V-6-2014 (యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ బ్యాంక్ నుండి మొత్తం 56 ప్రోటోటైప్‌లు)
సరళమైన వాటిని నిర్మించి, అన్వేషించగలగాలి గణిత నమూనాలు(సంభావ్యత సిద్ధాంతం)
1.యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలో, రెండు విసిరివేయబడతాయి పాచికలు. మొత్తం 8 పాయింట్లు ఉండే సంభావ్యతను కనుగొనండి. ఫలితాన్ని వందవ వంతుకు పూరించండి.పరిష్కారం: పాచికలు విసరడం వల్ల 8 పాయింట్లు కనిపించే ఫలితాల సంఖ్య 5: 2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2. ప్రతి పాచికలు ఆరు సాధ్యమైన రోల్స్‌ను కలిగి ఉంటాయి, కాబట్టి మొత్తం ఫలితాల సంఖ్య 6 6 = 36. కాబట్టి, మొత్తం 8 రోలింగ్ సంభావ్యత 5: 36 = 0.138... = 0.14
2. యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలో, సుష్ట నాణెం రెండుసార్లు విసిరివేయబడుతుంది. తలలు సరిగ్గా ఒకసారి కనిపించే సంభావ్యతను కనుగొనండి.పరిష్కారం: ప్రయోగం యొక్క 4 సమానమైన ఫలితాలు ఉన్నాయి: తలలు-తలలు, తలలు-తోకలు, తోకలు-తలలు, తోకలు-తోకలు. తలలు రెండు సందర్భాలలో సరిగ్గా ఒకసారి కనిపిస్తాయి: తలలు-తోకలు మరియు తోకలు-తలలు. కాబట్టి, తలలు సరిగ్గా 1 సారి కనిపించే సంభావ్యత 2: 4 = 0.5.
3. జిమ్నాస్టిక్స్ ఛాంపియన్‌షిప్‌లో 20 మంది అథ్లెట్లు పాల్గొంటున్నారు: రష్యా నుండి 8, USA నుండి 7, మిగిలిన చైనా నుండి. జిమ్నాస్ట్‌లు చేసే క్రమం లాట్ ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది. అథ్లెట్ మొదట పోటీ చేసే సంభావ్యతను కనుగొనండి చైనా నుండి.పరిష్కారం: ఛాంపియన్‌షిప్‌లో పాల్గొంటుందిచైనా నుండి అథ్లెట్లు. అప్పుడు అథ్లెట్ మొదట పోటీ చేసే సంభావ్యత చైనా నుండి 5: 20 = 0.25
4. సగటున, విక్రయించబడిన 1000 తోట పంపులలో, 5 లీక్. నియంత్రణ కోసం యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడిన ఒక పంపు లీక్ చేయని సంభావ్యతను కనుగొనండి.పరిష్కారం: సగటున, విక్రయించబడిన 1000 తోట పంపులలో, 1000 - 5 = 995 లీక్ అవ్వవు. అంటే నియంత్రణ కోసం యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడిన ఒక పంపు లీక్ కాకుండా ఉండే సంభావ్యత 995: 1000 = 0.995కి సమానం
5. ఫ్యాక్టరీ సంచులను ఉత్పత్తి చేస్తుంది. సగటున, ప్రతి 100 నాణ్యమైన సంచులకు, దాచిన లోపాలు ఉన్న ఎనిమిది సంచులు ఉన్నాయి. కొనుగోలు చేసిన బ్యాగ్ అధిక నాణ్యతతో ఉండే సంభావ్యతను కనుగొనండి. ఫలితాన్ని వందవ వంతుకు పూరించండి.పరిష్కారం: షరతు ప్రకారం, ప్రతి 100 + 8 = 108 సంచులకు 100 నాణ్యమైన సంచులు ఉన్నాయి. అంటే కొనుగోలు చేసిన బ్యాగ్ అధిక నాణ్యతతో ఉండే సంభావ్యత 100: 108 =0.925925...= 0.93
6. షాట్ పుట్ పోటీలో ఫిన్ లాండ్ నుంచి 4 అథ్లెట్లు, డెన్మార్క్ నుంచి 7, స్వీడన్ నుంచి 9, నార్వే నుంచి 5 అథ్లెట్లు పాల్గొంటున్నారు. అథ్లెట్లు పోటీపడే క్రమం లాట్ ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది. స్వీడన్ నుండి చివరిగా పోటీ చేసే అథ్లెట్ సంభావ్యతను కనుగొనండి. పరిష్కారం: మొత్తంగా, 4 + 7 + 9 + 5 = 25 మంది అథ్లెట్లు పోటీలో పాల్గొంటారు. అంటే స్వీడన్ నుండి చివరిగా పోటీ చేసే అథ్లెట్ సంభావ్యత 9: 25 = 0.36
7.శాస్త్రీయ సమావేశం 5 రోజుల్లో నిర్వహించారు. మొత్తం 75 నివేదికలు ప్రణాళిక చేయబడ్డాయి - మొదటి మూడు రోజులలో 17 నివేదికలు ఉంటాయి, మిగిలినవి నాల్గవ మరియు ఐదవ రోజుల మధ్య సమానంగా పంపిణీ చేయబడతాయి. నివేదికల క్రమం లాట్‌లను గీయడం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది. కాన్ఫరెన్స్ చివరి రోజున ప్రొఫెసర్ M. యొక్క నివేదిక షెడ్యూల్ చేయబడే సంభావ్యత ఏమిటి?పరిష్కారం: మొదటి మూడు రోజుల్లో, 51 నివేదికలు చదవబడతాయి మరియు చివరి రెండు రోజులలో 24 నివేదికలు ప్రణాళిక చేయబడ్డాయి. అందువల్ల, చివరి రోజు కోసం 12 నివేదికలు ప్లాన్ చేయబడ్డాయి. అంటే ప్రొఫెసర్ M. యొక్క నివేదిక కాన్ఫరెన్స్ చివరి రోజున షెడ్యూల్ చేయబడే సంభావ్యత 12: 75 = 0.16
8. ప్రదర్శకుల పోటీ 5 రోజుల పాటు నిర్వహించబడుతుంది. మొత్తం 80 ప్రదర్శనలు ప్రకటించబడ్డాయి - ప్రతి దేశం నుండి ఒకటి. మొదటి రోజు 8 ప్రదర్శనలు ఉన్నాయి, మిగిలినవి మిగిలిన రోజుల మధ్య సమానంగా పంపిణీ చేయబడతాయి. ప్రదర్శనల క్రమం చాలా డ్రాయింగ్ ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది. పోటీ యొక్క మూడవ రోజున రష్యన్ ప్రతినిధి ప్రదర్శించే సంభావ్యత ఏమిటి?పరిష్కారం: మూడవ రోజు షెడ్యూల్ చేయబడిందిప్రసంగాలు. దీని అర్థం పోటీ యొక్క మూడవ రోజున రష్యా నుండి ప్రతినిధి పనితీరు షెడ్యూల్ చేయబడే సంభావ్యత 18: 80 = 0.225
9. నార్వే నుండి 3, రష్యా నుండి 3 మరియు స్పెయిన్ నుండి 4 శాస్త్రవేత్తలు సెమినార్‌కు వచ్చారు. నివేదికల క్రమం లాట్‌లను గీయడం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది. ఎనిమిదవ నివేదిక రష్యా నుండి వచ్చిన శాస్త్రవేత్త యొక్క నివేదిక అని సంభావ్యతను కనుగొనండి.పరిష్కారం: మొత్తంగా, 3 + 3 + 4 = 10 మంది శాస్త్రవేత్తలు సెమినార్‌లో పాల్గొంటారు, అంటే ఎనిమిదవ మాట్లాడే శాస్త్రవేత్త రష్యా నుండి వచ్చే సంభావ్యత 3:10 = 0.3.
10.బ్యాడ్మింటన్ ఛాంపియన్‌షిప్ యొక్క మొదటి రౌండ్ ప్రారంభానికి ముందు, పాల్గొనేవారు ఆడుకునే జంటలుగా విభజించబడ్డారు యాదృచ్ఛికంగాచాలా ద్వారా. మొత్తంగా, 26 మంది బ్యాడ్మింటన్ క్రీడాకారులు ఛాంపియన్‌షిప్‌లో పాల్గొంటున్నారు, ఇందులో రష్యా నుండి 10 మంది పాల్గొనేవారు, రుస్లాన్ ఓర్లోవ్ ఉన్నారు. మొదటి రౌండ్‌లో రుస్లాన్ ఓర్లోవ్ రష్యాకు చెందిన ఏదైనా బ్యాడ్మింటన్ ప్లేయర్‌తో ఆడే సంభావ్యతను కనుగొనండి?పరిష్కారం: మొదటి రౌండ్‌లో, రుస్లాన్ ఓర్లోవ్ 26 - 1 = 25 బ్యాడ్మింటన్ క్రీడాకారులతో ఆడవచ్చు, అందులో 10 - 1 = 9 మంది రష్యాకు చెందినవారు. అంటే మొదటి రౌండ్‌లో రుస్లాన్ ఓర్లోవ్ రష్యాకు చెందిన ఏదైనా బ్యాడ్మింటన్ ప్లేయర్‌తో ఆడే సంభావ్యత 9: 25 = 0.36.
11. జీవశాస్త్రం కోసం టిక్కెట్ల సేకరణలో 55 టిక్కెట్లు మాత్రమే ఉన్నాయి, వాటిలో 11 వృక్షశాస్త్రంపై ప్రశ్నను కలిగి ఉన్నాయి. యాదృచ్ఛికంగా ఎంచుకున్న పరీక్ష టిక్కెట్‌పై విద్యార్థి వృక్షశాస్త్రంపై ప్రశ్నను పొందే సంభావ్యతను కనుగొనండి.పరిష్కారం: 11: 55 = 0.2
12. డైవింగ్ ఛాంపియన్‌షిప్‌లో 25 మంది అథ్లెట్లు ప్రదర్శన చేస్తున్నారు, వారిలో రష్యా నుండి 8 జంపర్లు మరియు పరాగ్వే నుండి 9 జంపర్లు ఉన్నారు. ప్రదర్శనల క్రమం చాలా డ్రాయింగ్ ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది. పరాగ్వే జంపర్ ఆరవ స్థానంలో ఉండే సంభావ్యతను కనుగొనండి.
13.రెండు కర్మాగారాలు కారు హెడ్‌లైట్ల కోసం ఒకే గాజును ఉత్పత్తి చేస్తాయి. మొదటి ఫ్యాక్టరీ ఈ గ్లాసులలో 30%, రెండవది - 70% ఉత్పత్తి చేస్తుంది. మొదటి కర్మాగారం 3% లోపభూయిష్ట గాజును ఉత్పత్తి చేస్తుంది, మరియు రెండవది - 4%. అనుకోకుండా దుకాణంలో కొనుగోలు చేసిన గాజు లోపభూయిష్టంగా మారే సంభావ్యతను కనుగొనండి.
పరిష్కారం. %%ని భిన్నాలుగా మార్చండి.
ఈవెంట్ A - "మొదటి ఫ్యాక్టరీ నుండి గాజు కొనుగోలు చేయబడింది." P(A)=0.3
ఈవెంట్ B - "రెండవ ఫ్యాక్టరీ నుండి గాజు కొనుగోలు చేయబడింది." P(B)=0.7
ఈవెంట్ X - "లోపభూయిష్ట గాజు".
P(A మరియు X) = 0.3*0.03=0.009
P(B మరియు X) = 0.7*0.04=0.028 సూత్రం ప్రకారం పూర్తి సంభావ్యత:P = 0.009+0.028 = 0.037
14.గ్రాండ్‌మాస్టర్ A. తెల్లగా ఆడితే, అతను గ్రాండ్‌మాస్టర్ B.పై సంభావ్యత 0.52తో గెలుస్తాడు. A. నలుపు రంగుతో ఆడితే, A. B.పై సంభావ్యత 0.3తో గెలుస్తుంది. గ్రాండ్‌మాస్టర్‌లు A. మరియు B. రెండు గేమ్‌లు ఆడతారు మరియు రెండవ గేమ్‌లో వారు పావుల రంగును మారుస్తారు. A. రెండు సార్లు గెలిచే సంభావ్యతను కనుగొనండి. పరిష్కారం: 0,52 * 0,3 = 0,156.
15. వాస్యా, పెట్యా, కొల్యా మరియు లియోషా ఆటను ఎవరు ప్రారంభించాలి అనేదానిపై లాట్లు వేశారు. పెట్యా ఆటను ప్రారంభించే సంభావ్యతను కనుగొనండి.
పరిష్కారం: యాదృచ్ఛిక ప్రయోగం - చాలా కాస్టింగ్.
ఈ ప్రయోగంలో, ఎలిమెంటరీ ఈవెంట్ లాట్‌ను గెలుచుకున్న పార్టిసిపెంట్.
సాధ్యమయ్యే ప్రాథమిక సంఘటనలను జాబితా చేద్దాం:
(వాస్య), (పెట్యా), (కోల్య), (లియోషా).
వాటిలో 4 ఉంటుంది, అనగా. N=4. అన్ని ప్రాథమిక సంఘటనలు సమానంగా సాధ్యమేనని చాలా సూచిస్తుంది.
ఈవెంట్ A= (పెట్యా లాట్ గెలిచింది) కేవలం ఒక ప్రాథమిక ఈవెంట్ (పెట్యా) ద్వారా అనుకూలంగా ఉంటుంది. కాబట్టి N(A)=1.
అప్పుడు P(A)=0.25సమాధానం: 0.25.
16. ప్రపంచ ఛాంపియన్‌షిప్‌లో 16 జట్లు పాల్గొంటాయి. లాట్‌లను ఉపయోగించి, వాటిని ఒక్కొక్కటి నాలుగు బృందాలుగా నాలుగు గ్రూపులుగా విభజించాలి. బాక్స్‌లో గ్రూప్ నంబర్‌లు కలిపిన కార్డ్‌లు ఉన్నాయి: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. టీమ్ కెప్టెన్లు ఒక్కొక్కరు ఒక్కో కార్డును డ్రా చేస్తారు. రష్యా జట్టు రెండవ సమూహంలో ఉండే సంభావ్యత ఏమిటి?పరిష్కారం: మొత్తం ఫలితాలు - 16. వీటిలో, అనుకూలమైనవి, అనగా. సంఖ్య 2తో, అది 4 అవుతుంది. కాబట్టి 4: 16=0.25
17. జ్యామితి పరీక్షలో, ఒక విద్యార్థి జాబితా నుండి ఒక ప్రశ్నను పొందుతాడు పరీక్ష ప్రశ్నలు. ఇది లిఖించబడిన సర్కిల్ ప్రశ్న అని సంభావ్యత 0.2. ఇది "సమాంతర చతుర్భుజం" అంశంపై ప్రశ్నగా ఉండే సంభావ్యత 0.15. ఈ రెండు అంశాలకు ఏకకాలంలో సంబంధించిన ప్రశ్నలు లేవు. పరీక్షలో ఈ రెండు అంశాలలో ఒకదానిపై విద్యార్థికి ప్రశ్న వచ్చే సంభావ్యతను కనుగొనండి.
= (“ఇన్‌స్క్రైబ్డ్ సర్కిల్” అనే అంశంపై ప్రశ్న),
= ("సమాంతర చతుర్భుజం" అంశంపై ప్రశ్న).
ఈవెంట్స్మరియు అననుకూలమైనవి, ఎందుకంటే షరతుల ప్రకారం జాబితాలో ఒకే సమయంలో ఈ రెండు అంశాలకు సంబంధించిన ప్రశ్నలు ఉండవు.
ఈవెంట్= (ఈ రెండు అంశాలలో ఒకదానిపై ప్రశ్న) వాటి కలయిక:.
అననుకూల ఈవెంట్‌ల సంభావ్యతలను జోడించడానికి మేము సూత్రాన్ని వర్తింపజేద్దాం:
.
18.బి మాల్రెండు సారూప్య యంత్రాలు కాఫీని విక్రయిస్తాయి. రోజు ముగిసే సమయానికి యంత్రం కాఫీ అయిపోయే సంభావ్యత 0.3. రెండు మెషీన్లలో కాఫీ అయిపోయే సంభావ్యత 0.12. రోజు చివరిలో రెండు మెషీన్లలో కాఫీ మిగిలి ఉండే సంభావ్యతను కనుగొనండి.
సంఘటనలను నిర్వచించండి
= (మొదటి యంత్రంలో కాఫీ అయిపోతుంది),
= (రెండవ యంత్రంలో కాఫీ అయిపోతుంది).
సమస్య యొక్క పరిస్థితుల ప్రకారంమరియు .
సంభావ్యతలను జోడించడానికి సూత్రాన్ని ఉపయోగించి, మేము ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యతను కనుగొంటాము
మరియు = (కనీసం ఒక మెషీన్‌లో కాఫీ అయిపోతుంది):
.
అందువల్ల, వ్యతిరేక సంఘటన యొక్క సంభావ్యత (రెండు మెషీన్లలో కాఫీ ఉంటుంది) సమానంగా ఉంటుంది
.
