మెటీరియల్ పాయింట్ రెక్టిలినియర్ చట్టం ప్రకారం కదులుతుంది. సైన్స్ యొక్క వివిధ రంగాల నుండి అనేక నిర్దిష్ట సమస్యలు

− టీచర్ డుంబాడ్జే V.A.
సెయింట్ పీటర్స్‌బర్గ్‌లోని కిరోవ్ జిల్లా 162వ పాఠశాల నుండి.

మా VKontakte సమూహం
మొబైల్ అప్లికేషన్లు:

(ఎక్కడ x t- కదలిక ప్రారంభం నుండి సెకన్లలో సమయం కొలుస్తారు). సమయం సమయంలో దాని వేగాన్ని (m/sలో) కనుగొనండి t= 9 సె.

వద్ద t= 9 లు మనకు ఉన్నాయి:

అసలు సమీకరణం నుండి మనం 17 సంఖ్యను ఎందుకు వదిలివేస్తున్నాము?

అసలు ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి.

ఉత్పన్నంలో 17 సంఖ్య లేదు

ఉత్పన్నాన్ని ఎందుకు కనుగొనాలి?

వేగం అనేది సమయానికి సంబంధించి కోఆర్డినేట్ యొక్క ఉత్పన్నం.

సమస్య వేగాన్ని కనుగొనమని మిమ్మల్ని అడుగుతుంది

x- మీటర్లలో రిఫరెన్స్ పాయింట్ నుండి దూరం, t- కదలిక ప్రారంభం నుండి సెకన్లలో సమయం కొలుస్తారు). సమయం సమయంలో దాని వేగాన్ని (m/s) కనుగొనండి t= 6 సె.

వేగ మార్పు నియమాన్ని కనుగొనండి:

(6)=3/2*36-6*6+2=54-38=16, 20 కాదు

విధానాన్ని గుర్తుంచుకోండి

తీసివేత కంటే కూడిక ఎప్పటి నుంచి మంచిది?

కూడిక మరియు తీసివేత కంటే గుణకారానికి ప్రాధాన్యత ఉంటుంది. పిల్లలను గుర్తుంచుకో పాఠశాల ఉదాహరణ: 2 + 2 · 2. కొంతమంది అనుకుంటున్నట్లుగా ఇక్కడ అది 8 కాదు, 6 అని నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను.

అతిథి సమాధానం మీకు అర్థం కాలేదు.

1,5*36 — 6*6 + 2 = 54 — 36 + 2 = 18 + 2 = 20.

కాబట్టి ప్రతిదీ సరైనది, మీ కోసం గణితాన్ని చేయండి.

2) గుణకారం/విభజన (సమీకరణంలోని క్రమాన్ని బట్టి ఉంటుంది; ఏది ముందుగా వస్తుంది అనేది ముందుగా పరిష్కరించబడుతుంది);

3) కూడిక/వ్యవకలనం (ఉదాహరణలోని క్రమం మీద కూడా ఆధారపడి ఉంటుంది).

గుణకారం = భాగహారం, కూడిక = తీసివేత =>

54 కాదు - (36+2), కానీ 54-36+2 = 54+2-36 = 20

మొదట, మీ కోసం - సెర్గీ బాట్కోవిచ్. రెండవది, మీరు ఏమి చెప్పాలనుకుంటున్నారో మరియు ఎవరికి చెప్పాలనుకుంటున్నారో మీకు అర్థమైందా? నేను నిన్ను అర్థం చేసుకోలేదు.

మెటీరియల్ పాయింట్ చట్టం ప్రకారం రెక్టిలీనియర్‌గా కదులుతుంది (ఇక్కడ x అనేది మీటర్‌లలోని రిఫరెన్స్ పాయింట్ నుండి దూరం, t అనేది కదలిక ప్రారంభం నుండి కొలవబడిన సెకన్లలో సమయం). s సమయంలో దాని వేగాన్ని (m/s) లో కనుగొనండి.

వేగ మార్పు నియమాన్ని కనుగొనండి: m/s. మనకు ఉన్నప్పుడు:

అంశంపై పాఠం: "భేదం యొక్క నియమాలు", 11 వ తరగతి

విభాగాలు:గణితం

పాఠం రకం: జ్ఞానం యొక్క సాధారణీకరణ మరియు క్రమబద్ధీకరణ.

పాఠ్య లక్ష్యాలు:

విద్యాపరమైన:
- ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనే అంశంపై పదార్థాన్ని సాధారణీకరించండి మరియు క్రమబద్ధీకరించండి;
- భేదం యొక్క నియమాలను ఏకీకృతం చేయండి;
- విద్యార్థులకు పాలిటెక్నిక్ మరియు టాపిక్ యొక్క అనువర్తిత ప్రాముఖ్యతను తెలియజేయండి;
అభివృద్ధి చెందుతున్న:
- జ్ఞానం మరియు నైపుణ్యాల సముపార్జనపై నియంత్రణ వ్యాయామం;
- మారిన పరిస్థితిలో జ్ఞానాన్ని వర్తించే సామర్థ్యాన్ని అభివృద్ధి చేయండి మరియు మెరుగుపరచండి;
- ప్రసంగం యొక్క సంస్కృతిని మరియు ముగింపులు మరియు సాధారణీకరించే సామర్థ్యాన్ని అభివృద్ధి చేయండి;
విద్యా:
- అభిజ్ఞా ప్రక్రియను అభివృద్ధి చేయండి;
- రూపకల్పన మరియు సంకల్పంలో విద్యార్థులలో ఖచ్చితత్వాన్ని పెంపొందించడం.

సామగ్రి:

ఓవర్ హెడ్ ప్రొజెక్టర్, స్క్రీన్;
కార్డులు;
కంప్యూటర్లు;
పట్టిక;
మల్టీమీడియా ప్రదర్శనల రూపంలో విభిన్న పనులు.

I. హోంవర్క్‌ని తనిఖీ చేస్తోంది.

1. ఉత్పన్నాల ఉపయోగం యొక్క ఉదాహరణలపై విద్యార్థి నివేదికలను వినండి.

2. విద్యార్థులు ప్రతిపాదించిన భౌతిక శాస్త్రం, రసాయన శాస్త్రం, ఇంజనీరింగ్ మరియు ఇతర రంగాలలో ఉత్పన్నాల ఉపయోగం యొక్క ఉదాహరణలను పరిగణించండి.

II. జ్ఞానాన్ని నవీకరిస్తోంది.

ఉపాధ్యాయుడు:

ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని నిర్వచించండి.
ఏ ఆపరేషన్ డిఫరెన్సియేషన్ అంటారు?
ఉత్పన్నాన్ని లెక్కించేటప్పుడు ఏ భేద నియమాలు ఉపయోగించబడతాయి? (కోరుకున్న విద్యార్థులు బోర్డుకు రావాలని ఆహ్వానించబడ్డారు).
- మొత్తం యొక్క ఉత్పన్నం;
- పని యొక్క ఉత్పన్నం;
- స్థిరమైన కారకాన్ని కలిగి ఉన్న ఉత్పన్నం;
- గుణకం యొక్క ఉత్పన్నం;
- సంక్లిష్ట ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం;
ఉదాహరణలు ఇవ్వండి దరఖాస్తు సమస్యలు, ఉత్పన్నం అనే భావనకు దారితీసింది.

