Konuyla ilgili ders ve sunum: "Eşitsizlik sistemleri. Çözüm örnekleri"
Ek malzemeler
Sevgili kullanıcılar, yorumlarınızı, yorumlarınızı, dileklerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm materyaller antivirüs programı ile kontrol edilmiştir.
9. sınıf için Integral çevrimiçi mağazasında eğitim yardımcıları ve simülatörler
9. sınıf için etkileşimli ders kitabı "Geometride kurallar ve alıştırmalar"
7-9. Sınıflar için "Anlaşılabilir Geometri" elektronik ders kitabı
Eşitsizlik sistemi
Arkadaşlar, doğrusal ve ikinci dereceden eşitsizlikler üzerinde çalıştınız ve bu konulardaki problemlerin nasıl çözüleceğini öğrendiniz. Şimdi matematikte yeni bir kavrama, eşitsizlikler sistemine geçelim. Eşitsizlik sistemi denklem sistemine benzer. Denklem sistemlerini hatırlıyor musunuz? Yedinci sınıfta denklem sistemlerini incelediniz, onları nasıl çözdüğünüzü hatırlamaya çalışın.Eşitsizlik sisteminin tanımını verelim.
Her bir eşitsizliğin doğru bir değer oluşturduğu x'in tüm değerlerini bulmanız gerekiyorsa, bir x değişkenine sahip çeşitli eşitsizlikler bir eşitsizlik sistemi oluşturur. sayısal ifade.
Her eşitsizliğin doğru sayısal ifadeyi aldığı herhangi bir x değeri, eşitsizliğin bir çözümüdür. Özel çözüm olarak da adlandırılabilir.
Özel çözüm nedir? Örneğin cevapta x>7 ifadesini aldık. O halde x=8 veya x=123 veya yediden büyük herhangi bir sayı özel bir çözümdür ve x>7 ifadesi şu şekildedir: genel çözüm. Genel çözüm birçok özel çözümden oluşur.
Denklem sistemini nasıl birleştirdik? Bu doğru, küme parantezi ve eşitsizlikler için de aynısını yapıyorlar. Bir eşitsizlik sistemi örneğine bakalım: $\begin(cases)x+7>5\\x-3
Eşitsizlik sistemi aşağıdakilerden oluşuyorsa özdeş ifadeler, örneğin, $\begin(case)x+7>5\\x+7
Peki bu ne anlama geliyor: Eşitsizlikler sistemine çözüm bulmak mı?
Bir eşitsizliğin çözümü, sistemin her iki eşitsizliğini aynı anda karşılayan bir eşitsizliğin kısmi çözümleri kümesidir.
Eşitsizlik sisteminin genel formunu $\begin(cases)f(x)>0\\g(x)>0\end(cases)$ olarak yazıyoruz.
f(x)>0 eşitsizliğinin genel çözümü olarak $Х_1$'ı gösterelim.
$X_2$ g(x)>0 eşitsizliğinin genel çözümüdür.
$X_1$ ve $X_2$ bir dizi özel çözümdür.
Eşitsizlik sisteminin çözümü hem $X_1$ hem de $X_2$'a ait sayılar olacaktır.
Setlerdeki işlemleri hatırlayalım. Bir kümenin her iki kümeye de ait olan elemanlarını aynı anda nasıl buluruz? Doğru, bunun için bir kavşak operasyonu var. Dolayısıyla eşitsizliğimizin çözümü $A= X_1∩ X_2$ kümesi olacaktır.
Eşitsizlik sistemlerine çözüm örnekleri
Eşitsizlik sistemlerini çözme örneklerine bakalım.Eşitsizlik sistemini çözün.
a) $\begin(case)3x-1>2\\5x-10 b) $\begin(case)2x-4≤6\\-x-4
Çözüm.
a) Her eşitsizliği ayrı ayrı çözün.
$3x-1>2; \; 3x>3; \; x>1$.
5x-10$
Aralıklarımızı tek koordinat çizgisi üzerinde işaretleyelim.
Sistemin çözümü aralıklarımızın kesiştiği kısım olacaktır. Eşitsizlik katıysa segment açık olacaktır.
Cevap: (1;3).
