అన్నింటిలో మొదటిది, వెక్టర్ యొక్క భావనను మనం అర్థం చేసుకోవాలి. నిర్వచనాన్ని పరిచయం చేయడానికి రేఖాగణిత వెక్టర్సెగ్మెంట్ అంటే ఏమిటో గుర్తు చేసుకుందాం. కింది నిర్వచనాన్ని పరిచయం చేద్దాం.

నిర్వచనం 1

సెగ్మెంట్ అనేది పాయింట్ల రూపంలో రెండు సరిహద్దులను కలిగి ఉన్న రేఖలో భాగం.

ఒక విభాగంలో 2 దిశలు ఉండవచ్చు. దిశను సూచించడానికి, మేము సెగ్మెంట్ యొక్క సరిహద్దులలో ఒకదానిని దాని ప్రారంభం అని మరియు మరొక సరిహద్దుని దాని ముగింపు అని పిలుస్తాము. దిశ దాని ప్రారంభం నుండి సెగ్మెంట్ చివరి వరకు సూచించబడుతుంది.

నిర్వచనం 2

వెక్టర్ లేదా డైరెక్ట్ సెగ్మెంట్ అనేది సెగ్మెంట్ యొక్క సరిహద్దులలో ఏది ప్రారంభం మరియు దాని ముగింపు అని తెలిసిన విభాగం.

హోదా: ​​రెండు అక్షరాలలో: $\overline(AB)$ – (ఇక్కడ $A$ దాని ప్రారంభం మరియు $B$ దాని ముగింపు).

ఒక చిన్న అక్షరంలో: $\overline(a)$ (Fig. 1).

ఇప్పుడు మనం వెక్టర్ పొడవుల భావనను నేరుగా పరిచయం చేద్దాం.

నిర్వచనం 3

వెక్టార్ $\ఓవర్‌లైన్(a)$ యొక్క పొడవు $a$ సెగ్మెంట్ యొక్క పొడవు అవుతుంది.

సంజ్ఞామానం: $|\overline(a)|$

వెక్టర్ పొడవు యొక్క భావన అనుబంధించబడింది, ఉదాహరణకు, రెండు వెక్టర్స్ సమానత్వం వంటి భావనతో.

నిర్వచనం 4

రెండు షరతులను సంతృప్తిపరిచినట్లయితే మేము రెండు వెక్టర్‌లను సమానంగా పిలుస్తాము: 1. అవి కోడైరెక్షనల్; 1. వాటి పొడవులు సమానంగా ఉంటాయి (Fig. 2).

వెక్టర్‌లను నిర్వచించడానికి, కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌ను నమోదు చేయండి మరియు ఎంటర్ చేసిన సిస్టమ్‌లోని వెక్టర్ కోసం కోఆర్డినేట్‌లను నిర్ణయించండి. మనకు తెలిసినట్లుగా, ఏదైనా వెక్టర్ $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ రూపంలో కుళ్ళిపోవచ్చు, ఇక్కడ $m$ మరియు $n$ వాస్తవ సంఖ్యలు మరియు $\ఓవర్‌లైన్ (i )$ మరియు $\overline(j)$ వరుసగా $Ox$ మరియు $Oy$ అక్షం మీద యూనిట్ వెక్టర్స్.

నిర్వచనం 5

మేము ప్రవేశపెట్టిన కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో వెక్టార్ యొక్క విస్తరణ గుణకాలు $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ని ఈ వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు అని పిలుస్తాము. గణితశాస్త్రపరంగా:

$\overline(c)=(m,n)$

వెక్టర్ యొక్క పొడవును ఎలా కనుగొనాలి?

దాని కోఆర్డినేట్‌లను అందించిన ఏకపక్ష వెక్టర్ యొక్క పొడవును లెక్కించడానికి ఒక సూత్రాన్ని పొందేందుకు, ఈ క్రింది సమస్యను పరిగణించండి:

ఉదాహరణ 1

ఇవ్వబడింది: వెక్టర్ $\ఓవర్‌లైన్(α)$ కోఆర్డినేట్‌లతో $(x,y)$. కనుగొనండి: ఈ వెక్టర్ యొక్క పొడవు.

విమానంలో కార్టీసియన్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ $xOy$ని పరిచయం చేద్దాం. ప్రవేశపెట్టిన కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ యొక్క మూలాల నుండి $\overline(OA)=\overline(a)$ని పక్కన పెడదాం. $Ox$ మరియు $Oy$ అక్షాలపై నిర్మించిన వెక్టార్ యొక్క $OA_1$ మరియు $OA_2$ ప్రొజెక్షన్‌లను నిర్మిస్తాము (Fig. 3).

మేము నిర్మించిన వెక్టార్ $\overline(OA)$ పాయింట్ $A$ కోసం వ్యాసార్థం వెక్టర్ అవుతుంది, కాబట్టి, ఇది $(x,y)$ని కలిగి ఉంటుంది, అంటే

$=x$, $[OA_2]=y$

ఇప్పుడు మనం పైథాగరియన్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి అవసరమైన పొడవును సులభంగా కనుగొనవచ్చు, మనకు లభిస్తుంది

$|\overline(α)|^2=^2+^2$

$|\overline(α)|^2=x^2+y^2$

$|\overline(α)|=\sqrt(x^2+y^2)$

సమాధానం: $\sqrt(x^2+y^2)$.

ముగింపు:కోఆర్డినేట్‌లు ఇవ్వబడిన వెక్టర్ యొక్క పొడవును కనుగొనడానికి, ఈ కోఆర్డినేట్‌ల మొత్తం యొక్క స్క్వేర్ యొక్క మూలాన్ని కనుగొనడం అవసరం.

నమూనా పనులు

ఉదాహరణ 2

క్రింది కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉన్న పాయింట్లు $X$ మరియు $Y$ మధ్య దూరాన్ని కనుగొనండి: వరుసగా $(-1.5)$ మరియు $(7.3)$.

ఏదైనా రెండు పాయింట్లు వెక్టర్ భావనతో సులభంగా అనుబంధించబడతాయి. ఉదాహరణకు, వెక్టర్ $\overline(XY)$ని పరిగణించండి. మనకు ఇప్పటికే తెలిసినట్లుగా, అటువంటి వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను ముగింపు బిందువు ($Y$) యొక్క కోఆర్డినేట్‌ల నుండి ప్రారంభ స్థానం ($X$) యొక్క సంబంధిత కోఆర్డినేట్‌లను తీసివేయడం ద్వారా కనుగొనవచ్చు. మేము దానిని పొందుతాము

Yandex.RTB R-A-339285-1

వెక్టార్ యొక్క పొడవు a → → ద్వారా సూచించబడుతుంది. ఈ సంజ్ఞామానం సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్‌తో సమానంగా ఉంటుంది, కాబట్టి వెక్టార్ యొక్క పొడవును వెక్టర్ యొక్క మాడ్యులస్ అని కూడా అంటారు.

దాని కోఆర్డినేట్‌ల నుండి విమానంలో వెక్టర్ యొక్క పొడవును కనుగొనడానికి, దీర్ఘచతురస్రాకార కార్టీసియన్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ O x yని పరిగణించడం అవసరం. కొన్ని వెక్టార్ a → కోఆర్డినేట్‌లు a x దానిలో పేర్కొనబడనివ్వండి; ఏయ్. a x మరియు a y అక్షాంశాల ద్వారా వెక్టార్ a → యొక్క పొడవు (మాడ్యులస్) కనుగొనడానికి ఒక సూత్రాన్ని పరిచయం చేద్దాం.

వెక్టార్ O A → = a → మూలం నుండి ప్లాట్ చేద్దాం. కోఆర్డినేట్ అక్షాలపై పాయింట్ A యొక్క సంబంధిత అంచనాలను A x మరియు A yగా నిర్వచిద్దాం. ఇప్పుడు O A x A A y వికర్ణ O Aతో దీర్ఘచతురస్రాన్ని పరిగణించండి.

పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం నుండి O A 2 = O A x 2 + O A y 2 సమానత్వం అనుసరిస్తుంది, ఇక్కడ నుండి O A = O A x 2 + O A y 2 . ఇప్పటికే నుండి తెలిసిన నిర్వచనందీర్ఘచతురస్రాకారంలో వెక్టార్ కోఆర్డినేట్లు కార్టేసియన్ వ్యవస్థ O A x 2 = a x 2 మరియు O A y 2 = a y 2 , మరియు నిర్మాణం ద్వారా, O A యొక్క పొడవు వెక్టార్ O A → యొక్క పొడవుకు సమానం అని మేము కనుగొన్నాము, అంటే O A → = O A x 2 + O A y 2.

దీని నుండి అది మారుతుంది వెక్టర్ యొక్క పొడవును కనుగొనే సూత్రం a → = a x ; a y సంబంధిత రూపాన్ని కలిగి ఉంది: a → = a x 2 + a y 2 .

వెక్టర్ a → కోఆర్డినేట్ వెక్టర్స్‌లో విస్తరణ రూపంలో ఇవ్వబడితే a → = a x i → + a y j →, అప్పుడు దాని పొడవును అదే ఫార్ములా a → = a x 2 + a y 2 ఉపయోగించి లెక్కించవచ్చు, ఈ సందర్భంలో గుణకాలు a x మరియు a y అనేది వెక్టార్ యొక్క అక్షాంశాలు a → in ఇచ్చిన వ్యవస్థఅక్షాంశాలు

ఉదాహరణ 1

వెక్టార్ యొక్క పొడవును లెక్కించండి a → = 7 ; ఇ, దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో పేర్కొనబడింది.

పరిష్కారం

వెక్టర్ యొక్క పొడవును కనుగొనడానికి, మేము ఒక → = a x 2 + a y 2: a → = 7 2 + e 2 = 49 + e కోఆర్డినేట్‌ల నుండి వెక్టర్ పొడవును కనుగొనడానికి సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము

సమాధానం: a → = 49 + ఇ.

వెక్టార్ యొక్క పొడవును కనుగొనే సూత్రం a → = a x ; a y; అంతరిక్షంలోని కార్టీసియన్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ ఆక్సిజ్‌లోని దాని కోఆర్డినేట్‌ల నుండి ఒక z, విమానంలో కేసు సూత్రం వలె ఉద్భవించింది (క్రింద ఉన్న బొమ్మను చూడండి)

ఈ సందర్భంలో, O A 2 = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 (OA అనేది దీర్ఘచతురస్రాకార సమాంతర పైప్ యొక్క వికర్ణం కాబట్టి), అందుకే O A = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 . వెక్టర్ కోఆర్డినేట్‌ల నిర్వచనం నుండి మనం క్రింది సమానతలను వ్రాయవచ్చు O A x = a x ; O A y = a y ; O A z = a z ; , మరియు పొడవు OA అనేది మనం వెతుకుతున్న వెక్టార్ పొడవుకు సమానం, కాబట్టి, O A → = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 .

ఇది వెక్టార్ యొక్క పొడవు a → = a x ; a y; a z అనేది a → = a x 2 + a y 2 + a z 2కి సమానం.

ఉదాహరణ 2

వెక్టార్ యొక్క పొడవును లెక్కించండి a → = 4 · i → - 3 · j → + 5 · k → , ఇక్కడ i → , j → , k → దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ యొక్క యూనిట్ వెక్టర్స్.

పరిష్కారం

వెక్టార్ డికంపోజిషన్ a → = 4 · i → - 3 · j → + 5 · k → ఇవ్వబడింది, దాని అక్షాంశాలు a → = 4, - 3, 5. పై సూత్రాన్ని ఉపయోగించి మనకు a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 = 4 2 + (- 3) 2 + 5 2 = 5 2 వస్తుంది.

సమాధానం: a → = 5 2 .

వెక్టార్ యొక్క పొడవు దాని ప్రారంభ మరియు ముగింపు పాయింట్ల అక్షాంశాల ద్వారా

వెక్టార్ యొక్క పొడవును దాని కోఆర్డినేట్‌ల నుండి కనుగొనడానికి మిమ్మల్ని అనుమతించే సూత్రాలు పైన తీసుకోబడ్డాయి. మేము విమానంలో మరియు త్రిమితీయ స్థలంలో కేసులను పరిగణించాము. వెక్టర్ యొక్క ప్రారంభ మరియు ముగింపు బిందువుల కోఆర్డినేట్‌ల నుండి వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనడానికి వాటిని ఉపయోగిస్తాము.

కాబట్టి, A (a x ; a y) మరియు B (b x ; b y) అందించబడిన కోఆర్డినేట్‌లతో పాయింట్లు ఇవ్వబడ్డాయి, అందువల్ల వెక్టర్ A B → కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంటుంది (b x - a x ; b y - a y) అంటే దాని పొడవు సూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది: A B → = ( ​​b x - a x) 2 + (b y - a y) 2

మరియు ఇచ్చిన కోఆర్డినేట్‌లు A (a x ; a y ; a z) మరియు B (b x ; b y ; b z) త్రిమితీయ స్థలంలో ఇచ్చినట్లయితే, వెక్టర్ A B → ఫార్ములాని ఉపయోగించి పొడవును లెక్కించవచ్చు.

A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2

ఉదాహరణ 3

దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ A 1, 3, B - 3, 1లో ఉంటే వెక్టార్ A B → పొడవును కనుగొనండి.

పరిష్కారం

విమానంలో ప్రారంభ మరియు ముగింపు బిందువుల కోఆర్డినేట్‌ల నుండి వెక్టార్ పొడవును కనుగొనడానికి సూత్రాన్ని ఉపయోగించి, మేము A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2: A B → = (- 3 - 1 ) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 .

రెండవ పరిష్కారం ఈ సూత్రాలను క్రమంగా వర్తింపజేయడం: A B → = (- 3 - 1 ; 1 - 3) = (- 4 ; 1 - 3) ; A B → = (- 4) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 . -

సమాధానం: A B → = 20 - 2 3 .

ఉదాహరణ 4

A (0, 1, 2) అయితే వెక్టార్ A B → పొడవు 30కి సమానమైన విలువలను నిర్ణయించండి; B (5 , 2 , λ 2) .

పరిష్కారం

ముందుగా, A B → వెక్టార్ యొక్క పొడవును ఫార్ములా ఉపయోగించి వ్రాస్దాం: A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2 = (5 - 0) 2 + (2 - 1) 2 + (λ 2 - 2) 2 = 26 + (λ 2 - 2) 2

అప్పుడు మేము ఫలిత వ్యక్తీకరణను 30కి సమం చేస్తాము, ఇక్కడ నుండి మనకు అవసరమైన λ:

26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 (λ 2 - 2) 2 = 4 λ 2 - 2 = 2 మరియు λ 2 - 2 = - 2 λ 1 = - 2 , λ 2 = 2, λ 3 = 0.

సమాధానం: λ 1 = - 2, λ 2 = 2, λ 3 = 0.

కొసైన్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి వెక్టార్ పొడవును కనుగొనడం

అయ్యో, సమస్యలలో వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్లు ఎల్లప్పుడూ తెలియవు, కాబట్టి మేము వెక్టర్ యొక్క పొడవును కనుగొనడానికి ఇతర మార్గాలను పరిశీలిస్తాము.

A B → , A C → అనే రెండు వెక్టార్‌ల పొడవులు మరియు వాటి మధ్య కోణం (లేదా కోణం యొక్క కొసైన్) ఇవ్వబడనివ్వండి మరియు మీరు వెక్టార్ B C → లేదా C B → పొడవును కనుగొనాలి. ఈ సందర్భంలో, మీరు త్రిభుజంలో కొసైన్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించాలి △ A B C మరియు వైపు B C యొక్క పొడవును లెక్కించండి, ఇది వెక్టర్ యొక్క కావలసిన పొడవుకు సమానంగా ఉంటుంది.

కింది ఉదాహరణను ఉపయోగించి ఈ కేసును పరిశీలిద్దాం.

ఉదాహరణ 5

A B → మరియు A C → వెక్టర్స్ యొక్క పొడవులు వరుసగా 3 మరియు 7, మరియు వాటి మధ్య కోణం π 3. వెక్టార్ B C → పొడవును లెక్కించండి.

పరిష్కారం

ఈ సందర్భంలో వెక్టార్ B C → యొక్క పొడవు త్రిభుజం △ A B C వైపు B C యొక్క పొడవుకు సమానం. త్రిభుజం యొక్క A B మరియు A C భుజాల పొడవులు పరిస్థితి నుండి తెలుసు (అవి సంబంధిత వెక్టర్స్ యొక్క పొడవులకు సమానంగా ఉంటాయి), వాటి మధ్య కోణం కూడా తెలుసు, కాబట్టి మనం కొసైన్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించవచ్చు: B C 2 = A B 2 + A C 2 - 2 A B A C cos ∠ (A B, → A C →) = 3 2 + 7 2 - 2 · 3 · 7 · cos π 3 = 37 ⇒ B C = 37 అందువలన, B C → = 37 .

సమాధానం: B C → = 37 .

కాబట్టి, కోఆర్డినేట్‌ల నుండి వెక్టర్ యొక్క పొడవును కనుగొనడానికి, ఉన్నాయి క్రింది సూత్రాలు a → = a x 2 + a y 2 లేదా a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 , వెక్టర్ A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 యొక్క ప్రారంభ మరియు ముగింపు బిందువుల కోఆర్డినేట్‌ల ప్రకారం లేదా A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2, కొన్ని సందర్భాల్లో కొసైన్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించాలి.

మీరు టెక్స్ట్‌లో లోపాన్ని గమనించినట్లయితే, దయచేసి దాన్ని హైలైట్ చేసి, Ctrl+Enter నొక్కండి

చివరగా, నేను ఈ విస్తృతమైన మరియు దీర్ఘకాలంగా ఎదురుచూస్తున్న అంశంపై నా చేతులను పొందాను. విశ్లేషణాత్మక జ్యామితి . మొదట కొంచెం గురించి ఈ విభాగంఉన్నత గణిత... అనేక సిద్ధాంతాలు, వాటి రుజువులు, డ్రాయింగ్‌లు మొదలైన వాటితో కూడిన పాఠశాల జ్యామితి కోర్సును మీరు ఇప్పుడు ఖచ్చితంగా గుర్తుంచుకుంటారు. ఏమి దాచాలి, గణనీయమైన సంఖ్యలో విద్యార్థుల కోసం ఇష్టపడని మరియు తరచుగా అస్పష్టమైన విషయం. విశ్లేషణాత్మక జ్యామితి, విచిత్రంగా తగినంత, మరింత ఆసక్తికరంగా మరియు ప్రాప్యతగా అనిపించవచ్చు. "విశ్లేషణాత్మక" విశేషణం అంటే ఏమిటి? రెండు క్లిచ్ చేసిన గణిత పదబంధాలు వెంటనే గుర్తుకు వస్తాయి: "గ్రాఫికల్ సొల్యూషన్ మెథడ్" మరియు "ఎనలిటికల్ సొల్యూషన్ మెథడ్." గ్రాఫికల్ పద్ధతి, వాస్తవానికి, గ్రాఫ్‌లు మరియు డ్రాయింగ్‌ల నిర్మాణంతో సంబంధం కలిగి ఉంటుంది. విశ్లేషణాత్మకఅదే పద్ధతిసమస్యలను పరిష్కరించడంలో ఉంటుంది ప్రధానంగాద్వారా బీజగణిత కార్యకలాపాలు. ఈ విషయంలో, విశ్లేషణాత్మక జ్యామితి యొక్క దాదాపు అన్ని సమస్యలను పరిష్కరించడానికి అల్గోరిథం సరళమైనది మరియు పారదర్శకంగా ఉంటుంది; తరచుగా అవసరమైన సూత్రాలను జాగ్రత్తగా వర్తింపజేయడం సరిపోతుంది - మరియు సమాధానం సిద్ధంగా ఉంది! లేదు, వాస్తవానికి, డ్రాయింగ్‌లు లేకుండా మేము దీన్ని చేయలేము, అంతేకాకుండా, పదార్థం యొక్క మంచి అవగాహన కోసం, నేను వాటిని అవసరానికి మించి ఉదహరించడానికి ప్రయత్నిస్తాను.

జ్యామితిపై కొత్తగా తెరిచిన పాఠాలు సైద్ధాంతికంగా పూర్తి చేసినట్లు నటించడం లేదు; ఇది ఆచరణాత్మక సమస్యలను పరిష్కరించడంపై దృష్టి పెట్టింది. నా దృక్కోణం నుండి, ఆచరణాత్మక పరంగా ముఖ్యమైన వాటిని మాత్రమే నేను నా ఉపన్యాసాలలో చేర్చుతాను. ఏదైనా ఉపవిభాగంలో మీకు మరింత పూర్తి సహాయం కావాలంటే, ఈ క్రింది చాలా అందుబాటులో ఉండే సాహిత్యాన్ని నేను సిఫార్సు చేస్తున్నాను:

1) ఏ జోక్, అనేక తరాల వారికి తెలిసిన విషయం: జ్యామితిపై పాఠశాల పాఠ్య పుస్తకం, రచయితలు - ఎల్.ఎస్. అటనస్యాన్ అండ్ కంపెనీ. ఈ పాఠశాల లాకర్ గది హ్యాంగర్ ఇప్పటికే 20 (!) పునర్ముద్రణల ద్వారా వెళ్ళింది, ఇది పరిమితి కాదు.

2) 2 వాల్యూమ్‌లలో జ్యామితి. రచయితలు ఎల్.ఎస్. అటనస్యాన్, బాజిలేవ్ V.T.. ఇది హైస్కూల్ కోసం సాహిత్యం, మీకు అవసరం మొదటి వాల్యూమ్. అరుదుగా ఎదురయ్యే పనులు నా దృష్టిలో పడకపోవచ్చు, మరియు ట్యుటోరియల్అమూల్యమైన సహాయం అందిస్తామన్నారు.

రెండు పుస్తకాలను ఆన్‌లైన్‌లో ఉచితంగా డౌన్‌లోడ్ చేసుకోవచ్చు. అదనంగా, మీరు నా ఆర్కైవ్‌ను రెడీమేడ్ సొల్యూషన్స్‌తో ఉపయోగించవచ్చు, వీటిని పేజీలో చూడవచ్చు ఉన్నత గణితంలో ఉదాహరణలను డౌన్‌లోడ్ చేయండి.

సాధనాలలో, నేను మళ్ళీ నా స్వంత అభివృద్ధిని ప్రతిపాదిస్తున్నాను - సాఫ్ట్వేర్ ప్యాకేజీవిశ్లేషణాత్మక జ్యామితిలో, ఇది జీవితాన్ని చాలా సులభతరం చేస్తుంది మరియు చాలా సమయాన్ని ఆదా చేస్తుంది.

పాఠకుడికి ప్రాథమికంగా తెలిసి ఉంటుందని భావించబడుతుంది రేఖాగణిత భావనలుమరియు బొమ్మలు: పాయింట్, లైన్, ప్లేన్, త్రిభుజం, సమాంతర చతుర్భుజం, సమాంతర పైప్డ్, క్యూబ్ మొదలైనవి. కొన్ని సిద్ధాంతాలను గుర్తుంచుకోవడం మంచిది, కనీసం పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం, రిపీటర్‌లకు హలో)

మరియు ఇప్పుడు మేము వరుసగా పరిశీలిస్తాము: వెక్టర్ యొక్క భావన, వెక్టర్లతో చర్యలు, వెక్టర్ కోఆర్డినేట్లు. నేను మరింత చదవమని సిఫార్సు చేస్తున్నాను అత్యంత ముఖ్యమైన వ్యాసం వెక్టర్స్ యొక్క డాట్ ఉత్పత్తి, మరియు కూడా వెక్టర్ మరియు వెక్టర్స్ మిశ్రమ ఉత్పత్తి. ఇది నిరుపయోగంగా ఉండదు స్థానిక సమస్య- ఇచ్చిన నిష్పత్తిలో సెగ్మెంట్ యొక్క విభజన. పై సమాచారం ఆధారంగా, మీరు నైపుణ్యం పొందవచ్చు ఒక విమానంలో ఒక రేఖ యొక్క సమీకరణంతో పరిష్కారాల యొక్క సరళమైన ఉదాహరణలు, ఇది అనుమతిస్తుంది జ్యామితి సమస్యలను పరిష్కరించడం నేర్చుకోండి. కింది కథనాలు కూడా ఉపయోగకరంగా ఉన్నాయి: అంతరిక్షంలో ఒక విమానం యొక్క సమీకరణం, అంతరిక్షంలో ఒక రేఖ యొక్క సమీకరణాలు, సరళ రేఖ మరియు ఒక విమానంలో ప్రాథమిక సమస్యలు, విశ్లేషణాత్మక జ్యామితి యొక్క ఇతర విభాగాలు. సహజంగానే, ప్రామాణిక పనులు మార్గం వెంట పరిగణించబడతాయి.

వెక్టర్ భావన. ఉచిత వెక్టర్

ముందుగా, వెక్టర్ యొక్క పాఠశాల నిర్వచనాన్ని పునరావృతం చేద్దాం. వెక్టర్అని పిలిచారు దర్శకత్వం వహించారుదాని ప్రారంభం మరియు ముగింపు సూచించబడిన ఒక విభాగం:

ఈ సందర్భంలో, సెగ్మెంట్ ప్రారంభం పాయింట్, సెగ్మెంట్ ముగింపు పాయింట్. వెక్టర్ దానితో సూచించబడుతుంది. దిశఆవశ్యకం, మీరు బాణాన్ని సెగ్మెంట్ యొక్క మరొక చివరకి తరలించినట్లయితే, మీకు వెక్టర్ లభిస్తుంది మరియు ఇది ఇప్పటికే ఉంది పూర్తిగా భిన్నమైన వెక్టర్. వెక్టర్ యొక్క భావన సౌకర్యవంతంగా చలనంతో గుర్తించబడుతుంది భౌతిక శరీరం: అంగీకరిస్తున్నారు, ఇన్స్టిట్యూట్ యొక్క తలుపులలోకి ప్రవేశించడం లేదా ఇన్స్టిట్యూట్ యొక్క తలుపులు వదిలివేయడం అనేది పూర్తిగా భిన్నమైన విషయాలు.

ఒక విమానం లేదా స్థలం యొక్క వ్యక్తిగత పాయింట్లను పిలవబడేదిగా పరిగణించడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది సున్నా వెక్టర్. అటువంటి వెక్టర్ కోసం, ముగింపు మరియు ప్రారంభం సమానంగా ఉంటాయి.

!!! గమనిక: ఇక్కడ మరియు మరింత, మీరు వెక్టర్స్ ఒకే విమానంలో ఉన్నాయని అనుకోవచ్చు లేదా అవి అంతరిక్షంలో ఉన్నాయని మీరు అనుకోవచ్చు - సమర్పించిన పదార్థం యొక్క సారాంశం విమానం మరియు స్థలం రెండింటికీ చెల్లుతుంది.

