu tamamen farklı bir hikaye
Bu ilerlemenin şartlarını saymaya çalışın. Ne kadar aldın? Sahibim. Böylece, geometrik ilerlemenin terimlerinin işaretleri değişiyorsa. Yani, üyeleri için değişen işaretlerin olduğu bir ilerleme görürseniz, paydası negatiftir. Bu bilgi, bu konudaki sorunları çözerken kendinizi test etmenize yardımcı olabilir.
Şimdi biraz pratik yapalım: hangi sayı dizilerinin geometrik ilerleme, hangilerinin aritmetik ilerleme olduğunu belirlemeye çalışın:
Anladım? Cevaplarımızı karşılaştıralım:
- Geometrik ilerleme - 3, 6.
- Aritmetik ilerleme - 2, 4.
- Bu ne aritmetik ne de geometrik bir ilerlemedir - 1, 5, 7.
Son ilerlememize dönelim ve tıpkı aritmetikte olduğu gibi üyesini bulmaya çalışalım. Tahmin edebileceğiniz gibi onu bulmanın iki yolu var.
Her terimi art arda ile çarpıyoruz.
Yani, açıklanan geometrik ilerlemenin inci terimi eşittir.
Zaten tahmin ettiğiniz gibi, artık geometrik ilerlemenin herhangi bir üyesini bulmanıza yardımcı olacak bir formülü kendiniz türeteceksiniz. Yoksa zaten kendiniz için geliştirdiniz mi, adım adım üyeyi nasıl bulacağınızı anlatıyorsunuz? Eğer öyleyse, gerekçenizin doğruluğunu kontrol edin.
Bunu bu ilerlemenin inci terimini bulma örneğiyle açıklayalım:
Başka bir deyişle:
Verilen geometrik ilerlemenin teriminin değerini kendiniz bulun.
Olmuş? Cevaplarımızı karşılaştıralım:
Geometrik ilerlemenin önceki her terimiyle sıralı olarak çarptığımızda, önceki yöntemdekiyle tamamen aynı sayıyı elde ettiğinizi lütfen unutmayın.
Bu formülü "kişisellikten arındırmaya" çalışalım - genel forma koyalım ve şunu elde edelim:
Türetilen formül hem pozitif hem de negatif tüm değerler için geçerlidir. Aşağıdaki koşullarla geometrik ilerlemenin terimlerini hesaplayarak bunu kendiniz kontrol edin: , a.
Saydın mı? Sonuçları karşılaştıralım:
Bir terimle aynı şekilde bir ilerleme terimi bulmanın mümkün olacağını kabul edin, ancak yanlış hesaplama olasılığı vardır. Ve eğer geometrik ilerlemenin inci terimini zaten bulduysak, formülün "kesilmiş" kısmını kullanmaktan daha basit ne olabilir?
Sonsuz azalan geometrik ilerleme.
Daha yakın zamanlarda sıfırdan büyük ya da küçük olabileceğinden bahsettik, ancak geometrik ilerlemenin çağrıldığı özel değerler var. sonsuz azalan.
Sizce bu isim neden verildi?
Öncelikle terimlerden oluşan bazı geometrik dizileri yazalım.
O halde şöyle diyelim:
Sonraki her terimin bir öncekinden bir kat daha az olduğunu görüyoruz, ancak herhangi bir sayı olacak mı? Hemen cevap vereceksiniz - "hayır". Bu yüzden sonsuza kadar azalıyor; azalıyor, azalıyor ama asla sıfır olmuyor.
Bunun görsel olarak nasıl göründüğünü net bir şekilde anlamak için ilerlememizin bir grafiğini çizmeye çalışalım. Dolayısıyla bizim durumumuz için formül aşağıdaki formu alır:
Grafiklerde bağımlılığı çizmeye alışkınız, bu nedenle:
İfadenin özü değişmedi: ilk girdide geometrik ilerlemenin bir üyesinin değerinin sıra numarasına bağımlılığını gösterdik ve ikinci girdide basitçe geometrik ilerlemenin bir üyesinin değerini şu şekilde aldık: ve sıra sayısını olarak değil, olarak belirledi. Geriye kalan tek şey bir grafik oluşturmaktır.
Bakalım ne almışsın. İşte bulduğum grafik:
Görüyor musun? Fonksiyon azalır, sıfıra yaklaşır ama asla onu geçmez, yani sonsuz azalandır. Grafik üzerinde noktalarımızı ve aynı zamanda koordinat ve ne anlama geldiğini işaretleyelim:
İlk terimi de eşitse, geometrik ilerlemenin grafiğini şematik olarak göstermeye çalışın. Analiz edin, önceki grafiğimizle arasındaki fark nedir?
Becerebildin mi? İşte bulduğum grafik:
Artık geometrik ilerleme konusunun temellerini tam olarak anladığınıza göre: ne olduğunu biliyorsunuz, terimini nasıl bulacağınızı biliyorsunuz ve aynı zamanda sonsuz azalan geometrik ilerlemenin ne olduğunu da biliyorsunuz, haydi ana özelliğine geçelim.
Geometrik ilerlemenin özelliği.
Aritmetik ilerlemenin terimlerinin özelliğini hatırlıyor musunuz? Evet evet, bu ilerlemenin terimlerinin önceki ve sonraki değerleri varken belirli bir ilerleme sayısının değeri nasıl bulunur? Hatırlıyor musun? Bu:
Şimdi geometrik ilerlemenin terimleri için tamamen aynı soruyla karşı karşıyayız. Böyle bir formül elde etmek için çizmeye ve akıl yürütmeye başlayalım. Göreceksiniz, çok kolay, eğer unutursanız kendiniz de çıkarabilirsiniz.
İçinde bildiğimiz başka bir basit geometrik ilerlemeyi ele alalım ve. Nasıl bulunur? Aritmetik ilerlemeyle bu kolay ve basittir, peki ya burada? Aslında geometrik olarak da karmaşık bir şey yok - bize verilen her değeri formüle göre yazmanız yeterli.
Şimdi bu konuda ne yapmamız gerektiğini sorabilirsiniz. Evet, çok basit. Öncelikle bu formülleri bir resim üzerinde gösterelim ve değere ulaşmak için onlarla çeşitli manipülasyonlar yapmaya çalışalım.
Bize verilen rakamlardan soyutlayalım, sadece formül üzerinden ifadelerine odaklanalım. Turuncu renkle vurgulanan değeri, yanındaki terimleri bilerek bulmamız gerekiyor. Sonuç olarak alabileceğimiz çeşitli eylemler gerçekleştirmeye çalışalım.
Ek.
İki ifade eklemeye çalışalım ve şunu elde edelim:
Gördüğünüz gibi bu ifadeyi hiçbir şekilde ifade edemiyoruz, bu nedenle başka bir seçenek olan çıkarma işlemini deneyeceğiz.
Çıkarma.
Gördüğünüz gibi bunu da ifade edemiyoruz o yüzden bu ifadeleri birbiriyle çarpmaya çalışalım.
Çarpma işlemi.
Şimdi bize verilen geometrik ilerlemenin terimlerini bulunması gerekenle karşılaştırarak elde ettiğimiz şeye dikkatlice bakın:
Bilin bakalım neden bahsediyorum? Doğru şekilde bulmak için, istenen sayıya bitişik geometrik ilerleme sayılarının karekökünü birbiriyle çarpmamız gerekir:
Hadi bakalım. Geometrik ilerleme özelliğini kendiniz elde ettiniz. Bu formülü genel biçimde yazmaya çalışın. Olmuş?
Durumu unuttunuz mu? Bunun neden önemli olduğunu düşünün, örneğin bunu kendiniz hesaplamaya çalışın. Bu durumda ne olacak? Bu doğru, tamamen saçmalık çünkü formül şöyle görünüyor:
Bu nedenle bu sınırlamayı unutmayın.
Şimdi neye eşit olduğunu hesaplayalım
Doğru cevap - ! Hesaplama sırasında ikinci olası değeri unutmadıysanız, o zaman harikasınız ve hemen eğitime geçebilirsiniz ve unutursanız, aşağıda tartışılanları okuyun ve her iki kökün de neden yazılması gerektiğine dikkat edin. cevap.
Her iki geometrik ilerlememizi de (biri değerle, diğeri değerle) çizelim ve her ikisinin de var olma hakkına sahip olup olmadığını kontrol edelim:
Böyle bir geometrik ilerlemenin var olup olmadığını kontrol etmek için verilen tüm terimlerin aynı olup olmadığına bakmak gerekir. Birinci ve ikinci durumlar için q'yu hesaplayın.
Neden iki cevap yazmamız gerektiğini anladınız mı? Çünkü aradığınız terimin işareti olumlu ya da olumsuz olmasına bağlıdır! Ve ne olduğunu bilmediğimiz için her iki cevabı da artı ve eksi ile yazmamız gerekiyor.
Artık ana noktalarda uzmanlaştığınıza ve geometrik ilerleme özelliğinin formülünü türettiğinize göre, bulma, bilme ve
Cevaplarınızı doğru olanlarla karşılaştırın:
Ne düşünüyorsunuz, ya bize istenen sayıya bitişik geometrik ilerleme terimlerinin değerleri değil de ondan eşit uzaklıkta verilmiş olsaydı. Örneğin, bulmamız ve vermemiz gerekiyor ve. Bu durumda elde ettiğimiz formülü kullanabilir miyiz? Formülü orijinal olarak türettiğinizde yaptığınız gibi, her bir değerin nelerden oluştuğunu açıklayarak bu olasılığı aynı şekilde doğrulamaya veya çürütmeye çalışın.
Ne aldın?
