వెక్టర్స్ ఇచ్చినట్లయితే, వెక్టర్ పొడవును కనుగొనండి. వెక్టర్ యొక్క పొడవు, ఉదాహరణలు మరియు పరిష్కారాలను కనుగొనడం

అన్నింటిలో మొదటిది, వెక్టర్ యొక్క భావనను మనం అర్థం చేసుకోవాలి. రేఖాగణిత వెక్టార్ యొక్క నిర్వచనాన్ని పరిచయం చేయడానికి, సెగ్మెంట్ అంటే ఏమిటో గుర్తుంచుకోండి. కింది నిర్వచనాన్ని పరిచయం చేద్దాం.

నిర్వచనం 1

సెగ్మెంట్ అనేది పాయింట్ల రూపంలో రెండు సరిహద్దులను కలిగి ఉన్న రేఖలో భాగం.

ఒక విభాగంలో 2 దిశలు ఉండవచ్చు. దిశను సూచించడానికి, మేము సెగ్మెంట్ యొక్క సరిహద్దులలో ఒకదానిని దాని ప్రారంభం అని మరియు మరొక సరిహద్దుని దాని ముగింపు అని పిలుస్తాము. దిశ దాని ప్రారంభం నుండి సెగ్మెంట్ చివరి వరకు సూచించబడుతుంది.

నిర్వచనం 2

వెక్టర్ లేదా డైరెక్ట్ సెగ్మెంట్ అనేది సెగ్మెంట్ యొక్క సరిహద్దులలో ఏది ప్రారంభం మరియు దాని ముగింపు అని తెలిసిన విభాగం.

హోదా: ​​రెండు అక్షరాలలో: $\overline(AB)$ – (ఇక్కడ $A$ దాని ప్రారంభం మరియు $B$ దాని ముగింపు).

ఒక చిన్న అక్షరంలో: $\overline(a)$ (Fig. 1).

ఇప్పుడు మనం వెక్టర్ పొడవుల భావనను నేరుగా పరిచయం చేద్దాం.

నిర్వచనం 3

వెక్టార్ $\ఓవర్‌లైన్(a)$ యొక్క పొడవు $a$ సెగ్మెంట్ యొక్క పొడవు అవుతుంది.

సంజ్ఞామానం: $|\overline(a)|$

వెక్టర్ పొడవు యొక్క భావన అనుబంధించబడింది, ఉదాహరణకు, రెండు వెక్టర్స్ సమానత్వం వంటి భావనతో.

నిర్వచనం 4

రెండు షరతులను సంతృప్తిపరిచినట్లయితే మేము రెండు వెక్టర్‌లను సమానంగా పిలుస్తాము: 1. అవి కోడైరెక్షనల్; 1. వాటి పొడవులు సమానంగా ఉంటాయి (Fig. 2).

వెక్టర్‌లను నిర్వచించడానికి, కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌ను నమోదు చేయండి మరియు ఎంటర్ చేసిన సిస్టమ్‌లోని వెక్టర్ కోసం కోఆర్డినేట్‌లను నిర్ణయించండి. మనకు తెలిసినట్లుగా, ఏదైనా వెక్టర్ $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ రూపంలో కుళ్ళిపోవచ్చు, ఇక్కడ $m$ మరియు $n$ వాస్తవ సంఖ్యలు మరియు $\ఓవర్‌లైన్ (i )$ మరియు $\overline(j)$ వరుసగా $Ox$ మరియు $Oy$ అక్షం మీద యూనిట్ వెక్టర్స్.

నిర్వచనం 5

మేము ప్రవేశపెట్టిన కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో వెక్టార్ యొక్క విస్తరణ గుణకాలు $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ని ఈ వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు అని పిలుస్తాము. గణితశాస్త్రపరంగా:

$\overline(c)=(m,n)$

వెక్టర్ యొక్క పొడవును ఎలా కనుగొనాలి?

దాని కోఆర్డినేట్‌లను అందించిన ఏకపక్ష వెక్టర్ యొక్క పొడవును లెక్కించడానికి ఒక సూత్రాన్ని పొందేందుకు, ఈ క్రింది సమస్యను పరిగణించండి:

ఉదాహరణ 1

ఇవ్వబడింది: వెక్టర్ $\ఓవర్‌లైన్(α)$ కోఆర్డినేట్‌లతో $(x,y)$. కనుగొనండి: ఈ వెక్టర్ యొక్క పొడవు.

విమానంలో కార్టీసియన్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ $xOy$ని పరిచయం చేద్దాం. ప్రవేశపెట్టిన కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ యొక్క మూలాల నుండి $\overline(OA)=\overline(a)$ని పక్కన పెడదాం. $Ox$ మరియు $Oy$ అక్షాలపై నిర్మించిన వెక్టార్ యొక్క $OA_1$ మరియు $OA_2$ ప్రొజెక్షన్‌లను నిర్మిస్తాము (Fig. 3).

మేము నిర్మించిన వెక్టార్ $\overline(OA)$ పాయింట్ $A$ కోసం వ్యాసార్థం వెక్టర్ అవుతుంది, కాబట్టి, ఇది $(x,y)$ని కలిగి ఉంటుంది, అంటే

$=x$, $[OA_2]=y$

ఇప్పుడు మనం పైథాగరియన్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి అవసరమైన పొడవును సులభంగా కనుగొనవచ్చు, మనకు లభిస్తుంది

$|\overline(α)|^2=^2+^2$

$|\overline(α)|^2=x^2+y^2$

$|\overline(α)|=\sqrt(x^2+y^2)$

సమాధానం: $\sqrt(x^2+y^2)$.

ముగింపు:కోఆర్డినేట్‌లు ఇవ్వబడిన వెక్టర్ యొక్క పొడవును కనుగొనడానికి, ఈ కోఆర్డినేట్‌ల మొత్తం యొక్క స్క్వేర్ యొక్క మూలాన్ని కనుగొనడం అవసరం.

నమూనా పనులు

ఉదాహరణ 2

క్రింది కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉన్న పాయింట్లు $X$ మరియు $Y$ మధ్య దూరాన్ని కనుగొనండి: వరుసగా $(-1.5)$ మరియు $(7.3)$.

ఏదైనా రెండు పాయింట్లు వెక్టర్ భావనతో సులభంగా అనుబంధించబడతాయి. ఉదాహరణకు, వెక్టర్ $\overline(XY)$ని పరిగణించండి. మనకు ఇప్పటికే తెలిసినట్లుగా, అటువంటి వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కోఆర్డినేట్‌ల నుండి తీసివేయడం ద్వారా కనుగొనవచ్చు ముగింపు పాయింట్($Y$) ప్రారంభ స్థానం ($X$) యొక్క సంబంధిత అక్షాంశాలు. మేము దానిని పొందుతాము

చివరగా, నేను ఈ విస్తారమైన మరియు దీర్ఘకాలంగా ఎదురుచూస్తున్న అంశంపై నా చేతులను పొందాను. విశ్లేషణాత్మక జ్యామితి . మొదట కొంచెం గురించి ఈ విభాగం ఉన్నత గణితం…. అనేక సిద్ధాంతాలు, వాటి రుజువులు, డ్రాయింగ్‌లు మొదలైన వాటితో కూడిన పాఠశాల జ్యామితి కోర్సును మీరు ఇప్పుడు ఖచ్చితంగా గుర్తుంచుకుంటారు. ఏమి దాచాలి, గణనీయమైన సంఖ్యలో విద్యార్థుల కోసం ఇష్టపడని మరియు తరచుగా అస్పష్టమైన విషయం. విశ్లేషణాత్మక జ్యామితి, అసాధారణంగా తగినంత, మరింత ఆసక్తికరంగా మరియు అందుబాటులో ఉన్నట్లు అనిపించవచ్చు. "విశ్లేషణాత్మక" విశేషణం అంటే ఏమిటి? రెండు క్లిచ్ చేసిన గణిత పదబంధాలు వెంటనే గుర్తుకు వస్తాయి: “గ్రాఫికల్ సొల్యూషన్ మెథడ్” మరియు “ విశ్లేషణాత్మక పద్ధతిపరిష్కారాలు". గ్రాఫికల్ పద్ధతి , వాస్తవానికి, గ్రాఫ్‌లు మరియు డ్రాయింగ్‌ల నిర్మాణంతో సంబంధం కలిగి ఉంటుంది. విశ్లేషణాత్మకలేదా పద్ధతిసమస్యలను పరిష్కరించడంలో ఉంటుంది ప్రధానంగాద్వారా బీజగణిత కార్యకలాపాలు. ఈ విషయంలో, విశ్లేషణాత్మక జ్యామితి యొక్క దాదాపు అన్ని సమస్యలను పరిష్కరించడానికి అల్గోరిథం సరళమైనది మరియు పారదర్శకంగా ఉంటుంది; ఇది తరచుగా జాగ్రత్తగా వర్తింపజేయడానికి సరిపోతుంది. అవసరమైన సూత్రాలు- మరియు సమాధానం సిద్ధంగా ఉంది! లేదు, వాస్తవానికి, డ్రాయింగ్‌లు లేకుండా మేము దీన్ని చేయలేము, అంతేకాకుండా, పదార్థం యొక్క మంచి అవగాహన కోసం, నేను వాటిని అవసరానికి మించి ఉదహరించడానికి ప్రయత్నిస్తాను.