హోదాలు:చాలామంది వెంటనే హోదాలో బాణం లేని కర్రను గమనించి, పైభాగంలో బాణం కూడా ఉందని చెప్పారు! నిజమే, మీరు దానిని బాణంతో వ్రాయవచ్చు: , కానీ అది కూడా సాధ్యమే నేను భవిష్యత్తులో ఉపయోగించబోయే ప్రవేశం. ఎందుకు? స్పష్టంగా, ఈ అలవాటు ఆచరణాత్మక కారణాల వల్ల అభివృద్ధి చెందింది; పాఠశాల మరియు విశ్వవిద్యాలయంలో నా షూటర్లు చాలా భిన్నమైన పరిమాణంలో మరియు షాగీగా మారారు. IN విద్యా సాహిత్యంకొన్నిసార్లు వారు క్యూనిఫారమ్ రాతతో బాధపడరు, కానీ బోల్డ్‌లో అక్షరాలను హైలైట్ చేస్తారు: , తద్వారా ఇది వెక్టర్ అని సూచిస్తుంది.

అది స్టైలిస్టిక్స్ మరియు ఇప్పుడు వెక్టర్‌లను వ్రాయడానికి మార్గాల గురించి:

1) వెక్టర్‌లను రెండు పెద్ద లాటిన్ అక్షరాలతో వ్రాయవచ్చు:
మరియు అందువలన న. ఈ సందర్భంలో, మొదటి అక్షరం తప్పనిసరిగావెక్టార్ యొక్క ప్రారంభ బిందువును సూచిస్తుంది మరియు రెండవ అక్షరం వెక్టర్ యొక్క ముగింపు బిందువును సూచిస్తుంది.

2) వెక్టర్స్ చిన్న లాటిన్ అక్షరాలలో కూడా వ్రాయబడ్డాయి:
ప్రత్యేకించి, క్లుప్తత కోసం మన వెక్టర్‌ను చిన్నదిగా పునర్నిర్మించవచ్చు లాటిన్ అక్షరం.

పొడవులేదా మాడ్యూల్సున్నా కాని వెక్టార్‌ని సెగ్మెంట్ పొడవు అంటారు. సున్నా వెక్టర్ యొక్క పొడవు సున్నా. లాజికల్.

వెక్టర్ యొక్క పొడవు మాడ్యులస్ గుర్తు ద్వారా సూచించబడుతుంది: ,

వెక్టర్ యొక్క పొడవును ఎలా కనుగొనాలో మనం నేర్చుకుంటాము (లేదా ఎవరిని బట్టి దాన్ని పునరావృతం చేస్తాము) కొంచెం తర్వాత.

వారు ఉన్నారు ప్రాథమిక సమాచారంవెక్టర్ గురించి, పాఠశాల విద్యార్థులందరికీ సుపరిచితం. విశ్లేషణాత్మక జ్యామితిలో, అని పిలవబడేది ఉచిత వెక్టర్.

సింపుల్ గా చెప్పాలంటే - వెక్టర్ ఏ పాయింట్ నుండి అయినా ప్లాట్ చేయవచ్చు:

మేము అటువంటి వెక్టర్‌లను సమానంగా పిలవడం అలవాటు చేసుకున్నాము (సమాన వెక్టర్‌ల నిర్వచనం క్రింద ఇవ్వబడుతుంది), కానీ పూర్తిగా గణిత కోణం నుండి, అవి ఒకే వెక్టర్ లేదా ఉచిత వెక్టర్. ఎందుకు ఉచితం? ఎందుకంటే సమస్యలను పరిష్కరించే సమయంలో, మీరు ఈ లేదా ఆ వెక్టర్‌ను మీకు అవసరమైన విమానం లేదా స్థలం యొక్క ఏదైనా బిందువుకు "అటాచ్" చేయవచ్చు. ఇది చాలా కూల్ ఫీచర్! ఏకపక్ష పొడవు మరియు దిశ యొక్క వెక్టర్‌ను ఊహించండి - దానిని "క్లోన్" చేయవచ్చు అనంతమైన సంఖ్యసమయాల్లో మరియు అంతరిక్షంలో ఏ సమయంలోనైనా, వాస్తవానికి, ఇది ప్రతిచోటా ఉంటుంది. అలాంటి ఒక విద్యార్థి ఇలా అంటున్నాడు: ప్రతి లెక్చరర్ వెక్టార్ గురించి తిట్టాడు. అన్నింటికంటే, ఇది చమత్కారమైన ప్రాస మాత్రమే కాదు, ప్రతిదీ గణితశాస్త్రపరంగా సరైనది - వెక్టర్ కూడా అక్కడ జతచేయబడుతుంది. కానీ సంతోషించడానికి తొందరపడకండి, విద్యార్థులే తరచుగా బాధపడతారు =)

కాబట్టి, ఉచిత వెక్టర్- ఇది ఒక గుత్తి ఒకే విధమైన నిర్దేశిత విభాగాలు. పాఠశాల నిర్వచనంపేరా ప్రారంభంలో ఇవ్వబడిన వెక్టర్: "దర్శకత్వం వహించిన విభాగాన్ని వెక్టర్ అంటారు ..." సూచిస్తుంది నిర్దిష్టఅందించిన సెట్ నుండి తీసుకున్న నిర్దేశిత విభాగం, ఇది విమానం లేదా ప్రదేశంలో ఒక నిర్దిష్ట బిందువుతో ముడిపడి ఉంటుంది.

భౌతిక శాస్త్రం యొక్క దృక్కోణం నుండి, ఉచిత వెక్టర్ యొక్క భావన అని గమనించాలి సాధారణ కేసుతప్పు, మరియు వెక్టర్ యొక్క అప్లికేషన్ పాయింట్ ముఖ్యం. నిజమే, ముక్కు లేదా నుదిటిపై అదే శక్తి యొక్క ప్రత్యక్ష దెబ్బ, నా తెలివితక్కువ ఉదాహరణను అభివృద్ధి చేయడానికి సరిపోతుంది, ఇది భిన్నమైన పరిణామాలను కలిగిస్తుంది. అయితే, స్వేచ్ఛ లేనివెక్టర్స్ కూడా vyshmat కోర్సులో కనిపిస్తాయి (అక్కడికి వెళ్లవద్దు :)).

వెక్టర్స్‌తో చర్యలు. వెక్టర్స్ యొక్క కోలినియారిటీ

IN పాఠశాల కోర్సుజ్యామితి, వెక్టర్స్‌తో అనేక చర్యలు మరియు నియమాలు పరిగణించబడతాయి: త్రిభుజ నియమం ప్రకారం కూడిక, సమాంతర చతుర్భుజం నియమం ప్రకారం కూడిక, వెక్టార్ వ్యత్యాస నియమం, వెక్టర్‌ను సంఖ్యతో గుణించడం, వెక్టర్‌ల స్కేలార్ ఉత్పత్తి మొదలైనవి.ప్రారంభ బిందువుగా, విశ్లేషణాత్మక జ్యామితి సమస్యలను పరిష్కరించడానికి ప్రత్యేకంగా సంబంధితమైన రెండు నియమాలను పునరావృతం చేద్దాం.

త్రిభుజ నియమాన్ని ఉపయోగించి వెక్టర్‌లను జోడించే నియమం

రెండు ఏకపక్ష నాన్-జీరో వెక్టర్‌లను పరిగణించండి మరియు:

మీరు ఈ వెక్టర్స్ మొత్తాన్ని కనుగొనాలి. అన్ని వెక్టర్‌లు ఉచితంగా పరిగణించబడుతున్నందున, మేము వెక్టార్‌ను పక్కనపెడతాము ముగింపువెక్టర్:

వెక్టర్స్ మొత్తం వెక్టర్. నియమాన్ని బాగా అర్థం చేసుకోవడానికి, చేర్చడం మంచిది భౌతిక అర్థం: కొంత శరీరాన్ని వెక్టార్ వెంట, ఆపై వెక్టార్ వెంట ప్రయాణించనివ్వండి. అప్పుడు వెక్టార్ల మొత్తం అనేది బయలుదేరే పాయింట్ వద్ద ప్రారంభం మరియు ఆగమన బిందువు వద్ద ముగింపుతో ఫలిత మార్గం యొక్క వెక్టర్. ఇదే విధమైన నియమం ఎన్ని వెక్టర్స్ మొత్తానికి రూపొందించబడింది. వారు చెప్పినట్లుగా, శరీరం జిగ్‌జాగ్‌తో చాలా లీన్‌గా సాగవచ్చు లేదా ఆటోపైలట్‌లో ఉండవచ్చు - మొత్తం వెక్టార్‌తో పాటు.

మార్గం ద్వారా, వెక్టర్ నుండి వాయిదా వేయబడితే ప్రారంభించారువెక్టార్, అప్పుడు మనకు సమానం వస్తుంది సమాంతర చతుర్భుజం నియమంవెక్టర్స్ అదనంగా.

మొదట, వెక్టర్స్ యొక్క కోలినియారిటీ గురించి. రెండు వెక్టర్స్ అంటారు కొలినియర్, వారు ఒకే రేఖపై లేదా సమాంతర రేఖలపై పడుకుంటే. స్థూలంగా చెప్పాలంటే, మేము సమాంతర వెక్టర్స్ గురించి మాట్లాడుతున్నాము. కానీ వాటికి సంబంధించి, "కొల్లినియర్" అనే విశేషణం ఎల్లప్పుడూ ఉపయోగించబడుతుంది.

రెండు కొలినియర్ వెక్టర్లను ఊహించండి. ఈ వెక్టర్స్ యొక్క బాణాలు ఒకే దిశలో దర్శకత్వం వహించినట్లయితే, అటువంటి వెక్టర్స్ అంటారు సహ దర్శకత్వం వహించారు. బాణాలు వైపు చూపితే వివిధ వైపులా, అప్పుడు వెక్టర్స్ ఉంటుంది వ్యతిరేక దిశలు.

హోదాలు:వెక్టర్స్ యొక్క కోలినియరిటీ సాధారణ సమాంతరత చిహ్నంతో వ్రాయబడుతుంది: , వివరంగా వివరించడం సాధ్యమవుతుంది: (వెక్టర్స్ సహ-దర్శకత్వం వహించబడతాయి) లేదా (వెక్టర్స్ వ్యతిరేక దిశలో ఉంటాయి).

పనిసంఖ్యపై సున్నా కాని వెక్టార్ అనేది వెక్టర్, దీని పొడవు సమానం, మరియు వెక్టర్‌లు మరియు వద్ద సహ-దర్శకత్వం మరియు వ్యతిరేక దిశలో ఉంటాయి.

వెక్టార్‌ను సంఖ్యతో గుణించే నియమాన్ని చిత్రం సహాయంతో అర్థం చేసుకోవడం సులభం:

దీన్ని మరింత వివరంగా పరిశీలిద్దాం:

1) దిశ. గుణకం ప్రతికూలంగా ఉంటే, వెక్టర్ దిశను మారుస్తుందిఎదురుగా.

2) పొడవు. గుణకం లోపల లేదా , వెక్టర్ యొక్క పొడవు కలిగి ఉంటే తగ్గుతుంది. కాబట్టి, వెక్టర్ యొక్క పొడవు వెక్టర్ యొక్క సగం పొడవు. మాడ్యులో గుణకం ఉంటే ఒకటి కంటే ఎక్కువ, అప్పుడు వెక్టర్ పొడవు పెరుగుతుందిసమయం లో.

3) దయచేసి గమనించండి అన్ని వెక్టర్స్ కొలినియర్, ఒక వెక్టార్ మరొక ద్వారా వ్యక్తీకరించబడుతుంది, ఉదాహరణకు, . రివర్స్ కూడా నిజం: ఒక వెక్టార్‌ని మరొకదాని ద్వారా వ్యక్తీకరించగలిగితే, అటువంటి వెక్టర్‌లు తప్పనిసరిగా కోలినియర్‌గా ఉంటాయి. ఈ విధంగా: మనం వెక్టార్‌ను సంఖ్యతో గుణిస్తే, మనకు కొల్లినియర్ వస్తుంది(అసలుకు సంబంధించి) వెక్టర్.

4) వెక్టర్స్ సహ-దర్శకత్వం వహించబడ్డాయి. వెక్టర్స్ మరియు సహ-దర్శకత్వం కూడా. మొదటి సమూహంలోని ఏదైనా వెక్టర్ రెండవ సమూహంలోని ఏదైనా వెక్టర్‌కు సంబంధించి వ్యతిరేక దిశలో ఉంటుంది.

ఏ వెక్టర్స్ సమానంగా ఉంటాయి?

రెండు వెక్టర్‌లు ఒకే దిశలో ఉండి కలిగి ఉంటే సమానంగా ఉంటాయి అదే పొడవు . కోడైరెక్షనల్ అనేది వెక్టర్స్ యొక్క కోలినియారిటీని సూచిస్తుందని గమనించండి. "రెండు వెక్టర్స్ కొలినియర్, కోడైరెక్షనల్ మరియు ఒకే పొడవు కలిగి ఉంటే అవి సమానంగా ఉంటాయి" అని మనం ఇలా చెబితే నిర్వచనం సరికాదు (నిరుపయోగంగా ఉంటుంది).

ఉచిత వెక్టర్ భావన యొక్క కోణం నుండి, సమాన వెక్టర్స్- ఇది అదే వెక్టర్, ఇది ఇప్పటికే మునుపటి పేరాలో చర్చించబడింది.

వెక్టర్ విమానంలో మరియు అంతరిక్షంలో సమన్వయం చేస్తుంది

విమానంలో వెక్టర్స్‌ను పరిగణనలోకి తీసుకోవడం మొదటి విషయం. మనం కార్టీసియన్ దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌ను చిత్రీకరిద్దాం మరియు కోఆర్డినేట్‌ల మూలం నుండి దానిని ప్లాట్ చేద్దాం సింగిల్వెక్టర్స్ మరియు:

వెక్టర్స్ మరియు ఆర్తోగోనల్. Orthogonal = లంబంగా. మీరు నిబంధనలను నెమ్మదిగా అలవాటు చేసుకోవాలని నేను సిఫార్సు చేస్తున్నాను: సమాంతరత మరియు లంబంగా కాకుండా, మేము వరుసగా పదాలను ఉపయోగిస్తాము సఖ్యతమరియు ఆర్తోగోనాలిటీ.

హోదా:వెక్టర్స్ యొక్క ఆర్తోగోనాలిటీ సాధారణ లంబ చిహ్నంతో వ్రాయబడింది, ఉదాహరణకు: .

పరిశీలనలో ఉన్న వెక్టర్స్ అంటారు కోఆర్డినేట్ వెక్టర్స్లేదా orts. ఈ వెక్టర్స్ ఏర్పడతాయి ఆధారంగాఉపరితలంపై. ఒక ఆధారం ఏమిటి, నేను అనుకుంటున్నాను, చాలా మందికి అకారణంగా స్పష్టంగా ఉంది వివరణాత్మక సమాచారంవ్యాసంలో చూడవచ్చు వెక్టర్స్ యొక్క లీనియర్ (కాని) ఆధారపడటం. వెక్టర్స్ యొక్క ఆధారంసరళంగా చెప్పాలంటే, కోఆర్డినేట్‌ల యొక్క ఆధారం మరియు మూలం మొత్తం వ్యవస్థను నిర్వచిస్తుంది - ఇది పూర్తి మరియు గొప్ప రేఖాగణిత జీవితం ఉడకబెట్టే ఒక రకమైన పునాది.

కొన్నిసార్లు నిర్మించిన ఆధారం అంటారు ఆర్థోనార్మల్విమానం యొక్క ఆధారం: “ఆర్థో” - కోఆర్డినేట్ వెక్టర్స్ ఆర్తోగోనల్ అయినందున, “నార్మలైజ్డ్” అనే విశేషణం అంటే యూనిట్, అనగా. ప్రాతిపదిక వెక్టర్స్ యొక్క పొడవులు ఒకదానికి సమానంగా ఉంటాయి.

హోదా:ఆధారం సాధారణంగా కుండలీకరణాల్లో వ్రాయబడుతుంది, దాని లోపల కఠినమైన క్రమంలోప్రాతిపదిక వెక్టర్స్ జాబితా చేయబడ్డాయి, ఉదాహరణకు: . కోఆర్డినేట్ వెక్టర్స్ అది నిషేధించబడిందితిరిగి అమర్చు.

ఏదైనావిమానం వెక్టర్ ఏకైక మార్గంఇలా వ్యక్తీకరించబడింది:
, ఎక్కడ - సంఖ్యలుఅంటారు వెక్టర్ కోఆర్డినేట్లువి దీని ఆధారంగా. మరియు వ్యక్తీకరణ కూడా అని పిలిచారు వెక్టర్ కుళ్ళిపోవడంఆధారంగా .

డిన్నర్ అందించబడింది:

వర్ణమాల యొక్క మొదటి అక్షరంతో ప్రారంభిద్దాం: . వెక్టర్‌ను ఒక ప్రాతిపదికగా విడదీసేటప్పుడు, ఇప్పుడే చర్చించినవి ఉపయోగించబడతాయని డ్రాయింగ్ స్పష్టంగా చూపిస్తుంది:
1) వెక్టర్‌ను సంఖ్యతో గుణించే నియమం: మరియు ;
2) త్రిభుజ నియమం ప్రకారం వెక్టర్‌ల జోడింపు: .

ఇప్పుడు విమానంలో ఏదైనా ఇతర పాయింట్ నుండి వెక్టర్‌ను మానసికంగా ప్లాట్ చేయండి. అతని క్షయం "కనికరం లేకుండా అతనిని అనుసరిస్తుంది" అని చాలా స్పష్టంగా ఉంది. ఇక్కడ ఉంది, వెక్టర్ యొక్క స్వేచ్ఛ - వెక్టర్ "అన్నిటినీ తనతో తీసుకువెళుతుంది." ఈ లక్షణం, వాస్తవానికి, ఏదైనా వెక్టర్‌కు వర్తిస్తుంది. ఆధారం (ఉచిత) వెక్టర్స్‌ను మూలం నుండి ప్లాట్ చేయవలసిన అవసరం లేదు, ఒకటి డ్రా చేయవచ్చు, ఉదాహరణకు, దిగువ ఎడమ వైపున మరియు మరొకటి ఎగువ కుడి వైపున, మరియు ఏమీ మారదు! నిజమే, మీరు దీన్ని చేయనవసరం లేదు, ఎందుకంటే ఉపాధ్యాయుడు కూడా వాస్తవికతను చూపుతారు మరియు ఊహించని ప్రదేశంలో మీకు "క్రెడిట్" అందిస్తారు.

వెక్టార్‌లు వెక్టర్‌ను సంఖ్యతో గుణించే నియమాన్ని ఖచ్చితంగా వివరిస్తాయి, వెక్టర్ బేస్ వెక్టర్‌తో కోడైరెక్షనల్‌గా ఉంటుంది, వెక్టర్ బేస్ వెక్టర్‌కు ఎదురుగా ఉంటుంది. ఈ వెక్టర్స్ కోసం, కోఆర్డినేట్‌లలో ఒకటి సున్నాకి సమానం; మీరు దీన్ని ఈ విధంగా సూక్ష్మంగా వ్రాయవచ్చు:


మరియు ఆధార వెక్టర్స్, మార్గం ద్వారా, ఇలా ఉన్నాయి: (వాస్తవానికి, అవి తమ ద్వారా వ్యక్తీకరించబడతాయి).

మరియు చివరకు: , . మార్గం ద్వారా, వెక్టర్ వ్యవకలనం అంటే ఏమిటి మరియు నేను వ్యవకలన నియమం గురించి ఎందుకు మాట్లాడలేదు? ఎక్కడో లోపల సరళ బీజగణితం, ఎక్కడ ఉందో నాకు గుర్తు లేదు, తీసివేత అని నేను గుర్తించాను ప్రత్యేక సంధర్భంఅదనంగా. అందువలన, వెక్టర్స్ "de" మరియు "e" యొక్క విస్తరణలు సులభంగా మొత్తంగా వ్రాయబడతాయి: , . నిబంధనలను క్రమాన్ని మార్చండి మరియు ఈ పరిస్థితుల్లో త్రిభుజం నియమం ప్రకారం వెక్టర్స్ యొక్క మంచి పాత జోడింపు ఎంత బాగా పనిచేస్తుందో డ్రాయింగ్‌లో చూడండి.

రూపం యొక్క పరిగణించబడిన కుళ్ళిపోవడం కొన్నిసార్లు వెక్టర్ డికంపోజిషన్ అని పిలుస్తారు ort వ్యవస్థలో(అంటే యూనిట్ వెక్టర్స్ వ్యవస్థలో). కానీ వెక్టర్‌ను వ్రాయడానికి ఇది ఏకైక మార్గం కాదు; కింది ఎంపిక సాధారణం:

లేదా సమాన గుర్తుతో:

ప్రాతిపదిక వెక్టర్స్ ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయబడ్డాయి: మరియు

అంటే, వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్లు కుండలీకరణాల్లో సూచించబడతాయి. IN ఆచరణాత్మక సమస్యలుమూడు రికార్డింగ్ ఎంపికలు ఉపయోగించబడతాయి.

నేను మాట్లాడాలా వద్దా అని సందేహించాను, అయితే నేను ఎలాగైనా చెబుతాను: వెక్టర్ కోఆర్డినేట్‌లను తిరిగి అమర్చడం సాధ్యం కాదు. ఖచ్చితంగా మొదటి స్థానంలో ఉందియూనిట్ వెక్టర్‌కు అనుగుణంగా ఉండే కోఆర్డినేట్‌ను మేము వ్రాస్తాము, ఖచ్చితంగా రెండవ స్థానంలోమేము యూనిట్ వెక్టర్‌కు అనుగుణంగా ఉండే కోఆర్డినేట్‌ను వ్రాస్తాము. నిజానికి, మరియు రెండు వేర్వేరు వెక్టర్స్.

మేము విమానంలో కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొన్నాము. ఇప్పుడు త్రిమితీయ స్థలంలో వెక్టర్స్ చూద్దాం, ఇక్కడ దాదాపు ప్రతిదీ ఒకే విధంగా ఉంటుంది! ఇది కేవలం మరో కోఆర్డినేట్‌ని జోడిస్తుంది. త్రిమితీయ డ్రాయింగ్‌లను రూపొందించడం చాలా కష్టం, కాబట్టి నేను ఒక వెక్టర్‌కు పరిమితం చేస్తాను, సరళత కోసం నేను మూలం నుండి పక్కన పెడతాను:

ఏదైనావెక్టర్ త్రిమితీయ స్థలంచెయ్యవచ్చు ఏకైక మార్గం ఆర్థోనార్మల్ ప్రాతిపదికన విస్తరించండి:
, ఈ ప్రాతిపదికన వెక్టర్ (సంఖ్య) యొక్క అక్షాంశాలు ఎక్కడ ఉన్నాయి.

చిత్రం నుండి ఉదాహరణ: . ఇక్కడ వెక్టర్ నియమాలు ఎలా పనిచేస్తాయో చూద్దాం. మొదట, వెక్టార్‌ను సంఖ్యతో గుణించడం: (ఎరుపు బాణం), (ఆకుపచ్చ బాణం) మరియు (కోరిందకాయ బాణం). రెండవది, ఇక్కడ అనేక జోడించడానికి ఒక ఉదాహరణ ఉంది, ఈ సందర్భంలో మూడు, వెక్టర్స్: . మొత్తం వెక్టర్ వద్ద ప్రారంభమవుతుంది ప్రారంభ స్థానంనిష్క్రమణ (వెక్టార్ యొక్క ప్రారంభం) మరియు ఆగమనం యొక్క చివరి పాయింట్ వద్ద ముగుస్తుంది (వెక్టార్ ముగింపు).

త్రిమితీయ స్థలం యొక్క అన్ని వెక్టర్స్, సహజంగా, కూడా ఉచితం; వెక్టర్‌ను మానసికంగా మరేదైనా పాయింట్ నుండి పక్కన పెట్టడానికి ప్రయత్నించండి మరియు దాని కుళ్ళిపోవడం “దానితోనే ఉంటుంది” అని మీరు అర్థం చేసుకుంటారు.

ఫ్లాట్ కేసు మాదిరిగానే, రాయడంతో పాటు బ్రాకెట్లతో కూడిన సంస్కరణలు విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతున్నాయి: గాని .

విస్తరణలో ఒకటి (లేదా రెండు) కోఆర్డినేట్ వెక్టర్స్ లేకుంటే, వాటి స్థానంలో సున్నాలు ఉంచబడతాయి. ఉదాహరణలు:
వెక్టర్ (నిశితంగా ) - రాద్దాం ;
వెక్టర్ (నిశితంగా ) - రాద్దాం ;
వెక్టర్ (నిశితంగా ) - రాద్దాం .

ప్రాతిపదిక వెక్టర్స్ ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయబడ్డాయి:

అది బహుశా అన్ని కనీసము సైద్ధాంతిక జ్ఞానం, విశ్లేషణాత్మక జ్యామితి సమస్యలను పరిష్కరించడానికి అవసరం. చాలా నిబంధనలు మరియు నిర్వచనాలు ఉండవచ్చు, కాబట్టి టీపాట్‌లు ఈ సమాచారాన్ని మళ్లీ చదవాలని మరియు గ్రహించాలని నేను సిఫార్సు చేస్తున్నాను. మరియు ఇది ఏ పాఠకుడైనా సూచించడానికి ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది ప్రాథమిక పాఠంకోసం మెరుగైన శోషణపదార్థం. కోలినియారిటీ, ఆర్తోగోనాలిటీ, ఆర్తోనార్మల్ బేస్, వెక్టర్ డికంపోజిషన్ - ఇవి మరియు ఇతర భావనలు తరచుగా భవిష్యత్తులో ఉపయోగించబడతాయి. జ్యామితిలో సైద్ధాంతిక పరీక్ష లేదా సంభాషణలో ఉత్తీర్ణత సాధించడానికి సైట్ మెటీరియల్‌లు సరిపోవని నేను గమనించాలనుకుంటున్నాను, ఎందుకంటే నేను అన్ని సిద్ధాంతాలను (మరియు రుజువులు లేకుండా) జాగ్రత్తగా గుప్తీకరిస్తాను - హానికరం శాస్త్రీయ శైలిప్రదర్శన, కానీ విషయంపై మీ అవగాహనకు ప్లస్. వివరణాత్మక సైద్ధాంతిక సమాచారాన్ని స్వీకరించడానికి, దయచేసి ప్రొఫెసర్ అటనాస్యన్‌కు నమస్కరించండి.

మరియు మేము ఆచరణాత్మక భాగానికి వెళ్తాము:

విశ్లేషణాత్మక జ్యామితి యొక్క సరళమైన సమస్యలు.
కోఆర్డినేట్లలో వెక్టర్స్‌తో చర్యలు

పూర్తిగా స్వయంచాలకంగా పరిగణించబడే పనులు మరియు సూత్రాలను ఎలా పరిష్కరించాలో నేర్చుకోవడం చాలా మంచిది కంఠస్థం చేస్తారు, ప్రత్యేకంగా గుర్తుంచుకోవద్దు, వారు తమను తాము గుర్తుంచుకుంటారు =) ఇది చాలా ముఖ్యమైనది, ఎందుకంటే సరళమైనది ప్రాథమిక ఉదాహరణలుఇతర విశ్లేషణాత్మక జ్యామితి సమస్యలు ఆధారపడి ఉంటాయి మరియు బంటులను తినడానికి అదనపు సమయాన్ని వెచ్చించడం సిగ్గుచేటు. మీ చొక్కా పై బటన్‌లను బిగించాల్సిన అవసరం లేదు; పాఠశాల నుండి మీకు చాలా విషయాలు సుపరిచితం.