Şimdi tekrar dikkatlice bakın.
ve buna bağlı olarak:
Buradan formülün işe yaradığı sonucuna varabiliriz. sadece komşularla değil geometrik ilerlemenin istenen terimleriyle, aynı zamanda eşit uzaklıktaüyelerin aradıklarından.
Böylece ilk formülümüz şu şekli alır:
Yani, ilk durumda öyle dediysek, şimdi bundan daha küçük olan herhangi bir doğal sayıya eşit olabileceğini söylüyoruz. Önemli olan, verilen her iki sayı için de aynı olmasıdır.
Belirli örneklerle pratik yapın, ancak son derece dikkatli olun!
- , . Bulmak.
- , . Bulmak.
- , . Bulmak.
Karar verilmiş? Umarım son derece dikkatli davranmışsınızdır ve küçük bir yakalamayı fark etmişsinizdir.
Sonuçları karşılaştıralım.
İlk iki durumda yukarıdaki formülü sakince uygularız ve aşağıdaki değerleri elde ederiz:
Üçüncü durumda ise bize verilen numaraların seri numaralarını dikkatlice incelediğimizde aradığımız numaraya eşit uzaklıkta olmadıklarını anlarız: bir önceki numaradır ancak bir pozisyonda kaldırılmıştır yani formülü uygulamak mümkün değil.
Nasıl çözeceksin? Aslında göründüğü kadar zor değil! Bize verilen her sayının ve aradığımız sayının nelerden oluştuğunu yazalım.
Yani elimizde ve var. Bakalım onlarla neler yapabiliriz? Bölmeyi öneriyorum. Şunu elde ederiz:
Verilerimizi formülde yerine koyarız:
Bulabileceğimiz bir sonraki adım - bunun için ortaya çıkan sayının küp kökünü almamız gerekiyor.
Şimdi elimizdekilere tekrar bakalım. Elimizde var ama bulmamız gerekiyor ve bu da şuna eşit:
Hesaplama için gerekli tüm verileri bulduk. Formülde yerine koyun:
Cevabımız: .
Başka bir benzer sorunu kendiniz çözmeyi deneyin:
Verilen: ,
Bulmak:
Ne kadar aldın? Sahibim - .
Gördüğünüz gibi aslında ihtiyacınız var sadece bir formülü hatırla- . Geri kalanını istediğiniz zaman hiçbir zorlukla karşılaşmadan kendiniz çekebilirsiniz. Bunu yapmak için, bir parça kağıda en basit geometrik ilerlemeyi yazmanız ve yukarıda açıklanan formüle göre her bir sayısının neye eşit olduğunu yazmanız yeterlidir.
Geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamı.
Şimdi belirli bir aralıktaki geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamını hızlı bir şekilde hesaplamamızı sağlayan formüllere bakalım:
Sonlu bir geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamına ilişkin formülü elde etmek için yukarıdaki denklemin tüm kısımlarını ile çarpın. Şunu elde ederiz:
Dikkatlice bakın: Son iki formülün ortak noktası nedir? Bu doğru, örneğin ortak üyeler vb., ilk ve son üye hariç. 2. denklemden 1.yi çıkarmaya çalışalım. Ne aldın?
Şimdi geometrik ilerlemenin terimini formül aracılığıyla ifade edin ve elde edilen ifadeyi son formülümüzde yerine koyun:
İfadeyi gruplandırın. Almalısınız:
Geriye sadece şunu ifade etmek kalıyor:
Buna göre bu durumda.
Farzedelim? O zaman hangi formül işe yarıyor? Geometrik bir ilerleme hayal edin. Neye benziyor? Bir dizi aynı sayı doğrudur, dolayısıyla formül şöyle görünecektir:
Hem aritmetik hem de geometrik ilerlemeyle ilgili birçok efsane vardır. Bunlardan biri de satrancın yaratıcısı Set efsanesidir.
Birçok kişi satranç oyununun Hindistan'da icat edildiğini biliyor. Hindu kralı onunla tanıştığında onun zekasından ve sahip olabileceği pozisyonların çeşitliliğinden çok memnun kaldı. Bunun tebaasından biri tarafından icat edildiğini öğrenen kral, onu bizzat ödüllendirmeye karar verdi. Mucidi yanına çağırdı ve ona istediği her şeyi istemesini emretti, en yetenekli arzuyu bile yerine getireceğine söz verdi.
Seta düşünmek için zaman istedi ve ertesi gün Seta kralın huzuruna çıktığında, bu isteğinin benzeri görülmemiş alçakgönüllülüğüyle kralı şaşırttı. Satranç tahtasının ilk karesine bir buğday tanesi, ikinci karesine bir buğday tanesi, üçüncü karesine bir buğday tanesi, dördüncü karesine bir buğday tanesi vb. verilmesini istedi.
Kral sinirlendi ve hizmetkarın isteğinin kralın cömertliğine yakışmadığını söyleyerek Seth'i uzaklaştırdı, ancak hizmetkarın tahtanın tüm kareleri için tahıllarını alacağına söz verdi.
Ve şimdi soru şu: Geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamı formülünü kullanarak Seth'in kaç tane tane alması gerektiğini hesaplayın?
Mantık yürütmeye başlayalım. Şarta göre Seth satranç tahtasının ilk karesi için, ikinci karesi için, üçüncüsü için, dördüncüsü için vb. bir buğday tanesi istediğine göre problemin geometrik ilerlemeyle ilgili olduğunu görüyoruz. Bu durumda neye eşittir?
Sağ.
Satranç tahtasının toplam kareleri. Sırasıyla, . Tüm verilere sahibiz, geriye kalan tek şey bunları formüle takıp hesaplamak.
Belirli bir sayının en azından yaklaşık olarak "ölçeği"ni hayal etmek için derecenin özelliklerini kullanarak dönüşüm yaparız:
Tabii ki, isterseniz bir hesap makinesi alıp hangi sayıya ulaşacağınızı hesaplayabilirsiniz, yoksa benim sözüme güvenmek zorunda kalacaksınız: ifadenin son değeri şu olacaktır.
Yani:
kentilyon katrilyon trilyon milyar milyon bin.
Phew) Bu sayının büyüklüğünü hayal etmek istiyorsanız, tahıl miktarının tamamını barındırmak için ne kadar büyük bir ahırın gerekli olacağını tahmin edin.
Ahır m yüksekliğinde ve m genişliğinde ise uzunluğunun km kadar uzaması gerekir. Dünya'dan Güneş'e olan uzaklığın iki katı.
Kral matematikte güçlü olsaydı, bilim adamını tahılları saymaya davet edebilirdi, çünkü bir milyon taneyi saymak için en az bir gün yorulmak bilmeden saymaya ihtiyacı olurdu ve kentilyonları saymanın gerekli olduğu göz önüne alındığında, taneleri saymak hayatı boyunca sayılması gerekirdi.
Şimdi geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamını içeren basit bir problemi çözelim.
5A sınıfı öğrencisi Vasya gribe yakalandı ancak okula gitmeye devam ediyor. Vasya her gün iki kişiye bulaştırıyor, o da iki kişiye daha bulaştırıyor ve bu böyle devam ediyor. Sınıfta sadece insanlar var. Kaç gün sonra tüm sınıf gripten hasta olacak?
Yani geometrik ilerlemenin ilk terimi Vasya'dır, yani kişidir. Geometrik ilerlemenin üçüncü terimi, geldiği ilk gün enfekte ettiği iki kişidir. İlerleme dönemlerinin toplamı 5A öğrenci sayısına eşittir. Buna göre şöyle bir ilerlemeden bahsediyoruz:
Verilerimizi geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamı formülünde yerine koyalım:
Birkaç gün içinde tüm sınıf hastalanacak. Formüllere ve sayılara inanmıyor musunuz? Öğrencilerin “enfeksiyonunu” kendiniz tasvir etmeye çalışın. Olmuş? Bakın benim için nasıl görünüyor:
Her biri bir kişiye bulaşırsa ve sınıfta yalnızca bir kişi varsa, öğrencilerin gripten kaç gün sonra hastalanacağını kendiniz hesaplayın.
Hangi değeri aldın? Bir gün sonra herkesin hastalanmaya başladığı ortaya çıktı.
Gördüğünüz gibi, böyle bir görev ve onun çizimi, her birinin yeni insanları “getirdiği” bir piramite benziyor. Ancak er ya da geç öyle bir an gelir ki ikincisi kimseyi çekemez. Bizim durumumuzda sınıfın izole olduğunu hayal edersek, gelen kişi zinciri () kapatır. Bu nedenle, bir kişi, diğer iki katılımcıyı getirirseniz paranın verildiği bir mali piramide dahil olsaydı, o zaman kişi (veya genel olarak) kimseyi getirmeyecek, dolayısıyla bu mali dolandırıcılığa yatırdığı her şeyi kaybedecekti.
Yukarıda söylenen her şey azalan veya artan bir geometrik ilerlemeye atıfta bulunur, ancak hatırladığınız gibi, özel bir türümüz var - sonsuz azalan bir geometrik ilerleme. Üyelerinin toplamı nasıl hesaplanır? Peki neden bu tür bir ilerlemenin belirli özellikleri var? Hadi birlikte çözelim.
Öncelikle örneğimizden sonsuz azalan geometrik ilerlemenin çizimine tekrar bakalım:
Şimdi biraz daha önce türetilen geometrik ilerlemenin toplamı formülüne bakalım:
veya
Ne için çabalıyoruz? Doğru, grafik sıfıra doğru yöneldiğini gösteriyor. Yani at, neredeyse elde edeceğimiz ifadeyi hesaplarken sırasıyla neredeyse eşit olacaktır. Bu bakımdan sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamını hesaplarken bu parantez eşit olacağından ihmal edilebileceğine inanıyoruz.
