Türevin geometrik anlamı.

G, y=f(x) fonksiyonunun grafiği olsun. G üzerinde A(x0,f(x0)) ve B (x0+Δx,f(x0+Δx)) noktalarını düşünün

γ, sekantın OX eksenine göre eğim açısı olsun. Varsa limit limitiΔх→0 için γ = γ0 ise, A noktasından geçen ve OX ekseni ile γ0 açısı oluşturan düz çizgiye A noktasında Г'ye teğet denir.

AB doğru parçasını bir dikdörtgene tamamlayan nokta C(f(x0+Δx), f(x0)) olsun. ABC üçgeni. Çünkü AC//OX, o zaman tgγ =Δу/Δх. Limite geçerek şunu elde ederiz: tgγ0=f′(x0)

Onlar. geometrik anlamı Türevi, f′(x0), y=f(x) grafiğine (x0,f(x0) noktasındaki teğetin tanjantıdır).

Teğet denklemi.

A(x0, f(x0)) noktasında Г f- ve y=f(x) grafiğine teğetin ur-e'sini bulalım: çünkü t, A Г'ya ait ve ur-th tanjantı, o zaman f(x0)=kx0+b, dolayısıyla b= f(x0)-kx0, bu da tanjantın iz tarafından verildiği anlamına gelir. Ur-m:

y= kx+ f(x0)-kx0= f(x0)+k(x-x0)

Çünkü k= f′(x0), o zaman

y=f(x0)+ f′(x0)(x-x0).

Bir fonksiyonun esnekliğinin belirlenmesi.

x0 noktasındaki y = f(x) fonksiyonuna aşağıdaki limit denir

Eyx(x0) = lim ((Δy/y): (Δx/x)).

Esneklik Ey, y ve x miktarlarındaki göreceli değişiklikler arasındaki orantı katsayısıdır.)

Rolle'un teoremi.

Bir fonksiyon aralıkta sürekli ise [ A;B] ve aralıkta türevlenebilir ( A;B), bu aralığın sonlarını alır aynı değerler ise bu aralıkta fonksiyonun türevinin sıfıra eşit olduğu en az bir nokta vardır.

Lagrange teoremi.

Fonksiyona izin ver F(X)

1. aralıkta sürekli [ A, B];

2. aralıkta türevlenebilir ( A, B).

O zaman O'nun olduğu bir nokta var ( A, B) öyle ki

Formül (1) denir Lagrange'ın formülü, veya sonlu artış formülü

Cauchy'nin teoremi.

İki f(x) ve g(x) fonksiyonu şu şekilde verilsin:

1. f(x) ve g(x) tanımlı ve aralıkta süreklidir;

2. Aralıkta türevler ve sonlular;

3. türevler ve aralıkta aynı anda yok olmazlar

(Eğer 4. koşul kaldırılırsa, 3. koşul güçlendirilmelidir: g"(x) () aralığının hiçbir yerinde yok olmamalıdır. A,B).)

L'Hopital kuralı.

Teorem (L'Hopital kuralı). A bir sayı, tek taraflı bir limitin sembolü (A=a±0) veya sonsuzluk sembolü (A=±∞) olsun. ƒ(x) ve g(x) fonksiyonlarının her ikisinin de sonsuz küçük veya x→A kadar sonsuz büyük olmasına izin verin. O zaman eğer bir sınır varsa

(sonlu veya sonsuz),

o zaman bir sınır var

bu durumda eşitlik sağlanır:

Yüksek dereceli türevler ve diferansiyeller.

Eğer y=f(x) fonksiyonu için (k-1) mertebesinde türev y(k-1) tanımlanırsa, o zaman k mertebesinde türev y(k) (varlığı şartıyla) aşağıdakinin türevi olarak tanımlanır: (k-1) mertebesinin türevi, bunlar. y(k) = (y(k-1))' . Özellikle, y''=(y')' ikinci dereceden bir türevdir, y'''=(y'')' üçüncü dereceden bir türevdir, vb.

