నిర్వచనం

స్కేలార్ పరిమాణం- సంఖ్య ద్వారా వర్గీకరించబడే పరిమాణం. ఉదాహరణకు, పొడవు, వైశాల్యం, ద్రవ్యరాశి, ఉష్ణోగ్రత మొదలైనవి.

వెక్టర్దర్శకత్వం వహించిన విభాగం $\ఓవర్‌లైన్ (A B)$; పాయింట్ $A$ అనేది ప్రారంభం, పాయింట్ $B$ అనేది వెక్టర్ ముగింపు (Fig. 1).

వెక్టర్ రెండు పెద్ద అక్షరాలతో సూచించబడుతుంది - దాని ప్రారంభం మరియు ముగింపు: $\overline(A B)$ లేదా ఒక చిన్న అక్షరం: $\overline(a)$.

నిర్వచనం

వెక్టర్ యొక్క ప్రారంభం మరియు ముగింపు సమానంగా ఉంటే, అటువంటి వెక్టర్ అంటారు సున్నా. చాలా తరచుగా, సున్నా వెక్టర్ $\overline(0)$గా సూచించబడుతుంది.

వెక్టర్స్ అంటారు కొలినియర్, వారు ఒకే రేఖపై లేదా సమాంతర రేఖలపై పడినట్లయితే (Fig. 2).

నిర్వచనం

రెండు కొల్లినియర్ వెక్టర్స్ $\overline(a)$ మరియు $\overline(b)$ అంటారు సహ దర్శకత్వం వహించారు, వాటి దిశలు ఏకీభవిస్తే: $\overline(a) \uparrow \uparrow \overline(b)$ (Fig. 3, a). రెండు కొల్లినియర్ వెక్టర్స్ $\overline(a)$ మరియు $\overline(b)$ అంటారు విరుద్ధంగా దర్శకత్వం వహించారు, వాటి దిశలు విరుద్ధంగా ఉంటే: $\overline(a) \uparrow \downarrow \overline(b)$ (Fig. 3, b).

నిర్వచనం

వెక్టర్స్ అంటారు కొప్లానార్, వారు ఒకే విమానంలో సమాంతరంగా ఉంటే లేదా అదే విమానంలో పడుకుంటే (Fig. 4).

రెండు వెక్టర్స్ ఎల్లప్పుడూ కోప్లానార్.

నిర్వచనం

పొడవు (మాడ్యూల్)వెక్టర్ $\overline(A B)$ అనేది దాని ప్రారంభం మరియు ముగింపు మధ్య దూరం: $|\overline(A B)|$

లింక్ వద్ద వెక్టర్ పొడవు గురించి వివరణాత్మక సిద్ధాంతం.

సున్నా వెక్టర్ యొక్క పొడవు సున్నా.

నిర్వచనం

పొడవు ఒకదానికి సమానమైన వెక్టర్ అంటారు యూనిట్ వెక్టర్లేదా ortom.

వెక్టర్స్ అంటారు సమానం, వారు ఒకటి లేదా సమాంతర రేఖలపై పడుకుంటే; వాటి దిశలు సమానంగా ఉంటాయి మరియు వాటి పొడవులు సమానంగా ఉంటాయి.

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, రెండు వెక్టర్స్ సమానం, అవి కొలినియర్, కోడైరెక్షనల్ మరియు సమాన పొడవులను కలిగి ఉంటే:

$\overline(a)=\overline(b)$ అయితే $\overline(a) \uparrow \uparrow \overline(b),|\overline(a)|=|\overline(b)|$

$M$ స్థలం యొక్క ఏకపక్ష పాయింట్ వద్ద, అందించిన వెక్టర్ $\overline(A B)$కి సమానమైన ఒకే వెక్టార్ $\overline(M N)$ని నిర్మించవచ్చు.

వెక్టర్ బీజగణితం

నిర్వచనం:

వెక్టర్ అనేది విమానంలో లేదా అంతరిక్షంలో నిర్దేశించిన విభాగం.

లక్షణాలు:

1) వెక్టర్ పొడవు

నిర్వచనం:

రెండు వెక్టర్స్ సమాంతర రేఖలపై ఉంటే వాటిని కొల్లినియర్ అంటారు.

నిర్వచనం:

రెండు కొలినియర్ వెక్టర్‌లు వాటి దిశలు కలిసినట్లయితే కోడైరెక్షనల్ అంటారు ( ) లేకపోతే వాటిని వ్యతిరేక దిశలో అంటారు (↓ ).

నిర్వచనం:

రెండు వెక్టర్‌లు కో-డైరెక్షనల్ మరియు ఒకే పొడవు కలిగి ఉంటే సమానంగా ఉంటాయి.

ఉదాహరణకి,

కార్యకలాపాలు:

1. వెక్టార్‌ను సంఖ్యతో గుణించడం

ఉంటే
, ఆ

↓ఉంటే < 0

సున్నా వెక్టార్ యొక్క దిశ ఏకపక్షంగా ఉంటుంది

సంఖ్య ద్వారా గుణకారం యొక్క లక్షణాలు

2. వెక్టర్ అదనంగా

సమాంతర చతుర్భుజం నియమం:

అదనపు లక్షణాలు:

- అటువంటి వెక్టర్స్ ఒకదానికొకటి వ్యతిరేకం అంటారు. అది చూడటం సులభం

ఉమ్మడి లక్షణాలు:

గురించి నిర్వచనం:

రెండు వెక్టర్‌ల మధ్య కోణం అనేది ఈ వెక్టర్‌లను ఒక బిందువు నుండి ప్లాట్ చేస్తే లభించే కోణం, 0    

3. వెక్టర్స్ యొక్క డాట్ ఉత్పత్తి.

, ఎక్కడ - వెక్టర్స్ మధ్య కోణం

వెక్టర్స్ యొక్క స్కేలార్ ఉత్పత్తి యొక్క లక్షణాలు:

1) (వరుసగా వెక్టర్స్ యొక్క వ్యతిరేక దిశ మరియు సహ-దిశల విషయంలో సమానతలు జరుగుతాయి)

3)

ఉంటే
, అప్పుడు ఉత్పత్తి యొక్క సంకేతం సానుకూలంగా ఉంటుంది,ఉంటే ↓అది ప్రతికూలమైనది

)

6), అంటే
, లేదా ఏదైనా వెక్టర్స్ సున్నా

7)

వెక్టర్స్ అప్లికేషన్

1.

MN - మధ్యరేఖ

నిరూపించు

రుజువు:

, వెక్టార్‌ను రెండు వైపుల నుండి తీసివేయండి
:

2.

రాంబస్ యొక్క వికర్ణాలు లంబంగా ఉన్నాయని నిరూపించండి

రుజువు:

కనుగొనండి:

పరిష్కారం:

స్థావరాలుగా వెక్టర్స్ యొక్క కుళ్ళిపోవడం.

నిర్వచనం:

వెక్టర్స్ యొక్క సరళ కలయిక (LCV) అనేది రూపం యొక్క మొత్తం

(LKV)

ఎక్కడ 1 ,  2 , …  లు - సంఖ్యల ఏకపక్ష సమితి

నిర్వచనం:

ఎల్‌సిఐ అన్నీ ఉంటే నాన్ ట్రివియల్ అని చెప్పబడింది i = 0, లేకుంటే దానిని నాన్‌ట్రివియల్ అంటారు.

పర్యవసానం:

నాన్-ట్రివియల్ LCVలో కనీసం ఒక సున్నా కాని గుణకం ఉంటుంది కు  0

నిర్వచనం:

వెక్టర్ వ్యవస్థ
లీనియర్లీ ఇండిపెండెంట్ (LNI)ఉంటే() = 0  అన్నీ i  0,

అంటే, దాని ట్రివియల్ LC మాత్రమే సున్నాకి సమానం.

పర్యవసానం:

లీనియర్లీ ఇండిపెండెంట్ వెక్టర్స్ యొక్క నాన్ట్రివియల్ LC నాన్ జీరో

ఉదాహరణలు:

1)
- LNZ

2) వీలు మరియు అదే విమానంలో పడుకోండి
- LNZ , నాన్-కాలినియర్

3) వీలు,, ఒకే సమతలానికి చెందినవి కావు, అప్పుడు అవి వెక్టర్స్ యొక్క LNZ వ్యవస్థను ఏర్పరుస్తాయి

సిద్ధాంతం:

వెక్టర్స్ వ్యవస్థ సరళంగా స్వతంత్రంగా ఉంటే, వాటిలో కనీసం ఒకటి ఇతర వాటి యొక్క సరళ కలయిక.

రుజువు:

 వీలు () = 0 మరియు అన్నీ కాదు I సున్నాకి సమానం. సాధారణత్వం కోల్పోకుండా, వీలు లు  0. అప్పుడు
, మరియు ఇది సరళ కలయిక.

 వీలు

అప్పుడు, అంటే, LZ.

సిద్ధాంతం:

విమానంలో ఏదైనా 3 వెక్టర్స్ రేఖీయంగా ఆధారపడి ఉంటాయి.

రుజువు:

వెక్టర్స్ ఇవ్వనివ్వండి
, సాధ్యమయ్యే కేసులు:

1)


2) నాన్-కాలినియర్

దీన్ని ద్వారా వ్యక్తపరుద్దాం మరియు:
, ఎక్కడ
- నాన్-ట్రివియల్ LC.

సిద్ధాంతం:

వీలు
- LZ

అప్పుడు ఏదైనా "విస్తృత" వ్యవస్థ LZ

రుజువు:

నుండి - LZ, అప్పుడు కనీసం ఒకటి ఉంది i  0, మరియు () = 0

అప్పుడు మరియు () = 0

నిర్వచనం:

లీనియర్‌గా స్వతంత్ర వెక్టర్‌ల వ్యవస్థ ఏదైనా ఇతర వెక్టార్‌కి జోడించబడినప్పుడు, అది లీనియర్‌గా డిపెండెంట్‌గా మారితే దానిని గరిష్టం అంటారు.

నిర్వచనం:

స్థలం యొక్క పరిమాణం (విమానం) అనేది వెక్టర్స్ యొక్క గరిష్ట సరళ స్వతంత్ర వ్యవస్థలో వెక్టర్స్ సంఖ్య.

నిర్వచనం:

ఆధారం అనేది వెక్టర్స్ యొక్క ఏదైనా గరిష్ట సరళ స్వతంత్ర వ్యవస్థ.

నిర్వచనం:

దానిలో చేర్చబడిన వెక్టర్స్ ఒకదానికి సమానమైన పొడవును కలిగి ఉంటే ఆధారాన్ని సాధారణీకరించడం అంటారు.

నిర్వచనం:

ఆధారం అన్ని మూలకాలు (వెక్టర్స్) పెయిర్‌వైస్ లంబంగా ఉంటే ఆర్తోగోనల్ అంటారు.

సిద్ధాంతం:

ఆర్తోగోనల్ వెక్టర్స్ వ్యవస్థ ఎల్లప్పుడూ సరళంగా స్వతంత్రంగా ఉంటుంది (సున్నా వెక్టర్స్ లేనట్లయితే).

రుజువు:

ఆర్తోగోనల్ వెక్టర్స్ (సున్నా కాని) వ్యవస్థగా ఉండనివ్వండి, అంటే
. మనం ఈ LCని వెక్టర్ ద్వారా స్కేలార్‌గా గుణిస్తాము అనుకుందాం :

మొదటి బ్రాకెట్ సున్నా కానిది (వెక్టార్ పొడవు యొక్క స్క్వేర్), మరియు అన్ని ఇతర బ్రాకెట్‌లు షరతుల ప్రకారం సున్నాకి సమానంగా ఉంటాయి. అప్పుడు 1 = 0. అదేవిధంగా 2 …  లు

సిద్ధాంతం:

M = - ఆధారంగా ఉండనివ్వండి. అప్పుడు మనం ఏదైనా వెక్టర్‌ను రూపంలో సూచించవచ్చు:

గుణకాలు ఎక్కడ ఉన్నాయి 2 …  లు ప్రత్యేకంగా నిర్ణయించబడతాయి (ఇవి ఆధారం Mకి సంబంధించి వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్లు).