నుండి అనేక ప్రత్యేక సమస్యలు వివిధ ప్రాంతాలుసైన్స్

పని సంఖ్య 1. x(t) చట్టం ప్రకారం శరీరం సరళ రేఖలో కదులుతుంది. t సమయంలో శరీరం యొక్క వేగం మరియు త్వరణాన్ని కనుగొనడానికి సూత్రాన్ని వ్రాయండి.

పని సంఖ్య 2. R వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం R = 4 + 2t 2 చట్టం ప్రకారం మారుతుంది. దాని ప్రాంతం మారే రేటును నిర్ణయించండి విక్షణం t = 2 సె. వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం సెంటీమీటర్లలో కొలుస్తారు. సమాధానం: 603 సెం.మీ 2 / సె.

పని సంఖ్య 3. 5 కిలోల ద్రవ్యరాశి కలిగిన మెటీరియల్ పాయింట్ చట్టం ప్రకారం రెక్టిలినియర్‌గా కదులుతుంది

S(t) = 2t+, ఎక్కడ ఎస్- మీటర్లలో దూరం, t- సెకన్లలో సమయం. ఈ సమయంలో పాయింట్‌పై పనిచేసే శక్తిని కనుగొనండి t = 4 సె.

సమాధానం:ఎన్.

పని సంఖ్య 4.బ్రేక్ చేత పట్టుకున్న ఫ్లైవీల్ వెనుకకు మారుతుంది t లు 3t - 0.1t 2 (రాడ్) కోణంలో. కనుగొనండి:

a) క్షణం t వద్ద ఫ్లైవీల్ యొక్క భ్రమణ కోణీయ వేగం = 7 తో;
బి) ఫ్లైవీల్ ఏ సమయంలో ఆగిపోతుంది.

సమాధానం:ఎ) 2.86; బి) 150 సె.

ఉత్పన్నాలను ఉపయోగించే ఉదాహరణలు కనుగొనడంలో సమస్యలను కూడా కలిగి ఉంటాయి: నిర్దిష్ట ఉష్ణ సామర్థ్యంపదార్థాలు ఇచ్చిన శరీరం, శరీరం యొక్క సరళ సాంద్రత మరియు గతి శక్తి మొదలైనవి.

III. ప్రదర్శన విభిన్న పనులు.

లెవెల్ "A" టాస్క్‌లను పూర్తి చేయాలనుకునే వారు కంప్యూటర్ వద్ద కూర్చుని ప్రోగ్రామ్ చేసిన సమాధానంతో పరీక్షను పూర్తి చేయండి. ( అప్లికేషన్. )

1. x 0 = 3 పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం యొక్క విలువను కనుగొనండి.

2. x 0 = 1 పాయింట్ వద్ద y = xe x ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం యొక్క విలువను కనుగొనండి.

1) 2e;
2) ఇ;
3) 1 + ఇ;
4) 2 + ఇ.

3. f (x) = (3x 2 + 1)(3x 2 – 1) అయితే f / (x) = 0 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.

1) ;
2) 2;
3) ;
4) 0.

4. f(x) = (x 2 + 1)(x 3 – x) అయితే f/(1)ని లెక్కించండి.

5. t0 = 1 పాయింట్ వద్ద f(t) = (t4 – 3)(t2 + 2) ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం యొక్క విలువను కనుగొనండి.

6. పాయింట్ చట్టం ప్రకారం రెక్టిలీనియర్‌గా కదులుతుంది: S(t) = t 3 – 3t 2. t సమయంలో ఈ పాయింట్ యొక్క కదలిక వేగాన్ని పేర్కొనే సూత్రాన్ని ఎంచుకోండి.

1) t 2 - 2t;
2) 3t 2 - 3t;
3) 3t 2 - 6t;
4) t 3 + 6t.

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

భౌతికశాస్త్రం, సాంకేతికత, జీవశాస్త్రం, జీవితంలో ఉత్పన్నాల అప్లికేషన్

పాఠం కోసం ప్రదర్శన

శ్రద్ధ! స్లయిడ్ ప్రివ్యూలు సమాచార ప్రయోజనాల కోసం మాత్రమే మరియు ప్రదర్శన యొక్క అన్ని లక్షణాలను సూచించకపోవచ్చు. మీకు ఆసక్తి ఉన్నట్లయితే ఈ పని, దయచేసి పూర్తి వెర్షన్‌ను డౌన్‌లోడ్ చేయండి.

పాఠం రకం:ఇంటిగ్రేటెడ్.

పాఠం యొక్క ఉద్దేశ్యం:భౌతిక శాస్త్రం, రసాయన శాస్త్రం మరియు జీవశాస్త్రం యొక్క వివిధ రంగాలలో ఉత్పన్నాల అప్లికేషన్ యొక్క కొన్ని అంశాలను అధ్యయనం చేయండి.

పనులు:ఒకరి పరిధులను విస్తరించడం మరియు అభిజ్ఞా కార్యకలాపాలువిద్యార్థులు, అభివృద్ధి తార్కిక ఆలోచనమరియు వారి జ్ఞానాన్ని వర్తించే సామర్థ్యం.

సాంకేతిక మద్దతు: ఇంటరాక్టివ్ బోర్డు; కంప్యూటర్ మరియు డిస్క్.

I. సంస్థాగత క్షణం

II. పాఠ్య లక్ష్యాన్ని నిర్దేశించడం

- సోవియట్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు మరియు షిప్‌బిల్డర్ అయిన అలెక్సీ నికోలెవిచ్ క్రిలోవ్ యొక్క నినాదంతో నేను ఒక పాఠాన్ని నిర్వహించాలనుకుంటున్నాను: "అభ్యాసం లేని సిద్ధాంతం చనిపోయినది లేదా పనికిరానిది, సిద్ధాంతం లేని అభ్యాసం అసాధ్యం లేదా హానికరం."

- ప్రాథమిక భావనలను సమీక్షించి, ప్రశ్నలకు సమాధానమివ్వండి:

– ఉత్పన్నం యొక్క ప్రాథమిక నిర్వచనం చెప్పండి?
– ఉత్పన్నం (గుణాలు, సిద్ధాంతాలు) గురించి మీకు ఏమి తెలుసు?
– ఫిజిక్స్, మ్యాథమెటిక్స్ మరియు బయాలజీలో డెరివేటివ్స్ ఉపయోగించి సమస్యలకు ఉదాహరణలు ఏమైనా తెలుసా?

ఉత్పన్నం యొక్క ప్రాథమిక నిర్వచనం మరియు దాని హేతుబద్ధత (మొదటి ప్రశ్నకు సమాధానం):

ఉత్పన్నం - గణితశాస్త్రం యొక్క ప్రాథమిక భావనలలో ఒకటి. ఉత్పన్నాలను ఉపయోగించి సమస్యలను పరిష్కరించగల సామర్థ్యం అవసరం మంచి జ్ఞానం సైద్ధాంతిక పదార్థం, వివిధ పరిస్థితులలో పరిశోధన నిర్వహించే సామర్థ్యం.

అందువల్ల, ఈ రోజు పాఠంలో మేము పొందిన జ్ఞానాన్ని ఏకీకృతం చేస్తాము మరియు క్రమబద్ధీకరిస్తాము, ప్రతి సమూహం యొక్క పనిని పరిశీలిస్తాము మరియు మూల్యాంకనం చేస్తాము మరియు కొన్ని సమస్యల ఉదాహరణను ఉపయోగించి, ఉత్పన్నం మరియు ఇతర సమస్యలను ఎలా పరిష్కరించాలో చూపుతాము. ప్రామాణికం కాని పనులుఉత్పన్నాలను ఉపయోగించడం.

