యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క మధ్యస్థం. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క సంఖ్యా లక్షణాలు

మోడ్ అనేది యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క అత్యంత సంభావ్య విలువ. సగటుకు సంబంధించి సుష్ట పంపిణీతో, మోడ్ గణిత అంచనాతో సమానంగా ఉంటుంది. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క విలువలు పునరావృతం కాకపోతే, మోడ్ లేదు.

డిస్ట్రిబ్యూషన్ డెన్సిటీ కర్వ్ యొక్క గరిష్టానికి సంబంధించిన x-యాక్సిస్‌పై పాయింట్‌ను మోడ్ అని పిలుస్తారు, అంటే, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క అత్యంత సంభావ్య విలువ మోడ్. అయితే, అన్ని పంపిణీలకు మోడ్ లేదు. ఒక ఉదాహరణ ఏకరీతి పంపిణీ. ఈ సందర్భంలో, పంపిణీ కేంద్రాన్ని మోడ్‌గా నిర్ణయించడం అసాధ్యం. మోడను సాధారణంగా మో అని పిలుస్తారు.

మోడ్ మరియు మధ్యస్థ భావనలు ఉన్నాయి యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్.  

సహజంగానే, సిమెట్రిక్ మధ్యస్థం విషయంలో, ఇది మోడ్ మరియు గణిత నిరీక్షణతో సమానంగా ఉంటుంది.

ఫ్యాషన్ ఒకే కొలతలపై ఆధారపడి ఉండదు, కానీ దానిపై ఆధారపడి ఉంటుంది పెద్ద వాల్యూమ్పరిశీలనలు, ఇది యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్‌గా పరిగణించబడదు. మోడ్ యొక్క పరిమాణం ఎటువంటి ప్రభావం చూపదు వివిధ రకాలపనిలో జాప్యం మరియు దాని సాధారణ వేగం కోల్పోవడం.

కొన్నిసార్లు విశ్లేషణ సమయంలో అనుభావిక పంపిణీలుపంపిణీ యొక్క మోడ్ మరియు మధ్యస్థ భావనలను ఉపయోగించండి, "...మోడ్ అనేది యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క అత్యంత సంభావ్య విలువ,

లాటరీ దృగ్విషయం యొక్క విస్తృతమైన సంభావ్యత-సిద్ధాంత వివరణ అనేది యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సంభావ్యత పంపిణీ యొక్క భావన. దాని సహాయంతో, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ దాని సాధ్యం విలువలలో ఒకటి లేదా మరొకటి తీసుకుంటుందని సంభావ్యత నిర్ణయించబడుతుంది. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్‌ని y ద్వారా మరియు దాని సాధ్యమయ్యే విలువలను y ద్వారా సూచిస్తాము. అప్పుడు ఒక వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ కోసం, ఇది సాధ్యమయ్యే విలువలు Y, y2, VZ, తీసుకోవచ్చు. .., yn సంభావ్యత పంపిణీ యొక్క అనుకూలమైన రూపాన్ని ఆధారపడటం P(y = y)గా పరిగణించాలి, దీనిని సాధారణంగా సంభావ్యత శ్రేణి, పంపిణీ శ్రేణి అని పిలుస్తారు. ఆచరణలో, ప్రమాద విలువల సంభావ్యత పంపిణీ యొక్క శీఘ్ర సాధారణీకరించిన అంచనా కోసం, యాదృచ్ఛిక ఫలితాల పంపిణీ యొక్క సంఖ్యా మరియు ఇతర లక్షణాలు అని పిలవబడేవి తరచుగా ఉపయోగించబడతాయి: గణిత అంచనా, వ్యాప్తి, సగటు చతురస్రం (ప్రామాణిక) విచలనం, వైవిధ్యం యొక్క గుణకం, మోడ్, మధ్యస్థ, మొదలైనవి (చూడండి, ఉదాహరణకు, మొదలైనవి.). మరో మాటలో చెప్పాలంటే, త్వరిత మరియు సంపూర్ణ అవగాహన కోసం, వ్యవస్థాపకుడు కృషి చేస్తాడు (లేదా కేవలం

