వివిధ పద్ధతులను ఉపయోగించి ఉన్నత డిగ్రీల సమీకరణాలను పరిష్కరించడం. గణితంలో ఉన్నత డిగ్రీల సమీకరణాలు

పని యొక్క వచనం చిత్రాలు మరియు సూత్రాలు లేకుండా పోస్ట్ చేయబడింది.
పని యొక్క పూర్తి వెర్షన్ PDF ఆకృతిలో "వర్క్ ఫైల్స్" ట్యాబ్‌లో అందుబాటులో ఉంది

పరిచయం

తెలియని ఒకదానితో అధిక డిగ్రీల బీజగణిత సమీకరణాలను పరిష్కరించడం అత్యంత కష్టమైన మరియు పురాతన గణిత సమస్యలలో ఒకటి. పురాతన కాలం నాటి అత్యుత్తమ గణిత శాస్త్రజ్ఞులు ఈ సమస్యలతో వ్యవహరించారు.

ఆధునిక గణిత శాస్త్రానికి nవ డిగ్రీ యొక్క సమీకరణాలను పరిష్కరించడం ఒక ముఖ్యమైన పని. ఈ సమీకరణాలు పాఠశాల గణిత పాఠ్యాంశాల్లో పొందుపరచబడని సమీకరణాల మూలాల అన్వేషణకు దగ్గరి సంబంధం కలిగి ఉన్నందున వాటిపై చాలా ఆసక్తి ఉంది.

సమస్య:వివిధ మార్గాల్లో ఉన్నత డిగ్రీల సమీకరణాలను పరిష్కరించడంలో విద్యార్థులకు నైపుణ్యాలు లేకపోవడం గణితం మరియు గణిత ఒలింపియాడ్‌లలో తుది ధృవీకరణ కోసం విజయవంతంగా సిద్ధపడకుండా మరియు ప్రత్యేక గణిత తరగతిలో శిక్షణ పొందకుండా నిరోధిస్తుంది.

జాబితా చేయబడిన వాస్తవాలు నిర్ణయించబడ్డాయి ఔచిత్యంమా పని "అధిక డిగ్రీల సమీకరణాలను పరిష్కరించడం".

nవ డిగ్రీ యొక్క సమీకరణాలను పరిష్కరించే సరళమైన పద్ధతుల పరిజ్ఞానం ఒక పనిని పూర్తి చేయడానికి సమయాన్ని తగ్గిస్తుంది, దానిపై పని ఫలితం మరియు అభ్యాస ప్రక్రియ యొక్క నాణ్యత ఆధారపడి ఉంటుంది.

పని యొక్క లక్ష్యం:ఉన్నత స్థాయిల సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి తెలిసిన పద్ధతులను అధ్యయనం చేయడం మరియు ఆచరణాత్మక ఉపయోగం కోసం వాటిలో అత్యంత అందుబాటులో ఉన్న వాటిని గుర్తించడం.

లక్ష్యం ఆధారంగా, కిందివి పనిలో నిర్వచించబడ్డాయి: పనులు:

ఈ అంశంపై సాహిత్యం మరియు ఇంటర్నెట్ వనరులను అధ్యయనం చేయండి;

ఈ అంశానికి సంబంధించిన చారిత్రక వాస్తవాలతో పరిచయం పొందండి;

ఉన్నత స్థాయి సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి వివిధ మార్గాలను వివరించండి

వాటిలో ప్రతి సంక్లిష్టత స్థాయిని సరిపోల్చండి;

ఉన్నత స్థాయిల సమీకరణాలను పరిష్కరించే మార్గాలకు క్లాస్‌మేట్‌లను పరిచయం చేయండి;

పరిగణించబడిన ప్రతి పద్ధతుల యొక్క ఆచరణాత్మక అనువర్తనం కోసం సమీకరణాల ఎంపికను సృష్టించండి.

అధ్యయనం యొక్క వస్తువు- ఒక వేరియబుల్‌తో అధిక డిగ్రీల సమీకరణాలు.

అధ్యయనం యొక్క విషయం- అధిక డిగ్రీల సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి పద్ధతులు.

పరికల్పన: nth డిగ్రీ యొక్క సమీకరణాలకు పరిమిత సంఖ్యలో దశల్లో పరిష్కారాలను కనుగొనడానికి అనుమతించే సాధారణ పద్ధతి లేదా ఒకే అల్గారిథమ్ లేదు.

పరిశోధనా పద్ధతులు:

- గ్రంథ పట్టిక పద్ధతి (పరిశోధన అంశంపై సాహిత్యం యొక్క విశ్లేషణ);

- వర్గీకరణ పద్ధతి;

- గుణాత్మక విశ్లేషణ పద్ధతి.

సైద్ధాంతిక ప్రాముఖ్యతపరిశోధన అనేది ఉన్నత స్థాయిల సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి మరియు వాటి అల్గారిథమ్‌లను వివరించడానికి క్రమబద్ధీకరించే పద్ధతులను కలిగి ఉంటుంది.

ఆచరణాత్మక ప్రాముఖ్యత- ఈ అంశంపై మెటీరియల్‌ను సమర్పించారు మరియు ఈ అంశంపై విద్యార్థులకు బోధనా సహాయాన్ని అభివృద్ధి చేశారు.

1. అధిక డిగ్రీల సమీకరణాలు

1.1 nవ డిగ్రీ సమీకరణం యొక్క భావన

నిర్వచనం 1. nth డిగ్రీ యొక్క సమీకరణం రూపం యొక్క సమీకరణం

a 0 xⁿ+a 1 x n -1 +a 2 xⁿ - ²+…+a n -1 x+a n = 0, ఇక్కడ గుణకాలు a 0, a 1, a 2…, a n -1, a n- ఏదైనా వాస్తవ సంఖ్యలు, మరియు ,ఎ 0 ≠ 0 .

బహుపది a 0 xⁿ+a 1 x n -1 +a 2 xⁿ - ²+…+a n -1 x+a n ను nవ డిగ్రీ యొక్క బహుపది అంటారు. గుణకాలు పేర్లతో వేరు చేయబడ్డాయి: a 0 - సీనియర్ కోఎఫీషియంట్; a n ఒక ఉచిత సభ్యుడు.

నిర్వచనం 2. ఇచ్చిన సమీకరణానికి పరిష్కారాలు లేదా మూలాలువేరియబుల్ యొక్క అన్ని విలువలు X, ఇది ఈ సమీకరణాన్ని నిజమైన సంఖ్యా సమానత్వంగా మారుస్తుంది లేదా, దీని కోసం బహుపది a 0 xⁿ+a 1 x n -1 +a 2 xⁿ - ²+…+a n -1 x+a n సున్నాకి వెళుతుంది. ఈ వేరియబుల్ విలువ Xబహుపది యొక్క మూలం అని కూడా అంటారు. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం అంటే దాని అన్ని మూలాలను కనుగొనడం లేదా ఏదీ లేవని నిర్ధారించడం.

ఉంటే a 0 = 1, అప్పుడు అటువంటి సమీకరణాన్ని తగ్గిన పూర్ణాంకం హేతుబద్ధ సమీకరణం n అంటారు వడిగ్రీలు.

మూడవ మరియు నాల్గవ డిగ్రీ యొక్క సమీకరణాల కోసం, ఈ సమీకరణాల మూలాలను రాడికల్స్ ద్వారా వ్యక్తీకరించే కార్డానో మరియు ఫెరారీ సూత్రాలు ఉన్నాయి. ఆచరణలో అవి చాలా అరుదుగా ఉపయోగించబడుతున్నాయని తేలింది. కాబట్టి, n ≥ 3, మరియు బహుపది యొక్క గుణకాలు ఏకపక్ష వాస్తవ సంఖ్యలు అయితే, సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనడం అంత తేలికైన పని కాదు. అయితే, అనేక ప్రత్యేక సందర్భాలలో ఈ సమస్య పూర్తిగా పరిష్కరించబడుతుంది. వాటిలో కొన్నింటిని చూద్దాం.

1.2 ఉన్నత స్థాయి సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి చారిత్రక వాస్తవాలు

ఇప్పటికే పురాతన కాలంలో, బీజగణిత సమీకరణాలను పరిష్కరించడం నేర్చుకోవడం ఎంత ముఖ్యమో ప్రజలు గ్రహించారు. సుమారు 4000 సంవత్సరాల క్రితం, బాబిలోనియన్ శాస్త్రవేత్తలకు వర్గ సమీకరణాన్ని ఎలా పరిష్కరించాలో తెలుసు మరియు రెండు సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించారు, వాటిలో ఒకటి రెండవ డిగ్రీ. ఉన్నత స్థాయి సమీకరణాల సహాయంతో, భూమి సర్వేయింగ్, ఆర్కిటెక్చర్ మరియు సైనిక వ్యవహారాల యొక్క వివిధ సమస్యలు పరిష్కరించబడ్డాయి; గణితశాస్త్రం యొక్క ఖచ్చితమైన భాష వాస్తవాలు మరియు సంబంధాలను వ్యక్తీకరించడానికి అనుమతిస్తుంది కాబట్టి, అభ్యాసం మరియు సహజ శాస్త్రం యొక్క అనేక మరియు విభిన్న ప్రశ్నలు వాటికి తగ్గించబడ్డాయి. , ఇది సాధారణ భాషలో చెప్పినప్పుడు, గందరగోళంగా మరియు సంక్లిష్టంగా అనిపించవచ్చు.

బీజగణిత సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనడానికి సార్వత్రిక సూత్రం nవడిగ్రీ లేదు. చాలా మందికి, ఏదైనా డిగ్రీ n కోసం, సమీకరణం యొక్క మూలాలను దాని గుణకాల ద్వారా వ్యక్తీకరించే, అంటే రాడికల్‌లలో సమీకరణాన్ని పరిష్కరించే సూత్రాలను కనుగొనాలనే ఉత్సాహం ఉంది.

16వ శతాబ్దంలో మాత్రమే ఇటాలియన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞులు n = 3 మరియు n = 4 సూత్రాలను కనుగొనడంలో మరింత ముందుకు సాగగలిగారు. అదే సమయంలో, స్కిపియో, డాల్, ఫెర్రో మరియు అతని విద్యార్థులు ఫియోరీ మరియు టార్టాగ్లియా సాధారణ పరిష్కారానికి సంబంధించిన ప్రశ్నను అధ్యయనం చేశారు. 3వ డిగ్రీ సమీకరణాలు.

1545లో, ఇటాలియన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు D. కార్డానో యొక్క పుస్తకం "గ్రేట్ ఆర్ట్, లేదా ఆల్జీబ్రా యొక్క నియమాలపై" ప్రచురించబడింది, ఇక్కడ, బీజగణితం యొక్క ఇతర ప్రశ్నలతో పాటు, క్యూబిక్ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి సాధారణ పద్ధతులు పరిగణించబడతాయి, అలాగే ఒక పద్ధతి 4వ డిగ్రీకి సంబంధించిన సమీకరణాలను పరిష్కరించడం, అతని విద్యార్థి L. ఫెరారీ కనుగొన్నాడు.

3వ మరియు 4వ డిగ్రీల సమీకరణాల పరిష్కారానికి సంబంధించిన సమస్యల పూర్తి ప్రదర్శన F. Viet ద్వారా అందించబడింది.

19వ శతాబ్దపు 20వ దశకంలో, నార్వేజియన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు N. అబెల్ ఐదవ డిగ్రీ యొక్క సమీకరణాల మూలాలను రాడికల్స్ పరంగా వ్యక్తీకరించలేమని నిరూపించాడు.

nth డిగ్రీ యొక్క సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ఆధునిక శాస్త్రానికి అనేక మార్గాలు తెలుసునని అధ్యయనం వెల్లడించింది.

పాఠశాల పాఠ్యాంశాల్లో పరిగణించబడిన పద్ధతులను ఉపయోగించి పరిష్కరించలేని ఉన్నత స్థాయిల సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి పద్ధతుల కోసం అన్వేషణ ఫలితంగా వియటా సిద్ధాంతం (డిగ్రీ సమీకరణాల కోసం) యొక్క అప్లికేషన్ ఆధారంగా పద్ధతులు ఉన్నాయి. n>2), బెజౌట్ యొక్క సిద్ధాంతాలు, హార్నర్ యొక్క పథకాలు, అలాగే క్యూబిక్ మరియు క్వార్టిక్ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి కార్డానో మరియు ఫెరారీ ఫార్ములా.

పని సమీకరణాలు మరియు వాటి రకాలను పరిష్కరించడానికి పద్ధతులను అందిస్తుంది, ఇది మాకు ఆవిష్కరణగా మారింది. వీటిలో నిరవధిక గుణకాల పద్ధతి, పూర్తి డిగ్రీ ఎంపిక, సుష్ట సమీకరణాలు ఉన్నాయి.

2. పూర్ణాంకాల సామర్థ్యాలతో ఉన్నత స్థాయిల మొత్తం సమీకరణాల పరిష్కారం

2.1 3వ డిగ్రీ సమీకరణాలను పరిష్కరించడం. ఫార్ములా D. కార్డానో

రూపం యొక్క సమీకరణాలను పరిగణించండి x 3 +px+q=0.సాధారణ సమీకరణాన్ని రూపానికి మారుద్దాం: x 3 +px 2 +qx+r=0.మొత్తం క్యూబ్ కోసం సూత్రాన్ని వ్రాస్దాం; దానిని అసలు సమానత్వానికి జోడించి, దానితో భర్తీ చేద్దాం వై. మేము సమీకరణాన్ని పొందుతాము: వై 3 + (q -) (y -) + (r - =0.పరివర్తనల తరువాత, మనకు ఇవి ఉన్నాయి: వై 2 +py + q=0.ఇప్పుడు, సమ్ క్యూబ్ ఫార్ములాను మళ్లీ వ్రాస్దాం:

(a+b) 3 = ఎ 3 + 3a 2 b + 3ab 2 +b 3 = ఎ 3 +b 3 + 3ab (a + b),భర్తీ ( a+b)పై x, మేము సమీకరణాన్ని పొందుతాము x 3 - 3abx - (ఎ 3 +b 3) = 0. అసలు సమీకరణం సిస్టమ్‌కి సమానం అని ఇప్పుడు మనం చూడవచ్చు: మరియు సిస్టమ్‌ను పరిష్కరిస్తే, మనకు లభిస్తుంది:

పై 3వ డిగ్రీ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి మేము ఒక సూత్రాన్ని పొందాము. ఇది ఇటాలియన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు కార్డానో పేరును కలిగి ఉంది.

ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి: .

మన దగ్గర ఉంది ఆర్= 15 మరియు q= 124, అప్పుడు కార్డానో సూత్రాన్ని ఉపయోగించి మేము సమీకరణం యొక్క మూలాన్ని గణిస్తాము

ముగింపు: ఈ సూత్రం మంచిది, కానీ అన్ని క్యూబిక్ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి తగినది కాదు. అదే సమయంలో, ఇది గజిబిజిగా ఉంటుంది. అందువలన, ఆచరణలో ఇది చాలా అరుదుగా ఉపయోగించబడుతుంది.

కానీ యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌లో థర్డ్-డిగ్రీ సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు ఈ ఫార్ములాను మాస్టర్స్ చేసే ఎవరైనా దీన్ని ఉపయోగించవచ్చు.

2.2 వియెటా సిద్ధాంతం

గణిత శాస్త్ర కోర్సు నుండి మనకు ఈ సిద్ధాంతం ఒక వర్గ సమీకరణం కోసం తెలుసు, అయితే ఇది అధిక-క్రమం సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి కూడా ఉపయోగించబడుతుందని కొంతమందికి తెలుసు.

సమీకరణాన్ని పరిగణించండి:

సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపు కారకం చేసి ≠ 0తో భాగిద్దాం.

సమీకరణం యొక్క కుడి భాగాన్ని ఫారమ్‌గా మారుద్దాం

; దీని నుండి మనం ఈ క్రింది సమానతలను సిస్టమ్‌లో వ్రాయవచ్చు:

చతురస్రాకార సమీకరణాల కోసం Viète ద్వారా ఉత్పన్నమైన మరియు 3వ డిగ్రీ సమీకరణాల కోసం మేము ప్రదర్శించిన సూత్రాలు అధిక డిగ్రీల బహుపదాలకు కూడా నిజం.

క్యూబిక్ సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం:

ముగింపు: ఈ పద్ధతి సార్వత్రికమైనది మరియు విద్యార్థులకు అర్థం చేసుకునేంత సులభం, ఎందుకంటే వియెటా సిద్ధాంతం పాఠశాల పాఠ్యాంశాల నుండి వారికి సుపరిచితం. = 2. అదే సమయంలో, ఈ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి సమీకరణాల మూలాలను కనుగొనడానికి, మీరు మంచి గణన నైపుణ్యాలను కలిగి ఉండాలి.

2.3 బెజౌట్ సిద్ధాంతం

ఈ సిద్ధాంతానికి 18వ శతాబ్దపు ఫ్రెంచ్ గణిత శాస్త్రవేత్త జె. బెజౌ పేరు పెట్టారు.

సిద్ధాంతం.సమీకరణం ఉంటే a 0 xⁿ+a 1 x n -1 +a 2 xⁿ - ²+…+a n -1 x+a n = 0, దీనిలో అన్ని గుణకాలు పూర్ణాంకాలు, మరియు ఉచిత పదం సున్నా కానిది మరియు పూర్ణాంక మూలాన్ని కలిగి ఉంటుంది, అప్పుడు ఈ రూట్ ఉచిత పదం యొక్క భాగహారం.

సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున nth డిగ్రీ యొక్క బహుపది ఉందని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, సిద్ధాంతానికి మరొక వివరణ ఉంది.

సిద్ధాంతం.సంబంధించి nవ డిగ్రీ యొక్క బహుపదిని విభజించేటప్పుడు xద్విపద ద్వారా x-aమిగిలినది డివిడెండ్ విలువకు సమానం x = a. (లేఖ aఏదైనా నిజమైన లేదా ఊహాత్మక సంఖ్యను సూచించవచ్చు, అనగా. ఏదైనా సంక్లిష్ట సంఖ్య).

రుజువు:వీలు f(x) x మరియు లెట్ వేరియబుల్‌కు సంబంధించి nవ డిగ్రీ యొక్క ఏకపక్ష బహుపదిని సూచిస్తుంది, ద్విపద ద్వారా విభజించబడినప్పుడు ( x-a) ప్రైవేట్‌గా తేలింది q(x), మరియు మిగిలినవి ఆర్. అది స్పష్టంగా ఉంది q(x)కొన్ని బహుపది ఉంటుంది (n - 1) వ డిగ్రీకి సంబంధించి x, మరియు మిగిలినవి ఆర్స్థిరమైన విలువ ఉంటుంది, అనగా. స్వతంత్రంగా x.

మిగిలితే ఆర్ xకి సంబంధించి మొదటి డిగ్రీ యొక్క బహుపది, అప్పుడు విభజన విఫలమైందని దీని అర్థం. కాబట్టి, ఆర్నుండి xఆధారపడదు. విభజన నిర్వచనం ప్రకారం మేము గుర్తింపును పొందుతాము: f(x)=(x-a) q(x)+R.

సమానత్వం x యొక్క ఏదైనా విలువకు వర్తిస్తుంది, అంటే ఇది కూడా నిజం x=a, మాకు దొరికింది: f(a)=(a-a) q(a)+R. చిహ్నం f(a) బహుపది f విలువను సూచిస్తుంది (x) వద్ద x=a, q(a)విలువను సూచిస్తుంది q(x) వద్ద x=a.శేషం ఆర్అది మునుపటిలానే ఉండిపోయింది, ఎందుకంటే ఆర్నుండి xఆధారపడదు. పని ( x-a) q(a) = 0, కారకం నుండి ( x-a) = 0,మరియు గుణకం q(a)ఒక నిర్దిష్ట సంఖ్య ఉంది. కాబట్టి, సమానత్వం నుండి మనం పొందుతాము: f(a)= R,మొదలైనవి

ఉదాహరణ 1.బహుపది యొక్క మిగిలిన భాగాన్ని కనుగొనండి x 3 - 3x 2 + 6x-ద్విపదకు 5

x- 2. బెజౌట్ సిద్ధాంతం ద్వారా : R=f(2) = 23-322 + 62 -5=3. సమాధానం: R= 3.

బెజౌట్ యొక్క సిద్ధాంతం దాని పర్యవసానాలకు అంత ముఖ్యమైనది కాదని గమనించండి. (అనుబంధం 1)

ఆచరణాత్మక సమస్యలను పరిష్కరించడానికి బెజౌట్ సిద్ధాంతాన్ని వర్తింపజేయడానికి కొన్ని పద్ధతుల పరిశీలనలో నివసిద్దాం. Bezout సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు, ఇది అవసరం అని గమనించాలి:

ఉచిత పదం యొక్క అన్ని పూర్ణాంకాల విభజనలను కనుగొనండి;

ఈ విభజనల నుండి సమీకరణం యొక్క కనీసం ఒక మూలాన్ని కనుగొనండి;

సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున విభజించండి (హ);

సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున భాగహారం మరియు గుణకం యొక్క ఉత్పత్తిని వ్రాయండి;

ఫలిత సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.

x సమీకరణాన్ని పరిష్కరించే ఉదాహరణను చూద్దాం 3 + 4X 2 + x - 6 = 0 .

పరిష్కారం: ఉచిత పదం ±1 యొక్క విభజనలను కనుగొనండి ; ± 2; ± 3; ± 6. వద్ద విలువలను గణిద్దాం x= 1, 1 3 + 41 2 + 1- 6=0. సమీకరణం యొక్క ఎడమ భాగాన్ని దీని ద్వారా భాగించండి ( X- 1). "మూలలో" ఉపయోగించి విభజన చేద్దాం మరియు పొందండి:

తీర్మానం: బెజౌట్ యొక్క సిద్ధాంతం అనేది మా పనిలో మేము పరిగణించే పద్ధతుల్లో ఒకటి, ఎంపిక తరగతుల కార్యక్రమంలో అధ్యయనం చేయబడింది. అర్థం చేసుకోవడం చాలా కష్టం, ఎందుకంటే దీన్ని ప్రావీణ్యం పొందడానికి, మీరు దాని నుండి వచ్చే అన్ని పరిణామాలను తెలుసుకోవాలి, కానీ అదే సమయంలో, యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌లో విద్యార్థులకు బెజౌట్ సిద్ధాంతం ప్రధాన సహాయకులలో ఒకటి.

2.4 హార్నర్ పథకం

బహుపదిని ద్విపద ద్వారా విభజించడానికి x-αమీరు 17వ శతాబ్దానికి చెందిన ఆంగ్ల గణిత శాస్త్రజ్ఞులు కనిపెట్టిన ప్రత్యేక సరళమైన సాంకేతికతను ఉపయోగించవచ్చు, తర్వాత దీనిని హార్నర్స్ స్కీమ్ అని పిలుస్తారు. సమీకరణాల మూలాలను కనుగొనడంతో పాటు, హార్నర్ స్కీమ్‌ని ఉపయోగించి మీరు వాటి విలువలను మరింత సరళంగా లెక్కించవచ్చు. దీన్ని చేయడానికి, మీరు వేరియబుల్ విలువను బహుపది Pnకి ప్రత్యామ్నాయం చేయాలి (x)=a 0 xn+a 1 x n-1 +a 2 xⁿ - ²+...++ a n -1 x+a n. (1)

బహుపది (1)ని ద్విపద ద్వారా విభజించడాన్ని పరిగణించండి x-α.

అసంపూర్ణ గుణకం b యొక్క గుణకాలను వ్యక్తపరుస్తాము 0 xⁿ - ¹+ బి 1 xⁿ - ²+ బి 2 xⁿ - ³+…+ bn -1 మరియు మిగిలినవి ఆర్బహుపది Pn యొక్క గుణకాల ద్వారా x) మరియు సంఖ్య α. బి 0 = ఎ 0 , బి 1 = α బి 0 +a 1 , బి 2 = α బి 1 +a 2 …, bn -1 =

= α bn -2 +a n -1 = α bn -1 +a n .

హార్నర్స్ స్కీమ్ ఉపయోగించి లెక్కలు క్రింది పట్టికలో ప్రదర్శించబడ్డాయి:

	ఎ 0	a 1	a 2 ,
	బి 0 = ఎ 0	బి 1 = α బి 0 +a 1	బి 2 = α బి 1 +a 2		r=αబి n-1 +a n

ఎందుకంటే r=Pn(α),అప్పుడు α అనేది సమీకరణం యొక్క మూలం. α బహుళ రూట్ కాదా అని తనిఖీ చేయడానికి, హార్నర్ యొక్క స్కీమ్‌ను కోటీన్ b కి వర్తింపజేయవచ్చు 0 x+బి 1 x+…+ bn -1 పట్టిక ప్రకారం. bn క్రింద నిలువు వరుసలో ఉంటే -1 ఫలితం మళ్లీ 0, అంటే α బహుళ మూలం.

ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం: సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి X 3 + 4X 2 + x - 6 = 0.

సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున ఉన్న బహుపది యొక్క కారకాన్ని వర్తింపజేద్దాం, హార్నర్ పథకం.

పరిష్కారం: ఉచిత పదం యొక్క విభజనలను కనుగొనండి ± 1; ± 2; ± 3; ± 6.

				6 ∙ 1 + (-6) = 0

గుణకం యొక్క గుణకాలు సంఖ్యలు 1, 5, 6 మరియు మిగిలినవి r = 0.

అంటే, X 3 + 4X 2 + X - 6 = (X - 1) (X 2 + 5X + 6) = 0.

ఇక్కడనుంచి: X- 1 = 0 లేదా X 2 + 5X + 6 = 0.

X = 1, X 1 = -2; X 2 = -3. సమాధానం: 1,- 2, - 3.

తీర్మానం: ఈ విధంగా, ఒక సమీకరణంలో మనం కారకం బహుపదాల యొక్క రెండు వేర్వేరు పద్ధతులను ఉపయోగించడాన్ని చూపించాము. మా అభిప్రాయం ప్రకారం, హార్నర్ యొక్క పథకం అత్యంత ఆచరణాత్మకమైనది మరియు ఆర్థికమైనది.

2.5 4వ డిగ్రీ సమీకరణాలను పరిష్కరించడం. ఫెరారీ పద్ధతి

కార్డానో విద్యార్థి లుడోవిక్ ఫెరారీ నాల్గవ-డిగ్రీ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి ఒక మార్గాన్ని కనుగొన్నాడు. ఫెరారీ పద్ధతి రెండు దశలను కలిగి ఉంటుంది.

దశ I: రూపం యొక్క సమీకరణాలు రెండు చతురస్రాకార త్రికోణాల ఉత్పత్తిగా సూచించబడతాయి; సమీకరణం 3వ డిగ్రీకి చెందినది మరియు కనీసం ఒక పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

దశ II: ఫలిత సమీకరణాలు కారకాన్ని ఉపయోగించి పరిష్కరించబడతాయి, అయితే అవసరమైన కారకాన్ని కనుగొనడానికి, క్యూబిక్ సమీకరణాలను పరిష్కరించాలి.

A 2 =B 2 రూపంలో సమీకరణాలను సూచించడం ఆలోచన, ఇక్కడ A= x 2 +లు,

యొక్క B-లీనియర్ ఫంక్షన్ x. అప్పుడు A = ±B సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ఇది మిగిలి ఉంది.

స్పష్టత కోసం, సమీకరణాన్ని పరిగణించండి: 4వ డిగ్రీని వేరుచేస్తే, మనకు లభిస్తుంది: ఏదైనా డివ్యక్తీకరణ ఖచ్చితమైన చతురస్రంగా ఉంటుంది. మనకు లభించే సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా జోడించండి

ఎడమ వైపున పూర్తి చతురస్రం ఉంది, మీరు తీయవచ్చు డి, తద్వారా (2) యొక్క కుడి వైపు కూడా పూర్తి చతురస్రం అవుతుంది. మనం దీన్ని సాధించినట్లు ఊహించుకుందాం. అప్పుడు మా సమీకరణం ఇలా కనిపిస్తుంది:

మూలాన్ని కనుగొనడం తరువాత కష్టం కాదు. సరైనదాన్ని ఎంచుకోవడానికి డి(3) యొక్క కుడి వైపు వివక్షత సున్నాగా మారడం అవసరం, అనగా.

కాబట్టి కనుగొనేందుకు డి, మనం ఈ 3వ డిగ్రీ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించాలి. ఈ సహాయక సమీకరణం అంటారు పరిష్కారం.

మేము ద్రావకం యొక్క మొత్తం మూలాన్ని సులభంగా కనుగొంటాము: d = 1

సమీకరణాన్ని (1)కి ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే మనకు లభిస్తుంది

ముగింపు: ఫెరారీ పద్ధతి సార్వత్రికమైనది, కానీ సంక్లిష్టమైనది మరియు గజిబిజిగా ఉంటుంది. అదే సమయంలో, సొల్యూషన్ అల్గోరిథం స్పష్టంగా ఉంటే, ఈ పద్ధతిని ఉపయోగించి 4వ డిగ్రీ సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు.

2.6 అనిశ్చిత గుణకాల పద్ధతి

ఫెరారీ పద్ధతిని ఉపయోగించి 4వ డిగ్రీ యొక్క సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడంలో విజయం మనం ద్రావణాన్ని పరిష్కరిస్తామా అనే దానిపై ఆధారపడి ఉంటుంది - 3వ డిగ్రీ యొక్క సమీకరణం, ఇది మనకు తెలిసినట్లుగా, ఎల్లప్పుడూ సాధ్యం కాదు.

నిరవధిక గుణకాల పద్ధతి యొక్క సారాంశం ఏమిటంటే, ఇచ్చిన బహుపది విచ్ఛిన్నమయ్యే కారకాల రకం ఊహించబడింది మరియు ఈ కారకాల యొక్క గుణకాలు (బహుపదిలు కూడా) కారకాలను గుణించడం ద్వారా మరియు గుణకాలను సమానం చేయడం ద్వారా నిర్ణయించబడతాయి. వేరియబుల్.

ఉదాహరణ: సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి:

మన సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపు పూర్ణాంక గుణకాలతో రెండు చతురస్రాకార త్రికోణాలుగా కుళ్ళిపోవచ్చని అనుకుందాం, అంటే ఒకే సమానత్వం నిజం

సహజంగానే, వాటి ముందు ఉన్న గుణకాలు తప్పనిసరిగా 1కి సమానంగా ఉండాలి మరియు ఉచిత నిబంధనలు ఒకదానికి సమానంగా ఉండాలి + 1, మరొకటి - 1.

ఎదుర్కొంటున్న గుణకాలు X. మనం వాటిని దీని ద్వారా సూచిస్తాము ఎమరియు వాటిని గుర్తించడానికి, మేము సమీకరణం యొక్క కుడి వైపున రెండు త్రినామిలను గుణిస్తాము.

ఫలితంగా మనకు లభిస్తుంది:

అదే డిగ్రీల వద్ద గుణకాలను సమం చేయడం Xసమానత్వం (1) యొక్క ఎడమ మరియు కుడి వైపులా, మేము కనుగొనే వ్యవస్థను పొందుతాము మరియు

ఈ వ్యవస్థను పరిష్కరించిన తరువాత, మనకు ఉంటుంది

కాబట్టి మన సమీకరణం సమీకరణానికి సమానం

దాన్ని పరిష్కరించిన తరువాత, మేము ఈ క్రింది మూలాలను పొందుతాము: .

నిరవధిక కోఎఫీషియంట్స్ యొక్క పద్ధతి క్రింది ప్రకటనలపై ఆధారపడి ఉంటుంది: సమీకరణంలో నాల్గవ డిగ్రీ యొక్క ఏదైనా బహుపది రెండవ డిగ్రీ యొక్క రెండు బహుపదిల ఉత్పత్తిగా కుళ్ళిపోతుంది; రెండు బహుపదిలు ఒకే శక్తులకు వాటి గుణకాలు సమానంగా ఉంటే మాత్రమే సమానంగా ఉంటాయి X.

2.7 సుష్ట సమీకరణాలు

నిర్వచనం.సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున ఉన్న మొదటి గుణకాలు కుడి వైపున ఉన్న మొదటి గుణకాలకు సమానంగా ఉంటే రూపం యొక్క సమీకరణాన్ని సుష్ట అంటారు.

ఎడమ వైపున ఉన్న మొదటి గుణకాలు కుడి వైపున ఉన్న మొదటి కోఎఫీషియంట్‌లకు సమానం అని మనం చూస్తాము.

అటువంటి సమీకరణం బేసి డిగ్రీని కలిగి ఉంటే, దానికి మూలం ఉంటుంది X= - 1. తరువాత మనం సమీకరణం యొక్క డిగ్రీని దీని ద్వారా విభజించడం ద్వారా తగ్గించవచ్చు ( x+ 1) ఇది సుష్ట సమీకరణాన్ని విభజించేటప్పుడు ( x+ 1) సరి డిగ్రీ యొక్క సుష్ట సమీకరణం పొందబడుతుంది. గుణకాల సమరూపత యొక్క రుజువు క్రింద ప్రదర్శించబడింది. (అనుబంధం 6) సమాన స్థాయి యొక్క సుష్ట సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరించాలో నేర్చుకోవడం మా పని.

ఉదాహరణకు: (1)

సమీకరణాన్ని (1) పరిష్కరిద్దాం, విభజించండి X 2 (మధ్యస్థ స్థాయికి) = 0.

సమరూప నిబంధనలను సమూహపరుద్దాం

) + 3(x+ సూచిస్తాం వద్ద= x+ , రెండు వైపులా స్క్వేర్ చేద్దాం, అందుకే = వద్ద 2 కాబట్టి, 2( వద్ద 2 లేదా 2 వద్ద 2 + 3 సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తే, మనకు లభిస్తుంది వద్ద = , వద్ద= 3. తర్వాత, పునఃస్థాపనకు వెళ్దాం x+ = మరియు x+ = 3. మేము సమీకరణాలను పొందుతాము మరియు మొదటిదానికి పరిష్కారం లేదు మరియు రెండవది రెండు మూలాలను కలిగి ఉంటుంది. సమాధానం:.

తీర్మానం: ఈ రకమైన సమీకరణం తరచుగా ఎదుర్కొనబడదు, కానీ మీరు దానిని చూసినట్లయితే, అది గజిబిజిగా ఉన్న గణనలను ఆశ్రయించకుండా సులభంగా మరియు సరళంగా పరిష్కరించబడుతుంది.

2.8 పూర్తి డిగ్రీని వేరుచేయడం

సమీకరణాన్ని పరిగణించండి.

ఎడమ వైపు మొత్తం (x+1) యొక్క ఘనం, అనగా.

మేము రెండు భాగాల నుండి మూడవ మూలాన్ని సంగ్రహిస్తాము: , అప్పుడు మనకు లభిస్తుంది

ఒక్క రూట్ ఎక్కడ ఉంది?

పరిశోధన ఫలితాలు

పని ఫలితాల ఆధారంగా, మేము ఈ క్రింది నిర్ణయాలకు వచ్చాము:

అధ్యయనం చేసిన సిద్ధాంతానికి ధన్యవాదాలు, మేము ఉన్నత స్థాయిల మొత్తం సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి వివిధ పద్ధతులతో పరిచయం పొందాము;

D. కార్డానో యొక్క ఫార్ములా ఉపయోగించడం కష్టం మరియు గణనలో లోపాలు చేసే అధిక సంభావ్యతను ఇస్తుంది;

- L. ఫెరారీ యొక్క పద్ధతి ఒక నాల్గవ-డిగ్రీ సమీకరణానికి పరిష్కారాన్ని క్యూబిక్‌కు తగ్గించడానికి అనుమతిస్తుంది;

− బెజౌట్ యొక్క సిద్ధాంతాన్ని క్యూబిక్ సమీకరణాల కోసం మరియు నాల్గవ డిగ్రీ సమీకరణాల కోసం ఉపయోగించవచ్చు; సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి వర్తించినప్పుడు ఇది మరింత అర్థమయ్యేలా మరియు దృశ్యమానంగా ఉంటుంది;

హార్నర్ యొక్క పథకం సమీకరణాలను పరిష్కరించడంలో గణనలను గణనీయంగా తగ్గించడానికి మరియు సరళీకృతం చేయడానికి సహాయపడుతుంది. మూలాలను కనుగొనడంతో పాటు, హార్నర్ యొక్క పథకాన్ని ఉపయోగించి మీరు సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున ఉన్న బహుపదాల విలువలను మరింత సరళంగా లెక్కించవచ్చు;

నిరవధిక గుణకాల పద్ధతి మరియు సుష్ట సమీకరణాల పరిష్కారం ద్వారా సమీకరణాల పరిష్కారాలు ప్రత్యేక ఆసక్తిని కలిగి ఉన్నాయి.

పరిశోధనా పనిలో, 9 లేదా 10 వ తరగతి నుండి, అలాగే గణిత పాఠశాలలను సందర్శించే ప్రత్యేక కోర్సులలో ఎలక్టివ్ మ్యాథమెటిక్స్ తరగతులలో అత్యధిక స్థాయి సమీకరణాలను పరిష్కరించే సరళమైన పద్ధతులతో విద్యార్థులు సుపరిచితులుగా మారినట్లు కనుగొనబడింది. MBOU "సెకండరీ స్కూల్ నం. 9"లో గణిత ఉపాధ్యాయుల సర్వే ఫలితంగా ఈ వాస్తవం స్థాపించబడింది మరియు "గణితశాస్త్రం" అనే అంశంపై ఆసక్తిని పెంచిన విద్యార్థులు.

ఒలింపియాడ్‌లు, పోటీ సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు మరియు పరీక్షలకు సిద్ధమవుతున్న విద్యార్థుల ఫలితంగా ఎదురయ్యే అధిక డిగ్రీల సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి అత్యంత ప్రజాదరణ పొందిన పద్ధతులు, బెజౌట్ సిద్ధాంతం, హార్నర్స్ స్కీమ్ మరియు కొత్త వేరియబుల్ పరిచయం ఆధారంగా పద్ధతులు.

పరిశోధన పని ఫలితాల ప్రదర్శన, అనగా. పాఠశాల గణిత పాఠ్యాంశాల్లో బోధించబడని సమీకరణాలను పరిష్కరించే పద్ధతులు నా సహవిద్యార్థులకు ఆసక్తిని కలిగిస్తాయి.

ముగింపు

యువత విద్యా ఫోరమ్‌లలో విద్యా మరియు శాస్త్రీయ సాహిత్యం, ఇంటర్నెట్ వనరులను అధ్యయనం చేయడం

"అధిక డిగ్రీల సమీకరణాలను పరిష్కరించే పద్ధతులు"

( కిసెలెవ్ రీడింగ్స్)

గణిత ఉపాధ్యాయుడు అఫనస్యేవా L.A.

MKOU Verkhnekarachskaya మాధ్యమిక పాఠశాల

గ్రిబనోవ్స్కీ జిల్లా, వొరోనెజ్ ప్రాంతం

2015

సమగ్ర పాఠశాలలో పొందిన గణిత విద్య సాధారణ విద్య మరియు ఆధునిక మనిషి యొక్క సాధారణ సంస్కృతిలో ముఖ్యమైన భాగం.

ప్రసిద్ధ జర్మన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు కొరాంట్ ఇలా వ్రాశాడు: "రెండు సహస్రాబ్దాలకు పైగా, గణిత శాస్త్ర రంగంలో కొందరిని కలిగి ఉండటం, చాలా ఉపరితలం కాదు, ప్రతి విద్యావంతుల మేధో జాబితాలో అవసరమైన భాగం." మరియు ఈ జ్ఞానంలో, సమీకరణాలను పరిష్కరించే సామర్థ్యానికి కనీసం స్థానం లేదు.

ఇప్పటికే పురాతన కాలంలో, బీజగణిత సమీకరణాలను పరిష్కరించడం నేర్చుకోవడం ఎంత ముఖ్యమో ప్రజలు గ్రహించారు. సుమారు 4000 సంవత్సరాల క్రితం, బాబిలోనియన్ శాస్త్రవేత్తలకు వర్గ సమీకరణాన్ని ఎలా పరిష్కరించాలో తెలుసు మరియు రెండు సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించారు, వాటిలో ఒకటి రెండవ డిగ్రీ. సమీకరణాల సహాయంతో, ల్యాండ్ సర్వేయింగ్, ఆర్కిటెక్చర్ మరియు సైనిక వ్యవహారాల యొక్క వివిధ సమస్యలు పరిష్కరించబడ్డాయి; గణితశాస్త్రం యొక్క ఖచ్చితమైన భాష వాస్తవాలు మరియు సంబంధాలను వ్యక్తీకరించడానికి అనుమతిస్తుంది కాబట్టి, అభ్యాసం మరియు సహజ శాస్త్రం యొక్క అనేక మరియు వైవిధ్యమైన ప్రశ్నలు వాటికి తగ్గించబడ్డాయి. సాధారణ భాషలో చెప్పబడినది, గందరగోళంగా మరియు సంక్లిష్టంగా అనిపించవచ్చు. గణితశాస్త్రంలో సమీకరణం అత్యంత ముఖ్యమైన భావనలలో ఒకటి. సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి పద్ధతుల అభివృద్ధి, గణితశాస్త్రం ఒక శాస్త్రంగా పుట్టినప్పటి నుండి, బీజగణితం అధ్యయనం యొక్క ప్రధాన అంశంగా ఉంది. మరియు నేడు గణిత పాఠాలలో, విద్య యొక్క మొదటి దశ నుండి ప్రారంభించి, వివిధ రకాల సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి చాలా శ్రద్ధ వహిస్తారు.

nవ డిగ్రీ యొక్క బీజగణిత సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనడానికి సార్వత్రిక సూత్రం లేదు. చాలా మందికి, ఏదైనా డిగ్రీని కనుగొనాలనే ఉత్సాహం ఉంది nసమీకరణం యొక్క మూలాలను దాని గుణకాల ద్వారా వ్యక్తీకరించే సూత్రాలు, అంటే రాడికల్‌లలో సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తాయి. ఏదేమైనా, చర్చలో ఉన్న సమస్యకు సంబంధించి “చీకటి మధ్య యుగం” వీలైనంత దిగులుగా మారింది - మొత్తం ఏడు శతాబ్దాలుగా ఎవరూ అవసరమైన సూత్రాలను కనుగొనలేదు! 16వ శతాబ్దంలో మాత్రమే ఇటాలియన్ గణిత శాస్త్రవేత్తలు మరింత ముందుకు సాగగలిగారు - సూత్రాలను కనుగొనడానికి n =3 మరియు n =4 . అదే సమయంలో, 3 వ డిగ్రీ యొక్క సమీకరణాల యొక్క సాధారణ పరిష్కారం యొక్క ప్రశ్నను స్కిపియో డాల్ ఫెర్రో, అతని విద్యార్థి ఫియోరి మరియు టార్టాగ్లియా అధ్యయనం చేశారు. 1545 లో, ఇటాలియన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు డి కార్డానో "గ్రేట్ ఆర్ట్, లేదా ఆన్ ది రూల్స్ ఆఫ్ ఆల్జీబ్రా" ప్రచురించబడింది, ఇక్కడ బీజగణితం యొక్క ఇతర ప్రశ్నలతో పాటు, క్యూబిక్ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి సాధారణ పద్ధతులు పరిగణించబడతాయి, అలాగే పరిష్కరించడానికి ఒక పద్ధతి కూడా పరిగణించబడుతుంది. 4వ డిగ్రీ యొక్క సమీకరణాలు, అతని విద్యార్థి L. ఫెరారీ కనుగొన్నారు. 3 నుండి 4 డిగ్రీల సమీకరణాల పరిష్కారానికి సంబంధించిన సమస్యల పూర్తి ప్రదర్శన F. Viet ద్వారా అందించబడింది. మరియు 19వ శతాబ్దపు 20వ దశకంలో, నార్వేజియన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు N. అబెల్ 5వ మరియు అంతకంటే ఎక్కువ డిగ్రీల సమీకరణాల మూలాలను రాడికల్స్ పరంగా వ్యక్తీకరించలేమని నిరూపించాడు.

సమీకరణానికి పరిష్కారాలను కనుగొనే ప్రక్రియ సాధారణంగా సమీకరణాన్ని సమానమైన దానితో భర్తీ చేస్తుంది. సమీకరణాన్ని సమానమైన దానితో భర్తీ చేయడం నాలుగు సిద్ధాంతాల ఉపయోగంపై ఆధారపడి ఉంటుంది:

1. సమాన విలువలను ఒకే సంఖ్యతో పెంచినట్లయితే, ఫలితాలు సమానంగా ఉంటాయి.

2. మీరు సమాన పరిమాణాల నుండి అదే సంఖ్యను తీసివేస్తే, ఫలితాలు సమానంగా ఉంటాయి.

3. సమాన విలువలను ఒకే సంఖ్యతో గుణిస్తే, ఫలితాలు సమానంగా ఉంటాయి.

4. సమాన పరిమాణాలను ఒకే సంఖ్యతో భాగిస్తే, ఫలితాలు సమానంగా ఉంటాయి.

P(x) = 0 సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపు nవ డిగ్రీ యొక్క బహుపది కాబట్టి, ఈ క్రింది స్టేట్‌మెంట్‌లను గుర్తుకు తెచ్చుకోవడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది:

బహుపది మూలాలు మరియు దాని విభజనల గురించిన ప్రకటనలు:

1. nవ డిగ్రీ యొక్క బహుపది అనేక మూలాలను n మించకుండా కలిగి ఉంటుంది మరియు m గుణకం యొక్క మూలాలు ఖచ్చితంగా m సార్లు సంభవిస్తాయి.

2. బేసి డిగ్రీ యొక్క బహుపది కనీసం ఒక వాస్తవ మూలాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

3. α అనేది P(x) యొక్క మూలం అయితే, P n (x) = (x - α) Q n - 1 (x), ఇక్కడ Q n - 1 (x) అనేది డిగ్రీ (n - 1) యొక్క బహుపది.

4. పూర్ణాంక గుణకాలు కలిగిన బహుపది యొక్క ప్రతి పూర్ణాంకం మూలం ఉచిత పదం యొక్క భాగహారం.

5. పూర్ణాంకాల గుణకాలతో తగ్గించబడిన బహుపది పాక్షిక హేతుబద్ధ మూలాలను కలిగి ఉండదు.

6. మూడవ డిగ్రీ బహుపది కోసం

P 3 (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d రెండు విషయాలలో ఒకటి సాధ్యమే: గాని అది మూడు ద్విపదల ఉత్పత్తిగా కుళ్ళిపోతుంది

P 3 (x) = a (x - α)(x - β)(x - γ), లేదా ద్విపద మరియు స్క్వేర్ ట్రినోమియల్ P 3 (x) = a(x - α)(x 2) యొక్క ఉత్పత్తిగా కుళ్ళిపోతుంది + βx + γ ).

7. నాల్గవ డిగ్రీ యొక్క ఏదైనా బహుపదిని రెండు చతురస్రాకార త్రికోణాల ఉత్పత్తికి విస్తరించవచ్చు.

8. బహుపది f (x) అనేది f(x) = g(x) q(x) అనే బహుపది q(x) ఉన్నట్లయితే శేషం లేకుండా బహుపది g(x)తో భాగించబడుతుంది. బహుపదిలను విభజించడానికి, "మూల విభజన" నియమం ఉపయోగించబడుతుంది.

9. బహుపది P(x) ద్విపద (x – c)తో భాగించబడాలంటే, c అనేది P(x) (Bezout సిద్ధాంతం యొక్క పరిణామం) యొక్క మూలంగా ఉండటం అవసరం మరియు సరిపోతుంది.

10. వియెటా సిద్ధాంతం: x 1, x 2, ..., x n బహుపది యొక్క నిజమైన మూలాలు అయితే

P(x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n, అప్పుడు క్రింది సమానతలు ఉంటాయి:

x 1 + x 2 + ... + x n = -a 1 /a 0,

x 1 x 2 + x 1 x 3 + ... + x n - 1 x n = a 2 /a 0,

x 1 x 2 x 3 + ... + x n - 2 x n - 1 x n = -a 3 /a 0,

x 1 x 2 x 3 x n = (-1) n a n /a 0 .

పరిష్కార ఉదాహరణలు

ఉదాహరణ 1 . విభజన P(x) = x 3 + 2/3 x 2 – 1/9 ద్వారా (x – 1/3) మిగిలిన భాగాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం. బెజౌట్ సిద్ధాంతం యొక్క పర్యవసానం ప్రకారం: "బహుపది యొక్క శేషం ద్విపద (x - c) ద్వారా విభజించబడింది, ఇది c యొక్క బహుపది విలువకు సమానం." P(1/3) = 0 కనుక్కోండి. కాబట్టి, శేషం 0 మరియు 1/3 సంఖ్య బహుపది యొక్క మూలం.

సమాధానం: R = 0.

ఉదాహరణ 2 . "మూలలో" 2x 3 + 3x 2 - 2x + 3 (x + 2)తో విభజించండి. మిగిలిన మరియు అసంపూర్ణ గుణకాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం:

2x 3 + 3x 2 – 2x + 3| x + 2

2x 3 + 4x 2 2x 2 – x

X 2 - 2x

X 2 - 2x

సమాధానం: R = 3; గుణకం: 2x 2 – x.

ఉన్నత స్థాయి సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ప్రాథమిక పద్ధతులు

1. కొత్త వేరియబుల్ పరిచయం

కొత్త వేరియబుల్‌ని పరిచయం చేసే పద్ధతి ఏమిటంటే, f(x) = 0 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి, కొత్త వేరియబుల్ (ప్రత్యామ్నాయం) t = x n లేదా t = g(x) ప్రవేశపెట్టబడింది మరియు f(x) t ద్వారా వ్యక్తీకరించబడుతుంది, a పొందడం కొత్త సమీకరణం r(t) . అప్పుడు r (t) సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తే, మూలాలు కనుగొనబడతాయి: (t 1, t 2, ..., t n). దీని తరువాత, n సమీకరణాల సమితి q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , … , q(x) = t n పొందబడుతుంది, దీని నుండి అసలు సమీకరణం యొక్క మూలాలు కనుగొనబడతాయి.

ఉదాహరణ;(x 2 + x + 1) 2 – 3x 2 – 3x – 1 = 0.

పరిష్కారం: (x 2 + x + 1) 2 – 3x 2 – 3x – 1 = 0.

(x 2 + x + 1) 2 – 3(x 2 + x + 1) + 3 – 1 = 0.

ప్రత్యామ్నాయం (x 2 + x + 1) = t.

t 2 – 3t + 2 = 0.

t 1 = 2, t 2 = 1. రివర్స్ ప్రత్యామ్నాయం:

x 2 + x + 1 = 2 లేదా x 2 + x + 1 = 1;

x 2 + x - 1 = 0 లేదా x 2 + x = 0;

మొదటి సమీకరణం నుండి: x 1, 2 = (-1 ± √5)/2, రెండవది: 0 మరియు -1.

పరిష్కారంలో కొత్త వేరియబుల్‌ని పరిచయం చేసే పద్ధతి ఉపయోగించబడుతుంది తిరిగి ఇవ్వదగినది సమీకరణాలు, అంటే, రూపం యొక్క సమీకరణాలు a 0 x n + a 1 x n – 1 + .. + a n – 1 x + a n =0, ఇందులో సమీకరణం యొక్క నిబంధనల గుణకాలు ప్రారంభం మరియు ముగింపు నుండి సమానంగా ఉంటాయి, సమానంగా ఉంటాయి.

2. సమూహం మరియు సంక్షిప్త గుణకార సూత్రాల ద్వారా కారకం

ఈ పద్ధతి యొక్క ఆధారం నిబంధనలను సమూహపరచడం, తద్వారా ప్రతి సమూహం ఒక సాధారణ కారకాన్ని కలిగి ఉంటుంది. ఇది చేయుటకు, కొన్నిసార్లు కొన్ని కృత్రిమ పద్ధతులను ఉపయోగించడం అవసరం.

ఉదాహరణ: x 4 – 3x 2 + 4x – 3 = 0.

పరిష్కారం. ఇమాజిన్ - 3x 2 = -2x 2 – x 2 మరియు సమూహం:

(x 4 - 2x 2) – (x 2 - 4x + 3) = 0.

(x 4 – 2x 2 +1 – 1) – (x 2 – 4x + 3 + 1 – 1) = 0.

(x 2 – 1) 2 – 1 – (x – 2) 2 + 1 = 0.

(x 2 – 1) 2 – (x – 2) 2 = 0.

(x 2 – 1 – x + 2)(x 2 – 1 + x – 2) = 0.

(x 2 – x + 1)(x 2 + x – 3) = 0.

x 2 – x + 1 = 0 లేదా x 2 + x – 3 = 0.

మొదటి సమీకరణంలో రెండవ నుండి మూలాలు లేవు: x 1, 2 = (-1 ± √13)/2.

3. నిర్ణయించబడని గుణకాల పద్ధతి ద్వారా కారకం

పద్ధతి యొక్క సారాంశం ఏమిటంటే, అసలు బహుపది తెలియని గుణకాలతో కారకం చేయబడింది. వాటి గుణకాలు ఒకే శక్తుల వద్ద సమానంగా ఉంటే బహుపదిలు సమానం అనే ఆస్తిని ఉపయోగించి, తెలియని విస్తరణ గుణకాలు కనుగొనబడతాయి.

ఉదాహరణ: x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0.

పరిష్కారం. డిగ్రీ 3 యొక్క బహుపదిని లీనియర్ మరియు క్వాడ్రాటిక్ కారకాల ఉత్పత్తికి విస్తరించవచ్చు.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x - a)(x 2 + bx + c),

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 +bx 2 + cx - గొడ్డలి 2 - abx - ac,

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + (b – a)x 2 + (c – ab) x – ac.

వ్యవస్థను పరిష్కరించిన తరువాత:

మాకు దొరికింది

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x + 1)(x 2 + 3x + 2).

సమీకరణం యొక్క మూలాలు (x + 1)(x 2 + 3x + 2) = 0 కనుగొనడం సులభం.

సమాధానం: -1; -2.

4. అత్యధిక మరియు ఉచిత గుణకం ఉపయోగించి రూట్‌ను ఎంచుకునే విధానం

ఈ పద్ధతి సిద్ధాంతాల అనువర్తనంపై ఆధారపడి ఉంటుంది:

1) పూర్ణాంక గుణకాలు కలిగిన బహుపది యొక్క ప్రతి పూర్ణాంకం మూలం ఉచిత పదం యొక్క భాగహారం.

2) తగ్గించలేని భిన్నం p/q (p - పూర్ణాంకం, q - సహజం) పూర్ణాంకాల గుణకాలతో సమీకరణం యొక్క మూలంగా ఉండాలంటే, p సంఖ్య ఉచిత పదం a 0 యొక్క పూర్ణాంక భాగహారంగా ఉండటం అవసరం, మరియు q - ప్రముఖ గుణకం యొక్క సహజ విభజన.

ఉదాహరణ: 6x 3 + 7x 2 - 9x + 2 = 0.

పరిష్కారం:

2: p = ± 1, ± 2

6: q = 1, 2, 3, 6.

కాబట్టి, p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.

ఒక మూలాన్ని కనుగొన్న తర్వాత, ఉదాహరణకు - 2, మేము మూలల విభజన, నిరవధిక గుణకాల పద్ధతి లేదా హార్నర్స్ స్కీమ్‌ని ఉపయోగించి ఇతర మూలాలను కనుగొంటాము.

సమాధానం: -2; 1/2; 1/3.

5. గ్రాఫిక్ పద్ధతి.

ఈ పద్ధతి గ్రాఫ్‌లను నిర్మించడం మరియు ఫంక్షన్ల లక్షణాలను ఉపయోగించడం.

ఉదాహరణ: x 5 + x – 2 = 0

x 5 = - x + 2 రూపంలో సమీకరణాన్ని ఊహించుకుందాం. ఫంక్షన్ y = x 5 పెరుగుతోంది మరియు ఫంక్షన్ y = - x + 2 తగ్గుతోంది. అంటే x 5 + x – 2 = 0 అనే సమీకరణానికి ఒకే మూలం -1 ఉంటుంది.

6.ఒక సమీకరణాన్ని ఫంక్షన్ ద్వారా గుణించడం.

మీరు ఒక నిర్దిష్ట ఫంక్షన్ ద్వారా రెండు వైపులా గుణిస్తే కొన్నిసార్లు బీజగణిత సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం చాలా సులభం - తెలియని వాటిలో బహుపది. అదే సమయంలో, అదనపు మూలాలు కనిపించే అవకాశం ఉందని మనం గుర్తుంచుకోవాలి - సమీకరణం గుణించబడిన బహుపది యొక్క మూలాలు. కాబట్టి, మీరు మూలాలు లేని బహుపదితో గుణించాలి మరియు సమానమైన సమీకరణాన్ని పొందాలి లేదా మూలాలను కలిగి ఉన్న బహుపదితో గుణించాలి, ఆపై ఈ మూలాలను ప్రతి ఒక్కటి తప్పనిసరిగా అసలు సమీకరణంలోకి మార్చాలి మరియు ఈ సంఖ్య దాని మూలమా కాదా అని నిర్ణయించాలి.

ఉదాహరణ. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి:

X 8 – X 6 + X 4 – X 2 + 1 = 0. (1)

పరిష్కారం: మూలాలు లేని బహుపది X 2 + 1 ద్వారా సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా గుణిస్తే, మేము సమీకరణాన్ని పొందుతాము:

(X 2 +1) (X 8 – X 6 + X 4 – X 2 + 1) = 0 (2)
సమీకరణానికి సమానం (1). సమీకరణం (2) ఇలా వ్రాయవచ్చు:

X 10 + 1= 0 (3)
సమీకరణం (3)కి నిజమైన మూలాలు లేవని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది, కాబట్టి సమీకరణం (1) వాటిని కలిగి ఉండదు.

సమాధానం: పరిష్కారాలు లేవు.

అధిక డిగ్రీల సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి పై పద్ధతులతో పాటు, ఇతరులు కూడా ఉన్నారు. ఉదాహరణకు, పూర్తి చతురస్రాన్ని హైలైట్ చేయడం, హార్నర్ పథకం, భిన్నాన్ని రెండు భిన్నాలుగా సూచిస్తుంది. అధిక డిగ్రీల సమీకరణాలను పరిష్కరించే సాధారణ పద్ధతులలో, ఇవి చాలా తరచుగా ఉపయోగించబడతాయి: సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపు కారకం చేసే పద్ధతి;

వేరియబుల్ రీప్లేస్‌మెంట్ పద్ధతి (కొత్త వేరియబుల్‌ని పరిచయం చేసే పద్ధతి); గ్రాఫిక్ పద్ధతి. "పూర్తి సమీకరణం మరియు దాని మూలాలు" అనే అంశాన్ని అధ్యయనం చేస్తున్నప్పుడు మేము 9వ తరగతి విద్యార్థులకు ఈ పద్ధతులను పరిచయం చేస్తాము. ఇటీవలి సంవత్సరాల ప్రచురణ యొక్క పాఠ్యపుస్తకం ఆల్జీబ్రా 9 (రచయితలు Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., మొదలైనవి) లో, ఉన్నత డిగ్రీల సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ప్రధాన పద్ధతులు తగినంత వివరంగా చర్చించబడ్డాయి. అదనంగా, "మరింత తెలుసుకోవాలనుకునే వారి కోసం" విభాగంలో, నా అభిప్రాయం ప్రకారం, అధిక డిగ్రీల సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు బహుపది యొక్క మూలం మరియు మొత్తం సమీకరణం యొక్క మొత్తం మూలాలపై సిద్ధాంతాలను ఉపయోగించడం గురించి సమాచారం అందుబాటులో ఉంటుంది. పద్ధతి. బాగా సిద్ధమైన విద్యార్థులు ఈ విషయాన్ని ఆసక్తితో అధ్యయనం చేసి, పరిష్కరించబడిన సమీకరణాలను వారి సహవిద్యార్థులకు అందజేస్తారు.

మన చుట్టూ ఉన్న దాదాపు ప్రతిదీ గణితంతో ఒక డిగ్రీ లేదా మరొకదానికి అనుసంధానించబడి ఉంటుంది. మరియు ఫిజిక్స్, టెక్నాలజీ మరియు ఇన్ఫర్మేషన్ టెక్నాలజీలో సాధించిన విజయాలు దీనిని మాత్రమే నిర్ధారిస్తాయి. మరియు చాలా ముఖ్యమైనది ఏమిటంటే, అనేక ఆచరణాత్మక సమస్యలను పరిష్కరించడం అనేది మీరు పరిష్కరించడానికి నేర్చుకోవలసిన వివిధ రకాల సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి వస్తుంది.

బీజగణిత సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు, మీరు తరచుగా బహుపదిని కారకం చేయాలి. బహుపదిని కారకం చేయడం అంటే దానిని రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ బహుపదిల ఉత్పత్తిగా సూచించడం. మేము చాలా తరచుగా బహుపదాలను కుళ్ళిపోయే కొన్ని పద్ధతులను ఉపయోగిస్తాము: ఒక సాధారణ కారకాన్ని తీసుకోవడం, సంక్షిప్త గుణకార సూత్రాలను ఉపయోగించడం, పూర్తి చతురస్రాన్ని వేరుచేయడం, సమూహం చేయడం. మరికొన్ని పద్ధతులను చూద్దాం.

బహుపదిని కారకం చేసేటప్పుడు కొన్నిసార్లు క్రింది ప్రకటనలు ఉపయోగపడతాయి:

1) పూర్ణాంకాల గుణకాలతో కూడిన బహుపది హేతుబద్ధమైన మూలాన్ని కలిగి ఉంటే (ఎక్కడ తగ్గించలేని భిన్నం, అప్పుడు ఉచిత పదం యొక్క విభజన మరియు ప్రముఖ గుణకం యొక్క విభజన:

2) మీరు డిగ్రీ యొక్క బహుపది యొక్క మూలాన్ని ఏదో ఒకవిధంగా ఎంచుకుంటే, ఆ బహుపదిని డిగ్రీ యొక్క బహుపది ఉన్న రూపంలో సూచించవచ్చు.

బహుపదిని "కాలమ్"లో ద్విపదగా విభజించడం ద్వారా లేదా బహుపది యొక్క నిబంధనలను సముచితంగా సమూహపరచడం ద్వారా మరియు వాటి నుండి గుణకాన్ని వేరు చేయడం ద్వారా లేదా నిరవధిక గుణకాల పద్ధతి ద్వారా బహుపదిని కనుగొనవచ్చు.

ఉదాహరణ. కారకం బహుపది

పరిష్కారం. x4 యొక్క గుణకం 1కి సమానం కాబట్టి, ఈ బహుపది యొక్క హేతుబద్ధ మూలాలు ఉనికిలో ఉంటాయి మరియు సంఖ్య 6 యొక్క విభజనలు, అనగా అవి పూర్ణాంకాలు ±1, ±2, ±3, ±6 కావచ్చు. ఈ బహుపదిని P4(x)తో సూచిస్తాం. P P4 (1) = 4 మరియు P4(-4) = 23 కాబట్టి, 1 మరియు -1 సంఖ్యలు బహుపది PA(x) యొక్క మూలాలు కావు. P4(2) = 0, అప్పుడు x = 2 బహుపది P4(x) యొక్క మూలం కాబట్టి, ఈ బహుపది ద్విపద x - 2 ద్వారా భాగించబడుతుంది. కాబట్టి x4 -5x3 +7x2 -5x +6 x- 2 x4 -2x3 x3 -3x2 +x-3

3x3 +7x2 -5x +6

3x3 +6x2 x2 - 5x + 6 x2- 2x

కాబట్టి, P4(x) = (x - 2)(x3 - 3x2 + x - 3). xz - 3x2 + x - 3 = x2 (x - 3) + (x - 3) = (x - 3)(x2 + 1), ఆపై x4 - 5x3 + 7x2 - 5x + 6 = (x - 2) ( x - 3)(x2 + 1).

పారామీటర్ ఇన్‌పుట్ పద్ధతి

కొన్నిసార్లు బహుపదిని కారకం చేస్తున్నప్పుడు, పరామితిని పరిచయం చేసే పద్ధతి సహాయపడుతుంది. మేము ఈ క్రింది ఉదాహరణను ఉపయోగించి ఈ పద్ధతి యొక్క సారాంశాన్ని వివరిస్తాము.

ఉదాహరణ. x3 –(√3 + 1) x2 + 3.

పరిష్కారం. పరామితి a: x3 - (a + 1)x2 + a2తో బహుపదిని పరిగణించండి, ఇది a = √3 వద్ద ఇచ్చిన బహుపదిగా మారుతుంది. a: a - ax2 + (x3 - x2) కోసం ఈ బహుపదిని స్క్వేర్ ట్రినోమియల్‌గా వ్రాద్దాం.

aకి సంబంధించి ఈ ట్రినోమియల్ స్క్వేర్డ్ మూలాలు a1 = x మరియు a2 = x2 - x కాబట్టి, అప్పుడు సమానత్వం a2 - ax2 + (xs - x2) = (a - x)(a - x2 + x) నిజం. పర్యవసానంగా, బహుపది x3 - (√3 + 1)x2 + 3 కారకాలు √3 – x మరియు √3 - x2 + x, అనగా.

x3 – (√3+1)x2+3=(x-√3)(x2-x-√3).

కొత్త తెలియని వాటిని పరిచయం చేసే పద్ధతి

కొన్ని సందర్భాల్లో, బహుపది Pn(x)లో చేర్చబడిన f(x) వ్యక్తీకరణను భర్తీ చేయడం ద్వారా, y ద్వారా yకి సంబంధించి బహుపదిని పొందవచ్చు, దానిని సులభంగా కారకం చేయవచ్చు. అప్పుడు, yని f(x)తో భర్తీ చేసిన తర్వాత, మేము Pn(x) బహుపది యొక్క కారకాన్ని పొందుతాము.

ఉదాహరణ. బహుపది x(x+1)(x+2)(x+3)-15ని కారకం చేయండి.

పరిష్కారం. ఈ బహుపదిని ఈ క్రింది విధంగా మారుద్దాం: x(x+1)(x+2)(x+3)-15= [x (x + 3)][(x + 1)(x + 2)] - 15 =( x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) - 15.

x2 + 3xని y ద్వారా సూచిస్తాం. అప్పుడు మనకు y(y + 2) - 15 = y2 + 2y - 15 = y2 + 2y + 1 - 16 = (y + 1)2 - 16 = (y + 1 + 4)(y + 1 - 4)= (y+ 5)(y - 3).

కాబట్టి x(x + 1)(x+ 2)(x + 3) - 15 = (x2+ 3x + 5)(x2 + 3x - 3).

ఉదాహరణ. బహుపది (x-4)4+(x+2)4 కారకం

పరిష్కారం. x- 4+x+2 = x - 1ని y ద్వారా సూచిస్తాం.

(x - 4)4 + (x + 2)2= (y - 3)4 + (y + 3)4 = y4 - 12y3 +54y3 - 108y + 81 + y4 + 12y3 + 54y2 + 108y + 81 =

2y4 + 108y2 + 162 = 2(y4 + 54y2 + 81) = 2[(yg + 27)2 - 648] = 2 (y2 + 27 - √b48)(y2 + 27+√b48)=

2((x-1)2+27-√b48)((x-1)2+27+√b48)=2(x2-2x + 28- 18√ 2)(x2- 2x + 28 + 18√ 2 )

వివిధ పద్ధతులను కలపడం

తరచుగా, బహుపదిని కారకం చేసేటప్పుడు, పైన చర్చించిన అనేక పద్ధతులను వరుసగా వర్తింపజేయడం అవసరం.

ఉదాహరణ. బహుపది x4 - 3x2 + 4x-3 కారకం.

పరిష్కారం. సమూహాన్ని ఉపయోగించి, మేము బహుపదిని x4 - 3x2 + 4x - 3 = (x4 – 2x2) – (x2 -4x + 3) రూపంలో తిరిగి వ్రాస్తాము.

మొదటి బ్రాకెట్‌కు పూర్తి చతురస్రాన్ని వేరుచేసే పద్ధతిని వర్తింపజేస్తే, మనకు x4 - 3x3 + 4x - 3 = (x4 - 2 · 1 · x2 + 12) - (x2 -4x + 4) ఉంటుంది.

ఖచ్చితమైన చతురస్ర సూత్రాన్ని ఉపయోగించి, మనం ఇప్పుడు x4 – 3x2 + 4x - 3 = (x2 -1)2 - (x - 2)2 అని వ్రాయవచ్చు.

చివరగా, స్క్వేర్స్ ఫార్ములా యొక్క వ్యత్యాసాన్ని వర్తింపజేస్తే, మనకు x4 - 3x2 + 4x - 3 = (x2 - 1 + x - 2)(x2 - 1 - x + 2) = (x2+x-3)(x2 -x + 1 ).

§ 2. సిమెట్రిక్ సమీకరణాలు

1. మూడవ డిగ్రీ యొక్క సుష్ట సమీకరణాలు

ax3 + bx2 + bx + a = 0, a ≠ 0 (1) రూపం యొక్క సమీకరణాలను మూడవ డిగ్రీ యొక్క సుష్ట సమీకరణాలు అంటారు. ax3 + bx2 + bx + a = a(x3 + 1) + bx (x + 1) = (x+1)(ax2+(b-a)x+a), అప్పుడు సమీకరణం (1) సమీకరణాల సమితికి సమానం x + 1 = 0 మరియు ax2 + (b-a)x + a = 0, ఇది పరిష్కరించడం కష్టం కాదు.

ఉదాహరణ 1: సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

3x3 + 4x2 + 4x + 3 = 0. (2)

పరిష్కారం. సమీకరణం (2) అనేది మూడవ డిగ్రీ యొక్క సుష్ట సమీకరణం.

3x3 + 4xr + 4x + 3 = 3(x3 + 1) + 4x(x + 1) = (x+ 1)(3x2 - 3x + 3 + 4x) = (x + 1)(3x2 + x + 3) , అప్పుడు సమీకరణం (2) x + 1 = 0 మరియు 3x3 + x +3=0 సమీకరణాల సమితికి సమానం.

ఈ సమీకరణాలలో మొదటిదానికి పరిష్కారం x = -1, రెండవ సమీకరణానికి పరిష్కారాలు లేవు.

సమాధానం: x = -1.

2. నాల్గవ డిగ్రీ యొక్క సుష్ట సమీకరణాలు

రూపం యొక్క సమీకరణం

(3) నాల్గవ డిగ్రీ యొక్క సుష్ట సమీకరణం అంటారు.

x = 0 అనేది సమీకరణం (3) యొక్క మూలం కానందున, సమీకరణం (3) యొక్క రెండు వైపులా x2 ద్వారా విభజించడం ద్వారా, మనం అసలు (3)కి సమానమైన సమీకరణాన్ని పొందుతాము:

సమీకరణం (4)ని ఇలా తిరిగి వ్రాద్దాం:

ఈ సమీకరణంలో ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం, అప్పుడు మనకు చతుర్భుజ సమీకరణం వస్తుంది

సమీకరణం (5)కు 2 మూలాలు y1 మరియు y2 ఉంటే, అసలు సమీకరణం సమీకరణాల సమితికి సమానం

సమీకరణం (5)కి ఒక మూలం y0 ఉంటే, అసలు సమీకరణం సమీకరణానికి సమానం

చివరగా, సమీకరణం (5)కి మూలాలు లేనట్లయితే, అసలు సమీకరణానికి కూడా మూలాలు లేవు.

ఉదాహరణ 2: సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

పరిష్కారం. ఈ సమీకరణం నాల్గవ డిగ్రీ యొక్క సుష్ట సమీకరణం. x = 0 దాని మూలం కానందున, సమీకరణం (6)ని x2తో విభజించడం ద్వారా, మనం సమానమైన సమీకరణాన్ని పొందుతాము:

నిబంధనలను సమూహపరచిన తరువాత, మేము సమీకరణాన్ని (7) రూపంలో లేదా రూపంలో తిరిగి వ్రాస్తాము

దీన్ని ఉంచడం ద్వారా, మనకు y1 = 2 మరియు y2 = 3 అనే రెండు మూలాలు ఉన్న సమీకరణం వస్తుంది. తత్ఫలితంగా, అసలు సమీకరణం సమీకరణాల సమితికి సమానం

ఈ సెట్ యొక్క మొదటి సమీకరణానికి పరిష్కారం x1 = 1, మరియు రెండవదానికి పరిష్కారం u.

కాబట్టి, అసలు సమీకరణానికి మూడు మూలాలు ఉన్నాయి: x1, x2 మరియు x3.

సమాధానం: x1=1.

§3. బీజగణిత సమీకరణాలు

1. సమీకరణం యొక్క డిగ్రీని తగ్గించడం

కొన్ని బీజగణిత సమీకరణాలు, వాటిలోని నిర్దిష్ట బహుపదిని ఒక అక్షరంతో భర్తీ చేయడం ద్వారా, బీజగణిత సమీకరణాలకు తగ్గించవచ్చు, దీని డిగ్రీ అసలు సమీకరణం యొక్క డిగ్రీ కంటే తక్కువగా ఉంటుంది మరియు దీని పరిష్కారం సరళమైనది.

ఉదాహరణ 1: సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

పరిష్కారం. ద్వారా సూచిస్తాము, అప్పుడు సమీకరణం (1) చివరి సమీకరణానికి మూలాలు ఉన్నట్లుగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు మరియు కాబట్టి, సమీకరణం (1) సమీకరణాల సమితికి సమానం మరియు. ఈ సెట్ యొక్క మొదటి సమీకరణానికి పరిష్కారం మరియు రెండవ సమీకరణానికి పరిష్కారం

సమీకరణం (1)కి పరిష్కారాలు

ఉదాహరణ 2: సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

పరిష్కారం. సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 12 ద్వారా గుణించడం మరియు దీని ద్వారా సూచిస్తుంది,

మేము సమీకరణాన్ని పొందుతాము. మేము ఈ సమీకరణాన్ని రూపంలో తిరిగి వ్రాస్తాము

(3) మరియు మేము సమీకరణాన్ని (3) రూపంలో తిరిగి వ్రాస్తాము, చివరి సమీకరణానికి మూలాలు ఉన్నాయి మరియు అందువల్ల, సమీకరణం (3) రెండు సమీకరణాల సమితికి సమానం అని మేము పొందుతాము మరియు ఈ సమీకరణాల సమితికి పరిష్కారాలు ఉన్నాయి మరియు సమీకరణం ఉన్నాయి. (2) సమీకరణాల సమితికి సమానం మరియు (4)

సమితి (4)కి పరిష్కారాలు మరియు, మరియు అవి సమీకరణం (2)కి పరిష్కారాలు.

2. రూపం యొక్క సమీకరణాలు

సమీకరణం

(5) ఇవ్వబడిన సంఖ్యలు ఎక్కడ ఉన్నాయి, తెలియని వాటిని భర్తీ చేయడం ద్వారా ద్విచక్ర సమీకరణానికి తగ్గించవచ్చు, అనగా భర్తీ చేయడం

ఉదాహరణ 3: సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

పరిష్కారం. t ద్వారా సూచిస్తాము. e. మేము వేరియబుల్స్‌లో మార్పు చేస్తాము లేదా అప్పుడు సమీకరణం (6) రూపంలో తిరిగి వ్రాయవచ్చు లేదా ఫార్ములా ఉపయోగించి, రూపంలో

వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలు మరియు, సమీకరణానికి (7) పరిష్కారాలు సమీకరణాల సమితికి పరిష్కారాలు మరియు. ఈ సమీకరణాల సమితికి రెండు పరిష్కారాలు ఉన్నాయి మరియు అందువల్ల, సమీకరణానికి (6) పరిష్కారాలు మరియు

3. రూపం యొక్క సమీకరణాలు

సమీకరణం

(8) ఇక్కడ α, β, γ, δ మరియు Α సంఖ్యలు α

ఉదాహరణ 4: సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

పరిష్కారం. తెలియని వాటి మార్పు చేద్దాం, అంటే y=x+3 లేదా x = y – 3. అప్పుడు సమీకరణం (9)ని ఇలా తిరిగి వ్రాయవచ్చు

(y-2)(y-1)(y+1)(y+2)=10, అంటే రూపంలో

(y2- 4)(y2-1)=10(10)

ద్విచక్ర సమీకరణం (10) రెండు మూలాలను కలిగి ఉంటుంది. కాబట్టి, సమీకరణం (9) కూడా రెండు మూలాలను కలిగి ఉంటుంది:

4. రూపం యొక్క సమీకరణాలు

సమీకరణం, (11)

ఇక్కడ, x = 0కి మూలం లేదు, కాబట్టి, సమీకరణాన్ని (11) x2తో భాగిస్తే, మనం సమానమైన సమీకరణాన్ని పొందుతాము

తెలియని వాటిని భర్తీ చేసిన తర్వాత, చతురస్రాకార సమీకరణం రూపంలో తిరిగి వ్రాయబడుతుంది, దీని పరిష్కారం కష్టం కాదు.

ఉదాహరణ 5: సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

పరిష్కారం. h = 0 సమీకరణం (12) యొక్క మూలం కానందున, దానిని x2తో భాగిస్తే, మనం సమానమైన సమీకరణాన్ని పొందుతాము

పునఃస్థాపన తెలియకుండా చేస్తే, మేము సమీకరణాన్ని (y+1)(y+2)=2 పొందుతాము, దీనికి రెండు మూలాలు ఉన్నాయి: y1 = 0 మరియు y1 = -3. తత్ఫలితంగా, అసలు సమీకరణం (12) సమీకరణాల సమితికి సమానం

ఈ సెట్‌కు రెండు మూలాలు ఉన్నాయి: x1= -1 మరియు x2 = -2.

సమాధానం: x1= -1, x2 = -2.

వ్యాఖ్య. రూపం యొక్క సమీకరణం

ఇది ఎల్లప్పుడూ ఫారమ్ (11)కి తగ్గించబడుతుంది మరియు అంతేకాకుండా, ఫారమ్‌కు α > 0 మరియు λ > 0ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటుంది.

5. రూపం యొక్క సమీకరణాలు

సమీకరణం

,(13) ఇక్కడ సంఖ్యలు, α, β, γ, δ మరియు Α అంటే αβ = γδ ≠ 0, మొదటి బ్రాకెట్‌ను రెండవ దానితో మరియు మూడవది నాల్గవ దానితో గుణించడం ద్వారా తిరిగి వ్రాయవచ్చు, అనగా. సమీకరణం (13) ఇప్పుడు రూపంలో (11) వ్రాయబడింది మరియు దాని పరిష్కారాన్ని సమీకరణం (11) పరిష్కరించే విధంగానే నిర్వహించవచ్చు.

ఉదాహరణ 6: సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

పరిష్కారం. సమీకరణం (14) రూపాన్ని (13) కలిగి ఉంది, కాబట్టి మేము దానిని రూపంలో తిరిగి వ్రాస్తాము

ఈ సమీకరణానికి x = 0 పరిష్కారం కానందున, రెండు వైపులా x2 ద్వారా విభజించడం ద్వారా మనం సమానమైన అసలైన సమీకరణాన్ని పొందుతాము. వేరియబుల్స్‌ను మార్చడం ద్వారా, మేము ఒక క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణాన్ని పొందుతాము, దీని పరిష్కారం మరియు. తత్ఫలితంగా, అసలు సమీకరణం (14) సమీకరణాల సమితికి సమానం మరియు.

ఈ సెట్ యొక్క మొదటి సమీకరణానికి పరిష్కారం

ఈ పరిష్కారాల సమితి యొక్క రెండవ సమీకరణానికి పరిష్కారాలు లేవు. కాబట్టి, అసలు సమీకరణం x1 మరియు x2 మూలాలను కలిగి ఉంటుంది.

6. రూపం యొక్క సమీకరణాలు

సమీకరణం

(15) ఇక్కడ a, b, c, q, A అనే ​​సంఖ్యలు x = 0కి మూలం లేదు కాబట్టి, సమీకరణం (15)ని x2తో భాగించడం. మేము సమానమైన సమీకరణాన్ని పొందుతాము, ఇది తెలియని దాన్ని భర్తీ చేసిన తర్వాత, చతురస్రాకార సమీకరణం రూపంలో తిరిగి వ్రాయబడుతుంది, దీని పరిష్కారం కష్టం కాదు.

ఉదాహరణ 7. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం

పరిష్కారం. x = 0 అనేది సమీకరణం (16) యొక్క మూలం కానందున, రెండు వైపులా x2తో భాగిస్తే, మనం సమీకరణాన్ని పొందుతాము

, (17) సమీకరణం (16)కి సమానం. తెలియని దానితో భర్తీ చేసిన తర్వాత, మేము సమీకరణం (17) రూపంలో తిరిగి వ్రాస్తాము

చతుర్భుజ సమీకరణం (18) 2 మూలాలను కలిగి ఉంది: y1 = 1 మరియు y2 = -1. కాబట్టి, సమీకరణం (17) సమీకరణాల సమితికి సమానం మరియు (19)

సమీకరణాల సమితి (19) 4 మూలాలను కలిగి ఉంది: ,.

అవి సమీకరణం యొక్క మూలాలు (16).

§4. హేతుబద్ధ సమీకరణాలు

ఫారమ్ = 0 యొక్క సమీకరణాలు, ఇక్కడ H(x) మరియు Q(x) బహుపదిలు, హేతుబద్ధం అంటారు.

H(x) = 0 సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొన్న తర్వాత, మీరు వాటిలో ఏది Q(x) = 0 సమీకరణం యొక్క మూలాలు కాదో తనిఖీ చేయాలి. ఈ మూలాలు మరియు అవి మాత్రమే సమీకరణానికి పరిష్కారాలుగా ఉంటాయి.

ఫారమ్ = 0 యొక్క సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి కొన్ని పద్ధతులను పరిశీలిద్దాం.

1. రూపం యొక్క సమీకరణాలు

సమీకరణం

(1) కొన్ని షరతులలో సంఖ్యలను ఈ క్రింది విధంగా పరిష్కరించవచ్చు. సమీకరణం (1) నిబంధనలను రెండు ద్వారా సమూహపరచడం ద్వారా మరియు ప్రతి జతని సంగ్రహించడం ద్వారా, మొదటి లేదా సున్నా డిగ్రీ యొక్క న్యూమరేటర్ బహుపదిలో పొందడం అవసరం, ఇది సంఖ్యా కారకాలలో మాత్రమే భిన్నంగా ఉంటుంది మరియు హారంలో - అదే రెండు పదాలను కలిగి ఉన్న త్రినామికలు x, అప్పుడు వేరియబుల్స్‌ను భర్తీ చేసిన తర్వాత, ఫలిత సమీకరణం కూడా ఫారమ్ (1)ని కలిగి ఉంటుంది, కానీ తక్కువ సంఖ్యలో పదాలతో ఉంటుంది లేదా రెండు సమీకరణాల సమితికి సమానంగా ఉంటుంది, వాటిలో ఒకటి మొదటి డిగ్రీకి చెందినది, మరియు రెండవది రకం (1) యొక్క సమీకరణం, కానీ తక్కువ సంఖ్యలో పదాలతో ఉంటుంది.

ఉదాహరణ. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

పరిష్కారం. సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున (2) మొదటి పదాన్ని చివరి పదంతో మరియు రెండవది చివరి పదంతో సమూహపరచిన తర్వాత, మేము సమీకరణం (2) రూపంలో తిరిగి వ్రాస్తాము

ప్రతి బ్రాకెట్‌లోని నిబంధనలను సంగ్రహించి, మేము సమీకరణం (3) రూపంలో తిరిగి వ్రాస్తాము

సమీకరణం (4) కు పరిష్కారం లేనందున, ఈ సమీకరణాన్ని విభజించడం ద్వారా, మేము సమీకరణాన్ని పొందుతాము

, (5) సమీకరణం (4)కి సమానం. తెలియని వాటికి ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం, అప్పుడు సమీకరణం (5) రూపంలో తిరిగి వ్రాయబడుతుంది

అందువలన, ఎడమ వైపున ఐదు పదాలతో సమీకరణం (2)కి పరిష్కారం అదే రూపంలోని సమీకరణం (6)కి పరిష్కారంగా తగ్గించబడుతుంది, కానీ ఎడమ వైపున మూడు పదాలతో ఉంటుంది. సమీకరణం (6) యొక్క ఎడమ వైపున ఉన్న అన్ని నిబంధనలను సంగ్రహించి, మేము దానిని రూపంలో తిరిగి వ్రాస్తాము

సమీకరణానికి పరిష్కారాలు ఉన్నాయి. ఈ సంఖ్యలు ఏవీ సమీకరణం (7) యొక్క ఎడమ వైపున ఉన్న హేతుబద్ధ విధి యొక్క హారం అదృశ్యం చేయవు. పర్యవసానంగా, సమీకరణం (7) ఈ రెండు మూలాలను కలిగి ఉంటుంది, కాబట్టి అసలు సమీకరణం (2) సమీకరణాల సమితికి సమానం

ఈ సెట్ యొక్క మొదటి సమీకరణానికి పరిష్కారాలు

ఈ సెట్ నుండి రెండవ సమీకరణానికి పరిష్కారాలు

కాబట్టి, అసలు సమీకరణానికి మూలాలు ఉన్నాయి

2. రూపం యొక్క సమీకరణాలు

సమీకరణం

(8) కొన్ని షరతులలో సంఖ్యలపై ఈ క్రింది విధంగా పరిష్కరించవచ్చు: సమీకరణంలోని ప్రతి భిన్నాలలో పూర్ణాంక భాగాన్ని ఎంచుకోవడం అవసరం, అనగా సమీకరణం (8)ని సమీకరణంతో భర్తీ చేయండి

దాన్ని ఫారమ్ (1)కి తగ్గించి, ఆపై మునుపటి పేరాలో వివరించిన పద్ధతిలో దాన్ని పరిష్కరించండి.

ఉదాహరణ. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

పరిష్కారం. సమీకరణం (9) రూపంలో లేదా రూపంలో వ్రాస్దాం

బ్రాకెట్లలోని నిబంధనలను సంగ్రహించి, మేము సమీకరణం (10) రూపంలో తిరిగి వ్రాస్తాము

తెలియని వాటిని భర్తీ చేయడం ద్వారా, మేము సమీకరణం (11) రూపంలో తిరిగి వ్రాస్తాము

సమీకరణం (12) యొక్క ఎడమ వైపున ఉన్న నిబంధనలను సంగ్రహించి, మేము దానిని రూపంలో తిరిగి వ్రాస్తాము

సమీకరణం (13) రెండు మూలాలను కలిగి ఉందని చూడటం సులభం: మరియు. కాబట్టి, అసలు సమీకరణం (9) నాలుగు మూలాలను కలిగి ఉంటుంది:

3) రూపం యొక్క సమీకరణాలు.

సంఖ్యల కోసం కొన్ని షరతులలో రూపం (14) యొక్క సమీకరణం క్రింది విధంగా పరిష్కరించబడుతుంది: సమీకరణం (14) యొక్క ఎడమ వైపున ఉన్న ప్రతి భిన్నాలను మొత్తంగా విస్తరించడం ద్వారా (ఇది సాధ్యమైతే) సాధారణ భిన్నాలు

సమీకరణాన్ని (14) (1) రూపానికి తగ్గించండి, ఆపై, ఫలిత సమీకరణం యొక్క నిబంధనల యొక్క అనుకూలమైన పునర్వ్యవస్థీకరణను నిర్వహించి, పేరా 1లో వివరించిన పద్ధతిని ఉపయోగించి దాన్ని పరిష్కరించండి.

ఉదాహరణ. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

పరిష్కారం. నుండి మరియు, ఆపై సమీకరణం (15)లోని ప్రతి భిన్నం యొక్క సంఖ్యను 2 ద్వారా గుణించడం ద్వారా మరియు సమీకరణం (15)ని ఇలా వ్రాయవచ్చు

సమీకరణం (16) రూపాన్ని కలిగి ఉంది (7). ఈ సమీకరణంలోని నిబంధనలను పునర్వ్యవస్థీకరించిన తరువాత, మేము దానిని రూపంలో లేదా రూపంలో తిరిగి వ్రాస్తాము

సమీకరణం (17) సమీకరణాల సమితికి సమానం మరియు

సెట్ (18) యొక్క రెండవ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి, మేము తెలియని వాటికి ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము. తర్వాత అది రూపంలో లేదా రూపంలో తిరిగి వ్రాయబడుతుంది.

సమీకరణం (19) యొక్క ఎడమ వైపున ఉన్న అన్ని నిబంధనలను సంగ్రహించి, దానిని రూపంలో తిరిగి వ్రాయండి

సమీకరణానికి మూలాలు లేవు కాబట్టి, సమీకరణం (20) కూడా వాటిని కలిగి ఉండదు.

సెట్ (18) యొక్క మొదటి సమీకరణం ఒకే మూలాన్ని కలిగి ఉంది. ఈ మూలం సమితి (18) యొక్క రెండవ సమీకరణం యొక్క ODZలో చేర్చబడినందున, ఇది సెట్ (18) యొక్క ఏకైక మూలం, అందువలన అసలైనది సమీకరణం.

4. రూపం యొక్క సమీకరణాలు

సమీకరణం

(21) సంఖ్యలపై కొన్ని షరతులలో మరియు A ఫారమ్‌లో ఎడమ వైపున ప్రతి పదాన్ని సూచించిన తర్వాత ఫారమ్ (1)కి తగ్గించవచ్చు.

ఉదాహరణ. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

పరిష్కారం. సమీకరణాన్ని (22) రూపంలో లేదా రూపంలో తిరిగి వ్రాద్దాం

అందువలన, సమీకరణం (23) రూపానికి (1) తగ్గించబడుతుంది. ఇప్పుడు, మొదటి పదాన్ని చివరిదానితో మరియు రెండవది మూడవదానితో సమూహపరచడం, మేము సమీకరణం (23) రూపంలో తిరిగి వ్రాస్తాము

ఈ సమీకరణం సమీకరణాల సమితికి సమానం మరియు. (24)

సెట్ (24) యొక్క చివరి సమీకరణాన్ని ఇలా తిరిగి వ్రాయవచ్చు

ఈ సమీకరణానికి పరిష్కారాలు ఉన్నాయి మరియు ఇది సెట్ (30) యొక్క రెండవ సమీకరణం యొక్క ODZలో చేర్చబడినందున, సెట్ (24) మూడు మూలాలను కలిగి ఉంటుంది :. అవన్నీ అసలు సమీకరణానికి పరిష్కారాలు.

5. రూపం యొక్క సమీకరణాలు.

రూపం యొక్క సమీకరణం (25)

సంఖ్యలపై కొన్ని షరతులలో, తెలియని వాటిని భర్తీ చేయడం ద్వారా, రూపం యొక్క సమీకరణానికి తగ్గించవచ్చు

ఉదాహరణ. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

పరిష్కారం. ఇది సమీకరణం (26)కి పరిష్కారం కానందున, ఎడమ వైపున ఉన్న ప్రతి భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ మరియు హారంను విభజించి, మేము దానిని రూపంలో తిరిగి వ్రాస్తాము

వేరియబుల్స్ యొక్క మార్పు చేసిన తరువాత, మేము సమీకరణం (27) రూపంలో తిరిగి వ్రాస్తాము

సాల్వింగ్ సమీకరణం (28) ఉంది మరియు. కాబట్టి, సమీకరణం (27) సమీకరణాల సమితికి సమానం మరియు. (29)

ప్రెజెంటేషన్ ప్రివ్యూలను ఉపయోగించడానికి, Google ఖాతాను సృష్టించండి మరియు దానికి లాగిన్ చేయండి: https://accounts.google.com

స్లయిడ్ శీర్షికలు:

అధిక డిగ్రీల సమీకరణాలు (ఒక వేరియబుల్‌లో బహుపది మూలాలు).

ఉపన్యాస ప్రణాళిక. నం. 1. పాఠశాల గణిత కోర్సులో ఉన్నత డిగ్రీల సమీకరణాలు. సంఖ్య 2. బహుపది యొక్క ప్రామాణిక రూపం. సంఖ్య 3. బహుపది యొక్క మొత్తం మూలాలు. హార్నర్ పథకం. సంఖ్య 4. బహుపది యొక్క భిన్న మూలాలు. సంఖ్య 5. రూపం యొక్క సమీకరణాలు: (x + a)(x + b)(x + c) ... = A సంఖ్య 6. పరస్పర సమీకరణాలు. సంఖ్య 7. సజాతీయ సమీకరణాలు. సంఖ్య 8. నిర్ణయించబడని గుణకాల పద్ధతి. నం 9. ఫంక్షనల్ - గ్రాఫిక్ పద్ధతి. సంఖ్య 10. అధిక డిగ్రీల సమీకరణాల కోసం Vieta సూత్రాలు. సంఖ్య 11. అధిక డిగ్రీల సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ప్రామాణికం కాని పద్ధతులు.

పాఠశాల గణిత కోర్సులో ఉన్నత డిగ్రీల సమీకరణాలు. 7వ తరగతి. బహుపది యొక్క ప్రామాణిక రూపం. బహుపదాలతో చర్యలు. బహుపదిని కారకం. సాధారణ తరగతిలో 42 గంటలు, ప్రత్యేక తరగతిలో 56 గంటలు. 8 ప్రత్యేక తరగతి. బహుపది యొక్క పూర్ణాంక మూలాలు, బహుపదిల విభజన, పరస్పర సమీకరణాలు, ద్విపద యొక్క nth శక్తుల వ్యత్యాసం మరియు మొత్తం, నిరవధిక గుణకాల పద్ధతి. యు.ఎన్. మకారిచెవ్ "గ్రేడ్ 8 కోసం పాఠశాల ఆల్జీబ్రా కోర్సుకు అదనపు అధ్యాయాలు", M.L. గలిట్స్కీ 8 - 9 తరగతులకు బీజగణితంలో సమస్యల సేకరణ." 9 ప్రత్యేక తరగతి. బహుపది యొక్క హేతుబద్ధ మూలాలు. సాధారణీకరించిన పరస్పర సమీకరణాలు. అధిక డిగ్రీల సమీకరణాల కోసం Vieta సూత్రాలు. N.Ya విలెంకిన్ “ఆల్జీబ్రా 9వ తరగతి లోతైన అధ్యయనంతో. 11 ప్రత్యేక తరగతి. బహుపదిల గుర్తింపు. అనేక వేరియబుల్స్‌లో బహుపది. ఫంక్షనల్ - అధిక డిగ్రీల సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి గ్రాఫికల్ పద్ధతి.

బహుపది యొక్క ప్రామాణిక రూపం. బహుపది P(x) = a ⁿ x ⁿ + a p-1 x p-1 + … + a₂x ² + a₁x + a₀. ప్రామాణిక రూపం యొక్క బహుపది అని పిలుస్తారు. a p x ⁿ అనేది బహుపది యొక్క ప్రముఖ పదం మరియు p అనేది బహుపది యొక్క ప్రముఖ పదం యొక్క గుణకం. a n = 1 అయినప్పుడు, P(x)ని తగ్గిన బహుపది అంటారు. మరియు ₀ అనేది బహుపది P(x) యొక్క ఉచిత పదం. n అనేది బహుపది యొక్క డిగ్రీ.

బహుపది యొక్క మొత్తం మూలాలు. హార్నర్ పథకం. సిద్ధాంతం సంఖ్య. 1. పూర్ణాంకం a బహుపది P(x) యొక్క మూలం అయితే, a అనేది P(x) అనే ఉచిత పదం యొక్క భాగహారం. ఉదాహరణ సంఖ్య 1. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. X⁴ + 2x³ = 11x² – 4x – 4 సమీకరణాన్ని ప్రామాణిక రూపానికి తీసుకువద్దాం. X⁴ + 2x³ - 11x² + 4x + 4 = 0. మనకు P(x) = x ⁴ + 2x³ - 11x² + 4x + 4 ఉచిత పదం యొక్క డివైజర్‌లు: ± 1, ± 2, ±4. సమీకరణం యొక్క x = 1 మూలం ఎందుకంటే P(1) = 0, x = 2 సమీకరణం యొక్క మూలం ఎందుకంటే P(2) = 0 బెజౌట్ సిద్ధాంతం. బహుపది P(x)ని ద్విపద (x – a)తో భాగిస్తే మిగిలినది P(a)కి సమానం. పర్యవసానం. a బహుపది P(x) యొక్క మూలం అయితే, P(x) (x – a)తో భాగించబడుతుంది. మన సమీకరణంలో, P(x)ని (x – 1) మరియు (x – 2) ద్వారా విభజించారు, అందువలన (x – 1) (x – 2) ద్వారా భాగించబడుతుంది. P(x)ని (x² - 3x + 2)తో భాగించినప్పుడు, గుణకం త్రినామిక x² + 5x + 2 = 0ని ఇస్తుంది, ఇది x = (-5 ± √17)/2 మూలాలను కలిగి ఉంటుంది.

బహుపది యొక్క పాక్షిక మూలాలు. సిద్ధాంతం సంఖ్య 2. p / g అనేది బహుపది P(x) యొక్క మూలం అయితే, p అనేది ఉచిత పదం యొక్క విభజన, g అనేది ప్రముఖ పదం P(x) యొక్క గుణకం యొక్క విభజన. ఉదాహరణ #2: సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 6x³ - 11x² - 2x + 8 = 0. ఉచిత పదం యొక్క డివైజర్‌లు: ±1, ±2, ±4, ±8. ఈ సంఖ్యలు ఏవీ సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరచవు. పూర్తి మూలాలు లేవు. ప్రముఖ పదం P(x) యొక్క గుణకం యొక్క సహజ విభజనలు: 1, 2, 3, 6. సమీకరణం యొక్క సాధ్యమైన పాక్షిక మూలాలు: ±2/3, ±4/3, ±8/3. తనిఖీ చేయడం ద్వారా P(4/3) = 0. X = 4/3 సమీకరణం యొక్క మూలం అని మేము నిర్ధారించాము. హార్నర్ యొక్క పథకాన్ని ఉపయోగించి, మేము P(x)ని (x - 4/3) ద్వారా విభజిస్తాము.

స్వతంత్ర పరిష్కారాల కోసం ఉదాహరణలు. సమీకరణాలను పరిష్కరించండి: 9x³ - 18x = x – 2, x³ - x² = x – 1, x³ - 3x² -3x + 1 = 0, X⁴ - 2x³ + 2x – 1 = 0, X⁴ - 3x⁵, 2 = + 5x³ - 6x² = 0, x ³ + 4x² + 5x + 2 = 0, X⁴ + 4x³ - x ² - 16x – 12 = 0 4x³ + x ² - x + 5 = 0 3x⁴ + 9 x 5x 0. సమాధానాలు: 1) ± 1/3; 2 2) ±1, 3) -1; 2 ±√3, 4) ±1, 5) ± 1; ±√2, 6) 0; 1 7) -2; -1, 8) -3; -1; ±2, 9) – 5/4 10) -2; - 5/3; 1.

రూపం యొక్క సమీకరణాలు (x + a)(x + b)(x + c)(x + d)... = A. ఉదాహరణ సంఖ్య. 3. (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) =24 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. a = 1, b = 2, c = 3, d = 4 a + d = b + c. మొదటి బ్రాకెట్‌ను నాల్గవదానితో మరియు రెండవదానిని మూడవదానితో గుణించండి. (x + 1)(x + 4)(x + 20(x + 3) = 24. (x² + 5x + 4)(x² + 5x + 6) = 24. x² + 5x + 4 = y , ఆపై y (y + 2) = 24, y² + 2y – 24 = 0 y₁ = - 6, y₂ = 4. x ² + 5x + 4 = -6 లేదా x ² + 5x + 4 = 4. x ² + 5x + 10 = 0, డి

స్వతంత్ర పరిష్కారాల కోసం ఉదాహరణలు. (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = -15, x (x + 4)(x + 5)(x + 9) + 96 = 0, x (x + 3 )(x + 5)(x + 8) + 56 = 0, (x – 4)(x – 3)(x – 2)(x – 1) = 24, (x – 3)(x -4)( x – 5)(x – 6) = 1680, (x² - 5x)(x + 3)(x – 8) + 108 = 0, (x + 4)² (x + 10)(x – 2) + 243 = 0 (x² + 3x + 2)(x² + 9x + 20) = 4, గమనిక: x + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2), x² + 9x + 20 = (x + 4)( x + 5) సమాధానాలు: 1) -4 ±√6; - 6; - 2. 6) - 1; 6; (5± √97)/2 7) -7; -1; -4 ±√3.

పరస్పర సమీకరణాలు. నిర్వచనం నం. 1. రూపం యొక్క సమీకరణం: ax⁴ + inx ³ + cx ² + inx + a = 0ని నాల్గవ డిగ్రీ యొక్క పరస్పర సమీకరణం అంటారు. నిర్వచనం నం. 2. రూపం యొక్క సమీకరణం: ax⁴ + inx ³ + cx ² + kinx + k² a = 0ని నాల్గవ డిగ్రీ యొక్క సాధారణీకరించిన పరస్పర సమీకరణం అంటారు. k² a: a = k²; kv: v = k. ఉదాహరణ సంఖ్య 6. x ⁴ - 7x³ + 14x² - 7x + 1 = 0 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా x²తో భాగించండి. x² - 7x + 14 – 7/ x + 1/ x² = 0, (x² + 1/ x²) – 7(x + 1/ x) + 14 = 0. x + 1/ x = y. మేము సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా స్క్వేర్ చేస్తాము. x² + 2 + 1/ x² = y², x² + 1/ x² = y² - 2. మేము వర్గ సమీకరణం y² - 7y + 12 = 0, y₁ = 3, y₂ = 4. x + 1/ x = 1/ x + 1/ x = 4. మనకు రెండు సమీకరణాలు లభిస్తాయి: x² - 3x + 1 = 0, x² - 4x + 1 = 0. ఉదాహరణ సంఖ్య 7. 3х⁴ - 2х³ - 31х² + 10х + 75 = 0. 75:3 = 25, 10:(– 2) = -5, (-5)² = 25. సాధారణీకరించిన పరస్పర సమీకరణం యొక్క పరిస్థితి = -5కి సంతృప్తి చెందింది. పరిష్కారం ఉదాహరణ సంఖ్య 6 వలె ఉంటుంది. సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా x²తో భాగించండి. 3x⁴ - 2x – 31 + 10/ x + 75/ x² = 0, 3(x⁴ + 25/ x²) – 2(x – 5/ x) – 31 = 0. x – 5/ x = y, మనం రెండింటినీ వర్గీకరిద్దాం సమానత్వం యొక్క భుజాలు x² - 10 + 25/ x² = y², x² + 25/ x² = y² + 10. మనకు చతుర్భుజ సమీకరణం 3y² - 2y – 1 = 0, y₁ = 1, y₂ 3. - x – 5/ x = 1 లేదా x – 5/ x = -1/3. మనకు రెండు సమీకరణాలు లభిస్తాయి: x² - x – 5 = 0 మరియు 3x² + x – 15 = 0

స్వతంత్ర పరిష్కారాల కోసం ఉదాహరణలు. 1. 78x⁴ - 133x³ + 78x² - 133x + 78 = 0. 2. x ⁴ - 5x³ + 10x² - 10x + 4 = 0. 3. x⁴ - x³ - 10x.4 38x² -10x + 24 = 0.5. x ⁴ + 2x³ - 11x² + 4x + 4 = 0. 6. x ⁴ - 5x³ + 10x² -10x + 4 = 0. సమాధానాలు: 1) 2/3; 3/2, 2) 1;2 3) -1 ±√3; (3±√17)/2, 4) -1±√3; (7±√337)/12 5) 1; 2; (-5± √17)/2, 6) 1; 2.

సజాతీయ సమీకరణాలు. నిర్వచనం. a₀ u³ + a₁ u² v + a₂ uv² + a₃ v³ = 0 రూపం యొక్క సమీకరణాన్ని u vకి సంబంధించి మూడవ డిగ్రీ యొక్క సజాతీయ సమీకరణం అంటారు. నిర్వచనం. a₀ u⁴ + a₁ u³v + a₂ u²v² + a₃ uv³ + a₄ v⁴ = 0 రూపం యొక్క సమీకరణాన్ని u vకి సంబంధించి నాల్గవ డిగ్రీ యొక్క సజాతీయ సమీకరణం అంటారు. ఉదాహరణ సంఖ్య 8. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి (x² - x + 1)³ + 2x⁴(x² - x + 1) – 3x⁶ = 0 u = x²- x + 1, v = x² కోసం సజాతీయ మూడవ-డిగ్రీ సమీకరణం. సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా x ⁶తో భాగించండి. మేము మొదట x = 0 సమీకరణం యొక్క మూలం కాదని తనిఖీ చేసాము. (x² - x + 1/ x²)³ + 2(x² - x + 1/ x²) – 3 = 0. (x² - x + 1)/ x²) = y, y³ + 2y – 3 = 0, y = 1 సమీకరణం యొక్క మూలం. మేము హార్నర్ పథకం ప్రకారం P(x) = y³ + 2y – 3ని y – 1తో విభజిస్తాము. భాగవతంలో మనకు మూలాలు లేని త్రికోణం వస్తుంది. సమాధానం: 1.

స్వతంత్ర పరిష్కారాల కోసం ఉదాహరణలు. 1. 2(x² + 6x + 1)² + 5(X² + 6X + 1)(X² + 1) + 2(X² + 1)² = 0, 2. (X + 5)⁴ - 13X²(X + 5 )² + 36X⁴ = 0. 3. 2(X² + X + 1)² - 7(X – 1)² = 13(X³ - 1), 4. 2(X -1)⁴ - 5(X² - 3X + 2)² + 2(x – 2)⁴ = 0. 5. (x² + x + 4)² + 3x(x² + x + 4) + 2x² = 0, సమాధానాలు: 1) -1; -2±√3, 2) -5/3; -5/4; 5/2; 5 3) -1; -1/2; 2;4 4) ±√2; 3±√2, 5) మూలాలు లేవు.

నిర్ణయించబడని గుణకాల పద్ధతి. సిద్ధాంతం సంఖ్య 3. P(x) మరియు G(x) అనే రెండు బహుపదిలు ఒకే డిగ్రీని కలిగి ఉంటే మరియు రెండు బహుపదిలలోని వేరియబుల్ యొక్క అదే డిగ్రీల గుణకాలు సమానంగా ఉంటే మాత్రమే ఒకేలా ఉంటాయి. ఉదాహరణ సంఖ్య 9. బహుపది y⁴ - 4y³ + 5y² - 4y + 1. y⁴ - 4y³ + 5y² - 4y + 1 = (y² + уу + с)(y² + в₁у + с₁) =у ⁴ + у с₁ + с + в₁в) + у(с₁ + св₁) + сс ₁. సిద్ధాంతం సంఖ్య 3 ప్రకారం, మనకు సమీకరణాల వ్యవస్థ ఉంది: в₁ + в = -4, с₁ + с + в₁в = 5, сс₁ + св₁ = -4, сс₁ = 1. వ్యవస్థను పూర్ణాంకాలలో పరిష్కరించడం అవసరం. పూర్ణాంకాలలోని చివరి సమీకరణం పరిష్కారాలను కలిగి ఉంటుంది: c = 1, c₁ =1; с = -1, с₁ = -1. с = с ₁ = 1 లెట్, అప్పుడు మొదటి సమీకరణం నుండి మనకు в₁ = -4 –в. మేము సిస్టమ్ యొక్క రెండవ సమీకరణాన్ని в² + 4в + 3 = 0, в = -1, в₁ = -3 లేదా в = -3, в₁ = -1కి ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము. ఈ విలువలు సిస్టమ్ యొక్క మూడవ సమీకరణానికి సరిపోతాయి. ఎప్పుడు с = с ₁ = -1 D

ఉదాహరణ సంఖ్య 10. బహుపది y³ - 5y + 2. y³ -5y + 2 = (y + a)(y² + vy + c) = y³ + (a + b)y² + (ab + c)y + ac. మనకు సమీకరణాల వ్యవస్థ ఉంది: a + b = 0, ab + c = -5, ac = 2. మూడవ సమీకరణానికి సాధ్యమయ్యే పూర్ణాంక పరిష్కారాలు: (2; 1), (1; 2), (-2; -1 ), (-1 ; -2). a = -2, c = -1 లెట్. సిస్టమ్ యొక్క మొదటి సమీకరణం నుండి = 2, ఇది రెండవ సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరుస్తుంది. ఈ విలువలను కావలసిన సమానత్వంలోకి మార్చడం ద్వారా, మనకు సమాధానం వస్తుంది: (y - 2)(y² + 2y - 1). రెండవ మార్గం. Y³ - 5y + 2 = y³ -5y + 10 – 8 = (y³ - 8) – 5(y – 2) = (y – 2)(y² + 2y -1).

స్వతంత్ర పరిష్కారాల కోసం ఉదాహరణలు. బహుపదాలను కారకం చేయండి: 1. y⁴ + 4y³ + 6y² +4y -8, 2. y⁴ - 4y³ + 7y² - 6y + 2, 3. x ⁴ + 324, 4. y⁴ -8y³ + 324y. కారకం పద్ధతిని ఉపయోగించి సమీకరణం: a) x ⁴ -3x² + 2 = 0, b) x ⁵ +5x³ -6x² = 0. సమాధానాలు: 1) (y² +2y -2)(y² +2y +4), 2) (y – 1)²(y² -2y + 2), 3) (x² -6x + 18)(x² + 6x + 18), 4) (y – 1)(y – 3)(y² - 4у + 5) , 5a) ± 1; ±√2, 5b) 0; 1.

ఫంక్షనల్ - అధిక డిగ్రీల సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి గ్రాఫికల్ పద్ధతి. ఉదాహరణ సంఖ్య 11. x ⁵ + 5x -42 = 0 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. ఫంక్షన్ y = x ⁵ పెరుగుతోంది, ఫంక్షన్ y = 42 – 5x తగ్గుతోంది (k

స్వతంత్ర పరిష్కారాల కోసం ఉదాహరణలు. 1. ఫంక్షన్ యొక్క మోనోటోనిసిటీ యొక్క లక్షణాన్ని ఉపయోగించి, సమీకరణం ఒకే మూలాన్ని కలిగి ఉందని నిరూపించండి మరియు ఈ మూలాన్ని కనుగొనండి: a) x ³ = 10 – x, b) x ⁵ + 3x³ - 11√2 – x. సమాధానాలు: ఎ) 2, బి) √2. 2. ఫంక్షనల్-గ్రాఫికల్ పద్ధతిని ఉపయోగించి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి: a) x = ³ √x, b) l x l = ⁵ √x, c) 2 = 6 – x, d) (1/3) = x +4, d ) (x – 1)² = log₂ x, e) లాగ్ = (x + ½)², g) 1 - √x = ln x, h) √x – 2 = 9/x. సమాధానాలు: ఎ) 0; ± 1, బి) 0; 1, సి) 2, డి) -1, ఇ) 1; 2, f) ½, g) 1, h) 9.

అధిక డిగ్రీల సమీకరణాల కోసం Vieta సూత్రాలు. సిద్ధాంతం సంఖ్య 5 (వియటా సిద్ధాంతం). సమీకరణం a x ⁿ + a x ⁿ + ... + a₁x + a₀ వేర్వేరు వాస్తవ మూలాలను కలిగి ఉంటే x ₁, x ₂,…, x, అప్పుడు అవి సమానతలను సంతృప్తిపరుస్తాయి: చతుర్భుజ సమీకరణం కోసం ax² + bx + c = o: + x x ₂ = -в/а, x₁х ₂ = с/а; క్యూబిక్ సమీకరణం కోసం a₃x ³ + a₂x ² + a₁x + a₀ = o: x ₁ + x ₂ + x ₃ = -a₂/a₃; x₁х ₂ + x₁х ₃ + x₂х ₃ = а₁/а₃; x₁х₂х ₃ = -а₀/а₃; ..., nవ డిగ్రీ సమీకరణం కోసం: x ₁ + x ₂ + ... x = - a / a, x₁x ₂ + x₁x ₃ + ... + x x = a / a, ... , x₁x ₂ ·… · x = (- 1 ) ⁿ a₀/a. సంభాషణ సిద్ధాంతం కూడా ఉంది.

ఉదాహరణ సంఖ్య 13. x ³ - 6x² + 12x – 18 = 0 సమీకరణం యొక్క మూలాలకు విలోమంగా ఉండే క్యూబిక్ సమీకరణాన్ని వ్రాయండి మరియు x ³ కోసం గుణకం 2. 1. వియెటా సిద్ధాంతం ప్రకారం మనకు ఉన్న ఘన సమీకరణం: x ₁ ₂ + x ₃ = 6, x₁x ₂ + x₁х ₃ + x₂х ₃ = 12, x₁х₂х ₃ = 18. 2. మేము ఈ మూలాల యొక్క రెసిప్రొకల్‌లను కంపోజ్ చేస్తాము మరియు వాటికి విలోమ వాటిని వర్తింపజేస్తాము. 1/ x ₁ + 1/ x ₂ + 1/ x ₃ = (x₂х ₃ + x₁х ₃ + x₁х ₂)/ x₁х₂х ₃ = 12/18 = 2/3. 1/x₁x మేము x³ +2/3x² + 1/3x – 1/18 = 0 2 సమీకరణాన్ని పొందుతాము: 2x³ + 4/3x² + 2/3x -1/9 = 0.

స్వతంత్ర పరిష్కారాల కోసం ఉదాహరణలు. 1. x ³ - 6x² + 11x – 6 = 0 సమీకరణం యొక్క మూలాల యొక్క విలోమ చతురస్రాలు కలిగిన క్యూబిక్ సమీకరణాన్ని వ్రాయండి మరియు x ³ యొక్క గుణకం 8. సమాధానం: 8x³ - 98/9x² + 28/9x - 2/9 = 0. అధిక డిగ్రీల సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ప్రామాణికం కాని పద్ధతులు. ఉదాహరణ సంఖ్య 12. x ⁴ -8x + 63 = 0 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపు కారకం చేద్దాం. ఖచ్చితమైన చతురస్రాలను ఎంచుకుందాం. X⁴ - 8x + 63 = (x⁴ + 16x² + 64) – (16x² + 8x + 1) = (x² + 8)² - (4x + 1)² = (x² + 4x + 9)(x² - 4x + 7) = 0. రెండు వివక్షలు ప్రతికూలంగా ఉంటాయి. సమాధానం: మూలాలు లేవు.

ఉదాహరణ సంఖ్య 14. 21x³ + x² - 5x – 1 = 0 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. సమీకరణం యొక్క డమ్మీ పదం ± 1 అయితే, అప్పుడు సమీకరణం x = 1/y ప్రత్యామ్నాయాన్ని ఉపయోగించి తగ్గించబడిన సమీకరణంగా మార్చబడుతుంది. 21/y³ + 1/y² - 5/y – 1 = 0 · y³, y³ + 5y² -y – 21 = 0. సమీకరణం యొక్క y = -3 మూలం. (y + 3)(y² + 2y -7) = 0, y = -1 ± 2√2. x ₁ = -1/3, x ₂ = 1/ -1 + 2√2 = (2√2 + 1)/7, X₃ = 1/-1 -2√2 = (1-2√2)/7 . ఉదాహరణ సంఖ్య 15. 4x³-10x² + 14x – 5 = 0 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 2 ద్వారా గుణించండి. 8x³ -20x² + 28x – 10 = 0, (2x)³ - 5(2x)² + 14 = 2x) -10 0. కొత్త వేరియబుల్ y = 2xని పరిచయం చేద్దాం, మనం తగ్గించబడిన సమీకరణం y³ - 5y² + 14y -10 = 0, y = 1 సమీకరణం యొక్క మూలాన్ని పొందుతాము. (y – 1)(y² - 4y + 10) = 0, D

ఉదాహరణ సంఖ్య 16. x ⁴ + x ³ + x – 2 = 0 సమీకరణం ఒక సానుకూల మూలాన్ని కలిగి ఉందని నిరూపించండి. x > o కోసం f (x) = x ⁴ + x ³ + x – 2, f’ (x) = 4x³ + 3x² + 1 > o అని తెలియజేయండి. x > o కోసం f (x) ఫంక్షన్ పెరుగుతుంది మరియు f (o) = -2 విలువ. సమీకరణం ఒక సానుకూల మూలాన్ని కలిగి ఉందని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది. ఉదాహరణ సంఖ్య 17. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి 8x(2x² - 1)(8x⁴ - 8x² + 1) = 1. I.F. Sharygin “గ్రేడ్ 11 కోసం గణితంలో ఐచ్ఛిక కోర్సు.” M. జ్ఞానోదయం 1991 p.90. 1. l x l 1 2x² - 1 > 1 మరియు 8x⁴ -8x² + 1 > 1 2. భర్తీని x = హాయిగా, y € (0; n)గా చేద్దాం. y యొక్క ఇతర విలువల కోసం, x విలువలు పునరావృతమవుతాయి మరియు సమీకరణం 7 కంటే ఎక్కువ మూలాలను కలిగి ఉండదు. 2х² - 1 = 2 cos²y – 1 = cos2y, 8х⁴ - 8х² + 1 = 2(2х² - 1)² - 1 = 2 cos²2y – 1 = cos4y. 3. సమీకరణం 8 cozycos2ycos4y = 1 రూపాన్ని తీసుకుంటుంది. సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా siny ద్వారా గుణించండి. 8 sinycosycos2ycos4y = పాపం. డబుల్ యాంగిల్ ఫార్ములాను 3 సార్లు వర్తింపజేయడం ద్వారా మనం sin8y = siny, sin8y – siny = 0 అనే సమీకరణాన్ని పొందుతాము

ఉదాహరణ సంఖ్య 17కి పరిష్కారం ముగింపు. మేము సైన్స్ ఫార్ములా వ్యత్యాసాన్ని వర్తింపజేస్తాము. 2 sin7y/2 · cos9y/2 = 0 . y € (0;n), y = 2pk/3, k = 1, 2, 3 లేదా y = n/9 + 2pk/9, k =0, 1, 2, 3. వేరియబుల్ xకి తిరిగి రావడం, మాకు సమాధానం వస్తుంది: Cos2 p/7, cos4 p/7, cos6 p/7, cos p/9, ½, cos5 p/9, cos7 p/9. స్వతంత్ర పరిష్కారాల కోసం ఉదాహరణలు. సమీకరణం (x² + x)(x² + 5x + 6) = a ఖచ్చితంగా మూడు మూలాలను కలిగి ఉన్న అన్ని విలువలను కనుగొనండి. సమాధానం: 9/16. దిశలు: సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపు గ్రాఫ్ చేయండి. F గరిష్టం = f(0) = 9/16 . సరళ రేఖ y = 9/16 ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను మూడు పాయింట్ల వద్ద కలుస్తుంది. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి (x² + 2x)² - (x + 1)² = 55. సమాధానం: -4; 2. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి (x + 3)⁴ + (x + 5)⁴ = 16. సమాధానం: -5; -3. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి 2(x² + x + 1)² -7(x – 1)² = 13(x³ - 1).సమాధానం: -1; -1/2, 2;4 సమీకరణం యొక్క వాస్తవ మూలాల సంఖ్యను కనుగొనండి x ³ - 12x + 10 = 0 [-3; 3/2]. సూచనలు: ఉత్పన్నాన్ని కనుగొని, మోనోట్‌ను పరిశోధించండి.

స్వతంత్ర పరిష్కారాల కోసం ఉదాహరణలు (కొనసాగింపు). 6. x ⁴ - 2x³ + 3/2 = 0 సమీకరణం యొక్క వాస్తవ మూలాల సంఖ్యను కనుగొనండి. సమాధానం: 2 7. x ₁, x ₂, x ₃ బహుపది P(x) = x ³ - 6x² -15x + 1. X₁² + x ₂² + x ₃²ని కనుగొనండి. సమాధానం: 66. దిశలు: వియెటా సిద్ధాంతాన్ని వర్తింపజేయండి. 8. x ³ + ax + b = o అనే సమీకరణంలో a > o మరియు ఏకపక్ష వాస్తవ విలువకు ఒకే నిజమైన మూలం ఉందని నిరూపించండి. సూచన: వైరుధ్యం ద్వారా నిరూపించండి. వియెటా సిద్ధాంతాన్ని వర్తింపజేయండి. 9. 2(x² + 2)² = 9(x³ + 1) సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. సమాధానం: ½; 1; (3 ± √13)/2. సూచన: X² + 2 = x + 1 + x² - x + 1, x³ + 1 = (x + 1)(x² - x + 1) సమానతలను ఉపయోగించి సమీకరణాన్ని సజాతీయ సమీకరణానికి తీసుకురండి. 10. x + y = x², 3y – x = y² సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి. సమాధానం: (0;0),(2;2), (√2; 2 - √2), (- √2; 2 + √2). 11. సిస్టమ్‌ను పరిష్కరించండి: 4y² -3y = 2x –y, 5x² - 3y² = 4x – 2y. సమాధానం: (o;o), (1;1),(297/265; - 27/53).

పరీక్ష. ఎంపిక 1. 1. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి (x² + x) – 8(x² + x) + 12 = 0. 2. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = - 15 3. 12x²(x – 3) + 64(x – 3)² = x ⁴ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 4. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి x ⁴ - 4x³ + 5x² - 4x + 1 = 0 5. సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి: x ² + 2y² - x + 2y = 6, 1.5x² + 3y² - 1 + 5y =

ఎంపిక 2 1. (x² - 4x)² + 7(x² - 4x) + 12 = 0. 2. x (x + 1)(x + 5)(x + 6) = 24. 3. x ⁴ + 18( x + 4)² = 11x²(x + 4). 4. x ⁴ - 5x³ + 6x² - 5x + 1 = 0. 5. x² - 2xy + y² + 2x²y – 9 = 0, x – y – x²y + 3 = 0. 3వ ఎంపిక. 1. (x² + 3x)² - 14(x² + 3x) + 40 = 0 2. (x – 5)(x-3)(x + 3)(x + 1) = - 35. 3. x4 + 8x² (x + 2) = 9(x+ 2)². 4. x ⁴ - 7x³ + 14x² - 7x + 1 = 0. 5. x + y + x² + y² = 18, xy + x² + y² = 19.

ఎంపిక 4. (x² - 2x)² - 11(x² - 2x) + 24 = o. (x -7)(x-4)(x-2)(x + 1) = -36. X⁴ + 3(x -6)² = 4x²(6 – x). X⁴ - 6x³ + 7x² - 6x + 1 = 0. X² + 3xy + y² = - 1, 2x² - 3xy – 3y² = - 4. అదనపు పని: P(x)ని (x – 1) ద్వారా భాగిస్తే మిగిలినది 4, (x + 1)తో భాగించినప్పుడు మిగిలినది 2కి సమానం, మరియు (x – 2)తో భాగించినప్పుడు అది 8కి సమానం. P(x)ని (x³ - 2x² - x + 2తో భాగించినప్పుడు శేషాన్ని కనుగొనండి )

సమాధానాలు మరియు సూచనలు: ఎంపిక సంఖ్య 1 సంఖ్య 2. సంఖ్య 3. సంఖ్య 4. సంఖ్య 5. 1. - 3; ± 2; 1 1;2;3. -5; -4; 1; 2. సజాతీయ సమీకరణం: u = x -3, v = x² -2 ; -1; 3; 4. (2;1); (2/3;4/3). సూచన: 1·(-3) + 2· 2 2. -6; -2; -4±√6. -3 ± 2√3; - 4; - 2. 1±√11; 4; - 2. సజాతీయ సమీకరణం: u = x + 4, v = x² 1; 5;3±√13. (2;1); (0;3); (- ముప్పై). సూచన: 2 2 + 1. 3. -6; 2; 4; 12 -3; -2; 4; 12 -6; -3; -1; 2. సజాతీయ u = x+ 2, v = x² -6; ± 3; 2 (2;3), (3;2), (-2 + √7; -2 - √7); (-2 - √7; -2 + √7). సూచన: 2 -1. 4. (3±√5)/2 2±√3 2±√3; (3±√5)/2 (5 ± √21)/2 (1;-2), (-1;2). సూచన: 1·4 + 2 .

అదనపు పనిని పరిష్కరించడం. బెజౌట్ సిద్ధాంతం ద్వారా: P(1) = 4, P(-1) = 2, P(2) = 8. P(x) = G(x) (x³ - 2x² - x + 2) + ax² + inx + తో . ప్రత్యామ్నాయం 1; - 1; 2. P(1) = G(1) 0 + a + b + c = 4, a + b+ c = 4. P(-1) = a – b + c = 2, P(2) = 4a² + 2b + c = 8. మూడు సమీకరణాల ఫలిత వ్యవస్థను పరిష్కరించడం, మేము పొందుతాము: a = b = 1, c = 2. సమాధానం: x² + x + 2.

ప్రమాణం సంఖ్య 1 - 2 పాయింట్లు. 1 పాయింట్ - ఒక గణన లోపం. నం. 2,3,4 - ఒక్కొక్కటి 3 పాయింట్లు. 1 పాయింట్ - చతుర్భుజ సమీకరణానికి దారితీసింది. 2 పాయింట్లు - ఒక గణన లోపం. సంఖ్య 5. - 4 పాయింట్లు. 1 పాయింట్ - ఒక వేరియబుల్ మరొక పరంగా వ్యక్తీకరించబడింది. 2 పాయింట్లు - పరిష్కారాలలో ఒకటి పొందింది. 3 పాయింట్లు - ఒక గణన లోపం. అదనపు పని: 4 పాయింట్లు. 1 పాయింట్ - నాలుగు కేసులకు బెజౌట్ సిద్ధాంతాన్ని వర్తింపజేస్తుంది. 2 పాయింట్లు - సమీకరణాల వ్యవస్థను సంకలనం చేసింది. 3 పాయింట్లు - ఒక గణన లోపం.

ట్రిఫనోవా మెరీనా అనటోలీవ్నా
గణిత ఉపాధ్యాయుడు, మునిసిపల్ విద్యా సంస్థ "జిమ్నాసియం నం. 48 (మల్టీ డిసిప్లినరీ)", తల్నాఖ్

పాఠం యొక్క ట్రిపుల్ ప్రయోజనం:

విద్యాపరమైన:
ఉన్నత స్థాయిల సమీకరణాలను పరిష్కరించడంలో జ్ఞానం యొక్క క్రమబద్ధీకరణ మరియు సాధారణీకరణ.
అభివృద్ధి:
తార్కిక ఆలోచన అభివృద్ధి, స్వతంత్రంగా పని చేసే సామర్థ్యం, ​​పరస్పర నియంత్రణ మరియు స్వీయ నియంత్రణ నైపుణ్యాలు, మాట్లాడటం మరియు వినడం వంటి నైపుణ్యాలను ప్రోత్సహిస్తుంది.
విద్య:
స్థిరమైన ఉపాధి అలవాటును పెంపొందించుకోవడం, ప్రతిస్పందన, కృషి మరియు ఖచ్చితత్వాన్ని పెంపొందించడం.

పాఠం రకం:

విజ్ఞానం, నైపుణ్యాలు మరియు సామర్థ్యాల సమగ్ర అనువర్తనంలో పాఠం.

పాఠం రూపం:

వెంటిలేషన్, శారీరక వ్యాయామం, వివిధ రకాల పని.

సామగ్రి:

సపోర్టింగ్ నోట్స్, టాస్క్ కార్డ్‌లు, లెసన్ మానిటరింగ్ మ్యాట్రిక్స్.

తరగతుల సమయంలో

I. సంస్థాగత క్షణం

1. పాఠం యొక్క ఉద్దేశ్యాన్ని విద్యార్థులకు తెలియజేయడం.
2. హోంవర్క్‌ని తనిఖీ చేస్తోంది (అనుబంధం 1). సహాయక గమనికలతో పని చేయడం (అనుబంధం 2).

వాటిలో ప్రతిదానికి సమీకరణాలు మరియు సమాధానాలు బోర్డుపై వ్రాయబడ్డాయి. విద్యార్థులు వారి సమాధానాలను తనిఖీ చేసి, ప్రతి సమీకరణానికి పరిష్కారం యొక్క క్లుప్త విశ్లేషణను ఇస్తారు లేదా ఉపాధ్యాయుని ప్రశ్నలకు సమాధానం ఇవ్వండి (ఫ్రంటల్ సర్వే). స్వీయ-నియంత్రణ - విద్యార్థులు తమకు తామే గ్రేడ్‌లు ఇస్తారు మరియు గ్రేడ్ కరెక్షన్ లేదా ఆమోదం కోసం ఉపాధ్యాయులకు తమ నోట్‌బుక్‌లను అందజేస్తారు. పాఠశాల తరగతులు బోర్డుపై వ్రాయబడ్డాయి:

“5+” - 6 సమీకరణాలు;
"5" - 5 సమీకరణాలు;
“4” - 4 సమీకరణాలు;
"3" - 3 సమీకరణాలు.

హోంవర్క్ గురించి ఉపాధ్యాయుల ప్రశ్నలు:

1 సమీకరణం

1. సమీకరణంలో వేరియబుల్స్ యొక్క ఏ మార్పు చేయబడుతుంది?
2. వేరియబుల్స్ మారిన తర్వాత ఏ సమీకరణం లభిస్తుంది?

2 సమీకరణం

1. సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా విభజించడానికి ఏ బహుపది ఉపయోగించబడింది?
2. వేరియబుల్స్ యొక్క ఏ మార్పు పొందబడింది?

3 సమీకరణం

1. ఈ సమీకరణం యొక్క పరిష్కారాన్ని సరళీకృతం చేయడానికి ఏ బహుపదిలను గుణించాలి?

4 సమీకరణం

1. f(x) ఫంక్షన్‌కు పేరు పెట్టండి.
2. మిగిలిన మూలాలు ఎలా కనుగొనబడ్డాయి?

5 సమీకరణం

1. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి ఎన్ని విరామాలు పొందబడ్డాయి?

6 సమీకరణం

1. ఈ సమీకరణాన్ని ఎలా పరిష్కరించవచ్చు?
2. ఏ పరిష్కారం మరింత హేతుబద్ధమైనది?

II. సమూహ పని పాఠంలో ప్రధాన భాగం.

తరగతి 4 సమూహాలుగా విభజించబడింది. ప్రతి సమూహానికి సైద్ధాంతిక మరియు ఆచరణాత్మక (అనుబంధం 3) ప్రశ్నలతో కార్డ్ ఇవ్వబడుతుంది: "సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి ప్రతిపాదిత పద్ధతిని పరిశీలించండి మరియు ఈ ఉదాహరణను ఉపయోగించి దానిని వివరించండి."

1. గ్రూప్ వర్క్ 15 నిమిషాలు.
2. ఉదాహరణలు బోర్డులో వ్రాయబడ్డాయి (బోర్డు 4 భాగాలుగా విభజించబడింది).
3. సమూహ నివేదిక 2-3 నిమిషాలు పడుతుంది.
4. ఉపాధ్యాయుడు సమూహ నివేదికలను సరిదిద్దుతారు మరియు ఇబ్బందులతో సహాయం చేస్తారు.

సమూహాలలో పని కార్డుల సంఖ్య 5 - 8లో కొనసాగుతుంది. ప్రతి సమీకరణానికి, సమూహంలో చర్చ కోసం 5 నిమిషాలు ఇవ్వబడుతుంది. అప్పుడు బోర్డు ఈ సమీకరణంపై ఒక నివేదికను ఇస్తుంది - పరిష్కారం యొక్క సంక్షిప్త విశ్లేషణ. సమీకరణం పూర్తిగా పరిష్కరించబడకపోవచ్చు - ఇది ఇంట్లో ఖరారు చేయబడుతోంది, కానీ దాని పరిష్కారం యొక్క క్రమం తరగతిలో చర్చించబడుతుంది.

III. స్వతంత్ర పని.అనుబంధం 4.

1. ప్రతి విద్యార్థి ఒక వ్యక్తిగత అసైన్‌మెంట్‌ను అందుకుంటారు.
2. పని 20 నిమిషాలు పడుతుంది.
3. పాఠం ముగియడానికి 5 నిమిషాల ముందు, ఉపాధ్యాయుడు ప్రతి సమీకరణానికి బహిరంగ సమాధానాలు ఇస్తాడు.
4. విద్యార్థులు సర్కిల్‌లో నోట్‌బుక్‌లను మార్చుకుంటారు మరియు స్నేహితుడితో వారి సమాధానాలను తనిఖీ చేస్తారు. వారు గ్రేడ్‌లు ఇస్తారు.
5. చెకింగ్ మరియు గ్రేడ్ కరెక్షన్ కోసం టీచర్‌కి నోట్‌బుక్‌లు అందజేస్తారు.

IV. పాఠం సారాంశం.

ఇంటి పని.

అసంపూర్తిగా ఉన్న సమీకరణాలకు పరిష్కారాలను రూపొందించండి. నియంత్రణ కట్ కోసం సిద్ధం చేయండి.

గ్రేడింగ్.