III. కొత్త పదార్థం యొక్క వివరణ

1. తక్షణ శక్తి అనేది సమయానికి సంబంధించి పని యొక్క ఉత్పన్నం:

W = లిమ్ ΔA/Δt ΔA -ఉద్యోగ మార్పు.

2. శరీరం ఒక అక్షం చుట్టూ తిరుగుతుంటే, అప్పుడు భ్రమణ కోణం సమయం యొక్క విధి t
అప్పుడు కోణీయ వేగంసమానముగా:

W = లిమ్ Δφ/Δt = φ׳(t) Δ t → 0

3. ప్రస్తుత బలం ఒక ఉత్పన్నం Ι = లిమ్ Δg/Δt = g′,ఎక్కడ g- ధనాత్మక విద్యుత్ ఛార్జ్ సమయంలో కండక్టర్ యొక్క క్రాస్ సెక్షన్ ద్వారా బదిలీ చేయబడుతుంది Δt.

4. లెట్ ΔQ- ఉష్ణోగ్రతను మార్చడానికి అవసరమైన వేడి మొత్తం Δtసమయం, అప్పుడు లిమ్ ΔQ/Δt = Q′ = C –నిర్దిష్ట వేడి.

5. రసాయన ప్రతిచర్య రేటు గురించి సమస్య

m(t) – m(t0) –కాలక్రమేణా ప్రతిస్పందించే పదార్ధం మొత్తం t0ముందు t

V= లిమ్ Δm/Δt = m Δt → 0

6. m ద్రవ్యరాశిగా ఉండనివ్వండి రేడియోధార్మిక పదార్థం. రేడియోధార్మిక క్షయం రేటు: V = లిమ్ Δm/Δt = m׳(t) Δt→0

విభిన్న రూపంలో, రేడియోధార్మిక క్షయం యొక్క నియమం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది: dN/dt = – λN,ఎక్కడ ఎన్- సమయం క్షీణించని కేంద్రకాల సంఖ్య t.

ఈ వ్యక్తీకరణను సమగ్రపరచడం, మేము పొందుతాము: dN/N = – λdt ∫dN/N = – λ∫dt lnN = – λt + c, c = constవద్ద t = 0రేడియోధార్మిక కేంద్రకాల సంఖ్య N = N0, ఇక్కడ నుండి మేము కలిగి ఉన్నాము: ln N0 = const,అందుకే

n N = – λt + ln N0.

ఈ వ్యక్తీకరణను శక్తివంతం చేయడం ద్వారా మనం పొందుతాము:

- రేడియోధార్మిక క్షయం యొక్క చట్టం, ఎక్కడ N0- ఒక సమయంలో కోర్ల సంఖ్య t0 = 0, N- సమయంలో క్షీణించని కేంద్రకాల సంఖ్య t.

7. న్యూటన్ యొక్క ఉష్ణ బదిలీ సమీకరణం ప్రకారం, ఉష్ణ ప్రవాహం రేటు dQ/dtవిండో ప్రాంతం Sకి నేరుగా అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది మరియు లోపలి మరియు బయటి గాజుల మధ్య ఉష్ణోగ్రత వ్యత్యాసం ΔT మరియు దాని మందం dకి విలోమానుపాతంలో ఉంటుంది:

dQ/dt =A S/d ΔT

8. వ్యాప్తి యొక్క దృగ్విషయం సమతౌల్య పంపిణీని స్థాపించే ప్రక్రియ

ఏకాగ్రత దశల్లో. వ్యాప్తి వైపుకు వెళుతుంది, సాంద్రతలను సమం చేస్తుంది.

m = D Δc/Δx c –ఏకాగ్రత
m = D c׳x x –సమన్వయం, D -వ్యాప్తి గుణకం

9. ఎలక్ట్రిక్ ఫీల్డ్ రెచ్చిపోతుందని తెలిసింది విద్యుత్ ఛార్జీలు, లేదా ఒకే మూలాన్ని కలిగి ఉన్న అయస్కాంత క్షేత్రం - విద్యుత్ ప్రవాహం. జేమ్స్ క్లార్క్ మాక్స్వెల్ తన ముందు కనుగొనబడిన విద్యుదయస్కాంత సూత్రాలకు ఒక సవరణను ప్రవేశపెట్టాడు: మార్పు వచ్చినప్పుడు అయస్కాంత క్షేత్రం కూడా పుడుతుంది విద్యుత్ క్షేత్రం. ఒక చిన్న సవరణ అపారమైన పరిణామాలను కలిగి ఉంది: పూర్తిగా కొత్తది భౌతిక వస్తువు – విద్యుదయస్కాంత తరంగం. మాక్స్వెల్ అద్భుతంగా, ఫెరడే వలె కాకుండా, దాని ఉనికి సాధ్యమేనని భావించాడు, విద్యుత్ క్షేత్రానికి సమీకరణాన్ని రూపొందించాడు:

∂E/∂x = M∂B/Mo ∂t Mo = const t

విద్యుత్ క్షేత్రంలో మార్పు రూపాన్ని కలిగిస్తుంది అయిస్కాంత క్షేత్రంఅంతరిక్షంలో ఏ సమయంలోనైనా, మరో మాటలో చెప్పాలంటే, విద్యుత్ క్షేత్రం యొక్క మార్పు రేటు అయస్కాంత క్షేత్రం యొక్క పరిమాణాన్ని నిర్ణయిస్తుంది. పెద్ద కింద విద్యుదాఘాతం- ఎక్కువ అయస్కాంత క్షేత్రం.

IV. నేర్చుకున్నదానిని ఏకీకృతం చేయడం

– మీరు మరియు నేను ఉత్పన్నం మరియు దాని లక్షణాలను అధ్యయనం చేసాము. నేను చదవాలనుకుంటున్నాను తాత్విక ప్రకటనగిల్బర్ట్: “ప్రతి వ్యక్తికి ఒక నిర్దిష్ట దృక్పథం ఉంటుంది. ఈ హోరిజోన్ అనంతమైన స్థాయికి తగ్గినప్పుడు, అది ఒక బిందువుగా మారుతుంది. అప్పుడు ఆ వ్యక్తి ఇదే తన దృక్కోణం అని అంటాడు.”
ఉత్పన్నం యొక్క అనువర్తనంపై దృక్కోణాన్ని కొలవడానికి ప్రయత్నిద్దాం!

"ఆకు" యొక్క ప్లాట్లు(జీవశాస్త్రం, భౌతిక శాస్త్రం, జీవితంలో ఉత్పన్నం యొక్క ఉపయోగం)

పతనంగా పరిగణించండి అసమాన ఉద్యమంసమయం ఆధారపడి ఉంటుంది.

కాబట్టి: S = S(t) V = S′(t) = x′(t), a = V′(t) = S″(t)

(సైద్ధాంతిక సర్వే: యాంత్రిక భావంఉత్పన్నం).

1. సమస్య పరిష్కారం

సమస్యలను మీరే పరిష్కరించుకోండి.

