Teori:
Eşitsizlikleri çözerken aşağıdaki kurallar kullanılır:
1. Eşitsizliğin herhangi bir terimi bir taraftan aktarılabilir
eşitsizliği zıt işaretli bir başkasına dönüştürür, ancak eşitsizliğin işareti değişmez.
2. Eşitsizliğin her iki tarafı da bir ile çarpılabilir veya bölünebilir
ve aynı pozitif sayı eşitsizliğin işareti değişmeden
3. Eşitsizliğin her iki tarafı da bir ile çarpılabilir veya bölünebilir
ve aynı negatif sayı eşitsizlik işaretini değiştirerek
zıt.
Eşitsizliği çözün − 8 x + 11<
−
3
x
−
4
Çözüm.
1. Penisi hareket ettirelim − 3x V sol taraf eşitsizlikler ve terim 11
- işaretleri zıt işaretlerle değiştirirken eşitsizliğin sağ tarafına − 3x ve 11
.
Sonra alırız
− 8 x + 3 x< − 4 − 11
− 5x< − 15
2. Eşitsizliğin her iki tarafını da bölelim − 5x<
−
15
negatif bir sayıya −
5
ve eşitsizlik işareti <
olarak değişecek >
yani zıt anlamın eşitsizliğine geçiyoruz.
Şunu elde ederiz:
− 5x< − 15 | : (− 5 )
x > − 15 : (− 5 )
x > 3
x > 3— belirli bir eşitsizliğin çözümü.
Dikkat etmek!
Çözüm yazmak için iki seçenek vardır: x > 3 veya sayı aralığı olarak.
Eşitsizliğin çözüm kümesini sayı doğrusu üzerinde işaretleyelim ve cevabı sayısal aralık şeklinde yazalım.
x ∈ (3 ; + ∞ )
Cevap: x > 3 veya x ∈ (3 ; + ∞ )
Cebirsel eşitsizlikler.
İkinci dereceden eşitsizlikler. Rasyonel eşitsizlikler daha yüksek dereceler.
Eşitsizlikleri çözme yöntemleri esas olarak eşitsizliği oluşturan fonksiyonların hangi sınıfa ait olduğuna bağlıdır.
- BEN. İkinci dereceden eşitsizlikler yani formdaki eşitsizlikler
balta 2 + bx + c > 0 (< 0), a ≠ 0.
Eşitsizliği çözmek için şunları yapabilirsiniz:
- Üçgen kareyi çarpanlara ayırın, yani eşitsizliği forma yazın
a (x - x 1) (x - x 2) > 0 (< 0).
- Polinomun köklerini sayı doğrusu üzerinde çiziniz. Kökler çok kırar gerçek sayılar aralıklara bölünür ve her birinde karşılık gelen bir ikinci dereceden fonksiyon sürekli işaretli olacaktır.
- Her aralıkta a (x - x 1) (x - x 2)'nin işaretini belirleyin ve cevabı yazın.
Eğer kare bir trinomialin kökü yoksa, o zaman D için<0 и a>0 kare trinomial herhangi bir x için pozitiftir.
- Eşitsizliği çözün. x 2 + x - 6 > 0.
İkinci dereceden üç terimliyi çarpanlarına ayırın (x + 3) (x - 2) > 0
Cevap: x (-∞; -3) (2; +∞).
2) (x - 6) 2 > 0
Bu eşitsizlik x = 6 dışındaki her x için doğrudur.
Cevap: (-∞; 6) (6; +∞).
3) x² + 4x + 15< 0.
İşte D< 0, a = 1 >0. Kare trinomial tüm x'ler için pozitiftir.
Cevap: x Î Ø.
Eşitsizlikleri çözün:
- 1 + x - 2x²< 0. Ответ:
- 3x² - 12x + 12 ≤ 0. Cevap:
- 3x² - 7x + 5 ≤ 0. Cevap:
- 2x² - 12x + 18 > 0. Cevap:
- Eşitsizlik hangi a değerleri için geçerlidir?
x² - ax > herhangi bir x için geçerli mi? Cevap:
- II. Daha yüksek derecedeki rasyonel eşitsizlikler, yani formdaki eşitsizlikler
a n x n + a n-1 x n-1 + … + a 1 x + a 0 > 0 (<0), n>2.
Polinom en yüksek dereceçarpanlara ayrılmalı, yani eşitsizlik şu şekilde yazılmalıdır:
a n (x - x 1) (x - x 2) ·…· (x - x n) > 0 (<0).
Sayı doğrusunda polinomun kaybolduğu noktaları işaretleyin.
Her aralıktaki polinomun işaretlerini belirleyin.
