Birleşik Devlet Sınavına kadar hala zaman olduğunu ve hazırlanmak için zamanınızın olacağını mı düşünüyorsunuz? Belki de bu böyledir. Ancak her halükarda öğrenci hazırlıklara ne kadar erken başlarsa sınavları o kadar başarılı geçer. Bugün bir makaleyi logaritmik eşitsizliklere ayırmaya karar verdik. Bu, ekstra kredi alma fırsatı anlamına gelen görevlerden biridir.
Logaritmanın ne olduğunu zaten biliyor musun? Gerçekten öyle umuyoruz. Ancak bu soruya bir cevabınız olmasa bile bu bir sorun değil. Logaritmanın ne olduğunu anlamak çok basittir.
Neden 4? 81 elde etmek için 3 sayısını bu kuvvete yükseltmeniz gerekiyor. Prensibi anladıktan sonra daha karmaşık hesaplamalara geçebilirsiniz.
Birkaç yıl önce eşitsizliklerden geçtiniz. Ve o zamandan beri matematikte sürekli onlarla karşılaştınız. Eşitsizlikleri çözmede sorun yaşıyorsanız uygun bölüme bakın.
Artık kavramlara tek tek aşina olduğumuza göre, onları genel olarak ele almaya geçelim.
En basit logaritmik eşitsizlik.
En basit logaritmik eşitsizlikler bu örnekle sınırlı değildir; yalnızca farklı işaretlere sahip üç tane daha vardır. Bu neden gerekli? Eşitsizliklerin logaritmalarla nasıl çözüleceğini daha iyi anlamak. Şimdi daha uygulanabilir bir örnek verelim, yine de oldukça basit; karmaşık logaritmik eşitsizlikleri sonraya bırakacağız.
Bu nasıl çözülür? Her şey ODZ ile başlar. Herhangi bir eşitsizliği her zaman kolayca çözmek istiyorsanız, bunun hakkında daha fazla bilgi sahibi olmaya değer.
ODZ nedir? Logaritmik eşitsizlikler için ODZ
Kısaltma, kabul edilebilir değer aralığını ifade eder. Bu formülasyon genellikle Birleşik Devlet Sınavı görevlerinde ortaya çıkar. ODZ yalnızca logaritmik eşitsizlikler durumunda sizin için yararlı olmayacaktır.
Yukarıdaki örneğe tekrar bakın. İlkeyi anlamanız ve logaritmik eşitsizlikleri çözmenin soru sormaması için ODZ'yi buna dayanarak ele alacağız. Logaritmanın tanımından 2x+4'ün sıfırdan büyük olması gerektiği sonucu çıkar. Bizim durumumuzda bu şu anlama geliyor.
Bu sayı, tanımı gereği pozitif olmalıdır. Yukarıda sunulan eşitsizliği çözün. Bu sözlü olarak bile yapılabilir; burada X'in 2'den küçük olamayacağı açıktır. Eşitsizliğin çözümü, kabul edilebilir değerler aralığının tanımı olacaktır.
Şimdi en basit logaritmik eşitsizliği çözmeye geçelim.
Eşitsizliğin her iki tarafındaki logaritmaların kendisini atıyoruz. Sonuç olarak elimizde ne kaldı? Basit eşitsizlik.
Çözülmesi zor değil. X -0,5'ten büyük olmalıdır. Şimdi elde edilen iki değeri bir sistemde birleştiriyoruz. Böylece,
Bu, söz konusu logaritmik eşitsizlik için kabul edilebilir değerler aralığı olacaktır.
Neden ODZ'ye ihtiyacımız var? Bu, yanlış ve imkansız cevapları ayıklamak için bir fırsattır. Cevap kabul edilebilir değerler aralığında değilse, o zaman cevap mantıklı değildir. Bunu uzun süre hatırlamaya değer, çünkü Birleşik Devlet Sınavında genellikle ODZ'yi aramaya ihtiyaç duyulur ve bu yalnızca logaritmik eşitsizliklerle ilgili değildir.
