రేఖాగణిత పురోగతి అనేది సంఖ్యా శ్రేణి, దీని మొదటి పదం సున్నాకి భిన్నంగా ఉంటుంది మరియు ప్రతి తదుపరి పదం మునుపటి పదంతో గుణించబడిన దానికి సమానం సున్నాకి సమానంసంఖ్య.
రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క భావన
రేఖాగణిత పురోగతిని b1,b2,b3, …, bn, ….
రేఖాగణిత దోషం యొక్క ఏదైనా పదం యొక్క నిష్పత్తి దాని మునుపటి పదానికి సమానం, అంటే, b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn =…. ఇది నిర్వచనం నుండి నేరుగా అనుసరిస్తుంది అంకగణిత పురోగతి. ఈ సంఖ్యను రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క హారం అంటారు. సాధారణంగా రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క హారం q అక్షరంతో సూచించబడుతుంది.
|q| కోసం అనంతమైన రేఖాగణిత పురోగతి మొత్తం<1
రేఖాగణిత పురోగతిని పేర్కొనే మార్గాలలో ఒకటి దాని మొదటి పదం b1 మరియు రేఖాగణిత లోపం యొక్క హారం qని పేర్కొనడం. ఉదాహరణకు, b1=4, q=-2. ఈ రెండు పరిస్థితులు రేఖాగణిత పురోగతిని 4, -8, 16, -32, ….
q>0 (q 1కి సమానం కానట్లయితే), అప్పుడు పురోగతి మార్పులేని క్రమం. ఉదాహరణకు, శ్రేణి, 2, 4,8,16,32, ... అనేది ఒక మోనోటోనికల్‌గా పెరుగుతున్న క్రమం (b1=2, q=2).
రేఖాగణిత లోపంలోని హారం q=1 అయితే, రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క అన్ని నిబంధనలు ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉంటాయి. అటువంటి సందర్భాలలో, పురోగతి స్థిరమైన క్రమం అని చెప్పబడింది.
సంఖ్యా శ్రేణి (bn) రేఖాగణిత పురోగమనం కావాలంటే, దానిలోని ప్రతి సభ్యుడు, రెండవదాని నుండి ప్రారంభించి, పొరుగు సభ్యుల రేఖాగణిత సగటుగా ఉండటం అవసరం. అంటే, కింది సమీకరణాన్ని నెరవేర్చడం అవసరం
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), ఏదైనా n>0 కోసం, ఇక్కడ n సహజ సంఖ్యల N సమితికి చెందినది.
ఇప్పుడు (Xn) ఉంచుదాం - రేఖాగణిత పురోగతి. రేఖాగణిత పురోగతి q, మరియు |q|∞) యొక్క హారం.
మనం ఇప్పుడు అనంతమైన రేఖాగణిత పురోగతి మొత్తాన్ని S ద్వారా సూచిస్తే, అప్పుడు మనకు ఉంటుంది క్రింది సూత్రం:
S=x1/(1-q).
ఒక సాధారణ ఉదాహరణ చూద్దాం:
అనంతమైన రేఖాగణిత పురోగతి 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ….
Sని కనుగొనడానికి, మేము అనంతమైన అంకగణిత పురోగతి మొత్తానికి సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.
ప్రతి సహజ సంఖ్యకు అయితే n వాస్తవ సంఖ్యను సరిపోల్చండి ఒక ఎన్ , అప్పుడు ఇచ్చినట్లు చెప్పారు సంఖ్య క్రమం :
a 1 , a 2 , a 3 , . . . , ఒక ఎన్ , . . . .
కాబట్టి, సంఖ్యా క్రమం సహజ వాదన యొక్క విధి.
సంఖ్య a 1 అని పిలిచారు క్రమం యొక్క మొదటి పదం , సంఖ్య a 2 — క్రమం యొక్క రెండవ పదం , సంఖ్య a 3 — మూడవది మరియు అందువలన న. సంఖ్య ఒక ఎన్ అని పిలిచారు nవ పదంసీక్వెన్సులు , మరియు సహజ సంఖ్య n — అతని సంఖ్య .
ప్రక్కనే ఉన్న ఇద్దరు సభ్యుల నుండి ఒక ఎన్ మరియు ఒక ఎన్ +1 క్రమం సభ్యుడు ఒక ఎన్ +1 అని పిలిచారు తదుపరి (వైపు ఒక ఎన్ ), ఎ ఒక ఎన్ — మునుపటి (వైపు ఒక ఎన్ +1 ).
క్రమాన్ని నిర్వచించడానికి, మీరు ఏదైనా సంఖ్యతో సీక్వెన్స్ సభ్యుడిని కనుగొనడానికి మిమ్మల్ని అనుమతించే పద్ధతిని పేర్కొనాలి.
తరచుగా క్రమం ఉపయోగించి పేర్కొనబడుతుంది nవ పదం సూత్రాలు , అంటే, ఒక క్రమం యొక్క సభ్యుడిని దాని సంఖ్య ద్వారా నిర్ణయించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతించే ఫార్ములా.
ఉదాహరణకి,
సానుకూల క్రమం బేసి సంఖ్యలుఫార్ములా ద్వారా ఇవ్వవచ్చు
ఒక ఎన్= 2n- 1,
మరియు ఆల్టర్నేటింగ్ యొక్క క్రమం 1 మరియు -1 - సూత్రం
బి n = (-1)n +1 . ◄
క్రమాన్ని నిర్ణయించవచ్చు పునరావృత సూత్రం, అంటే, మునుపటి (ఒకరు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ) సభ్యుల ద్వారా కొంతమందితో ప్రారంభించి, సీక్వెన్స్‌లోని ఏదైనా సభ్యుడిని వ్యక్తీకరించే ఫార్ములా.
ఉదాహరణకి,
ఉంటే a 1 = 1 , ఎ ఒక ఎన్ +1 = ఒక ఎన్ + 5
a 1 = 1,
a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.
ఉంటే a 1= 1, ఒక 2 = 1, ఒక ఎన్ +2 = ఒక ఎన్ + ఒక ఎన్ +1 , తర్వాత మొదటి ఏడుగురు సభ్యులు సంఖ్య క్రమంక్రింది విధంగా ఇన్స్టాల్ చేయండి:
a 1 = 1,
ఒక 2 = 1,
a 3 = a 1 + ఒక 2 = 1 + 1 = 2,
ఒక 4 = ఒక 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,
ఒక 5 = a 3 + ఒక 4 = 2 + 3 = 5,
a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,
a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄
సీక్వెన్సులు కావచ్చు చివరి మరియు అంతులేని .
క్రమం అంటారు అంతిమ ఆమె కలిగి ఉంటే చివరి సంఖ్యసభ్యులు క్రమం అంటారు అంతులేని , అది అనంతమైన అనేక మంది సభ్యులను కలిగి ఉంటే.
ఉదాహరణకి,
రెండు అంకెల సహజ సంఖ్యల క్రమం:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
చివరి.