జ్యామితిపై కొత్తగా తెరిచిన పాఠాలు సైద్ధాంతికంగా పూర్తి చేసినట్లు నటించడం లేదు; ఇది ఆచరణాత్మక సమస్యలను పరిష్కరించడంపై దృష్టి పెట్టింది. నా దృక్కోణం నుండి, ఆచరణాత్మక పరంగా ముఖ్యమైన వాటిని మాత్రమే నేను నా ఉపన్యాసాలలో చేర్చుతాను. ఏదైనా ఉపవిభాగంలో మీకు మరింత పూర్తి సహాయం కావాలంటే, కింది చాలా అందుబాటులో ఉండే సాహిత్యాన్ని నేను సిఫార్సు చేస్తున్నాను:

1) ఏ జోక్, అనేక తరాల వారికి తెలిసిన విషయం: జ్యామితిపై పాఠశాల పాఠ్య పుస్తకం, రచయితలు - ఎల్.ఎస్. అటనస్యాన్ అండ్ కంపెనీ. ఈ పాఠశాల లాకర్ గది హ్యాంగర్ ఇప్పటికే 20 (!) పునర్ముద్రణల ద్వారా వెళ్ళింది, ఇది పరిమితి కాదు.

2) 2 వాల్యూమ్‌లలో జ్యామితి. రచయితలు ఎల్.ఎస్. అటనస్యాన్, బాజిలేవ్ V.T.. ఇది సాహిత్యం కోసం ఉన్నత పాఠశాల, నీకు అవసరం అవుతుంది మొదటి వాల్యూమ్. అరుదుగా ఎదురయ్యే పనులు నా దృష్టిలో పడకపోవచ్చు, మరియు ట్యుటోరియల్అమూల్యమైన సహాయం అందిస్తామన్నారు.

రెండు పుస్తకాలను ఆన్‌లైన్‌లో ఉచితంగా డౌన్‌లోడ్ చేసుకోవచ్చు. అదనంగా, మీరు నా ఆర్కైవ్‌ను రెడీమేడ్ సొల్యూషన్స్‌తో ఉపయోగించవచ్చు, వీటిని పేజీలో చూడవచ్చు ఉన్నత గణితంలో ఉదాహరణలను డౌన్‌లోడ్ చేయండి.

సాధనాలలో, నేను మళ్ళీ నా స్వంత అభివృద్ధిని ప్రతిపాదిస్తున్నాను - సాఫ్ట్వేర్ ప్యాకేజీవిశ్లేషణాత్మక జ్యామితిలో, ఇది జీవితాన్ని చాలా సులభతరం చేస్తుంది మరియు చాలా సమయాన్ని ఆదా చేస్తుంది.

పాఠకుడికి ప్రాథమికంగా తెలిసి ఉంటుందని భావించబడుతుంది రేఖాగణిత భావనలుమరియు బొమ్మలు: పాయింట్, లైన్, ప్లేన్, త్రిభుజం, సమాంతర చతుర్భుజం, సమాంతర పైప్డ్, క్యూబ్ మొదలైనవి. కొన్ని సిద్ధాంతాలను గుర్తుంచుకోవడం మంచిది, కనీసం పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం, రిపీటర్‌లకు హలో)

మరియు ఇప్పుడు మేము వరుసగా పరిశీలిస్తాము: వెక్టర్ యొక్క భావన, వెక్టర్లతో చర్యలు, వెక్టర్ కోఆర్డినేట్లు. నేను మరింత చదవమని సిఫార్సు చేస్తున్నాను అత్యంత ముఖ్యమైన వ్యాసం వెక్టర్స్ యొక్క డాట్ ఉత్పత్తి, మరియు కూడా వెక్టర్ మరియు వెక్టర్స్ యొక్క మిశ్రమ ఉత్పత్తి. ఇది నిరుపయోగంగా ఉండదు స్థానిక సమస్య- ఇచ్చిన నిష్పత్తిలో సెగ్మెంట్ యొక్క విభజన. పై సమాచారం ఆధారంగా, మీరు నైపుణ్యం పొందవచ్చు ఒక విమానంలో ఒక రేఖ యొక్క సమీకరణంతో పరిష్కారాల యొక్క సరళమైన ఉదాహరణలు, ఇది అనుమతిస్తుంది జ్యామితి సమస్యలను పరిష్కరించడం నేర్చుకోండి. కింది కథనాలు కూడా ఉపయోగకరంగా ఉన్నాయి: అంతరిక్షంలో ఒక విమానం యొక్క సమీకరణం, అంతరిక్షంలో ఒక రేఖ యొక్క సమీకరణాలు, సరళ రేఖ మరియు ఒక విమానంలో ప్రాథమిక సమస్యలు, విశ్లేషణాత్మక జ్యామితి యొక్క ఇతర విభాగాలు. సహజంగానే, ప్రామాణిక పనులు మార్గం వెంట పరిగణించబడతాయి.

వెక్టర్ భావన. ఉచిత వెక్టర్

ముందుగా, వెక్టర్ యొక్క పాఠశాల నిర్వచనాన్ని పునరావృతం చేద్దాం. వెక్టర్అని పిలిచారు దర్శకత్వం వహించారుదాని ప్రారంభం మరియు ముగింపు సూచించబడిన ఒక విభాగం:

IN ఈ విషయంలోసెగ్మెంట్ ప్రారంభం పాయింట్, సెగ్మెంట్ ముగింపు పాయింట్. వెక్టర్ దానితో సూచించబడుతుంది. దిశఆవశ్యకం, మీరు బాణాన్ని సెగ్మెంట్ యొక్క మరొక చివరకి తరలించినట్లయితే, మీకు వెక్టర్ లభిస్తుంది మరియు ఇది ఇప్పటికే ఉంది పూర్తిగా భిన్నమైన వెక్టర్. వెక్టర్ యొక్క భావన సౌకర్యవంతంగా చలనంతో గుర్తించబడుతుంది భౌతిక శరీరం: అంగీకరిస్తున్నారు, ఇన్స్టిట్యూట్ యొక్క తలుపులలోకి ప్రవేశించడం లేదా ఇన్స్టిట్యూట్ యొక్క తలుపులు వదిలివేయడం అనేది పూర్తిగా భిన్నమైన విషయాలు.

ఒక విమానం లేదా స్థలం యొక్క వ్యక్తిగత పాయింట్లను పిలవబడేదిగా పరిగణించడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది సున్నా వెక్టర్. అటువంటి వెక్టర్ కోసం, ముగింపు మరియు ప్రారంభం సమానంగా ఉంటాయి.

!!! గమనిక: ఇక్కడ మరియు మరింత, మీరు వెక్టర్స్ ఒకే విమానంలో ఉన్నాయని అనుకోవచ్చు లేదా అవి అంతరిక్షంలో ఉన్నాయని మీరు అనుకోవచ్చు - సమర్పించిన పదార్థం యొక్క సారాంశం విమానం మరియు స్థలం రెండింటికీ చెల్లుతుంది.

హోదాలు:చాలామంది వెంటనే హోదాలో బాణం లేని కర్రను గమనించి, పైభాగంలో బాణం కూడా ఉందని చెప్పారు! నిజమే, మీరు దానిని బాణంతో వ్రాయవచ్చు: , కానీ అది కూడా సాధ్యమే నేను భవిష్యత్తులో ఉపయోగించబోయే ప్రవేశం. ఎందుకు? స్పష్టంగా, ఈ అలవాటు ఆచరణాత్మక కారణాల వల్ల అభివృద్ధి చెందింది; పాఠశాల మరియు విశ్వవిద్యాలయంలో నా షూటర్లు చాలా భిన్నమైన పరిమాణంలో మరియు షాగీగా మారారు. IN విద్యా సాహిత్యంకొన్నిసార్లు వారు క్యూనిఫారమ్ రచనతో బాధపడరు, కానీ అక్షరాలను హైలైట్ చేస్తారు బోల్డ్ లో: , ఇది వెక్టర్ అని సూచిస్తుంది.

అది స్టైలిస్టిక్స్ మరియు ఇప్పుడు వెక్టర్‌లను వ్రాయడానికి మార్గాల గురించి:

1) వెక్టర్‌లను రెండు పెద్ద లాటిన్ అక్షరాలతో వ్రాయవచ్చు:
మరియు అందువలన న. ఈ సందర్భంలో, మొదటి అక్షరం తప్పనిసరిగావెక్టార్ యొక్క ప్రారంభ బిందువును సూచిస్తుంది మరియు రెండవ అక్షరం వెక్టర్ యొక్క ముగింపు బిందువును సూచిస్తుంది.

2) వెక్టర్స్ చిన్న లాటిన్ అక్షరాలలో కూడా వ్రాయబడ్డాయి:
ప్రత్యేకించి, క్లుప్తత కోసం మన వెక్టర్‌ను చిన్నదిగా పునర్నిర్మించవచ్చు లాటిన్ అక్షరం.

పొడవులేదా మాడ్యూల్సున్నా కాని వెక్టార్‌ని సెగ్మెంట్ పొడవు అంటారు. సున్నా వెక్టర్ యొక్క పొడవు సున్నా. లాజికల్.

వెక్టర్ యొక్క పొడవు మాడ్యులస్ గుర్తు ద్వారా సూచించబడుతుంది: ,

వెక్టర్ యొక్క పొడవును ఎలా కనుగొనాలో మనం నేర్చుకుంటాము (లేదా ఎవరిని బట్టి దాన్ని పునరావృతం చేస్తాము) కొంచెం తర్వాత.

వారు ఉన్నారు ప్రాథమిక సమాచారంవెక్టర్ గురించి, పాఠశాల విద్యార్థులందరికీ సుపరిచితం. విశ్లేషణాత్మక జ్యామితిలో, అని పిలవబడేది ఉచిత వెక్టర్.

