లక్షణాలను అధ్యయనం చేసినప్పుడు వర్గ సమీకరణంఒక పరిమితి సెట్ చేయబడింది - సున్నా కంటే తక్కువ వివక్షకు, పరిష్కారం లేదు. అని వెంటనే ప్రకటించారు మేము మాట్లాడుతున్నామువాస్తవ సంఖ్యల సమితి గురించి. గణిత శాస్త్రవేత్త యొక్క పరిశోధనాత్మక మనస్సు నిజమైన విలువల గురించి నిబంధనలో ఏ రహస్యాన్ని కలిగి ఉందో దానిపై ఆసక్తి కలిగి ఉంటుంది?

కాలక్రమేణా, గణిత శాస్త్రజ్ఞులు సంక్లిష్ట సంఖ్యల భావనను ప్రవేశపెట్టారు, ఇక్కడ ఒకటిగా తీసుకోబడుతుంది షరతులతో కూడిన అర్థంమైనస్ ఒకటి యొక్క రెండవ డిగ్రీ మూలం.

చారిత్రక సూచన

గణిత సిద్ధాంతంసాధారణ నుండి సంక్లిష్టంగా క్రమంగా అభివృద్ధి చెందుతుంది. “కాంప్లెక్స్ నంబర్” అనే భావన ఎలా ఉద్భవించిందో మరియు అది ఎందుకు అవసరమో తెలుసుకుందాం.

ప్రాచీన కాలం నుండి, గణితానికి ఆధారం సాధారణ లెక్కింపు. పరిశోధకులకు సహజమైన విలువలు మాత్రమే తెలుసు. కూడిక మరియు తీసివేత సరళమైనది. ఆర్థిక సంబంధాలు మరింత క్లిష్టంగా మారడంతో, జోడించడానికి బదులుగా ఒకే విలువలుగుణకారం ఉపయోగించడం ప్రారంభించింది. గుణకారానికి విలోమ ఆపరేషన్ కనిపించింది - విభజన.

సహజ సంఖ్య భావన వినియోగాన్ని పరిమితం చేసింది అంకగణిత కార్యకలాపాలు. పూర్ణాంక విలువల సమితిలో అన్ని విభజన సమస్యలను పరిష్కరించడం అసాధ్యం. భావనకు ముందుగా దారితీసింది హేతుబద్ధమైన విలువలు, ఆపై కు అహేతుక విలువలు. హేతుబద్ధత కోసం ఒక రేఖపై ఒక బిందువు యొక్క ఖచ్చితమైన స్థానాన్ని సూచించడం సాధ్యమైతే, అహేతుకం కోసం అటువంటి బిందువును సూచించడం అసాధ్యం. మీరు స్థాన విరామాన్ని సుమారుగా మాత్రమే సూచించగలరు. హేతుబద్ధతను కలపడం మరియు అకరణీయ సంఖ్యలుఇచ్చిన స్కేల్‌తో ఒక నిర్దిష్ట లైన్‌గా సూచించబడే నిజమైన సెట్‌ను ఏర్పాటు చేసింది. రేఖ వెంట ప్రతి అడుగు సహజ సంఖ్య, మరియు వాటి మధ్య హేతుబద్ధమైన మరియు అహేతుక విలువలు ఉంటాయి.

ఒక యుగం మొదలైంది సైద్ధాంతిక గణితం. ఖగోళ శాస్త్రం, మెకానిక్స్ మరియు భౌతిక శాస్త్రాల అభివృద్ధికి పరిష్కారాలు ఎక్కువగా అవసరం సంక్లిష్ట సమీకరణాలు. సాధారణ రూపంలో, వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలు కనుగొనబడ్డాయి. మరింత సంక్లిష్టంగా పరిష్కరించేటప్పుడు క్యూబిక్ బహుపదిశాస్త్రవేత్తలు వైరుధ్యాన్ని ఎదుర్కొంటున్నారు. భావన క్యూబ్ రూట్ప్రతికూల నుండి ఇది అర్ధమే, కానీ చదరపు కోసం అది అనిశ్చితికి దారితీస్తుంది. ఈ సందర్భంలో, చతురస్రాకార సమీకరణం మాత్రమే ప్రత్యేక సంధర్భంక్యూబిక్.

1545లో, ఇటాలియన్ G. కార్డానో ఊహాజనిత సంఖ్య యొక్క భావనను పరిచయం చేయాలని ప్రతిపాదించాడు.

ఈ సంఖ్య మైనస్ ఒకటికి రెండవ మూలంగా మారింది. కాంప్లెక్స్ సంఖ్య అనే పదం చివరకు మూడు వందల సంవత్సరాల తరువాత, రచనలలో ఏర్పడింది ప్రసిద్ధ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడుగౌస్. అతను ఆల్జీబ్రా యొక్క అన్ని చట్టాలను ఒక ఊహాత్మక సంఖ్యకు అధికారికంగా విస్తరించాలని ప్రతిపాదించాడు. రియల్ లైన్ ఒక విమానం వరకు విస్తరించింది. ప్రపంచం పెద్దదైంది.

ప్రాథమిక భావనలు

నిజమైన సెట్‌పై పరిమితులను కలిగి ఉన్న అనేక ఫంక్షన్‌లను గుర్తుచేసుకుందాం:

• y = arcsin(x), ప్రతికూల మరియు సానుకూల ఐక్యత మధ్య విలువల పరిధిలో నిర్వచించబడింది.
• y = ln(x), సానుకూల వాదనలకు అర్ధమే.
• వర్గమూలం y = √x, x ≥ 0 కోసం మాత్రమే లెక్కించబడుతుంది.

i = √(-1)ని సూచించడం ద్వారా, మేము అటువంటి భావనను ఊహాత్మక సంఖ్యగా పరిచయం చేస్తాము, ఇది పైన పేర్కొన్న ఫంక్షన్ల నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ నుండి అన్ని పరిమితులను తీసివేయడానికి అనుమతిస్తుంది. y = arcsin(2), y = ln(-4), y = √(-5) వంటి వ్యక్తీకరణలు సంక్లిష్ట సంఖ్యల నిర్దిష్ట స్థలంలో అర్థాన్ని సంతరించుకుంటాయి.

బీజగణిత రూపాన్ని వాస్తవ విలువలు x మరియు y మరియు i 2 = -1 సెట్‌పై z = x + i×y అని వ్రాయవచ్చు.

కొత్త భావన ఏదైనా బీజగణిత ఫంక్షన్ యొక్క ఉపయోగంపై అన్ని పరిమితులను తొలగిస్తుంది మరియు దాని రూపాన్ని నిజమైన మరియు ఊహాత్మక విలువల కోఆర్డినేట్‌లలో సరళ రేఖ యొక్క గ్రాఫ్‌ను పోలి ఉంటుంది.

కాంప్లెక్స్ విమానం

రేఖాగణిత ఆకారంసంక్లిష్ట సంఖ్యలు వాటి అనేక లక్షణాలను దృశ్యమానం చేయడాన్ని సాధ్యం చేస్తాయి. Re(z) అక్షం వెంట మేము x యొక్క వాస్తవ విలువలను, Im(z) - y యొక్క ఊహాత్మక విలువలను గుర్తు చేస్తాము, అప్పుడు విమానంలోని పాయింట్ z అవసరమైన సంక్లిష్ట విలువను ప్రదర్శిస్తుంది.

నిర్వచనాలు:

• Re(z) - నిజమైన అక్షం.
• Im(z) - అంటే ఊహాత్మక అక్షం.
• z అనేది సంక్లిష్ట సంఖ్య యొక్క నియత బిందువు.
• సంఖ్యా విలువనుండి వెక్టర్ పొడవు సున్నా పాయింట్ z వరకు మాడ్యులస్ అంటారు.
• వాస్తవ మరియు ఊహాత్మక అక్షాలు విమానాన్ని క్వార్టర్స్‌గా విభజిస్తాయి. వద్ద సానుకూల విలువఅక్షాంశాలు - I త్రైమాసికం. నిజమైన అక్షం యొక్క వాదన 0 కంటే తక్కువగా ఉన్నప్పుడు మరియు ఊహాత్మక అక్షం 0 కంటే ఎక్కువగా ఉన్నప్పుడు - రెండవ త్రైమాసికం. అక్షాంశాలు ప్రతికూలంగా ఉన్నప్పుడు - III త్రైమాసికం. చివరి, IV త్రైమాసికంలో అనేక సానుకూల వాస్తవ విలువలు మరియు ప్రతికూల ఊహాత్మక విలువలు ఉన్నాయి.

అందువలన, x మరియు y కోఆర్డినేట్‌లతో కూడిన విమానంలో, మీరు ఎల్లప్పుడూ సంక్లిష్ట సంఖ్య యొక్క బిందువును దృశ్యమానంగా వర్ణించవచ్చు. ఊహాత్మక భాగం నుండి వాస్తవ భాగాన్ని వేరు చేయడానికి చిహ్నం i పరిచయం చేయబడింది.