ప్రధాన సంఖ్యల క్రమం:
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
అంతులేని. ◄
క్రమం అంటారు పెరుగుతున్నాయి , దానిలోని ప్రతి సభ్యుడు, రెండవదాని నుండి ప్రారంభించి, మునుపటి కంటే ఎక్కువగా ఉంటే.
క్రమం అంటారు తగ్గుతోంది , దానిలోని ప్రతి సభ్యుడు, రెండవదాని నుండి ప్రారంభించి, మునుపటి కంటే తక్కువగా ఉంటే.
ఉదాహరణకి,
2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . - పెరుగుతున్న క్రమం;
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . - తగ్గుతున్న క్రమం. ◄
సంఖ్య పెరిగేకొద్దీ మూలకాలు తగ్గని లేదా దానికి విరుద్ధంగా పెరగని క్రమాన్ని అంటారు. మార్పులేని క్రమం .
మోనోటోనిక్ సీక్వెన్సులు, ముఖ్యంగా, సీక్వెన్స్‌లను పెంచుతున్నాయి మరియు తగ్గుతున్న సన్నివేశాలు.
అంకగణిత పురోగతి
అంకగణిత పురోగతి ప్రతి సభ్యుడు, రెండవదాని నుండి ప్రారంభించి, మునుపటి దానికి సమానం, దానికి అదే సంఖ్య జోడించబడుతుంది.
a 1 , a 2 , a 3 , . . . , ఒక ఎన్, . . .
ఏదైనా ఉంటే ఒక అంకగణిత పురోగతి సహజ సంఖ్య n షరతు నెరవేరింది:
ఒక ఎన్ +1 = ఒక ఎన్ + డి,
ఎక్కడ డి - ఒక నిర్దిష్ట సంఖ్య.
అందువల్ల, ఇచ్చిన అంకగణిత పురోగతి యొక్క తదుపరి మరియు మునుపటి నిబంధనల మధ్య వ్యత్యాసం ఎల్లప్పుడూ స్థిరంగా ఉంటుంది:
ఒక 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = ఒక ఎన్ +1 - ఒక ఎన్ = డి.
సంఖ్య డి అని పిలిచారు అంకగణిత పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసం.
అంకగణిత పురోగతిని నిర్వచించడానికి, దాని మొదటి పదం మరియు వ్యత్యాసాన్ని సూచించడానికి సరిపోతుంది.
ఉదాహరణకి,
ఉంటే a 1 = 3, డి = 4 , అప్పుడు మేము ఈ క్రింది విధంగా సీక్వెన్స్ యొక్క మొదటి ఐదు పదాలను కనుగొంటాము:
a 1 =3,
ఒక 2 = a 1 + డి = 3 + 4 = 7,
a 3 = ఒక 2 + డి= 7 + 4 = 11,
ఒక 4 = a 3 + డి= 11 + 4 = 15,
a 5 = a 4 + డి= 15 + 4 = 19. ◄
మొదటి పదంతో అంకగణిత పురోగతి కోసం a 1 మరియు తేడా డి ఆమె n
ఒక ఎన్ = a 1 + (n- 1)డి.
ఉదాహరణకి,
అంకగణిత పురోగతి యొక్క ముప్పైవ పదాన్ని కనుగొనండి
1, 4, 7, 10, . . .
a 1 =1, డి = 3,
ఒక 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄
ఒక n-1 = a 1 + (n- 2)d,
ఒక ఎన్= a 1 + (n- 1)d,
ఒక ఎన్ +1 = a 1 + nd,
అప్పుడు స్పష్టంగా
| ఒక ఎన్=
| a n-1 + a n+1
|
| 2
|
అంకగణిత పురోగమనంలోని ప్రతి సభ్యుడు, రెండవదాని నుండి ప్రారంభించి, మునుపటి మరియు తదుపరి సభ్యుల అంకగణిత సగటుకు సమానం.
a, b మరియు c అనే సంఖ్యలు కొన్ని అంకగణిత పురోగతి యొక్క వరుస పదాలు మరియు వాటిలో ఒకటి మిగిలిన రెండింటి యొక్క అంకగణిత సగటుకు సమానంగా ఉంటే మాత్రమే.
ఉదాహరణకి,
ఒక ఎన్ = 2n- 7 , ఒక అంకగణిత పురోగతి.
పై ప్రకటనను ఉపయోగించుకుందాం. మాకు ఉన్నాయి:
ఒక ఎన్ = 2n- 7,
ఒక n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,
a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.
అందుకే,
| a n+1 + a n-1
| =
| 2n- 5 + 2n- 9
| = 2n- 7 = ఒక ఎన్,
|
| 2
| 2
|
◄
అని గమనించండి n అంకగణిత పురోగతి యొక్క వ పదం ద్వారా మాత్రమే కనుగొనబడుతుంది a 1 , కానీ ఏదైనా మునుపటి ఒక కె
ఒక ఎన్ = ఒక కె + (n- కె)డి.
ఉదాహరణకి,
కోసం a 5 రాసుకోవచ్చు
ఒక 5 = a 1 + 4డి,
ఒక 5 = ఒక 2 + 3డి,
ఒక 5 = a 3 + 2డి,
ఒక 5 = ఒక 4 + డి. ◄
ఒక ఎన్ = ఒక n-k + kd,
ఒక ఎన్ = ఒక n+k - kd,
అప్పుడు స్పష్టంగా
| ఒక ఎన్=
| a n-k
+ ఎ n+k
|
| 2
|
రెండవ నుండి ప్రారంభమయ్యే అంకగణిత పురోగమనంలోని ఏదైనా సభ్యుడు, ఈ అంకగణిత పురోగతి యొక్క సమాన అంతరం ఉన్న సభ్యుల మొత్తంలో సగం మొత్తానికి సమానం.
అదనంగా, ఏదైనా అంకగణిత పురోగతికి క్రింది సమానత్వం ఉంటుంది:
a m + a n = a k + a l,
m + n = k + l.
ఉదాహరణకి,
అంకగణిత పురోగతిలో
1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;
2) 28 = ఒక 10 = a 3 + 7డి= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;
3) ఒక 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;
4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, ఎందుకంటే
a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,
a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄
ఎస్ ఎన్= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ ఒక ఎన్,
ప్రధమ n అంకగణిత పురోగతి యొక్క నిబంధనలు తీవ్రమైన పదాలు మరియు పదాల సంఖ్య యొక్క సగం మొత్తం యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం:
ఇక్కడ నుండి, ప్రత్యేకించి, మీరు నిబంధనలను సంకలనం చేయవలసి వస్తే అది అనుసరిస్తుంది
ఒక కె, ఒక కె +1 , . . . , ఒక ఎన్,
అప్పుడు మునుపటి ఫార్ములా దాని నిర్మాణాన్ని కలిగి ఉంటుంది:
ఉదాహరణకి,
అంకగణిత పురోగతిలో 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
ఎస్ 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = ఎస్ 10 - ఎస్ 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄
అంకగణిత పురోగతిని అందించినట్లయితే, అప్పుడు పరిమాణాలు a 1 , ఒక ఎన్, డి, nమరియుఎస్ n రెండు సూత్రాల ద్వారా కనెక్ట్ చేయబడింది:
అందువలన, ఉంటే మూడు అర్థాలుఈ పరిమాణాలు ఇవ్వబడ్డాయి, తరువాత ఇతర రెండు పరిమాణాల యొక్క సంబంధిత విలువలు ఈ సూత్రాల నుండి నిర్ణయించబడతాయి, రెండు తెలియని వాటితో రెండు సమీకరణాల వ్యవస్థగా మిళితం చేయబడతాయి.