1) x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x eşitsizliğini çözün< 0.
x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x = x (x 3 - 6x 2 + 11x -6) = x (x 3 - x 2 - 5x 2 + 5x +6x - 6) =x (x - 1)(x 2 -5x + 6) =
x (x - 1) (x - 2) (x - 3). Yani x (x - 1) (x - 2) (x - 3)<0
Cevap: (0; 1) (2; 3).
2) Eşitsizliği çözün (x -1) 5 (x + 2) (x - ½) 7 (2x + 1) 4<0.
Sayı ekseninde polinomun sıfırlandığı noktaları işaretleyelim. Bunlar x = 1, x = -2, x = ½, x = - ½'dir.
x = - ½ noktasında binomun (2x + 1) çift üssü olduğundan işaret değişikliği olmaz, yani (2x + 1) 4 ifadesi x = noktasından geçerken işaret değiştirmez. - ½.
Cevap: (-∞; -2) (½; 1).
3) Eşitsizliği çözün: x 2 (x + 2) (x - 3) ≥ 0.
Bu eşitsizlik aşağıdaki kümeye eşdeğerdir
(1)'in çözümü x (-∞; -2) (3; +∞)'dir. (2)'nin çözümü x = 0, x = -2, x = 3'tür. Elde edilen çözümleri birleştirerek x О (-∞; -2] (0) (0) elde ederiz.
$b$ rolde nerede olabilir? normal numara ve belki daha sert bir şey. Örnekler? Evet lütfen:
\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ dörtlü ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(X))). \\\bit(hizala)\]
Anlamının açık olduğunu düşünüyorum: $((a)^(x))$ üstel bir fonksiyonu var, bir şeyle karşılaştırılıyor ve sonra $x$'ı bulması isteniyor. Özellikle klinik durumlarda $x$ değişkeni yerine $f\left(x \right)$ fonksiyonunu koyabilirler ve böylece eşitsizliği biraz karmaşık hale getirebilirler :)
Elbette bazı durumlarda eşitsizlik daha şiddetli görünebilir. Burada örneğin:
\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]
Veya bu bile:
Genel olarak, bu tür eşitsizliklerin karmaşıklığı çok farklı olabilir, ancak sonuçta yine de $((a)^(x)) \gt b$ basit yapısına inerler. Ve böyle bir yapıyı bir şekilde çözeceğiz (özellikle klinik durumlarda, akla hiçbir şey gelmediğinde logaritmalar bize yardımcı olacaktır). Bu nedenle şimdi size bu kadar basit yapıların nasıl çözüleceğini öğreteceğiz.
Basit üstel eşitsizlikleri çözme
Çok basit bir şeye bakalım. Örneğin, bu:
\[((2)^(x)) \gt 4\]
Açıkçası, sağdaki sayı ikinin kuvveti olarak yeniden yazılabilir: $4=((2)^(2))$. Böylece orijinal eşitsizlik çok uygun bir biçimde yeniden yazılabilir:
\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]
Ve şimdi ellerim $x \gt 2$ cevabını alabilmek için kuvvetler tabanındaki ikileri "çizmek" için can atıyor. Ancak herhangi bir şeyin üzerini çizmeden önce ikinin kuvvetlerini hatırlayalım:
\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]
Gördüğümüz gibi, daha daha büyük sayıüssün içindeyse, çıktı numarası o kadar büyük olur. "Teşekkürler Kaptan!" - öğrencilerden biri haykıracak. Farklı mı? Ne yazık ki oluyor. Örneğin:
\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ sağ))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]
Burada da her şey mantıklı: ne daha fazla derece 0,5 sayısı kendisiyle ne kadar çok çarpılırsa (yani ikiye bölünürse) o kadar çok olur. Böylece ortaya çıkan sayı dizisi azalmakta ve birinci ve ikinci dizi arasındaki fark yalnızca tabanda kalmaktadır:
- Derecenin tabanı $a \gt 1$ ise, $n$ üssü arttıkça $((a)^(n))$ sayısı da artacaktır;
- Ve tam tersi, eğer $0 \lt a \lt 1$ ise, $n$ üssü arttıkça $((a)^(n))$ sayısı azalacaktır.
Bu gerçekleri özetleyerek, tüm kararın dayandığı en önemli ifadeyi elde ediyoruz. üstel eşitsizlikler:
$a \gt 1$ ise, $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ eşitsizliği $x \gt n$ eşitsizliğine eşdeğerdir. $0 \lt a \lt 1$ ise, $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ eşitsizliği $x \lt n$ eşitsizliğine eşdeğerdir.
Başka bir deyişle, eğer temel birden fazla, basitçe kaldırabilirsiniz - eşitsizlik işareti değişmeyecektir. Ve eğer taban birden küçükse, o zaman da kaldırılabilir, ancak aynı zamanda eşitsizlik işaretini de değiştirmeniz gerekecektir.
