İlk seviye
Geometrik ilerleme. Örneklerle kapsamlı rehber (2019)
Numara dizisi
O halde oturup bazı sayıları yazmaya başlayalım. Örneğin:
Herhangi bir sayı yazabilirsiniz ve istediğiniz kadar sayı olabilir (bizim durumumuzda vardır). Ne kadar sayı yazarsak yazalım her zaman hangisinin birinci, hangisinin ikinci olduğunu vb. sonuncuya kadar söyleyebiliriz, yani onları numaralandırabiliriz. Bu bir sayı dizisi örneğidir:
Numara dizisi her birine benzersiz bir numara atanabilen bir sayı kümesidir.
Örneğin dizimiz için:
Atanan numara, dizideki yalnızca bir numaraya özeldir. Yani dizide üç saniyelik sayı yok. İkinci sayı (inci sayı gibi) her zaman aynıdır.
Sayıyı taşıyan sayıya dizinin n'inci üyesi denir.
Genellikle dizinin tamamını bir harfle (örneğin,) çağırırız ve bu dizinin her üyesi, bu üyenin numarasına eşit bir indeksle aynı harftir: .
Bizim durumumuzda:
En yaygın ilerleme türleri aritmetik ve geometriktir. Bu başlıkta ikinci tip hakkında konuşacağız - geometrik ilerleme.
Geometrik ilerlemeye neden ihtiyaç duyulur ve tarihi?
Antik çağda bile, İtalyan matematikçi keşiş Pisalı Leonardo (daha çok Fibonacci olarak bilinir) ticaretin pratik ihtiyaçlarıyla ilgileniyordu. Keşiş, bir ürünü tartmak için kullanılabilecek en küçük ağırlık sayısını belirleme göreviyle karşı karşıyaydı. Fibonacci, çalışmalarında böyle bir ağırlık sisteminin optimal olduğunu kanıtlıyor: Bu, insanların muhtemelen zaten duymuş olduğunuz ve en azından genel bir anlayışa sahip olduğunuz geometrik ilerlemeyle uğraşmak zorunda kaldıkları ilk durumlardan biridir. Konuyu tam olarak anladıktan sonra böyle bir sistemin neden optimal olduğunu düşünün.
Şu anda, yaşam pratiğinde geometrik ilerleme, bir bankaya para yatırırken, önceki dönemde hesapta biriken tutara faiz tahakkuk ettirildiğinde kendini göstermektedir. Başka bir deyişle, bir tasarruf bankasındaki vadeli mevduata para yatırırsanız, bir yıl sonra mevduat orijinal miktarı kadar artacaktır, yani. yeni miktar katkı payının çarpımına eşit olacaktır. Bir sonraki yıl bu miktar artacak, yani. o sırada elde edilen miktar tekrar çarpılacaktır vb. Benzer bir durum sözde hesaplama problemlerinde de anlatılmaktadır. bileşik faiz- Yüzde, önceki faiz dikkate alınarak her seferinde hesaptaki tutardan alınır. Bu görevlerden biraz sonra bahsedeceğiz.
Geometrik ilerlemenin uygulandığı daha birçok basit durum vardır. Örneğin, gribin yayılması: bir kişi başka bir kişiye bulaştırdı, o da başka bir kişiye bulaştırdı ve dolayısıyla ikinci enfeksiyon dalgası bir kişiye dönüştü ve o da bir başkasına bulaştırdı... ve böyle devam etti. .
Bu arada, aynı MMM olan finansal piramit, geometrik ilerlemenin özelliklerine dayanan basit ve kuru bir hesaplamadır. İlginç? Hadi çözelim.
Geometrik ilerleme.
Diyelim ki bir sayı dizimiz var:
Hemen bunun kolay olduğunu ve böyle bir dizinin adının terimlerinin farkıyla aritmetik bir dizi olduğunu söyleyeceksiniz. Buna ne dersin:
Bir öncekini bir sonraki sayıdan çıkarırsanız, her seferinde yeni bir fark elde ettiğinizde (vb.) göreceksiniz, ancak dizi kesinlikle mevcuttur ve fark edilmesi kolaydır - sonraki her sayı bir öncekinden kat daha büyüktür!
Bu tür sayı dizisine denir geometrik ilerleme ve belirlenir.
Geometrik ilerleme (), ilk terimi sıfırdan farklı olan ve ikinciden başlayarak her terim bir öncekine eşit olan ve aynı sayıyla çarpılan sayısal bir dizidir. Bu sayıya geometrik ilerlemenin paydası denir.
İlk terimin ( ) eşit olmadığı ve rastgele olmadığı kısıtlamaları. Diyelim ki orada değiller ve ilk terim hala eşit ve q eşittir, hmm.. öyle olsun, o zaman ortaya çıkıyor:
Bunun artık bir ilerleme olmadığını kabul edin.
Anladığınız gibi sıfır a'dan başka bir sayı varsa aynı sonuçları elde edeceğiz. Bu durumlarda, sayı serisinin tamamı ya tamamen sıfır ya da bir sayı olacağı ve geri kalanların tümü sıfır olacağı için hiçbir ilerleme olmayacaktır.
Şimdi geometrik ilerlemenin paydası yani o hakkında daha detaylı konuşalım.
Tekrarlayalım: - bu sayı birbirini takip eden her terim kaç kez değişir? geometrik ilerleme.
Sizce ne olabilir? Bu doğru, olumlu ve olumsuz, ancak sıfır değil (bunun hakkında biraz daha yukarıda konuştuk).
Bizimkinin olumlu olduğunu varsayalım. Bizim durumumuzda a. İkinci terimin değeri nedir ve? Buna kolayca cevap verebilirsiniz:
Bu doğru. Buna göre, ilerlemenin sonraki tüm terimleri aynı işarete sahipse - bunlar olumlu.
Ya olumsuzsa? Örneğin, a. İkinci terimin değeri nedir ve?
Bu tamamen farklı bir hikaye
Bu ilerlemenin şartlarını saymaya çalışın. Ne kadar aldın? Sahibim. Dolayısıyla, geometrik ilerlemenin terimlerinin işaretleri değişiyorsa. Yani, üyeleri için değişen işaretlerin olduğu bir ilerleme görürseniz, paydası negatiftir. Bu bilgi, bu konudaki sorunları çözerken kendinizi test etmenize yardımcı olabilir.
Şimdi biraz pratik yapalım: Hangi sayı dizilerinin geometrik ilerleme, hangilerinin aritmetik ilerleme olduğunu belirlemeye çalışın:
Anladım? Cevaplarımızı karşılaştıralım:
- Geometrik ilerleme - 3, 6.
- Aritmetik ilerleme - 2, 4.
- Bu ne aritmetik ne de geometrik bir ilerlemedir - 1, 5, 7.
Son ilerlememize dönelim ve tıpkı aritmetikte olduğu gibi üyesini bulmaya çalışalım. Tahmin edebileceğiniz gibi onu bulmanın iki yolu var.
Her terimi art arda ile çarpıyoruz.
Yani, açıklanan geometrik ilerlemenin inci terimi eşittir.
Zaten tahmin ettiğiniz gibi, artık geometrik ilerlemenin herhangi bir üyesini bulmanıza yardımcı olacak bir formülü kendiniz türeteceksiniz. Yoksa zaten kendiniz için geliştirdiniz mi, adım adım üyeyi nasıl bulacağınızı anlatıyorsunuz? Eğer öyleyse, gerekçenizin doğruluğunu kontrol edin.
