Çünkü x 1 2 grafiği. y=ctg(x) fonksiyonunun grafiği

Ana trigonometrik fonksiyonlar y=sin(x), y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x) fonksiyonlarıdır. Her birini ayrı ayrı ele alalım.

Y = günah(x)

y=sin(x) fonksiyonunun grafiği.

Ana özellikler:

3. Fonksiyon tektir.

Y = cos(x)

y=cos(x) fonksiyonunun grafiği.

Ana özellikler:

1. Tanım alanı sayısal eksenin tamamıdır.

2. İşlev sınırlıdır. Değerler kümesi [-1;1] segmentidir.

3. Fonksiyon çifttir.

4. Fonksiyon en küçüğü ile periyodiktir pozitif dönem 2*π'ye eşittir.

Y = tan(x)

y=tg(x) fonksiyonunun grafiği.

Ana özellikler:

1. Tanım alanı, k'nin bir tamsayı olduğu x=π/2 +π*k formundaki noktalar hariç, sayısal eksenin tamamıdır.

3. Fonksiyon tektir.

Y = CTG(x)

y=ctg(x) fonksiyonunun grafiği.

Ana özellikler:

1. Tanım alanı, k'nin bir tamsayı olduğu x=π*k formundaki noktalar hariç, sayısal eksenin tamamıdır.

2. Sınırsız işlev. Değerler kümesi sayı doğrusunun tamamıdır.

3. Fonksiyon tektir.

4. Fonksiyon periyodiktir ve en küçük pozitif periyodu π'ye eşittir.

Çalışmalarınızda yardıma mı ihtiyacınız var?



Önceki konu:














Geri İleri

Dikkat! Slayt önizlemeleri yalnızca bilgilendirme amaçlıdır ve sunumun tüm özelliklerini temsil etmeyebilir. Eğer ilgileniyorsanız bu iş lütfen tam sürümünü indirin.

Ders konusu: “y=cosx fonksiyonu”

Ders #1

Ders hedefleri: Öğrencileri bir fonksiyonun özelliklerine alıştırmak

Ders hedefleri.

Eğitimsel – görsel materyal kullanarak fonksiyonel kavramların oluşturulması, y=cosx fonksiyonunun grafiklerini oluşturma becerilerinin oluşturulması, grafiklerin akıcı okunmasında becerilerin oluşturulması, bir fonksiyonun özelliklerini bir grafiğe yansıtma yeteneği.

Ders ilerlemesi

№ Ders aşaması Slayt gösterisi Zaman
1 Organizasyon anı. Selamlar
2 Dersin konusunun ve amacının duyurulması
3 Referans bilgilerinin güncellenmesi

Sözlü egzersizlerin yapılması.

Ön anket
4 Yeni materyalin sunumu

Bir parça üzerinde y = cosx grafiğini oluşturma görevi

Bir aralıkta y =cosx fonksiyonunun özelliklerinin tartışılması

Y = cosх fonksiyonunun grafiğinin taslağını oluşturma görevi

y = cosx fonksiyonunun özelliklerinin tartışılması

Özellikleri bir tabloya girme
5

708, No. 709 ders kitabına göre problem çözme

 Çözüme 4 numaralı slayt eşlik ediyor
6 Görev, ordinat ekseni ve apsis ekseni boyunca kaymalı bir fonksiyonun grafiğini oluşturmaktır.

Fonksiyon özelliklerinin tartışılması
7 Bağımsız çalışma ders kitabına göre

№710 (1;3), №711 (1;3), №711 (1;3)
Özetle.

Ders özeti.

Derecelendirme.
9 Ev ödevi §40 No. 710(2;4), No. 711(2;4), No. 711(2;4).

y =cosx fonksiyonlarının grafiklerini oluşturun ve bu fonksiyonun özelliklerini açıklayın.