- formül sonsuz azalan geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamıdır.
ÖNEMLİ! Sonsuz derecede azalan bir geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamı için formülü yalnızca koşulun toplamı bulmamız gerektiğini açıkça belirtmesi durumunda kullanırız. sonsuzÜye sayısı.
Belirli bir n sayısı belirtilirse, o zaman veya olsa bile n terimin toplamı için formülü kullanırız.
Şimdi pratik yapalım.
- Ve ile geometrik ilerlemenin ilk terimlerinin toplamını bulun.
- Ve ile sonsuz azalan geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamını bulun.
Umarım çok dikkatli davranmışsınızdır. Cevaplarımızı karşılaştıralım:
Artık geometrik ilerleme hakkında her şeyi biliyorsunuz ve teoriden pratiğe geçme zamanı geldi. Sınavda en sık karşılaşılan geometrik ilerleme problemleri bileşik faiz hesaplama problemleridir. Bunlar konuşacaklarımız.
Bileşik faizin hesaplanmasında karşılaşılan sorunlar.
Muhtemelen bileşik faiz formülünü duymuşsunuzdur. Ne anlama geldiğini anlıyor musun? Değilse, hadi çözelim, çünkü sürecin kendisini anladığınızda, geometrik ilerlemenin bununla ne ilgisi olduğunu hemen anlayacaksınız.
Hepimiz bankaya gideriz ve mevduat için farklı koşulların olduğunu biliriz: Buna vade, ek hizmetler ve hesaplamanın iki farklı yolu olan faiz dahildir: basit ve karmaşık.
İLE basit ilgi her şey az çok açıktır: faiz, mevduat vadesinin sonunda bir kez tahakkuk ettirilir. Yani yılda 100 ruble yatırdığımızı söylersek, bunlar ancak yıl sonunda kredilendirilecektir. Buna göre depozito sonunda ruble alacağız.
Bileşik faiz- bu, meydana geldiği bir seçenektir faiz kapitalizasyonu, yani bunların depozito tutarına eklenmesi ve daha sonra gelirin başlangıçtan değil, birikmiş depozito tutarından hesaplanması. Büyük harf kullanımı sürekli olarak gerçekleşmez, ancak belirli bir sıklıkta gerçekleşir. Kural olarak, bu tür süreler eşittir ve çoğu zaman bankalar bir ay, üç aylık dönem veya yılı kullanır.
Her yıl aynı rubleyi yatırdığımızı, ancak mevduatın aylık kapitalizasyonuyla yatırdığımızı varsayalım. Biz ne yapıyoruz?
Buradaki her şeyi anlıyor musun? Değilse, adım adım çözelim.
Bankaya ruble getirdik. Ay sonuna kadar hesabımızda ruble artı faizinden oluşan bir miktar olmalı, yani:
Kabul etmek?
Bunu parantezlerin dışına çıkarabiliriz ve şunu elde ederiz:
Katılıyorum, bu formül zaten başlangıçta yazdıklarımıza daha çok benziyor. Geriye kalan tek şey yüzdeleri hesaplamak
Sorun bildiriminde bize yıllık oranlar anlatılıyor. Bildiğiniz gibi çarpma yapmıyoruz - yüzdeleri ondalık kesirlere dönüştürüyoruz, yani:
Sağ? Şimdi sorabilirsiniz, bu sayı nereden geldi? Çok basit!
Tekrar ediyorum: sorun bildirimi şunu söylüyor YILLIK tahakkuk eden faiz AYLIK. Bildiğiniz gibi, buna göre bir yıl içinde banka bizden aylık yıllık faizin bir kısmını tahsil edecek:
Anladın mı? Şimdi faizin günlük olarak hesaplandığını söyleseydim formülün bu kısmının nasıl görüneceğini yazmaya çalışın.
Becerebildin mi? Sonuçları karşılaştıralım:
Tebrikler! Görevimize dönelim: Birikmiş mevduat tutarına faiz tahakkuk ettiğini de dikkate alarak ikinci ayda hesabımıza ne kadar yatırılacağını yazın.
İşte elde ettiklerim:
Veya başka bir deyişle:
Sanırım zaten bir model fark ettiniz ve tüm bunlarda geometrik bir ilerleme gördünüz. Üyesinin neye eşit olacağını, yani ay sonunda ne kadar para alacağımızı yazın.
Yaptı? Hadi kontrol edelim!
Gördüğünüz gibi, bir yıl boyunca bir bankaya basit faiz oranıyla para koyarsanız ruble, bileşik faiz oranıyla ise ruble alırsınız. Faydası küçüktür, ancak bu yalnızca üçüncü yılda gerçekleşir, ancak daha uzun bir süre için kapitalizasyon çok daha karlıdır:
Bileşik faizi içeren başka bir problem türüne bakalım. Anladığınız şeyden sonra, bu sizin için temel olacaktır. Yani görev:
Zvezda şirketi 2000 yılında dolar cinsinden sermayeyle sektöre yatırım yapmaya başladı. 2001 yılından bu yana her yıl bir önceki yılın sermayesine eşit kâr elde etmektedir. Kârlar dolaşımdan çekilmeseydi Zvezda şirketi 2003 yılı sonunda ne kadar kâr elde edecek?
2000 yılında Zvezda şirketinin başkenti.
- 2001 yılında Zvezda şirketinin sermayesi.
- 2002 yılında Zvezda şirketinin sermayesi.
- 2003 yılında Zvezda şirketinin sermayesi.
Veya kısaca şunu yazabiliriz:
Bizim durumumuz için:
2000, 2001, 2002 ve 2003.
Sırasıyla:
ruble
Yüzde YILLIK olarak verildiğinden ve YILLIK olarak hesaplandığından, bu problemde ne ile ne de ile bölme işlemimizin olmadığını lütfen unutmayın. Yani bileşik faizle ilgili bir problemi okurken, yüzde kaç verildiğine ve hangi dönemde hesaplandığına dikkat edin ve ancak o zaman hesaplamalara geçin.
Artık geometrik ilerleme hakkında her şeyi biliyorsunuz.
Eğitim.
- Eğer biliniyorsa geometrik ilerlemenin terimini bulun ve
- Eğer biliniyorsa, geometrik ilerlemenin ilk terimlerinin toplamını bulun ve
- MDM Capital şirketi 2003 yılında dolar cinsinden sermayeyle sektöre yatırım yapmaya başladı. 2004 yılından bu yana her yıl bir önceki yılın sermayesine eşit kâr elde etmektedir. MSK Cash Flows şirketi 2005 yılında sektöre 10.000$ tutarında yatırım yapmaya başlamış, 2006 yılında ise 200.000$ kar elde etmeye başlamıştır. Karlar dolaşımdan çekilmemişse, 2007 yılı sonunda bir şirketin sermayesi diğerinden kaç dolar daha fazladır?
Yanıtlar:
- Problem ifadesi ilerlemenin sonsuz olduğunu söylemediğinden ve belirli sayıda terimin toplamının bulunması gerektiğinden hesaplama aşağıdaki formüle göre yapılır:
MDM Sermaye Şirketi:2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
- %100 yani 2 kat artar.
Sırasıyla:
ruble
MSK Nakit Akışları şirketi:2005, 2006, 2007.
- kat kat artar.
Sırasıyla:
ruble
ruble
Özetleyelim.
1) Geometrik ilerleme ( ), ilk terimi sıfırdan farklı olan ve ikinciden başlayarak her terim bir öncekinin aynı sayıyla çarpımına eşit olan bir sayısal dizidir. Bu sayıya geometrik ilerlemenin paydası denir.
2) Geometrik ilerlemenin terimlerinin denklemi .
3) ve dışında her değeri alabilir.
- eğer, o zaman ilerlemenin sonraki tüm terimleri aynı işarete sahipse - onlar olumlu;
- eğer öyleyse, ilerlemenin sonraki tüm koşulları alternatif işaretler;
- ne zaman - ilerlemeye sonsuz azalma denir.
4) , - geometrik ilerleme özelliğine sahip (bitişik terimler)
veya
, (eşit mesafeli terimler)
Bulduğunda bunu unutma iki cevap olmalı.
Örneğin,
5) Geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamı aşağıdaki formülle hesaplanır:
veya
veya
ÖNEMLİ! Sonsuz derecede azalan bir geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamına ilişkin formülü yalnızca koşulun sonsuz sayıda terimin toplamını bulmamız gerektiğini açıkça belirtmesi durumunda kullanırız.
6) Bileşik faiz sorunları, fonların dolaşımdan çekilmemesi koşuluyla geometrik ilerlemenin 3. dönemi formülü kullanılarak da hesaplanır:
GEOMETRİK İLERLEME. ANA ŞEYLER HAKKINDA KISACA
Geometrik ilerleme( ), ilk terimi sıfırdan farklı olan ve ikinciden başlayarak her terim bir öncekinin aynı sayıyla çarpımına eşit olan bir sayısal dizidir. Bu numara denir geometrik ilerlemenin paydası.
Geometrik ilerlemenin paydası ve dışında herhangi bir değer alabilir.
- Eğer ilerlemenin sonraki tüm terimleri aynı işarete sahipse - bunlar pozitiftir;
- eğer öyleyse, ilerlemenin sonraki tüm üyeleri alternatif işaretler;
- ne zaman - ilerlemeye sonsuz azalma denir.
Geometrik ilerleme terimlerinin denklemi - .
Geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamı formülle hesaplanır:
veya
İlerleme sonsuza kadar azalıyorsa, o zaman:
Neyse konu bitti. Eğer bu satırları okuyorsanız çok havalısınız demektir.
Çünkü insanların yalnızca %5'i bir konuda kendi başına ustalaşabiliyor. Ve eğer sonuna kadar okursanız, o zaman siz de bu %5'in içindesiniz!
Şimdi en önemli şey.
Bu konudaki teoriyi anladınız. Ve tekrar ediyorum, bu... bu gerçekten süper! Zaten akranlarınızın büyük çoğunluğundan daha iyisiniz.
Sorun şu ki bu yeterli olmayabilir...
Ne için?
Birleşik Devlet Sınavını başarıyla geçmek, üniversiteye kısıtlı bir bütçeyle girmek ve EN ÖNEMLİSİ ömür boyu.
Seni hiçbir şeye ikna etmeyeceğim, sadece tek bir şey söyleyeceğim...
İyi bir eğitim almış insanlar, almayanlara göre çok daha fazla kazanıyorlar. Bu istatistik.
Ancak asıl mesele bu değil.
Önemli olan DAHA MUTLU olmalarıdır (böyle çalışmalar var). Belki de önlerine çok daha fazla fırsat çıktığı ve hayat daha parlak hale geldiği için? Bilmiyorum...
Ama kendin düşün...
Birleşik Devlet Sınavında diğerlerinden daha iyi olmak ve sonuçta... daha mutlu olmak için ne gerekir?
BU KONUDAKİ SORUNLARI ÇÖZEREK ELİNİZİ KAZANIN.
Sınav sırasında sizden teori sorulmayacak.
İhtiyacın olacak zamana karşı sorunları çözmek.
Ve eğer bunları çözmediyseniz (ÇOK!), kesinlikle bir yerlerde aptalca bir hata yapacaksınız veya zamanınız olmayacak.
Sporda olduğu gibi - kesin olarak kazanmak için bunu defalarca tekrarlamanız gerekir.
Koleksiyonu dilediğiniz yerde bulun, mutlaka çözümlerle, detaylı analizlerle ve karar ver, karar ver, karar ver!
Görevlerimizi kullanabilirsiniz (isteğe bağlı) ve elbette bunları öneririz.
Görevlerimizi daha iyi kullanmak için şu anda okuduğunuz YouClever ders kitabının ömrünün uzatılmasına yardımcı olmanız gerekir.
Nasıl? İki seçenek var:
- Bu makaledeki tüm gizli görevlerin kilidini açın -
- Ders kitabının 99 makalesinin tamamındaki tüm gizli görevlere erişimin kilidini açın - Bir ders kitabı satın alın - 499 RUR
Evet, ders kitabımızda buna benzer 99 makale var ve tüm görevlere ve bunların içindeki tüm gizli metinlere erişim anında açılabilir.
Sitenin TÜM ömrü boyunca tüm gizli görevlere erişim sağlanır.
Sonuç olarak...
Görevlerimizi beğenmiyorsanız başkalarını bulun. Sadece teoride durmayın.
“Anlamak” ve “çözebilirim” tamamen farklı becerilerdir. İkisine de ihtiyacın var.
Sorunları bulun ve çözün!
Matematik neinsanlar doğayı ve kendilerini kontrol ederler.
Sovyet matematikçisi, akademisyen A.N. Kolmogorov
Geometrik ilerleme.
Matematiğe giriş sınavlarında aritmetik ilerlemelerle ilgili problemlerin yanı sıra geometrik ilerleme kavramıyla ilgili problemler de yaygındır. Bu tür problemleri başarılı bir şekilde çözmek için geometrik ilerlemelerin özelliklerini bilmeniz ve bunları kullanma konusunda iyi becerilere sahip olmanız gerekir.
Bu makale geometrik ilerlemenin temel özelliklerinin sunumuna ayrılmıştır. Tipik problemlerin çözümüne ilişkin örnekler de burada verilmektedir., matematik giriş sınavlarının görevlerinden ödünç alınmıştır.
Öncelikle geometrik ilerlemenin temel özelliklerini not edelim ve en önemli formülleri ve ifadeleri hatırlayalım., bu kavramla ilişkilidir.
Tanım.İkinciden başlayarak her sayı bir önceki sayıya eşitse ve aynı sayıyla çarpılıyorsa sayı dizisine geometrik ilerleme denir. Sayıya geometrik ilerlemenin paydası denir.
Geometrik ilerleme içinformüller geçerlidir
, (1)
Nerede . Formül (1), geometrik ilerlemenin genel teriminin formülü olarak adlandırılır ve formül (2), geometrik ilerlemenin ana özelliğini temsil eder: ilerlemenin her terimi, komşu terimlerinin geometrik ortalaması ile çakışır ve .
Not, tam da bu özelliği nedeniyle söz konusu ilerlemeye “geometrik” denmektedir.
Yukarıdaki formüller (1) ve (2) aşağıdaki şekilde genelleştirilmiştir:
, (3)
Tutarı hesaplamak için Birinci geometrik ilerlemenin üyeleriformül geçerlidir
Eğer belirtirsek, o zaman
Nerede . Çünkü formül (6), formül (5)'in bir genellemesidir.
Bu durumda ne zaman ve geometrik ilerlemesonsuz bir şekilde azalıyor. Tutarı hesaplamak içinSonsuz azalan geometrik ilerlemenin tüm terimleri için formül kullanılır
. (7)
Örneğin , formül (7)'yi kullanarak gösterebiliriz, Ne
Nerede . Bu eşitlikler, (birinci eşitlik) ve (ikinci eşitlik) koşulu altında formül (7)'den elde edilir.
Teorem. Eğer öyleyse
Kanıt. Eğer öyleyse
Teorem kanıtlandı.
“Geometrik ilerleme” konusundaki problem çözme örneklerini ele almaya devam edelim.
Örnek 1. Verilenler: , ve . Bulmak .
Çözüm. Formül (5)'i uygularsak, o zaman
Cevap: .
Örnek 2. Bırak olsun. Bulmak .
Çözüm. ve olduğundan, (5), (6) formüllerini kullanırız ve bir denklem sistemi elde ederiz
(9) sisteminin ikinci denklemi birinciye bölünürse, sonra veya . Bundan şu sonuç çıkıyor . İki durumu ele alalım.
1. Eğer, daha sonra (9) sisteminin ilk denkleminden elimizdeki.
2. Eğer öyleyse .
Örnek 3., ve . Bulmak .
Çözüm. Formül (2)'den şunu takip eder: veya . O zamandan beri veya .
Koşullara göre. Bununla birlikte. O zamandan beri ve o zaman burada bir denklem sistemimiz var
Sistemin ikinci denklemi birinciye bölünürse, o zaman veya .
Çünkü denklemin tek ve uygun bir kökü vardır. Bu durumda sistemin ilk denkleminden çıkar.
Formül (7)'yi dikkate alarak elde ederiz.
Cevap: .
Örnek 4. Verilen: ve . Bulmak .
Çözüm. O zamandan beri.
O zamandan beri veya
Formül (2)'ye göre elimizde . Bu bağlamda eşitlikten (10) veya elde ederiz.
Ancak koşul gereği.
Örnek 5.Öyle olduğu biliniyor. Bulmak .
Çözüm. Teoreme göre iki eşitliğimiz var
O zamandan beri veya . Çünkü o zaman.
Cevap: .
Örnek 6. Verilen: ve . Bulmak .
Çözüm. Formül (5)'i dikkate alarak şunu elde ederiz:
O zamandan beri. O zamandan beri ve o zamandan beri.
Örnek 7. Bırak olsun. Bulmak .
Çözüm. Formül (1)'e göre yazabiliriz
Bu nedenle, elimizde veya var. Bu bilinmektedir ve bu nedenle ve .
Cevap: .
Örnek 8. Aşağıdaki durumlarda sonsuz azalan geometrik ilerlemenin paydasını bulun:
Ve .
Çözüm. Formül (7)'den şu şekildedir: Ve . Buradan ve problemin koşullarından bir denklem sistemi elde ederiz
Sistemin ilk denkleminin karesi alınırsa, ve sonra elde edilen denklemi ikinci denkleme bölün, sonra elde ederiz
Veya .
Cevap: .
Örnek 9., dizisinin geometrik bir ilerleme olduğu tüm değerleri bulun.
Çözüm., ve . Geometrik ilerlemenin ana özelliğini tanımlayan formül (2)'ye göre veya yazabiliriz.
Buradan ikinci dereceden denklemi elde ederiz, kimin kökleri Ve .
Kontrol edelim: eğer, sonra ve ; eğer , o zaman ve .
İlk durumda elimizde ve , ve ikincisinde – ve .
Cevap: , .
Örnek 10.Denklemi çözün
, (11)
Nerede ve .
Çözüm. Denklemin (11) sol tarafı, sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamıdır; burada ve , aşağıdakilere tabidir: ve .
Formül (7)'den şu şekildedir:, Ne . Bu bağlamda denklem (11) şu şekli alır: veya . Uygun kök ikinci dereceden denklem
Cevap: .
Örnek 11. P pozitif sayılar dizisiaritmetik bir ilerleme oluşturur, A - geometrik ilerleme, ne alakası var . Bulmak .
Çözüm.Çünkü aritmetik dizi, O (aritmetik ilerlemenin ana özelliği). Çünkü, sonra veya . Bu şu anlama gelir: geometrik ilerlemenin şu şekle sahip olduğu. Formül (2)'ye göre, sonra bunu yazıyoruz.