Bunu bu ilerlemenin inci terimini bulma örneğiyle açıklayalım:
Başka bir deyişle:
Verilen geometrik ilerlemenin teriminin değerini kendiniz bulun.
Olmuş? Cevaplarımızı karşılaştıralım:
Geometrik ilerlemenin önceki her terimiyle sıralı olarak çarptığımızda, önceki yöntemdekiyle tamamen aynı sayıyı elde ettiğinizi lütfen unutmayın.
Bu formülü "kişiselleştirmeye" çalışalım - genel forma koyalım ve şunu elde edelim:
Türetilen formül hem pozitif hem de negatif tüm değerler için geçerlidir. Aşağıdaki koşullarla geometrik ilerlemenin terimlerini hesaplayarak bunu kendiniz kontrol edin: , a.
Saydın mı? Sonuçları karşılaştıralım:
Bir terimle aynı şekilde bir ilerleme terimi bulmanın mümkün olacağını kabul edin, ancak yanlış hesaplama olasılığı vardır. Ve eğer geometrik ilerlemenin inci terimini zaten bulduysak, formülün "kesilmiş" kısmını kullanmaktan daha basit ne olabilir?
Sonsuz azalan geometrik ilerleme.
Daha yakın zamanlarda sıfırdan büyük ya da küçük olabileceğinden bahsettik, ancak geometrik ilerlemenin çağrıldığı özel değerler var. sonsuz azalan.
Sizce bu isim neden verildi?
Öncelikle terimlerden oluşan bazı geometrik dizileri yazalım.
O halde şöyle diyelim:
Sonraki her terimin bir öncekinden bir kat daha az olduğunu görüyoruz, ancak herhangi bir sayı olacak mı? Hemen cevap vereceksiniz - "hayır". Bu yüzden sonsuza kadar azalıyor; azalıyor, azalıyor ama asla sıfır olmuyor.
Bunun görsel olarak nasıl göründüğünü net bir şekilde anlamak için ilerlememizin bir grafiğini çizmeye çalışalım. Dolayısıyla bizim durumumuz için formül aşağıdaki formu alır:
Grafiklerde bağımlılığı çizmeye alışkınız, bu nedenle:
İfadenin özü değişmedi: ilk girdide geometrik ilerlemenin bir üyesinin değerinin sıra numarasına bağımlılığını gösterdik ve ikinci girdide basitçe geometrik ilerlemenin bir üyesinin değerini şu şekilde aldık: ve sıra sayısını olarak değil, olarak belirledi. Geriye kalan tek şey bir grafik oluşturmaktır.
Bakalım ne almışsın. İşte bulduğum grafik:
Görüyor musun? Fonksiyon azalır, sıfıra yaklaşır ama asla onu geçmez, yani sonsuz azalandır. Grafik üzerinde noktalarımızı ve aynı zamanda koordinat ve ne anlama geldiğini işaretleyelim:
İlk terimi de eşitse, geometrik ilerlemenin grafiğini şematik olarak göstermeye çalışın. Analiz edin, önceki grafiğimizle arasındaki fark nedir?
Becerebildin mi? İşte bulduğum grafik:
Artık geometrik ilerleme konusunun temellerini tam olarak anladığınıza göre: ne olduğunu biliyorsunuz, terimini nasıl bulacağınızı biliyorsunuz ve aynı zamanda sonsuz azalan geometrik ilerlemenin ne olduğunu da biliyorsunuz, haydi ana özelliğine geçelim.
Geometrik ilerlemenin özelliği.
Aritmetik ilerlemenin terimlerinin özelliğini hatırlıyor musunuz? Evet evet, bu ilerlemenin terimlerinin önceki ve sonraki değerleri varken belirli bir ilerleme sayısının değeri nasıl bulunur? Hatırlıyor musun? Bu:
Şimdi geometrik ilerlemenin terimleri için de tamamen aynı soruyla karşı karşıyayız. Böyle bir formül elde etmek için çizmeye ve akıl yürütmeye başlayalım. Göreceksiniz, çok kolay, eğer unutursanız kendiniz de çıkarabilirsiniz.
İçinde bildiğimiz başka bir basit geometrik ilerlemeyi ele alalım ve. Nasıl bulunur? Aritmetik ilerlemeyle bu kolay ve basittir, peki ya burada? Aslında geometrik olarak da karmaşık bir şey yok - bize verilen her değeri formüle göre yazmanız yeterli.
Şimdi bu konuda ne yapmamız gerektiğini sorabilirsiniz. Evet, çok basit. Öncelikle bu formülleri bir resim üzerinde gösterelim ve onlarla çeşitli manipülasyonlar yaparak bir değere ulaşmaya çalışalım.
Bize verilen rakamlardan soyutlayalım, sadece formül üzerinden ifadelerine odaklanalım. Turuncu renkle vurgulanan değeri, yanındaki terimleri bilerek bulmamız gerekiyor. Sonuç olarak alabileceğimiz çeşitli eylemler gerçekleştirmeye çalışalım.
Ek.
İki ifade eklemeye çalışalım ve şunu elde edelim:
Gördüğünüz gibi bu ifadeyi hiçbir şekilde ifade edemiyoruz, bu nedenle başka bir seçenek olan çıkarma işlemini deneyeceğiz.
Çıkarma.
Gördüğünüz gibi bunu da ifade edemiyoruz o yüzden bu ifadeleri birbiriyle çarpmaya çalışalım.
Çarpma işlemi.
Şimdi bize verilen geometrik ilerlemenin terimlerini bulunması gerekenle karşılaştırarak elimizde ne olduğuna dikkatlice bakın:
Bilin bakalım neden bahsediyorum? Doğru şekilde bulmak için, istenen sayıya bitişik geometrik ilerleme sayılarının karekökünü birbiriyle çarpmamız gerekir:
Hadi bakalım. Geometrik ilerleme özelliğini kendiniz elde ettiniz. Bu formülü genel biçimde yazmaya çalışın. Olmuş?
Koşulu unuttunuz mu? Bunun neden önemli olduğunu düşünün, örneğin bunu kendiniz hesaplamaya çalışın. Bu durumda ne olacak? Bu doğru, tamamen saçmalık çünkü formül şöyle görünüyor:
Bu nedenle bu sınırlamayı unutmayın.
Şimdi neye eşit olduğunu hesaplayalım
Doğru cevap - ! Hesaplama sırasında ikinci olası değeri unutmadıysanız, o zaman harikasınız ve hemen eğitime geçebilirsiniz ve unutursanız, aşağıda tartışılanları okuyun ve neden her iki kökün de yazılması gerektiğine dikkat edin. cevap.
Her iki geometrik ilerlememizi de (biri değerle, diğeri değerle) çizelim ve her ikisinin de var olma hakkına sahip olup olmadığını kontrol edelim:
Böyle bir geometrik ilerlemenin var olup olmadığını kontrol etmek için verilen tüm terimlerin aynı olup olmadığına bakmak gerekir. Birinci ve ikinci durumlar için q'yu hesaplayın.
Neden iki cevap yazmamız gerektiğini anladınız mı? Çünkü aradığınız terimin işareti olumlu ya da olumsuz olmasına bağlıdır! Ve ne olduğunu bilmediğimiz için her iki cevabı da artı ve eksi ile yazmamız gerekiyor.