రుజువు:

1)
=
- LZ (ఆధార పరిస్థితి ప్రకారం)

అప్పుడు - nontrivial

ఎ) 0 = 0 అసాధ్యం, ఇది M - LZ అని తేలింది

బి) 0  0

ద్వారా విభజించండి 0

ఆ. వ్యక్తిగత ఖాతా ఉంది

2) వైరుధ్యం ద్వారా దాన్ని రుజువు చేద్దాం. వెక్టర్ యొక్క మరొక ప్రాతినిధ్యంగా ఉండనివ్వండి (అనగా. కనీసం ఒక జత
) ఒకదానికొకటి సూత్రాలను తీసివేద్దాం:

- LC అల్పమైనది కాదు.

కానీ షరతు ప్రకారం - ఆధారం ఒక వైరుధ్యం, అంటే, కుళ్ళిపోవడం ప్రత్యేకమైనది.

ముగింపు:

ప్రతి ప్రాతిపదిక M ఆధారం Mకి సంబంధించి వెక్టర్స్ మరియు వాటి కోఆర్డినేట్‌ల మధ్య ఒకదానికొకటి అనురూపాన్ని నిర్ణయిస్తుంది.

హోదాలు:

M = - ఏకపక్ష వెక్టర్

అప్పుడు

2018 ఓల్షెవ్స్కీ ఆండ్రీ జార్జివిచ్

వెబ్సైట్ పుస్తకాలతో నింపబడి, మీరు పుస్తకాలను డౌన్‌లోడ్ చేసుకోవచ్చు

విమానంలో మరియు అంతరిక్షంలో వెక్టర్స్, సమస్యలను పరిష్కరించే పద్ధతులు, ఉదాహరణలు, సూత్రాలు

1 అంతరిక్షంలో వెక్టర్స్

అంతరిక్షంలో వెక్టర్స్‌లో 10వ తరగతి జ్యామితి, 11వ తరగతి జ్యామితి మరియు విశ్లేషణాత్మక జ్యామితి ఉన్నాయి. యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ యొక్క రెండవ భాగం మరియు అంతరిక్షంలో విశ్లేషణాత్మక జ్యామితి యొక్క రేఖాగణిత సమస్యలను సమర్థవంతంగా పరిష్కరించడానికి వెక్టర్స్ మిమ్మల్ని అనుమతిస్తాయి. అంతరిక్షంలో వెక్టర్స్ విమానంలో వెక్టర్స్ మాదిరిగానే ఇవ్వబడ్డాయి, అయితే మూడవ కోఆర్డినేట్ z పరిగణనలోకి తీసుకోబడుతుంది. థర్డ్-డైమెన్షనల్ స్పేస్‌లోని వెక్టర్స్ నుండి మినహాయించడం విమానంలో వెక్టర్స్‌ను ఇస్తుంది, ఇవి జ్యామితి 8 వ, 9 వ తరగతి ద్వారా వివరించబడ్డాయి.

1.1 విమానంలో మరియు అంతరిక్షంలో వెక్టర్

వెక్టర్ అనేది బాణం ద్వారా చిత్రంలో చిత్రీకరించబడిన ప్రారంభం మరియు ముగింపుతో నిర్దేశించిన విభాగం. అంతరిక్షంలో ఏకపక్ష బిందువును సున్నా వెక్టర్‌గా పరిగణించవచ్చు. సున్నా వెక్టార్‌కు నిర్దిష్ట దిశ లేదు, ప్రారంభం మరియు ముగింపు ఒకేలా ఉంటాయి కాబట్టి దీనికి ఏదైనా దిశను ఇవ్వవచ్చు.

వెక్టర్ అంటే ఆంగ్లం నుండి అనువదించబడినది వెక్టర్, దిశ, కోర్సు, మార్గదర్శకత్వం, దిశ సెట్టింగ్, ఎయిర్‌క్రాఫ్ట్ కోర్సు.

నాన్-జీరో వెక్టర్ యొక్క పొడవు (మాడ్యులస్) అనేది సెగ్మెంట్ AB యొక్క పొడవు, ఇది సూచించబడుతుంది
. వెక్టర్ పొడవు ద్వారా సూచించబడుతుంది . శూన్య వెక్టర్ పొడవు సున్నాకి సమానం = 0.

ఒకే రేఖపై లేదా సమాంతర రేఖలపై ఉన్న నాన్-జీరో వెక్టార్‌లను కొల్లినియర్ అంటారు.

శూన్య వెక్టార్ ఏదైనా వెక్టర్‌కు కొలినియర్‌గా ఉంటుంది.

ఒకే దిశను కలిగి ఉండే కొలినియర్ నాన్‌జీరో వెక్టర్‌లను కోడైరెక్షనల్ అంటారు. కోడైరెక్షనల్ వెక్టర్స్ ద్వారా సూచించబడతాయి. ఉదాహరణకు, వెక్టర్ వెక్టర్‌తో కోడైరెక్షనల్ అయితే , అప్పుడు సంజ్ఞామానం ఉపయోగించబడుతుంది.

సున్నా వెక్టార్ ఏదైనా వెక్టర్‌తో కోడైరెక్షనల్‌గా ఉంటుంది.

వ్యతిరేక దిశలను కలిగి ఉన్న రెండు కొలినియర్ నాన్-జీరో వెక్టర్స్ వ్యతిరేక దిశలో ఉంటాయి. వ్యతిరేక దిశలో ఉన్న వెక్టర్స్ ↓ గుర్తు ద్వారా సూచించబడతాయి. ఉదాహరణకు, వెక్టార్‌కు వ్యతిరేక దిశలో వెక్టర్ ఉంటే, అప్పుడు ↓ సంజ్ఞామానం ఉపయోగించబడుతుంది.

సమాన పొడవు గల సహ-నిర్దేశిత వెక్టర్‌లను సమానం అంటారు.

అనేక భౌతిక పరిమాణాలు వెక్టర్ పరిమాణాలు: శక్తి, వేగం, విద్యుత్ క్షేత్రం.

వెక్టర్ యొక్క అప్లికేషన్ పాయింట్ (ప్రారంభం) పేర్కొనబడకపోతే, అది ఏకపక్షంగా ఎంపిక చేయబడుతుంది.

వెక్టార్ యొక్క ప్రారంభాన్ని పాయింట్ O వద్ద ఉంచినట్లయితే, వెక్టర్ పాయింట్ O నుండి ఆలస్యంగా పరిగణించబడుతుంది. ఏ పాయింట్ నుండి అయినా మీరు ఇచ్చిన వెక్టర్‌కు సమానమైన ఒకే వెక్టర్‌ను ప్లాట్ చేయవచ్చు.

1.2 వెక్టర్ మొత్తం

త్రిభుజ నియమం ప్రకారం వెక్టార్‌లను జోడించేటప్పుడు, వెక్టర్ 1 డ్రా చేయబడుతుంది, దీని ముగింపు నుండి వెక్టర్ 2 డ్రా చేయబడుతుంది మరియు ఈ రెండు వెక్టర్‌ల మొత్తం వెక్టర్ 3, వెక్టర్ 1 ప్రారంభం నుండి వెక్టర్ 2 చివరి వరకు డ్రా అవుతుంది:

ఏకపక్ష పాయింట్లు A, B మరియు C కోసం, మీరు వెక్టర్స్ మొత్తాన్ని వ్రాయవచ్చు:

+
=

రెండు వెక్టర్స్ ఒకే పాయింట్ నుండి ఉద్భవిస్తే

అప్పుడు సమాంతర చతుర్భుజం నియమం ప్రకారం వాటిని జోడించడం మంచిది.

సమాంతర చతుర్భుజం నియమం ప్రకారం రెండు వెక్టర్‌లను జోడించినప్పుడు, జోడించిన వెక్టర్‌లు ఒక పాయింట్ నుండి వేయబడతాయి, ఈ వెక్టర్‌ల చివర్ల నుండి ఒక వెక్టర్ చివరి వరకు మరొకదాని ప్రారంభాన్ని వర్తింపజేయడం ద్వారా సమాంతర చతుర్భుజం పూర్తవుతుంది. సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వికర్ణం ద్వారా ఏర్పడిన వెక్టార్, జోడించబడే వెక్టర్స్ యొక్క మూల స్థానం నుండి ఉద్భవించింది, ఇది వెక్టర్స్ మొత్తం అవుతుంది

సమాంతర చతుర్భుజం నియమం త్రిభుజ నియమం ప్రకారం వెక్టర్‌లను జోడించే విభిన్న క్రమాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

వెక్టర్ జోడింపు చట్టాలు:

1. స్థానభ్రంశం చట్టం + = +.

2. కలయిక చట్టం ( + ) + = + ( + ).

అనేక వెక్టర్లను జోడించాల్సిన అవసరం ఉంటే, అప్పుడు వెక్టర్స్ జంటగా లేదా బహుభుజి నియమం ప్రకారం జోడించబడతాయి: వెక్టర్ 2 వెక్టర్ 1 చివరి నుండి డ్రా అవుతుంది, వెక్టర్ 3 వెక్టర్ 2 చివరి నుండి డ్రా అవుతుంది, వెక్టర్ 4 నుండి డ్రా అవుతుంది. వెక్టర్ 3 యొక్క ముగింపు, వెక్టర్ 5 వెక్టర్ 4 ముగింపు నుండి డ్రా చేయబడుతుంది, మొదలైనవి. వెక్టర్ 1 ప్రారంభం నుండి చివరి వెక్టర్ చివరి వరకు అనేక వెక్టర్‌ల మొత్తం వెక్టార్ డ్రా చేయబడుతుంది.

వెక్టర్ సంకలనం యొక్క చట్టాల ప్రకారం, వెక్టర్ జోడింపు యొక్క క్రమం ఫలిత వెక్టర్‌ను ప్రభావితం చేయదు, ఇది అనేక వెక్టర్‌ల మొత్తం.

సమాన పొడవు గల రెండు సున్నా కాని వ్యతిరేక దిశలో ఉన్న వెక్టర్‌లను వ్యతిరేక అంటారు. వెక్టర్ - వెక్టర్‌కి వ్యతిరేకం

ఈ వెక్టర్స్ వ్యతిరేక దిశలో ఉంటాయి మరియు పరిమాణంలో సమానంగా ఉంటాయి.

1.3 వెక్టర్ వ్యత్యాసం

వెక్టార్ వ్యత్యాసాన్ని వెక్టర్స్ మొత్తంగా వ్రాయవచ్చు

- = + (-),

ఇక్కడ "-" అనేది వెక్టార్‌కి ఎదురుగా ఉన్న వెక్టర్.

వెక్టర్స్ మరియు - త్రిభుజం లేదా సమాంతర చతుర్భుజం నియమం ప్రకారం జోడించవచ్చు.

వెక్టర్స్ మరియు లెట్

వెక్టర్స్ మధ్య వ్యత్యాసాన్ని కనుగొనడానికి, మేము వెక్టర్‌ను నిర్మిస్తాము -

మేము వెక్టర్లను జోడిస్తాము మరియు - త్రిభుజం నియమం ప్రకారం, వెక్టర్ యొక్క ప్రారంభాన్ని వర్తింపజేస్తాము - వెక్టర్ చివరి వరకు, మేము వెక్టర్ + (-) = -

మేము వెక్టార్‌లను జోడిస్తాము మరియు - సమాంతర చతుర్భుజం నియమం ప్రకారం, వెక్టర్స్ యొక్క ప్రారంభాలను పక్కన పెట్టి మరియు - ఒక పాయింట్ నుండి

వెక్టర్స్ మరియు అదే పాయింట్ నుండి ఉద్భవిస్తే

,

అప్పుడు వెక్టర్స్ యొక్క వ్యత్యాసం వాటి చివరలను కలుపుతూ వెక్టార్‌ను ఇస్తుంది మరియు ఫలితంగా వెక్టర్ చివరిలో ఉన్న బాణం రెండవ వెక్టర్ తీసివేయబడిన వెక్టర్ దిశలో ఉంచబడుతుంది.

దిగువ బొమ్మ అదనంగా మరియు వెక్టర్ వ్యత్యాసాన్ని ప్రదర్శిస్తుంది

క్రింద ఉన్న బొమ్మ వెక్టర్ జోడింపు మరియు విభిన్న మార్గాల్లో వ్యత్యాసాన్ని ప్రదర్శిస్తుంది

టాస్క్.వెక్టర్స్ మరియు ఇవ్వబడ్డాయి.

వెక్టర్‌ల యొక్క అన్ని సాధ్యమైన కలయికలలో సాధ్యమయ్యే అన్ని మార్గాలలో వెక్టర్‌ల మొత్తం మరియు వ్యత్యాసాన్ని గీయండి.

