Fonksiyonların türevlerini almayı öğrenin. Türev, bir fonksiyonun grafiğinde yer alan belirli bir noktadaki değişim oranını karakterize eder. İÇİNDE bu durumda Grafik düz veya eğri bir çizgi olabilir. Yani türev, bir fonksiyonun zaman içinde belirli bir noktadaki değişim oranını karakterize eder. Hatırlamak genel kurallar, hangi türevlerin alındığı ve ancak bundan sonra bir sonraki adıma geçin.
- Makaleyi okuyun.
- En basit türevler nasıl alınır, örneğin türev üstel denklem, anlatıldı. Burada sunulan hesaplamalar sonraki adımlar burada açıklanan yöntemlere dayalı olacaktır.
Hangi görevlerin arasında ayrım yapmayı öğrenin eğim fonksiyonun türevi yoluyla hesaplanması gerekir. Problemler sizden her zaman bir fonksiyonun eğimini veya türevini bulmanızı istemez. Örneğin sizden bir fonksiyonun A(x,y) noktasındaki değişim oranını bulmanız istenebilir. Ayrıca A(x,y) noktasındaki teğetin eğimini bulmanız da istenebilir. Her iki durumda da fonksiyonun türevini almak gerekir.
Size verilen fonksiyonun türevini alın. Burada bir grafik oluşturmaya gerek yok; yalnızca fonksiyonun denklemine ihtiyacınız var. Örneğimizde fonksiyonun türevini alın. Türevi yukarıda belirtilen makalede belirtilen yöntemlere göre alın:
- Türev:
Eğimi hesaplamak için, size verilen noktanın koordinatlarını bulunan türevin yerine koyun. Bir fonksiyonun türevi belirli bir noktadaki eğime eşittir. Başka bir deyişle f"(x), fonksiyonun herhangi bir (x,f(x)) noktasındaki eğimidir. Örneğimizde:
- Fonksiyonun eğimini bulun f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x) A(4,2) noktasında.
- Bir fonksiyonun türevi:
- f ′ (x) = 4 x + 6 (\displaystyle f"(x)=4x+6)
- Bu noktanın “x” koordinatının değerini değiştirin:
- f ′ (x) = 4 (4) + 6 (\displaystyle f"(x)=4(4)+6)
- Eğimi bulun:
- Eğim fonksiyonu f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x) A(4,2) noktasında 22'ye eşittir.
Mümkünse cevabınızı bir grafik üzerinde kontrol edin. Eğimin her noktada hesaplanamayacağını unutmayın. Diferansiyel hesap düşünüyor karmaşık işlevler ve eğimin her noktada hesaplanamadığı ve bazı durumlarda noktaların grafiklerde hiç yer almadığı karmaşık grafikler. Mümkünse, size verilen fonksiyonun eğiminin doğru olup olmadığını kontrol etmek için bir grafik hesap makinesi kullanın. İÇİNDE aksi takdirde Size verilen noktaya grafiğe bir teğet çizin ve bulduğunuz eğim değerinin grafikte gördüğünüzle eşleşip eşleşmediğini düşünün.
- Teğet, belirli bir noktada fonksiyonun grafiğiyle aynı eğime sahip olacaktır. Belirli bir noktaya teğet çizmek için, X ekseninde sola/sağa hareket edin (örneğimizde sağa doğru 22 değer) ve ardından Y ekseninde bir yukarıya doğru gelin. Noktayı işaretleyin ve ardından onu X eksenine bağlayın. sana verilen puan. Örneğimizde noktaları (4,2) ve (26,3) koordinatlarıyla birleştirin.
İhtiyacın olacak
- - matematiksel referans kitabı;
- - not defteri;
- - basit bir kalem;
- - dolma kalem;
- - iletki;
- - pusula.
Talimatlar
Türevlenebilir f(x) fonksiyonunun x0 noktasındaki grafiğinin teğet parçadan farklı olmadığını lütfen unutmayın. Dolayısıyla l doğru parçasına, (x0; f(x0)) ve (x0+Δx; f(x0 + Δx)) noktalarından geçen parçaya oldukça yakındır. A noktasından geçen (x0; f(x0)) katsayılı bir doğruyu belirtmek için eğimini belirtin. Ayrıca, Δy/Δx sekant tanjantına (Δх→0) eşittir ve aynı zamanda f'(x0) sayısına da yönelir.