19. ఒక బయాథ్లెట్ ఐదుసార్లు లక్ష్యాల వద్ద కాలుస్తుంది. ఒక షాట్‌తో లక్ష్యాన్ని చేధించే సంభావ్యత 0.8. బయాథ్లెట్ మొదటి మూడు సార్లు లక్ష్యాలను చేధించే సంభావ్యతను కనుగొనండి మరియు చివరి రెండు తప్పిపోతుంది. ఫలితాన్ని వందవ వంతుకు పూరించండి.
ఈ సమస్యలో ప్రతి తదుపరి షాట్ ఫలితం మునుపటి వాటిపై ఆధారపడి ఉండదని భావించబడుతుంది. అందువల్ల, ఈవెంట్‌లు “మొదటి షాట్‌లో హిట్,” “రెండవ షాట్‌లో హిట్,” మొదలైనవి. స్వతంత్ర.
ప్రతి హిట్ సంభావ్యత సమానంగా ఉంటుంది. దీని అర్థం ప్రతి మిస్ యొక్క సంభావ్యత సమానంగా ఉంటుంది. స్వతంత్ర ఈవెంట్‌ల సంభావ్యతలను గుణించడం కోసం సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము. మేము క్రమం అని కనుగొన్నాము
= (హిట్, హిట్, హిట్, మిస్డ్, మిస్డ్) సంభావ్యత ఉంది
=
= . సమాధానం: .
20. స్టోర్‌లో రెండు చెల్లింపు యంత్రాలు ఉన్నాయి. ఇతర యంత్రంతో సంబంధం లేకుండా వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి సంభావ్యత 0.05తో తప్పుగా ఉండవచ్చు. కనీసం ఒక యంత్రం పని చేస్తుందనే సంభావ్యతను కనుగొనండి.
ఈ సమస్య ఆటోమేటా స్వతంత్రంగా పనిచేస్తుందని కూడా ఊహిస్తుంది.
వ్యతిరేక సంఘటన యొక్క సంభావ్యతను కనుగొనండి
= (రెండు యంత్రాలు తప్పుగా ఉన్నాయి).
దీన్ని చేయడానికి, స్వతంత్ర సంఘటనల సంభావ్యతలను గుణించడం కోసం మేము సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము:
.
దీని అర్థం ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత= (కనీసం ఒక యంత్రం పనిచేస్తోంది) సమానం. సమాధానం: .
21. గది రెండు దీపాలతో ఒక లాంతరు ద్వారా ప్రకాశిస్తుంది. ఒక సంవత్సరం లోపల ఒక దీపం కాలిపోయే సంభావ్యత 0.3. సంవత్సరంలో కనీసం ఒక దీపం కాలిపోకుండా ఉండే సంభావ్యతను కనుగొనండి.పరిష్కారం: రెండూ కాలిపోతాయి (ఈవెంట్‌లు స్వతంత్రంగా ఉంటాయి మరియు సంభావ్యత యొక్క ఉత్పత్తి కోసం మేము సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము) సంభావ్యత p1=0.3⋅0.3=0.09
వ్యతిరేక సంఘటన(రెండూ కాలిపోవు = కనీసం ఒకటి కాలిపోదు)
సంభావ్యత p=1-p1=1-0.09=0.91తో జరుగుతుంది
జవాబు: 0.91
22. కొత్త ఎలక్ట్రిక్ కెటిల్ ఒక సంవత్సరం కంటే ఎక్కువ కాలం ఉండే సంభావ్యత 0.97. ఇది రెండు సంవత్సరాల కంటే ఎక్కువ కాలం ఉండే సంభావ్యత 0.89. ఇది రెండు సంవత్సరాల కంటే తక్కువ కానీ ఒక సంవత్సరం కంటే ఎక్కువ ఉండే సంభావ్యతను కనుగొనండి
పరిష్కారం.
A = "కెటిల్ ఒక సంవత్సరం కంటే ఎక్కువ ఉంటుంది, కానీ రెండు సంవత్సరాల కంటే తక్కువ", B = "కెటిల్ రెండు సంవత్సరాల కంటే ఎక్కువ ఉంటుంది", అప్పుడు A + B = "కెటిల్ ఒక సంవత్సరం కంటే ఎక్కువ కాలం ఉంటుంది".
ఈవెంట్‌లు A మరియు B ఉమ్మడిగా ఉంటాయి, వాటి మొత్తం సంభావ్యత ఈ సంఘటనల సంభావ్యత యొక్క మొత్తానికి సమానం, వాటి సంభవించే సంభావ్యత ద్వారా తగ్గించబడుతుంది. ఈ సంఘటనలు సంభవించే సంభావ్యత, సరిగ్గా రెండు సంవత్సరాలలో కేటిల్ విఫలమవుతుంది - సరిగ్గా అదే రోజు, గంట మరియు రెండవది - సున్నా. అప్పుడు:
P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A B) = P(A) + P(B),
పరిస్థితి నుండి డేటాను ఉపయోగించి, మేము 0.97 = P(A) + 0.89ని పొందుతాము.
అందువలన, కావలసిన సంభావ్యత కోసం మనకు: P(A) = 0.97 - 0.89 = 0.08.
23. ఒక వ్యవసాయ సంస్థ రెండు గృహాల నుండి కోడి గుడ్లను కొనుగోలు చేస్తుంది. మొదటి పొలం నుండి 40% గుడ్లు అత్యధిక వర్గానికి చెందిన గుడ్లు, మరియు రెండవ పొలం నుండి - అత్యధిక వర్గం యొక్క 20% గుడ్లు. మొత్తం అత్యధిక వర్గం 35% గుడ్లు అందుకుంటుంది. ఈ వ్యవసాయ సంస్థ నుండి కొనుగోలు చేసిన గుడ్డు మొదటి పొలం నుండి వచ్చే సంభావ్యతను కనుగొనండి.పరిష్కారం: వ్యవసాయ సంస్థ మొదటి పొలం నుండి కొనుగోలు చేయనివ్వండిగుడ్లు, సహా అత్యధిక వర్గానికి చెందిన గుడ్లు, మరియు రెండవ పొలంలో -గుడ్లు, సహా అత్యధిక వర్గం యొక్క గుడ్లు. ఆ విధంగా, ఆగ్రోఫార్మ్ కొనుగోళ్ల మొత్తంగుడ్లు, సహా అత్యధిక వర్గం యొక్క గుడ్లు. షరతు ప్రకారం, 35% గుడ్లు అత్యధిక వర్గాన్ని కలిగి ఉంటాయి, అప్పుడు:
అందువల్ల, కొనుగోలు చేసిన గుడ్డు మొదటి పొలం నుండి వచ్చే సంభావ్యత సమానంగా ఉంటుంది =0,75
24. టెలిఫోన్ కీప్యాడ్‌లో 0 నుండి 9 వరకు 10 అంకెలు ఉన్నాయి. యాదృచ్ఛికంగా నొక్కిన అంకె సమానంగా ఉండే సంభావ్యత ఎంత?
25. 10 నుండి 19 వరకు యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడిన సహజ సంఖ్య మూడుచే భాగించబడే సంభావ్యత ఏమిటి?
26.కౌబాయ్ జాన్ సున్నా ఉన్న రివాల్వర్ నుండి షూట్ చేస్తే 0.9 సంభావ్యతతో గోడపై ఈగను కొట్టాడు. జాన్ కాల్పులు చేయని రివాల్వర్‌ను కాల్చినట్లయితే, అతను సంభావ్యత 0.2తో ఫ్లైని కొట్టాడు. టేబుల్ మీద 10 రివాల్వర్లు ఉన్నాయి, వాటిలో 4 మాత్రమే కాల్చబడ్డాయి. కౌబాయ్ జాన్ గోడపై ఒక ఈగను చూస్తాడు, యాదృచ్ఛికంగా తనకు ఎదురుగా వచ్చిన మొదటి రివాల్వర్‌ని పట్టుకుని ఈగను కాల్చాడు. జాన్ మిస్ అయ్యే సంభావ్యతను కనుగొనండి. పరిష్కారం: జాన్ అతను జీరోడ్ రివాల్వర్‌ని పట్టుకుని దానితో కొట్టినా లేదా షాట్ కాని రివాల్వర్‌ని పట్టుకుని దానితో కొట్టినా ఈగను కొట్టాడు. సూత్రం ప్రకారం షరతులతో కూడిన సంభావ్యత, ఈ సంఘటనల సంభావ్యత వరుసగా 0.4·0.9 = 0.36 మరియు 0.6·0.2 = 0.12. ఈ సంఘటనలు అననుకూలమైనవి, వాటి మొత్తం సంభావ్యత ఈ సంఘటనల సంభావ్యత యొక్క మొత్తానికి సమానం: 0.36 + 0.12 = 0.48. జాన్ తప్పిపోయిన సంఘటన దీనికి విరుద్ధంగా ఉంది. దీని సంభావ్యత 1 - 0.48 = 0.52.
27. పర్యాటకుల సమూహంలో 5 మంది వ్యక్తులు ఉన్నారు. లాట్‌లను ఉపయోగించి, వారు ఆహారం కొనడానికి గ్రామానికి వెళ్లవలసిన ఇద్దరు వ్యక్తులను ఎన్నుకుంటారు. టూరిస్ట్ A. దుకాణానికి వెళ్లాలనుకుంటున్నారు, కానీ అతను చాలా పాటిస్తాడు. A. దుకాణానికి వెళ్లే సంభావ్యత ఎంత?పరిష్కారం: మొత్తం ఐదుగురు పర్యాటకులు ఉన్నారు, వారిలో ఇద్దరు యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడ్డారు. ఎంపిక చేయబడే సంభావ్యత 2: 5 = 0.4. సమాధానం: 0.4.
28. ఫుట్బాల్ మ్యాచ్ ప్రారంభానికి ముందు, బంతితో ఆటను ఏ జట్టు ప్రారంభిస్తుందో నిర్ణయించడానికి రిఫరీ ఒక నాణెం విసురుతాడు. ఫిజిక్ జట్టు మూడు మ్యాచ్‌లు ఆడుతుంది వివిధ జట్లు. ఈ గేమ్‌లలో "ఫిజిసిస్ట్" సరిగ్గా రెండుసార్లు గెలిచే సంభావ్యతను కనుగొనండి.పరిష్కారం: “భౌతిక శాస్త్రవేత్త” లాట్‌ను గెలుచుకోవడానికి కారణమైన నాణెం యొక్క “1” వైపును సూచిస్తాము మరియు “0” నాణెం యొక్క మరొక వైపును సూచిస్తాము. అప్పుడు మూడు అనుకూలమైన కలయికలు ఉన్నాయి: 110, 101, 011, మరియు మొత్తం 2 కలయికలు ఉన్నాయి 3 = 8: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. కాబట్టి, అవసరమైన సంభావ్యత దీనికి సమానం:
29. పాచికలు రెండుసార్లు వేయబడతాయి. "A = పాయింట్ల మొత్తం 5" అనే ఈవెంట్‌కు ఎన్ని ప్రాథమిక ఫలితాలు అనుకూలంగా ఉంటాయి? పరిష్కారం: పాయింట్ల మొత్తం నాలుగు సందర్భాలలో 5కి సమానంగా ఉంటుంది: “3 + 2”, “2 + 3”, “1 + 4”, “4 + 1”. సమాధానం: 4.
30. యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలో, ఒక సుష్ట నాణెం రెండుసార్లు విసిరివేయబడుతుంది. OP ఫలితం సంభవించే సంభావ్యతను కనుగొనండి (మొదటిసారి తలలు, రెండవ సారి తోకలు).పరిష్కారం: నాలుగు సాధ్యమయ్యే ఫలితాలు ఉన్నాయి: తలలు-తలలు, తలలు-తోకలు, తోకలు-తలలు, తోకలు-తోకలు. ఒకటి అనుకూలమైనది: తలలు మరియు తోకలు. కాబట్టి, కావలసిన సంభావ్యత 1: 4 = 0.25. సమాధానం: 0.25.
31. రాక్ ఫెస్టివల్‌లో బ్యాండ్‌లు ప్రదర్శన ఇస్తాయి - ప్రకటిత దేశాల నుండి ఒక్కొక్కటి. పనితీరు యొక్క క్రమం చాలా ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది. డెన్మార్క్ నుండి వచ్చిన సమూహం స్వీడన్ నుండి వచ్చిన సమూహం తర్వాత మరియు నార్వే నుండి వచ్చిన సమూహం తర్వాత ప్రదర్శించే సంభావ్యత ఏమిటి? ఫలితాన్ని వందవ వంతుకు పూరించండి.పరిష్కారం: ఉత్సవంలో ప్రదర్శించే మొత్తం సమూహాల సంఖ్య ప్రశ్నకు సమాధానం ఇవ్వడం ముఖ్యం కాదు. ఎన్ని ఉన్నా ఈ దేశాలకు 6 మార్గాలు ఉన్నాయి సాపేక్ష స్థానంమాట్లాడేవారిలో (D - డెన్మార్క్, W - స్వీడన్, N - నార్వే):
D...SH...N..., ...D...N...SH..., ...SH...N...D..., ...W. ..D...N..., ...N...D...W..., ...N...W...D...
డెన్మార్క్ రెండు కేసులలో స్వీడన్ మరియు నార్వే కంటే వెనుకబడి ఉంది. అందువల్ల, సమూహాలు ఈ విధంగా యాదృచ్ఛికంగా పంపిణీ చేయబడే సంభావ్యత సమానంగా ఉంటుందిసమాధానం: 0.33.
32. ఫిరంగి కాల్పుల సమయంలో, ఆటోమేటిక్ సిస్టమ్ లక్ష్యంపై ఒక షాట్‌ను కాల్చివేస్తుంది. లక్ష్యం నాశనం కాకపోతే, సిస్టమ్ రెండవ షాట్‌ను కాల్చివేస్తుంది. లక్ష్యాన్ని నాశనం చేసే వరకు షాట్లు పునరావృతమవుతాయి. మొదటి షాట్‌తో నిర్దిష్ట లక్ష్యాన్ని నాశనం చేసే సంభావ్యత 0.4 మరియు ప్రతి తదుపరి షాట్‌తో అది 0.6. లక్ష్యాన్ని నాశనం చేసే సంభావ్యత కనీసం 0.98 అని నిర్ధారించుకోవడానికి ఎన్ని షాట్లు అవసరం?పరిష్కారం: మీరు "చర్య ద్వారా" సమస్యను పరిష్కరించవచ్చు, వరుస మిస్‌ల శ్రేణి తర్వాత మనుగడ సంభావ్యతను లెక్కించవచ్చు: P(1) = 0.6. P(2) = P(1) 0.4 = 0.24. P(3) = P(2) 0.4 = 0.096. P(4) = P(3) 0.4 = 0.0384; P(5) = P(4) 0.4 = 0.01536. తరువాతి సంభావ్యత 0.02 కంటే తక్కువగా ఉంటుంది, కాబట్టి లక్ష్యం వద్ద ఐదు షాట్లు సరిపోతాయి.
33. తదుపరి రౌండ్ పోటీకి వెళ్లడానికి, ఫుట్బాల్ జట్టుమీరు రెండు గేమ్‌లలో కనీసం 4 పాయింట్లు సాధించాలి. ఒక జట్టు గెలిస్తే, అది 3 పాయింట్లను అందుకుంటుంది, డ్రా అయినప్పుడు - 1 పాయింట్, అది ఓడిపోతే - 0 పాయింట్లు. జట్టు పోటీలో తదుపరి రౌండ్‌కు చేరుకునే సంభావ్యతను కనుగొనండి. ప్రతి గేమ్‌లో గెలుపు మరియు ఓడిపోయే సంభావ్యత ఒకేలా మరియు 0.4కి సమానంగా ఉంటుందని పరిగణించండి.. పరిష్కారం : ఒక జట్టు మూడు విధాలుగా రెండు గేమ్‌లలో కనీసం 4 పాయింట్లను పొందవచ్చు: 3+1, 1+3, 3+3. ఈ సంఘటనలు అననుకూలమైనవి; వాటి మొత్తం సంభావ్యత వాటి సంభావ్యతల మొత్తానికి సమానం. ఈ ఈవెంట్‌లలో ప్రతి ఒక్కటి రెండు స్వతంత్ర ఈవెంట్‌ల ఉత్పత్తి - మొదటి మరియు రెండవ గేమ్‌లో ఫలితం. ఇక్కడ నుండి మేము కలిగి ఉన్నాము:
34. ఒక నిర్దిష్ట నగరంలో, పుట్టిన 5,000 మంది పిల్లలలో, 2,512 మంది అబ్బాయిలు. ఈ నగరంలో ఆడపిల్లల జననాల ఫ్రీక్వెన్సీని కనుగొనండి. ఫలితాన్ని సమీప వెయ్యికి పూర్తి చేయండి.పరిష్కారం: 5000 – 2512 = 2488; 2488: 5000 = 0,4976 ≈0,498
35. విమానంలో అత్యవసర నిష్క్రమణల పక్కన 12 సీట్లు మరియు క్యాబిన్‌లను వేరుచేసే విభజనల వెనుక 18 సీట్లు ఉన్నాయి. మిగిలిన సీట్లు ప్రయాణికులకు అసౌకర్యంగా ఉన్నాయి పొడవు. ప్రయాణీకుడు వి. పొడవుగా ఉన్నాడు. వద్ద రిజిస్ట్రేషన్ వద్ద సంభావ్యతను కనుగొనండి యాదృచ్ఛిక ఎంపికప్రయాణీకుల V. సీట్లు పొందుతారు సౌకర్యవంతమైన ప్రదేశం, విమానంలో 300 సీట్లు మాత్రమే ఉంటే.పరిష్కారం : ప్రయాణీకుల B కోసం సౌకర్యవంతమైన విమానంలో 12 + 18 = 30 సీట్లు ఉన్నాయి మరియు విమానంలో మొత్తం 300 సీట్లు ఉన్నాయి. అందువల్ల, ప్రయాణీకుడు B సౌకర్యవంతమైన సీటును పొందే సంభావ్యత 30: 300 = 0.1. సమాధానం: 0.1.