అంకగణిత పురోగతి అనేది ఒక మోనోటోనిక్ సీక్వెన్స్. ఇందులో:
- ఉంటే డి > 0 , అప్పుడు అది పెరుగుతోంది;
- ఉంటే డి < 0 , అప్పుడు అది తగ్గుతోంది;
- ఉంటే డి = 0 , అప్పుడు క్రమం స్థిరంగా ఉంటుంది.
రేఖాగణిత పురోగతి
రేఖాగణిత పురోగతి ప్రతి సభ్యుడు, రెండవదాని నుండి ప్రారంభించి, అదే సంఖ్యతో గుణించబడిన మునుపటి దానికి సమానంగా ఉండే క్రమం.
బి 1 , బి 2 , బి 3 , . . . , b n, . . .
ఏదైనా సహజ సంఖ్య కోసం జ్యామితీయ పురోగమనం n షరతు నెరవేరింది:
b n +1 = b n · q,
ఎక్కడ q ≠ 0 - ఒక నిర్దిష్ట సంఖ్య.
అందువల్ల, ఇచ్చిన రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క తదుపరి పదం యొక్క నిష్పత్తి మునుపటి దానికి స్థిరమైన సంఖ్య:
బి 2 / బి 1 = బి 3 / బి 2 = . . . = b n +1 / b n = q.
సంఖ్య q అని పిలిచారు రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క హారం.
రేఖాగణిత పురోగతిని నిర్వచించడానికి, దాని మొదటి పదం మరియు హారం సూచించడానికి సరిపోతుంది.
ఉదాహరణకి,
ఉంటే బి 1 = 1, q = -3 , అప్పుడు మేము ఈ క్రింది విధంగా సీక్వెన్స్ యొక్క మొదటి ఐదు పదాలను కనుగొంటాము:
బి 1 = 1,
బి 2 = బి 1 · q = 1 · (-3) = -3,
బి 3 = బి 2 · q= -3 · (-3) = 9,
బి 4 = బి 3 · q= 9 · (-3) = -27,
బి 5 = బి 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄
బి 1 మరియు హారం q ఆమె n సూత్రాన్ని ఉపయోగించి వ పదాన్ని కనుగొనవచ్చు:
b n = బి 1 · qn -1 .
ఉదాహరణకి,
రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క ఏడవ పదాన్ని కనుగొనండి 1, 2, 4, . . .
బి 1 = 1, q = 2,
బి 7 = బి 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄
b n-1 = బి 1 · qn -2 ,
b n = బి 1 · qn -1 ,
b n +1 = బి 1 · qn,
అప్పుడు స్పష్టంగా
b n 2 = b n -1 · b n +1 ,
రేఖాగణిత పురోగమనంలోని ప్రతి సభ్యుడు, రెండవదాని నుండి ప్రారంభమై, మునుపటి మరియు తదుపరి సభ్యుల రేఖాగణిత సగటు (అనుపాత)కి సమానం.
సంభాషణ కూడా నిజం కాబట్టి, ఈ క్రింది ప్రకటన కలిగి ఉంది:
a, b మరియు c అనే సంఖ్యలు కొన్ని రేఖాగణిత పురోగమనం యొక్క వరుస పదాలు మరియు వాటిలో ఒకదాని స్క్వేర్ ఉంటే మాత్రమే ఉత్పత్తికి సమానంమిగిలిన రెండు, అనగా, సంఖ్యలలో ఒకటి మిగిలిన రెండింటి యొక్క రేఖాగణిత సగటు.
ఉదాహరణకి,
ఫార్ములా ఇచ్చిన క్రమం అని నిరూపిద్దాం b n= -3 2 n , ఒక రేఖాగణిత పురోగతి. పై ప్రకటనను ఉపయోగించుకుందాం. మాకు ఉన్నాయి:
b n= -3 2 n,
b n -1 = -3 2 n -1 ,
b n +1 = -3 2 n +1 .
అందుకే,
b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,
ఇది కోరుకున్న ప్రకటనను రుజువు చేస్తుంది. ◄
అని గమనించండి n రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క వ పదం ద్వారా మాత్రమే కనుగొనబడుతుంది బి 1 , కానీ ఏదైనా మునుపటి సభ్యుడు కూడా బి కె , దీని కోసం సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం సరిపోతుంది
b n = బి కె · qn - కె.
ఉదాహరణకి,
కోసం బి 5 రాసుకోవచ్చు
బి 5 = బి 1 · q 4 ,
బి 5 = బి 2 · q 3,
బి 5 = బి 3 · q 2,
బి 5 = బి 4 · q. ◄
b n = బి కె · qn - కె,
b n = b n - కె · q k,
అప్పుడు స్పష్టంగా
b n 2 = b n - కె· b n + కె
రేఖాగణిత పురోగమనం యొక్క ఏదైనా పదం యొక్క వర్గము, రెండవది నుండి మొదలవుతుంది, దాని నుండి సమాన దూరంలో ఉన్న ఈ పురోగతి యొక్క నిబంధనల ఉత్పత్తికి సమానం.
అదనంగా, ఏదైనా రేఖాగణిత పురోగతికి సమానత్వం నిజం:
బి ఎమ్· b n= బి కె· బి ఎల్,
m+ n= కె+ ఎల్.
