Tek değişkenli eşitsizlikleri çözmenin yollarını aramaya devam ediyoruz. Rasyonel eşitsizliklerin özel durumları olan doğrusal ve ikinci dereceden eşitsizlikleri zaten inceledik. Bu yazımızda hangi tür eşitsizliklerin rasyonel kabul edildiğini açıklayacağız ve bunların hangi türlere (tam sayı ve kesirli) bölündüğünü anlatacağız. Bundan sonra bunları nasıl doğru şekilde çözeceğimizi, gerekli algoritmaları nasıl sağlayacağımızı ve belirli problemleri nasıl analiz edeceğimizi göstereceğiz.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Rasyonel eşitlik kavramı
Okulda eşitsizliklerin çözümü konusunu incelediklerinde hemen rasyonel eşitsizlikleri ele alıyorlar. Bu tür ifadelerle çalışma becerilerini kazanır ve geliştirirler. Bu kavramın tanımını şöyle formüle edelim:
Tanım 1
Rasyonel bir eşitsizlik, her iki kısımda da rasyonel ifadeler içeren değişkenlerin olduğu bir eşitsizliktir.
Tanımın değişken sayısı sorusunu hiçbir şekilde etkilemediğini unutmayın; bu, değişkenlerden istenildiği kadar çok olabileceği anlamına gelir. Bu nedenle 1, 2, 3 veya daha fazla değişkenli rasyonel eşitsizlikler mümkündür. Çoğunlukla yalnızca bir değişken, daha az sıklıkla iki değişken içeren ifadelerle uğraşmak zorunda kalırsınız ve çok sayıda değişken içeren eşitsizlikler genellikle okul derslerinde hiç dikkate alınmaz.
Böylece rasyonel bir eşitsizliği yazıya bakarak tanıyabiliriz. Hem sağında hem de solunda rasyonel ifadeler bulunmalıdır. İşte bazı örnekler:
x > 4 x 3 + 2 y ≤ 5 (y − 1) (x 2 + 1) 2 x x - 1 ≥ 1 + 1 1 + 3 x + 3 x 2
Ama burada 5 + x + 1 formunda bir eşitsizlik var< x · y · z не относится к рациональным, поскольку слева у него есть переменная под знаком корня.
Tüm rasyonel eşitsizlikler tam sayı ve kesirli olarak ikiye ayrılır.
Tanım 2
Rasyonel eşitliğin tamamı (her iki kısımda da) tam rasyonel ifadelerden oluşur.
Tanım 3
Kesirli rasyonel eşitlik parçalarından birinde veya her ikisinde kesirli ifade içeren bir eşitliktir.
Örneğin, 1 + x - 1 1 3 2 2 + 2 3 + 2 11 - 2 1 3 x - 1 > 4 - x 4 ve 1 - 2 3 5 - y > 1 x 2 - y 2 formundaki eşitsizlikler şöyledir: kesirli rasyonel ve 0, 5 x ≤ 3 (2 − 5 y) Ve 1: x + 3 > 0- tüm.
Rasyonel eşitsizliklerin ne olduğunu analiz ettik ve ana türlerini belirledik. Bunları çözmenin yollarını incelemeye geçebiliriz.
Diyelim ki bütünüyle rasyonel bir eşitsizliğe çözüm bulmamız gerekiyor. r(x)< s (x) , yalnızca bir x değişkeni içerir. Aynı zamanda r(x) Ve s(x) herhangi bir rasyonel tamsayı sayısını veya ifadesini temsil eder ve eşitsizlik işareti farklı olabilir. Bu sorunu çözmek için onu dönüştürüp eşdeğer bir eşitlik elde etmemiz gerekiyor.
İfadeyi sağ taraftan sola taşıyarak başlayalım. Aşağıdakileri alıyoruz:
r(x) − s(x) formundadır< 0 (≤ , > , ≥)
Bunu biliyoruz r (x) - s (x) bir tamsayı değeri olacaktır ve herhangi bir tamsayı ifadesi bir polinoma dönüştürülebilir. Haydi dönüşelim r (x) - s (x) h(x) cinsinden. Bu ifade tamamen eşit bir polinom olacaktır. r (x) − s (x) ve h (x)'in x'in izin verilen değerlerinin aynı aralığına sahip olduğunu düşünürsek, h (x) eşitsizliklerine geçebiliriz< 0 (≤ , >, ≥), orijinaline eşdeğer olacaktır.