O zamandan beri ve o zaman . Bu durumda ifade veya şeklini alır. Koşullara göre, yani Denklem'den.ele alınan soruna benzersiz bir çözüm elde ederiz, yani .
Cevap: .
Örnek 12. Toplamı Hesapla
. (12)
Çözüm. Eşitliğin her iki tarafını (12) 5 ile çarpın ve şunu elde edin:
Ortaya çıkan ifadeden (12)'yi çıkarırsak, O
veya .
Hesaplamak için değerleri formül (7)'ye koyarız ve elde ederiz. O zamandan beri.
Cevap: .
Burada verilen problem çözme örnekleri, giriş sınavlarına hazırlanırken adaylara faydalı olacaktır. Problem çözme yöntemlerinin daha derinlemesine incelenmesi için, geometrik ilerlemeyle ilgili, Önerilen literatür listesindeki öğreticileri kullanabilirsiniz.
1. Üniversitelere başvuranlar için matematik problemlerinin toplanması / Ed. Mİ. Scanavi. – M.: Mir ve Eğitim, 2013. – 608 s.
2. V.P.'yi iptal edin. Lise öğrencileri için matematik: okul müfredatının ek bölümleri. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 s.
3. Medynsky M.M. Problemler ve alıştırmalar içeren eksiksiz bir temel matematik dersi. Kitap 2: Sayı Dizileri ve İlerlemeler. – M.: Editus, 2015. – 208 s.
Hala sorularınız mı var?
Bir öğretmenden yardım almak için kaydolun.
web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.
Geometrik ilerlemenin n'inci teriminin formülü çok basittir. Hem anlam olarak hem de genel görünüm olarak. Ancak n'inci terimin formülünde çok ilkelden oldukça ciddiye kadar her türlü sorun var. Ve tanışma sürecinde kesinlikle ikisini de dikkate alacağız. Peki tanışalım mı?)
Yani başlangıçta aslında formülN
İşte burada:
bn = B 1 · qn -1
Formül yalnızca bir formüldür, doğaüstü bir şey değildir. Benzer bir formülden daha basit ve daha kompakt görünüyor. Formülün anlamı da keçe çizme kadar basittir.
Bu formül, geometrik ilerlemenin HERHANGİ bir üyesini SAYISINA GÖRE bulmanızı sağlar " N".
Gördüğünüz gibi anlam, aritmetik ilerlemeyle tam bir benzetmedir. N sayısını biliyoruz - bu sayının altındaki terimi de sayabiliriz. Hangisini istersek. "q" ile defalarca çarpmadan. Bütün mesele bu.)
İlerlemelerle bu seviyede çalışırken, formülde yer alan tüm miktarların sizin için zaten açık olması gerektiğini anlıyorum, ancak yine de her birini deşifre etmenin görevim olduğunu düşünüyorum. Her ihtimale karşı.
İşte başlıyoruz:
B 1 – Birinci geometrik ilerleme terimi;
Q – ;
N- üye numarası;
bn – n'inci (Nth) geometrik ilerleme terimi.
Bu formül herhangi bir geometrik ilerlemenin dört ana parametresini birbirine bağlar: BN, B 1 , Q Ve N. Ve tüm ilerleme sorunları bu dört temel figürün etrafında dönüyor.
"Nasıl kaldırılır?"– Meraklı bir soru duyuyorum... İlköğretim! Bakmak!
Neye eşittir ikinci ilerlemenin üyesi? Sorun değil! Doğrudan yazıyoruz:
b 2 = b 1 ·q
Peki ya üçüncü üye? Sorun da değil! İkinci terimi çarpıyoruz bir kez dahaQ.
Bunun gibi:
B3 = b2q
Şimdi ikinci terimin de b 1 ·q'ye eşit olduğunu hatırlayalım ve bu ifadeyi eşitliğimizde yerine koyalım:
B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2
Şunu elde ederiz:
B 3 = b 1 ·q 2
Şimdi yazımızı Rusça olarak okuyalım: üçüncü terim ilk terimin q ile çarpımına eşittir ikinci derece. Anladın mı? Henüz değil? Tamam, bir adım daha.
Dördüncü terim nedir? Hepsi aynı! Çarpmak öncesi(yani üçüncü terim) q'da:
B 4 = b 3 q = (b 1 q 2) q = b 1 q 2 q = b 1 q 3
Toplam:
B 4 = b 1 ·q 3
Ve yine Rusçaya çeviriyoruz: dördüncü terim ilk terimin q ile çarpımına eşittir üçüncü derece.
Ve benzeri. Peki nasıl? Deseni yakaladınız mı? Evet! Herhangi bir sayıya sahip herhangi bir terim için, aynı q çarpanlarının sayısı (yani paydanın derecesi) her zaman şu şekilde olacaktır: İstenilen üye sayısından bir eksikN.
Bu nedenle formülümüz seçenekler olmadan şöyle olacaktır:
bn =B 1 · qn -1
Bu kadar.)
Peki, sorunları çözelim sanırım?)
Formül problemlerini çözmeNgeometrik ilerlemenin üçüncü terimi.
Her zamanki gibi formülün doğrudan uygulanmasıyla başlayalım. İşte tipik bir sorun:
Geometrik ilerlemede, bilinmektedir ki B 1 = 512 ve Q = -1/2. İlerlemenin onuncu terimini bulun.
Elbette bu sorun hiçbir formüle ihtiyaç duymadan da çözülebilir. Doğrudan geometrik ilerleme anlamında. Ama n'inci terimin formülüne ısınmamız lazım değil mi? Burada ısınıyoruz.
Formülü uygulamak için verilerimiz aşağıdaki gibidir.
İlk üye belli. Bu 512.
B 1 = 512.
İlerlemenin paydası da bilinmektedir: Q = -1/2.
Geriye kalan tek şey n'nin üye sayısının ne olduğunu bulmak. Sorun değil! Onuncu dönemle ilgileniyor muyuz? Yani genel formülde n yerine on koyuyoruz.
Ve aritmetiği dikkatlice hesaplayın:
Cevap 1
Gördüğünüz gibi ilerlemenin onuncu dönemi eksi çıktı. Şaşırtıcı bir şey yok: ilerleme paydamız -1/2, yani. olumsuz sayı. Bu da bize ilerleyişimizin işaretlerinin değiştiğini gösteriyor, evet.)
Burada her şey basit. Burada da benzer bir problem var ama hesaplamalar açısından biraz daha karmaşık.
Geometrik ilerlemede şunu bilinmektedir:
B 1 = 3
İlerlemenin on üçüncü terimini bulun.
Her şey aynı, ancak bu sefer ilerlemenin paydası mantıksız. İkinin kökü. Tamam, sorun değil. Formül evrensel bir şeydir, her sayıyla baş edebilir.
Doğrudan aşağıdaki formüle göre çalışıyoruz:
Formül elbette olması gerektiği gibi çalıştı, ancak... bazı insanların takıldığı nokta burası. Kök ile bundan sonra ne yapmalı? Bir kökün on ikinci kuvvetine nasıl yükseltilir?
Nasıl-nasıl... Elbette herhangi bir formülün iyi bir şey olduğunu anlamalısınız, ancak önceki tüm matematik bilgileri iptal edilmez! Nasıl inşa edilir? Evet, derecelerin özelliklerini unutmayın! Kökü dönüştürelim kesirli derece ve – bir dereceyi bir dereceye yükseltme formülüne göre.
Bunun gibi:
Cevap: 192
Ve hepsi bu.)
N'inci terim formülünü doğrudan uygulamanın temel zorluğu nedir? Evet! Asıl zorluk derecelerle çalışmak! Yani negatif sayıları, kesirleri, kökleri ve benzeri yapıları kuvvetlere yükseltmek. O yüzden bu konuda sorun yaşayanlar lütfen dereceleri ve özelliklerini tekrarlasın! Yoksa bu konuyu da yavaşlatırsınız, evet...)
Şimdi tipik arama problemlerini çözelim formülün unsurlarından biri, eğer diğerleri verilirse. Bu tür sorunları başarıyla çözmek için tarif tek tip ve son derece basittir - formülü yazNgenel olarak -th üye! Durumun yanındaki not defterinde. Daha sonra şartlardan bize neyin verildiğini, neyin eksik olduğunu anlıyoruz. Ve istediğimiz değeri formülden ifade ediyoruz. Tüm!
Örneğin, çok zararsız bir sorun.
Paydası 3 olan bir geometrik ilerlemenin beşinci terimi 567'dir. Bu ilerlemenin ilk terimini bulun.
Karmaşık bir şey yok. Doğrudan büyüye göre çalışıyoruz.
n'inci terimin formülünü yazalım!
bn = B 1 · qn -1
Bize ne verildi? İlk olarak ilerlemenin paydası verilir: Q = 3.
Üstelik bize verilen beşinci üye: B 5 = 567 .
Tüm? HAYIR! Ayrıca bize n numarası da verildi! Bu beş: n = 5.
Umarım kayıtta ne olduğunu zaten anlamışsındır B 5 = 567 aynı anda iki parametre gizlenir - bu beşinci terimin kendisi (567) ve numarasıdır (5). Benzer bir derste bundan bahsetmiştim ama burada da bahsetmeye değer diye düşünüyorum.)
Şimdi verilerimizi formülde yerine koyuyoruz:
567 = B 1 ·3 5-1
Aritmetik yapıyoruz, basitleştiriyoruz ve basit bir doğrusal denklem elde ediyoruz:
81 B 1 = 567
Çözüyoruz ve şunu elde ediyoruz:
B 1 = 7
Gördüğünüz gibi ilk terimi bulmada herhangi bir sorun yok. Ancak paydayı ararken Q ve sayılar N Ayrıca sürprizler de olabilir. Bir de bunlara (sürprizlere) hazırlıklı olmak lazım, evet.)