B) Ayrıca her eşitsizliği ayrı ayrı çözeceğiz.
$2x-4≤6; 2x≤ 10; x ≤ 5$.
$-x-4 -5$. 
Sistemin çözümü aralıklarımızın kesiştiği kısım olacaktır. İkinci eşitsizlik kesinse, o zaman parça solda açık olacaktır.
Cevap: (-5; 5).
Öğrendiklerimizi özetleyelim.
Diyelim ki eşitsizlik sistemini çözmek gerekiyor: $\begin(cases)f_1 (x)>f_2 (x)\\g_1 (x)>g_2 (x)\end(cases)$.
O halde ($x_1; x_2$) aralığı birinci eşitsizliğin çözümüdür.
Aralık ($y_1; y_2$) ikinci eşitsizliğin çözümüdür.
Bir eşitsizlik sisteminin çözümü, her bir eşitsizliğin çözümlerinin kesişimidir. 
Eşitsizlik sistemleri yalnızca birinci dereceden eşitsizliklerden değil aynı zamanda diğer eşitsizlik türlerinden de oluşabilir.
Eşitsizlik sistemlerinin çözümü için önemli kurallar.
Sistemdeki eşitsizliklerden birinin çözümü yoksa tüm sistemin çözümü de yoktur.
Değişkenin herhangi bir değeri için eşitsizliklerden biri sağlanırsa sistemin çözümü diğer eşitsizliğin çözümü olacaktır.
Örnekler.
Eşitsizlik sistemini çözün:$\begin(cases)x^2-16>0\\x^2-8x+12≤0 \end(cases)$
Çözüm.
Her eşitsizliği ayrı ayrı çözelim.
$x^2-16>0$.
$(x-4)(x+4)>0$.
İkinci eşitsizliği çözelim.
$x^2-8x+12≤0$.
$(x-6)(x-2)≤0$.
Eşitsizliğin çözümü aralıktır. 
Her iki aralığı da aynı doğru üzerine çizip kesişim noktasını bulalım. 
Aralıkların kesişimi segmenttir (4; 6).
Cevap: (4;6).
Eşitsizlik sistemini çözün.
a) $\begin(cases)3x+3>6\\2x^2+4x+4 b) $\begin(cases)3x+3>6\\2x^2+4x+4>0\end(cases )$.
Çözüm.
a) Birinci eşitsizliğin çözümü x>1'dir.
İkinci eşitsizliğin diskriminantını bulalım.
$D=16-4 * 2 * 4=-16$. $D Kuralı hatırlayalım: Eşitsizliklerden birinin çözümü yoksa tüm sistemin çözümü de yoktur.
Cevap: Çözüm yok.
B) Birinci eşitsizliğin çözümü x>1'dir.
İkinci eşitsizlik tüm x'ler için sıfırdan büyüktür. O zaman sistemin çözümü birinci eşitsizliğin çözümüyle örtüşür.
Cevap:x>1.
Bağımsız çözüm için eşitsizlik sistemlerine ilişkin problemler
Eşitsizlik sistemlerini çözün:a) $\begin(case)4x-5>11\\2x-12 b) $\begin(case)-3x+1>5\\3x-11 c) $\begin(case)x^2-25 d) $\begin(case)x^2-16x+55>0\\x^2-17x+60≥0 \end(case)$
e) $\begin(case)x^2+36
Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.
Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması
Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.
Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.
Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.
Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:
- Siteye bir başvuru gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, adresiniz dahil çeşitli bilgileri toplayabiliriz. e-posta vesaire.
Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:
- Tarafımızca toplandı kişisel bilgiler sizinle iletişim kurmamıza ve sizi bilgilendirmemize olanak tanır benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler.
- Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
- Kişisel bilgileri ayrıca denetim, veri analizi ve çeşitli çalışmalar sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla.
- Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.
Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması
Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.
İstisnalar:
- Gerektiğinde kanuna uygun olarak, adli prosedür, V duruşma ve/veya genel taleplere veya taleplere dayalı olarak devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
- Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.
Kişisel bilgilerin korunması
Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.
Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak
Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.