Eğer f'(x0) için herhangi bir değer yoksa, o zaman teğet yoktur veya dikey olarak uzanır. Buna göre fonksiyonun x0 noktasındaki türevi, fonksiyonun grafiğine (x0, f(x0)) noktasında temas eden dikey olmayan bir teğetin varlığıyla açıklanmaktadır. Bu durumda teğetin açısal katsayısı f"(x0)'a eşit olur. Geometrik türev yani teğetin açısal katsayısı netleşir.
Yani teğetin eğimini bulmak için fonksiyonun teğet noktasındaki türevinin değerini bulmanız gerekir. Örnek: y = x³ fonksiyonuna abscissa X0 = 1 noktasındaki teğetin açısal katsayısını bulun. Çözüm: Bu fonksiyonun y΄(x) = 3x² türevini bulun; X0 = 1 noktasındaki türevin değerini bulunuz. у΄(1) = 3 × 1² = 3. X0 = 3 noktasındaki tanjantın açı katsayısı.
Şekilde fonksiyonun grafiğine x1, x2 ve x3 noktalarında değecek şekilde ek teğetler çizin. Bu teğetlerin oluşturduğu açıları apsis ekseni ile işaretleyin (açı pozitif yönde - eksenden teğet çizgisine kadar sayılır). Örneğin, çizilen teğet çizgisi şu şekilde olduğundan, α1 açısı dar, (α2) açısı geniş ve üçüncü (α3) sıfıra eşit olacaktır. paralel eksen AH. Bu durumda teğet geniş açı Orada negatif değer ve teğet dar açı– pozitif, tg0'da ve sonuç sıfıra eşit.
Belirli bir daireye teğet, yalnızca bir tane olan düz bir çizgidir ortak nokta bu çevreyle. Bir daireye teğet her zaman teğet noktasına çizilen yarıçapa diktir. Çembere ait olmayan bir noktadan iki teğet çizilirse bu noktadan teğet noktalarına olan uzaklıklar her zaman aynı olacaktır. Teğetler daireler inşa ediliyor farklı şekillerde birbirlerine göre konumlarına bağlı olarak.
Talimatlar
Bir daireye teğet oluşturma.
1. R yarıçaplı bir daire çizin ve teğetin içinden geçeceği A'yı alın.
2. Merkezi OA doğru parçasının ortasında ve yarıçapı bu doğru parçasına eşit olan bir daire çizilir.
3. A noktasından belirli bir daireye çizilen iki teğet noktanın kesişimi.
İkiye dış teğet daireler.
2. Merkezi O noktasında olan R – r yarıçaplı bir daire çizin.
3. Ortaya çıkan daireye O1'den bir teğet çizilir, teğet noktası M olarak gösterilir.
4. M noktasından T noktasına geçen R yarıçapı – çemberin teğet noktası.
5. Küçük dairenin O1 merkezi boyunca, büyük dairenin R'sine paralel bir r yarıçapı çizilir. Yarıçap r, küçük dairenin teğet noktası olan T1 noktasına işaret eder.
daireler.
İkiye iç teğet daireler.
1. Yarıçapı R ve r olan iki daire çiziliyor.
2. Merkezi O noktasında olan R + r yarıçaplı bir daire çizin.
3. Ortaya çıkan daireye O1 noktasından bir teğet çizilir, teğet noktası M harfiyle gösterilir.
4. OM ışını ilk çemberi büyük çemberin teğet noktasında T noktasında kesiyor.
5. Küçük dairenin O1 merkezi boyunca, OM ışınına paralel bir r yarıçapı çizilir. Yarıçap r, küçük dairenin teğet noktası olan T1 noktasına işaret eder.
6. Düz çizgi TT1 – verilene teğet daireler.
Kaynaklar:
- iç teğet
Açısal dolap – ideal seçenek apartmandaki boş köşeler için. Ayrıca köşe konfigürasyonu dolap ov iç mekana klasik bir atmosfer katıyor. Bitirme köşeleri olarak dolap Bu amaca uygun her türlü malzeme kullanılabilir.
İhtiyacın olacak
- Sunta, MDF, vidalar, çiviler, testere bıçağı, friz.
Talimatlar
Kontrplak veya suntadan 125 mm genişliğinde ve 1065 mm uzunluğunda bir şablon kesin. Kenarlar 45 derecelik bir açıyla dosyalanmalıdır. İle hazır şablon yan duvarların boyutlarını ve yerleştirileceği yeri belirleyin dolap.