లక్షణాలు

1. ఊహాత్మక ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క సున్నా విలువతో, మేము కేవలం ఒక సంఖ్యను (z = x) పొందుతాము, ఇది నిజమైన అక్షం మీద ఉంది మరియు వాస్తవ సమితికి చెందినది.
2. ఒక ప్రత్యేక సందర్భం, నిజమైన ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క విలువ సున్నా అయినప్పుడు, z = i×y అనే వ్యక్తీకరణ ఊహాత్మక అక్షంలోని బిందువు యొక్క స్థానానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది.
3. సాధారణ రూపం z = x + i×y ఆర్గ్యుమెంట్‌ల యొక్క సున్నా కాని విలువల కోసం ఉంటుంది. వంతులలో ఒకదానిలో సంక్లిష్ట సంఖ్యను వర్గీకరించే బిందువు స్థానాన్ని సూచిస్తుంది.

త్రికోణమితి సంజ్ఞామానం

పోలార్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌ని గుర్తుచేసుకుందాం మరియు పాపం యొక్క నిర్వచనంమరియు కాస్. సహజంగానే, ఈ ఫంక్షన్లను ఉపయోగించి మీరు విమానంలో ఏదైనా పాయింట్ యొక్క స్థానాన్ని వివరించవచ్చు. ఇది చేయుటకు, ధ్రువ కిరణం యొక్క పొడవు మరియు నిజమైన అక్షానికి వంపు కోణం తెలుసుకోవడం సరిపోతుంది.

నిర్వచనం. ∣z ∣ రూపం యొక్క సంజ్ఞామానం, త్రికోణమితి మొత్తంతో గుణించబడుతుంది cos విధులు(ϴ) మరియు ఊహాత్మక భాగాన్ని i ×sin(ϴ), త్రికోణమితి సంక్లిష్ట సంఖ్య అంటారు. ఇక్కడ మనం వాస్తవ అక్షానికి వంపు యొక్క సంజ్ఞామాన కోణాన్ని ఉపయోగిస్తాము

ϴ = arg(z), మరియు r = ∣z∣, బీమ్ పొడవు.

త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల నిర్వచనం మరియు లక్షణాల నుండి, ఇది చాలా అనుసరిస్తుంది ముఖ్యమైన ఫార్ములామూవ్రే:

z n = r n × (cos(n × ϴ) + i × sin(n × ϴ)).

ఈ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి, అనేక సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది త్రికోణమితి విధులు. ముఖ్యంగా ఎక్స్‌పోనెన్షియేషన్ సమస్య తలెత్తినప్పుడు.

మాడ్యూల్ మరియు దశ

వివరణను పూర్తి చేయడానికి క్లిష్టమైన సెట్మేము రెండు అందిస్తాము ముఖ్యమైన నిర్వచనాలు.

పైథాగరియన్ సిద్ధాంతాన్ని తెలుసుకోవడం, కిరణం యొక్క పొడవును లెక్కించడం సులభం ధ్రువ వ్యవస్థఅక్షాంశాలు

r = ∣z∣ = √(x 2 + y 2), సంక్లిష్ట స్థలంలో అటువంటి సంజ్ఞామానాన్ని "మాడ్యులస్" అని పిలుస్తారు మరియు విమానంలో 0 నుండి ఒక బిందువు వరకు ఉన్న దూరాన్ని వర్ణిస్తుంది.

కాంప్లెక్స్ కిరణం వాస్తవ రేఖ ϴకి వంపు కోణం సాధారణంగా దశ అంటారు.

నిర్వచనం నుండి నిజమైన మరియు ఊహాత్మక భాగాలు చక్రీయ విధులను ఉపయోగించి వివరించబడ్డాయి. అవి:

• x = r × cos(ϴ);
• y = r × పాపం(ϴ);

దీనికి విరుద్ధంగా, దశతో సంబంధం ఉంది బీజగణిత విలువలుఫార్ములా ద్వారా:

ϴ = ఆర్క్టాన్(x / y) + µ, ఆవర్తనాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకోవడానికి దిద్దుబాటు µ ప్రవేశపెట్టబడింది రేఖాగణిత విధులు.

ఆయిలర్ సూత్రం

గణిత శాస్త్రవేత్తలు తరచుగా ఉపయోగిస్తారు ఘాతాంక రూపం. సంక్లిష్ట విమానం యొక్క సంఖ్యలు వ్యక్తీకరణగా వ్రాయబడ్డాయి

z = r × e i × ϴ, ఇది యూలర్ సూత్రం నుండి అనుసరిస్తుంది.

నేను ఈ ఎంట్రీని అందుకున్నాను విస్తృత ఉపయోగంఆచరణాత్మక గణన కోసం భౌతిక పరిమాణాలు. ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ కాంప్లెక్స్ నంబర్‌ల రూపంలో ప్రాతినిధ్యం యొక్క రూపం ఇంజనీరింగ్ గణనలకు ప్రత్యేకంగా సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది, ఇక్కడ సైనూసోయిడల్ కరెంట్‌లతో సర్క్యూట్‌లను లెక్కించాల్సిన అవసరం ఉంది మరియు ఇచ్చిన వ్యవధితో ఫంక్షన్ల సమగ్రాల విలువను తెలుసుకోవడం అవసరం. లెక్కలు వివిధ యంత్రాలు మరియు యంత్రాంగాల రూపకల్పనలో ఒక సాధనంగా పనిచేస్తాయి.

కార్యకలాపాలను నిర్వచించడం

ఇప్పటికే గుర్తించినట్లుగా, ప్రాథమిక గణిత విధులతో పనిచేసే అన్ని బీజగణిత చట్టాలు సంక్లిష్ట సంఖ్యలకు వర్తిస్తాయి.

మొత్తం ఆపరేషన్

సంక్లిష్ట విలువలను జోడించినప్పుడు, వాటి వాస్తవ మరియు ఊహాత్మక భాగాలు కూడా జోడించబడతాయి.

z = z 1 + z 2, ఇక్కడ z 1 మరియు z 2 సంక్లిష్ట సంఖ్యలు సాధారణ వీక్షణ. వ్యక్తీకరణను మార్చడం, బ్రాకెట్లను తెరిచిన తర్వాత మరియు సంజ్ఞామానాన్ని సరళీకృతం చేసిన తర్వాత, మేము పొందుతాము నిజమైన వాదన x=(x 1 + x 2), ఊహాత్మక వాదన y = (y 1 + y 2).

గ్రాఫ్‌లో ఇది బాగా తెలిసిన సమాంతర చతుర్భుజం నియమం ప్రకారం, రెండు వెక్టర్‌ల జోడింపులా కనిపిస్తుంది.

తీసివేత ఆపరేషన్

ఇది అదనపు ప్రత్యేక సందర్భంగా పరిగణించబడుతుంది, ఒక సంఖ్య సానుకూలంగా ఉన్నప్పుడు, మరొకటి ప్రతికూలంగా ఉంటుంది, అంటే అద్దం త్రైమాసికంలో ఉంది. బీజగణిత సంజ్ఞామానం నిజమైన మరియు ఊహాత్మక భాగాల మధ్య వ్యత్యాసం వలె కనిపిస్తుంది.

z = z 1 - z 2 , లేదా, ఆర్గ్యుమెంట్ల విలువలను పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, అదనంగా ఆపరేషన్ మాదిరిగానే, మేము వాస్తవ విలువలు x = (x 1 - x 2) మరియు ఊహాత్మక విలువలు y = (y 1 - y 2).

సంక్లిష్ట విమానంలో గుణకారం

బహుపదాలతో పని చేయడానికి నియమాలను ఉపయోగించి, సంక్లిష్ట సంఖ్యలను పరిష్కరించడానికి మేము ఒక సూత్రాన్ని పొందుతాము.

సాధారణ బీజగణిత నియమాలను అనుసరించి z=z 1 ×z 2, మేము ప్రతి వాదనను వివరిస్తాము మరియు సారూప్యమైన వాటిని ప్రదర్శిస్తాము. వాస్తవ మరియు ఊహాత్మక భాగాలను ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు:

• x = x 1 × x 2 - y 1 × y 2,
• y = x 1 × y 2 + x 2 × y 1.

మనం ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ కాంప్లెక్స్ నంబర్‌లను ఉపయోగిస్తే అది మరింత అందంగా కనిపిస్తుంది.

వ్యక్తీకరణ ఇలా కనిపిస్తుంది: z = z 1 × z 2 = r 1 × e i ϴ 1 × r 2 × e i ϴ 2 = r 1 × r 2 × e i(ϴ 1+ ϴ 2) .

విభజన

గుణకార చర్య యొక్క విలోమంగా విభజన చర్యను పరిగణించినప్పుడు, ఘాతాంక సంజ్ఞామానంలో మనం సరళమైన వ్యక్తీకరణను పొందుతాము. z 1 విలువను z 2 ద్వారా విభజించడం అనేది వాటి మాడ్యూల్స్ మరియు దశల వ్యత్యాసం యొక్క విభజన ఫలితంగా ఉంటుంది. అధికారికంగా, సంక్లిష్ట సంఖ్యల ఘాతాంక రూపాన్ని ఉపయోగిస్తున్నప్పుడు, ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది:

z = z 1 / z 2 = r 1 × e i ϴ 1 / r 2 × e i ϴ 2 = r 1 / r 2 × e i(ϴ 1- ϴ 2) .