Eşitsizlik≤ veya ≥ olan bir ifadedir. Örneğin 3x - 5 Bir eşitsizliği çözmek, eşitsizliğin doğru olduğu değişkenlerin tüm değerlerini bulmak anlamına gelir. Bu sayıların her biri eşitsizliğin bir çözümüdür ve tüm bu çözümlerin kümesi onun birçok çözüm. Çözüm kümeleri aynı olan eşitsizliklere eşitsizlik denir. eşdeğer eşitsizlikler.
Doğrusal eşitsizlikler
Eşitsizlikleri çözme ilkeleri denklem çözme ilkelerine benzer.Eşitsizlikleri çözme ilkeleri
Herhangi bir a, b ve c gerçek sayısı için:
Eşitsizliklerin eklenmesi ilkesi: Eğer bir Eşitsizlikler için çarpma ilkesi: a 0 doğruysa ac a bc de doğruysa.
Benzer ifadeler a ≤ b için de geçerlidir.
Bir eşitsizliğin her iki tarafı ile çarpıldığında negatif sayı eşitsizliğin işaretini tamamen değiştirmek gerekiyor.
Örnek 1'de (aşağıda) olduğu gibi birinci düzey eşitsizliklere denir. doğrusal eşitsizlikler.
Örnek 1 Aşağıdaki eşitsizliklerin her birini çözün. Daha sonra bir dizi çözüm çizin.
a) 3x - 5 b) 13 - 7x ≥ 10x - 4
Çözüm
11/5'ten küçük herhangi bir sayı bir çözümdür.
Çözüm kümesi (x|x
Kontrol etmek için y 1 = 3x - 5 ve y 2 = 6 - 2x grafiğini çizebiliriz. O zaman açıktır ki x için 
Çözüm kümesi (x|x ≤ 1) veya (-∞, 1)'dir.Çözüm kümesinin grafiği aşağıda gösterilmiştir. 
Çift eşitsizlikler
İki eşitsizlik bir kelimeyle bağlandığında Ve, veya, sonra oluşur çifte eşitsizlik. Çift eşitsizlik
-3
Ve 2x + 5 ≤ 7
isminde bağlıçünkü kullanıyor Ve. Madde -3 Çifte eşitsizlikler, eşitsizliklerin toplanması ve çarpılması ilkeleri kullanılarak çözülebilir.
Örnek 2-3'ü çöz Çözüm Sahibiz
Çözüm kümesi (x|x ≤ -1 veya x > 3). Çözümü aralık gösterimini ve sembolünü kullanarak da yazabiliriz. dernekler veya her iki kümeyi de içeren: (-∞ -1] (3, ∞). Çözüm kümesinin grafiği aşağıda gösterilmiştir. 
Kontrol etmek için y 1 = 2x - 5, y 2 = -7 ve y 3 = 1'in grafiğini çizelim. (x|x ≤ -1) için buna dikkat edin veya x > 3), y 1 ≤ y 2 veya y 1 > y 3 . 
Mutlak değerli eşitsizlikler (modül)
Eşitsizlikler bazen modüller içerir. Bunları çözmek için aşağıdaki özellikler kullanılır.
a > 0 ve cebirsel ifade X:
|x| |x| > a, x veya x > a'ya eşdeğerdir.
|x| için benzer ifadeler ≤ a ve |x| ≥ a.
Örneğin,
|x| |y| ≥ 1, y ≤ -1'e eşdeğerdir veya y ≥ 1;
ve |2x + 3| ≤ 4, -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4'e eşdeğerdir.
Örnek 4 Aşağıdaki eşitsizliklerin her birini çözün. Çözüm kümesinin grafiğini çizin.
a) |3x + 2| b) |5 - 2x| ≥ 1
Çözüm
a) |3x + 2|
b) |5 - 2x| ≥ 1
Çözüm kümesi (x|x ≤ 2)'dir veya x ≥ 3) veya (-∞, 2] .
Yukarıda açıklanan algoritmanın tamamı şu şekilde yazılmıştır:
3 x + 12 ≤ 0; 3 x ≤ - 12; x ≤ − 4 .
Cevap: x ≤ − 4 veya (− ∞ , − 4 ] .
Örnek 2
− 2, 7 · z > 0 eşitsizliğinin mevcut tüm çözümlerini belirtin.