Kapağı yan duvarlara ve üçgen raflara bağlayın. Kapak, yan duvarların üst kenarlarına vidalar kullanılarak sabitlenmelidir. Yapısal dayanıklılık için ek yapıştırıcı kullanılır. Rafları çıtalara takın.
Testere bıçağına 45 derecelik açı verin ve yan duvarların ön kenarını kılavuz çubuk boyunca eğin. Sabit rafları MDF şeritlerine takın. Yan duvarları vidalarla bağlayın. Hiçbir boşluk olmadığından emin olun.
Duvarda köşe çerçevesinin yerleştirildiği işaretler yapın dolap A. Vidaları kullanarak takın dolap duvara. Dübelin uzunluğu 75 mm olmalıdır.
Ön çerçeveyi sağlam bir MDF panelinden kesin. Daire testere kullanarak içindeki açıklıkları bir cetvelle kesin. Köşeleri bitirin.
“a” harfiyle gösterilen teğet noktasının apsis değerini bulunuz. Belirli bir teğet noktasıyla çakışırsa, o zaman "a" onun x koordinatı olacaktır. Değeri belirleyin işlevler f(a) denklemde yerine koyarak işlevler absis değeri.
Denklemin ilk türevini belirleyin işlevler f’(x) ve “a” noktasının değerini onun yerine koyun.
Almak genel denklem y = f(a) = f(a)(x – a) şeklinde tanımlanan tanjantı alıp bunun içine a, f(a), f"(a)'nın bulunan değerlerini koyarız. Sonuç olarak, Grafiğin ve tanjantın çözümü bulunacaktır.
Verilen teğet noktası teğet noktasıyla çakışmıyorsa sorunu farklı bir şekilde çözün. Bu durumda teğet denkleminde sayıların yerine “a” harfinin konulması gerekir. Bundan sonra “x” ve “y” harfleri yerine koordinat değerini değiştirin verilen nokta. “a”nın bilinmeyen olduğu sonuç denklemini çözün. Ortaya çıkan değeri teğet denklemine yerleştirin.
Problem cümlesi denklemi belirtiyorsa “a” harfini içeren bir teğet denklemi yazın işlevler ve denklem paralel çizgiİstenilen teğete göre. Bundan sonra türevine ihtiyacımız var işlevler, “a” noktasındaki koordinata. Uygun değeri teğet denkleminde yerine koyun ve fonksiyonu çözün.
Bir fonksiyonun grafiğine teğet denklemi oluşturulurken “teğet noktasının apsisi” kavramı kullanılır. Bu değer Başlangıçta görev koşullarında belirtilebilir veya bağımsız olarak belirlenmelidir.
Talimatlar
X ve y koordinat eksenlerini bir kağıda çizin. Keşfetmek verilen denklem Bir fonksiyonun grafiği için. Eğer öyleyse, herhangi bir x için y parametresi için iki değere sahip olmak yeterlidir, ardından bulunan noktaları koordinat eksenine çizin ve bunları bir çizgiyle bağlayın. Grafik doğrusal değilse, y'nin x'e bağımlılığını gösteren bir tablo yapın ve grafiği oluşturmak için en az beş nokta seçin.
Verilen teğet noktasının fonksiyonun grafiğiyle çakışmaması durumunda teğet noktasının apsisinin değerini belirleyin. Üçüncü parametreyi “a” harfiyle ayarlıyoruz.
f(a) fonksiyonunun denklemini yazın. Bunu yapmak için orijinal denklemde x yerine a yazın. f(x) ve f(a) fonksiyonunun türevini bulun. Gerekli verileri şu şekilde olan genel teğet denkleminde değiştirin: y = f(a) + f "(a)(x – a). Sonuç olarak, üç bilinmeyen parametreden oluşan bir denklem elde edin.
Burada x ve y yerine teğetin geçtiği noktanın koordinatlarını yazın. Bundan sonra, tüm a'lar için elde edilen denklemin çözümünü bulun. Kare ise teğet noktasının apsisi için iki değer olacaktır. Bu, teğetin fonksiyonun grafiğinin yakınından iki kez geçmesidir.