2. F = ma F = mV′ F = mS″

మేము పోర్టన్ యొక్క II నియమాన్ని వ్రాస్దాము మరియు ఉత్పన్నం యొక్క యాంత్రిక అర్థాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకుని, మేము దానిని రూపంలో తిరిగి వ్రాస్తాము: F = mV′ F = mS″

"తోడేళ్ళు, గోఫర్లు" యొక్క ప్లాట్లు

సమీకరణాలకు తిరిగి వెళ్దాం: ఘాతాంక పెరుగుదల మరియు తగ్గుదల యొక్క అవకలన సమీకరణాలను పరిగణించండి: F = ma F = mV’ F = mS"
అనేక భౌతిక సమస్యలను పరిష్కరించడం, సాంకేతిక జీవశాస్త్రంమరియు సామాజిక శాస్త్రాలుఫంక్షన్‌లను కనుగొనే సమస్యకు తగ్గించబడ్డాయి f"(x) = kf(x),అవకలన సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరచడం, ఎక్కడ k = స్థిరత్వం .

మానవ సూత్రం

ఒక వ్యక్తి అణువు కంటే అనేక రెట్లు పెద్దవాడు, అతను నక్షత్రం కంటే చిన్నవాడు:

ఇది దాన్ని అనుసరిస్తుంది
ఇది విశ్వంలో మనిషి స్థానాన్ని నిర్ణయించే సూత్రం. దానికి అనుగుణంగా, ఒక వ్యక్తి యొక్క పరిమాణం నక్షత్రం మరియు అణువు యొక్క సగటు అనుపాతాన్ని సూచిస్తుంది.

నేను లోబాచెవ్స్కీ మాటలతో పాఠాన్ని ముగించాలనుకుంటున్నాను: "గణితంలో ఒక్క ప్రాంతం కూడా లేదు, అది ఎంత నైరూప్యమైనప్పటికీ, ఏదో ఒక రోజు వాస్తవ ప్రపంచంలోని దృగ్విషయాలకు వర్తించదు."

వి. సేకరణ నుండి సంఖ్యల పరిష్కారం:

బోర్డులో స్వతంత్ర సమస్య పరిష్కారం, సమస్య పరిష్కారాల సామూహిక విశ్లేషణ:

№ 1 కదలిక వేగాన్ని కనుగొనండి పదార్థం పాయింట్ 3వ సెకను చివరిలో, పాయింట్ యొక్క కదలిక s = t^2 –11t + 30 సమీకరణం ద్వారా ఇవ్వబడినట్లయితే.

№ 2 పాయింట్ s = 6t - t^2 చట్టం ప్రకారం రెక్టిలీనియర్‌గా కదులుతుంది. ఏ క్షణంలో దాని వేగం ఉంటుంది సున్నాకి సమానం?

№ 3 రెండు శరీరాలు రెక్టిలీనియర్‌గా కదులుతాయి: ఒకటి s = t^3 – t^2 – 27t, మరొకటి చట్టం s = t^2 + 1 ప్రకారం. ఈ శరీరాల వేగాలు సమానంగా మారే క్షణాన్ని నిర్ణయించండి. .

№ 4 30 m/s వేగంతో కదులుతున్న కారు కోసం, బ్రేకింగ్ దూరం ఫార్ములా s(t) = 30t-16t^2 ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది, ఇక్కడ s(t) అనేది మీటర్లలో దూరం, t అనేది సెకన్లలో బ్రేకింగ్ సమయం . కారు పూర్తిగా ఆగిపోయే వరకు బ్రేక్ చేయడానికి ఎంత సమయం పడుతుంది? ఏది దూరం వెళ్తుందిబ్రేకింగ్ ప్రారంభం నుండి పూర్తిగా ఆగిపోయే వరకు కారు?

№5 8 కిలోల ద్రవ్యరాశి కలిగిన శరీరం s = 2t^2+ 3t – 1 చట్టం ప్రకారం రెక్టిలీనియర్‌గా కదులుతుంది. గతి శక్తిశరీరం (mv^2/2) కదలిక ప్రారంభమైన 3 సెకన్ల తర్వాత.

పరిష్కారం: వేగాన్ని కనుక్కోండిఏ సమయంలోనైనా శరీర కదలికలు:
V = ds / dt = 4t + 3
శరీరం యొక్క వేగాన్ని t = 3 సమయంలో గణిద్దాం:
V t=3 = 4 * 3 + 3=15 (m/s).
t = 3 సమయంలో శరీరం యొక్క గతి శక్తిని నిర్ధారిద్దాం:
mv2/2 = 8 – 15^2/2 = 900 (J).

№6 కదలిక ప్రారంభమైన 4 సెకన్ల తర్వాత శరీరం యొక్క గతి శక్తిని కనుగొనండి, దాని ద్రవ్యరాశి 25 కిలోలు, మరియు చలన నియమం s = 3t^2- 1 రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

№7 30 కిలోల ద్రవ్యరాశి ఉన్న శరీరం s = 4t^2 + t చట్టం ప్రకారం రెక్టిలీనియర్‌గా కదులుతుంది. శరీరం యొక్క కదలిక చర్యలో జరుగుతుందని నిరూపించండి స్థిరమైన శక్తి.
పరిష్కారం: మనకు s’ = 8t + 1, s” = 8. కాబట్టి, a(t) = 8 (m/s^2), అంటే, ఈ చలన నియమంతో, శరీరం దీనితో కదులుతుంది స్థిరమైన త్వరణం 8 మీ/సె^2. ఇంకా, శరీరం యొక్క ద్రవ్యరాశి స్థిరంగా ఉంటుంది (30 కిలోలు), అప్పుడు, న్యూటన్ యొక్క రెండవ నియమం ప్రకారం, దానిపై పనిచేసే శక్తి F = ma = 30 * 8 = 240 (H) కూడా స్థిరమైన విలువ.

№8 3 కిలోల బరువున్న శరీరం s(t) = t^3 - 3t^2 + 2 ప్రకారం రెక్టిలీనియర్‌గా కదులుతుంది. t = 4s సమయంలో శరీరంపై పనిచేసే శక్తిని కనుగొనండి.

№9 s = 2t^3 – 6t^2 + 4t చట్టం ప్రకారం మెటీరియల్ పాయింట్ కదులుతుంది. 3వ సెకను చివరిలో దాని త్వరణాన్ని కనుగొనండి.

VI. గణితంలో ఉత్పన్నం యొక్క అప్లికేషన్:

గణితంలో ఉత్పన్నం చూపిస్తుంది సంఖ్యా వ్యక్తీకరణవివిధ పరిస్థితుల ప్రభావంతో ఒకే పాయింట్ వద్ద ఉన్న పరిమాణం యొక్క మార్పు స్థాయి.

ఉత్పన్న సూత్రం 15వ శతాబ్దం నాటిది. గొప్ప ఇటాలియన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు టార్టాగ్లీ, ఒక ప్రక్షేపకం యొక్క విమాన పరిధి తుపాకీ వంపుపై ఎంత ఆధారపడి ఉంటుంది అనే ప్రశ్నను పరిగణనలోకి తీసుకొని అభివృద్ధి చేశాడు, దానిని తన రచనలలో వర్తింపజేస్తాడు.

ఉత్పన్న సూత్రం తరచుగా రచనలలో కనిపిస్తుంది ప్రసిద్ధ గణిత శాస్త్రజ్ఞులు 17 వ శతాబ్దం. దీనిని న్యూటన్ మరియు లీబ్నిజ్ ఉపయోగించారు.

ప్రసిద్ధ శాస్త్రవేత్త గెలీలియో గెలీలీ గణితంలో ఉత్పన్నాల పాత్రపై పూర్తి గ్రంథాన్ని అంకితం చేశారు. డెస్కార్టెస్, ఫ్రెంచ్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు రాబర్వాల్ మరియు ఆంగ్లేయుడు గ్రెగొరీ రచనలలో ఉత్పన్నం మరియు దాని అప్లికేషన్‌తో వివిధ ప్రదర్శనలు కనుగొనబడ్డాయి. ఉత్పన్నం యొక్క అధ్యయనానికి L'Hopital, Bernoulli, Langrange మరియు ఇతరుల ద్వారా గొప్ప సహకారం అందించబడింది.