Artık ana noktalarda uzmanlaştığınıza ve geometrik ilerleme özelliğinin formülünü türettiğinize göre, bulma, bilme ve
Cevaplarınızı doğru olanlarla karşılaştırın:
Ne düşünüyorsunuz, ya bize istenen sayıya bitişik geometrik ilerleme terimlerinin değerleri değil de ondan eşit uzaklıkta verilmiş olsaydı. Örneğin, bulmamız ve vermemiz gerekiyor ve. Bu durumda elde ettiğimiz formülü kullanabilir miyiz? Formülü orijinal olarak türettiğinizde yaptığınız gibi, her bir değerin nelerden oluştuğunu açıklayarak bu olasılığı aynı şekilde doğrulamaya veya çürütmeye çalışın.
Ne aldın?
Şimdi tekrar dikkatlice bakın.
ve buna bağlı olarak:
Buradan formülün işe yaradığı sonucuna varabiliriz. sadece komşularla değil geometrik ilerlemenin istenen terimleriyle, aynı zamanda eşit uzaklıktaüyelerin aradıklarından.
Böylece ilk formülümüz şu şekli alır:
Yani, ilk durumda öyle dediysek, şimdi bundan daha küçük olan herhangi bir doğal sayıya eşit olabileceğini söylüyoruz. Önemli olan, verilen her iki sayı için de aynı olmasıdır.
Belirli örneklerle pratik yapın, ancak son derece dikkatli olun!
- , . Bulmak.
- , . Bulmak.
- , . Bulmak.
Karar verilmiş? Umarım son derece dikkatli davranmışsınızdır ve küçük bir yakalamayı fark etmişsinizdir.
Sonuçları karşılaştıralım.
İlk iki durumda yukarıdaki formülü sakince uygularız ve aşağıdaki değerleri elde ederiz:
Üçüncü durumda ise bize verilen numaraların seri numaralarını dikkatlice incelediğimizde aradığımız numaraya eşit uzaklıkta olmadıklarını anlıyoruz: bir önceki numaradır ancak bir konumda kaldırılmıştır, yani formülü uygulamak mümkün değil.
Nasıl çözeceksin? Aslında göründüğü kadar zor değil! Bize verilen her sayının ve aradığımız sayının nelerden oluştuğunu yazalım.
Yani elimizde ve var. Bakalım onlarla neler yapabiliriz? Bölmeyi öneriyorum. Şunu elde ederiz:
Verilerimizi formülde yerine koyarız:
Bulabileceğimiz bir sonraki adım - bunun için ortaya çıkan sayının küp kökünü almamız gerekiyor.
Şimdi elimizdekilere tekrar bakalım. Elimizde var ama bulmamız gerekiyor ve bu da şuna eşit:
Hesaplama için gerekli tüm verileri bulduk. Formülde yerine koyun:
Cevabımız: .
Başka bir benzer sorunu kendiniz çözmeyi deneyin:
Verilen: ,
Bulmak:
Ne kadar aldın? Sahibim - .
Gördüğünüz gibi aslında ihtiyacınız var sadece bir formülü hatırla- . Geri kalanını istediğiniz zaman hiçbir zorlukla karşılaşmadan kendiniz çekebilirsiniz. Bunu yapmak için, bir parça kağıda en basit geometrik ilerlemeyi yazmanız ve yukarıda açıklanan formüle göre her bir sayısının neye eşit olduğunu yazmanız yeterlidir.
Geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamı.
Şimdi belirli bir aralıktaki geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamını hızlı bir şekilde hesaplamamızı sağlayan formüllere bakalım:
Sonlu bir geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamına ilişkin formülü elde etmek için yukarıdaki denklemin tüm kısımlarını çarparız. Şunu elde ederiz:
Dikkatlice bakın: Son iki formülün ortak noktası nedir? Bu doğru, örneğin ortak üyeler vb., ilk ve son üye hariç. 2. denklemden 1.yi çıkarmaya çalışalım. Ne aldın?
Şimdi geometrik ilerlemenin terimini formül aracılığıyla ifade edin ve elde edilen ifadeyi son formülümüzde yerine koyun:
İfadeyi gruplandırın. Almalısınız:
Geriye sadece şunu ifade etmek kalıyor:
Buna göre bu durumda.
Farzedelim? O zaman hangi formül işe yarıyor? Geometrik bir ilerleme hayal edin. Neye benziyor? Bir dizi aynı sayı doğrudur, dolayısıyla formül şöyle görünecektir:
Hem aritmetik hem de geometrik ilerlemeyle ilgili birçok efsane vardır. Bunlardan biri de satrancın yaratıcısı Set efsanesidir.
Birçok kişi satranç oyununun Hindistan'da icat edildiğini biliyor. Hindu kralı onunla tanıştığında onun zekasından ve sahip olabileceği pozisyonların çeşitliliğinden çok memnun kaldı. Bunun tebaasından biri tarafından icat edildiğini öğrenen kral, onu bizzat ödüllendirmeye karar verdi. Mucidi yanına çağırdı ve ona istediği her şeyi istemesini emretti, en yetenekli arzuyu bile yerine getireceğine söz verdi.
Seta düşünmek için zaman istedi ve ertesi gün Seta kralın huzuruna çıktığında, bu isteğinin benzeri görülmemiş alçakgönüllülüğüyle kralı şaşırttı. Satranç tahtasının ilk karesine bir buğday tanesi, ikinci karesine bir buğday tanesi, üçüncü karesine bir buğday tanesi, dördüncü karesine bir buğday tanesi vb. verilmesini istedi.
Kral sinirlendi ve hizmetkarın isteğinin kralın cömertliğine yakışmadığını söyleyerek Seth'i uzaklaştırdı, ancak hizmetkarın tahtanın tüm kareleri için tahıllarını alacağına söz verdi.
Ve şimdi soru şu: Geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamı formülünü kullanarak Seth'in kaç tane tane alması gerektiğini hesaplayın?
Mantık yürütmeye başlayalım. Şarta göre Seth satranç tahtasının ilk karesi için, ikinci karesi için, üçüncüsü için, dördüncüsü için vb. bir buğday tanesi istediğine göre problemin geometrik ilerlemeyle ilgili olduğunu görüyoruz. Bu durumda neye eşittir?
Sağ.
Satranç tahtasının toplam kareleri. Sırasıyla, . Tüm verilere sahibiz, geriye kalan tek şey bunları formüle takıp hesaplamak.
Belirli bir sayının en azından yaklaşık "ölçeği"ni hayal etmek için derecenin özelliklerini kullanarak dönüşüm yaparız:
Tabii ki, isterseniz bir hesap makinesi alıp hangi sayıya ulaşacağınızı hesaplayabilirsiniz, yoksa benim sözüme güvenmek zorunda kalacaksınız: ifadenin son değeri şu olacaktır.
Yani:
kentilyon katrilyon trilyon milyar milyon bin.
Phew) Bu sayının büyüklüğünü hayal etmek istiyorsanız, tahıl miktarının tamamını barındırmak için ne kadar büyük bir ahırın gerekli olacağını tahmin edin.
Ahır m yüksekliğinde ve m genişliğinde ise uzunluğunun km kadar uzaması gerekir. Dünya'dan Güneş'e olan uzaklığın iki katı.
Kral matematikte güçlü olsaydı, bilim adamını bizzat tahılları saymaya davet edebilirdi, çünkü bir milyon tane saymak için en az bir gün yorulmak bilmeden sayması gerekirdi ve kentilyonları saymanın gerekli olduğu göz önüne alındığında, tahılların hayatı boyunca sayılması gerekecekti.