Logaritmik eşitsizliği çözmek için algoritma
Çözüm birkaç aşamadan oluşur. Öncelikle kabul edilebilir değer aralığını bulmanız gerekir. ODZ'de iki değer olacak, bunu yukarıda tartıştık. Daha sonra eşitsizliğin kendisini çözmeniz gerekir. Çözüm yöntemleri aşağıdaki gibidir:
- çarpan değiştirme yöntemi;
- ayrışma;
- Rasyonalizasyon yöntemi.
Duruma bağlı olarak yukarıdaki yöntemlerden birini kullanmaya değer. Doğrudan çözüme geçelim. Hemen hemen her durumda Birleşik Devlet Sınavı görevlerini çözmeye uygun en popüler yöntemi açıklayalım. Daha sonra ayrıştırma yöntemine bakacağız. Özellikle zor bir eşitsizlikle karşılaşırsanız yardımcı olabilir. Yani logaritmik eşitsizliği çözmek için bir algoritma.
Çözüm örnekleri :
Tam olarak bu eşitsizliği almamız boşuna değil! Üsse dikkat edin. Unutmayın: birden büyükse, kabul edilebilir değerler aralığını bulurken işaret aynı kalır; aksi takdirde eşitsizlik işaretini değiştirmeniz gerekir.
Sonuç olarak eşitsizliği elde ederiz:
Şimdi sol tarafı sıfıra eşit denklem formuna indiriyoruz. “Küçüktür” işareti yerine “eşittir” koyarız ve denklemi çözeriz. Böylece ODZ'yi bulacağız. Bu kadar basit bir denklemi çözerken sorun yaşamayacağınızı umuyoruz. Cevaplar -4 ve -2'dir. Hepsi bu değil. Bu noktaları grafikte “+” ve “-” yerleştirerek göstermeniz gerekir. Bunun için ne yapılması gerekiyor? Aralıklardaki sayıları ifadede değiştirin. Değerlerin pozitif olduğu yere “+” koyarız.
Cevap: x -4'ten büyük ve -2'den küçük olamaz.
Sadece sol taraf için kabul edilebilir değerler aralığını bulduk, şimdi sağ taraf için kabul edilebilir değerler aralığını bulmamız gerekiyor. Bu çok daha kolay. Cevap: -2. Ortaya çıkan her iki alanla da kesişiyoruz.
Ve ancak şimdi eşitsizliğin kendisini ele almaya başlıyoruz.
Çözülmesini kolaylaştırmak için mümkün olduğunca basitleştirelim.
Çözümde yine aralık yöntemini kullanıyoruz. Hesaplamaları geçelim; önceki örnekte her şey zaten açık. Cevap.
Ancak logaritmik eşitsizliğin tabanları aynıysa bu yöntem uygundur.
Logaritmik denklemleri ve eşitsizlikleri farklı tabanlarla çözmek, başlangıçta aynı tabana indirgemeyi gerektirir. Daha sonra yukarıda açıklanan yöntemi kullanın. Ancak daha karmaşık bir durum var. Logaritmik eşitsizliklerin en karmaşık türlerinden birini ele alalım.
Değişken tabanlı logaritmik eşitsizlikler
Bu özelliklere sahip eşitsizlikler nasıl çözülür? Evet ve bu tür insanlar Birleşik Devlet Sınavında bulunabilir. Eşitsizlikleri şu şekilde çözmeniz eğitim sürecinize de olumlu etki yapacaktır. Konuya ayrıntılı olarak bakalım. Teoriyi bir kenara bırakıp doğrudan uygulamaya geçelim. Logaritmik eşitsizlikleri çözmek için örneğe bir kez aşina olmanız yeterlidir.
Sunulan formun logaritmik eşitsizliğini çözmek için sağ tarafı aynı tabana sahip bir logaritmaya indirgemek gerekir. Prensip eşdeğer geçişlere benzer. Sonuç olarak eşitsizlik şu şekilde görünecektir.
Aslında geriye logaritması olmayan bir eşitsizlik sistemi yaratmak kalıyor. Rasyonalizasyon yöntemini kullanarak eşdeğer bir eşitsizlik sistemine geçiyoruz. Uygun değerleri değiştirdiğinizde ve değişikliklerini takip ettiğinizde kuralın kendisini anlayacaksınız. Sistem aşağıdaki eşitsizliklere sahip olacaktır.