సింపుల్ గా చెప్పాలంటే - వెక్టర్ ఏ పాయింట్ నుండి అయినా ప్లాట్ చేయవచ్చు:

మేము అటువంటి వెక్టర్‌లను సమానంగా పిలవడం అలవాటు చేసుకున్నాము (సమాన వెక్టర్స్ యొక్క నిర్వచనం క్రింద ఇవ్వబడుతుంది), కానీ పూర్తిగా గణిత కోణం నుండి, అవి ఒకే వెక్టర్ లేదా ఉచిత వెక్టర్. ఎందుకు ఉచితం? ఎందుకంటే సమస్యలను పరిష్కరించే సమయంలో, మీరు ఈ లేదా ఆ వెక్టర్‌ను మీకు అవసరమైన విమానం లేదా స్థలం యొక్క ఏదైనా బిందువుకు "అటాచ్" చేయవచ్చు. ఇది చాలా కూల్ ఫీచర్! ఏకపక్ష పొడవు మరియు దిశ యొక్క వెక్టర్‌ను ఊహించండి - దానిని "క్లోన్" చేయవచ్చు అనంతమైన సంఖ్యసమయాల్లో మరియు అంతరిక్షంలో ఏ సమయంలోనైనా, వాస్తవానికి, ఇది ప్రతిచోటా ఉంటుంది. అలాంటి ఒక విద్యార్థి ఇలా అంటున్నాడు: ప్రతి లెక్చరర్ వెక్టార్ గురించి తిట్టాడు. అన్నింటికంటే, ఇది చమత్కారమైన ప్రాస మాత్రమే కాదు, ప్రతిదీ గణితశాస్త్రపరంగా సరైనది - వెక్టర్ కూడా అక్కడ జతచేయబడుతుంది. కానీ సంతోషించడానికి తొందరపడకండి, విద్యార్థులే తరచుగా బాధపడతారు =)

కాబట్టి, ఉచిత వెక్టర్- ఇది ఒక గుత్తి ఒకే విధమైన నిర్దేశిత విభాగాలు. పాఠశాల నిర్వచనంపేరా ప్రారంభంలో ఇవ్వబడిన వెక్టర్: "దర్శకత్వం వహించిన విభాగాన్ని వెక్టర్ అంటారు ..." సూచిస్తుంది నిర్దిష్టఅందించిన సెట్ నుండి తీసుకున్న నిర్దేశిత విభాగం, ఇది విమానం లేదా ప్రదేశంలో ఒక నిర్దిష్ట బిందువుతో ముడిపడి ఉంటుంది.

భౌతిక శాస్త్రం యొక్క దృక్కోణం నుండి, ఉచిత వెక్టర్ యొక్క భావన అని గమనించాలి సాధారణ కేసుతప్పు, మరియు వెక్టర్ యొక్క అప్లికేషన్ పాయింట్ ముఖ్యం. నిజమే, ముక్కు లేదా నుదిటిపై అదే శక్తి యొక్క ప్రత్యక్ష దెబ్బ, నా తెలివితక్కువ ఉదాహరణను అభివృద్ధి చేయడానికి సరిపోతుంది, ఇది భిన్నమైన పరిణామాలను కలిగిస్తుంది. అయితే, స్వేచ్ఛ లేనివెక్టర్స్ కూడా vyshmat కోర్సులో కనిపిస్తాయి (అక్కడికి వెళ్లవద్దు :)).

వెక్టర్స్‌తో చర్యలు. వెక్టర్స్ యొక్క కోలినియారిటీ

IN పాఠశాల కోర్సుజ్యామితి, వెక్టర్స్‌తో అనేక చర్యలు మరియు నియమాలు పరిగణించబడతాయి: త్రిభుజ నియమం ప్రకారం కూడిక, సమాంతర చతుర్భుజం నియమం ప్రకారం కూడిక, వెక్టార్ భేద నియమం, వెక్టర్‌ను సంఖ్యతో గుణించడం, వెక్టర్‌ల స్కేలార్ ఉత్పత్తి మొదలైనవి.ప్రారంభ బిందువుగా, విశ్లేషణాత్మక జ్యామితి సమస్యలను పరిష్కరించడానికి ప్రత్యేకంగా సంబంధితమైన రెండు నియమాలను పునరావృతం చేద్దాం.

త్రిభుజ నియమాన్ని ఉపయోగించి వెక్టర్‌లను జోడించే నియమం

రెండు ఏకపక్ష నాన్-జీరో వెక్టర్‌లను పరిగణించండి మరియు:

మీరు ఈ వెక్టర్స్ మొత్తాన్ని కనుగొనాలి. అన్ని వెక్టర్‌లు ఉచితంగా పరిగణించబడుతున్నందున, మేము వెక్టార్‌ను పక్కనపెడతాము ముగింపువెక్టర్:

వెక్టర్స్ మొత్తం వెక్టర్. నియమాన్ని బాగా అర్థం చేసుకోవడానికి, చేర్చడం మంచిది భౌతిక అర్థం: కొంత శరీరాన్ని వెక్టార్ వెంట, ఆపై వెక్టార్ వెంట ప్రయాణించనివ్వండి. అప్పుడు వెక్టర్స్ యొక్క మొత్తం అనేది బయలుదేరే పాయింట్ వద్ద ప్రారంభం మరియు ఆగమన బిందువు వద్ద ముగింపుతో ఫలిత మార్గం యొక్క వెక్టర్. ఇదే విధమైన నియమం ఎన్ని వెక్టర్స్ మొత్తానికి రూపొందించబడింది. వారు చెప్పినట్లుగా, శరీరం జిగ్‌జాగ్‌లో చాలా లీన్‌గా సాగవచ్చు లేదా ఆటోపైలట్‌లో ఉండవచ్చు - మొత్తం వెక్టార్‌తో పాటు.

మార్గం ద్వారా, వెక్టర్ నుండి వాయిదా వేయబడితే ప్రారంభించారువెక్టార్, అప్పుడు మనకు సమానం వస్తుంది సమాంతర చతుర్భుజం నియమంవెక్టర్స్ అదనంగా.

మొదట, వెక్టర్స్ యొక్క కోలినియారిటీ గురించి. రెండు వెక్టర్స్ అంటారు కొలినియర్, వారు ఒకే రేఖపై లేదా సమాంతర రేఖలపై పడుకుంటే. స్థూలంగా చెప్పాలంటే, మేము సమాంతర వెక్టర్స్ గురించి మాట్లాడుతున్నాము. కానీ వాటికి సంబంధించి, "కొల్లినియర్" అనే విశేషణం ఎల్లప్పుడూ ఉపయోగించబడుతుంది.

రెండు కొలినియర్ వెక్టర్లను ఊహించండి. ఈ వెక్టర్స్ యొక్క బాణాలు ఒకే దిశలో దర్శకత్వం వహించినట్లయితే, అటువంటి వెక్టర్స్ అంటారు సహ దర్శకత్వం వహించారు. బాణాలు వైపు చూపితే వివిధ వైపులా, అప్పుడు వెక్టర్స్ ఉంటుంది వ్యతిరేక దిశలు.

హోదాలు:వెక్టర్స్ యొక్క కోలినియరిటీ సాధారణ సమాంతరత చిహ్నంతో వ్రాయబడుతుంది: , వివరంగా వివరించడం సాధ్యమవుతుంది: (వెక్టర్స్ సహ-దర్శకత్వం వహించబడతాయి) లేదా (వెక్టర్స్ వ్యతిరేక దిశలో ఉంటాయి).

పనిసంఖ్యపై సున్నా కాని వెక్టార్ అనేది వెక్టర్, దీని పొడవు సమానం, మరియు వెక్టర్‌లు మరియు వద్ద సహ-దర్శకత్వం మరియు వ్యతిరేక దిశలో ఉంటాయి.

వెక్టార్‌ను సంఖ్యతో గుణించే నియమాన్ని చిత్రం సహాయంతో అర్థం చేసుకోవడం సులభం:

దీన్ని మరింత వివరంగా పరిశీలిద్దాం:

1) దిశ. గుణకం ప్రతికూలంగా ఉంటే, వెక్టర్ దిశను మారుస్తుందిఎదురుగా.

2) పొడవు. గుణకం లోపల లేదా , వెక్టర్ యొక్క పొడవు కలిగి ఉంటే తగ్గుతుంది. కాబట్టి, వెక్టర్ యొక్క పొడవు వెక్టర్ యొక్క సగం పొడవు. మాడ్యులో గుణకం ఉంటే ఒకటి కంటే ఎక్కువ, అప్పుడు వెక్టర్ పొడవు పెరుగుతుందిసమయం లో.

3) దయచేసి గమనించండి అన్ని వెక్టర్స్ కొలినియర్, ఒక వెక్టార్ మరొక ద్వారా వ్యక్తీకరించబడుతుంది, ఉదాహరణకు, . రివర్స్ కూడా నిజం: ఒక వెక్టార్‌ని మరొకదాని ద్వారా వ్యక్తీకరించగలిగితే, అటువంటి వెక్టర్‌లు తప్పనిసరిగా కోలినియర్‌గా ఉంటాయి. ఈ విధంగా: మనం వెక్టార్‌ను సంఖ్యతో గుణిస్తే, మనకు కొల్లినియర్ వస్తుంది(అసలుకు సంబంధించి) వెక్టర్.

4) వెక్టర్స్ సహ-దర్శకత్వం వహించబడ్డాయి. వెక్టర్స్ మరియు సహ-దర్శకత్వం కూడా. మొదటి సమూహంలోని ఏదైనా వెక్టర్ రెండవ సమూహంలోని ఏదైనా వెక్టర్‌కు సంబంధించి వ్యతిరేక దిశలో ఉంటుంది.

ఏ వెక్టర్స్ సమానంగా ఉంటాయి?