1.4 కొల్లినియర్ వెక్టర్స్‌పై లెమ్మా

= కె

1.5 వెక్టర్ మరియు సంఖ్య యొక్క ఉత్పత్తి

సంఖ్య k ద్వారా సున్నా కాని వెక్టార్ యొక్క ఉత్పత్తి వెక్టార్‌కు వెక్టర్ = k, కొల్లినియర్‌ను ఇస్తుంది. వెక్టర్ పొడవు:

| | = |k |·| |

ఉంటే k > 0, తర్వాత వెక్టర్స్ మరియు కోడైరెక్షనల్.

ఉంటే k = 0, అప్పుడు వెక్టార్ సున్నా.

ఉంటే కె< 0, то векторы и противоположно направленные.

ఉంటే | k | = 1, అప్పుడు వెక్టర్స్ మరియు సమాన పొడవు ఉంటాయి.

ఉంటే k = 1, అప్పుడు వెక్టర్స్ సమానంగా ఉంటాయి.

ఉంటే k = -1, అప్పుడు వ్యతిరేక వెక్టర్స్.

ఉంటే | k | > 1, అప్పుడు వెక్టార్ పొడవు వెక్టర్ పొడవు కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది .

ఉంటే k > 1, అప్పుడు వెక్టర్స్ రెండూ కోడైరెక్షనల్ మరియు పొడవు వెక్టర్ పొడవు కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది.

ఉంటే కె< -1, то векторы и противоположно направленные и длина больше длины вектора .

ఉంటే | k |< 1, то длина вектора меньше длины вектора .

0 అయితే< కె< 1, то векторы и сонаправленные и длина меньше длины вектора .

ఉంటే -1< కె< 0, то векторы и противоположно направленные и длина меньше длины вектора .

సున్నా వెక్టర్ మరియు సంఖ్య యొక్క ఉత్పత్తి సున్నా వెక్టార్‌ను ఇస్తుంది.

టాస్క్.వెక్టర్ ఇవ్వబడింది.

వెక్టర్స్ 2, -3, 0.5, -1.5 నిర్మించండి.

టాస్క్.వెక్టర్స్ మరియు ఇవ్వబడ్డాయి.

వెక్టర్స్ 3 + 2, 2 - 2, -2 - నిర్మించండి.

వెక్టార్‌ని సంఖ్యతో గుణించడాన్ని వివరించే చట్టాలు

1. కలయిక చట్టం (kn) = k (n)

2. మొదటి పంపిణీ చట్టం k ( + ) = k + k .

3. రెండవ పంపిణీ చట్టం (k + n) = k + n.

కొల్లినియర్ వెక్టర్స్ కోసం మరియు ≠ 0 అయితే, వెక్టర్‌ను దీని పరంగా వ్యక్తీకరించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతించే ఒకే సంఖ్య k ఉంది:

= కె

1.6 కోప్లానార్ వెక్టర్స్

ఒకే సమతలంలో లేదా సమాంతర సమతలంలో ఉండే వెక్టార్‌లను కోప్లానార్ అంటారు. మనం ఒక పాయింట్ నుండి ఈ కోప్లానార్ వెక్టర్స్‌కి సమానమైన వెక్టర్‌లను గీస్తే, అవి ఒకే విమానంలో ఉంటాయి. కాబట్టి, ఒకే విమానంలో సమాన వెక్టర్‌లు ఉంటే వెక్టర్‌లను కోప్లానార్ అంటారు.

రెండు ఏకపక్ష వెక్టర్స్ ఎల్లప్పుడూ కోప్లానార్. మూడు వెక్టర్‌లు కోప్లానార్ లేదా నాన్-కోప్లానార్ కావచ్చు. మూడు వెక్టర్స్, కనీసం రెండు కొలినియర్, కోప్లానార్. కొలినియర్ వెక్టర్స్ ఎల్లప్పుడూ కోప్లానార్.

1.7 ఒక వెక్టర్‌ని రెండు నాన్-కాలినియర్ వెక్టర్‌లుగా విడదీయడం

ఏదైనా వెక్టర్ రెండు నాన్-కోలినియర్ నాన్-జీరో వెక్టర్స్‌లో విమానంలో ప్రత్యేకంగా కుళ్ళిపోతుంది మరియు ఒకే విస్తరణ గుణకాలు x మరియు yతో:

= x+y

నాన్-జీరో వెక్టర్స్‌కు ఏదైనా వెక్టర్ కాప్లానార్ మరియు ప్రత్యేకంగా రెండు నాన్-కోలినియర్ వెక్టర్స్‌గా మరియు ప్రత్యేకమైన ఎక్స్‌పాన్షన్ కోఎఫీషియంట్స్ x మరియు yతో విస్తరించవచ్చు:

= x+y

ఇవ్వబడిన నాన్-కాలినియర్ వెక్టర్స్ ప్రకారం ప్లేన్‌లో ఇవ్వబడిన వెక్టర్‌ని విస్తరింపజేద్దాం మరియు:

మనం ఇచ్చిన కోప్లానార్ వెక్టర్స్‌ని ఒక పాయింట్ నుండి గీయండి

వెక్టార్ చివరి నుండి మేము వెక్టర్స్‌కు సమాంతరంగా పంక్తులను గీస్తాము మరియు అవి వెక్టర్స్ ద్వారా గీసిన పంక్తులతో కలుస్తుంది మరియు . మనకు సమాంతర చతుర్భుజం వస్తుంది

సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క భుజాల పొడవులు వెక్టార్‌ల పొడవులను గుణించడం ద్వారా మరియు x మరియు y సంఖ్యల ద్వారా పొందబడతాయి, ఇవి సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క భుజాల పొడవులను వాటి సంబంధిత వెక్టర్‌ల పొడవులతో విభజించడం ద్వారా నిర్ణయించబడతాయి. మేము ఇచ్చిన నాన్-కాలినియర్ వెక్టర్స్ ప్రకారం వెక్టర్ యొక్క కుళ్ళిపోవడాన్ని పొందుతాము మరియు:

= x+y

పరిష్కరించబడుతున్న సమస్యలో, x ≈ 1.3, y ≈ 1.9, కాబట్టి ఇచ్చిన నాన్-కాలినియర్ వెక్టర్‌లలో వెక్టర్ యొక్క విస్తరణను రూపంలో వ్రాయవచ్చు

1,3 + 1,9 .

పరిష్కరించబడుతున్న సమస్యలో, x ≈ 1.3, y ≈ -1.9, కాబట్టి ఇచ్చిన నాన్-కాలినియర్ వెక్టర్స్‌లో వెక్టర్ యొక్క విస్తరణను రూపంలో వ్రాయవచ్చు

1,3 - 1,9 .

1.8 సమాంతర పైప్డ్ నియమం

సమాంతర పైప్డ్ అనేది త్రిమితీయ వ్యక్తి, దీని వ్యతిరేక ముఖాలు సమాంతర సమతలంలో ఉన్న రెండు సమాన సమాంతర చతుర్భుజాలను కలిగి ఉంటాయి.

సమాంతర పైప్డ్ నియమం మూడు నాన్-కోప్లానార్ వెక్టర్‌లను జోడించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది, ఇవి ఒక పాయింట్ నుండి ప్లాట్ చేయబడ్డాయి మరియు ఒక సమాంతర పైప్డ్ నిర్మించబడింది, తద్వారా సంగ్రహించిన వెక్టర్స్ దాని అంచులను ఏర్పరుస్తాయి మరియు సమాంతర పైప్డ్ యొక్క మిగిలిన అంచులు వరుసగా సమాంతరంగా మరియు పొడవుకు సమానంగా ఉంటాయి. సంక్షిప్త వెక్టర్స్ ద్వారా ఏర్పడిన అంచులు. సమాంతర పైప్డ్ యొక్క వికర్ణం ఒక వెక్టర్‌ను ఏర్పరుస్తుంది, ఇది ఇచ్చిన మూడు వెక్టర్‌ల మొత్తం, ఇది జోడించబడే వెక్టర్‌ల మూలం నుండి ప్రారంభమవుతుంది.

1.9 మూడు నాన్-కోప్లానార్ వెక్టర్‌లుగా వెక్టార్‌ని కుళ్ళిపోవడం

ఏదైనా వెక్టర్ ఇచ్చిన మూడు నాన్-కోప్లానార్ వెక్టర్‌లుగా విస్తరిస్తుంది , మరియు ఒకే విస్తరణ గుణకాలు x, y, z:

= x + y + z.

1.10 అంతరిక్షంలో దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్

త్రిమితీయ స్థలంలో, దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ Oxyz అనేది మూలం O ద్వారా నిర్వచించబడుతుంది మరియు బాణాలు మరియు విభాగాల కొలత యూనిట్ ద్వారా సూచించబడిన ఎంచుకున్న సానుకూల దిశలతో పరస్పరం లంబంగా ఉండే కోఆర్డినేట్ అక్షాలు Ox, Oy మరియు Ozలను ఖండిస్తుంది. విభాగాల స్కేల్ మూడు అక్షాలపై ఒకే విధంగా ఉంటే, అటువంటి వ్యవస్థను కార్టీసియన్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ అంటారు.

సమన్వయం చేయండి xని అబ్సిస్సా అంటారు, y అనేది ఆర్డినేట్, z అనేది అప్లికేషన్. పాయింట్ M యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు M (x; y; z) బ్రాకెట్లలో వ్రాయబడ్డాయి.

1.11 అంతరిక్షంలో వెక్టర్ కోఆర్డినేట్లు

అంతరిక్షంలో మేము దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ Oxyzని నిర్వచిస్తాము. Ox, Oy, Oz అక్షాల సానుకూల దిశలలోని కోఆర్డినేట్‌ల మూలం నుండి, మేము సంబంధిత యూనిట్ వెక్టర్‌లను గీస్తాము , , , వీటిని కోఆర్డినేట్ వెక్టర్స్ అని పిలుస్తారు మరియు నాన్-కోప్లానార్. అందువల్ల, ఏదైనా వెక్టర్ మూడు ఇవ్వబడిన నాన్-కోప్లానార్ కోఆర్డినేట్ వెక్టర్స్‌గా కుళ్ళిపోతుంది మరియు ప్రత్యేక విస్తరణ గుణకాలు x, y, z:

= x + y + z.

విస్తరణ గుణకాలు x, y, z అనేది ఇచ్చిన దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లోని వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు, ఇవి కుండలీకరణాల్లో వ్రాయబడతాయి (x; y; z). సున్నా వెక్టర్ సున్నాకి సమానమైన కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంటుంది (0; 0; 0). సమాన వెక్టర్స్ సమాన సంబంధిత కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంటాయి.

ఫలిత వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనడానికి నియమాలు:

1. రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ వెక్టర్‌లను సంగ్రహించినప్పుడు, ఫలిత వెక్టర్ యొక్క ప్రతి కోఆర్డినేట్ ఇచ్చిన వెక్టర్స్ యొక్క సంబంధిత కోఆర్డినేట్‌ల మొత్తానికి సమానంగా ఉంటుంది. రెండు వెక్టర్స్ (x 1; y 1 1 ; z 1 + z 1)

+ = (x 1 + x 1 ; y 1 + y 1 ; z 1 + z 1)

2. వ్యత్యాసం అనేది ఒక రకమైన మొత్తం, కాబట్టి సంబంధిత కోఆర్డినేట్‌ల వ్యత్యాసం రెండు ఇచ్చిన వెక్టర్‌లను తీసివేయడం ద్వారా పొందిన వెక్టర్ యొక్క ప్రతి కోఆర్డినేట్‌ను ఇస్తుంది. రెండు వెక్టార్‌లు ఇచ్చినట్లయితే (x a; y a; z a) మరియు (x b; y b; z b), అప్పుడు వెక్టర్‌ల వ్యత్యాసం కోఆర్డినేట్‌లతో వెక్టర్‌ను ఇస్తుంది (x a - x b; y a - y b; z a - z b)

- = (x a - x b; y a - y b; z a - z b)

3. వెక్టార్‌ను సంఖ్యతో గుణించినప్పుడు, ఫలిత వెక్టర్ యొక్క ప్రతి కోఆర్డినేట్ ఈ సంఖ్య యొక్క ఉత్పత్తికి మరియు ఇచ్చిన వెక్టర్ యొక్క సంబంధిత కోఆర్డినేట్‌కు సమానంగా ఉంటుంది. ఒక సంఖ్య k మరియు వెక్టార్ (x; y; z) ఇచ్చినట్లయితే, వెక్టార్‌ను k సంఖ్యతో గుణించడం ద్వారా వెక్టర్ k అక్షాంశాలతో వస్తుంది.

k = (kx; ky; kz).