Şimdi geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamını içeren basit bir problemi çözelim.
5A sınıfı öğrencisi Vasya gribe yakalandı ancak okula gitmeye devam ediyor. Vasya her gün iki kişiye bulaştırıyor, o da iki kişiye daha bulaştırıyor ve bu böyle devam ediyor. Sınıfta sadece insanlar var. Kaç gün sonra tüm sınıf gripten hasta olacak?
Yani geometrik ilerlemenin ilk terimi Vasya'dır, yani kişidir. Geometrik ilerlemenin üçüncü terimi, geldiği ilk gün enfekte ettiği iki kişidir. İlerleme dönemlerinin toplamı 5A öğrenci sayısına eşittir. Buna göre şöyle bir ilerlemeden bahsediyoruz:
Verilerimizi geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamı formülünde yerine koyalım:
Birkaç gün içinde tüm sınıf hastalanacak. Formüllere ve sayılara inanmıyor musunuz? Öğrencilerin “enfeksiyonunu” kendiniz tasvir etmeye çalışın. Olmuş? Bakın benim için nasıl görünüyor:
Her biri bir kişiye bulaşırsa ve sınıfta yalnızca bir kişi varsa, öğrencilerin gripten kaç gün sonra hastalanacağını kendiniz hesaplayın.
Hangi değeri aldın? Bir gün sonra herkesin hastalanmaya başladığı ortaya çıktı.
Gördüğünüz gibi, böyle bir görev ve onun için yapılan çizim, her birinin yeni insanları “getirdiği” bir piramite benziyor. Ancak er ya da geç öyle bir an gelir ki ikincisi kimseyi çekemez. Bizim durumumuzda sınıfın izole olduğunu hayal edersek, gelen kişi zinciri () kapatır. Bu nedenle, bir kişi, diğer iki katılımcıyı getirirseniz paranın verildiği bir mali piramide dahil olsaydı, o zaman kişi (veya genel olarak) kimseyi getirmeyecek, dolayısıyla bu mali dolandırıcılığa yatırdığı her şeyi kaybedecekti.
Yukarıda söylenen her şey azalan veya artan bir geometrik ilerlemeye atıfta bulunur, ancak hatırladığınız gibi, özel bir türümüz var - sonsuz azalan bir geometrik ilerleme. Üyelerinin toplamı nasıl hesaplanır? Peki neden bu tür bir ilerlemenin belirli özellikleri var? Hadi birlikte çözelim.
Öncelikle örneğimizden sonsuz azalan geometrik ilerlemenin çizimine tekrar bakalım:
Şimdi biraz daha önce türetilen geometrik ilerlemenin toplamı formülüne bakalım:
veya
Ne için çabalıyoruz? Doğru, grafik sıfıra doğru yöneldiğini gösteriyor. Yani, at, neredeyse elde edeceğimiz ifadeyi hesaplarken sırasıyla neredeyse eşit olacaktır. Bu bakımdan sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamını hesaplarken bu parantez eşit olacağından ihmal edilebileceğine inanıyoruz.
- formül sonsuz azalan geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamıdır.
ÖNEMLİ! Sonsuz derecede azalan bir geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamı için formülü yalnızca koşulun toplamı bulmamız gerektiğini açıkça belirtmesi durumunda kullanırız. sonsuzÜye sayısı.
Belirli bir n sayısı belirtilirse, o zaman veya olsa bile n terimin toplamı için formülü kullanırız.
Şimdi pratik yapalım.
- Ve ile geometrik ilerlemenin ilk terimlerinin toplamını bulun.
- ve ile sonsuz azalan geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamını bulun.
Umarım çok dikkatli davranmışsınızdır. Cevaplarımızı karşılaştıralım:
Artık geometrik ilerleme hakkında her şeyi biliyorsunuz ve teoriden pratiğe geçme zamanı geldi. Sınavda karşılaşılan en yaygın geometrik ilerleme problemleri bileşik faiz hesaplama problemleridir. Bunlar konuşacaklarımız.
Bileşik faiz hesaplamasında karşılaşılan sorunlar.
Muhtemelen bileşik faiz formülünü duymuşsunuzdur. Ne anlama geldiğini anlıyor musun? Değilse, hadi çözelim, çünkü sürecin kendisini anladığınızda, geometrik ilerlemenin bununla ne ilgisi olduğunu hemen anlayacaksınız.
Hepimiz bankaya gideriz ve mevduatlar için farklı koşulların olduğunu biliriz: Buna vade, ek hizmetler ve iki farklı hesaplama yöntemiyle faiz dahildir: basit ve karmaşık.
İLE basit ilgi her şey az çok açıktır: faiz, mevduat vadesinin sonunda bir kez tahakkuk ettirilir. Yani yılda 100 ruble yatırdığımızı söylersek, bunlar ancak yıl sonunda kredilendirilecektir. Buna göre depozito sonunda ruble alacağız.
Bileşik faiz- bu, meydana geldiği bir seçenektir faiz kapitalizasyonu yani bunların depozito tutarına eklenmesi ve daha sonra gelirin başlangıçtan değil, birikmiş depozito tutarından hesaplanması. Büyük harf kullanımı sürekli olarak gerçekleşmez, ancak belirli bir sıklıkta gerçekleşir. Kural olarak, bu tür süreler eşittir ve çoğu zaman bankalar bir ay, üç aylık dönem veya yılı kullanır.
Her yıl aynı rubleyi yatırdığımızı, ancak depozitonun aylık kapitalizasyonunu yaptığımızı varsayalım. Biz ne yapıyoruz?
Buradaki her şeyi anlıyor musun? Değilse, adım adım çözelim.
Bankaya ruble getirdik. Ay sonuna kadar hesabımızda ruble artı faizinden oluşan bir miktar olmalı, yani:
Kabul etmek?
Bunu parantezlerin dışına çıkarabiliriz ve şunu elde ederiz:
Katılıyorum, bu formül zaten başlangıçta yazdıklarımıza daha çok benziyor. Geriye kalan tek şey yüzdeleri hesaplamak
Sorun bildiriminde bize yıllık oranlar anlatılıyor. Bildiğiniz gibi çarpma yapmıyoruz - yüzdeleri ondalık kesirlere dönüştürüyoruz, yani:
Sağ? Şimdi sorabilirsiniz, bu sayı nereden geldi? Çok basit!
Tekrar ediyorum: sorun bildirimi şunu söylüyor YILLIK tahakkuk eden faiz AYLIK. Bildiğiniz gibi, buna göre bir yıl içinde banka bizden aylık yıllık faizin bir kısmını tahsil edecek:
Anladın mı? Şimdi faizin günlük olarak hesaplandığını söylersem formülün bu kısmının nasıl görüneceğini yazmaya çalışın.
Becerebildin mi? Sonuçları karşılaştıralım:
Tebrikler! Görevimize dönelim: Birikmiş mevduat tutarına faiz tahakkuk ettiğini dikkate alarak ikinci ayda hesabımıza ne kadar yatırılacağını yazın.
İşte elde ettiklerim:
Veya başka bir deyişle:
Sanırım zaten bir model fark ettiniz ve tüm bunlarda geometrik bir ilerleme gördünüz. Üyesinin neye eşit olacağını, yani ay sonunda ne kadar para alacağımızı yazın.
Yaptı? Hadi kontrol edelim!