పదార్థం యొక్క ప్రదర్శన సమాంతర కోర్సును అనుసరిస్తుంది - విమానం మరియు స్థలం కోసం. ఫార్ములాలన్నీ... మీరే చూస్తారు అనే కారణంతో.

రెండు పాయింట్ల నుండి వెక్టర్‌ను ఎలా కనుగొనాలి?

విమానం యొక్క రెండు పాయింట్లు మరియు ఇవ్వబడినట్లయితే, వెక్టర్ కింది కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంటుంది:

స్పేస్‌లో రెండు పాయింట్లు ఇవ్వబడితే, వెక్టర్ కింది కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంటుంది:

అంటే, వెక్టర్ ముగింపు యొక్క కోఆర్డినేట్ల నుండిమీరు సంబంధిత కోఆర్డినేట్‌లను తీసివేయాలి వెక్టర్ యొక్క ప్రారంభం.

వ్యాయామం:అదే పాయింట్ల కోసం, వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనడానికి సూత్రాలను వ్రాయండి. పాఠం చివరిలో సూత్రాలు.

ఉదాహరణ 1

విమానం యొక్క రెండు పాయింట్లు మరియు . వెక్టర్ కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనండి

పరిష్కారం:సంబంధిత సూత్రం ప్రకారం:

ప్రత్యామ్నాయంగా, కింది ఎంట్రీని ఉపయోగించవచ్చు:

సౌందర్య నిపుణులు దీనిని నిర్ణయిస్తారు:

వ్యక్తిగతంగా, నేను రికార్డింగ్ యొక్క మొదటి సంస్కరణకు అలవాటు పడ్డాను.

సమాధానం:

షరతు ప్రకారం, డ్రాయింగ్‌ను నిర్మించాల్సిన అవసరం లేదు (ఇది విశ్లేషణాత్మక జ్యామితి సమస్యలకు విలక్షణమైనది), కానీ డమ్మీల కోసం కొన్ని పాయింట్లను స్పష్టం చేయడానికి, నేను సోమరితనం కాను:

మీరు ఖచ్చితంగా అర్థం చేసుకోవాలి పాయింట్ కోఆర్డినేట్‌లు మరియు వెక్టర్ కోఆర్డినేట్‌ల మధ్య వ్యత్యాసం:

పాయింట్ కోఆర్డినేట్లు- ఇవి దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో సాధారణ కోఆర్డినేట్‌లు. పాయింట్లు పెట్టండి సమన్వయ విమానం 5-6వ తరగతి నుండి అందరూ చేయగలరని నా అభిప్రాయం. ప్రతి పాయింట్‌కి విమానంలో ఖచ్చితమైన స్థానం ఉంటుంది మరియు వాటిని ఎక్కడికీ తరలించలేరు.

వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్లు- ఇది ఈ సందర్భంలో ఆధారం ప్రకారం దాని విస్తరణ. ఏదైనా వెక్టర్ ఉచితం, కాబట్టి అవసరమైతే, మనం దానిని విమానంలోని ఇతర పాయింట్ నుండి సులభంగా తరలించవచ్చు. వెక్టర్స్ కోసం మీరు గొడ్డలి లేదా దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌ను నిర్మించాల్సిన అవసరం లేదు; మీకు ఆధారం మాత్రమే అవసరం, ఈ సందర్భంలో విమానం యొక్క ఆర్థోనార్మల్ ఆధారం.

పాయింట్ల కోఆర్డినేట్‌ల రికార్డులు మరియు వెక్టర్‌ల కోఆర్డినేట్‌లు సారూప్యంగా కనిపిస్తున్నాయి: , మరియు కోఆర్డినేట్స్ యొక్క అర్థంఖచ్చితంగా భిన్నమైనది, మరియు మీరు ఈ వ్యత్యాసం గురించి బాగా తెలుసుకోవాలి. ఈ వ్యత్యాసం, వాస్తవానికి, స్థలానికి కూడా వర్తిస్తుంది.

లేడీస్ అండ్ జెంటిల్మెన్, మన చేతులు నింపుదాం:

ఉదాహరణ 2

ఎ) పాయింట్లు మరియు ఇవ్వబడ్డాయి. వెక్టర్లను కనుగొనండి మరియు .
బి) పాయింట్లు ఇవ్వబడ్డాయి మరియు . వెక్టర్లను కనుగొనండి మరియు .
సి) పాయింట్లు మరియు ఇవ్వబడ్డాయి. వెక్టర్లను కనుగొనండి మరియు .
d) పాయింట్లు ఇవ్వబడ్డాయి. వెక్టర్లను కనుగొనండి .

బహుశా అది సరిపోతుంది. కోసం ఇవి ఉదాహరణలు స్వతంత్ర నిర్ణయం, వాటిని నిర్లక్ష్యం చేయకుండా ప్రయత్నించండి, అది చెల్లిస్తుంది ;-). డ్రాయింగ్లు చేయవలసిన అవసరం లేదు. పాఠం చివరిలో పరిష్కారాలు మరియు సమాధానాలు.

విశ్లేషణాత్మక జ్యామితి సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు ముఖ్యమైనది ఏమిటి?మాస్టర్‌ఫుల్ “రెండు ప్లస్ టూ ఈక్వల్ జీరో” పొరపాటు చేయకుండా ఉండేందుకు చాలా జాగ్రత్తగా ఉండటం ముఖ్యం. నేను ఎక్కడైనా తప్పు చేసి ఉంటే వెంటనే క్షమాపణలు కోరుతున్నాను =)

సెగ్మెంట్ పొడవును ఎలా కనుగొనాలి?

పొడవు, ఇప్పటికే గుర్తించినట్లుగా, మాడ్యులస్ గుర్తు ద్వారా సూచించబడుతుంది.

విమానం యొక్క రెండు పాయింట్లు మరియు , సెగ్మెంట్ యొక్క పొడవును ఫార్ములా ఉపయోగించి లెక్కించవచ్చు

స్పేస్‌లో రెండు పాయింట్లు ఇవ్వబడితే, అప్పుడు సెగ్మెంట్ యొక్క పొడవును ఫార్ములా ఉపయోగించి లెక్కించవచ్చు

గమనిక: సంబంధిత కోఆర్డినేట్‌లను మార్చుకుంటే సూత్రాలు సరైనవిగా ఉంటాయి: మరియు , కానీ మొదటి ఎంపిక మరింత ప్రామాణికమైనది

ఉదాహరణ 3

పరిష్కారం:సంబంధిత సూత్రం ప్రకారం:

సమాధానం:

స్పష్టత కోసం, నేను డ్రాయింగ్ చేస్తాను

లైన్ సెగ్మెంట్ - ఇది వెక్టర్ కాదు, మరియు, వాస్తవానికి, మీరు దానిని ఎక్కడికీ తరలించలేరు. అదనంగా, మీరు స్కేల్‌కి గీస్తే: 1 యూనిట్. = 1 సెం.మీ (రెండు నోట్‌బుక్ సెల్‌లు), ఆపై ఫలిత సమాధానాన్ని సెగ్మెంట్ పొడవును నేరుగా కొలవడం ద్వారా సాధారణ పాలకుడితో తనిఖీ చేయవచ్చు.

అవును, పరిష్కారం చిన్నది, కానీ నేను స్పష్టం చేయాలనుకుంటున్న మరికొన్ని ముఖ్యమైన అంశాలు ఉన్నాయి:

మొదట, సమాధానంలో మేము కోణాన్ని ఉంచాము: "యూనిట్లు". మిల్లీమీటర్లు, సెంటీమీటర్లు, మీటర్లు లేదా కిలోమీటర్లు ఏమిటనేది షరతు చెప్పడం లేదు. కాబట్టి, గణితశాస్త్రపరంగా సరైన పరిష్కారం సాధారణ సూత్రీకరణ: “యూనిట్‌లు” - సంక్షిప్తంగా “యూనిట్‌లు”.

రెండవది, పునరావృతం చేద్దాం పాఠశాల పదార్థం, ఇది పరిగణించబడిన సమస్యకు మాత్రమే ఉపయోగపడుతుంది:

దయచేసి గమనించండి ముఖ్యమైన సాంకేతిక సాంకేతికత – రూట్ కింద నుండి గుణకాన్ని తీసివేయడం. గణనల ఫలితంగా, మనకు ఫలితం ఉంది మరియు మంచి గణిత శైలిలో రూట్ కింద నుండి కారకాన్ని తొలగించడం (వీలైతే) ఉంటుంది. మరింత వివరంగా ప్రక్రియ ఇలా కనిపిస్తుంది: . అయితే, సమాధానాన్ని అలాగే వదిలేయడం తప్పు కాదు - కానీ అది ఖచ్చితంగా లోటుగా ఉంటుంది మరియు ఉపాధ్యాయుని పక్షాన వివాదాస్పదంగా ఉంటుంది.

ఇక్కడ ఇతర సాధారణ కేసులు ఉన్నాయి:

తరచుగా రూట్ వద్ద తగినంత ఉంది పెద్ద సంఖ్య, ఉదాహరణకి . అటువంటి సందర్భాలలో ఏమి చేయాలి? కాలిక్యులేటర్ ఉపయోగించి, సంఖ్య 4: ద్వారా భాగించబడుతుందో లేదో తనిఖీ చేస్తాము. అవును, ఇది పూర్తిగా విభజించబడింది, ఈ విధంగా: . లేదా సంఖ్యను మళ్లీ 4తో భాగించవచ్చా? . ఈ విధంగా: . సంఖ్య యొక్క చివరి అంకె బేసిగా ఉంటుంది, కాబట్టి మూడవసారి 4తో భాగించడం స్పష్టంగా పని చేయదు. తొమ్మిది ద్వారా విభజించడానికి ప్రయత్నిద్దాం: . ఫలితంగా:
సిద్ధంగా ఉంది.

ముగింపు:రూట్ క్రింద మొత్తంగా సంగ్రహించలేని సంఖ్యను పొందినట్లయితే, మేము రూట్ క్రింద నుండి కారకాన్ని తొలగించడానికి ప్రయత్నిస్తాము - కాలిక్యులేటర్‌ని ఉపయోగించి సంఖ్యను దీని ద్వారా విభజించవచ్చో లేదో తనిఖీ చేస్తాము: 4, 9, 16, 25, 36, 49, మొదలైనవి.

వివిధ సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు, మూలాలు తరచుగా ఎదురవుతాయి; ఉపాధ్యాయుల వ్యాఖ్యల ఆధారంగా మీ పరిష్కారాలను ఖరారు చేయడంలో తక్కువ గ్రేడ్ మరియు అనవసరమైన సమస్యలను నివారించడానికి ఎల్లప్పుడూ రూట్ కింద నుండి కారకాలను సేకరించేందుకు ప్రయత్నించండి.

స్క్వేర్ రూట్‌లు మరియు ఇతర శక్తులను కూడా పునరావృతం చేద్దాం:

డిగ్రీలతో చర్యల కోసం నియమాలు సాధారణ వీక్షణఆల్జీబ్రాపై పాఠశాల పాఠ్యపుస్తకంలో చూడవచ్చు, కానీ నేను ఇచ్చిన ఉదాహరణల నుండి ప్రతిదీ లేదా దాదాపు ప్రతిదీ ఇప్పటికే స్పష్టంగా ఉందని నేను భావిస్తున్నాను.

స్పేస్‌లోని సెగ్మెంట్‌తో స్వతంత్ర పరిష్కారం కోసం టాస్క్:

ఉదాహరణ 4

పాయింట్లు మరియు ఇవ్వబడ్డాయి. సెగ్మెంట్ పొడవును కనుగొనండి.

పరిష్కారం మరియు సమాధానం పాఠం చివరిలో ఉన్నాయి.

వెక్టర్ యొక్క పొడవును ఎలా కనుగొనాలి?

ప్లేన్ వెక్టర్ ఇచ్చినట్లయితే, దాని పొడవు సూత్రం ద్వారా లెక్కించబడుతుంది.

స్పేస్ వెక్టర్ ఇచ్చినట్లయితే, దాని పొడవు సూత్రం ద్వారా లెక్కించబడుతుంది .

ఆక్సి

గురించి ఎ ఓ ఏ.

, ఎక్కడ ఓ ఏ .

ఈ విధంగా, .

ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం.

ఉదాహరణ.

పరిష్కారం.

:

సమాధానం:

ఆక్సిజ్అంతరిక్షంలో.

ఎ ఓ ఏవికర్ణంగా ఉంటుంది.

ఈ సందర్భంలో (నుండి ఓ ఏ ఓ ఏ .

ఈ విధంగా, వెక్టర్ పొడవు .

ఉదాహరణ.

వెక్టర్ పొడవును లెక్కించండి

పరిష్కారం.

, అందుకే,

సమాధానం:

ఒక విమానంలో సరళ రేఖ

సాధారణ సమీకరణం

Ax + By + C ( > 0).

వెక్టర్ = (ఎ; బి)ఒక సాధారణ వెక్టర్.

వెక్టర్ రూపంలో: + సి = 0, వ్యాసార్థం వెక్టర్ ఎక్కడ ఉంది ఏకపక్ష పాయింట్సరళ రేఖపై (Fig. 4.11).

ప్రత్యేక కేసులు:

1) ద్వారా + C = 0- అక్షానికి సమాంతరంగా సరళ రేఖ ఎద్దు;

2) Ax + C = 0- అక్షానికి సమాంతరంగా సరళ రేఖ ఓయ్;

3) Ax + ద్వారా = 0- సరళ రేఖ మూలం గుండా వెళుతుంది;

4) y = 0- అక్షం ఎద్దు;

5) x = 0- అక్షం ఓయ్.

విభాగాలలో పంక్తి యొక్క సమీకరణం

ఎక్కడ ఎ, బి- కోఆర్డినేట్ అక్షాలపై సరళ రేఖ ద్వారా కత్తిరించబడిన విభాగాల విలువలు.

సాధారణ సమీకరణంనేరుగా(Fig. 4.11)

రేఖకు మరియు అక్షానికి సాధారణంగా ఏర్పడిన కోణం ఎక్కడ ఉంటుంది ఎద్దు; p- మూలం నుండి సరళ రేఖకు దూరం.

తీసుకురావడం సాధారణ సమీకరణంనేరుగా సాధారణ రూపానికి:

లైన్ యొక్క సాధారణీకరించిన అంశం ఇక్కడ ఉంది; గుర్తు ఎంపిక చేయబడింది వ్యతిరేక చిహ్నం సి, అయితే మరియు ఏకపక్షంగా, అయితే C=0.

కోఆర్డినేట్‌ల నుండి వెక్టర్ పొడవును కనుగొనడం.

మేము వెక్టర్ యొక్క పొడవును ద్వారా సూచిస్తాము. ఈ సంజ్ఞామానం కారణంగా, వెక్టర్ యొక్క పొడవు తరచుగా వెక్టర్ యొక్క మాడ్యులస్ అని పిలువబడుతుంది.

కోఆర్డినేట్‌లను ఉపయోగించి విమానంలో వెక్టర్ పొడవును కనుగొనడం ద్వారా ప్రారంభిద్దాం.

విమానంలో దీర్ఘచతురస్రాకార కార్టీసియన్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌ను పరిచయం చేద్దాం ఆక్సి. వెక్టార్‌ని అందులో పేర్కొని, కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉండనివ్వండి. మేము కోఆర్డినేట్‌ల ద్వారా వెక్టర్ పొడవును కనుగొనడానికి అనుమతించే సూత్రాన్ని పొందుతాము మరియు .

కోఆర్డినేట్‌ల మూలం నుండి వాయిదా వేద్దాం (పాయింట్ నుండి గురించి) వెక్టర్ . పాయింట్ యొక్క అంచనాలను సూచిస్తాము ఎకోఆర్డినేట్ అక్షాలపై వరుసగా మరియు ఒక వికర్ణంతో దీర్ఘచతురస్రాన్ని పరిగణించండి ఓ ఏ.

పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం ద్వారా, సమానత్వం , ఎక్కడ . దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లోని వెక్టార్ కోఆర్డినేట్‌ల నిర్వచనం నుండి, మేము దానిని మరియు , మరియు నిర్మాణం ద్వారా పొడవును పేర్కొనవచ్చు ఓ ఏవెక్టర్ యొక్క పొడవుకు సమానం, కాబట్టి, .

ఈ విధంగా, వెక్టర్ యొక్క పొడవును కనుగొనే సూత్రంవిమానంలో దాని అక్షాంశాల ప్రకారం రూపం ఉంటుంది .

కోఆర్డినేట్ వెక్టర్స్‌లో వెక్టర్ కుళ్ళిపోయినట్లుగా సూచించబడితే , అప్పుడు దాని పొడవు అదే సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది , ఈ సందర్భంలో గుణకాలు మరియు ఇచ్చిన కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లోని వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు.

ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం.

ఉదాహరణ.

కార్టీసియన్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో ఇవ్వబడిన వెక్టార్ పొడవును కనుగొనండి.

పరిష్కారం.

కోఆర్డినేట్ల నుండి వెక్టర్ యొక్క పొడవును కనుగొనడానికి మేము వెంటనే సూత్రాన్ని వర్తింపజేస్తాము :

సమాధానం:

ఇప్పుడు మనం వెక్టర్ పొడవును కనుగొనే సూత్రాన్ని పొందుతాము దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో దాని కోఆర్డినేట్‌ల ద్వారా ఆక్సిజ్అంతరిక్షంలో.

మూలం నుండి వెక్టర్‌ను ప్లాట్ చేద్దాం మరియు పాయింట్ యొక్క అంచనాలను సూచిస్తాము ఎమరియు వంటి కోఆర్డినేట్ అక్షాలపై. అప్పుడు మేము వైపులా నిర్మించవచ్చు మరియు క్యూబాయిడ్, దీనిలో ఓ ఏవికర్ణంగా ఉంటుంది.

ఈ సందర్భంలో (నుండి ఓ ఏ– ఒక దీర్ఘచతురస్రాకార సమాంతర పైప్డ్ యొక్క వికర్ణం), ఎక్కడ నుండి . వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను నిర్ణయించడం వల్ల సమానత్వం మరియు పొడవును వ్రాయవచ్చు ఓ ఏకావలసిన వెక్టర్ పొడవుకు సమానం, కాబట్టి, .

ఈ విధంగా, వెక్టర్ పొడవు స్పేస్‌లో దాని కోఆర్డినేట్‌ల స్క్వేర్‌ల మొత్తం యొక్క వర్గమూలానికి సమానం, అంటే, ఫార్ములా ద్వారా కనుగొనబడింది .

ఉదాహరణ.

వెక్టర్ పొడవును లెక్కించండి , దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ యొక్క యూనిట్ వెక్టర్స్ ఎక్కడ ఉన్నాయి.

పరిష్కారం.

ఫారమ్ యొక్క కోఆర్డినేట్ వెక్టర్స్‌గా మాకు వెక్టర్ డికంపోజిషన్ ఇవ్వబడింది , అందుకే, . అప్పుడు, కోఆర్డినేట్‌ల నుండి వెక్టర్ పొడవును కనుగొనడానికి సూత్రాన్ని ఉపయోగించి, మనకు .

మొదటి స్థాయి

కోఆర్డినేట్లు మరియు వెక్టర్స్. సమగ్ర గైడ్ (2019)

ఈ ఆర్టికల్‌లో, మేము అనేక జ్యామితి సమస్యలను సాధారణ అంకగణితానికి తగ్గించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతించే ఒక “మేజిక్ మంత్రదండం” గురించి చర్చించడం ప్రారంభిస్తాము. ఈ "స్టిక్" మీ జీవితాన్ని చాలా సులభతరం చేస్తుంది, ప్రత్యేకించి మీరు ప్రాదేశిక బొమ్మలు, విభాగాలు మొదలైనవాటిని నిర్మించడంలో సందేహం కలిగి ఉన్నప్పుడు. వీటన్నింటికీ నిర్దిష్ట ఊహ మరియు ఆచరణాత్మక నైపుణ్యాలు అవసరం. మేము ఇక్కడ పరిగణించడం ప్రారంభించే పద్ధతి మిమ్మల్ని ఏ రకమైన వాటి నుండి అయినా పూర్తిగా సంగ్రహించడానికి అనుమతిస్తుంది రేఖాగణిత నిర్మాణాలుమరియు తార్కికం. పద్ధతి అంటారు "సమన్వయ పద్ధతి". ఈ వ్యాసంలో మనం ఈ క్రింది ప్రశ్నలను పరిశీలిస్తాము:

1. సమన్వయ విమానం
2. విమానంలో పాయింట్లు మరియు వెక్టర్స్
3. రెండు పాయింట్ల నుండి వెక్టర్‌ను నిర్మించడం
4. వెక్టర్ పొడవు (రెండు పాయింట్ల మధ్య దూరం).
5. సెగ్మెంట్ మధ్యలో కోఆర్డినేట్లు
6. వెక్టర్స్ యొక్క డాట్ ఉత్పత్తి
7. రెండు వెక్టర్స్ మధ్య కోణం

కోఆర్డినేట్ పద్ధతిని ఎందుకు అలా పిలుస్తారో మీరు ఇప్పటికే ఊహించారని నేను భావిస్తున్నాను? నిజమే, దీనికి ఆ పేరు వచ్చింది ఎందుకంటే ఇది రేఖాగణిత వస్తువులతో కాదు, వాటితో పనిచేస్తుంది సంఖ్యా లక్షణాలు(కోఆర్డినేట్స్). మరియు జ్యామితి నుండి బీజగణితానికి వెళ్లడానికి అనుమతించే పరివర్తన, కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌ను పరిచయం చేయడంలో ఉంటుంది. అసలు ఫిగర్ ఫ్లాట్ అయితే, కోఆర్డినేట్‌లు రెండు డైమెన్షనల్‌గా ఉంటాయి మరియు ఫిగర్ త్రిమితీయంగా ఉంటే, కోఆర్డినేట్‌లు త్రిమితీయంగా ఉంటాయి. ఈ వ్యాసంలో మేము రెండు డైమెన్షనల్ కేసును మాత్రమే పరిశీలిస్తాము. మరియు కొన్నింటిని ఎలా ఉపయోగించాలో మీకు నేర్పడం వ్యాసం యొక్క ప్రధాన లక్ష్యం ప్రాథమిక పద్ధతులుసమన్వయ పద్ధతి (యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్ యొక్క పార్ట్ Bలో ప్లానిమెట్రీపై సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు అవి కొన్నిసార్లు ఉపయోగకరంగా ఉంటాయి). ఈ అంశంపై తదుపరి రెండు విభాగాలు C2 (స్టీరియోమెట్రీ సమస్య) సమస్యలను పరిష్కరించే పద్ధతుల చర్చకు అంకితం చేయబడ్డాయి.

కోఆర్డినేట్ పద్ధతిని చర్చించడం ఎక్కడ ప్రారంభించడం తార్కికంగా ఉంటుంది? బహుశా కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ భావన నుండి. మీరు ఆమెను మొదటిసారి ఎదుర్కొన్నప్పుడు గుర్తుంచుకోండి. 7వ తరగతిలో మీరు ఉనికి గురించి తెలుసుకున్నప్పుడు నాకు అనిపిస్తోంది సరళ ఫంక్షన్, ఉదాహరణకి. మీరు దానిని పాయింట్ బై పాయింట్ నిర్మించారని నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను. నీకు గుర్తుందా? మీరు ఎంచుకున్నారు ఏకపక్ష సంఖ్య, దానిని ఫార్ములాలో భర్తీ చేసి ఈ విధంగా లెక్కించారు. ఉదాహరణకు, ఉంటే, అప్పుడు, ఉంటే, అప్పుడు, మొదలైనవి. చివరికి మీరు ఏమి పొందారు? మరియు మీరు కోఆర్డినేట్‌లతో పాయింట్‌లను అందుకున్నారు: మరియు. తరువాత, మీరు "క్రాస్" (కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్) గీసారు, దానిపై ఒక స్కేల్‌ను ఎంచుకున్నారు (మీరు యూనిట్ సెగ్మెంట్‌గా ఎన్ని సెల్‌లను కలిగి ఉంటారు) మరియు దానిపై మీరు పొందిన పాయింట్‌లను మార్క్ చేసారు, ఆపై మీరు సరళ రేఖతో కనెక్ట్ చేసారు; ఫలితంగా లైన్ అనేది ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్.

మీకు కొంచెం వివరంగా వివరించాల్సిన కొన్ని అంశాలు ఇక్కడ ఉన్నాయి:

1. మీరు సౌలభ్యం కోసం ఒకే విభాగాన్ని ఎంచుకుంటారు, తద్వారా ప్రతిదీ డ్రాయింగ్‌లో అందంగా మరియు కాంపాక్ట్‌గా సరిపోతుంది.

2. అక్షం ఎడమ నుండి కుడికి మరియు అక్షం దిగువ నుండి పైకి వెళుతుందని అంగీకరించబడింది

3. అవి లంబ కోణంలో కలుస్తాయి మరియు వాటి ఖండన బిందువును మూలం అంటారు. ఇది ఒక లేఖ ద్వారా సూచించబడుతుంది.

4. ఒక బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను వ్రాయడంలో, ఉదాహరణకు, కుండలీకరణాల్లో ఎడమ వైపున అక్షం వెంట మరియు కుడి వైపున, అక్షం వెంట పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్ ఉంటుంది. ముఖ్యంగా, ఇది కేవలం పాయింట్ వద్ద అని అర్థం

5. కోఆర్డినేట్ యాక్సిస్‌పై ఏదైనా పాయింట్‌ని పేర్కొనడానికి, మీరు దాని కోఆర్డినేట్‌లను (2 సంఖ్యలు) సూచించాలి

6. అక్షం మీద పడి ఉన్న ఏదైనా పాయింట్ కోసం,

7. అక్షం మీద పడి ఉన్న ఏదైనా పాయింట్ కోసం,

8. అక్షాన్ని x-యాక్సిస్ అంటారు

9. అక్షాన్ని y-యాక్సిస్ అంటారు

ఇప్పుడు తదుపరి దశను తీసుకుందాం: రెండు పాయింట్లను గుర్తించండి. ఈ రెండు పాయింట్లను సెగ్మెంట్‌తో కనెక్ట్ చేద్దాం. మరియు మేము పాయింట్ నుండి పాయింట్‌కి సెగ్మెంట్‌ను గీస్తున్నట్లుగా బాణం వేస్తాము: అంటే, మేము మా విభాగాన్ని నిర్దేశిస్తాము!

మరొక దిశాత్మక విభాగాన్ని ఏమని పిలుస్తారో గుర్తుందా? నిజమే, దానిని వెక్టర్ అంటారు!