36. విశ్వవిద్యాలయంలో ఒలింపియాడ్‌లో, పాల్గొనేవారు మూడు తరగతి గదులలో కూర్చుంటారు. మొదటి రెండింటిలో ఒక్కొక్కరు 120 మంది ఉన్నారు; మిగిలిన వారిని మరొక భవనంలోని రిజర్వ్ ఆడిటోరియంకు తీసుకువెళతారు. లెక్కించేటప్పుడు, మొత్తం 250 మంది పాల్గొన్నట్లు తేలింది. యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడిన పాల్గొనేవారు విడి తరగతి గదిలో పోటీని వ్రాసిన సంభావ్యతను కనుగొనండి.పరిష్కారం: మొత్తంగా, 250 - 120 - 120 = 10 మంది రిజర్వ్ ప్రేక్షకులకు పంపబడ్డారు. అందువల్ల, యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడిన పాల్గొనేవారు విడి తరగతి గదిలో ఒలింపియాడ్‌ను వ్రాసే సంభావ్యత 10: 250 = 0.04. సమాధానం: 0.04.
37. తరగతిలో 26 మంది ఉన్నారు, వారిలో ఇద్దరు కవలలు - ఆండ్రీ మరియు సెర్గీ. తరగతి యాదృచ్ఛికంగా 13 మంది వ్యక్తులతో రెండు గ్రూపులుగా విభజించబడింది. ఆండ్రీ మరియు సెర్గీ ఒకే సమూహంలో ఉండే సంభావ్యతను కనుగొనండి.పరిష్కారం: కవలలలో ఒకరు ఏదో ఒక సమూహంలో ఉండనివ్వండి. అతనితో పాటు, మిగిలిన 25 సహవిద్యార్థుల నుండి 12 మంది సమూహంలో ఉంటారు. ఈ 12 మందిలో రెండవ జంట ఉండే సంభావ్యత 12: 25 = 0.48.
38. ఒక టాక్సీ కంపెనీకి 50 కార్లు ఉన్నాయి; వాటిలో 27 వైపులా పసుపు రాతలతో నలుపు రంగులో ఉన్నాయి, మిగిలినవి నలుపు రంగు శాసనాలతో పసుపు రంగులో ఉన్నాయి. యాదృచ్ఛిక కాల్‌కు కారు ప్రతిస్పందించే సంభావ్యతను కనుగొనండి పసుపు రంగునల్ల శాసనాలతో.పరిష్కారం: 23:50=0.46
39.పర్యాటకుల బృందంలో 30 మంది ఉన్నారు. వారు హెలికాప్టర్‌లో అనేక దశల్లో చేరుకోలేని ప్రాంతంలోకి దింపబడ్డారు, ఒక్కో విమానానికి 6 మంది. హెలికాప్టర్ పర్యాటకులను రవాణా చేసే క్రమం యాదృచ్ఛికంగా ఉంటుంది. పర్యాటక P. మొదటి హెలికాప్టర్ విమానాన్ని తీసుకునే సంభావ్యతను కనుగొనండి.పరిష్కారం: మొదటి విమానంలో 6 సీట్లు ఉన్నాయి, మొత్తం 30 సీట్లు ఉన్నాయి. అప్పుడు పర్యాటక P. మొదటి హెలికాప్టర్ విమానంలో ప్రయాణించే సంభావ్యత: 6:30 = 0.2
40. ఒక కొత్త DVD ప్లేయర్ వారంటీ కింద ఒక సంవత్సరం లోపు మరమ్మత్తు చేయబడే సంభావ్యత 0.045. ఒక నిర్దిష్ట నగరంలో, సంవత్సరంలో విక్రయించబడిన 1,000 DVD ప్లేయర్‌లలో, 51 యూనిట్లు వారంటీ వర్క్‌షాప్ ద్వారా పొందబడ్డాయి. "వారంటీ రిపేర్" ఈవెంట్ యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీ మరియు ఈ నగరంలో దాని సంభావ్యత ఎంత భిన్నంగా ఉంటుంది?పరిష్కారం: "వారంటీ రిపేర్" ఈవెంట్ యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీ (సాపేక్ష ఫ్రీక్వెన్సీ) 51: 1000 = 0.051. ఇది 0.006 ద్వారా అంచనా వేయబడిన సంభావ్యత నుండి భిన్నంగా ఉంటుంది.
41. 67 మిమీ వ్యాసంతో బేరింగ్‌లను తయారు చేస్తున్నప్పుడు, వ్యాసం పేర్కొన్న దాని నుండి 0.01 మిమీ కంటే ఎక్కువ భిన్నంగా ఉండే సంభావ్యత 0.965. యాదృచ్ఛిక బేరింగ్ 66.99 మిమీ కంటే తక్కువ లేదా 67.01 మిమీ కంటే ఎక్కువ వ్యాసం కలిగి ఉండే సంభావ్యతను కనుగొనండి.పరిష్కారం. షరతు ప్రకారం, బేరింగ్ వ్యాసం 66.99 నుండి 67.01 మిమీ వరకు 0.965 సంభావ్యతతో ఉంటుంది. కాబట్టి, వ్యతిరేక సంఘటన యొక్క కావలసిన సంభావ్యత 1 - 0.965 = 0.035.
42. విద్యార్థి O. జీవశాస్త్ర పరీక్షలో 11 కంటే ఎక్కువ సమస్యలను సరిగ్గా పరిష్కరించగల సంభావ్యత 0.67. O. 10 కంటే ఎక్కువ సమస్యలను సరిగ్గా పరిష్కరించే సంభావ్యత 0.74. O. సరిగ్గా 11 సమస్యలను పరిష్కరించే సంభావ్యతను కనుగొనండి.పరిష్కారం: A = "విద్యార్థి 11 సమస్యలను పరిష్కరిస్తాడు" మరియు B = "విద్యార్థి 11 కంటే ఎక్కువ సమస్యలను పరిష్కరిస్తాడు" అనే సంఘటనలను పరిగణించండి. వాటి మొత్తం ఈవెంట్ A + B = "విద్యార్థి 10 కంటే ఎక్కువ సమస్యలను పరిష్కరిస్తాడు." ఈవెంట్‌లు A మరియు B అననుకూలమైనవి, వాటి మొత్తం సంభావ్యత ఈ ఈవెంట్‌ల సంభావ్యతల మొత్తానికి సమానం: P(A + B) = P(A) + P(B). అప్పుడు, ఈ సమస్యలను ఉపయోగించి, మనకు లభిస్తుంది: 0.74 = P(A) + 0.67, ఎక్కడ నుండి P(A) = 0.74 - 0.67 = 0.07. సమాధానం: 0.07.
43.స్పెషాలిటీ “లింగ్విస్టిక్స్” కోసం ఇన్‌స్టిట్యూట్‌లోకి ప్రవేశించడానికి, దరఖాస్తుదారు ప్రతిదానిలో ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్షలో కనీసం 70 పాయింట్లు సాధించాలి. మూడు అంశాలు- గణితం, రష్యన్ భాష మరియు విదేశీ భాష. స్పెషాలిటీ "కామర్స్"లో నమోదు చేసుకోవడానికి, మీరు గణితం, రష్యన్ భాష మరియు సామాజిక అధ్యయనాలు - ప్రతి మూడు సబ్జెక్టులలో కనీసం 70 పాయింట్లను స్కోర్ చేయాలి. దరఖాస్తుదారు Z. గణితంలో కనీసం 70 పాయింట్లు పొందే సంభావ్యత 0.6, రష్యన్‌లో - 0.8, విదేశీ భాషలో - 0.7 మరియు సోషల్ స్టడీస్‌లో - 0.5. Z. కనీసం ఒకదానిలో నమోదు చేయగల సంభావ్యతను కనుగొనండి. పేర్కొన్న రెండు ప్రత్యేకతలు.పరిష్కారం: ఎక్కడైనా నమోదు చేయడానికి, Z. కనీసం 70 పాయింట్లతో రష్యన్ మరియు గణితం రెండింటిలోనూ ఉత్తీర్ణత సాధించాలి మరియు దీనికి అదనంగా, కనీసం 70 పాయింట్లతో విదేశీ భాష లేదా సామాజిక అధ్యయనాలలో కూడా ఉత్తీర్ణత సాధించాలి. వీలుఎ, బి, సి మరియు డి - ఇవి Z. గణితం, రష్యన్, విదేశీ మరియు సామాజిక అధ్యయనాలలో వరుసగా కనీసం 70 పాయింట్లతో ఉత్తీర్ణత సాధించే సంఘటనలు. అప్పుడు నుండి
రాక సంభావ్యత కోసం మేము కలిగి ఉన్నాము:
44. సిరామిక్ టేబుల్‌వేర్ ఫ్యాక్టరీలో, ఉత్పత్తి చేయబడిన 10% ప్లేట్లు లోపభూయిష్టంగా ఉంటాయి. ఉత్పత్తి నాణ్యత నియంత్రణ సమయంలో, 80% లోపభూయిష్ట ప్లేట్లు గుర్తించబడతాయి. మిగిలిన ప్లేట్లు అమ్మకానికి ఉన్నాయి. కొనుగోలు చేసిన తర్వాత యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడిన ప్లేట్‌లో లోపాలు లేవని సంభావ్యతను కనుగొనండి. మీ సమాధానాన్ని సమీప వందవ వంతుకు పూర్తి చేయండి.పరిష్కారం : ఫ్యాక్టరీ ఉత్పత్తి చేయనివ్వండిప్లేట్లు. అన్ని నాణ్యమైన ప్లేట్లు మరియు గుర్తించబడని లోపభూయిష్ట ప్లేట్లలో 20% అమ్మకానికి వెళ్తాయి:ప్లేట్లు. ఎందుకంటే నాణ్యమైనవి, అధిక-నాణ్యత ప్లేట్‌ను కొనుగోలు చేసే సంభావ్యత 0.9p:0.92p=0.978 సమాధానం: 0.978.
45. దుకాణంలో ముగ్గురు విక్రేతలు ఉన్నారు. వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి సంభావ్యత 0.3తో క్లయింట్‌తో బిజీగా ఉంది. లో సంభావ్యతను కనుగొనండి యాదృచ్ఛిక క్షణంముగ్గురు విక్రేతలు ఒకే సమయంలో బిజీగా ఉన్నారు (కస్టమర్‌లు ఒకరికొకరు స్వతంత్రంగా వస్తారని భావించండి).పరిష్కారం : స్వతంత్ర సంఘటనల ఉత్పత్తి యొక్క సంభావ్యత ఈ సంఘటనల సంభావ్యత యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం. అందువల్ల, ముగ్గురు విక్రేతలు బిజీగా ఉండే సంభావ్యత సమానంగా ఉంటుంది
46.కస్టమర్ సమీక్షల ఆధారంగా, ఇవాన్ ఇవనోవిచ్ రెండు ఆన్‌లైన్ స్టోర్‌ల విశ్వసనీయతను అంచనా వేశారు. స్టోర్ A నుండి కావలసిన ఉత్పత్తి బట్వాడా చేయబడే సంభావ్యత 0.8. స్టోర్ B నుండి ఈ ఉత్పత్తి పంపిణీ చేయబడే సంభావ్యత 0.9. ఇవాన్ ఇవనోవిచ్ రెండు దుకాణాల నుండి ఒకేసారి వస్తువులను ఆర్డర్ చేశాడు. ఆన్‌లైన్ స్టోర్‌లు ఒకదానికొకటి స్వతంత్రంగా పనిచేస్తాయని ఊహిస్తే, ఏ స్టోర్ ఉత్పత్తిని బట్వాడా చేయని సంభావ్యతను కనుగొనండి.పరిష్కారం: మొదటి దుకాణం వస్తువులను పంపిణీ చేయని సంభావ్యత 1 - 0.9 = 0.1. రెండవ దుకాణం వస్తువులను పంపిణీ చేయని సంభావ్యత 1 - 0.8 = 0.2. ఈ సంఘటనలు స్వతంత్రంగా ఉన్నందున, వాటి సంభవించే సంభావ్యత (రెండు దుకాణాలు వస్తువులను పంపిణీ చేయవు) ఈ ఈవెంట్‌ల సంభావ్యత యొక్క ఉత్పత్తికి సమానంగా ఉంటుంది: 0.1 · 0.2 = 0.02
47. నుండి జిల్లా కేంద్రంగ్రామానికి రోజూ బస్సు సౌకర్యం ఉంది. సోమవారం బస్సులో 20 మంది కంటే తక్కువ మంది ప్రయాణికులు ఉండే అవకాశం 0.94. 15 మంది కంటే తక్కువ మంది ప్రయాణికులు ఉండే అవకాశం 0.56. ప్రయాణీకుల సంఖ్య 15 మరియు 19 మధ్య ఉండే సంభావ్యతను కనుగొనండి.పరిష్కారం: A = "బస్సులో 15 మంది కంటే తక్కువ మంది ప్రయాణికులు ఉన్నారు" మరియు B = "బస్సులో 15 నుండి 19 మంది ప్రయాణికులు ఉన్నారు" అనే సంఘటనలను పరిగణించండి. వారి మొత్తం ఈవెంట్ A + B = "బస్సులో 20 కంటే తక్కువ మంది ప్రయాణికులు ఉన్నారు." ఈవెంట్‌లు A మరియు B అననుకూలమైనవి, వాటి మొత్తం సంభావ్యత ఈ ఈవెంట్‌ల సంభావ్యతల మొత్తానికి సమానం: P(A + B) = P(A) + P(B). అప్పుడు, ఈ సమస్యలను ఉపయోగించి, మేము పొందుతాము: 0.94 = 0.56 + P(B), ఎక్కడ నుండి P(B) = 0.94 - 0.56 = 0.38. సమాధానం: 0.38.
48.వాలీబాల్ మ్యాచ్ ప్రారంభానికి ముందు, జట్టు కెప్టెన్లు బంతితో ఆటను ఏ జట్టు ప్రారంభించాలో నిర్ణయించడానికి న్యాయమైన లాట్‌లను గీస్తారు. "స్టేటర్" బృందం "రోటర్", "మోటార్" మరియు "స్టార్టర్" జట్లతో మలుపులు ఆడుతుంది. Stator మొదటి మరియు చివరి గేమ్‌లను మాత్రమే ప్రారంభించే సంభావ్యతను కనుగొనండి.పరిష్కారం. మీరు మూడు ఈవెంట్‌ల సంభావ్యతను కనుగొనాలి: “స్టేటర్” మొదటి గేమ్‌ను ప్రారంభిస్తుంది, రెండవ గేమ్‌ను ప్రారంభించదు మరియు మూడవ గేమ్‌ను ప్రారంభిస్తుంది. స్వతంత్ర సంఘటనల ఉత్పత్తి యొక్క సంభావ్యత ఈ సంఘటనల సంభావ్యత యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం. వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి సంభావ్యత 0.5, దీని నుండి మనం కనుగొంటాము: 0.5 · 0.5 · 0.5 = 0.125. సమాధానం: 0.125.
49. IN ఫెయిరీల్యాండ్వాతావరణంలో రెండు రకాలు ఉన్నాయి: మంచి మరియు అద్భుతమైన, మరియు వాతావరణం, ఉదయం ఏర్పాటు చేసిన తర్వాత, రోజంతా మారదు. 0.8 సంభావ్యతతో రేపు వాతావరణం ఈరోజు మాదిరిగానే ఉంటుందని తెలిసింది. ఈ రోజు జూలై 3, మ్యాజిక్ ల్యాండ్‌లో వాతావరణం బాగుంది. జూలై 6న ఫెయిరీల్యాండ్‌లో వాతావరణం అద్భుతంగా ఉండే సంభావ్యతను కనుగొనండి.పరిష్కారం. జూలై 4, 5 మరియు 6 తేదీల్లో వాతావరణం కోసం, 4 ఎంపికలు ఉన్నాయి: ХХО, ХОО, ОХО, OOO (ఇక్కడ X బాగుంది, O అద్భుతమైన వాతావరణం). అటువంటి వాతావరణం సంభవించే సంభావ్యతలను కనుగొనండి: P(XXO) = 0.8·0.8·0.2 = 0.128; P(XOO) = 0.8 0.2 0.8 = 0.128; P(OXO) = 0.2 0.2 0.2 = 0.008; P(OOO) = 0.2 0.8 0.8 = 0.128. పేర్కొన్న సంఘటనలుఅస్థిరమైనది, వాటి మొత్తం సంభావ్యత ఈ సంఘటనల సంభావ్యత యొక్క మొత్తానికి సమానంగా ఉంటుంది: P(ХХО) + P(ХОО) + P(ХХО) + P(ООО) = 0.128 + 0.128 + 0.008 + 0.392 =.