1. గ్రాఫ్‌ను ప్లాట్ చేసి, ఫంక్షన్‌ను పరిశీలించండి:

ఈ సమస్యకు పరిష్కారం:

ఒక క్షణం విశ్రాంతి

VII. భౌతిక శాస్త్రంలో ఉత్పన్నం యొక్క అప్లికేషన్:

కొన్ని ప్రక్రియలు మరియు దృగ్విషయాలను అధ్యయనం చేస్తున్నప్పుడు, ఈ ప్రక్రియల వేగాన్ని నిర్ణయించే పని తరచుగా తలెత్తుతుంది. దీని పరిష్కారం ఉత్పన్నం యొక్క భావనకు దారి తీస్తుంది, ఇది ప్రధాన భావన అవకలన కాలిక్యులస్.

అవకలన కాలిక్యులస్ పద్ధతి 17వ మరియు 18వ శతాబ్దాలలో సృష్టించబడింది. ఇద్దరు గొప్ప గణిత శాస్త్రజ్ఞుల పేర్లు - I. న్యూటన్ మరియు G.V. - ఈ పద్ధతి యొక్క ఆవిర్భావంతో ముడిపడి ఉన్నాయి. లీబ్నిజ్.

న్యూటన్ ఒక పదార్థ బిందువు యొక్క కదలిక వేగం గురించి సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు అవకలన కాలిక్యులస్‌ను కనుగొన్నాడు. ఈ క్షణంసమయం (తక్షణ వేగం).

భౌతిక శాస్త్రంలో, ఉత్పన్నం ప్రధానంగా అతిపెద్ద లేదా లెక్కించేందుకు ఉపయోగించబడుతుంది అత్యల్ప విలువలుఏదైనా పరిమాణాలు.

№1 సంభావ్య శక్తి యుఒక కణం యొక్క క్షేత్రం, దానిలో మరొకటి ఉంటుంది, సరిగ్గా అదే కణం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది: U = a/r 2 – బి/ఆర్, ఎక్కడ aమరియు బి- సానుకూల స్థిరాంకాలు, ఆర్- కణాల మధ్య దూరం. కనుగొను: ఎ) విలువ r0కణం యొక్క సమతౌల్య స్థానానికి అనుగుణంగా; బి) ఈ పరిస్థితి స్థిరంగా ఉందో లేదో తెలుసుకోండి; V) Fmaxఆకర్షణ శక్తి యొక్క విలువ; d) వర్ణించండి నమూనా గ్రాఫ్‌లుఆధారపడటం U(r)మరియు F(r).

ఈ సమస్యకు పరిష్కారం: గుర్తించడానికి r0మేము అధ్యయనం చేసే కణం యొక్క సమతౌల్య స్థితికి అనుగుణంగా ఉంటుంది f = U(r)తీవ్రస్థాయికి.

ఫీల్డ్ యొక్క సంభావ్య శక్తి మధ్య కనెక్షన్‌ని ఉపయోగించడం

యుమరియు ఎఫ్, అప్పుడు F = – dU/dr, మాకు దొరికింది F = – dU/dr = – (2a/r3+ b/r2) = 0; ఇందులో r = r0; 2a/r3 = b/r2 => r0 = 2a/b; స్థిరమైన లేదా అస్థిర సమతుల్యతమేము రెండవ ఉత్పన్నం యొక్క సంకేతం ద్వారా నిర్ణయిస్తాము:
d2U/dr02= dF/dr0 = – 6a/r02 + 2b/r03 = – 6a/(2a/b)4 + 2b/(2a/b)3 = (– b4/8a3) 2 = FM / (M + µt ) 2

నిండిన ప్లాట్‌ఫారమ్ నుండి ఇసుక చిందినప్పుడు కేసును పరిగణించండి.
స్వల్ప వ్యవధిలో ఊపందుకున్న మార్పు:
Δ p = (M – µ(t + Δ t))(u+ Δ u) +Δ µtu – (M – µt)u = FΔ t
పదం Δ µtuΔ సమయంలో ప్లాట్‌ఫారమ్ నుండి పోయబడిన ఇసుక మొత్తం యొక్క ప్రేరణ t.అప్పుడు:
Δ p = MΔ u - µtΔ మీరు - Δ µtΔ u = FΔ t
Δ ద్వారా భాగించండి tమరియు పరిమితికి వెళ్లండి Δ t → 0
(M – µt)du/dt = F
లేదా a1= du/dt= F/(M – µt)

సమాధానం: a = FM / (M + µt) 2 , a1= F/(M – µt)

VIII. స్వతంత్ర పని:

ఫంక్షన్ల ఉత్పన్నాలను కనుగొనండి:

సరళ రేఖ y = 2x ఫంక్షన్‌కు టాంజెంట్: y = x 3 + 5x 2 + 9x + 3. టాంజెన్సీ బిందువు యొక్క అబ్సిస్సాను కనుగొనండి.

IX. పాఠాన్ని సంగ్రహించడం:

- పాఠం ఏ ప్రశ్నలకు అంకితం చేయబడింది?
- మీరు పాఠంలో ఏమి నేర్చుకున్నారు?
- పాఠంలో ఏ సైద్ధాంతిక వాస్తవాలు సంగ్రహించబడ్డాయి?
- ఏ పనులు చాలా కష్టంగా మారాయి? ఎందుకు?

గ్రంథ పట్టిక:

అమెల్కిన్ V.V., సడోవ్స్కీ A.P. గణిత నమూనాలుమరియు అవకలన సమీకరణాలు. - మిన్స్క్: పట్టబద్రుల పాటశాల, 1982. – 272 పే.
అమెల్కిన్ V.V.అప్లికేషన్లలో అవకలన సమీకరణాలు. M.: సైన్స్. భౌతిక మరియు గణిత సాహిత్యం యొక్క ప్రధాన సంపాదకీయ కార్యాలయం, 1987. - 160 p.
ఎరుగిన్ ఎన్.పి.చదవడానికి పుస్తకం సాధారణ కోర్సు అవకలన సమీకరణాలు. – మిన్స్క్: సైన్స్ అండ్ టెక్నాలజీ, 1979. – 744 p.
.మ్యాగజైన్ "పొటెన్షియల్" నవంబర్ 2007 నం. 11
"బీజగణితం మరియు విశ్లేషణ సూత్రాలు" 11వ తరగతి S.M. నికోల్స్కీ, M.K. పొటాపోవ్ మరియు ఇతరులు.
"బీజగణితం మరియు గణిత విశ్లేషణ" N.Ya. విలెంకిన్ మరియు ఇతరులు.
"గణితం" V.T. లిసిచ్కిన్, I.L. సోలోవిచిక్, 1991

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

ఉత్పన్నం యొక్క భౌతిక అర్థం. పనులు!

