Eşitsizlikler matematikte önemli bir rol oynar. Okulda çoğunlukla ilgileniyoruz sayısal eşitsizlikler Bu makaleye tanımıyla başlayacağız. Ve sonra listeleyip gerekçelendireceğiz sayısal eşitsizliklerin özellikleri Eşitsizliklerle çalışmanın tüm ilkelerinin dayandığı.
Sayısal eşitsizliklerin birçok özelliğinin benzer olduğunu hemen belirtelim. Bu nedenle materyali aynı şemaya göre sunacağız: bir özelliği formüle ediyoruz, gerekçesini ve örneklerini veriyoruz ve ardından bir sonraki özelliğe geçiyoruz.
Sayfada gezinme.
Sayısal eşitsizlikler: tanım, örnekler
Eşitsizlik kavramını tanıttığımızda, eşitsizliklerin genellikle yazılış şekline göre tanımlandığını fark ettik. Bu nedenle eşitsizliklere ≠, daha az işaretlerini içeren anlamlı cebirsel ifadeler adını verdik.<, больше >≤'dan küçük veya eşit veya ≥'den büyük veya eşit. Yukarıdaki tanıma dayanarak sayısal eşitsizliğin tanımını vermek uygundur:
Sayısal eşitsizliklerle tanışma, 1'den 9'a kadar olan ilk doğal sayıları tanıdıktan ve karşılaştırma işlemine aşina olduktan hemen sonra birinci sınıf matematik derslerinde gerçekleşir. Doğru, orada "sayısal" tanımı atlanarak bunlara basitçe eşitsizlikler deniyor. Anlaşılır olması açısından, çalışmalarının bu aşamasındaki en basit sayısal eşitsizliklere ilişkin birkaç örnek vermekten zarar gelmez: 1<2 , 5+2>3 .
Ve doğal sayılardan başka, bilgi diğer sayı türlerine (tam sayı, rasyonel, gerçek sayılar) kadar uzanır, bunların karşılaştırılmasına ilişkin kurallar incelenir ve bu, sayısal eşitsizlik türlerinin çeşitliliğini önemli ölçüde genişletir: −5>−72, 3> −0,275 (7−5, 6) , .
Sayısal eşitsizliklerin özellikleri
Uygulamada eşitsizliklerle çalışmak bir dizi olanak sağlar: sayısal eşitsizliklerin özellikleri. Bizim tanıttığımız eşitsizlik kavramından yola çıkıyorlar. Sayılarla ilgili olarak bu kavram, bir sayı kümesindeki "küçüktür" ve "fazla" ilişkilerinin tanımı olarak kabul edilebilecek aşağıdaki ifadeyle verilmektedir (buna genellikle eşitsizliğin fark tanımı denir):
Tanım.
- sayı a, b'den büyüktür ancak ve ancak a−b farkı pozitif bir sayıysa;
- a sayısı b sayısından küçüktür ancak ve ancak a−b farkı negatif bir sayıysa;
- a sayısı b sayısına ancak ve ancak a−b farkı sıfırsa eşittir.
Bu tanım, "küçük veya eşit" ve "büyük veya eşit" ilişkilerinin tanımı şeklinde yeniden işlenebilir. İşte onun ifadesi:
Tanım.
- sayı a, ancak ve ancak a−b'nin negatif olmayan bir sayı olması durumunda b'den büyük veya ona eşittir;
- a, ancak ve ancak a−b'nin pozitif olmayan bir sayı olması durumunda b'den küçük veya ona eşittir.
İncelemesine devam edeceğimiz sayısal eşitsizliklerin özelliklerini kanıtlarken bu tanımları kullanacağız.
Temel özellikler
İncelemeye eşitsizliklerin üç ana özelliğiyle başlıyoruz. Neden bunlar temel? Çünkü bunlar sadece sayısal eşitsizliklerle ilgili değil, en genel anlamda eşitsizliklerin özelliklerinin bir yansımasıdır.
İşaretler kullanılarak yazılan sayısal eşitsizlikler< и >, karakteristik:
Zayıf eşitsizlik işaretleri ≤ ve ≥ kullanılarak yazılan sayısal eşitsizlikler ise, a≤a ve a≥a eşitsizlikleri a=a eşitliği durumunu içerdiğinden, yansıma özelliğine sahiptirler (ve anti-yansıma özelliği taşımazlar). Ayrıca antisimetri ve geçişlilik ile de karakterize edilirler.
Dolayısıyla, ≤ ve ≥ işaretleri kullanılarak yazılan sayısal eşitsizlikler aşağıdaki özelliklere sahiptir:
- dönüşlülük a≥a ve a≤a gerçek eşitsizliklerdir;
- antisimetri, a≤b ise b≥a, a≥b ise b≤a.
- geçişlilik, a≤b ve b≤c ise a≤c olur ve ayrıca a≥b ve b≥c ise a≥c olur.
Kanıtları daha önce verilenlere çok benzer, bu yüzden onlar üzerinde durmayacağız, sayısal eşitsizliklerin diğer önemli özelliklerine geçeceğiz.
Sayısal eşitsizliklerin diğer önemli özellikleri
Sayısal eşitsizliklerin temel özelliklerini, pratik önemi büyük olan bir dizi sonuçla tamamlayalım. İfadelerin değerlerini tahmin etme yöntemleri bunlara dayanmaktadır; eşitsizliklere çözümler vesaire. Bu nedenle bunları iyi anlamanız tavsiye edilir.
Bu paragrafta eşitsizliklerin özelliklerini yalnızca katı eşitsizliğin bir işareti için formüle edeceğiz, ancak benzer özelliklerin katı olmayan eşitsizliklerin işaretleri için olduğu kadar zıt işaret için de geçerli olacağını akılda tutmakta fayda var. Bunu bir örnekle açıklayalım. Aşağıda eşitsizliklerin aşağıdaki özelliğini formüle edip kanıtlıyoruz:
Kolaylık sağlamak için, sayısal eşitsizliklerin özelliklerini bir liste şeklinde sunacağız, buna karşılık karşılık gelen ifadeyi vereceğiz, harfler kullanarak resmi olarak yazacağız, bir kanıt sunacağız ve ardından kullanım örnekleri göstereceğiz. Yazının sonunda ise sayısal eşitsizliklerin tüm özelliklerini bir tablo halinde özetleyeceğiz. Hadi gidelim!