బీజగణిత సంజ్ఞామానం రూపంలో, సంక్లిష్ట విమానంలో సంఖ్యలను విభజించే ఆపరేషన్ కొంచెం క్లిష్టంగా వ్రాయబడింది:

ఆర్గ్యుమెంట్‌లను వివరించడం మరియు బహుపదాల రూపాంతరాలను నిర్వహించడం ద్వారా, x = x 1 × x 2 + y 1 × y 2, వరుసగా y = x 2 × y 1 - x 1 × y 2 విలువలను పొందడం సులభం. , z 2 ≠ 0 అయితే, వివరించిన స్థలం ఫ్రేమ్‌వర్క్‌లో ఈ వ్యక్తీకరణ అర్థవంతంగా ఉంటుంది.

మూలాన్ని సంగ్రహించడం

పైన పేర్కొన్నవన్నీ మరింత సంక్లిష్టమైన బీజగణిత విధులను నిర్వచించడానికి ఉపయోగించవచ్చు - ఏదైనా శక్తికి పెంచడం మరియు దాని విలోమం - మూలాన్ని సంగ్రహించడం.

సద్వినియోగం చేసుకుంటున్నారు సాధారణ భావనశక్తి n కి పెంచడం, మేము నిర్వచనాన్ని పొందుతాము:

z n = (r × e i ϴ) n .

సాధారణ లక్షణాలను ఉపయోగించి, మేము దానిని రూపంలో తిరిగి వ్రాస్తాము:

z n = r n × e i ϴ n.

వచ్చింది సాధారణ సూత్రంసంక్లిష్ట సంఖ్యను శక్తికి పెంచడం.

డిగ్రీ నిర్వచనం నుండి మనం చాలా ముఖ్యమైన పరిణామాన్ని పొందుతాము. ఊహాత్మక యూనిట్ యొక్క సమాన శక్తి ఎల్లప్పుడూ 1కి సమానం. ఊహాత్మక యూనిట్ యొక్క ఏదైనా బేసి శక్తి ఎల్లప్పుడూ -1కి సమానం.

ఇప్పుడు చదువుదాం విలోమ ఫంక్షన్- రూట్ వెలికితీత.

సంజ్ఞామానం యొక్క సరళత కోసం, మేము n = 2 తీసుకుంటాము. సంక్లిష్ట విమానం Cపై సంక్లిష్ట విలువ z యొక్క వర్గమూలం w సాధారణంగా z = ± వ్యక్తీకరణగా పరిగణించబడుతుంది, ఇది ఏదైనా వాస్తవ వాదన కంటే ఎక్కువ లేదా సున్నాకి సమానం. w ≤ 0కి పరిష్కారం లేదు.

సరళమైన క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణం z 2 = 1ని చూద్దాం. సంక్లిష్ట సంఖ్యల సూత్రాలను ఉపయోగించి, మేము r 2 × e i 2ϴ = r 2 × e i 2ϴ = e i 0ని తిరిగి వ్రాస్తాము. రికార్డు నుండి r 2 = 1 మరియు ϴ = 0 అని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది, కాబట్టి, మనకు ఉంది మాత్రమే నిర్ణయం, 1కి సమానం. కానీ ఇది z = -1 అనే భావనకు విరుద్ధం, వర్గమూలం యొక్క నిర్వచనానికి కూడా అనుగుణంగా ఉంటుంది.

మనం పరిగణనలోకి తీసుకోని వాటిని గుర్తించండి. మనం గుర్తుంచుకుంటే త్రికోణమితి సంజ్ఞామానం, అప్పుడు మేము ప్రకటనను పునరుద్ధరించాము - ఎప్పుడు ఆవర్తన మార్పుదశ ϴ సంక్లిష్ట సంఖ్య మారదు. పీరియడ్ విలువను p గుర్తుతో సూచిస్తాము, అప్పుడు కిందిది చెల్లుబాటు అవుతుంది: r 2 × e i 2ϴ = e i (0+ p), దీని నుండి 2ϴ = 0 + p, లేదా ϴ = p / 2. కాబట్టి, e i 0 = 1 మరియు e i p /2 = -1 . మేము రెండవ పరిష్కారాన్ని అందుకున్నాము, దానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది సాధారణ అవగాహనవర్గమూలం.

కాబట్టి, సంక్లిష్ట సంఖ్య యొక్క ఏకపక్ష మూలాన్ని కనుగొనడానికి, మేము విధానాన్ని అనుసరిస్తాము.

• ఘాతాంక రూపాన్ని w= ∣w∣ × e i (arg (w) + pk) వ్రాద్దాం, k అనేది ఏకపక్ష పూర్ణాంకం.
• మేము ఆయులర్ ఫారమ్ z = r × e i ϴ ఉపయోగించి అవసరమైన సంఖ్యను కూడా సూచించవచ్చు.
• సద్వినియోగం చేసుకుందాం సాధారణ నిర్వచనంరూట్ ఎక్స్‌ట్రాక్షన్ ఫంక్షన్‌లు r n *e i n ϴ = ∣w∣ × e i (arg (w) + pk) .
• నుండి సాధారణ లక్షణాలుమాడ్యూల్స్ మరియు ఆర్గ్యుమెంట్‌ల సమానత్వం, మేము r n = ∣w∣ మరియు nϴ = arg (w) + p×k అని వ్రాస్తాము.
• సంక్లిష్ట సంఖ్య యొక్క మూలం యొక్క చివరి సంజ్ఞామానం z = √∣w∣ × e i (arg (w) + pk) / n సూత్రం ద్వారా వివరించబడింది.
• వ్యాఖ్య. నిర్వచనం ప్రకారం ∣w∣ విలువ సానుకూల వాస్తవ సంఖ్య, అంటే ఏదైనా శక్తి యొక్క మూలం అర్థవంతంగా ఉంటుంది.

ఫీల్డ్ మరియు సహచరుడు

ముగింపులో, మేము పరిష్కారానికి తక్కువ ప్రాముఖ్యత ఉన్న రెండు ముఖ్యమైన నిర్వచనాలను ఇస్తాము దరఖాస్తు సమస్యలుసంక్లిష్ట సంఖ్యలతో, కానీ ముఖ్యమైనవి మరింత అభివృద్ధిగణిత సిద్ధాంతం.

సంకలనం మరియు గుణకారం కోసం వ్యక్తీకరణలు సంక్లిష్ట సమతలం z యొక్క ఏదైనా మూలకాల కోసం సిద్ధాంతాలను సంతృప్తిపరిచినట్లయితే అవి ఫీల్డ్‌ను ఏర్పరుస్తాయి:

1. సంక్లిష్ట పదాల స్థలాలను మార్చడం సంక్లిష్ట మొత్తాన్ని మార్చదు.
2. ప్రకటన నిజం - లో సంక్లిష్ట వ్యక్తీకరణరెండు సంఖ్యల మొత్తాన్ని వాటి విలువతో భర్తీ చేయవచ్చు.
3. తటస్థ విలువ 0 ఉంది, దీనికి z + 0 = 0 + z = z నిజం.
4. ఏదైనా z కోసం వ్యతిరేకం - z, దాని జోడింపు సున్నాని ఇస్తుంది.
5. సంక్లిష్ట కారకాల స్థలాలను మార్చినప్పుడు, సంక్లిష్ట ఉత్పత్తి మారదు.
6. ఏదైనా రెండు సంఖ్యల గుణకారాన్ని వాటి విలువతో భర్తీ చేయవచ్చు.
7. తటస్థ విలువ 1 ఉంది, దీని ద్వారా గుణించడం సంక్లిష్ట సంఖ్యను మార్చదు.
8. ప్రతి z ≠ 0కి, విలోమ విలువ z -1 ఉంటుంది, దీని ద్వారా గుణిస్తే 1 వస్తుంది.
9. రెండు సంఖ్యల మొత్తాన్ని మూడవ వంతుతో గుణించడం, వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి ఈ సంఖ్యతో గుణించడం మరియు ఫలితాలను జోడించడం వంటి చర్యకు సమానం.
10. 0 ≠ 1.

z 1 = x + i×y మరియు z 2 = x - i×y సంఖ్యలను సంయోగం అంటారు.

సిద్ధాంతం.జత చేయడం కోసం, కింది ప్రకటన నిజం:

• మొత్తం యొక్క సంయోగం సంయోగ మూలకాల మొత్తానికి సమానం.
• ఉత్పత్తి యొక్క సంయోగం సంయోగాల ఉత్పత్తికి సమానం.
• సంఖ్యకు సమానం.

సాధారణ బీజగణితంలో, ఇటువంటి లక్షణాలను సాధారణంగా ఫీల్డ్ ఆటోమోర్ఫిజమ్స్ అంటారు.

ఉదాహరణలు

సంక్లిష్ట సంఖ్యల కోసం ఇచ్చిన నియమాలు మరియు సూత్రాలను అనుసరించి, మీరు వాటితో సులభంగా ఆపరేట్ చేయవచ్చు.