Ek No. 717 (1)

Dersin amacı: Öğrencilere y=cosx fonksiyonunun özelliklerini tanıtmak, y=cosx fonksiyonunun grafiğini oluşturmayı öğrenmek, bu grafiği okumak, denklemleri ve eşitsizlikleri çözerken fonksiyonun özelliklerini ve grafiğini kullanmak.

2. Dersin konusu ve amacının duyurusuna 2 numaralı slayt eşlik eder.

3. Temel bilgilerin güncellenmesi

  1. Sözlü egzersizlerin yapılması.
  2. Trigonometrik fonksiyonların tanımını ve bu fonksiyonların değerlerinin işaretlerini gözden geçirin. Öğrencilerin dikkatini herhangi bir şey için çekin gerçek sayı karşılık gelen noktayı belirtebilirsiniz birim çember

ve dolayısıyla apsisi ve koordinatı, yani.

  1. Tanım kümesinin tamamı gerçek sayılar olan bir x sayısının kosinüs ve sinüsü: y = cosx ve y = sinx.
  2. Daha sonra öğrenciler şu soruları cevaplar:
  3. y=cosx fonksiyonu hangi x değerleri için 0 değerini alır? 1? -1?
  4. y=cosx fonksiyonu 1'den büyük veya -1'den küçük bir değer alabilir mi?

y=cosx fonksiyonu x'in hangi değerlerinde en büyük (en küçük) değeri alır?

y=cosx fonksiyonunun değer kümesi nedir?

Bu ve aşağıdaki soruların cevaplarına birim çember üzerinde bir çizim eşlik etmektedir.

0<х<, 0<х<, <х<, <х<2.5?

Koordinat düzleminin her çeyreğinde trigonometrik fonksiyonların değerlerinin işaretleri tekrarlandıktan sonra öğrencilerden kosinüsü pozitif (negatif) sayı olan sayılara karşılık gelen birim çember üzerinde birkaç nokta göstermeleri istenir. Daha sonra şu soruları yanıtlayın:

1) x=, x= ise y=cosx fonksiyonunun işareti nedir?

2) y = cosx fonksiyonunun değerlerinin pozitif ve negatif olduğu birkaç x değerini belirtin.

3) Kosinüsü pozitif veya negatif olan bir sayının tüm değerlerini adlandırmak mümkün mü?

4) y = cosx fonksiyonunun değerlerinin pozitif ve negatif olduğu x argümanının tüm değerlerini adlandırmak mümkün müdür?

5) Çift veya tek fonksiyon y = cosx.

6) Bu fonksiyonun periyodu nedir?

4. Yeni materyalin sunumu.

Daha önce edinilen bilgilerin genelleştirilmesi ve somutlaştırılması: Tanım alanının, değer kümesinin, eşlik, periyodikliğin incelenmesi, önce bir parça üzerinde, sonra bir parça üzerinde ve sonra tüm sayı doğrusu üzerinde bir grafik oluşturmanıza olanak sağlar. Açıklamaya 3 numaralı slayt eşlik etmektedir.

Daha sonra öğrenciler (0;1), (;0), noktalarını kullanarak y = cosx fonksiyonunun grafiğinin bir taslağını çizmeyi öğrenirler.

(:-1), (;0), (;1) ve fonksiyonun özelliklerini özetleyerek bir tabloya kaydedin.

4 numaralı slaytı kullanarak kontrol edelim.

Öğrenciler y=cosx fonksiyonunun grafiğinin bir taslağını kullanarak 708 numaralı soruyu yanıtlar, y=cosx fonksiyonunun özellikler tablosunu kullanarak 709 numaralı soruyu yanıtlar.

6. Ordinat ekseni ve apsis ekseni boyunca kaymalı bir fonksiyonun grafiğini oluşturma görevi.

1. Slayt No. 5, 6

Konuşma sırasında bu fonksiyonların özellikleri tartışılır.