Lütfen $a=1$ ve $a\le 0$ seçeneklerini dikkate almadığımızı unutmayın. Çünkü bu durumlarda belirsizlik ortaya çıkıyor. $((1)^(x)) \gt 3$ biçimindeki bir eşitsizliğin nasıl çözüleceğini söyleyelim. Herhangi bir güce biri yine bir verecek; asla üç veya daha fazlasını alamayacağız. Onlar. hiçbir çözüm yok.
İLE olumsuz nedenler hala daha ilginç. Örneğin şu eşitsizliği düşünün:
\[((\sol(-2 \sağ))^(x)) \gt 4\]
İlk bakışta her şey basit:
Sağ? Ama hayır! $x$ yerine birkaç çift sayı ve birkaç tane koymak yeterlidir tek sayılarÇözümün yanlış olduğundan emin olmak için. Bir göz atın:
\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]
Gördüğünüz gibi işaretler değişiyor. Ama daha fazlası var kesirli kuvvetler ve diğer teneke. Örneğin $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (eksi iki üzeri yedinin kuvveti) hesaplamasını nasıl yaparsınız? Mümkün değil!
Bu nedenle, kesinlik sağlamak için tüm üstel eşitsizliklerde (ve bu arada denklemlerde de) $1\ne a \gt 0$ olduğunu varsayıyoruz. Ve sonra her şey çok basit bir şekilde çözüldü:
\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Rightarrow \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\end(hizala) \sağ.\]
Genel olarak ana kuralı tekrar hatırlayın: Üstel bir denklemin tabanı birden büyükse, onu kaldırabilirsiniz; ve eğer taban birden küçükse o da kaldırılabilir ancak eşitsizliğin işareti değişecektir.
Çözüm örnekleri
Şimdi birkaç basit üstel eşitsizliğe bakalım:
\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\bit(hizala)\]
Her durumda birincil görev aynıdır: eşitsizlikleri en basit biçimine indirgemek $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Şimdi her eşitsizlikle yapacağımız şey tam olarak budur ve aynı zamanda derecelerin ve üstel fonksiyonların özelliklerini tekrarlayacağız. Öyleyse gidelim!
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]
Burada ne yapabilirsiniz? Sol tarafta zaten var üstel ifade- hiçbir şeyi değiştirmeye gerek yok. Ama sağda bir çeşit saçmalık var: bir kesir ve hatta paydada bir kök!
Ancak kesirlerle ve kuvvetlerle çalışmanın kurallarını hatırlayalım:
\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n))))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\bit(hizala)\]
Bu ne anlama geliyor? Öncelikle kesri bir kuvvete dönüştürerek kesirden kolaylıkla kurtulabiliriz. negatif gösterge. İkincisi, paydanın bir kökü olduğundan, onu bu sefer kesirli bir üsle bir kuvvete dönüştürmek güzel olurdu.
Bu eylemleri sırasıyla eşitsizliğin sağ tarafına uygulayalım ve ne olacağını görelim:
\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \sağ))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \sağ))))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]
Bir dereceyi bir kuvvete yükseltirken bu derecelerin üslerinin toplandığını unutmayın. Ve genel olarak, çalışırken üstel denklemler ve eşitsizlikler için kuvvetlerle çalışmanın en azından en basit kurallarını bilmek kesinlikle gereklidir:
\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y))))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\bit(hizala)\]
Aslında, son kural hemen uyguladık. Bu nedenle orijinal eşitsizliğimiz şu şekilde yeniden yazılacaktır:
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Rightarrow ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3))))\]
Şimdi tabandaki ikisinden kurtuluyoruz. 2 > 1 olduğundan eşitsizlik işareti aynı kalacaktır:
\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right].\\\end(align)\]
Çözüm bu! Asıl zorluk hiç de üstel fonksiyonda değil, orijinal ifadenin yetkin dönüşümündedir: onu dikkatli ve hızlı bir şekilde en basit biçimine getirmeniz gerekir.
İkinci eşitsizliği düşünün:
\[((0.1)^(1-x)) \lt 0.01\]
Evet, evet. Burada ondalık kesirler bizi bekliyor. Birçok kez söylediğim gibi, üstleri olan herhangi bir ifadede ondalık sayılardan kurtulmalısınız - bu genellikle hızlı ve basit bir çözüm görmenin tek yoludur. Burada aşağıdakilerden kurtulacağız:
\[\begin(align) & 0,1=\frac(1)(10);\quad 0,01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ right))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Rightarrow ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2)) \\\bit(hizala)\]
Burada yine en basit eşitsizlikle karşı karşıyayız ve hatta 1/10 tabanında bile, yani; birden az. Peki, üsleri kaldırıyoruz, aynı anda işareti "daha az" yerine "daha fazla" olarak değiştiriyoruz ve şunu elde ediyoruz:
\[\begin(hizala) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\bit(hizala)\]
Son yanıtı aldık: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Lütfen dikkat: cevap kesinlikle bir kümedir ve hiçbir durumda $x \lt -1$ biçiminde bir yapı değildir. Çünkü resmi olarak böyle bir yapı kesinlikle bir küme değil, $x$ değişkenine göre bir eşitsizliktir. Evet, çok basit ama cevap bu değil!