Grafik çiz Verilen fonksiyon ve problemin koşullarına göre belirtilir. Bu durumda, bilinmeyen a parametresini de belirtmek ve onu f(a) denkleminde değiştirmek gerekir. f(a) türevini paralel doğru denkleminin türevine eşitleyin. Bu ikisinin paralellik durumundan kaynaklanmaktadır. Ortaya çıkan denklemin, teğet noktasının apsisi olacak köklerini bulun.
y=f(x) düz çizgisi, koordinatları (x0; f(x0)) olan ve f"(x0) açısal katsayısına sahip olan noktadan geçerse, şekilde gösterilen grafiğe x0 noktasında teğet olacaktır. Böyle bir katsayı, bir teğetin özelliklerini bilmek zor değil.
İhtiyacın olacak
- - matematiksel referans kitabı;
- - basit bir kalem;
- - not defteri;
- - iletki;
- - pusula;
- - dolma kalem.
Talimatlar
Eğer f'(x0) değeri mevcut değilse ya teğet yoktur ya da dikey olarak uzanır. Buna göre fonksiyonun x0 noktasında bir türevinin bulunması, fonksiyonun grafiğine (x0, f(x0)) noktasında dikey olmayan bir teğetin varlığından kaynaklanmaktadır. Bu durumda teğetin açısal katsayısı f"(x0)'a eşit olacaktır. Böylece durum netleşir. geometrik anlamı türev – tanjantın eğiminin hesaplanması.
Genel olanı belirleyin. Bu tür bilgilere nüfus sayımı verilerine bakılarak ulaşılabilir. Genel doğurganlık, ölümlülük, evlenme ve boşanma oranlarını belirlemek için ürünü bulmanız gerekecek genel nüfus ve fatura dönemi. Ortaya çıkan sayıyı paydaya yazın.
İstenilen akrabaya karşılık gelen göstergeyi paya koyun. Örneğin, toplam doğurganlık oranını belirlemekle karşı karşıyaysanız, pay yerine ilgilendiğiniz döneme ait toplam doğum sayısını yansıtan bir sayı bulunmalıdır. Amacınız ölüm oranı veya evlilik oranı ise, pay yerine sırasıyla hesaplama dönemindeki ölüm sayısını veya evlilik sayısını koyun.
Ortaya çıkan sayıyı 1000 ile çarpın. Bu, aradığınız genel katsayı olacaktır. Genel büyüme oranını bulma göreviyle karşı karşıyaysanız, ölüm oranını doğum oranından çıkarın.
Konuyla ilgili video
Kaynaklar:
- Genel hayati oranlar
Ekstraksiyon verimliliğinin ana göstergesi katsayı dağıtım. Şu formülle hesaplanır: Co/Sw; burada Co, ekstrakte edilen maddenin organik solvent (ekstraktör) içindeki konsantrasyonudur ve St, dengeye ulaşıldıktan sonra aynı maddenin su içindeki konsantrasyonudur. Dağıtım katsayısını deneysel olarak nasıl bulabilirsiniz?
Talimatlar
M noktasındaki eğriye teğetin açısal katsayısını belirleriz.
y = f(x) fonksiyonunun grafiğini temsil eden eğri, M noktasının belirli bir komşuluğunda (M noktasının kendisi dahil) süreklidir.
Eğer f'(x0) değeri mevcut değilse ya teğet yoktur ya da dikey olarak uzanır. Buna göre fonksiyonun x0 noktasında bir türevinin bulunması, fonksiyonun grafiğine (x0, f(x0)) noktasında dikey olmayan bir teğetin varlığından kaynaklanmaktadır. Bu durumda, teğetin açısal katsayısı f "(x0)'a eşit olacaktır. Böylece türevin geometrik anlamı netleşir - teğetin açısal katsayısının hesaplanması.
“a” harfiyle gösterilen teğet noktasının apsis değerini bulunuz. Belirli bir teğet noktasıyla çakışırsa, o zaman "a" onun x koordinatı olacaktır. Değeri belirleyin işlevler f(a) denklemde yerine koyarak işlevler absis değeri.
Denklemin ilk türevini belirleyin işlevler f’(x) ve “a” noktasının değerini onun yerine koyun.
Y = f(a) = f (a)(x – a) olarak tanımlanan genel teğet denklemini alın ve bulunan a, f(a), f "(a) değerlerini içine yazın. Sonuç olarak grafiğin çözümü bulunacak ve teğet olacaktır.
