Limitler teorisi matematiksel analizin dallarından biridir. Çeşitli türlerdeki limitleri çözmek için düzinelerce yöntem olduğundan, limitleri çözme sorunu oldukça kapsamlıdır. Bunu veya bu sınırı çözmenize izin veren düzinelerce nüans ve püf noktası var. Yine de pratikte en sık karşılaşılan ana limit türlerini anlamaya çalışacağız.
Limit kavramıyla başlayalım. Ama önce kısa bir tarihsel arka plan. 19. yüzyılda matan kavramının pek çok kavramına kesin tanımlar veren ve temellerini atan Fransız Augustin Louis Cauchy yaşadı. Bu saygın matematikçinin, çok sayıda matematiksel analiz teoremini kanıtladığı ve bir teoremin diğerinden daha öldürücü olduğu için tüm fizik ve matematik bölümü öğrencilerinin kabuslarında olduğunu, öyle olduğunu ve olacağını söylemek gerekir. Bu bağlamda, henüz dikkate almayacağız Cauchy limitinin belirlenmesi, ama iki şey yapmaya çalışalım:
1. Limitin ne olduğunu anlayın.
2. Ana limit türlerini çözmeyi öğrenin.
Bazı bilimsel olmayan açıklamalar için özür dilerim, malzemenin bir çaydanlık için bile anlaşılır olması önemli ki aslında projenin amacı da bu.
Peki sınır nedir?
Ve neden tüylü büyükanneye bir örnek...
Herhangi bir limit üç bölümden oluşur:
1) İyi bilinen limit simgesi.
2) Bu durumda limit simgesinin altındaki girişler. Girişte "X bire eğilimlidir" yazıyor. Çoğu zaman - tam olarak, pratikte "X" yerine başka değişkenler olmasına rağmen. Pratik görevlerde, birinin yeri kesinlikle herhangi bir sayı olabileceği gibi sonsuzluk () da olabilir.
3) Bu durumda limit işaretinin altındaki fonksiyonlar.
Kaydın kendisi 
şu şekilde okunur: "x birliğe doğru giderken bir fonksiyonun limiti."
Bir sonraki önemli soruya bakalım - “x” ifadesi ne anlama geliyor? çabalıyor birine"? Peki "çabalamak" ne anlama geliyor?
Limit kavramı tabiri caizse bir kavramdır, dinamik. Bir dizi oluşturalım: önce , sonra , , …, 
, ….
Yani “x” ifadesi çabalıyor bire” şu şekilde anlaşılmalıdır: “x” sürekli olarak değerleri alır birliğe sonsuz derecede yakın olan ve pratik olarak onunla örtüşen.
Yukarıdaki örnek nasıl çözülür? Yukarıdakilere dayanarak, limit işaretinin altındaki fonksiyona bir tane koymanız yeterlidir:
Yani ilk kural: Herhangi bir limit verildiğinde, ilk önce sayıyı fonksiyona yerleştirmeye çalışırız..
En basit sınırı düşündük, ancak bunlar pratikte de ortaya çıkıyor ve çok da nadir değil!
Sonsuzlukla örnek:
Ne olduğunu bulalım mı? Sınırsız arttığında durum budur: önce, sonra, sonra, sonra vb. sonsuza kadar.
Şu anda fonksiyona ne olacak?
, , 
, …
Yani: eğer ise fonksiyon eksi sonsuza doğru yönelir:
Kabaca söylemek gerekirse, ilk kuralımıza göre fonksiyonda “X” yerine sonsuzluğu koyarız ve cevabı alırız.
Sonsuzluğa başka bir örnek:
Tekrar sonsuza kadar artırmaya başlıyoruz ve fonksiyonun davranışına bakıyoruz: 
Sonuç: fonksiyon sınırsız arttığında:
Ve bir dizi örnek daha:
Lütfen aşağıdakileri kendiniz zihinsel olarak analiz etmeye çalışın ve en basit sınır türlerini hatırlayın:
, , , , 
, , , , 
,
Herhangi bir yerde şüpheniz varsa, bir hesap makinesi alıp biraz pratik yapabilirsiniz.
Bu durumda , , dizisini oluşturmaya çalışın . Eğer öyleyse , , .
! Not: Açıkçası, birkaç sayıdan oluşan diziler oluşturmaya yönelik bu yaklaşım yanlıştır, ancak en basit örnekleri anlamak için oldukça uygundur.
Ayrıca aşağıdaki şeye dikkat edin. Üstte büyük bir sayıyla, hatta bir milyonla bir sınır verilse bile: yine de aynıdır. 
çünkü er ya da geç "X" o kadar devasa değerler almaya başlayacak ki, bir milyon karşılaştırıldığında gerçek bir mikrop olacak.
Yukarıdakilerden neyi hatırlamanız ve anlamanız gerekiyor?
1) Herhangi bir limit verildiğinde, önce sayıyı fonksiyonda yerine koymaya çalışırız.
2) En basit sınırları anlamalı ve hemen çözmelisiniz. 
, , vesaire.
Üstelik limitin çok iyi bir geometrik anlamı var. Konuyu daha iyi anlamak için öğretim materyalini okumanızı tavsiye ederim. Temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri. Bu makaleyi okuduktan sonra, yalnızca limitin ne olduğunu anlamakla kalmayacak, aynı zamanda genel olarak bir fonksiyonun limitinin ne olduğuyla ilgili ilginç durumları da öğreneceksiniz. bulunmuyor!
Uygulamada maalesef çok az hediye var. Bu nedenle daha karmaşık sınırları dikkate almaya geçiyoruz. Bu arada bu konu hakkında yoğun kurs pdf formatında, özellikle hazırlanmak için ÇOK az zamanınız varsa kullanışlıdır. Ancak site materyalleri elbette daha kötü değil:
Şimdi fonksiyon, payı ve paydası polinomlar içeren bir kesir olduğunda limit grubunu ele alacağız.
Örnek:
Limiti hesapla 
Kuralımıza göre fonksiyonun yerine sonsuzluğu koymaya çalışacağız. En üstte ne elde ederiz? Sonsuzluk. Peki aşağıda ne olur? Ayrıca sonsuzluk. Böylece tür belirsizliği denilen durumla karşı karşıyayız. Öyle düşünülebilir ve cevap hazırdır, ancak genel durumda durum hiç de böyle değildir ve şimdi ele alacağımız bazı çözüm tekniklerinin uygulanması gerekir.
Bu tür limitler nasıl çözülür?
İlk önce paya bakıyoruz ve en yüksek gücü buluyoruz: 
Payın baş kuvveti ikidir.
