లంబ త్రిభుజాల యొక్క కొన్ని లక్షణాలు. కుడి త్రిభుజం

వైపు aగా గుర్తించవచ్చు బి కోణం ప్రక్కనేమరియు కోణానికి వ్యతిరేకం A, మరియు వైపు బి- ఎలా A కోణం ప్రక్కనేమరియు కోణానికి వ్యతిరేకం B.

లంబ త్రిభుజాల రకాలు

లంబ త్రిభుజం యొక్క మూడు భుజాల పొడవులు పూర్ణాంకాలు అయితే, ఆ త్రిభుజాన్ని అంటారు పైథాగరియన్ త్రిభుజం, మరియు దాని వైపులా పొడవులు అని పిలవబడే ఏర్పాటు పైథాగరియన్ ట్రిపుల్.

లక్షణాలు

ఎత్తు

లంబ త్రిభుజం ఎత్తు.

త్రికోణమితి నిష్పత్తులు

వీలు hమరియు లు (h>లు) రెండు చతురస్రాల భుజాలు కర్ణంతో లంబ త్రిభుజంలో వ్రాయబడ్డాయి సి. అప్పుడు:

ఒక లంబ త్రిభుజం చుట్టుకొలత లిఖిత మరియు మూడు చుట్టుపక్కల వృత్తాల వ్యాసార్థాల మొత్తానికి సమానం.

గమనికలు

లింకులు

వైస్స్టెయిన్, ఎరిక్ W. Wolfram MathWorld వెబ్‌సైట్‌లో కుడి త్రిభుజం (ఇంగ్లీష్).
వెంట్వర్త్ జి.ఎ.జామెట్రీ యొక్క టెక్స్ట్-బుక్. - గిన్ & కో., 1895.

వికీమీడియా ఫౌండేషన్. 2010.

ఇతర నిఘంటువులలో "కుడి త్రిభుజం" ఏమిటో చూడండి:

కుడి త్రిభుజం- - టాపిక్స్ చమురు మరియు గ్యాస్ పరిశ్రమ EN లంబ త్రిభుజం ... సాంకేతిక అనువాదకుని గైడ్

మరియు (సాధారణ) త్రిభుజం, త్రిభుజం, మనిషి. 1. మూడు అంతర్గత కోణాలను (మత్.) ఏర్పరిచే మూడు పరస్పరం ఖండన రేఖలతో సరిహద్దులుగా ఉన్న రేఖాగణిత చిత్రం. మందమైన త్రిభుజం. తీవ్రమైన త్రిభుజం. కుడి త్రిభుజం.... ఉషకోవ్ యొక్క వివరణాత్మక నిఘంటువు

దీర్ఘచతురస్రాకార, దీర్ఘచతురస్రాకార, దీర్ఘచతురస్రాకార (జియోమ్.). లంబ కోణం (లేదా లంబ కోణాలు) కలిగి ఉండటం. కుడి త్రిభుజం. దీర్ఘచతురస్రాకార ఆకారాలు. ఉషకోవ్ యొక్క వివరణాత్మక నిఘంటువు. డి.ఎన్. ఉషకోవ్. 1935 1940 ... ఉషకోవ్ యొక్క వివరణాత్మక నిఘంటువు

ఈ పదానికి ఇతర అర్థాలు ఉన్నాయి, ట్రయాంగిల్ (అర్థాలు) చూడండి. ఒక త్రిభుజం (యూక్లిడియన్ స్పేస్‌లో) అనేది ఒకే సరళ రేఖపై ఉండని మూడు బిందువులను కలుపుతూ మూడు విభాగాల ద్వారా ఏర్పడిన రేఖాగణిత బొమ్మ. మూడు చుక్కలు,... ... వికీపీడియా

త్రిభుజం- ▲ మూడు కోణాలతో కూడిన బహుభుజి, ఒక త్రిభుజం, సరళమైన బహుభుజి; ఒకే లైన్‌లో లేని 3 పాయింట్ల ద్వారా నిర్వచించబడింది. త్రిభుజాకార. తీవ్రమైన కోణం. తీవ్రమైన కోణాల. కుడి త్రిభుజం: కాలు. హైపోటెన్యూస్. సమద్విబాహు త్రిభుజం. ▼…… రష్యన్ భాష యొక్క ఐడియోగ్రాఫిక్ నిఘంటువు

త్రిభుజం, హుహ్, భర్త. 1. రేఖాగణిత బొమ్మ, మూడు కోణాలతో కూడిన బహుభుజి, అలాగే ఈ ఆకారంలోని ఏదైనా వస్తువు లేదా పరికరం. దీర్ఘచతురస్రాకార t. చెక్క t. (డ్రాయింగ్ కోసం). సోల్జర్ యొక్క T. (కవరు లేకుండా సైనికుడి లేఖ, ఒక మూలలో మడవబడుతుంది; ధ్వంసమయ్యే). 2... ఓజెగోవ్ యొక్క వివరణాత్మక నిఘంటువు

త్రిభుజం (బహుభుజి)- త్రిభుజాలు: 1 తీవ్రమైన, దీర్ఘచతురస్రాకార మరియు మందమైన; 2 సాధారణ (సమబాహు) మరియు సమద్విబాహులు; 3 ద్విభాగాలు; 4 మధ్యస్థాలు మరియు గురుత్వాకర్షణ కేంద్రం; 5 ఎత్తులు; 6 ఆర్థోసెంటర్; 7 మధ్య లైన్. త్రిభుజం, 3 వైపులా ఉన్న బహుభుజి. కొన్నిసార్లు కింద....... ఇలస్ట్రేటెడ్ ఎన్సైక్లోపెడిక్ నిఘంటువు

ఎన్సైక్లోపెడిక్ నిఘంటువు

త్రిభుజం- ఎ; m. 1) a) మూడు అంతర్గత కోణాలను ఏర్పరిచే మూడు ఖండన రేఖలతో సరిహద్దులుగా ఉన్న రేఖాగణిత చిత్రం. దీర్ఘచతురస్రాకార, సమద్విబాహు త్రిభుజం. త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించండి. బి) ott. ఏమి లేదా డెఫ్ తో. ఈ ఆకారపు బొమ్మ లేదా వస్తువు... ... అనేక వ్యక్తీకరణల నిఘంటువు

A; m. 1. మూడు అంతర్గత కోణాలను ఏర్పరిచే మూడు ఖండన రేఖలతో సరిహద్దులుగా ఉన్న రేఖాగణిత చిత్రం. దీర్ఘచతురస్రాకార, సమద్విబాహు t. త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించండి. // ఏమి లేదా డెఫ్ తో. ఈ ఆకారం యొక్క బొమ్మ లేదా వస్తువు. T. పైకప్పులు. టి.…… ఎన్సైక్లోపెడిక్ నిఘంటువు

సూచనలు

a మరియు b కాళ్లకు ఎదురుగా ఉన్న కోణాలు వరుసగా A మరియు B ద్వారా సూచించబడతాయి. హైపోటెన్యూస్, నిర్వచనం ప్రకారం, లంబ కోణానికి ఎదురుగా ఉండే లంబకోణ త్రిభుజం యొక్క భుజం (హైపోటెన్యూస్ ఇతర భుజాలతో తీవ్రమైన కోణాలను ఏర్పరుస్తుంది. త్రిభుజం). మేము హైపోటెన్యూస్ యొక్క పొడవును c ద్వారా సూచిస్తాము.