ఉదాహరణకి,
రేఖాగణిత పురోగతిలో
1) బి 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = బి 5 · బి 7 ;
2) 1024 = బి 11 = బి 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;
3) బి 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = బి 4 · బి 8 ;
4) బి 2 · బి 7 = బి 4 · బి 5 , ఎందుకంటే
బి 2 · బి 7 = 2 · 64 = 128,
బి 4 · బి 5 = 8 · 16 = 128. ◄
ఎస్ ఎన్= బి 1 + బి 2 + బి 3 + . . . + b n
ప్రధమ n హారంతో ఒక రేఖాగణిత పురోగతి సభ్యులు q ≠ 0 సూత్రం ద్వారా లెక్కించబడుతుంది:
మరి ఎప్పుడూ q = 1 - సూత్రం ప్రకారం
ఎస్ ఎన్= nb 1
మీరు నిబంధనలను సంగ్రహించవలసి వస్తే గమనించండి
బి కె, బి కె +1 , . . . , b n,
అప్పుడు సూత్రం ఉపయోగించబడుతుంది:
| ఎస్ ఎన్- ఎస్ కె -1 = బి కె + బి కె +1 + . . . + b n = బి కె · | 1 - qn -
కె +1
| . |
| 1 - q
|
ఉదాహరణకి,
రేఖాగణిత పురోగతిలో 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
ఎస్ 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = ఎస్ 10 - ఎస్ 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄
రేఖాగణిత పురోగతిని అందించినట్లయితే, అప్పుడు పరిమాణాలు బి 1 , b n, q, nమరియు ఎస్ ఎన్ రెండు సూత్రాల ద్వారా కనెక్ట్ చేయబడింది:
అందువల్ల, ఈ పరిమాణాలలో ఏదైనా మూడు విలువలు ఇచ్చినట్లయితే, మిగిలిన రెండు పరిమాణాల యొక్క సంబంధిత విలువలు ఈ సూత్రాల నుండి నిర్ణయించబడతాయి, రెండు తెలియని వాటితో రెండు సమీకరణాల వ్యవస్థగా మిళితం చేయబడతాయి.
మొదటి పదంతో రేఖాగణిత పురోగతి కోసం బి 1 మరియు హారం q కిందివి జరుగుతాయి మోనోటోనిసిటీ యొక్క లక్షణాలు :
- కింది షరతుల్లో ఒకదానిని నెరవేర్చినట్లయితే పురోగతి పెరుగుతుంది:
బి 1 > 0 మరియు q> 1;
బి 1 < 0 మరియు 0 < q< 1;
- కింది షరతుల్లో ఒకదానికి అనుగుణంగా ఉంటే పురోగతి తగ్గుతుంది:
బి 1 > 0 మరియు 0 < q< 1;
బి 1 < 0 మరియు q> 1.
ఉంటే q< 0 , అప్పుడు రేఖాగణిత పురోగతి ప్రత్యామ్నాయంగా ఉంటుంది: దాని నిబంధనలు బేసి సంఖ్యలుమొదటి పదం వలె అదే గుర్తును కలిగి ఉంటుంది మరియు సరి సంఖ్యలతో ఉన్న పదాలు వ్యతిరేక గుర్తును కలిగి ఉంటాయి. ప్రత్యామ్నాయ రేఖాగణిత పురోగమనం మోనోటోనిక్ కాదని స్పష్టమవుతుంది.
మొదటి ఉత్పత్తి n రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క నిబంధనలను ఫార్ములా ఉపయోగించి లెక్కించవచ్చు:
Pn= బి 1 · బి 2 · బి 3 · . . . · b n = (బి 1 · b n) n / 2 .
ఉదాహరణకి,
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄
అనంతంగా తగ్గుతున్న రేఖాగణిత పురోగతి
అనంతంగా తగ్గుతున్న రేఖాగణిత పురోగతి హారం మాడ్యులస్ తక్కువగా ఉన్న అనంతమైన రేఖాగణిత పురోగతి అని పిలుస్తారు 1 , అంటే
|q| < 1 .
అనంతంగా తగ్గుతున్న రేఖాగణిత పురోగతి తగ్గుతున్న క్రమం కాకపోవచ్చునని గమనించండి. ఇది సందర్భానికి సరిపోతుంది
1 < q< 0 .
అటువంటి హారంతో, క్రమం ప్రత్యామ్నాయంగా ఉంటుంది. ఉదాహరణకి,
1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .
అనంతంగా తగ్గుతున్న రేఖాగణిత పురోగతి మొత్తం మొదటి వాటి మొత్తం పరిమితి లేకుండా చేరుకునే సంఖ్యకు పేరు పెట్టండి n సంఖ్యలో అపరిమిత పెరుగుదలతో పురోగతి సభ్యులు n . ఈ సంఖ్య ఎల్లప్పుడూ పరిమితమైనది మరియు ఫార్ములా ద్వారా వ్యక్తీకరించబడుతుంది
| ఎస్= బి 1 + బి 2 + బి 3 + . . . = | బి 1
| . |
| 1 - q
|
ఉదాహరణకి,
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,
10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄
అంకగణితం మరియు రేఖాగణిత పురోగమనాల మధ్య సంబంధం
అంకగణితం మరియు రేఖాగణిత పురోగమనాలు దగ్గరి సంబంధం కలిగి ఉంటాయి. కేవలం రెండు ఉదాహరణలు చూద్దాం.
a 1 , a 2 , a 3 , . . . డి , ఆ
బా 1 , బా 2 , బా 3 , . . . బి డి .
ఉదాహరణకి,
1, 3, 5, . . . - తేడాతో అంకగణిత పురోగతి 2 మరియు
7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - హారంతో రేఖాగణిత పురోగతి 7 2 . ◄
బి 1 , బి 2 , బి 3 , . . . - హారంతో రేఖాగణిత పురోగతి q , ఆ
లాగ్ a b 1, లాగ్ a b 2, లాగ్ a b 3, . . . - తేడాతో అంకగణిత పురోగతి లాగ్ aq .
ఉదాహరణకి,
2, 12, 72, . . . - హారంతో రేఖాగణిత పురోగతి 6 మరియు
lg 2, lg 12, lg 72, . . . - తేడాతో అంకగణిత పురోగతి lg 6 . ◄
భౌతిక శాస్త్రం మరియు గణితంలో కొన్ని సమస్యలను లక్షణాలను ఉపయోగించి పరిష్కరించవచ్చు సంఖ్య సిరీస్. పాఠశాలల్లో బోధించే రెండు సరళమైన సంఖ్యా క్రమాలు బీజగణితం మరియు రేఖాగణితం. ఈ ఆర్టికల్‌లో మొత్తం మొత్తాన్ని ఎలా కనుగొనాలి అనే ప్రశ్నను మనం నిశితంగా పరిశీలిస్తాము పరిమిత పురోగతిరేఖాగణిత తగ్గుదల.
పురోగతి రేఖాగణితం
ఈ పదాలు క్రింది శ్రేణిని సూచిస్తాయి వాస్తవ సంఖ్యలు, దీని మూలకాలు నేను వ్యక్తీకరణను సంతృప్తిపరుస్తాయి:
ఇక్కడ i అనేది అడ్డు వరుసలోని మూలకం యొక్క సంఖ్య, r స్థిర సంఖ్య, దీనిని హారం అంటారు.
ఈ నిర్వచనం ప్రకారం, పురోగతి మరియు దాని హారం యొక్క ఏదైనా సభ్యుని తెలుసుకోవడం, మీరు మొత్తం సంఖ్యల శ్రేణిని పునరుద్ధరించవచ్చు. ఉదాహరణకు, 10వ మూలకం తెలిసినట్లయితే, దానిని rతో భాగిస్తే 9వ మూలకం వస్తుంది, మళ్లీ భాగిస్తే 8వ మూలకం వస్తుంది. ఇవి సాధారణ తార్కికంపరిశీలనలో ఉన్న సంఖ్యల శ్రేణికి చెల్లుబాటు అయ్యే వ్యక్తీకరణను వ్రాయడానికి మమ్మల్ని అనుమతించండి:
2 యొక్క హారంతో పురోగతికి ఉదాహరణ క్రింది సిరీస్:
1, 2, 4, 8, 16, 32, ...