Şimdi paydaya bakıyoruz ve aynı zamanda en yüksek kuvvetini de buluyoruz: 
Paydanın en yüksek derecesi ikidir.
Daha sonra pay ve paydanın en büyük kuvvetini seçiyoruz: bu örnekte bunlar aynı ve ikiye eşittir.
Yani çözüm yöntemi şu şekildedir: Belirsizliği ortaya çıkarmak için pay ve paydayı en büyük kuvvete bölmek gerekir.
İşte cevap, hiç de sonsuzluk değil.
Bir kararın tasarımında temel olarak önemli olan nedir?
Öncelikle varsa belirsizliği belirtiyoruz.
İkinci olarak ara açıklamalar için çözüme ara verilmesi tavsiye edilir. Ben genelde işaretini kullanıyorum, herhangi bir matematiksel anlamı yok ama çözümün ara bir açıklama için kesintiye uğradığı anlamına geliyor.
Üçüncüsü, limitte neyin nereye gittiğini işaretlemeniz tavsiye edilir. İş elle hazırlandığında bunu şu şekilde yapmak daha uygundur: 
Notlar için basit bir kalem kullanmak daha iyidir.
Elbette bunların hiçbirini yapmanıza gerek yok ama o zaman belki öğretmen çözümdeki eksikliklere dikkat çekecek veya ödevle ilgili ek sorular sormaya başlayacaktır. Ona ihtiyacın var mı?
Örnek 2
Sınırı bulun 
Yine pay ve paydada en yüksek dereceyi buluyoruz: 
Payda maksimum derece: 3
Paydadaki maksimum derece: 4
Seçmek En büyük değer, bu durumda dört.
Algoritmamıza göre belirsizliği ortaya çıkarmak için pay ve paydayı 'ye bölüyoruz.
Görevin tamamı şöyle görünebilir:
Pay ve paydayı şuna bölün:
Örnek 3
Sınırı bulun 
Paydaki maksimum “X” derecesi: 2
Paydadaki “X”in maksimum derecesi: 1 (şu şekilde yazılabilir)
Belirsizliği ortaya çıkarmak için pay ve paydayı 'ye bölmek gerekir. Nihai çözüm şöyle görünebilir:
Pay ve paydayı şuna bölün:
Gösterim sıfıra bölmek anlamına gelmez (sıfıra bölemezsiniz), sonsuz küçük bir sayıya bölmek anlamına gelir.
Böylece tür belirsizliğini açığa çıkararak şunları yapabiliriz: son sayı, sıfır veya sonsuz.
Tür belirsizliği ve bunları çözme yöntemi ile sınırlar
Bir sonraki limit grubu, az önce ele alınan limitlere bir şekilde benzer: pay ve payda polinomlar içerir, ancak "x" artık sonsuza gitme eğiliminde değildir, ancak sonlu sayı.
Örnek 4
Limiti çöz 
Öncelikle kesrin yerine -1 koymayı deneyelim: 
Bu durumda belirsizlik adı verilen durum elde edilir.
Genel kural: pay ve payda polinomlar içeriyorsa ve formda belirsizlik varsa, bunu açıklayın pay ve paydayı çarpanlarına ayırmanız gerekir.
Bunu yapmak için çoğunlukla ikinci dereceden bir denklemi çözmeniz ve/veya kısaltılmış çarpma formüllerini kullanmanız gerekir. Bunları unuttuysanız sayfayı ziyaret edin Matematiksel formüller ve tablolar ve öğretim materyalini okuyun Okul matematik dersi için sıcak formüller. Bu arada, yazdırmak en iyisidir; çok sık gereklidir ve bilgiler kağıttan daha iyi emilir.
O halde hadi limitimizi çözelim 
Pay ve paydayı çarpanlarına ayırın
Payı çarpanlara ayırmak için ikinci dereceden denklemi çözmeniz gerekir: 
İlk önce diskriminantı buluyoruz:
Ve bunun karekökü: .
Diskriminant büyükse, örneğin 361, bir hesap makinesi kullanırız; karekök çıkarma işlevi en basit hesap makinesindedir.
! Kök bütünüyle çıkarılmazsa (virgüllü kesirli bir sayı elde edilirse), diskriminantın yanlış hesaplanmış olması veya görevde bir yazım hatası olması muhtemeldir.
Daha sonra kökleri buluyoruz: 
Böylece:
Tüm. Pay çarpanlara ayrılmıştır.
Payda. Payda zaten en basit faktördür ve onu basitleştirmenin bir yolu yoktur.
Açıkçası, şu şekilde kısaltılabilir:
Şimdi limit işaretinin altında kalan ifadeyi -1 ile değiştiriyoruz:
Doğal olarak bir testte, testte veya sınavda çözüm hiçbir zaman bu kadar detaylı anlatılmaz. Son versiyonda tasarım şöyle görünmelidir:
Payı çarpanlarına ayıralım. 
Örnek 5
Limiti hesapla 
İlk olarak çözümün “bitiş” versiyonu
Pay ve paydayı çarpanlarına ayıralım.
Pay:
Payda: 
, 
Bu örnekte önemli olan nedir?
Öncelikle payın nasıl ortaya çıktığını iyi anlamalısınız, önce parantezlerden 2'yi çıkardık, sonra kareler farkı formülünü kullandık. Bilmeniz ve görmeniz gereken formül budur.
Öneri: Bir limitte (neredeyse her türde) bir sayıyı parantezlerden çıkarmak mümkünse, o zaman bunu her zaman yaparız.
Ayrıca bu sayıların sınır simgesinin ötesine taşınması tavsiye edilir.. Ne için? Evet, sırf yolumuza çıkmasınlar diye. Önemli olan daha sonra çözüm sırasında bu sayıları kaybetmemek.
Lütfen çözümün son aşamasında limit simgesinden ikisini ve ardından eksiyi çıkardığımı unutmayın.
! Önemli
Çözüm sırasında tip parçası çok sık ortaya çıkıyor. Bu oranı azaltınyasaktır
. Öncelikle payın veya paydanın işaretini değiştirmeniz gerekir (parantez içine -1 koyun).
yani limit hesaplanırken dikkate alınan bir eksi işareti belirir ve onu kaybetmeye hiç gerek yoktur.
Genel olarak, bu tür limitleri bulurken çoğu zaman iki ikinci dereceden denklemi çözmeniz gerektiğini fark ettim, yani hem pay hem de payda ikinci dereceden üç terimli sayılar içeriyor.