Sonuçlar. a formundaki özdeş gerçek eşitsizliklerin terim bazında çarpımı
Gerçek bir sayısal eşitsizliğin her iki tarafına herhangi bir sayı eklemek (veya çıkarmak), gerçek bir sayısal eşitsizlik üretir. Başka bir deyişle, a ve b sayıları öyle ise a
Bunu kanıtlamak için son sayısal eşitsizliğin sol ve sağ tarafları arasındaki farkı oluşturalım ve a koşulu altında bunun negatif olduğunu gösterelim. (a+c)−(b+c)=a+c−b−c=a−b. Koşul gereği a
Bir c sayısını çıkarmak için sayısal eşitsizliklerin bu özelliğinin kanıtı üzerinde durmuyoruz, çünkü gerçek sayılar kümesinde çıkarma işlemi -c eklenerek değiştirilebilir.
Örneğin, doğru sayısal eşitsizlik olan 7>3'ün her iki tarafına 15 sayısını eklerseniz, doğru sayısal eşitsizlik olan 7+15>3+15'i elde edersiniz; bu da aynı şeydir, 22>18.
Geçerli bir sayısal eşitsizliğin her iki tarafı aynı pozitif c sayısıyla çarpılırsa (veya bölünürse), geçerli bir sayısal eşitsizlik elde edilir. Eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir c sayısıyla çarpılırsa (veya bölünürse) ve eşitsizliğin işareti ters çevrilirse eşitsizlik doğru olacaktır. Kelimenin tam anlamıyla: a ve b sayıları a eşitsizliğini sağlıyorsa b.c.
Kanıt. c>0 durumuyla başlayalım. Kanıtlanan sayısal eşitsizliğin sol ve sağ tarafları arasındaki farkı telafi edelim: a·c−b·c=(a−b)·c . Koşul gereği a 0 ise, (a−b)·c çarpımı, negatif bir a−b sayısı ile pozitif bir c sayısının ('dan çıkan) çarpımı olarak negatif bir sayı olacaktır. Bu nedenle, a·c−b·c<0
, откуда a·c Gerçek bir sayısal eşitsizliğin her iki tarafını aynı c sayısına bölmenin dikkate alınan özelliğinin kanıtı üzerinde durmuyoruz, çünkü bölmenin yerine her zaman 1/c ile çarpma yapılabilir. Analiz edilen özelliğin belirli sayılar üzerinde kullanımına ilişkin bir örnek gösterelim. Örneğin, doğru sayısal eşitsizliğin her iki tarafını da bulabilirsiniz 4<6
умножить на положительное число 0,5
, что дает верное числовое неравенство −4·0,5<6·0,5
, откуда −2<3
. А если обе части верного числового неравенства −8≤12
разделить на отрицательное число −4
, и изменить знак неравенства ≤ на противоположный ≥, то получится верное числовое неравенство −8:(−4)≥12:(−4)
, откуда 2≥−3
. Az önce tartışılan sayısal bir eşitliğin her iki tarafını bir sayıyla çarpma özelliğinden, pratik olarak değerli iki sonuç çıkar. Bu yüzden onları sonuçlar şeklinde formüle ediyoruz. Yukarıda bu paragrafta tartışılan tüm özellikler, önce doğru bir sayısal eşitsizliğin verilmesi ve bundan, eşitsizliğin parçaları ve işaret ile yapılan bazı manipülasyonlar yoluyla başka bir doğru sayısal eşitsizliğin elde edilmesi gerçeğiyle birleştirilmiştir. Şimdi, başlangıçta bir değil birkaç doğru sayısal eşitsizliğin verildiği ve parçalarının eklenmesi veya çarpılmasından sonra ortak kullanımlarından yeni bir sonuç elde edilen bir özellikler bloğu sunacağız. a, b, c ve d sayıları a eşitsizliklerini sağlıyorsa
(a+c)−(b+d)'nin negatif bir sayı olduğunu kanıtlayalım, bu a+c'yi kanıtlayacaktır. Tümevarım yoluyla bu özellik, üç, dört ve genel olarak herhangi bir sonlu sayıda sayısal eşitsizliğin dönem dönem eklenmesine kadar uzanır. Yani a 1, a 2, …, a n ve b 1, b 2, …, b n sayıları için aşağıdaki eşitsizlikler doğruysa: a 1 a 1 +a 2 +…+a n . Örneğin, bize aynı işarete sahip üç doğru sayısal eşitsizlik veriliyor: −5<−2
, −1<12
и 3<4
. Рассмотренное свойство числовых неравенств позволяет нам констатировать, что неравенство −5+(−1)+3<−2+12+4
– тоже верное. Her iki tarafı da pozitif sayılarla temsil edilen aynı işaretli terimin sayısal eşitsizliklerini terimle çarpabilirsiniz. Özellikle iki eşitsizlik için a
Bunu kanıtlamak için eşitsizliğin her iki tarafını a ile çarpabilirsiniz.
Bu özellik aynı zamanda herhangi bir sonlu sayıda gerçek sayısal eşitsizliğin pozitif kısımlarla çarpımı için de geçerlidir. Yani, a 1, a 2, …, a n ve b 1, b 2, …, b n pozitif sayılar ise ve a 1 a 1 a 2… a n . Ayrı olarak, sayısal eşitsizliklerin gösterimi pozitif olmayan sayılar içeriyorsa, bunların terim bazında çarpımının yanlış sayısal eşitsizliklere yol açabileceğini belirtmekte fayda var. Örneğin sayısal eşitsizlikler 1<3
и −5<−4
– верные и одного знака, почленное умножение этих неравенств дает 1·(−5)<3·(−4)
, что то же самое, −5<−12
, а это неверное неравенство.