Örneğin, bu sorun:
Paydası pozitif olan bir geometrik ilerlemenin beşinci terimi 162 ve bu ilerlemenin ilk terimi 2'dir. Bu ilerlemenin paydasını bulun.
Bu sefer bize birinci ve beşinci terimler veriliyor ve ilerlemenin paydasını bulmamız isteniyor. İşte başlıyoruz.
Formülü yazıyoruzNüye!
bn = B 1 · qn -1
İlk verilerimiz aşağıdaki gibi olacaktır:
B 5 = 162
B 1 = 2
N = 5
Eksik değer Q. Sorun değil! Şimdi bulalım.) Bildiğimiz her şeyi formülde yerine koyarız.
Şunu elde ederiz:
162 = 2Q 5-1
2 Q 4 = 162
Q 4 = 81
Dördüncü derecenin basit bir denklemi. Ve şimdi - dikkatlice!Çözümün bu aşamasında, birçok öğrenci hemen sevinçle (dördüncü derecenin) kökünü çıkarır ve cevaba ulaşır. Q=3 .
Bunun gibi:
q4 = 81
Q = 3
Ama aslında bu tamamlanmamış bir cevaptır. Daha doğrusu eksik. Neden? Mesele şu ki cevap Q = -3 ayrıca uygundur: (-3) 4 de 81 olur!
Bunun nedeni güç denkleminin xn = A her zaman vardır iki zıt kök en eşitN . Artı ve eksi ile:
Her ikisi de uygundur.
Örneğin, karar verirken (ör. ikinci derece)
x 2 = 9
Nedense görünüşüne şaşırmıyorsun iki kökler x=±3? Burada da durum aynı. Ve başka herhangi biriyle eşit derece (dördüncü, altıncı, onuncu vb.) aynı olacaktır. Detaylar konu başlığındadır
Bu nedenle doğru çözüm şöyle olacaktır:
Q 4 = 81
Q= ±3
Tamam, işaretleri sıraladık. Hangisi doğru; artı mı eksi mi? Peki, sorunu bulmak için problem açıklamasını tekrar okuyalım. Ek Bilgiler. Elbette mevcut olmayabilir ama bu problemde bu tür bilgiler mevcut. Durumumuz düz metinde bir ilerlemenin verildiğini belirtiyor pozitif payda.
Bu nedenle cevap açıktır:
Q = 3
Burada her şey basit. Sorun cümlesi şu şekilde olsaydı ne olurdu sizce?
Geometrik ilerlemenin beşinci terimi 162 ve bu ilerlemenin ilk terimi 2'dir. Bu ilerlemenin paydasını bulun.
Fark ne? Evet! Durumda Hiç bir şey paydanın işaretinden bahsedilmez. Ne doğrudan ne de dolaylı olarak. Ve burada sorun zaten olurdu iki çözüm!
Q = 3 Ve Q = -3
Evet evet! Hem artı hem de eksi ile.) Matematiksel olarak bu gerçek şu anlama gelir: iki ilerleme, problemin koşullarına uyan. Ve her birinin kendi paydası var. Sırf eğlence olsun diye pratik yapın ve her birinin ilk beş terimini yazın.)
Şimdi üye numarasını bulma alıştırması yapalım. Bu sorun en zoru, evet. Ama aynı zamanda daha yaratıcı.)
Geometrik bir ilerleme verildiğinde:
3; 6; 12; 24; …
Bu ilerlemede 768 sayısı hangi sayıdır?
İlk adım hala aynı: formülü yazNüye!
bn = B 1 · qn -1
Ve şimdi her zamanki gibi bildiğimiz verileri onun yerine koyuyoruz. Hım... işe yaramıyor! İlk terim nerede, payda nerede, diğer her şey nerede?!
Nerede, nerede... Neden gözlere ihtiyacımız var? Kirpiklerini mi çırpıyorsun? Bu sefer ilerleme bize doğrudan formda veriliyor. diziler.İlk üyeyi görebilir miyiz? Görürüz! Bu bir üçlüdür (b 1 = 3). Payda ne olacak? Henüz göremiyoruz ama sayması çok kolay. Tabii eğer anlarsan...
Yani sayıyoruz. Doğrudan geometrik ilerlemenin anlamına göre: terimlerinden herhangi birini (birinci hariç) alıp bir öncekine böleriz.
En azından şu şekilde:
Q = 24/12 = 2
Başka ne biliyoruz? Ayrıca bu ilerlemenin 768'e eşit bir terimini de biliyoruz. Bir n sayısı altında:
bn = 768
Numarasını bilmiyoruz ama bizim görevimiz tam olarak onu bulmak.) O yüzden arıyoruz. Formüle ikame için gerekli tüm verileri zaten indirdik. Kendinizden habersiz.)
Burada yerine şunu koyuyoruz:
768 = 3 2N -1
Temel olanları yapalım - her iki tarafı da üçe bölelim ve denklemi olağan biçimde yeniden yazalım: bilinmeyen solda, bilinen sağda.
Şunu elde ederiz:
2 N -1 = 256
Bu ilginç bir denklem. "n"yi bulmamız gerekiyor. Ne, sıradışı mı? Evet tartışmıyorum. Aslında bu en basit şey. Bilinmediği için böyle adlandırılmıştır (bu durumda bu sayıdır) N) maliyetler gösterge derece.
Geometrik ilerlemeyi öğrenme aşamasında (bu dokuzuncu sınıf), üstel denklemlerin nasıl çözüleceğini öğretmiyorlar, evet... Bu lise için bir konu. Ama korkutucu bir şey yok. Bu tür denklemlerin nasıl çözüldüğünü bilmiyorsanız bile, hadi bulmaya çalışalım. N, basit mantık ve sağduyunun rehberliğinde.
Hadi konuşmaya başlayalım. Sol tarafta bir ikilimiz var belli bir dereceye kadar. Bu derecenin tam olarak ne olduğunu henüz bilmiyoruz ama bu korkutucu değil. Ancak bu derecenin 256'ya eşit olduğundan eminiz! Yani ikinin bize ne kadar 256 verdiğini hatırlıyoruz. Hatırlıyor musun? Evet! İÇİNDE sekizinci derece!
256 = 2 8
Dereceleri hatırlamıyorsanız veya tanımakta sorun yaşıyorsanız bunda da sorun yok: art arda ikinin karesi, küp, dördüncü, beşinci vb. Aslında seçim ancak bu düzeyde oldukça işe yarayacaktır.
Öyle ya da böyle şunu elde ederiz:
2 N -1 = 2 8
N-1 = 8
N = 9
Yani 768 dokuzuncu ilerlememizin bir üyesi. İşte bu, sorun çözüldü.)
Cevap: 9
Ne? Sıkıcı? Temel şeylerden bıktınız mı? Kabul etmek. Ve ben de. Bir sonraki seviyeye geçelim.)
Daha karmaşık görevler.
Şimdi daha zorlu problemleri çözelim. Tam olarak süper havalı değil ama cevaba ulaşmak için biraz çalışma gerektirenler.
Mesela bu.
Dördüncü terimi -24 ve yedinci terimi 192 ise geometrik ilerlemenin ikinci terimini bulun.
Bu türün bir klasiğidir. Progresyonun iki farklı terimi biliniyor ancak başka bir terimin bulunması gerekiyor. Üstelik tüm üyeler komşu DEĞİLDİR. Bu ilk başta kafa karıştırıcı, evet...
Olduğu gibi, bu tür sorunları çözmek için iki yöntemi ele alacağız. İlk yöntem evrenseldir. Cebirsel. Her türlü kaynak veriyle kusursuz çalışır. İşte buradan başlayacağız.)
Her terimi formüle göre açıklıyoruz Nüye!
Her şey aritmetik ilerlemeyle tamamen aynıdır. Sadece bu sefer birlikte çalışıyoruz bir diğer Genel formül. Hepsi bu.) Ama özü aynı: alıyoruz ve birer birer Başlangıç verilerimizi n'inci terimin formülüne koyarız. Her üye için - kendilerine ait.
Dördüncü dönem için şunu yazıyoruz:
B 4 = B 1 · Q 3
-24 = B 1 · Q 3
Yemek yemek. Bir denklem hazır.
Yedinci dönem için şunu yazıyoruz:
B 7 = B 1 · Q 6
192 = B 1 · Q 6
Toplamda iki denklemimiz var aynı ilerleme .
Onlardan bir sistem oluşturuyoruz:
Tehditkar görünümüne rağmen sistem oldukça basittir. En bariz çözüm basit ikamedir. ifade ediyoruz B 1 üstteki denklemden alıp alttaki denklemle değiştirin:
Alt denklemle biraz uğraştıktan sonra (üsleri azaltıp -24'e bölerek), şunu elde ederiz:
Q 3 = -8
Bu arada, aynı denkleme daha basit bir şekilde de ulaşılabilir! Hangisi? Şimdi size bu tür sistemleri çözmenin başka bir sırrını ama çok güzel, güçlü ve kullanışlı bir yolunu göstereceğim. Denklemleri aşağıdakileri içeren bu tür sistemler sadece çalışıyor. En azından birinde. İsminde bölme yöntemi bir denklem diğerine.
Yani önümüzde bir sistem var:
Soldaki her iki denklemde de - iş ve sağda sadece bir sayı var. Bu çok iyi bir işaret.) Hadi bunu alalım ve... diyelim ki alt denklemi üstteki denkleme bölelim! Ne demek, bir denklemi diğerine bölelim mi?Çok basit. Hadi alalım Sol Taraf bir denklem (alt) ve bölmek onun üzerinde Sol Taraf başka bir denklem (üstte). Sağ taraf da benzer: Sağ Taraf bir denklem bölmek Açık Sağ Taraf bir diğer.