హారం -2కి సమానం అయితే, పూర్తిగా భిన్నమైన శ్రేణి పొందబడుతుంది:
1, -2, 4, -8, 16, -32, ...
బీజగణిత పురోగతి కంటే రేఖాగణిత పురోగతి చాలా వేగంగా ఉంటుంది, అంటే, దాని నిబంధనలు త్వరగా పెరుగుతాయి మరియు త్వరగా తగ్గుతాయి.
పురోగతి యొక్క i నిబంధనల మొత్తం
పరిష్కారాల కోసం ఆచరణాత్మక సమస్యలుతరచుగా మీరు ప్రశ్నలోని సంఖ్యా క్రమం యొక్క అనేక మూలకాల మొత్తాన్ని లెక్కించాలి. ఈ సందర్భంలో కింది సూత్రం చెల్లుతుంది:
S i = a 1 *(r i -1)/(r-1)
i పదాల మొత్తాన్ని లెక్కించడానికి, మీరు రెండు సంఖ్యలను మాత్రమే తెలుసుకోవాలి: a 1 మరియు r, ఇది తార్కికం, ఎందుకంటే అవి మొత్తం క్రమాన్ని ప్రత్యేకంగా నిర్ణయిస్తాయి.
తగ్గుతున్న క్రమం మరియు దాని నిబంధనల మొత్తం
ఇప్పుడు పరిశీలిద్దాం ప్రత్యేక సంధర్భం. హారం r యొక్క మాడ్యులస్ ఒకటి కంటే ఎక్కువ ఉండదని మేము ఊహిస్తాము, అంటే -1 తగ్గుతున్న రేఖాగణిత పురోగతిని పరిగణనలోకి తీసుకోవడం ఆసక్తికరంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే దాని నిబంధనల యొక్క అనంతమైన మొత్తం పరిమిత వాస్తవ సంఖ్యను కలిగి ఉంటుంది. మొత్తానికి సూత్రాన్ని తెలుసుకుందాం. మీరు మునుపటి పేరాలో ఇచ్చిన S i కోసం వ్యక్తీకరణను వ్రాస్తే ఇది సులభం. మాకు ఉన్నాయి: S i = a 1 *(r i -1)/(r-1) i->∞ అయినప్పుడు కేసును పరిశీలిద్దాం. హారం యొక్క మాడ్యులస్ 1 కంటే తక్కువగా ఉన్నందున, దానిని అనంతమైన శక్తికి పెంచడం సున్నాని ఇస్తుంది. r=0.5 ఉదాహరణను ఉపయోగించి దీన్ని తనిఖీ చేయవచ్చు: 0,5 2 = 0,25; 0,5 3 = 0,125; ...., 0,5 20 = 0,0000009. ఫలితంగా, అనంతం తగ్గుతున్న రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క నిబంధనల మొత్తం రూపాన్ని తీసుకుంటుంది: ఈ సూత్రం తరచుగా ఆచరణలో ఉపయోగించబడుతుంది, ఉదాహరణకు, బొమ్మల ప్రాంతాలను లెక్కించడానికి. తాబేలు మరియు అకిలెస్‌తో జెనో ఆఫ్ ఎలియా యొక్క వైరుధ్యాన్ని పరిష్కరించడానికి కూడా ఇది ఉపయోగించబడుతుంది. సహజంగానే, మొత్తాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటారు అంతులేని పురోగతిరేఖాగణిత పెరుగుదల (r>1), S ∞ = +∞ ఫలితానికి దారి తీస్తుంది. సమస్యను పరిష్కరించే ఉదాహరణను ఉపయోగించి పై సూత్రాలను ఎలా వర్తింపజేయాలో చూపిద్దాం. అనంతమైన రేఖాగణిత పురోగమనం యొక్క మొత్తం 11 అని తెలుసు. అంతేకాకుండా, దాని 7వ పదం మూడవ పదం కంటే 6 రెట్లు తక్కువ. ఈ సంఖ్య శ్రేణికి మొదటి మూలకం ఏమిటి? ముందుగా, 7వ మరియు 3వ మూలకాలను గుర్తించడానికి రెండు వ్యక్తీకరణలను వ్రాద్దాం. మాకు దొరికింది: మొదటి వ్యక్తీకరణను రెండవ దానితో విభజించడం మరియు హారంను వ్యక్తీకరించడం, మనకు ఇవి ఉన్నాయి: a 7 /a 3 = r 4 => r = 4 √(a 7 /a 3) సమస్య ప్రకటనలో ఏడవ మరియు మూడవ పదాల నిష్పత్తి ఇవ్వబడినందున, మీరు దానిని ప్రత్యామ్నాయం చేసి rని కనుగొనవచ్చు: r = 4 √(a 7 /a 3) = 4 √(1/6) ≈ 0.63894 మేము r నుండి ఐదు దశాంశ స్థానాలకు లెక్కించాము. ఫలిత విలువ ఒకటి కంటే తక్కువగా ఉన్నందున, పురోగతి తగ్గుతోంది, ఇది దాని అనంతమైన మొత్తానికి సూత్రాన్ని ఉపయోగించడాన్ని సమర్థిస్తుంది. S ∞ మొత్తం ద్వారా మొదటి పదానికి వ్యక్తీకరణను వ్రాస్దాం: మేము ఈ సూత్రంలో తెలిసిన విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము మరియు సమాధానాన్ని పొందుతాము: a 1 = 11*(1-0.63894) = 3.97166. జెనో ఆఫ్ ఎలియా క్రీ.పూ. 5వ శతాబ్దంలో నివసించిన ప్రసిద్ధ గ్రీకు తత్వవేత్త. ఇ. దాని అపోజీలు లేదా పారడాక్స్‌లు నేటికి చేరుకున్నాయి, దీనిలో గణితంలో అనంతమైన పెద్ద మరియు అనంతమైన చిన్న సమస్య రూపొందించబడింది. జెనో యొక్క ప్రసిద్ధ పారడాక్స్‌లలో ఒకటి అకిలెస్ మరియు తాబేలు మధ్య పోటీ. అకిలెస్ దూరంలో ఉన్న తాబేలుకు కొంత ప్రయోజనం ఇస్తే, అతను దానిని ఎప్పటికీ పట్టుకోలేడని జెనో నమ్మాడు. ఉదాహరణకు, అకిలెస్ ఒక జంతువు క్రాల్ చేయడం కంటే 10 రెట్లు వేగంగా పరిగెత్తనివ్వండి, ఉదాహరణకు, అతని ముందు 100 మీటర్లు. యోధుడు 100 మీటర్లు పరిగెత్తినప్పుడు, తాబేలు 10 మీటర్ల దూరం క్రాల్ చేస్తుంది.