Yazının sonunda söz verdiğimiz gibi incelenen tüm mülkleri toplayacağız. sayısal eşitsizliklerin özellikleri tablosu:
Referanslar.
- Moro M. I.. Matematik. Ders Kitabı 1 sınıf için. başlangıç okul 2 saat içinde. Bölüm 1. (Yılın ilk yarısı) / M. I. Moro, S. I. Volkova, S. V. Stepanova - 6. baskı. - M.: Eğitim, 2006. - 112 s.: ill.+Add. (2 ayrı l. hasta.). - ISBN 5-09-014951-8.
- Matematik: ders kitabı 5. sınıf için. genel eğitim kurumlar / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. baskı, silindi. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 s.: hasta. ISBN 5-346-00699-0.
- Cebir: ders kitabı 8. sınıf için. genel eğitim kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tarafından düzenlendi S. A. Telyakovsky. - 16. baskı. - M.: Eğitim, 2008. - 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkoviç A.G. Cebir. 8. sınıf. 2 saat içinde Bölüm 1. Genel eğitim kurumlarının öğrencileri için ders kitabı / A. G. Mordkovich. - 11. baskı, silindi. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: hasta. ISBN 978-5-346-01155-2.
Aşağıdaki özellikler herhangi bir sayısal ifade için doğrudur.
Mülk 1. Bir gerçek sayısal eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayısal ifadeyi eklersek, gerçek bir sayısal eşitsizlik elde ederiz, yani aşağıdakiler doğrudur: ; .
Kanıt. Eğer . Toplama işleminin değişme, birleşme ve dağılma özelliklerini kullanarak şunu elde ederiz: .
Bu nedenle “büyüktür” ilişkisinin tanımı gereği 
.
Özellik 2. Bir gerçek sayısal eşitsizliğin her iki tarafından aynı sayısal ifadeyi çıkarırsak, gerçek bir sayısal eşitsizlik elde ederiz, yani aşağıdakiler doğrudur: ;
Kanıt. Koşullara göre . Önceki özelliği kullanarak bu eşitsizliğin her iki tarafına sayısal ifadeyi ekleriz ve şunu elde ederiz: .
Toplama işleminin ilişkisel özelliğini kullanarak şunu elde ederiz: , dolayısıyla 
, buradan .
Sonuçlar. Herhangi bir terim sayısal eşitsizliğin bir kısmından diğerine zıt işaretle aktarılabilir.
Özellik 3. Doğru sayısal eşitsizlikleri terim terim toplarsak doğru sayısal eşitsizliği elde ederiz, yani:
Kanıt.Özellik 1 ile şunu elde ederiz: ve "daha fazla" ilişkisinin geçişlilik özelliğini kullanarak şunu elde ederiz: .
Mülk 4. Zıt anlamdaki gerçek sayısal eşitsizlikler, çıkardığımız eşitsizlik işareti korunarak terim terim çıkarılabilir; yani: ;
Kanıt. Gerçek sayısal eşitsizliklerin tanımı gereği 
. Özellik 3'e göre, eğer . Bu teoremin 2. özelliğinin bir sonucu olarak, herhangi bir terim eşitsizliğin bir kısmından diğerine zıt işaretle aktarılabilir. Buradan, 
. Böylece eğer .
Mülkiyet de benzer şekilde ispat edilir.
Mülk 5. Doğru bir sayısal eşitsizliğin her iki tarafı, eşitsizliğin işaretini değiştirmeden, pozitif değer alan aynı sayısal ifadeyle çarpılırsa, doğru bir sayısal eşitsizlik elde ederiz:
Kanıt. Neyden 
. Sahibiz: 
Daha sonra 
. Çarpma işleminin çıkarma işlemine göre dağıtıcı doğasını kullanarak şunu elde ederiz: .
O zaman tanım gereği ilişki “büyüktür”.
Mülkiyet de benzer şekilde ispat edilir.
Mülk 6. Doğru bir sayısal eşitsizliğin her iki kısmı da negatif değer alan aynı sayısal ifadeyle çarpılırsa, eşitsizliğin işareti ters yönde değiştirilirse, o zaman doğru bir sayısal eşitsizlik elde ederiz: ;
Mülk 7. Gerçek bir sayısal eşitsizliğin her iki tarafı, eşitsizliğin işaretini değiştirmeden, pozitif değer alan aynı sayısal ifadeye bölünürse, o zaman gerçek bir sayısal eşitsizlik elde ederiz:
Kanıt. Sahibiz: 
. Özellik 5'ten şunu elde ederiz: . Çarpma işleminin ilişkilendirilebilirliğini kullanarak şunu elde ederiz: 
buradan .
Mülkiyet de benzer şekilde ispat edilir.
Mülk 8. Doğru bir sayısal eşitsizliğin her iki kısmı da negatif değer alan aynı sayısal ifadeye bölünürse, eşitsizliğin işareti ters yönde değiştirilirse, doğru bir sayısal eşitsizlik elde ederiz: ;
Bu özelliğin kanıtını atlıyoruz.
Mülk 9. Terim terim çarparsak, aynı anlama gelen sayısal eşitsizlikleri negatif kısımlarla düzeltir ve eşitsizliğin işaretini zıt yönde değiştirirsek, doğru bir sayısal eşitsizlik elde ederiz:
Bu özelliğin kanıtını atlıyoruz.
Mülk 10. Aynı anlamdaki sayısal eşitsizlikleri terim terim çarparsak, eşitsizliğin işaretini değiştirmeden pozitif kısımlarla düzeltirsek doğru bir sayısal eşitsizlik elde ederiz:
Bu özelliğin kanıtını atlıyoruz.
Mülk 11. Karşıt anlamdaki terimin doğru sayısal eşitsizliğini, birinci eşitsizliğin işaretini koruyarak pozitif kısımlara bölersek, doğru bir sayısal eşitsizlik elde ederiz:
;
.
Bu özelliğin kanıtını atlıyoruz.
Örnek 1. Eşitsizlikler 
Ve 
eş değer?