Pay ve paydayı eşlenik ifadeyle çarpma yöntemi
Formun belirsizliğini dikkate almaya devam ediyoruz
Bir sonraki limit türü önceki türe benzer. Tek şey polinomlara ek olarak kökleri de ekleyeceğiz.
Örnek 6
Sınırı bulun 
Karar vermeye başlayalım.
İlk önce limit işaretinin altındaki ifadeye 3'ü koymaya çalışıyoruz
Bir kez daha tekrar ediyorum - HERHANGİ bir limit için yapmanız gereken ilk şey budur. Bu eylem genellikle zihinsel olarak veya taslak halinde gerçekleştirilir.
Ortadan kaldırılması gereken bir form belirsizliği elde edildi. 
Muhtemelen fark ettiğiniz gibi payımız kök farkını içermektedir. Ve matematikte mümkünse köklerden kurtulmak gelenekseldir. Ne için? Ve onlarsız hayat daha kolaydır.
Bir fonksiyonun sonsuzdaki limiti:
|f(x) - a|< ε
при |x| >N
Cauchy limitinin belirlenmesi
f fonksiyonu olsun (X)|x| ile sonsuzdaki noktanın belirli bir komşuluğunda tanımlanır. > a sayısına fonksiyonun limiti denir F (X) x sonsuza doğru yöneldiğinden (), ne kadar küçük olursa olsun, herhangi bir pozitif sayı için ε > 0
, bir N ε sayısı var >K, ε'ya bağlı olarak tüm x'ler için |x| > N ε, fonksiyon değerleri a noktasının ε-komşuluğuna aittir:
|f (x) - a|< ε
.
Bir fonksiyonun sonsuzdaki limiti şu şekilde gösterilir:
.
Veya adresinde.
Aşağıdaki gösterim de sıklıkla kullanılır:
.
Bu tanımı varoluş ve evrenselliğin mantıksal sembollerini kullanarak yazalım:
.
Bu, değerlerin fonksiyonun alanına ait olduğunu varsayar.
Tek taraflı sınırlar
Bir fonksiyonun sonsuzdaki sol limiti:
|f(x) - a|< ε
при x < -N
Fonksiyonun yalnızca x değişkeninin pozitif veya negatif değerleri için (daha kesin olarak veya noktasının yakınında) tanımlandığı durumlar vardır. Ayrıca x'in pozitif ve negatif değerleri için sonsuzdaki limitler farklı değerlere sahip olabilir. Daha sonra tek taraflı limitler kullanılır.
Sonsuzda sol sınır veya x eksi sonsuza () doğru yönelirken limit şu şekilde tanımlanır:
.
Sonsuzda sağ limit veya x artı sonsuza doğru yönelirken limit ():
.
Sonsuzdaki tek taraflı limitler genellikle şu şekilde gösterilir:
;
.
Bir fonksiyonun sonsuzda sonsuz limiti
Bir fonksiyonun sonsuzdaki sonsuz limiti:
|f(x)| > |x| için M >N
Cauchy'ye göre sonsuz sınırın tanımı
f fonksiyonu olsun (X)|x| ile sonsuzdaki noktanın belirli bir komşuluğunda tanımlanır. > K, burada K pozitif bir sayıdır. f fonksiyonunun limiti (X) x sonsuza doğru yöneldiğinden (), sonsuza eşittir, herhangi bir keyfi büyük sayı için M > 0
, böyle bir sayı var N M >K, M'ye bağlı olarak tüm x'ler için |x| > N M , fonksiyon değerleri sonsuzdaki noktanın komşuluğuna aittir:
|f (x) | > M.
X sonsuza doğru yönelirken sonsuz sınır şu şekilde gösterilir:
.
Veya adresinde.
Varlık ve evrensellik mantıksal sembolleri kullanılarak bir fonksiyonun sonsuz limitinin tanımı şu şekilde yazılabilir:
.
Benzer şekilde, belirli işaretlerin sonsuz sınırlarının tanımları eşit ve tanıtılmıştır:
.
.
Sonsuzda tek taraflı limitlerin tanımları.
Sol sınırlar.
.
.
.
Doğru sınırlar.
.
.
.
Heine'ye göre bir fonksiyonun limitinin belirlenmesi
f fonksiyonu olsun (X) x noktasının sonsuzda bir komşuluğunda tanımlı 0
, nerede veya veya .
a sayısına (sonlu veya sonsuzda) f fonksiyonunun limiti denir (X) x noktasında 0
:
,
herhangi bir sıra için ise (xn), x'e yakınsıyor 0
:
,
elemanları mahalleye ait olan dizi (f(xn))şuna yakınsar:
.
Sonsuzdaki işaretsiz bir noktanın komşuluğunu komşuluk olarak alırsak, o zaman x sonsuza doğru giderken bir fonksiyonun limitinin tanımını elde ederiz. 0 Eğer x noktasının sonsuzda sol ya da sağ kenar komşuluğunu alırsak
: veya , o zaman x sırasıyla eksi sonsuza ve artı sonsuza doğru gittiği için limitin tanımını elde ederiz.
Heine ve Cauchy'nin limit tanımları eşdeğerdir.
Örnekler
örnek 1
.
Bunu göstermek için Cauchy'nin tanımını kullanmak
.
Aşağıdaki gösterimi tanıtalım:
.
Fonksiyonun tanım tanım kümesini bulalım.
;
.
Kesrin payı ve paydası polinom olduğundan fonksiyon, paydanın sıfırlandığı noktalar dışındaki tüm x'ler için tanımlanır. Bu noktaları bulalım. İkinci dereceden bir denklemin çözümü. ;
Denklemin kökleri:
O zamandan beri ve .
.
Bu nedenle fonksiyon adresinde tanımlanır.
.
Bunu daha sonra kullanacağız. -1
:
.
Bir fonksiyonun sonsuzdaki sonlu limitinin Cauchy'ye göre tanımını yazalım:
Farkı dönüştürelim:
;
;
;
.
Pay ve paydayı bölün ve çarpın
.
.
İzin vermek .
Daha sonra
Her zaman artırabileceğinize göre alalım.
O zaman herkes için
.
Bu demektir .
Bir fonksiyonun sonsuzdaki sonlu limitinin Cauchy'ye göre tanımını yazalım:
Örnek 2
1)
;
2)
.
Cauchy limit tanımını kullanarak şunu gösterin:
1) x eksi sonsuza doğru gittiği için çözüm
olduğundan, fonksiyon tüm x'ler için tanımlanmıştır.
.
Eksi sonsuza eşit bir fonksiyonun limitinin tanımını yazalım:
;
.
Pay ve paydayı bölün ve çarpın
.
İzin vermek . Daha sonra
.
Pozitif sayıları girin ve:
.