Tüm bölme işlemi şuna benzer:
Şimdi azaltılabilecek her şeyi azaltarak şunu elde ederiz:
Q 3 = -8
Bu yöntemin iyi tarafı nedir? Evet, çünkü böyle bir bölünme sürecinde kötü ve uygunsuz olan her şey güvenli bir şekilde azaltılabilir ve geriye tamamen zararsız bir denklem kalır! Bu yüzden sahip olmak çok önemli yalnızca çarpma Sistemin denklemlerinden en az birinde. Çarpma yok, azaltılacak bir şey yok, evet...
Genel olarak, bu yöntem (sistem çözmenin diğer pek çok önemsiz olmayan yöntemi gibi) ayrı bir dersi bile hak ediyor. Kesinlikle daha detaylı inceleyeceğim. Bir gün…
Ancak sistemi tam olarak nasıl çözdüğünüz önemli değil, her halükarda şimdi ortaya çıkan denklemi çözmemiz gerekiyor:
Q 3 = -8
Sorun değil: küp kökünü çıkarın ve işiniz bitti!
Çıkarma işlemi sırasında buraya artı/eksi koymanıza gerek olmadığını lütfen unutmayın. Tek (üçüncü) dereceden bir kökümüz var. Cevap da aynı, evet.)
Böylece ilerlemenin paydası bulunmuştur. Eksi iki. Harika! Süreç devam ediyor.)
İlk terim için (örneğin üst denklemden) şunu elde ederiz:
Harika! Birinci terimi biliyoruz, paydayı biliyoruz. Ve şimdi ilerlemenin herhangi bir üyesini bulma fırsatımız var. İkincisi de dahil.)
İkinci dönem için her şey oldukça basit:
B 2 = B 1 · Q= 3·(-2) = -6
Cevap: -6
Böylece problemi çözmek için cebirsel yöntemi parçaladık. Zor? Pek değil, katılıyorum. Uzun ve sıkıcı mı? Evet kesinlikle. Ancak bazen iş miktarını önemli ölçüde azaltabilirsiniz. Bunun için var grafik yöntemi. Eski ve bize tanıdık geliyor.)
Hadi bir problem çizelim!
Evet! Kesinlikle. Yine ilerlememizi sayı ekseninde gösteriyoruz. Bir cetveli takip etmek gerekli değildir, terimler arasında eşit aralıkları korumak gerekli değildir (bu arada, ilerleme geometrik olduğu için aynı olmayacaktır!), sadece şematik olarak Sıramızı çizelim.
Bunu şu şekilde anladım:
Şimdi resme bakın ve anlayın. Kaç tane özdeş faktör "q" ayrılır dördüncü Ve yedinciüyeler? Doğru, üç!
Bu nedenle şunu yazmaya hakkımız var:
-24·Q 3 = 192
Buradan q'yu bulmak artık çok kolay:
Q 3 = -8
Q = -2
Bu harika, payda zaten cebimizde. Şimdi resme tekrar bakalım: bu tür paydaların arasında kaç tane var? ikinci Ve dördüncüüyeler? İki! Bu nedenle, bu terimler arasındaki bağlantıyı kaydetmek için paydayı yükselteceğiz karesi.
O halde şunu yazıyoruz:
B 2 · Q 2 = -24 , Neresi B 2 = -24/ Q 2
Bulduğumuz paydayı b 2 ifadesinin yerine koyarız, sayarız ve şunu elde ederiz:
Cevap: -6
Gördüğünüz gibi her şey sistemden çok daha basit ve hızlı. Üstelik burada ilk terimi saymamıza bile gerek yoktu! Kesinlikle.)
İşte çok basit ve net bir yol - ışık. Ama aynı zamanda ciddi bir dezavantajı da var. Tahmin ettin mi? Evet! Yalnızca çok kısa ilerleme parçaları için iyidir. Bizi ilgilendiren üyeler arasındaki mesafelerin çok büyük olmadığı yerler. Ama diğer tüm durumlarda bir resim çizmek zaten zor, evet... O zaman sorunu sistem aracılığıyla analitik olarak çözüyoruz.) Ve sistemler evrensel şeylerdir. Her türlü sayıyı yönetebilirler.
Başka bir destansı meydan okuma:
Geometrik ilerlemenin ikinci terimi birinciden 10, üçüncü terim ise ikinciden 30 fazladır. İlerlemenin paydasını bulun.
Ne, güzel mi? Hiç de bile! Hepsi aynı. Yine problem ifadesini saf cebire çeviriyoruz.
1) Her terimi aşağıdaki formüle göre açıklıyoruz Nüye!
İkinci terim: b 2 = b 1 q
Üçüncü terim: b 3 = b 1 q 2
2) Üyeler arasındaki bağlantıyı problem bildiriminden yazıyoruz.
Şartı okuyoruz: "Geometrik ilerlemenin ikinci terimi birincisinden 10 daha büyüktür." Dur, bu çok değerli!
O halde şunu yazıyoruz:
B 2 = B 1 +10
Ve bu cümleyi saf matematiğe çeviriyoruz:
B 3 = B 2 +30
İki denklemimiz var. Bunları bir sistemde birleştirelim:
Sistem basit görünüyor. Ancak harfler için çok fazla farklı indeks var. İkinci ve üçüncü terimlerin ifadelerini birinci terim ve payda yerine koyalım! Bunları boyamamız boşuna mıydı?
Şunu elde ederiz:
Ama böyle bir sistem artık hediye değil, evet... Bunu nasıl çözebiliriz? Ne yazık ki, karmaşık sorunları çözmek için evrensel bir gizli büyü yoktur. doğrusal olmayan Matematikte sistem yoktur ve olamaz. Fantastik! Ancak bu kadar sert bir cevizi kırmaya çalışırken aklınıza gelmesi gereken ilk şey, Ancak sistemin denklemlerinden biri, örneğin değişkenlerden birini diğerine göre kolayca ifade etmeye olanak tanıyan güzel bir forma indirgenmiş değil mi?
Hadi çözelim. Sistemin ilk denklemi açıkça ikincisinden daha basittir. Ona işkence edeceğiz.) İlk denklemden denememiz gerekmez mi? bir şey aracılığıyla ifade etmek bir şey? Paydayı bulmak istediğimiz için Q o zaman ifade etmemiz bizim için en avantajlı olacaktır. B 1 başından sonuna kadar Q.
Öyleyse bu işlemi ilk denklemle, eski güzel denklemleri kullanarak yapmaya çalışalım:
b 1 q = b 1 +10
b 1 q – b 1 = 10
b 1 (q-1) = 10
Tüm! Yani ifade ettik gereksiz bize (b 1) değişkenini verin gerekli(Q). Evet, elimizdeki en basit ifade bu değil. Bir çeşit kesir... Ama sistemimiz iyi bir seviyede, evet.)
Tipik. Ne yapacağımızı biliyoruz.
ODZ yazıyoruz (Mutlaka!) :
q ≠ 1
Her şeyi paydayla (q-1) çarpıyoruz ve tüm kesirleri iptal ediyoruz:
10 Q 2 = 10 Q + 30(Q-1)
Her şeyi ona bölüyoruz, parantezleri açıyoruz ve her şeyi soldan topluyoruz:
Q 2 – 4 Q + 3 = 0
Sonucu çözüyoruz ve iki kök alıyoruz:
Q 1 = 1
Q 2 = 3
Son bir cevap var: Q = 3 .
Cevap: 3
Gördüğünüz gibi geometrik ilerlemenin n'inci teriminin formülünü içeren çoğu problemi çözmenin yolu her zaman aynıdır: oku dikkatle problemin durumunu ve n'inci terimin formülünü kullanarak tüm yararlı bilgileri saf cebire çeviriyoruz.
Yani:
1) Problemde verilen her terimi formüle göre ayrı ayrı açıklıyoruzNüye.
2) Problemin koşullarından üyeler arasındaki bağlantıyı matematiksel forma çeviriyoruz. Bir denklem veya denklem sistemi oluşturuyoruz.
3) Ortaya çıkan denklemi veya denklem sistemini çözeriz, ilerlemenin bilinmeyen parametrelerini buluruz.
4) Belirsiz bir cevap olması durumunda, (varsa) ek bilgi bulmak için problem açıklamasını dikkatlice okuyun. Ayrıca alınan yanıtı DL'nin şartlarıyla (varsa) kontrol ederiz.
Şimdi geometrik ilerleme problemlerini çözme sürecinde en sık hataya yol açan ana problemleri listeleyelim.
1. Temel aritmetik. Kesirlerle ve negatif sayılarla işlemler.
2. Bu üç noktadan en az birinde sorun varsa bu konuda hata yapmanız kaçınılmazdır. Ne yazık ki... O yüzden tembel olmayın ve yukarıda anlatılanları tekrarlayın. Ve bağlantıları takip edin - gidin. Bazen yardımcı olur.)
Değiştirilmiş ve tekrarlanan formüller.
Şimdi bu durumun daha az tanıdık bir sunumuyla birkaç tipik sınav problemine bakalım. Evet evet tahmin ettiniz! Bu değiştirilmiş Ve tekrarlayan n'inci terim formülleri. Bu tür formüllerle zaten karşılaştık ve aritmetik ilerleme üzerinde çalıştık. Burada her şey benzer. İşin özü aynıdır.