సరళమైన ఉదాహరణలను చూద్దాం.

టాస్క్ 1. 3y +5 x i= 15 - 7i సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి, x మరియు yని నిర్ణయించండి.

పరిష్కారం. సంక్లిష్ట సమానత్వాల నిర్వచనాన్ని గుర్తుచేసుకుందాం, అప్పుడు 3y = 15, 5x = -7. కాబట్టి x = -7 / 5, y = 5.

టాస్క్ 2. 2 + i 28 మరియు 1 + i 135 విలువలను లెక్కించండి.

పరిష్కారం. స్పష్టంగా 28 - సరి సంఖ్య, సంక్లిష్ట సంఖ్య యొక్క నిర్వచనం యొక్క పరిణామం నుండి మనకు i 28 = 1 శక్తి ఉంటుంది, అంటే వ్యక్తీకరణ 2 + i 28 = 3. రెండవ విలువ, i 135 = -1, ఆపై 1 + i 135 = 0 .

టాస్క్ 3. 2 + 5i మరియు 4 + 3i విలువల ఉత్పత్తిని లెక్కించండి.

పరిష్కారం. సంక్లిష్ట సంఖ్యల గుణకారం యొక్క సాధారణ లక్షణాల నుండి మనం (2 + 5i)X(4 + 3i) = 8 - 15 + i(6 + 20) పొందుతాము. కొత్త విలువ -7 + 26i.

టాస్క్ 4. z 3 = -i సమీకరణం యొక్క మూలాలను లెక్కించండి.

పరిష్కారం. సంక్లిష్ట సంఖ్యను కనుగొనడానికి అనేక ఎంపికలు ఉండవచ్చు. సాధ్యమయ్యే వాటిలో ఒకదానిని పరిశీలిద్దాం. నిర్వచనం ప్రకారం, ∣ - i∣ = 1, -i యొక్క దశ -p / 4. అసలు సమీకరణాన్ని r 3 *e i 3ϴ = e - p/4+ pkగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు, ఇక్కడ నుండి z = e - p / 12 + pk /3 , ఏదైనా పూర్ణాంకం k కోసం.

పరిష్కారాల సమితి రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది (e - ip/12, e ip /4, e i 2 p/3).

సంక్లిష్ట సంఖ్యలు ఎందుకు అవసరం?

శాస్త్రవేత్తలు, ఒక సిద్ధాంతంపై పనిచేస్తున్నప్పుడు, వారి ఫలితాల ఆచరణాత్మక అనువర్తనం గురించి కూడా ఆలోచించనప్పుడు చరిత్రకు చాలా ఉదాహరణలు తెలుసు. గణితం అనేది మొదటగా, మనస్సు యొక్క గేమ్, కారణం మరియు ప్రభావ సంబంధాలకు ఖచ్చితంగా కట్టుబడి ఉండటం. దాదాపు అన్ని గణిత నిర్మాణాలుసమగ్ర పరిష్కారానికి తగ్గించబడ్డాయి మరియు అవకలన సమీకరణాలు, మరియు అవి, కొంత ఉజ్జాయింపుతో, బహుపదాల మూలాలను కనుగొనడం ద్వారా పరిష్కరించబడతాయి. ఇక్కడ మనం మొదట ఊహాత్మక సంఖ్యల వైరుధ్యాన్ని ఎదుర్కొంటాము.

సహజ శాస్త్రవేత్తలు, పూర్తిగా నిర్ణయించడం ఆచరణాత్మక సమస్యలు, పరిష్కారాలను ఆశ్రయించడం వివిధ సమీకరణాలు, గణిత వైరుధ్యాలను కనుగొనండి. ఈ పారడాక్స్ యొక్క వివరణ పూర్తిగా ఆశ్చర్యకరమైన ఆవిష్కరణలకు దారి తీస్తుంది. ద్వంద్వ స్వభావం విద్యుదయస్కాంత తరంగాలుఅటువంటి ఉదాహరణ. సంక్లిష్ట సంఖ్యలువారి లక్షణాలను అర్థం చేసుకోవడంలో నిర్ణయాత్మక పాత్ర పోషిస్తాయి.

ఇది, క్రమంగా, కనుగొనబడింది ఆచరణాత్మక ఉపయోగంఆప్టిక్స్, రేడియో ఎలక్ట్రానిక్స్, ఎనర్జీ మరియు అనేక ఇతర సాంకేతిక రంగాలలో. మరొక ఉదాహరణ, అర్థం చేసుకోవడం చాలా కష్టం భౌతిక దృగ్విషయాలు. పెన్ యొక్క కొన వద్ద యాంటీమాటర్ అంచనా వేయబడింది. మరియు చాలా సంవత్సరాల తరువాత దానిని భౌతికంగా సంశ్లేషణ చేసే ప్రయత్నాలు ప్రారంభమవుతాయి.

ఇటువంటి పరిస్థితులు కేవలం భౌతిక శాస్త్రంలో మాత్రమే ఉన్నాయని అనుకోకూడదు. తక్కువ కాదు ఆసక్తికరమైన ఆవిష్కరణలుజీవ స్వభావంలో, స్థూల కణాల సంశ్లేషణ సమయంలో, కృత్రిమ మేధస్సు అధ్యయనం సమయంలో సంభవిస్తుంది. మరియు ఇవన్నీ మన స్పృహ యొక్క విస్తరణకు ధన్యవాదాలు, సహజ పరిమాణాల సాధారణ కూడిక మరియు వ్యవకలనం నుండి దూరంగా ఉంటాయి.

IN ఆధునిక గణితంకాంప్లెక్స్ సంఖ్య అనేది అత్యంత ప్రాథమిక భావనలలో ఒకటి, అప్లికేషన్‌ను కనుగొనడం " స్వచ్ఛమైన శాస్త్రం", మరియు ఇన్ అనువర్తిత ప్రాంతాలు. ఇది ఎల్లప్పుడూ కేసు కాదని స్పష్టమైంది. పురాతన కాలంలో, సాధారణ ప్రతికూల సంఖ్యలు కూడా విచిత్రమైన మరియు సందేహాస్పదమైన ఆవిష్కరణగా అనిపించినప్పుడు, వాటికి వర్గమూల ఆపరేషన్‌ను విస్తరించాల్సిన అవసరం స్పష్టంగా లేదు. అయితే, లో 16వ శతాబ్దం మధ్యలోశతాబ్దపు గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు రాఫెల్ బొంబెల్లి కాంప్లెక్స్‌ను పరిచయం చేశాడు (లో ఈ విషయంలోమరింత ఖచ్చితంగా, ఊహాత్మక) చెలామణిలో ఉన్న సంఖ్యలు. వాస్తవానికి, గౌరవప్రదమైన ఇటాలియన్‌ను అంతిమంగా అటువంటి తీవ్రతకు తీసుకువచ్చిన ఇబ్బందుల సారాంశం ఏమిటో చూడాలని నేను ప్రతిపాదించాను.

వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి సంక్లిష్ట సంఖ్యలు అవసరమని ఒక సాధారణ అపోహ ఉంది. వాస్తవానికి, ఇది పూర్తిగా తప్పు: వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనే పని సంక్లిష్ట సంఖ్యల పరిచయాన్ని ఏ విధంగానూ ప్రేరేపించదు. అది పరిపూర్ణమైనది.

మనమే చూద్దాం. ఏదైనా వర్గ సమీకరణాన్ని ఇలా సూచించవచ్చు:
.
జ్యామితీయంగా, దీని అర్థం మనం ఒక నిర్దిష్ట రేఖ మరియు పారాబొలా యొక్క ఖండన బిందువులను కనుగొనాలనుకుంటున్నాము
ఇలస్ట్రేషన్ కోసం నేను ఇక్కడ ఒక చిత్రాన్ని కూడా చేసాను.

పాఠశాల నుండి మనందరికీ బాగా తెలిసినట్లుగా, వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలు (పై సంకేతాలలో) క్రింది సూత్రం ద్వారా కనుగొనబడతాయి:

3 సాధ్యమైన ఎంపికలు ఉన్నాయి:
1. రాడికల్ వ్యక్తీకరణ సానుకూలంగా ఉంటుంది.
2. రాడికల్ వ్యక్తీకరణ సున్నాకి సమానం.
3. రాడికల్ వ్యక్తీకరణ ప్రతికూలంగా ఉంటుంది.

మొదటి సందర్భంలో 2 ఉన్నాయి వివిధ మూలాలు, రెండవదానిలో రెండు ఏకకాలికమైనవి ఉన్నాయి, మూడవదానిలో సమీకరణం "పరిష్కరించబడలేదు". ఈ కేసులన్నీ చాలా స్పష్టమైన రేఖాగణిత వివరణను కలిగి ఉన్నాయి:
1. ఒక సరళ రేఖ ఒక పారాబొలాను (చిత్రంలో నీలి రేఖ) కలుస్తుంది.
2. సరళ రేఖ పారాబొలాను తాకుతుంది.
3. సరళ రేఖకు పారాబొలాకు సంబంధం లేదు సాధారణ పాయింట్లు(చిత్రంలో లిలక్ లైన్).