భౌతిక అర్థంఉత్పన్నం. గణితంలో ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్ష అనేది పరిష్కరించడానికి సమస్యల సమూహాన్ని కలిగి ఉంటుంది, దీనికి ఉత్పన్నం యొక్క భౌతిక అర్ధం గురించి జ్ఞానం మరియు అవగాహన అవసరం. ప్రత్యేకించి, ఒక నిర్దిష్ట బిందువు (వస్తువు) యొక్క చలన నియమం ఇవ్వబడిన సమస్యలు ఉన్నాయి, సమీకరణం ద్వారా వ్యక్తీకరించబడిందిమరియు మీరు కదలిక సమయంలో ఒక నిర్దిష్ట క్షణంలో దాని వేగాన్ని కనుగొనవలసి ఉంటుంది, లేదా వస్తువు ఒక నిర్దిష్ట వేగాన్ని పొందుతుంది. పనులు చాలా సులభం, అవి ఒక చర్యలో పరిష్కరించబడతాయి. కాబట్టి:

మెటీరియల్ పాయింట్ x (t) యొక్క చలన నియమాన్ని వెంట పెట్టనివ్వండి కోఆర్డినేట్ అక్షం, ఇక్కడ x అనేది కదిలే బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్, t అనేది సమయం.

ఒక నిర్దిష్ట సమయంలో వేగం అనేది సమయానికి సంబంధించి కోఆర్డినేట్ యొక్క ఉత్పన్నం. ఇది ఉత్పన్నం యొక్క యాంత్రిక అర్థం.

అలాగే, త్వరణం అనేది సమయానికి సంబంధించి వేగం యొక్క ఉత్పన్నం:

అందువలన, ఉత్పన్నం యొక్క భౌతిక అర్థం వేగం. ఇది కదలిక వేగం, ప్రక్రియ యొక్క మార్పు రేటు (ఉదాహరణకు, బ్యాక్టీరియా పెరుగుదల), పని వేగం (మరియు అనేక అనువర్తిత సమస్యలు ఉన్నాయి) కావచ్చు.

అదనంగా, మీరు డెరివేటివ్ టేబుల్ (మీరు గుణకార పట్టిక వలె తెలుసుకోవాలి) మరియు భేదం యొక్క నియమాలను తెలుసుకోవాలి. ప్రత్యేకంగా, పేర్కొన్న సమస్యలను పరిష్కరించడానికి, మొదటి ఆరు ఉత్పన్నాల పరిజ్ఞానం అవసరం (టేబుల్ చూడండి):

x (t) = t 2 – 7t – 20

ఇక్కడ x అనేది మీటర్లలో రిఫరెన్స్ పాయింట్ నుండి దూరం, t అనేది కదలిక ప్రారంభం నుండి కొలవబడిన సెకన్లలో సమయం. t = 5 s సమయంలో దాని వేగాన్ని (సెకనుకు మీటర్లలో) కనుగొనండి.

ఉత్పన్నం యొక్క భౌతిక అర్ధం వేగం (కదలిక వేగం, ప్రక్రియ యొక్క మార్పు రేటు, పని వేగం మొదలైనవి)

వేగ మార్పు నియమాన్ని కనుగొనండి: v (t) = x′(t) = 2t – 7 m/s.

మెటీరియల్ పాయింట్ x (t) = 6t 2 – 48t + 17 చట్టం ప్రకారం రెక్టిలీనియర్‌గా కదులుతుంది, ఇక్కడ x- మీటర్లలో రిఫరెన్స్ పాయింట్ నుండి దూరం, t- కదలిక ప్రారంభం నుండి సెకన్లలో సమయం కొలుస్తారు. t = 9 s సమయంలో దాని వేగాన్ని (సెకనుకు మీటర్లలో) కనుగొనండి.

మెటీరియల్ పాయింట్ x (t) = 0.5t 3 – 3t 2 + 2t అనే చట్టం ప్రకారం రెక్టిలీనియర్‌గా కదులుతుంది, ఇక్కడ x- మీటర్లలో రిఫరెన్స్ పాయింట్ నుండి దూరం, t- కదలిక ప్రారంభం నుండి సెకన్లలో సమయం కొలుస్తారు. t = 6 s సమయంలో దాని వేగాన్ని (సెకనుకు మీటర్లలో) కనుగొనండి.

మెటీరియల్ పాయింట్ చట్టం ప్రకారం రెక్టిలినియర్‌గా కదులుతుంది

x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23

ఎక్కడ x- మీటర్లలో రిఫరెన్స్ పాయింట్ నుండి దూరం, t- కదలిక ప్రారంభం నుండి సెకన్లలో సమయం కొలుస్తారు. t = 3 s సమయంలో దాని వేగాన్ని (సెకనుకు మీటర్లలో) కనుగొనండి.

మెటీరియల్ పాయింట్ చట్టం ప్రకారం రెక్టిలినియర్‌గా కదులుతుంది

x(t) = (1/6)t 2 + 5t + 28

ఇక్కడ x అనేది మీటర్లలో రిఫరెన్స్ పాయింట్ నుండి దూరం, t అనేది కదలిక ప్రారంభం నుండి కొలవబడిన సెకన్లలో సమయం. ఏ సమయంలో (సెకన్లలో) దాని వేగం 6 మీ/సెకి సమానంగా ఉంటుంది?

వేగ మార్పు నియమాన్ని కనుగొనండి:

ఏ సమయంలో ఏ సమయంలో కనుగొనడానికి tవేగం 3 మీ/సె, ఇది సమీకరణాన్ని పరిష్కరించాల్సిన అవసరం ఉంది:

మెటీరియల్ పాయింట్ x (t) = t 2 – 13t + 23 అనే చట్టం ప్రకారం రెక్టిలీనియర్‌గా కదులుతుంది, ఇక్కడ x- మీటర్లలో రిఫరెన్స్ పాయింట్ నుండి దూరం, t- కదలిక ప్రారంభం నుండి సెకన్లలో సమయం కొలుస్తారు. ఏ సమయంలో (సెకన్లలో) దాని వేగం 3 మీ/సెకి సమానంగా ఉంటుంది?

మెటీరియల్ పాయింట్ చట్టం ప్రకారం రెక్టిలినియర్‌గా కదులుతుంది

x (t) = (1/3) t 3 – 3t 2 – 5t + 3

ఎక్కడ x- మీటర్లలో రిఫరెన్స్ పాయింట్ నుండి దూరం, t- కదలిక ప్రారంభం నుండి సెకన్లలో సమయం కొలుస్తారు. ఏ సమయంలో (సెకన్లలో) దాని వేగం 2 మీ/సెకి సమానంగా ఉంటుంది?

యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌లో మీరు ఈ రకమైన పనులపై మాత్రమే దృష్టి పెట్టకూడదని నేను గమనించాలనుకుంటున్నాను. వారు అందించిన వాటికి విరుద్ధంగా ఉన్న సమస్యలను పూర్తిగా ఊహించని విధంగా పరిచయం చేయవచ్చు. వేగం మార్పు యొక్క నియమం ఇవ్వబడినప్పుడు మరియు చలన నియమాన్ని కనుగొనడం గురించి ప్రశ్న ఉంటుంది.

సూచన: ఈ సందర్భంలో, మీరు స్పీడ్ ఫంక్షన్ యొక్క సమగ్రతను కనుగొనాలి (ఇది కూడా ఒక-దశ సమస్య). మీరు ఒక నిర్దిష్ట సమయంలో ప్రయాణించిన దూరాన్ని కనుగొనవలసి వస్తే, మీరు ఫలిత సమీకరణంలో సమయాన్ని భర్తీ చేయాలి మరియు దూరాన్ని లెక్కించాలి. అయితే, మేము అలాంటి సమస్యలను కూడా విశ్లేషిస్తాము, దానిని కోల్పోకండి! మీరు విజయం సాధించాలని కోరుకుంటున్నాను!

matematikalegko.ru

బీజగణితం మరియు ప్రారంభం గణిత విశ్లేషణ, 11వ తరగతి (S. M. నికోల్స్కీ, M. K. పొటాపోవ్, N. N. రెషెట్నికోవ్, A. V. షెవ్కిన్) 2009

పేజీ నం. 094.