Daha yüksek farklar f-i'nin emirleri y=f(v) sırasıyla aşağıdaki şekilde belirlenir:

d2y=d(dy) – 2. dereceden diferansiyel

dny=d(d n-1 y) - diferansiyel n'inci emir

Taylor'ın formülü. Maclaurin formülü.

Taylor teoremi.

f fonksiyonu olsun(X)x = a noktasında ve bazı komşularında n+ mertebesinde türevleri vardır 1. Daha sonra a ve x noktaları arasında a öyle bir nokta var ki aşağıdaki formül geçerli:

Formül (10) Taylor formülü olarak adlandırılır ve ifade

kalan terimi Lagrange formunda temsil eder. Fonksiyonun F (n+ 1) (X) noktanın mahallesinde sınırlanmıştır A, o zaman kalan terim sonsuz küçüktür XA Daha yüksek sipariş, Nasıl ( x-a)N. Böylece kalan terim şu şekilde yazılabilir:

Rn+ 1 (X)=o((x-a)N)x'teA.

Bu form kalan terime Peano formu denir.

Maclaurin formülü Taylor formülüdür. bir = 0:

Maclaurin formülü için Peano formunda kalan terim şu şekildedir:

Rn+ 1 =o(xn)x'te 0.

Bazılarının açılımlarını sunalım temel işlevler Maclaurin'in formülüne göre

Şuna göre bul:

tanım, f(x) fonksiyonunun x 0 noktasındaki türevi:

26. f(x) = x 3, x 0 - rastgele bir sayı.

F'(x)= =

f ′(x о)= = = = =3

27. f(x)=sinx, x o -rastgele sayı

f(x) fonksiyonunun x 0 noktasındaki türevi, fonksiyonun bu noktadaki artışının, argümanın artışına oranının, argümanın artışı keyfi olarak 0'a yöneldiği için oranının limitidir.

F'(x)= =

f ′(x о)= = = = cosx 0

28. F (x)=, x-o =9

F'(x)= =

F'(x)= = = =1/6

29.f(x)= ,x-o =1

F'(x)= =

F'(x)= = = = =-2

30.f(x)=x½x½, x 0 =0

F'(x)= =

f(x) fonksiyonunun x0 noktasındaki esnekliğini bulun:

38. f(x) = x 4, x 0 = 9.

Düzlemin (veya düzlemin bir kısmının) her M noktasıyla belirli bir u sayısının ilişkilendirildiği bir kural belirtilirse, o zaman düzlemde (veya düzlemin bir kısmında) "bir nokta fonksiyonu" olduğu söylenir. verilmiştir”; fonksiyonun tanımı u biçimindeki bir eşitlikle sembolik olarak ifade edilir - Bir M noktasıyla ilişkilendirilen u sayısına, bu fonksiyonun M noktasındaki değeri denir. Örneğin, eğer A, denklemde sabit bir nokta ise. düzlem, M keyfi nokta, bu durumda A'dan M'ye olan mesafe M noktasının bir fonksiyonudur. B bu durumda f(M) = AM.

Bir u = f(M) fonksiyonu verilsin ve aynı zamanda bir koordinat sistemi tanıtılsın. Daha sonra x, y koordinatları tarafından keyfi bir M noktası belirlenir. Buna göre bu fonksiyonun M noktasındaki değeri x, y koordinatlarıyla belirlenir veya onların da söylediği gibi u = f(M), x ve y olmak üzere iki değişkenin bir fonksiyonudur. İki değişkenli x, y fonksiyonu f(x, y) sembolüyle gösterilir; f(M) = f(x, y) ise u = f(x, y) formülüne bu fonksiyonun seçilen koordinat sistemindeki ifadesi denir. Yani önceki örnekte f(M)=AM; Kartezyen'i tanıtırsanız dikdörtgen sistem A noktasındaki orijin ile koordinatlar varsa, bu fonksiyon için ifadeyi elde ederiz:

sen = √(x 2 + y 2)

146. İki P ve Q noktası verildiğinde, aralarındaki mesafe a'dır ve f(M) = d 2 1 - d 2 2 fonksiyonudur, burada d 1 - MP ve d 2 - MQ. P noktası koordinatların orijini olarak alınırsa ve Ox ekseni PQ doğru parçası boyunca yönlendirilirse, bu fonksiyonun ifadesini belirleyin.