7. Ders kitabını kullanarak bağımsız çalışma

№710(1;3), №711(1;3), №711(1;3), №710

Bu parçayı, birinde y = cosx fonksiyonu artacak, diğerinde azalacak şekilde iki parçaya bölün:

Azalan; - artışlar

Azalan; - artışlar

y = cosx fonksiyonunun artan veya azalan özelliğini kullanarak sayıları karşılaştırın:

Segmentte y = cosx fonksiyonu azalır; , buradan, .

Segmentte y = cosx fonksiyonu artar;

<, следовательно, cos < cos

Segmente ait denklemin tüm köklerini bulun:

1) cosx = x = ±+2 n, n Z

Cevap: ; ; .

2) cosx = - x = ±

8. Özetleme.

Derecelendirme.

Ders sırasında y = cosx fonksiyonunun grafiğini nasıl oluşturacağımızı, bu grafiğin özelliklerini okumayı, grafiğin bir taslağını oluşturmayı ve grafiğin kullanımı ve y = cosx fonksiyonunun özelliklerine ilişkin problemleri çözmeyi öğrendik.

9. Ödev.

§40 No. 710(2;4), No. 711(2;4), No. 711(2;4). y =cosx fonksiyonlarının grafiklerini oluşturun ve bu fonksiyonun özelliklerini açıklayın.

Ek No. 717(1).

Konu: “Fonksiyon y=cosx”

Ders #2

Dersin hedefleri: у=cosx fonksiyonunun grafiğini oluşturma kurallarını gözden geçirin, bir grafiğin nasıl dönüştürüleceğini öğrenin, bu grafiği okuyun, denklemleri ve eşitsizlikleri çözerken bir fonksiyonun özelliklerini ve grafiğini kullanın.

Ders hedefleri.

Eğitimsel – görsel materyal kullanarak fonksiyonel temsillerin oluşturulması, çeşitli dönüşümler altında y=cosx fonksiyonunun grafiklerini çizme becerilerinin oluşturulması, grafiklerin akıcı okunmasında becerilerin oluşturulması, bir fonksiyonun özelliklerini bir grafiğe yansıtma yeteneği .

Gelişimsel – edinilen bilgiyi analiz etme ve genelleme yeteneğini geliştirmek. Mantıksal düşüncenin oluşumu.

Eğitimsel - yeni bilgiler edinme, grafik kültürünü geliştirme, çizim yaparken hassasiyet ve doğruluk geliştirme konusundaki ilgiyi yoğunlaştırmak.

Aşağıdakilerle donatılmıştır: multimedya projektörü, ekran, Microsoft Windows 98/Me/2000/XP işletim sistemi, MS Office 2003 programı: Power Point, Microsoft Word, Microsoft Excel.

Ders ilerlemesi

№ Ders aşaması Slayt gösterisi Zaman
1 Organizasyon anı. Selamlar 1
2 Dersin konusunun ve amacının duyurulması 2
3 Ödev kontrol ediliyor

717(1), Slayt No. 7

 5
4 Yeni materyalin sunumu

OX eksenine doğru sıkıştırıp uzatarak grafik oluşturma görevi

k>1 ve 0 için y =k cosx fonksiyonunun özelliklerinin tartışılması

Bir ori op-amp'i sıkıştırıp uzatarak bir grafik oluşturma görevi

k>1 ve 0 için y = cos(k x) fonksiyonunun özelliklerinin tartışılması

8, 9 numaralı slayt

 12
5 Birincil bilginin pekiştirilmesi. Ders kitabına göre problem çözme

№713(1;3), №715(1) №716(1)

 No. 717(2) ders kitabı sayfası 208. No. 715(1), No. 716(1)'i çözerken, y = cos2x fonksiyonunun oluşturulmuş grafiğini kullanın. 10 numaralı slayt 5
6 Görev apsis eksenine göre simetrik olan bir fonksiyonun grafiğini oluşturmaktır.