కాబట్టి మనం డాట్‌ను డాట్‌కి కనెక్ట్ చేస్తే, మరియు ప్రారంభం పాయింట్ A, మరియు ముగింపు పాయింట్ B అవుతుంది,అప్పుడు మనకు వెక్టర్ వస్తుంది. మీరు కూడా 8వ తరగతిలో ఈ నిర్మాణం చేసారు, గుర్తుందా?

పాయింట్ల వంటి వెక్టర్లను రెండు సంఖ్యల ద్వారా సూచించవచ్చని తేలింది: ఈ సంఖ్యలను వెక్టర్ కోఆర్డినేట్లు అంటారు. ప్రశ్న: వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనడానికి దాని ప్రారంభం మరియు ముగింపు యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను మనం తెలుసుకోవడం సరిపోతుందని మీరు అనుకుంటున్నారా? ఇది అవును అని మారుతుంది! మరియు ఇది చాలా సరళంగా చేయబడుతుంది:

ఈ విధంగా, వెక్టర్‌లో బిందువు ప్రారంభం మరియు పాయింట్ ముగింపు కాబట్టి, వెక్టర్ కింది కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంటుంది:

ఉదాహరణకు, వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్లు అయితే

ఇప్పుడు దీనికి విరుద్ధంగా చేద్దాం, వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనండి. దీని కోసం మనం ఏమి మార్చాలి? అవును, మీరు ప్రారంభం మరియు ముగింపును మార్చుకోవాలి: ఇప్పుడు వెక్టర్ యొక్క ప్రారంభం పాయింట్ వద్ద ఉంటుంది మరియు ముగింపు పాయింట్ వద్ద ఉంటుంది. అప్పుడు:

జాగ్రత్తగా చూడండి, వెక్టర్స్ మరియు మధ్య తేడా ఏమిటి? వారి ఏకైక వ్యత్యాసం కోఆర్డినేట్లలో సంకేతాలు. అవి విరుద్ధమైనవి. ఈ వాస్తవం సాధారణంగా ఇలా వ్రాయబడుతుంది:

కొన్నిసార్లు, వెక్టర్ యొక్క ప్రారంభం ఏ బిందువు మరియు ఏది ముగింపు అని ప్రత్యేకంగా పేర్కొనకపోతే, వెక్టర్స్ రెండు కంటే ఎక్కువ సూచించబడతాయి. పెద్ద అక్షరాలలో, మరియు ఒక చిన్న అక్షరం, ఉదాహరణకు: , మొదలైనవి.

ఇప్పుడు కొంచెం సాధనమీరే మరియు క్రింది వెక్టర్స్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనండి:

పరీక్ష:

ఇప్పుడు కొంచెం క్లిష్టమైన సమస్యను పరిష్కరించండి:

ఒక బిందువు వద్ద ప్రారంభం ఉన్న వెక్టర్ కో-ఆర్-డి-నా-యును కలిగి ఉంటుంది. abs-cis-su పాయింట్లను కనుగొనండి.

అన్నీ చాలా రసాత్మకమైనవి: పాయింట్ యొక్క అక్షాంశాలుగా ఉండనివ్వండి. అప్పుడు

నేను వెక్టార్ కోఆర్డినేట్‌ల నిర్వచనం ఆధారంగా సిస్టమ్‌ను కంపైల్ చేసాను. అప్పుడు పాయింట్ కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంటుంది. మేము abscissa లో ఆసక్తి కలిగి ఉన్నాము. అప్పుడు

సమాధానం:

మీరు వెక్టర్స్‌తో ఇంకా ఏమి చేయవచ్చు? అవును, దాదాపు ప్రతిదీ దానితో సమానంగా ఉంటుంది సాధారణ సంఖ్యలు(మీరు విభజించలేరు, కానీ మీరు రెండు విధాలుగా గుణించవచ్చు, వాటిలో ఒకటి మేము ఇక్కడ కొంచెం తరువాత చర్చిస్తాము)

1. వెక్టర్స్ ఒకదానికొకటి జోడించవచ్చు
2. వెక్టర్స్ ఒకదానికొకటి తీసివేయవచ్చు
3. వెక్టర్‌లను ఏకపక్ష సున్నా కాని సంఖ్యతో గుణించవచ్చు (లేదా విభజించవచ్చు).
4. వెక్టర్‌లను ఒకదానితో ఒకటి గుణించవచ్చు

ఈ కార్యకలాపాలన్నీ చాలా స్పష్టమైన రేఖాగణిత ప్రాతినిధ్యం కలిగి ఉంటాయి. ఉదాహరణకు, కూడిక మరియు వ్యవకలనం కోసం త్రిభుజం (లేదా సమాంతర చతుర్భుజం) నియమం:

గుణించినప్పుడు లేదా సంఖ్యతో భాగించినప్పుడు వెక్టర్ సాగుతుంది లేదా సంకోచిస్తుంది లేదా దిశను మారుస్తుంది:

అయితే, కోఆర్డినేట్‌లకు ఏమి జరుగుతుందనే ప్రశ్నపై ఇక్కడ మనకు ఆసక్తి ఉంటుంది.

1. రెండు వెక్టర్‌లను జోడించేటప్పుడు (తీసివేసేటప్పుడు), మూలకం ద్వారా వాటి కోఆర్డినేట్‌ల మూలకాన్ని మనం జోడిస్తాము (తీసివేస్తాము). అంటే:

2. వెక్టర్‌ను సంఖ్యతో గుణించినప్పుడు (భాగించేటప్పుడు), దాని అన్ని కోఆర్డినేట్‌లు ఈ సంఖ్యతో గుణించబడతాయి (భాగించబడతాయి):

ఉదాహరణకి:

· కో-ఆర్-డి-నాట్ సెంచరీ-టు-రా మొత్తాన్ని కనుగొనండి.

ముందుగా ప్రతి వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనండి. రెండూ ఒకే మూలాన్ని కలిగి ఉన్నాయి - మూలం పాయింట్. వాటి ముగింపులు భిన్నంగా ఉంటాయి. అప్పుడు, . ఇప్పుడు వెక్టార్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను గణిద్దాం. అప్పుడు వచ్చే వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్ల మొత్తం సమానంగా ఉంటుంది.

సమాధానం:

ఇప్పుడు కింది సమస్యను మీరే పరిష్కరించుకోండి:

· వెక్టార్ కోఆర్డినేట్‌ల మొత్తాన్ని కనుగొనండి

మేము తనిఖీ చేస్తాము:

ఇప్పుడు కింది సమస్యను పరిశీలిద్దాం: కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లో మనకు రెండు పాయింట్లు ఉన్నాయి. వాటి మధ్య దూరాన్ని ఎలా కనుగొనాలి? మొదటి పాయింట్ ఉండనివ్వండి మరియు రెండవది. వాటి మధ్య దూరాన్ని దీని ద్వారా సూచిస్తాము. స్పష్టత కోసం క్రింది డ్రాయింగ్‌ని చేద్దాం:

నేను ఏమి చేశాను? మొదట, నేను చుక్కలను కనెక్ట్ చేసాను మరియు పాయింట్ నుండి ఒక గీతను కూడా గీసాను, అక్షానికి సమాంతరంగా, మరియు పాయింట్ నుండి నేను అక్షానికి సమాంతరంగా ఒక గీతను గీసాను. అవి ఒక బిందువు వద్ద కలుస్తాయా? ఆమె ప్రత్యేకత ఏమిటి? అవును, మీకు మరియు నాకు దాదాపు ప్రతిదీ తెలుసు కుడి త్రిభుజం. బాగా, ఖచ్చితంగా పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం. అవసరమైన విభాగం ఈ త్రిభుజం యొక్క హైపోటెన్యూస్, మరియు విభాగాలు కాళ్ళు. పాయింట్ యొక్క అక్షాంశాలు ఏమిటి? అవును, అవి చిత్రం నుండి కనుగొనడం సులభం: విభాగాలు గొడ్డలికి సమాంతరంగా ఉంటాయి మరియు వరుసగా, వాటి పొడవులను కనుగొనడం సులభం: మేము విభాగాల పొడవులను వరుసగా సూచిస్తే, అప్పుడు

ఇప్పుడు పైథాగరియన్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించుకుందాం. కాళ్ళ పొడవు మనకు తెలుసు, మేము హైపోటెన్యూస్‌ను కనుగొంటాము:

ఈ విధంగా, రెండు పాయింట్ల మధ్య దూరం కోఆర్డినేట్‌ల నుండి స్క్వేర్డ్ తేడాల మొత్తానికి మూలం. లేదా - రెండు పాయింట్ల మధ్య దూరం వాటిని కలిపే సెగ్మెంట్ యొక్క పొడవు. పాయింట్ల మధ్య దూరం దిశపై ఆధారపడి ఉండదని చూడటం సులభం. అప్పుడు:

ఇక్కడ నుండి మేము మూడు తీర్మానాలు చేస్తాము:

రెండు పాయింట్ల మధ్య దూరాన్ని లెక్కించడం గురించి కొంచెం సాధన చేద్దాం:

ఉదాహరణకు, అయితే, మధ్య దూరం మరియు సమానం

లేదా మరొక మార్గంలో వెళ్దాం: వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనండి

మరియు వెక్టర్ యొక్క పొడవును కనుగొనండి:

మీరు గమనిస్తే, అదే విషయం!

ఇప్పుడు మీరే కొంచెం ప్రాక్టీస్ చేయండి:

టాస్క్: సూచించిన పాయింట్ల మధ్య దూరాన్ని కనుగొనండి:

మేము తనిఖీ చేస్తాము:

అదే ఫార్ములాను ఉపయోగించి ఇక్కడ మరికొన్ని సమస్యలు ఉన్నాయి, అయినప్పటికీ అవి కొద్దిగా భిన్నంగా ఉంటాయి:

1. కనురెప్ప యొక్క పొడవు యొక్క చతురస్రాన్ని కనుగొనండి.

2. కనురెప్ప యొక్క పొడవు యొక్క చతురస్రాన్ని కనుగొనండి

మీరు వారితో ఇబ్బంది లేకుండా వ్యవహరించారని నేను అనుకుంటున్నాను? మేము తనిఖీ చేస్తాము:

1. మరియు ఇది శ్రద్ద కోసం) మేము ఇప్పటికే వెక్టర్స్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను ముందుగా కనుగొన్నాము: . అప్పుడు వెక్టర్ కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంటుంది. దాని పొడవు యొక్క చతురస్రం దీనికి సమానంగా ఉంటుంది:

2. వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనండి

అప్పుడు దాని పొడవు యొక్క చతురస్రం

సంక్లిష్టంగా ఏమీ లేదు, సరియైనదా? సాధారణ అంకగణితం, ఇంకేమీ లేదు.

కింది సమస్యలను నిస్సందేహంగా వర్గీకరించలేము; అవి సాధారణ పాండిత్యం మరియు సాధారణ చిత్రాలను గీయగల సామర్థ్యం గురించి ఎక్కువగా ఉంటాయి.

1. పాయింట్‌ను అబ్సిస్సా అక్షంతో కలుపుతూ కట్ నుండి కోణం యొక్క సైన్‌ను కనుగొనండి.

మరియు

మనం ఇక్కడ ఎలా కొనసాగబోతున్నాం? మేము అక్షం మరియు మధ్య కోణం యొక్క సైన్ని కనుగొనాలి. మనం ఎక్కడ సిన్ కోసం వెతకవచ్చు? అది సరైనది, లంబ త్రిభుజంలో. కాబట్టి మనం ఏమి చేయాలి? ఈ త్రిభుజాన్ని నిర్మించండి!

పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు మరియు, అప్పుడు సెగ్మెంట్ సమానం, మరియు సెగ్మెంట్. మేము కోణం యొక్క సైన్ను కనుగొనాలి. సైన్ ఒక నిష్పత్తి అని నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను ఎదురు కాలుహైపోటెన్యూస్‌కి, అప్పుడు

మనం చేయడానికి ఏమి మిగిలి ఉంది? హైపోటెన్యూస్‌ను కనుగొనండి. మీరు దీన్ని రెండు విధాలుగా చేయవచ్చు: పైథాగరియన్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించడం (కాళ్లు తెలిసినవి!) లేదా రెండు పాయింట్ల మధ్య దూరం కోసం సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం (వాస్తవానికి, మొదటి పద్ధతి అదే!). నేను రెండవ మార్గంలో వెళ్తాను:

సమాధానం:

తదుపరి పని మీకు మరింత సులభంగా కనిపిస్తుంది. ఆమె పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్స్‌లో ఉంది.

టాస్క్ 2.పాయింట్ నుండి పర్-పెన్-డి-కు-ల్యార్ అబ్-సిస్ యాక్సిస్‌పైకి తగ్గించబడుతుంది. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

డ్రాయింగ్ చేద్దాం:

లంబంగా ఉండే ఆధారం అది x-axis (axis)ని కలిసే బిందువు, నాకు ఇది ఒక బిందువు. ఇది కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉందని ఫిగర్ చూపిస్తుంది: . మేము అబ్సిస్సాపై ఆసక్తి కలిగి ఉన్నాము - అంటే “x” భాగం. ఆమె సమానం.

సమాధానం: .

టాస్క్ 3.మునుపటి సమస్య యొక్క పరిస్థితులలో, పాయింట్ నుండి కోఆర్డినేట్ అక్షాల వరకు ఉన్న దూరాల మొత్తాన్ని కనుగొనండి.

ఒక బిందువు నుండి గొడ్డలికి దూరం ఏమిటో మీకు తెలిస్తే పని సాధారణంగా ప్రాథమికంగా ఉంటుంది. నీకు తెలుసు? నేను ఆశిస్తున్నాను, కానీ ఇప్పటికీ మీకు గుర్తు చేస్తున్నాను:

కాబట్టి, పైన ఉన్న నా డ్రాయింగ్‌లో, నేను ఇప్పటికే అలాంటి లంబంగా గీసానా? ఇది ఏ అక్షం మీద ఉంది? అక్షానికి. మరియు అప్పుడు దాని పొడవు ఎంత? ఆమె సమానం. ఇప్పుడు అక్షానికి లంబంగా గీయండి మరియు దాని పొడవును కనుగొనండి. ఇది సమానంగా ఉంటుంది, సరియైనదా? అప్పుడు వాటి మొత్తం సమానంగా ఉంటుంది.

సమాధానం: .

టాస్క్ 4.టాస్క్ 2 యొక్క పరిస్థితుల్లో, పాయింట్ యొక్క ఆర్డినేట్‌ను కనుగొనండి, సుష్ట బిందువుఅబ్సిస్సా అక్షానికి సంబంధించి.

సమరూపత అంటే ఏమిటో మీకు అకారణంగా స్పష్టంగా ఉందని నేను భావిస్తున్నాను? అనేక వస్తువులు దానిని కలిగి ఉన్నాయి: అనేక భవనాలు, పట్టికలు, విమానాలు, అనేక రేఖాగణిత ఆకారాలు: బంతి, సిలిండర్, చతురస్రం, రాంబస్, మొదలైనవి. స్థూలంగా చెప్పాలంటే, సమరూపతను ఈ క్రింది విధంగా అర్థం చేసుకోవచ్చు: ఒక వ్యక్తి రెండు (లేదా అంతకంటే ఎక్కువ) ఒకే అర్ధభాగాలను కలిగి ఉంటుంది. ఈ సమరూపతను అక్షసంబంధ సమరూపత అంటారు. అప్పుడు అక్షం అంటే ఏమిటి? సాపేక్షంగా చెప్పాలంటే, బొమ్మను సమాన భాగాలుగా "కత్తిరించవచ్చు" (ఈ చిత్రంలో సమరూపత యొక్క అక్షం నేరుగా ఉంటుంది):

ఇప్పుడు మన పనికి తిరిగి వద్దాం. మేము అక్షం గురించి సుష్టంగా ఉండే పాయింట్ కోసం చూస్తున్నామని మాకు తెలుసు. అప్పుడు ఈ అక్షం సమరూపత యొక్క అక్షం. అక్షం సెగ్మెంట్‌ను రెండు సమాన భాగాలుగా కత్తిరించే పాయింట్‌ను మనం గుర్తించాల్సిన అవసరం ఉందని దీని అర్థం. అటువంటి పాయింట్‌ను మీరే గుర్తించడానికి ప్రయత్నించండి. ఇప్పుడు నా పరిష్కారంతో సరిపోల్చండి:

ఇది మీ కోసం అదే విధంగా పని చేసిందా? బాగానే ఉంది! కనుగొన్న పాయింట్ యొక్క ఆర్డినేట్‌పై మాకు ఆసక్తి ఉంది. ఇది సమానం

సమాధానం:

ఇప్పుడు చెప్పండి, కొన్ని సెకన్లు ఆలోచించిన తర్వాత, ఆర్డినేట్‌కు సంబంధించి పాయింట్ A కి సుష్టంగా ఉండే బిందువు యొక్క అబ్సిస్సా ఏమిటి? మీ సమాధానం ఏమిటి? సరైన సమాధానము: .

సాధారణంగా, నియమాన్ని ఇలా వ్రాయవచ్చు:

అబ్సిస్సా అక్షానికి సంబంధించి ఒక బిందువుకు సుష్టమైన బిందువు అక్షాంశాలను కలిగి ఉంటుంది:

ఆర్డినేట్ అక్షానికి సంబంధించి ఒక బిందువుకు సుష్టమైన బిందువు కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంటుంది:

బాగా, ఇప్పుడు ఇది పూర్తిగా భయానకంగా ఉంది పని: మూలానికి సంబంధించి బిందువుకు సుష్టమైన పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనండి. మీరు మొదట మీ కోసం ఆలోచించండి, ఆపై నా డ్రాయింగ్ చూడండి!

సమాధానం:

ఇప్పుడు సమాంతర చతుర్భుజం సమస్య:

టాస్క్ 5: పాయింట్లు ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma కనిపిస్తాయి. ఆ పాయింట్‌ని కనుగొనండి.

మీరు ఈ సమస్యను రెండు విధాలుగా పరిష్కరించవచ్చు: లాజిక్ మరియు కోఆర్డినేట్ పద్ధతి. నేను మొదట కోఆర్డినేట్ పద్ధతిని ఉపయోగిస్తాను, ఆపై మీరు దానిని భిన్నంగా ఎలా పరిష్కరించవచ్చో నేను మీకు చెప్తాను.

పాయింట్ యొక్క అబ్సిస్సా సమానంగా ఉందని చాలా స్పష్టంగా ఉంది. (ఇది బిందువు నుండి అబ్సిస్సా అక్షం వరకు గీసిన లంబంగా ఉంటుంది). మేము ఆర్డినేట్‌ను కనుగొనాలి. మన ఫిగర్ సమాంతర చతుర్భుజం అనే వాస్తవాన్ని సద్వినియోగం చేసుకుందాం, దీని అర్థం. రెండు పాయింట్ల మధ్య దూరం కోసం సూత్రాన్ని ఉపయోగించి సెగ్మెంట్ యొక్క పొడవును కనుగొనండి:

పాయింట్‌ను అక్షానికి అనుసంధానించే లంబాన్ని మేము తగ్గిస్తాము. నేను ఖండన బిందువును అక్షరంతో సూచిస్తాను.

సెగ్మెంట్ యొక్క పొడవు సమానంగా ఉంటుంది. (మేము ఈ అంశాన్ని చర్చించిన చోట సమస్యను మీరే కనుగొనండి), అప్పుడు మేము పైథాగరియన్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి సెగ్మెంట్ యొక్క పొడవును కనుగొంటాము:

సెగ్మెంట్ యొక్క పొడవు దాని ఆర్డినేట్‌తో సరిగ్గా సమానంగా ఉంటుంది.

సమాధానం: .

మరొక పరిష్కారం (నేను దానిని వివరించే చిత్రాన్ని ఇస్తాను)

పరిష్కారం పురోగతి:

1. ప్రవర్తన

2. పాయింట్ మరియు పొడవు యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనండి

3. నిరూపించండి.

మరొకటి సెగ్మెంట్ పొడవు సమస్య:

పాయింట్లు త్రిభుజం పైన కనిపిస్తాయి. దాని మధ్యరేఖ పొడవును సమాంతరంగా కనుగొనండి.

అది ఏమిటో మీకు గుర్తుందా మధ్య రేఖత్రిభుజమా? అప్పుడు ఈ పని మీకు ప్రాథమికమైనది. మీకు గుర్తులేకపోతే, నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను: త్రిభుజం యొక్క మధ్య రేఖ అనేది మధ్య బిందువులను కలిపే రేఖ. ఎదురుగా. ఇది బేస్కు సమాంతరంగా ఉంటుంది మరియు దానిలో సగానికి సమానంగా ఉంటుంది.

ఆధారం ఒక విభాగం. మేము ముందుగా దాని పొడవు కోసం వెతకాలి, అది సమానంగా ఉంటుంది. అప్పుడు మధ్య రేఖ పొడవు సగం పెద్దది మరియు సమానంగా ఉంటుంది.

సమాధానం: .

వ్యాఖ్య: ఈ సమస్యను మరొక విధంగా పరిష్కరించవచ్చు, దానిని మేము కొంచెం తరువాత పరిశీలిస్తాము.

ఈ సమయంలో, మీ కోసం ఇక్కడ కొన్ని సమస్యలు ఉన్నాయి, వాటిపై అభ్యాసం చేయండి, అవి చాలా సరళమైనవి, కానీ అవి సమన్వయ పద్ధతిని ఉపయోగించడంలో మీకు సహాయపడతాయి!

1. పాయింట్లు ట్రా-పె-షన్స్‌లో అగ్రస్థానంలో ఉంటాయి. దాని మధ్యరేఖ పొడవును కనుగొనండి.

2. పాయింట్లు మరియు ప్రదర్శనలు ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. ఆ పాయింట్‌ని కనుగొనండి.

3. కట్ నుండి పొడవు కనుగొనండి, పాయింట్ కనెక్ట్ మరియు

4. కో-ఆర్డి-నాట్ ప్లేన్‌లో రంగుల బొమ్మ వెనుక ఉన్న ప్రాంతాన్ని కనుగొనండి.

5. నా-చా-లే కో-ఆర్-డి-నాట్‌లో కేంద్రం ఉన్న వృత్తం బిందువు గుండా వెళుతుంది. ఆమె రా-డి-యుస్‌ని కనుగొనండి.

6. సర్కిల్‌లోని ఫైండ్-డి-టె రా-డి-యుస్, రైట్ యాంగిల్-నో-కా గురించి వర్ణించండి-సన్-నోయ్, ఏదైనా టాప్స్‌లో కో-లేదా -డి-నా-మీరు చాలా బాధ్యత వహిస్తారు

పరిష్కారాలు:

1. ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క మధ్యరేఖ దాని స్థావరాల మొత్తంలో సగం మొత్తానికి సమానం అని తెలుసు. బేస్ సమానం, మరియు బేస్. అప్పుడు

సమాధానం:

2. ఈ సమస్యను పరిష్కరించడానికి సులభమైన మార్గం (సమాంతర చతుర్భుజం నియమం) గమనించడం. వెక్టర్స్ కోఆర్డినేట్‌లను లెక్కించడం కష్టం కాదు: . వెక్టర్లను జోడించేటప్పుడు, కోఆర్డినేట్లు జోడించబడతాయి. అప్పుడు కోఆర్డినేట్‌లు ఉన్నాయి. వెక్టర్ యొక్క మూలం కోఆర్డినేట్‌లతో కూడిన బిందువు కాబట్టి, పాయింట్ కూడా ఈ కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంటుంది. ఆర్డినేట్‌పై మాకు ఆసక్తి ఉంది. ఆమె సమానం.

సమాధానం:

3. మేము వెంటనే రెండు పాయింట్ల మధ్య దూరం కోసం సూత్రం ప్రకారం పని చేస్తాము:

సమాధానం:

4. చిత్రాన్ని చూసి, షేడెడ్ ఏరియా ఏ రెండు బొమ్మల మధ్య "శాండ్‌విచ్ చేయబడింది" అని చెప్పండి? ఇది రెండు చతురస్రాల మధ్య శాండ్విచ్ చేయబడింది. అప్పుడు కావలసిన బొమ్మ యొక్క వైశాల్యం పెద్ద చతురస్రం యొక్క వైశాల్యానికి సమానం, చిన్నది యొక్క వైశాల్యం. వైపు చిన్న చతురస్రంపాయింట్లను కనెక్ట్ చేసే విభాగం మరియు దాని పొడవు

అప్పుడు చిన్న చతురస్రం యొక్క వైశాల్యం

మేము పెద్ద చతురస్రంతో అదే చేస్తాము: దాని వైపు పాయింట్లను కలుపుతున్న ఒక విభాగం మరియు దాని పొడవు

అప్పుడు పెద్ద చతురస్రం యొక్క ప్రాంతం

మేము సూత్రాన్ని ఉపయోగించి కావలసిన ఫిగర్ యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొంటాము:

సమాధానం:

5. ఒక వృత్తం మూలాన్ని కేంద్రంగా కలిగి ఉండి, ఒక బిందువు గుండా వెళితే, దాని వ్యాసార్థం ఖచ్చితంగా ఉంటుంది పొడవుకు సమానంసెగ్మెంట్ (డ్రాయింగ్ చేయండి మరియు ఇది ఎందుకు స్పష్టంగా ఉందో మీరు అర్థం చేసుకుంటారు). ఈ విభాగం యొక్క పొడవును కనుగొనండి:

సమాధానం:

6. ఒక వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం దీర్ఘచతురస్రాన్ని చుట్టుముట్టినట్లు తెలిసింది సగానికి సమానందాని వికర్ణాలు. రెండు వికర్ణాలలో ఏదైనా పొడవును కనుగొనండి (అన్ని తరువాత, దీర్ఘచతురస్రంలో అవి సమానంగా ఉంటాయి!)

సమాధానం:

సరే, మీరు ప్రతిదీ భరించారా? దీన్ని గుర్తించడం చాలా కష్టం కాదు, అవునా? ఇక్కడ ఒకే ఒక నియమం ఉంది - దృశ్యమాన చిత్రాన్ని రూపొందించడం మరియు దాని నుండి మొత్తం డేటాను "చదవడం" చేయగలరు.

మనకు మిగిలింది చాలా తక్కువ. నేను చర్చించదలిచిన మరో రెండు పాయింట్లు ఉన్నాయి.

ఈ సాధారణ సమస్యను పరిష్కరించడానికి ప్రయత్నిద్దాం. రెండు పాయింట్లు లెట్ మరియు ఇవ్వబడుతుంది. సెగ్మెంట్ మధ్య బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనండి. ఈ సమస్యకు పరిష్కారం క్రింది విధంగా ఉంది: పాయింట్ కోరుకున్న మధ్యలో ఉండనివ్వండి, ఆపై దానికి అక్షాంశాలు ఉంటాయి:

అంటే: కోఆర్డినేట్స్ ఆఫ్ ది సెగ్మెంట్ = సెగ్మెంట్ చివరల సంబంధిత కోఆర్డినేట్‌ల యొక్క అంకగణిత సగటు.