Sonuç, değerinin hesaplanması kolay olan doğrusal veya ikinci dereceden bir eşitsizlik olabileceğinden, genellikle bu kadar basit bir dönüşüm eşitsizliği çözmek için yeterli olacaktır. Bu tür sorunları analiz edelim.
Örnek 1
Durum: tam bir rasyonel eşitsizliği çöz x (x + 3) + 2 x ≤ (x + 1) 2 + 1.
Çözüm
İfadeyi sağ taraftan ters işaretle sola doğru hareket ettirerek başlayalım.
x (x + 3) + 2 x − (x + 1) 2 − 1 ≤ 0
Artık sol taraftaki polinomlarla ilgili tüm işlemleri tamamladığımıza göre doğrusal eşitsizliğe geçebiliriz. 3 x − 2 ≤ 0, koşulda verilene eşdeğerdir. Çözülmesi kolaydır:
3 x ≤ 2 x ≤ 2 3
Cevap: x ≤ 2 3 .
Örnek 2
Durum: eşitsizliğin çözümünü bulun (x 2 + 1) 2 − 3 x 2 > (x 2 − x) (x 2 + x).
Çözüm
İfadeyi sol taraftan sağa aktarıyoruz ve kısaltılmış çarpma formüllerini kullanarak daha ileri dönüşümler gerçekleştiriyoruz.
(x 2 + 1) 2 − 3 x 2 − (x 2 − x) (x 2 + x) > 0 x 4 + 2 x 2 + 1 − 3 x 2 − x 4 + x 2 > 0 1 > 0
Dönüşümlerimiz sonucunda x'in her değeri için doğru olacak bir eşitsizlik elde ettik, dolayısıyla orijinal eşitsizliğin çözümü herhangi bir reel sayı olabilir.
Cevap: gerçekten herhangi bir sayı.
Örnek 3
Durum: eşitsizliği çöz x + 6 + 2 x 3 − 2 x (x 2 + x − 5) > 0.
Çözüm
Orada 0 olduğu için sağ taraftan hiçbir şey aktarmayacağız. Hemen sol tarafı bir polinoma dönüştürerek başlayalım:
x + 6 + 2 x 3 − 2 x 3 − 2 x 2 + 10 x > 0 − 2 x 2 + 11 x + 6 > 0 .
Orijinal eşitsizliğe eşdeğer ikinci dereceden bir eşitsizlik türettik ve bu eşitsizlik çeşitli yöntemler kullanılarak kolaylıkla çözülebilir. Grafiksel bir yöntem kullanalım.
Kare trinomiyalin köklerini hesaplayarak başlayalım − 2 x 2 + 11 x + 6:
D = 11 2 - 4 (- 2) 6 = 169 x 1 = - 11 + 169 2 - 2, x 2 = - 11 - 169 2 - 2 x 1 = - 0, 5, x 2 = 6
Şimdi diyagramda gerekli tüm sıfırları işaretliyoruz. Baş katsayı sıfırdan küçük olduğundan grafikteki parabolün dalları aşağıyı gösterecektir.
Eşitsizlikte > işaretimiz olduğundan, parabolün x ekseninin üzerinde bulunan bölgesine ihtiyacımız olacak. Gerekli aralık (− 0 , 5 , 6) dolayısıyla bu değer aralığı ihtiyacımız olan çözüm olacaktır.
Cevap: (− 0 , 5 , 6) .
Solda üçüncü veya daha yüksek dereceden bir polinomun elde edildiği daha karmaşık durumlar da vardır. Bu eşitsizliği çözmek için aralık yönteminin kullanılması önerilir. İlk önce polinomun tüm köklerini hesaplıyoruz h(x) Bu çoğunlukla bir polinomun çarpanlara ayrılmasıyla yapılır.
Örnek 4
Durum: hesaplamak (x 2 + 2) · (x + 4)< 14 − 9 · x .
Çözüm
Her zaman olduğu gibi ifadeyi sola kaydırarak başlayalım, sonrasında parantezleri genişletip benzer terimleri getirmemiz gerekecek.
(x 2 + 2) · (x + 4) − 14 + 9 · x< 0 x 3 + 4 · x 2 + 2 · x + 8 − 14 + 9 · x < 0 x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 < 0
Dönüşümler sonucunda solunda üçüncü dereceden bir polinom bulunan orijinaline eşdeğer bir eşitlik elde ettik. Bunu çözmek için aralık yöntemini kullanalım.