Bundan, herhangi bir pozitif M sayısı için bir sayı olduğu sonucu çıkar;
Bu demektir .
2) x artı sonsuza doğru gittiği için çözüm
.
Orijinal fonksiyonu dönüştürelim. Kesrin payını ve paydasını ile çarpın ve kareler farkı formülünü uygulayın:
.
Sahibiz:
.
Fonksiyonun sağ limitinin tanımını şu şekilde yazalım:
Bu nedenle fonksiyon adresinde tanımlanır.
.
Gösterimi tanıtalım: .
.
Pay ve paydayı şu şekilde çarpın:
.
Farkı dönüştürelim:
;
.
Pay ve paydayı bölün ve çarpın
.
İzin vermek . Daha sonra
.
İzin vermek .
İzin vermek
ve .
.
Bu herhangi bir pozitif sayı için geçerli olduğundan, o zaman
Referanslar:
SANTİMETRE. Nikolsky. Matematiksel analiz dersi. Cilt 1. Moskova, 1983.İşlev (X) y = f
X kümesinin her bir x elemanının, Y kümesinin bir ve yalnızca bir y elemanı ile ilişkili olduğu bir yasadır (kuraldır). Eleman x∈ X isminde fonksiyon argümanı veya.
bağımsız değişken Eleman y∈ X ∈ Y fonksiyon argümanı fonksiyon değeri.
bağımlı değişken X kümesi denir.
fonksiyonun alanı Eleman y y öğeleri kümesi X kümesinde ön görüntüleri olanlara denir.
alan veya fonksiyon değerleri kümesi Gerçek fonksiyon çağrılır yukarıdan sınırlı (aşağıdan)
.
eşitsizliğin herkes için geçerli olduğu bir M sayısı varsa: Sayı fonksiyonu çağrılır sınırlı
.
, eğer herkes için öyle bir M sayısı varsa: fonksiyon argümanı Üst kenar kesin üst sınır
Gerçek bir fonksiyona, değer aralığını yukarıdan sınırlayan en küçük sayı denir. Yani bu, herkes için ve herhangi biri için, işlev değeri s′'yi aşan bir argümanın bulunduğu bir s sayısıdır: .
.
Bir fonksiyonun üst sınırı şu şekilde gösterilebilir: Sırasıyla fonksiyon argümanı alt kenar kesin alt sınır
Gerçek bir fonksiyona, değer aralığını aşağıdan sınırlayan en büyük sayı denir. Yani bu, herkes için ve herhangi biri için, işlev değeri i′'den küçük olan bir argümanın bulunduğu bir i sayısıdır: .
.
Bir fonksiyonun infimumu şu şekilde gösterilebilir:
Bir fonksiyonun limitini belirleme
Cauchy'ye göre bir fonksiyonun limitinin belirlenmesi
Fonksiyonun, noktanın kendisi hariç olmak üzere, bitiş noktasının bir komşuluğunda tanımlandığını varsayalım.
.
herhangi biri için eşitsizliğin geçerli olduğu tüm x'ler için buna bağlı olarak böyle bir şey varsa
.
Veya adresinde.
Bir fonksiyonun limiti şu şekilde gösterilir:
.
Varlık ve evrensellik mantıksal sembolleri kullanılarak bir fonksiyonun limitinin tanımı şu şekilde yazılabilir:
Tek taraflı sınırlar.
.
Bir noktada sol sınır (sol taraftaki sınır):
.
Bir noktada sağ limit (sağ limit):
;
.
Sol ve sağ sınırlar genellikle şu şekilde gösterilir:
Bir fonksiyonun sonsuzdaki noktalardaki sonlu limitleri
.
.
.
Sonsuz noktalardaki limitler de benzer şekilde belirlenir.
;
;
.
Genellikle şu şekilde anılırlar:
Bir noktanın komşuluğu kavramını kullanma
.
Bir noktanın delikli komşuluğu kavramını ortaya koyarsak, o zaman bir fonksiyonun sonlu ve sonsuz uzak noktalardaki sonlu limitinin birleşik bir tanımını verebiliriz:
;
;
.
Burada uç noktalar için
;
;
.
Sonsuzdaki noktaların herhangi bir komşuluğu delinir:
Sonsuz Fonksiyon Sınırları
Tanım f fonksiyonunun limiti (X) Fonksiyonun bir noktanın delinmiş bir komşuluğunda (sonlu veya sonsuzda) tanımlandığını varsayalım. 0
x → x olarak, herhangi bir keyfi büyük sayı için M > 0
sonsuza eşittir > 0
, bir δ M sayısı var
.
M'ye bağlı olarak, noktanın delinmiş δ M - mahallesine ait tüm x'ler için aşağıdaki eşitsizlik geçerlidir:
.
Veya adresinde.
Sonsuz sınır şu şekilde gösterilir:
.
Varlık ve evrensellik mantıksal sembolleri kullanılarak bir fonksiyonun sonsuz limitinin tanımı şu şekilde yazılabilir:
.
.
Ayrıca ve'ye eşit belirli işaretlerin sonsuz sınırlarının tanımlarını da girebilirsiniz:
Bir fonksiyonun limitinin evrensel tanımı
.
Heine'ye göre bir fonksiyonun limitinin belirlenmesi
Bir noktanın komşuluğu kavramını kullanarak, bir fonksiyonun sonlu ve sonsuz limitinin hem sonlu (iki taraflı ve tek taraflı) hem de sonsuz uzaklıktaki noktalar için geçerli olan evrensel bir tanımını verebiliriz:
a sayısına fonksiyonun limiti denir Fonksiyonun bir X: kümesinde tanımlı olmasına izin verin.
,
noktada: 0
:
,
x'e yakınsayan herhangi bir dizi için
.
elemanları X kümesine ait olan: ,
.
Bu tanımı varoluş ve evrensellik mantıksal sembollerini kullanarak yazalım: 0 Eğer x noktasının sol taraftaki komşuluğunu bir X kümesi olarak alırsak
sonra sol limitin tanımını elde ederiz. Sağ el ise sağ limitin tanımını elde ederiz. Sonsuzdaki bir noktanın komşuluğunu bir X kümesi olarak alırsak, bir fonksiyonun sonsuzdaki limitinin tanımını elde ederiz.
Teorem
Bir fonksiyonun limitinin Cauchy ve Heine tanımları eşdeğerdir.
Kanıt
Ayrıca, söz konusu fonksiyonların, sonlu bir sayı veya aşağıdaki sembollerden biri olan noktanın karşılık gelen komşuluğunda tanımlandığını varsayıyoruz: .