ఈ నియమం చాలా సులభం మరియు సాధారణంగా విద్యార్థులకు ఇబ్బందులు కలిగించదు. ఏ సమస్యలు మరియు దానిని ఎలా ఉపయోగించాలో చూద్దాం:

1. Find-di-te or-di-na-tu se-re-di-ny from-cut, connect-the-point and

2. పాయింట్లు ప్రపంచంలోని అగ్రస్థానంలో ఉన్నట్లు కనిపిస్తాయి. అతని డయా-గో-నా-లే యొక్క ప్రతి-రీ-సె-చే-నియాకు-డి-టె లేదా-డి-నా-టు పాయింట్లను కనుగొనండి.

3. ఫైండ్-డి-టీ అబ్స్-సిస్-సు సర్కిల్ మధ్యలో, దీర్ఘచతురస్రాకార-నో-కా గురించి వర్ణించండి-శాన్-నోయ్, ఏదైనా టాప్స్ కో-ఆర్-డి-నా-మీరు చాలా బాధ్యతాయుతంగా-కానీ.

పరిష్కారాలు:

1. మొదటి సమస్య కేవలం క్లాసిక్. సెగ్మెంట్ మధ్యలో గుర్తించడానికి మేము వెంటనే కొనసాగుతాము. దీనికి కోఆర్డినేట్‌లు ఉన్నాయి. ఆర్డినేట్ సమానం.

సమాధానం:

2. ఈ చతుర్భుజం సమాంతర చతుర్భుజం (రాంబస్ కూడా!) అని చూడటం సులభం. భుజాల పొడవులను లెక్కించడం మరియు వాటిని ఒకదానితో ఒకటి పోల్చడం ద్వారా మీరు దీన్ని మీరే నిరూపించవచ్చు. సమాంతర చతుర్భుజాల గురించి నాకు ఏమి తెలుసు? దీని వికర్ణాలు ఖండన బిందువు ద్వారా సగానికి విభజించబడ్డాయి! అవును! కాబట్టి వికర్ణాల ఖండన పాయింట్ ఏమిటి? ఇది వికర్ణాలలో ఏదైనా మధ్యలో ఉంటుంది! నేను ప్రత్యేకంగా, వికర్ణాన్ని ఎంచుకుంటాను. అప్పుడు పాయింట్ కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంటుంది, పాయింట్ యొక్క ఆర్డినేట్ సమానంగా ఉంటుంది.

సమాధానం:

3. దీర్ఘచతురస్రం చుట్టూ ఉన్న వృత్తం మధ్యలో దేనితో సమానంగా ఉంటుంది? ఇది దాని వికర్ణాల ఖండన బిందువుతో సమానంగా ఉంటుంది. దీర్ఘ చతురస్రం యొక్క వికర్ణాల గురించి మీకు ఏమి తెలుసు? అవి సమానంగా ఉంటాయి మరియు ఖండన స్థానం వాటిని సగానికి విభజిస్తుంది. పని మునుపటిదానికి తగ్గించబడింది. ఉదాహరణకు, వికర్ణాన్ని తీసుకుందాం. అప్పుడు వృత్తం యొక్క కేంద్రం అయితే, అది మధ్య బిందువు. నేను కోఆర్డినేట్‌ల కోసం వెతుకుతున్నాను: అబ్సిస్సా సమానం.

సమాధానం:

ఇప్పుడు మీ స్వంతంగా కొంచెం ప్రాక్టీస్ చేయండి, నేను ప్రతి సమస్యకు సమాధానాలు ఇస్తాను కాబట్టి మీరు మిమ్మల్ని మీరు పరీక్షించుకోవచ్చు.

1. సర్కిల్ యొక్క ఫైండ్-డి-టె రా-డి-యుస్, ట్రై-యాంగిల్-నో-కా గురించి వర్ణించండి-సాన్-నోయ్, ఏదైనా టాప్స్‌లో కో-ఆర్-డి-నో మిస్టర్స్ ఉంటాయి

2. ఫైండ్-డి-టె లేదా-డి-ఆన్-ఆ వృత్తం మధ్యలో, త్రిభుజం-నో-కా గురించి వివరించండి-సాన్-నోయ్, దీని పైభాగాలు కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంటాయి

3. ab-ciss అక్షాన్ని తాకే విధంగా ఒక బిందువు వద్ద కేంద్రంతో వృత్తం ఏ విధమైన ra-di-u-sa ఉండాలి?

4. అక్షం యొక్క రీ-సె-సి-షన్ యొక్క ఆ బిందువును కనుగొనండి-డి-ఆ లేదా-డి-ఆన్-కట్, కనెక్ట్-ది-పాయింట్ మరియు

సమాధానాలు:

ప్రతిదీ విజయవంతమైందా? నేను నిజంగా దాని కోసం ఆశిస్తున్నాను! ఇప్పుడు - చివరి పుష్. ఇప్పుడు ముఖ్యంగా జాగ్రత్తగా ఉండండి. నేను ఇప్పుడు వివరించే విషయం నేరుగా సంబంధించినది మాత్రమే కాదు సాధారణ పనులుపార్ట్ B నుండి కోఆర్డినేట్ పద్ధతికి, కానీ సమస్య C2లో ప్రతిచోటా కనుగొనబడింది.

నా వాగ్దానాలలో నేను ఇంకా ఏది నిలబెట్టుకోలేదు? నేను పరిచయం చేస్తానని వాగ్దానం చేసిన వెక్టర్స్‌పై ఏ ఆపరేషన్లు మరియు నేను చివరికి ఏవి పరిచయం చేశాను అని గుర్తుంచుకోండి? నేను ఏదీ మరచిపోలేదని మీరు ఖచ్చితంగా అనుకుంటున్నారా? మర్చిపోయా! వెక్టర్ గుణకారం అంటే ఏమిటో వివరించడం మర్చిపోయాను.

వెక్టార్‌ను వెక్టర్ ద్వారా గుణించడానికి రెండు మార్గాలు ఉన్నాయి. ఎంచుకున్న పద్ధతిని బట్టి, మేము విభిన్న స్వభావాల వస్తువులను పొందుతాము:

క్రాస్ ఉత్పత్తి చాలా తెలివిగా చేయబడుతుంది. దీన్ని ఎలా చేయాలో మరియు అది ఎందుకు అవసరమో తదుపరి ఆర్టికల్లో చర్చిస్తాము. మరియు ఇందులో మనం స్కేలార్ ఉత్పత్తిపై దృష్టి పెడతాము.

దీన్ని లెక్కించడానికి మాకు రెండు మార్గాలు ఉన్నాయి:

మీరు ఊహించినట్లుగా, ఫలితం అదే విధంగా ఉండాలి! కాబట్టి మొదట మొదటి పద్ధతిని చూద్దాం:

కోఆర్డినేట్‌ల ద్వారా డాట్ ఉత్పత్తి

కనుగొనండి: - సాధారణంగా ఆమోదించబడిన హోదా డాట్ ఉత్పత్తి

గణన సూత్రం క్రింది విధంగా ఉంది:

అంటే, స్కేలార్ ఉత్పత్తి = వెక్టార్ కోఆర్డినేట్‌ల ఉత్పత్తుల మొత్తం!

ఉదాహరణ:

Find-di-te

పరిష్కారం:

ప్రతి వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనండి:

మేము సూత్రాన్ని ఉపయోగించి స్కేలార్ ఉత్పత్తిని లెక్కిస్తాము:

సమాధానం:

చూడండి, ఖచ్చితంగా ఏమీ సంక్లిష్టంగా లేదు!

సరే, ఇప్పుడు మీరే ప్రయత్నించండి:

· శతాబ్దాల స్కేలార్ ప్రో-ఇజ్-వే-డి-నీని కనుగొనండి మరియు

మీరు నిర్వహించారా? బహుశా మీరు చిన్న క్యాచ్‌ని గమనించారా? తనిఖీ చేద్దాం:

వెక్టార్ కోఆర్డినేట్‌ల వలె చివరి పని! సమాధానం: .

కోఆర్డినేట్‌తో పాటు, స్కేలార్ ఉత్పత్తిని లెక్కించడానికి మరొక మార్గం ఉంది, అవి వెక్టర్స్ యొక్క పొడవులు మరియు వాటి మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్ ద్వారా:

వెక్టర్స్ మరియు మధ్య కోణాన్ని సూచిస్తుంది.

అంటే, స్కేలార్ ఉత్పత్తి వెక్టర్స్ యొక్క పొడవు మరియు వాటి మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్ యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం.

మనకు ఈ రెండవ సూత్రం ఎందుకు అవసరం, మనకు మొదటిది ఉంటే, ఇది చాలా సరళమైనది, కనీసం దానిలో కొసైన్‌లు కూడా లేవు. మరియు ఇది అవసరం కాబట్టి మొదటి మరియు రెండవ సూత్రాల నుండి మీరు మరియు నేను వెక్టర్స్ మధ్య కోణాన్ని ఎలా కనుగొనాలో అంచనా వేయవచ్చు!

వెక్టార్ పొడవు కోసం సూత్రాన్ని గుర్తుంచుకోనివ్వండి!

అప్పుడు నేను ఈ డేటాను స్కేలార్ ఉత్పత్తి సూత్రంలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, నేను పొందుతాను:

కానీ మరొక విధంగా:

కాబట్టి మీరు మరియు నేను ఏమి పొందాము? మేము ఇప్పుడు రెండు వెక్టర్స్ మధ్య కోణాన్ని లెక్కించడానికి అనుమతించే సూత్రాన్ని కలిగి ఉన్నాము! కొన్నిసార్లు ఇది సంక్షిప్తత కోసం ఇలా కూడా వ్రాయబడుతుంది:

అంటే, వెక్టర్స్ మధ్య కోణాన్ని లెక్కించడానికి అల్గోరిథం క్రింది విధంగా ఉంటుంది:

1. కోఆర్డినేట్ల ద్వారా స్కేలార్ ఉత్పత్తిని లెక్కించండి
2. వెక్టర్స్ యొక్క పొడవులను కనుగొని వాటిని గుణించండి
3. పాయింట్ 1 ఫలితాన్ని పాయింట్ 2 ఫలితంతో భాగించండి

ఉదాహరణలతో సాధన చేద్దాం:

1. కనురెప్పల మధ్య కోణాన్ని కనుగొనండి మరియు. గ్రాడ్-డు-సాలో సమాధానం ఇవ్వండి.

2. మునుపటి సమస్య యొక్క పరిస్థితులలో, వెక్టర్స్ మధ్య కొసైన్‌ను కనుగొనండి

దీన్ని చేద్దాం: మొదటి సమస్యను పరిష్కరించడానికి నేను మీకు సహాయం చేస్తాను మరియు రెండవదాన్ని మీరే చేయడానికి ప్రయత్నించండి! అంగీకరిస్తున్నారు? అప్పుడు ప్రారంభిద్దాం!

1. ఈ వెక్టర్స్ మన పాత స్నేహితులు. మేము ఇప్పటికే వారి స్కేలార్ ఉత్పత్తిని లెక్కించాము మరియు అది సమానంగా ఉంది. వారి కోఆర్డినేట్లు:, . అప్పుడు మేము వాటి పొడవును కనుగొంటాము:

అప్పుడు మేము వెక్టర్స్ మధ్య కొసైన్ కోసం చూస్తాము:

కోణం యొక్క కొసైన్ ఏమిటి? ఇది మూల.

సమాధానం:

బాగా, ఇప్పుడు రెండవ సమస్యను మీరే పరిష్కరించండి, ఆపై సరిపోల్చండి! నేను చాలా చిన్న పరిష్కారాన్ని ఇస్తాను:

2. కోఆర్డినేట్‌లు ఉన్నాయి, కోఆర్డినేట్‌లు ఉన్నాయి.

వెక్టార్‌ల మధ్య కోణంగా ఉండనివ్వండి మరియు, ఆపై

సమాధానం:

పార్ట్ B లోని వెక్టర్స్ మరియు కోఆర్డినేట్ పద్ధతిపై నేరుగా సమస్యలు ఉన్నాయని గమనించాలి పరీక్ష పేపర్చాలా అరుదు. అయినప్పటికీ, చాలావరకు C2 సమస్యలను సమన్వయ వ్యవస్థను ప్రవేశపెట్టడం ద్వారా సులభంగా పరిష్కరించవచ్చు. కాబట్టి మీరు ఈ కథనాన్ని పునాదిగా పరిగణించవచ్చు, దీని ఆధారంగా మేము సంక్లిష్ట సమస్యలను పరిష్కరించాల్సిన అవసరం ఉన్న చాలా తెలివైన నిర్మాణాలను చేస్తాము.

కోఆర్డినేట్స్ మరియు వెక్టర్స్. సగటు స్థాయి

మీరు మరియు నేను కోఆర్డినేట్ పద్ధతిని అధ్యయనం చేస్తూనే ఉన్నాము. చివరి భాగంలో, మేము మిమ్మల్ని అనుమతించే అనేక ముఖ్యమైన సూత్రాలను పొందాము:

1. వెక్టర్ కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనండి
2. వెక్టర్ యొక్క పొడవును కనుగొనండి (ప్రత్యామ్నాయంగా: రెండు పాయింట్ల మధ్య దూరం)
3. వెక్టార్‌లను జోడించండి మరియు తీసివేయండి. వాటిని వాస్తవ సంఖ్యతో గుణించండి
4. సెగ్మెంట్ మధ్య బిందువును కనుగొనండి
5. వెక్టర్స్ యొక్క డాట్ ఉత్పత్తిని లెక్కించండి
6. వెక్టర్స్ మధ్య కోణాన్ని కనుగొనండి

వాస్తవానికి, మొత్తం కోఆర్డినేట్ పద్ధతి ఈ 6 పాయింట్లకు సరిపోదు. ఇది విశ్లేషణాత్మక జ్యామితి వంటి శాస్త్రాన్ని సూచిస్తుంది, ఇది మీకు విశ్వవిద్యాలయంలో సుపరిచితం అవుతుంది. నేను ఒకే రాష్ట్రంలో సమస్యలను పరిష్కరించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతించే పునాదిని నిర్మించాలనుకుంటున్నాను. పరీక్ష. మేము పార్ట్ B యొక్క టాస్క్‌లతో వ్యవహరించాము. ఇప్పుడు అధిక-నాణ్యతకి వెళ్లడానికి ఇది సమయం కొత్త స్థాయి! ఈ వ్యాసం C2 సమస్యలను పరిష్కరించడానికి ఒక పద్ధతికి అంకితం చేయబడుతుంది, దీనిలో కోఆర్డినేట్ పద్ధతికి మారడం సహేతుకంగా ఉంటుంది. ఈ సహేతుకత సమస్యలో ఏమి కనుగొనబడాలి మరియు ఏ సంఖ్య ఇవ్వబడింది అనే దాని ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది. కాబట్టి, ప్రశ్నలు ఉంటే నేను కోఆర్డినేట్ పద్ధతిని ఉపయోగిస్తాను:

1. రెండు విమానాల మధ్య కోణాన్ని కనుగొనండి
2. సరళ రేఖ మరియు విమానం మధ్య కోణాన్ని కనుగొనండి
3. రెండు సరళ రేఖల మధ్య కోణాన్ని కనుగొనండి
4. ఒక పాయింట్ నుండి ఒక విమానానికి దూరం కనుగొనండి
5. పాయింట్ నుండి రేఖకు దూరాన్ని కనుగొనండి
6. సరళ రేఖ నుండి విమానానికి దూరాన్ని కనుగొనండి
7. రెండు పంక్తుల మధ్య దూరాన్ని కనుగొనండి

సమస్య స్టేట్‌మెంట్‌లో ఇచ్చిన ఫిగర్ రొటేషన్ బాడీ అయితే (బాల్, సిలిండర్, కోన్...)

కోఆర్డినేట్ పద్ధతికి తగిన గణాంకాలు:

1. దీర్ఘచతురస్రాకార సమాంతర గొట్టం
2. పిరమిడ్ (త్రిభుజాకార, చతుర్భుజ, షట్కోణ)

నా అనుభవం నుండి కూడా కోఆర్డినేట్ పద్ధతిని ఉపయోగించడం సరికాదు:

1. క్రాస్ సెక్షనల్ ప్రాంతాలను కనుగొనడం
2. శరీరాల వాల్యూమ్ల గణన

ఏదేమైనా, కోఆర్డినేట్ పద్ధతికి మూడు "అననుకూల" పరిస్థితులు ఆచరణలో చాలా అరుదు అని వెంటనే గమనించాలి. చాలా పనులలో, ఇది మీ రక్షకునిగా మారవచ్చు, ప్రత్యేకించి మీరు త్రిమితీయ నిర్మాణాలలో చాలా బాగా లేకుంటే (ఇది కొన్నిసార్లు చాలా క్లిష్టంగా ఉంటుంది).

నేను పైన జాబితా చేసిన అన్ని గణాంకాలు ఏమిటి? అవి ఇకపై చదునుగా ఉండవు, ఉదాహరణకు, ఒక చతురస్రం, త్రిభుజం, వృత్తం, కానీ పెద్దవి! దీని ప్రకారం, మనం రెండు డైమెన్షనల్ కాదు, త్రిమితీయ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌ను పరిగణించాలి. దీన్ని నిర్మించడం చాలా సులభం: అబ్సిస్సా మరియు ఆర్డినేట్ యాక్సిస్‌తో పాటు, మేము మరొక అక్షం, అప్లికేషన్ యాక్సిస్‌ను పరిచయం చేస్తాము. ఫిగర్ వారి సాపేక్ష స్థానాన్ని క్రమపద్ధతిలో చూపుతుంది:

అవన్నీ పరస్పరం లంబంగా ఉంటాయి మరియు ఒక సమయంలో కలుస్తాయి, వీటిని మేము కోఆర్డినేట్‌ల మూలం అని పిలుస్తాము. మునుపటిలాగా, మేము అబ్సిస్సా అక్షం, ఆర్డినేట్ అక్షం - , మరియు ప్రవేశపెట్టిన దరఖాస్తు అక్షం - .

ఇంతకుముందు విమానంలోని ప్రతి పాయింట్‌ను అబ్సిస్సా మరియు ఆర్డినేట్ అనే రెండు సంఖ్యలతో వర్గీకరించినట్లయితే, అంతరిక్షంలోని ప్రతి పాయింట్ ఇప్పటికే మూడు సంఖ్యల ద్వారా వివరించబడింది - అబ్సిస్సా, ఆర్డినేట్ మరియు అప్లికేషన్. ఉదాహరణకి:

దీని ప్రకారం, ఒక బిందువు యొక్క అబ్సిస్సా సమానం, ఆర్డినేట్ , మరియు దరఖాస్తు .

కొన్నిసార్లు ఒక బిందువు యొక్క అబ్సిస్సాను అబ్సిస్సా అక్షం మీద బిందువు యొక్క ప్రొజెక్షన్ అని కూడా పిలుస్తారు, ఆర్డినేట్ - ఆర్డినేట్ అక్షంపై ఒక పాయింట్ యొక్క ప్రొజెక్షన్, మరియు అప్లికేషన్ - అప్లికేట్ అక్షంపై ఒక పాయింట్ యొక్క ప్రొజెక్షన్. దీని ప్రకారం, ఒక పాయింట్ ఇచ్చినట్లయితే, కోఆర్డినేట్‌లతో కూడిన పాయింట్:

ఒక విమానంలో ఒక బిందువు యొక్క ప్రొజెక్షన్ అని పిలుస్తారు

ఒక విమానంలో ఒక బిందువు యొక్క ప్రొజెక్షన్ అని పిలుస్తారు

ఒక సహజమైన ప్రశ్న తలెత్తుతుంది: రెండు-డైమెన్షనల్ కేస్ కోసం ఉత్పన్నమైన అన్ని సూత్రాలు అంతరిక్షంలో చెల్లుబాటు అయ్యేలా ఉన్నాయా? సమాధానం అవును, అవి న్యాయమైనవి మరియు ఒకే రూపాన్ని కలిగి ఉంటాయి. చిన్న వివరాల కోసం. ఇది ఏది అని మీరు ఇప్పటికే ఊహించారని నేను భావిస్తున్నాను. అన్ని సూత్రాలలో మనం దరఖాస్తు అక్షానికి బాధ్యత వహించే మరో పదాన్ని జోడించాలి. అవి.

1. రెండు పాయింట్లు ఇచ్చినట్లయితే: , అప్పుడు:

• వెక్టర్ కోఆర్డినేట్స్:
• రెండు పాయింట్ల మధ్య దూరం (లేదా వెక్టర్ పొడవు)
• సెగ్మెంట్ మధ్య బిందువు కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంది

2. రెండు వెక్టర్స్ ఇచ్చినట్లయితే: మరియు, అప్పుడు:

• వారి స్కేలార్ ఉత్పత్తి దీనికి సమానం:
• వెక్టర్స్ మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్ దీనికి సమానం:

అయితే, స్థలం అంత సులభం కాదు. మీరు అర్థం చేసుకున్నట్లుగా, మరొక కోఆర్డినేట్‌ని జోడించడం వలన ఈ స్థలంలో "నివసిస్తున్న" బొమ్మల స్పెక్ట్రంలో గణనీయమైన వైవిధ్యాన్ని పరిచయం చేస్తుంది. మరియు తదుపరి కథనం కోసం నేను సరళ రేఖ యొక్క “సాధారణీకరణ” గురించి స్థూలంగా చెప్పవలసి ఉంటుంది. ఈ "సాధారణీకరణ" ఒక విమానం అవుతుంది. విమానం గురించి మీకు ఏమి తెలుసు? అనే ప్రశ్నకు సమాధానం ఇవ్వడానికి ప్రయత్నించండి, విమానం అంటే ఏమిటి? చెప్పడం చాలా కష్టం. అయినప్పటికీ, అది ఎలా ఉంటుందో మనమందరం అకారణంగా ఊహించుకుంటాము:

స్థూలంగా చెప్పాలంటే, ఇది అంతరిక్షంలో చిక్కుకున్న ఒక రకమైన అంతులేని "షీట్". "అనంతం" విమానం అన్ని దిశలలో విస్తరించి ఉందని అర్థం చేసుకోవాలి, అనగా, దాని ప్రాంతం అనంతానికి సమానం. అయితే, ఈ "హ్యాండ్-ఆన్" వివరణ విమానం యొక్క నిర్మాణం గురించి స్వల్పంగానైనా ఆలోచన ఇవ్వదు. మరియు ఆమె మనపై ఆసక్తి చూపుతుంది.

జ్యామితి యొక్క ప్రాథమిక సిద్ధాంతాలలో ఒకదాన్ని గుర్తుంచుకోండి:

• రెండు లో వివిధ పాయింట్లువిమానంలో సరళ రేఖ ఉంది మరియు ఒకటి మాత్రమే:

లేదా అంతరిక్షంలో దాని అనలాగ్:

వాస్తవానికి, ఇచ్చిన రెండు పాయింట్ల నుండి పంక్తి యొక్క సమీకరణాన్ని ఎలా పొందాలో మీకు గుర్తుంది; ఇది అస్సలు కష్టం కాదు: మొదటి పాయింట్ అక్షాంశాలను కలిగి ఉంటే: మరియు రెండవది, అప్పుడు లైన్ యొక్క సమీకరణం క్రింది విధంగా ఉంటుంది:

మీరు దీన్ని 7వ తరగతిలో చదివారు. అంతరిక్షంలో, ఒక రేఖ యొక్క సమీకరణం ఇలా కనిపిస్తుంది: కోఆర్డినేట్‌లతో మనకు రెండు పాయింట్లు ఇవ్వండి: , అప్పుడు వాటి గుండా వెళుతున్న రేఖ యొక్క సమీకరణం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది:

ఉదాహరణకు, ఒక లైన్ పాయింట్ల గుండా వెళుతుంది:

దీన్ని ఎలా అర్థం చేసుకోవాలి? దీనిని ఈ క్రింది విధంగా అర్థం చేసుకోవాలి: ఒక పాయింట్ ఒక రేఖపై దాని కోఆర్డినేట్‌లు క్రింది సిస్టమ్‌ను సంతృప్తిపరిచినట్లయితే:

మేము రేఖ యొక్క సమీకరణంపై చాలా ఆసక్తిని కలిగి ఉండము, కానీ మనం చాలా శ్రద్ధ వహించాలి ముఖ్యమైన భావనవెక్టర్ సరళ రేఖను నిర్దేశిస్తుంది. - ఇచ్చిన రేఖపై లేదా దానికి సమాంతరంగా ఉన్న ఏదైనా సున్నా కాని వెక్టార్.

ఉదాహరణకు, రెండు వెక్టర్స్ ఒక సరళ రేఖ యొక్క దిశ వెక్టర్స్. ఒక రేఖపై ఉన్న బిందువుగా ఉండనివ్వండి మరియు దాని దిశ వెక్టర్‌గా ఉండనివ్వండి. అప్పుడు లైన్ యొక్క సమీకరణాన్ని క్రింది రూపంలో వ్రాయవచ్చు:

మరోసారి, సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణంపై నాకు పెద్దగా ఆసక్తి ఉండదు, కానీ డైరెక్షన్ వెక్టర్ అంటే ఏమిటో మీరు గుర్తుంచుకోవాలి! మళ్ళీ: ఇది ఏదైనా సున్నా కాని వెక్టార్ ఒక రేఖపై లేదా దానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది.

ఉపసంహరించుకోండి ఇచ్చిన మూడు పాయింట్ల ఆధారంగా ఒక విమానం యొక్క సమీకరణంఅనేది ఇకపై అంత చిన్నవిషయం కాదు మరియు సాధారణంగా ఈ సమస్య కోర్సులో ప్రస్తావించబడదు ఉన్నత పాఠశాల. కానీ ఫలించలేదు! సంక్లిష్ట సమస్యలను పరిష్కరించడానికి మేము కోఆర్డినేట్ పద్ధతిని ఆశ్రయించినప్పుడు ఈ సాంకేతికత చాలా ముఖ్యమైనది. అయితే, మీరు కొత్తది నేర్చుకోవాలని ఆసక్తిగా ఉన్నారని నేను అనుకుంటున్నాను? అంతేకాకుండా, సాధారణంగా విశ్లేషణాత్మక జ్యామితి కోర్సులో అధ్యయనం చేసే టెక్నిక్‌ను ఎలా ఉపయోగించాలో మీకు ఇప్పటికే తెలుసునని తేలినప్పుడు మీరు విశ్వవిద్యాలయంలో మీ ఉపాధ్యాయుడిని ఆకట్టుకోగలుగుతారు. కాబట్టి ప్రారంభిద్దాం.

విమానం యొక్క సమీకరణం ఒక విమానంలో సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం నుండి చాలా భిన్నంగా లేదు, అవి, ఇది రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది:

కొన్ని సంఖ్యలు (అన్నీ కాదు సున్నాకి సమానం), మరియు వేరియబుల్స్, ఉదాహరణకు: మొదలైనవి. మీరు గమనిస్తే, ఒక విమానం యొక్క సమీకరణం సరళ రేఖ (లీనియర్ ఫంక్షన్) యొక్క సమీకరణం నుండి చాలా భిన్నంగా లేదు. అయితే, మీరు మరియు నేను వాదించినది గుర్తుందా? మనకు ఒకే రేఖపై పడని మూడు పాయింట్లు ఉంటే, అప్పుడు విమానం యొక్క సమీకరణాన్ని వాటి నుండి ప్రత్యేకంగా పునర్నిర్మించవచ్చని మేము చెప్పాము. కానీ ఎలా? నేను మీకు వివరించడానికి ప్రయత్నిస్తాను.