İlk önce kübik denklemi çözmemiz gereken polinomun köklerini hesaplıyoruz. x 3 + 4 x 2 + 11 x - 6 = 0. Rasyonel kökleri var mı? Yalnızca serbest terimin bölenleri arasında olabilirler, yani. ± 1, ± 2, ± 3, ± 6 sayıları arasında. Bunları orijinal denklemde birer birer yerine koyalım ve 1, 2 ve 3 sayılarının kökleri olacağını bulalım.
Yani polinom x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6 bir ürün olarak tanımlanabilir (x - 1) · (x - 2) · (x - 3) ve eşitsizlik x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6< 0 olarak temsil edilebilir (x - 1) · (x - 2) · (x - 3)< 0 . Bu tür bir eşitsizlikle aralıkların işaretlerini belirlememiz daha kolay olacaktır.
Daha sonra aralık yönteminin geri kalan adımlarını gerçekleştiriyoruz: bir sayı doğrusu çizin ve üzerinde 1, 2, 3 koordinatlarına sahip noktalar çizin. Çizgiyi işaretleri belirlemeleri gereken 4 aralığa bölerler. Orijinal eşitsizlik işaretine sahip olduğundan aralıkları eksi ile gölgelendirelim. < .
Tek yapmamız gereken hazır cevabı yazmak: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .
Cevap: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .
Bazı durumlarda r (x) − s (x) eşitsizliğinden ilerleyin< 0 (≤ , >, ≥) ila h (x)< 0 (≤ , >, ≥) , nerede h(x)– 2'den yüksek bir dereceye kadar polinom, uygunsuz. Bu, r(x) − s(x)'i doğrusal binomların ve ikinci dereceden üç terimlilerin çarpımı olarak ifade etmenin, h(x)'i bireysel faktörlere ayırmaktan daha kolay olduğu durumları da kapsar. Bu soruna bakalım.
Örnek 5
Durum: eşitsizliğin çözümünü bulun (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) ≥ 2 x (x 2 − 2 x − 1).
Çözüm
Bu eşitsizlik tamsayılar için geçerlidir. İfadeyi sağdan sola hareket ettirip parantezleri açıp terimlerde kısaltma yaparsak şunu elde ederiz: x 4 − 4 x 3 − 16 x 2 + 40 x + 19 ≥ 0 .
Dördüncü dereceden bir polinomun köklerini aramanız gerektiğinden böyle bir eşitsizliği çözmek kolay değildir. Tek bir rasyonel kökü yoktur (örneğin, 1, − 1, 19 veya − 19 uygun değildir) ve diğer kökleri aramak zordur. Bu, bu yöntemi kullanamayacağımız anlamına gelir.
Ancak başka çözümler de var. İfadeleri orijinal eşitsizliğin sağından sola taşırsak, ortak çarpanı parantez içine alabiliriz. x 2 − 2 x − 1:
(x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) − 2 x (x 2 − 2 x − 1) ≥ 0 (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 2 · x − 19) ≥ 0 .
Orijinaline eşdeğer bir eşitsizlik elde ettik ve çözümü bize istenen cevabı verecektir. İkinci dereceden denklemleri çözdüğümüz ifadenin sıfırlarını sol tarafta bulalım. x 2 − 2 x − 1 = 0 Ve x 2 − 2 x − 19 = 0. Kökleri 1±2, 1±2 5'tir. Aralık yöntemiyle çözülebilen x - 1 + 2 x - 1 - 2 x - 1 + 2 5 x - 1 - 2 5 ≥ 0 eşitliğine geçiyoruz:
Şekle göre cevap - ∞, 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5, 1 + 2 ∪ 1 + 2 5, + ∞ olacaktır.
Cevap: - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .
Bazen bir polinomun tüm köklerini bulmanın mümkün olmadığını da ekleyelim. h(x) bu nedenle onu doğrusal binomların ve ikinci dereceden üç terimli sayıların bir ürünü olarak temsil edemeyiz. Daha sonra h(x) formundaki bir eşitsizliği çözün.< 0 (≤ , >, ≥) yapamayız, bu da orijinal rasyonel eşitsizliği çözmenin de imkansız olduğu anlamına gelir.
Diyelim ki r(x) formundaki kesirli rasyonel eşitsizlikleri çözmemiz gerekiyor< s (x) (≤ , >, ≥) , burada r(x) ve s(x) rasyonel ifadelerdir, x bir değişkendir. Belirtilen ifadelerden en az biri kesirli olacaktır. Bu durumda çözüm algoritması aşağıdaki gibi olacaktır:
- X değişkeninin izin verilen değerlerinin aralığını belirleriz.