Gördüğünüz gibi, bir yıl boyunca bir bankaya basit faiz oranıyla para koyarsanız ruble, bileşik faiz oranıyla ise ruble alırsınız. Faydası küçüktür, ancak bu yalnızca üçüncü yılda gerçekleşir, ancak daha uzun bir süre için kapitalizasyon çok daha karlıdır:
Bileşik faizi içeren başka bir problem türüne bakalım. Anladığınız şeyden sonra, bu sizin için temel olacaktır. Yani görev:
Zvezda şirketi 2000 yılında dolar cinsinden sermayeyle sektöre yatırım yapmaya başladı. 2001 yılından bu yana her yıl bir önceki yılın sermayesine eşit kâr elde etmektedir. Kârlar dolaşımdan çekilmeseydi Zvezda şirketi 2003 yılı sonunda ne kadar kâr elde edecek?
2000 yılında Zvezda şirketinin başkenti.
- 2001 yılında Zvezda şirketinin sermayesi.
- 2002 yılında Zvezda şirketinin sermayesi.
- 2003 yılında Zvezda şirketinin sermayesi.
Veya kısaca şunu yazabiliriz:
Bizim durumumuz için:
2000, 2001, 2002 ve 2003.
Sırasıyla:
ruble
Yüzde YILLIK olarak verildiğinden ve YILLIK olarak hesaplandığından, bu problemde ne ile ne de ile bölme işlemimizin olmadığını lütfen unutmayın. Yani bileşik faizle ilgili bir problemi okurken, yüzde kaç verildiğine ve hangi dönemde hesaplandığına dikkat edin ve ancak ondan sonra hesaplamalara geçin.
Artık geometrik ilerleme hakkında her şeyi biliyorsunuz.
Eğitim.
- Eğer biliniyorsa geometrik ilerlemenin terimini bulun ve
- Eğer biliniyorsa, geometrik ilerlemenin ilk terimlerinin toplamını bulun ve
- MDM Capital şirketi 2003 yılında dolar cinsinden sermayeyle sektöre yatırım yapmaya başladı. 2004 yılından bu yana her yıl bir önceki yılın sermayesine eşit kâr elde etmektedir. MSK Cash Flows şirketi 2005 yılında sektöre 10.000$ tutarında yatırım yapmaya başlamış, 2006 yılında ise 200.000$ kar elde etmeye başlamıştır. Karlar dolaşımdan çekilmemişse, 2007 yılı sonunda bir şirketin sermayesi diğerinden kaç dolar daha fazladır?
Yanıtlar:
- Problem ifadesi ilerlemenin sonsuz olduğunu söylemediğinden ve belirli sayıda terimin toplamının bulunması gerektiğinden hesaplama aşağıdaki formüle göre yapılır:
MDM Sermaye Şirketi:2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
- %100 yani 2 kat artar.
Sırasıyla:
ruble
MSK Nakit Akışları şirketi:2005, 2006, 2007.
- kat kat artar.
Sırasıyla:
ruble
ruble
Özetleyelim.
1) Geometrik ilerleme ( ), ilk terimi sıfırdan farklı olan ve ikinciden başlayarak her terim bir öncekinin aynı sayıyla çarpımına eşit olan bir sayısal dizidir. Bu sayıya geometrik ilerlemenin paydası denir.
2) Geometrik ilerlemenin terimlerinin denklemi .
3) ve dışında herhangi bir değer alabilir.
- eğer, o zaman ilerlemenin sonraki tüm terimleri aynı işarete sahipse - onlar olumlu;
- eğer öyleyse, ilerlemenin sonraki tüm koşulları alternatif işaretler;
- ne zaman - ilerlemeye sonsuz azalma denir.
4) , at - geometrik ilerlemenin özelliği (bitişik terimler)
veya
, (eşit mesafeli terimler)
Bulduğunda bunu unutma iki cevap olmalı.
Örneğin,
5) Geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamı aşağıdaki formülle hesaplanır:
veya
İlerleme sonsuza kadar azalıyorsa, o zaman:
veya
ÖNEMLİ! Sonsuz derecede azalan bir geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamına ilişkin formülü yalnızca koşulun sonsuz sayıda terimin toplamını bulmamız gerektiğini açıkça belirtmesi durumunda kullanırız.
6) Bileşik faiz sorunları, fonların dolaşımdan çekilmemesi koşuluyla geometrik ilerlemenin 3. dönemi formülü kullanılarak da hesaplanır:
GEOMETRİK İLERLEME. ANA ŞEYLER HAKKINDA KISACA
Geometrik ilerleme( ), ilk terimi sıfırdan farklı olan ve ikinciden başlayarak her terim bir öncekinin aynı sayıyla çarpımına eşit olan bir sayısal dizidir. Bu numara denir geometrik ilerlemenin paydası.
Geometrik ilerlemenin paydası ve dışında herhangi bir değer alabilir.
- Eğer ilerlemenin sonraki tüm terimleri aynı işarete sahipse - bunlar pozitiftir;
- eğer öyleyse, ilerlemenin sonraki tüm üyeleri alternatif işaretler;
- ne zaman - ilerlemeye sonsuz azalma denir.
Geometrik ilerleme terimlerinin denklemi - .
Geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamı formülle hesaplanır:
veya
Geometrik ilerleme, ilk terimi sıfır olmayan ve sonraki her terim bir önceki terimin aynı sıfır olmayan sayıyla çarpımına eşit olan sayısal bir dizidir.
Geometrik ilerleme kavramı
Geometrik ilerleme b1,b2,b3, …, bn, … ile gösterilir.
Geometrik hatanın herhangi bir teriminin bir önceki terimine oranı aynı sayıya eşittir, yani b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = … . Bu doğrudan aritmetik ilerlemenin tanımından kaynaklanır. Bu sayıya geometrik ilerlemenin paydası denir. Genellikle geometrik ilerlemenin paydası q harfiyle gösterilir.
|q| için sonsuz geometrik ilerlemenin toplamı<1
Bir geometrik ilerlemeyi belirlemenin yollarından biri, onun ilk terimini b1 ve geometrik hata q'nun paydasını belirtmektir. Örneğin b1=4, q=-2. Bu iki koşul 4, -8, 16, -32,… geometrik ilerlemesini tanımlar.
Eğer q>0 ise (q, 1'e eşit değildir), bu durumda ilerleme monoton bir dizidir. Örneğin 2, 4,8,16,32, ... dizisi monoton olarak artan bir dizidir (b1=2, q=2).
Geometrik hatanın paydası q=1 ise geometrik ilerlemenin tüm terimleri birbirine eşit olacaktır. Bu gibi durumlarda ilerlemenin sabit bir sıra olduğu söylenir.
Bir sayı dizisinin (bn) geometrik dizi olabilmesi için ikinciden başlayarak her bir üyesinin komşu üyelerin geometrik ortalaması olması gerekir. Yani aşağıdaki denklemin yerine getirilmesi gerekir
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), herhangi bir n>0 için; burada n, N doğal sayılar kümesine aittir.
Şimdi (Xn)'yi geometrik bir ilerleme olarak koyalım. Geometrik ilerlemenin paydası q ve |q|∞).
Şimdi sonsuz bir geometrik ilerlemenin toplamını S ile belirtirsek, o zaman aşağıdaki formül geçerli olacaktır:
S=x1/(1-q).
Basit bir örneğe bakalım:
2, -2/3, 2/9, - 2/27, … sonsuz geometrik ilerlemenin toplamını bulun.
S'yi bulmak için sonsuz aritmetik ilerlemenin toplamı formülünü kullanırız. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.