రెండు వెక్టర్‌లు ఒకే దిశలో ఉండి కలిగి ఉంటే సమానంగా ఉంటాయి అదే పొడవు . కోడైరెక్షనల్ అనేది వెక్టర్స్ యొక్క కోలినియారిటీని సూచిస్తుందని గమనించండి. "రెండు వెక్టర్స్ కొలినియర్, కోడైరెక్షనల్ మరియు ఒకే పొడవు కలిగి ఉంటే అవి సమానంగా ఉంటాయి" అని మనం ఇలా చెబితే నిర్వచనం సరికాదు (నిరుపయోగంగా ఉంటుంది).

ఉచిత వెక్టర్ భావన యొక్క కోణం నుండి, సమాన వెక్టర్స్- ఇది అదే వెక్టర్, ఇది ఇప్పటికే మునుపటి పేరాలో చర్చించబడింది.

వెక్టర్ విమానంలో మరియు అంతరిక్షంలో సమన్వయం చేస్తుంది

విమానంలో వెక్టర్స్‌ను పరిగణనలోకి తీసుకోవడం మొదటి విషయం. మనం కార్టేసియన్‌కు ప్రాతినిధ్యం వహిస్తాము దీర్ఘచతురస్రాకార వ్యవస్థకోఆర్డినేట్‌లు మరియు కోఆర్డినేట్‌ల మూలం నుండి మేము వాయిదా వేస్తాము సింగిల్వెక్టర్స్ మరియు:

వెక్టర్స్ మరియు ఆర్తోగోనల్. Orthogonal = లంబంగా. మీరు నిబంధనలను నెమ్మదిగా అలవాటు చేసుకోవాలని నేను సిఫార్సు చేస్తున్నాను: సమాంతరత మరియు లంబంగా కాకుండా, మేము వరుసగా పదాలను ఉపయోగిస్తాము సఖ్యతమరియు ఆర్తోగోనాలిటీ.

హోదా:వెక్టర్స్ యొక్క ఆర్తోగోనాలిటీ సాధారణ లంబ చిహ్నంతో వ్రాయబడింది, ఉదాహరణకు: .

పరిశీలనలో ఉన్న వెక్టర్స్ అంటారు కోఆర్డినేట్ వెక్టర్స్లేదా orts. ఈ వెక్టర్స్ ఏర్పడతాయి ఆధారంగాఉపరితలంపై. ఒక ఆధారం ఏమిటి, నేను అనుకుంటున్నాను, చాలా మందికి అకారణంగా స్పష్టంగా ఉంది వివరణాత్మక సమాచారంవ్యాసంలో చూడవచ్చు వెక్టర్స్ యొక్క లీనియర్ (కాని) ఆధారపడటం. వెక్టర్స్ యొక్క ఆధారంసరళంగా చెప్పాలంటే, కోఆర్డినేట్‌ల యొక్క ఆధారం మరియు మూలం మొత్తం వ్యవస్థను నిర్వచిస్తుంది - ఇది పూర్తి మరియు గొప్ప రేఖాగణిత జీవితం ఉడకబెట్టే ఒక రకమైన పునాది.

కొన్నిసార్లు నిర్మించిన ఆధారం అంటారు ఆర్థోనార్మల్విమానం యొక్క ఆధారం: “ఆర్థో” - కోఆర్డినేట్ వెక్టర్స్ ఆర్తోగోనల్ అయినందున, “నార్మలైజ్డ్” అనే విశేషణం అంటే యూనిట్, అనగా. ప్రాతిపదిక వెక్టర్స్ యొక్క పొడవులు ఒకదానికి సమానంగా ఉంటాయి.

హోదా:ఆధారం సాధారణంగా కుండలీకరణాల్లో వ్రాయబడుతుంది, దాని లోపల కఠినమైన క్రమంలోప్రాతిపదిక వెక్టర్స్ జాబితా చేయబడ్డాయి, ఉదాహరణకు: . కోఆర్డినేట్ వెక్టర్స్ అది నిషేధించబడిందితిరిగి అమర్చు.

ఏదైనావిమానం వెక్టర్ ఏకైక మార్గంఇలా వ్యక్తీకరించబడింది:
, ఎక్కడ - సంఖ్యలుఅంటారు వెక్టర్ కోఆర్డినేట్లువి దీని ఆధారంగా. మరియు వ్యక్తీకరణ కూడా అని పిలిచారు వెక్టర్ కుళ్ళిపోవడంఆధారంగా .

డిన్నర్ అందించబడింది:

వర్ణమాల యొక్క మొదటి అక్షరంతో ప్రారంభిద్దాం: . వెక్టర్‌ను ఒక ప్రాతిపదికగా విడదీసేటప్పుడు, ఇప్పుడే చర్చించినవి ఉపయోగించబడతాయని డ్రాయింగ్ స్పష్టంగా చూపిస్తుంది:
1) వెక్టార్‌ను సంఖ్యతో గుణించే నియమం: మరియు ;
2) త్రిభుజ నియమం ప్రకారం వెక్టర్‌ల జోడింపు: .

ఇప్పుడు విమానంలో ఏదైనా ఇతర పాయింట్ నుండి వెక్టర్‌ను మానసికంగా ప్లాట్ చేయండి. అతని క్షయం "కనికరం లేకుండా అతనిని అనుసరిస్తుంది" అని చాలా స్పష్టంగా ఉంది. ఇక్కడ ఉంది, వెక్టర్ యొక్క స్వేచ్ఛ - వెక్టర్ "అన్నిటినీ తనతో తీసుకువెళుతుంది." ఈ లక్షణం, వాస్తవానికి, ఏదైనా వెక్టర్‌కు వర్తిస్తుంది. ఆధారం (ఉచిత) వెక్టర్స్‌ను మూలం నుండి ప్లాట్ చేయవలసిన అవసరం లేదు, ఒకటి డ్రా చేయవచ్చు, ఉదాహరణకు, దిగువ ఎడమ వైపున మరియు మరొకటి ఎగువ కుడి వైపున, మరియు ఏమీ మారదు! నిజమే, మీరు దీన్ని చేయనవసరం లేదు, ఎందుకంటే ఉపాధ్యాయుడు కూడా వాస్తవికతను చూపుతారు మరియు ఊహించని ప్రదేశంలో మీకు "క్రెడిట్" అందిస్తారు.

వెక్టార్‌లు వెక్టర్‌ను సంఖ్యతో గుణించే నియమాన్ని ఖచ్చితంగా వివరిస్తాయి, వెక్టర్ బేస్ వెక్టర్‌తో కోడైరెక్షనల్‌గా ఉంటుంది, వెక్టర్ బేస్ వెక్టర్‌కు ఎదురుగా ఉంటుంది. ఈ వెక్టర్స్ కోసం, కోఆర్డినేట్‌లలో ఒకటి సున్నాకి సమానం; మీరు దీన్ని ఈ విధంగా సూక్ష్మంగా వ్రాయవచ్చు:


మరియు ఆధార వెక్టర్స్, మార్గం ద్వారా, ఇలా ఉన్నాయి: (వాస్తవానికి, అవి తమ ద్వారా వ్యక్తీకరించబడతాయి).

మరియు చివరకు: , . మార్గం ద్వారా, వెక్టర్ వ్యవకలనం అంటే ఏమిటి మరియు నేను వ్యవకలన నియమం గురించి ఎందుకు మాట్లాడలేదు? ఎక్కడో లోపల సరళ బీజగణితం, ఎక్కడ ఉందో నాకు గుర్తు లేదు, తీసివేత అని నేను గుర్తించాను ప్రత్యేక సంధర్భంఅదనంగా. అందువలన, వెక్టర్స్ "de" మరియు "e" యొక్క విస్తరణలు సులభంగా మొత్తంగా వ్రాయబడతాయి: , . నిబంధనలను క్రమాన్ని మార్చండి మరియు ఈ పరిస్థితుల్లో త్రిభుజం నియమం ప్రకారం వెక్టర్స్ యొక్క మంచి పాత జోడింపు ఎంత బాగా పనిచేస్తుందో డ్రాయింగ్‌లో చూడండి.

రూపం యొక్క పరిగణించబడిన కుళ్ళిపోవడం కొన్నిసార్లు వెక్టర్ డికంపోజిషన్ అని పిలుస్తారు ort వ్యవస్థలో(అంటే యూనిట్ వెక్టర్స్ వ్యవస్థలో). కానీ వెక్టార్‌ని వ్రాయడానికి ఇది ఏకైక మార్గం కాదు, ఇది సాధారణం తదుపరి ఎంపిక:

లేదా సమాన గుర్తుతో:

ప్రాతిపదిక వెక్టర్స్ ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయబడ్డాయి: మరియు

అంటే, వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్లు కుండలీకరణాల్లో సూచించబడతాయి. IN ఆచరణాత్మక సమస్యలుమూడు రికార్డింగ్ ఎంపికలు ఉపయోగించబడతాయి.

నేను మాట్లాడాలా వద్దా అని సందేహించాను, అయితే నేను ఎలాగైనా చెబుతాను: వెక్టర్ కోఆర్డినేట్‌లను తిరిగి అమర్చడం సాధ్యం కాదు. ఖచ్చితంగా మొదటి స్థానంలో ఉందియూనిట్ వెక్టర్‌కు అనుగుణంగా ఉండే కోఆర్డినేట్‌ను మేము వ్రాస్తాము, ఖచ్చితంగా రెండవ స్థానంలోమేము యూనిట్ వెక్టర్‌కు అనుగుణంగా ఉండే కోఆర్డినేట్‌ను వ్రాస్తాము. నిజానికి, మరియు రెండు వేర్వేరు వెక్టర్స్.