Önemli Not. Bu eşitsizlik başka bir şekilde, her iki tarafın da tabanı birden büyük bir kuvvete indirilmesiyle çözülebilir. Bir göz atın:
\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Rightarrow ((\left(((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]
Böyle bir dönüşümden sonra yine üstel bir eşitsizlik elde edeceğiz, ancak tabanı 10 > 1 olacak. Bu, on'un üzerini kolayca çizebileceğimiz anlamına gelir; eşitsizliğin işareti değişmeyecektir. Şunu elde ederiz:
\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\bit(hizala)\]
Gördüğünüz gibi cevap tamamen aynıydı. Aynı zamanda kendimizi tabelayı değiştirme ve genel olarak kuralları hatırlama ihtiyacından da kurtardık :)
\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]
Ancak bu sizi korkutmasın. Göstergelerde ne olursa olsun eşitsizliği çözme teknolojisi aynı kalıyor. Bu nedenle öncelikle 16 = 2 4 olduğunu belirtelim. Bu gerçeği dikkate alarak orijinal eşitsizliği yeniden yazalım:
\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]
Yaşasın! Her zamanki gibi olduk ikinci dereceden eşitsizlik! Taban iki olduğundan (birden büyük bir sayı) işaret hiçbir yerde değişmedi.
Sayı doğrusunda bir fonksiyonun sıfırları
$f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ fonksiyonunun işaretlerini düzenliyoruz - açıkça, grafiği yukarı dalları olan bir parabol olacak, dolayısıyla "artılar" olacak ” yanlarda. Fonksiyonun sıfırdan küçük olduğu bölgeyle ilgileniyoruz, yani. $x\in \left(2;5 \right)$ asıl sorunun cevabıdır.
Son olarak başka bir eşitsizliği düşünün:
\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]
Yine tabanında ondalık kesir bulunan üstel bir fonksiyon görüyoruz. Bu kesri ortak kesire dönüştürelim:
\[\begin(align) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2 )^(1+((x)^(2))))=((\left(((5)^(-1)) \right))^(1+((x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]
İÇİNDE bu durumda Daha önceki açıklamayı kullandık - ilerideki çözümümüzü basitleştirmek için tabanı 5 > 1 sayısına indirdik. Aynısını sağ taraf için de yapalım:
\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ sağ))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]
Her iki dönüşümü de hesaba katarak orijinal eşitsizliği yeniden yazalım:
\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(-1\cdot \left(1+) ((x)^(2)) \sağ))))\ge ((5)^(-2))\]
Her iki tarafın tabanları aynı olup birden fazladır. Sağda ve solda başka terim yok, dolayısıyla beşlerin üzerini çiziyoruz ve çok basit bir ifade elde ediyoruz:
\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]
Bu noktada daha dikkatli olmanız gerekiyor. Birçok öğrenci basitçe çıkarmayı sever karekök eşitsizliğin her iki tarafının da değerini alın ve $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$ gibi bir şey yazın. Tam karenin kökü şu şekilde olduğundan, hiçbir durumda bunu yapmamalısınız: modül ve hiçbir durumda orijinal değişken:
\[\sqrt(((x)^(2))))=\left| x\sağ|\]
Ancak modüllerle çalışmak pek hoş bir deneyim değil, değil mi? Yani çalışmayacağız. Bunun yerine, tüm terimleri sola kaydırırız ve olağan eşitsizliği aralık yöntemini kullanarak çözeriz:
$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(hizala)$
Elde edilen noktaları tekrar sayı doğrusu üzerinde işaretliyoruz ve işaretlere bakıyoruz:
Lütfen dikkat: noktalar gölgelidir Kesin olmayan bir eşitsizliği çözdüğümüz için grafikteki tüm noktalar gölgelidir. Bu nedenle cevap şu olacaktır: $x\in \left[ -1;1 \right]$ bir aralık değil, bir segmenttir.
Genel olarak üstel eşitsizliklerde karmaşık bir şey olmadığını belirtmek isterim. Bugün gerçekleştirdiğimiz tüm dönüşümlerin anlamı basit bir algoritmaya indirgeniyor:
- Tüm dereceleri indirgeyeceğimiz temeli bulun;
- $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ biçiminde bir eşitsizlik elde etmek için dönüşümleri dikkatlice gerçekleştirin. Elbette $x$ ve $n$ değişkenleri yerine çok daha fazlası olabilir karmaşık işlevler ama anlamı değişmeyecek;
- Derece tabanlarının üzerini çizin. Bu durumda $a \lt 1$ tabanı varsa eşitsizlik işareti değişebilir.