Matematik neinsanlar doğayı ve kendilerini kontrol ederler.
Sovyet matematikçisi, akademisyen A.N. Kolmogorov
Geometrik ilerleme.
Matematiğe giriş sınavlarında aritmetik ilerlemelerle ilgili problemlerin yanı sıra geometrik ilerleme kavramıyla ilgili problemler de yaygındır. Bu tür problemleri başarılı bir şekilde çözmek için geometrik ilerlemelerin özelliklerini bilmeniz ve bunları kullanma konusunda iyi becerilere sahip olmanız gerekir.
Bu makale geometrik ilerlemenin temel özelliklerinin sunumuna ayrılmıştır. Tipik problemlerin çözümüne ilişkin örnekler de burada verilmektedir., matematik giriş sınavlarının görevlerinden ödünç alınmıştır.
Öncelikle geometrik ilerlemenin temel özelliklerini not edelim ve en önemli formülleri ve ifadeleri hatırlayalım., bu kavramla ilişkilidir.
Tanım.İkinciden başlayarak her sayı bir önceki sayıya eşitse ve aynı sayıyla çarpılıyorsa sayı dizisine geometrik ilerleme denir. Sayıya geometrik ilerlemenin paydası denir.
Geometrik ilerleme içinformüller geçerlidir
, (1)
Nerede . Formül (1), geometrik ilerlemenin genel teriminin formülü olarak adlandırılır ve formül (2), geometrik ilerlemenin ana özelliğini temsil eder: ilerlemenin her terimi, komşu terimlerinin geometrik ortalaması ile çakışır ve .
Not, tam da bu özelliğinden dolayı söz konusu ilerlemeye “geometrik” denmektedir.
Yukarıdaki formüller (1) ve (2) aşağıdaki şekilde genelleştirilmiştir:
, (3)
Tutarı hesaplamak için Birinci geometrik ilerleme terimleriformül uygulanır
Eğer belirtirsek, o zaman
Nerede . Çünkü formül (6), formül (5)'in bir genellemesidir.
Bu durumda ne zaman ve geometrik ilerlemesonsuz bir şekilde azalıyor. Tutarı hesaplamak içinSonsuz azalan geometrik ilerlemenin tüm terimleri için formül kullanılır
. (7)
Örneğin , formül (7)'yi kullanarak gösterebiliriz, Ne
Nerede . Bu eşitlikler, (birinci eşitlik) ve (ikinci eşitlik) koşulu altında formül (7)'den elde edilir.
Teorem. Eğer öyleyse
Kanıt. Eğer öyleyse
Teorem kanıtlandı.
“Geometrik ilerleme” konusundaki problem çözme örneklerini ele almaya devam edelim.
Örnek 1. Verilenler: , ve . Bulmak .
Çözüm. Formül (5)'i uygularsak, o zaman
Cevap: .
Örnek 2. Bırak olsun. Bulmak .
Çözüm. ve olduğundan, (5), (6) formüllerini kullanırız ve bir denklem sistemi elde ederiz
(9) sisteminin ikinci denklemi birinciye bölünürse, sonra veya . Bundan şu sonuç çıkıyor . İki durumu ele alalım.
1. Eğer, daha sonra (9) sisteminin ilk denkleminden elimizdeki.
2. Eğer öyleyse .
Örnek 3., ve . Bulmak .
Çözüm. Formül (2)'den şunu takip eder: veya . O zamandan beri veya .
Koşullara göre. Bununla birlikte. O zamandan beri ve o zaman burada bir denklem sistemimiz var
Sistemin ikinci denklemi birinciye bölünürse, o zaman veya .
Çünkü denklemin tek ve uygun bir kökü vardır. Bu durumda sistemin ilk denkleminden çıkar.
Formül (7)'yi dikkate alarak elde ederiz.
Cevap: .
Örnek 4. Verilen: ve . Bulmak .
Çözüm. O zamandan beri.
O zamandan beri veya
Formül (2)'ye göre elimizde . Bu bağlamda eşitlikten (10) veya elde ederiz.
Ancak koşul gereği.
Örnek 5.Öyle olduğu biliniyor. Bulmak .
Çözüm. Teoreme göre iki eşitliğimiz var
O zamandan beri veya . Çünkü o zaman.
Cevap: .
Örnek 6. Verilen: ve . Bulmak .
Çözüm. Formül (5)'i dikkate alarak şunu elde ederiz:
O zamandan beri. O zamandan beri ve o zamandan beri.
Örnek 7. Bırak olsun. Bulmak .
Çözüm. Formül (1)'e göre yazabiliriz
Bu nedenle, elimizde veya var. Bu bilinmektedir ve bu nedenle ve .
Cevap: .
Örnek 8. Aşağıdaki durumlarda sonsuz azalan geometrik ilerlemenin paydasını bulun:
Ve .
Çözüm. Formül (7)'den şu şekildedir: Ve . Buradan ve problemin koşullarından bir denklem sistemi elde ederiz
Sistemin ilk denkleminin karesi alınırsa, ve sonra elde edilen denklemi ikinci denkleme bölün, sonra elde ederiz
Veya .
Cevap: .
Örnek 9., dizisinin geometrik bir ilerleme olduğu tüm değerleri bulun.
Çözüm., ve . Geometrik ilerlemenin ana özelliğini tanımlayan formül (2)'ye göre veya yazabiliriz.
Buradan ikinci dereceden denklemi elde ederiz, kimin kökleri Ve .
Kontrol edelim: eğer, sonra , ve;
eğer , o zaman ve .İlk durumda elimizde
ve , ve ikincisinde – ve .
Cevap: , .Örnek 10.
, (11)
Denklemi çözün
Nerede ve .
Formül (7)'den şu şekildedir:, Ne Çözüm. Denklemin (11) sol tarafı, sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamıdır; burada ve , aşağıdakilere tabidir: ve .. Bu bağlamda denklem (11) şu şekli alır: veya . Uygun kök
Cevap: .
ikinci dereceden denklemÖrnek 11. Ppozitif sayılar dizisi aritmetik bir ilerleme oluşturur , A- geometrik ilerleme
Çözüm., ne alakası var . Bulmak . Çünkü aritmetik dizi , O(aritmetik ilerlemenin ana özelliği). Çünkü , sonra veya . Bu şu anlama gelir:geometrik ilerlemenin şu şekle sahip olduğu. Formül (2)'ye göre
, sonra bunu yazıyoruz. O zamandan beri ve o zaman. Bu durumda ifade veya şeklini alır. Koşullara göre,yani Denklem'den. ele alınan soruna benzersiz bir çözüm elde ederiz
Cevap: .
yani .Örnek 12.
. (12)
Çözüm. Toplamı Hesapla
Eşitliğin her iki tarafını da (12) 5 ile çarpalım ve elde edelim: aritmetik dizi
Ortaya çıkan ifadeden (12)'yi çıkarırsak
veya .
Cevap: .
Hesaplamak için değerleri formül (7)'ye koyarız ve elde ederiz. O zamandan beri., Burada verilen problem çözme örnekleri, giriş sınavlarına hazırlanırken adaylara faydalı olacaktır. Problem çözme yöntemlerinin daha derinlemesine incelenmesi için, geometrik ilerlemeyle ilgili
Önerilen literatür listesindeki öğreticileri kullanabilirsiniz.