147. Problem 146'nın koşulları altında, f(M) fonksiyonunun ifadesini belirleyin (doğrudan ve koordinat dönüşümünü kullanarak, problem 146'nın sonucunu kullanarak), eğer:

1) Koordinatların orijini PQ segmentinin ortasında seçilir, Ox ekseni PQ segmenti boyunca yönlendirilir.

2) Koordinatların kökeni P noktasında seçilir ve Ox ekseni QP segmenti boyunca yönlendirilir.

148. Verilen: kenarı a olan ABCD karesi ve f(M) = d 2 1 - d 2 2 - d 2 3 + d 2 4, burada d 1 = MA, d 2 = MB, d 3 = MC ve d 4 = MD. Karenin köşegenleri koordinat eksenleri olarak alınırsa (ve Ox ekseni AC doğru parçasına, Oy ekseni BD doğru parçasına doğru yönlendirilirse) bu fonksiyonun ifadesini belirleyin.

149. Problem 148'in koşulları altında, eğer koordinatların orijini A noktasında seçilirse ve koordinat eksenleri bu noktaya yönlendirilirse, f(M) ifadesini belirleyin (doğrudan ve koordinat dönüşümü kullanarak, problem 148'in sonucunu kullanarak). kenarları (Ox ekseni AB segmenti boyunca, Oy ekseni - AD segmenti boyunca).

150. f(x, y) = x 2 + y 2 - 6x + 8y fonksiyonu verildiğinde. Koordinatların orijini (eksenlerin yönü değiştirilmeden) O"(3; -4) noktasına taşınırsa, bu fonksiyonun yeni bir koordinat sisteminde ifadesini belirleyin.

151. Bir f(x, y) = x 2 - y 2 - 16 fonksiyonu verildiğinde. Koordinat eksenleri -45° açıyla döndürülmüşse, bu fonksiyonun yeni koordinat sisteminde ifadesini belirleyin.

152. Verilen bir f(x, y) = x 2 + y 2 fonksiyonu verilmiştir. Koordinat eksenleri belirli bir α açısı kadar döndürülüyorsa, bu fonksiyonun yeni koordinat sistemindeki ifadesini belirleyin.

153. Koordinatların orijini kendisine aktarıldığında, f(x,y) = x 2 - 4y 2 - 6x + 8y + 3 fonksiyonunun dönüşümden sonraki ifadesi birincinin terimlerini içermeyecek bir nokta bulun. yeni değişkenlere göre derece.

154. Koordinatların orijini kendisine aktarıldığında f(x, y) = x 2 - 4xy + 4y 2 + 2x + y - 7 fonksiyonunun ifadesi birinci dereceden terimleri içermeyecek bir nokta bulun. yeni değişkenlere göre.

155. Dönüşümden sonra f (x, y) = x 2 - 2xy + y 2 - 6x + 3 fonksiyonunun ifadesinin yeni değişkenlerin çarpımını içeren bir terim içermemesi için koordinat eksenleri hangi açıyla döndürülmelidir? ?

156. f(x, y) = 3x 2 + 2√3xy + y 2 fonksiyonunun dönüşümden sonraki ifadesi yeni değişkenlerin çarpımını içeren bir terim içermemesi için koordinat eksenleri hangi açıyla döndürülmelidir?