Aynı zamanda tek taraflı bir sınır noktası da olabilir, yani veya şeklinde olabilir.
Komşuluk, iki taraflı bir limit için iki taraflı, tek taraflı bir limit için ise tek taraflıdır. (X) Temel özellikler Eğer f fonksiyonunun değerleri sonlu sayıda x noktasını değiştirin (veya tanımsız hale getirin) 0 .
1, x 2, x 3, ... x n 0
ise bu değişiklik fonksiyonun rastgele bir x noktasındaki limitinin varlığını ve değerini etkilemeyecektir. (X) Eğer sonlu bir limit varsa, o zaman x noktasının delinmiş bir komşuluğu vardır.
.
f fonksiyonu burada 0
sınırlı:
.
Fonksiyonun x noktasında olmasına izin verin 0
sıfır olmayan sonlu limit:
O halde, aralığındaki herhangi bir c sayısı için, x noktasının böyle bir delikli komşuluğu vardır.
, ne için ,
, Eğer ;
, Eğer . 0
,
Eğer noktanın bazı delinmiş komşuluklarında , bir sabit ise, o zaman .
Eğer x noktasının bazı delinmiş komşuluklarında ve sonlu limitler varsa
,
Eğer noktanın bazı delinmiş komşuluklarında , bir sabit ise, o zaman .
O .
,
Eğer , ve noktanın bazı mahallelerinde
Özellikle, eğer bir noktanın bazı mahallelerindeyse
o zaman eğer , o zaman ve ; 0
:
,
eğer , o zaman ve .
Eğer bir x noktasının delinmiş bir mahallesindeyse
.
ve sonlu (veya belirli bir işaretin sonsuz) eşit sınırları vardır:
, O
Ana özelliklerin kanıtları sayfada verilmiştir.
"Bir fonksiyonun limitlerinin temel özellikleri."
Bir fonksiyonun limitinin aritmetik özellikleri
Fonksiyonlar ve noktasının bazı delinmiş mahallelerinde tanımlansın.
;
;
;
, ne için ,
Ve sonlu sınırlar olsun:
Ve .
Ve C bir sabit, yani belirli bir sayı olsun. Daha sonra
Eğer öyleyse.
sonra sol limitin tanımını elde ederiz. Sağ el ise sağ limitin tanımını elde ederiz. Sonsuzdaki bir noktanın komşuluğunu bir X kümesi olarak alırsak, bir fonksiyonun sonsuzdaki limitinin tanımını elde ederiz.
Aritmetik özelliklerin kanıtları sayfada verilmiştir. 0
"Bir fonksiyonun limitlerinin aritmetik özellikleri". > 0
Bir fonksiyonun limitinin varlığına ilişkin Cauchy kriteri 0
Sonlu bir x'in delinmiş bir komşuluğunda veya sonsuz noktasında tanımlanan bir fonksiyon için
.
, bu noktada sonlu bir limite sahip olduğundan, herhangi bir ε için gerekli ve yeterlidir.
x noktasının öyle delikli bir mahallesi vardı ki
, herhangi bir nokta için ve bu komşuluktan itibaren aşağıdaki eşitsizlik geçerlidir:
Karmaşık bir fonksiyonun limiti
Karmaşık bir fonksiyonun sınırına ilişkin teorem
.
Karmaşık bir fonksiyonun limit teoremi, fonksiyon bir noktada tanımlanmadığında veya limitten farklı bir değere sahip olduğunda uygulanır.
.
Bu teoremi uygulamak için, fonksiyonun değer kümesinin noktayı içermediği noktanın delinmiş bir komşuluğu olmalıdır:
.
Eğer fonksiyon noktasında sürekli ise, o zaman limit işareti sürekli fonksiyonun argümanına uygulanabilir:
Aşağıdaki bu duruma karşılık gelen bir teoremdir.
Bir fonksiyonun sürekli fonksiyonunun limiti üzerine teorem g fonksiyonunun bir limiti olsun(T) 0
t → t olarak 0
:
.
ve x'e eşittir 0
İşte t noktası
sonlu veya sonsuz uzaklıkta olabilir: . (X) Ve f fonksiyonuna izin verin 0
.
x noktasında süreklidir O halde f karmaşık fonksiyonunun bir limiti vardır.(g(t)) ve f'ye eşittir:
.
(x0)
Teoremlerin kanıtları sayfada verilmiştir.
"Karmaşık bir fonksiyonun limiti ve sürekliliği".
Sonsuz küçük ve sonsuz büyük fonksiyonlar
Sonsuz Fonksiyon Sınırları
Sonsuz küçük fonksiyonlar
.
Bir fonksiyona sonsuz küçük denirse Toplam, fark ve ürün
sonlu sayıda sonsuz küçük fonksiyonun at'si sonsuz küçük bir fonksiyondur. Sınırlı bir fonksiyonun çarpımı
noktanın bazı delinmiş komşuluklarında, sonsuz küçük bir at'ye kadar, bir at sonsuz küçük fonksiyondur.
,
Bir fonksiyonun sonlu bir limite sahip olması için gerekli ve yeterlidir.
burada sonsuz küçük bir fonksiyon var.
"Sonsuz küçük fonksiyonların özellikleri".
Sonsuz Fonksiyon Sınırları
Sonsuz büyük işlevler
.
Bir fonksiyona sonsuz büyük denirse
Noktanın bazı delinmiş komşuluklarındaki sınırlı bir fonksiyon ile sonsuz büyük bir fonksiyonun toplamı veya farkı, noktasında sonsuz büyük bir fonksiyondur.
.
Eğer fonksiyon için sonsuz büyükse ve fonksiyon noktanın bazı delinmiş komşuluklarında sınırlıysa, o zaman
,
Eğer fonksiyon, noktanın bazı delinmiş komşuluklarında eşitsizliği sağlıyorsa:
ve fonksiyon şu noktada sonsuz küçüktür:
.
, ve (noktanın bazı delinmiş mahallelerinde), sonra
Özelliklerin kanıtları bölümde sunulmuştur.
"Sonsuz büyük fonksiyonların özellikleri".
Sonsuz büyük ve sonsuz küçük fonksiyonlar arasındaki ilişki
Önceki iki özellikten sonsuz büyük ve sonsuz küçük fonksiyonlar arasındaki bağlantı çıkar.
Eğer bir fonksiyon noktasında sonsuz büyükse, o zaman fonksiyon noktasında sonsuz küçüktür.
Bir fonksiyon ve için sonsuz küçükse, o zaman fonksiyon için sonsuz büyüktür.
,
.