50. అనుమానిత హెపటైటిస్ ఉన్న రోగులందరూ రక్త పరీక్ష చేయించుకుంటారు. పరీక్ష హెపటైటిస్‌ను వెల్లడి చేస్తే, పరీక్ష ఫలితం అంటారుఅనుకూల . హెపటైటిస్ ఉన్న రోగులలో, విశ్లేషణ ఇస్తుంది సానుకూల ఫలితంసంభావ్యత 0.9 తో. రోగికి హెపటైటిస్ లేకపోతే, పరీక్ష 0.01 సంభావ్యతతో తప్పుడు సానుకూల ఫలితాన్ని ఇవ్వవచ్చు. అనుమానిత హెపటైటిస్‌తో అడ్మిట్ అయిన రోగులలో 5% మందికి హెపటైటిస్ ఉన్నట్లు తెలిసింది. అనుమానిత హెపటైటిస్‌తో క్లినిక్‌లో చేరిన రోగి పాజిటివ్‌గా పరీక్షించే సంభావ్యతను కనుగొనండి.పరిష్కారం . రోగి యొక్క విశ్లేషణ రెండు కారణాల వల్ల సానుకూలంగా ఉంటుంది: ఎ) రోగికి హెపటైటిస్ ఉంది, అతని విశ్లేషణ సరైనది; బి) రోగికి హెపటైటిస్ లేదు, అతని విశ్లేషణ తప్పు. ఈ అననుకూల సంఘటనలు, వాటి మొత్తం సంభావ్యత ఈ సంఘటనల సంభావ్యత యొక్క మొత్తానికి సమానం. మనకు ఉన్నాయి: p(A)=0.9 0.05=0.045; p(B)=0.01 0.95=0.0095; p(A+B)=P(A)+p(B)=0.045+0.0095=0.0545.
51. మిషా తన జేబులో నాలుగు క్యాండీలను కలిగి ఉన్నాడు - “గ్రిల్యాజ్”, “స్క్విరెల్”, “కొరోవ్కా” మరియు “స్వాలో”, అలాగే అపార్ట్మెంట్ కీలు. కీలు తీస్తున్నప్పుడు, మిషా పొరపాటున అతని జేబులో నుండి ఒక మిఠాయి ముక్క పడిపోయింది. "గ్రిల్లేజ్" మిఠాయి పోయిన సంభావ్యతను కనుగొనండి.
52.పన్నెండు గంటల డయల్‌తో కూడిన మెకానికల్ వాచ్ ఏదో ఒక సమయంలో విరిగిపోయి పరుగు ఆగిపోయింది. ఆ సంభావ్యతను కనుగొనండి గంట చేతిస్తంభించిపోయింది, 10 మార్కును చేరుకుంది, కానీ 1 గంట మార్కును చేరుకోలేదు. పరిష్కారం: 3: 12=0.25
53. బ్యాటరీ లోపభూయిష్టంగా ఉండే సంభావ్యత 0.06. స్టోర్‌లోని కొనుగోలుదారు ఈ రెండు బ్యాటరీలను కలిగి ఉన్న యాదృచ్ఛిక ప్యాకేజీని ఎంచుకుంటారు. రెండు బ్యాటరీలు బాగున్నాయనే సంభావ్యతను కనుగొనండి.పరిష్కారం: బ్యాటరీ బాగుండే సంభావ్యత 0.94. స్వతంత్ర సంఘటనలు సంభవించే సంభావ్యత (రెండు బ్యాటరీలు మంచివి) ఈ సంఘటనల సంభావ్యత యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం: 0.94·0.94 = 0.8836. సమాధానం: 0.8836.
54. ఆటోమేటిక్ లైన్ బ్యాటరీలను ఉత్పత్తి చేస్తుంది. పూర్తయిన బ్యాటరీ లోపభూయిష్టంగా ఉండే సంభావ్యత 0.02. ప్యాకేజింగ్ చేయడానికి ముందు, ప్రతి బ్యాటరీ నియంత్రణ వ్యవస్థ ద్వారా వెళుతుంది. సిస్టమ్ లోపభూయిష్ట బ్యాటరీని తిరస్కరించే సంభావ్యత 0.99. సిస్టమ్ పని చేసే బ్యాటరీని తప్పుగా తిరస్కరించే సంభావ్యత 0.01. తనిఖీ వ్యవస్థ ద్వారా యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడిన తయారు చేయబడిన బ్యాటరీ తిరస్కరించబడే సంభావ్యతను కనుగొనండి.పరిష్కారం. కింది సంఘటనల ఫలితంగా బ్యాటరీ తిరస్కరించబడే పరిస్థితి తలెత్తవచ్చు: A = బ్యాటరీ నిజంగా తప్పుగా ఉంది మరియు సరిగ్గా తిరస్కరించబడింది, లేదా B = బ్యాటరీ పని చేస్తోంది, కానీ పొరపాటున తిరస్కరించబడింది. ఇవి అననుకూల సంఘటనలు, వాటి మొత్తం సంభావ్యత ఈ సంఘటనల సంభావ్యత యొక్క మొత్తానికి సమానం. మాకు ఉన్నాయి:
55.చిత్రం ఒక చిక్కైన చూపిస్తుంది. స్పైడర్ ఎంట్రన్స్ పాయింట్ వద్ద చిట్టడవిలోకి క్రాల్ చేస్తుంది. స్పైడర్ చుట్టూ తిరగదు మరియు తిరిగి క్రాల్ చేయదు, కాబట్టి ప్రతి శాఖ వద్ద సాలీడు ఇంకా క్రాల్ చేయని మార్గాలలో ఒకదాన్ని ఎంచుకుంటుంది. ఎంపిక అని నమ్ముతున్నారు మరింత మార్గంపూర్తిగా యాదృచ్ఛికంగా, స్పైడర్ నిష్క్రమణకు ఏ సంభావ్యతతో వస్తుందో నిర్ణయించండి.
పరిష్కారం.
నాలుగు గుర్తించబడిన ఫోర్క్‌లలో ప్రతిదానిలో, సాలీడు D నుండి నిష్క్రమించే మార్గాన్ని లేదా సంభావ్యత 0.5తో మరొక మార్గాన్ని ఎంచుకోవచ్చు. ఈ స్వతంత్ర సంఘటనలు, వారి ఉత్పత్తి యొక్క సంభావ్యత (స్పైడర్ నిష్క్రమణ D చేరుకుంటుంది) ఈ సంఘటనల సంభావ్యత యొక్క ఉత్పత్తికి సమానంగా ఉంటుంది. కాబట్టి, నిష్క్రమణ D వద్దకు వచ్చే సంభావ్యత (0.5) 4 = 0,0625.
పరిష్కారాలతో సంభావ్యత సిద్ధాంతంలో సమస్యలు
1. కాంబినేటరిక్స్
సమస్య 1 . సమూహంలో 30 మంది విద్యార్థులు ఉన్నారు. హెడ్‌మెన్, డిప్యూటీ హెడ్‌మెన్ మరియు ట్రేడ్ యూనియన్ ఆర్గనైజర్‌ను ఎంచుకోవడం అవసరం. దీన్ని చేయడానికి ఎన్ని మార్గాలు ఉన్నాయి?
పరిష్కారం. 30 మంది విద్యార్థులలో ఎవరినైనా హెడ్‌మెన్‌గా, మిగిలిన 29 మంది విద్యార్థులలో ఎవరినైనా డిప్యూటీగా ఎంచుకోవచ్చు మరియు మిగిలిన 28 మంది విద్యార్థులలో ఎవరినైనా ట్రేడ్ యూనియన్ ఆర్గనైజర్‌గా ఎంచుకోవచ్చు, అంటే n1=30, n2=29, n3=28. గుణకార నియమం ప్రకారం, హెడ్‌మ్యాన్, అతని డిప్యూటీ మరియు ట్రేడ్ యూనియన్ లీడర్‌ని ఎంచుకోవడానికి మొత్తం N మార్గాల సంఖ్య N=n1´n2´n3=30´29´28=24360.
సమస్య 2 . ఇద్దరు పోస్ట్‌మెన్ తప్పనిసరిగా 10 ఉత్తరాలను 10 చిరునామాలకు అందించాలి. వారు పనిని ఎన్ని విధాలుగా పంపిణీ చేయవచ్చు?
పరిష్కారం.మొదటి అక్షరం n1=2 ప్రత్యామ్నాయాలను కలిగి ఉంటుంది - ఇది మొదటి పోస్ట్‌మ్యాన్ ద్వారా చిరునామాదారునికి తీసుకెళ్ళబడుతుంది లేదా రెండవది. రెండవ అక్షరానికి n2=2 ప్రత్యామ్నాయాలు మొదలైనవి కూడా ఉన్నాయి, అనగా n1=n2=…=n10=2. కాబట్టి, గుణకారం నియమం ప్రకారం, ఇద్దరు పోస్ట్‌మెన్ మధ్య అక్షరాలను పంపిణీ చేయడానికి మొత్తం మార్గాల సంఖ్య సమానంగా ఉంటుంది
సమస్య 3. పెట్టెలో 100 భాగాలు ఉన్నాయి, వాటిలో 30 1వ తరగతి భాగాలు, 50 2వ తరగతి, మిగిలినవి 3వ తరగతి. బాక్స్ నుండి ఒక గ్రేడ్ 1 లేదా గ్రేడ్ 2 భాగాన్ని తీసివేయడానికి ఎన్ని మార్గాలు ఉన్నాయి?
పరిష్కారం. 1వ తరగతిలో కొంత భాగాన్ని n1=30 మార్గాల్లో, 2వ తరగతిలో కొంత భాగాన్ని n2=50 మార్గాల్లో సంగ్రహించవచ్చు. మొత్తం నియమం ప్రకారం, 1వ లేదా 2వ తరగతిలోని ఒక భాగాన్ని సంగ్రహించడానికి N=n1+n2=30+50=80 మార్గాలు ఉన్నాయి.
సమస్య 5 . పోటీలో 7 మంది పాల్గొనేవారి పనితీరు క్రమం లాట్ ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది. ఎన్ని వివిధ ఎంపికలుఈ సందర్భంలో లాట్లు డ్రా చేయడం సాధ్యమేనా?
పరిష్కారం.డ్రా యొక్క ప్రతి రూపాంతరం పోటీలో పాల్గొనేవారి క్రమంలో మాత్రమే భిన్నంగా ఉంటుంది, అనగా ఇది 7 అంశాల ప్రస్తారణ. వారి సంఖ్య సమానంగా ఉంటుంది
సమస్య 6 . 5 నామినేషన్లలో 10 సినిమాలు పోటీలో పాల్గొంటున్నాయి. అన్ని వర్గాలకు కింది నియమాలు ఏర్పాటు చేయబడితే బహుమతి పంపిణీకి ఎన్ని ఎంపికలు ఉన్నాయి? వివిధఅవార్డులు?
పరిష్కారం.ప్రతి బహుమతి పంపిణీ ఎంపికలు 10 చిత్రాలలో 5 చిత్రాల కలయిక, కూర్పు మరియు వాటి క్రమంలో ఇతర కలయికల నుండి భిన్నంగా ఉంటాయి. ప్రతి చిత్రం ఒకటి లేదా అనేక విభాగాలలో అవార్డులను అందుకోవచ్చు కాబట్టి, అదే సినిమాలు పునరావృతం కావచ్చు. కాబట్టి, అటువంటి కలయికల సంఖ్య 5 యొక్క 10 మూలకాల పునరావృతాలతో ప్లేస్‌మెంట్‌ల సంఖ్యకు సమానం:
సమస్య 7 . చెస్ టోర్నమెంట్‌లో 16 మంది పాల్గొంటారు. ఎవరైనా ఇద్దరు పాల్గొనేవారి మధ్య ఒక గేమ్ తప్పక ఆడితే టోర్నమెంట్‌లో ఎన్ని గేమ్‌లు ఆడాలి?
పరిష్కారం.ప్రతి గేమ్‌ను 16 మందిలో ఇద్దరు పాల్గొనేవారు ఆడతారు మరియు పాల్గొనేవారి జంటల కూర్పులో మాత్రమే ఇతరులకు భిన్నంగా ఉంటుంది, అనగా, ఇది 2 యొక్క 16 మూలకాల కలయిక. వారి సంఖ్య దీనికి సమానం 
సమస్య 8 . టాస్క్ 6 యొక్క పరిస్థితుల్లో, అన్ని నామినేషన్ల కోసం బహుమతుల పంపిణీకి ఎన్ని ఎంపికలు ఉన్నాయో నిర్ణయించండి అదేబహుమతులు?
పరిష్కారం.ప్రతి నామినేషన్‌కు ఒకే బహుమతులు ఏర్పాటు చేయబడితే, 5 బహుమతుల కలయికలో చిత్రాల క్రమం పట్టింపు లేదు మరియు ఎంపికల సంఖ్య అనేది ఫార్ములా ద్వారా నిర్ణయించబడిన 5 యొక్క 10 మూలకాల పునరావృతాలతో కూడిన కలయికల సంఖ్య.
టాస్క్ 9. తోటమాలి మూడు రోజుల్లో 6 చెట్లను నాటాలి. రోజుకు కనీసం ఒక్క చెట్టునైనా నాటితే ఆ రోజుల్లో తన పనిని ఎన్ని రకాలుగా పంచుకోగలడు?
పరిష్కారం.ఒక తోటమాలి వరుసగా చెట్లను నాటండి మరియు తీసుకోవచ్చు వివిధ పరిష్కారాలుమొదటి రోజు ఏ చెట్టును ఆపివేయాలి మరియు రెండవ రోజు ఏ చెట్టును ఆపాలి. అందువలన, చెట్లు రెండు విభజనల ద్వారా వేరు చేయబడతాయని ఊహించవచ్చు, వీటిలో ప్రతి ఒక్కటి 5 ప్రదేశాలలో (చెట్ల మధ్య) నిలబడవచ్చు. విభజనలు ఒకదానికొకటి తప్పనిసరిగా ఉండాలి, లేకపోతే ఏదో ఒక రోజు ఒక్క చెట్టు కూడా నాటబడదు. అందువల్ల, మీరు 5 నుండి 2 మూలకాలను ఎంచుకోవాలి (పునరావృతాలు లేవు). అందువలన, మార్గాల సంఖ్య .
సమస్య 10. ఎన్ని నాలుగు అంకెల సంఖ్యలు (బహుశా సున్నాతో మొదలవుతాయి) సంఖ్యలు 5 వరకు జోడించబడతాయి?
పరిష్కారం.విభజనల ద్వారా సమూహాలుగా విభజించబడిన (మొత్తం ప్రతి సమూహం సంఖ్య యొక్క తదుపరి అంకెను ఏర్పరుస్తుంది) వరుస మొత్తంలో సంఖ్య 5ని ఊహించుకుందాం. అటువంటి 3 విభజనలు అవసరమవుతాయని స్పష్టమైంది. విభజనల కోసం 6 స్థలాలు ఉన్నాయి (అన్ని యూనిట్ల ముందు, వాటి మధ్య మరియు తరువాత). ప్రతి స్థలాన్ని ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ విభజనలు ఆక్రమించవచ్చు (in తరువాతి కేసువాటి మధ్య యూనిట్లు లేవు మరియు సంబంధిత మొత్తం సున్నా). ఈ స్థలాలను సమితి యొక్క అంశాలుగా పరిశీలిద్దాం. అందువలన, మీరు 6 (పునరావృతాలతో) నుండి 3 మూలకాలను ఎంచుకోవాలి. కాబట్టి, అవసరమైన సంఖ్యల సంఖ్య 
సమస్య 11 . 25 మంది విద్యార్థుల సమూహాన్ని వరుసగా 6, 9 మరియు 10 మంది A, B మరియు C అనే మూడు ఉప సమూహాలుగా విభజించవచ్చు?
పరిష్కారం.ఇక్కడ n=25, k=3, n1=6, n2=9, n3=10..gif" width="160" height="41">
సమస్య 1 . ఒక పెట్టెలో 5 నారింజ మరియు 4 యాపిల్స్ ఉన్నాయి. 3 పండ్లు యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడ్డాయి. మూడు పండ్లు నారింజగా ఉండే సంభావ్యత ఏమిటి?
పరిష్కారం. ఇక్కడ ప్రాథమిక ఫలితాలు 3 పండ్లను కలిగి ఉన్న సెట్‌లు. పండ్ల క్రమం ఉదాసీనంగా ఉన్నందున, మేము వారి ఎంపికను క్రమం చేయని (మరియు పునరావృతం కాని)గా పరిగణిస్తాము.gif" width="21" height="25 src=">. అనుకూలమైన ఫలితాల సంఖ్య దీనికి సమానం అందుబాటులో ఉన్న 5 నుండి 3 నారింజలను ఎంచుకోవడానికి అనేక మార్గాలు, అనగా. gif" width="161 height=83" height="83">.