1. Organizasyon anı. Selamlar.

2. Dersin konusu ve amacının duyurusuna 2 numaralı slayt eşlik etmektedir.

3. Ödevleri kontrol etmek

4. Yeni materyalin sunumu

1. OX eksenine doğru sıkıştırıp uzatarak grafik oluşturma görevi.

k>1 ve 0 için y =k cosx fonksiyonunun özelliklerinin tartışılması

8 numaralı slayt

2. Op-amp'i sıkıştırıp eksenine doğru uzatarak bir grafik oluşturma görevi.

k>1 ve 0 için y = cos(kx) fonksiyonunun özelliklerinin tartışılması

9 numaralı slayt

5. Birincil bilginin pekiştirilmesi

713(1;3), No. 715(1) No. 716(1) ders kitabına göre problem çözme

10 numaralı slaytı kullanarak 715(1) No. 716(1) numaralı görevi kontrol ediyoruz.

6. Apsis eksenine göre simetrik bir fonksiyonun grafiğini oluşturma görevi

Fonksiyon özelliklerinin tartışılması . Slayt No. 11 (destekleyici özeti kullanın (Ek 1))

7. Bağımsız çalışma

Test problemlerini çözme . (Öğrencilerin yarısı testleri XL (Ek 2) ile bilgisayarda, diğer yarısı da çalışma kağıtlarından (Ek 3) çözer. Daha sonra öğrenciler yer değiştirir.)

8. Ders özeti.

Konunun incelenmesi sonucunda öğrenciler y = cosх fonksiyonunun grafiğini oluşturmayı, bir fonksiyonun özelliklerini okumayı, çeşitli dönüşümler kullanarak bir fonksiyonun grafiklerini oluşturmayı, dönüşümlerle grafiklerin özelliklerini okumayı, grafikleri kullanarak basit problemleri çözmeyi öğrendiler ve y = cosx fonksiyonunun özellikleri.

Derecelendirme.

9. Ödev.

§40 No. 717(3), No. 713(4), No. 715(4), No. 716(2). Ek No. 719(2) (13 numaralı slaytı kontrol edin)

Bir sonraki dersin başında, öğrencileri hazır çalışma notları üzerinde grafik oluşturma çalışmalarını tamamlamaya davet edebilirsiniz (

Konuyla ilgili ders ve sunum: "Fonksiyon y=cos(x). Fonksiyonun tanımı ve grafiği"

Ek malzemeler
Değerli kullanıcılarımız yorumlarınızı, yorumlarınızı, dileklerinizi bırakmayı unutmayın. Tüm materyaller antivirüs programı ile kontrol edilmiştir.

10. sınıf için Integral çevrimiçi mağazasında öğretim yardımcıları ve simülatörler
Parametrelerle cebirsel problemler, 9-11. Sınıflar
Yazılım ortamı "1C: Matematiksel Oluşturucu 6.1"

Neyi inceleyeceğiz:
1. Tanım.
2. Bir fonksiyonun grafiği.
3. Y=cos(X) fonksiyonunun özellikleri.
4. Örnekler.

Kosinüs fonksiyonunun tanımı y=cos(x)

Arkadaşlar, Y=sin(X) fonksiyonuyla zaten tanışmıştık.

Hayalet formüllerden birini hatırlayalım: sin(X + π/2) = cos(X).

Bu formül sayesinde sin(X + π/2) ve cos(X) fonksiyonlarının özdeş olduğunu ve fonksiyon grafiklerinin çakıştığını iddia edebiliriz.

sin(X + π/2) fonksiyonunun grafiği, sin(X) fonksiyonunun grafiğinden π/2 birim sola paralel öteleme ile elde edilir. Bu Y=cos(X) fonksiyonunun grafiği olacaktır.