Sonsuz küçük bir fonksiyonun belirli bir işareti varsa, yani noktanın delinmiş bazı komşuluklarında pozitif (veya negatif), bu durumda bu gerçek şu şekilde ifade edilebilir:
.
Aynı şekilde, eğer sonsuz büyük bir fonksiyonun belirli bir işareti varsa, o zaman şunu yazarlar:
.
O halde sonsuz küçük ve sonsuz büyük fonksiyonlar arasındaki sembolik bağlantı aşağıdaki ilişkilerle desteklenebilir:
,
,
,
.
Sonsuzluk sembolleriyle ilgili ek formülleri sayfada bulabilirsiniz
"Sonsuzluğu işaret eden noktalar ve özellikleri."
Monoton fonksiyonların limitleri
Sonsuz Fonksiyon Sınırları
X gerçel sayılarından oluşan bir küme üzerinde tanımlanan bir fonksiyona denir kesinlikle artıyor, eğer hepsi için aşağıdaki eşitsizlik geçerliyse:
.
Buna göre, kesinlikle azalıyor fonksiyonunda aşağıdaki eşitsizlik geçerlidir:
.
İçin azalmayan:
.
İçin artmayan:
.
Buradan kesin olarak artan bir fonksiyonun aynı zamanda azalmadığı sonucu çıkar. Kesinlikle azalan bir fonksiyon aynı zamanda artmayandır.
Fonksiyon çağrılır monoton azalmıyor veya artmıyorsa.
sonra sol limitin tanımını elde ederiz. Sağ el ise sağ limitin tanımını elde ederiz. Sonsuzdaki bir noktanın komşuluğunu bir X kümesi olarak alırsak, bir fonksiyonun sonsuzdaki limitinin tanımını elde ederiz.
Fonksiyonun, olduğu aralıkta azalmamasına izin verin.
Yukarıda M sayısıyla sınırlıysa, o zaman sonlu bir limit vardır.
Yukarıdan sınırlı değilse, o zaman .
Eğer aşağıdan m sayısı kadar sınırlıysa, o zaman sonlu bir sınır vardır.
Aşağıdan sınırlı değilse, o zaman .
Eğer a ve b noktaları sonsuzda ise ifadelerdeki limit işaretleri şunu ifade eder.
;
.
Bu teorem daha kompakt bir şekilde formüle edilebilir.
Fonksiyonun, olduğu aralıkta azalmamasına izin verin.
;
.
O zaman a ve b noktalarında tek taraflı limitler vardır:
Artmayan bir fonksiyon için benzer bir teorem.
Bu herhangi bir pozitif sayı için geçerli olduğundan, o zaman
Fonksiyonun, olduğu aralıkta artmamasına izin verin.
Referanslar:
Sonra tek taraflı sınırlar var:
Teoremin kanıtı sayfada sunulmuştur.
"Monotonik fonksiyonların sınırları".
| L.D. Kudryavtsev. Matematiksel analiz dersi. Cilt 1. Moskova, 2003. |
| Sınırları nasıl bulacağınızı öğrenmek isteyenler için bu yazımızda sizlere bunu anlatacağız. Teorinin ayrıntılarına girmeyeceğiz; öğretmenler bunu genellikle derslerde anlatırlar. Bu nedenle “sıkıcı teori” not defterlerinize not edilmelidir. Aksi takdirde eğitim kurumunun kütüphanesinden veya diğer İnternet kaynaklarından alınan ders kitaplarını okuyabilirsiniz. b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $ |
| Çözüm |
|
a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ İnsanlar genellikle bu sınırları bize, bunların çözülmesine yardımcı olma isteğiyle birlikte gönderirler. Bunları ayrı bir örnek olarak vurgulamaya ve kural olarak bu sınırların sadece hatırlanması gerektiğini açıklamaya karar verdik. Sorununuzu çözemezseniz bize gönderin. Detaylı çözüm sunacağız. Hesaplamanın ilerlemesini görüntüleyebilecek ve bilgi alabileceksiniz. Bu, öğretmeninizden notunuzu zamanında almanıza yardımcı olacaktır! |
| Cevap |
| $$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1 )(x) = 0 $$ |
Formun belirsizliği durumunda ne yapılmalı: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $
| Örnek 3 |
| $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $'ı çözün |
| Çözüm |
|
Her zaman olduğu gibi, limit işaretinin altındaki ifadeye $ x $ değerini koyarak başlıyoruz. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0)$$ Şimdi sırada ne var? Sonunda ne olmalı? Bu belirsizlik olduğundan bu henüz bir cevap değil ve hesaplamaya devam ediyoruz. Paylarda bir polinomumuz olduğundan, okuldan herkesin aşina olduğu formülü kullanarak bunu çarpanlara ayıracağız $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Hatırlıyor musun? Harika! Şimdi devam edin ve şarkıyla birlikte kullanın :) Payın $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ olduğunu buluyoruz. Yukarıdaki dönüşümü dikkate alarak çözmeye devam ediyoruz: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1) ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$ |
| Cevap |
| $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$ |
Son iki örnekte limiti sonsuza kadar zorlayalım ve belirsizliği dikkate alalım: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $
| Örnek 5 |
| $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $'ı hesaplayın |
| Çözüm |
|
$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Ne yapalım? Ne yapmalıyım? Panik yapmayın çünkü imkansız mümkündür. Hem pay hem de paydadaki x'i çıkarıp sonra azaltmak gerekiyor. Bundan sonra limiti hesaplamaya çalışın. Hadi deneyelim... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac) (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x)))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x)))) = $$ Örnek 2'deki tanımı kullanarak ve x yerine sonsuzluğu koyarsak şunu elde ederiz: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty))))((1+\frac(1)(\infty)))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$ |
| Cevap |
| $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$ |
Limitleri hesaplamak için algoritma
O halde örnekleri kısaca özetleyelim ve limitleri çözmek için bir algoritma oluşturalım:
- Limit işaretini takip eden ifadede x noktasını değiştirin. Belirli bir sayı veya sonsuz elde edilirse limit tamamen çözülür. Aksi takdirde, "sıfır bölü sıfır" veya "sonsuz bölü sonsuz" gibi belirsizliklerle karşı karşıya kalırız ve talimatların sonraki adımlarına geçeriz.
- "Sıfır bölü sıfır" belirsizliğini ortadan kaldırmak için pay ve paydayı çarpanlara ayırmanız gerekir. Benzerlerini azaltın. Limit işaretinin altındaki ifadede x noktasını değiştirin.
- Belirsizlik "sonsuz bölü sonsuz" ise, o zaman hem pay hem de payda x'i en büyük dereceye kadar çıkarırız. X'leri kısaltıyoruz. Limitin altındaki x değerlerini kalan ifadeye yerleştiriyoruz.