Çözüm.İkinci eşitsizlik, birinci eşitsizliğin her iki kısmına da tanımlı olmayan aynı ifadenin eklenmesiyle elde edilir. Bu, sayının birinci eşitsizliğin çözümü olamayacağı anlamına gelir. Ancak ikinci eşitsizliğin çözümüdür. Yani ikinci eşitsizliğin, birinci eşitsizliğin çözümü olmayan bir çözümü var. Dolayısıyla bu eşitsizlikler eşdeğer değildir. İkinci eşitsizlik birinci eşitsizliğin sonucudur, çünkü birinci eşitsizliğin çözümü ikincinin de çözümü olacaktır.
§ 1 Sayıları karşılaştırmanın evrensel bir yolu
Sayısal eşitsizliklerin temel özelliklerini tanıyalım ve ayrıca sayıları karşılaştırmanın evrensel bir yolunu düşünelim.
Sayıları karşılaştırmanın sonucu eşitlik veya eşitsizlik kullanılarak yazılabilir. Eşitsizlik katı veya katı olmayabilir. Örneğin a>3 katı bir eşitsizliktir; a≥3 zayıf bir eşitsizliktir. Sayıların karşılaştırılma şekli, karşılaştırılan sayıların türüne bağlıdır. Örneğin ondalık kesirleri karşılaştırmamız gerekiyorsa bunları basamak basamak karşılaştırırız; Sıradan kesirleri farklı paydalarla karşılaştırmanız gerekiyorsa, bunları ortak bir paydaya getirmeniz ve payları karşılaştırmanız gerekir. Ancak sayıları karşılaştırmanın evrensel bir yolu var. Aşağıdakilerden oluşur: a ve b sayıları arasındaki farkı bulun; a - b > 0 ise, yani pozitif bir sayıysa a > b; eğer a - b< 0, то есть отрицательное число, то a < b; если a - b = 0, то a = b. Этот способ удобно использовать для доказательства неравенств. Например, доказать неравенство:
2b2 - 6b + 1 > 2b(b- 3)
Evrensel bir karşılaştırma yöntemi kullanalım. 2b2 - 6b + 1 ve 2b(b - 3) ifadeleri arasındaki farkı bulalım;
2b2 - 6b + 1- 2b(b-3)= 2b2 - 6b + 1 - 2b2 + 6b; Benzer terimleri toplayıp 1 elde edelim. 1 sıfırdan büyük pozitif bir sayı olduğundan 2b2 - 6b+1 > 2b(b-3) olur.
§ 2 Sayısal eşitsizliklerin özellikleri
Özellik 1. Eğer a> b, b > c ise a> c.
Kanıt. a > b ise fark a - b > 0 olur, yani pozitif bir sayıdır. Eğer b >c ise, b - c > 0 farkı pozitif bir sayıdır. Pozitif a - b ve b - c sayılarını toplayalım, parantezleri açıp benzer terimleri toplayalım, (a - b) + (b - c) = a - b + b - c = a - c elde ederiz. Pozitif sayıların toplamı pozitif bir sayı olduğundan a - c pozitif bir sayıdır. Bu nedenle a > c'nin kanıtlanması gerekiyordu.
Özellik 2. Eğer bir< b, c- любое число, то a + с < b+ с. Это свойство можно трактовать так: «К обеим частям верного неравенства можно прибавить одно и то же число, при этом знак неравенства не изменится».
Kanıt. a + c ve b+ c ifadeleri arasındaki farkı bulalım, parantezleri açıp benzer terimleri toplayalım, (a + c) - (b+ c) = a + c - b - c = a - b elde ederiz. a koşuluna göre< b, тогда разность a - b- отрицательное число. Значит, и разность (a + с) -(b+ с) отрицательна. Следовательно, a + с < b+ с, что и требовалось доказать.
Özellik 3. Eğer bir< b, c - положительное число, то aс < bс.
eğer bir< b, c- отрицательное число, то aс >M.Ö.
Kanıt. Ac ve bc ifadeleri arasındaki farkı bulalım, c'yi parantezlerin dışına koyalım, sonra ac-bc = c(a-b) elde ederiz. Ama bir zamandan beri Negatif bir a-b sayısını pozitif bir c sayısıyla çarparsak, c(a-b) çarpımı negatif olur, dolayısıyla ac-bc farkı negatif olur, yani ac Negatif bir a-b sayısı negatif bir c sayısıyla çarpılırsa c(a-b) çarpımı pozitif olur, dolayısıyla ac-bc farkı pozitif olur, yani ac>bc olur. Q.E.D. Örneğin, bir Bölme işlemi karşılıklı sayı = n∙ ile çarpılarak değiştirilebildiğinden, kanıtlanmış özellik bölme işlemine de uygulanabilir. Dolayısıyla bu özelliğin anlamı şu şekildedir: “Bir eşitsizliğin her iki tarafı da aynı pozitif sayı ile çarpılabilir veya bölünebilir ve eşitsizliğin işareti değişmez. Eşitsizliğin her iki tarafı da negatif bir sayıyla çarpılabilir veya bölünebilir ancak eşitsizliğin işaretini ters işarete çevirmek gerekir.” Özellik 3'ün sonucunu ele alalım. Sonuçlar. eğer bir Kanıt. Eşitsizliğin her iki tarafını da bölelim