పాఠ్యపుస్తకం:

పాఠ్యపుస్తకం నుండి పేజీ యొక్క OCR వెర్షన్ (పైన ఉన్న పేజీ యొక్క వచనం):

ఈ పేరా ప్రారంభంలో పరిగణించబడిన సమస్యల నుండి క్రింది విధంగా, కింది ప్రకటనలు నిజం:

1. వద్ద ఉంటే నేరుగా కదలికఒక బిందువు ద్వారా ప్రయాణించే మార్గం సమయం t యొక్క విధి, అనగా s = f(t), అప్పుడు పాయింట్ యొక్క వేగం కాలానికి సంబంధించి మార్గం యొక్క ఉత్పన్నం, అనగా v(t) =

ఈ వాస్తవం ఉత్పన్నం యొక్క యాంత్రిక అర్థాన్ని వ్యక్తపరుస్తుంది.

2. పాయింట్ x 0 వద్ద y = f (jc) ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్ డ్రా అయినట్లయితే, f"(xo) అనేది ఈ టాంజెంట్ మరియు ఆక్స్ అక్షం యొక్క సానుకూల దిశ మధ్య కోణం a టాంజెంట్. , అనగా /"(x 0) =

Tga. ఈ కోణాన్ని టాంజెంట్ యాంగిల్ అంటారు.

ఈ వాస్తవం వ్యక్తమవుతుంది రేఖాగణిత అర్థంఉత్పన్నం.

ఉదాహరణ 3. abscissa x = 0తో పాయింట్ వద్ద y = 0.5jc 2 - 2x + 4 ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్ యొక్క వంపు కోణం యొక్క టాంజెంట్‌ను కనుగొనండి.

సమానత్వం (2)ని ఉపయోగించి ఏదైనా పాయింట్ x వద్ద f(x) = 0.5jc 2 - 2x + 4 యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి:

0.5 2 x - 2 = jc - 2.

x = 0 పాయింట్ వద్ద ఈ ఉత్పన్నం విలువను గణిద్దాం:

కాబట్టి tga = -2. y =/(jc) ఫంక్షన్ యొక్క x గ్రాఫ్ మరియు abscissa jc = 0 ఉన్న పాయింట్ వద్ద దాని గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్ మూర్తి 95లో చూపబడింది.

4.1 చట్టం s = t 2 ప్రకారం పాయింట్ రెక్టిలినియర్‌గా కదలనివ్వండి. కనుగొనండి:

ఎ) t x = 1 నుండి £ 2 - 2 వరకు సమయ వ్యవధిలో D£ సమయ పెరుగుదల;

b) t x = 1 నుండి t 2 = 2 వరకు ఉన్న కాల వ్యవధిలో మార్గం యొక్క పెరుగుదల;

V) సగటు వేగంసమయ వ్యవధిలో t x = 1 నుండి t 2 = 2 వరకు.

4.2 టాస్క్ 4.1లో కనుగొనండి:

బి) t నుండి t + వద్ద సమయ వ్యవధిలో సగటు వేగం;

V) తక్షణ వేగంసమయంలో t;

d) t = 1 సమయంలో తక్షణ వేగం.

4.3 చట్టం ప్రకారం పాయింట్ రెక్టిలినియర్‌గా కదలనివ్వండి:

1) s = 3t + 5; 2) s = t 2 - bt.

ఎ) t నుండి t + వద్ద కాల వ్యవధిలో మార్గం యొక్క పెరుగుదల;

పాఠ్యపుస్తకం:బీజగణితం మరియు గణిత విశ్లేషణ ప్రారంభం. 11వ తరగతి: విద్యా. సాధారణ విద్య కోసం సంస్థలు: ప్రాథమిక మరియు ప్రొఫైల్. స్థాయిలు / [S. M. నికోల్స్కీ, M. K. పొటాపోవ్, N. N. రెషెట్నికోవ్, A. V. షెవ్కిన్]. - 8వ ఎడిషన్. - M.: ఎడ్యుకేషన్, 2009. - 464 p.: అనారోగ్యం.

పాయింట్ చట్టం ప్రకారం రెక్టిలినియర్‌గా కదులుతుంది S = t 4 +2t (S -మీటర్లలో, t-సెకన్లలో). క్షణాల మధ్య విరామంలో దాని సగటు త్వరణాన్ని కనుగొనండి t 1 = 5 సె, t 2 = 7 సె, అలాగే ప్రస్తుతానికి దాని నిజమైన త్వరణం t 3 = 6 సె.

పరిష్కారం.

1. సమయానికి సంబంధించి మార్గం S యొక్క ఉత్పన్నంగా పాయింట్ యొక్క వేగాన్ని కనుగొనండి t,ఆ.

2. t బదులుగా దాని విలువలు t 1 = 5 s మరియు t 2 = 7 s లను ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, మేము వేగాన్ని కనుగొంటాము:

V 1 = 4 5 3 + 2 = 502 m/s; V 2 = 4 7 3 + 2 = 1374 m/s.

3. Δt = 7 - 5 =2 s సమయానికి వేగం పెంపు ΔVని నిర్ణయించండి:

ΔV = V 2 - V 1= 1374 - 502 = 872 మీ/సె.

4. అందువలన, పాయింట్ యొక్క సగటు త్వరణం సమానంగా ఉంటుంది

5. పాయింట్ యొక్క త్వరణం యొక్క నిజమైన విలువను నిర్ణయించడానికి, మేము సమయానికి సంబంధించి వేగం యొక్క ఉత్పన్నాన్ని తీసుకుంటాము:

6. బదులుగా ప్రత్యామ్నాయం tవిలువ t 3 = 6 s, మేము ఈ సమయంలో త్వరణాన్ని పొందుతాము

a av =12-6 3 =432 m/s 2 .

కర్విలినియర్ కదలిక.వద్ద కర్విలినియర్ ఉద్యమంపాయింట్ యొక్క వేగం పరిమాణం మరియు దిశలో మారుతుంది.

ఒక పాయింట్ ఊహించుకుందాం M,ఇది సమయంలో Δt, కొన్ని పాటు కదిలే కర్విలేనియర్ పథం, స్థానానికి తరలించబడింది M 1(Fig. 6).

వేగం పెంపు (మార్పు) వెక్టర్ ΔV రెడీ

కోసం వెక్టార్ ΔVని కనుగొనడానికి, వెక్టర్ V 1ని పాయింట్‌కి తరలించండి ఎంమరియు వేగం త్రిభుజాన్ని నిర్మించండి. సగటు త్వరణం యొక్క వెక్టర్‌ను నిర్ధారిద్దాం:

వెక్టర్ ఒక బుధవెక్టర్ ΔVకి సమాంతరంగా ఉంటుంది, ఇది వెక్టార్‌ను విభజించినందున స్కేలార్ పరిమాణంవెక్టర్ యొక్క దిశ మారదు. నిజమైన త్వరణం వెక్టార్ అనేది వేగం వెక్టార్ యొక్క నిష్పత్తి సంబంధిత సమయ విరామానికి Δt సున్నాకి ఉండే పరిమితి, అనగా.