- İfadeyi eşitsizliğin sağ tarafından sola kaydırırız ve ortaya çıkan ifade r (x) - s (x) kesir olarak temsil edin. Üstelik nerede p(x) Ve q(x) doğrusal binomların, ayrıştırılamaz ikinci dereceden üç terimlilerin ve doğal üslü kuvvetlerin çarpımı olan tamsayı ifadeleri olacaktır.
- Daha sonra ortaya çıkan eşitsizliği aralık yöntemini kullanarak çözüyoruz.
- Son adım, çözüm sırasında elde edilen noktaları, başlangıçta tanımladığımız x değişkeninin kabul edilebilir değerler aralığından çıkarmaktır.
Bu, kesirli rasyonel eşitsizlikleri çözmek için kullanılan algoritmadır. Çoğu açıktır; yalnızca 2. paragraf için küçük açıklamalara ihtiyaç vardır. İfadeyi sağ taraftan sola kaydırdık ve r (x) − s (x) elde ettik< 0 (≤ , >, ≥) ve sonra bunun p (x) q (x) formuna nasıl getirileceği< 0 (≤ , > , ≥) ?
Öncelikle bu dönüşümün her zaman gerçekleştirilip gerçekleştirilemeyeceğini belirleyelim. Teorik olarak böyle bir olasılık her zaman mevcuttur, çünkü herhangi bir rasyonel ifade rasyonel bir kesire dönüştürülebilir. Burada pay ve paydasında polinomlar bulunan bir kesirimiz var. Cebirin temel teoremini ve Bezout teoremini hatırlayalım ve bir değişken içeren n dereceli herhangi bir polinomun doğrusal binomların bir çarpımına dönüştürülebileceğini belirleyelim. Dolayısıyla teoride ifadeyi her zaman bu şekilde dönüştürebiliriz.
Uygulamada polinomları çarpanlara ayırmak, özellikle de derecesi 4'ten büyükse, genellikle oldukça zordur. Eğer genişletmeyi yapamazsak bu eşitsizliği çözemeyiz ama bu tür problemler genellikle okul derslerinde işlenmez.
Daha sonra ortaya çıkan p (x) q (x) eşitsizliğinin olup olmadığına karar vermemiz gerekiyor.< 0 (≤ , >, ≥) r(x) − s(x)'e göre eşdeğer< 0 (≤ , >, ≥) ve orijinaline. Eşitsiz olma ihtimali var.
Kabul edilebilir değerler aralığı belirlendiğinde eşitsizliğin denkliği sağlanacaktır. p(x)q(x) ifade aralığıyla eşleşecek r (x) - s (x). O halde kesirli rasyonel eşitsizliklerin çözümüne ilişkin talimatların son noktasının takip edilmesine gerek yoktur.
Ancak değer aralığı p(x)q(x) daha geniş olabilir r (x) - s (x)örneğin kesirleri azaltarak. Bir örnek, x · x - 1 3 x - 1 2 · x + 3'ten x · x - 1 x + 3'e gitmek olabilir. Veya benzer terimleri getirirken bu durum meydana gelebilir, örneğin:
x + 5 x - 2 2 x - x + 5 x - 2 2 x + 1 x + 3 - 1 x + 3
Bu gibi durumlarda algoritmanın son adımı eklendi. Bunu uygulayarak kabul edilebilir değerler aralığının genişlemesi nedeniyle ortaya çıkan gereksiz değişken değerlerden kurtulacaksınız. Neden bahsettiğimizi daha açık hale getirmek için birkaç örnek verelim.
Örnek 6
Durum: x x + 1 · x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 · x x - 3 2 · x + 1 rasyonel eşitliğinin çözümlerini bulun.
Çözüm
Yukarıda belirtilen algoritmaya göre hareket ediyoruz. Öncelikle kabul edilebilir değerlerin aralığını belirliyoruz. Bu durumda, x + 1 · x - 3 ≠ 0 x - 3 2 ≠ 0 x - 3 2 · (x + 1) ≠ 0 eşitsizlik sistemi tarafından belirlenir ve bunun çözümü (− ∞ , - 1) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .
x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) ≥ 0
Bundan sonra aralık yöntemini uygulamaya uygun olacak şekilde dönüştürmemiz gerekiyor. Öncelikle cebirsel kesirleri en küçük ortak paydaya indiriyoruz (x - 3) 2 (x + 1):
x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) = = x x - 3 + 4 x + 1 + 3 x x - 3 2 x + 1 = x 2 + 4 x + 4 (x - 3) 2 (x + 1)
Toplamın karesi formülünü kullanarak paydaki ifadeyi daraltıyoruz:
x 2 + 4 x + 4 x - 3 2 x + 1 = x + 2 2 x - 3 2 x + 1
Ortaya çıkan ifadenin kabul edilebilir değerleri aralığı (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) . Orijinal eşitlik için tanımlanana benzer olduğunu görüyoruz. x + 2 2 x - 3 2 · x + 1 ≥ 0 eşitsizliğinin orijinal eşitsizliğine eşdeğer olduğu sonucuna varıyoruz, bu da algoritmanın son adımına ihtiyacımız olmadığı anlamına geliyor.