సమస్య 2 . ఉపాధ్యాయుడు ప్రతి ముగ్గురు విద్యార్థులను 1 నుండి 10 వరకు ఏదైనా సంఖ్య గురించి ఆలోచించమని అడుగుతాడు. ప్రతి విద్యార్థికి ఇచ్చిన సంఖ్య యొక్క ఎంపిక సమానంగా సాధ్యమని భావించి, వారిలో ఒకరికి ఒకే సంఖ్య ఉండే సంభావ్యతను కనుగొనండి.
పరిష్కారం.మొదట, మొత్తం ఫలితాల సంఖ్యను గణిద్దాం. మొదటి విద్యార్థి 10 సంఖ్యలలో ఒకదానిని ఎంచుకుని n1=10 అవకాశాలను కలిగి ఉంటాడు, రెండవది కూడా n2=10 అవకాశాలను కలిగి ఉంటుంది మరియు చివరగా, మూడవది కూడా n3=10 అవకాశాలను కలిగి ఉంటుంది. గుణకారం నియమం ప్రకారం, మొత్తం మార్గాల సంఖ్య దీనికి సమానం: n= n1´n2´n3=103 = 1000, అంటే మొత్తం స్థలం 1000 ప్రాథమిక ఫలితాలను కలిగి ఉంటుంది. ఈవెంట్ A యొక్క సంభావ్యతను లెక్కించడానికి, వ్యతిరేక సంఘటనకు వెళ్లడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది, అనగా, ముగ్గురు విద్యార్థులు ఆలోచించినప్పుడు కేసుల సంఖ్యను లెక్కించండి. వివిధ సంఖ్యలు. మొదటిది ఇప్పటికీ సంఖ్యను ఎంచుకోవడానికి m1=10 మార్గాలను కలిగి ఉంది. రెండవ విద్యార్థికి ఇప్పుడు m2=9 అవకాశాలు మాత్రమే ఉన్నాయి, ఎందుకంటే అతని సంఖ్య మొదటి విద్యార్థి ఉద్దేశించిన సంఖ్యతో సరిపోలకుండా జాగ్రత్త తీసుకోవాలి. మూడవ విద్యార్థి తన ఎంపికలో మరింత పరిమితంగా ఉన్నాడు - అతనికి m3=8 అవకాశాలు మాత్రమే ఉన్నాయి. కాబట్టి, సరిపోలని సంఖ్యల కలయికల మొత్తం సంఖ్య m=10×9×8=720. మ్యాచ్‌లు ఉన్న సందర్భాలు 280 ఉన్నాయి. కాబట్టి, కావలసిన సంభావ్యత P = 280/1000 = 0.28కి సమానం.
సమస్య 3 . 8-అంకెల సంఖ్యలో సరిగ్గా 4 అంకెలు ఒకేలా మరియు మిగిలినవి భిన్నంగా ఉండే సంభావ్యతను కనుగొనండి.
పరిష్కారం. ఈవెంట్ A=(ఎనిమిది అంకెల సంఖ్య 4ని కలిగి ఉంటుంది అదే సంఖ్యలు) సమస్య యొక్క పరిస్థితుల నుండి సంఖ్య ఐదు వేర్వేరు అంకెలను కలిగి ఉంటుంది, వాటిలో ఒకటి పునరావృతమవుతుంది. దీన్ని ఎంచుకోవడానికి గల మార్గాల సంఖ్య 10 అంకెల నుండి ఒక అంకెను ఎంచుకునే మార్గాల సంఖ్యకు సమానం..gif" width="21" height="25 src="> . తర్వాత అనుకూల ఫలితాల సంఖ్య. మొత్తం సంఖ్య 8-అంకెల సంఖ్యలను కంపోజ్ చేసే మార్గాలు |W|=108 అవసరమైన సంభావ్యత దీనికి సమానం
సమస్య 4 . ఆరుగురు క్లయింట్లు యాదృచ్ఛికంగా 5 సంస్థలను సంప్రదిస్తారు. ఎవరూ కనీసం ఒక కంపెనీని సంప్రదించని సంభావ్యతను కనుగొనండి.
పరిష్కారం.వ్యతిరేక ఈవెంట్‌ను పరిగణించండి https://pandia.ru/text/78/307/images/image020_10.gif" width="195" height="41">. 5 కంపెనీల్లో 6 క్లయింట్‌లను పంపిణీ చేయడానికి మొత్తం మార్గాల సంఖ్య. అందుకే 
. అందుకే, .
సమస్య 5 . ఒక పాత్రలో N బంతులు ఉండనివ్వండి, వాటిలో M తెలుపు మరియు N-M నలుపు. n బంతులు కలశం నుండి తీయబడతాయి. వాటిలో సరిగ్గా m తెలుపు బంతులు ఉండే సంభావ్యతను కనుగొనండి.
పరిష్కారం.మూలకాల క్రమం ఇక్కడ ముఖ్యమైనది కానందున, N మూలకాల యొక్క వాల్యూమ్ n యొక్క అన్ని సెట్‌ల సంఖ్య m తెలుపు బంతులు, n–m నలుపు కలయికల సంఖ్యకు సమానం మరియు అందువల్ల, అవసరమైన సంభావ్యత దీనికి సమానం P(A) = https://pandia. ru/text/78/307/images/image031_2.gif" width="167" height="44">.
సమస్య 7 (సమావేశ సమస్య) . ఇద్దరు వ్యక్తులు A మరియు B వద్ద కలవడానికి అంగీకరించారు నిర్దిష్ట స్థలం 12 మరియు 1 గంటల మధ్య మొదట వచ్చిన వ్యక్తి అవతలి వ్యక్తి కోసం 20 నిమిషాలు వేచి ఉండి, ఆపై వెళ్లిపోతాడు. A మరియు B వ్యక్తుల మధ్య సమావేశం యొక్క సంభావ్యత ఏమిటి, వారిలో ప్రతి ఒక్కరి రాక నిర్దిష్ట గంటలోపు యాదృచ్ఛికంగా సంభవించవచ్చు మరియు రాక క్షణాలు స్వతంత్రంగా ఉంటే?
పరిష్కారం. A వ్యక్తి యొక్క ఆగమనాన్ని x ద్వారా మరియు B వ్యక్తిని y ద్వారా సూచిస్తాము. సమావేశం జరగాలంటే, x-yô £20 అవసరం మరియు సరిపోతుంది. నిమిషాన్ని స్కేల్ యూనిట్‌గా ఎంచుకుంటూ విమానంలో x మరియు y లను కోఆర్డినేట్‌లుగా చిత్రీకరిద్దాం. సాధ్యమయ్యే అన్ని ఫలితాలు 60 వైపు ఉన్న చతురస్రం యొక్క పాయింట్ల ద్వారా సూచించబడతాయి మరియు సమావేశానికి అనుకూలమైనవి షేడెడ్ ప్రాంతంలో ఉన్నాయి. కావలసిన సంభావ్యత షేడెడ్ ఫిగర్ (Fig. 2.1) యొక్క వైశాల్యానికి మొత్తం చదరపు వైశాల్యానికి సమానం: P(A) = (602–402)/602 = 5/9.
3. సంభావ్యత సిద్ధాంతం యొక్క ప్రాథమిక సూత్రాలు
సమస్య 1 . పెట్టెలో 10 ఎరుపు మరియు 5 నీలం బటన్లు ఉన్నాయి. రెండు బటన్లు యాదృచ్ఛికంగా బయటకు తీయబడ్డాయి. బటన్లు ఒకే రంగులో ఉండే సంభావ్యత ఏమిటి? ?
పరిష్కారం. ఈవెంట్ A=(అదే రంగు యొక్క బటన్లు తీయబడ్డాయి) మొత్తంగా సూచించబడుతుంది, ఇక్కడ ఈవెంట్‌లు మరియు బటన్‌ల ఎంపిక ఎరుపు మరియు నీలం రంగు యొక్కవరుసగా. రెండు ఎరుపు బటన్‌లను తీసివేసే సంభావ్యత సమానంగా ఉంటుంది మరియు రెండు నీలిరంగు బటన్‌లను తీసివేసే సంభావ్యత https://pandia.ru/text/78/307/images/image034_2.gif" width="19 height=23" height= "23">.gif" width="249" height="83">
సమస్య 2 . కంపెనీ ఉద్యోగులలో, 28% మంది ఇంగ్లీష్ మాట్లాడతారు, 30% మంది జర్మన్ మాట్లాడతారు, 42% మందికి ఫ్రెంచ్ తెలుసు; ఇంగ్లీష్ మరియు జర్మన్ - 8%, ఇంగ్లీష్ మరియు ఫ్రెంచ్ - 10%, జర్మన్ మరియు ఫ్రెంచ్ - 5%, మూడు భాషలు - 3%. సంస్థ యొక్క యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడిన ఉద్యోగి సంభావ్యతను కనుగొనండి: a) ఇంగ్లీష్ లేదా జర్మన్ తెలుసు; బి) ఇంగ్లీష్, జర్మన్ లేదా ఫ్రెంచ్ తెలుసు; c) జాబితా చేయబడిన భాషలలో ఏదీ తెలియదు.
పరిష్కారం.సంస్థ యొక్క యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడిన ఉద్యోగి వరుసగా ఇంగ్లీష్, జర్మన్ లేదా ఫ్రెంచ్ మాట్లాడే సంఘటనలను A, B మరియు C ద్వారా సూచిస్తాము. సహజంగానే, కొన్ని భాషలను మాట్లాడే కంపెనీ ఉద్యోగుల నిష్పత్తి ఈ సంఘటనల సంభావ్యతను నిర్ణయిస్తుంది. మాకు దొరికింది:
a) P(AÈB)=P(A)+P(B) -P(AB)=0.28+0.3-0.08=0.5;
బి) P(AÈBÈC)=P(A)+P(B)+P(C)-(P(AB)+P(AC)+P(BC))+P(ABC)=0.28+0, 3+ 0.42-
-(0,08+0,1+0,05)+0,03=0,8;
c) 1-P(AÈBÈC)=0.2.
సమస్య 3 . కుటుంబానికి ఇద్దరు పిల్లలు. కుటుంబంలో రెండు లింగాల పిల్లలు ఉన్నారని తెలిస్తే పెద్ద పిల్లవాడు అబ్బాయి అయ్యే సంభావ్యత ఎంత?
పరిష్కారం. A=(పెద్ద పిల్లవాడు అబ్బాయి), B=(కుటుంబంలో రెండు లింగాల పిల్లలు ఉన్నారు) లెట్. మగబిడ్డ పుట్టడం, ఆడపిల్ల పుట్టడం సమాన సంభావ్య సంఘటనలు అనుకుందాం. అబ్బాయి పుట్టుకను M అక్షరంతో, మరియు అమ్మాయి పుట్టుకను D ద్వారా సూచిస్తే, అన్ని ప్రాథమిక ఫలితాల స్థలం నాలుగు జతలను కలిగి ఉంటుంది: . ఈ స్థలంలో, కేవలం రెండు ఫలితాలు (MD మరియు DM) B ఈవెంట్‌కు అనుగుణంగా ఉంటాయి. ఈవెంట్ AB అంటే కుటుంబంలో రెండు లింగాల పిల్లలు ఉన్నారు. పెద్ద పిల్లవాడు అబ్బాయి, కాబట్టి రెండవ (చిన్న) పిల్లవాడు ఆడపిల్ల. ఈ ఈవెంట్ AB ఒక ఫలితానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది - MD. అందువలన, |AB|=1, |B|=2 మరియు
సమస్య 4 . మాస్టర్, 10 భాగాలను కలిగి ఉన్నారు, అందులో 3 ప్రామాణికం కానివి, అతను ప్రామాణికమైనదాన్ని చూసే వరకు భాగాలను ఒక్కొక్కటిగా తనిఖీ చేస్తాడు. అతను ఖచ్చితంగా రెండు వివరాలను తనిఖీ చేసే సంభావ్యత ఏమిటి?
పరిష్కారం.ఈవెంట్ A = (మాస్టర్ సరిగ్గా రెండు భాగాలను తనిఖీ చేసారు) అంటే అటువంటి తనిఖీ సమయంలో మొదటి భాగం ప్రామాణికం కానిది మరియు రెండవది ప్రామాణికమైనది. దీని అర్థం, ఎక్కడ =(మొదటి భాగం ప్రామాణికం కానిది) మరియు =(రెండవ భాగం ప్రామాణికమైనది). సహజంగానే, ఈవెంట్ A1 యొక్క సంభావ్యత కూడా సమానంగా ఉంటుంది 
, రెండవ భాగాన్ని తీసుకునే ముందు మాస్టర్‌కు 9 భాగాలు మిగిలి ఉన్నాయి, వాటిలో 2 మాత్రమే ప్రామాణికం కానివి మరియు 7 ప్రామాణికమైనవి. గుణకార సిద్ధాంతం ద్వారా
సమస్య 5 . ఒక పెట్టెలో 3 తెలుపు మరియు 5 నలుపు బంతులు ఉంటాయి, మరొక పెట్టెలో 6 తెలుపు మరియు 4 నలుపు బంతులు ఉంటాయి. ప్రతి పెట్టె నుండి ఒక బంతిని గీస్తే కనీసం ఒక పెట్టె నుండి తెల్లటి బంతి డ్రా చేయబడే సంభావ్యతను కనుగొనండి.
పరిష్కారం. ఈవెంట్ A=(కనీసం ఒక పెట్టెలోంచి తెల్లటి బంతి తీయబడుతుంది) మొత్తంగా సూచించబడుతుంది, ఇక్కడ సంఘటనలు సంభవించినవి అని అర్థం. తెల్లని బంతిమొదటి మరియు రెండవ పెట్టె నుండి వరుసగా..gif" width="91" height="23">..gif" width="20" height="23 src=">.gif" width="480" height= "23">.
సమస్య 6 . ముగ్గురు ఎగ్జామినర్లు 30 మంది వ్యక్తుల సమూహం నుండి ఒక నిర్దిష్ట సబ్జెక్ట్‌లో పరీక్షను నిర్వహిస్తారు, మొదటివారు 6 మంది విద్యార్థులను, రెండవవారు - 3 మంది విద్యార్థులు మరియు మూడవవారు - 21 మంది విద్యార్థులను పరీక్షిస్తారు (విద్యార్థులు జాబితా నుండి యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడతారు). పేలవంగా సిద్ధమైన వారి పట్ల ముగ్గురు ఎగ్జామినర్ల వైఖరి భిన్నంగా ఉంటుంది: అటువంటి విద్యార్థులు మొదటి ఉపాధ్యాయునితో పరీక్షలో ఉత్తీర్ణత సాధించే అవకాశాలు 40%, రెండవది - కేవలం 10%, మరియు మూడవది - 70%. పేలవంగా తయారైన విద్యార్థి పరీక్షలో ఉత్తీర్ణత సాధించే సంభావ్యతను కనుగొనండి .
పరిష్కారం.పేలవంగా తయారైన విద్యార్థి వరుసగా మొదటి, రెండవ మరియు మూడవ పరిశీలకుడికి సమాధానమిచ్చాడని పరికల్పనల ద్వారా సూచిస్తాము. సమస్య యొక్క పరిస్థితుల ప్రకారం
, 
, 
.
ఈవెంట్ A=(తక్కువగా తయారైన విద్యార్థి పరీక్షలో ఉత్తీర్ణత సాధించాడు). మళ్ళీ, సమస్య యొక్క పరిస్థితుల కారణంగా
, 
, 
.
మొత్తం సంభావ్యత సూత్రాన్ని ఉపయోగించి మనం పొందుతాము:
సమస్య 7 . కంపెనీకి మూడు భాగాల సరఫరా మూలాలు ఉన్నాయి - కంపెనీలు A, B, C. కంపెనీ A మొత్తం సరఫరాలో 50%, B - 30% మరియు C - 20%. కంపెనీ A ద్వారా సరఫరా చేయబడిన భాగాలలో, 10% లోపభూయిష్టంగా ఉన్నాయని, కంపెనీ B - 5% మరియు కంపెనీ C ద్వారా - 6% అని ఆచరణలో తెలుసు. యాదృచ్ఛికంగా తీసుకున్న భాగం అనుకూలంగా ఉండే సంభావ్యత ఏమిటి?
పరిష్కారం.ఈవెంట్ G అనేది తగిన భాగం యొక్క రూపంగా ఉండనివ్వండి. A, B, C కంపెనీల ద్వారా ఆ భాగం సరఫరా చేయబడిన పరికల్పనల సంభావ్యత వరుసగా P(A)=0.5, P(B)=0.3, P(C)=0.2కి సమానం. తగిన భాగం యొక్క రూపానికి సంబంధించిన షరతులతో కూడిన సంభావ్యత P(G|A)=0.9, P(G|B)=0.95, P(G|C)=0.94కి సమానం (ఆవిర్భావానికి వ్యతిరేక సంఘటనల సంభావ్యత వలె. లోపభూయిష్ట భాగం). మొత్తం సంభావ్యత సూత్రాన్ని ఉపయోగించి మనం పొందుతాము:
P(G)=0.5×0.9+0.3×0.95+0.2×0.94=0.923.