సగటు తలసరి మొత్తం ఆదాయం ద్వారా జనాభా పంపిణీపై USSR స్టేట్ స్టాటిస్టిక్స్ కమిటీ నుండి డేటా ఆధారంగా, మేము సగటు, మధ్యస్థ మరియు మోడల్ ఆదాయం (టేబుల్ 1) యొక్క సూచికలను పోల్చడానికి ప్రయత్నిస్తాము. సంపూర్ణ విలువలో సగటు ఆదాయం మధ్యస్థ మరియు మోడల్ ఆదాయాన్ని మించిందని పట్టిక చూపిస్తుంది మరియు దాని పెరుగుదల ప్రధానంగా అధిక ఆదాయాలు ఉన్న వ్యక్తుల నిష్పత్తిలో పెరుగుదల కారణంగా సంభవిస్తుంది, అనగా సగటు ఆదాయ సూచిక యొక్క ఉపయోగం గణనీయమైన అతిగా అంచనా వేయడానికి దారితీస్తుంది. జనాభాలో అధిక భాగం యొక్క ఆదాయ స్థాయి మరియు చాలా వరకు వారి భేదం యొక్క ప్రక్రియను దాచిపెడుతుంది. మోడల్ ఆదాయ విలువలు పంపిణీ యొక్క దిగువ సమూహాల వైపు ఆకర్షితులవుతాయి మరియు మధ్యస్థ ఆదాయం నుండి క్రిందికి వైదొలగుతాయి. ఏది ఏమైనప్పటికీ, ఒకటి లేదా మరొక విరామంలో ఒక ఫ్యాషన్ సంభవించడం తరచుగా ప్రకృతిలో చాలా యాదృచ్ఛికంగా ఉంటుంది. చిన్న మార్పుపంపిణీలో - మరియు మోడ్ ఇప్పటికే పొరుగు విరామంలో ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, 1989లో, అత్యంత సాధారణ ఆదాయ స్థాయి 100 నుండి 125 రూబిళ్లు (జనాభాలో 16.1% అటువంటి ఆదాయాన్ని పొందింది), అయినప్పటికీ, 1989-1990లో సంభవించిన ఆదాయంలో స్వల్ప మార్పుల కారణంగా, అత్యంత సాధారణ విరామం క్రిందిది. విరామం (125-150 రూబిళ్లు) , మరియు ఫ్యాషన్ విలువ కూడా 15.6 రూబిళ్లు పెరిగింది. అదనంగా, మోడల్ ఆదాయ శ్రేణిలో జనాభా వాటా ఇతర షేర్లను కొంచెం మించి ఉండవచ్చు.

లాగరిథమిక్‌గా సాధారణ యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ a పంపిణీ యొక్క కేంద్రాన్ని వర్గీకరించడానికి, మీరు ఇప్పటికే లెక్కించిన గణిత నిరీక్షణ Ma, మోడ్ (స్థానిక గరిష్ట సాంద్రత /(a)) toc1a = exp(t-st2) మరియు

మోడ్ - ఫ్యాషన్. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క అత్యంత సంభావ్య విలువ.

ఫ్యాషన్ - భావన

ఆశించిన విలువ. గణిత నిరీక్షణవివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ X, హోస్ట్ చివరి సంఖ్యవిలువలు Xiసంభావ్యతతో ఆర్i, మొత్తం అంటారు:

గణిత నిరీక్షణనిరంతర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ Xదాని విలువల ఉత్పత్తి యొక్క సమగ్రత అంటారు Xసంభావ్యత పంపిణీ సాంద్రతపై f(x):

(6బి)

సరికాని సమగ్ర (6 బి) ఖచ్చితంగా కన్వర్జెంట్‌గా భావించబడుతుంది (in లేకుంటేవారు గణిత నిరీక్షణ అని చెప్పారు ఎం(X) ఉనికిలో లేదు). గణిత నిరీక్షణ లక్షణం సగటు విలువయాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ X. దీని పరిమాణం యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క పరిమాణంతో సమానంగా ఉంటుంది.

లక్షణాలు గణిత నిరీక్షణ:

చెదరగొట్టడం. వైవిధ్యంయాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ Xసంఖ్య అంటారు:

వైవిధ్యం ఉంది చెదరగొట్టే లక్షణంయాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ విలువలు Xదాని సగటు విలువకు సంబంధించి ఎం(X) వైవిధ్యం యొక్క పరిమాణం యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ స్క్వేర్డ్ యొక్క పరిమాణానికి సమానం. వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ కోసం భేదం (8) మరియు గణిత నిరీక్షణ (5) మరియు నిరంతర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ కోసం (6) నిర్వచనాల ఆధారంగా, మేము వ్యత్యాసం కోసం ఒకే విధమైన వ్యక్తీకరణలను పొందుతాము:

(9)

ఇక్కడ m = ఎం(X).

వ్యాప్తి లక్షణాలు:

ప్రామాణిక విచలనం:

(11)

సగటు పరిమాణం నుండి చదరపు విచలనంయాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ మాదిరిగానే, ఇది చాలా తరచుగా వైవిధ్యం కంటే వ్యాప్తి యొక్క కొలతగా ఉపయోగించబడుతుంది.