మళ్ళీ 10 మీటర్లు పరిగెత్తిన అకిలెస్ తాబేలు మరో 1 మీటరు క్రాల్ చేయడం చూస్తాడు. మీరు ఈ విధంగా ప్రకటన అనంతం వాదించవచ్చు, పోటీదారుల మధ్య దూరం నిజంగా తగ్గుతుంది, కానీ తాబేలు ఎల్లప్పుడూ ముందు ఉంటుంది. కదలిక ఉనికిలో లేదని మరియు చుట్టుపక్కల ఉన్న వస్తువుల కదలికలన్నీ ఒక భ్రమ అని జెనో నిర్ధారణకు దారితీసింది. వాస్తవానికి, ప్రాచీన గ్రీకు తత్వవేత్త తప్పు. పారడాక్స్‌కు పరిష్కారం నిరంతరం తగ్గుతున్న విభాగాల యొక్క అనంతమైన మొత్తం పరిమిత సంఖ్యలో ఉంటుంది. పై సందర్భంలో, అకిలెస్ పరిగెత్తిన దూరం కోసం, మనకు లభిస్తుంది: 100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ... అనంతమైన రేఖాగణిత పురోగతి మొత్తానికి సూత్రాన్ని వర్తింపజేస్తే, మేము పొందుతాము: S ∞ = 100 /(1-0.1) ≈ 111.111 మీటర్లు ఈ ఫలితం తాబేలు 11.111 మీటర్లు మాత్రమే క్రాల్ చేసినప్పుడు అకిలెస్ దానిని పట్టుకుంటుంది. పురాతన గ్రీకులకు గణితంలో అనంతమైన పరిమాణాలతో ఎలా పని చేయాలో తెలియదు. ఏది ఏమైనప్పటికీ, అకిలెస్ అధిగమించాల్సిన అనంతమైన ఖాళీల గురించి కాకుండా, రన్నర్ తన లక్ష్యాన్ని చేరుకోవడానికి అవసరమైన పరిమిత సంఖ్యలో దశల గురించి మనం శ్రద్ధ వహిస్తే ఈ పారడాక్స్ పరిష్కరించబడుతుంది. అదనపు పదార్థాలు గ్రేడ్ 9 కోసం ఇంటిగ్రల్ ఆన్‌లైన్ స్టోర్‌లో ఎడ్యుకేషనల్ ఎయిడ్స్ మరియు సిమ్యులేటర్‌లు
గైస్, ఈ రోజు మనం మరొక రకమైన పురోగతితో పరిచయం పొందుతాము. ఉదాహరణ. 1,2,4,8,16... జ్యామితీయ పురోగమనంలో మొదటి పదం ఒకదానికి సమానం మరియు $q=2$. ఉదాహరణ. 8,8,8,8... మొదటి పదం ఎనిమిదికి సమానమైన రేఖాగణిత పురోగతి, ఉదాహరణ. 3,-3,3,-3,3... మొదటి పదం మూడుకి సమానం అయిన రేఖాగణిత పురోగతి, రేఖాగణిత పురోగమనం ఏకత్వం యొక్క లక్షణాలను కలిగి ఉంటుంది. అంకగణిత పురోగతిలో వలె, రేఖాగణిత పురోగతిలో మూలకాల సంఖ్య పరిమితమైతే, పురోగతిని పరిమిత రేఖాగణిత పురోగతి అంటారు. $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$. మన ఉదాహరణలకు తిరిగి వెళ్దాం. ఉదాహరణ. 1,2,4,8,16... మొదటి పదం ఒకదానికి సమానం అయిన రేఖాగణిత పురోగతి, ఉదాహరణ. 16,8,4,2,1,1/2… ఒక రేఖాగణిత పురోగతి, దీనిలో మొదటి పదం పదహారుకి సమానం మరియు $q=\frac(1)(2)$. ఉదాహరణ. 8,8,8,8... ఒక రేఖాగణిత పురోగతి, దీనిలో మొదటి పదం ఎనిమిదికి సమానం మరియు $q=1$. ఉదాహరణ. 3,-3,3,-3,3... జ్యామితీయ పురోగతి, దీనిలో మొదటి పదం మూడు మరియు $q=-1$కి సమానం. ఉదాహరణ. $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $ జ్యామితీయ పురోగతిని అందించారు. పరిష్కారం. ఉదాహరణ. రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క ఏడవ మరియు ఐదవ పదాల మధ్య వ్యత్యాసం 192, పురోగతి యొక్క ఐదవ మరియు ఆరవ పదాల మొత్తం 192. ఈ పురోగతి యొక్క పదవ పదాన్ని కనుగొనండి. పరిష్కారం. పరిమిత రేఖాగణిత పురోగతిని ఇవ్వనివ్వండి: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$. $S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$. $S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$. $S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$. $S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$. మేము పరిమిత రేఖాగణిత పురోగతి మొత్తానికి సూత్రాన్ని పొందాము. పరిష్కారం. ఉదాహరణ. పరిష్కారం. $S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$. ప్రతి సభ్యుని యొక్క స్క్వేర్ పురోగతి యొక్క ప్రక్కనే ఉన్న ఇద్దరు సభ్యుల ఉత్పత్తికి సమానంగా ఉన్నప్పుడు మాత్రమే సంఖ్యా శ్రేణి అనేది రేఖాగణిత పురోగతి. పరిమిత పురోగతి కోసం ఈ పరిస్థితి మొదటి మరియు చివరి నిబంధనలకు సంతృప్తి చెందదని మర్చిపోవద్దు. రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క ఏదైనా పదం యొక్క మాడ్యులస్ దాని ప్రక్కనే ఉన్న రెండు పదాల రేఖాగణిత సగటుకు సమానం. పరిష్కారం. అంశంపై పాఠం "అనంతంగా తగ్గుతున్న రేఖాగణిత పురోగతి" (బీజగణితం, 10వ తరగతి)
పాఠం యొక్క ఉద్దేశ్యం:కొత్త రకం క్రమానికి విద్యార్థులను పరిచయం చేయడం - అనంతంగా తగ్గుతున్న రేఖాగణిత పురోగతి. సామగ్రి:ప్రొజెక్టర్, స్క్రీన్. పాఠం రకం:పాఠం - నేర్చుకోవడం కొత్త అంశం. తరగతుల సమయంలో I