Aralık yöntemini kullanıyoruz:
Orijinal rasyonel eşitsizlik x x + 1 · x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ -'nin çözümü olacak ( − 2 ) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) çözümünü görüyoruz. 3 · x (x - 3 ) 2 · (x + 1) .
Cevap: { − 2 } ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .
Örnek 7
Durum: x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 çözümünü hesaplayın.
Çözüm
Kabul edilebilir değerlerin aralığını belirliyoruz. Bu eşitsizlik durumunda − 2, − 1, 0 ve 0 dışındaki tüm reel sayılara eşit olacaktır. 1 .
İfadeleri sağ taraftan sola taşıyoruz:
x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 > 0
x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 = x + 3 - x - 3 x x + 2 = 0 x x + 2 = 0 x + 2 = 0
Sonucu dikkate alarak şunu yazıyoruz:
x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 0 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 (x + 1) x - 1 = = - x - 1 (x + 1) x - 1 = - x + 1 (x + 1) x - 1 = - 1 x - 1
- 1 x - 1 ifadesi için geçerli değerler aralığı, biri hariç tüm gerçek sayılar kümesidir. Değer aralığının genişlediğini görüyoruz: − 2 , − 1 ve 0 . Bu, algoritmanın son adımını gerçekleştirmemiz gerektiği anlamına gelir.
-1 x - 1 > 0 eşitsizliğine geldiğimize göre, eşdeğerini 1 x - 1 olarak yazabiliriz.< 0 . С помощью метода интервалов вычислим решение и получим (− ∞ , 1) .
Orijinal eşitliğin izin verilen değerleri aralığına dahil olmayan noktaları hariç tutuyoruz. (− ∞ , 1)'den − 2 , − 1 ve − sayılarını hariç tutmamız gerekir 0 . Dolayısıyla x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 rasyonel eşitsizliğinin çözümü (− ∞ , − 2) değerleri olacaktır. ) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .
Cevap: (− ∞ , − 2) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .
Sonuç olarak, nihai cevabın kabul edilebilir değerler aralığına bağlı olduğu bir problemin başka bir örneğini veriyoruz.
Örnek 8
Durum: 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 eşitsizliğinin çözümünü bulun.
Çözüm
Koşulda belirtilen eşitsizliğin izin verilen değerlerinin aralığı sistem tarafından belirlenir x 2 ≠ 0 x 2 - x + 1 ≠ 0 x - 1 ≠ 0 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≠ 0.
Bu sistemin çözümü yok çünkü
x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 = = (x + 1) x 2 - x + 1 x 2 - x + 1 - (x - 1) x + 1 x - 1 = = x + 1 - (x + 1) = 0
Bu, orijinal eşitlik olan 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0'ın çözümü olmadığı anlamına gelir, çünkü onu oluşturacak değişkenin hiçbir değeri yoktur algı.
Cevap: hiçbir çözüm yok.
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
Aralık yöntemi Kesirli rasyonel eşitsizlikleri çözmenin basit bir yolu. Bir değişkene bağlı olan, rasyonel (veya kesirli-rasyonel) ifadeler içeren eşitsizliklerin adıdır.
1. Örneğin aşağıdaki eşitsizliği düşünün
Aralık yöntemi, sorunu birkaç dakika içinde çözmenizi sağlar.
Bu eşitsizliğin sol tarafında kesirli bir rasyonel fonksiyon var. Rasyonel çünkü kökler, sinüsler veya logaritmalar içermiyor; yalnızca rasyonel ifadeler içeriyor. Sağdaki sıfır.
Aralık yöntemi, kesirli rasyonel fonksiyonun aşağıdaki özelliğine dayanmaktadır.
Kesirli bir rasyonel fonksiyon yalnızca sıfıra eşit olduğu veya mevcut olmadığı noktalarda işaret değiştirebilir.
İkinci dereceden bir üç terimlinin nasıl çarpanlara ayrıldığını, yani formun bir ifadesini hatırlayalım.
İkinci dereceden denklemin kökleri nerede ve nelerdir?