సమస్య 8 (పని 6 చూడండి). విద్యార్థి పరీక్షలో ఉత్తీర్ణత సాధించలేదని, అంటే "అసంతృప్తికరమైన" గ్రేడ్‌ను పొందారని తెలియజేయండి. ముగ్గురు ఉపాధ్యాయుల్లో ఎవరికి అతను ఎక్కువగా సమాధానం చెప్పగలడు? ?
పరిష్కారం."వైఫల్యం" పొందే సంభావ్యత సమానంగా ఉంటుంది. మీరు షరతులతో కూడిన సంభావ్యతలను లెక్కించాలి. Bayes సూత్రాలను ఉపయోగించి మనం పొందుతాము:
https://pandia.ru/text/78/307/images/image059_0.gif" width="183" height="44 src=">, 
.
ఇది చాలా మటుకు, పేలవంగా తయారైన విద్యార్థి మూడవ పరీక్షకుడికి పరీక్షను తీసుకున్నాడు.
4. పునరావృత స్వతంత్ర పరీక్షలు. బెర్నౌలీ సిద్ధాంతం
సమస్య 1 . డై 6 సార్లు విసిరివేయబడుతుంది. ఒక సిక్స్ సరిగ్గా 3 సార్లు చుట్టబడే సంభావ్యతను కనుగొనండి.
పరిష్కారం.డైని ఆరుసార్లు రోల్ చేయడం ఒక సీక్వెన్స్‌గా భావించవచ్చు స్వతంత్ర పరీక్షలువిజయం యొక్క సంభావ్యత ("సిక్స్") 1/6కి సమానం మరియు 5/6 విఫలమయ్యే సంభావ్యతతో. మేము సూత్రాన్ని ఉపయోగించి అవసరమైన సంభావ్యతను లెక్కిస్తాము 
.
సమస్య 2 . నాణెం 6 సార్లు విసిరివేయబడుతుంది. కోట్ ఆఫ్ ఆర్మ్స్ 2 సార్లు కంటే ఎక్కువ కనిపించని సంభావ్యతను కనుగొనండి.
పరిష్కారం.అవసరమైన సంభావ్యత మూడు ఈవెంట్‌ల సంభావ్యత మొత్తానికి సమానం, కోట్ ఆఫ్ ఆర్మ్స్ ఒకసారి, లేదా ఒకసారి లేదా రెండుసార్లు కూడా కనిపించదు:
P(A) = P6(0) + P6(1) + P6(2) = https://pandia.ru/text/78/307/images/image063.gif" width="445 height=24" height= "24">.
సమస్య 4 . నాణెం 3 సార్లు విసిరివేయబడుతుంది. విజయాల యొక్క అత్యంత సంభావ్య సంఖ్యను కనుగొనండి (కోట్ ఆఫ్ ఆర్మ్స్).
పరిష్కారం. సాధ్యమయ్యే విలువలుపరిశీలనలో ఉన్న మూడు ట్రయల్స్‌లోని విజయాల సంఖ్య m = 0, 1, 2 లేదా 3. మూడు నాణేల టాస్‌లలో కోట్ ఆఫ్ ఆర్మ్స్ m సార్లు కనిపించే సంఘటనగా భావించండి. బెర్నౌలీ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి సంఘటనల సంభావ్యతలను కనుగొనడం సులభం Am (టేబుల్ చూడండి):
ఈ పట్టిక నుండి అత్యంత సంభావ్య విలువలు 1 మరియు 2 సంఖ్యలు (వాటి సంభావ్యత 3/8) అని చూడవచ్చు. అదే ఫలితాన్ని సిద్ధాంతం 2 నుండి పొందవచ్చు. నిజానికి, n=3, p=1/2, q=1/2. అప్పుడు
, అనగా.
టాస్క్ 5. భీమా ఏజెంట్ యొక్క ప్రతి సందర్శన ఫలితంగా, ఒప్పందం సంభావ్యత 0.1తో ముగిసింది. 25 సందర్శనల తర్వాత ముగించబడిన ఒప్పందాల సంఖ్యను కనుగొనండి.
పరిష్కారం.మనకు n=10, p=0.1, q=0.9 ఉన్నాయి. అత్యంత సంభావ్య సంఖ్యలో విజయాల కోసం అసమానత రూపం తీసుకుంటుంది: 25×0.1–0.9£m*£25×0.1+0.1 లేదా 1.6£m*£2.6. ఈ అసమానత ఒకే ఒక పూర్ణాంకం పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటుంది, అవి m*=2.
సమస్య 6 . ఒక నిర్దిష్ట భాగానికి లోపం రేటు 0.5% అని తెలుసు. ఇన్స్పెక్టర్ 1000 భాగాలను తనిఖీ చేస్తాడు. సరిగ్గా మూడు లోపభూయిష్ట భాగాలను కనుగొనే సంభావ్యత ఏమిటి? కనీసం మూడు లోపభూయిష్ట భాగాలను కనుగొనే సంభావ్యత ఏమిటి?
పరిష్కారం.మేము "విజయం" p=0.005 సంభావ్యతతో 1000 బెర్నౌలీ పరీక్షలను కలిగి ఉన్నాము. పాయిసన్ ఉజ్జాయింపును λ=np=5తో వర్తింపజేస్తే, మేము పొందుతాము
2) P1000(m³3)=1-P1000(m<3)=1-»1-,
మరియు P1000(3)"0.14; Р1000(m³3)»0.875.
సమస్య 7 . కస్టమర్ దుకాణాన్ని సందర్శించినప్పుడు కొనుగోలు సంభావ్యత p=0.75. 100 సందర్శనలతో క్లయింట్ ఖచ్చితంగా 80 సార్లు కొనుగోలు చేసే సంభావ్యతను కనుగొనండి.
పరిష్కారం. IN ఈ విషయంలో n=100, m=80, p=0.75, q=0.25. మేము కనుగొంటాము 
, మరియు j(x)=0.2036ని నిర్ణయించండి, అప్పుడు అవసరమైన సంభావ్యత Р100(80)=కి సమానం 
.
టాస్క్ 8. బీమా కంపెనీ 40,000 ఒప్పందాలను ముగించింది. సంవత్సరంలో ప్రతి ఒక్కరికి బీమా చేయబడిన ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత 2%. అటువంటి కేసులు 870 కంటే ఎక్కువ ఉండని సంభావ్యతను కనుగొనండి.
పరిష్కారం.విధి పరిస్థితుల ప్రకారం, n=40000, p=0.02. మేము np=800,. P(m £ 870)ని లెక్కించడానికి మేము మోయివ్రే-లాప్లేస్ సమగ్ర సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగిస్తాము:
P(0
లాప్లేస్ ఫంక్షన్ యొక్క విలువల పట్టిక నుండి మేము కనుగొంటాము:
P(0 సమస్య 9
.
ప్రతి 400 స్వతంత్ర ట్రయల్స్‌లో ఒక ఈవెంట్ సంభవించే సంభావ్యత 0.8. సంభావ్యత 0.99తో, దాని సంభావ్యత నుండి ఈవెంట్ సంభవించే సాపేక్ష ఫ్రీక్వెన్సీ యొక్క విచలనం యొక్క సంపూర్ణ విలువ eని మించకుండా సానుకూల సంఖ్యను కనుగొనండి. పరిష్కారం.సమస్య యొక్క పరిస్థితుల ప్రకారం, p=0.8, n=400. మేము మోయివ్రే-లాప్లేస్ సమగ్ర సిద్ధాంతం నుండి ఒక పరిణామాన్ని ఉపయోగిస్తాము: 5.
వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ సమస్య 1
.
3 కీల సెట్‌లో, ఒక కీ మాత్రమే తలుపుకు సరిపోతుంది. తగిన కీ కనుగొనబడే వరకు కీలు శోధించబడతాయి. పంపిణీ చట్టాన్ని రూపొందించండి యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ x - పరీక్షించిన కీల సంఖ్య .
పరిష్కారం.ప్రయత్నించిన కీల సంఖ్య 1, 2 లేదా 3 కావచ్చు. ఒక కీని మాత్రమే ప్రయత్నించినట్లయితే, ఈ మొదటి కీ వెంటనే తలుపుతో సరిపోలిందని మరియు అటువంటి ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత 1/3 అని అర్థం. కాబట్టి, తదుపరి, 2 పరీక్షించిన కీలు ఉంటే, అంటే x=2, అంటే మొదటి కీ పని చేయలేదు, కానీ రెండవది పని చేసింది. ఈ ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత 2/3×1/2=1/3..gif" width="100" height="21"> ఫలితం క్రింది పంపిణీ శ్రేణి: సమస్య 2
.
సమస్య 1 నుండి యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ x కోసం పంపిణీ ఫంక్షన్ Fx(x)ని రూపొందించండి. పరిష్కారం.యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ x మూడు విలువలను కలిగి ఉంది 1, 2, 3, ఇది మొత్తం సంఖ్యా అక్షాన్ని నాలుగు విరామాలుగా విభజిస్తుంది: . x అయితే<1, то неравенство x£x невозможно (левее x нет значений случайной величины x) и значит, для такого x функция Fx(x)=0. 1£x అయితే<2, то неравенство x£x возможно только если x=1, а вероятность такого события равна 1/3, поэтому для таких x функция распределения Fx(x)=1/3. 2£x అయితే<3, неравенство x£x означает, что или x=1, или x=2, поэтому в этом случае вероятность P(x చివరగా, x³3 విషయంలో x£x యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ x యొక్క అన్ని విలువలకు అసమానత కలిగి ఉంటుంది, కాబట్టి P(x కాబట్టి మనకు ఈ క్రింది ఫంక్షన్ వచ్చింది: సమస్య 3.
యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ x మరియు h ఉమ్మడి పంపిణీ చట్టం పట్టికను ఉపయోగించి ఇవ్వబడింది కాంపోనెంట్ పరిమాణాల x మరియు h పంపిణీకి సంబంధించిన నిర్దిష్ట చట్టాలను లెక్కించండి. అవి ఆధారపడి ఉన్నాయో లేదో నిర్ణయించండి..gif" width="423" height="23 src=">; https://pandia.ru/text/78/307/images/image086.gif" width="376" height="23 src=">. h కోసం పాక్షిక పంపిణీ ఇలాగే పొందబడింది: https://pandia.ru/text/78/307/images/image088.gif" width="229" height="23 src=">. పొందిన సంభావ్యతలను యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క సంబంధిత విలువలకు వ్యతిరేకంగా ఒకే పట్టికలో వ్రాయవచ్చు: ఇప్పుడు ఈ సెల్‌లో యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ x మరియు h..gif" width="108" height="25 src="> స్వతంత్రత గురించిన ప్రశ్నకు సమాధానం చూద్దాం. ఉదాహరణకు, సెల్‌లో x=-1 విలువలు మరియు h=1 1/16 సంభావ్యత ఉంది, మరియు సంబంధిత పాక్షిక సంభావ్యత 1/4×1/4 యొక్క ఉత్పత్తి 1/16కి సమానం, అనగా దీనితో సమానంగా ఉంటుంది ఉమ్మడి సంభావ్యత. ఈ పరిస్థితి మిగిలిన ఐదు కణాలలో కూడా పరీక్షించబడుతుంది మరియు ఇది అన్నింటిలోనూ నిజమని తేలింది. కాబట్టి, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ x మరియు h స్వతంత్రంగా ఉంటాయి. కనీసం ఒక సెల్‌లో మా పరిస్థితి ఉల్లంఘించబడితే, పరిమాణాలు డిపెండెంట్‌గా గుర్తించబడాలని గుర్తుంచుకోండి. సంభావ్యతను లెక్కించడానికి కండిషన్ https://pandia.ru/text/78/307/images/image092.gif" width="574" height="23 src="> కోసం సెల్‌లను గుర్తించండి సమస్య 4
.
యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ ξ కింది పంపిణీ నియమాన్ని కలిగి ఉండనివ్వండి: లెక్కించు అంచనా విలువ Mx, వ్యత్యాసం Dx మరియు సగటు ప్రామాణిక విచలనంలు. పరిష్కారం. నిర్వచనం ప్రకారం, x యొక్క గణిత నిరీక్షణ సమానంగా ఉంటుంది ప్రామాణిక విచలనం https://pandia.ru/text/78/307/images/image097.gif" width="51" height="21">. పరిష్కారం.సూత్రాన్ని ఉపయోగించుకుందాం సమస్య 6
.
సమస్య 3 నుండి ఒక జత యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ కోసం, కోవియారెన్స్ cov(x, h)ని లెక్కించండి. పరిష్కారం.మునుపటి సమస్యలో గణిత అంచనా ఇప్పటికే లెక్కించబడింది .
ఇది లెక్కించడానికి మిగిలి ఉంది మరియు .
సమస్య 3ని పరిష్కరించడంలో పొందిన పాక్షిక పంపిణీ చట్టాలను ఉపయోగించి, మేము పొందుతాము ; ;
మరియు దాని అర్థం యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క స్వతంత్రత కారణంగా ఇది ఊహించబడింది. టాస్క్ 7.
యాదృచ్ఛిక వెక్టార్ (x, h) విలువలు (0,0), (1,0), (–1,0), (0,1) మరియు (0,–1) సమానంగా ఉంటుంది. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ x మరియు h యొక్క కోవియారెన్స్‌ను లెక్కించండి. వారు ఆధారపడి ఉన్నారని చూపండి. పరిష్కారం. P(x=0)=3/5, P(x=1)=1/5, P(x=–1)=1/5; Р(h=0)=3/5, P(h=1)=1/5, P(h=–1)=1/5, ఆపై Мx=3/5´0+1/5´1+1 /5´(–1)=0 మరియు Мh=0; М(xh)=0´0´1/5+1´0´1/5–1´0´1/5+0´1´1/5–0´1´1/5=0. మేము cov(x, h)=М(xh)–МxМh=0ని పొందుతాము మరియు యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ పరస్పర సంబంధం లేనివి. అయితే, అవి ఆధారపడి ఉంటాయి. x=1ని అనుమతించండి, ఆపై ఈవెంట్ యొక్క షరతులతో కూడిన సంభావ్యత (h=0) P(h=0|x=1)=1కి సమానం మరియు షరతులు లేని సంభావ్యత P(h=0)=3/5కి సమానం కాదు , లేదా సంభావ్యత (ξ=0,η =0) సంభావ్యత యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం కాదు: Р(x=0,h=0)=1/5¹Р(x=0)Р(h=0)=9/ 25. కాబట్టి, x మరియు h ఆధారపడి ఉంటాయి. సమస్య 8
. x మరియు h రోజులలో రెండు కంపెనీల స్టాక్ ధరలలో యాదృచ్ఛిక ఇంక్రిమెంట్లు ఉన్నాయి ఉమ్మడి పంపిణీ, టేబుల్ ద్వారా ఇవ్వబడింది: సహసంబంధ గుణకాన్ని కనుగొనండి. పరిష్కారం.అన్నింటిలో మొదటిది, మేము Mxh=0.3-0.2-0.1+0.4=0.4ని లెక్కిస్తాము. తరువాత, మేము x మరియు h పంపిణీ యొక్క నిర్దిష్ట చట్టాలను కనుగొంటాము: మేము Mx=0.5-0.5=0ని నిర్వచించాము; Mh=0.6-0.4=0.2; Dx=1; Dh=1–0.22=0.96; cov(x, h)=0.4. మాకు దొరికింది టాస్క్ 9.
రోజుకు రెండు కంపెనీల స్టాక్ ధరలలో యాదృచ్ఛిక ఇంక్రిమెంట్లు Dx=1 మరియు Dh=2 మరియు వాటి సహసంబంధ గుణకం r=0.7 వ్యత్యాసాలను కలిగి ఉంటాయి. మొదటి కంపెనీకి చెందిన 5 షేర్లు మరియు రెండవ కంపెనీకి చెందిన 3 షేర్ల పోర్ట్‌ఫోలియో ధర పెంపు యొక్క వైవిధ్యాన్ని కనుగొనండి. పరిష్కారం. వ్యాప్తి, కోవియారిన్స్ మరియు సహసంబంధ గుణకం యొక్క నిర్వచనం యొక్క లక్షణాలను ఉపయోగించి, మేము పొందుతాము: సమస్య 10
.