. ఆర్గ్. క్షణం. పాఠం యొక్క అంశం మరియు ఉద్దేశ్యాన్ని పేర్కొనండి. II
. విద్యార్థుల జ్ఞానాన్ని నవీకరిస్తోంది. 9వ తరగతిలో మీరు అంకగణితం మరియు రేఖాగణిత పురోగతిని అభ్యసించారు. ప్రశ్నలు 1. అంకగణిత పురోగతి యొక్క నిర్వచనం. (ఒక అంకగణిత పురోగమనం అనేది ప్రతి సభ్యుడు, రెండవదాని నుండి ప్రారంభించి, అదే సంఖ్యకు జోడించబడిన మునుపటి సభ్యునికి సమానంగా ఉండే క్రమం). 2. ఫార్ములా nఅంకగణిత పురోగతి యొక్క వ పదం ( 3. మొదటి మొత్తానికి ఫార్ములా nఅంకగణిత పురోగతి యొక్క నిబంధనలు. ( 4. రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క నిర్వచనం. (జ్యామితీయ పురోగమనం అనేది సున్నా కాని సంఖ్యల శ్రేణి, ప్రతి పదం, రెండవది నుండి మొదలై, అదే సంఖ్యతో గుణించబడిన మునుపటి పదానికి సమానం). 5. ఫార్ములా nరేఖాగణిత పురోగతి యొక్క వ పదం ( 6. మొదటి మొత్తానికి ఫార్ములా nరేఖాగణిత పురోగతి సభ్యులు. ( 7. మీకు ఏ ఇతర సూత్రాలు తెలుసు? ( 5. రేఖాగణిత పురోగతి కోసం 6. రేఖాగణిత పురోగతి కోసం 7. విపరీతంగా బి
3
= 8
మరియు బి
5
= 2
. కనుగొనండి బి
4
. (4) 8. విపరీతంగా బి
3
= 8
మరియు బి
5
= 2
. కనుగొనండి బి
1
మరియు
q
. 9. విపరీతంగా బి
3
= 8
మరియు బి
5
= 2
. కనుగొనండి ఎస్
5
. (62) III
. కొత్త టాపిక్ నేర్చుకోవడం(ప్రదర్శన యొక్క ప్రదర్శన). 1కి సమానమైన వైపు ఉన్న చతురస్రాన్ని పరిగణించండి. మొదటి స్క్వేర్‌లో సగం సైజు ఉన్న మరొక చతురస్రాన్ని గీద్దాం. ప్రతిసారీ కొత్త స్క్వేర్ వైపు మునుపటి దానిలో సగానికి సమానంగా ఉంటుంది. ఫలితంగా, మేము చతురస్రాల భుజాల క్రమాన్ని అందుకున్నాము మరియు, చాలా ముఖ్యమైనది ఏమిటంటే, అటువంటి చతురస్రాలను మనం ఎంత ఎక్కువగా నిర్మిస్తామో, స్క్వేర్ వైపు చిన్నదిగా ఉంటుంది. ఉదాహరణకి, ఆ. n సంఖ్య పెరిగేకొద్దీ, పురోగతి యొక్క నిబంధనలు సున్నాకి చేరుకుంటాయి. ఈ సంఖ్యను ఉపయోగించి, మీరు మరొక క్రమాన్ని పరిగణించవచ్చు. ఉదాహరణకు, చతురస్రాల ప్రాంతాల క్రమం: మరొక ఉదాహరణ చూద్దాం. సమబాహు త్రిభుజం 1 సెం.మీ.కి సమానమైన వైపుతో. గురించి సిద్ధాంతం ప్రకారం, 1వ త్రిభుజం యొక్క భుజాల మధ్య బిందువుల వద్ద శీర్షాలతో తదుపరి త్రిభుజాన్ని నిర్మిస్తాము మధ్యరేఖత్రిభుజం - 2 వ వైపు మొదటి సగం వైపుకు సమానం, 3 వ వైపు 2 వ వైపు సగం, మొదలైనవి. మళ్ళీ మనం త్రిభుజాల భుజాల పొడవుల క్రమాన్ని పొందుతాము. మేము ప్రతికూల హారంతో రేఖాగణిత పురోగతిని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే. అప్పుడు, మళ్ళీ, పెరుగుతున్న సంఖ్యలతో nపురోగతి విధానం యొక్క నిబంధనలు సున్నా. ఈ సీక్వెన్స్‌ల హారంపై దృష్టి పెడదాం. ప్రతిచోటా హారం సంపూర్ణ విలువలో 1 కంటే తక్కువగా ఉంది. మేము ముగించవచ్చు: దాని హారం యొక్క మాడ్యులస్ 1 కంటే తక్కువగా ఉంటే రేఖాగణిత పురోగతి అనంతంగా తగ్గుతుంది. నిర్వచనం:
రేఖాగణిత పురోగతి దాని హారం యొక్క మాడ్యులస్ ఒకటి కంటే తక్కువగా ఉంటే అది అనంతంగా తగ్గుతుందని చెప్పబడింది. నిర్వచనాన్ని ఉపయోగించి, మీరు రేఖాగణిత పురోగతి అనంతంగా తగ్గుతోందో లేదో నిర్ణయించుకోవచ్చు. టాస్క్ ఫార్ములా ద్వారా ఇవ్వబడినట్లయితే, క్రమం అనంతంగా తగ్గుతున్న రేఖాగణిత పురోగతి: పరిష్కారం: ఈ రేఖాగణిత పురోగతి అనంతంగా తగ్గుతోంది. బి)ఈ క్రమం అనంతంగా తగ్గుతున్న రేఖాగణిత పురోగతి కాదు. 1కి సమానమైన వైపు ఉన్న చతురస్రాన్ని పరిగణించండి. దానిని సగానికి విభజించండి, సగానికి సగం, మొదలైనవి. ఫలితంగా వచ్చే అన్ని దీర్ఘచతురస్రాల ప్రాంతాలు అనంతంగా తగ్గుతున్న రేఖాగణిత పురోగతిని ఏర్పరుస్తాయి: ఈ విధంగా పొందిన అన్ని దీర్ఘచతురస్రాల ప్రాంతాల మొత్తం 1వ చతురస్రం యొక్క వైశాల్యానికి సమానంగా ఉంటుంది మరియు 1కి సమానంగా ఉంటుంది.
పురోగతి యొక్క మొదటి పదాన్ని కనుగొనే పని
వేగవంతమైన అకిలెస్ మరియు నెమ్మదిగా తాబేలుతో జెనో యొక్క ప్రసిద్ధ పారడాక్స్
అంశంపై పాఠం మరియు ప్రదర్శన: "సంఖ్య శ్రేణులు. రేఖాగణిత పురోగతి"
ప్రియమైన వినియోగదారులు, మీ వ్యాఖ్యలు, సమీక్షలు, శుభాకాంక్షలు తెలియజేయడం మర్చిపోవద్దు! అన్ని పదార్థాలు యాంటీ-వైరస్ ప్రోగ్రామ్ ద్వారా తనిఖీ చేయబడ్డాయి.