kesirleri azaltın ve elde edin İfade kanıtlandı. Aslında örneğin 2< 3, но Özellik 4. Eğer a > b ve c > d ise a + c > b+ d. Kanıt. a>b ve c>d olduğundan a-b ve c-d farkları pozitif sayılardır. O halde bu sayıların toplamı da pozitif bir sayıdır (a-b)+(c-d). Parantezleri açıp (a-b)+(c-d) = a-b+ c-d= (a+c)-(b+ d) olarak gruplayalım. Bu eşitlik dikkate alındığında ortaya çıkan (a + c) - (b + d) ifadesi pozitif bir sayı olacaktır. Bu nedenle a+ c> b+ d. a>b, c >d veya a biçimindeki eşitsizlikler< b, c< d называют неравенствами одинакового смысла, а неравенства a>b,c Özellik 5. Eğer a > b, c > d ise ac> bd; burada a, b, c, d pozitif sayılardır. Kanıt. a>b ve c pozitif bir sayı olduğundan, 3. özelliği kullanarak ac > bc elde ederiz. c >d ve b pozitif bir sayı olduğundan bc > bd olur. Bu nedenle, ilk özellik ac > bd'dir. Kanıtlanmış özelliğin anlamı şu şekildedir: “Sağ ve sol tarafları pozitif sayılar olan, aynı anlamdaki terim terim eşitsizliklerini çarparsak, aynı anlamda bir eşitsizlik elde ederiz.” Örneğin, 6< a < 7, 4 < b< 5 тогда, 24 < ab < 35. Özellik 6. Eğer bir< b, a и b - положительные числа, то an< bn, где n- натуральное число. Kanıt. Verilen n eşitsizlik terimini a terimiyle çarparsak< b, то, согласно утверждению свойства 5, получим an< bn. Прочесть доказанное утверждение можно так: «Если обе части неравенства - положительные числа, то их можно возвести в одну и ту же натуральную степень, сохранив знак неравенства». § 3 Özelliklerin uygulanması Düşündüğümüz özelliklerin uygulanmasına ilişkin bir örneği ele alalım. 33 olsun< a < 34, 3 < b< 4. Оценить сумму a + b, разность a - b, произведение a ∙ b и частное a: b. 1) a + b toplamını tahmin edelim. Özellik 4'ü kullanarak 33 + 3 elde ederiz< a + b < 34 + 4 или 36 < a+ b <38. 2) a - b farkını tahmin edelim. Çıkarma özelliği olmadığından a - b farkını a + (-b) toplamıyla değiştiririz. İlk önce (- b)'yi tahmin edelim. Bunu yapmak için, özellik 3'ü kullanarak, eşitsizliğin her iki tarafı da 3< b< 4 умножим на -1, при этом меняем знак неравенства на противоположный знак 3 ∙ (-1) >b∙ (-1) > 4 ∙ (-1). -4 alıyoruz< -b< -3. Теперь можно сложить два неравенства одного знака 33< a < 34 и -4< -b< -3. Имеем 2 9< a - b <31. 3) a ∙ b çarpımını tahmin edelim. Özellik 5 ile aynı işaretli eşitsizlikleri çarpıyoruz Sayısal eşitsizlikleri kullandığımız okulda eşitsizlikleri öğrendik. Bu yazıda, onlarla çalışma ilkelerinin oluşturulduğu sayısal eşitsizliklerin özelliklerini ele alacağız. Eşitsizliklerin özellikleri sayısal eşitsizliklerin özelliklerine benzer. Özellikleri, gerekçeleri ele alınacak ve örnekler verilecektir. Yandex.RTB R-A-339285-1 Eşitsizlik kavramını tanıtırken kayıt türüne göre tanımının yapıldığını görüyoruz. ≠ işaretli cebirsel ifadeler vardır,< , >, ≤ , ≥ . Bir tanım verelim. Tanım 1 Sayısal eşitsizlik her iki tarafın da sayılara ve sayısal ifadelere sahip olduğu eşitsizlik denir. Doğal sayıları öğrendikten sonra okulda sayısal eşitsizlikleri dikkate alıyoruz. Bu tür karşılaştırma işlemleri adım adım incelenmektedir. İlk olanlar 1'e benziyor< 5 , 5 + 7 >3. Kurallar tamamlandıktan ve eşitsizlikler daha karmaşık hale geldikten sonra 5 2 3 > 5, 1 (2), ln 0 formundaki eşitsizlikleri elde ederiz. 73 - 17 2< 0 . Eşitsizliklerle doğru şekilde çalışmak için sayısal eşitsizliklerin özelliklerini kullanmanız gerekir. Eşitsizlik kavramından geliyorlar. Bu kavram “daha fazla” veya “daha az” şeklinde ifade edilen bir ifade kullanılarak tanımlanır. Tanım 2 Tanım, “küçük veya eşit”, “büyük veya eşit” ilişkileriyle eşitsizliklerin çözümünde kullanılır. Bunu anlıyoruz Tanım 3 Tanımlar sayısal eşitsizliklerin özelliklerini kanıtlamak için kullanılacaktır. 3 ana eşitsizliğe bakalım. İşaretlerin kullanımı< и >aşağıdaki özelliklerin karakteristiği: Tanım 4 Örnek 1 Örneğin, 5 eşitsizliği verildiğinde< 11 имеем, что 11 >5, yani sayısal eşitsizliği − 0, 27 > − 1, 3, − 1, 3 olarak yeniden yazılacaktır< − 0 , 27 . Bir sonraki özelliğe geçmeden önce, asimetrinin yardımıyla eşitsizliği sağdan sola ve tam tersi şekilde okuyabileceğinizi unutmayın. Bu şekilde sayısal eşitsizlikler değiştirilebilir ve değiştirilebilir. Tanım 5 Kanıt 1 İlk ifade kanıtlanabilir. Koşul a< b и b < c означает, что a − b и b − c являются отрицательными, а разность а - с представляется в виде (a − b) + (b − c) , что является отрицательным числом, потому как имеем сумму двух отрицательных a − b и b − c . Отсюда получаем, что а - с является отрицательным числом, а значит, что a < c . Что и требовалось доказать. Geçişlilik özelliğinin bulunduğu ikinci kısım da benzer şekilde kanıtlanır. Örnek 2 Analiz edilen özelliği eşitsizlik örneğini kullanarak ele alıyoruz - 1< 5 и 5 < 8 . Отсюда имеем, что − 1 < 8 . Аналогичным образом из неравенств 1 2 >1 8 ve 1 8 > 1 32, bundan 1 2 > 1 32 sonucu çıkar. Zayıf eşitsizlik işaretleri kullanılarak yazılan