Aslında bu, tüm bu tür eşitsizlikleri çözmeye yönelik evrensel bir algoritmadır. Ve bu konuda size anlatacakları diğer her şey, dönüşümü basitleştirecek ve hızlandıracak belirli teknikler ve püf noktalarından ibarettir. Şimdi bu tekniklerden birinden bahsedeceğiz :)
Rasyonalizasyon yöntemi
Başka bir eşitsizlik kümesini ele alalım:
\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text() )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \sağ))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]
Peki onları bu kadar özel kılan ne? Hafifler. Yine de dur! π sayısı bir dereceye kadar yükseltilmiş mi? Ne saçmalığı?
$2\sqrt(3)-3$ sayısının bir üssü nasıl yükseltilir? Veya $3-2\sqrt(2)$? Sorunlu yazarların işe başlamadan önce çok fazla Hawthorn içtiği belli. :)
Aslında bu görevlerin korkutucu bir yanı yok. Size hatırlatmama izin verin: üstel bir fonksiyon $((a)^(x))$ biçiminde bir ifadedir; burada $a$ tabanı, bir dışında herhangi bir pozitif sayıdır. π sayısı pozitiftir; bunu zaten biliyoruz. $2\sqrt(3)-3$ ve $3-2\sqrt(2)$ sayıları da pozitiftir; bunları sıfırla karşılaştırırsanız bunu görmek kolaydır.
Tüm bu “korkutucu” eşitsizliklerin yukarıda tartışılan basit eşitsizliklerden farklı bir şekilde çözülmediği ortaya çıktı. Ve aynı şekilde mi çözülüyorlar? Evet, bu kesinlikle doğru. Ancak onların örneğini kullanarak, zamandan büyük ölçüde tasarruf sağlayan bir tekniği ele almak istiyorum. bağımsız çalışma ve sınavlar. Rasyonalizasyon yönteminden bahsedeceğiz. Yani dikkat:
$((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ biçimindeki herhangi bir üstel eşitsizlik, $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \) eşitsizliğine eşdeğerdir sağ) \gt 0 $.
Bütün yöntem bu :) Başka bir tür oyun olacağını mı düşündün? Öyle bir şey yok! Ancak kelimenin tam anlamıyla tek satırda yazılan bu basit gerçek, işimizi büyük ölçüde kolaylaştıracaktır. Bir göz atın:
\[\begin(matrix) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text() )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text()\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matrix)\]
Yani artık üstel fonksiyon yok! Ve burcun değişip değişmediğini hatırlamanıza gerek yok. Ama ortaya çıkıyor yeni sorun: kahrolası \[\left(\text() )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\] çarpanıyla ne yapmalı? Neyle ilgili olduğunu bilmiyoruz kesin değer sayılar π. Ancak kaptan bariz bir şeyi ima ediyor gibi görünüyor:
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\yaklaşık 3,14... \gt 3\Rightarrow \text( )\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]
Genel olarak, π'nin tam değeri bizi gerçekten ilgilendirmiyor - bizim için yalnızca her durumda $\text( )\!\!\pi\!\!\text()-1 \gt 2 olduğunu anlamamız önemlidir. $, t.e. bu pozitif bir sabittir ve eşitsizliğin her iki tarafını da buna bölebiliriz:
\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text() )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]
Gördüğünüz gibi, belli bir anda eksi bire bölmek zorunda kaldık ve eşitsizliğin işareti değişti. Sonunda, Vieta teoremini kullanarak ikinci dereceden üç terimliyi genişlettim - köklerin $((x)_(1))=5$ ve $((x)_(2))=-1$'a eşit olduğu açıktır. . Sonra her şeye karar verilir klasik yöntem aralıklar:
Aralık yöntemini kullanarak eşitsizliği çözme Orijinal eşitsizlik kesin olduğundan tüm noktalar kaldırılmıştır. Negatif değerlere sahip bölgeyle ilgilendiğimiz için cevap $x\in \left(-1;5 \right)$ olur. Çözüm bu :)
Bir sonraki göreve geçelim:
\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]
Burada her şey genel olarak basit çünkü sağda bir ünite var. Ve birin sıfırıncı kuvvete yükseltilmiş herhangi bir sayı olduğunu hatırlıyoruz. Bu sayı olsa bile irrasyonel ifade, soldaki tabanda duruyor:
\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3) \sağ))^(0)); \\\bit(hizala)\]
Peki, rasyonelleştirelim:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]
Geriye kalan tek şey işaretleri çözmek. $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ faktörü $x$ değişkenini içermez - bu yalnızca bir sabittir ve işaretini bulmamız gerekir. Bunu yapmak için aşağıdakilere dikkat edin:
\[\begin(matrix) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \sağ)=0 \\\end(matris)\]