నీకు అవసరం అవుతుంది:
కాలిక్యులేటర్.

కాలు కోసం క్రింది వ్యక్తీకరణను ఉపయోగించండి: a=sqrt(c^2-b^2), మీకు హైపోటెన్యూస్ మరియు ఇతర లెగ్ విలువలు తెలిస్తే. ఈ వ్యక్తీకరణ పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం నుండి ఉద్భవించింది, ఇది త్రిభుజం యొక్క హైపోటెన్యూస్ యొక్క స్క్వేర్ కాళ్ళ చతురస్రాల మొత్తం అని పేర్కొంది. sqrt ఆపరేటర్ వర్గమూలాలను సంగ్రహిస్తుంది. "^2" గుర్తు అంటే రెండవ శక్తికి పెంచడం.

మీకు హైపోటెన్యూస్ (c) మరియు కావలసిన దానికి వ్యతిరేక కోణం తెలిస్తే a=c*sinA ఫార్ములా ఉపయోగించండి (మేము ఈ కోణాన్ని Aగా సూచించాము).
మీకు హైపోటెన్యూస్ (c) మరియు కావలసిన లెగ్‌కి ఆనుకుని ఉన్న కోణం (మేము ఈ కోణాన్ని Bగా సూచిస్తాము) తెలిస్తే కాలును కనుగొనడానికి a=c*cosB అనే వ్యక్తీకరణను ఉపయోగించండి.
లెగ్ b మరియు కావలసిన లెగ్‌కి వ్యతిరేక కోణం ఇవ్వబడిన సందర్భంలో a=b*tgA నుండి లెగ్‌ను లెక్కించండి (మేము ఈ కోణాన్ని Aగా సూచించడానికి అంగీకరించాము).

గమనిక:
మీ సమస్యలో లెగ్ వివరించిన మార్గాల్లో ఏదీ కనుగొనబడకపోతే, చాలా మటుకు అది వాటిలో ఒకదానికి తగ్గించబడుతుంది.

ఉపయోగకరమైన చిట్కాలు:
ఈ వ్యక్తీకరణలన్నీ త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల యొక్క ప్రసిద్ధ నిర్వచనాల నుండి పొందబడ్డాయి, కాబట్టి, మీరు వాటిలో ఒకదాన్ని మరచిపోయినప్పటికీ, మీరు ఎల్లప్పుడూ సాధారణ కార్యకలాపాలను ఉపయోగించి త్వరగా దాన్ని పొందవచ్చు. 30, 45, 60, 90, 180 డిగ్రీల అత్యంత సాధారణ కోణాల కోసం త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల విలువలను తెలుసుకోవడం కూడా ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది.

అంశంపై వీడియో

మూలాలు:

"విశ్వవిద్యాలయాల్లో ప్రవేశించే వారి కోసం గణితంపై ఒక మాన్యువల్," ed. శుభరాత్రి. యాకోవ్లెవా, 1982
కుడి త్రిభుజం యొక్క కాలు

చతురస్ర త్రిభుజాన్ని మరింత ఖచ్చితంగా లంబ త్రిభుజం అంటారు. ఈ రేఖాగణిత బొమ్మ యొక్క భుజాలు మరియు కోణాల మధ్య సంబంధాలు త్రికోణమితి యొక్క గణిత శాస్త్ర విభాగంలో వివరంగా చర్చించబడ్డాయి.

నీకు అవసరం అవుతుంది

- కాగితం;
- పెన్;
- బ్రాడిస్ పట్టికలు;
- కాలిక్యులేటర్.

సూచనలు

కనుగొనండి త్రిభుజంపైథాగరియన్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి. ఈ సిద్ధాంతం ప్రకారం, హైపోటెన్యూస్ యొక్క స్క్వేర్ కాళ్ళ చతురస్రాల మొత్తానికి సమానం: c2 = a2+b2, ఇక్కడ c అనేది హైపోటెన్యూస్ త్రిభుజం, a మరియు b దాని కాళ్ళు. దీన్ని వర్తింపజేయడానికి, మీరు దీర్ఘచతురస్రాకారంలో ఏదైనా రెండు వైపులా పొడవు తెలుసుకోవాలి త్రిభుజం.

పరిస్థితులు కాళ్ళ కొలతలను నిర్దేశిస్తే, హైపోటెన్యూస్ యొక్క పొడవును కనుగొనండి. దీన్ని చేయడానికి, కాళ్ళ మొత్తం యొక్క వర్గమూలాన్ని సంగ్రహించడానికి ఉపయోగించండి, వీటిలో ప్రతి ఒక్కటి మొదట స్క్వేర్ చేయబడాలి.

హైపోటెన్యూస్ మరియు మరొక కాలు యొక్క కొలతలు తెలిసినట్లయితే, ఒక కాళ్ళ పొడవును లెక్కించండి. కాలిక్యులేటర్‌ని ఉపయోగించి, హైపోటెన్యూస్ మరియు తెలిసిన లెగ్ మధ్య వ్యత్యాసం యొక్క వర్గమూలాన్ని సంగ్రహించండి.

సమస్య హైపోటెన్యూస్ మరియు దాని ప్రక్కనే ఉన్న తీవ్రమైన కోణాలలో ఒకదానిని నిర్దేశిస్తే, బ్రాడిస్ పట్టికలను ఉపయోగించండి. అవి పెద్ద సంఖ్యలో కోణాల కోసం త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల విలువలను అందిస్తాయి. సైన్ మరియు కొసైన్ ఫంక్షన్‌లతో కూడిన కాలిక్యులేటర్‌ను ఉపయోగించండి, అలాగే భుజాలు మరియు దీర్ఘచతురస్రాకార మధ్య సంబంధాలను వివరించే త్రికోణమితి సిద్ధాంతాలను ఉపయోగించండి త్రిభుజం.

ప్రాథమిక త్రికోణమితి విధులను ఉపయోగించి కాళ్లను కనుగొనండి: a = c*sin α, b = c*cos α, ఇక్కడ a అనేది కోణానికి ఎదురుగా ఉండే కాలు α, b అనేది కోణం αకి ప్రక్కనే ఉన్న కాలు. అదే విధంగా భుజాల పరిమాణాన్ని లెక్కించండి త్రిభుజం, హైపోటెన్యూస్ మరియు మరొక అక్యూట్ యాంగిల్ ఇచ్చినట్లయితే: b = c*sin β, a = c*cos β, ఇక్కడ b అనేది β కోణానికి ఎదురుగా ఉండే కాలు మరియు β కోణానికి ఆనుకుని ఉన్న కాలు.

a మరియు ప్రక్కనే ఉన్న తీవ్రమైన కోణం β విషయంలో, లంబ త్రిభుజంలో తీవ్రమైన కోణాల మొత్తం ఎల్లప్పుడూ 90°కి సమానంగా ఉంటుందని మర్చిపోవద్దు: α + β = 90°. లెగ్ a కి వ్యతిరేక కోణం యొక్క విలువను కనుగొనండి: α = 90° – β. లేదా త్రికోణమితి తగ్గింపు సూత్రాలను ఉపయోగించండి: sin α = sin (90° – β) = cos β; టాన్ α = టాన్ (90° – β) = ctg β = 1/tg β.