పంపిణీ క్షణాలు. గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ మరియు వ్యాప్తి యొక్క భావనలు మరిన్ని ప్రత్యేక సందర్భాలు సాధారణ భావనయాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క సంఖ్యా లక్షణాల కోసం - పంపిణీ క్షణాలు. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క పంపిణీ యొక్క క్షణాలు యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క కొన్ని సాధారణ ఫంక్షన్ల యొక్క గణిత అంచనాలుగా పరిచయం చేయబడ్డాయి. కాబట్టి, ఆర్డర్ యొక్క క్షణం కెపాయింట్ కు సంబంధించి X 0ని గణిత నిరీక్షణ అంటారు ఎం(X–X 0 )కె. మూలం గురించి క్షణాలు X= 0 అంటారు ప్రారంభ క్షణాలు మరియు నియమించబడినవి:

(12)

మొదటి ఆర్డర్ యొక్క ప్రారంభ క్షణం పరిశీలనలో ఉన్న యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ పంపిణీకి కేంద్రం:

(13)

పంపిణీ కేంద్రం గురించి క్షణాలు X= mఅంటారు కేంద్ర పాయింట్లుమరియు నియమించబడినవి:

(14)

(7) నుండి మొదటి-ఆర్డర్ కేంద్ర క్షణం ఎల్లప్పుడూ ఉంటుంది సున్నాకి సమానం:

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క విలువల మూలం మీద కేంద్ర క్షణాలు ఆధారపడి ఉండవు, నుండి మార్చబడినప్పుడు స్థిరమైన విలువ తోదాని పంపిణీ కేంద్రం అదే విలువతో మారుతుంది తో, మరియు కేంద్రం నుండి విచలనం మారదు: X – m = (X – తో) – (m – తో).
ఇప్పుడు అది స్పష్టంగా ఉంది చెదరగొట్టడం- ఇది రెండవ ఆర్డర్ సెంట్రల్ క్షణం:

అసమానత. మూడవ ఆర్డర్ కేంద్ర క్షణం:

(17)

మూల్యాంకనానికి ఉపయోగపడుతుంది పంపిణీ అసమానతలు. పంపిణీ పాయింట్ గురించి సుష్టంగా ఉంటే X= m, అప్పుడు మూడవ-ఆర్డర్ సెంట్రల్ మూమెంట్ సున్నాకి సమానంగా ఉంటుంది (బేసి ఆర్డర్‌ల యొక్క అన్ని సెంట్రల్ మూమెంట్‌ల వలె). అందువల్ల, మూడవ-ఆర్డర్ కేంద్ర క్షణం సున్నాకి భిన్నంగా ఉంటే, అప్పుడు పంపిణీ సౌష్టవంగా ఉండకూడదు. డైమెన్షన్‌లెస్‌ని ఉపయోగించి అసమానత పరిమాణం అంచనా వేయబడుతుంది అసమాన గుణకం:

(18)

అసమాన గుణకం యొక్క సంకేతం (18) కుడి వైపు లేదా ఎడమ వైపు అసమానతను సూచిస్తుంది (Fig. 2).

అన్నం. 2. పంపిణీ అసమానత రకాలు.

మిగులు. నాల్గవ ఆర్డర్ కేంద్ర క్షణం:

(19)

అని పిలవబడే వాటిని అంచనా వేయడానికి ఉపయోగపడుతుంది అదనపు, ఇది వక్రరేఖకు సంబంధించి పంపిణీ మధ్యలో ఉన్న పంపిణీ వక్రత యొక్క ఏటవాలు (పాయింటెడ్‌నెస్) స్థాయిని నిర్ణయిస్తుంది సాధారణ పంపిణీ. సాధారణ పంపిణీ కోసం, కుర్టోసిస్‌గా తీసుకోబడిన విలువ:

(20)

అంజీర్లో. 3 పంపిణీ వక్రరేఖల ఉదాహరణలను చూపుతుంది వివిధ అర్థాలుఅదనపు. సాధారణ పంపిణీ కోసం ఇ= 0. సాధారణం కంటే ఎక్కువ సూటిగా ఉండే వక్రరేఖలు సానుకూల కుర్టోసిస్‌ను కలిగి ఉంటాయి, ఫ్లాట్-టాప్‌గా ఉన్నవి ప్రతికూల కుర్టోసిస్‌ను కలిగి ఉంటాయి.

అన్నం. 3. తో పంపిణీ వక్రతలు వివిధ స్థాయిలలోచల్లదనం (అదనపు).

ఇంజనీరింగ్ అప్లికేషన్‌లలో హయ్యర్-ఆర్డర్ క్షణాలు గణిత గణాంకాలుసాధారణంగా ఉపయోగించబడదు.

ఫ్యాషన్ వివిక్తయాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ దాని అత్యంత సంభావ్య విలువ. ఫ్యాషన్ నిరంతరయాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ అనేది సంభావ్యత సాంద్రత గరిష్టంగా ఉండే దాని విలువ (Fig. 2). పంపిణీ వక్రరేఖ గరిష్టంగా ఒకదాన్ని కలిగి ఉంటే, అప్పుడు పంపిణీ అంటారు ఏకరీతి. పంపిణీ వక్రరేఖ గరిష్టంగా ఒకటి కంటే ఎక్కువ ఉంటే, అప్పుడు పంపిణీ అంటారు మల్టీమోడల్. కొన్నిసార్లు వక్రతలు గరిష్టంగా కాకుండా కనిష్టంగా ఉండే పంపిణీలు ఉన్నాయి. ఇటువంటి పంపిణీలు అంటారు వ్యతిరేక మోడల్. IN సాధారణ కేసుయాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క మోడ్ మరియు గణిత నిరీక్షణ ఏకీభవించవు. ప్రత్యేక సందర్భంలో, కోసం మోడల్, అనగా ఒక మోడ్, సుష్ట పంపిణీ మరియు గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ ఉన్నట్లయితే, రెండోది పంపిణీ యొక్క మోడ్ మరియు సెంటర్ ఆఫ్ సిమెట్రీతో సమానంగా ఉంటుంది.