Çözüm
Koşuldan z için a katsayısının - 2,7'ye eşit olduğunu ve b'nin açıkça bulunmadığını veya sıfıra eşit olduğunu görüyoruz. Algoritmanın ilk adımını kullanamazsınız, hemen ikinci adıma geçebilirsiniz.
Denklemin her iki tarafını da - 2, 7 sayısına bölüyoruz. Sayı negatif olduğundan eşitsizlik işaretini tersine çevirmek gerekir. Yani şunu elde ederiz: (− 2, 7 z) : (− 2, 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .
Algoritmanın tamamını yazacağız. kısa biçim:
- 2, 7 z > 0; z< 0 .
Cevap: z< 0 или (− ∞ , 0) .
Örnek 3
Eşitsizliği çözün - 5 x - 15 22 ≤ 0.
Çözüm
Koşullu olarak, x değişkeni için - 5'e eşit olan a katsayısı ile - 15 22 kesrine karşılık gelen b katsayısı ile eşitsizliği çözmenin gerekli olduğunu görüyoruz. Algoritmayı takip ederek eşitsizliği çözmek gerekir, yani: - 15 22'yi başka bir parçaya taşıyın. karşıt işaret, her iki tarafı - 5'e bölün, eşitsizlik işaretini değiştirin:
5 x ≤ 15 22; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22
Sağ tarafa son geçişte sayı bölme kuralı kullanılır. farklı işaretler 15 22: - 5 = - 15 22: 5, ardından bölme işlemini gerçekleştiriyoruz ortak kesir doğal sayıya - 15 22: 5 = - 15 22 · 1 5 = - 15 · 1 22 · 5 = - 3 22 .
Cevap: x ≥ - 3 22 ve [ - 3 22 + ∞) .
a = 0 olduğu durumu ele alalım. Doğrusal ifade a x + b formunda< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.
Her şey eşitsizliğin çözümünü belirlemek üzerine kuruludur. Herhangi bir x değeri için elde ederiz sayısal eşitsizlik b tipi< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.
Tüm kararları bir çözüm algoritması biçiminde ele alacağız doğrusal eşitsizlikler 0 x + b< 0 (≤ , > , ≥) :
Tanım 5
b formunun sayısal eşitsizliği< 0 (≤ , >, ≥) doğruysa, orijinal eşitsizliğin herhangi bir değer için bir çözümü vardır ve orijinal eşitsizliğin hiçbir çözümü yoksa yanlıştır.
Örnek 4
0 x + 7 > 0 eşitsizliğini çözün.
Çözüm
Bu doğrusal eşitsizlik 0 x + 7 > 0 herhangi bir x değerini alabilir. Daha sonra 7 > 0 formunda bir eşitsizlik elde ederiz. Son eşitsizlik doğru kabul edilir, bu da herhangi bir sayının onun çözümü olabileceği anlamına gelir.
Cevap: aralık (− ∞ , + ∞) .
Örnek 5
0 x − 12, 7 ≥ 0 eşitsizliğinin çözümünü bulun.
Çözüm
Herhangi bir sayının x değişkenini yerine koyarken eşitsizliğin - 12, 7 ≥ 0 formunu aldığını elde ederiz. Bu yanlış. Yani 0 x − 12, 7 ≥ 0'ın çözümü yoktur.
Cevap: hiçbir çözüm yok.
Her iki katsayının da sıfıra eşit olduğu doğrusal eşitsizlikleri çözmeyi düşünelim.
Örnek 6
0 x + 0 > 0 ve 0 x + 0 ≥ 0 arasındaki çözülemeyen eşitsizliği belirleyin.
Çözüm
X yerine herhangi bir sayıyı koyarken 0 > 0 ve 0 ≥ 0 formunda iki eşitsizlik elde ederiz. İlki yanlış. Bu, 0 x + 0 > 0'ın çözümü olmadığı, ancak 0 x + 0 ≥ 0'ın çözümü olduğu anlamına gelir. sonsuz sayıçözümler, yani herhangi bir sayı.
Cevap: 0 x + 0 > 0 eşitsizliğinin çözümü yoktur, ancak 0 x + 0 ≥ 0 eşitsizliğinin çözümleri vardır.