అంశంపై వీడియో

మూలాలు:

2019లో కాలు మరియు అక్యూట్ యాంగిల్ ద్వారా లంబ త్రిభుజం భుజాలను ఎలా కనుగొనాలి

చిట్కా 3: లంబ త్రిభుజంలో తీవ్రమైన కోణాన్ని ఎలా కనుగొనాలి

నేరుగా కార్బోనిక్త్రిభుజం బహుశా చారిత్రక కోణం నుండి, రేఖాగణిత బొమ్మలలో అత్యంత ప్రసిద్ధమైనది. పైథాగరియన్ "ప్యాంటు" "యురేకా!"తో మాత్రమే పోటీపడగలదు. ఆర్కిమెడిస్.

నీకు అవసరం అవుతుంది

- ఒక త్రిభుజం యొక్క డ్రాయింగ్;
- పాలకుడు;
- ప్రొట్రాక్టర్

సూచనలు

త్రిభుజం యొక్క కోణాల మొత్తం 180 డిగ్రీలు. దీర్ఘచతురస్రాకారంలో త్రిభుజంఒక కోణం (నేరుగా) ఎల్లప్పుడూ 90 డిగ్రీలు ఉంటుంది మరియు మిగిలినవి తీవ్రంగా ఉంటాయి, అనగా. ఒక్కొక్కటి 90 డిగ్రీల కంటే తక్కువ. దీర్ఘచతురస్రాకారంలో ఏ కోణం ఉందో గుర్తించడానికి త్రిభుజంనేరుగా ఉంటుంది, త్రిభుజం యొక్క భుజాలను కొలిచేందుకు మరియు అతిపెద్దది నిర్ణయించడానికి ఒక పాలకుడిని ఉపయోగించండి. ఇది హైపోటెన్యూస్ (AB) మరియు లంబ కోణం (C) ఎదురుగా ఉంది. మిగిలిన రెండు వైపులా లంబ కోణం మరియు కాళ్లు (AC, BC) ఏర్పడతాయి.

మీరు ఏ కోణం తీవ్రంగా ఉందో నిర్ణయించిన తర్వాత, మీరు గణిత సూత్రాలను ఉపయోగించి కోణాన్ని లెక్కించడానికి ప్రోట్రాక్టర్‌ని ఉపయోగించవచ్చు.

ప్రోట్రాక్టర్‌ని ఉపయోగించి కోణాన్ని నిర్ణయించడానికి, ప్రొట్రాక్టర్ మధ్యలో ఉన్న పాలకుడిపై ప్రత్యేక గుర్తుతో దాని పైభాగాన్ని (దానిని A అక్షరంతో సూచిస్తాము) సమలేఖనం చేయండి; లెగ్ AC దాని ఎగువ అంచుతో సమానంగా ఉండాలి. ప్రొట్రాక్టర్ యొక్క అర్ధ వృత్తాకార భాగంలో హైపోటెన్యూస్ AB ఉన్న బిందువును గుర్తించండి. ఈ పాయింట్ వద్ద ఉన్న విలువ డిగ్రీల్లోని కోణానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది. ప్రొట్రాక్టర్‌లో 2 విలువలు సూచించబడితే, తీవ్రమైన కోణం కోసం మీరు చిన్నదాన్ని ఎంచుకోవాలి, మందమైన కోణం కోసం - పెద్దది.

బ్రాడిస్ రిఫరెన్స్ పుస్తకాలలో ఫలిత విలువను కనుగొని, ఫలిత సంఖ్యా విలువ ఏ కోణానికి అనుగుణంగా ఉందో నిర్ణయించండి. మా అమ్మమ్మలు ఈ పద్ధతిని ఉపయోగించారు.

మాది త్రికోణమితి సూత్రాలను లెక్కించే ఫంక్షన్‌తో తీసుకుంటే సరిపోతుంది. ఉదాహరణకు, అంతర్నిర్మిత Windows కాలిక్యులేటర్. "కాలిక్యులేటర్" అప్లికేషన్‌ను ప్రారంభించండి, "వీక్షణ" మెను ఐటెమ్‌లో, "ఇంజనీరింగ్" ఎంచుకోండి. కావలసిన కోణం యొక్క సైన్ని లెక్కించండి, ఉదాహరణకు, sin (A) = BC/AB = 2/4 = 0.5

కాలిక్యులేటర్ డిస్‌ప్లేపై INV బటన్‌పై క్లిక్ చేయడం ద్వారా కాలిక్యులేటర్‌ను విలోమ ఫంక్షన్ మోడ్‌కి మార్చండి, ఆపై ఆర్క్‌సైన్ ఫంక్షన్ బటన్‌పై క్లిక్ చేయండి (డిస్ప్లేలో సిన్ మైనస్ మొదటి పవర్‌గా సూచించబడుతుంది). కింది సందేశం గణన విండోలో కనిపిస్తుంది: asind (0.5) = 30. I.e. కావలసిన కోణం యొక్క విలువ 30 డిగ్రీలు.

సగటు స్థాయి

కుడి త్రిభుజం. ది కంప్లీట్ ఇలస్ట్రేటెడ్ గైడ్ (2019)

కుడి త్రిభుజం. మొదటి స్థాయి.

సమస్యలలో, లంబ కోణం అస్సలు అవసరం లేదు - దిగువ ఎడమ, కాబట్టి మీరు ఈ రూపంలో లంబ త్రిభుజాన్ని గుర్తించడం నేర్చుకోవాలి,

మరియు ఇందులో

మరియు ఇందులో

లంబ త్రిభుజంలో ఏది మంచిది? సరే..., ముందుగా, దాని వైపులా ప్రత్యేకమైన అందమైన పేర్లు ఉన్నాయి.

డ్రాయింగ్‌పై శ్రద్ధ!

గుర్తుంచుకోండి మరియు కంగారు పడకండి: రెండు కాళ్లు ఉన్నాయి మరియు ఒకే ఒక హైపోటెన్యూస్ ఉంది(ఒకే మరియు ఏకైక, ఏకైక మరియు పొడవైన)!

బాగా, మేము పేర్లను చర్చించాము, ఇప్పుడు చాలా ముఖ్యమైన విషయం: పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం.

పైథాగరస్ సిద్ధాంతం.

ఈ సిద్ధాంతం ఒక లంబ త్రిభుజానికి సంబంధించిన అనేక సమస్యలను పరిష్కరించడానికి కీలకం. ఇది పూర్తిగా ప్రాచీన కాలంలో పైథాగరస్ చేత నిరూపించబడింది మరియు అప్పటి నుండి ఇది తెలిసిన వారికి చాలా ప్రయోజనాన్ని తెచ్చిపెట్టింది. మరియు దాని గురించి గొప్పదనం ఏమిటంటే ఇది చాలా సులభం.