విమానం యొక్క సమీకరణం కాబట్టి:

మరియు పాయింట్లు ఈ సమతలానికి చెందినవి, ఆపై ప్రతి పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను విమానం యొక్క సమీకరణంలోకి మార్చినప్పుడు మనం సరైన గుర్తింపును పొందాలి:

ఇలా అజ్ఞాతవాసితో మూడు సమీకరణాలను పరిష్కరించాల్సిన అవసరం ఎంతైనా ఉంది! డైలమా! అయితే, మీరు ఎల్లప్పుడూ ఊహించవచ్చు (దీన్ని చేయడానికి మీరు విభజించాలి). ఈ విధంగా, మనకు మూడు తెలియని వాటితో మూడు సమీకరణాలు లభిస్తాయి:

అయినప్పటికీ, మేము అటువంటి వ్యవస్థను పరిష్కరించము, కానీ దాని నుండి అనుసరించే మర్మమైన వ్యక్తీకరణను వ్రాస్తాము:

ఇచ్చిన మూడు పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న విమానం యొక్క సమీకరణం

\[\ఎడమ| (\begin(array)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(array)) \right| = 0\]

ఆపు! ఇది ఏమిటి? కొన్ని అసాధారణ మాడ్యూల్! అయితే, మీ ముందు కనిపించే వస్తువుకు మాడ్యూల్‌తో సంబంధం లేదు. ఈ వస్తువును థర్డ్-ఆర్డర్ డిటర్మినెంట్ అంటారు. ఇప్పటి నుండి, మీరు ఒక విమానంలో కోఆర్డినేట్‌ల పద్ధతితో వ్యవహరించినప్పుడు, మీరు చాలా తరచుగా ఇదే నిర్ణాయకాలను ఎదుర్కొంటారు. థర్డ్ ఆర్డర్ డిటర్మినెంట్ అంటే ఏమిటి? విచిత్రమేమిటంటే, ఇది కేవలం ఒక సంఖ్య మాత్రమే. మేము నిర్ణీత సంఖ్యతో ఏ నిర్దిష్ట సంఖ్యను పోలుస్తామో అర్థం చేసుకోవడానికి ఇది మిగిలి ఉంది.

ముందుగా థర్డ్-ఆర్డర్ డిటర్మినెంట్‌ని మరింత సాధారణ రూపంలో వ్రాస్దాం:

కొన్ని సంఖ్యలు ఎక్కడ ఉన్నాయి. అంతేకాకుండా, మొదటి సూచిక ద్వారా మేము అడ్డు వరుస సంఖ్యను సూచిస్తాము మరియు సూచిక ద్వారా మేము నిలువు వరుస సంఖ్యను సూచిస్తాము. ఉదాహరణకు, ఈ సంఖ్య రెండవ వరుస మరియు మూడవ నిలువు వరుస ఖండన వద్ద ఉందని అర్థం. పెట్టుకుందాం తరువాతి ప్రశ్న: అటువంటి నిర్ణాయకాన్ని మనం సరిగ్గా ఎలా లెక్కిస్తాము? అంటే, మనం దానితో ఏ నిర్దిష్ట సంఖ్యను పోలుస్తాము? మూడవ-ఆర్డర్ డిటర్మినెంట్ కోసం హ్యూరిస్టిక్ (దృశ్య) త్రిభుజం నియమం ఉంది, ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది:

1. ప్రధాన వికర్ణం (ఎగువ ఎడమ మూల నుండి దిగువ కుడి వైపు) మూలకాల యొక్క ఉత్పత్తి, ప్రధాన వికర్ణానికి "లంబంగా" మొదటి త్రిభుజాన్ని ఏర్పరిచే మూలకాల ఉత్పత్తి, రెండవ త్రిభుజానికి "లంబంగా" ఏర్పడే మూలకాల ఉత్పత్తి ప్రధాన వికర్ణం
2. ద్వితీయ వికర్ణ మూలకాల యొక్క ఉత్పత్తి (ఎగువ కుడి మూల నుండి దిగువ ఎడమ వరకు) మూలకాల యొక్క ఉత్పత్తి మొదటి త్రిభుజం "లంబంగా" ద్వితీయ వికర్ణానికి "లంబంగా" రెండవ త్రిభుజాన్ని ఏర్పరుస్తుంది. ద్వితీయ వికర్ణం
3. అప్పుడు డిటర్మినెంట్ దశలో పొందిన విలువల మధ్య వ్యత్యాసానికి సమానం మరియు

మనం వీటన్నింటిని సంఖ్యలలో వ్రాస్తే, మనకు ఈ క్రింది వ్యక్తీకరణ వస్తుంది:

అయితే, మీరు ఈ రూపంలో గణన పద్ధతిని గుర్తుంచుకోవలసిన అవసరం లేదు; త్రిభుజాలను మీ తలలో ఉంచుకుంటే సరిపోతుంది మరియు దేనికి ఏది జతచేస్తుంది మరియు దేని నుండి తీసివేయబడుతుంది అనే ఆలోచన).

త్రిభుజ పద్ధతిని ఉదాహరణతో ఉదహరించండి:

1. డిటర్మినెంట్‌ను లెక్కించండి:

మనం ఏమి జోడిస్తాము మరియు దేనిని తీసివేస్తాము అని తెలుసుకుందాం:

ప్లస్‌తో వచ్చే నిబంధనలు:

ఇది ప్రధాన వికర్ణం: మూలకాల యొక్క ఉత్పత్తి సమానంగా ఉంటుంది

మొదటి త్రిభుజం, "ప్రధాన వికర్ణానికి లంబంగా: మూలకాల యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం

రెండవ త్రిభుజం, "ప్రధాన వికర్ణానికి లంబంగా: మూలకాల యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం

మూడు సంఖ్యలను జోడించండి:

మైనస్‌తో వచ్చే నిబంధనలు

ఇది ఒక వైపు వికర్ణం: మూలకాల యొక్క ఉత్పత్తి సమానంగా ఉంటుంది

మొదటి త్రిభుజం, “ద్వితీయ వికర్ణానికి లంబంగా: మూలకాల యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం

రెండవ త్రిభుజం, “ద్వితీయ వికర్ణానికి లంబంగా: మూలకాల ఉత్పత్తికి సమానం

మూడు సంఖ్యలను జోడించండి:

"మైనస్" నిబంధనల మొత్తం నుండి "ప్లస్" నిబంధనల మొత్తాన్ని తీసివేయడం మాత్రమే మిగిలి ఉంది:

ఈ విధంగా,

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, థర్డ్-ఆర్డర్ డిటర్మినేట్‌లను లెక్కించడంలో సంక్లిష్టంగా లేదా అతీంద్రియంగా ఏమీ లేదు. త్రిభుజాల గురించి గుర్తుంచుకోవడం ముఖ్యం మరియు అంకగణిత దోషాలు చేయకూడదు. ఇప్పుడు మీరే లెక్కించేందుకు ప్రయత్నించండి:

మేము తనిఖీ చేస్తాము:

1. ప్రధాన వికర్ణానికి లంబంగా ఉన్న మొదటి త్రిభుజం:
2. ప్రధాన వికర్ణానికి లంబంగా ఉన్న రెండవ త్రిభుజం:
3. ప్లస్‌తో నిబంధనల మొత్తం:
4. ద్వితీయ వికర్ణానికి లంబంగా ఉన్న మొదటి త్రిభుజం:
5. రెండవ త్రిభుజం వైపు వికర్ణానికి లంబంగా:
6. మైనస్‌తో నిబంధనల మొత్తం:
7. మైనస్‌తో ఉన్న నిబంధనల మొత్తం కలిపి మైనస్‌తో ఉన్న నిబంధనల మొత్తం:

ఇక్కడ మరికొన్ని నిర్ణాయకాలు ఉన్నాయి, వాటి విలువలను మీరే లెక్కించండి మరియు వాటిని సమాధానాలతో సరిపోల్చండి:

సమాధానాలు:

బాగా, ప్రతిదీ ఏకీభవించిందా? గ్రేట్, అప్పుడు మీరు కొనసాగవచ్చు! ఇబ్బందులు ఉంటే, నా సలహా ఇది: ఇంటర్నెట్‌లో ఆన్‌లైన్‌లో డిటర్మినెంట్‌ను లెక్కించడానికి చాలా ప్రోగ్రామ్‌లు ఉన్నాయి. మీకు కావలసిందల్లా మీ స్వంత డిటర్మినెంట్‌తో ముందుకు రావడం, దానిని మీరే లెక్కించడం, ఆపై ప్రోగ్రామ్ లెక్కించిన దానితో పోల్చడం. మరియు ఫలితాలు ఏకకాలంలో ప్రారంభమయ్యే వరకు. ఈ క్షణం రావడానికి ఎక్కువ సమయం పట్టదని నేను ఖచ్చితంగా అనుకుంటున్నాను!

ఇప్పుడు నేను ఇచ్చిన మూడు పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న విమానం యొక్క సమీకరణం గురించి మాట్లాడినప్పుడు నేను వ్రాసిన డిటర్మినెంట్‌కి తిరిగి వెళ్దాం:

మీకు కావలసిందల్లా దాని విలువను నేరుగా (త్రిభుజం పద్ధతిని ఉపయోగించి) లెక్కించడం మరియు ఫలితాన్ని సున్నాకి సెట్ చేయడం. సహజంగానే, ఇవి వేరియబుల్స్ కాబట్టి, మీరు వాటిపై ఆధారపడిన కొంత వ్యక్తీకరణను పొందుతారు. ఈ వ్యక్తీకరణ అదే సరళ రేఖపై పడని మూడు ఇచ్చిన పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న విమానం సమీకరణం అవుతుంది!

దీన్ని ఒక సాధారణ ఉదాహరణతో ఉదహరిద్దాం:

1. పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న విమానం యొక్క సమీకరణాన్ని నిర్మించండి

మేము ఈ మూడు పాయింట్ల కోసం డిటర్మినేట్‌ను కంపైల్ చేస్తాము:

సరళీకృతం చేద్దాం:

ఇప్పుడు మనం త్రిభుజం నియమాన్ని ఉపయోగించి నేరుగా లెక్కిస్తాము:

\[(\left|\begin(array)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(array)) \ కుడి| = \ఎడమ((x + 3) \కుడి) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

అందువలన, పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న విమానం యొక్క సమీకరణం:

ఇప్పుడు ఒక సమస్యను మీరే పరిష్కరించడానికి ప్రయత్నించండి, ఆపై మేము దానిని చర్చిస్తాము:

2. పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న విమానం యొక్క సమీకరణాన్ని కనుగొనండి

సరే, ఇప్పుడు పరిష్కారాన్ని చర్చిద్దాం:

నిర్ణాయకాన్ని సృష్టిద్దాం:

మరియు దాని విలువను లెక్కించండి:

అప్పుడు విమానం యొక్క సమీకరణం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది:

లేదా, తగ్గించడం ద్వారా, మేము పొందుతాము:

ఇప్పుడు స్వీయ నియంత్రణ కోసం రెండు పనులు:

1. మూడు పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న విమానం సమీకరణాన్ని రూపొందించండి:

సమాధానాలు:

అంతా ఏకీభవించిందా? మళ్ళీ, కొన్ని ఇబ్బందులు ఉంటే, నా సలహా ఇది: మీ తల నుండి మూడు పాయింట్లను తీసుకోండి (తో చాలా వరకుఅవి ఒకే సరళ రేఖపై ఉండకపోవచ్చు), మీరు వాటి ఆధారంగా ఒక విమానాన్ని నిర్మించారు. ఆపై మీరు ఆన్‌లైన్‌లో మిమ్మల్ని మీరు తనిఖీ చేసుకోండి. ఉదాహరణకు, సైట్‌లో:

అయినప్పటికీ, నిర్ణయాధికారుల సహాయంతో మేము విమానం యొక్క సమీకరణాన్ని మాత్రమే నిర్మిస్తాము. గుర్తుంచుకోండి, వెక్టర్స్ కోసం డాట్ ఉత్పత్తి మాత్రమే నిర్వచించబడదని నేను మీకు చెప్పాను. వెక్టర్ ఉత్పత్తి, అలాగే మిశ్రమ ఉత్పత్తి కూడా ఉంది. మరియు రెండు వెక్టర్స్ యొక్క స్కేలార్ ఉత్పత్తి సంఖ్య అయితే, రెండు వెక్టర్స్ యొక్క వెక్టర్ ఉత్పత్తి వెక్టర్ అవుతుంది మరియు ఈ వెక్టర్ ఇచ్చిన వాటికి లంబంగా ఉంటుంది:

అంతేకాక, దాని మాడ్యూల్ ఉంటుంది ప్రాంతానికి సమానంవెక్టర్స్‌పై నిర్మించిన సమాంతర చతుర్భుజం మరియు. ఈ వెక్టర్పాయింట్ నుండి రేఖకు దూరాన్ని లెక్కించడానికి మాకు ఇది అవసరం. వెక్టర్స్ యొక్క వెక్టార్ ఉత్పత్తిని మరియు వాటి కోఆర్డినేట్‌లు ఇచ్చినట్లయితే మనం ఎలా లెక్కించవచ్చు? థర్డ్-ఆర్డర్ డిటర్మినెంట్ మళ్లీ మా సహాయానికి వస్తుంది. అయితే, నేను వెక్టార్ ఉత్పత్తిని గణించడానికి అల్గారిథమ్‌కి వెళ్లే ముందు, నేను ఒక చిన్న డైగ్రెషన్ చేయాలి.

ఈ డైగ్రెషన్ ప్రాతిపదిక వెక్టర్‌లకు సంబంధించినది.

అవి చిత్రంలో క్రమపద్ధతిలో చూపబడ్డాయి:

వాటిని ప్రాథమికంగా ఎందుకు పిలుస్తారని మీరు అనుకుంటున్నారు? వాస్తవం ఏమిటంటే:

లేదా చిత్రంలో:

ఈ సూత్రం యొక్క ప్రామాణికత స్పష్టంగా ఉంది, ఎందుకంటే:

వెక్టర్ కళాకృతి

ఇప్పుడు నేను క్రాస్ ఉత్పత్తిని పరిచయం చేయడం ప్రారంభించగలను:

రెండు వెక్టర్స్ యొక్క వెక్టర్ ఉత్పత్తి వెక్టర్, ఇది క్రింది నియమం ప్రకారం లెక్కించబడుతుంది:

ఇప్పుడు క్రాస్ ఉత్పత్తిని లెక్కించడానికి కొన్ని ఉదాహరణలను ఇద్దాం:

ఉదాహరణ 1: వెక్టర్స్ క్రాస్ ప్రోడక్ట్‌ను కనుగొనండి:

పరిష్కారం: నేను నిర్ణాయకాన్ని తయారుచేస్తాను:

మరియు నేను లెక్కించాను:

ఇప్పుడు బేసిస్ వెక్టర్స్ ద్వారా వ్రాయడం నుండి, నేను సాధారణ వెక్టర్ సంజ్ఞామానానికి తిరిగి వస్తాను:

ఈ విధంగా:

ఇప్పుడు దీన్ని ప్రయత్నించండి.

సిద్ధంగా ఉన్నారా? మేము తనిఖీ చేస్తాము:

మరియు సాంప్రదాయకంగా రెండు నియంత్రణ పనులు:

1. కింది వెక్టర్స్ యొక్క వెక్టర్ ఉత్పత్తిని కనుగొనండి:
2. కింది వెక్టర్స్ యొక్క వెక్టర్ ఉత్పత్తిని కనుగొనండి:

సమాధానాలు:

మూడు వెక్టర్స్ యొక్క మిశ్రమ ఉత్పత్తి

నాకు అవసరమైన చివరి నిర్మాణం మూడు వెక్టర్‌ల మిశ్రమ ఉత్పత్తి. ఇది, స్కేలార్ లాగా, ఒక సంఖ్య. దీన్ని లెక్కించడానికి రెండు మార్గాలు ఉన్నాయి. - డిటర్మినెంట్ ద్వారా, - మిశ్రమ ఉత్పత్తి ద్వారా.

అవి, మాకు మూడు వెక్టర్స్ ఇవ్వండి:

అప్పుడు సూచించిన మూడు వెక్టర్స్ యొక్క మిశ్రమ ఉత్పత్తిని ఇలా లెక్కించవచ్చు:

1. - అంటే, మిశ్రమ ఉత్పత్తి అనేది వెక్టర్ యొక్క స్కేలార్ ఉత్పత్తి మరియు రెండు ఇతర వెక్టర్స్ యొక్క వెక్టర్ ఉత్పత్తి.

ఉదాహరణకు, మూడు వెక్టర్స్ యొక్క మిశ్రమ ఉత్పత్తి:

వెక్టార్ ఉత్పత్తిని ఉపయోగించి దాన్ని మీరే లెక్కించడానికి ప్రయత్నించండి మరియు ఫలితాలు సరిపోలుతున్నాయని నిర్ధారించుకోండి!

మరియు మళ్ళీ, స్వతంత్ర పరిష్కారాల కోసం రెండు ఉదాహరణలు:

సమాధానాలు:

కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌ను ఎంచుకోవడం

బాగా, ఇప్పుడు సంక్లిష్టమైన స్టీరియోమెట్రిక్ జ్యామితి సమస్యలను పరిష్కరించడానికి అవసరమైన జ్ఞానం యొక్క అన్ని పునాదిని మేము కలిగి ఉన్నాము. అయినప్పటికీ, వాటిని పరిష్కరించడానికి ఉదాహరణలు మరియు అల్గారిథమ్‌లకు నేరుగా వెళ్లే ముందు, ఈ క్రింది ప్రశ్నపై నివసించడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుందని నేను నమ్ముతున్నాను: ఎలా ఖచ్చితంగా ఒక నిర్దిష్ట వ్యక్తి కోసం కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌ను ఎంచుకోండి.అన్ని తరువాత, ఇది ఎంపిక సాపేక్ష స్థానంఅంతరిక్షంలో సమన్వయ వ్యవస్థలు మరియు ఆకారాలు అంతిమంగా లెక్కలు ఎంత గజిబిజిగా ఉంటాయో నిర్ణయిస్తాయి.

ఈ విభాగంలో మేము ఈ క్రింది బొమ్మలను పరిశీలిస్తామని నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను:

1. దీర్ఘచతురస్రాకార సమాంతర గొట్టం
2. స్ట్రెయిట్ ప్రిజం (త్రిభుజాకార, షట్కోణ...)
3. పిరమిడ్ (త్రిభుజాకార, చతుర్భుజి)
4. టెట్రాహెడ్రాన్ (త్రిభుజాకార పిరమిడ్ వలె)

దీర్ఘచతురస్రాకార సమాంతర పైప్డ్ లేదా క్యూబ్ కోసం, నేను మీకు ఈ క్రింది నిర్మాణాన్ని సిఫార్సు చేస్తున్నాను:

అంటే, నేను బొమ్మను "మూలలో" ఉంచుతాను. క్యూబ్ మరియు సమాంతర పైప్డ్ చాలా మంచి బొమ్మలు. వాటి కోసం, మీరు ఎల్లప్పుడూ దాని శీర్షాల కోఆర్డినేట్‌లను సులభంగా కనుగొనవచ్చు. ఉదాహరణకు, (చిత్రంలో చూపిన విధంగా)

అప్పుడు శీర్షాల అక్షాంశాలు క్రింది విధంగా ఉంటాయి:

అయితే, మీరు దీన్ని గుర్తుంచుకోవలసిన అవసరం లేదు, కానీ ఒక క్యూబ్ లేదా దీర్ఘచతురస్రాకార సమాంతరంగా ఎలా ఉంచాలో గుర్తుంచుకోవడం మంచిది.

స్ట్రెయిట్ ప్రిజం

ప్రిజం మరింత హానికరమైన వ్యక్తి. ఇది వివిధ మార్గాల్లో అంతరిక్షంలో ఉంచబడుతుంది. అయితే, కింది ఎంపిక నాకు అత్యంత ఆమోదయోగ్యమైనదిగా అనిపిస్తుంది:

త్రిభుజాకార ప్రిజం:

అంటే, మేము త్రిభుజం యొక్క భుజాలలో ఒకదానిని పూర్తిగా అక్షం మీద ఉంచుతాము మరియు శీర్షాలలో ఒకటి అక్షాంశాల మూలంతో సమానంగా ఉంటుంది.

షట్కోణ ప్రిజం:

అంటే, శీర్షాలలో ఒకటి మూలంతో సమానంగా ఉంటుంది మరియు ఒక వైపు అక్షం మీద ఉంటుంది.

చతుర్భుజ మరియు షట్కోణ పిరమిడ్:

పరిస్థితి ఒక క్యూబ్‌ను పోలి ఉంటుంది: మేము బేస్ యొక్క రెండు వైపులా కోఆర్డినేట్ అక్షాలతో సమలేఖనం చేస్తాము మరియు కోఆర్డినేట్‌ల మూలంతో శీర్షాలలో ఒకదానిని సమలేఖనం చేస్తాము. పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను లెక్కించడం మాత్రమే కొంచెం కష్టం.

షట్కోణ పిరమిడ్ కోసం - అదేవిధంగా షట్కోణ ప్రిజం. శీర్షం యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనడం మళ్లీ ప్రధాన పని.

టెట్రాహెడ్రాన్ (త్రిభుజాకార పిరమిడ్)

త్రిభుజాకార ప్రిజం కోసం నేను ఇచ్చిన పరిస్థితికి చాలా పోలి ఉంటుంది: ఒక శీర్షం మూలంతో సమానంగా ఉంటుంది, ఒక వైపు కోఆర్డినేట్ అక్షం మీద ఉంటుంది.

సరే, ఇప్పుడు మీరు మరియు నేను చివరకు సమస్యలను పరిష్కరించడానికి ప్రారంభించడానికి దగ్గరగా ఉన్నాము. వ్యాసం ప్రారంభంలో నేను చెప్పినదాని నుండి, మీరు ఈ క్రింది తీర్మానాన్ని తీసుకోవచ్చు: చాలా C2 సమస్యలు 2 వర్గాలుగా విభజించబడ్డాయి: కోణ సమస్యలు మరియు దూర సమస్యలు. మొదట, మేము కోణాన్ని కనుగొనడంలో సమస్యలను పరిశీలిస్తాము. అవి క్రింది వర్గాలుగా విభజించబడ్డాయి (సంక్లిష్టత పెరిగేకొద్దీ):

కోణాలను కనుగొనడంలో సమస్యలు

1. రెండు సరళ రేఖల మధ్య కోణాన్ని కనుగొనడం
2. రెండు విమానాల మధ్య కోణాన్ని కనుగొనడం

ఈ సమస్యలను వరుసగా చూద్దాం: రెండు సరళ రేఖల మధ్య కోణాన్ని కనుగొనడం ద్వారా ప్రారంభిద్దాం. బాగా, గుర్తుంచుకోండి, మీరు మరియు నేను నిర్ణయించలేదా? ఇలాంటి ఉదాహరణలుముందు? మీకు గుర్తుందా, మేము ఇప్పటికే ఇలాంటివి కలిగి ఉన్నాము... మేము రెండు వెక్టర్‌ల మధ్య కోణం కోసం చూస్తున్నాము. రెండు వెక్టర్స్ ఇవ్వబడితే నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను: మరియు, వాటి మధ్య కోణం సంబంధం నుండి కనుగొనబడుతుంది:

ఇప్పుడు మా లక్ష్యం రెండు సరళ రేఖల మధ్య కోణాన్ని కనుగొనడం. “ఫ్లాట్ పిక్చర్” చూద్దాం:

రెండు సరళ రేఖలు కలిసినప్పుడు మనకు ఎన్ని కోణాలు వచ్చాయి? కేవలం కొన్ని విషయాలు. నిజమే, వాటిలో రెండు మాత్రమే సమానంగా లేవు, మిగిలినవి వాటికి నిలువుగా ఉంటాయి (అందువల్ల వాటితో సమానంగా ఉంటాయి). కాబట్టి మనం రెండు సరళ రేఖల మధ్య కోణాన్ని ఏ కోణంలో పరిగణించాలి: లేదా? ఇక్కడ నియమం ఉంది: రెండు సరళ రేఖల మధ్య కోణం ఎల్లప్పుడూ డిగ్రీల కంటే ఎక్కువగా ఉండదు. అంటే, రెండు కోణాల నుండి మేము ఎల్లప్పుడూ చిన్న డిగ్రీ కొలతతో కోణాన్ని ఎంచుకుంటాము. అంటే, ఈ చిత్రంలో రెండు సరళ రేఖల మధ్య కోణం సమానంగా ఉంటుంది. రెండు కోణాలలో చిన్నదాన్ని కనుగొనడంలో ప్రతిసారీ ఇబ్బంది పడకుండా ఉండటానికి, మోసపూరిత గణిత శాస్త్రజ్ఞులు మాడ్యులస్‌ని ఉపయోగించమని సూచించారు. అందువలన, రెండు సరళ రేఖల మధ్య కోణం సూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది:

మీరు, శ్రద్ధగల రీడర్‌గా, ఒక ప్రశ్న కలిగి ఉండాలి: మనం ఒక కోణం యొక్క కొసైన్‌ను లెక్కించాల్సిన ఈ సంఖ్యలను ఖచ్చితంగా ఎక్కడ పొందుతాము? సమాధానం: మేము వాటిని రేఖల దిశ వెక్టర్స్ నుండి తీసుకుంటాము! ఈ విధంగా, రెండు సరళ రేఖల మధ్య కోణాన్ని కనుగొనే అల్గోరిథం క్రింది విధంగా ఉంటుంది:

1. మేము ఫార్ములా 1ని వర్తింపజేస్తాము.

లేదా మరింత వివరంగా:

1. మేము మొదటి సరళ రేఖ యొక్క దిశ వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌ల కోసం చూస్తున్నాము
2. మేము రెండవ సరళ రేఖ యొక్క దిశ వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌ల కోసం చూస్తున్నాము
3. మేము వారి స్కేలార్ ఉత్పత్తి యొక్క మాడ్యులస్‌ను లెక్కిస్తాము
4. మేము మొదటి వెక్టర్ యొక్క పొడవు కోసం చూస్తున్నాము
5. మేము రెండవ వెక్టర్ యొక్క పొడవు కోసం చూస్తున్నాము
6. పాయింట్ 4 ఫలితాలను పాయింట్ 5 ఫలితాలతో గుణించండి
7. మేము పాయింట్ 3 యొక్క ఫలితాన్ని పాయింట్ 6 ఫలితంగా విభజిస్తాము. మేము పంక్తుల మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్‌ను పొందుతాము.
8. ఉంటే ఈ ఫలితంకోణాన్ని సరిగ్గా లెక్కించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది, దాని కోసం చూడండి
9. లేకపోతే ఆర్క్ కొసైన్ ద్వారా వ్రాస్తాము

సరే, ఇప్పుడు సమస్యలకు వెళ్లవలసిన సమయం వచ్చింది: నేను మొదటి రెండింటికి పరిష్కారాన్ని వివరంగా ప్రదర్శిస్తాను, నేను మరొకదానికి పరిష్కారాన్ని అందిస్తాను క్లుప్తంగా, మరియు చివరి రెండు సమస్యలకు నేను సమాధానాలు మాత్రమే ఇస్తాను; మీరు వాటి కోసం అన్ని గణనలను మీరే నిర్వహించాలి.