2. İşlevler. Fonksiyonların en basit özellikleri 21 2.11. Eğer f(x) T periyoduna sahip bir periyodik fonksiyon ise, f(ax) fonksiyonunun da T /a periyoduna sahip periyodik bir fonksiyon olduğunu kanıtlayın. Çözüm. Aslında, f = f (ax + T) = f (ax), yani. T /a f(ax) fonksiyonunun periyotlarından biridir. 2.12. f(x) = cos2 x fonksiyonunun periyodunu bulun. 1 + cos 2x Çözüm. Şunu yazabiliriz: cos2 x = . 2. periyodu görüyoruzçünkü işlevler 2 x cos 2x fonksiyonunun periyoduyla aynıdır. cos x fonksiyonunun periyodu 2π'ye eşit olduğundan, Problem 2.11'e göre cos 2x fonksiyonunun periyodu π'ye eşittir. 2.13. Fonksiyonların periyodunu bulun: a) f (x) = sin 2πx; b) f(x) = | çünkü x|. Cevap: a) T = 1; b) T = π.Şunun için görevler: bağımsız karar: √ 2+x a) f(x) = x + 1; b) f(x) = lg; √ 2−x c) f (x) = 2 + x − x2 ; d) f (x) = arcsin(log2 x); aşağıdaki fonksiyonlar: a) f1 (x) = 3 sin x + 4 cos x; b) f2 (x) = 5 sin x + 12 çünkü x.< x < 1;    1 1 а) f (x) = x + , если 1 ≤ x ≤ 3;  2  2   4, если 3 < x < +∞; б) f (x) = |x − 1| + |x + 3|; в) f (x) = |x2 − 2x + 1|; г) f (x) = sin x + | sin x|, если 0 ≤ x ≤ 3π; д) f (x) = arccos(cos x); t+5 t+1 е) f (t) = ; ж) f (t) = . t−7 t2 + 2t + 2 3. Предел функции 25 3. Предел функции Рекомендуется по 2.33. Aşağıdaki fonksiyonların grafiğinin biçimini tanımlayın: a) z = 1 − x2 − y 2 ; b) z = x2 + y2; c) z = x2 + y2; d) z = x2 − y 2 . 2.34. Bu işlevler için −3'ten +3'e kadar 1'e kadar z değerleri vererek seviye çizgileri çizin: a) z = xy; b) z = y(x2 + 1). 2.35. y = 2 −3(x + 1) − 0,5 s √ fonksiyonunun grafiğini, y = x fonksiyonunun grafiğini dönüştürerek çizin. 2.36. y = sin(2x − 4) fonksiyonunun grafiğini, y = sin x fonksiyonunun grafiğini dönüştürerek çizin. 2.37. Temel fonksiyon araştırmasını kullanarak (türevleri kullanmadan), aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini çizin: 1 x a) y = 2 ; b) y = 2; x +1 x +1 1 c) y = x4 − 2x2 + 5; d) y = 2; bir sayısal argüman.< ε) дана, то в качестве окрестности Vδ (x0) можно принять |x − x0 | < δ = ε, т.е. положить δ = ε; 1 1 б) докажем, что lim = . По определению предела x→2 x 2 мы должны доказать, что для любой заданной окрестности 1 ˙ Uε , ε >3.1. Limitin tanımına dayanarak şunu kanıtlayın: 1 1 a) lim x = x0 ; b) lim = ;< ε, т.е. ∈ Uε , что равносильно сле- x 2 x 2 дующим двум неравенствам: 1 1 −ε < − < +ε или x 2 1 1 1 − ε < < + ε. 2 x 2 Так как при достаточ- но малом ε все части этого неравенства по- ложительны, то 2 2 x→x0 x→2 x 2 1 1 1 c) lim = lim = lim = 0;< ε, или x 1 < ε. Так как x x → +∞, то можно считать, что x >x→+∞ x x→−∞ x x→∞ x 26 Matematiksel analize giriş 1 1 d) lim = +∞; e) lim = −∞;< ε или x >x→0+0 x x→0−0 x 1 f) lim = 2; g) lim x2 = 4. x→1 x x→2 Çözüm: a) lim x = x0 ifadesi doğrudan x→x0 limitinin tanımından çıkar. Eğer komşuluk Uε (x0)˙ (|x − x0 |< x < δ) ← такая, что если + V1/M (0) x ∈ Vδ+ (0), то 1 ∈ UM (+∞). x Рис. 3.3 0'da bir V(2) komşuluğu vardır, öyle ki eğer 2˙ 1 1 1 1 x ∈ V(2), o zaman − 2, 1 + 2ε 1 − 2ε dolayısıyla çarpın- Şek. 3.1 2 2 özelliği, 1 + 2ε 1 − 2ε x0 = 2 noktasının komşuluğudur (asimetrik). Gerekli komşuluk V'nin (2) varlığı kanıtlanmıştır (Şekil 3.1). 