మేము విమానంలో కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొన్నాము. ఇప్పుడు త్రిమితీయ స్థలంలో వెక్టర్స్ చూద్దాం, ఇక్కడ దాదాపు ప్రతిదీ ఒకే విధంగా ఉంటుంది! ఇది కేవలం మరో కోఆర్డినేట్‌ని జోడిస్తుంది. త్రిమితీయ డ్రాయింగ్‌లను రూపొందించడం చాలా కష్టం, కాబట్టి నేను ఒక వెక్టర్‌కు పరిమితం చేస్తాను, సరళత కోసం నేను మూలం నుండి పక్కన పెడతాను:

ఏదైనావెక్టర్ త్రిమితీయ స్థలంచెయ్యవచ్చు ఏకైక మార్గం ఆర్థోనార్మల్ ప్రాతిపదికన విస్తరించండి:
, ఈ ప్రాతిపదికన వెక్టర్ (సంఖ్య) యొక్క అక్షాంశాలు ఎక్కడ ఉన్నాయి.

చిత్రం నుండి ఉదాహరణ: . ఇక్కడ వెక్టర్ నియమాలు ఎలా పనిచేస్తాయో చూద్దాం. మొదట, వెక్టార్‌ను సంఖ్యతో గుణించడం: (ఎరుపు బాణం), (ఆకుపచ్చ బాణం) మరియు (కోరిందకాయ బాణం). రెండవది, ఇక్కడ అనేక జోడించడానికి ఒక ఉదాహరణ ఉంది, ఈ సందర్భంలో మూడు, వెక్టర్స్: . మొత్తం వెక్టర్ వద్ద ప్రారంభమవుతుంది ప్రారంభ స్థానంనిష్క్రమణ (వెక్టార్ యొక్క ప్రారంభం) మరియు ఆగమనం యొక్క చివరి పాయింట్ వద్ద ముగుస్తుంది (వెక్టార్ ముగింపు).

త్రిమితీయ స్థలం యొక్క అన్ని వెక్టర్స్, సహజంగా, కూడా ఉచితం; మానసికంగా వెక్టర్‌ను మరేదైనా పాయింట్ నుండి పక్కన పెట్టడానికి ప్రయత్నించండి మరియు దాని కుళ్ళిపోవడం “దానితోనే ఉంటుంది” అని మీరు అర్థం చేసుకుంటారు.

ఫ్లాట్ కేసు మాదిరిగానే, రాయడంతో పాటు బ్రాకెట్లతో కూడిన సంస్కరణలు విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతున్నాయి: గాని .

విస్తరణ ఒకటి లేకుంటే (లేదా రెండు) కోఆర్డినేట్ వెక్టర్స్, అప్పుడు వాటి స్థానంలో సున్నాలు ఉంచబడతాయి. ఉదాహరణలు:
వెక్టర్ (నిశితంగా ) - రాద్దాం ;
వెక్టర్ (నిశితంగా ) - రాద్దాం ;
వెక్టర్ (నిశితంగా ) - రాద్దాం .

ప్రాతిపదిక వెక్టర్స్ వ్రాయబడ్డాయి క్రింది విధంగా:

అది బహుశా అన్ని కనీసము సైద్ధాంతిక జ్ఞానం, విశ్లేషణాత్మక జ్యామితి సమస్యలను పరిష్కరించడానికి అవసరం. చాలా నిబంధనలు మరియు నిర్వచనాలు ఉండవచ్చు, కాబట్టి డమ్మీలు మళ్లీ చదివి అర్థం చేసుకోవాలని నేను సిఫార్సు చేస్తున్నాను ఈ సమాచారముమళ్ళీ. మరియు ఇది ఏ పాఠకుడైనా సూచించడానికి ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది ప్రాథమిక పాఠంకోసం మెరుగైన శోషణపదార్థం. కోలినియారిటీ, ఆర్తోగోనాలిటీ, ఆర్తోనార్మల్ బేస్, వెక్టర్ డికంపోజిషన్ - ఇవి మరియు ఇతర భావనలు తరచుగా భవిష్యత్తులో ఉపయోగించబడతాయి. జ్యామితిలో సైద్ధాంతిక పరీక్ష లేదా సంభాషణలో ఉత్తీర్ణత సాధించడానికి సైట్ మెటీరియల్‌లు సరిపోవని నేను గమనించాలనుకుంటున్నాను, ఎందుకంటే నేను అన్ని సిద్ధాంతాలను (మరియు రుజువులు లేకుండా) జాగ్రత్తగా గుప్తీకరిస్తాను - హానికరం శాస్త్రీయ శైలిప్రదర్శన, కానీ విషయంపై మీ అవగాహనకు ప్లస్. వివరణాత్మక సైద్ధాంతిక సమాచారాన్ని స్వీకరించడానికి, దయచేసి ప్రొఫెసర్ అటనాస్యన్‌కు నమస్కరించండి.

మరియు మేము ఆచరణాత్మక భాగానికి వెళ్తాము:

విశ్లేషణాత్మక జ్యామితి యొక్క సరళమైన సమస్యలు.
కోఆర్డినేట్లలో వెక్టర్స్‌తో చర్యలు

పూర్తిగా స్వయంచాలకంగా పరిగణించబడే పనులు మరియు సూత్రాలను ఎలా పరిష్కరించాలో నేర్చుకోవడం చాలా మంచిది కంఠస్థం చేస్తారు, ప్రత్యేకంగా గుర్తుంచుకోవద్దు, వారు తమను తాము గుర్తుంచుకుంటారు =) ఇది చాలా ముఖ్యమైనది, ఎందుకంటే సరళమైనది ప్రాథమిక ఉదాహరణలువిశ్లేషణాత్మక జ్యామితి యొక్క ఇతర సమస్యలు ఆధారపడి ఉంటాయి మరియు ఖర్చు చేయడం బాధించేదిగా ఉంటుంది అధిక సమయంబంటులు తినడం కోసం. మీ చొక్కా పై బటన్‌లను బిగించాల్సిన అవసరం లేదు; పాఠశాల నుండి మీకు చాలా విషయాలు సుపరిచితం.

పదార్థం యొక్క ప్రదర్శన సమాంతర కోర్సును అనుసరిస్తుంది - విమానం మరియు స్థలం కోసం. ఫార్ములాలన్నీ... మీరే చూస్తారు అనే కారణంతో.

రెండు పాయింట్ల నుండి వెక్టర్‌ను ఎలా కనుగొనాలి?

విమానం యొక్క రెండు పాయింట్లు మరియు ఇవ్వబడినట్లయితే, వెక్టర్ కింది కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంటుంది:

స్పేస్‌లో రెండు పాయింట్లు ఇవ్వబడితే, వెక్టర్ కింది కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంటుంది:

అంటే, వెక్టర్ ముగింపు యొక్క కోఆర్డినేట్ల నుండిమీరు సంబంధిత కోఆర్డినేట్‌లను తీసివేయాలి వెక్టర్ యొక్క ప్రారంభం.

వ్యాయామం:అదే పాయింట్ల కోసం, వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనడానికి సూత్రాలను వ్రాయండి. పాఠం చివరిలో సూత్రాలు.

ఉదాహరణ 1

విమానం యొక్క రెండు పాయింట్లు మరియు . వెక్టర్ కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనండి

పరిష్కారం:తగిన సూత్రం ప్రకారం:

ప్రత్యామ్నాయంగా, కింది ఎంట్రీని ఉపయోగించవచ్చు:

సౌందర్య నిపుణులు దీనిని నిర్ణయిస్తారు:

వ్యక్తిగతంగా, నేను రికార్డింగ్ యొక్క మొదటి సంస్కరణకు అలవాటు పడ్డాను.

సమాధానం:

షరతు ప్రకారం, డ్రాయింగ్‌ను నిర్మించాల్సిన అవసరం లేదు (ఇది విశ్లేషణాత్మక జ్యామితి సమస్యలకు విలక్షణమైనది), కానీ డమ్మీల కోసం కొన్ని పాయింట్లను స్పష్టం చేయడానికి, నేను సోమరితనం కాను:

మీరు ఖచ్చితంగా అర్థం చేసుకోవాలి పాయింట్ కోఆర్డినేట్‌లు మరియు వెక్టర్ కోఆర్డినేట్‌ల మధ్య వ్యత్యాసం:

పాయింట్ కోఆర్డినేట్లు- ఇవి దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో సాధారణ కోఆర్డినేట్‌లు. 5 వ-6 వ తరగతి నుండి కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లో పాయింట్లను ఎలా ప్లాట్ చేయాలో అందరికీ తెలుసునని నేను భావిస్తున్నాను. ప్రతి పాయింట్‌కి విమానంలో ఖచ్చితమైన స్థానం ఉంటుంది మరియు వాటిని ఎక్కడికీ తరలించలేరు.

వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్లు- ఇది ఈ సందర్భంలో ఆధారం ప్రకారం దాని విస్తరణ. ఏదైనా వెక్టర్ ఉచితం, కాబట్టి అవసరమైతే, మనం దానిని విమానంలోని ఇతర పాయింట్ నుండి సులభంగా తరలించవచ్చు. వెక్టర్స్ కోసం మీరు అక్షాలు లేదా దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌ను నిర్మించాల్సిన అవసరం లేదు; మీకు ఆధారం మాత్రమే అవసరం, ఈ సందర్భంలో విమానం యొక్క ఆర్థోనార్మల్ ఆధారం.