Bu yöntem tartışıldı okul kursu matematik. Aralık yöntemi çözüm yeteneğine sahiptir çeşitli türler eşitsizlikler de doğrusaldır.
Aralık yöntemi, x katsayısının değeri 0'a eşit olmadığında doğrusal eşitsizlikler için kullanılır. Aksi takdirde farklı bir yöntem kullanarak hesaplama yapmak zorunda kalacaksınız.
Tanım 6
Aralık yöntemi:
- y = a · x + b fonksiyonunun tanıtılması;
- tanım alanını aralıklara bölmek için sıfırları aramak;
- Aralıklarla ilgili kavramlarının işaretlerinin tanımı.
a x + b doğrusal denklemlerini çözmek için bir algoritma oluşturalım< 0 (≤ , >, ≥) a ≠ 0 için aralık yöntemini kullanarak:
- a · x + b = 0 formundaki bir denklemi çözmek için y = a · x + b fonksiyonunun sıfırlarını bulma. Eğer a ≠ 0 ise çözüm tek bir kök olacaktır ve bu da x 0 gösterimini alacaktır;
- koordinatı x 0 olan bir noktanın görüntüsüyle bir koordinat çizgisinin oluşturulması, katı eşitsizlik nokta, delinmiş bir noktayla veya kesin değilse boyalı bir noktayla gösterilir;
- y = a · x + b fonksiyonunun işaretlerini aralıklarla belirlemek; bunun için fonksiyonun değerlerini aralıktaki noktalarda bulmak gerekir;
- Koordinat çizgisi üzerinde > veya ≥ işaretli bir eşitsizliği çözme, pozitif aralığın üzerine gölgeleme ekleme,< или ≤ над отрицательным промежутком.
Aralık yöntemini kullanarak doğrusal eşitsizlikleri çözmenin birkaç örneğine bakalım.
Örnek 6
− 3 x + 12 > 0 eşitsizliğini çözün.
Çözüm
Algoritmaya göre ilk önce − 3 x + 12 = 0 denkleminin kökünü bulmanız gerekir. Bunu elde ederiz: − 3 · x = − 12, x = 4. 4. noktayı işaretlediğimiz yere bir koordinat çizgisi çizmek gerekiyor. Eşitsizlik katı olduğu için delinecek. Aşağıdaki çizimi düşünün.
Aralıklarla işaretleri belirlemek gerekir. Bunu (− ∞, 4) aralığında belirlemek için, x = 3'te y = − 3 x + 12 fonksiyonunu hesaplamak gerekir. Buradan − 3 3 + 12 = 3 > 0 sonucunu elde ederiz. Aralığın işareti pozitiftir.
İşareti (4, + ∞) aralığından belirleriz, ardından x = 5 değerini değiştiririz. Elimizde − 3 5 + 12 = − 3 var< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.
Eşitsizliği > işaretiyle çözüyoruz ve gölgeleme pozitif aralıkta yapılıyor. Aşağıdaki çizimi düşünün.
Çizimden istenen çözümün (− ∞ , 4) veya x biçiminde olduğu açıktır.< 4 .
Cevap: (− ∞ , 4) veya x< 4 .
Grafiksel olarak nasıl tasvir edileceğini anlamak için örnek olarak 4 doğrusal eşitsizliği dikkate almak gerekir: 0, 5 x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 ve 0, 5 x - 1 ≥ 0. Çözümleri x'in değerleri olacak< 2 , x ≤ 2 , x >2 ve x ≥ 2. Bunu yapmak için bir grafik çizelim doğrusal fonksiyon y = 0,5 x − 1 aşağıda verilmiştir.
Açıktır ki
Tanım 7
- 0, 5 x − 1 eşitsizliğinin çözümü< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
- 0, 5 x − 1 ≤ 0 çözümü, y = 0, 5 x − 1 fonksiyonunun O x'ten küçük olduğu veya çakıştığı aralık olarak kabul edilir;
- 0, 5 · x − 1 > 0 çözümü bir aralık olarak kabul edilir, fonksiyon O x'in üzerinde yer alır;
- 0, 5 · x − 1 ≥ 0 çözümü, O x veya üzerindeki grafiğin çakıştığı aralık olarak kabul edilir.