కాబట్టి, పైథాగరస్ సిద్ధాంతం:

మీరు జోక్ గుర్తుందా: "పైథాగరియన్ ప్యాంటు అన్ని వైపులా సమానంగా ఉంటాయి!"?

ఇదే పైథాగరియన్ ప్యాంట్‌లను గీయండి మరియు వాటిని చూద్దాం.

ఇది ఒక రకమైన షార్ట్ లాగా కనిపించడం లేదా? బాగా, ఏ వైపులా మరియు ఎక్కడ సమానంగా ఉంటాయి? జోక్ ఎందుకు మరియు ఎక్కడ నుండి వచ్చింది? మరియు ఈ జోక్ ఖచ్చితంగా పైథాగరియన్ సిద్ధాంతంతో లేదా మరింత ఖచ్చితంగా పైథాగరస్ తన సిద్ధాంతాన్ని రూపొందించిన విధానంతో అనుసంధానించబడి ఉంది. మరియు అతను దానిని ఇలా రూపొందించాడు:

"సమ్ చతురస్రాల ప్రాంతాలు, కాళ్ళపై నిర్మించబడింది, సమానంగా ఉంటుంది చదరపు ప్రాంతం, హైపోటెన్యూస్‌పై నిర్మించబడింది."

ఇది నిజంగా కొంచెం భిన్నంగా అనిపిస్తుందా? కాబట్టి, పైథాగరస్ తన సిద్ధాంతం యొక్క ప్రకటనను గీసినప్పుడు, ఇది ఖచ్చితంగా బయటకు వచ్చిన చిత్రం.

ఈ చిత్రంలో, చిన్న చతురస్రాల ప్రాంతాల మొత్తం పెద్ద చతురస్రం యొక్క వైశాల్యానికి సమానం. కాళ్ళ చతురస్రాల మొత్తం హైపోటెన్యూస్ యొక్క వర్గానికి సమానమని పిల్లలు బాగా గుర్తుంచుకోవడానికి, పైథాగరియన్ ప్యాంటు గురించి చమత్కారమైన ఎవరైనా ఈ జోక్‌తో ముందుకు వచ్చారు.

ఇప్పుడు మనం పైథాగరియన్ సిద్ధాంతాన్ని ఎందుకు రూపొందిస్తున్నాము?

పైథాగరస్ బాధపడి చతురస్రాల గురించి మాట్లాడాడా?

మీరు చూడండి, పురాతన కాలంలో... బీజగణితం లేదు! సంకేతాలు మొదలైనవి లేవు. శాసనాలు లేవు. నిరుపేద ప్రాచీన విద్యార్థులు మాటల్లోనే అన్నీ గుర్తుపెట్టుకోవడం ఎంత భయంకరంగా ఉందో ఊహించగలరా??! మరియు పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం యొక్క సరళమైన సూత్రీకరణను కలిగి ఉన్నందుకు మనం సంతోషించవచ్చు. దీన్ని బాగా గుర్తుంచుకోవడానికి దాన్ని మళ్లీ పునరావృతం చేద్దాం:

ఇది ఇప్పుడు సులభంగా ఉండాలి:

హైపోటెన్యూస్ యొక్క స్క్వేర్ కాళ్ళ చతురస్రాల మొత్తానికి సమానం.

సరే, లంబ త్రిభుజాల గురించిన అత్యంత ముఖ్యమైన సిద్ధాంతం చర్చించబడింది. ఇది ఎలా నిరూపించబడిందనే దానిపై మీకు ఆసక్తి ఉంటే, కింది స్థాయి సిద్ధాంతాన్ని చదవండి మరియు ఇప్పుడు మరింత ముందుకు వెళ్దాం ... చీకటి అడవిలోకి ... త్రికోణమితి! భయంకరమైన పదాలకు సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్.

లంబ త్రిభుజంలో సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్, కోటాంజెంట్.

నిజానికి, ప్రతిదీ అంత భయానకంగా లేదు. వాస్తవానికి, సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్ యొక్క “నిజమైన” నిర్వచనం వ్యాసంలో చూడాలి. కానీ నేను నిజంగా కోరుకోవడం లేదు, అవునా? మేము సంతోషించగలము: లంబ త్రిభుజం గురించి సమస్యలను పరిష్కరించడానికి, మీరు ఈ క్రింది సాధారణ విషయాలను పూరించవచ్చు:

ఎందుకు ప్రతిదీ కేవలం మూలలో ఉంది? మూల ఎక్కడ ఉంది? దీన్ని అర్థం చేసుకోవడానికి, 1 - 4 స్టేట్‌మెంట్‌లు పదాలలో ఎలా వ్రాయబడ్డాయో మీరు తెలుసుకోవాలి. చూడండి, అర్థం చేసుకోండి మరియు గుర్తుంచుకోండి!

1.
వాస్తవానికి ఇది ఇలా ఉంటుంది:

కోణం గురించి ఏమిటి? మూలకు ఎదురుగా ఉన్న కాలు, అంటే వ్యతిరేక (కోణానికి) కాలు ఉందా? కోర్సు యొక్క కలిగి! ఇది ఒక కాలు!

కోణం గురించి ఏమిటి? జాగ్రత్తగా చూడు. ఏ కాలు మూలకు ఆనుకొని ఉంది? వాస్తవానికి, కాలు. దీని అర్థం కోణం కోసం కాలు ప్రక్కనే ఉంటుంది, మరియు

ఇప్పుడు, శ్రద్ధ వహించండి! మనకు లభించిన వాటిని చూడండి:

ఇది ఎంత బాగుంది అని చూడండి:

ఇప్పుడు టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్‌కి వెళ్దాం.

ఇప్పుడు నేను దీన్ని పదాలలో ఎలా వ్రాయగలను? కోణానికి సంబంధించి కాలు అంటే ఏమిటి? ఎదురుగా, వాస్తవానికి - ఇది మూలకు ఎదురుగా “అబద్ధం”. కాలు గురించి ఏమిటి? మూలకు ఆనుకుని. కాబట్టి మనం ఏమి పొందాము?

న్యూమరేటర్ మరియు హారం స్థలాలను ఎలా మార్చుకున్నాయో చూడండి?

మరియు ఇప్పుడు మళ్ళీ మూలలు మరియు మార్పిడి చేసాయి:

సారాంశం

మనం నేర్చుకున్నదంతా క్లుప్తంగా రాసుకుందాం.

పైథాగరస్ సిద్ధాంతం:

లంబ త్రిభుజాల గురించిన ప్రధాన సిద్ధాంతం పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం.