రెండు డైమెన్షనల్ యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ పంపిణీ పట్టిక ద్వారా ఇవ్వబడింది: షరతులతో కూడిన పంపిణీ మరియు షరతులతో కూడిన నిరీక్షణ hని x=1 వద్ద కనుగొనండి. పరిష్కారం.షరతులతో కూడిన గణిత నిరీక్షణ సమస్య యొక్క పరిస్థితుల నుండి మేము h మరియు x భాగాల పంపిణీని కనుగొంటాము (చివరి కాలమ్ మరియు చివరి పంక్తిపట్టికలు). ఇప్పటి వరకు తీసుకొచ్చారు తెరిచిన కూజాగణితంలో ఏకీకృత స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్ సమస్యలు (mathege.ru), దీని పరిష్కారం ఒకే ఒక సూత్రంపై ఆధారపడి ఉంటుంది, ఇది క్లాసిక్ నిర్వచనంసంభావ్యతలు. సూత్రాన్ని అర్థం చేసుకోవడానికి సులభమైన మార్గం ఉదాహరణలతో. ఒక వ్యాఖ్య.సంభావ్యత సిద్ధాంతంలోని సమస్యలలో, ఏదో జరుగుతుంది (ఈ సందర్భంలో, బంతిని బయటకు తీయడం మా చర్య) అది భిన్నమైన ఫలితాన్ని కలిగి ఉంటుంది - ఫలితం. ఫలితాన్ని వివిధ మార్గాల్లో చూడవచ్చని గమనించాలి. "మేము ఒక రకమైన బంతిని తీసివేసాము" కూడా ఫలితం. "మేము నీలిరంగు బంతిని తీసివేసాము" - ఫలితం. "మేము ఈ బంతిని సాధ్యమయ్యే అన్ని బంతుల నుండి ఖచ్చితంగా తీసివేసాము" - ఫలితం యొక్క ఈ తక్కువ సాధారణ వీక్షణను ప్రాథమిక ఫలితం అంటారు. ఇది సంభావ్యతను లెక్కించడానికి సూత్రంలో ఉద్దేశించిన ప్రాథమిక ఫలితాలు. పరిష్కారం.ఇప్పుడు నీలిరంగు బంతిని ఎంచుకునే సంభావ్యతను గణిద్దాం. అదే సమస్య కోసం, ఎరుపు బంతిని ఎంచుకునే సంభావ్యతను గణిద్దాం. ఏదైనా ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత ఎల్లప్పుడూ 0 మరియు 1 మధ్య ఉంటుంది. మేము సమీక్షించాము క్లాసిక్ ఉదాహరణ, సంభావ్యత యొక్క నిర్వచనాన్ని వివరిస్తుంది. అన్నీ ఒకేలా ఉన్నాయి యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్ పనులుసంభావ్యత సిద్ధాంతం ప్రకారం, అవి ఈ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి పరిష్కరించబడతాయి. యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్ యొక్క సంభావ్యత సిద్ధాంతం యొక్క సమస్య సూత్రీకరణలో అవి కొద్దిగా భిన్నంగా ఉంటాయి, ఇక్కడ మీరు ఒక నిర్దిష్ట రోజున సంభవించే కొన్ని సంఘటనల సంభావ్యతను లెక్కించాలి. (, ) లో వలె మునుపటి పనులుమీరు ప్రాథమిక ఫలితం ఏమిటో గుర్తించాలి, ఆపై అదే సూత్రాన్ని వర్తింపజేయాలి. ఉదాహరణ 2.సదస్సు మూడు రోజుల పాటు కొనసాగుతుంది. మొదటి మరియు రెండవ రోజులలో 15 మంది వక్తలు ఉంటారు, మూడవ రోజున - 20. లాట్లు గీయడం ద్వారా నివేదికల క్రమాన్ని నిర్ణయించినట్లయితే, ప్రొఫెసర్ M. యొక్క నివేదిక మూడవ రోజున పడిపోయే సంభావ్యత ఎంత? ఇక్కడ ప్రాథమిక ఫలితం ఏమిటి? - సాధ్యమైన అన్నింటిలో ఒక ప్రొఫెసర్ నివేదికను కేటాయించడం క్రమ సంఖ్యలుఒక ప్రదర్శన కోసం. డ్రాలో 15+15+20=50 మంది పాల్గొంటారు. అందువలన, ప్రొఫెసర్ M. యొక్క నివేదిక 50 సమస్యలలో ఒకదానిని అందుకోవచ్చు. అంటే 50 ప్రాథమిక ఫలితాలు మాత్రమే ఉన్నాయి. ఇక్కడ లాట్ డ్రాయింగ్ అనేది వ్యక్తులు మరియు ఆర్డర్ చేసిన స్థలాల మధ్య యాదృచ్ఛిక అనురూపాన్ని ఏర్పరుస్తుంది. ఉదాహరణ 2లో, ఏ స్థలాలను తీసుకోవచ్చనే కోణం నుండి కరస్పాండెన్స్ ఏర్పాటు పరిగణించబడింది ప్రత్యేక వ్యక్తి. మీరు అవతలి వైపు నుండి అదే పరిస్థితిని చేరుకోవచ్చు: సంభావ్యత ఉన్న వ్యక్తులలో ఎవరు చిక్కుకోగలరు? నిర్దిష్ట స్థలం(ప్రోటోటైప్‌లు, , , ): ఉదాహరణ 3.డ్రాలో 5 మంది జర్మన్లు, 8 మంది ఫ్రెంచ్ మరియు 3 ఎస్టోనియన్లు ఉన్నారు. మొదటి (/రెండవ/ఏడవ/చివరి - ఇది పట్టింపు లేదు) ఫ్రెంచ్ వ్యక్తి అయ్యే సంభావ్యత ఏమిటి. ప్రాథమిక ఫలితాల సంఖ్య - అన్నింటి సంఖ్య సాధ్యమైన వ్యక్తులు, ఇది లాట్లు గీయడం ద్వారా పొందవచ్చు ఈ ప్రదేశం. 5+8+3=16 మంది. ప్రోటోటైప్ కొద్దిగా భిన్నంగా ఉంటుంది. నాణేలు () మరియు పాచికలు () గురించి ఇంకా సమస్యలు ఉన్నాయి, ఇవి కొంత సృజనాత్మకంగా ఉంటాయి. ఈ సమస్యలకు పరిష్కారం ప్రోటోటైప్ పేజీలలో చూడవచ్చు. నాణెం లేదా పాచికలు విసిరే కొన్ని ఉదాహరణలు ఇక్కడ ఉన్నాయి. ఉదాహరణ 4.మనం నాణెం విసిరినప్పుడు, తలపైకి దిగే సంభావ్యత ఎంత? ఉదాహరణ 5.మనం ఒక నాణెం రెండుసార్లు విసిరితే? రెండు సార్లు తలలు వచ్చే అవకాశం ఎంత? రెండు నాణేలు టాసుల వలన తోకలు ఏర్పడే సంభావ్యత ఎంత? అటువంటి సమస్యలలో, మరొక సూత్రం ఉపయోగపడుతుంది. కాబట్టి, మీరు 5 కాయిన్ టాసులలో 5 తలలను పొందే సంభావ్యతను కనుగొనవచ్చు. పాచికలకు కూడా ఇదే వర్తిస్తుంది. ఒక త్రోతో, 6 సాధ్యమయ్యే ఫలితాలు ఉన్నాయి. కాబట్టి, రెండు త్రోలకు: 6 6 = 36, మూడు 6 6 6 = 216, మొదలైనవి. ఉదాహరణ 6.మేము పాచికలు త్రో. సరి సంఖ్య రోల్ చేయబడే సంభావ్యత ఏమిటి? మొత్తం ఫలితాలు: 6, భుజాల సంఖ్య ప్రకారం. ఉదాహరణ 7.మేము రెండు పాచికలు విసిరేస్తాము. మొత్తం 10 అయ్యే సంభావ్యత ఎంత? (సమీప వందవ వంతు వరకు) ఒక మరణానికి 6 సాధ్యమైన ఫలితాలు ఉన్నాయి. అంటే పై నియమం ప్రకారం ఇద్దరికి 6·6=36. ఇతర రకాల B6 సమస్యలు భవిష్యత్తులో ఎలా పరిష్కరించాలి అనే కథనంలో చర్చించబడతాయి. సంభావ్యత. పనులు ప్రొఫైల్ ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్షగణితం. ఉపాధ్యాయుడు సిద్ధం చేశాడు గణిత శాస్త్రజ్ఞులు MBOU"లైసియం నం. 4" రుజావ్కా ఒవ్చిన్నికోవా T.V. సంభావ్యత యొక్క నిర్వచనం సంభావ్యత
సంఘటనలు A ని సంఖ్య నిష్పత్తి అంటారు m
ఈ ఈవెంట్‌కు అనుకూల ఫలితాలు మొత్తం సంఖ్య
n
ఒక పరీక్ష లేదా పరిశీలన ఫలితంగా సంభవించే అన్ని సమానంగా సాధ్యమయ్యే అననుకూల సంఘటనలు: m
n
వీలు కె
- కాయిన్ టాసుల సంఖ్య, ఆపై సాధ్యమయ్యే ఫలితాల సంఖ్య: n=2
కె
.
వీలు కె
- డైస్ రోల్స్ సంఖ్య, ఆపై సాధ్యమయ్యే ఫలితాల సంఖ్య: n=6
కె
.
యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలో, సుష్ట నాణెం రెండుసార్లు విసిరివేయబడుతుంది. తలలు సరిగ్గా ఒకసారి కనిపించే సంభావ్యతను కనుగొనండి. పరిష్కారం.
4 ఎంపికలు మాత్రమే ఉన్నాయి: O; ఓ ఓ; p p; p p; ఓ .
అనుకూలమైన 2: O; ఆర్ మరియు R; ఓ .
సంభావ్యత 2/4 = 1/2 = 0,5
.
సమాధానం: 0.5. యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలో, రెండు పాచికలు చుట్టబడతాయి. మొత్తం 8 పాయింట్లు ఉండే సంభావ్యతను కనుగొనండి. ఫలితాన్ని వందవ వంతుకు పూరించండి. పరిష్కారం.
పాచికలు 6 వైపులా ఘనాల. మొదటి డై 1, 2, 3, 4, 5 లేదా 6 పాయింట్లను రోల్ చేయవచ్చు. ప్రతి స్కోరింగ్ ఎంపిక రెండవ డైలో 6 స్కోరింగ్ ఎంపికలకు అనుగుణంగా ఉంటుంది. ఆ. మొత్తం విభిన్న ఎంపికలు 6×6 = 36. ఎంపికలు (ప్రయోగ ఫలితాలు) క్రింది విధంగా ఉంటాయి: 1; 1 1; 2 1; 3 1; 4 1; 5 1; 6
2; 1 2; 2 2; 3 2; 4 2; 5 2; 6
మొదలైనవి ............................... 6; 1 6; 2 6; 3 6; 4 6; 5 6; 6
రెండు పాచికల పాయింట్ల మొత్తం 8 అయిన ఫలితాల సంఖ్య (ఐచ్ఛికాలు) లెక్కిద్దాం. 2; 6 3; 5; 4; 4 5; 3 6; 2.
మొత్తం 5 ఎంపికలు ఉన్నాయి. సంభావ్యతను కనుగొనండి: 5/36 = 0.138 ≈ 0.14. సమాధానం: 0.14. జీవశాస్త్రం కోసం టిక్కెట్ల సేకరణలో 55 టిక్కెట్లు మాత్రమే ఉన్నాయి, వాటిలో 11 వృక్షశాస్త్రంపై ప్రశ్నను కలిగి ఉంది. యాదృచ్ఛికంగా ఎంచుకున్న పరీక్ష టిక్కెట్‌పై విద్యార్థి వృక్షశాస్త్రంపై ప్రశ్నను పొందే సంభావ్యతను కనుగొనండి. పరిష్కారం:
యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడిన పరీక్ష టిక్కెట్‌పై విద్యార్థికి వృక్షశాస్త్రంపై ప్రశ్న వచ్చే సంభావ్యత 11/55 = 1/5 = 0.2. సమాధానం: 0.2. జిమ్నాస్టిక్స్ ఛాంపియన్‌షిప్‌లో 20 మంది అథ్లెట్లు పాల్గొంటున్నారు: రష్యా నుండి 8, USA నుండి 7, మిగిలినవి చైనా నుండి. జిమ్నాస్ట్‌లు చేసే క్రమం లాట్ ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది. అథ్లెట్ మొదట పోటీ చేసే సంభావ్యతను కనుగొనండి చైనా నుండి. పరిష్కారం.
మొత్తం 20 మంది క్రీడాకారులు పాల్గొంటున్నారు, ఇందులో చైనా నుండి 20 - 8 - 7 = 5 అథ్లెట్లు. అథ్లెట్ చైనా నుండి మొదట పోటీ చేసే సంభావ్యత 5/20 = 1/4 = 0.25. సమాధానం: 0.25. వైజ్ఞానిక సదస్సు 5 రోజుల పాటు జరుగుతుంది. మొత్తం 75 నివేదికలు ప్రణాళిక చేయబడ్డాయి - మొదటి మూడు రోజులలో 17 నివేదికలు ఉంటాయి, మిగిలినవి నాల్గవ మరియు ఐదవ రోజుల మధ్య సమానంగా పంపిణీ చేయబడతాయి. నివేదికల క్రమం లాట్‌లను గీయడం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది. కాన్ఫరెన్స్ చివరి రోజున ప్రొఫెసర్ M. యొక్క నివేదిక షెడ్యూల్ చేయబడే సంభావ్యత ఏమిటి? పరిష్కారం:
కాన్ఫరెన్స్ చివరి రోజున ప్లాన్ చేశారు (75 – 17 × 3) : 2 = 12 నివేదికలు. కాన్ఫరెన్స్ చివరి రోజున ప్రొఫెసర్ M. యొక్క నివేదిక షెడ్యూల్ చేయబడే సంభావ్యత 12/75 = 4/25 = 0.16. సమాధానం: 0.16. బ్యాడ్మింటన్ ఛాంపియన్‌షిప్ యొక్క మొదటి రౌండ్ ప్రారంభానికి ముందు, పాల్గొనేవారిని యాదృచ్ఛికంగా లాట్‌లను ఉపయోగించి జంటలుగా విభజించారు. మొత్తంగా, 26 మంది బ్యాడ్మింటన్ క్రీడాకారులు ఛాంపియన్‌షిప్‌లో పాల్గొంటున్నారు, ఇందులో రష్యా నుండి 10 మంది పాల్గొనేవారు, రుస్లాన్ ఓర్లోవ్ ఉన్నారు. మొదటి రౌండ్‌లో రుస్లాన్ ఓర్లోవ్ రష్యాకు చెందిన ఏదైనా బ్యాడ్మింటన్ ప్లేయర్‌తో ఆడే సంభావ్యతను కనుగొనండి? పరిష్కారం:
రుస్లాన్ ఓర్లోవ్ రష్యాకు చెందిన కొంతమంది బ్యాడ్మింటన్ ప్లేయర్‌తో తప్పనిసరిగా ఆడాలని పరిగణనలోకి తీసుకోవాలి. మరియు రుస్లాన్ ఓర్లోవ్ కూడా రష్యాకు చెందినవాడు. మొదటి రౌండ్‌లో రుస్లాన్ ఓర్లోవ్ రష్యాకు చెందిన ఏదైనా బ్యాడ్మింటన్ ప్లేయర్‌తో ఆడే సంభావ్యత 9/25 = 36/100 = 0.36. సమాధానం: 0.36. దశ పాచికలు రెండుసార్లు విసురుతాడు. ఆమెకు మొత్తం 8 పాయింట్లు వచ్చాయి. మొదటి రోల్‌లో మీరు 2 పాయింట్లు పొందే సంభావ్యతను కనుగొనండి. పరిష్కారం.
రెండు పాచికలపై మొత్తం 8 పాయింట్లు కనిపించాలి. కింది కలయికలు ఉంటే ఇది సాధ్యమవుతుంది: మొత్తం 5 ఎంపికలు ఉన్నాయి. మొదటి త్రోలో 2 పాయింట్లు పొందిన ఫలితాల (ఐచ్ఛికాలు) సంఖ్యను గణిద్దాం. ఇది ఎంపిక 1. సంభావ్యతను కనుగొనండి: 1/5 = 0.2. సమాధానం: 0.2. ప్రపంచ ఛాంపియన్‌షిప్‌లో 20 జట్లు పాల్గొంటున్నాయి. లాట్‌లను ఉపయోగించి, వాటిని ఒక్కొక్కటి నాలుగు జట్లతో కూడిన ఐదు గ్రూపులుగా విభజించాలి. బాక్స్‌లో సమూహం సంఖ్యలు కలిపిన కార్డ్‌లు ఉన్నాయి: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5.
జట్టు కెప్టెన్లు ఒక్కొక్కరు ఒక్కో కార్డును డ్రా చేస్తారు. రష్యా జట్టు మూడవ సమూహంలో ఉండే సంభావ్యత ఏమిటి. పరిష్కారం:
మొత్తం 20 జట్లు, 5 గ్రూపులు ఉన్నాయి. ఒక్కో గ్రూపులో 4 జట్లు ఉంటాయి. కాబట్టి, మొత్తం 20 ఫలితాలు ఉన్నాయి, మనకు అవసరమైనవి 4, అంటే కావలసిన ఫలితాన్ని పొందే సంభావ్యత 4/20 = 0.2. సమాధానం: 0.2. రెండు కర్మాగారాలు కారు హెడ్‌లైట్ల కోసం ఒకే గాజును ఉత్పత్తి చేస్తాయి. మొదటి ఫ్యాక్టరీ ఈ గ్లాసులలో 45% ఉత్పత్తి చేస్తుంది, రెండవది - 55%. మొదటి కర్మాగారం 3% లోపభూయిష్ట గాజును ఉత్పత్తి చేస్తుంది, మరియు రెండవది - 1%. అనుకోకుండా దుకాణంలో కొనుగోలు చేసిన గాజు లోపభూయిష్టంగా ఉండే సంభావ్యతను కనుగొనండి. పరిష్కారం:
మొదటి కర్మాగారంలో గాజు కొనుగోలు చేయబడి లోపభూయిష్టంగా ఉండే సంభావ్యత: ఆర్ 1
= 0.45 · 0.03 = 0.0135. గాజు రెండవ ఫ్యాక్టరీ నుండి కొనుగోలు చేయబడి లోపభూయిష్టంగా ఉండే సంభావ్యత: ఆర్ 2
=
0.55 · 0.01 = 0.0055. అందువల్ల, మొత్తం సంభావ్యత సూత్రం ప్రకారం, ఒక దుకాణంలో అనుకోకుండా కొనుగోలు చేసిన గాజు లోపభూయిష్టంగా ఉండే సంభావ్యత సమానంగా ఉంటుంది p = p 1
+ p 2
= 0,0135 + 0,0055 = 0,019.