Anlam grafik çözümü eşitsizlikler grafikte gösterilmesi gereken aralıkları bulmaktır. İÇİNDE bu durumda bunu anladık sol taraf y = a · x + b'ye sahiptir ve sağdaki y = 0'dır ve O x ile çakışmaktadır.
Tanım 8y = a x + b fonksiyonunun grafiği çizilmiştir:
- a x + b eşitsizliğini çözerken< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
- a · x + b ≤ 0 eşitsizliğini çözerken, grafiğin O x ekseninin altında gösterildiği veya çakıştığı yerde aralık belirlenir;
- a · x + b > 0 eşitsizliğini çözerken, grafiğin O x üzerinde gösterildiği yerde aralık belirlenir;
- a · x + b ≥ 0 eşitsizliğini çözerken, grafiğin O x'in üzerinde olduğu veya çakıştığı aralık belirlenir.
Örnek 7
- 5 · x - 3 > 0 eşitsizliğini bir grafik kullanarak çözün.
Çözüm
- 5 · x - 3 > 0 doğrusal fonksiyonunun bir grafiğini oluşturmak gerekir. Bu doğru azalıyor çünkü x'in katsayısı negatif. O x - 5 · x - 3 > 0 ile kesiştiği noktanın koordinatlarını belirlemek için - 3 5 değerini elde ederiz. Grafiksel olarak gösterelim.
Eşitsizliği > işaretiyle çözdükten sonra Ox'in üzerindeki aralığa dikkat etmeniz gerekir. Uçağın gerekli kısmını kırmızıyla işaretleyip şunu elde edelim.
Gerekli boşluk O x kırmızı kısmıdır. Yani açık sayı ışını- ∞ , - 3 5 eşitsizliğinin çözümü olacaktır. Eğer koşul gereği katı olmayan bir eşitsizliğimiz olsaydı, o zaman - 3 5 noktasının değeri de eşitsizliğin çözümü olurdu. Ve Ox ile çakışacaktır.
Cevap: - ∞ , - 3 5 veya x< - 3 5 .
Grafik yöntemiçözüm, sol taraf y = 0 x + b fonksiyonuna, yani y = b'ye karşılık geldiğinde kullanılır. O zaman düz çizgi Ox'e paralel olacak veya b = 0'da çakışacaktır. Bu durumlar eşitsizliğin hiçbir çözümü olmayabileceğini veya çözümün herhangi bir sayıda olabileceğini göstermektedir.
Örnek 8
0 x + 7 eşitsizliklerinden belirleyin< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.
Çözüm
y = 0 x + 7'nin gösterimi y = 7'dir, o zaman verilecektir koordinat düzlemi Ox'e paralel ve Ox'in üzerinde bulunan düz bir çizgiyle. Yani 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.
y = 0 x + 0 fonksiyonunun grafiğinin y = 0 olduğu kabul edilir, yani düz çizgi O x ile çakışır. Bu, 0 x + 0 ≥ 0 eşitsizliğinin birçok çözümü olduğu anlamına gelir.
Cevap: İkinci eşitsizliğin herhangi bir x değeri için bir çözümü vardır.
Doğrusala indirgenen eşitsizlikler
Eşitsizliklerin çözümü çözüme indirgenebilir doğrusal denklem doğrusal hale gelen eşitsizlikler olarak adlandırılır.
Bu eşitsizlikler, eşitsizlikleri çözmenin özel bir durumu olduğundan, parantezlerin açılmasına ve benzer terimler. Örneğin, 5 − 2 x > 0, 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x, x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x olduğunu düşünün.
Yukarıda verilen eşitsizlikler her zaman doğrusal denklem formuna indirgenir. Daha sonra parantez açılarak benzer terimler verilir ve aktarılır. farklı parçalar, işareti tersine çevirerek.
5 − 2 x > 0 eşitsizliğini doğrusala indirgediğimizde, bunu − 2 x + 5 > 0 biçiminde olacak şekilde temsil ederiz ve ikinciyi azaltmak için 7 (x − 1) + 3 ≤ elde ederiz. 4 x − 2 + x . Parantezleri açıp benzer terimleri getirmek, tüm terimleri sola kaydırıp benzer terimleri getirmek gerekiyor. Şuna benziyor:
7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ 5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0
Bu, çözümü doğrusal bir eşitsizliğe götürür.