పైథాగరస్ సిద్ధాంతం

మార్గం ద్వారా, కాళ్ళు మరియు హైపోటెన్యూస్ అంటే ఏమిటో మీకు బాగా గుర్తుందా? చాలా బాగా లేకపోతే, అప్పుడు చిత్రాన్ని చూడండి - మీ జ్ఞానాన్ని రిఫ్రెష్ చేయండి

మీరు ఇప్పటికే పైథాగరియన్ సిద్ధాంతాన్ని చాలాసార్లు ఉపయోగించిన అవకాశం ఉంది, కానీ అలాంటి సిద్ధాంతం ఎందుకు నిజమని మీరు ఎప్పుడైనా ఆలోచిస్తున్నారా? నేను దానిని ఎలా నిరూపించగలను? పురాతన గ్రీకుల మాదిరిగానే చేద్దాం. ఒక వైపుతో ఒక చతురస్రాన్ని గీయండి.

ఎంత తెలివిగా దాని వైపులా పొడవుగా విభజించామో చూడండి మరి!

ఇప్పుడు గుర్తించబడిన చుక్కలను కనెక్ట్ చేద్దాం

అయితే, ఇక్కడ మేము వేరే విషయాన్ని గుర్తించాము, కానీ మీరే డ్రాయింగ్‌ని చూసి ఇది ఎందుకు అని ఆలోచించండి.

పెద్ద చతురస్రం వైశాల్యం ఎంత? కుడి, . చిన్న ప్రాంతం గురించి ఏమిటి? ఖచ్చితంగా, . నాలుగు మూలల మొత్తం వైశాల్యం మిగిలి ఉంది. మేము వాటిని ఒకేసారి ఇద్దరిని తీసుకున్నామని మరియు వాటి హైపోటెన్యూస్‌తో ఒకదానికొకటి వాలినట్లు ఊహించుకోండి. ఏం జరిగింది? రెండు దీర్ఘ చతురస్రాలు. దీని అర్థం "కోతలు" యొక్క ప్రాంతం సమానంగా ఉంటుంది.

ఇప్పుడు అన్నింటినీ కలిపి చూద్దాం.

మారుద్దాం:

కాబట్టి మేము పైథాగరస్‌ని సందర్శించాము - మేము అతని సిద్ధాంతాన్ని పురాతన పద్ధతిలో నిరూపించాము.

కుడి త్రిభుజం మరియు త్రికోణమితి

లంబ త్రిభుజం కోసం, క్రింది సంబంధాలు కలిగి ఉంటాయి:

తీవ్రమైన కోణం యొక్క సైన్, హైపోటెన్యూస్‌కు ఎదురుగా ఉన్న నిష్పత్తికి సమానంగా ఉంటుంది

తీవ్రమైన కోణం యొక్క కొసైన్ ప్రక్కనే ఉన్న లెగ్ యొక్క హైపోటెన్యూస్ నిష్పత్తికి సమానంగా ఉంటుంది.

తీవ్రమైన కోణం యొక్క టాంజెంట్ వ్యతిరేక వైపు ప్రక్కనే ఉన్న వైపు నిష్పత్తికి సమానంగా ఉంటుంది.

తీవ్రమైన కోణం యొక్క కోటాంజెంట్ ప్రక్కనే ఉన్న వైపు మరియు వ్యతిరేక వైపు నిష్పత్తికి సమానంగా ఉంటుంది.

మరియు మరోసారి ఇవన్నీ టాబ్లెట్ రూపంలో:

ఇది చాలా సౌకర్యంగా ఉంది!

లంబ త్రిభుజాల సమానత్వం యొక్క చిహ్నాలు

I. రెండు వైపులా

II. లెగ్ మరియు హైపోటెన్యూస్ ద్వారా

III. హైపోటెన్యూస్ మరియు అక్యూట్ యాంగిల్ ద్వారా

IV. లెగ్ మరియు తీవ్రమైన కోణం పాటు

బి)

శ్రద్ధ! కాళ్ళు "తగినవి" అని ఇక్కడ చాలా ముఖ్యం. ఉదాహరణకు, ఇది ఇలా జరిగితే:

అప్పుడు త్రిభుజాలు సమానంగా ఉండవు, వారు ఒకేలా తీవ్రమైన కోణం కలిగి ఉన్నప్పటికీ.

అవసరం రెండు త్రిభుజాలలో కాలు ప్రక్కనే ఉంటుంది లేదా రెండింటిలో అది ఎదురుగా ఉంటుంది.

లంబ త్రిభుజాల సమానత్వం యొక్క సంకేతాలు త్రిభుజాల సమానత్వం యొక్క సాధారణ సంకేతాల నుండి ఎలా విభిన్నంగా ఉన్నాయో మీరు గమనించారా? అంశాన్ని పరిశీలించండి మరియు "సాధారణ" త్రిభుజాల సమానత్వం కోసం, వాటి మూడు మూలకాలు సమానంగా ఉండాలి అనే వాస్తవాన్ని గమనించండి: రెండు వైపులా మరియు వాటి మధ్య కోణం, రెండు కోణాలు మరియు వాటి మధ్య వైపు లేదా మూడు భుజాలు. కానీ లంబ త్రిభుజాల సమానత్వం కోసం, రెండు సంబంధిత అంశాలు మాత్రమే సరిపోతాయి. గ్రేట్, సరియైనదా?

కుడి త్రిభుజాల సారూప్యత సంకేతాలతో పరిస్థితి దాదాపు అదే.

లంబ త్రిభుజాల సారూప్యత యొక్క చిహ్నాలు

I. తీవ్రమైన కోణంలో

II. రెండు వైపులా

III. లెగ్ మరియు హైపోటెన్యూస్ ద్వారా

లంబ త్రిభుజంలో మధ్యస్థం

ఇది ఎందుకు?

లంబ త్రిభుజానికి బదులుగా, మొత్తం దీర్ఘచతురస్రాన్ని పరిగణించండి.

ఒక వికర్ణాన్ని గీయండి మరియు ఒక బిందువును పరిశీలిద్దాం - వికర్ణాల ఖండన స్థానం. దీర్ఘ చతురస్రం యొక్క వికర్ణాల గురించి మీకు ఏమి తెలుసు?

మరియు దీని నుండి ఏమి అనుసరిస్తుంది?

కాబట్టి అది తేలింది

- మధ్యస్థ:

ఈ వాస్తవాన్ని గుర్తుంచుకో! చాలా సహాయపడుతుంది!

ఇంకా ఆశ్చర్యకరమైన విషయమేమిటంటే దానికి విరుద్ధంగా కూడా ఉంది.

హైపోటెన్యూస్‌కు మధ్యస్థం సగం హైపోటెన్యూస్‌కు సమానం కావడం వల్ల ఏం ప్రయోజనం పొందవచ్చు? చిత్రాన్ని చూద్దాం

జాగ్రత్తగా చూడు. మనకు ఉన్నాయి: , అంటే, బిందువు నుండి త్రిభుజం యొక్క మూడు శీర్షాల వరకు ఉన్న దూరాలు సమానంగా ఉంటాయి. కానీ త్రిభుజంలో ఒక బిందువు మాత్రమే ఉంది, త్రిభుజం యొక్క మూడు శీర్షాల నుండి దూరాలు సమానంగా ఉంటాయి మరియు ఇది సర్కిల్ యొక్క కేంద్రం. కాబట్టి ఏమి జరిగింది?