Bu makalede Matematik dersinde sıklıkla kullanılan limit çözmenin temellerini öğrendiniz. Elbette bunlar sınav görevlilerinin sunduğu her türlü problem değil, yalnızca en basit sınırlardır. Gelecek makalelerde diğer ödev türlerinden bahsedeceğiz, ancak ilerlemek için önce bu dersi öğrenmeniz gerekiyor. Kökler, dereceler varsa ne yapacağımızı tartışalım, sonsuz küçük eşdeğer fonksiyonları, dikkate değer limitleri, L'Hopital kuralını inceleyelim.
Sınırları kendiniz çözemiyorsanız paniğe kapılmayın. Her zaman yardımcı olmaktan mutluluk duyarız!
Dikkate değer ilk limit aşağıdaki eşitliktir:
\begin(equation)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(denklem)
$\alpha\to(0)$ için $\sin\alpha\to(0)$ elimizde olduğundan, ilk kayda değer limitin $\frac(0)(0)$ biçiminde bir belirsizliği ortaya çıkardığını söylüyorlar. Genel olarak konuşursak, formül (1)'de $\alpha$ değişkeni yerine, iki koşul karşılandığı sürece sinüs işaretinin altına ve paydaya herhangi bir ifade yerleştirilebilir:
- Sinüs işaretinin altındaki ve paydadaki ifadeler aynı anda sıfıra yönelir; $\frac(0)(0)$ biçiminde belirsizlik vardır.
- Sinüs işaretinin altındaki ve paydadaki ifadeler aynıdır.
İlk dikkate değer limitten elde edilen sonuçlar da sıklıkla kullanılır:
\begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(denklem)
Bu sayfada on bir örnek çözülmüştür. Örnek No. 1, formül (2)-(4)'ün ispatına ayrılmıştır. 2, No. 3, No. 4 ve No. 5'teki örnekler ayrıntılı yorumlar içeren çözümler içermektedir. 6-10 numaralı örnekler, önceki örneklerde ayrıntılı açıklamalar verildiği için neredeyse hiç yorum içermeyen çözümler içermektedir. Çözüm, bulunabilecek bazı trigonometrik formülleri kullanır.
$\frac (0) (0)$ belirsizliğiyle birlikte trigonometrik fonksiyonların varlığının mutlaka ilk dikkate değer limitin uygulanması anlamına gelmediğini belirtmek isterim. Bazen basit trigonometrik dönüşümler yeterlidir - örneğin bkz.
Örnek No.1
$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) olduğunu kanıtlayın (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.
a) $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$ olduğundan, o zaman:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$
$\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ ve $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ olduğundan, O:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$
b) $\alpha=\sin(y)$ değişikliğini yapalım. $\sin(0)=0$ olduğundan, $\alpha\to(0)$ koşulundan $y\to(0)$ olur. Ek olarak, $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$ olan bir sıfır mahallesi vardır, yani:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ eşitliği kanıtlanmıştır.
c) $\alpha=\tg(y)$ yerine koyalım. $\tg(0)=0$ olduğundan, $\alpha\to(0)$ ve $y\to(0)$ koşulları eşdeğerdir. Ek olarak, $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$ olan bir sıfır mahallesi vardır, bu nedenle a) noktasının sonuçlarına dayanarak şunu elde ederiz:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ eşitliği kanıtlandı.
a), b), c) eşitlikleri sıklıkla ilk dikkate değer limitle birlikte kullanılır.
Örnek No.2
Limiti hesaplayın $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4) (x+7))$.
$\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ ve $\lim_( x olduğundan \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, yani ve kesrin hem payı hem de paydası aynı anda sıfıra yöneliyorsa, burada $\frac(0)(0)$ biçiminde bir belirsizlikle karşı karşıyayız, yani. Tamamlandı. Ek olarak, sinüs işaretinin altındaki ve paydadaki ifadelerin çakıştığı (yani ve karşılandığı) açıktır:
Yani sayfanın başında listelenen her iki koşul da karşılanmıştır. Buradan formülün uygulanabilir olduğu sonucu çıkar; $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 ))=1$.
Cevap: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.
Örnek No.3
$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$'ı bulun.
$\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ ve $\lim_(x\to(0))x=0$ olduğundan, $\frac formundaki bir belirsizlikle uğraşıyoruz (0 )(0)$, yani Tamamlandı. Ancak sinüs işaretinin altındaki ifadeler ile paydadaki ifadeler örtüşmemektedir. Burada paydadaki ifadeyi istediğiniz forma ayarlamanız gerekir. $9x$ ifadesinin paydada olmasına ihtiyacımız var, o zaman bu doğru olacaktır. Aslında paydada $9$ faktörünü kaçırıyoruz ki bunu girmek o kadar da zor değil; sadece paydadaki ifadeyi $9$ ile çarpmanız yeterli. Doğal olarak, $9$ ile çarpma işlemini telafi etmek için hemen $9$'a bölmeniz gerekecektir:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x)$$
Artık paydadaki ve sinüs işaretinin altındaki ifadeler çakışıyor. $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ limitinin her iki koşulu da karşılandı. Bu nedenle, $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. Bu da şu anlama geliyor:
$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$
Cevap: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.
Örnek No. 4
$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$'ı bulun.
$\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ ve $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$ olduğundan, burada formun belirsizliğiyle ilgileniyoruz $\frac(0)(0)$. Ancak birinci dikkat çekici sınırın şekli ihlal edilmiştir. $\sin(5x)$ içeren bir pay, $5x$ paydasını gerektirir. Bu durumda en kolay yol payı $5x$'a bölüp hemen $5x$ ile çarpmaktır. Ek olarak, paydayla benzer bir işlem gerçekleştireceğiz, $\tg(8x)$'ı $8x$ ile çarpıp böleceğiz:
$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$
$x$ azaltıp $\frac(5)(8)$ sabitini limit işaretinin dışına çıkarırsak şunu elde ederiz:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$
$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$'ın ilk dikkat çekici limitin gerekliliklerini tamamen karşıladığını unutmayın. $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$'ı bulmak için aşağıdaki formül uygulanabilir:
$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$
Cevap: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.
Örnek No. 5
$\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$'ı bulun.