Bu eşitsizlikler aynı çözüm ilkesine sahip oldukları için doğrusal olarak kabul edilir ve daha sonra bunları temel eşitsizliklere indirgemek mümkündür.
Bu tür eşitsizliği çözmek için onu doğrusal hale getirmek gerekir. Bu şekilde yapılmalıdır:
Tanım 9
- parantezleri açın;
- değişkenleri solda ve sayıları sağda toplayın;
- benzer terimler verin;
- her iki tarafı da x katsayısına bölün.
Örnek 9
5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1 eşitsizliğini çözün.
Çözüm
Parantezleri açıyoruz ve 5 x + 15 + x ≤ 6 x − 18 + 1 formunda bir eşitsizlik elde ediyoruz. Benzer terimleri indirgedikten sonra 6 x + 15 ≤ 6 x − 17 elde ederiz. Terimleri soldan sağa taşıdığımızda 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0 olduğunu buluruz. Dolayısıyla 0 x + 32 ≤ 0 hesaplanarak elde edilen eşitsizlik 32 ≤ 0 şeklindedir. Eşitsizliğin yanlış olduğu görülebilir, bu da koşula göre verilen eşitsizliğin çözümünün olmadığı anlamına gelir.
Cevap: Çözüm yok.
Doğrusal veya yukarıda gösterilen türden eşitsizliklere indirgenebilecek başka birçok eşitsizlik türünün de bulunduğunu belirtmek gerekir. Örneğin, 5 2 x − 1 ≥ 1 öyle üstel denklem 2 x − 1 ≥ 0 doğrusal çözümüne indirgenir. Bu tür eşitsizlikleri çözerken bu durumlar dikkate alınacaktır.
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
Yapısı benzer olan eşitsizliklerin nasıl çözüleceğini herkes bilmiyor ve ayırt edici özellikler denklemlerle. Denklem, aralarında eşit işareti bulunan ve eşitsizliğin parçaları arasında "daha fazla" veya "daha az" işareti olabilen iki bölümden oluşan bir alıştırmadır. Bu nedenle, belirli bir eşitsizliğe çözüm bulmadan önce, her iki tarafın herhangi bir ifadeyle çarpılması gerekiyorsa sayının işaretini (pozitif veya negatif) dikkate almanın faydalı olduğunu anlamalıyız. Bir eşitsizliği çözmek için kare alma gerekiyorsa aynı gerçek dikkate alınmalıdır, çünkü kare alma çarpma yoluyla yapılır.
Eşitsizlik sistemi nasıl çözülür?
Eşitsizlik sistemlerini çözmek sıradan eşitsizliklere göre çok daha zordur. 9. sınıf eşitsizlikler nasıl çözülür, bakalım spesifik örnekler. İkinci dereceden eşitsizlikleri (sistemleri) veya diğer herhangi bir eşitsizlik sistemini çözmeden önce, her bir eşitsizliği ayrı ayrı çözmenin ve ardından bunları karşılaştırmanın gerekli olduğu anlaşılmalıdır. Bir eşitsizlik sisteminin çözümü ya olumlu ya da olumsuz bir cevap olacaktır (sistemin bir çözümü var mı yoksa yok mu).
Görev bir dizi eşitsizliği çözmektir:
Her eşitsizliği ayrı ayrı çözelim
Üzerinde bir dizi çözümü tasvir ettiğimiz bir sayı doğrusu oluşturuyoruz
Bir küme çözüm kümelerinin birleşimi olduğundan sayı doğrusundaki bu kümenin altı en az bir çizgiyle çizilmelidir.
Eşitsizlikleri modül ile çözme
Bu örnek eşitsizliklerin modül ile nasıl çözüleceğini gösterecektir. Yani bir tanımımız var:
Eşitsizliği çözmemiz gerekiyor:
Böyle bir eşitsizliği çözmeden önce modülden (işaretten) kurtulmak gerekir.
Tanım verilerine dayanarak şunu yazalım:
Artık sistemlerin her birini ayrı ayrı çözmeniz gerekiyor.
Üzerinde çözüm kümelerini tasvir ettiğimiz bir sayı doğrusu oluşturalım.