కాబట్టి దీనితో “అంతేకాకుండా...”తో ప్రారంభిద్దాం.

మరియు చూద్దాం.

కానీ ఇలాంటి త్రిభుజాలు అన్ని సమాన కోణాలను కలిగి ఉంటాయి!

మరియు గురించి కూడా అదే చెప్పవచ్చు

ఇప్పుడు దానిని కలిసి గీయండి:

ఈ "ట్రిపుల్" సారూప్యత నుండి ఏ ప్రయోజనం పొందవచ్చు?

బాగా, ఉదాహరణకు - లంబ త్రిభుజం ఎత్తు కోసం రెండు సూత్రాలు.

సంబంధిత పార్టీల సంబంధాలను వ్రాసుకుందాం:

ఎత్తును కనుగొనడానికి, మేము నిష్పత్తిని పరిష్కరించాము మరియు పొందుతాము మొదటి సూత్రం "లంబ త్రిభుజంలో ఎత్తు":

కాబట్టి, సారూప్యతను వర్తింపజేద్దాం: .

ఇప్పుడు ఏమి జరుగుతుంది?

మళ్ళీ మేము నిష్పత్తిని పరిష్కరిస్తాము మరియు రెండవ సూత్రాన్ని పొందుతాము:

మీరు ఈ రెండు సూత్రాలను బాగా గుర్తుంచుకోవాలి మరియు మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉండేదాన్ని ఉపయోగించాలి. వాటిని మళ్లీ రాసుకుందాం

పైథాగరస్ సిద్ధాంతం:

లంబ త్రిభుజంలో, కర్ణం యొక్క చతురస్రం కాళ్ల చతురస్రాల మొత్తానికి సమానం: .

లంబ త్రిభుజాల సమానత్వ సంకేతాలు:

రెండు వైపులా:
లెగ్ మరియు హైపోటెన్యూస్ ద్వారా: లేదా
లెగ్ మరియు ప్రక్కనే ఉన్న తీవ్రమైన కోణం వెంట: లేదా
కాలు వెంట మరియు వ్యతిరేక తీవ్రమైన కోణం: లేదా
హైపోటెన్యూస్ మరియు తీవ్రమైన కోణం ద్వారా: లేదా.

కుడి త్రిభుజాల సారూప్యత యొక్క చిహ్నాలు:

ఒక తీవ్రమైన మూల: లేదా
రెండు కాళ్ల నిష్పత్తి నుండి:
లెగ్ మరియు హైపోటెన్యూస్ యొక్క అనుపాతం నుండి: లేదా.

లంబ త్రిభుజంలో సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్, కోటాంజెంట్

లంబ త్రిభుజం యొక్క తీవ్రమైన కోణం యొక్క సైన్ అనేది హైపోటెన్యూస్‌కు వ్యతిరేక వైపు నిష్పత్తి:
లంబ త్రిభుజం యొక్క తీవ్రమైన కోణం యొక్క కొసైన్ ప్రక్కనే ఉన్న కాలు మరియు హైపోటెన్యూస్ యొక్క నిష్పత్తి:
లంబ త్రిభుజం యొక్క తీవ్రమైన కోణం యొక్క టాంజెంట్ అనేది ప్రక్కనే ఉన్న వైపుకు ఎదురుగా ఉన్న నిష్పత్తి:
లంబ త్రిభుజం యొక్క తీవ్రమైన కోణం యొక్క కోటాంజెంట్ ప్రక్కనే ఉన్న వైపు మరియు వ్యతిరేక వైపు నిష్పత్తి: .

లంబ త్రిభుజం ఎత్తు: లేదా.

లంబ త్రిభుజంలో, లంబ కోణం యొక్క శీర్షం నుండి గీసిన మధ్యస్థం సగం హైపోటెన్యూస్‌కి సమానం: .

లంబ త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం:

కాళ్ళ ద్వారా:

సగటు స్థాయి

కుడి త్రిభుజం. ది కంప్లీట్ ఇలస్ట్రేటెడ్ గైడ్ (2019)

కుడి త్రిభుజం. మొదటి స్థాయి.

మరియు ఇందులో

డ్రాయింగ్‌పై శ్రద్ధ!

పైథాగరస్ సిద్ధాంతం.

కాబట్టి, పైథాగరస్ సిద్ధాంతం:

మీరు జోక్ గుర్తుందా: "పైథాగరియన్ ప్యాంటు అన్ని వైపులా సమానంగా ఉంటాయి!"?

ఇప్పుడు మనం పైథాగరియన్ సిద్ధాంతాన్ని ఎందుకు రూపొందిస్తున్నాము?

పైథాగరస్ బాధపడి చతురస్రాల గురించి మాట్లాడాడా?

ఇది ఇప్పుడు సులభంగా ఉండాలి:

హైపోటెన్యూస్ యొక్క స్క్వేర్ కాళ్ళ చతురస్రాల మొత్తానికి సమానం.

లంబ త్రిభుజంలో సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్, కోటాంజెంట్.

1.
వాస్తవానికి ఇది ఇలా ఉంటుంది:

ఇప్పుడు, శ్రద్ధ వహించండి! మనకు లభించిన వాటిని చూడండి:

ఇది ఎంత బాగుంది అని చూడండి:

ఇప్పుడు టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్‌కి వెళ్దాం.

న్యూమరేటర్ మరియు హారం స్థలాలను ఎలా మార్చుకున్నాయో చూడండి?

మరియు ఇప్పుడు మళ్ళీ మూలలు మరియు మార్పిడి చేసాయి:

సారాంశం

మనం నేర్చుకున్నదంతా క్లుప్తంగా రాసుకుందాం.

పైథాగరస్ సిద్ధాంతం:

లంబ త్రిభుజాల గురించిన ప్రధాన సిద్ధాంతం పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం.

పైథాగరస్ సిద్ధాంతం

ఎంత తెలివిగా దాని వైపులా పొడవుగా విభజించామో చూడండి మరి!

ఇప్పుడు గుర్తించబడిన చుక్కలను కనెక్ట్ చేద్దాం

ఇప్పుడు అన్నింటినీ కలిపి చూద్దాం.

మారుద్దాం:

కుడి త్రిభుజం మరియు త్రికోణమితి

లంబ త్రిభుజం కోసం, క్రింది సంబంధాలు కలిగి ఉంటాయి:

మరియు మరోసారి ఇవన్నీ టాబ్లెట్ రూపంలో:

ఇది చాలా సౌకర్యంగా ఉంది!

లంబ త్రిభుజాల సమానత్వం యొక్క చిహ్నాలు

I. రెండు వైపులా

II. లెగ్ మరియు హైపోటెన్యూస్ ద్వారా

III. హైపోటెన్యూస్ మరియు అక్యూట్ యాంగిల్ ద్వారా

IV. లెగ్ మరియు తీవ్రమైన కోణం పాటు

బి)

శ్రద్ధ! కాళ్ళు "తగినవి" అని ఇక్కడ చాలా ముఖ్యం. ఉదాహరణకు, ఇది ఇలా జరిగితే:

కుడి త్రిభుజాల సారూప్యత సంకేతాలతో పరిస్థితి దాదాపు అదే.