పాయింట్ల కోఆర్డినేట్‌ల రికార్డులు మరియు వెక్టర్‌ల కోఆర్డినేట్‌లు సారూప్యంగా కనిపిస్తున్నాయి: , మరియు కోఆర్డినేట్స్ యొక్క అర్థంఖచ్చితంగా భిన్నమైనది, మరియు మీరు ఈ వ్యత్యాసం గురించి బాగా తెలుసుకోవాలి. ఈ వ్యత్యాసం, వాస్తవానికి, స్థలానికి కూడా వర్తిస్తుంది.

లేడీస్ అండ్ జెంటిల్మెన్, మన చేతులు నింపుదాం:

ఉదాహరణ 2

ఎ) పాయింట్లు మరియు ఇవ్వబడ్డాయి. వెక్టర్లను కనుగొనండి మరియు .
బి) పాయింట్లు ఇవ్వబడ్డాయి మరియు . వెక్టర్లను కనుగొనండి మరియు .
సి) పాయింట్లు మరియు ఇవ్వబడ్డాయి. వెక్టర్లను కనుగొనండి మరియు .
d) పాయింట్లు ఇవ్వబడ్డాయి. వెక్టర్లను కనుగొనండి .

బహుశా అది సరిపోతుంది. కోసం ఇవి ఉదాహరణలు స్వతంత్ర నిర్ణయం, వాటిని నిర్లక్ష్యం చేయకుండా ప్రయత్నించండి, అది చెల్లిస్తుంది ;-). డ్రాయింగ్లు చేయవలసిన అవసరం లేదు. పాఠం చివరిలో పరిష్కారాలు మరియు సమాధానాలు.

విశ్లేషణాత్మక జ్యామితి సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు ముఖ్యమైనది ఏమిటి?మాస్టర్‌ఫుల్ “రెండు ప్లస్ టూ ఈక్వల్ జీరో” పొరపాటు చేయకుండా ఉండేందుకు చాలా జాగ్రత్తగా ఉండటం ముఖ్యం. నేను ఎక్కడైనా తప్పు చేసి ఉంటే వెంటనే క్షమాపణలు కోరుతున్నాను =)

సెగ్మెంట్ పొడవును ఎలా కనుగొనాలి?

పొడవు, ఇప్పటికే గుర్తించినట్లుగా, మాడ్యులస్ గుర్తు ద్వారా సూచించబడుతుంది.

విమానం యొక్క రెండు పాయింట్లు మరియు , సెగ్మెంట్ యొక్క పొడవును ఫార్ములా ఉపయోగించి లెక్కించవచ్చు

స్పేస్‌లో రెండు పాయింట్లు ఇవ్వబడితే, అప్పుడు సెగ్మెంట్ యొక్క పొడవును ఫార్ములా ఉపయోగించి లెక్కించవచ్చు

గమనిక: సంబంధిత కోఆర్డినేట్‌లను మార్చుకుంటే సూత్రాలు సరైనవిగా ఉంటాయి: మరియు , కానీ మొదటి ఎంపిక మరింత ప్రామాణికమైనది

ఉదాహరణ 3

పరిష్కారం:తగిన సూత్రం ప్రకారం:

సమాధానం:

స్పష్టత కోసం, నేను డ్రాయింగ్ చేస్తాను

లైన్ సెగ్మెంట్ - ఇది వెక్టర్ కాదు, మరియు, వాస్తవానికి, మీరు దానిని ఎక్కడికీ తరలించలేరు. అదనంగా, మీరు స్కేల్‌కి గీస్తే: 1 యూనిట్. = 1 సెం.మీ (రెండు నోట్‌బుక్ సెల్‌లు), ఆపై ఫలిత సమాధానాన్ని సెగ్మెంట్ పొడవును నేరుగా కొలవడం ద్వారా సాధారణ పాలకుడితో తనిఖీ చేయవచ్చు.

అవును, పరిష్కారం చిన్నది, కానీ దానిలో మరికొన్ని ఉన్నాయి ముఖ్యమైన పాయింట్లునేను స్పష్టం చేయాలనుకుంటున్నాను:

మొదట, సమాధానంలో మేము కోణాన్ని ఉంచాము: "యూనిట్లు". మిల్లీమీటర్లు, సెంటీమీటర్లు, మీటర్లు లేదా కిలోమీటర్లు ఏమిటనేది షరతు చెప్పడం లేదు. కాబట్టి, గణితశాస్త్రపరంగా సరైన పరిష్కారం సాధారణ సూత్రీకరణ: “యూనిట్‌లు” - సంక్షిప్తంగా “యూనిట్‌లు”.

రెండవది, పునరావృతం చేద్దాం పాఠశాల పదార్థం, ఇది పరిగణించబడిన సమస్యకు మాత్రమే ఉపయోగపడుతుంది:

దయచేసి గమనించండి ముఖ్యమైన సాంకేతిక సాంకేతికత – రూట్ కింద నుండి గుణకాన్ని తీసివేయడం. గణనల ఫలితంగా, మనకు ఫలితం ఉంది మరియు మంచి గణిత శైలిలో రూట్ కింద నుండి కారకాన్ని తొలగించడం (వీలైతే) ఉంటుంది. మరింత వివరంగా ప్రక్రియ ఇలా కనిపిస్తుంది: . అయితే, సమాధానాన్ని అలాగే వదిలేయడం తప్పు కాదు - కానీ అది ఖచ్చితంగా లోపమే అవుతుంది మరియు గురువుగారి పక్షంలో ఒక బరువైన వాదనగా ఉంటుంది.

ఇక్కడ ఇతర సాధారణ కేసులు ఉన్నాయి:

తరచుగా రూట్ వద్ద తగినంత ఉంది పెద్ద సంఖ్య, ఉదాహరణకి . అటువంటి సందర్భాలలో ఏమి చేయాలి? కాలిక్యులేటర్ ఉపయోగించి, సంఖ్య 4: ద్వారా భాగించబడుతుందో లేదో తనిఖీ చేస్తాము. అవును, ఇది పూర్తిగా విభజించబడింది, ఈ విధంగా: . లేదా సంఖ్యను మళ్లీ 4తో భాగించవచ్చా? . ఈ విధంగా: . సంఖ్య యొక్క చివరి అంకె బేసిగా ఉంటుంది, కాబట్టి మూడవసారి 4తో భాగించడం స్పష్టంగా పని చేయదు. తొమ్మిది ద్వారా విభజించడానికి ప్రయత్నిద్దాం: . ఫలితంగా:
సిద్ధంగా ఉంది.

ముగింపు:రూట్ క్రింద మొత్తంగా సంగ్రహించలేని సంఖ్యను పొందినట్లయితే, అప్పుడు మేము రూట్ క్రింద నుండి కారకాన్ని తొలగించడానికి ప్రయత్నిస్తాము - కాలిక్యులేటర్‌ని ఉపయోగించి సంఖ్యను దీని ద్వారా విభజించవచ్చో లేదో తనిఖీ చేస్తాము: 4, 9, 16, 25, 36, 49, మొదలైనవి.

నిర్ణయం సమయంలో వివిధ పనులుమూలాలు సర్వసాధారణం, ఉపాధ్యాయుల వ్యాఖ్యల ఆధారంగా మీ పరిష్కారాలను ఖరారు చేయడంలో తక్కువ గ్రేడ్ మరియు అనవసరమైన సమస్యలను నివారించడానికి ఎల్లప్పుడూ రూట్ కింద నుండి కారకాలను సేకరించేందుకు ప్రయత్నించండి.

స్క్వేర్ రూట్‌లు మరియు ఇతర శక్తులను కూడా పునరావృతం చేద్దాం:

డిగ్రీలతో చర్యల కోసం నియమాలు సాధారణ వీక్షణలో కనుగొనవచ్చు పాఠశాల పాఠ్య పుస్తకంబీజగణితంలో, కానీ ఇచ్చిన ఉదాహరణల నుండి, ప్రతిదీ లేదా దాదాపు ప్రతిదీ ఇప్పటికే స్పష్టంగా ఉందని నేను భావిస్తున్నాను.

స్పేస్‌లోని సెగ్మెంట్‌తో స్వతంత్ర పరిష్కారం కోసం టాస్క్:

ఉదాహరణ 4

పాయింట్లు మరియు ఇవ్వబడ్డాయి. సెగ్మెంట్ పొడవును కనుగొనండి.

పరిష్కారం మరియు సమాధానం పాఠం చివరిలో ఉన్నాయి.

వెక్టర్ యొక్క పొడవును ఎలా కనుగొనాలి?

ప్లేన్ వెక్టర్ ఇచ్చినట్లయితే, దాని పొడవు సూత్రం ద్వారా లెక్కించబడుతుంది.

స్పేస్ వెక్టర్ ఇచ్చినట్లయితే, దాని పొడవు సూత్రం ద్వారా లెక్కించబడుతుంది .

అన్నింటిలో మొదటిది, వెక్టర్ యొక్క భావనను మనం అర్థం చేసుకోవాలి. రేఖాగణిత వెక్టార్ యొక్క నిర్వచనాన్ని పరిచయం చేయడానికి, సెగ్మెంట్ అంటే ఏమిటో గుర్తుంచుకోండి. కింది నిర్వచనాన్ని పరిచయం చేద్దాం.

నిర్వచనం 1

సెగ్మెంట్ అనేది పాయింట్ల రూపంలో రెండు సరిహద్దులను కలిగి ఉన్న రేఖలో భాగం.

ఒక విభాగంలో 2 దిశలు ఉండవచ్చు. దిశను సూచించడానికి, మేము సెగ్మెంట్ యొక్క సరిహద్దులలో ఒకదానిని దాని ప్రారంభం అని మరియు మరొక సరిహద్దుని దాని ముగింపు అని పిలుస్తాము. దిశ దాని ప్రారంభం నుండి సెగ్మెంట్ చివరి వరకు సూచించబడుతుంది.