sayısal eşitsizlikler yansıma özelliğine sahiptir çünkü a ≤ a ve a ≥ a, a = a eşitliği durumuna sahip olabilir. Asimetri ve geçişlilik ile karakterize edilirler. Tanım 6 Yazısında ≤ ve ≥ işaretleri bulunan eşitsizlikler aşağıdaki özelliklere sahiptir: Kanıt benzer şekilde gerçekleştirilir. Eşitsizliklerin temel özelliklerini desteklemek için pratik önemi olan sonuçlar kullanılır. Yöntemin prensibi, eşitsizlikleri çözme ilkelerinin dayandığı ifadelerin değerlerini tahmin etmek için kullanılır. Bu paragraf, katı eşitsizliğin bir işareti için eşitsizliklerin özelliklerini ortaya koymaktadır. Aynı şey katı olmayanlar için de yapılır. Eşitsizliği formüle eden bir örneğe bakalım:< b и c являются любыми числами, то a + c < b + c . Справедливыми окажутся свойства: Uygun bir sunum için, yazılı olan ve kanıtların verildiği ilgili ifadeyi veriyoruz, kullanım örnekleri gösteriliyor. Tanım 7 Her iki tarafa da sayı eklemek veya hesaplamak. Başka bir deyişle, a ve b, a eşitsizliğine karşılık geldiğinde< b , тогда для любого такого числа имеет смысл неравенство вида a + c < b + c . Kanıt 2 Bunu kanıtlamak için denklemin a koşulunu sağlaması gerekir.< b . Тогда (a + c) − (b + c) = a + c − b − c = a − b . Из условия a < b получим, что a − b < 0 . Значит, (a + c) − (b + c) < 0 , откуда a + c < b + c . Множество действительных числе могут быть изменены с помощью прибавления противоположного числа – с. Örnek 3 Örneğin, 7 > 3 eşitsizliğinin her iki tarafını da 15 artırırsak, 7 + 15 > 3 + 15 sonucunu elde ederiz. Bu 22 > 18'e eşittir. Tanım 8 Eşitsizliğin her iki tarafı aynı c sayısıyla çarpıldığında veya bölündüğünde gerçek bir eşitsizlik elde edilir. Negatif bir sayı alırsanız işaret ters yönde değişir. Aksi halde şöyle görünür: a ve b için eşitsizlik a olduğunda geçerlidir< b и c являются положительными числами, то a· c < b · c , а если v является отрицательным числом, тогда a · c >b.c. Kanıt 3 c > 0 durumu olduğunda eşitsizliğin sol ve sağ tarafları arasındaki farkı oluşturmak gerekir. O zaman a · c − b · c = (a − b) · c olduğunu elde ederiz. a koşulundan< b , то a − b < 0 , а c >0 ise (a − b) c çarpımı negatif olacaktır. Bundan şu sonuç çıkar: a · c − b · c< 0 , где a · c < b · c . Другая часть доказывается аналогичным образом. Kanıtlarken, bir tam sayıya bölme, verilen sayının tersiyle, yani 1 c ile çarpılarak değiştirilebilir. Belirli sayılardaki bir özellik örneğine bakalım. Örnek 4 4 eşitsizliğinin her iki tarafına da izin verilir< 6 умножаем на положительное 0 , 5 , тогда получим неравенство вида − 4 · 0 , 5 < 6 · 0 , 5 , где − 2 < 3 . Когда обе части делим на - 4 , то необходимо изменить знак неравенства на противоположный. отсюда имеем, что неравенство примет вид − 8: (− 4) ≥ 12: (− 4) , где 2 ≥ − 3 . Şimdi eşitsizliklerin çözümünde kullanılan aşağıdaki iki sonucu formüle edelim: Eşitsizliğin her iki tarafını bölerken< b разрешается на число a · b . Данное свойство используется при верном неравенстве 5 >3 2 elimizde 1 5 var< 2 3 . При отрицательных a и b c условием, что a < b , неравенство 1 a >1b yanlış olabilir. Örnek 5 Örneğin, − 2< 3 , однако, - 1 2 >1 3 yanlış bir denklem. Tüm noktalar, eşitsizliğin bazı kısımları üzerindeki eylemlerin çıktıda doğru eşitsizliği vermesiyle birleşiyor. Başlangıçta birkaç sayısal eşitsizliğin olduğu ve sonucunun parçalarının eklenmesi veya çarpılmasıyla elde edildiği özellikleri ele alalım. Tanım 9 a, b, c, d sayıları a eşitsizlikleri için geçerli olduğunda< b и c < d , тогда верным считается a + c < b + d . Свойство можно формировать таким образом: почленно складывать числа частей неравенства. Kanıt 4 (a + c) − (b + d)'nin negatif bir sayı olduğunu kanıtlayalım ve sonra a + c sonucunu elde edelim.< b + d . Из условия имеем, что a < b и c < d . Выше доказанное свойство позволяет прибавлять к обеим частям одинаковое число. Тогда увеличим неравенство a < b на число b , при c < d , получим неравенства вида a + c < b + c и b + c < b + d . Полученное неравенство говорит о том, что ему присуще свойство транзитивности. Özellik üç, dört veya daha fazla sayısal eşitsizliğin dönem dönem eklenmesi için kullanılır. a 1 , a 2 , … , an n ve b 1 , b 2 , … , b n sayıları a 1 eşitsizliklerini karşılar< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , можно доказать метод математической индукции, получив a 1 + a 2 + … + a n < b 1 + b 2 + … + b n .