Eşitsizlikleri çözerken rasyonalizasyon yöntemini kullanırken aşağıdakileri hatırlamanız gerekir: tabandan bir çıkarılmalıdır, logaritmanın tanımı gereği x, eşitsizliğin her iki tarafından da çıkarılır (sağdan soldan), iki ifade çarpılır ve sıfıra göre orijinal işaretin altına ayarlanır.
Daha fazla çözüm aralık yöntemi kullanılarak gerçekleştirilir, burada her şey basittir. Çözüm yöntemlerindeki farklılıkları anlamanız önemlidir, o zaman her şey kolayca yoluna girmeye başlayacaktır.
Logaritmik eşitsizliklerde birçok nüans vardır. En basitlerini çözmek oldukça kolaydır. Her birini sorunsuz bir şekilde nasıl çözebilirsiniz? Bu makaledeki tüm cevapları zaten aldınız. Artık önünüzde uzun bir pratik var. Sürekli olarak sınavdaki çeşitli problemleri çözmeye çalışın ve en yüksek puanı alabileceksiniz. Zor görevinizde size iyi şanslar!
Logaritmik eşitsizliklerin tüm çeşitleri arasında değişken tabanlı eşitsizlikler ayrı ayrı incelenir. Bazı nedenlerden dolayı okulda nadiren öğretilen özel bir formül kullanılarak çözülürler:
log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0
“∨” onay kutusu yerine herhangi bir eşitsizlik işareti koyabilirsiniz: daha fazla veya daha az. Önemli olan her iki eşitsizlikte de işaretlerin aynı olmasıdır.
Bu şekilde logaritmalardan kurtuluruz ve sorunu rasyonel bir eşitsizliğe indiririz. İkincisini çözmek çok daha kolaydır, ancak logaritmalar atılırken fazladan kökler görünebilir. Bunları kesmek için kabul edilebilir değerler aralığını bulmak yeterlidir. Bir logaritmanın ODZ'sini unuttuysanız, bunu tekrarlamanızı şiddetle tavsiye ederim - bkz. “Logaritma nedir?”.
Kabul edilebilir değer aralığına ilişkin her şey ayrı ayrı yazılmalı ve çözülmelidir:
f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.
Bu dört eşitsizlik bir sistem oluşturur ve aynı anda karşılanması gerekir. Kabul edilebilir değerler aralığı bulunduğunda geriye kalan tek şey onu rasyonel eşitsizliğin çözümüyle kesiştirmektir - ve cevap hazırdır.
Görev. Eşitsizliği çözün:
İlk önce logaritmanın ODZ'sini yazalım:
İlk iki eşitsizlik otomatik olarak karşılanır, ancak sonuncusunun yazılması gerekecektir. Bir sayının karesi ancak ve ancak sayının kendisi sıfırsa sıfır olduğundan, elimizde:
x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠0;
x ≠ 0.
Logaritmanın ODZ'sinin sıfır hariç tüm sayılar olduğu ortaya çıktı: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Şimdi ana eşitsizliği çözüyoruz:
Logaritmik eşitsizlikten rasyonel eşitsizliğe geçiş yapıyoruz. Orijinal eşitsizliğin "küçüktür" işareti vardır; bu, ortaya çıkan eşitsizliğin de "küçüktür" işaretine sahip olması gerektiği anlamına gelir. Sahibiz:
(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x ) (3 + x ) x 2< 0.
Bu ifadenin sıfırları: x = 3; x = −3; x = 0. Üstelik x = 0 ikinci çokluğun köküdür, yani içinden geçerken fonksiyonun işareti değişmez. Sahibiz:
x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞) elde ederiz. Bu küme tamamen logaritmanın ODZ'sinde bulunur, yani cevap budur.