పరిస్థితి సరళమైనది, తార్కికం మరియు స్థిరమైనది. ప్రతికూల సంఖ్య యొక్క వర్గమూలాన్ని తీసుకోవడానికి ఖచ్చితంగా ఎటువంటి కారణం లేదు. ఎవరూ కూడా ప్రయత్నించలేదు.

పరిశోధనాత్మక గణిత ఆలోచన క్యూబిక్ సమీకరణాలకు చేరుకున్నప్పుడు పరిస్థితి గణనీయంగా మారిపోయింది. కొంచెం తక్కువ స్పష్టంగా, కొన్ని సాధారణ ప్రత్యామ్నాయాన్ని ఉపయోగించి, ఏదైనా క్యూబిక్ సమీకరణాన్ని ఫారమ్‌కి తగ్గించవచ్చు: . రేఖాగణిత దృక్కోణం నుండి, పరిస్థితి మునుపటి మాదిరిగానే ఉంటుంది: మేము సరళ రేఖ మరియు క్యూబిక్ పారాబొలా యొక్క ఖండన స్థానం కోసం చూస్తున్నాము.
చిత్రాన్ని చూడండి:

చతురస్రాకార సమీకరణం నుండి ముఖ్యమైన వ్యత్యాసం ఏమిటంటే, మనం ఏ రేఖను తీసుకున్నా, అది ఎల్లప్పుడూ పారాబొలాను కలుస్తుంది. అంటే, పూర్తిగా జ్యామితీయ పరిగణనల నుండి, ఒక క్యూబిక్ సమీకరణం ఎల్లప్పుడూ కనీసం ఒక పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటుంది.
మీరు దీన్ని కార్డానో ఫార్ములా ఉపయోగించి కనుగొనవచ్చు:

ఎక్కడ
.
కొంచెం స్థూలంగా ఉంది, కానీ ఇప్పటివరకు ప్రతిదీ క్రమంలో ఉన్నట్లు అనిపిస్తుంది. లేదా?

సాధారణంగా, కార్డానో సూత్రం ప్రకాశించే ఉదాహరణ"ఆర్నాల్డ్ సూత్రం" చర్యలో ఉంది. మరియు లక్షణం ఏమిటంటే, కార్డానో ఫార్ములా యొక్క రచయితత్వాన్ని ఎప్పుడూ క్లెయిమ్ చేయలేదు.

అయితే, మన గొర్రెల వద్దకు తిరిగి వెళ్దాం. ఫార్ములా విశేషమైనది, అతిశయోక్తి లేకుండా, 16వ శతాబ్దపు ఆరంభం నుండి మధ్యకాలం వరకు గణితం సాధించిన గొప్ప విజయం. కానీ ఆమెకు ఒక స్వల్పభేదం ఉంది.
తీసుకుందాం క్లాసిక్ ఉదాహరణ, దీనిని బొంబెల్లి కూడా పరిగణించారు:
.
అకస్మాత్తుగా,
,
మరియు తదనుగుణంగా,
.
మేము వచ్చాము. ఇది ఫార్ములా కోసం జాలి, కానీ సూత్రం మంచిది. వీధి చివర. సమీకరణం ఖచ్చితంగా ఒక పరిష్కారం కలిగి ఉన్నప్పటికీ.

రాఫెల్ బొంబెల్లీ యొక్క ఆలోచన క్రింది విధంగా ఉంది: మనం గొట్టం వలె నటిస్తాము మరియు ప్రతికూల మూలం ఒక రకమైన సంఖ్య అని నటిద్దాము. వాస్తవానికి, అలాంటి సంఖ్యలు లేవని మాకు తెలుసు, అయినప్పటికీ, అది ఉనికిలో ఉందని మరియు ఎలా ఉంటుందో ఊహించుకుందాం. సాధారణ సంఖ్యలు, ఇతరులతో జోడించవచ్చు, గుణించవచ్చు, శక్తికి పెంచవచ్చు, మొదలైనవి.

ఇదే విధమైన విధానాన్ని ఉపయోగించి, బొంబెల్లి ప్రత్యేకించి, దానిని కనుగొన్నారు
,
మరియు
.
తనిఖీ చేద్దాం:
.
గణనలలో ప్రతికూల సంఖ్యల వర్గమూలాల లక్షణాల గురించి ఎటువంటి అంచనాలు లేవని దయచేసి గమనించండి, అవి "సాధారణ" సంఖ్యల వలె ప్రవర్తిస్తాయని పైన పేర్కొన్న ఊహ తప్ప.

మొత్తంగా మనకు లభిస్తుంది. ఇది చాలా సరైన సమాధానం, ఇది ప్రత్యక్ష ప్రత్యామ్నాయం ద్వారా సులభంగా ధృవీకరించబడుతుంది. ఇది నిజమైన పురోగతి. క్లిష్టమైన విమానం లోకి పురోగతి.

అయినప్పటికీ, ఇటువంటి లెక్కలు ఒక రకమైన మేజిక్, గణిత ట్రిక్ లాగా కనిపిస్తాయి. ఒక రకమైన ఉపాయం వలె వారి పట్ల వైఖరి గణిత శాస్త్రజ్ఞులలో చాలా కాలం పాటు కొనసాగింది. వాస్తవానికి, ప్రతికూల సంఖ్యల మూలాల కోసం రెనే డెస్కార్టెస్ కనిపెట్టిన "ఊహాత్మక సంఖ్యలు" అనే పేరు, ఆ కాలపు గణిత శాస్త్రజ్ఞుల వైఖరిని పూర్తిగా ప్రతిబింబిస్తుంది.

అయితే, సమయం గడిచేకొద్దీ, "ట్రిక్" ఉపయోగించబడింది విజయాన్ని కొనసాగించింది, గణిత సంఘం దృష్టిలో "ఊహాత్మక సంఖ్యల" యొక్క అధికారం పెరిగింది, నిగ్రహించబడింది, అయితే, వారి ఉపయోగం యొక్క అసౌకర్యం ద్వారా. ప్రసిద్ధ ఫార్ములా యొక్క లియోన్‌హార్డ్ ఆయిలర్ రసీదు (మార్గం ద్వారా, ఊహాత్మక యూనిట్ కోసం ఇప్పుడు సాధారణంగా ఉపయోగించే హోదాను ప్రవేశపెట్టింది ఆయనే)

గణితశాస్త్రం మరియు దాని అనువర్తనాలకు సంబంధించిన వివిధ రంగాలకు సంక్లిష్ట సంఖ్యలకు మార్గం తెరిచింది. కానీ అది పూర్తిగా భిన్నమైన కథ.

సంక్లిష్ట సంఖ్యలు

ఊహాత్మకమైనది మరియు సంక్లిష్ట సంఖ్యలు. అబ్సిస్సా మరియు ఆర్డినేట్

సంక్లిష్ట సంఖ్య. సంక్లిష్ట సంఖ్యలను సంయోగం చేయండి.

సంక్లిష్ట సంఖ్యలతో కార్యకలాపాలు. రేఖాగణిత

సంక్లిష్ట సంఖ్యల ప్రాతినిధ్యం. కాంప్లెక్స్ విమానం.

సంక్లిష్ట సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్ మరియు వాదన. త్రికోణమితి

సంక్లిష్ట సంఖ్య రూపం. సంక్లిష్టతతో కార్యకలాపాలు

లో సంఖ్యలు త్రికోణమితి రూపం. మోయివ్రే సూత్రం.

ప్రాథమిక సమాచారంఓ ఊహాత్మకమైన మరియు సంక్లిష్ట సంఖ్యలు "ఊహాత్మక మరియు సంక్లిష్ట సంఖ్యలు" విభాగంలో ఇవ్వబడ్డాయి. కేసు కోసం వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు కొత్త రకం ఈ సంఖ్యల అవసరం ఏర్పడిందిడి< 0 (здесь డి- చతుర్భుజ సమీకరణం యొక్క వివక్షత). చాలా కాలంగా ఈ సంఖ్యలు కనుగొనబడలేదు భౌతిక అప్లికేషన్, అందుకే వాటిని "ఊహాత్మక" సంఖ్యలు అని పిలుస్తారు. అయినప్పటికీ, ఇప్పుడు అవి భౌతిక శాస్త్రంలోని వివిధ రంగాలలో చాలా విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతున్నాయి.

మరియు సాంకేతికత: ఎలక్ట్రికల్ ఇంజనీరింగ్, హైడ్రో- మరియు ఏరోడైనమిక్స్, స్థితిస్థాపకత సిద్ధాంతం మొదలైనవి.

సంక్లిష్ట సంఖ్యలు రూపంలో వ్రాయబడ్డాయి:a+bi. ఇక్కడ aమరియు బి – వాస్తవ సంఖ్యలు , ఎ i – ఊహాత్మక యూనిట్, అనగా.ఇ. i 2 = –1. సంఖ్య aఅని పిలిచారు అబ్సిస్సా,ఎ బి - ఆర్డినేట్సంక్లిష్ట సంఖ్యa + bi.రెండు సంక్లిష్ట సంఖ్యలుa+biమరియు a–bi అంటారు సంయోగంసంక్లిష్ట సంఖ్యలు.