సమాధానం: 0.019. గ్రాండ్‌మాస్టర్ A. తెల్లగా ఆడితే, అతను గ్రాండ్‌మాస్టర్ B.పై సంభావ్యత 0.52తో గెలుస్తాడు. A. నలుపు రంగుతో ఆడితే, A. B.పై సంభావ్యత 0.3తో గెలుస్తుంది. గ్రాండ్‌మాస్టర్‌లు A. మరియు B. రెండు గేమ్‌లు ఆడతారు మరియు రెండవ గేమ్‌లో వారు పావుల రంగును మారుస్తారు. A. రెండు సార్లు గెలిచే సంభావ్యతను కనుగొనండి. పరిష్కారం:
మొదటి మరియు రెండవ గేమ్‌లను గెలుచుకునే అవకాశం ఒకదానిపై ఒకటి ఆధారపడి ఉండదు. స్వతంత్ర సంఘటనల ఉత్పత్తి యొక్క సంభావ్యత వాటి సంభావ్యత యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం: p = 0.52 · 0.3 = 0.156. సమాధానం: 0.156. ఒక బయాథ్లెట్ ఐదుసార్లు లక్ష్యాలపై కాలుస్తుంది. ఒక షాట్‌తో లక్ష్యాన్ని చేధించే సంభావ్యత 0.8. బయాథ్లెట్ మొదటి మూడు సార్లు లక్ష్యాలను చేధించే మరియు చివరి రెండు సార్లు మిస్ అయ్యే సంభావ్యతను కనుగొనండి. ఫలితాన్ని వందవ వంతుకు పూరించండి. పరిష్కారం:
ప్రతి తదుపరి షాట్ ఫలితం మునుపటి వాటిపై ఆధారపడి ఉండదు. అందువల్ల, ఈవెంట్‌లు “మొదటి షాట్‌లో హిట్,” “రెండవ షాట్‌లో హిట్,” మొదలైనవి. స్వతంత్ర. ప్రతి హిట్ సంభావ్యత 0.8. అంటే మిస్ అయ్యే సంభావ్యత 1 – 0.8 = 0.2. 1 షాట్: 0.8 2 షాట్: 0.8 3 షాట్: 0.8 4 షాట్: 0.2 5 షాట్: 0.2 స్వతంత్ర సంఘటనల సంభావ్యతలను గుణించడం కోసం సూత్రాన్ని ఉపయోగించి, కావలసిన సంభావ్యత దీనికి సమానంగా ఉంటుందని మేము కనుగొన్నాము: 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,02048 ≈ 0,02.
సమాధానం: 0.02. స్టోర్‌లో రెండు చెల్లింపు యంత్రాలు ఉన్నాయి. ఇతర యంత్రంతో సంబంధం లేకుండా వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి సంభావ్యత 0.05తో తప్పుగా ఉండవచ్చు. కనీసం ఒక యంత్రం పని చేస్తుందనే సంభావ్యతను కనుగొనండి. పరిష్కారం:
రెండు యంత్రాలు లోపభూయిష్టంగా ఉన్న సంభావ్యతను కనుగొనండి. ఈ సంఘటనలు స్వతంత్రంగా ఉంటాయి, వాటి సంభవించే సంభావ్యత ఈ సంఘటనల సంభావ్యత యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం: 0.05 · 0.05 = 0.0025. కనీసం ఒక యంత్రం పని చేస్తుందనే వాస్తవాన్ని కలిగి ఉన్న సంఘటన, దీనికి విరుద్ధంగా. అందువలన, దాని సంభావ్యత సమానంగా ఉంటుంది 1 − 0,0025 = 0,9975.
సమాధానం: 0.9975. కౌబాయ్ జాన్ జీరోడ్ రివాల్వర్‌ని పేల్చివేస్తే గోడపై ఉన్న ఈగను కొట్టే అవకాశం 0.9 ఉంటుంది. జాన్ కాల్పులు చేయని రివాల్వర్‌ను కాల్చినట్లయితే, అతను సంభావ్యత 0.2తో ఫ్లైని కొట్టాడు. టేబుల్ మీద 10 రివాల్వర్లు ఉన్నాయి, వాటిలో 4 మాత్రమే కాల్చబడ్డాయి. కౌబాయ్ జాన్ గోడపై ఒక ఈగను చూస్తాడు, యాదృచ్ఛికంగా తనకు ఎదురుగా వచ్చిన మొదటి రివాల్వర్‌ని పట్టుకుని ఈగను కాల్చాడు. జాన్ మిస్ అయ్యే సంభావ్యతను కనుగొనండి. పరిష్కారం:
జీరోడ్ రివాల్వర్‌ని పట్టుకుంటే జాన్ మిస్ అయ్యే సంభావ్యత: 0.4 (1 - 0.9) = 0.04 జాన్ కాల్పులు జరపని రివాల్వర్‌ని పట్టుకుంటే మిస్ అయ్యే సంభావ్యత: 0.6 · (1 - 0.2) = 0.48 ఈ సంఘటనలు అననుకూలమైనవి, వాటి మొత్తం సంభావ్యత ఈ ఈవెంట్‌ల సంభావ్యతల మొత్తానికి సమానం: 0,04 + 0,48 = 0,52.
సమాధానం: 0.52. ఫిరంగి కాల్పుల సమయంలో, ఆటోమేటిక్ సిస్టమ్ లక్ష్యాన్ని కాల్చివేస్తుంది. లక్ష్యం నాశనం కాకపోతే, సిస్టమ్ రెండవ షాట్‌ను కాల్చివేస్తుంది. లక్ష్యాన్ని నాశనం చేసే వరకు షాట్లు పునరావృతమవుతాయి. మొదటి షాట్‌తో నిర్దిష్ట లక్ష్యాన్ని నాశనం చేసే సంభావ్యత 0.4 మరియు ప్రతి తదుపరి షాట్‌తో అది 0.6. లక్ష్యాన్ని నాశనం చేసే సంభావ్యత కనీసం 0.98 అని నిర్ధారించుకోవడానికి ఎన్ని షాట్లు అవసరం? పరిష్కారం:
మీరు "చర్య ద్వారా" సమస్యను పరిష్కరించవచ్చు, వరుస తప్పుల శ్రేణి తర్వాత మనుగడ సంభావ్యతను లెక్కించవచ్చు: P(1) = 0.6; P(2) = P(1) 0.4 = 0.24; P(3) = P(2) 0.4 = 0.096; P(4) = P(3) 0.4 = 0.0384; P(5) = P(4) 0.4 = 0.01536. తరువాతి సంభావ్యత 0.02 కంటే తక్కువగా ఉంటుంది, కాబట్టి లక్ష్యం వద్ద ఐదు షాట్లు సరిపోతాయి. సమాధానం: 5. తరగతిలో 26 మంది ఉన్నారు, వారిలో ఇద్దరు కవలలు - ఆండ్రీ మరియు సెర్గీ. తరగతి యాదృచ్ఛికంగా 13 మంది వ్యక్తులతో రెండు గ్రూపులుగా విభజించబడింది. ఆండ్రీ మరియు సెర్గీ ఒకే సమూహంలో ఉండే సంభావ్యతను కనుగొనండి. పరిష్కారం:
కవలలలో ఒకరు ఏదో ఒక సమూహంలో ఉండనివ్వండి. అతనితో పాటు, మిగిలిన 25 సహవిద్యార్థుల నుండి 12 మంది సమూహంలో ఉంటారు. ఈ 12 మందిలో రెండో కవలలు ఉండే అవకాశం ఉంది P = 12: 25 = 0.48. సమాధానం: 0.48. చిత్రం ఒక చిక్కైన చూపిస్తుంది. స్పైడర్ ఎంట్రన్స్ పాయింట్ వద్ద చిట్టడవిలోకి క్రాల్ చేస్తుంది. స్పైడర్ చుట్టూ తిరగదు మరియు తిరిగి క్రాల్ చేయదు, కాబట్టి ప్రతి శాఖ వద్ద సాలీడు ఇంకా క్రాల్ చేయని మార్గాలలో ఒకదాన్ని ఎంచుకుంటుంది. తదుపరి మార్గం యొక్క ఎంపిక పూర్తిగా యాదృచ్ఛికంగా ఉంటుందని ఊహిస్తూ, సాలీడు D నుండి నిష్క్రమించడానికి ఏ సంభావ్యతతో వస్తుందో నిర్ణయించండి. పరిష్కారం:
నాలుగు గుర్తించబడిన ఫోర్క్‌లలో ప్రతిదానిలో, సాలీడు D నుండి నిష్క్రమించే మార్గాన్ని లేదా సంభావ్యత 0.5తో మరొక మార్గాన్ని ఎంచుకోవచ్చు. ఇవి స్వతంత్ర సంఘటనలు, వాటి సంభవించే సంభావ్యత (స్పైడర్ నిష్క్రమణ Dకి చేరుకుంటుంది) ఈ సంఘటనల సంభావ్యత యొక్క ఉత్పత్తికి సమానంగా ఉంటుంది. కాబట్టి, నిష్క్రమణ D వద్దకు వచ్చే సంభావ్యత (0.5) 4
= 0,0625.
. అందుకే, 
..gif" width="587" height="41">
. అవి, పట్టికలోని ప్రతి సెల్‌లో మేము సంబంధిత విలువలను గుణిస్తాము మరియు , సంభావ్యత pij ద్వారా ఫలితాన్ని గుణించి, పట్టికలోని అన్ని సెల్‌లలో అన్నింటినీ సంగ్రహిస్తాము. ఫలితంగా మనకు లభిస్తుంది:
.
ఉదాహరణ 1.బుట్టలో 9 ఎరుపు బంతులు మరియు 3 నీలం బంతులు ఉన్నాయి. బంతులు రంగులో మాత్రమే విభిన్నంగా ఉంటాయి. మేము వాటిలో ఒకదానిని యాదృచ్ఛికంగా (చూడకుండా) తీసివేస్తాము. ఈ విధంగా ఎంచుకున్న బంతి నీలం రంగులో ఉండే సంభావ్యత ఏమిటి?
ఈవెంట్ A: "ఎంచుకున్న బంతి నీలం రంగులోకి మారింది"
సాధ్యమయ్యే అన్ని ఫలితాల మొత్తం సంఖ్య: 9+3=12 (మనం డ్రా చేయగల అన్ని బంతుల సంఖ్య)
ఈవెంట్ A: 3కి అనుకూలమైన ఫలితాల సంఖ్య (సంఘటన A సంభవించిన అటువంటి ఫలితాల సంఖ్య - అంటే నీలి బంతుల సంఖ్య)
P(A)=3/12=1/4=0.25
సమాధానం: 0.25
సాధ్యమయ్యే మొత్తం ఫలితాల సంఖ్య అలాగే ఉంటుంది, 12. అనుకూలమైన ఫలితాల సంఖ్య: 9. సంభావ్యత కోరింది: 9/12=3/4=0.75
కొన్నిసార్లు రోజువారీ ప్రసంగంలో (కానీ సంభావ్యత సిద్ధాంతంలో కాదు!) సంఘటనల సంభావ్యత శాతంగా అంచనా వేయబడుతుంది. గణిత మరియు సంభాషణ స్కోర్‌ల మధ్య మార్పు 100% ద్వారా గుణించడం (లేదా విభజించడం) ద్వారా సాధించబడుతుంది.
కాబట్టి,
అంతేకాకుండా, జరగని సంఘటనలకు సంభావ్యత సున్నా - నమ్మశక్యం కాదు. ఉదాహరణకు, మా ఉదాహరణలో ఇది బుట్ట నుండి ఆకుపచ్చ బంతిని గీయడానికి సంభావ్యత అవుతుంది. (సూత్రాన్ని ఉపయోగించి గణిస్తే అనుకూలమైన ఫలితాల సంఖ్య 0, P(A)=0/12=0)
సంభావ్యత 1 ఎంపికలు లేకుండా ఖచ్చితంగా జరిగే ఈవెంట్‌లను కలిగి ఉంది. ఉదాహరణకు, "ఎంచుకున్న బంతి ఎరుపు లేదా నీలం రంగులో ఉంటుంది" అనే సంభావ్యత మా పని కోసం. (అనుకూల ఫలితాల సంఖ్య: 12, P(A)=12/12=1)
ఎరుపు మరియు నీలం బంతుల స్థానంలో యాపిల్స్ మరియు బేరి, అబ్బాయిలు మరియు అమ్మాయిలు, నేర్చుకున్న మరియు నేర్చుకోని టిక్కెట్లు, కొన్ని టాపిక్ (ప్రోటోటైప్‌లు,), లోపభూయిష్ట మరియు అధిక నాణ్యత గల బ్యాగ్‌లు లేదా గార్డెన్ పంపులు (ప్రోటోటైప్‌లు) ఉన్న మరియు లేని టిక్కెట్లు ఉండవచ్చు. ,) - సూత్రం అలాగే ఉంటుంది.
అనుకూల ఫలితాలు ఏమిటి? - మూడవ రోజు ప్రొఫెసర్ మాట్లాడతారని తేలింది. అంటే, చివరి 20 సంఖ్యలు.
సూత్రం ప్రకారం, సంభావ్యత P(A)= 20/50=2/5=4/10=0.4
సమాధానం: 0.4
అనుకూల ఫలితాలు - ఫ్రెంచ్. 8 మంది.
అవసరమైన సంభావ్యత: 8/16=1/2=0.5
సమాధానం: 0.5
2 ఫలితాలు ఉన్నాయి - తలలు లేదా తోకలు. (నాణెం ఎప్పుడూ దాని అంచున దిగదని నమ్ముతారు) అనుకూలమైన ఫలితం తోకలు, 1.
సంభావ్యత 1/2=0.5
సమాధానం: 0.5.
రెండు నాణేలను విసిరేటప్పుడు మనం ఏ ప్రాథమిక ఫలితాలను పరిశీలిస్తామో నిర్ణయించడం ప్రధాన విషయం. రెండు నాణేలను విసిరిన తర్వాత, కింది ఫలితాలలో ఒకటి సంభవించవచ్చు:
1) PP - రెండు సార్లు అది తలపైకి వచ్చింది
2) PO - మొదటిసారి తలలు, రెండవ సారి తలలు
3) OP - మొదటి సారి తల, రెండవ సారి తోక
4) OO - తలలు రెండు సార్లు పైకి వచ్చాయి
ఇతర ఎంపికలు లేవు. అంటే 4 ప్రాథమిక ఫలితాలు ఉన్నాయి. మొదటిది 1 మాత్రమే అనుకూలమైనది.
సంభావ్యత: 1/4=0.25
సమాధానం: 0.25
ప్రాథమిక ఫలితాల సంఖ్య ఒకే విధంగా ఉంటుంది, 4. అనుకూలమైన ఫలితాలు రెండవ మరియు మూడవవి, 2.
ఒక తోకను పొందే సంభావ్యత: 2/4=0.5
ఒక నాణెం ఒక టాసు సమయంలో ఉంటే సాధ్యం ఎంపికలుమాకు 2 ఫలితాలు ఉన్నాయి, ఆపై రెండు త్రోలకు ఫలితాలు 2 2 = 2 2 = 4 (ఉదాహరణ 5 వలె), మూడు త్రోలకు 2 2 2 = 2 3 = 8, నలుగురికి: 2 2 2 2 =2 4 = 16, ... N త్రోల కోసం సాధ్యం ఫలితాలు 2·2·...·2=2 N ఉంటుంది.
ప్రాథమిక ఫలితాల మొత్తం సంఖ్య: 2 5 =32.
అనుకూల ఫలితాలు: 1. (RRRRRR – మొత్తం 5 సార్లు తలపెట్టండి)
సంభావ్యత: 1/32=0.03125
అనుకూలం: 3 ఫలితాలు. (2, 4, 6)
సంభావ్యత: 3/6=0.5
మొత్తం 10కి చేరుకోవడానికి ఏ ఫలితాలు అనుకూలంగా ఉంటాయి?
10 తప్పనిసరిగా 1 నుండి 6 వరకు ఉన్న రెండు సంఖ్యల మొత్తంలో కుళ్ళిపోవాలి. ఇది రెండు విధాలుగా చేయవచ్చు: 10=6+4 మరియు 10=5+5. దీని అర్థం ఘనాల కోసం క్రింది ఎంపికలు సాధ్యమే:
(మొదటిది 6 మరియు రెండవది 4)
(మొదటిది 4 మరియు రెండవది 6)
(మొదటిది 5 మరియు రెండవది 5)
మొత్తం, 3 ఎంపికలు. అవసరమైన సంభావ్యత: 3/36=1/12=0.08
సమాధానం: 0.08