3. Fonksiyonun limiti 27 Açıklık sağlamak için, bu komşuluğu 4ε 4ε 2− ,2 + formunda yazabiliriz ve 1 + 2ε 1 − 2ε ˙ ˙ 4ε 4ε V (2) = Vδ1 ,δ2 (2), burada δ1 = , δ2 = .< x < . Если поло- x M 1 жить δ = , то требуемая окрестность Vδ+ (0) найдена и ра- M 1 венство lim = 0 доказано (рис. 3.3). x→0+0 x 1 Аналогично можно доказать, что lim = −∞ (предлага- x→0−0 x ем проделать это самостоятельно); 1 е) докажем, что lim = 2. Предположим противное, т.е. x→1 x 1 что lim равен двум. Это означало бы: для любой окрест- x→1 x ˙ ности Uε (2) существует окрестность V (1) такая, что если ˙ 1 1 1 x ∈ V (1), то ∈ Uε (2), т.е. − 2 < ε, или 2 − ε < < ε + 2. x x x 3. Предел функции 29 Так как все части неравенства можно считать положительны- 1 1 ми, то 1 + 2ε 1 − 2ε 1 c) lim = 0 olduğunu kanıtlarız. x→+∞ x Tanım olarak, y = 0 noktasının herhangi bir Uε (0) komşuluğu için bir V (+∞) komşuluğunun bulunduğunu kanıtlamamız gerekir. +∞ elemanı öyle ki eğer x ∈ V (+∞), 1 ise − 0 olur< |x| < 4 + ε. Поскольку x >0, Şek. 3.2 bu nedenle modül işareti 1 1 atlanabilir ve yazılabilir< x < 4 + ε. Точка x = 2 принадлежит интервалу √ √ (4 − ε; 4 + ε), т.е. этот интервал является окрестностью точ- ки 2, удовлетворяющей требуемому условию, которую и при- ˙ ˙ нимаем в качестве V (2). Существование V (2) доказано, а этим доказано, что lim x 2 = 4. x→2 3.2. Докажите самостоятельно, что 1 1 lim = +∞, lim = −∞. x→x0 +0 x − x0 x→x0 −0 x − x0 Указание: сделать замену x − x0 = t и применить задачу 3.1. 3.3. Используя теоремы о пределе произведения суммы и частного, докажите, что: а) lim xn = xn ; 0 x→x0 б) lim Pn (x) = lim (a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x + an) = x→x0 x→x0 = a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x0 + an ; 0 0 30 Введение в математический анализ Pn (x) a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x + an в) lim = lim = x→x0 Qm (x) x→x0 b0 xm + b1 xm−1 + . . . + bm−1 x + bm a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x0 + an 0 0 = , b0 xm + b1 xm−1 + . . . + bm−1 x0 + bm 0 0 где n и m = M. +∞ elemanının komşuluk tanımına göre x > M kümesi x ε VM (+∞)'dir. Karşılık gelen koşulları sağlayan bir V (+∞) komşuluğunun varlığı kanıtlanmıştır. Bu 1 lim = 0 olduğunu kanıtlar (Şekil 3.2). x→+∞ x 1 1 lim = 0 ve lim = 0 eşitliklerinin ispatını okuyucuya bırakıyoruz. 28 Matematiksel analize giriş 1 lim = 0 eşitliğinin iki x→∞ x 1 1 eşitliğine eşdeğer olduğunu vurguluyoruz: lim = 0 ve lim = 0; x→−∞ x x→+∞ x d) 1 lim = +∞ eşitliğini kanıtlarız., örneğin, lim a0 xn = lim a0 lim xn = a0 xn . Bu nedenle, b) toplamın limitine ilişkin teoremden çıkar;