ప్రధాన ఒప్పందాలు:

1. వాస్తవ సంఖ్యఎరూపంలో కూడా వ్రాయవచ్చుసంక్లిష్ట సంఖ్య:a+ 0 iలేదా a - 0 i. ఉదాహరణకు, రికార్డులు 5 + 0iమరియు 5 - 0 iఅదే సంఖ్య అని అర్థం 5 .

2. సంక్లిష్ట సంఖ్య 0 + ద్విఅని పిలిచారు పూర్తిగా ఊహాత్మకమైనది సంఖ్య. రికార్డ్ చేయండిద్విఅంటే 0కి సమానం + ద్వి.

3. రెండు సంక్లిష్ట సంఖ్యలుa+bi మరియుc + diఉంటే సమానంగా పరిగణిస్తారుa = cమరియు బి = డి. IN లేకుంటే సంక్లిష్ట సంఖ్యలు సమానంగా ఉండవు.

అదనంగా. సంక్లిష్ట సంఖ్యల మొత్తంa+biమరియు c + diసంక్లిష్ట సంఖ్య అంటారు (a+c ) + (బి+డి ) i.ఈ విధంగా, జోడించేటప్పుడు సంక్లిష్ట సంఖ్యలు, వాటి అబ్సిస్సాస్ మరియు ఆర్డినేట్‌లు విడిగా జోడించబడతాయి.

ఈ నిర్వచనం సాధారణ బహుపదాలతో కార్యకలాపాల కోసం నియమాలకు అనుగుణంగా ఉంటుంది.

తీసివేత. రెండు సంక్లిష్ట సంఖ్యల వ్యత్యాసంa+bi(తగ్గింది) మరియు c + di(సబ్‌ట్రాహెండ్)ని సంక్లిష్ట సంఖ్య అంటారు (a–c ) + (బి–డి ) i.

ఈ విధంగా, రెండు సంక్లిష్ట సంఖ్యలను తీసివేసేటప్పుడు, వాటి అబ్సిసాస్ మరియు ఆర్డినేట్‌లు విడిగా తీసివేయబడతాయి.

గుణకారం. సంక్లిష్ట సంఖ్యల ఉత్పత్తిa+biమరియు c + di సంక్లిష్ట సంఖ్య అంటారు:

(ac-bd ) + (ad+bc ) i.ఈ నిర్వచనం రెండు అవసరాల నుండి అనుసరిస్తుంది:

1) సంఖ్యలు a+biమరియు c + diబీజగణితం వలె గుణించాలిద్విపదలు,

2) సంఖ్య iప్రధాన ఆస్తి ఉంది:i 2 = – 1.

ఉదాహరణ ( a+ bi )(a–bi) = ఎ 2 + బి 2 . అందుకే, పని

రెండు సంయోగ సంక్లిష్ట సంఖ్యలు వాస్తవానికి సమానం

సానుకూల సంఖ్య.

విభజన. సంక్లిష్ట సంఖ్యను విభజించండిa+bi (భాగించదగినది) మరొకటి ద్వారాc + di(డివైడర్) - మూడవ సంఖ్యను కనుగొనడం అని అర్థంe + f i(చాట్), ఇది భాగహారంతో గుణించినప్పుడుc + di, డివిడెండ్ ఫలితాలుa + bi.

విభాజకం కాకపోతే సున్నాకి సమానం, విభజన ఎల్లప్పుడూ సాధ్యమే.

ఉదాహరణ కనుగొను (8 +i ) : (2 – 3 i) .

పరిష్కారం. ఈ నిష్పత్తిని భిన్నం వలె తిరిగి వ్రాద్దాం:

దాని లవం మరియు హారం 2 + 3 ద్వారా గుణించడంi

మరియు అన్ని పరివర్తనలను చేసిన తరువాత, మేము పొందుతాము:

సంక్లిష్ట సంఖ్యల రేఖాగణిత ప్రాతినిధ్యం. వాస్తవ సంఖ్యలు సంఖ్య రేఖపై పాయింట్ల ద్వారా సూచించబడతాయి:

ఇక్కడ పాయింట్ ఉంది ఎఅంటే సంఖ్య –3, చుక్కబి- సంఖ్య 2, మరియు ఓ- సున్నా. దీనికి విరుద్ధంగా, సంక్లిష్ట సంఖ్యలు చుక్కల ద్వారా సూచించబడతాయి సమన్వయ విమానం. ఈ ప్రయోజనం కోసం, మేము రెండు అక్షాలపై ఒకే ప్రమాణాలతో దీర్ఘచతురస్రాకార (కార్టీసియన్) కోఆర్డినేట్‌లను ఎంచుకుంటాము. అప్పుడు సంక్లిష్ట సంఖ్యa+bi చుక్క ద్వారా సూచించబడుతుంది అబ్సిస్సాతో పి a మరియు ఆర్డినేట్ బి (చిత్రాన్ని చూడండి). ఈ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ అంటారు క్లిష్టమైన విమానం .

మాడ్యూల్ సంక్లిష్ట సంఖ్య అనేది వెక్టర్ యొక్క పొడవుOP, కోఆర్డినేట్‌పై సంక్లిష్ట సంఖ్యను సూచిస్తుంది ( సమగ్రమైన) విమానం. సంక్లిష్ట సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్a+biసూచించిన | a+bi| లేదా లేఖ ఆర్

కొత్త పేజీ 1

డమ్మీల కోసం సంక్లిష్ట సంఖ్యలు. పాఠం 1. అవి ఏమిటి మరియు వాటిని దేనితో తింటారు. ఊహాత్మక యూనిట్.

సంక్లిష్ట సంఖ్యలు అంటే ఏమిటో అర్థం చేసుకోవడానికి, సాధారణ సంఖ్యల గురించి గుర్తుంచుకోండి మరియు వాటిని సమగ్రంగా చూద్దాం. కాబట్టి, సరళమైన విషయం ఏమిటంటే సహజసంఖ్యలు. వాటిని సహజంగా పిలుస్తారు, ఎందుకంటే వాటి ద్వారా ఏదో "రకంగా" వ్యక్తీకరించవచ్చు, అంటే ఏదో లెక్కించవచ్చు. ఇక్కడ రెండు ఆపిల్స్ ఉన్నాయి. వాటిని లెక్కించవచ్చు. ఐదు చాక్లెట్ల పెట్టెలు ఉన్నాయి. మేము వాటిని లెక్కించవచ్చు. వేరే పదాల్లో, పూర్ణాంకాలు- ఇవి మనం లెక్కించగల సంఖ్యలు నిర్దిష్ట అంశాలు. ఈ సంఖ్యలను జోడించవచ్చు, తీసివేయవచ్చు, గుణించవచ్చు మరియు విభజించవచ్చు అని మీకు బాగా తెలుసు. సంకలనం మరియు గుణకారంతో ప్రతిదీ స్పష్టంగా ఉంది. రెండు ఆపిల్ల ఉన్నాయి, అవి మూడు జోడించబడ్డాయి, అది ఐదు అయింది. మేము మూడు చాక్లెట్ల పెట్టెలు, ఒక్కొక్కటి 10 ముక్కలు, అంటే మొత్తం ముప్పై స్వీట్లు తీసుకున్నాము. ఇప్పుడు మనం ముందుకు వెళ్దాం మొత్తంసంఖ్యలు. సహజ సంఖ్యలు నిర్దిష్ట సంఖ్యలో వస్తువులను సూచిస్తే, సంగ్రహణలు పూర్ణాంకాల సమితిలో ప్రవేశపెట్టబడతాయి. ఈ సున్నామరియు ప్రతికూలసంఖ్యలు. ఈ సంగ్రహణలు ఎందుకు? సున్నా అంటే ఏదో లేకపోవడం. కానీ లేనిదాన్ని తాకగలమా, అనుభూతి చెందగలమా? మేము రెండు ఆపిల్లను తాకవచ్చు, అవి ఇక్కడ ఉన్నాయి. వాటిని మనం కూడా తినవచ్చు. జీరో ఆపిల్స్ అంటే ఏమిటి? మనం ఈ సున్నాని తాకగలమా, అనుభూతి చెందగలమా? లేదు మనం చేయలేం. కాబట్టి ఇది సంగ్రహణ. మీరు ఏదో లేకపోవడాన్ని సూచించాలి. కాబట్టి మేము సున్నాని సంఖ్యగా నియమించాము. కానీ దీన్ని ఏదో ఒకవిధంగా ఎందుకు సూచిస్తారు? మన దగ్గర రెండు యాపిల్స్ ఉన్నాయని ఊహించుకుందాం. రెండు తిన్నాం. మనకు మిగిలేది ఎంత? అది నిజం, అస్సలు కాదు. మేము ఈ ఆపరేషన్ (మేము రెండు ఆపిల్లను తిన్నాము) వ్యవకలనం 2-2గా వ్రాస్తాము. మరియు మేము ఏమి ముగించాము? మేము ఫలితాన్ని ఎలా లేబుల్ చేయాలి? కొత్త సంగ్రహణ (సున్నా)ని పరిచయం చేయడం ద్వారా మాత్రమే, వ్యవకలనం (తినడం) ఫలితంగా మనకు ఒక్క ఆపిల్ కూడా మిగిలి లేదని తేలింది. కానీ మనం రెండు నుండి 2 కాదు, 3 తీసివేయవచ్చు. ఈ ఆపరేషన్ అర్థరహితమైనదిగా అనిపిస్తుంది. మన దగ్గర రెండు యాపిల్స్ ఉంటే, మూడు ఎలా తినగలం?