Verilen teğet noktası teğet noktasıyla çakışmıyorsa sorunu farklı bir şekilde çözün. Bu durumda teğet denkleminde sayıların yerine “a” harfinin konulması gerekir. Bundan sonra “x” ve “y” harfleri yerine verilen noktanın koordinatlarının değerini yazın. Sonuç olarak “a”nın bilinmeyen olduğu denklemi çözün. Ortaya çıkan değeri teğet denklemine yerleştirin.
Problem cümlesi denklemi belirtiyorsa “a” harfini içeren bir teğet denklemi yazın işlevler ve istenen teğete göre paralel bir çizginin denklemi. Bundan sonra türevine ihtiyacımız var işlevler, “a” noktasındaki koordinata. Uygun değeri teğet denkleminde yerine koyun ve fonksiyonu çözün.
Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.
Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması
Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.
Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.
Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.
Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:
- Siteye bir talep gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, adresiniz dahil çeşitli bilgileri toplayabiliriz. e-posta vesaire.
Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:
- Tarafımızca toplandı kişisel bilgiler sizinle iletişim kurmamıza ve sizi bilgilendirmemize olanak tanır benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler.
- Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
- Kişisel bilgileri ayrıca denetim, veri analizi ve çeşitli çalışmalar sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak için.
- Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.
Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması
Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.
İstisnalar:
- Gerektiğinde kanuna uygun olarak, adli prosedür, V duruşma ve/veya genel taleplere veya taleplere dayalı olarak devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
- Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.
Kişisel bilgilerin korunması
Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.
Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak
Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.
Aşağıdaki şekli göz önünde bulundurun:
a noktasında türevi olabilen belirli bir y = f(x) fonksiyonunu gösterir. Koordinatları (a; f(a)) olan M noktası işaretlenmiştir. Başından sonuna kadar keyfi nokta P(a + ∆x; f(a + ∆x)) grafiği bir sekant MR ile çizilmiştir.
Şimdi P noktası grafik boyunca M noktasına kaydırılırsa, o zaman MR düz çizgisi M noktası etrafında dönecektir. Bu durumda ∆x sıfıra yönelecektir. Buradan bir fonksiyonun grafiğine teğetin tanımını formüle edebiliriz.
Bir fonksiyonun grafiğine teğet
Bir fonksiyonun grafiğine teğet, argümanın artışı sıfıra yaklaştıkça sekantın sınırlayıcı konumudur. f fonksiyonunun türevinin x0 noktasında bulunması, grafiğin bu noktasında teğet ona.
Bu durumda tanjantın açısal katsayısı bu fonksiyonun f’(x0) noktasındaki türevine eşit olacaktır. Türevin geometrik anlamı budur. x0 noktasında diferansiyellenebilir bir f fonksiyonunun grafiğine teğet, (x0;f(x0)) noktasından geçen ve f'(x0) açısal katsayısına sahip belirli bir düz çizgidir.
Teğet denklem
A(x0; f(x0)) noktasındaki bir f fonksiyonunun grafiğine teğet denklemini elde etmeye çalışalım. Eğimi k olan bir doğrunun denklemi sonraki görünüm:
Eğim katsayımız türevimize eşit olduğundan f'(x0) ise denklem şu formu alacaktır: y = f'(x0)*x + b.
Şimdi b'nin değerini hesaplayalım. Bunu yapmak için fonksiyonun A noktasından geçtiği gerçeğini kullanırız.
f(x0) = f'(x0)*x0 + b, buradan b'yi ifade ederiz ve b = f(x0) - f'(x0)*x0 elde ederiz.
Ortaya çıkan değeri teğet denklemde değiştiririz:
y = f'(x0)*x + b = f'(x0)*x + f(x0) - f'(x0)*x0 = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).
y = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).
Şu örneği düşünün: f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 fonksiyonunun grafiğine x = 2 noktasındaki teğet denklemini bulun.
2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.
3. f'(x) = 3*x 2 - 4*x.
4. f'(x0) = f'(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.
5. Elde edilen değerleri teğet formülünde yerine koyarsak şunu elde ederiz: y = 1 + 4*(x - 2). Parantezlerin açılması ve getirilmesi benzer terimlerşunu elde ederiz: y = 4*x - 7.
Cevap: y = 4*x - 7.
Teğet denklemini oluşturmak için genel şema y = f(x) fonksiyonunun grafiğine:
1. x0'ı belirleyin.
2. f(x0)'ı hesaplayın.
3. f’(x)’i hesaplayın