Logaritmik eşitsizlikleri dönüştürme
Çoğunlukla orijinal eşitsizlik yukarıdakinden farklıdır. Bu, logaritmalarla çalışmaya ilişkin standart kurallar kullanılarak kolayca düzeltilebilir - bkz. “Logaritmanın temel özellikleri”. Yani:
- Herhangi bir sayı, belirli bir tabana göre logaritma olarak temsil edilebilir;
- Aynı tabanlara sahip logaritmaların toplamı ve farkı bir logaritma ile değiştirilebilir.
Ayrıca kabul edilebilir değerler aralığını da hatırlatmak isterim. Orijinal eşitsizlikte birden fazla logaritma olabileceğinden her birinin VA'sını bulmak gerekir. Dolayısıyla logaritmik eşitsizliklerin çözümüne yönelik genel şema aşağıdaki gibidir:
- Eşitsizliğe dahil olan her logaritmanın VA'sını bulun;
- Logaritma toplama ve çıkarma formüllerini kullanarak eşitsizliği standart bir düzeye indirin;
- Ortaya çıkan eşitsizliği yukarıda verilen şemaya göre çözün.
Görev. Eşitsizliği çözün:
İlk logaritmanın tanım tanım kümesini (DO) bulalım:
Aralık yöntemini kullanarak çözüyoruz. Payın sıfırlarını bulma:
3x - 2 = 0;
x = 2/3.
Sonra - paydanın sıfırları:
x - 1 = 0;
x = 1.
Koordinat okunda sıfırları ve işaretleri işaretliyoruz:
x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞) elde ederiz. İkinci logaritma aynı VA'ya sahip olacaktır. Bana inanmıyorsan kontrol edebilirsin. Şimdi ikinci logaritmayı tabanı iki olacak şekilde dönüştürüyoruz:
Görüldüğü gibi logaritmanın tabanındaki ve önündeki üçlüler azaltılmıştır. Aynı tabana sahip iki logaritmamız var. Bunları toplayalım:
günlük 2 (x - 1) 2< 2;
günlük 2 (x - 1) 2< log 2 2 2 .
Standart logaritmik eşitsizliği elde ettik. Formülü kullanarak logaritmalardan kurtuluyoruz. Orijinal eşitsizlik “küçüktür” işareti içerdiğinden, ortaya çıkan rasyonel ifadenin de sıfırdan küçük olması gerekir. Sahibiz:
(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).
İki setimiz var:
- ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
- Adayın cevabı: x ∈ (−1; 3).
Geriye bu kümeleri kesiştirmek kalıyor - gerçek cevabı alıyoruz:
Kümelerin kesişimiyle ilgilendiğimiz için her iki okla gölgelenen aralıkları seçiyoruz. x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) elde ederiz - tüm noktalar deliklidir.
Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.
Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması
Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.
Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.
Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.
Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:
- Siteye bir başvuru gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.
Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:
- Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve gelecek etkinlikler konusunda sizinle iletişim kurmamıza olanak tanır.
- Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
- Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
- Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.
Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması
Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.
İstisnalar:
- Gerekirse - yasaya, adli prosedüre uygun olarak, yasal işlemlerde ve/veya kamunun talepleri veya Rusya Federasyonu'ndaki devlet kurumlarının talepleri temelinde - kişisel bilgilerinizi ifşa etmek. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
- Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.
Kişisel bilgilerin korunması
Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.
Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak
Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.
Matematikte Birleşik Devlet Sınavını geçmeden önce giderek daha az zaman kalıyor. Durum kızışıyor, okul çocuklarının, ebeveynlerin, öğretmenlerin ve öğretmenlerin sinirleri giderek gerginleşiyor. Günlük derinlemesine matematik dersleri sinir gerginliğinizi hafifletmenize yardımcı olacaktır. Sonuçta, bildiğimiz gibi hiçbir şey sizi pozitiflikle suçlamaz ve yeteneklerinize ve bilginize güvenmeniz kadar sınavları geçmenize yardımcı olmaz. Bugün bir matematik öğretmeni size, birçok modern lise öğrencisi için geleneksel olarak zorluk yaratan görevler olan logaritmik ve üstel eşitsizlik sistemlerini çözmeyi anlatacak.
Bir matematik öğretmeni olarak matematikte Birleşik Devlet Sınavından C3 problemlerinin nasıl çözüleceğini öğrenmek için aşağıdaki önemli noktalara dikkat etmenizi öneririm.