Bir eksen çizip pay ve paydanın sıfıra gittiği noktaları yerleştiriyoruz.
Paydanın sıfırları ve noktalı noktalardır, çünkü bu noktalarda eşitsizliğin sol tarafındaki fonksiyon tanımlanmamıştır (sıfıra bölemezsiniz). Eşitsizlik katı olmadığından pay ve -'nin sıfırları gölgelidir. Eşitsizliğimiz sağlandığında, her iki tarafı da sıfıra eşit olduğundan.
Bu noktalar ekseni aralıklara böler.
Bu aralıkların her birinde eşitsizliğimizin sol tarafındaki kesirli rasyonel fonksiyonun işaretini belirleyelim. Kesirli bir rasyonel fonksiyonun yalnızca sıfıra eşit olduğu veya sıfıra eşit olmadığı noktalarda işaret değiştirebileceğini hatırlıyoruz.
Bu, pay veya paydanın sıfıra gittiği noktalar arasındaki aralıkların her birinde, eşitsizliğin sol tarafındaki ifadenin işaretinin "artı" veya "eksi" olarak sabit olacağı anlamına gelir.
Bu nedenle, bu aralıkların her birinde fonksiyonun işaretini belirlemek için bu aralığa ait herhangi bir noktayı alırız. Bizim için uygun olan.
Sonraki aralık: . adresindeki tabelayı kontrol edelim. Sol tarafın işaretinin değiştirildiğini görüyoruz.
Hadi alalım. İfade pozitif olduğunda - bu nedenle, ile arasındaki tüm aralık boyunca pozitiftir.
Eşitsizliğin sol tarafı negatif olduğunda.
Ve son olarak class="tex" alt="x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}
İfadenin hangi aralıklarla pozitif olduğunu bulduk. Geriye sadece cevabı yazmak kalıyor:
Cevap: .
Lütfen dikkat: işaretler aralıklar arasında değişmektedir. Bu oldu çünkü Her noktadan geçerken, doğrusal faktörlerden tam olarak biri işaret değiştirirken geri kalanı değişmeden kaldı.
Aralık yönteminin çok basit olduğunu görüyoruz. Kesirli-rasyonel eşitsizliği aralık yöntemini kullanarak çözmek için, onu şu forma indiririz:
Veya class = "tex" alt = "\genfrac())()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \right)) > 0"> !}, veya , veya .
(sol tarafta kesirli bir rasyonel fonksiyon, sağ tarafta ise sıfır).
Daha sonra pay veya paydanın sıfıra gittiği noktaları sayı doğrusu üzerinde işaretliyoruz.
Bu noktalar, sayı doğrusunun tamamını aralıklara böler ve bunların her birinde kesirli-rasyonel fonksiyon işaretini korur.
Geriye kalan tek şey her aralıkta işaretini bulmaktır.
Bunu, belirli bir aralığa ait herhangi bir noktada ifadenin işaretini kontrol ederek yaparız. Daha sonra cevabı yazıyoruz. İşte bu.
Ancak şu soru ortaya çıkıyor: işaretler her zaman değişiyor mu? Hayır, her zaman değil! Dikkatli olmalı ve işaretleri mekanik ve düşüncesizce yerleştirmemelisiniz.
2. Başka bir eşitsizliği ele alalım.
Class = "tex" alt = "\genfrac())()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \ sol(x-3 \sağ))>0"> !}
Noktaları tekrar eksene yerleştirin. Noktalar ve paydanın sıfırları olduğundan deliklidir. Eşitsizlik katı olduğu için bu nokta da kesiliyor.
Pay pozitif olduğunda paydadaki her iki faktör de negatiftir. Bu, örneğin belirli bir aralıktan herhangi bir sayı alınarak kolayca kontrol edilebilir. Sol tarafta şu işaret var:
Pay pozitif olduğunda; Paydadaki ilk faktör pozitif, ikinci faktör negatiftir. Sol tarafta şu işaret var:
Durum aynı! Pay pozitif, paydadaki ilk faktör pozitif, ikincisi negatif. Sol tarafta şu işaret var:
Son olarak class="tex" alt="x>3 ile">
все множители положительны, и левая часть имеет знак :!} 
Cevap: .
İşaretlerin değişimi neden bozuldu? Çünkü bir noktadan geçerken çarpan bundan “sorumludur” işareti değiştirmedi. Sonuç olarak eşitsizliğimizin sol tarafının tamamı işaret değiştirmedi.