İkinci faktörün sadece bir sabit değil aynı zamanda negatif bir sabit olduğu ortaya çıktı! Ve buna bölündüğünde, orijinal eşitsizliğin işareti tersine değişir:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(align)\]
Artık her şey tamamen aşikar hale geliyor. Kökler ikinci dereceden üç terimli, sağda duran: $((x)_(1))=0$ ve $((x)_(2))=2$. Bunları sayı doğrusunda işaretliyoruz ve $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$ fonksiyonunun işaretlerine bakıyoruz:
Yan aralıklarla ilgilendiğimiz durum Artı işaretiyle işaretlenmiş aralıklarla ilgileniyoruz. Geriye sadece cevabı yazmak kalıyor:
Bir sonraki örneğe geçelim:
\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ sağ))^(16-x))\]
Burada her şey tamamen açık: üsler aynı sayıdaki kuvvetleri içeriyor. Bu nedenle her şeyi kısaca yazacağım:
\[\begin(matrix) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2))))=((3)^(-2)) \\ \Aşağı ok \\ ((\left(((3)^(-1)) \right))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \right))^(16-x)) \\\end(matrix)\]
\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ left(16-x \right))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]
Gördüğünüz gibi dönüşüm sürecinde negatif bir sayıyla çarpmak zorunda kaldık, dolayısıyla eşitsizlik işareti değişti. En sonunda, ikinci dereceden üç terimliyi çarpanlarına ayırmak için tekrar Vieta teoremini uyguladım. Sonuç olarak cevap şu şekilde olacaktır: $x\in \left(-8;4 \right)$ - herkes bunu bir sayı doğrusu çizerek, noktaları işaretleyerek ve işaretleri sayarak doğrulayabilir. Bu arada “kümemizden” son eşitsizliğe geçelim:
\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]
Gördüğünüz gibi yine tabanda irrasyonel sayı ve sağda yine bir tane var. Bu nedenle üstel eşitsizliğimizi şu şekilde yeniden yazıyoruz:
\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2)) \ sağ))^(0))\]
Rasyonalizasyon uyguluyoruz:
\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]
Ancak $1-\sqrt(2) \lt 0$ olduğu oldukça açıktır, çünkü $\sqrt(2)\approx 1,4... \gt 1$. Bu nedenle, ikinci faktör yine eşitsizliğin her iki tarafının da bölünebileceği negatif bir sabittir:
\[\begin(matrix) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\son(matris)\]
\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(align)\]
Başka bir üsse git
Üstel eşitsizlikleri çözerken ayrı bir sorun, “doğru” temeli aramaktır. Ne yazık ki bir görevde neyin temel alınacağı ve bu temelin derecesine göre ne yapılacağı her zaman ilk bakışta belli olmuyor.
Ancak endişelenmeyin: Burada sihir veya "gizli" bir teknoloji yok. Matematikte algoritmik hale getirilemeyen her beceri pratik yoluyla kolaylıkla geliştirilebilir. Ancak bunun için sorunları çözmeniz gerekecek farklı seviyeler karmaşıklık. Örneğin şöyle:
\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ bitiş(hizalama)\]
Zor? Korkutucu? Asfalta tavuğa vurmaktan daha kolay! Hadi deneyelim. İlk eşitsizlik:
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))))\]
Sanırım burada her şey açık:
Her şeyi iki temele indirerek orijinal eşitsizliği yeniden yazıyoruz:
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Rightarrow \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \sağ)\cdot \left(2-1 \sağ) \lt 0\]
Evet evet doğru duydunuz: Az önce yukarıda anlatılan rasyonelleştirme yöntemini uyguladım. Şimdi dikkatli çalışmamız gerekiyor: başardık kesirli rasyonel eşitsizlik(bu, paydasında değişken olan bir şeydir), dolayısıyla bir şeyi sıfıra eşitlemeden önce her şeyi eşitlemeniz gerekir. ortak payda ve sabit faktörden kurtulun.
\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]
Şimdi kullanıyoruz standart yöntem aralıklar. Pay sıfırları: $x=\pm 4$. Payda yalnızca $x=0$ olduğunda sıfıra gider. Sayı doğrusunda işaretlenmesi gereken toplam üç nokta vardır (eşitsizlik işareti katı olduğundan tüm noktalar işaretlenmiştir). Şunu elde ederiz:
Daha zor durum: üç kök Tahmin edebileceğiniz gibi gölgeleme, soldaki ifadenin geçerli olduğu aralıkları işaretler. negatif değerler. Bu nedenle nihai cevap aynı anda iki aralığı içerecektir:
Başlangıçtaki eşitsizlik katı olduğundan aralıkların uçları cevaba dahil edilmemiştir. Bu cevabın daha fazla doğrulanmasına gerek yoktur. Bu bakımdan üstel eşitsizlikler logaritmik olanlardan çok daha basittir: ODZ yok, kısıtlama yok, vb.