1. Logaritmik ve üstel eşitsizlik sistemlerini çözmeye başlamadan önce, bu tür eşitsizliklerin her birini ayrı ayrı nasıl çözeceğinizi öğrenmeniz gerekir. Özellikle kabul edilebilir değerler aralığının nasıl bulunduğunu anlamak için logaritmik ve üstel ifadelerin eşdeğer dönüşümleri gerçekleştirilir. Bununla ilgili bazı sırları “” ve “” yazılarını inceleyerek anlayabilirsiniz.
2. Aynı zamanda, bir eşitsizlik sistemini çözmenin her zaman her eşitsizliği ayrı ayrı çözmek ve ortaya çıkan aralıkları kesiştirmek anlamına gelmediğinin farkına varmak gerekir. Bazen sistemdeki bir eşitsizliğin çözümünü bilerek ikincisinin çözümü çok daha basit hale gelir. Okul çocuklarını Birleşik Devlet Sınavı formatındaki final sınavlarına girmeye hazırlayan bir matematik öğretmeni olarak, bu makalede bununla ilgili birkaç sırrı açığa çıkaracağım.
3. Kümelerin kesişimi ve birleşimi arasındaki farkı net bir şekilde anlamak gerekir. Bu, deneyimli bir profesyonel öğretmenin öğrencisine ilk derslerden itibaren vermeye çalıştığı en önemli matematik bilgilerinden biridir. Kümelerin kesişimi ve birliğinin görsel bir temsili "Eulerian çemberleri" olarak adlandırılır.
Kümelerin kesişimi yalnızca bu kümelerin her birinin sahip olduğu öğeleri içeren bir kümedir.
kavşak
Kümelerin kesişimlerinin “Eulerian çemberleri” kullanılarak gösterimi
Açıklama parmaklarınızın ucunda. Diana'nın çantasında şunlardan oluşan bir “set” var ( kalemler, kalem, Cetveller, defterler, taraklar). Alice'in çantasında şunlardan oluşan bir “set” var ( not defteri, kalem, aynalar, defterler, Tavuk Kiev). Bu iki “kümenin” kesişimi aşağıdakilerden oluşan “küme” olacaktır ( kalem, defterler), çünkü hem Diana hem de Alice bu "unsurların" her ikisine de sahiptir.
Hatırlanması önemli! Bir eşitsizliğin çözümü bir aralık ve eşitsizliğin çözümü bir aralık ise, sistemlerin çözümü şöyledir:
olan aralık kavşak orijinal aralıklar Burada ve aşağıdaişaretlerden herhangi biri anlamına gelir title="QuickLaTeX.com tarafından oluşturulmuştur" height="17" width="93" style="vertical-align: -4px;">!} ve altında - tam tersi işarettir.
Setlerin birliği orijinal kümelerin tüm elemanlarından oluşan bir kümedir.
Başka bir deyişle, iki küme verilirse ve sonra bunların birleşme aşağıdaki formda bir dizi olacaktır:
“Eulerian çevreleri” kullanılarak küme birleşiminin tasviri
Açıklama parmaklarınızın ucunda.Önceki örnekte alınan “kümelerin” birleşimi aşağıdakilerden oluşan “küme” olacaktır ( kalemler, kalem, Cetveller, defterler, taraklar, not defteri, aynalar, Tavuk Kiev), çünkü orijinal “kümelerin” tüm unsurlarından oluşur. Gereksiz olamayacak bir açıklama. Birçok yapamamak aynı unsurları içerir.
Hatırlanması önemli! Bir eşitsizliğin çözümü bir aralık ve eşitsizliğin çözümü bir aralık ise, o zaman popülasyonun çözümü şöyledir:
olan aralık dernek orijinal aralıklar
Doğrudan örneklere geçelim.
Örnek 1. Eşitsizlik sistemini çözün:
C3 sorununun çözümü.