టాస్క్.వెక్టార్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు (1; -2; -1), (-2; 3; -4), (-1; -3; 2) అయితే, వెక్టార్ = 2 - 3 + 4 యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనండి.

పరిష్కారం

2 + (-3) + 4

2 = (2·1; 2·(-2); 2·(-1)) = (2; -4; -2);

3 = (-3·(-2); -3·3; -3·(-4)) = (6; -9; 12);

4 = (4·(-1); 4·(-3); 4·2) = (-4; -12; 8).

= (2 + 6 - 4; -4 - 9 -12; -2 + 12 + 8) = (4; -25; 18).

1.12 వెక్టర్, వ్యాసార్థం వెక్టర్ మరియు పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్లు

వెక్టార్ యొక్క ప్రారంభాన్ని మూలం వద్ద ఉంచినట్లయితే వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు వెక్టర్ ముగింపు యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు.

వ్యాసార్థం వెక్టర్ అనేది మూలం నుండి ఇచ్చిన బిందువుకు డ్రా అయిన వెక్టర్; వ్యాసార్థం వెక్టర్ మరియు పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు సమానంగా ఉంటాయి.

వెక్టర్ ఉంటే
పాయింట్లు M 1 (x 1; y 1; z 1) మరియు M 2 (x 2; y 2; z 2) ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది, అప్పుడు దాని ప్రతి కోఆర్డినేట్ ముగింపు యొక్క సంబంధిత కోఆర్డినేట్‌ల వ్యత్యాసానికి సమానం మరియు వెక్టర్ యొక్క ప్రారంభం

కొల్లినియర్ వెక్టర్స్ కోసం = (x 1 ; y 1 ; z 1) మరియు = (x 2 ; y 2 ​​; z 2), ≠ 0 అయితే, వెక్టార్‌ను వ్యక్తీకరించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతించే ఒకే సంఖ్య k ఉంటుంది:

= కె

అప్పుడు వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్లు వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్ల ద్వారా వ్యక్తీకరించబడతాయి

= (kx 1 ; ky 1 ; kz 1)

కొల్లినియర్ వెక్టర్స్ యొక్క సంబంధిత కోఆర్డినేట్‌ల నిష్పత్తి ఏక సంఖ్య kకి సమానం

1.13 వెక్టర్ పొడవు మరియు రెండు పాయింట్ల మధ్య దూరం

వెక్టార్ యొక్క పొడవు (x; y; z) దాని కోఆర్డినేట్‌ల స్క్వేర్‌ల మొత్తానికి వర్గమూలానికి సమానం

ప్రారంభ బిందువులు M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) మరియు ముగింపు M 2 (x 2 ; y 2 ​​; z 2) ద్వారా పేర్కొనబడిన వెక్టార్ పొడవు స్క్వేర్‌ల మొత్తం వర్గమూలానికి సమానం వెక్టర్ ముగింపు మరియు ప్రారంభం యొక్క సంబంధిత కోఆర్డినేట్‌ల మధ్య వ్యత్యాసం

దూరం M 1 (x 1; y 1; z 1) మరియు M 2 (x 2; y 2; z 2) అనే రెండు బిందువుల మధ్య d అనేది వెక్టార్ పొడవుకు సమానం

విమానంలో z కోఆర్డినేట్ లేదు

పాయింట్ల మధ్య దూరం M 1 (x 1 ; y 1) మరియు M 2 (x 2 ; y 2)

1.14 సెగ్మెంట్ మధ్యలో కోఆర్డినేట్లు

పాయింట్ అయితే C అనేది సెగ్మెంట్ AB మధ్యలో ఉంటుంది, ఆపై పాయింట్ O వద్ద మూలం ఉన్న ఏకపక్ష కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో పాయింట్ C యొక్క వ్యాసార్థం వెక్టర్ A మరియు B పాయింట్ల వ్యాసార్థ వెక్టర్స్‌లో సగం మొత్తానికి సమానం.

వెక్టర్స్ యొక్క అక్షాంశాలు ఉంటే
(x; y; z),
(x 1 ; y 1 ; z 1),
(x 2; y 2; z 2), అప్పుడు ప్రతి వెక్టార్ కోఆర్డినేట్ సంబంధిత వెక్టార్ కోఆర్డినేట్‌ల మొత్తంలో సగం మరియు

,
,

= (x, y, z) =

సెగ్మెంట్ మధ్యలో ఉన్న ప్రతి కోఆర్డినేట్‌లు సెగ్మెంట్ చివరల సంబంధిత కోఆర్డినేట్ల సగం మొత్తానికి సమానం.

1.15 వెక్టర్స్ మధ్య కోణం

వెక్టర్స్ మధ్య కోణం ఒక పాయింట్ నుండి తీసిన మరియు ఈ వెక్టర్‌లతో కోడైరెక్ట్ చేయబడిన కిరణాల మధ్య కోణానికి సమానం. వెక్టర్స్ మధ్య కోణం 0 0 నుండి 180 0 వరకు ఉంటుంది. కోడైరెక్షనల్ వెక్టర్స్ మధ్య కోణం 0 0 . ఒక వెక్టార్ లేదా రెండూ సున్నా అయితే, వెక్టర్స్ మధ్య కోణం, కనీసం ఒకటి సున్నా అయితే, 0 0కి సమానం. లంబ వెక్టర్స్ మధ్య కోణం 90 0. వ్యతిరేక దిశలో ఉన్న వెక్టర్స్ మధ్య కోణం 180 0.

1.16 వెక్టర్ ప్రొజెక్షన్

1.17 వెక్టర్స్ యొక్క డాట్ ఉత్పత్తి

రెండు వెక్టర్స్ యొక్క స్కేలార్ ఉత్పత్తి వెక్టర్స్ యొక్క పొడవులు మరియు వెక్టర్స్ మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్ యొక్క ఉత్పత్తికి సమానమైన సంఖ్య (స్కేలార్)

ఉంటే = 0 0 , అప్పుడు వెక్టర్స్ కోడైరెక్షనల్
మరియు
= cos 0 0 = 1, కాబట్టి, కోడైరెక్షనల్ వెక్టర్స్ యొక్క స్కేలార్ ఉత్పత్తి వాటి పొడవుల (మాడ్యూల్స్) ఉత్పత్తికి సమానం.

.

వెక్టర్స్ మధ్య కోణం 0 అయితే< < 90 0 , то косинус угла между такими векторами больше нуля
, కాబట్టి స్కేలార్ ఉత్పత్తి సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది
.

సున్నా కాని వెక్టర్స్ లంబంగా ఉంటే, వాటి స్కేలార్ ఉత్పత్తి సున్నాకి సమానం
, కాస్ 90 0 = 0 నుండి. లంబ వెక్టర్స్ యొక్క స్కేలార్ ఉత్పత్తి సున్నాకి సమానం.

ఉంటే
, అప్పుడు అటువంటి వెక్టర్స్ మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్ సున్నా కంటే తక్కువగా ఉంటుంది
, కాబట్టి స్కేలార్ ఉత్పత్తి సున్నా కంటే తక్కువగా ఉంటుంది
.

వెక్టర్స్ మధ్య కోణం పెరుగుతుంది, వాటి మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్
వద్ద తగ్గుతుంది మరియు కనిష్ట విలువను చేరుకుంటుంది = 180 0 వెక్టర్స్ వ్యతిరేక దిశలో ఉన్నప్పుడు
. కాస్ 180 0 = -1 నుండి, అప్పుడు
. వ్యతిరేక దిశలో ఉన్న వెక్టర్స్ యొక్క స్కేలార్ ఉత్పత్తి వాటి పొడవు (మాడ్యూల్స్) యొక్క ప్రతికూల ఉత్పత్తికి సమానం.

వెక్టార్ యొక్క స్కేలార్ స్క్వేర్ వెక్టర్ స్క్వేర్ యొక్క మాడ్యులస్‌కి సమానం

వెక్టర్స్ యొక్క డాట్ ఉత్పత్తి కనీసం ఒకటి సున్నా అయితే సున్నాకి సమానం.

1.18 వెక్టర్స్ యొక్క స్కేలార్ ఉత్పత్తి యొక్క భౌతిక అర్థం

ఫిజిక్స్ కోర్సు నుండి A ఫోర్స్ చేసిన పని అని తెలుస్తుంది శరీరాన్ని కదిలేటప్పుడు శక్తి మరియు స్థానభ్రంశం వెక్టర్స్ మరియు వాటి మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్ యొక్క పొడవుల ఉత్పత్తికి సమానం, అనగా శక్తి మరియు స్థానభ్రంశం వెక్టర్స్ యొక్క స్కేలార్ ఉత్పత్తికి సమానం

శక్తి వెక్టార్ శరీరం యొక్క కదలికతో కోడైరెక్షనల్ అయితే, వెక్టర్స్ మధ్య కోణం
= 0 0, కాబట్టి స్థానభ్రంశంపై శక్తి చేసే పని గరిష్టంగా మరియు A =కి సమానంగా ఉంటుంది
.

0 అయితే< < 90 0 , то работа силы на перемещении положительна A > 0.

= 90 0 అయితే, స్థానభ్రంశంపై శక్తి చేసే పని సున్నా A = 0.

90 0 అయితే< < 180 0 , то работа силы на перемещении отрицательна A < 0.

ఫోర్స్ వెక్టార్ శరీరం యొక్క కదలికకు ఎదురుగా దర్శకత్వం వహించినట్లయితే, వెక్టర్స్ మధ్య కోణం = 180 0, కాబట్టి కదలికపై శక్తి యొక్క పని ప్రతికూలంగా ఉంటుంది మరియు A = -కి సమానంగా ఉంటుంది.

టాస్క్.హోరిజోన్‌కు 30 0 వంపు కోణంతో 1 కి.మీ పొడవైన రహదారి వెంట 1 టన్ను బరువున్న ప్యాసింజర్ కారును ఎత్తేటప్పుడు గురుత్వాకర్షణ ద్వారా చేసే పనిని నిర్ణయించండి. ఈ శక్తిని ఉపయోగించి 20 0 ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఎన్ని లీటర్ల నీటిని మరిగించవచ్చు?

పరిష్కారం

ఉద్యోగం ఒక గురుత్వాకర్షణ శరీరాన్ని కదిలేటప్పుడు, ఇది వెక్టర్స్ యొక్క పొడవు మరియు వాటి మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్ యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం, అనగా గురుత్వాకర్షణ మరియు స్థానభ్రంశం యొక్క వెక్టర్స్ యొక్క స్కేలార్ ఉత్పత్తికి సమానం.

గురుత్వాకర్షణ

G = mg = 1000 kg 10 m/s 2 = 10,000 N.

= 1000 మీ.

వెక్టర్స్ మధ్య కోణం = 120 0 . అప్పుడు

cos 120 0 = cos (90 0 + 30 0) = - sin 30 0 = - 0.5.

ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం

A = 10,000 N · 1000 m · (-0.5) = - 5,000,000 J = - 5 MJ.

1.19 కోఆర్డినేట్లలో వెక్టర్స్ యొక్క డాట్ ఉత్పత్తి

రెండు వెక్టర్స్ యొక్క డాట్ ఉత్పత్తి = (x 1 ; y 1 ; z 1) మరియు = (x 2 ; y 2; z 2) దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో అదే పేరుతో ఉన్న కోఆర్డినేట్ల ఉత్పత్తుల మొత్తానికి సమానం

= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 .

1.20 వెక్టర్స్ లంబంగా ఉండే పరిస్థితి

సున్నా కాని వెక్టర్స్ = (x 1 ; y 1 ; z 1) మరియు = (x 2 ; y 2 ​​; z 2) లంబంగా ఉంటే, వాటి స్కేలార్ ఉత్పత్తి సున్నా

ఒక సున్నా కాని వెక్టర్ = (x 1 ; y 1 ; z 1) ఇచ్చినట్లయితే, వెక్టార్ యొక్క అక్షాంశాలు దానికి లంబంగా (సాధారణ) = (x 2 ; y 2; z 2) సమానత్వాన్ని సంతృప్తి పరచాలి.

x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 = 0.