లంబ త్రిభుజాల సారూప్యత యొక్క చిహ్నాలు

I. తీవ్రమైన కోణంలో

II. రెండు వైపులా

III. లెగ్ మరియు హైపోటెన్యూస్ ద్వారా

లంబ త్రిభుజంలో మధ్యస్థం

ఇది ఎందుకు?

లంబ త్రిభుజానికి బదులుగా, మొత్తం దీర్ఘచతురస్రాన్ని పరిగణించండి.

మరియు దీని నుండి ఏమి అనుసరిస్తుంది?

కాబట్టి అది తేలింది

- మధ్యస్థ:

ఈ వాస్తవాన్ని గుర్తుంచుకో! చాలా సహాయపడుతుంది!

ఇంకా ఆశ్చర్యకరమైన విషయమేమిటంటే దానికి విరుద్ధంగా కూడా ఉంది.

కాబట్టి దీనితో “అంతేకాకుండా...”తో ప్రారంభిద్దాం.

మరియు చూద్దాం.

కానీ ఇలాంటి త్రిభుజాలు అన్ని సమాన కోణాలను కలిగి ఉంటాయి!

మరియు గురించి కూడా అదే చెప్పవచ్చు

ఇప్పుడు దానిని కలిసి గీయండి:

ఈ "ట్రిపుల్" సారూప్యత నుండి ఏ ప్రయోజనం పొందవచ్చు?

బాగా, ఉదాహరణకు - లంబ త్రిభుజం ఎత్తు కోసం రెండు సూత్రాలు.

సంబంధిత పార్టీల సంబంధాలను వ్రాసుకుందాం:

కాబట్టి, సారూప్యతను వర్తింపజేద్దాం: .

ఇప్పుడు ఏమి జరుగుతుంది?

మళ్ళీ మేము నిష్పత్తిని పరిష్కరిస్తాము మరియు రెండవ సూత్రాన్ని పొందుతాము:

పైథాగరస్ సిద్ధాంతం:

లంబ త్రిభుజంలో, కర్ణం యొక్క చతురస్రం కాళ్ల చతురస్రాల మొత్తానికి సమానం: .

లంబ త్రిభుజాల సమానత్వ సంకేతాలు:

రెండు వైపులా:
లెగ్ మరియు హైపోటెన్యూస్ ద్వారా: లేదా
లెగ్ మరియు ప్రక్కనే ఉన్న తీవ్రమైన కోణం వెంట: లేదా
కాలు వెంట మరియు వ్యతిరేక తీవ్రమైన కోణం: లేదా
హైపోటెన్యూస్ మరియు తీవ్రమైన కోణం ద్వారా: లేదా.

కుడి త్రిభుజాల సారూప్యత యొక్క చిహ్నాలు:

ఒక తీవ్రమైన మూల: లేదా
రెండు కాళ్ల నిష్పత్తి నుండి:
లెగ్ మరియు హైపోటెన్యూస్ యొక్క అనుపాతం నుండి: లేదా.

లంబ త్రిభుజంలో సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్, కోటాంజెంట్

లంబ త్రిభుజం యొక్క తీవ్రమైన కోణం యొక్క సైన్ అనేది హైపోటెన్యూస్‌కు వ్యతిరేక వైపు నిష్పత్తి:
లంబ త్రిభుజం యొక్క తీవ్రమైన కోణం యొక్క కొసైన్ ప్రక్కనే ఉన్న కాలు మరియు హైపోటెన్యూస్ యొక్క నిష్పత్తి:
లంబ త్రిభుజం యొక్క తీవ్రమైన కోణం యొక్క టాంజెంట్ అనేది ప్రక్కనే ఉన్న వైపుకు ఎదురుగా ఉన్న నిష్పత్తి:
లంబ త్రిభుజం యొక్క తీవ్రమైన కోణం యొక్క కోటాంజెంట్ ప్రక్కనే ఉన్న వైపు మరియు వ్యతిరేక వైపు నిష్పత్తి: .

లంబ త్రిభుజం ఎత్తు: లేదా.

లంబ త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం:

కాళ్ళ ద్వారా:

లంబ త్రిభుజం యొక్క లక్షణాలు

ప్రియమైన ఏడవ తరగతి విద్యార్థులు, రేఖాగణిత బొమ్మలను త్రిభుజాలు అని పిలుస్తారో మీకు ఇప్పటికే తెలుసు, వారి సమానత్వం యొక్క సంకేతాలను ఎలా నిరూపించాలో మీకు తెలుసు. త్రిభుజాల ప్రత్యేక సందర్భాల గురించి కూడా మీకు తెలుసు: సమద్విబాహులు మరియు లంబ కోణాలు. సమద్విబాహు త్రిభుజాల లక్షణాల గురించి మీకు బాగా తెలుసు.

కానీ కుడి త్రిభుజాలు కూడా అనేక లక్షణాలను కలిగి ఉంటాయి. ఒక స్పష్టమైన త్రిభుజం అంతర్గత కోణం మొత్తం సిద్ధాంతంతో సంబంధం కలిగి ఉంటుంది: లంబ త్రిభుజంలో, తీవ్రమైన కోణాల మొత్తం 90°. మీరు ప్రసిద్ధ పైథాగరియన్ సిద్ధాంతాన్ని అధ్యయనం చేసినప్పుడు, మీరు 8వ తరగతిలో లంబ త్రిభుజం యొక్క అత్యంత అద్భుతమైన ఆస్తిని నేర్చుకుంటారు.

ఇప్పుడు మనం మరో రెండు ముఖ్యమైన లక్షణాల గురించి మాట్లాడుతాము. ఒకటి 30° లంబ త్రిభుజాల కోసం మరియు మరొకటి యాదృచ్ఛిక లంబ త్రిభుజాల కోసం. ఈ లక్షణాలను రూపొందించి, నిరూపిద్దాం.

జ్యామితిలో స్టేట్‌మెంట్‌లోని పరిస్థితి మరియు ముగింపు స్థలాలను మార్చినప్పుడు, నిరూపితమైన వాటికి సంభాషించే ప్రకటనలను రూపొందించడం ఆచారం అని మీకు బాగా తెలుసు. సంభాషణ ప్రకటనలు ఎల్లప్పుడూ నిజం కాదు. మా విషయంలో, రెండు సంభాషణ ప్రకటనలు నిజం.

ఆస్తి 1.1 లంబ త్రిభుజంలో, 30° కోణానికి ఎదురుగా ఉండే కాలు సగం హైపోటెన్యూస్‌కి సమానం.

రుజువు: దీర్ఘచతురస్రాకార ∆ ABCని పరిగణించండి, దీనిలో ÐA=90°, ÐB=30°, ఆపై ÐC=60°..gif" width="167" height="41">, కాబట్టి, ఏది నిరూపించబడాలి.

ఆస్తి 1.2 (ఆస్తి 1.1కి రివర్స్) లంబ త్రిభుజంలో కాలు సగం హైపోటెన్యూస్‌కు సమానం అయితే, దానికి ఎదురుగా ఉండే కోణం 30°.