Bir sonraki göreve geçelim:
\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]
Burada da herhangi bir sorun yok, çünkü $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$ olduğunu zaten biliyoruz, dolayısıyla tüm eşitsizlik şu şekilde yeniden yazılabilir:
\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x) ))\Rightarrow ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\sol(-2 \sağ) \sağ. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]
Lütfen dikkat: Üçüncü satırda önemsiz şeylerle zaman kaybetmemeye ve her şeyi hemen (−2)'ye bölmeye karar verdim. Minul ilk gruba girdi (artık her yerde artılar var) ve ikisi sabit bir faktörle azaltıldı. Bağımsız ve gerçek ekranlar hazırlarken yapmanız gereken tam olarak budur. testler— Her eylemi ve dönüşümü anlatmaya gerek yok.
Daha sonra tanıdık aralık yöntemi devreye giriyor. Pay sıfırları: ancak hiçbiri yok. Çünkü diskriminant negatif olacaktır. Buna karşılık, payda yalnızca $x=0$'da sıfıra sıfırlanır - aşağıdaki gibi son kez. $x=0$'ın sağında kesirin ne kadar süreceği açık pozitif değerler, ve solda negatif. Negatif değerlerle ilgilendiğimiz için son cevap şudur: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.
\[((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1\]
Üstel eşitsizliklerde ondalık kesirlerle ne yapmalısınız? Bu doğru: onlardan kurtulun, onları sıradan olanlara dönüştürün. Burada tercüme edeceğiz:
\[\begin(align) & 0,16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0,16 \right))^(1+2x)) =((\ sol(\frac(4)(25) \sağ))^(1+2x)); \\ & 6,25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Rightarrow ((\left(6,25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25) (4)\sağ))^(x))). \\\bit(hizala)\]
Peki üstel fonksiyonların temellerinde ne elde ettik? Ve karşılıklı olarak ters iki sayı elde ettik:
\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4) \ sağ))^(x))=((\left(((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1)) \right))^(x))=((\ sol(\frac(4)(25) \sağ))^(-x))\]
Böylece orijinal eşitsizlik şu şekilde yeniden yazılabilir:
\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \sağ))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\bit(hizala)\]
Tabii ki, güçleri çarparken aynı temel göstergeleri toplanıyor, ikinci satırda da böyle oldu. Ayrıca sağdaki birimi de 4/25 tabanındaki kuvvet olarak temsil ettik. Geriye kalan tek şey rasyonelleştirmek:
\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]
$\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$ olduğuna dikkat edin, yani. ikinci faktör negatif bir sabittir ve ona bölündüğünde eşitsizlik işareti değişecektir:
\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]
Son olarak mevcut “küme”den son eşitsizlik:
\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]
Prensip olarak buradaki çözüm fikri de açıktır: her şey üstel fonksiyonlar Eşitsizliğin içinde yer alan , “3” tabanına indirilmelidir. Ancak bunun için kökler ve güçlerle biraz uğraşmanız gerekecek:
\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\bit(hizala)\]
Bu gerçekler dikkate alınarak orijinal eşitsizlik şu şekilde yeniden yazılabilir:
\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3) ^(2))\right))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)) \\\bit(hizala)\]
Hesaplamaların 2. ve 3. satırlarına dikkat edin: Eşitsizlikle ilgili herhangi bir şey yapmadan önce, onu dersin başında konuştuğumuz forma getirdiğinizden emin olun: $((a)^(x)) \ lt ((a)^(n))$. Solda veya sağda bazı solak çarpanlarınız, ek sabitleriniz vb. olduğu sürece, hiçbir rasyonelleştirme veya gerekçelerin "üstünün çizilmesi" gerçekleştirilemez! Bunun anlaşılmaması nedeniyle sayısız görev yanlış tamamlandı basit gerçek. Üstel ve logaritmik eşitsizlikleri analiz etmeye yeni başladığımız dönemde ben de öğrencilerimde bu sorunu sürekli gözlemliyorum.
Ama görevimize dönelim. Bu sefer rasyonelleştirmeden yapmaya çalışalım. Hatırlayalım: derecenin tabanı birden büyüktür, dolayısıyla üçlülerin üzeri çizilebilir - eşitsizlik işareti değişmeyecektir. Şunu elde ederiz:
\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(align)\]
İşte bu. Son cevap: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.
Kararlı bir ifadeyi ayırma ve bir değişkeni değiştirme
Sonuç olarak, hazırlıksız öğrenciler için zaten oldukça zor olan dört üstel eşitsizliğin daha çözülmesini öneriyorum. Onlarla başa çıkmak için derecelerle çalışmanın kurallarını hatırlamanız gerekir. Özellikle, ihraç ortak faktörler parantezlerin dışında.