Sonuç olarak birçok çözümü birleştiren bir koleksiyona sahibiz.
İkinci dereceden eşitsizlikleri çözme
Sayı doğrusunu kullanarak ikinci dereceden eşitsizlikleri çözme örneğine bakalım. Bir eşitsizliğimiz var:
Programı biliyoruz ikinci dereceden üç terimli bir paraboldür. Ayrıca a>0 ise parabolün dallarının yukarı doğru yönlendirildiğini de biliyoruz.
x 2 -3x-4< 0
Vieta teoremini kullanarak x 1 = - 1 köklerini buluyoruz; x 2 = 4
Bir parabol çizelim, daha doğrusu onun bir taslağını çizelim.
Böylece ikinci dereceden trinomiyalin değerlerinin -1'den 4'e kadar olan aralıkta 0'dan küçük olacağını öğrendik.
g(x) gibi ikili eşitsizlikleri çözerken birçok insanın soruları olur.< f(x) < q(x). Перед тем, как решать двойные неравенства, необходимо их раскладывать на простые, и каждое простое неравенство решать по отдельности. Например, разложив наш пример, получим в результате систему неравенств g(x) < f(x) и f(x) < q(x), которую следует и решать.
Aslında eşitsizlikleri çözmek için çeşitli yöntemler vardır; karmaşık eşitsizlikler grafik yöntemi.
Kesirli eşitsizlikleri çözme
Daha dikkatli bir yaklaşım gerektiriyorlar kesirli eşitsizlikler. Bunun nedeni, bazı kesirli eşitsizlikleri çözme sürecinde işaretin değişebilmesidir. Kesirli eşitsizlikleri çözmeden önce, bunları çözmek için aralık yönteminin kullanıldığını bilmeniz gerekir. Kesirli eşitsizlik, işaretin bir tarafının şu şekilde görüneceği şekilde temsil edilmelidir: kesirli rasyonel ifade ve ikincisi – “- 0”. Eşitsizliği bu şekilde dönüştürdüğümüzde f(x)/g(x) > ( sonucunu elde ederiz.
Aralık yöntemini kullanarak eşitsizlikleri çözme
Aralık tekniği yönteme dayanmaktadır tam indüksiyon yani eşitsizliğe çözüm bulmak için hepsini sıralamak gerekiyor olası seçenekler. Basit alıştırmalar olan 8. sınıf eşitsizliklerinin nasıl çözüleceğini bilmeleri gerektiğinden bu çözüm yöntemi 8. sınıf öğrencileri için gerekli olmayabilir. Ancak daha büyük sınıflar için bu yöntem vazgeçilmezdir çünkü kesirli eşitsizliklerin çözülmesine yardımcı olur. Bu tekniği kullanarak eşitsizlikleri çözmek aynı zamanda sürekli bir fonksiyonun 0'a döndüğü değerler arasındaki işaretin korunması gibi bir özelliğine de dayanmaktadır.
Polinomun bir grafiğini oluşturalım. Bu sürekli fonksiyon 3 kez 0 değerini alırsak, yani f(x), polinomun kökleri olan x 1, x 2 ve x 3 noktalarında 0'a eşit olacaktır. Bu noktalar arasındaki aralıklarda fonksiyonun işareti korunur.
f(x)>0 eşitsizliğini çözmek için fonksiyonun işaretine ihtiyacımız olduğundan, grafiği bırakarak koordinat doğrusuna geçiyoruz.
x(x 1 ; x 2) ve x(x 3 ;) için f(x)>0
f(x)x(- ; x 1) ve x (x 2 ; x 3)'te
Grafik f(x)f(x)>0 eşitsizliklerinin çözümlerini açıkça göstermektedir (ilk eşitsizliğin çözümü mavi, ikincinin çözümü ise kırmızıdır). Bir aralıktaki bir fonksiyonun işaretini belirlemek için, noktalardan birindeki fonksiyonun işaretini bilmeniz yeterlidir. Bu teknik Sol tarafın faktörlendiği eşitsizlikleri hızlı bir şekilde çözmenize olanak tanır, çünkü bu tür eşitsizliklerde kökleri bulmak oldukça kolaydır.