నిర్వచనం 2

వెక్టర్ లేదా డైరెక్ట్ సెగ్మెంట్ అనేది సెగ్మెంట్ యొక్క సరిహద్దులలో ఏది ప్రారంభం మరియు దాని ముగింపు అని తెలిసిన విభాగం.

హోదా: ​​రెండు అక్షరాలలో: $\overline(AB)$ – (ఇక్కడ $A$ దాని ప్రారంభం మరియు $B$ దాని ముగింపు).

ఒక చిన్న అక్షరంలో: $\overline(a)$ (Fig. 1).

ఇప్పుడు మనం వెక్టర్ పొడవుల భావనను నేరుగా పరిచయం చేద్దాం.

నిర్వచనం 3

వెక్టార్ $\ఓవర్‌లైన్(a)$ యొక్క పొడవు $a$ సెగ్మెంట్ యొక్క పొడవు అవుతుంది.

సంజ్ఞామానం: $|\overline(a)|$

వెక్టర్ పొడవు యొక్క భావన అనుబంధించబడింది, ఉదాహరణకు, రెండు వెక్టర్స్ సమానత్వం వంటి భావనతో.

నిర్వచనం 4

రెండు షరతులను సంతృప్తిపరిచినట్లయితే మేము రెండు వెక్టర్‌లను సమానంగా పిలుస్తాము: 1. అవి కోడైరెక్షనల్; 1. వాటి పొడవులు సమానంగా ఉంటాయి (Fig. 2).

వెక్టర్‌లను నిర్వచించడానికి, కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌ను నమోదు చేయండి మరియు ఎంటర్ చేసిన సిస్టమ్‌లోని వెక్టర్ కోసం కోఆర్డినేట్‌లను నిర్ణయించండి. మనకు తెలిసినట్లుగా, ఏదైనా వెక్టర్ $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ రూపంలో కుళ్ళిపోవచ్చు, ఇక్కడ $m$ మరియు $n$ వాస్తవ సంఖ్యలు మరియు $\ఓవర్‌లైన్ (i )$ మరియు $\overline(j)$ వరుసగా $Ox$ మరియు $Oy$ అక్షం మీద యూనిట్ వెక్టర్స్.

నిర్వచనం 5

మేము ప్రవేశపెట్టిన కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో వెక్టార్ యొక్క విస్తరణ గుణకాలు $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ని ఈ వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు అని పిలుస్తాము. గణితశాస్త్రపరంగా:

$\overline(c)=(m,n)$

వెక్టర్ యొక్క పొడవును ఎలా కనుగొనాలి?

దాని కోఆర్డినేట్‌లను అందించిన ఏకపక్ష వెక్టర్ యొక్క పొడవును లెక్కించడానికి ఒక సూత్రాన్ని పొందేందుకు, ఈ క్రింది సమస్యను పరిగణించండి:

ఉదాహరణ 1

ఇవ్వబడింది: వెక్టర్ $\ఓవర్‌లైన్(α)$ కోఆర్డినేట్‌లతో $(x,y)$. కనుగొనండి: ఈ వెక్టర్ యొక్క పొడవు.

విమానంలో కార్టీసియన్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ $xOy$ని పరిచయం చేద్దాం. ప్రవేశపెట్టిన కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ యొక్క మూలాల నుండి $\overline(OA)=\overline(a)$ని పక్కన పెడదాం. $Ox$ మరియు $Oy$ అక్షాలపై నిర్మించిన వెక్టార్ యొక్క $OA_1$ మరియు $OA_2$ ప్రొజెక్షన్‌లను నిర్మిస్తాము (Fig. 3).

మేము నిర్మించిన వెక్టార్ $\overline(OA)$ పాయింట్ $A$ కోసం వ్యాసార్థం వెక్టర్ అవుతుంది, కాబట్టి, ఇది $(x,y)$ని కలిగి ఉంటుంది, అంటే

$=x$, $[OA_2]=y$

ఇప్పుడు మనం పైథాగరియన్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి అవసరమైన పొడవును సులభంగా కనుగొనవచ్చు, మనకు లభిస్తుంది

$|\overline(α)|^2=^2+^2$

$|\overline(α)|^2=x^2+y^2$

$|\overline(α)|=\sqrt(x^2+y^2)$

సమాధానం: $\sqrt(x^2+y^2)$.

ముగింపు:కోఆర్డినేట్‌లు ఇవ్వబడిన వెక్టర్ యొక్క పొడవును కనుగొనడానికి, ఈ కోఆర్డినేట్‌ల మొత్తం యొక్క స్క్వేర్ యొక్క మూలాన్ని కనుగొనడం అవసరం.

నమూనా పనులు

ఉదాహరణ 2

క్రింది కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉన్న పాయింట్లు $X$ మరియు $Y$ మధ్య దూరాన్ని కనుగొనండి: వరుసగా $(-1.5)$ మరియు $(7.3)$.

ఏదైనా రెండు పాయింట్లు వెక్టర్ భావనతో సులభంగా అనుబంధించబడతాయి. ఉదాహరణకు, వెక్టర్ $\overline(XY)$ని పరిగణించండి. మనకు ఇప్పటికే తెలిసినట్లుగా, అటువంటి వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను ముగింపు బిందువు ($Y$) యొక్క కోఆర్డినేట్‌ల నుండి ప్రారంభ స్థానం ($X$) యొక్క సంబంధిత కోఆర్డినేట్‌లను తీసివేయడం ద్వారా కనుగొనవచ్చు. మేము దానిని పొందుతాము

వెక్టర్స్ మొత్తం. వెక్టర్ పొడవు. ప్రియమైన మిత్రులారా, బ్యాక్ ఎగ్జామ్ రకాల్లో భాగంగా వెక్టర్స్‌తో సమస్యల సమూహం ఉంది. పనులు చాలా ఉన్నాయి విస్తృత(ఇది తెలుసుకోవడం ముఖ్యం సైద్ధాంతిక ఆధారం) చాలా వరకు మౌఖికంగా పరిష్కరించబడతాయి. ప్రశ్నలు వెక్టార్ పొడవు, వెక్టర్స్ మొత్తం (తేడా) మరియు స్కేలార్ ఉత్పత్తిని కనుగొనడానికి సంబంధించినవి. వెక్టర్ కోఆర్డినేట్‌లతో చర్యలను నిర్వహించాల్సిన అనేక పనులు కూడా ఉన్నాయి.

వెక్టర్స్ అంశం చుట్టూ ఉన్న సిద్ధాంతం సంక్లిష్టంగా లేదు మరియు ఇది బాగా అర్థం చేసుకోవాలి. ఈ వ్యాసంలో మేము వెక్టార్ యొక్క పొడవు, అలాగే వెక్టర్స్ మొత్తం (తేడా) కనుగొనడంలో సమస్యలను విశ్లేషిస్తాము. కొన్ని సైద్ధాంతిక అంశాలు:

వెక్టర్ భావన

వెక్టర్ అనేది నిర్దేశిత విభాగం.

ఒకే దిశను కలిగి ఉన్న మరియు పొడవులో సమానంగా ఉండే అన్ని వెక్టర్స్ సమానంగా ఉంటాయి.

*పైన అందించిన నాలుగు వెక్టర్‌లు సమానం!

అంటే, మనం ఉపయోగిస్తే సమాంతర బదిలీమాకు ఇచ్చిన వెక్టర్‌ను తరలించండి, మేము ఎల్లప్పుడూ అసలైన దానికి సమానమైన వెక్టర్‌ని పొందుతాము. అందువలన, సమాన వెక్టర్స్ అనంతమైన సంఖ్యలో ఉండవచ్చు.

వెక్టర్ సంజ్ఞామానం

వెక్టర్‌ను లాటిన్‌తో సూచించవచ్చు పెద్ద అక్షరాలలో, ఉదాహరణకి:

ఈ రకమైన సంజ్ఞామానంతో, మొదట వెక్టార్ యొక్క ప్రారంభాన్ని సూచించే అక్షరం వ్రాయబడుతుంది, తరువాత వెక్టర్ ముగింపును సూచించే అక్షరం.

మరొక వెక్టర్ ఒక అక్షరంతో సూచించబడుతుంది లాటిన్ వర్ణమాల(రాజధాని):

బాణాలు లేకుండా హోదా కూడా సాధ్యమే:

AB మరియు BC అనే రెండు వెక్టర్స్ మొత్తం వెక్టార్ AC అవుతుంది.

ఇది AB + BC = AC అని వ్రాయబడింది.

ఈ నియమం అంటారు - త్రిభుజం నియమం.

అంటే, మనకు రెండు వెక్టర్‌లు ఉంటే – వాటిని సంప్రదాయబద్ధంగా (1) మరియు (2) అని పిలుద్దాం మరియు వెక్టర్ (1) ముగింపు వెక్టర్ (2) ప్రారంభంతో సమానంగా ఉంటే, అప్పుడు ఈ వెక్టర్‌ల మొత్తం వెక్టర్ అవుతుంది. ప్రారంభం వెక్టర్ (1) ప్రారంభంతో సమానంగా ఉంటుంది మరియు ముగింపు వెక్టర్ (2) ముగింపుతో సమానంగా ఉంటుంది.