Örnek 6 Örneğin, aynı işarete sahip üç sayısal eşitsizlik verildiğinde - 5< − 2 , − 1 < 12 и 3 < 4 . Свойство позволяет определять то, что − 5 + (− 1) + 3 < − 2 + 12 + 4 является верным. Tanım 10 Her iki tarafın terimsel çarpımı pozitif bir sayıyla sonuçlanır. ne zaman bir< b и c < d , где a , b , c и d являются положительными числами, тогда неравенство вида a · c < b · d считается справедливым. Kanıt 5 Bunu kanıtlamak için eşitsizliğin her iki tarafına da ihtiyacımız var.< b умножить на число с, а обе части c < d на b . В итоге получим, что неравенства a · c < b · c и b · c < b · d верные, откуда получим свойство транизитивности a · c < b · d . Bu özellik, eşitsizliğin her iki tarafının çarpılması gereken sayıların sayısı için geçerli kabul edilir. Daha sonra bir 1, bir 2,…, bir n Ve b 1, b 2, …, b n pozitif sayılardır, burada a 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , то a 1 · a 2 · … · bir n< b 1 · b 2 · … · b n
. Eşitsizlikleri yazarken pozitif olmayan sayıların bulunduğunu ve bunların terim terim çarpımının yanlış eşitsizliklere yol açtığını unutmayın. Örnek 7 Örneğin eşitsizlik 1< 3 и − 5 < − 4 являются верными, а почленное их умножение даст результат в виде 1 · (− 5) < 3 · (− 4) , считается, что − 5 < − 12 это является неверным неравенством. Sonuçlar:
Eşitsizliklerin terimsel çarpımı a< b с положительными с a и b , причем получается a n < b n
. Sayısal eşitsizliklerin aşağıdaki özelliklerini ele alalım. Sonuç 1:
eğer bir< b , то - a >-B. Sonuç 2:
a ve b pozitif sayılar ise ve a< b , то 1 a >1b. Sonuç 1:
Eğer A< b , a
Ve B
pozitif sayılardır, o zaman bir n< b n . Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın. Bernoulli, Cauchy - Bunyakovsky, Minkowski, Chebyshev eşitsizlikleri dahil olmak üzere ana eşitsizlik türleri sunulmaktadır. Eşitsizliklerin özellikleri ve onlara etkileri dikkate alınır. Eşitsizlikleri çözmenin temel yöntemleri verilmiştir. Evrensel eşitsizlikler, içerdikleri miktarların herhangi bir değeri için karşılanır. Evrensel eşitsizliklerin ana türleri aşağıda listelenmiştir. 1) | bir b | ≤ |a| + |b| ; | a 1 a 2 ... a n | ≤ |bir 1 | + |a 2 | + ... + |a n | 2)
|bir| + |b| ≥ | a - b | ≥ | |bir| - |b| | 3)
4)
Cauchy-Bunyakovsky eşitsizliği 5)
Minkowski eşitsizliği, p ≥ 1 için Tatmin edilebilir eşitsizlikler, içerdikleri miktarların belirli değerleri için karşılanır. 1)
Bernoulli eşitsizliği: 2)
3)
Chebyshev eşitsizliği 4)
Genelleştirilmiş Chebyshev eşitsizlikleri Eşitsizliklerin özellikleri, onları dönüştürürken karşılanan kuralların bir kümesidir. Aşağıda eşitsizliklerin özellikleri verilmiştir. Orijinal eşitsizliklerin önceden belirlenmiş bir aralığa ait x i (i = 1, 2, 3, 4) değerleri için sağlandığı anlaşılmaktadır. 1) Kenarların sırası değiştiğinde eşitsizlik işareti ters yönde değişir. 2) Bir eşitlik, farklı işaretlere sahip iki katı olmayan eşitsizliğe eşdeğerdir. 3) Geçişlilik özelliği 4) Eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenebilir (çıkarılabilir). 5) Aynı yönde işaretli iki veya daha fazla eşitsizlik varsa bunların sol ve sağ tarafları toplanabilir. 6) Eşitsizliğin her iki tarafı pozitif bir sayı ile çarpılabilir (bölünebilir). 7) Eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayı ile çarpılabilir (bölünebilir). Bu durumda eşitsizliğin işareti ters yönde değişecektir. 8) Pozitif terimli ve aynı yönde işaretli iki veya daha fazla eşitsizlik varsa bunların sol ve sağ tarafları birbiriyle çarpılabilir. 9) f(x) monoton olarak artan bir fonksiyon olsun. Yani herhangi bir x 1 > x 2 için f(x 1) > f(x 2). 10) f(x) monoton olarak azalan bir fonksiyon olsun, yani herhangi bir x 1 > x 2 için, f(x 1)< f(x 2)
.
Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства изменится на противоположный. Aralık yöntemi, eşitsizliğin x olarak gösterdiğimiz bir değişken içermesi ve şu şekilde olması durumunda uygulanabilir: Aralık yöntemi aşağıdaki gibidir. 1) f(x) fonksiyonunun tanım tanım kümesini bulun ve bunu sayı ekseninde aralıklarla işaretleyin. 2) f(x) fonksiyonunun süreksizlik noktalarını bulun. Örneğin bu bir kesir ise paydanın sıfıra gittiği noktaları buluruz. Bu noktaları sayı ekseninde işaretliyoruz. Bu denklemin köklerini sayı ekseninde işaretliyoruz. 4) Sonuç olarak sayı ekseni noktalara göre aralıklara (bölümlere) bölünecektir. Tanım alanına giren her aralıkta herhangi bir noktayı seçip bu noktada fonksiyonun değerini hesaplıyoruz. Bu değer sıfırdan büyükse segmentin (aralığın) üzerine “+” işareti koyarız. Yani bazı aralıkların kapalı sınırları olabilir (sınır aralığa aittir). diğer kısmın sınırları açık olabilir (sınır aralığa ait değildir). Benzer şekilde, eşitsizlik şu şekildeyse: f(x) Sayısal eşitsizlikler: tanım, örnekler
Sayısal eşitsizliklerin özellikleri
Temel özellikler
Sayısal eşitsizliklerin diğer önemli özellikleri
Sayısal eşitsizliklerin özellikleri
a ≤ a, a ≥ a gerçek eşitsizliklerdir.
eğer bir< b и c - отрицательное число, то a · c >b.c.Temel eşitsizlikler için formüller
Evrensel eşitsizlikler için formüller
Eşitlik yalnızca a 1 = a 2 = ... = a n olduğunda ortaya çıkar.
Eşitlik ancak ve ancak tüm k = 1, 2, ..., n ve bazı α, β, |α| için α a k = β b k olması durumunda geçerlidir. + |β| > 0 .Tatmin edilebilir eşitsizliklerin formülleri
.