మధ్యస్థ యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ X- ఇది దాని అర్థం మెహ్, దీని కోసం సమానత్వం ఉంటుంది: అనగా. ఇది యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ కూడా సమానంగా ఉంటుంది Xతక్కువ లేదా ఎక్కువ ఉంటుంది మెహ్. రేఖాగణితం మధ్యస్థడిస్ట్రిబ్యూషన్ కర్వ్ కింద ఉన్న ప్రాంతం సగానికి విభజించబడిన బిందువు యొక్క అబ్సిస్సా (Fig. 2). సిమెట్రిక్ మోడల్ డిస్ట్రిబ్యూషన్ విషయంలో, మధ్యస్థ, మోడ్ మరియు గణిత నిరీక్షణ ఒకే విధంగా ఉంటాయి.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క సంఖ్యా లక్షణాలలో, ముందుగా, సంఖ్యా అక్షంపై యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క స్థానాన్ని వర్గీకరించే వాటిని గమనించడం అవసరం, అనగా. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క అన్ని సాధ్యమైన విలువలు సమూహం చేయబడిన కొంత సగటు, సుమారుగా విలువను సూచిస్తాయి.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సగటు విలువ ఒక నిర్దిష్ట సంఖ్య, అంటే దాని "ప్రతినిధి" మరియు దానిని సుమారుగా ఉజ్జాయింపు లెక్కల్లో భర్తీ చేస్తుంది. మేము ఇలా చెప్పినప్పుడు: "సగటు దీపం ఆపరేటింగ్ సమయం 100 గంటలు" లేదా "ప్రభావం యొక్క సగటు పాయింట్ లక్ష్యానికి సంబంధించి 2 మీటర్లు కుడివైపుకి మార్చబడుతుంది" అని మేము దాని స్థానాన్ని వివరించే యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క నిర్దిష్ట సంఖ్యా లక్షణాన్ని సూచిస్తాము. సంఖ్యా అక్షం మీద, అనగా. "స్థాన లక్షణాలు".

సంభావ్యత సిద్ధాంతంలో స్థానం యొక్క లక్షణాల నుండి కీలకమైన పాత్రయాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత నిరీక్షణను ప్లే చేస్తుంది, దీనిని కొన్నిసార్లు యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సగటు విలువ అని పిలుస్తారు.

సంభావ్యతతో సాధ్యమయ్యే విలువలను కలిగి ఉన్న వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్‌ను పరిశీలిద్దాం. ఈ విలువలు వేర్వేరు సంభావ్యతలను కలిగి ఉన్నాయనే వాస్తవాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకుని, x- అక్షంపై యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క విలువల స్థానాన్ని మనం కొంత సంఖ్యతో వర్గీకరించాలి. ఈ ప్రయోజనం కోసం, విలువల యొక్క "వెయిటెడ్ యావరేజ్" అని పిలవబడేది సహజమైనది మరియు సగటు సమయంలో ప్రతి విలువ ఈ విలువ యొక్క సంభావ్యతకు అనులోమానుపాతంలో "బరువు"తో పరిగణనలోకి తీసుకోవాలి. అందువలన, మేము యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సగటును గణిస్తాము, దీనిని మేము దీని ద్వారా సూచిస్తాము:

లేదా, ఇచ్చిన,

. (5.6.1)

ఈ వెయిటెడ్ యావరేజ్‌ని యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత అంచనా అంటారు. అందువల్ల, మేము వాటిలో ఒకదాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకున్నాము అత్యంత ముఖ్యమైన భావనలుసంభావ్యత సిద్ధాంతం - గణిత నిరీక్షణ భావన.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత అంచనా అనేది యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క అన్ని సాధ్యమైన విలువల యొక్క ఉత్పత్తుల మొత్తం మరియు ఈ విలువల సంభావ్యత.

పై సూత్రీకరణలో గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ యొక్క నిర్వచనం చెల్లుబాటు అయ్యేది, ఖచ్చితంగా చెప్పాలంటే, వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ కోసం మాత్రమే; దిగువ మేము ఈ భావనను నిరంతర పరిమాణాల విషయంలో సాధారణీకరిస్తాము.