Çözüm: doğrusal çarpan çift bir kuvvetse (örneğin kare), o zaman bir noktadan geçerken sol taraftaki ifadenin işareti değişmez. Derecenin tek olması durumunda işaret elbette değişir.
3. Daha karmaşık bir durumu ele alalım. Eşitsizliğin katı olmaması nedeniyle öncekinden farklıdır:
Sol taraf önceki problemdekiyle aynıdır. İşaretlerin resmi aynı olacaktır:
Belki cevap aynı olacaktır? HAYIR! Bir çözüm eklenir Bunun nedeni eşitsizliğin hem sol hem de sağ tarafının sıfıra eşit olmasıdır - dolayısıyla bu nokta bir çözümdür.
Cevap: .
Bu durum genellikle matematikte Birleşik Devlet Sınavındaki problemlerde ortaya çıkar. Başvuru sahiplerinin tuzağa düştüğü ve puan kaybettiği nokta burasıdır. Dikkat olmak!
4. Pay veya payda doğrusal faktörlere dahil edilemiyorsa ne yapmalı? Bu eşitsizliği düşünün:
Bir kare trinomial çarpanlara ayrılamaz: diskriminant negatiftir, kök yoktur. Ama bu iyi! Bu, herkes için ifadenin işaretinin aynı ve özellikle pozitif olduğu anlamına gelir. Bununla ilgili daha fazla bilgiyi ikinci dereceden fonksiyonların özellikleri hakkındaki makalede okuyabilirsiniz.
Artık eşitsizliğimizin her iki tarafını da herkes için pozitif olan bir değere bölebiliriz. Eşdeğer bir eşitsizliğe varalım:
Aralık yöntemi kullanılarak kolayca çözülebilir.
Lütfen eşitsizliğin her iki tarafını da pozitif olduğundan emin olduğumuz bir değere böldüğümüzü unutmayın. Elbette genel olarak bir eşitsizliği işareti bilinmeyen bir değişkenle çarpmamalı veya bölmemelisiniz.
5 . Görünüşte oldukça basit olan başka bir eşitsizliği ele alalım:
Sadece onu çarpmak istiyorum. Ama biz zaten akıllıyız ve bunu yapmayacağız. Sonuçta hem olumlu hem de olumsuz olabilir. Eşitsizliğin her iki tarafı da negatif bir değerle çarpılırsa eşitsizliğin işaretinin değişeceğini biliyoruz.
Bunu farklı yapacağız - her şeyi tek bir parçada toplayıp ortak bir paydaya getireceğiz. Sağ taraf sıfır kalacak:
Class = "tex" alt = "\genfrac())()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}
Ve bundan sonra - başvurun aralık yöntemi.
- Çok köklü aralıklar yöntemini kullanarak rasyonel eşitsizlikleri çözme yeteneğini geliştirmek, öğrencilerin çalışılan materyali genelleştirme ihtiyacını ve arzusunu geliştirmelerine yardımcı olun;
- Çözümleri karşılaştırma ve doğru cevapları belirleme yeteneğini geliştirmek;
- merak, mantıksal düşünme, konuya bilişsel ilgi geliştirmek
Çözümleri hazırlarken doğruluğu, eşitsizlikleri çözerken zorlukların üstesinden gelme yeteneğini geliştirin.
Dersin ilerlemesi
I. Organizasyon anı
II. Bilgiyi güncelleme
Aşağıdaki sorulara ilişkin ön sınıf anketi:
Değişkenin hangi değerlerinde kesir anlamlıdır (Şekil 1)?
(x - x 1)(x - x 2)…(x - x n) > 0 veya (x - x 1)(x - x 2)…(x - x n) formundaki eşitsizlikleri çözmek için algoritmayı tekrarlayın.< 0, где x 1 , x 2 , … x n не равные друг другу числа.
Aralık yöntemini kullanarak eşitsizlikleri çözmeye yönelik algoritma interaktif beyaz tahtada görüntülenir:
III. Yeni materyal öğrenme. Çok köklü kesirli rasyonel eşitsizliklerin aralık yöntemini kullanarak çözülmesi.
Bir değişkenin birden fazla kritik değeri olan eşitsizlikleri çözmek genellikle en büyük zorluklarla ilişkilendirilir. Daha önce aralıklara işaretleri basitçe değiştirerek yerleştirmek mümkün olsaydı, şimdi kritik bir değerden geçerken tüm ifadenin işareti değişmeyebilir. Bir fonksiyonun işaretlerini aralıklara göre düzenlemeyle ilgili zorlukların üstesinden gelmeye yardımcı olacak "yaprak" yöntemiyle tanışacağız.