అధికారాలు మరియు మూలాలు విధులు మరియు గ్రాఫ్‌లు
నేటి పాఠం యొక్క అంశం రేఖాగణిత పురోగతి.రేఖాగణిత పురోగతి
నిర్వచనం. రెండవ పదం నుండి ప్రారంభమయ్యే ప్రతి పదం మునుపటి దాని యొక్క ఉత్పత్తికి సమానంగా ఉండే సంఖ్యా క్రమాన్ని మరియు కొంత స్థిర సంఖ్యను రేఖాగణిత పురోగతి అంటారు.
మన క్రమాన్ని పునరావృతంగా నిర్వచిద్దాం: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
ఇక్కడ b మరియు q నిర్దిష్ట సంఖ్యలు. q సంఖ్యను పురోగతి యొక్క హారం అంటారు.
మరియు $q=1$.
మరియు $q=-1$.
అయితే $b_(1)>0$, $q>1$,
అప్పుడు క్రమం పెరుగుతోంది.
$b_(1)>0$, $0 అయితే క్రమం సాధారణంగా రూపంలో సూచించబడుతుంది: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.
సీక్వెన్స్ ఒక రేఖాగణిత పురోగతి అయితే, నిబంధనల స్క్వేర్‌ల క్రమం కూడా రేఖాగణిత పురోగతి అని గమనించండి. రెండవ క్రమంలో, మొదటి పదం $b_(1)^2$కి సమానం, మరియు హారం $q^2$కి సమానం.రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క nవ పదం కోసం ఫార్ములా
రేఖాగణిత పురోగతిని విశ్లేషణాత్మక రూపంలో కూడా పేర్కొనవచ్చు. దీన్ని ఎలా చేయాలో చూద్దాం:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
మేము సరళిని సులభంగా గమనించవచ్చు: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
మా సూత్రాన్ని "జ్యామితీయ పురోగతి యొక్క nవ పదం యొక్క సూత్రం" అని పిలుస్తారు.
మరియు $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.
ఎ) $b_(1)=6, q=3$ అని తెలిసింది. $b_(5)$ని కనుగొనండి.
బి) $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$ అని తెలిసింది. కనుగొను n.
c) $q=-2, b_(6)=96$ అని తెలిసింది. $b_(1)$ని కనుగొనండి.
d) $b_(1)=-2, b_(12)=4096$ అని తెలిసింది. qని కనుగొనండి.
ఎ) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
బి) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$, నుండి $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.
మాకు ఇది తెలుసు: $b_(7)-b_(5)=192$ మరియు $b_(5)+b_(6)=192$.
మాకు కూడా తెలుసు: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
అప్పుడు:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
మేము సమీకరణాల వ్యవస్థను అందుకున్నాము:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$.
మన సమీకరణాలను సమం చేయడం ద్వారా మనం పొందుతాము:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
మేము రెండు పరిష్కారాలను పొందాము: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
రెండవ సమీకరణంలో క్రమానుగతంగా ప్రత్యామ్నాయం చేయండి:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ పరిష్కారాలు లేవు.
మాకు ఇది వచ్చింది: $b_(1)=4, q=2$.
పదవ పదాన్ని కనుగొనండి: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.పరిమిత రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క మొత్తం
మాకు పరిమిత రేఖాగణిత పురోగతిని కలిగి ఉండండి. అంకగణిత పురోగతి కోసం, దాని నిబంధనల మొత్తాన్ని గణిద్దాం.
దాని నిబంధనల మొత్తానికి హోదాను పరిచయం చేద్దాం: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
సందర్భంలో $q=1$. రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క అన్ని నిబంధనలు మొదటి పదానికి సమానం, అప్పుడు $S_(n)=n*b_(1)$ అని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది.
ఇప్పుడు కేసు $q≠1$ని పరిశీలిద్దాం.
పై మొత్తాన్ని qతో గుణిద్దాం.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
గమనిక:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.
ఉదాహరణ.
మొదటి పదం 4 మరియు హారం 3 అయిన రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క మొదటి ఏడు పదాల మొత్తాన్ని కనుగొనండి.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.
తెలిసిన జ్యామితీయ పురోగతి యొక్క ఐదవ పదాన్ని కనుగొనండి: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q=$1364.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క లక్షణ లక్షణం
గైస్, ఒక రేఖాగణిత పురోగతి ఇవ్వబడింది. దాని మూడు వరుస సభ్యులను చూద్దాం: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.
అది మాకు తెలుసు:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
అప్పుడు:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
పురోగతి పరిమితమైతే, ఈ సమానత్వం మొదటి మరియు చివరి నిబంధనలకు తప్ప మిగిలిన అన్ని నిబంధనలకు వర్తిస్తుంది.
సీక్వెన్స్ ఏ రూపాన్ని కలిగి ఉందో ముందుగానే తెలియకపోతే, ఇది తెలిసినది: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
ఇది రేఖాగణిత పురోగతి అని మనం సురక్షితంగా చెప్పగలం.
ఈ గుర్తింపును చూద్దాం: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ని సగటు అంటారు రేఖాగణిత సంఖ్యలు a మరియు b.
ఉదాహరణ.
xని కనుగొనండి అంటే $x+2; 2x+2; 3x+3$ అనేది రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క మూడు వరుస పదాలు.
లక్షణ లక్షణాన్ని ఉపయోగించుకుందాం:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ మరియు $x_(2)=-1$.
మన పరిష్కారాలను అసలైన వ్యక్తీకరణకు వరుసగా ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం:
$x=2$తో, మేము ఈ క్రమాన్ని పొందాము: 4;6;9 – $q=1.5$తో జ్యామితీయ పురోగతి.
$x=-1$ కోసం, మేము క్రమాన్ని పొందుతాము: 1;0;0.
సమాధానం: $x=2.$స్వతంత్రంగా పరిష్కరించాల్సిన సమస్యలు
1. రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క ఎనిమిదవ మొదటి పదాన్ని కనుగొనండి 16;-8;4;-2….
2. రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క పదవ పదాన్ని కనుగొనండి 11,22,44….
3. $b_(1)=5, q=3$ అని తెలిసింది. $b_(7)$ని కనుగొనండి.
4. $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$ అని తెలిసింది. కనుగొను n.
5. రేఖాగణిత పురోగతి 3;12;48.... యొక్క మొదటి 11 నిబంధనల మొత్తాన్ని కనుగొనండి.
6. $3x+4 వంటి xని కనుగొనండి; 2x+4; x+5$ అనేది రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క మూడు వరుస పదాలు. 
)
లేదా 
)
)
)
, ఎక్కడ 
; 
; 
; 
, 
)
ఐదవ పదాన్ని కనుగొనండి. 
కనుగొనండి nవ సభ్యుడు. 
హారంతో రేఖాగణిత పురోగతిని ఏర్పరుస్తుంది.
. మరియు, మళ్ళీ, ఉంటే nనిరవధికంగా పెరుగుతుంది, ఆపై ప్రాంతం మీకు నచ్చినంత దగ్గరగా సున్నాకి చేరుకుంటుంది.
వద్ద 
.
.
; 
.. మేము కనుగొంటాము q
.
; 
; 
; 
.