గణిత నిరీక్షణ భావనను మరింత స్పష్టంగా చెప్పడానికి, వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ పంపిణీ యొక్క యాంత్రిక వివరణకు వెళ్దాం. అబ్సిస్సా అక్షం మీద అబ్సిస్సాస్‌తో పాయింట్లు ఉండనివ్వండి, అందులో ద్రవ్యరాశి వరుసగా కేంద్రీకృతమై ఉంటుంది మరియు . అప్పుడు, సహజంగానే, సూత్రం (5.6.1) ద్వారా నిర్వచించబడిన గణిత నిరీక్షణ అనేది భౌతిక పాయింట్ల యొక్క ఇచ్చిన వ్యవస్థ యొక్క గురుత్వాకర్షణ కేంద్రం యొక్క అబ్సిస్సా కంటే మరేమీ కాదు.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత నిరీక్షణ యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గమనించిన విలువల యొక్క అంకగణిత సగటుతో ఒక విచిత్రమైన ఆధారపడటం ద్వారా అనుసంధానించబడుతుంది పెద్ద సంఖ్యలోప్రయోగాలు. ఈ ఆధారపడటం అనేది ఫ్రీక్వెన్సీ మరియు సంభావ్యత మధ్య ఆధారపడటం వంటిది, అవి: పెద్ద సంఖ్యలో ప్రయోగాలతో, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గమనించిన విలువల యొక్క అంకగణిత సగటు దాని గణిత నిరీక్షణకు (సంభావ్యతలో కలుస్తుంది) విధానాలు. ఫ్రీక్వెన్సీ మరియు సంభావ్యత మధ్య కనెక్షన్ ఉనికి నుండి, అంకగణిత సగటు మరియు గణిత అంచనాల మధ్య సారూప్య కనెక్షన్ ఉనికిని పర్యవసానంగా అంచనా వేయవచ్చు.

నిజానికి, డిస్ట్రిబ్యూషన్ సిరీస్ ద్వారా వర్గీకరించబడిన వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్‌ను పరిగణించండి:

ఎక్కడ .

స్వతంత్ర ప్రయోగాలను నిర్వహించనివ్వండి, ప్రతి దానిలో పరిమాణం నిర్దిష్ట విలువను తీసుకుంటుంది. విలువ ఒకసారి కనిపించిందని, విలువ ఒకసారి కనిపించిందని, విలువ ఒకసారి కనిపించిందని అనుకుందాం. స్పష్టంగా,

పరిమాణం యొక్క గమనించిన విలువల యొక్క అంకగణిత సగటును గణిద్దాం, ఇది గణిత అంచనాకు విరుద్ధంగా, మేము సూచిస్తాము:

కానీ ఈవెంట్ యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీ (లేదా గణాంక సంభావ్యత) కంటే ఎక్కువ ఏమీ లేదు; ఈ ఫ్రీక్వెన్సీని సూచించవచ్చు. అప్పుడు

,

ఆ. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గమనించిన విలువల యొక్క అంకగణిత సగటు యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ మరియు ఈ విలువల యొక్క పౌనఃపున్యాల యొక్క అన్ని సాధ్యమైన విలువల ఉత్పత్తుల మొత్తానికి సమానం.

ప్రయోగాల సంఖ్య పెరిగేకొద్దీ, పౌనఃపున్యాలు సంబంధిత సంభావ్యతలకు చేరుకుంటాయి (సంభావ్యతలో కలుస్తాయి). తత్ఫలితంగా, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గమనించిన విలువల యొక్క అంకగణిత సగటు ప్రయోగాల సంఖ్య పెరిగేకొద్దీ దాని గణిత నిరీక్షణకు చేరుకుంటుంది (సంభావ్యతలో కలుస్తుంది).

పైన రూపొందించిన అంకగణిత సగటు మరియు గణిత నిరీక్షణ మధ్య కనెక్షన్ చట్టం యొక్క రూపాలలో ఒకదాని యొక్క కంటెంట్‌ను ఏర్పరుస్తుంది పెద్ద సంఖ్యలో. మేము 13వ అధ్యాయంలో ఈ చట్టం యొక్క కఠినమైన రుజువును అందిస్తాము.

పెద్ద సంఖ్యల చట్టం యొక్క అన్ని రూపాలు పెద్ద సంఖ్యలో ప్రయోగాలలో కొన్ని సగటులు స్థిరంగా ఉన్నాయనే వాస్తవాన్ని తెలియజేస్తాయని మనకు ఇప్పటికే తెలుసు. ఇక్కడ మేము మాట్లాడుతున్నాముఅదే పరిమాణంలోని పరిశీలనల శ్రేణి నుండి అంకగణిత సగటు యొక్క స్థిరత్వంపై. తక్కువ సంఖ్యలో ప్రయోగాలతో, వాటి ఫలితాల యొక్క అంకగణిత సగటు యాదృచ్ఛికంగా ఉంటుంది; ప్రయోగాల సంఖ్యలో తగినంత పెరుగుదలతో, ఇది "దాదాపు యాదృచ్ఛికం" అవుతుంది మరియు స్థిరీకరించడం, విధానాలు స్థిరమైన విలువ- గణిత నిరీక్షణ.