ఆస్తి 2.1 లంబకోణ త్రిభుజంలో, హైపోటెన్యూస్‌కు గీసిన మధ్యస్థం సగం హైపోటెన్యూస్‌కి సమానం.

దీర్ఘచతురస్రాకార ∆ ABCని పరిశీలిద్దాం, దీనిలో РВ=90°.

BD-మధ్యస్థ, అంటే AD=DC. అని నిరూపిద్దాం.

దీనిని నిరూపించడానికి, మేము అదనపు నిర్మాణాన్ని చేస్తాము: BD=DNని దాటి BDని కొనసాగిస్తాము, తద్వారా BD=DNని A మరియు C..gif" width="616" height="372 src=">తో కలుపుతాము.

ఇవ్వబడింది: ∆ABC, ÐC=90o, ÐA=30o, ÐBEC=60o, EC=7cm

1. ÐEBC=30o, దీర్ఘచతురస్రాకారంలో ∆BCEలో తీవ్రమైన కోణాల మొత్తం 90o

2. BE=14cm(ఆస్తి 1)

3. ÐABE=30o, ÐA+ÐABE=ÐBEC (త్రిభుజం యొక్క బాహ్య కోణం యొక్క ఆస్తి) కాబట్టి ∆AEB అనేది సమద్విబాహు AE=EB=14cm.

3. (ఆస్తి 1).

BC=2AN=20 cm (ఆస్తి 2).

టాస్క్ 3. హైపోటెన్యూస్‌కు తీసుకున్న లంబ త్రిభుజం యొక్క ఎత్తు మరియు మధ్యస్థం త్రిభుజం యొక్క తీవ్రమైన కోణాల మధ్య వ్యత్యాసానికి సమానమైన కోణాన్ని ఏర్పరుస్తుందని నిరూపించండి.

ఇవ్వబడింది: ∆ ABC, ÐBAC=90°, AM-మధ్యస్థం, AH-ఎత్తు.

నిరూపించండి: RMAN=RS-RV.

రుజువు:

1)РМАС=РС (ఆస్తి 2 ద్వారా ∆ AMC-ఐసోసెల్స్, AM=SM)

2) ÐMAN = ÐMAS-ÐNAS = ÐS-ÐNAS.

РНАС=РВ అని నిరూపించడానికి ఇది మిగిలి ఉంది. ÐB+ÐC=90° (∆ ABCలో) మరియు ÐNAS+ÐC=90° (∆ ANS నుండి) వాస్తవం నుండి ఇది అనుసరిస్తుంది.

కాబట్టి, RMAN = RС-РВ, ఇది నిరూపించాల్సిన అవసరం ఉంది.

https://pandia.ru/text/80/358/images/image014_39.gif" width="194" height="184">ఇవ్వబడింది: ∆ABC, ÐBAC=90°, AN-height, .

కనుగొను: РВ, РС.

పరిష్కారం: మధ్యస్థ AM ని తీసుకుందాం. AN=x, ఆపై BC=4x మరియు

VM=MS=AM=2x.

దీర్ఘచతురస్రాకార ∆AMNలో, హైపోటెన్యూస్ AM లెగ్ AN కంటే 2 రెట్లు పెద్దది, కాబట్టి ÐAMN=30°. VM=AM నుండి,

РВ=РВAM100%">

పత్రం: ∆ABC ÐA=900 మరియు AC=1/2BC

పాయింట్ A దాటి ACని విస్తరింపజేద్దాం, తద్వారా AD=AC. అప్పుడు ∆ABC=∆ABD (2 కాళ్లపై). BD=BC=2AC=CD, అందువలన ∆DBC-ఈక్విలేటరల్, ÐC=60o మరియు ÐABC=30o.

సమస్య 5

సమద్విబాహు త్రిభుజంలో, కోణాలలో ఒకటి 120°, ఆధారం 10 సెం.మీ. పక్కకు గీసిన ఎత్తును కనుగొనండి.

పరిష్కారం: ప్రారంభించడానికి, 120° కోణం త్రిభుజం యొక్క శీర్షం వద్ద మాత్రమే ఉంటుందని మరియు పక్కకు గీసిన ఎత్తు దాని కొనసాగింపుపై పడుతుందని మేము గమనించాము.

https://pandia.ru/text/80/358/images/image019_27.gif" height="26">ఒక నిచ్చెన నిలువు గోడకు ఆనించబడింది. ఒక పిల్లి నిచ్చెన మధ్యలో కూర్చొని ఉంది. అకస్మాత్తుగా నిచ్చెన ప్రారంభమైంది గోడ క్రిందికి జారడం, ఇది ఏ పథాన్ని వివరిస్తుంది?

AB - మెట్ల, K - పిల్లి.

నిచ్చెన యొక్క ఏదైనా స్థితిలో, అది చివరకు నేలపై పడే వరకు, ∆ABC దీర్ఘచతురస్రాకారంగా ఉంటుంది. MC - మధ్యస్థ ∆ABC.

ఆస్తి ప్రకారం 2 SK = 1/2AB. అంటే, ఏ క్షణంలోనైనా సెగ్మెంట్ SK యొక్క పొడవు స్థిరంగా ఉంటుంది.

సమాధానం: పాయింట్ K కేంద్రం C మరియు వ్యాసార్థం SC=1/2ABతో వృత్తాకార ఆర్క్‌తో కదులుతుంది.

స్వతంత్ర పరిష్కారం కోసం సమస్యలు.

లంబ త్రిభుజం యొక్క కోణాలలో ఒకటి 60°, మరియు హైపోటెన్యూస్ మరియు పొట్టి కాలు మధ్య వ్యత్యాసం 4 సెం.మీ. హైపోటెన్యూస్ యొక్క పొడవును కనుగొనండి. దీర్ఘచతురస్రాకార ∆ ABCలో హైపోటెన్యూస్ BC మరియు కోణం B 60°కి సమానం, ఎత్తు AD డ్రా చేయబడుతుంది. DB=2cm అయితే DCని కనుగొనండి. B ∆ABC ÐC=90o, CD - ఎత్తు, BC=2ВD. AD=3ВD అని నిరూపించండి. లంబ త్రిభుజం యొక్క ఎత్తు హైపోటెన్యూస్‌ను 3 సెంమీ మరియు 9 సెంమీ భాగాలుగా విభజిస్తుంది. త్రిభుజం యొక్క కోణాలను మరియు హైపోటెన్యూస్ మధ్య నుండి పొడవైన కాలు వరకు ఉన్న దూరాన్ని కనుగొనండి. బైసెక్టర్ త్రిభుజాన్ని రెండు సమద్విబాహు త్రిభుజాలుగా విభజిస్తుంది. అసలు త్రిభుజం యొక్క కోణాలను కనుగొనండి. మధ్యస్థం త్రిభుజాన్ని రెండు సమద్విబాహు త్రిభుజాలుగా విభజిస్తుంది. కోణాలను కనుగొనడం సాధ్యమేనా

అసలు త్రిభుజమా?