పనులు:

1. కుడివైపు టెట్-రా-ఎడ్-రేలో, టెట్-రా-ఎడ్-రా మరియు మధ్య వైపు ఎత్తు మధ్య కోణాన్ని కనుగొనండి.

2. కుడివైపు ఆరు మూలల pi-ra-mi-de లో, వంద os-no-va-niyas సమానంగా ఉంటాయి మరియు పక్క అంచులు సమానంగా ఉంటాయి, పంక్తుల మధ్య కోణాన్ని కనుగొనండి మరియు.

3. కుడి నాలుగు-బొగ్గు pi-ra-mi-dy యొక్క అన్ని అంచుల పొడవులు ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉంటాయి. సరళ రేఖల మధ్య కోణాన్ని కనుగొనండి మరియు కట్ నుండి ఉంటే - మీరు ఇచ్చిన pi-ra-mi-dyతో ఉన్నట్లయితే, పాయింట్ దాని బో-కో-సెకండ్ రిబ్స్‌పై సే-రీ-డి-డి-డి-డి-డి

4. క్యూబ్ అంచున ఒక పాయింట్ ఉంది, తద్వారా సరళ రేఖల మధ్య కోణాన్ని కనుగొనండి మరియు

5. పాయింట్ - క్యూబ్ అంచులలో సరళ రేఖల మధ్య కోణాన్ని కనుగొనండి మరియు.

నేను ఈ క్రమంలో పనులు ఏర్పాటు చేయడం యాదృచ్చికం కాదు. మీరు ఇంకా కోఆర్డినేట్ పద్ధతిని నావిగేట్ చేయడం ప్రారంభించనప్పటికీ, నేను చాలా “సమస్యాత్మక” గణాంకాలను స్వయంగా విశ్లేషిస్తాను మరియు సరళమైన క్యూబ్‌తో వ్యవహరించడానికి నేను మిమ్మల్ని వదిలివేస్తాను! క్రమంగా మీరు అన్ని బొమ్మలతో ఎలా పని చేయాలో నేర్చుకోవాలి; నేను టాపిక్ నుండి టాపిక్‌కు టాస్క్‌ల సంక్లిష్టతను పెంచుతాను.

సమస్యలను పరిష్కరించడం ప్రారంభిద్దాం:

1. టెట్రాహెడ్రాన్‌ను గీయండి, నేను ముందుగా సూచించినట్లుగా కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో ఉంచండి. టెట్రాహెడ్రాన్ సక్రమంగా ఉన్నందున, దాని ముఖాలన్నీ (బేస్‌తో సహా) ఉంటాయి సాధారణ త్రిభుజాలు. మనకు సైడ్ యొక్క పొడవు ఇవ్వబడలేదు కాబట్టి, నేను దానిని సమానంగా తీసుకోగలను. మా టెట్రాహెడ్రాన్ ఎంత “సాగదీయబడింది” అనే దానిపై కోణం వాస్తవానికి ఆధారపడి ఉండదని మీరు అర్థం చేసుకున్నారని నేను భావిస్తున్నాను. నేను టెట్రాహెడ్రాన్‌లో ఎత్తు మరియు మధ్యస్థాన్ని కూడా గీస్తాను. అలాగే, నేను దాని ఆధారాన్ని గీస్తాను (ఇది మాకు కూడా ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది).

నేను మరియు మధ్య కోణాన్ని కనుగొనాలి. మనకు ఏమి తెలుసు? పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్ మాత్రమే మాకు తెలుసు. అంటే మనం పాయింట్ల కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనాలి. ఇప్పుడు మనం అనుకుంటున్నాము: ఒక బిందువు అనేది త్రిభుజం యొక్క ఎత్తుల (లేదా బైసెక్టర్లు లేదా మధ్యస్థాలు) ఖండన బిందువు. మరియు ఒక పాయింట్ ఒక ఎత్తైన పాయింట్. పాయింట్ సెగ్మెంట్ మధ్యలో ఉంటుంది. అప్పుడు మనం చివరకు కనుగొనవలసి ఉంటుంది: పాయింట్ల అక్షాంశాలు: .

సరళమైన విషయంతో ప్రారంభిద్దాం: పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్లు. బొమ్మను చూడండి: పాయింట్ యొక్క దరఖాస్తు సున్నాకి సమానం (పాయింట్ విమానంలో ఉంటుంది) అని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది. దాని ఆర్డినేట్ సమానం (ఇది మధ్యస్థం కాబట్టి). దాని అబ్సిస్సాను కనుగొనడం చాలా కష్టం. అయితే, ఇది పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం ఆధారంగా సులభంగా చేయబడుతుంది: త్రిభుజాన్ని పరిగణించండి. దాని హైపోటెన్యూస్ సమానంగా ఉంటుంది మరియు దాని కాళ్ళలో ఒకటి సమానంగా ఉంటుంది అప్పుడు:

చివరగా మనకు ఉంది: .

ఇప్పుడు పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనండి. దాని దరఖాస్తు మళ్లీ సున్నాకి సమానం, మరియు దాని ఆర్డినేట్ ఒక పాయింట్‌తో సమానం, అంటే. దాని abscissa కనుక్కోండి. మీరు దానిని గుర్తుంచుకుంటే ఇది చాలా చిన్నవిషయంగా చేయబడుతుంది ఎత్తులు సమబాహు త్రిభుజంఖండన స్థానం నిష్పత్తిలో విభజించబడింది, పై నుండి లెక్కింపు. నుండి: , అప్పుడు పాయింట్ యొక్క అవసరమైన అబ్సిస్సా, సెగ్మెంట్ యొక్క పొడవుకు సమానం, దీనికి సమానం: . అందువలన, పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్లు:

పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనండి. దాని అబ్సిస్సా మరియు ఆర్డినేట్ పాయింట్ యొక్క అబ్సిస్సా మరియు ఆర్డినేట్‌తో సమానంగా ఉన్నాయని స్పష్టమవుతుంది. మరియు దరఖాస్తు సెగ్మెంట్ పొడవుకు సమానం. - ఇది త్రిభుజం యొక్క కాళ్ళలో ఒకటి. త్రిభుజం యొక్క హైపోటెన్యూస్ ఒక విభాగం - ఒక కాలు. నేను బోల్డ్‌లో హైలైట్ చేసిన కారణాల కోసం ఇది కోరింది:

పాయింట్ సెగ్మెంట్ మధ్యలో ఉంటుంది. అప్పుడు మేము సెగ్మెంట్ యొక్క మధ్య బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌ల సూత్రాన్ని గుర్తుంచుకోవాలి:

అంతే, ఇప్పుడు మనం దిశ వెక్టర్స్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌ల కోసం చూడవచ్చు:

బాగా, ప్రతిదీ సిద్ధంగా ఉంది: మేము మొత్తం డేటాను సూత్రంలోకి మారుస్తాము:

ఈ విధంగా,

సమాధానం:

అటువంటి "భయానక" సమాధానాల ద్వారా మీరు భయపడకూడదు: C2 సమస్యలకు ఇది సాధారణ అభ్యాసం. ఈ భాగంలో “అందమైన” సమాధానంతో నేను ఆశ్చర్యపోతాను. అలాగే, మీరు గమనించినట్లుగా, నేను ఆచరణాత్మకంగా పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం మరియు సమబాహు త్రిభుజం యొక్క ఎత్తుల ఆస్తి తప్ప మరేదైనా ఆశ్రయించలేదు. అంటే, స్టీరియోమెట్రిక్ సమస్యను పరిష్కరించడానికి, నేను కనీస స్టీరియోమెట్రీని ఉపయోగించాను. గజిబిజిగా ఉండే లెక్కల ద్వారా ఇందులోని లాభం పాక్షికంగా "ఆరిపోతుంది". కానీ అవి చాలా అల్గారిథమిక్!

2. కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌తో పాటు దాని బేస్‌తో పాటు సాధారణ షట్కోణ పిరమిడ్‌ను వర్ణిద్దాం:

మేము పంక్తుల మధ్య కోణాన్ని కనుగొనాలి మరియు. అందువల్ల, పాయింట్ల కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనడం మా పనికి వస్తుంది: . మేము ఒక చిన్న డ్రాయింగ్ను ఉపయోగించి చివరి మూడు యొక్క కోఆర్డినేట్లను కనుగొంటాము మరియు పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్ ద్వారా మేము శీర్షం యొక్క కోఆర్డినేట్ను కనుగొంటాము. చేయడానికి చాలా పని ఉంది, కానీ మనం ప్రారంభించాలి!

ఎ) కోఆర్డినేట్: దాని అప్లికేషన్ మరియు ఆర్డినేట్ సున్నాకి సమానం అని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది. అబ్సిస్సాను కనుగొనండి. దీన్ని చేయడానికి, లంబ త్రిభుజాన్ని పరిగణించండి. అయ్యో, అందులో మనకు హైపోటెన్యూస్ మాత్రమే తెలుసు, ఇది సమానంగా ఉంటుంది. మేము కాలును కనుగొనడానికి ప్రయత్నిస్తాము (లెగ్ యొక్క రెట్టింపు పొడవు మాకు పాయింట్ యొక్క అబ్సిస్సాను ఇస్తుందని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది). మనం దాని కోసం ఎలా వెతకవచ్చు? పిరమిడ్ బేస్ వద్ద మనకు ఎలాంటి ఫిగర్ ఉందో గుర్తుంచుకోండి? ఇది సాధారణ షడ్భుజి. దాని అర్థం ఏమిటి? దీని అర్థం అన్ని వైపులా మరియు అన్ని కోణాలు సమానంగా ఉంటాయి. అలాంటి కోణాన్ని మనం కనుగొనాలి. ఏదైనా ఆలోచనలు ఉన్నాయా? చాలా ఆలోచనలు ఉన్నాయి, కానీ ఒక సూత్రం ఉంది:

కోణాల మొత్తం సాధారణ n-gonసమానంగా .

అందువలన, కోణాల మొత్తం సాధారణ షడ్భుజిడిగ్రీలకు సమానం. అప్పుడు ప్రతి కోణానికి సమానం:

మళ్ళీ చిత్రాన్ని చూద్దాం. సెగ్మెంట్ కోణం యొక్క ద్విభాగమని స్పష్టమవుతుంది. అప్పుడు కోణం డిగ్రీలకు సమానం. అప్పుడు:

అప్పుడు ఎక్కడ నుండి.

అందువలన, కోఆర్డినేట్లను కలిగి ఉంది

బి) ఇప్పుడు మనం పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌ను సులభంగా కనుగొనవచ్చు: .

సి) పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనండి. దాని అబ్సిస్సా సెగ్మెంట్ యొక్క పొడవుతో సమానంగా ఉంటుంది కాబట్టి, అది సమానంగా ఉంటుంది. ఆర్డినేట్‌ను కనుగొనడం కూడా చాలా కష్టం కాదు: మేము చుక్కలను కనెక్ట్ చేసి, సరళ రేఖ యొక్క ఖండన బిందువును ఇలా నిర్దేశిస్తే, . (ఇది మీరే సాధారణ నిర్మాణం చేయండి). ఆ విధంగా, పాయింట్ B యొక్క ఆర్డినేట్ విభాగాల పొడవుల మొత్తానికి సమానం. త్రిభుజాన్ని మళ్ళీ చూద్దాం. అప్పుడు

అప్పటి నుండి, పాయింట్‌కు కోఆర్డినేట్‌లు ఉన్నాయి

d) ఇప్పుడు పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనండి. దీర్ఘచతురస్రాన్ని పరిగణించండి మరియు ఈ విధంగా, పాయింట్ యొక్క అక్షాంశాలు అని నిరూపించండి:

ఇ) శీర్షం యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనడానికి ఇది మిగిలి ఉంది. దాని అబ్సిస్సా మరియు ఆర్డినేట్ పాయింట్ యొక్క అబ్సిస్సా మరియు ఆర్డినేట్‌తో సమానంగా ఉన్నాయని స్పష్టమవుతుంది. అప్లికేషన్ వెతుకుదాం. అప్పటి నుండి. లంబ త్రిభుజాన్ని పరిగణించండి. సమస్య యొక్క పరిస్థితుల ప్రకారం, ఒక వైపు అంచు. ఇది నా త్రిభుజం యొక్క హైపోటెన్యూస్. అప్పుడు పిరమిడ్ యొక్క ఎత్తు ఒక కాలు.

అప్పుడు పాయింట్ కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంటుంది:

సరే, అంతే, నాకు ఆసక్తి ఉన్న అన్ని పాయింట్ల కోఆర్డినేట్‌లు ఉన్నాయి. నేను సరళ రేఖల నిర్దేశక వెక్టర్స్ కోఆర్డినేట్‌ల కోసం వెతుకుతున్నాను:

మేము ఈ వెక్టర్స్ మధ్య కోణం కోసం చూస్తున్నాము:

సమాధానం:

మళ్ళీ, ఈ సమస్యను పరిష్కరించడంలో నేను సాధారణ n-gon కోణాల మొత్తానికి సూత్రం కాకుండా ఇతర అధునాతన పద్ధతులను ఉపయోగించలేదు, అలాగే లంబ త్రిభుజం యొక్క కొసైన్ మరియు సైన్ యొక్క నిర్వచనం.

3. మేము మళ్ళీ పిరమిడ్లో అంచుల పొడవు ఇవ్వబడనందున, నేను వాటిని లెక్కిస్తాను ఒకరికి సమానం. ఈ విధంగా, అన్ని అంచులు, మరియు పక్కపక్కలు మాత్రమే కాకుండా, ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉంటాయి కాబట్టి, పిరమిడ్ మరియు నా బేస్ వద్ద ఒక చతురస్రం ఉంటుంది మరియు ప్రక్క ముఖాలు సాధారణ త్రిభుజాలుగా ఉంటాయి. సమస్య యొక్క వచనంలో ఇచ్చిన మొత్తం డేటాను గమనిస్తూ, అటువంటి పిరమిడ్‌ను, అలాగే విమానంలో దాని స్థావరాన్ని గీయండి:

మరియు మధ్య కోణం కోసం మేము వెతుకుతున్నాము. నేను పాయింట్ల కోఆర్డినేట్‌ల కోసం శోధించినప్పుడు చాలా క్లుప్తంగా లెక్కలు చేస్తాను. మీరు వాటిని "అర్థం" చేయాలి:

బి) - సెగ్మెంట్ మధ్యలో. దీని అక్షాంశాలు:

c) నేను త్రిభుజంలో పైథాగరియన్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి సెగ్మెంట్ యొక్క పొడవును కనుగొంటాను. నేను త్రిభుజంలో పైథాగరియన్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి దానిని కనుగొనగలను.

అక్షాంశాలు:

d) - సెగ్మెంట్ మధ్యలో. దీని కోఆర్డినేట్లు

ఇ) వెక్టర్ కోఆర్డినేట్లు

f) వెక్టర్ కోఆర్డినేట్స్

g) కోణం కోసం వెతుకుతోంది:

క్యూబ్ - సరళమైన వ్యక్తి. మీరు దీన్ని మీ స్వంతంగా కనుగొంటారని నేను ఖచ్చితంగా అనుకుంటున్నాను. 4 మరియు 5 సమస్యలకు సమాధానాలు క్రింది విధంగా ఉన్నాయి:

సరళ రేఖ మరియు విమానం మధ్య కోణాన్ని కనుగొనడం

సరే, సాధారణ పజిల్స్ కోసం సమయం ముగిసింది! ఇప్పుడు ఉదాహరణలు మరింత క్లిష్టంగా ఉంటాయి. సరళ రేఖ మరియు విమానం మధ్య కోణాన్ని కనుగొనడానికి, మేము ఈ క్రింది విధంగా కొనసాగుతాము:

1. మూడు పాయింట్లను ఉపయోగించి మేము విమానం యొక్క సమీకరణాన్ని నిర్మిస్తాము
   ,
   మూడవ ఆర్డర్ డిటర్మినెంట్ ఉపయోగించి.
2. రెండు పాయింట్లను ఉపయోగించి, మేము సరళ రేఖ యొక్క డైరెక్టింగ్ వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌ల కోసం చూస్తాము:
3. సరళ రేఖ మరియు విమానం మధ్య కోణాన్ని లెక్కించడానికి మేము సూత్రాన్ని వర్తింపజేస్తాము:

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, ఈ ఫార్ములా మేము రెండు సరళ రేఖల మధ్య కోణాలను కనుగొనడానికి ఉపయోగించిన దానికి చాలా పోలి ఉంటుంది. కుడి వైపున ఉన్న నిర్మాణం ఒకే విధంగా ఉంటుంది మరియు ఎడమ వైపున మనం ఇప్పుడు సైన్ కోసం చూస్తున్నాము, మునుపటిలా కొసైన్ కాదు. బాగా, ఒక దుష్ట చర్య జోడించబడింది - విమానం యొక్క సమీకరణం కోసం శోధించడం.

జాప్యం చేయం పరిష్కార ఉదాహరణలు:

1. మెయిన్-బట్-వా-ని-ఎమ్ డైరెక్ట్ ప్రిజం-మేము సమానం-పేద త్రిభుజం. సరళ రేఖ మరియు విమానం మధ్య కోణాన్ని కనుగొనండి

2. పశ్చిమం నుండి దీర్ఘచతురస్రాకార par-ral-le-le-pi-pe-de లో సరళ రేఖ మరియు విమానం మధ్య కోణాన్ని కనుగొనండి

3. కుడి ఆరు మూలల ప్రిజంలో, అన్ని అంచులు సమానంగా ఉంటాయి. సరళ రేఖ మరియు విమానం మధ్య కోణాన్ని కనుగొనండి.

4. తెలిసిన పక్కటెముకల os-no-va-ni-emతో కుడి త్రిభుజాకార pi-ra-mi-deలో ఒక మూలను కనుగొనండి, ob-ra-zo-van -ఫ్లాట్ బేస్ మరియు నేరుగా, బూడిద గుండా వెళుతుంది పక్కటెముకలు మరియు

5. శీర్షంతో కూడిన కుడి చతుర్భుజ pi-ra-mi-dy యొక్క అన్ని అంచుల పొడవులు ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉంటాయి. pi-ra-mi-dy యొక్క అంచు వైపు పాయింట్ ఉంటే సరళ రేఖ మరియు విమానం మధ్య కోణాన్ని కనుగొనండి.

మళ్ళీ, నేను మొదటి రెండు సమస్యలను వివరంగా పరిష్కరిస్తాను, మూడవది క్లుప్తంగా, మరియు చివరి రెండింటిని మీ స్వంతంగా పరిష్కరించుకోవడానికి వదిలివేస్తాను. అంతేకాకుండా, మీరు ఇప్పటికే త్రిభుజాకారాన్ని ఎదుర్కోవలసి వచ్చింది మరియు చతుర్భుజ పిరమిడ్లు, కానీ prisms తో - ఇంకా కాదు.

పరిష్కారాలు:

1. మనం ఒక ప్రిజమ్‌ని, అలాగే దాని బేస్‌ను వర్ణిద్దాం. కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌తో దీన్ని కలపండి మరియు సమస్య ప్రకటనలో ఇవ్వబడిన మొత్తం డేటాను గమనించండి:

నిష్పత్తులను పాటించనందుకు నేను క్షమాపణలు కోరుతున్నాను, కానీ సమస్యను పరిష్కరించడానికి ఇది చాలా ముఖ్యమైనది కాదు. విమానం కేవలం నా ప్రిజం యొక్క "వెనుక గోడ". అటువంటి విమానం యొక్క సమీకరణం రూపాన్ని కలిగి ఉందని ఊహించడం సరిపోతుంది:

అయితే, ఇది నేరుగా చూపబడుతుంది:

ఈ విమానంలో ఏకపక్షంగా మూడు పాయింట్లను ఎంచుకుందాం: ఉదాహరణకు, .

విమానం యొక్క సమీకరణాన్ని సృష్టిద్దాం:

మీ కోసం వ్యాయామం: ఈ నిర్ణయాన్ని మీరే లెక్కించండి. మీరు విజయం సాధించారా? అప్పుడు విమానం యొక్క సమీకరణం ఇలా కనిపిస్తుంది:

లేదా కేవలం

ఈ విధంగా,

ఉదాహరణను పరిష్కరించడానికి, నేను సరళ రేఖ యొక్క దిశ వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనాలి. పాయింట్ కోఆర్డినేట్‌ల మూలంతో సమానంగా ఉంటుంది కాబట్టి, వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లతో సమానంగా ఉంటాయి. దీన్ని చేయడానికి, మేము మొదట పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొంటాము.

దీన్ని చేయడానికి, ఒక త్రిభుజాన్ని పరిగణించండి. శీర్షం నుండి ఎత్తును (మధ్యస్థ మరియు ద్విదళం అని కూడా పిలుస్తారు) గీద్దాం. కాబట్టి, పాయింట్ యొక్క ఆర్డినేట్ సమానంగా ఉంటుంది. ఈ పాయింట్ యొక్క అబ్సిస్సాను కనుగొనడానికి, మేము సెగ్మెంట్ యొక్క పొడవును లెక్కించాలి. పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం ప్రకారం మనకు ఉన్నాయి:

అప్పుడు పాయింట్ కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంటుంది:

చుక్క అనేది "పెరిగిన" చుక్క:

అప్పుడు వెక్టర్ కోఆర్డినేట్లు:

సమాధానం:

మీరు గమనిస్తే, అటువంటి సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు ప్రాథమికంగా కష్టం ఏమీ లేదు. వాస్తవానికి, ప్రిజం వంటి ఫిగర్ యొక్క "సూటిగా" ద్వారా ప్రక్రియ కొంచెం సరళీకృతం చేయబడింది. ఇప్పుడు తదుపరి ఉదాహరణకి వెళ్దాం:

2. సమాంతర పైప్డ్‌ను గీయండి, దానిలో ఒక విమానం మరియు సరళ రేఖను గీయండి మరియు దాని దిగువ బేస్‌ను విడిగా గీయండి:

మొదట, మేము విమానం యొక్క సమీకరణాన్ని కనుగొంటాము: దానిలో ఉన్న మూడు పాయింట్ల కోఆర్డినేట్లు:

(మొదటి రెండు కోఆర్డినేట్‌లు స్పష్టమైన మార్గంలో పొందబడ్డాయి మరియు మీరు పాయింట్ నుండి చిత్రం నుండి చివరి కోఆర్డినేట్‌ను సులభంగా కనుగొనవచ్చు). అప్పుడు మేము విమానం యొక్క సమీకరణాన్ని కంపోజ్ చేస్తాము:

మేము లెక్కిస్తాము:

మేము గైడింగ్ వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌ల కోసం చూస్తున్నాము: దాని కోఆర్డినేట్‌లు పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లతో సమానంగా ఉన్నాయని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది, కాదా? కోఆర్డినేట్‌లను ఎలా కనుగొనాలి? ఇవి పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు, దరఖాస్తు అక్షం వెంట ఒకటిగా పెంచబడ్డాయి! . అప్పుడు మేము కావలసిన కోణం కోసం చూస్తాము:

సమాధానం:

3. ఒక సాధారణ షట్కోణ పిరమిడ్‌ను గీయండి, ఆపై దానిలో ఒక విమానం మరియు సరళ రేఖను గీయండి.

ఇక్కడ విమానం గీయడం కూడా సమస్యాత్మకం, ఈ సమస్యను పరిష్కరించడం గురించి చెప్పనవసరం లేదు, కానీ కోఆర్డినేట్ పద్ధతి పట్టించుకోదు! దాని బహుముఖ ప్రజ్ఞ దాని ప్రధాన ప్రయోజనం!

విమానం మూడు పాయింట్ల గుండా వెళుతుంది: . మేము వారి కోఆర్డినేట్‌ల కోసం చూస్తున్నాము:

1) . చివరి రెండు పాయింట్ల కోఆర్డినేట్‌లను మీరే కనుగొనండి. దీని కోసం మీరు షట్కోణ పిరమిడ్ సమస్యను పరిష్కరించాలి!

2) మేము విమానం యొక్క సమీకరణాన్ని నిర్మిస్తాము:

మేము వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌ల కోసం చూస్తున్నాము: . (త్రికోణాకార పిరమిడ్ సమస్యను మళ్లీ చూడండి!)

3) కోణం కోసం వెతుకుతోంది:

సమాధానం:

మీరు గమనిస్తే, ఈ పనులలో అతీంద్రియ కష్టం ఏమీ లేదు. మీరు మూలాలతో చాలా జాగ్రత్తగా ఉండాలి. నేను చివరి రెండు సమస్యలకు మాత్రమే సమాధానాలు ఇస్తాను:

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, సమస్యలను పరిష్కరించడానికి సాంకేతికత ప్రతిచోటా ఒకే విధంగా ఉంటుంది: ప్రధాన పని శీర్షాల కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొని వాటిని కొన్ని సూత్రాలలోకి మార్చడం. కోణాలను లెక్కించడానికి మేము ఇంకా ఒక తరగతి సమస్యలను పరిగణించాలి, అవి:

రెండు విమానాల మధ్య కోణాలను గణించడం

పరిష్కార అల్గోరిథం క్రింది విధంగా ఉంటుంది:

1. మూడు పాయింట్లను ఉపయోగించి మేము మొదటి విమానం యొక్క సమీకరణం కోసం చూస్తాము:
2. ఇతర మూడు పాయింట్లను ఉపయోగించి మేము రెండవ విమానం యొక్క సమీకరణం కోసం చూస్తాము:
3. మేము సూత్రాన్ని వర్తింపజేస్తాము:

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, ఫార్ములా మునుపటి రెండు వాటికి చాలా పోలి ఉంటుంది, దీని సహాయంతో మేము సరళ రేఖల మధ్య మరియు సరళ రేఖ మరియు విమానం మధ్య కోణాల కోసం చూశాము. కాబట్టి మీరు దీన్ని గుర్తుంచుకోవడం కష్టం కాదు. పనుల విశ్లేషణకు వెళ్దాం:

1. కుడి త్రిభుజాకార ప్రిజం యొక్క బేస్ వైపు సమానంగా ఉంటుంది మరియు ప్రక్క ముఖం యొక్క డయా-గో-నల్ సమానంగా ఉంటుంది. ప్రిజం యొక్క అక్షం యొక్క విమానం మరియు విమానం మధ్య కోణాన్ని కనుగొనండి.