పెద్ద సంఖ్యలో ప్రయోగాలపై సగటుల స్థిరత్వం ప్రయోగాత్మకంగా సులభంగా ధృవీకరించబడుతుంది. ఉదాహరణకు, ప్రయోగశాలలో శరీరాన్ని తూకం వేసేటప్పుడు ఖచ్చితమైన ప్రమాణాలు, బరువు ఫలితంగా, మేము ప్రతిసారీ కొత్త విలువను పొందుతాము; పరిశీలన లోపాన్ని తగ్గించడానికి, మేము శరీరాన్ని అనేక సార్లు బరువుగా ఉంచుతాము మరియు పొందిన విలువల యొక్క అంకగణిత సగటును ఉపయోగిస్తాము. ప్రయోగాల సంఖ్య (బరువులు) మరింత పెరగడంతో, అంకగణిత సగటు ఈ పెరుగుదలకు తక్కువ మరియు తక్కువ ప్రతిస్పందిస్తుంది మరియు తగినంత పెద్ద సంఖ్యలో ప్రయోగాలతో, ఆచరణాత్మకంగా మారడం ఆగిపోతుందని చూడటం సులభం.

గణిత నిరీక్షణ కోసం ఫార్ములా (5.6.1) వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ కేసుకు అనుగుణంగా ఉంటుంది. కోసం నిరంతర విలువగణిత నిరీక్షణ, సహజంగా, మొత్తంగా కాదు, సమగ్రంగా వ్యక్తీకరించబడుతుంది:

, (5.6.2)

పరిమాణం యొక్క పంపిణీ సాంద్రత ఎక్కడ ఉంది.

మేము దానిని భర్తీ చేస్తే ఫార్ములా (5.6.2) ఫార్ములా (5.6.1) నుండి పొందబడుతుంది వ్యక్తిగత విలువలునిరంతరంగా మారుతున్న పరామితి x, సంబంధిత సంభావ్యతలు సంభావ్యత మూలకం, చివరి మొత్తం- సమగ్ర. భవిష్యత్తులో, నిరంతర పరిమాణాల కోసం ఉత్పన్నమైన సూత్రాలను నిరంతర పరిమాణాల విషయంలో విస్తరించడానికి మేము తరచుగా ఈ పద్ధతిని ఉపయోగిస్తాము.

యాంత్రిక వివరణలో, నిరంతర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత నిరీక్షణ అదే అర్థాన్ని కలిగి ఉంటుంది - సాంద్రతతో ద్రవ్యరాశి నిరంతరం అబ్సిస్సా వెంట పంపిణీ చేయబడినప్పుడు గురుత్వాకర్షణ కేంద్రం యొక్క అబ్సిస్సా. ఈ వివరణ తరచుగా సాధారణ యాంత్రిక పరిశీలనల నుండి సమగ్ర (5.6.2)ని లెక్కించకుండా గణిత నిరీక్షణను కనుగొనడానికి అనుమతిస్తుంది.

పైన మేము పరిమాణం యొక్క గణిత నిరీక్షణ కోసం ఒక సంజ్ఞామానాన్ని పరిచయం చేసాము. అనేక సందర్భాల్లో, ఒక నిర్దిష్ట సంఖ్యగా సూత్రాలలో పరిమాణాన్ని చేర్చినప్పుడు, దానిని ఒక అక్షరంతో సూచించడం మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది. ఈ సందర్భాలలో, మేము విలువ యొక్క గణిత నిరీక్షణను దీని ద్వారా సూచిస్తాము:

సూత్రాల యొక్క నిర్దిష్ట రికార్డింగ్ సౌలభ్యాన్ని బట్టి, సంజ్ఞామానాలు మరియు గణిత నిరీక్షణ కోసం భవిష్యత్తులో సమాంతరంగా ఉపయోగించబడుతుంది. అవసరమైతే, "గణిత నిరీక్షణ" అనే పదాలను m.o అక్షరాలతో సంక్షిప్తీకరించడానికి కూడా అంగీకరిస్తాము.

ఒక స్థానం యొక్క అతి ముఖ్యమైన లక్షణం - గణిత నిరీక్షణ - అన్ని యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్‌కు ఉనికిలో లేదని గమనించాలి. గణిత నిరీక్షణ ఉనికిలో లేని యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క ఉదాహరణలను కంపోజ్ చేయడం సాధ్యపడుతుంది, ఎందుకంటే సంబంధిత మొత్తం లేదా సమగ్రం వేరుగా ఉంటుంది.

ఉదాహరణకు, డిస్ట్రిబ్యూషన్ సిరీస్‌తో నిరంతర రాండమ్ వేరియబుల్‌ను పరిగణించండి:

దాన్ని ధృవీకరించడం సులభం, అనగా. పంపిణీ సిరీస్ అర్ధమే; అయితే మొత్తం ఈ విషయంలోవిభేదిస్తుంది మరియు అందువలన, విలువ యొక్క గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ లేదు. అయితే, ఇటువంటి కేసులు ఆచరణలో ముఖ్యమైన ఆసక్తిని కలిగి ఉండవు. సాధారణంగా మనం వ్యవహరించే యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ ఉంటాయి పరిమిత ప్రాంతం సాధ్యం విలువలుమరియు, వాస్తవానికి, గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ కలిగి ఉండండి.