అటువంటి వెక్టర్స్ అనంతమైన సంఖ్యలో ఉన్నాయి.

ఒక సున్నా కాని వెక్టార్ = (x 1 ; y 1) సమతలంలో ఇచ్చినట్లయితే, వెక్టార్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు దానికి లంబంగా (సాధారణ) = (x 2 ; y 2) సమానత్వాన్ని సంతృప్తి పరచాలి.

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0.

విమానంలో సున్నా కాని వెక్టార్ = (x 1 ; y 1) ఇవ్వబడితే, వెక్టార్ లంబంగా (సాధారణ) దానికి = (x 2 ; y 2) మరియు నుండి అక్షాంశాలలో ఒకదానిని ఏకపక్షంగా సెట్ చేస్తే సరిపోతుంది. వెక్టర్స్ లంబంగా ఉండే పరిస్థితి

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

వెక్టర్ యొక్క రెండవ కోఆర్డినేట్‌ను వ్యక్తపరచండి.

ఉదాహరణకు, మీరు ఏకపక్ష కోఆర్డినేట్ x 2ని ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, అప్పుడు

y 1 y 2 = - x 1 x 2.

రెండవ వెక్టర్ కోఆర్డినేట్

మనం x 2 = y 1 ఇస్తే, వెక్టర్ యొక్క రెండవ కోఆర్డినేట్

విమానంలో సున్నా కాని వెక్టార్ = (x 1 ; y 1) ఇచ్చినట్లయితే, దానికి వెక్టార్ లంబంగా (సాధారణ) = (y 1 ; -x 1).

సున్నా కాని వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లలో ఒకటి సున్నాకి సమానం అయితే, వెక్టర్ సున్నాకి సమానం కాని అదే కోఆర్డినేట్‌ను కలిగి ఉంటుంది మరియు రెండవ కోఆర్డినేట్ సున్నాకి సమానం. అటువంటి వెక్టర్స్ కోఆర్డినేట్ అక్షాలపై ఉంటాయి మరియు అందువల్ల లంబంగా ఉంటాయి.

వెక్టర్ = (x 1 ; y 1)కి లంబంగా రెండవ వెక్టార్‌ను నిర్వచిద్దాం, కానీ వెక్టర్‌కు వ్యతిరేకం , అంటే, వెక్టర్ - . అప్పుడు వెక్టర్ కోఆర్డినేట్ల సంకేతాలను మార్చడం సరిపోతుంది

- = (-y 1 ; x 1)

1 = (y 1 ; -x 1),

2 = (-y 1 ; x 1).

టాస్క్.

పరిష్కారం

విమానంలో వెక్టర్ = (x 1 ; y 1)కి లంబంగా ఉండే రెండు వెక్టర్‌ల కోఆర్డినేట్‌లు

1 = (y 1 ; -x 1),

2 = (-y 1 ; x 1).

ప్రత్యామ్నాయ వెక్టర్ కోఆర్డినేట్స్ = (3; -5)

1 = (-5; -3),

2 = (-(-5); 3) = (5; 3).

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

3·(-5) + (-5)·(-3) = -15 + 15 = 0

కుడి!

3·5 + (-5)·3 = 15 - 15 = 0

కుడి!

సమాధానం: 1 = (-5; -3), 2 = (5; 3).

మేము x 2 = 1ని కేటాయించినట్లయితే, ప్రత్యామ్నాయం చేయండి

x 1 + y 1 y 2 = 0.

y 1 y 2 = -x 1

మేము వెక్టర్ = (x 1 ; y 1)కి లంబంగా వెక్టార్ యొక్క కోఆర్డినేట్ y 2 ను పొందుతాము.

వెక్టర్ = (x 1 ; y 1)కి లంబంగా రెండవ వెక్టార్‌ని పొందేందుకు, కానీ వెక్టార్‌కు వ్యతిరేకం . వీలు

అప్పుడు వెక్టర్ కోఆర్డినేట్ల సంకేతాలను మార్చడం సరిపోతుంది.

విమానంలో వెక్టర్ = (x 1 ; y 1)కి లంబంగా ఉండే రెండు వెక్టర్‌ల కోఆర్డినేట్‌లు

టాస్క్.ఇచ్చిన వెక్టర్ = (3; -5). విభిన్న ధోరణులతో రెండు సాధారణ వెక్టర్‌లను కనుగొనండి.

పరిష్కారం

విమానంలో వెక్టర్ = (x 1 ; y 1)కి లంబంగా ఉండే రెండు వెక్టర్‌ల కోఆర్డినేట్‌లు

ఒక వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్లు

రెండవ వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్లు

వెక్టర్స్ లంబంగా తనిఖీ చేయడానికి, మేము వాటి కోఆర్డినేట్‌లను వెక్టర్స్ లంబంగా ఉండే స్థితికి ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము.

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

3 1 + (-5) 0.6 = 3 - 3 = 0

కుడి!

3·(-1) + (-5)·(-0.6) = -3 + 3 = 0

కుడి!

సమాధానం: మరియు.

మీరు x 2 = - x 1ని కేటాయించినట్లయితే, ప్రత్యామ్నాయం

x 1 (-x 1) + y 1 y 2 = 0.

-x 1 2 + y 1 y 2 = 0.

y 1 y 2 = x 1 2

మేము వెక్టర్‌కు లంబంగా వెక్టార్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌ను పొందుతాము

మీరు x 2 = x 1ని కేటాయించినట్లయితే, ప్రత్యామ్నాయం చేయండి

x 1 x 1 + y 1 y 2 = 0.

x 1 2 + y 1 y 2 = 0.

y 1 y 2 = -x 1 2

మేము వెక్టర్‌కు లంబంగా ఉన్న రెండవ వెక్టర్ యొక్క y కోఆర్డినేట్‌ను పొందుతాము

విమానంలో వెక్టార్‌కు లంబంగా ఉన్న ఒక వెక్టార్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు = (x 1 ; y 1)

విమానంలో వెక్టార్‌కు లంబంగా ఉన్న రెండవ వెక్టార్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు = (x 1 ; y 1)

విమానంలో వెక్టర్ = (x 1 ; y 1)కి లంబంగా ఉండే రెండు వెక్టర్‌ల కోఆర్డినేట్‌లు

1.21 వెక్టర్స్ మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్

రెండు సున్నా కాని వెక్టర్స్ = (x 1 ; y 1 ; z 1) మరియు = (x 2 ; y 2 ​​; z 2) మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్ వెక్టర్స్ యొక్క స్కేలార్ ఉత్పత్తికి సమానం ఈ వెక్టర్స్ యొక్క పొడవు

ఉంటే
= 1, అప్పుడు వెక్టర్స్ మధ్య కోణం 0 0, వెక్టర్స్ కో-డైరెక్షనల్.

0 అయితే< < 1, то 0 0 < < 90 0 .

= 0 అయితే, వెక్టర్స్ మధ్య కోణం 90 0, వెక్టర్స్ లంబంగా ఉంటాయి.

ఉంటే -1< < 0, то 90 0 < < 180 0 .

= -1 అయితే, వెక్టర్స్ మధ్య కోణం 180 0 అయితే, వెక్టర్స్ వ్యతిరేక దిశలో ఉంటాయి.

ప్రారంభం మరియు ముగింపు యొక్క కోఆర్డినేట్‌ల ద్వారా వెక్టర్ ఇవ్వబడితే, వెక్టర్ ముగింపు యొక్క సంబంధిత కోఆర్డినేట్‌ల నుండి ప్రారంభం యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను తీసివేస్తే, మేము ఈ వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను పొందుతాము.

టాస్క్.వెక్టర్స్ (0; -2; 0), (-2; 0; -4) మధ్య కోణాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం

వెక్టర్స్ యొక్క డాట్ ఉత్పత్తి

= 0·(-2) + (-2)·0 + 0·(-4) = 0,

కాబట్టి వెక్టర్స్ మధ్య కోణం సమానంగా ఉంటుంది = 90 0 .

1.22 వెక్టర్స్ యొక్క స్కేలార్ ఉత్పత్తి యొక్క లక్షణాలు

స్కేలార్ ఉత్పత్తి యొక్క లక్షణాలు దేనికైనా చెల్లుతాయి , , , కె:

1.
, ఉంటే
, ఆ
, ఉంటే =, ఆ
= 0.

2. ప్రయాణ చట్టం

3. పంపిణీ చట్టం

4. కలయిక చట్టం
.

1.23 డైరెక్ట్ వెక్టర్

పంక్తి యొక్క దిశ వెక్టర్ అనేది ఒక రేఖపై లేదా ఇచ్చిన రేఖకు సమాంతరంగా ఉన్న రేఖపై ఉన్న సున్నా కాని వెక్టార్.

M 1 (x 1; y 1; z 1) మరియు M 2 (x 2; y 2; z 2) అనే రెండు పాయింట్ల ద్వారా సరళ రేఖ నిర్వచించబడితే, గైడ్ వెక్టర్
లేదా దాని వ్యతిరేక వెక్టర్
= - , దీని కోఆర్డినేట్లు

కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌ను సెట్ చేయడం మంచిది, తద్వారా లైన్ కోఆర్డినేట్‌ల మూలం గుండా వెళుతుంది, అప్పుడు లైన్‌లోని ఏకైక బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు దిశ వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లుగా ఉంటాయి.

టాస్క్.పాయింట్లు M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ యొక్క దిశ వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్లను నిర్ణయించండి.

పరిష్కారం

M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ యొక్క దిశ వెక్టర్ సూచించబడుతుంది.
. దానిలోని ప్రతి అక్షాంశాలు వెక్టర్ ముగింపు మరియు ప్రారంభం యొక్క సంబంధిత కోఆర్డినేట్‌ల మధ్య వ్యత్యాసానికి సమానం

= (0 - 1; 1 - 0; 0 - 0) = (-1; 1; 0)

కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లోని సరళ రేఖ యొక్క డైరెక్టింగ్ వెక్టర్‌ను పాయింట్ M 1 వద్ద ప్రారంభంతో, పాయింట్ M 2 వద్ద ముగింపు మరియు సమాన వెక్టర్‌తో వర్ణిద్దాం.
మూలం నుండి పాయింట్ M వద్ద ముగింపు (-1; 1; 0)

1.24 రెండు సరళ రేఖల మధ్య కోణం

ఒక విమానంలో 2 సరళ రేఖల సాపేక్ష స్థానం మరియు అటువంటి సరళ రేఖల మధ్య కోణం కోసం సాధ్యమైన ఎంపికలు:

1. సరళ రేఖలు ఒకే బిందువు వద్ద కలుస్తాయి, 4 కోణాలను ఏర్పరుస్తాయి, 2 జతల నిలువు కోణాలు జతలలో సమానంగా ఉంటాయి. రెండు ఖండన రేఖల మధ్య కోణం φ ఈ రేఖల మధ్య ఉన్న ఇతర మూడు కోణాలను మించని కోణం. కాబట్టి, పంక్తుల మధ్య కోణం φ ≤ 90 0.

ఖండన పంక్తులు, ప్రత్యేకించి, φ = 90 0కి లంబంగా ఉండవచ్చు.

అంతరిక్షంలో 2 సరళ రేఖల సాపేక్ష స్థానం మరియు అటువంటి సరళ రేఖల మధ్య కోణం కోసం సాధ్యమైన ఎంపికలు:

1. సరళ రేఖలు ఒకే బిందువు వద్ద కలుస్తాయి, 4 కోణాలను ఏర్పరుస్తాయి, 2 జతల నిలువు కోణాలు జతలలో సమానంగా ఉంటాయి. రెండు ఖండన రేఖల మధ్య కోణం φ ఈ రేఖల మధ్య ఉన్న ఇతర మూడు కోణాలను మించని కోణం.

2. పంక్తులు సమాంతరంగా ఉంటాయి, అనగా అవి ఏకీభవించవు మరియు కలుస్తాయి, φ=0 0 .

3. పంక్తులు సమానంగా ఉంటాయి, φ = 0 0 .

4. పంక్తులు కలుస్తాయి, అనగా అవి అంతరిక్షంలో కలుస్తాయి మరియు సమాంతరంగా ఉండవు. ఖండన రేఖల మధ్య కోణం φ ఈ రేఖలకు సమాంతరంగా గీసిన పంక్తుల మధ్య కోణం, తద్వారా అవి కలుస్తాయి. కాబట్టి, పంక్తుల మధ్య కోణం φ ≤ 90 0.