1. Üniversitelere başvuranlar için matematik problemlerinin toplanması / Ed. Mİ. Scanavi. – M.: Mir ve Eğitim, 2013. – 608 s. 2. V.P.'yi iptal edin. Lise öğrencileri için matematik: okul müfredatının ek bölümleri. – M.: Lenand / URSS
, 2014. – 216 s. 3. Medynsky M.M. Problemler ve alıştırmalar içeren eksiksiz bir temel matematik dersi. Kitap 2: Sayı Dizileri ve İlerlemeler. – M.: Editus
, 2015. – 208 s.
Hala sorularınız mı var?
Bir öğretmenden yardım almak için kaydolun.
web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.
Konuyla ilgili ders ve sunum: "Sayı dizileri. Geometrik ilerleme"
Sevgili kullanıcılar, yorumlarınızı, yorumlarınızı, dileklerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm materyaller antivirüs programı ile kontrol edilmiştir.
9. sınıf için Integral çevrimiçi mağazasında eğitim yardımcıları ve simülatörler
Kuvvetler ve kökler Fonksiyonlar ve grafikler
Arkadaşlar, bugün başka bir ilerleme türüyle tanışacağız.
Bugünkü dersin konusu geometrik ilerlemedir.
Geometrik ilerleme
Tanım. İkinciden başlayarak her terimin bir öncekinin çarpımına eşit olduğu ve sabit bir sayının olduğu sayısal diziye geometrik ilerleme denir.Dizimizi yinelemeli olarak tanımlayalım: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
burada b ve q verilen belirli sayılardır. q sayısına ilerlemenin paydası denir.
Örnek. 1,2,4,8,16... Birinci terimin bire eşit olduğu ve $q=2$ olan geometrik dizi.
Örnek. 8,8,8,8... İlk terimin sekize eşit olduğu geometrik dizi,
ve $q=1$.
Örnek. 3,-3,3,-3,3... İlk terimin üçe eşit olduğu geometrik dizi,
ve $q=-1$.
Geometrik ilerleme monotonluk özelliklerine sahiptir.
$b_(1)>0$, $q>1$ ise,
sonra sıra artıyor.
$b_(1)>0$ ise, $0 Dizi genellikle şu biçimde gösterilir: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.
Tıpkı aritmetik ilerlemede olduğu gibi, geometrik ilerlemede de eleman sayısı sonluysa bu ilerlemeye sonlu geometrik ilerleme denir.
$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Bir dizi geometrik bir ilerleme ise, terimlerin kareleri dizisinin de geometrik bir ilerleme olduğunu unutmayın. İkinci dizide, ilk terim $b_(1)^2$'a eşittir ve payda $q^2$'a eşittir.
Geometrik ilerlemenin n'inci terimi için formül
Geometrik ilerleme analitik biçimde de belirtilebilir. Bunu nasıl yapacağımızı görelim:$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Şu modeli kolayca fark ediyoruz: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Formülümüze "geometrik ilerlemenin n'inci teriminin formülü" denir.
Örneklerimize dönelim.
Örnek. 1,2,4,8,16... İlk terimin bire eşit olduğu geometrik dizi,
ve $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.
Örnek. 16,8,4,2,1,1/2… İlk terimin on altıya eşit olduğu geometrik dizi ve $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.
Örnek. 8,8,8,8... İlk terimin sekize eşit olduğu ve $q=1$ olan geometrik dizi.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.
Örnek. 3,-3,3,-3,3... Birinci terimin üçe eşit olduğu ve $q=-1$ olan geometrik dizi.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.
Örnek. $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $ geometrik ilerlemesi verildiğinde.
a) $b_(1)=6, q=3$ olduğu bilinmektedir. $b_(5)$'ı bulun.
b) $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$ olduğu bilinmektedir. N'yi bulun.
c) $q=-2, b_(6)=96$ olduğu bilinmektedir. $b_(1)$'ı bulun.
d) $b_(1)=-2, b_(12)=4096$ olduğu bilinmektedir. Q'yu bulun.
Çözüm.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$, çünkü $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.
Örnek. Geometrik ilerlemenin yedinci ve beşinci terimleri arasındaki fark 192, ilerlemenin beşinci ve altıncı terimlerinin toplamı 192'dir. Bu ilerlemenin onuncu terimini bulun.
Çözüm.
Şunu biliyoruz: $b_(7)-b_(5)=192$ ve $b_(5)+b_(6)=192$.
Şunu da biliyoruz: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Daha sonra:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Bir denklem sistemi aldık:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$.
Denklemlerimizi eşitlersek şunu elde ederiz:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
İki çözümümüz var: q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
İkinci denklemde sırayla yerine koyarız:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ çözüm yok.
Şunu anladık: $b_(1)=4, q=2$.
Onuncu terimi bulalım: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.
Sonlu bir geometrik ilerlemenin toplamı
Sonlu bir geometrik ilerlemeye sahip olalım. Tıpkı bir aritmetik ilerlemede olduğu gibi, terimlerinin toplamını hesaplayalım.Sonlu bir geometrik ilerleme verilsin: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Terimlerinin toplamının gösterimini tanıtalım: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
$q=1$ olması durumunda. Geometrik ilerlemenin tüm terimleri ilk terime eşitse, o zaman $S_(n)=n*b_(1)$ olduğu açıktır.
Şimdi $q≠1$ durumunu ele alalım.
Yukarıdaki miktarı q ile çarpalım.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Not:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.
$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.
$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.
$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.
$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.
Sonlu bir geometrik ilerlemenin toplamının formülünü elde ettik.
Örnek.
İlk terimi 4 ve paydası 3 olan bir geometrik dizinin ilk yedi teriminin toplamını bulun.
Çözüm.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.
Örnek.
Geometrik ilerlemenin bilinen beşinci terimini bulun: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.
Çözüm.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.
$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
341$q=1364$.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.
Geometrik ilerlemenin karakteristik özelliği
Arkadaşlar geometrik bir ilerleme veriliyor. Ardışık üç üyesine bakalım: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.Biz biliyoruz ki:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Daha sonra:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
İlerleme sonlu ise bu eşitlik ilk ve sonuncu hariç tüm terimler için geçerlidir.
Dizinin hangi forma sahip olduğu önceden bilinmiyorsa ancak şu şekilde bilinmektedir: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
O halde bunun geometrik bir ilerleme olduğunu rahatlıkla söyleyebiliriz.
Bir sayı dizisi, yalnızca her bir üyenin karesi, ilerlemenin iki bitişik üyesinin çarpımına eşit olduğunda geometrik bir ilerlemedir. Sonlu bir ilerleme için bu koşulun ilk ve son dönemler için sağlanmadığını unutmayın.
Şu kimliğe bakalım: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ a ve b sayılarının geometrik ortalaması olarak adlandırılır.
Geometrik ilerlemenin herhangi bir teriminin modülü, iki komşu teriminin geometrik ortalamasına eşittir.
Örnek.
$x+2; olacak şekilde x'i bulun. 2x+2; 3x+3$ geometrik ilerlemenin ardışık üç terimiydi.
Çözüm.
Karakteristik özelliğini kullanalım:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ ve $x_(2)=-1$.
Çözümlerimizi sırayla orijinal ifadede yerine koyalım:
$x=2$ ile şu diziyi elde ettik: 4;6;9 – $q=1.5$ olan geometrik bir ilerleme.
$x=-1$ için şu diziyi elde ederiz: 1;0;0.