Bir örnek düşünün: (x+3) 2 > 0/
Sol tarafta tek bir kritik nokta x = - 3 var. Bunu sayı doğrusu üzerinde işaretleyelim. Bu noktanın çarpanı 2'dir, dolayısıyla aralarında başlangıç ve bitiş noktası aynı -3 olan bir aralık bulunan iki birleştirilmiş kritik noktamız olduğunu düşünebiliriz. Bu tür aralıkları Şekil 3'teki gibi “yapraklar” ile işaretleyeceğiz. Böylece üç aralık elde ettik: iki sayısal aralık (-∞; -3); (-3; +∞) ve aralarındaki “taç yaprağı”. Geriye sadece işaretleri yerleştirmek kalıyor. Bunu yapmak için, sıfır içeren aralıktaki işareti hesaplarız ve geri kalanındaki işaretleri basitçe değiştirerek düzenleriz. İşaretlerin yerleştirilmesinin sonucu Şekil 4'te gösterilmektedir.
 |
 |
|
Pirinç. 3 |
Pirinç. 4 |
Cevap: x € (-∞; -3) U (-3; +∞)
Şimdi daha karmaşık bir eşitsizliği ele alalım (Şekil 5):
Fonksiyonu tanıtalım (Şekil 6):
Çokluklarını dikkate alarak sayı doğrusu üzerindeki kritik noktaları işaretleyelim - belirli bir kritik değere sahip her ek parantez için ek bir "yaprak" çizeriz. Yani, Şekil 7'de, (x-3)?=(x-3)(x-3) olduğundan, x=3 noktasında bir "taç yaprağı" görünecektir.
(x - 6) 3 = (x - 6) (x - 6) (x - 6) olduğundan, x = 6 noktasının iki "taç yaprağı" vardır. İlk çarpan, eksendeki 6. nokta ile dikkate alınır ve iki "yaprak" eklenerek iki ek çarpan dikkate alınır. Daha sonra, aralıklardan birindeki işareti belirliyoruz ve geri kalanındaki işaretleri, eksileri ve artıları değiştirerek yerleştiriyoruz.
“+” ve koyu noktalarla işaretlenmiş tüm alanlar yanıtı sağlar.
X € [-4;-1) U (3) U (6;+∞).
IV. Yeni malzemenin konsolidasyonu
1. Eşitsizliği çözelim:
Eşitsizliğin sol tarafını çarpanlarına ayıralım:
Öncelikle paydanın kritik noktalarını koordinat eksenine çizeriz, şunu elde ederiz (Şekil 10).
Pay noktalarını ekleyerek şunu elde ederiz (Şekil 11)
Şimdi işaretleri aralıklarla ve “yapraklar” halinde belirliyoruz (Şek. 12)
Pirinç. 12
Cevap: x € (-1; 0) U (0; 1) U (2)
2. Polinomun köklerinin çokluğunu hesaba katarak aralık yöntemini kullanarak eşitsizliklerin çözümü olan sayısal aralıkları seçin (Şekil 13).
V. Dersin özeti
Sınıfla yaptığımız konuşma sırasında şu sonuçlara varıyoruz:
1) İşaretleri yalnızca değiştirerek aralıklarla yerleştirmek mümkün hale gelir.
3) Bu çözümle tek kökler asla kaybolmaz.
Bu derste daha karmaşık eşitsizlikler için aralık yöntemini kullanarak rasyonel eşitsizlikleri çözmeye devam edeceğiz. Kesirli doğrusal ve kesirli ikinci dereceden eşitsizliklerin ve ilgili problemlerin çözümünü ele alalım.
Şimdi eşitsizliğe dönelim
İlgili bazı görevlere bakalım.
Eşitsizliğin en küçük çözümünü bulun.
Eşitsizliğin doğal çözümlerinin sayısını bulun
Eşitsizliğin çözüm kümesini oluşturan aralıkların uzunluğunu bulun.
2. Doğa Bilimleri Portalı ().
3. Bilgisayar bilimleri, matematik, Rus dili () giriş sınavlarına 10-11. sınıfların hazırlanmasına yönelik elektronik eğitim ve metodolojik kompleks.
5. Eğitim Merkezi “Öğretim Teknolojisi” ().
6. College.ru'nun matematik bölümü ().
1. Mordkovich A.G. ve diğerleri Cebir 9. sınıf: Genel eğitim kurumlarının öğrencileri için problem kitabı / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina, vb. - 4. baskı. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 s.: hasta. 28(b,c); 29(b,c); 35(a,b); 37(b,c); 38(a).