1. İlk önce birinci eşitsizliği çözelim. Değiştirmeyi kullanarak eşitsizliğe gideriz:
2. Şimdi ikinci eşitsizliği çözelim. İzin verilen değerlerin aralığı eşitsizlikle belirlenir:
Title="QuickLaTeX.com tarafından oluşturulmuştur">!}
Logaritmanın tabanı dikkate alınarak kabul edilebilir değerler aralığında title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="52" style="vertical-align: -4px;"> переходим к равносильному неравенству:!}
Kabul edilebilir değerler aralığında olmayan çözümleri hariç tutarak aralığı elde ederiz
3. Yanıtla sistem eşitsizlikler olacak kavşak
Sayı doğrusunda ortaya çıkan aralıklar. Çözüm onların kesişimidir
Örnek 2. Eşitsizlik sistemini çözün:
C3 sorununun çözümü.
1. Önce birinci eşitsizliği çözelim. Her iki parçayı da title="Rendered by QuickLaTeX.com ile çarpın" height="14" width="55" style="vertical-align: 0px;"> и делаем замену в результате чего приходим к неравенству:!}
Ters ikameye geçelim:
2.
Title="QuickLaTeX.com tarafından oluşturulmuştur">!}
Ortaya çıkan aralığın grafik gösterimi. Sistemin çözümü bunların kesişimidir
Örnek 3. Eşitsizlik sistemini çözün:
C3 sorununun çözümü.
1. Önce birinci eşitsizliği çözelim. Her iki parçayı da title="Rendered by QuickLaTeX.com ile çarpın" height="18" width="61" style="vertical-align: -4px;"> после чего получаем неравенство:!}
Yerine koymayı kullanarak aşağıdaki eşitsizliğe gideriz:
Ters ikameye geçelim:
2. Şimdi ikinci eşitsizliği çözelim. Öncelikle bu eşitsizliğin izin verilen değerlerinin aralığını belirleyelim:
ql-sağ-eqno">
Lütfen şunu unutmayın
Daha sonra kabul edilebilir değer aralığını dikkate alarak şunu elde ederiz: 
3. Eşitsizliklere genel bir çözüm buluyoruz. Düğüm noktalarının elde edilen irrasyonel değerlerinin karşılaştırılması bu örnekte hiçbir şekilde önemsiz bir iş değildir. Bunu aşağıdaki şekilde yapabilirsiniz. Çünkü
Title="QuickLaTeX.com tarafından oluşturulmuştur">!}
O 
ve sisteme verilen son yanıt şöyle görünür:
Örnek 4. Eşitsizlik sistemini çözün:
Problemin çözümü C3.
1. Önce ikinci eşitsizliği çözelim:
2. Orijinal sistemin ilk eşitsizliği değişken tabanlı logaritmik bir eşitsizliktir. Bu tür eşitsizlikleri çözmenin uygun bir yolu “Karmaşık logaritmik eşitsizlikler” makalesinde anlatılmıştır; bu yöntem basit bir formüle dayanmaktadır:
İşaretin yerine herhangi bir eşitsizlik işareti konulabilir, asıl önemli olan her iki durumda da aynı olmasıdır. Bu formülü kullanmak eşitsizliği çözmeyi büyük ölçüde basitleştirir:
Şimdi bu eşitsizliğin kabul edilebilir değer aralığını belirleyelim. Aşağıdaki sistem tarafından ayarlanır:
Title="QuickLaTeX.com tarafından oluşturulmuştur">!}
Title="QuickLaTeX.com tarafından oluşturulmuştur">!}
Bu aralığın aynı zamanda eşitsizliğimize de çözüm olacağını görmek kolaydır.
3.
Orijinalin son cevabı sistemler eşitsizlikler olacak kavşak
ortaya çıkan aralıklar, yani 
Örnek 5. Eşitsizlik sistemini çözün:
Görev C3'ün çözümü.
1. Önce birinci eşitsizliği çözelim. Yerine koymayı kullanıyoruz. Aşağıdaki ikinci dereceden eşitsizliğe geçiyoruz:
2. Şimdi ikinci eşitsizliği çözelim. İzin verilen değerlerin aralığı sistem tarafından belirlenir:
Title="QuickLaTeX.com tarafından oluşturulmuştur">!}
Bu eşitsizlik aşağıdaki karma sisteme eşdeğerdir:
Kabul edilebilir değerler aralığında, yani title="Rendered by QuickLaTeX.com ile" height="18" width="53" style="vertical-align: -4px;"> используя равносильные преобразования переходим к следующей смешанной системе:!}
Kabul edilebilir değer aralığını dikkate alarak şunu elde ederiz:
3. Orijinalin son kararı sistemleröyle
C3 sorununun çözümü.