Cevap: $x=2.$
Bağımsız olarak çözülmesi gereken sorunlar
1. 16;-8;4;-2… geometrik dizisinin sekizinci birinci terimini bulun.2. 11,22,44… geometrik ilerlemesinin onuncu terimini bulun.
3. $b_(1)=5, q=3$ olduğu biliniyor. $b_(7)$'ı bulun.
4. $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$ olduğu biliniyor. N'yi bulun.
5. 3;12;48… geometrik dizisinin ilk 11 teriminin toplamını bulun.
6. $3x+4 olacak şekilde x'i bulun; 2x+4; x+5$ geometrik ilerlemenin ardışık üç terimidir.
Fizik ve matematikteki bazı problemler sayı serilerinin özellikleri kullanılarak çözülebilir. Okullarda öğretilen en basit iki sayı dizisi cebirsel ve geometriktir. Bu yazımızda sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamının nasıl bulunacağı sorusuna daha yakından bakacağız.
İlerleme geometrik
Bu kelimeler, elemanları a i şu ifadeyi karşılayan bir dizi gerçek sayı anlamına gelir:
Burada i serideki eleman sayısı, r ise payda adı verilen sabit bir sayıdır.
Bu tanım, ilerlemenin herhangi bir üyesini ve paydasını bilerek tüm sayı dizisini geri yükleyebileceğinizi gösterir. Örneğin, 10. element biliniyorsa, bunu r'ye bölerek 9. elementi, tekrar bölerek 8. elementi elde edeceğiz ve bu böyle devam edecek. Bu basit argümanlar, söz konusu sayı dizisi için geçerli olan bir ifadeyi yazmamıza olanak tanır:
Paydası 2 olan bir ilerleme örneği aşağıdaki seri olabilir:
1, 2, 4, 8, 16, 32, ...
Payda -2'ye eşitse tamamen farklı bir seri elde edilir:
1, -2, 4, -8, 16, -32, ...
Geometrik ilerleme cebirsel ilerlemeden çok daha hızlıdır, yani terimleri hızla artar ve hızla azalır.
i ilerleme koşullarının toplamı
Pratik problemleri çözmek için, genellikle söz konusu sayısal dizinin çeşitli elemanlarının toplamını hesaplamak gerekir. Bu durum için aşağıdaki formül geçerlidir:
S ben = a 1 *(r ben -1)/(r-1)
İ terimlerinin toplamını hesaplamak için yalnızca iki sayıyı bilmeniz gerektiği görülebilir: a 1 ve r; bu mantıklıdır, çünkü bunlar tüm diziyi benzersiz bir şekilde belirler.
Azalan dizi ve terimlerinin toplamı
Şimdi özel bir duruma bakalım. Payda r modülünün biri geçmediğini, yani -1 olduğunu varsayacağız. Azalan bir geometrik ilerlemeyi dikkate almak ilginçtir çünkü terimlerinin sonsuz toplamı sonlu bir gerçek sayıya eğilimlidir. Toplamın formülünü alalım. Önceki paragrafta S i için verilen ifadeyi yazarsanız bunu yapmak kolaydır. Sahibiz: S ben = a 1 *(r ben -1)/(r-1) i->∞ durumunu ele alalım. Paydanın modülü 1'den küçük olduğundan onu sonsuz bir kuvvete yükseltmek sıfır verecektir. Bu, r=0,5 örneği kullanılarak kontrol edilebilir: 0,5 2 = 0,25; 0,5 3 = 0,125; ...., 0,5 20 = 0,0000009. Sonuç olarak, sonsuz azalan geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamı şu şekli alacaktır: Bu formül genellikle pratikte, örneğin şekillerin alanlarını hesaplamak için kullanılır. Aynı zamanda Elea'lı Zenon'un kaplumbağa ve Aşil ile olan paradoksunu çözmek için de kullanılır. Sonsuz geometrik artan ilerlemenin toplamı dikkate alındığında (r>1) S ∞ = +∞ sonucunun elde edileceği açıktır. Yukarıdaki formüllerin nasıl uygulanacağını bir problem çözme örneği kullanarak gösterelim. Sonsuz bir geometrik ilerlemenin toplamının 11 olduğu bilinmektedir. Üstelik 7. terimi üçüncü teriminden 6 kat daha azdır. Bu sayı serisinin ilk elemanı nedir? Öncelikle 7. ve 3. elementleri belirlemek için iki ifade yazalım. Şunu elde ederiz: İlk ifadeyi ikinciye bölüp paydayı ifade edersek: a 7 /a 3 = r 4 => r = 4 √(a 7 /a 3) Yedinci ve üçüncü terimlerin oranı problem ifadesinde verildiğinden, bunu yerine koyup r'yi bulabilirsiniz: r = 4 √(a 7 /a 3) = 4 √(1/6) ≈ 0,63894 R'yi beş ondalık basamağa kadar hesapladık. Ortaya çıkan değer birden küçük olduğundan ilerleme azalıyor ve bu da formülün sonsuz toplamı için kullanılmasını haklı çıkarıyor. İlk terimin ifadesini S ∞ toplamı üzerinden yazalım: Bilinen değerleri bu formüle koyarız ve cevabı alırız: a 1 = 11*(1-0,63894) = 3,97166. Elealı Zeno, M.Ö. 5. yüzyılda yaşamış ünlü bir Yunan filozofudur. e. Matematikteki sonsuz büyük ve sonsuz küçük probleminin formüle edildiği günümüze kadar bu konunun bazı doruk noktaları veya paradoksları ulaşmıştır. Zeno'nun ünlü paradokslarından biri Akhilleus ile kaplumbağa arasındaki rekabettir. Zeno, Aşil'in kaplumbağaya uzaktan avantaj sağlaması halinde ona asla yetişemeyeceğine inanıyordu. Örneğin Aşil'in, örneğin 100 metre önünde sürünen bir hayvandan 10 kat daha hızlı koştuğunu varsayalım. Savaşçı 100 metre koştuğunda kaplumbağa 10 metre sürünerek uzaklaşır. Tekrar 10 metre koşan Aşil, kaplumbağanın 1 metre daha süründüğünü görür. Bu şekilde sonsuza kadar tartışabilirsiniz, rakipler arasındaki mesafe gerçekten azalacak ama kaplumbağa her zaman önde olacak. Zeno'yu hareketin var olmadığı ve nesnelerin çevredeki tüm hareketlerinin bir yanılsama olduğu sonucuna götürdü. Elbette antik Yunan filozofu yanılıyordu. Paradoksun çözümü, sürekli azalan parçaların sonsuz toplamının sonlu bir sayıya yönelmesi gerçeğinde yatmaktadır. Yukarıdaki durumda Aşil'in koştuğu mesafe için şunu elde ederiz: 100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ... Sonsuz geometrik ilerlemenin toplamına ilişkin formülü uygulayarak şunu elde ederiz: S ∞ = 100 /(1-0,1) ≈ 111,111 metre Bu sonuç, Aşil'in kaplumbağaya yalnızca 11.111 metre süründüğünde yetişeceğini göstermektedir. Eski Yunanlılar matematikte sonsuz niceliklerle nasıl çalışılacağını bilmiyorlardı. Ancak Aşil'in aşması gereken sonsuz sayıdaki boşluklara değil, koşucunun hedefine ulaşmak için ihtiyaç duyduğu adımların sonlu sayısına dikkat edersek bu paradoks çözülebilir.
Bir ilerlemenin ilk terimini bulma görevi
Zeno'nun hızlı Aşil ve yavaş kaplumbağa ile ilgili ünlü paradoksu