c) bölüm, toplam ve çarpımın limiti teoreminden çıkar.
Problem 3.3'teki Pn(x) fonksiyonuna n mertebesinde bir polinom veya polinom denir (eğer a0 = 0 ise).
3.4. Aşağıdaki limitleri hesaplayın: x2 + 2x − 3 a) lim (x2 + 3x + 4); b) lim 2.
x→2 x→3 2x + 4x − 5 Çözüm. Problem 3.3, b) maddesinde kanıtlanmış olana dayanarak şunu yazabiliriz: lim (x2 + 3x + 4) = 22 + 3 2 + 4 = 14;
x→2 x2 + 2x − 3 32 + 2 3 − 3 12 lim 2 + 4x − 5 = 2+4 3−5 = .
* *
x→3 2x 2 3 25 5x2 − 20x + 15 3,5. A = lim'i bulun.
x→1 3x2 − 15x + 12 Çözüm. Bu durumda teoremi bölümün limitine uygulamak imkansızdır çünkü x0 = 1'de payda sıfır olur. x0 = 1'deki payın da sıfır olacağını unutmayın. 0/0 gibi tanımsız bir ifade elde ediyoruz. Limiti x → x0 olarak tanımlarken bunu daha önce vurgulamıştık. İki fayda fonksiyonu verilsin U(x) ve U* (x) = h + y U(x) ve d > 0.
Karar verici iki alternatifi incelerken ikinci fayda fonksiyonuna dayanarak A i h A2 sonucuna ulaşır. Bunun yerine ilk fayda fonksiyonuna odaklanılsaydı ne değişirdi?
İkinci fayda fonksiyonu U*(x) = h - y ve (i) y > 0 şeklinde olsaydı cevabınız nasıl olurdu?
U*(x) = h olduğunda alternatifler nasıl sıralanır?
"İle
1. İki fayda fonksiyonu kabule yol açar
özdeş çözümler
pozitif bir doğrusal dönüşüm yoluyla karşılıklı olarak birbirlerine “çevrilebildiklerinde” (bu konuyla ilgili ayrıca bkz. s. 74). U(x)'in U*(x) fonksiyonunun pozitif doğrusal dönüşümü olduğunu gösterebilirsek, fayda fonksiyonu seçiminin alternatiflerin sıralaması üzerinde hiçbir etkisi olmayacaktır. Doğru olması için b > 0 için a ve b sayılarını arıyoruz
a + bU*(x) = U(x).
İkinci fayda fonksiyonunu yerine koyarsak, o zaman şunu elde ederiz: a + b (h + gU(x)) = U(x).İlk aşamada 6'yı, U(x)'in çarpıldığı faktör bir değerini alacak şekilde tanımlıyoruz. Açıkçası, b = 1 /d'yi belirtmemiz gerekiyor. Böylece ortaya çıkıyor
Bu fayda fonksiyonu verilen karar verici, tüm alternatifleri aynı değerde değerlendirir. Bu nedenle A\ ve A.2 alternatifleri arasında seçim yapılırken A i ~ sonucunun çıkması gerekmektedir.

Konu 2.1.5 hakkında daha fazla bilgi. Fayda fonksiyonunun benzersizliği:

1. Tüketici tercihleri ve marjinal fayda. Yardımcı işlev.
2.3.2. İkinci dereceden fayda fonksiyonu ve beklenen fayda
Fayda ve rasyonel tüketici. Toplam ve marjinal fayda. Azalan Marjinal Fayda Kanunu. Fayda maksimizasyonu ilkesi
Nicel fayda teorisi. Fayda kavramları, tüketici seçimi, toplam ve marjinal fayda.