Örneğin, OGE'den gelen bu sorun:
Geometrik ilerleme formülle verilir bn = 3 2 N . Birinci ve dördüncü terimlerinin toplamını bulun.
Bu sefer ilerleme bizim için pek de alışılagelmiş gibi değil. Bir çeşit formül şeklinde. Ne olmuş? Bu formül aynı zamanda bir formülNüye! Sen ve ben, n'inci terimin formülünün hem genel biçimde, harfler kullanılarak hem de yazılabileceğini biliyoruz. spesifik ilerleme. İLE özel birinci terim ve payda.
Bizim durumumuzda, aslında bize aşağıdaki parametrelerle geometrik ilerleme için genel bir terim formülü veriliyor:
B 1 = 6
Q = 2
Kontrol edelim mi?) n'inci terimin formülünü genel formda yazalım ve yerine koyalım. B 1 Ve Q. Şunu elde ederiz:
bn = B 1 · qn -1
bn= 6 2N -1
Çarpanlara ayırmayı ve kuvvetlerin özelliklerini kullanmayı basitleştiririz ve şunu elde ederiz:
bn= 6 2N -1 = 3·2·2N -1 = 3 2N -1+1 = 3 2N
Gördüğünüz gibi her şey adil. Ancak amacımız belirli bir formülün türetilmesini göstermek değil. Bu böyle, lirik bir ara söz. Tamamen anlama amaçlıdır.) Amacımız, durumda bize verilen formüle göre sorunu çözmektir. Anladınız mı?) Yani doğrudan değiştirilmiş formülle çalışıyoruz.
İlk dönemi sayıyoruz. Hadi değiştirelim N=1 genel formüle:
B 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6
Bunun gibi. Bu arada tembellik etmeyeceğim ve ilk dönemin hesaplanmasında yapılan tipik bir hataya bir kez daha dikkatinizi çekeceğim. YAPMAYIN, formüle bakarak bn= 3 2N, hemen ilk terimin üç olduğunu yazmak için acele edin! Bu çok büyük bir hata, evet...)
Devam edelim. Hadi değiştirelim N=4 ve dördüncü terimi sayın:
B 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48
Ve son olarak gerekli miktarı hesaplıyoruz:
B 1 + B 4 = 6+48 = 54
Cevap: 54
Başka bir problem.
Geometrik ilerleme koşullarla belirlenir:
B 1 = -7;
bn +1 = 3 bn
İlerlemenin dördüncü terimini bulun.
Burada ilerleme yinelenen bir formülle verilmektedir. İyi tamam.) Bu formülle nasıl çalışılır – biz de biliyoruz.
Biz de öyle davranıyoruz. Adım adım.
1) İkiyi sayın ardışık ilerlemenin üyesi.
İlk dönem zaten bize verildi. Eksi yedi. Ancak bir sonraki ikinci terim yineleme formülü kullanılarak kolayca hesaplanabilir. Tabii ki çalışma prensibini anlarsanız.)
Yani ikinci terimi sayıyoruz bilinen ilkine göre:
B 2 = 3 B 1 = 3·(-7) = -21
2) İlerlemenin paydasını hesaplayın
Sorun da değil. Düz, hadi bölelim ikinciçük üzerinde Birinci.
Şunu elde ederiz:
Q = -21/(-7) = 3
3) Formülü yazınNolağan formdaki üyeyi girin ve gerekli üyeyi hesaplayın.
Yani ilk terimi biliyoruz ve paydayı da biliyoruz. O halde şunu yazıyoruz:
bn= -7·3N -1
B 4 = -7·3 3 = -7·27 = -189
Cevap: -189
Gördüğünüz gibi geometrik bir ilerleme için bu tür formüllerle çalışmak aslında aritmetik bir ilerlemeden farklı değildir. Bu formüllerin yalnızca genel özünü ve anlamını anlamak önemlidir. Ayrıca geometrik ilerlemenin anlamını da anlamalısınız, evet.) Ve o zaman aptalca hatalar olmayacak.
Peki kendi başımıza karar verelim mi?)
Isınma için çok temel görevler:
1. Geometrik bir ilerleme verildiğinde B 1 = 243, a Q = -2/3. İlerlemenin altıncı terimini bulun.
2. Geometrik ilerlemenin genel terimi formülle verilir bn = 5∙2 N +1 . Bu ilerlemenin son üç basamaklı teriminin sayısını bulun.
3. Geometrik ilerleme şu koşullarla verilir:
B 1 = -3;
bn +1 = 6 bn
İlerlemenin beşinci terimini bulun.
Biraz daha karmaşık:
4. Geometrik bir ilerleme verildiğinde:
B 1 =2048; Q =-0,5
Altıncı negatif terim neye eşittir?
Süper zor görünen şey nedir? Hiç de bile. Mantık ve geometrik ilerlemenin anlamını kavramak sizi kurtaracaktır. Tabii ki n'inci dönemin formülü.
5. Geometrik ilerlemenin üçüncü terimi -14, sekizinci terim ise 112'dir. İlerlemenin paydasını bulun.
6. Geometrik ilerlemenin birinci ve ikinci terimlerinin toplamı 75, ikinci ve üçüncü terimlerin toplamı 150'dir. Dizinin altıncı terimini bulun.
Cevaplar (karışıklık içinde): 6; -3888; -1; 800; -32; 448.
Neredeyse hepsi bu. Tek yapmamız gereken saymayı öğrenmek geometrik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı evet keşfet sonsuz azalan geometrik ilerleme ve miktarı. Bu arada çok ilginç ve sıradışı bir şey! Sonraki derslerde bu konu hakkında daha fazla bilgi edinin.)
Şimdi sonsuz bir geometrik ilerlemenin toplanması sorununu ele alalım. Belirli bir sonsuz ilerlemenin kısmi toplamına, onun ilk terimlerinin toplamı diyelim. Kısmi toplamı sembolle gösterelim
Her sonsuz ilerleme için
kısmi toplamlarının (aynı zamanda sonsuz) bir dizisi oluşturulabilir
Artışı sınırsız olan bir dizinin bir limiti olsun
Bu durumda S sayısına, yani bir ilerlemenin kısmi toplamlarının limitine sonsuz ilerlemenin toplamı denir. Sonsuz azalan geometrik ilerlemenin her zaman bir toplamı olduğunu kanıtlayacağız ve bu toplam için bir formül türeteceğiz (sonsuz bir ilerlemenin toplamı yoksa var olmadığını da gösterebiliriz).
Kısmi toplamın ifadesini formül (91.1)'e göre ilerlemenin terimlerinin toplamı olarak yazalım ve kısmi toplamın limitini göz önüne alalım.
Teorem 89'dan azalan bir ilerleme için; bu nedenle fark limiti teoremini uygulayarak şunu buluruz:
(burada da kural kullanılır: sabit faktör limit işaretinin ötesine alınır). Varlığı kanıtlanır ve aynı zamanda sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamının formülü elde edilir:
Eşitlik (92.1) şeklinde de yazılabilir.
Burada sonsuz sayıda terimin toplamına çok kesin bir sonlu değer atanması paradoksal görünebilir.
Bu durumu açıklamak için net bir örnek verilebilir. Bir kenarı bire eşit olan bir kare düşünün (Şek. 72). Bu kareyi yatay bir çizgiyle iki eşit parçaya bölün ve üst parçayı alt parçaya, kenarları 2 ve olan bir dikdörtgen oluşturacak şekilde takın. Bundan sonra bu dikdörtgenin sağ yarısını yatay bir çizgiyle tekrar ikiye bölüp üst kısmı alt kısma bağlayacağız (Şekil 72'de gösterildiği gibi). Bu işlemi sürdürerek alanı 1 olan orijinal kareyi sürekli olarak eşit büyüklükteki şekillere dönüştürüyoruz (inceltme basamaklı merdiven şeklini alıyor).
Bu sürecin sonsuz devamı ile karenin tüm alanı sonsuz sayıda terime ayrıştırılır - tabanları 1'e eşit olan dikdörtgenlerin alanları ve yükseklikleri tam olarak sonsuz bir azalan ilerleme oluşturur, toplamı.
yani beklendiği gibi karenin alanına eşittir.
Örnek. Aşağıdaki sonsuz ilerlemelerin toplamlarını bulun:
Çözüm, a) Bu ilerlemenin olduğunu fark ediyoruz. Dolayısıyla (92.2) formülünü kullanarak şunu buluyoruz:
b) Burada aynı formül (92.2)'yi kullanarak şunu elde ettiğimiz anlamına gelir:
c) Dolayısıyla bu ilerlemenin toplamının olmadığını görüyoruz.
Paragraf 5'te, periyodik bir ondalık kesirin sıradan bir kesir haline dönüştürülmesine yönelik sonsuz azalan ilerlemenin terimlerinin toplamına ilişkin formülün uygulanması gösterilmiştir.
Egzersizler
1. Sonsuz azalan bir geometrik ilerlemenin toplamı 3/5, ilk dört teriminin toplamı 13/27'dir. İlerlemenin ilk terimini ve paydasını bulun.
2. İkinci terimin birinci terimden 35 sayı daha küçük ve üçüncü terimin dördüncü terimden 560 birim büyük olduğu, alternatif bir geometrik ilerleme oluşturan dört sayı bulun.
3. Sıranın şu şekilde olduğunu gösterin:
sonsuz derecede azalan bir geometrik ilerleme oluşturur, ardından dizi
herhangi biri için sonsuz derecede azalan bir geometrik ilerleme oluşturur. Bu ifade şu durumda geçerli olacak mı?
Geometrik ilerlemenin terimlerinin çarpımı için bir formül türetin.