ముగింపు: మనకు విమానంలో రెండు వెక్టర్స్ ఉంటే, వాటి మొత్తాన్ని మనం ఎల్లప్పుడూ కనుగొనవచ్చు. సమాంతర అనువాదాన్ని ఉపయోగించి, మీరు ఈ వెక్టర్‌లలో దేనినైనా తరలించవచ్చు మరియు దాని ప్రారంభాన్ని మరొక దాని ముగింపుకు కనెక్ట్ చేయవచ్చు. ఉదాహరణకి:

వెక్టార్‌ని కదిలిద్దాం బి, లేదా మరో మాటలో చెప్పాలంటే, సమానమైన దానిని నిర్మిస్తాము:

అనేక వెక్టర్స్ మొత్తం ఎలా కనుగొనబడింది? అదే సూత్రం ప్రకారం:

* * *

సమాంతర చతుర్భుజం నియమం

ఈ నియమం పైన పేర్కొన్నదాని యొక్క పరిణామం.

తో వెక్టర్స్ కోసం సాధారణ ప్రారంభంవాటి మొత్తం ఈ వెక్టర్లపై నిర్మించిన సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వికర్ణం ద్వారా సూచించబడుతుంది.

వెక్టార్‌కు సమానమైన వెక్టర్‌ను నిర్మిస్తాం బితద్వారా దాని ప్రారంభం వెక్టర్ ముగింపుతో సమానంగా ఉంటుంది a, మరియు మేము వాటి మొత్తంగా ఉండే వెక్టర్‌ని నిర్మించగలము:

కొంచెం ఎక్కువ ముఖ్యమైన సమాచారంసమస్యలను పరిష్కరించడానికి అవసరం.

వెక్టర్ అసలైన దానికి సమానమైన పొడవు, కానీ వ్యతిరేక దిశలో కూడా సూచించబడుతుంది కానీ వ్యతిరేక గుర్తును కలిగి ఉంటుంది:

వెక్టర్స్ మధ్య వ్యత్యాసాన్ని కనుగొనడంలో ఉన్న సమస్యలను పరిష్కరించడానికి ఈ సమాచారం చాలా ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది. మీరు చూడగలిగినట్లుగా, వెక్టార్ వ్యత్యాసం సవరించిన రూపంలో అదే మొత్తం.

రెండు వెక్టర్‌లను ఇవ్వనివ్వండి, వాటి వ్యత్యాసాన్ని కనుగొనండి:

మేము వెక్టర్‌ను నిర్మించాము వ్యతిరేక వెక్టర్ b, మరియు తేడాను కనుగొన్నారు.

వెక్టర్ కోఆర్డినేట్లు

వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనడానికి, మీరు ముగింపు కోఆర్డినేట్‌ల నుండి ప్రారంభంలోని సంబంధిత కోఆర్డినేట్‌లను తీసివేయాలి:

అంటే, వెక్టర్ కోఆర్డినేట్లు ఒక జత సంఖ్యలు.

ఉంటే

మరియు వెక్టర్స్ యొక్క కోఆర్డినేట్లు ఇలా కనిపిస్తాయి:

అప్పుడు c 1 = a 1 + b 1 c 2 = a 2 + b 2

ఉంటే

అప్పుడు c 1 = a 1 – b 1 c 2 = a 2 – b 2

వెక్టర్ మాడ్యూల్

వెక్టర్ యొక్క మాడ్యులస్ దాని పొడవు, సూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది:

వెక్టర్ యొక్క ప్రారంభం మరియు ముగింపు యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు తెలిసినట్లయితే దాని పొడవును నిర్ణయించడానికి సూత్రం:

పనులను పరిశీలిద్దాం:

దీర్ఘచతురస్రం ABCD యొక్క రెండు భుజాలు 6 మరియు 8కి సమానంగా ఉంటాయి. వికర్ణాలు పాయింట్ O వద్ద కలుస్తాయి. AO మరియు BO వెక్టర్స్ మధ్య వ్యత్యాసం యొక్క పొడవును కనుగొనండి.

AO-VO ఫలితంగా వచ్చే వెక్టర్‌ను కనుగొనండి:

AO –VO =AO +(–VO )=AB

అంటే, వెక్టర్స్ AO మరియు మధ్య వ్యత్యాసం VO ఒక వెక్టర్ అవుతుంది AB. మరియు దాని పొడవు ఎనిమిది.

రాంబస్ యొక్క వికర్ణాలు ఎ బి సి డి 12 మరియు 16కి సమానం. వెక్టార్ AB + AD పొడవును కనుగొనండి.

AD మరియు AB BC వెక్టార్‌ల మొత్తం వెక్టార్‌ని కనుగొనండి వెక్టర్‌కు సమానంఎ.డి. కాబట్టి AB +AD =AB +BC =AC

AC అనేది రాంబస్ యొక్క వికర్ణం యొక్క పొడవు AC, ఇది 16కి సమానం.

రాంబస్ ABCD యొక్క వికర్ణాలు బిందువు వద్ద కలుస్తాయి ఓమరియు 12 మరియు 16కి సమానం. వెక్టార్ AO + BO పొడవును కనుగొనండి.

AO మరియు VO VO వెక్టార్‌ల మొత్తం వెక్టార్ ODకి సమానమైన వెక్టర్‌ను కనుగొనండి, అంటే

AD అనేది రాంబస్ వైపు పొడవు. హైపోటెన్యూస్‌ను కనుగొనడంలో సమస్య వస్తుంది కుడి త్రిభుజం AOD. కాళ్ళను లెక్కిద్దాం:

పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం ప్రకారం:

రాంబస్ ABCD యొక్క వికర్ణాలు పాయింట్ O వద్ద కలుస్తాయి మరియు 12 మరియు 16కి సమానంగా ఉంటాయి. వెక్టర్ AO - BO యొక్క పొడవును కనుగొనండి.

AO-VO ఫలితంగా వచ్చే వెక్టర్‌ను కనుగొనండి:

AB అనేది రాంబస్ యొక్క ఒక వైపు పొడవు. కుడి త్రిభుజం AOBలో AB హైపోటెన్యూస్‌ని కనుగొనడంలో సమస్య వస్తుంది. కాళ్ళను లెక్కిద్దాం:

పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం ప్రకారం:

వైపులా సరి త్రిభుజం ABC 3కి సమానం.

వెక్టార్ AB-AC పొడవును కనుగొనండి.

వెక్టర్ వ్యత్యాసం యొక్క ఫలితాన్ని కనుగొనండి:

CB అనేది మూడుకి సమానం, ఎందుకంటే త్రిభుజం సమబాహు మరియు దాని భుజాలు 3కి సమానం అని షరతు చెబుతోంది.

27663. వెక్టార్ a (6;8) పొడవును కనుగొనండి.

27664. వెక్టార్ AB యొక్క పొడవు యొక్క వర్గాన్ని కనుగొనండి.

అబ్సిస్సా మరియు ఆర్డినేట్ యాక్సిస్ అంటారు అక్షాంశాలు వెక్టర్. వెక్టర్ కోఆర్డినేట్‌లు సాధారణంగా రూపంలో సూచించబడతాయి (x, y), మరియు వెక్టార్ కూడా ఇలా ఉంటుంది: =(x, y).

రెండు-డైమెన్షనల్ సమస్యల కోసం వెక్టర్ కోఆర్డినేట్‌లను నిర్ణయించడానికి ఫార్ములా.

ఎప్పుడు రెండు డైమెన్షనల్ సమస్యప్రసిద్ధ తో వెక్టర్ పాయింట్ల కోఆర్డినేట్లు A(x 1;y 1)మరియు B(x 2 ; వై 2 ) లెక్కించవచ్చు:

= (x 2 - x 1; y 2 - y 1).

ప్రాదేశిక సమస్యల కోసం వెక్టార్ కోఆర్డినేట్‌లను నిర్ణయించే ఫార్ములా.

ఎప్పుడు ప్రాదేశిక సమస్యప్రసిద్ధ తో వెక్టర్ పాయింట్ల కోఆర్డినేట్లుఎ (x 1;y 1;z 1 ) మరియు బి (x 2 ; వై 2 ; z 2 ) సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించవచ్చు:

= (x 2 - x 1 ; వై 2 - వై 1 ; z 2 - z 1 ).

కోఆర్డినేట్లు ఇవ్వబడ్డాయి సమగ్ర వివరణవెక్టర్, కోఆర్డినేట్‌లను ఉపయోగించి వెక్టర్‌ను నిర్మించడం సాధ్యమవుతుంది కాబట్టి. కోఆర్డినేట్‌లను తెలుసుకోవడం, లెక్కించడం సులభం మరియు వెక్టర్ పొడవు. (క్రింద ఉన్న ఆస్తి 3).

వెక్టర్ కోఆర్డినేట్ల లక్షణాలు.

1. ఏదైనా సమాన వెక్టర్స్వి ఏకీకృత వ్యవస్థకోఆర్డినేట్‌లు ఉన్నాయి సమాన కోఆర్డినేట్లు.

2. కోఆర్డినేట్లు కొలినియర్ వెక్టర్స్ దామాషా. వెక్టార్లలో ఏదీ సున్నా కాదని అందించబడింది.

3. ఏదైనా వెక్టర్ యొక్క పొడవు యొక్క స్క్వేర్ మొత్తానికి సమానందాన్ని చతురస్రం అక్షాంశాలు.

4. శస్త్రచికిత్స సమయంలో వెక్టర్ గుణకారంపై వాస్తవ సంఖ్యదాని ప్రతి కోఆర్డినేట్ ఈ సంఖ్యతో గుణించబడుతుంది.

5. వెక్టార్లను జోడించేటప్పుడు, మేము సంబంధిత మొత్తాన్ని లెక్కిస్తాము వెక్టర్ కోఆర్డినేట్లు.

6. స్కేలార్ ఉత్పత్తిరెండు వెక్టర్స్ వాటి సంబంధిత కోఆర్డినేట్ల ఉత్పత్తుల మొత్తానికి సమానం.