మరొక ఉదాహరణ చూద్దాం. మేము బీర్ కోసం దుకాణానికి వెళ్తాము. మా వద్ద 100 రూబిళ్లు ఉన్నాయి. బీర్ ఒక సీసాకు 60 రూబిళ్లు. మేము రెండు సీసాలు కొనాలనుకుంటున్నాము, కానీ మా వద్ద తగినంత డబ్బు లేదు. మాకు 120 రూబిళ్లు అవసరం. ఆపై మేము మా పాత స్నేహితుడిని కలుసుకున్నాము మరియు అతని నుండి ఇరవై రుణం తీసుకుంటాము. మేము బీరు కొంటాము. ప్రశ్న. మన దగ్గర ఎంత డబ్బు మిగిలి ఉంది? ఇంగిత జ్ఞనంఅస్సలు కాదని సూచిస్తున్నారు. కానీ గణిత కోణం నుండి ఇది అసంబద్ధం. ఎందుకు? ఎందుకంటే ఫలితంగా సున్నా పొందడానికి, మీరు 100 నుండి 100ని తీసివేయాలి. మరియు మేము 100-120 చేస్తాము. ఇక్కడ మనం మరొకటి పొందాలి. మేము ఏమి పొందాము? మరియు మేము ఇప్పటికీ మా స్నేహితుడు 20 రూబిళ్లు రుణపడి వాస్తవం. తదుపరిసారి మా వద్ద 140 రూబిళ్లు ఉంటే, మేము బీర్ కోసం దుకాణానికి వస్తాము, స్నేహితుడిని కలుస్తాము, అతనితో మా అప్పులు తీర్చుకుంటాము మరియు మరో రెండు బీర్ సీసాలు కొనుగోలు చేయగలము. ఫలితంగా, మనకు 140-120-20=0 లభిస్తుంది. -20ని గమనించండి. ఇది మరొక సంగ్రహం - ప్రతికూల సంఖ్య . అంటే, స్నేహితుడికి మన రుణం మైనస్ గుర్తుతో ఉన్న సంఖ్య, ఎందుకంటే మేము రుణాన్ని తిరిగి చెల్లించినప్పుడు, మేము ఈ మొత్తాన్ని తీసివేస్తాము. నేను మరింత చెబుతాను, ఇది సున్నా కంటే గొప్ప సంగ్రహణ. సున్నా అంటే లేనిది. మరియు ప్రతికూల సంఖ్య భవిష్యత్తులో మన నుండి తీసివేయబడేది లాంటిది.

కాబట్టి, ఒక ఉదాహరణను ఉపయోగించి, గణితంలో సంగ్రహణలు ఎలా పుడతాయో నేను చూపించాను. మరియు, అటువంటి సంగ్రహాల యొక్క అసంబద్ధత ఉన్నప్పటికీ (ఉన్నదానికంటే ఎక్కువ తీసుకోవడం వంటివి) వారు అనువర్తనాన్ని కనుగొంటారు నిజ జీవితం. పూర్ణాంకాలను విభజించే సందర్భంలో, మరొక సంగ్రహణం తలెత్తుతుంది - భిన్న సంఖ్యలు.నేను వాటిపై వివరంగా నివసించను మరియు పూర్ణాంకం ద్వారా భాగించబడని పూర్ణాంకాలను కలిగి ఉన్న సందర్భంలో అవి అవసరమని స్పష్టమవుతుంది. ఉదాహరణకు, మేము నాలుగు ఆపిల్లను కలిగి ఉన్నాము, కానీ మేము వాటిని ముగ్గురు వ్యక్తుల మధ్య విభజించాలి. మేము మిగిలిన ఒక ఆపిల్‌ను మూడు భాగాలుగా విభజించి భిన్నాలను పొందుతామని ఇక్కడ స్పష్టంగా ఉంది.

ఇప్పుడు సంక్లిష్ట సంఖ్యలను చాలా సున్నితంగా తెలుసుకుందాం. కానీ ముందుగా, మీరు రెండు ప్రతికూల సంఖ్యలను గుణించినప్పుడు, మీరు సానుకూల సంఖ్యను పొందుతారని గుర్తుంచుకోండి. ఎవరైనా అడుగుతారు - ఇది ఎందుకు? ప్రతికూల సంఖ్యను సానుకూల సంఖ్యతో గుణించడాన్ని మొదట అర్థం చేసుకుందాం. -20ని 2తో గుణిస్తాం అనుకుందాం. అంటే -20+-20ని జోడించాలి. ప్రతికూల సంఖ్యను జోడించడం వ్యవకలనం కాబట్టి ఫలితం -40. వ్యవకలనం ఎందుకు - పైన చూడండి, ప్రతికూల సంఖ్య రుణం; మనం దానిని తీసివేసినప్పుడు, మన నుండి ఏదో తీసివేయబడుతుంది. మరొక రోజువారీ అర్థం ఉంది. అప్పు పెరిగితే ఏమవుతుంది? ఉదాహరణకు, మేము వడ్డీకి రుణం ఇచ్చిన సందర్భంలో? ఫలితంగా, మైనస్ గుర్తుతో అదే సంఖ్య మిగిలిపోయింది, మైనస్ తర్వాత అది పెద్దదిగా మారింది. ప్రతికూల సంఖ్యతో గుణించడం అంటే ఏమిటి? 3*-2 అంటే ఏమిటి? అంటే మూడు అనే సంఖ్యను రెండు సార్లు మైనస్ చేయాలి. అంటే, గుణకారం యొక్క ఫలితం ముందు మైనస్ ఉంచండి. మార్గం ద్వారా, ఇది -3*2 వలె ఉంటుంది, ఎందుకంటే కారకాలను పునర్వ్యవస్థీకరించడం వల్ల ఉత్పత్తి మారదు. ఇప్పుడు శ్రద్ధ వహించండి. -3ని -2తో గుణించండి. మేము సంఖ్య -3 మైనస్ రెండు సార్లు తీసుకుంటాము. మేము -3 సంఖ్యను రెండుసార్లు తీసుకుంటే, ఫలితం -6 అవుతుంది, మీరు అర్థం చేసుకున్నారు. మనం రెండు సార్లు మైనస్ తీసుకుంటే? కానీ మైనస్ సార్లు తీసుకోవడం అంటే ఏమిటి? మీరు తీసుకుంటే సానుకూల సంఖ్యమైనస్ సార్లు, అప్పుడు ఫలితం ప్రతికూలంగా ఉంటుంది, దాని సంకేతం మారుతుంది. మేము ప్రతికూల సంఖ్యను మైనస్ సార్లు తీసుకుంటే, దాని గుర్తు మారుతుంది మరియు అది సానుకూలంగా మారుతుంది.

మైనస్‌ను మైనస్‌తో గుణించడం గురించి మనం ఎందుకు మాట్లాడాము? మరియు మరొక సంగ్రహణను పరిగణనలోకి తీసుకోవడానికి, ఈసారి ఇది నేరుగా సంక్లిష్ట సంఖ్యలకు సంబంధించినది. ఈ ఊహాత్మక యూనిట్. ఊహాత్మక యూనిట్ మైనస్ 1 యొక్క వర్గమూలానికి సమానం:

వర్గమూలం అంటే ఏమిటో నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను. ఇది స్క్వేర్ యొక్క విలోమ ఆపరేషన్. మరియు స్క్వేర్ చేయడం అనేది ఒక సంఖ్యను స్వయంగా గుణించడం. కాబట్టి 4 యొక్క వర్గమూలం 2 ఎందుకంటే 2*2=4. 3*3=9 నుండి 9 యొక్క వర్గమూలం 3. ఒకటి యొక్క వర్గమూలం కూడా ఒకటిగా మారుతుంది మరియు సున్నా యొక్క వర్గమూలం సున్నా అవుతుంది. అయితే మైనస్ వన్ యొక్క వర్గమూలాన్ని ఎలా తీసుకోవాలి? -1 పొందడానికి ఏ సంఖ్యను దానితో గుణించాలి? కానీ అలాంటి సంఖ్య లేదు! మనం -1ని గుణిస్తే చివరికి 1 వస్తుంది. 1ని 1తో గుణిస్తే 1 వస్తుంది. కానీ ఈ విధంగా మైనస్ -1ని పొందలేము. అయితే, రూట్ కింద ప్రతికూల సంఖ్య ఉన్న పరిస్థితిని మనం ఎదుర్కోవచ్చు. ఏం చేయాలి? మీరు, వాస్తవానికి, పరిష్కారం లేదని చెప్పవచ్చు. ఇది సున్నాతో భాగించడం లాంటిది. కొంత కాలం వరకు, సున్నాతో విభజించడం అసాధ్యం అని మనమందరం విశ్వసించాము. కానీ అప్పుడు మేము అటువంటి సంగ్రహణ గురించి తెలుసుకున్నాము అనంతం, మరియు సున్నా ద్వారా విభజించడం ఇప్పటికీ సాధ్యమేనని తేలింది. అంతేకాకుండా, సున్నా ద్వారా భాగహారం వంటి సంగ్రహణలు, లేదా సున్నాతో సున్నా లేదా అనంతం ద్వారా సున్నాని విభజించడం ద్వారా పొందిన అనిశ్చితి, అలాగే ఇతర సారూప్య కార్యకలాపాలు అధిక గణితంలో విస్తృతంగా ఉపయోగించబడతాయి (), మరియు ఉన్నత గణితం- ఇది చాలా మందికి ఆధారం ఖచ్చితమైన శాస్త్రాలు, ఇది సాంకేతిక పురోగతిని ముందుకు తీసుకువెళుతుంది.కాబట్టి ఊహాత్మక యూనిట్‌లో కొన్ని రకాలు ఉండవచ్చు రహస్య అర్థం? తినండి. సంక్లిష్ట సంఖ్యలపై నా తదుపరి పాఠాలను చదవడం ద్వారా మీరు దానిని అర్థం చేసుకుంటారు. ఈ సమయంలో, నేను సంక్లిష్ట సంఖ్యలు (ఊహాత్మక యూనిట్ కలిగి ఉన్న సంఖ్యలు) ఉపయోగించబడే కొన్ని ప్రాంతాల గురించి మాట్లాడతాను.

కాబట్టి, సంక్లిష్ట సంఖ్యలు ఉపయోగించబడే ప్రాంతాల జాబితా ఇక్కడ ఉంది:

ఎలక్ట్రికల్ ఇంజనీరింగ్. ఆల్టర్నేటింగ్ కరెంట్ సర్క్యూట్ల గణన.ఈ సందర్భంలో సంక్లిష్ట సంఖ్యల ఉపయోగం గణనను చాలా సులభతరం చేస్తుంది; అవి లేకుండా, అవకలన మరియు సమగ్ర సమీకరణాలను ఉపయోగించాల్సి ఉంటుంది.

క్వాంటం మెకానిక్స్.సంక్షిప్తంగా - లో క్వాంటం మెకానిక్స్వంటి విషయం ఉంది వేవ్ ఫంక్షన్, ఇది సంక్లిష్ట-విలువను కలిగి ఉంటుంది మరియు దీని స్క్వేర్ (ఇప్పటికే వాస్తవ సంఖ్య) ఇచ్చిన పాయింట్ వద్ద కణాన్ని కనుగొనే సంభావ్యత సాంద్రతకు సమానం. పాఠాల శ్రేణిని కూడా చూడండి

డిజిటల్ సిగ్నల్ ప్రాసెసింగ్.సిద్ధాంతం డిజిటల్ ప్రాసెసింగ్సిగ్నల్స్‌లో z- ట్రాన్స్‌ఫార్మ్ వంటి భావన ఉంటుంది, ఇది ఫ్రీక్వెన్సీ మరియు యాంప్లిట్యూడ్ లక్షణాలు మొదలైన వివిధ సిగ్నల్‌ల లక్షణాల గణనకు సంబంధించిన వివిధ గణనలను బాగా సులభతరం చేస్తుంది.

ద్రవాల యొక్క విమానం ప్రవాహం యొక్క ప్రక్రియల వివరణ.

ప్రొఫైల్స్ చుట్టూ ద్రవ ప్రవాహం.

ద్రవ తరంగ కదలికలు.

మరియు సంక్లిష్ట సంఖ్యలు ఎక్కడ ఉపయోగించబడతాయో సమగ్ర జాబితా నుండి ఇది చాలా దూరంగా ఉంటుంది. మేము మళ్లీ కలిసే వరకు సంక్లిష్ట సంఖ్యలతో మొదటి పరిచయాన్ని ఇది పూర్తి చేస్తుంది.

సంక్లిష్ట లేదా ఊహాత్మక సంఖ్యలుమొదట కార్డానో యొక్క ప్రసిద్ధ రచన, ది గ్రేట్ ఆర్ట్ లేదా బీజగణిత నియమాలు» 1545. రచయిత అభిప్రాయం ప్రకారం, ఈ సంఖ్యలు ఉపయోగం కోసం సరిపోవు. అయితే, ఈ వాదన తరువాత తిరస్కరించబడింది. ముఖ్యంగా, 1572 లో బొంబెల్లి, నిర్ణయించేటప్పుడు క్యూబిక్ సమీకరణంఊహాత్మక సంఖ్యల వినియోగాన్ని సమర్థించారు. అతను సంక్లిష్ట సంఖ్యలతో కార్యకలాపాల కోసం ప్రాథమిక నియమాలను సంకలనం చేశాడు.

కాని ఇంకా చాలా కాలం వరకువి గణిత ప్రపంచంసంక్లిష్ట సంఖ్యల సారాంశం గురించి సాధారణ ఆలోచన లేదు.

ఊహాత్మక సంఖ్యల చిహ్నం మొదట ప్రతిపాదించబడింది అత్యుత్తమ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడుఆయిలర్. ప్రతిపాదిత ప్రతీకవాదం ఇలా కనిపించింది క్రింది విధంగా: i = sqr -1, ఇక్కడ i ఇమాజినేరియస్, అంటే కల్పితం. ఐలర్ యొక్క యోగ్యతలో సంక్లిష్ట సంఖ్యల క్షేత్రం యొక్క బీజగణిత మూసివేత ఆలోచన కూడా ఉంది.

కాబట్టి, కేసు D కోసం వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు కొత్త రకం సంఖ్యల అవసరం ఏర్పడింది.< 0 (где D - дискриминант квадратного уравнения). В настоящее время комплексные числа нашли широкое применение в физике и технике, гидро- и аэродинамике, теории упругости и т.п.

సంక్లిష్ట సంఖ్యల గ్రాఫికల్ ప్రాతినిధ్యం రూపం కలిగి ఉంటుంది: a + bi, ఇక్కడ a మరియు b వాస్తవ సంఖ్యలు, మరియు i ఒక ఊహాత్మక యూనిట్, అనగా. i 2 = -1. a సంఖ్యను abscissa అంటారు, మరియు b అనేది a + bi సమ్మేళన సంఖ్య యొక్క ఆర్డినేట్. a + bi మరియు a - bi అనే రెండు సంక్లిష్ట సంఖ్యలను సంయోజిత సంక్లిష్ట సంఖ్యలు అంటారు.

సంక్లిష్ట సంఖ్యలతో అనుబంధించబడిన అనేక నియమాలు ఉన్నాయి:

• ముందుగా, వాస్తవ సంఖ్యమరియు సంక్లిష్ట సంఖ్య రూపంలో వ్రాయవచ్చు: a+ 0 i లేదా a - 0 i. ఉదాహరణకు, 5 + 0 i మరియు 5 - 0 అంటే అదే సంఖ్య 5.
• రెండవది, సంక్లిష్ట సంఖ్య 0+ ద్విని పూర్తిగా ఊహాత్మక సంఖ్య అంటారు. ద్వి సంజ్ఞామానం అంటే 0+ ద్వి .
• మూడవది, a = c మరియు b = d అనే రెండు సంక్లిష్ట సంఖ్యలు a + bi మరియు c + di సమానంగా పరిగణించబడతాయి. లేకపోతే, సంక్లిష్ట సంఖ్యలు సమానంగా ఉండవు.

సంక్లిష్ట సంఖ్యలపై ప్రాథమిక కార్యకలాపాలు:

రేఖాగణిత ప్రాతినిధ్యంలో, సంక్లిష్ట సంఖ్యలు, వాస్తవ సంఖ్యల వలె కాకుండా, సంఖ్యల రేఖపై పాయింట్ల వారీగా సూచించబడతాయి, కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లోని పాయింట్ల ద్వారా గుర్తించబడతాయి. దీని కోసం మనం దీర్ఘచతురస్రాకార (కార్టీసియన్) కోఆర్డినేట్‌లను అక్షాలపై ఒకే ప్రమాణాలతో తీసుకుంటాము. ఈ సందర్భంలో, కాంప్లెక్స్ సంఖ్య a + bi అబ్సిస్సా a మరియు ఆర్డినేట్ bతో పాయింట్ P ద్వారా సూచించబడుతుంది. ఈ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ అంటారు క్లిష్టమైన విమానం.

మాడ్యూల్కాంప్లెక్స్ సంఖ్య అనేది కాంప్లెక్స్ ప్లేన్ యొక్క సంక్లిష్ట సంఖ్యను సూచించే వెక్టార్ OP యొక్క పొడవు. సంక్లిష్ట సంఖ్య a + bi యొక్క మాడ్యులస్ |a + bi| అని వ్రాయబడింది లేదా అక్షరం r మరియు దీనికి సమానం: r = |a + ib| = sqr a 2 + b 2 .

సంయోగ సంక్లిష్ట సంఖ్యలు ఒకే మాడ్యులస్‌ను కలిగి ఉంటాయి.