Y=cos(X) fonksiyonunun grafiğine sinüs dalgası da denir.

cos(x) fonksiyonunun özellikleri

    Fonksiyonumuzun özelliklerini yazalım:
  • Tanım alanı gerçek sayılar kümesidir.
  • Fonksiyon eşittir. Çift fonksiyonun tanımını hatırlayalım. y(-x)=y(x) eşitliği sağlansa bile bir fonksiyon çağrılır. Hayalet formüllerden hatırladığımız gibi: cos(-x)=-cos(x), tanım yerine getirilmiş olur, o zaman kosinüs çift bir fonksiyondur.
  • Y=cos(X) fonksiyonu parça üzerinde azalır ve [π; parçası üzerinde artar; 2π]. Bunu fonksiyonumuzun grafiğinde doğrulayabiliriz.
  • Y=cos(X) fonksiyonu alttan ve üstten sınırlıdır. Bu özellik şu gerçeğinden kaynaklanmaktadır:
    -1 ≤ cos(X) ≤ 1
  • Fonksiyonun en küçük değeri -1'dir (x = π + 2πk'de). Fonksiyonun en büyük değeri 1'dir (x = 2πk'de).
  • Y=cos(X) fonksiyonu sürekli bir fonksiyondur. Grafiğe bakalım ve fonksiyonumuzun hiç kesinti olmadığından emin olalım, bu süreklilik demektir.
  • Değer aralığı: segment [- 1; 1]. Bu durum grafikte de açıkça görülüyor.
  • Y=cos(X) fonksiyonu periyodik bir fonksiyondur. Grafiğe tekrar bakalım ve fonksiyonun belirli aralıklarla aynı değerleri aldığını görelim.

cos(x) fonksiyonuna örnekler

1. cos(X)=(x - 2π) 2 + 1 denklemini çözün

Çözüm: Fonksiyonun 2 grafiğini oluşturalım: y=cos(x) ve y=(x - 2π) 2 + 1 (şekle bakın).


y=(x - 2π) 2 + 1, sağa 2π ve yukarıya 1 kaydırılmış bir paraboldür. Grafiklerimiz bir A(2π;1) noktasında kesişiyor, cevap şu: x = 2π.

2. x ≤ 0 için Y=cos(X) ve x ≥ 0 için Y=sin(X) fonksiyonunun grafiğini çizin

Çözüm: Gerekli grafiği oluşturmak için fonksiyonun iki grafiğini “parçalar” halinde oluşturalım. Birinci parça: x ≤ 0 için y=cos(x). İkinci parça: y=sin(x)
x ≥ 0 için. Her iki “parçayı” da tek bir grafik üzerinde gösterelim.




3. En iyisini bulun ve en küçük değer[π aralığında Y=cos(X) fonksiyonları; 7π/4]

Çözüm: Fonksiyonun bir grafiğini oluşturalım ve [π; 7π/4]. Grafik, en yüksek ve en düşük değerlerin segmentin uçlarında elde edildiğini göstermektedir: sırasıyla π ve 7π/4 noktalarında.
Cevap: cos(π) = -1 – en küçük değer, cos(7π/4) = en büyük değer.




4. y=cos(π/3 - x) + 1 fonksiyonunun grafiğini çizin

Çözüm: cos(-x)= cos(x) ise y=cos(x) fonksiyonunun grafiği π/3 birim sağa ve 1 birim yukarı kaydırılarak istenilen grafik elde edilecektir.



Bağımsız olarak çözülmesi gereken sorunlar

1) Denklemi çözün: cos(x)= x – π/2.
2) Denklemi çözün: cos(x)= - (x – π) 2 - 1.
3) y=cos(π/4 + x) - 2 fonksiyonunun grafiğini çizin.
4) y=cos(-2π/3 + x) + 1 fonksiyonunun grafiğini çizin.
5) y=cos(x) fonksiyonunun parça üzerindeki en büyük ve en küçük değerini bulun.
6) y=cos(x) fonksiyonunun [- π/6; parçası üzerinde en büyük ve en küçük değerini bulun. 5π/4].