2 సరళ రేఖల మధ్య ఉన్న కోణం ఒకే విమానంలో ఈ సరళ రేఖలకు సమాంతరంగా గీసిన సరళ రేఖల మధ్య కోణానికి సమానంగా ఉంటుంది. కాబట్టి, పంక్తుల మధ్య కోణం 0 0 ≤ φ ≤ 90 0.

వెక్టర్స్ మరియు 0 0 ≤ θ ≤ 180 0 మధ్య కోణం θ (తీటా).

α మరియు β పంక్తుల మధ్య కోణం φ ఈ పంక్తుల దిశ వెక్టర్స్ మధ్య θ కోణానికి సమానంగా ఉంటే φ = θ, అప్పుడు

cos φ = cos θ.

సరళ రేఖల మధ్య కోణం φ = 180 0 - θ అయితే, అప్పుడు

cos φ = cos (180 0 - θ) = - cos θ.

cos φ = - cos θ.

కాబట్టి, సరళ రేఖల మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్ వెక్టర్స్ మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్ యొక్క మాడ్యులస్‌కు సమానం

cos φ = |cos θ|.

సున్నా కాని వెక్టర్స్ = (x 1 ; y 1 ; z 1) మరియు = (x 2 ; y 2 ​​; z 2) కోఆర్డినేట్‌లు ఇచ్చినట్లయితే, వాటి మధ్య θ కోణం యొక్క కొసైన్

పంక్తుల మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్ ఈ రేఖల దిశ వెక్టర్స్ మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్ యొక్క మాడ్యులస్‌కు సమానం

cos φ = |cos θ| =

పంక్తులు ఒకే రేఖాగణిత వస్తువులు, కాబట్టి అదే త్రికోణమితి కాస్ ఫంక్షన్‌లు సూత్రంలో ఉంటాయి.

రెండు పంక్తులలో ప్రతి ఒక్కటి రెండు పాయింట్ల ద్వారా ఇవ్వబడినట్లయితే, ఈ పంక్తుల దిశ వెక్టర్స్ మరియు పంక్తుల మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్‌ను నిర్ణయించడం సాధ్యపడుతుంది.

ఉంటే cos φ = 1, అప్పుడు పంక్తుల మధ్య కోణం φ 0 0 కి సమానం, మేము ఈ పంక్తుల దిశ వెక్టర్లలో ఒకదానిని ఈ పంక్తుల కోసం తీసుకోవచ్చు, పంక్తులు సమాంతరంగా లేదా సమానంగా ఉంటాయి. పంక్తులు ఏకీభవించకపోతే, అవి సమాంతరంగా ఉంటాయి. పంక్తులు ఏకీభవిస్తే, ఒక లైన్‌లోని ఏదైనా పాయింట్ మరొక రేఖకు చెందినది.

0 అయితే< cos φ ≤ 1, అప్పుడు పంక్తుల మధ్య కోణం 0 0< φ ≤ 90 0 , прямые пересекаются или скрещиваются. Если прямые не пересекаются, то они скрещиваются. Если прямые пересекаются, то они имеют общую точку.

ఉంటే cos φ = 0, అప్పుడు పంక్తుల మధ్య కోణం φ 90 0 (రేఖలు లంబంగా ఉంటాయి), పంక్తులు కలుస్తాయి లేదా దాటుతాయి.

టాస్క్. M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) మరియు M 3 (0; 0; 1) పాయింట్ల కోఆర్డినేట్‌లతో M 1 M 3 మరియు M 2 M 3 సరళ రేఖల మధ్య కోణాన్ని నిర్ణయించండి.

పరిష్కారం

Oxyz కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో ఇచ్చిన పాయింట్‌లు మరియు లైన్‌లను నిర్మిస్తాం.

మేము పంక్తుల దిశ వెక్టర్లను నిర్దేశిస్తాము, తద్వారా వెక్టర్స్ మధ్య కోణం θ ఇచ్చిన పంక్తుల మధ్య కోణం φతో సమానంగా ఉంటుంది. మనం వెక్టర్స్ = ప్రాతినిధ్యం వహిస్తాము
మరియు =
, అలాగే కోణాలు θ మరియు φ:

వెక్టర్స్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను నిర్ధారిద్దాం మరియు

= = (1 - 0; 0 - 0; 0 - 1) = (1; 0; -1);

= = (0 - 0; 1 - 0; 0 - 1) = (0; 1; -1). d = 0 మరియు ax + by + cz = 0;

విమానం కోఆర్డినేట్ అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది, దీని హోదా విమానం యొక్క సమీకరణంలో లేదు మరియు అందువల్ల సంబంధిత గుణకం సున్నా, ఉదాహరణకు, c = 0 వద్ద, విమానం Oz అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది మరియు అలా చేయదు ax + by + d = 0 సమీకరణంలో zని కలిగి ఉంటుంది;

విమానం ఆ కోఆర్డినేట్ అక్షాన్ని కలిగి ఉంది, దీని హోదా లేదు, కాబట్టి, సంబంధిత గుణకం సున్నా మరియు d = 0, ఉదాహరణకు, c = d = 0 తో, విమానం Oz అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది మరియు లో zని కలిగి ఉండదు గొడ్డలి + ద్వారా = 0 సమీకరణం;

విమానం కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌కు సమాంతరంగా ఉంటుంది, దీని చిహ్నాలు విమానం యొక్క సమీకరణంలో లేవు మరియు అందువల్ల, సంబంధిత గుణకాలు సున్నా, ఉదాహరణకు, b = c = 0 కోసం, విమానం Oyz సమన్వయ సమతలానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది. మరియు ax + d = 0 సమీకరణంలో y, z కలిగి ఉండదు.

సమతలం కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌తో సమానంగా ఉంటే, అటువంటి విమానం యొక్క సమీకరణం ఇచ్చిన కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌కు లంబంగా ఉన్న కోఆర్డినేట్ అక్షం యొక్క హోదా యొక్క సున్నాకి సమానం, ఉదాహరణకు, x = 0 అయినప్పుడు, ఇచ్చిన విమానం కోఆర్డినేట్ ప్లేన్. Oyz.

టాస్క్.సాధారణ వెక్టర్ సమీకరణం ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది

విమానం యొక్క సమీకరణాన్ని సాధారణ రూపంలో ప్రదర్శించండి.

పరిష్కారం

సాధారణ వెక్టర్ కోఆర్డినేట్లు

A; b ; c), అప్పుడు మీరు పాయింట్ M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0) యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను మరియు సాధారణ వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను విమానం యొక్క సాధారణ సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేయవచ్చు.

ax + by + cz + d = 0 (1)

మేము ఒక తెలియని d తో సమీకరణాన్ని పొందుతాము

గొడ్డలి 0 + బై 0 + cz 0 + d = 0

ఇక్కడనుంచి

d = -(ax 0 + by 0 + cz 0 )

ప్లేన్ సమీకరణం (1) ప్రత్యామ్నాయం తర్వాత d

ax + by + cz - (ax 0 + by 0 + cz 0) = 0

సున్నా కాని వెక్టార్‌కు లంబంగా M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0) పాయింట్ గుండా వెళుతున్న విమానం యొక్క సమీకరణాన్ని మేము పొందుతాము. (ఎ; బి; సి)

a (x - x 0) + b (y - y 0) + c (z - z 0) = 0

బ్రాకెట్లను తెరుద్దాం

ax - ax 0 + by - by 0 + cz - cz 0 = 0

ax + by + cz - ax 0 - by 0 - cz 0 = 0

సూచిస్తాం

d = - ax 0 - by 0 - cz 0

మేము విమానం యొక్క సాధారణ సమీకరణాన్ని పొందుతాము

ax + by + cz + d = 0.

1.29 రెండు పాయింట్లు మరియు మూలం గుండా వెళుతున్న విమానం యొక్క సమీకరణం

ax + by + cz + d = 0.

కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌ను సెట్ చేయడం మంచిది, తద్వారా విమానం ఈ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ యొక్క మూలం గుండా వెళుతుంది. ఈ ప్లేన్‌లో ఉన్న M 1 (x 1; y 1; z 1) మరియు M 2 (x 2; y 2; z 2) పాయింట్‌లను తప్పనిసరిగా పేర్కొనాలి, తద్వారా ఈ పాయింట్‌లను కలిపే సరళ రేఖ మూలం గుండా వెళ్లదు.

విమానం మూలం గుండా వెళుతుంది, కాబట్టి d = 0. అప్పుడు విమానం యొక్క సాధారణ సమీకరణం రూపాన్ని తీసుకుంటుంది

ax + by + cz = 0.

3 తెలియని గుణకాలు a, b, c ఉన్నాయి. విమానం యొక్క సాధారణ సమీకరణంలో రెండు పాయింట్ల కోఆర్డినేట్‌లను ప్రత్యామ్నాయం చేయడం 2 సమీకరణాల వ్యవస్థను ఇస్తుంది. మేము ఒకదానికి సమానమైన విమానం యొక్క సాధారణ సమీకరణంలో కొంత గుణకాన్ని తీసుకుంటే, 2 సమీకరణాల వ్యవస్థ 2 తెలియని గుణకాలను గుర్తించడానికి అనుమతిస్తుంది.

ఒక పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లలో ఒకటి సున్నా అయితే, ఈ కోఆర్డినేట్‌కు సంబంధించిన గుణకం ఒకటిగా తీసుకోబడుతుంది.

కొన్ని పాయింట్‌కి రెండు సున్నా కోఆర్డినేట్‌లు ఉంటే, ఈ సున్నా అక్షాంశాలలో ఒకదానికి సంబంధించిన గుణకం ఒకటిగా తీసుకోబడుతుంది.

a = 1 ఆమోదించబడితే, 2 సమీకరణాల వ్యవస్థ 2 తెలియని గుణకాలు b మరియు cని గుర్తించడానికి అనుమతిస్తుంది:

ఈ సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడం సులభం, అటువంటి సంఖ్యతో కొంత సమీకరణాన్ని గుణించడం ద్వారా కొన్ని తెలియని గుణకాలు సమానంగా మారతాయి. అప్పుడు సమీకరణాల వ్యత్యాసం ఈ తెలియని దాన్ని తొలగించడానికి మరియు మరొక తెలియని దాన్ని గుర్తించడానికి అనుమతిస్తుంది. ఏదైనా సమీకరణంలో కనుగొనబడిన తెలియని దాన్ని ప్రత్యామ్నాయం చేయడం వలన మీరు రెండవ తెలియని దాన్ని గుర్తించవచ్చు.

1.30 మూడు పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న విమానం యొక్క సమీకరణం

విమానం యొక్క సాధారణ సమీకరణం యొక్క కోఎఫీషియంట్‌లను గుర్తించండి

ax + by + cz + d = 0,

M 1 (x 1; y 1; z 1), M 2 (x 2; y 2; z 2) మరియు M 3 (x 3; y 3; z 3) పాయింట్ల గుండా వెళుతుంది. పాయింట్లు రెండు ఒకేలాంటి కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉండకూడదు.

4 తెలియని గుణకాలు a, b, c మరియు d ఉన్నాయి. మూడు పాయింట్ల కోఆర్డినేట్‌లను విమానం యొక్క సాధారణ సమీకరణంలోకి మార్చడం 3 సమీకరణాల వ్యవస్థను ఇస్తుంది. ఐక్యతకు సమానమైన విమానం యొక్క సాధారణ సమీకరణంలో కొంత గుణకం తీసుకోండి, అప్పుడు 3 సమీకరణాల వ్యవస్థ 3 తెలియని గుణకాలను గుర్తించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. సాధారణంగా a = 1 ఆమోదించబడుతుంది, అప్పుడు 3 సమీకరణాల వ్యవస్థ 3 తెలియని గుణకాలు b, c మరియు dని గుర్తించడానికి అనుమతిస్తుంది:

తెలియని వాటిని (గాస్ పద్ధతి) తొలగించడం ద్వారా సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడం మంచిది. మీరు సిస్టమ్‌లోని సమీకరణాలను క్రమాన్ని మార్చవచ్చు. ఏదైనా సమీకరణాన్ని సున్నాకి సమానం కాని ఏదైనా గుణకంతో గుణించవచ్చు లేదా విభజించవచ్చు. ఏదైనా రెండు సమీకరణాలను జోడించవచ్చు మరియు ఫలిత సమీకరణాన్ని జోడించిన రెండు సమీకరణాలలో దేనినైనా వ్రాయవచ్చు. తెలియని వాటిని సమీకరణాల ముందు సున్నా గుణకం పొందడం ద్వారా మినహాయించారు. ఒక సమీకరణంలో, సాధారణంగా అత్యల్పంగా, నిర్ణయించబడే ఒక వేరియబుల్ మిగిలి ఉంటుంది. కనుగొనబడిన వేరియబుల్ దిగువ నుండి రెండవ సమీకరణంలోకి మార్చబడుతుంది, ఇది సాధారణంగా 2 తెలియని వాటిని వదిలివేస్తుంది. సమీకరణాలు దిగువ నుండి పైకి పరిష్కరించబడతాయి మరియు అన్ని తెలియని గుణకాలు నిర్ణయించబడతాయి.