పైన మేము ఫార్ములాలను (5.6.1) మరియు (5.6.2) ఇచ్చాము, అవి నిరంతర మరియు నిరంతర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ కోసం వరుసగా గణిత నిరీక్షణను వ్యక్తపరుస్తాయి.

పరిమాణం పరిమాణాలకు చెందినది అయితే మిశ్రమ రకం, దాని గణిత నిరీక్షణ రూపం యొక్క ఫార్ములా ద్వారా వ్యక్తీకరించబడుతుంది:

, (5.6.3)

డిస్ట్రిబ్యూషన్ ఫంక్షన్ నిరంతరాయంగా ఉన్న అన్ని పాయింట్లకు మొత్తం విస్తరిస్తుంది మరియు డిస్ట్రిబ్యూషన్ ఫంక్షన్ నిరంతరంగా ఉండే అన్ని ప్రాంతాలకు సమగ్రం విస్తరిస్తుంది.

గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ - - ఒక స్థానం యొక్క అత్యంత ముఖ్యమైన లక్షణాలతో పాటు, ఆచరణలో, స్థానం యొక్క ఇతర లక్షణాలు కొన్నిసార్లు ఉపయోగించబడతాయి, ప్రత్యేకించి, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క మోడ్ మరియు మధ్యస్థం.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క మోడ్ దాని అత్యంత సంభావ్య విలువ. ఖచ్చితంగా చెప్పాలంటే "అత్యంత సంభావ్య విలువ" అనే పదం నిరంతర పరిమాణాలకు మాత్రమే వర్తిస్తుంది; నిరంతర పరిమాణం కోసం, మోడ్ అనేది సంభావ్యత సాంద్రత గరిష్టంగా ఉండే విలువ. అక్షరం ద్వారా మోడ్‌ను సూచించడానికి అంగీకరిస్తాము. అంజీర్లో. 5.6.1 మరియు 5.6.2 వరుసగా నిరంతర మరియు నిరంతర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ కోసం మోడ్‌ను చూపుతాయి.

పంపిణీ బహుభుజి (పంపిణీ వక్రరేఖ) గరిష్టంగా ఒకటి కంటే ఎక్కువ ఉంటే, పంపిణీని "మల్టీమోడల్" అంటారు (Fig. 5.6.3 మరియు 5.6.4).

కొన్నిసార్లు గరిష్టంగా కాకుండా మధ్యలో కనిష్టంగా ఉండే పంపిణీలు ఉన్నాయి (Fig. 5.6.5 మరియు 5.6.6). ఇటువంటి పంపిణీలను "యాంటీ-మోడల్" అంటారు. యాంటీమోడల్ పంపిణీకి ఉదాహరణ ఉదాహరణ 5, n° 5.1లో పొందిన పంపిణీ.

సాధారణ సందర్భంలో, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క మోడ్ మరియు గణిత నిరీక్షణ ఏకీభవించవు. నిర్దిష్ట సందర్భంలో, పంపిణీ సుష్టంగా మరియు మోడల్‌గా ఉన్నప్పుడు (అనగా మోడ్‌ను కలిగి ఉంటుంది) మరియు గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ ఉన్నప్పుడు, అది పంపిణీ యొక్క మోడ్ మరియు సెంటర్ ఆఫ్ సిమెట్రీతో సమానంగా ఉంటుంది.

మరొక స్థానం లక్షణం తరచుగా ఉపయోగించబడుతుంది - యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క మధ్యస్థం అని పిలవబడేది. ఈ లక్షణం సాధారణంగా నిరంతర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ కోసం మాత్రమే ఉపయోగించబడుతుంది, అయినప్పటికీ ఇది నిరంతర వేరియబుల్ కోసం అధికారికంగా నిర్వచించబడుతుంది.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క మధ్యస్థం దాని విలువ

ఆ. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ కంటే తక్కువగా లేదా ఎక్కువ ఉండే అవకాశం ఉంది. రేఖాగణితంగా, మధ్యస్థం అనేది పంపిణీ వక్రరేఖ ద్వారా పరిమితం చేయబడిన ప్రాంతం సగానికి విభజించబడిన బిందువు యొక్క అబ్సిస్సా (Fig. 5.6.7).

ఫ్యాషన్- చాలా తరచుగా జరిగే పరిశీలనల సమితిలోని విలువ

Mo = X Mo + h Mo * (f Mo - f Mo-1) : ((f Mo - f Mo-1) + (f Mo - f Mo+1)),

ఇక్కడ X Mo అనేది మోడల్ విరామం యొక్క ఎడమ సరిహద్దు, h Mo అనేది మోడల్ విరామం యొక్క పొడవు, f Mo-1 అనేది ప్రీమోడల్ విరామం యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీ, f Mo అనేది మోడల్ విరామం యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీ, f Mo+1 పోస్ట్-మోడల్ విరామం యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీ.