Çünkü $\lim_(x\to(0)(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ ($\cos(0)=1$) ve $\'ı unutmayın lim_(x\to(0))x^2=0$, o zaman $\frac(0)(0)$ formundaki belirsizlikle uğraşıyoruz. Bununla birlikte, ilk dikkate değer limiti uygulamak için paydaki kosinüsten kurtulmalı, sinüslere (daha sonra formülü uygulamak için) veya teğetlere (daha sonra formülü uygulamak için) geçmelisiniz. Bu, aşağıdaki dönüşümle yapılabilir:
$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$
Sınıra geri dönelim:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) $$
$\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ kesri zaten ilk dikkate değer limit için gereken forma yakındır. $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ kesiriyle biraz çalışalım ve onu ilk kayda değer limite ayarlayalım (paydaki ve sinüs altındaki ifadelerin eşleşmesi gerektiğine dikkat edin):
$$\frac(\sin^2(5x)(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$
Söz konusu sınıra dönelim:
$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$
Cevap: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.
Örnek No. 6
$\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$ limitini bulun.
$\lim_(x\to(0)(1-\cos(6x))=0$ ve $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$ olduğundan, o zaman $\frac(0)(0)$ belirsizliğiyle uğraşıyoruz. İlk dikkat çeken limitin yardımıyla bunu açığa çıkaralım. Bunu yapmak için kosinüslerden sinüslere geçelim. $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$ olduğundan, o zaman:
$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$
Verilen limitteki sinüslere geçerek şunu elde ederiz:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x) \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\sağ)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$
Cevap: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.
Örnek No.7
$\alpha\neq'e bağlı olarak $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ limitini hesaplayın \ beta$.
Ayrıntılı açıklamalar daha önce verilmişti, ancak burada yine $\frac(0)(0)$ belirsizliğinin olduğunu not ediyoruz. Formülü kullanarak kosinüslerden sinüslere geçelim
$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$
Bu formülü kullanarak şunları elde ederiz:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\sağ| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta) )(2)\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac) (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alfa^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$
Cevap: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alfa^2)(2)$.
Örnek No. 8
$\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$ limitini bulun.
$\lim_(x\to(0)(\tg(x)-\sin(x))=0$ olduğundan ( $\sin(0)=\tg(0)=0$) ve $\'ı unutmayın lim_(x\to(0))x^3=0$, o zaman burada $\frac(0)(0)$ formundaki belirsizlikle uğraşıyoruz. Bunu şu şekilde parçalayalım:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$
Cevap: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.
Örnek No. 9
$\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$ limitini bulun.
$\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ ve $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - olduğundan) 3)(2)=0$ ise $\frac(0)(0)$ formunda belirsizlik vardır. Genişletmeye geçmeden önce, yeni değişkenin sıfıra yöneleceği şekilde bir değişken değişikliği yapmak uygundur (formüllerde $\alpha \to 0$ değişkeninin olduğuna dikkat edin). En kolay yol $t=x-3$ değişkenini tanıtmaktır. Bununla birlikte, daha sonraki dönüşümlerin kolaylığı açısından (bu fayda aşağıdaki çözüm sürecinde görülebilir), şu değiştirmeyi yapmaya değer: $t=\frac(x-3)(2)$. Bu durumda her iki değişikliğin de geçerli olduğunu unutmayın, sadece ikinci değişiklik kesirlerle daha az çalışmanıza izin verecektir. $x\to(3)$ olduğundan, $t\to(0)$ olur.
$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\sağ| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ için(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$
Cevap: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.
Örnek No. 10
Limiti bulun $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2 )$.
Bir kez daha belirsizlikle karşı karşıyayız $\frac(0)(0)$. Genişletmeye geçmeden önce, yeni değişkenin sıfıra yaklaşacağı şekilde bir değişken değişikliği yapmak uygundur (formüllerde değişkenin $\alpha\to(0)$ olduğunu unutmayın). En kolay yol $t=\frac(\pi)(2)-x$ değişkenini tanıtmaktır. $x\to\frac(\pi)(2)$ olduğundan, $t\to(0)$'a:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\sol|\frac(0)(0)\sağ| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$
Cevap: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.
Örnek No. 11
$\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2) limitlerini bulun \ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.
Bu durumda ilk harika limiti kullanmak zorunda değiliz. Hem birinci hem de ikinci limitlerin yalnızca trigonometrik fonksiyonları ve sayıları içerdiğini lütfen unutmayın. Çoğu zaman bu tür örneklerde limit işaretinin altında yer alan ifadeyi basitleştirmek mümkündür. Üstelik yukarıda bahsedilen basitleştirme ve bazı faktörlerin azaltılması sonrasında belirsizlik ortadan kalkıyor. Bu örneği tek bir amaç için verdim: Limit işareti altında trigonometrik fonksiyonların varlığının mutlaka ilk dikkate değer limitin kullanılması anlamına gelmediğini göstermek.
$\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ olduğundan ( $\sin\frac(\pi)(2)=1$ olduğunu unutmayın) ve $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (size $\cos\frac(\pi)(2)=0$ olduğunu hatırlatmama izin verin), o zaman elimizde $\frac(0)(0)$ formundaki belirsizlikle uğraşmak. Ancak bu, ilk harika sınırı kullanmamız gerekeceği anlamına gelmez. Belirsizliği ortaya çıkarmak için $\cos^2x=1-\sin^2x$ değerini hesaba katmak yeterlidir:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x)((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$
Demidovich’in çözüm kitabında (No. 475) da benzer bir çözüm var. İkinci limite gelince, bu bölümdeki önceki örneklerde olduğu gibi $\frac(0)(0)$ şeklinde bir belirsizliğimiz var. Neden ortaya çıkıyor? Bunun nedeni $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ ve $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$ olmasıdır. Bu değerleri pay ve paydadaki ifadeleri dönüştürmek için kullanırız. Eylemlerimizin amacı pay ve paydadaki toplamları çarpım olarak yazmaktır. Bu arada, genellikle benzer bir türde, yeni değişken sıfıra yönelecek şekilde yapılan bir değişkeni değiştirmek uygundur (örneğin, bu sayfadaki 9 veya 10 numaralı örneklere bakın). Bununla birlikte, bu örnekte değiştirmenin bir anlamı yoktur, ancak istenirse $t=x-\frac(2\pi)(3)$ değişkeninin değiştirilmesinin uygulanması zor değildir.
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ için\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin) \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac) (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3) ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3) ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\sağ)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$
Gördüğünüz gibi ilk harika limiti uygulamamıza gerek yoktu. Elbette isterseniz bunu yapabilirsiniz (aşağıdaki nota bakın), ancak bu gerekli değildir.
İlk dikkate değer limiti kullanan çözüm nedir? göster\gizle
İlk kayda değer limiti kullanarak şunu elde ederiz:
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi) )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ sağ))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$
Cevap: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.