గుణకాలు తెలియని వాటి ముందు ఉంచబడతాయి మరియు తెలియనివి లేని పదాలు సమీకరణాల కుడి వైపుకు బదిలీ చేయబడతాయి

ఎగువ పంక్తి సాధారణంగా మొదటి లేదా ఏదైనా తెలియని దానికంటే ముందు 1 గుణకాన్ని కలిగి ఉండే సమీకరణాన్ని కలిగి ఉంటుంది లేదా మొదటి సమీకరణం మొత్తం మొదటి తెలియని గుణకంతో భాగించబడుతుంది. ఈ సమీకరణాల వ్యవస్థలో, మొదటి సమీకరణాన్ని y 1తో భాగించండి

మొదటి తెలియని ముందు మనకు 1 గుణకం వచ్చింది:

రెండవ సమీకరణం యొక్క మొదటి వేరియబుల్ ముందు గుణకాన్ని రీసెట్ చేయడానికి, మొదటి సమీకరణాన్ని -y 2తో గుణించి, దానిని రెండవ సమీకరణానికి జోడించి, రెండవ సమీకరణానికి బదులుగా ఫలిత సమీకరణాన్ని వ్రాయండి. రెండవ సమీకరణంలో మొదటి తెలియనిది తొలగించబడుతుంది ఎందుకంటే

y 2 b - y 2 b = 0.

అదేవిధంగా, మేము మొదటి సమీకరణాన్ని -y 3తో గుణించడం ద్వారా మూడవ సమీకరణంలో మొదటి తెలియని దాన్ని తొలగిస్తాము, దానిని మూడవ సమీకరణానికి జోడించి, ఫలితంగా వచ్చే సమీకరణాన్ని మూడవ సమీకరణానికి బదులుగా వ్రాయండి. మూడవ సమీకరణంలో మొదటి తెలియనిది కూడా తొలగించబడుతుంది ఎందుకంటే

y 3 b - y 3 b = 0.

అదేవిధంగా, మేము మూడవ సమీకరణంలో రెండవ తెలియని వాటిని తొలగిస్తాము. మేము దిగువ నుండి సిస్టమ్‌ను పరిష్కరిస్తాము.

టాస్క్.

ax + by + cz + d = 0,

M 1 (0; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) మరియు y పాయింట్ల గుండా వెళుతుంది+ 0 z + 0 = 0

x = 0.

పేర్కొన్న విమానం కోఆర్డినేట్ ప్లేన్ Oyz.

టాస్క్.విమానం యొక్క సాధారణ సమీకరణాన్ని నిర్ణయించండి

ax + by + cz + d = 0,

M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) మరియు M 3 (0; 0; 1) పాయింట్ల గుండా వెళుతుంది. ఈ విమానం నుండి పాయింట్ M 0 (10; -3; -7)కి దూరాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం

Oxyz కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో ఇచ్చిన పాయింట్‌లను నిర్మిస్తాం.

ఒప్పుకుందాం a= 1. మూడు పాయింట్ల కోఆర్డినేట్‌లను విమానం యొక్క సాధారణ సమీకరణంలోకి మార్చడం వల్ల 3 సమీకరణాల వ్యవస్థ లభిస్తుంది

ℓ =

వెబ్ పేజీలు: 1 2 విమానంలో మరియు అంతరిక్షంలో వెక్టర్స్ (కొనసాగింపు)

ఆండ్రీ జార్జివిచ్ ఓల్షెవ్స్కీతో సంప్రదింపులు స్కైప్ డా.irk.రు

గణితం, భౌతిక శాస్త్రం, కంప్యూటర్ సైన్స్‌లో విద్యార్థులు మరియు పాఠశాల పిల్లలు, చాలా పాయింట్లు (పార్ట్ సి) పొందాలనుకునే పాఠశాల పిల్లలు మరియు స్టేట్ ఎగ్జామ్ (జిఐఎ) మరియు యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌కు బలహీనమైన విద్యార్థులను సిద్ధం చేయడం. జ్ఞాపకశక్తి, ఆలోచన మరియు వస్తువుల యొక్క సంక్లిష్టమైన, దృశ్యమాన ప్రదర్శన యొక్క స్పష్టమైన వివరణను అభివృద్ధి చేయడం ద్వారా ప్రస్తుత విద్యా పనితీరు యొక్క ఏకకాల మెరుగుదల. ప్రతి విద్యార్థికి ప్రత్యేక విధానం. ప్రవేశానికి ప్రయోజనాలను అందించే ఒలింపియాడ్‌ల కోసం తయారీ. విద్యార్థుల విజయాన్ని మెరుగుపరచడంలో 15 సంవత్సరాల అనుభవం.

ఉన్నత గణితం, బీజగణితం, జ్యామితి, సంభావ్యత సిద్ధాంతం, గణిత గణాంకాలు, లీనియర్ ప్రోగ్రామింగ్.

సిద్ధాంతం యొక్క స్పష్టమైన వివరణ, అవగాహనలో అంతరాలను మూసివేయడం, సమస్యలను పరిష్కరించడానికి బోధనా పద్ధతులు, కోర్సు మరియు డిప్లొమాలు వ్రాసేటప్పుడు సంప్రదింపులు.

ఏవియేషన్, రాకెట్ మరియు ఆటోమొబైల్ ఇంజన్లు. హైపర్‌సోనిక్, రామ్‌జెట్, రాకెట్, పల్స్ డిటోనేషన్, పల్సేటింగ్, గ్యాస్ టర్బైన్, పిస్టన్ అంతర్గత దహన యంత్రాలు - సిద్ధాంతం, డిజైన్, గణన, బలం, డిజైన్, తయారీ సాంకేతికత. థర్మోడైనమిక్స్, హీట్ ఇంజనీరింగ్, గ్యాస్ డైనమిక్స్, హైడ్రాలిక్స్.

ఏవియేషన్, ఏరోమెకానిక్స్, ఏరోడైనమిక్స్, ఫ్లైట్ డైనమిక్స్, థియరీ, డిజైన్, ఏరోహైడ్రోమెకానిక్స్. అల్ట్రాలైట్ ఎయిర్‌క్రాఫ్ట్, ఎక్రానోప్లేన్‌లు, విమానాలు, హెలికాప్టర్లు, రాకెట్లు, క్రూయిజ్ క్షిపణులు, హోవర్‌క్రాఫ్ట్, ఎయిర్‌షిప్‌లు, ప్రొపెల్లర్లు - థియరీ, డిజైన్, గణన, బలం, డిజైన్, తయారీ సాంకేతికత.

ఆలోచనల ఉత్పత్తి మరియు అమలు. శాస్త్రీయ పరిశోధన యొక్క ప్రాథమిక అంశాలు, ఉత్పాదక పద్ధతులు, శాస్త్రీయ, ఆవిష్కరణ, వ్యాపార ఆలోచనల అమలు. శాస్త్రీయ సమస్యలు మరియు ఆవిష్కరణ సమస్యలను పరిష్కరించడానికి బోధనా పద్ధతులు. శాస్త్రీయ, ఆవిష్కరణ, రచన, ఇంజనీరింగ్ సృజనాత్మకత. ప్రకటన, ఎంపిక, అత్యంత విలువైన శాస్త్రీయ, ఆవిష్కరణ సమస్యలు మరియు ఆలోచనల పరిష్కారం.

సృజనాత్మక ఫలితాల ప్రచురణ. శాస్త్రీయ కథనాన్ని ఎలా వ్రాయాలి మరియు ప్రచురించాలి, ఆవిష్కరణ కోసం దరఖాస్తు చేసుకోండి, వ్రాయండి, పుస్తకాన్ని ప్రచురించండి. థియరీ ఆఫ్ రైటింగ్, డిఫెండింగ్ డిసెర్టేషన్స్. ఆలోచనలు మరియు ఆవిష్కరణల నుండి డబ్బు సంపాదించడం. ఆవిష్కరణల సృష్టిలో సలహాలు, ఆవిష్కరణల కోసం అప్లికేషన్లు రాయడం, శాస్త్రీయ కథనాలు, ఆవిష్కరణల కోసం అప్లికేషన్లు, పుస్తకాలు, మోనోగ్రాఫ్‌లు, పరిశోధనలు. ఆవిష్కరణలు, శాస్త్రీయ కథనాలు, మోనోగ్రాఫ్‌ల సహ రచయిత.

సైద్ధాంతిక మెకానిక్స్ (teormekh), పదార్థాల బలం (పదార్థాల బలం), యంత్ర భాగాలు, యంత్రాంగాలు మరియు యంత్రాల సిద్ధాంతం (TMM), మెకానికల్ ఇంజనీరింగ్ టెక్నాలజీ, సాంకేతిక విభాగాలు.

ఎలక్ట్రికల్ ఇంజనీరింగ్ (TOE), ఎలక్ట్రానిక్స్, డిజిటల్ మరియు అనలాగ్ ఎలక్ట్రానిక్స్ యొక్క ఫండమెంటల్స్ యొక్క సైద్ధాంతిక పునాదులు.

విశ్లేషణాత్మక జ్యామితి, వివరణాత్మక జ్యామితి, ఇంజనీరింగ్ గ్రాఫిక్స్, డ్రాయింగ్. కంప్యూటర్ గ్రాఫిక్స్, గ్రాఫిక్స్ ప్రోగ్రామింగ్, ఆటోకాడ్, నానోకాడ్, ఫోటోమాంటేజ్‌లో డ్రాయింగ్‌లు.

తర్కం, గ్రాఫ్‌లు, చెట్లు, వివిక్త గణితం.

OpenOffice మరియు LibreOffice బేసిక్, విజువల్ బేసిక్, VBA, NET, ASP.NET,మాక్రోలు, VBScript, BASIC, C, C++, Delphi, Pascal, Delphi, Pascal, C#, JavaScript, Fortran, html, Matkad. ప్రోగ్రామ్‌ల సృష్టి, PCలు, ల్యాప్‌టాప్‌లు, మొబైల్ పరికరాల కోసం గేమ్స్. ఉచిత రెడీమేడ్ ప్రోగ్రామ్‌ల ఉపయోగం, ఓపెన్ సోర్స్ ఇంజన్లు.

క్రియేషన్, ప్లేస్‌మెంట్, ప్రమోషన్, వెబ్‌సైట్‌ల ప్రోగ్రామింగ్, ఆన్‌లైన్ స్టోర్‌లు, వెబ్‌సైట్‌లలో డబ్బు సంపాదించడం, వెబ్ డిజైన్.

కంప్యూటర్ సైన్స్, PC వినియోగదారు: టెక్స్ట్‌లు, టేబుల్‌లు, ప్రెజెంటేషన్‌లు, 2 గంటల్లో స్పీడ్ టైపింగ్‌లో శిక్షణ, డేటాబేస్, 1C, Windows, Word, Excel, Access, Gimp, OpenOffice, AutoCAD, nanoCad, ఇంటర్నెట్, నెట్‌వర్క్‌లు, ఇమెయిల్.

స్థిర కంప్యూటర్లు మరియు ల్యాప్‌టాప్‌ల సంస్థాపన మరియు మరమ్మత్తు.

వీడియో బ్లాగర్, సృష్టించడం, సవరించడం, వీడియోలను పోస్ట్ చేయడం, వీడియో ఎడిటింగ్, వీడియో బ్లాగుల నుండి డబ్బు సంపాదించడం.

ఎంపిక, లక్ష్యాలను సాధించడం, ప్రణాళిక.