Bu dersimizde y = cos x fonksiyonuna, temel özelliklerine ve grafiğine detaylı olarak bakacağız. Dersin başında koordinat çemberi üzerinde trigonometrik fonksiyonun y = maliyetinin tanımını vereceğiz ve grafiğini ele alacağız. daire ve çizgi üzerinde çalışır. Bu fonksiyonun periyodikliğini grafik üzerinde gösterelim ve fonksiyonun temel özelliklerini ele alalım. Dersin sonunda bir fonksiyonun grafiğini ve özelliklerini kullanarak birkaç basit problemi çözeceğiz.

Konu: Trigonometrik fonksiyonlar

Ders: y=maliyet fonksiyonu, temel özellikleri ve grafiği

Fonksiyon, bağımsız bir argümanın her değerinin, fonksiyonun tek bir değeriyle ilişkilendirildiği bir yasadır.

Haydi hatırlayalım fonksiyon tanımıİzin vermek T- herhangi bir gerçek sayı. Ona karşılık gelen tek bir nokta var M sayı çemberinde. bu noktada M tek apsis bulunmaktadır. Sayının kosinüsü denir T. Her argüman değeri T yalnızca bir fonksiyon değeri karşılık gelir (Şekil 1).

Merkezi açı sayısal olarak radyan cinsinden yay değerine eşittir; sayı Bu nedenle argüman ya gerçek bir sayı ya da radyan cinsinden bir açı olabilir.

Her değer için belirleme yapabilirsek fonksiyonun grafiğini oluşturabiliriz.

Bir fonksiyonun grafiğini başka bir yolla elde edebilirsiniz. İndirgeme formüllerine göre yani kosinüs grafiği eksen boyunca kaydırılmış bir sinüs dalgasıdır X sola doğru (Şek. 2).

Fonksiyon özellikleri

1) Tanımın kapsamı:

2) Değer aralığı:

3) Eşit işlev:

4) En küçük pozitif dönem:

5) Apsis ekseni ile kesişme noktalarının koordinatları:

6) Ordinat ekseni ile kesişme noktasının koordinatları:

7) Fonksiyonun pozitif değer aldığı aralıklar:

8) Fonksiyonun negatif değer aldığı aralıklar:

9) Artan aralıklar:

10) Aralıkların azaltılması:

11) Asgari puanlar:

12) Asgari fonksiyon: .

13) Maksimum puanlar:

14) Maksimum işlevler:

Fonksiyonun temel özelliklerini ve grafiğini inceledik. Daha sonra problemleri çözmek için kullanılacaklar.

Referanslar

1. Cebir ve analizin başlangıcı, 10. sınıf (iki bölüm halinde). Genel eğitim kurumları için ders kitabı (profil düzeyinde), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Cebir ve analizin başlangıcı, 10. sınıf (iki bölüm halinde). Eğitim kurumları için sorun kitabı (profil düzeyi), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. 10. sınıf için cebir ve matematiksel analiz (derinlemesine matematik çalışması olan okul ve sınıf öğrencileri için ders kitabı).

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Cebir ve matematiksel analizin derinlemesine incelenmesi.-M.: Eğitim, 1997.

5. Yükseköğretim kurumlarına başvuranlar için matematik problemlerinin toplanması (M.I. Skanavi tarafından düzenlenmiştir). - M.: Higher School, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Cebirsel simülatör.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Cebir sorunları ve analiz ilkeleri (genel eğitim kurumlarının 10-11. sınıflarındaki öğrenciler için bir kılavuz). - M.: Prosveshchenie, 2003.

8. Karp A.P. Cebir ve analiz ilkeleri ile ilgili problemlerin toplanması: ders kitabı. 10-11. sınıflar için ödenek. derinliği olan okudu Matematik.-M.: Eğitim, 2006.

Ev ödevi

Cebir ve analizin başlangıcı, 10. sınıf (iki bölüm halinde). Eğitim kurumları için sorun kitabı (profil düzeyi), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.6, 16.7, 16.9.

Ek web kaynakları

3. Sınava hazırlık için eğitim portalı ().