సంపూర్ణ నిరంతర పంపిణీ విధానం అనేది పంపిణీ సాంద్రత యొక్క స్థానిక గరిష్టం యొక్క ఏదైనా పాయింట్. కోసం వివిక్త పంపిణీలుఒక మోడ్ ఏదైనా విలువ a iగా పరిగణించబడుతుంది, దాని సంభావ్యత పొరుగు విలువల సంభావ్యత కంటే p i ఎక్కువగా ఉంటుంది

మధ్యస్థనిరంతర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ Xదాని విలువ Me అని పిలుస్తారు, దీని కోసం యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ తక్కువ లేదా ఎక్కువగా ఉండే అవకాశం ఉంది మెహ్, అనగా

M e =(n+1)/2 పి(X < నేను) = పి(X > మెహ్)

ఏకరీతిలో పంపిణీ చేయబడిన NSV

ఏకరూప పంపిణీ.డిస్ట్రిబ్యూషన్ డెన్సిటీ ఫంక్షన్ (Fig. 1.6,) అయితే నిరంతర యాదృచ్ఛిక చరరాశిని సెగ్మెంట్ ()పై ఏకరీతిగా పంపిణీ చేస్తారు. ఎ) రూపం ఉంది:

హోదా: ​​– SW పైగా ఏకరీతిలో పంపిణీ చేయబడింది.

దీని ప్రకారం, విభాగంలో పంపిణీ ఫంక్షన్ (Fig. 1.6, బి):

అన్నం. 1.6 యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క విధులు ఏకరీతిలో పంపిణీ చేయబడ్డాయి [ a,బి]: ఎ- సంభావ్యత సాంద్రతలు f(x); బి- పంపిణీలు ఎఫ్(x)

ఇచ్చిన SV యొక్క గణిత అంచనా మరియు వ్యాప్తి వ్యక్తీకరణల ద్వారా నిర్ణయించబడతాయి:

సాంద్రత ఫంక్షన్ యొక్క సమరూపత కారణంగా, ఇది మధ్యస్థంతో సమానంగా ఉంటుంది. మోడ్స్ ఏకరూప పంపిణీకలిగి లేదు

ఉదాహరణ 4. ప్రతిస్పందన కోసం వేచి ఉన్న సమయం ఫోన్ కాల్- 0 నుండి 2 నిమిషాల వ్యవధిలో ఏకరీతి పంపిణీ చట్టాన్ని పాటించే యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్. సమగ్రతను కనుగొనండి మరియు అవకలన ఫంక్షన్ఈ యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ పంపిణీ.

27. సంభావ్యత పంపిణీ యొక్క సాధారణ చట్టం

నిరంతర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ x పారామితులతో సాధారణ పంపిణీని కలిగి ఉంటుంది: m,s > 0, ఒకవేళ సంభావ్యత పంపిణీ సాంద్రత రూపం కలిగి ఉంటే:

ఇక్కడ: m - గణిత నిరీక్షణ, s - ప్రామాణిక విచలనం.

సాధారణ పంపిణీని గాస్సియన్ పేరుతో కూడా పిలుస్తారు జర్మన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడుగౌస్. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ పారామితులతో సాధారణ పంపిణీని కలిగి ఉంటుంది అనే వాస్తవం: m, క్రింది విధంగా సూచించబడుతుంది: N (m,s), ఇక్కడ: m=a=M[X];

చాలా తరచుగా సూత్రాలలో, గణిత నిరీక్షణ దీని ద్వారా సూచించబడుతుంది ఎ . ఒక యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ చట్టం N(0,1) ప్రకారం పంపిణీ చేయబడితే, అది సాధారణీకరించబడిన లేదా ప్రామాణికమైనదిగా పిలువబడుతుంది. సాధారణ పరిమాణం. దాని పంపిణీ ఫంక్షన్ రూపం కలిగి ఉంది:

సాధారణ పంపిణీ యొక్క సాంద్రత గ్రాఫ్, దీనిని సాధారణ వక్రరేఖ లేదా గాస్సియన్ వక్రత అని పిలుస్తారు, ఇది అంజీర్ 5.4లో చూపబడింది.

అన్నం. 5.4 సాధారణ పంపిణీ సాంద్రత

లక్షణాలుయాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ కలిగి సాధారణ చట్టంపంపిణీలు.

1. ఒకవేళ , ఇచ్చిన విరామంలో ఈ విలువ పడే సంభావ్యతను కనుగొనడానికి ( x 1; x 2) సూత్రం ఉపయోగించబడుతుంది:

2. దాని గణిత అంచనా నుండి యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క విచలనం విలువను మించకుండా ఉండే సంభావ్యత (ద్వారా సంపూర్ణ విలువ), సమానం.