ఇంటర్నెట్‌లో డబ్బు సంపాదించడంలో శిక్షణ: బ్లాగర్, వీడియో బ్లాగర్, ప్రోగ్రామ్‌లు, వెబ్‌సైట్‌లు, ఆన్‌లైన్ స్టోర్, కథనాలు, పుస్తకాలు మొదలైనవి.

మీరు సైట్ అభివృద్ధికి మద్దతు ఇవ్వవచ్చు, ఆండ్రీ జార్జివిచ్ ఓల్షెవ్స్కీ యొక్క కన్సల్టింగ్ సేవలకు చెల్లించవచ్చు

10.15.17 ఓల్షెవ్స్కీ ఆండ్రీ జార్జివిచ్ఇ-మెయిల్:[ఇమెయిల్ రక్షించబడింది]

సరళ కలయిక యొక్క గుణకాల యొక్క ప్రత్యేకత మునుపటి పరిణామంలో అదే విధంగా నిరూపించబడింది.

పర్యవసానం:ఏదైనా నాలుగు వెక్టర్స్ సరళంగా ఆధారపడి ఉంటాయి

అధ్యాయం 4. ఆధారం యొక్క భావన. ఇచ్చిన ప్రాతిపదికన వెక్టర్ యొక్క లక్షణాలు

నిర్వచనం:అంతరిక్షంలో ఆధారం నాన్-కోప్లానార్ వెక్టర్స్ యొక్క ఏదైనా ఆర్డర్ ట్రిపుల్.

నిర్వచనం:విమానం ఆధారంగా నాన్‌కోలినియర్ వెక్టర్‌ల యొక్క ఏదైనా ఆర్డర్ జత.

స్పేస్‌లోని ఒక ఆధారం ప్రతి వెక్టర్‌ను ప్రత్యేకంగా ఆర్డర్ చేసిన ట్రిపుల్ సంఖ్యలతో అనుబంధించడానికి అనుమతిస్తుంది - ఈ వెక్టర్‌ను ప్రాతిపదిక వెక్టర్‌ల సరళ కలయిక రూపంలో సూచించే గుణకాలు. దీనికి విరుద్ధంగా, మేము సరళ కలయికను చేస్తే ఆధారాన్ని ఉపయోగించి ప్రతి ఆర్డర్ ట్రిపుల్ సంఖ్యలతో వెక్టర్‌ను అనుబంధిస్తాము.

నంబర్లు అంటారు భాగాలు (లేదా అక్షాంశాలు ) ఇచ్చిన ప్రాతిపదికన వెక్టర్ (వ్రాశారు).

సిద్ధాంతం:రెండు వెక్టర్‌లను జోడించినప్పుడు, వాటి కోఆర్డినేట్‌లు జోడించబడతాయి. వెక్టార్‌ను సంఖ్యతో గుణించినప్పుడు, వెక్టర్ యొక్క అన్ని కోఆర్డినేట్‌లు ఆ సంఖ్యతో గుణించబడతాయి.

నిజానికి, ఉంటే , ఆ

విమానంలో వెక్టర్ కోఆర్డినేట్‌ల నిర్వచనం మరియు లక్షణాలు సమానంగా ఉంటాయి. మీరు వాటిని మీరే సులభంగా రూపొందించవచ్చు.

చాప్టర్ 5. వెక్టర్ ప్రొజెక్షన్

కింద వెక్టర్స్ మధ్య కోణం డేటాకు సమానమైన మరియు సాధారణ మూలాన్ని కలిగి ఉన్న వెక్టర్స్ మధ్య కోణాన్ని సూచిస్తుంది. కోణ సూచన దిశ పేర్కొనబడకపోతే, వెక్టర్స్ మధ్య కోణం π మించని కోణంగా పరిగణించబడుతుంది. వెక్టార్లలో ఒకటి సున్నా అయితే, కోణం సున్నాకి సమానంగా పరిగణించబడుతుంది. వెక్టర్స్ మధ్య కోణం నేరుగా ఉంటే, అప్పుడు వెక్టర్స్ అంటారు ఆర్తోగోనల్ .

నిర్వచనం:ఆర్తోగోనల్ ప్రొజెక్షన్ వెక్టర్ వెక్టర్ దిశకు స్కేలార్ పరిమాణం అని పిలుస్తారు , φ - వెక్టర్స్ మధ్య కోణం (Fig. 9).

ఈ స్కేలార్ పరిమాణం యొక్క మాడ్యులస్ సెగ్మెంట్ యొక్క పొడవుకు సమానంగా ఉంటుంది ఓ ఏ. 0 .

కోణం φ తీవ్రంగా ఉంటే, ప్రొజెక్షన్ సానుకూలంగా ఉంటుంది; కోణం φ మందంగా ఉంటే, ప్రొజెక్షన్ ప్రతికూలంగా ఉంటుంది; కోణం φ నేరుగా ఉంటే, ప్రొజెక్షన్ సున్నా.

ఆర్తోగోనల్ ప్రొజెక్షన్‌తో, విభాగాల మధ్య కోణం ఓ ఏ. 0 మరియు ఎ.ఎ. 0 నేరుగా. ఈ కోణం లంబ కోణం నుండి భిన్నంగా ఉండే అంచనాలు ఉన్నాయి.

వెక్టర్స్ యొక్క అంచనాలు క్రింది లక్షణాలను కలిగి ఉంటాయి:

ఆధారం అంటారు ఆర్తోగోనల్ , దాని వెక్టర్స్ జత వైపు ఆర్తోగోనల్ అయితే.

ఆర్తోగోనల్ ఆధారం అంటారు ఆర్థోనార్మల్ , దాని వెక్టర్స్ పొడవు ఒకదానికి సమానంగా ఉంటే. అంతరిక్షంలో ఆర్థోనార్మల్ ప్రాతిపదికన, సంజ్ఞామానం తరచుగా ఉపయోగించబడుతుంది.

సిద్ధాంతం:ఆర్థోనార్మల్ ప్రాతిపదికన, వెక్టర్స్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు కోఆర్డినేట్ వెక్టర్స్ యొక్క దిశలపై ఈ వెక్టర్ యొక్క సంబంధిత ఆర్తోగోనల్ ప్రొజెక్షన్‌లు.

ఉదాహరణ:యూనిట్ పొడవు యొక్క వెక్టార్ విమానంలో ఒక ఆర్థోనార్మల్ ప్రాతిపదికన ఉన్న వెక్టర్‌తో కోణం φని ఏర్పరుస్తుంది, ఆపై .

ఉదాహరణ:యూనిట్ పొడవు గల వెక్టర్ వెక్టార్‌లతో α, β, γ కోణాలను ఏర్పరుస్తుంది మరియు అంతరిక్షంలో ఒక ఆర్థోనార్మల్ ప్రాతిపదికన వరుసగా (Fig. 11), ఆపై . పైగా. cosα, cosβ, cosγ పరిమాణాలను వెక్టర్ యొక్క దిశ కొసైన్‌లు అంటారు.

అధ్యాయం 6. డాట్ ఉత్పత్తి

నిర్వచనం:రెండు వెక్టర్స్ యొక్క స్కేలార్ ఉత్పత్తి అనేది ఈ వెక్టర్స్ యొక్క పొడవు మరియు వాటి మధ్య ఉన్న కోణం యొక్క కొసైన్ యొక్క ఉత్పత్తికి సమానమైన సంఖ్య. వెక్టార్లలో ఒకటి సున్నా అయితే, స్కేలార్ ఉత్పత్తి సున్నాకి సమానంగా పరిగణించబడుతుంది.

వెక్టర్స్ యొక్క స్కేలార్ ఉత్పత్తి మరియు దీనిచే సూచించబడుతుంది [లేదా ; లేదా ]. φ అనేది వెక్టర్స్ మధ్య కోణం అయితే మరియు , అప్పుడు .

స్కేలార్ ఉత్పత్తి క్రింది లక్షణాలను కలిగి ఉంది:

సిద్ధాంతం:ఆర్తోగోనల్ ప్రాతిపదికన, ఏదైనా వెక్టర్ యొక్క భాగాలు సూత్రాల ప్రకారం కనుగొనబడతాయి:

నిజానికి, వీలు , మరియు ప్రతి పదం సంబంధిత ప్రాతిపదిక వెక్టర్‌కు కొలినియర్‌గా ఉంటుంది. రెండవ విభాగం యొక్క సిద్ధాంతం నుండి అది అనుసరిస్తుంది , వెక్టర్స్ అనేదానిపై ఆధారపడి ప్లస్ లేదా మైనస్ గుర్తు ఎంపిక చేయబడుతుంది మరియు అదే లేదా వ్యతిరేక దిశలలో నిర్దేశించబడుతుంది. కానీ, , ఇక్కడ φ అనేది వెక్టర్స్ మధ్య కోణం , మరియు . కాబట్టి, . మిగిలిన భాగాలు ఒకే విధంగా లెక్కించబడతాయి.

కింది ప్రాథమిక సమస్యలను పరిష్కరించడానికి డాట్ ఉత్పత్తి ఉపయోగించబడుతుంది:

1. ; 2. ; 3. .

వెక్టర్స్ ఒక నిర్దిష్ట ప్రాతిపదికన ఇవ్వబడనివ్వండి, ఆపై, స్కేలార్ ఉత్పత్తి యొక్క లక్షణాలను ఉపయోగించి, మనం వ్రాయవచ్చు:

ఇచ్చిన ప్రాతిపదికన పరిమాణాలను మెట్రిక్ కోఎఫీషియంట్స్ అంటారు. అందుకే .

సిద్ధాంతం:ఆర్థోనార్మల్ ప్రాతిపదికన

;
;
;
.

వ్యాఖ్య:ఈ విభాగంలోని అన్ని వాదనలు అంతరిక్షంలో వెక్టర్స్ స్థానం విషయంలో ఇవ్వబడ్డాయి. అనవసరమైన భాగాలను తొలగించడం ద్వారా విమానంలో వెక్టర్స్ ఉన్న సందర్భం పొందబడుతుంది. దీన్ని మీరే చేయాలని రచయిత సూచిస్తున్నారు.

అధ్యాయం 7. వెక్టర్ ఉత్పత్తి

నాన్-కోప్లానార్ వెక్టర్స్ యొక్క ఆర్డర్ ట్రిపుల్ అంటారు కుడి-ఆధారిత (కుడి ), మూడవ వెక్టర్ చివరి నుండి సాధారణ మూలానికి దరఖాస్తు చేసిన తర్వాత, మొదటి వెక్టార్ నుండి రెండవదానికి అతి తక్కువ మలుపు అపసవ్య దిశలో కనిపిస్తుంది. లేకపోతే, నాన్-కోప్లానార్ వెక్టర్స్ యొక్క ఆర్డర్ ట్రిపుల్ అంటారు ఎడమవైపు దృష్టి సారిస్తుంది (వదిలేశారు ).

నిర్వచనం:వెక్టర్ మరియు వెక్టర్ యొక్క క్రాస్ ప్రొడక్ట్ అనేది షరతులను సంతృప్తిపరిచే వెక్టర్:

వెక్టార్లలో ఒకటి సున్నా అయితే, క్రాస్ ప్రొడక్ట్ సున్నా వెక్టర్.

వెక్టర్ మరియు వెక్టర్ యొక్క క్రాస్ ప్రొడక్ట్ సూచించబడుతుంది (లేదా).

సిద్ధాంతం:రెండు వెక్టర్స్ యొక్క కోలినియారిటీకి అవసరమైన మరియు తగినంత షరతు ఏమిటంటే వాటి వెక్టర్ ఉత్పత్తి సున్నాకి సమానం.

సిద్ధాంతం:రెండు వెక్టర్స్ యొక్క వెక్టర్ ఉత్పత్తి యొక్క పొడవు (మాడ్యులస్) ఈ వెక్టర్స్‌పై భుజాలుగా నిర్మించిన సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వైశాల్యానికి సమానం.

ఉదాహరణ:సరైన ఆర్థోనార్మల్ ఆధారం అయితే, , , .

ఉదాహరణ:ఎడమ ఆర్థోనార్మల్ ప్రాతిపదిక అయితే, అప్పుడు , , .

ఉదాహరణ:ఒక ఆర్తోగోనల్ గా ఉండనివ్వండి. అప్పుడు వెక్టర్ చుట్టూ సవ్యదిశలో తిప్పడం ద్వారా వెక్టర్ నుండి పొందబడుతుంది (వెక్టార్ చివరి నుండి చూసినట్లుగా).