1. Önce birinci eşitsizliği çözelim. Eşdeğer dönüşümlerle onu şu forma getiriyoruz:
2. Şimdi ikinci eşitsizliği çözelim. Geçerli değerlerinin aralığı şu aralığa göre belirlenir: title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="68" style="vertical-align: 0px;"> Используя замену переменной переходим к следующему квадратичному неравенству:!}
Bu cevap tamamen kabul edilebilir eşitsizlik değerleri aralığına aittir.
3.
Önceki paragraflarda elde edilen aralıkları kesiştirerek eşitsizlikler sisteminin nihai cevabını elde ederiz: 
Bugün logaritmik ve üstel eşitsizlik sistemlerini çözdük. Bu tür görevler, mevcut akademik yıl boyunca matematikte Birleşik Devlet Sınavının deneme versiyonlarında sunuldu. Ancak Birleşik Devlet Sınavına hazırlık tecrübesi olan bir matematik öğretmeni olarak bunun, Haziran ayında matematikte Birleşik Devlet Sınavı'nın gerçek versiyonlarında benzer görevlerin olacağı anlamına gelmediğini söyleyebilirim.
Öncelikle lise öğrencilerini matematik alanında Birleşik Devlet Sınavına hazırlayan öğretmenlere ve okul öğretmenlerine yönelik bir uyarıda bulunmama izin verin. Okul çocuklarını kesinlikle verilen konulara göre sınava hazırlamak çok tehlikelidir, çünkü bu durumda, daha önce belirtilen görev formatında küçük bir değişiklik olsa bile tamamen "başarısız olma" riski vardır. Matematik eğitiminin tamamlanmış olması gerekmektedir. Değerli meslektaşlarım, lütfen öğrencilerinizi belirli bir problemin çözümü için sözde “eğitim” yaparak robotlara benzetmeyin. Sonuçta insan düşüncesinin resmileştirilmesinden daha kötü bir şey yoktur.
Herkese iyi şanslar ve yaratıcı başarılar!
Sergey Valerievich
Eğer denersen iki seçenek var: ya işe yarayacak ya da çalışmayacak. Eğer denemezsen, sadece bir tane var.
© Halk bilgeliği
Bir eşitsizlik, logaritmik bir fonksiyon içeriyorsa logaritmik olarak adlandırılır.
Logaritmik eşitsizlikleri çözme yöntemleri iki şey dışında farklı değildir.
İlk olarak, logaritmik eşitsizlikten sublogaritmik fonksiyonların eşitsizliğine geçerken, ortaya çıkan eşitsizliğin işaretini takip edin. Aşağıdaki kurala uyar.
Logaritmik fonksiyonun tabanı $1$'dan büyükse, logaritmik eşitsizlikten alt logaritmik fonksiyonların eşitsizliğine geçerken eşitsizliğin işareti korunur, ancak $1$'dan küçükse ters yönde değişir. .
İkincisi, herhangi bir eşitsizliğin çözümü bir aralıktır ve bu nedenle alt logaritmik fonksiyonların eşitsizliğinin çözülmesinin sonunda iki eşitsizlikten oluşan bir sistem oluşturmak gerekir: Bu sistemin ilk eşitsizliği, alt logaritmik fonksiyonların eşitsizliği olacaktır, ikincisi ise logaritmik eşitsizliğin içerdiği logaritmik fonksiyonların tanım kümesinin aralığı olacaktır.
Pratik.
Eşitsizlikleri çözelim:
1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$
$D(y): \x+3>0.$
$x \in (-3;+\infty)$
Logaritmanın tabanı $2>1$ olduğundan işareti değişmez. Logaritmanın tanımını kullanarak şunu elde ederiz:
$x+3 \geq 2^(3),$
$x\inç)