ఈ పరిమితిని వెక్టర్ డెరివేటివ్ అంటారు.

ఈ విధంగా, కర్విలినియర్ మోషన్ సమయంలో పాయింట్ యొక్క నిజమైన త్వరణం వేగానికి సంబంధించి వెక్టర్ ఉత్పన్నానికి సమానం.

అంజీర్ నుండి. 6 స్పష్టంగా ఉంది కర్విలినియర్ మోషన్ సమయంలో త్వరణం వెక్టర్ ఎల్లప్పుడూ పథం యొక్క పుటాకార వైపు మళ్ళించబడుతుంది.

గణనల సౌలభ్యం కోసం, త్వరణం చలన పథానికి రెండు భాగాలుగా కుళ్ళిపోతుంది: టాంజెంట్ వెంట, టాంజెన్షియల్ (టాంజెన్షియల్) త్వరణం అని పిలుస్తారు. ఎ, మరియు సాధారణ పాటు, సాధారణ త్వరణం అని పిలుస్తారు a n (Fig. 7).

ఈ సందర్భంలో, మొత్తం త్వరణం సమానంగా ఉంటుంది

టాంజెన్షియల్ త్వరణం పాయింట్ యొక్క వేగంతో దిశలో సమానంగా ఉంటుంది లేదా దానికి విరుద్ధంగా ఉంటుంది. ఇది వేగంలో మార్పును వర్ణిస్తుంది మరియు తదనుగుణంగా సూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది

సాధారణ త్వరణం పాయింట్ యొక్క వేగం యొక్క దిశకు లంబంగా ఉంటుంది మరియు సంఖ్యా విలువఅది ఫార్ములా ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది

ఎక్కడ ఆర్ - పరిశీలనలో ఉన్న పాయింట్ వద్ద పథం యొక్క వక్రత యొక్క వ్యాసార్థం.

టాంజెన్షియల్ మరియు సాధారణ త్వరణాలు పరస్పరం లంబంగా ఉంటాయి కాబట్టి, మొత్తం త్వరణం యొక్క విలువ సూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది

మరియు దాని దిశ

ఉంటే , అప్పుడు టాంజెన్షియల్ త్వరణం మరియు వేగం వెక్టార్‌లు ఒక దిశలో మళ్లించబడతాయి మరియు కదలిక వేగవంతం అవుతుంది.

ఉంటే , అప్పుడు టాంజెన్షియల్ యాక్సిలరేషన్ వెక్టర్ ప్రక్కకు మళ్ళించబడుతుంది, వెక్టర్‌కు వ్యతిరేకంవేగం మరియు కదలిక నెమ్మదిగా ఉంటుంది.

వెక్టర్ సాధారణ త్వరణంఎల్లప్పుడూ వక్రత కేంద్రం వైపు మళ్లిస్తుంది, అందుకే దీనిని సెంట్రిపెటల్ అంటారు.

ఉత్పన్నం యొక్క భౌతిక అర్థం. గణితంలో ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్ష అనేది పరిష్కరించడానికి సమస్యల సమూహాన్ని కలిగి ఉంటుంది, దీనికి ఉత్పన్నం యొక్క భౌతిక అర్ధం గురించి జ్ఞానం మరియు అవగాహన అవసరం. ప్రత్యేకించి, ఒక నిర్దిష్ట బిందువు (వస్తువు) యొక్క చలన నియమం ఇవ్వబడినప్పుడు, ఒక సమీకరణం ద్వారా వ్యక్తీకరించబడిన సమస్యలు ఉన్నాయి మరియు కదలిక సమయంలో లేదా వస్తువు యొక్క నిర్దిష్ట సమయంలో దాని వేగాన్ని కనుగొనడం అవసరం. ఒక నిర్దిష్ట వేగాన్ని పొందుతుంది.పనులు చాలా సులభం, అవి ఒక చర్యలో పరిష్కరించబడతాయి. కాబట్టి:

కోఆర్డినేట్ అక్షం వెంట ఉన్న పదార్థ బిందువు x (t) యొక్క చలన నియమాన్ని ఇవ్వనివ్వండి, ఇక్కడ x అనేది కదిలే బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్, t అనేది సమయం.

అలాగే, త్వరణం అనేది సమయానికి సంబంధించి వేగం యొక్క ఉత్పన్నం:

పనులను పరిశీలిద్దాం:

x (t) = t 2 – 7t – 20

ఇక్కడ x t అనేది కదలిక ప్రారంభం నుండి కొలవబడిన సెకన్లలో సమయం. t = 5 s సమయంలో దాని వేగాన్ని (సెకనుకు మీటర్లలో) కనుగొనండి.

వేగ మార్పు నియమాన్ని కనుగొనండి: v (t) = x′(t) = 2t – 7 m/s.

t = 5 వద్ద మేము కలిగి ఉన్నాము:

సమాధానం: 3

మీరే నిర్ణయించుకోండి:

మెటీరియల్ పాయింట్ x (t) = 0.5t చట్టం ప్రకారం రెక్టిలీనియర్‌గా కదులుతుంది 3 – 3t 2 + 2t, ఎక్కడ xt- కదలిక ప్రారంభం నుండి సెకన్లలో సమయం కొలుస్తారు. t = 6 s సమయంలో దాని వేగాన్ని (సెకనుకు మీటర్లలో) కనుగొనండి.

మెటీరియల్ పాయింట్ చట్టం ప్రకారం రెక్టిలినియర్‌గా కదులుతుంది

x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23

ఎక్కడ x- మీటర్లలో రిఫరెన్స్ పాయింట్ నుండి దూరం,t- కదలిక ప్రారంభం నుండి సెకన్లలో సమయం కొలుస్తారు. t = 3 s సమయంలో దాని వేగాన్ని (సెకనుకు మీటర్లలో) కనుగొనండి.

మెటీరియల్ పాయింట్ చట్టం ప్రకారం రెక్టిలినియర్‌గా కదులుతుంది

x(t) = (1/6)t 2 + 5t + 28

వేగ మార్పు నియమాన్ని కనుగొనండి:

ఏ సమయంలో ఏ సమయంలో కనుగొనడానికిtవేగం 3 మీ/సె, ఇది సమీకరణాన్ని పరిష్కరించాల్సిన అవసరం ఉంది:

సమాధానం: 3

మీరే నిర్ణయించుకోండి:

మెటీరియల్ పాయింట్ చట్టం ప్రకారం రెక్టిలినియర్‌గా కదులుతుంది

x (t) = (1/3) t 3 – 3t 2 – 5t + 3

సూచన: ఈ సందర్భంలో, మీరు స్పీడ్ ఫంక్షన్ యొక్క సమగ్రతను కనుగొనాలి (ఇది కూడా ఒక-దశ సమస్య). మీరు ఒక నిర్దిష్ట సమయంలో ప్రయాణించిన దూరాన్ని కనుగొనవలసి వస్తే, మీరు ఫలిత సమీకరణంలో సమయాన్ని భర్తీ చేయాలి మరియు దూరాన్ని లెక్కించాలి. అయితే, మేము అలాంటి సమస్యలను కూడా విశ్లేషిస్తాము, దానిని కోల్పోకండి!మీరు విజయం సాధించాలని కోరుకుంటున్నాను!

భవదీయులు, అలెగ్జాండర్ క్రుటిట్స్కిఖ్.

P.S: మీరు సోషల్ నెట్‌వర్క్‌లలో సైట్ గురించి నాకు చెబితే నేను కృతజ్ఞుడను.