Ancak en önemli şey, parantezlerden tam olarak neyin çıkarılabileceğini anlamayı öğrenmektir. Böyle bir ifadeye kararlı denir - yeni bir değişkenle gösterilebilir ve böylece üstel fonksiyondan kurtulabilirsiniz. Öyleyse görevlere bakalım:
\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1.5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(align)\]
İlk satırdan başlayalım. Bu eşitsizliği ayrı ayrı yazalım:
\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]
$((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$ olduğuna dikkat edin, yani sağ el tarafı yeniden yazılabilir:
Eşitsizlikte $((5)^(x+1))$ dışında başka üstel fonksiyon bulunmadığını unutmayın. Ve genel olarak, $x$ değişkeni başka hiçbir yerde görünmez, bu yüzden yeni bir değişken tanıtalım: $((5)^(x+1))=t$. Aşağıdaki yapıyı elde ederiz:
\[\begin(hizala) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(hizala)\]
Orijinal değişkene ($t=((5)^(x+1))$) geri dönüyoruz ve aynı zamanda 1=5 0 olduğunu da hatırlıyoruz. Sahibiz:
\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\bit(hizala)\]
Çözüm bu! Cevap: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. İkinci eşitsizliğe geçelim:
\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]
Burada her şey aynı. $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ olduğunu unutmayın. Daha sonra sol taraf yeniden yazılabilir:
\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \sağ. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Rightarrow x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\bit(hizala)\]
Gerçek testler ve bağımsız çalışma için yaklaşık olarak bu şekilde bir çözüm hazırlamanız gerekir.
Peki, daha karmaşık bir şey deneyelim. Örneğin, burada eşitsizlik var:
\[((25)^(x+1.5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]
Buradaki sorun ne? Öncelikle soldaki üstel fonksiyonların tabanları farklıdır: 5 ve 25. Ancak 25 = 5 2 olduğundan ilk terim dönüştürülebilir:
\[\begin(align) & ((25)^(x+1,5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1,5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(align )\]
Gördüğünüz gibi, ilk başta her şeyi aynı tabana getirdik ve sonra ilk terimin kolayca ikinciye indirgenebileceğini fark ettik - sadece üssü genişletmeniz gerekiyor. Artık yeni bir değişkeni güvenle tanıtabilirsiniz: $((5)^(2x+2))=t$ ve tüm eşitsizlik aşağıdaki gibi yeniden yazılacaktır:
\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(hizala)\]
Ve yine hiçbir zorluk yok! Son cevap: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Bugünkü dersimizin son eşitsizliğine geçelim:
\[((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]
Dikkat etmeniz gereken ilk şey elbette ondalık birinci derecenin tabanında. Ondan kurtulmak ve aynı zamanda tüm üstel fonksiyonları aynı tabana - “2” sayısına getirmek gerekiyor:
\[\begin(align) & 0,5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0,5 \right))^(-4x- 8))= ((\left(((2)^(-1)) \right))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Rightarrow ((16)^(x+1,5))=((\left(((2)^(4)) \right))^( x+ 1.5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]
Harika, ilk adımı attık; her şey aynı temele ulaştı. Şimdi seçmeniz gerekiyor kararlı ifade. $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$ olduğunu unutmayın. Yeni bir $((2)^(4x+6))=t$ değişkeni eklersek, orijinal eşitsizlik şu şekilde yeniden yazılabilir:
\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\bit(hizala)\]
Doğal olarak şu soru ortaya çıkabilir: 256 = 2 8 olduğunu nasıl keşfettik? Ne yazık ki, burada sadece ikinin kuvvetlerini (ve aynı zamanda üç ve beşin kuvvetlerini) bilmeniz gerekiyor. Veya 256'yı 2'ye bölün (256 olduğu için bölebilirsiniz) çift sayı) sonucu elde edene kadar. Bunun gibi bir şeye benzeyecek:
\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(align )\]
Aynı şey üç için de geçerlidir (9, 27, 81 ve 243 sayıları onun dereceleridir) ve yedi için de geçerlidir (49 ve 343 sayıları da hatırlamak güzel olurdu). Beşinin de bilmeniz gereken “güzel” dereceleri var:
\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\bit(hizala)\]
Elbette dilerseniz tüm bu sayıları birbiri ardına çarparak zihninize geri yükleyebilirsiniz. Bununla birlikte, birkaç üstel eşitsizliği çözmeniz gerektiğinde ve sonraki her biri bir öncekinden daha zor olduğunda, düşünmek isteyeceğiniz son şey, bazı sayıların kuvvetleridir. Ve bu anlamda bu problemler aralık yöntemiyle çözülen “klasik” eşitsizliklerden daha karmaşıktır.