Daha genel olarak:
,
burada , aynı işaretli ve daha büyük sayılar -1
:
.
Bernoulli'nin Lemması:
.
Bkz. "Eşitsizliklerin kanıtları ve Bernoulli lemması".
a ben ≥ 0 için (i = 1, 2, ..., n) .
en 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
Ve 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
.
Şu tarihte: 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
Ve b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.
en 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
Ve 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
ve doğal
.
Şu tarihte: 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
Ve b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.
Eşitsizliklerin özellikleri
Eğer x 1 ise< x 2
,
то x 2 >x 1.
Eğer x 1 ≤ x 2 ise x 2 ≥ x 1 olur.
Eğer x 1 ≥ x 2 ise x 2 ≤ x 1 olur.
Eğer x 1 > x 2 ise x 2< x 1
.
Eğer x 1 = x 2 ise, x 1 ≤ x 2 ve x 1 ≥ x 2 olur.
Eğer x 1 ≤ x 2 ve x 1 ≥ x 2 ise x 1 = x 2 olur.
Eğer x 1 ise< x 2
и x 2 < x 3
,
то x 1 < x 3
.
Eğer x 1 ise< x 2
и x 2 ≤ x 3
,
то x 1 < x 3
.
Eğer x 1 ≤ x 2 ve x 2 ise< x 3
,
то x 1 < x 3
.
Eğer x 1 ≤ x 2 ve x 2 ≤ x 3 ise x 1 ≤ x 3 olur.
Eğer x 1 ise< x 2
,
то x 1 + A < x 2 + A
.
Eğer x 1 ≤ x 2 ise, x 1 + A ≤ x 2 + A olur.
Eğer x 1 ≥ x 2 ise x 1 + A ≥ x 2 + A olur.
Eğer x 1 > x 2 ise, bu durumda x 1 + A > x 2 + A.
Eğer x 1 ise< x 2
,
x 3 < x 4
,
то x 1 + x 3 < x 2 + x 4
.
Eğer x 1 ise< x 2
,
x 3 ≤ x 4
,
то x 1 + x 3 < x 2 + x 4
.
Eğer x 1 ≤ x 2, x 3 ise< x 4
,
то x 1 + x 3 < x 2 + x 4
.
Eğer x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4 ise x 1 + x 3 ≤ x 2 + x 4 olur.
Benzer ifadeler ≥, > işaretleri için de geçerlidir.
Orijinal eşitsizlikler katı olmayan eşitsizliklerin işaretlerini ve en az bir katı eşitsizliği içeriyorsa (ancak tüm işaretler aynı yöne sahipse), bu durumda ekleme katı bir eşitsizlikle sonuçlanır.
Eğer x 1 ise< x 2
и A >0, ardından A x 1< A · x 2
.
Eğer x 1 ≤ x 2 ve A > 0 ise A x 1 ≤ A x 2 olur.
Eğer x 1 ≥ x 2 ve A > 0 ise A x 1 ≥ A x 2 olur.
Eğer x 1 > x 2 ve A > 0 ise, bu durumda A · x 1 > A · x 2.
Eğer x 1 ise< x 2
и A < 0
,
то A · x 1 >Bir x 2.
Eğer x 1 ≤ x 2 ve A ise< 0
,
то A · x 1 ≥ A · x 2
.
Eğer x 1 ≥ x 2 ve A ise< 0
,
то A · x 1 ≤ A · x 2
.
Eğer x 1 > x 2 ve A ise< 0
,
то A · x 1 < A · x 2
.
Eğer x 1 ise< x 2
,
x 3 < x 4
,
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 sonra x 1 x 3< x 2 · x 4
.
Eğer x 1 ise< x 2
,
x 3 ≤ x 4
,
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 sonra x 1 x 3< x 2 · x 4
.
Eğer x 1 ≤ x 2, x 3 ise< x 4
,
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 sonra x 1 x 3< x 2 · x 4
.
Eğer x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, x 1, x 2, x 3, x 4 > 0 ise x 1 x 3 ≤ x 2 x 4.
Benzer ifadeler ≥, > işaretleri için de geçerlidir.
Orijinal eşitsizlikler katı olmayan eşitsizliklerin işaretlerini ve en az bir katı eşitsizliği içeriyorsa (ancak tüm işaretler aynı yöne sahipse), o zaman çarpma katı bir eşitsizlikle sonuçlanır.
Eğer x 1 ise< x 2
,
то f(x 1) < f(x 2)
.
Eğer x 1 ≤ x 2 ise f(x 1) ≤ f(x 2) .
Eğer x 1 ≥ x 2 ise f(x 1) ≥ f(x 2) .
Eğer x 1 > x 2 ise f(x 1) > f(x 2).
Eğer x 1 ise< x 2
,
то f(x 1) >f(x2) .
Eğer x 1 ≤ x 2 ise f(x 1) ≥ f(x 2) .
Eğer x 1 ≥ x 2 ise f(x 1) ≤ f(x 2) .
Eğer x 1 > x 2 ise f(x 1)< f(x 2)
.
Eşitsizlikleri çözme yöntemleri
Aralık yöntemini kullanarak eşitsizlikleri çözme
f(x) > 0
burada f(x) sonlu sayıda süreksizlik noktasına sahip sürekli bir fonksiyondur. Eşitsizlik işareti herhangi bir şey olabilir: >, ≥,<, ≤
.
3) Denklemi çözün
f(x) = 0.
Bu değer sıfırdan küçükse segmentin (aralık) üzerine “-” işareti koyarız.
5) Eşitsizlik f(x) > 0 şeklindeyse “+” işaretli aralıkları seçin.< 0
,
то выбираем интервалы с знаком „-“
.
Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
Eşitsizliğin çözümü, sınırlarını içermeyen bu aralıkları birleştirmektir.Eşitsizlik f(x) ≥ 0 biçimindeyse, çözüme f(x) = 0 olan noktaları ekleriz.
Eşitsizlik f(x) ≤ 0 biçimindeyse, çözüme f(x) = 0 olan noktaları ekleriz.