2. కుడి నాలుగు మూలల pi-ra-mi-deలో, అన్ని అంచులు సమానంగా ఉంటాయి, విమానం మరియు విమానం ఎముక మధ్య కోణం యొక్క సైన్‌ను కనుగొనండి, ప్రతి-పెన్-డి-కు- పాయింట్ గుండా వెళుతుంది. lyar-కానీ నేరుగా.

3. సాధారణ నాలుగు మూలల ప్రిజంలో, బేస్ యొక్క భుజాలు సమానంగా ఉంటాయి మరియు పక్క అంచులు సమానంగా ఉంటాయి. అంచున నుండి-me-che-on కాబట్టి ఒక పాయింట్ ఉంది. విమానాల మధ్య కోణాన్ని కనుగొనండి మరియు

4. కుడి చతుర్భుజ ప్రిజంలో, ఆధారం యొక్క భుజాలు సమానంగా ఉంటాయి మరియు పక్క అంచులు సమానంగా ఉంటాయి. పాయింట్ నుండి అంచున ఒక పాయింట్ ఉంది, తద్వారా విమానాల మధ్య కోణాన్ని కనుగొనండి మరియు.

5. ఒక క్యూబ్‌లో, విమానాల మధ్య కోణం యొక్క సహ-సి-నస్‌ను కనుగొనండి మరియు

సమస్య పరిష్కారాలు:

1. నేను సరైనదాన్ని గీస్తాను (బేస్ వద్ద ఒక సమబాహు త్రిభుజం ఉంది) త్రిభుజాకార ప్రిజంమరియు సమస్య ప్రకటనలో కనిపించే విమానాలను దానిపై గుర్తించండి:

మేము రెండు విమానాల సమీకరణాలను కనుగొనవలసి ఉంది: బేస్ యొక్క సమీకరణం చిన్నవిషయం: మీరు మూడు పాయింట్లను ఉపయోగించి సంబంధిత నిర్ణయాధికారిని కంపోజ్ చేయవచ్చు, కానీ నేను వెంటనే సమీకరణాన్ని కంపోజ్ చేస్తాను:

ఇప్పుడు పాయింట్ పాయింట్ కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉన్న సమీకరణాన్ని కనుగొనండి - త్రిభుజం యొక్క మధ్యస్థ మరియు ఎత్తు కాబట్టి, ఇది త్రిభుజంలోని పైథాగరియన్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి సులభంగా కనుగొనబడుతుంది. అప్పుడు పాయింట్ కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంటుంది: పాయింట్ యొక్క అనువర్తనాన్ని కనుగొనండి. దీన్ని చేయడానికి, లంబ త్రిభుజాన్ని పరిగణించండి.

అప్పుడు మేము క్రింది కోఆర్డినేట్లను పొందుతాము: మేము విమానం యొక్క సమీకరణాన్ని కంపోజ్ చేస్తాము.

మేము విమానాల మధ్య కోణాన్ని లెక్కిస్తాము:

సమాధానం:

2. డ్రాయింగ్ చేయడం:

పాయింట్ గుండా లంబంగా ప్రయాణిస్తున్న ఇది ఎలాంటి మర్మమైన విమానం అని అర్థం చేసుకోవడం చాలా కష్టమైన విషయం. బాగా, ప్రధాన విషయం ఏమిటంటే, అది ఏమిటి? ప్రధాన విషయం శ్రద్ధ! నిజానికి, లైన్ లంబంగా ఉంటుంది. సరళ రేఖ కూడా లంబంగా ఉంటుంది. అప్పుడు ఈ రెండు పంక్తుల గుండా వెళుతున్న విమానం రేఖకు లంబంగా ఉంటుంది మరియు మార్గం ద్వారా, పాయింట్ గుండా వెళుతుంది. ఈ విమానం పిరమిడ్ పైభాగం గుండా కూడా వెళుతుంది. అప్పుడు కావలసిన విమానం - మరియు విమానం ఇప్పటికే మాకు ఇవ్వబడింది. మేము పాయింట్ల కోఆర్డినేట్‌ల కోసం చూస్తున్నాము.

మేము పాయింట్ ద్వారా పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌ను కనుగొంటాము. చిన్న చిత్రం నుండి పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు క్రింది విధంగా ఉంటాయని ఊహించడం సులభం: పిరమిడ్ పైభాగంలోని కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనడానికి ఇప్పుడు ఏమి కనుగొనబడింది? మీరు దాని ఎత్తును కూడా లెక్కించాలి. ఇది అదే పైథాగరియన్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి చేయబడుతుంది: ముందుగా దానిని నిరూపించండి (చిన్న త్రిభుజాల నుండి బేస్ వద్ద చతురస్రాన్ని ఏర్పరుస్తుంది). షరతు ప్రకారం, మేము కలిగి ఉన్నాము:

ఇప్పుడు ప్రతిదీ సిద్ధంగా ఉంది: శీర్ష కోఆర్డినేట్లు:

మేము విమానం యొక్క సమీకరణాన్ని కంపోజ్ చేస్తాము:

మీరు డిటర్మినేట్‌లను లెక్కించడంలో ఇప్పటికే నిపుణుడిగా ఉన్నారు. ఇబ్బంది లేకుండా మీరు అందుకుంటారు:

లేకుంటే (రెండు వైపులా రెండు మూలాలతో గుణిస్తే)

ఇప్పుడు విమానం యొక్క సమీకరణాన్ని కనుగొనండి:

(విమానం యొక్క సమీకరణాన్ని మనం ఎలా పొందుతాము అని మీరు మర్చిపోలేదు, సరియైనదా? ఈ మైనస్ ఎక్కడ నుండి వచ్చిందో మీకు అర్థం కాకపోతే, విమానం యొక్క సమీకరణం యొక్క నిర్వచనానికి తిరిగి వెళ్లండి! ఇది ఎల్లప్పుడూ ముందు తేలింది. నా విమానం కోఆర్డినేట్‌ల మూలానికి చెందినది!)

మేము డిటర్మినెంట్ను లెక్కిస్తాము:

(విమానం యొక్క సమీకరణం పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న రేఖ యొక్క సమీకరణంతో సమానంగా ఉందని మీరు గమనించవచ్చు మరియు! ఎందుకు అని ఆలోచించండి!)

ఇప్పుడు కోణాన్ని లెక్కిద్దాం:

మేము సైన్ని కనుగొనాలి:

సమాధానం:

3. గమ్మత్తైన ప్రశ్న: ఇది ఏమిటి? దీర్ఘచతురస్రాకార ప్రిజం, నువ్వు ఎలా ఆలోచిస్తావు? ఇది మీకు బాగా తెలిసిన ఒక సమాంతర పైప్ మాత్రమే! వెంటనే డ్రాయింగ్ చేద్దాం! మీరు బేస్‌ను విడిగా వర్ణించాల్సిన అవసరం లేదు; ఇది ఇక్కడ పెద్దగా ఉపయోగపడదు:

విమానం, మనం ఇంతకు ముందు గుర్తించినట్లుగా, సమీకరణం రూపంలో వ్రాయబడింది:

ఇప్పుడు ఒక విమానాన్ని తయారు చేద్దాం

మేము వెంటనే విమానం యొక్క సమీకరణాన్ని సృష్టిస్తాము:

కోణం కోసం వెతుకుతోంది:

ఇప్పుడు చివరి రెండు సమస్యలకు సమాధానాలు:

సరే, ఇప్పుడు కొంచెం విరామం తీసుకోవలసిన సమయం వచ్చింది, ఎందుకంటే మీరు మరియు నేను గొప్పవారము మరియు గొప్ప పని చేసాము!

కోఆర్డినేట్లు మరియు వెక్టర్స్. అధునాతన స్థాయి

ఈ ఆర్టికల్లో మేము సమన్వయ పద్ధతిని ఉపయోగించి పరిష్కరించగల మరొక తరగతి సమస్యలను మీతో చర్చిస్తాము: దూర గణన సమస్యలు. అవి, మేము ఈ క్రింది కేసులను పరిశీలిస్తాము:

1. ఖండన రేఖల మధ్య దూరం యొక్క గణన.

నేను కష్టాలను పెంచే క్రమంలో ఈ అసైన్‌మెంట్‌లను ఆర్డర్ చేసాను. ఇది కనుగొనడం చాలా సులభం అని తేలింది పాయింట్ నుండి విమానం వరకు దూరం, మరియు చాలా కష్టమైన విషయం కనుగొనడం క్రాసింగ్ లైన్ల మధ్య దూరం. అయినప్పటికీ, ఏదీ అసాధ్యం కాదు! మేము వాయిదా వేయకుండా మరియు వెంటనే మొదటి తరగతి సమస్యలను పరిగణలోకి తీసుకుంటాము:

ఒక బిందువు నుండి విమానానికి దూరాన్ని గణించడం

ఈ సమస్యను పరిష్కరించడానికి మనం ఏమి చేయాలి?

1. పాయింట్ కోఆర్డినేట్లు

కాబట్టి, మేము అవసరమైన మొత్తం డేటాను స్వీకరించిన వెంటనే, మేము సూత్రాన్ని వర్తింపజేస్తాము:

గత భాగంలో నేను చర్చించిన మునుపటి సమస్యల నుండి మనం విమానం యొక్క సమీకరణాన్ని ఎలా నిర్మిస్తామో మీకు ఇప్పటికే తెలిసి ఉండాలి. నేరుగా పనుల్లోకి వెళ్దాం. పథకం క్రింది విధంగా ఉంది: 1, 2 - నేను నిర్ణయించడంలో మీకు సహాయం చేస్తాను మరియు కొంత వివరంగా, 3, 4 - సమాధానం మాత్రమే, మీరు మీరే పరిష్కారాన్ని అమలు చేసి సరిపోల్చండి. మొదలు పెడదాం!

పనులు:

1. ఒక క్యూబ్ ఇవ్వబడింది. క్యూబ్ యొక్క అంచు పొడవు సమానంగా ఉంటుంది. సె-రీ-డి-నా నుండి కట్ నుండి విమానం వరకు ఉన్న దూరాన్ని కనుగొనండి

2. కుడి నాలుగు బొగ్గు pi-ra-mi-yes ఇచ్చిన, వైపు వైపు బేస్ సమానంగా ఉంటుంది. పాయింట్ నుండి ప్లేన్ వరకు ఉన్న దూరాన్ని కనుగొనండి - అంచులలో సె-రీ-డి-డి-డి-డి.

3. os-no-va-ni-emతో కుడి త్రిభుజాకార pi-ra-mi-deలో, వైపు అంచు సమానంగా ఉంటుంది మరియు os-no-va-నియాపై వంద-రో-సమానంగా ఉంటుంది. పై నుండి విమానానికి దూరాన్ని కనుగొనండి.

4. కుడి షట్కోణ ప్రిజంలో, అన్ని అంచులు సమానంగా ఉంటాయి. ఒక పాయింట్ నుండి ఒక విమానానికి దూరం కనుగొనండి.

పరిష్కారాలు:

1. ఒకే అంచులతో ఒక క్యూబ్‌ను గీయండి, ఒక సెగ్మెంట్ మరియు ఒక ప్లేన్‌ను నిర్మించండి, సెగ్మెంట్ మధ్యలో అక్షరంతో సూచించండి

.

ముందుగా, సులభమైన దానితో ప్రారంభిద్దాం: పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనండి. అప్పటి నుండి (సెగ్మెంట్ మధ్యలో ఉన్న కోఆర్డినేట్‌లను గుర్తుంచుకోండి!)

ఇప్పుడు మనం మూడు పాయింట్లను ఉపయోగించి విమానం యొక్క సమీకరణాన్ని కంపోజ్ చేస్తాము

\[\ఎడమ| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(array)) \right| = 0\]

ఇప్పుడు నేను దూరాన్ని కనుగొనడం ప్రారంభించగలను:

2. మేము మొత్తం డేటాను గుర్తించే డ్రాయింగ్‌తో మళ్లీ ప్రారంభిస్తాము!

పిరమిడ్ కోసం, దాని ఆధారాన్ని విడిగా గీయడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది.

నేను దాని పంజాతో కోడిలా గీస్తాను అనే వాస్తవం కూడా ఈ సమస్యను సులభంగా పరిష్కరించకుండా నిరోధించదు!

ఇప్పుడు పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనడం సులభం

పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్స్ నుండి, అప్పుడు

2. పాయింట్ a యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు సెగ్మెంట్ మధ్యలో ఉన్నందున, అప్పుడు

ఎటువంటి సమస్యలు లేకుండా, మేము విమానంలో మరో రెండు పాయింట్ల కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనవచ్చు. మేము విమానం కోసం ఒక సమీకరణాన్ని సృష్టించి దానిని సరళీకృతం చేస్తాము:

\[\ఎడమ| (\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(array)) \right|) \right| = 0\]

పాయింట్ కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉన్నందున: , మేము దూరాన్ని గణిస్తాము:

సమాధానం (చాలా అరుదు!):

బాగా, మీరు దాన్ని గుర్తించారా? ఇంతకు ముందు భాగంలో మనం చూసుకున్న ఉదాహరణల మాదిరిగానే ఇక్కడ ప్రతిదీ సాంకేతికంగా ఉందని నాకు అనిపిస్తోంది. కాబట్టి మీరు ఆ విషయంపై పట్టు సాధించినట్లయితే, మిగిలిన రెండు సమస్యలను పరిష్కరించడం మీకు కష్టమేమీ కాదని నేను ఖచ్చితంగా అనుకుంటున్నాను. నేను మీకు సమాధానాలు మాత్రమే ఇస్తాను:

సరళ రేఖ నుండి విమానానికి దూరాన్ని గణించడం

నిజానికి ఇక్కడ కొత్తేమీ లేదు. సరళ రేఖ మరియు విమానం ఒకదానికొకటి సాపేక్షంగా ఎలా ఉంచబడతాయి? వారికి ఒకే ఒక అవకాశం ఉంది: కలుస్తుంది, లేదా సరళ రేఖ విమానానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది. ఈ సరళ రేఖ కలుస్తున్న విమానానికి సరళ రేఖ నుండి దూరం ఎంత అని మీరు అనుకుంటున్నారు? అటువంటి దూరం సున్నాకి సమానం అని ఇక్కడ స్పష్టంగా ఉన్నట్లు నాకు అనిపిస్తోంది. ఆసక్తికరమైన కేసు కాదు.

రెండవ సందర్భం గమ్మత్తైనది: ఇక్కడ దూరం ఇప్పటికే సున్నా కాదు. అయితే, రేఖ సమతలానికి సమాంతరంగా ఉన్నందున, రేఖ యొక్క ప్రతి బిందువు ఈ విమానం నుండి సమానంగా ఉంటుంది:

ఈ విధంగా:

దీని అర్థం నా పని మునుపటిదానికి తగ్గించబడింది: మేము సరళ రేఖలో ఏదైనా బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌ల కోసం చూస్తున్నాము, విమానం యొక్క సమీకరణం కోసం చూస్తున్నాము మరియు పాయింట్ నుండి విమానానికి దూరాన్ని లెక్కిస్తాము. నిజానికి, యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్‌లో ఇటువంటి పనులు చాలా అరుదు. నేను ఒక సమస్యను మాత్రమే కనుగొనగలిగాను మరియు దానిలోని డేటా కోఆర్డినేట్ పద్ధతి దానికి చాలా వర్తించదు!

ఇప్పుడు మరొక, చాలా ముఖ్యమైన సమస్యల తరగతికి వెళ్దాం:

ఒక రేఖకు బిందువు దూరాన్ని గణించడం

మనకు ఏమి కావాలి?

1. మనం దూరం కోసం చూస్తున్న పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్లు:

2. ఒక రేఖపై ఉన్న ఏదైనా పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్లు

3. సరళ రేఖ యొక్క దర్శకత్వం వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్లు

మేము ఏ సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము?

ఈ భిన్నం యొక్క హారం అర్థం ఏమిటో మీకు స్పష్టంగా ఉండాలి: ఇది సరళ రేఖ యొక్క నిర్దేశించే వెక్టర్ యొక్క పొడవు. ఇది చాలా గమ్మత్తైన న్యూమరేటర్! వ్యక్తీకరణ అంటే వెక్టర్స్ యొక్క వెక్టర్ ఉత్పత్తి యొక్క మాడ్యులస్ (పొడవు) మరియు వెక్టర్ ఉత్పత్తిని ఎలా లెక్కించాలి, మేము పని యొక్క మునుపటి భాగంలో అధ్యయనం చేసాము. మీ జ్ఞానాన్ని రిఫ్రెష్ చేయండి, మాకు ఇప్పుడు ఇది చాలా అవసరం!

అందువల్ల, సమస్యలను పరిష్కరించడానికి అల్గోరిథం క్రింది విధంగా ఉంటుంది:

1. మేము దూరం కోసం చూస్తున్న పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌ల కోసం చూస్తున్నాము:

2. మేము దూరం కోసం వెతుకుతున్న రేఖలోని ఏదైనా పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌ల కోసం చూస్తున్నాము:

3. వెక్టర్‌ను నిర్మించండి

4. సరళ రేఖ యొక్క నిర్దేశక వెక్టార్‌ను నిర్మించండి

5. వెక్టర్ ఉత్పత్తిని లెక్కించండి

6. మేము ఫలిత వెక్టర్ యొక్క పొడవు కోసం చూస్తాము:

7. దూరాన్ని లెక్కించండి:

మాకు చాలా పని ఉంది మరియు ఉదాహరణలు చాలా క్లిష్టంగా ఉంటాయి! కాబట్టి ఇప్పుడు మీ దృష్టి అంతా కేంద్రీకరించండి!

1. పైభాగంతో కుడి త్రిభుజాకార pi-ra-mi-da ఇవ్వబడింది. పి-రా-మి-డై ఆధారంగా వంద-రో-సమానం, మీరు సమానం. బూడిద అంచు నుండి సరళ రేఖకు ఉన్న దూరాన్ని కనుగొనండి, ఇక్కడ పాయింట్లు మరియు బూడిద అంచులు మరియు పశువైద్యం నుండి.

2. పక్కటెముకల పొడవులు మరియు స్ట్రెయిట్-యాంగిల్-నో-గో పార్-రల్-లే-లే-పై-పె-డా సమానంగా ఉంటాయి మరియు పై నుండి సరళ రేఖకు దూరాన్ని కనుగొనండి

3. కుడి షట్కోణ ప్రిజంలో, అన్ని అంచులు సమానంగా ఉంటాయి, ఒక బిందువు నుండి సరళ రేఖకు దూరాన్ని కనుగొనండి

పరిష్కారాలు:

1. మేము మొత్తం డేటాను గుర్తించే చక్కని డ్రాయింగ్‌ను తయారు చేస్తాము:

మాకు చాలా పని ఉంది! మొదట, మనం దేని కోసం చూస్తాము మరియు ఏ క్రమంలో ఉంటామో నేను పదాలలో వివరించాలనుకుంటున్నాను:

1. పాయింట్ల కోఆర్డినేట్లు మరియు

2. పాయింట్ కోఆర్డినేట్లు

3. పాయింట్ల అక్షాంశాలు మరియు

4. వెక్టర్స్ కోఆర్డినేట్స్ మరియు

5. వారి క్రాస్ ఉత్పత్తి

6. వెక్టర్ పొడవు

7. వెక్టర్ ఉత్పత్తి యొక్క పొడవు

8. నుండి దూరం

సరే, మన ముందు చాలా పని ఉంది! మన స్లీవ్‌లను పైకి చుట్టుకొని దాన్ని చేరుకుందాం!

1. పిరమిడ్ యొక్క ఎత్తు యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనడానికి, మేము పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను తెలుసుకోవాలి. దాని అప్లికేషన్ సున్నా, మరియు దాని ఆర్డినేట్ దాని అబ్సిస్సాకు సమానం అంటే సెగ్మెంట్ పొడవుకు సమానం. కాబట్టి ఎత్తు ఒక సమబాహు త్రిభుజం, ఇది నిష్పత్తిలో విభజించబడింది, శీర్షం నుండి లెక్కించబడుతుంది, ఇక్కడ నుండి. చివరగా, మేము కోఆర్డినేట్లను పొందాము:

పాయింట్ కోఆర్డినేట్లు

2. - సెగ్మెంట్ మధ్యలో

3. - సెగ్మెంట్ మధ్యలో

సెగ్మెంట్ మధ్య బిందువు

4.కోఆర్డినేట్స్

వెక్టర్ కోఆర్డినేట్లు

5. వెక్టర్ ఉత్పత్తిని లెక్కించండి:

6. వెక్టర్ పొడవు: భర్తీ చేయడానికి సులభమైన మార్గం ఏమిటంటే, సెగ్మెంట్ త్రిభుజం యొక్క మధ్య రేఖ, అంటే ఇది సగం బేస్‌కు సమానం. కాబట్టి.

7. వెక్టర్ ఉత్పత్తి పొడవును లెక్కించండి:

8. చివరగా, మేము దూరాన్ని కనుగొంటాము:

అయ్యో, అంతే! నేను మీకు నిజాయితీగా చెబుతాను: ఈ సమస్యకు పరిష్కారం సాంప్రదాయ పద్ధతులు(నిర్మాణం ద్వారా), ఇది చాలా వేగంగా ఉంటుంది. కానీ ఇక్కడ నేను ప్రతిదీ రెడీమేడ్ అల్గోరిథంకు తగ్గించాను! పరిష్కార అల్గోరిథం మీకు స్పష్టంగా ఉందని నేను భావిస్తున్నాను? అందుకే మిగిలిన రెండు సమస్యలను మీరే పరిష్కరించమని అడుగుతాను. సమాధానాలను పోల్చి చూద్దాం?

మళ్ళీ, నేను పునరావృతం చేస్తున్నాను: ఈ సమస్యలను ఆశ్రయించడం కంటే నిర్మాణాల ద్వారా పరిష్కరించడం సులభం (వేగంగా). సమన్వయ పద్ధతి. మీకు చూపించడానికి మాత్రమే నేను ఈ పరిష్కారాన్ని ప్రదర్శించాను సార్వత్రిక పద్ధతి, ఇది మిమ్మల్ని "ఏదైనా నిర్మించడాన్ని పూర్తి చేయకుండా" అనుమతిస్తుంది.

చివరగా, సమస్యల యొక్క చివరి తరగతిని పరిగణించండి:

ఖండన రేఖల మధ్య దూరాన్ని లెక్కించడం

ఇక్కడ సమస్యలను పరిష్కరించడానికి అల్గోరిథం మునుపటి మాదిరిగానే ఉంటుంది. మన దగ్గర ఉన్నది:

3. మొదటి మరియు రెండవ పంక్తి యొక్క పాయింట్లను అనుసంధానించే ఏదైనా వెక్టర్:

పంక్తుల మధ్య దూరాన్ని ఎలా కనుగొనాలి?

సూత్రం క్రింది విధంగా ఉంది:

న్యూమరేటర్ మాడ్యులస్ మిశ్రమ ఉత్పత్తి(మేము దానిని మునుపటి భాగంలో పరిచయం చేసాము), మరియు హారం మునుపటి ఫార్ములాలో వలె ఉంటుంది (సరళ రేఖల నిర్దేశక వెక్టర్స్ యొక్క వెక్టర్ ఉత్పత్తి యొక్క మాడ్యులస్, మనం వెతుకుతున్న దూరం).

నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను

అప్పుడు దూరం కోసం సూత్రాన్ని ఇలా తిరిగి వ్రాయవచ్చు:

ఇది డిటర్‌మినెంట్‌తో భాగించబడే డిటర్‌మినెంట్! అయినప్పటికీ, నిజం చెప్పాలంటే, నాకు ఇక్కడ జోక్స్ కోసం సమయం లేదు! ఈ ఫార్ములా, నిజానికి, చాలా గజిబిజిగా మరియు చాలా దారితీస్తుంది సంక్లిష్ట లెక్కలు. నేను మీరైతే, నేను దానిని చివరి ప్రయత్నంగా మాత్రమే ఆశ్రయిస్తాను!

పై పద్ధతిని ఉపయోగించి కొన్ని సమస్యలను పరిష్కరించడానికి ప్రయత్నిద్దాం:

1. సరైన దిశలో త్రిభుజాకార ప్రిజం, అన్ని అంచులు సమానంగా ఉంటాయి, సరళ రేఖల మధ్య దూరాన్ని కనుగొనండి మరియు.

2. కుడి త్రిభుజాకార ప్రిజం ఇచ్చినట్లయితే, బేస్ యొక్క అన్ని అంచులు శరీర పక్కటెముక గుండా వెళుతున్న విభాగానికి సమానంగా ఉంటాయి మరియు సె-రీ-డి-వెల్ పక్కటెముకలు ఒక చతురస్రం. సరళ రేఖల మధ్య దూరాన్ని కనుగొనండి మరియు

నేను మొదటిదాన్ని నిర్ణయిస్తాను మరియు దాని ఆధారంగా, మీరు రెండవదాన్ని నిర్ణయించుకుంటారు!

1. నేను ప్రిజంను గీస్తాను మరియు సరళ రేఖలను గుర్తించాను మరియు

పాయింట్ C యొక్క కోఆర్డినేట్స్: అప్పుడు

పాయింట్ కోఆర్డినేట్లు

వెక్టర్ కోఆర్డినేట్లు

పాయింట్ కోఆర్డినేట్లు

వెక్టర్ కోఆర్డినేట్లు

వెక్టర్ కోఆర్డినేట్లు

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\begin(array)(*(20) (సి))0&0&1\ఎండ్(అరే))\\(\బిగిన్(అరే)(*(20)(సి))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\ ముగింపు(శ్రేణి))\end(శ్రేణి)) \కుడి| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

మేము వెక్టార్ల మధ్య వెక్టర్ ఉత్పత్తిని గణిస్తాము మరియు

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k)\end(array)\\\begin(array) )(*(20)(c))0&0&1\end(array)\\\ ప్రారంభం(శ్రేణి)(*(20)(c))(\frac(\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(array)\end(array) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

ఇప్పుడు మేము దాని పొడవును లెక్కిస్తాము:

సమాధానం:

ఇప్పుడు రెండవ పనిని జాగ్రత్తగా పూర్తి చేయడానికి ప్రయత్నించండి. దానికి సమాధానం ఇలా ఉంటుంది: .

కోఆర్డినేట్లు మరియు వెక్టర్స్. సంక్షిప్త వివరణ మరియు ప్రాథమిక సూత్రాలు

వెక్టర్ అనేది నిర్దేశిత విభాగం. - వెక్టర్ ప్రారంభం, - వెక్టర్ ముగింపు.
వెక్టర్ లేదా దీని ద్వారా సూచించబడుతుంది.

సంపూర్ణ విలువవెక్టర్ - వెక్టర్‌ను సూచించే సెగ్మెంట్ యొక్క పొడవు. గా సూచించబడింది.

వెక్టర్ కోఆర్డినేట్స్:

,
వెక్టార్ యొక్క చివరలు ఎక్కడ ఉన్నాయి \displaystyle a .

వెక్టర్స్ మొత్తం: .

వెక్టర్స్ ఉత్పత్తి:

వెక్టర్స్ యొక్క డాట్ ఉత్పత్తి: