వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క ప్రారంభ మరియు కేంద్ర క్షణాలు. సమూహం చేయని డేటా కోసం కేంద్ర విలువలను గణించడం

ప్రారంభ క్షణం కె వ ఆర్డర్ యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్X X కె :

ముఖ్యంగా,

కేంద్ర క్షణం కె వ ఆర్డర్ యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్Xపరిమాణం యొక్క గణిత నిరీక్షణ అంటారు కె :

. (5.11)

ముఖ్యంగా,

గణిత నిరీక్షణ మరియు వ్యాప్తి యొక్క నిర్వచనాలు మరియు లక్షణాలను ఉపయోగించి, మనం దానిని పొందవచ్చు

,

,

అధిక ఆర్డర్ క్షణాలు చాలా అరుదుగా ఉపయోగించబడతాయి.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ పంపిణీ గణిత అంచనాకు సంబంధించి సుష్టంగా ఉందని మనం అనుకుందాం. అప్పుడు అన్ని బేసి-క్రమం కేంద్రాలు సున్నాకి సమానం. X–M[X] విచలనం యొక్క ప్రతి సానుకూల విలువకు (పంపిణీ యొక్క సమరూపత కారణంగా) సంపూర్ణ విలువతో సమానమైన ప్రతికూల విలువ ఉంటుంది మరియు వాటి సంభావ్యత ఒకే విధంగా ఉంటుంది అనే వాస్తవం ద్వారా దీనిని వివరించవచ్చు. కేంద్ర క్షణం బేసి క్రమంలో ఉంటే మరియు సున్నాకి సమానంగా ఉండకపోతే, ఇది పంపిణీ యొక్క అసమానతను సూచిస్తుంది మరియు ఎక్కువ క్షణం, అసమానత ఎక్కువ. అందువల్ల, పంపిణీ అసమానత యొక్క లక్షణంగా కొంత బేసి కేంద్ర క్షణాన్ని తీసుకోవడం చాలా సహేతుకమైనది. 1వ ఆర్డర్ యొక్క సెంట్రల్ మూమెంట్ ఎల్లప్పుడూ సున్నాకి సమానంగా ఉంటుంది కాబట్టి, ఈ ప్రయోజనం కోసం 3వ ఆర్డర్ యొక్క సెంట్రల్ మూమెంట్‌ని ఉపయోగించడం మంచిది. అయినప్పటికీ, అసమానతను అంచనా వేయడానికి ఈ పాయింట్‌ని అంగీకరించడం అసౌకర్యంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే దాని విలువ యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ కొలవబడే యూనిట్లపై ఆధారపడి ఉంటుంది. ఈ లోపాన్ని తొలగించడానికి,  3  3 ద్వారా విభజించబడింది మరియు తద్వారా ఒక లక్షణాన్ని పొందుతుంది.

అసమాన గుణకం ఎ పరిమాణం అంటారు

. (5.12)

అన్నం. 5.1

అసమాన గుణకం ప్రతికూలంగా ఉంటే, ఇది  3 ప్రతికూల విచలనాల విలువపై పెద్ద ప్రభావాన్ని సూచిస్తుంది. ఈ సందర్భంలో, పంపిణీ వక్రతలు M[X]కి ఎడమవైపుకు చదునుగా ఉంటాయి. గుణకం A సానుకూలంగా ఉంటే, అప్పుడు వక్రత కుడి వైపున చదునుగా ఉంటుంది.

తెలిసినట్లుగా, చెదరగొట్టడం (2వ కేంద్ర క్షణం) గణిత నిరీక్షణ చుట్టూ యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క విలువల వ్యాప్తిని వర్గీకరించడానికి ఉపయోగపడుతుంది. ఎక్కువ విక్షేపం, సంబంధిత పంపిణీ వక్రత చదునుగా ఉంటుంది. ఏదేమైనప్పటికీ, 2వ ఆర్డర్  2 / 2 యొక్క సాధారణీకరించిన క్షణం "ఫ్లాట్-టాప్డ్" లేదా "షార్ప్-టాప్డ్" డిస్ట్రిబ్యూషన్ యొక్క లక్షణంగా పనిచేయదు ఎందుకంటే ఏదైనా పంపిణీ D[ x]/ 2 =1. ఈ సందర్భంలో, 4 వ ఆర్డర్ సెంట్రల్ క్షణం ఉపయోగించబడుతుంది.

మిగులు ఇ పరిమాణం అంటారు

. (5.13)

హెచ్

అన్నం. 5.2

అత్యంత సాధారణ సాధారణ పంపిణీ చట్టం  4 / 4 =3 కోసం ఇక్కడ సంఖ్య 3 ఎంచుకోబడింది. అందువల్ల, కుర్టోసిస్ ప్రస్తుతం ఉన్న పంపిణీలను సాధారణ దానితో పోల్చడానికి ఉపయోగపడుతుంది, దీని కుర్టోసిస్ సున్నా. దీనర్థం పంపిణీలో సానుకూల కుర్టోసిస్ ఉన్నట్లయితే, సాధారణ పంపిణీ వక్రరేఖతో పోల్చితే సంబంధిత పంపిణీ వక్రరేఖ మరింత "పీక్"గా ఉంటుంది; పంపిణీలో ప్రతికూల కుర్టోసిస్ ఉన్నట్లయితే, సంబంధిత వక్రత మరింత "ఫ్లాట్-టాప్డ్"గా ఉంటుంది.

ఉదాహరణ 5.6. DSV X క్రింది పంపిణీ చట్టం ద్వారా ఇవ్వబడింది:

వక్రత గుణకం మరియు కుర్టోసిస్‌ను కనుగొనండి.

అన్నం. 5.4

పరిష్కారం . మొదట 4వ ఆర్డర్ వరకు ప్రారంభ క్షణాలను కనుగొనండి

ఇప్పుడు కేంద్ర క్షణాలను గణిద్దాం:

సెంట్రల్ మూమెంట్‌లను డిస్ట్రిబ్యూషన్ మూమెంట్‌లు అంటారు, ఇచ్చిన శ్రేణి యొక్క అంకగణిత సగటు నుండి ఎంపికల యొక్క విచలనం ప్రారంభ విలువగా తీసుకోబడుతుంది.

1. ఫార్ములా ఉపయోగించి మొదటి ఆర్డర్ సెంట్రల్ మూమెంట్‌ను లెక్కించండి:

2. ఫార్ములా ఉపయోగించి రెండవ-ఆర్డర్ సెంట్రల్ మూమెంట్‌ను లెక్కించండి:

విరామాల మధ్య విలువ ఎక్కడ ఉంది;

ఇది బరువున్న సగటు;

Fi అనేది విలువల సంఖ్య.

3. సూత్రాన్ని ఉపయోగించి మూడవ-ఆర్డర్ సెంట్రల్ మూమెంట్‌ను లెక్కించండి:

విరామాల మధ్య విలువ ఎక్కడ ఉంది; - ఇది బరువున్న సగటు; - విలువల సంఖ్య.

4. ఫార్ములా ఉపయోగించి నాల్గవ ఆర్డర్ సెంట్రల్ మూమెంట్‌ను లెక్కించండి:

విరామాల మధ్య విలువ ఎక్కడ ఉంది; - ఇది బరువున్న సగటు; - విలువల సంఖ్య.

పట్టిక 3.2 కోసం గణన

పట్టిక 3.4 కోసం గణన

1. ఫార్ములా (7.1) ఉపయోగించి మొదటి-ఆర్డర్ సెంట్రల్ మూమెంట్‌ను లెక్కించండి:

2. ఫార్ములా (7.2) ఉపయోగించి రెండవ-ఆర్డర్ సెంట్రల్ మూమెంట్‌ను లెక్కించండి:

3. ఫార్ములా (7.3) ఉపయోగించి మూడవ-ఆర్డర్ సెంట్రల్ మూమెంట్‌ను లెక్కించండి:

4. ఫార్ములా (7.4) ఉపయోగించి నాల్గవ-ఆర్డర్ సెంట్రల్ మూమెంట్‌ను లెక్కించండి:

పట్టిక 3.6 కోసం గణన

1. ఫార్ములా (7.1) ఉపయోగించి మొదటి-ఆర్డర్ సెంట్రల్ మూమెంట్‌ను లెక్కించండి:

2. ఫార్ములా (7.2) ఉపయోగించి రెండవ-ఆర్డర్ సెంట్రల్ మూమెంట్‌ను లెక్కించండి:

3. ఫార్ములా (7.3) ఉపయోగించి మూడవ-ఆర్డర్ సెంట్రల్ మూమెంట్‌ను లెక్కించండి:

4. ఫార్ములా (7.4) ఉపయోగించి నాల్గవ-ఆర్డర్ సెంట్రల్ మూమెంట్‌ను లెక్కించండి:

మూడు సమస్యల కోసం 1, 2, 3, 4 ఆర్డర్‌ల క్షణాలు లెక్కించబడ్డాయి. అసమానతను లెక్కించడానికి మూడవ ఆర్డర్ క్షణం అవసరం మరియు కుర్టోసిస్‌ను లెక్కించడానికి నాల్గవ ఆర్డర్ క్షణం అవసరం.

డిస్ట్రిబ్యూషన్ అసిమెట్రీ యొక్క లెక్కింపు

గణాంక ఆచరణలో, వివిధ పంపిణీలు ఎదుర్కొంటారు. కింది రకాల పంపిణీ వక్రతలు ఉన్నాయి:

· ఒకే-శీర్ష వక్రతలు: సుష్ట, మధ్యస్థ అసమాన మరియు అత్యంత అసమాన;

· మల్టీవెర్టెక్స్ వక్రతలు.

సజాతీయ జనాభా, ఒక నియమం వలె, ఒకే-శీర్ష పంపిణీల ద్వారా వర్గీకరించబడుతుంది. Multivertex అధ్యయనం చేయబడిన జనాభా యొక్క వైవిధ్యతను సూచిస్తుంది. రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ శీర్షాల రూపాన్ని మరింత సజాతీయ సమూహాలను గుర్తించడానికి డేటాను మళ్లీ సమూహపరచడం అవసరం.

పంపిణీ యొక్క సాధారణ స్వభావాన్ని నిర్ణయించడం అనేది దాని సజాతీయతను అంచనా వేయడం, అలాగే అసమానత మరియు కుర్టోసిస్ యొక్క సూచికలను లెక్కించడం. సమరూప పంపిణీల కోసం, పంపిణీ కేంద్రం యొక్క రెండు వైపులా సమానంగా ఉన్న ఏవైనా రెండు ఎంపికల పౌనఃపున్యాలు ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉంటాయి. అటువంటి పంపిణీల కోసం లెక్కించిన సగటు, మోడ్ మరియు మధ్యస్థం కూడా సమానంగా ఉంటాయి.

వివిధ యూనిట్ల కొలతలతో అనేక పంపిణీల అసమానతను తులనాత్మకంగా అధ్యయనం చేసినప్పుడు, సాపేక్ష అసమాన సూచిక () లెక్కించబడుతుంది:

వెయిటెడ్ సగటు ఎక్కడ ఉంది; మో-ఫ్యాషన్; - రూట్ మీన్ స్క్వేర్ వెయిటెడ్ డిస్పర్షన్; మీ-మధ్యస్థ.

దీని విలువ సానుకూలంగా లేదా ప్రతికూలంగా ఉండవచ్చు. మొదటి సందర్భంలో, మేము కుడి-వైపు అసమానత గురించి మాట్లాడుతున్నాము మరియు రెండవది, ఎడమ వైపు అసమానత గురించి.

కుడివైపు అసమానతతో Mo>Me >x. అత్యంత విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతుంది (అసమానత యొక్క సూచికగా) అనేది థర్డ్-ఆర్డర్ సెంట్రల్ మూమెంట్ మరియు ఇచ్చిన సిరీస్ క్యూబ్ యొక్క ప్రామాణిక విచలనానికి నిష్పత్తి:

మూడవ-ఆర్డర్ సెంట్రల్ క్షణం ఎక్కడ ఉంది; - ప్రామాణిక విచలనం క్యూబ్డ్.

ఈ సూచిక యొక్క ఉపయోగం అసమానత యొక్క పరిమాణాన్ని మాత్రమే కాకుండా, సాధారణ జనాభాలో దాని ఉనికిని తనిఖీ చేయడానికి కూడా సాధ్యపడుతుంది. 0.5 కంటే ఎక్కువ వక్రత (సంకేతంతో సంబంధం లేకుండా) ముఖ్యమైనదిగా పరిగణించబడుతుందని సాధారణంగా అంగీకరించబడింది; అది 0.25 కంటే తక్కువ ఉంటే, అది చాలా తక్కువ.

సగటు స్క్వేర్ లోపం, అసమాన గుణకం () ఆధారంగా ప్రాముఖ్యత అంచనా వేయబడుతుంది, ఇది పరిశీలనల సంఖ్య (n)పై ఆధారపడి ఉంటుంది మరియు సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది:

ఇక్కడ n అనేది పరిశీలనల సంఖ్య.

ఈ సందర్భంలో, అసమానత ముఖ్యమైనది మరియు జనాభాలో లక్షణం యొక్క పంపిణీ అసమానంగా ఉంటుంది. లేకపోతే, అసమానత చాలా తక్కువగా ఉంటుంది మరియు దాని ఉనికి యాదృచ్ఛిక పరిస్థితుల వల్ల సంభవించవచ్చు.

పట్టిక 3.2 కోసం గణనసగటు నెలవారీ జీతం ద్వారా జనాభాను సమూహపరచడం, రుద్దు.

ఎడమ వైపు, ముఖ్యమైన అసమానత.

పట్టిక 3.4 కోసం గణనరిటైల్ టర్నోవర్, మిలియన్ రూబిళ్లు ద్వారా దుకాణాల సమూహం.

1. ఫార్ములా (7.5) ఉపయోగించి అసమానతలను గుర్తిద్దాం:

కుడి-వైపు, ముఖ్యమైన అసమానత.

పట్టిక 3.6 కోసం గణనప్రజా రవాణా (మిలియన్ t.km) సరుకు రవాణా ద్వారా రవాణా సంస్థల సమూహం

1. ఫార్ములా (7.5) ఉపయోగించి అసమానతలను గుర్తిద్దాం:

కుడి వైపు, కొంచెం అసమానత.

పంపిణీ యొక్క కర్టెస్ యొక్క గణన

సుష్ట పంపిణీల కోసం, కుర్టోసిస్ సూచిక ()ని లెక్కించవచ్చు:

నాల్గవ-ఆర్డర్ సెంట్రల్ క్షణం ఎక్కడ ఉంది; - నాల్గవ శక్తికి ప్రామాణిక విచలనం.

పట్టిక 3.2 కోసం గణనసగటు నెలవారీ జీతం ద్వారా జనాభాను సమూహపరచడం, రుద్దు.

పట్టిక 3.4 కోసం గణనరిటైల్ టర్నోవర్, మిలియన్ రూబిళ్లు ద్వారా దుకాణాల సమూహం.

ఫార్ములా (7.7) ఉపయోగించి కుర్టోసిస్ సూచికను గణిద్దాం

పీక్ పంపిణీ.

పట్టిక 3.6 కోసం గణనప్రజా రవాణా (మిలియన్ t.km) సరుకు రవాణా ద్వారా రవాణా సంస్థల సమూహం

ఫార్ములా (7.7) ఉపయోగించి కుర్టోసిస్ సూచికను గణిద్దాం

ఫ్లాట్ టాప్ పంపిణీ.

జనాభా యొక్క సజాతీయత యొక్క అంచనా

పట్టిక 3.2 కోసం సజాతీయత అంచనాసగటు నెలవారీ జీతం ద్వారా జనాభాను సమూహపరచడం, రుద్దు.

అసమానత మరియు కుర్టోసిస్ యొక్క సూచికలు నేరుగా అధ్యయనం చేయబడిన జనాభాలోని లక్షణం యొక్క పంపిణీ రూపాన్ని మాత్రమే వర్గీకరిస్తున్నప్పటికీ, వాటి నిర్వచనానికి వివరణాత్మక ప్రాముఖ్యత మాత్రమే లేదని గమనించాలి. తరచుగా అసమానత మరియు కుర్టోసిస్ సామాజిక-ఆర్థిక దృగ్విషయాల తదుపరి పరిశోధన కోసం కొన్ని సూచనలను అందిస్తాయి. పొందిన ఫలితం అసమానత ఉనికిని సూచిస్తుంది, ఇది పరిమాణంలో ముఖ్యమైనది మరియు ప్రకృతిలో ప్రతికూలమైనది; అసమానత ఎడమ వైపు అని గమనించాలి. అదనంగా, జనాభా ఫ్లాట్-టాప్ పంపిణీని కలిగి ఉంది.

పట్టిక 3.4 కోసం సజాతీయత అంచనారిటైల్ టర్నోవర్, మిలియన్ రూబిళ్లు ద్వారా దుకాణాల సమూహం.

పొందిన ఫలితం అసమానత ఉనికిని సూచిస్తుంది, ఇది పరిమాణంలో ముఖ్యమైనది మరియు ప్రకృతిలో సానుకూలమైనది; అసమానత కుడి వైపున ఉందని గమనించాలి. మరియు జనాభాలో పదునైన-శీర్ష పంపిణీ ఉంది.

పట్టిక 3.6 కోసం సజాతీయత అంచనాప్రజా రవాణా (మిలియన్ t.km) సరుకు రవాణా ద్వారా రవాణా సంస్థల సమూహం

పొందిన ఫలితం అసమానత ఉనికిని సూచిస్తుంది, ఇది పరిమాణంలో చాలా తక్కువగా ఉంటుంది మరియు ప్రకృతిలో సానుకూలంగా ఉంటుంది; అసమానత కుడి వైపున ఉందని గమనించాలి. అదనంగా, జనాభా ఫ్లాట్-టాప్డ్ పంపిణీని కలిగి ఉంది.

పంపిణీ చట్టం ద్వారా ఇవ్వబడిన వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్‌ను పరిశీలిద్దాం:

ఆశించిన విలువ సమానం:

ఇది చాలా ఎక్కువ అని మనం చూస్తున్నాం. ఈ విలువను వాస్తవం ద్వారా వివరించవచ్చు x= –150, ఇతర విలువల నుండి చాలా భిన్నంగా ఉంటుంది, స్క్వేర్ చేసినప్పుడు బాగా పెరిగింది; ఈ విలువ యొక్క సంభావ్యత తక్కువగా ఉంది (0.02). అందువలన, నుండి మార్పు M(X)కు M(X 2)సంపూర్ణ విలువలో పెద్దగా ఉండే యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క అటువంటి విలువల యొక్క గణిత నిరీక్షణపై ప్రభావాన్ని బాగా పరిగణనలోకి తీసుకోవడం సాధ్యపడింది, కానీ వాటి సంభవించే సంభావ్యత తక్కువగా ఉంటుంది. వాస్తవానికి, పరిమాణం అనేక పెద్ద మరియు అసంభవమైన విలువలను కలిగి ఉంటే, అప్పుడు పరిమాణానికి మార్పు X 2, మరియు ఇంకా ఎక్కువ పరిమాణంలో , మొదలైనవి, ఈ పెద్ద కానీ అసంభవమైన విలువల యొక్క "పాత్రను మరింత బలోపేతం చేయడానికి" మాకు అనుమతిస్తాయి. అందుకే యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క పూర్ణాంక సానుకూల శక్తి యొక్క గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణను వివిక్తంగా మాత్రమే కాకుండా నిరంతరంగా కూడా పరిగణించడం మంచిది.

నిర్వచనం 6.10.యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క వ క్రమం యొక్క ప్రారంభ క్షణం పరిమాణం యొక్క గణిత అంచనా:

ముఖ్యంగా:

ఈ పాయింట్లను ఉపయోగించి, వ్యత్యాసాన్ని లెక్కించే సూత్రాన్ని భిన్నంగా వ్రాయవచ్చు

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క క్షణాలతో పాటు, విచలనం యొక్క క్షణాలను పరిగణనలోకి తీసుకోవడం మంచిది.

నిర్వచనం 6.11.యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క వ క్రమం యొక్క కేంద్ర క్షణం పరిమాణం యొక్క గణిత అంచనా.

(6.23)

ముఖ్యంగా,

ప్రారంభ మరియు కేంద్ర క్షణాలను అనుసంధానించే సంబంధాలు సులభంగా ఉత్పన్నమవుతాయి. కాబట్టి, (6.22) మరియు (6.24) పోల్చి చూస్తే, మనకు లభిస్తుంది:

కింది సంబంధాలను నిరూపించడం కష్టం కాదు:

అదేవిధంగా:

అధిక ఆర్డర్ క్షణాలు చాలా అరుదుగా ఉపయోగించబడతాయి. కేంద్ర క్షణాలను నిర్ణయించడంలో, దాని గణిత అంచనా (కేంద్రం) నుండి యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క విచలనాలు ఉపయోగించబడతాయి. అందుకే క్షణాలు అంటారు కేంద్ర.

ప్రారంభ క్షణాలను నిర్ణయించడంలో, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క విచలనాలు కూడా ఉపయోగించబడతాయి, కానీ గణిత నిరీక్షణ నుండి కాదు, అబ్సిస్సా సున్నాకి సమానం అయిన పాయింట్ నుండి, ఇది కోఆర్డినేట్‌ల మూలం. అందుకే క్షణాలు అంటారు ప్రారంభ.

నిరంతర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ విషయంలో, 1వ ఆర్డర్ యొక్క ప్రారంభ క్షణం సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది:

(6.27)

నిరంతర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క వ క్రమం యొక్క కేంద్ర క్షణం సూత్రం ద్వారా లెక్కించబడుతుంది:

(6.28)

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ పంపిణీ గణిత అంచనాకు సంబంధించి సుష్టంగా ఉందని మనం అనుకుందాం. అప్పుడు బేసి క్రమం యొక్క అన్ని కేంద్ర క్షణాలు సున్నాకి సమానం. ఇది పరిమాణం యొక్క ప్రతి సానుకూల విలువకు వాస్తవం ద్వారా వివరించబడుతుంది X-M(X)ఉంది (సంబంధిత పంపిణీ యొక్క సమరూపత కారణంగా M(X)) ఈ పరిమాణం యొక్క ప్రతికూల విలువకు సంపూర్ణ విలువతో సమానంగా ఉంటుంది మరియు వాటి సంభావ్యత ఒకే విధంగా ఉంటుంది.

బేసి క్రమం యొక్క కేంద్ర క్షణం సున్నాకి సమానంగా లేకుంటే, ఇది పంపిణీ యొక్క అసమానతను సూచిస్తుంది మరియు ఎక్కువ క్షణం, అసమానత ఎక్కువ. అందువల్ల, పంపిణీ అసమానత యొక్క లక్షణంగా కొంత బేసి కేంద్ర క్షణాన్ని తీసుకోవడం చాలా సహేతుకమైనది. మొదటి-ఆర్డర్ సెంట్రల్ మూమెంట్ ఎల్లప్పుడూ సున్నా కాబట్టి, ఈ ప్రయోజనం కోసం మూడవ-ఆర్డర్ సెంట్రల్ మూమెంట్‌ని ఉపయోగించడం మంచిది.

నిర్వచనం 6.12.అసమాన గుణకం పరిమాణం:

అసమాన గుణకం ప్రతికూలంగా ఉంటే, ఇది ప్రతికూల విచలనాల పరిమాణంపై పెద్ద ప్రభావాన్ని సూచిస్తుంది. ఈ సందర్భంలో, పంపిణీ వక్రత (Fig. 6.1 ఎ) ఎడమవైపు మరింత ఫ్లాట్‌గా ఉంది. గుణకం సానుకూలంగా ఉంటే, అంటే సానుకూల విచలనాల ప్రభావం ప్రధానంగా ఉంటుంది, అప్పుడు పంపిణీ వక్రత కుడి వైపున చదునుగా ఉంటుంది.

తెలిసినట్లుగా, రెండవ కేంద్ర క్షణం (వైవిధ్యం) దాని గణిత నిరీక్షణ చుట్టూ యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క విలువల వ్యాప్తిని వర్గీకరించడానికి ఉపయోగపడుతుంది. కొన్ని యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ కోసం ఈ క్షణం తగినంత పెద్దదిగా ఉంటే, అనగా. చెదరగొట్టడం పెద్దదైతే, సంబంధిత పంపిణీ వక్రత చిన్న రెండవ-ఆర్డర్ క్షణంతో యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క పంపిణీ వక్రరేఖ కంటే ఫ్లాట్‌గా ఉంటుంది. అయితే, ఏదైనా పంపిణీ కోసం క్షణం ఈ ప్రయోజనం కోసం పనిచేయదు .

ఈ సందర్భంలో, నాల్గవ ఆర్డర్ సెంట్రల్ క్షణం ఉపయోగించబడుతుంది.

నిర్వచనం 6.13.కర్టోసిస్ పరిమాణం:

ప్రకృతిలో అత్యంత సాధారణ సాధారణ పంపిణీ చట్టం కోసం, నిష్పత్తి . కాబట్టి, ఫార్ములా (6.28) ద్వారా ఇవ్వబడిన కుర్టోసిస్ ఈ పంపిణీని సాధారణ దానితో పోల్చడానికి ఉపయోగపడుతుంది (Fig. 6.1 బి).

3.4 యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క క్షణాలు.

పైన మేము SV యొక్క సమగ్ర లక్షణాలతో పరిచయం కలిగి ఉన్నాము: డిస్ట్రిబ్యూషన్ ఫంక్షన్ మరియు డిస్క్రిట్ SV కోసం డిస్ట్రిబ్యూషన్ సిరీస్, డిస్ట్రిబ్యూషన్ ఫంక్షన్ మరియు నిరంతర SV కోసం సంభావ్యత సాంద్రత. సమాచార కంటెంట్ పరంగా ఈ జంటగా సమానమైన లక్షణాలు విధులుమరియు సంభావ్య దృక్కోణం నుండి SVని పూర్తిగా వివరించండి. అయినప్పటికీ, అనేక ఆచరణాత్మక పరిస్థితులలో యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్‌ను సమగ్ర పద్ధతిలో వర్గీకరించడం అసాధ్యం లేదా అనవసరం. తరచుగా ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ పేర్కొనడానికి సరిపోతుంది సంఖ్యాపరమైనకొంతవరకు పంపిణీ యొక్క ప్రధాన లక్షణాలను వివరించే పారామితులు మరియు కొన్నిసార్లు సమగ్ర లక్షణాలను కనుగొనడం, కావాల్సినది, గణితశాస్త్రంలో చాలా కష్టం మరియు సంఖ్యా పారామితులతో పనిచేయడం, మేము సుమారుగా, కానీ సరళమైన వివరణకు పరిమితం చేస్తాము. పేర్కొన్న సంఖ్యా పారామితులను అంటారు సంఖ్యా లక్షణాలుయాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ మరియు సైన్స్ మరియు టెక్నాలజీ యొక్క వివిధ రంగాలకు సంభావ్యత సిద్ధాంతం యొక్క అప్లికేషన్లలో ప్రధాన పాత్ర పోషిస్తుంది, సమస్యల పరిష్కారాన్ని సులభతరం చేస్తుంది మరియు పరిష్కారం యొక్క ఫలితాలను సరళమైన మరియు దృశ్య రూపంలో అందించడానికి అనుమతిస్తుంది.

సాధారణంగా ఉపయోగించే సంఖ్యా లక్షణాలను రెండు రకాలుగా విభజించవచ్చు: క్షణాలు మరియు స్థానం లక్షణాలు.అనేక రకాల క్షణాలు ఉన్నాయి, వాటిలో రెండు సాధారణంగా ఉపయోగించేవి: ప్రాథమిక మరియు కేంద్ర. ఇతర రకాల క్షణాలు, ఉదా. సంపూర్ణ క్షణాలు, కారకం క్షణాలు, మేము పరిగణించము. స్టైల్ట్జెస్ ఇంటిగ్రల్ అని పిలవబడే ఇంటిగ్రల్ యొక్క సాధారణీకరణను ఉపయోగించకుండా ఉండటానికి, మేము నిరంతర మరియు వివిక్త SVల కోసం విడిగా క్షణాల నిర్వచనాలను అందిస్తాము.

నిర్వచనాలు. 1. ప్రారంభ క్షణంకె-వ ఆర్డర్ వివిక్త SVపరిమాణం అంటారు

ఎక్కడ f(x) అనేది ఇచ్చిన SV యొక్క సంభావ్యత సాంద్రత.

3. కేంద్ర క్షణంకె-వ ఆర్డర్ వివిక్త SVపరిమాణం అంటారు

అనేక SVలు ఒకే సమయంలో పరిశీలనలో ఉన్న సందర్భాల్లో, అపార్థాలను నివారించడానికి, క్షణం యొక్క గుర్తింపును సూచించడానికి ఇది సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది; బ్రాకెట్లలో సంబంధిత SV యొక్క హోదాను సూచించడం ద్వారా మేము దీన్ని చేస్తాము, ఉదాహరణకు, , మొదలైనవి. ఈ హోదాను ఫంక్షన్ సంజ్ఞామానంతో అయోమయం చేయకూడదు మరియు కుండలీకరణాల్లోని అక్షరం ఫంక్షన్ ఆర్గ్యుమెంట్‌తో గందరగోళం చెందకూడదు. సమానత్వాల (3.4.1 - 3.4.4) కుడి వైపున ఉన్న మొత్తాలు మరియు సమగ్రాలు విలువను బట్టి కలుస్తాయి లేదా విభేదించవచ్చు కెమరియు నిర్దిష్ట పంపిణీ. మొదటి సందర్భంలో వారు క్షణం అని చెప్పారు ఉనికిలో లేదు లేదా విభేదిస్తుంది, రెండవ లో - ఏమి క్షణం ఉనికిలో ఉంది లేదా కలుస్తుంది.వివిక్త SV పరిమిత సంఖ్యలో పరిమిత విలువలను కలిగి ఉంటే ( ఎన్వాస్తవానికి), అప్పుడు దాని క్షణాలన్నీ పరిమిత క్రమంలో ఉంటాయి కెఉనికిలో ఉన్నాయి. అనంతం వద్ద ఎన్, కొందరి నుండి మొదలవుతుంది కెమరియు అధిక ఆర్డర్‌ల కోసం, వివిక్త SV యొక్క క్షణాలు (ప్రారంభ మరియు కేంద్ర రెండూ) ఉండకపోవచ్చు. నిర్వచనాల నుండి చూడగలిగినట్లుగా, నిరంతర SV యొక్క క్షణాలు సరికాని సమగ్రాల ద్వారా వ్యక్తీకరించబడతాయి, ఇవి నిర్దిష్టమైన వాటి నుండి వేరు చేయబడతాయి. కెమరియు అధిక ఆర్డర్‌ల కోసం (ఏకకాలంలో ప్రారంభ మరియు కేంద్ర). జీరోత్ ఆర్డర్ క్షణాలు ఎల్లప్పుడూ కలుస్తాయి.

మొదట ప్రారంభ మరియు తరువాత కేంద్ర క్షణాలను మరింత వివరంగా పరిశీలిద్దాం. గణిత కోణం నుండి, ప్రారంభ క్షణం కె-వ క్రమం "వెయిటెడ్ యావరేజ్" కె-వ డిగ్రీలు SV విలువలు; వివిక్త SV విషయంలో, బరువులు విలువల సంభావ్యత; నిరంతర SV విషయంలో, బరువు ఫంక్షన్ సంభావ్యత సాంద్రత. ఈ రకమైన కార్యకలాపాలు మెకానిక్స్‌లో ద్రవ్యరాశి పంపిణీని వివరించడానికి విస్తృతంగా ఉపయోగించబడతాయి (స్థిర క్షణాలు, జడత్వం యొక్క క్షణాలు మొదలైనవి); ఈ విషయంలో ఉత్పన్నమయ్యే సారూప్యతలు క్రింద చర్చించబడ్డాయి.

ప్రారంభ క్షణాల గురించి మంచి అవగాహన కోసం, మేము వాటిని ఇచ్చిన వాటి కోసం విడిగా పరిశీలిస్తాము కె. సంభావ్యత సిద్ధాంతంలో, తక్కువ ఆర్డర్‌ల క్షణాలు చాలా ముఖ్యమైనవి, అంటే చిన్నవి కె, కాబట్టి, విలువలను పెంచే క్రమంలో పరిగణనలోకి తీసుకోవాలి కె. సున్నా క్రమం యొక్క ప్రారంభ క్షణం సమానంగా ఉంటుంది

1, వివిక్త SV కోసం;

=1, నిరంతర SV కోసం,

ఆ. ఏదైనా SVకి అది ఒకే విలువకు సమానం - ఒకటి, అందువలన SV యొక్క గణాంక లక్షణాల గురించి ఎటువంటి సమాచారాన్ని కలిగి ఉండదు.

మొదటి ఆర్డర్ ప్రారంభ క్షణం (లేదా మొదటి ప్రారంభ క్షణం) సమానంగా ఉంటుంది

వివిక్త SV కోసం;

, నిరంతర SV కోసం.

ఈ పాయింట్ ఏదైనా SV యొక్క అతి ముఖ్యమైన సంఖ్యా లక్షణం, దీనికి అనేక పరస్పర సంబంధం ఉన్న కారణాలు ఉన్నాయి. మొదట, చెబిషెవ్ సిద్ధాంతం ప్రకారం (విభాగం 7.4 చూడండి), SVపై అపరిమిత సంఖ్యలో పరీక్షలతో, గమనించిన విలువల యొక్క అంకగణిత సగటు (ఒక కోణంలో) ఉంటుంది, అందువలన, ఏదైనా SV కోసం, ఇది ఒక లక్షణ సంఖ్య. దాని విలువలు అనుభవం ఆధారంగా సమూహం చేయబడ్డాయి. రెండవది, నిరంతర CV కోసం ఇది సంఖ్యాపరంగా సమానంగా ఉంటుంది X-వక్రరేఖ ద్వారా ఏర్పడిన కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క గురుత్వాకర్షణ కేంద్రం యొక్క కోఆర్డినేట్ f(x) (వివిక్త SVకి ఇదే విధమైన ఆస్తి ఏర్పడుతుంది), కాబట్టి ఈ క్షణాన్ని "పంపిణీ యొక్క గురుత్వాకర్షణ కేంద్రం" అని పిలుస్తారు. మూడవదిగా, ఈ క్షణం విశేషమైన గణిత లక్షణాలను కలిగి ఉంది, ఇది కోర్సు సమయంలో స్పష్టంగా కనిపిస్తుంది, ప్రత్యేకించి, దీని విలువ కేంద్ర క్షణాల కోసం వ్యక్తీకరణలలో చేర్చబడింది (చూడండి (3.4.3) మరియు (3.4.4)).

సంభావ్యత సిద్ధాంతం యొక్క సైద్ధాంతిక మరియు ఆచరణాత్మక సమస్యలకు ఈ క్షణం యొక్క ప్రాముఖ్యత మరియు దాని అద్భుతమైన గణిత లక్షణాలు “మొదటి ప్రారంభ క్షణం” అనే హోదా మరియు పేరుతో పాటు, సాహిత్యంలో ఇతర హోదాలు మరియు పేర్లు ఎక్కువగా లేదా తక్కువ ఉపయోగించబడుతున్నాయి. అనుకూలమైన మరియు పేర్కొన్న లక్షణాలను ప్రతిబింబిస్తుంది. అత్యంత సాధారణ పేర్లు: అంచనా విలువ, సగటు విలువ, మరియు సంజ్ఞామానం: m, ఎం[X], . మేము చాలా తరచుగా "గణిత నిరీక్షణ" మరియు సంజ్ఞామానం అనే పదాన్ని ఉపయోగిస్తాము m; అనేక SVలు ఉంటే, మేము గణిత నిరీక్షణ యొక్క గుర్తింపును సూచించే సబ్‌స్క్రిప్ట్‌ను ఉపయోగిస్తాము, ఉదాహరణకు, m x , m వైమొదలైనవి

రెండవ-ఆర్డర్ ప్రారంభ క్షణం (లేదా రెండవ ప్రారంభ క్షణం) సమానంగా ఉంటుంది

వివిక్త SV కోసం;

, నిరంతర SV కోసం;

కొన్నిసార్లు దీనిని పిలుస్తారు యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సగటు చతురస్రంమరియు నియమించబడినది ఎం.

మూడవ ఆర్డర్ ప్రారంభ క్షణం (లేదా మూడవ ప్రారంభ క్షణం) సమానంగా ఉంటుంది

వివిక్త SV కోసం;

, నిరంతర SV కోసం

కొన్నిసార్లు దీనిని పిలుస్తారు యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సగటు క్యూబ్మరియు నియమించబడినది ఎం[X 3 ].

ప్రారంభ పాయింట్ల జాబితాను కొనసాగించడంలో అర్థం లేదు. ఆర్డర్ యొక్క క్షణాల యొక్క ముఖ్యమైన వివరణపై మనం నివసిద్దాం కె>1. లెట్, SV తో పాటు Xఒక SV కూడా ఉంది వై, మరియు Y=X కె (కె=2, 3, ...). ఈ సమానత్వం అంటే యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ Xమరియు వై SV అనే అర్థంలో నిర్ణయాత్మకంగా అనుసంధానించబడి ఉంటాయి Xవిలువను తీసుకుంటుంది x, NE వైవిలువను తీసుకుంటుంది y=x కె(భవిష్యత్తులో, SV యొక్క ఈ కనెక్షన్ మరింత వివరంగా పరిగణించబడుతుంది). అప్పుడు, (3.4.1) మరియు (3.4.2) ప్రకారం

=m వై , కె=2, 3, ...,

అనగా కె SV యొక్క ప్రారంభ క్షణం గణిత నిరీక్షణకు సమానం కెఈ యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క -వ శక్తి. ఉదాహరణకు, యాదృచ్ఛిక క్యూబ్ యొక్క అంచు పొడవు యొక్క మూడవ ప్రారంభ క్షణం క్యూబ్ యొక్క వాల్యూమ్ యొక్క గణిత అంచనాకు సమానం. క్షణాలను నిర్దిష్ట గణిత అంచనాలుగా అర్థం చేసుకునే అవకాశం గణిత నిరీక్షణ భావన యొక్క ప్రాముఖ్యత యొక్క మరొక కోణం.

కేంద్ర అంశాలను పరిగణలోకి తీసుకుని వెళ్దాం. దిగువ స్పష్టంగా కనిపించే విధంగా, ప్రారంభ క్షణాల ద్వారా కేంద్ర క్షణాలు నిస్సందేహంగా వ్యక్తీకరించబడతాయి మరియు దీనికి విరుద్ధంగా, కేంద్ర క్షణాలు ఎందుకు అవసరం మరియు ప్రారంభ క్షణాలు ఎందుకు సరిపోవు అనే ప్రశ్న తలెత్తుతుంది. SVని పరిశీలిద్దాం X(నిరంతర లేదా వివిక్త) మరియు మరొక SV Y, మొదటి దానికి సంబంధించినది Y=X+a, ఎక్కడ a 0 అనేది యాదృచ్ఛికం కాని వాస్తవ సంఖ్య. ప్రతి విలువ xయాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ Xవిలువకు అనుగుణంగా ఉంటుంది y=x+aయాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ వై, అందువలన SV పంపిణీ వై SV పంపిణీ వలె అదే ఆకారాన్ని కలిగి ఉంటుంది (వివిక్త సందర్భంలో పంపిణీ బహుభుజి లేదా నిరంతర సందర్భంలో సంభావ్యత సాంద్రత ద్వారా వ్యక్తీకరించబడుతుంది) X, కానీ మొత్తం ద్వారా x-అక్షం వెంట మార్చబడింది a. పర్యవసానంగా, SV యొక్క ప్రారంభ క్షణాలు వై SV యొక్క సంబంధిత క్షణాల నుండి భిన్నంగా ఉంటుంది X. ఉదాహరణకు, చూడటం సులభం m వై =m x +a(అధిక క్రమం యొక్క క్షణాలు మరింత సంక్లిష్ట సంబంధాలతో అనుసంధానించబడి ఉంటాయి). కాబట్టి మేము దానిని స్థాపించాము మొత్తం పంపిణీ యొక్క మార్పుకు సంబంధించి ప్రారంభ క్షణాలు మారవు. మీరు పంపిణీని కాకుండా x-అక్షం యొక్క ప్రారంభాన్ని క్షితిజ సమాంతరంగా మార్చినట్లయితే అదే ఫలితం పొందబడుతుంది - a, అనగా సమానమైన ముగింపు కూడా చెల్లుతుంది: x-అక్షం ప్రారంభం యొక్క క్షితిజ సమాంతర మార్పుకు సంబంధించి ప్రారంభ క్షణాలు మారవు.

మొత్తంగా వాటి మార్పుపై ఆధారపడని పంపిణీల లక్షణాలను వివరించడానికి ఉద్దేశించిన సెంట్రల్ మూమెంట్‌లు ఈ లోపం నుండి విముక్తి పొందాయి. నిజానికి, (3.4.3) మరియు (3.4.4) నుండి చూడగలిగినట్లుగా, మొత్తం పంపిణీ మొత్తం మారినప్పుడు a, లేదా, అదే ఏమిటి, మొత్తం ద్వారా x-అక్షం యొక్క ప్రారంభాన్ని మార్చడం - a, అన్ని విలువలు x, అదే సంభావ్యతతో (వివిక్త సందర్భంలో) లేదా అదే సంభావ్యత సాంద్రత (నిరంతర సందర్భంలో), మొత్తం ద్వారా మారుతుంది a, కానీ పరిమాణం అదే మొత్తంలో మారుతుంది m, కాబట్టి సమానత్వాల కుడి వైపున ఉన్న కుండలీకరణాల విలువలు మారవు. ఈ విధంగా, మొత్తం పంపిణీ యొక్క మార్పుకు సంబంధించి కేంద్ర క్షణాలు మారవు, లేదా, x-అక్షం యొక్క ప్రారంభం యొక్క క్షితిజ సమాంతర మార్పుకు సంబంధించి అదే విధంగా ఉంటుంది.మొదటి ప్రారంభ క్షణం "సెంటర్" అని పిలువబడే ఆ రోజుల్లో ఈ క్షణాలు "సెంట్రల్" అనే పేరును పొందాయి. SV యొక్క కేంద్ర క్షణం గమనించడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది X SV యొక్క సంబంధిత ప్రారంభ క్షణంగా అర్థం చేసుకోవచ్చు X 0 సమానం

X 0 =X-m x .

NE X 0 అంటారు కేంద్రీకృతమై(SV కి సంబంధించి X), మరియు దానికి దారితీసే ఆపరేషన్, అనగా యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ నుండి దాని గణిత అంచనాను తీసివేయడం అంటారు. కేంద్రీకృతమై. మేము తరువాత చూస్తాము, ఈ భావన మరియు ఈ ఆపరేషన్ కోర్సు అంతటా ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది. ఆర్డర్ యొక్క కేంద్ర క్షణం అని గమనించండి కె>1 గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణగా పరిగణించవచ్చు (సగటు) కెకేంద్రీకృత SV యొక్క -వ డిగ్రీ: .

దిగువ ఆర్డర్‌ల యొక్క కేంద్ర క్షణాలను విడిగా పరిశీలిద్దాం. సున్నా క్రమం కేంద్ర క్షణం సమానం

, వివిక్త SVల కోసం;

, నిరంతర SV కోసం;

అంటే ఏదైనా SV కోసం మరియు ఈ SV యొక్క గణాంక లక్షణాల గురించి ఎటువంటి సమాచారాన్ని కలిగి ఉండదు.

మొదటి ఆర్డర్ కేంద్ర క్షణం (లేదా మొదటి కేంద్ర క్షణం) సమానంగా ఉంటుంది

వివిక్త SV కోసం;

నిరంతర CB కోసం; అంటే ఏదైనా SV కోసం మరియు ఈ SV యొక్క గణాంక లక్షణాల గురించి ఎటువంటి సమాచారాన్ని కలిగి ఉండదు.

రెండవ ఆర్డర్ కేంద్ర క్షణం (లేదా రెండవ కేంద్ర క్షణం) సమానం

, వివిక్త SV కోసం;

, నిరంతర SV కోసం.

క్రింద స్పష్టంగా తెలుస్తుంది, సంభావ్యత సిద్ధాంతంలో ఈ పాయింట్ చాలా ముఖ్యమైనది, ఎందుకంటే ఇది SV విలువల వ్యాప్తి (లేదా వ్యాప్తి) యొక్క కొలత యొక్క లక్షణంగా ఉపయోగించబడుతుంది, కాబట్టి దీనిని తరచుగా పిలుస్తారు. చెదరగొట్టడంమరియు నియమించబడినది డి X. ఇది కేంద్రీకృత SV యొక్క సగటు వర్గంగా అర్థం చేసుకోవచ్చని గమనించండి.

మూడవ ఆర్డర్ కేంద్ర క్షణం (మూడవ కేంద్ర క్షణం) సమానం

ఆశించిన విలువ. గణిత నిరీక్షణవివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ X, పరిమిత సంఖ్యలో విలువలను తీసుకోవడం Xiసంభావ్యతతో ఆర్i, మొత్తం అంటారు:

గణిత నిరీక్షణనిరంతర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ Xదాని విలువల ఉత్పత్తి యొక్క సమగ్రత అంటారు Xసంభావ్యత పంపిణీ సాంద్రతపై f(x):

(6బి)

సరికాని సమగ్ర (6 బి) ఖచ్చితంగా కన్వర్జెంట్‌గా భావించబడుతుంది (లేకపోతే వారు గణిత అంచనా ఎం(X) ఉనికిలో లేదు). గణిత నిరీక్షణ లక్షణం సగటు విలువయాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ X. దీని పరిమాణం యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క పరిమాణంతో సమానంగా ఉంటుంది.

గణిత నిరీక్షణ లక్షణాలు:

చెదరగొట్టడం. వైవిధ్యంయాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ Xసంఖ్య అంటారు:

వైవిధ్యం ఉంది చెదరగొట్టే లక్షణంయాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ విలువలు Xదాని సగటు విలువకు సంబంధించి ఎం(X) వైవిధ్యం యొక్క పరిమాణం యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ స్క్వేర్డ్ యొక్క పరిమాణానికి సమానం. వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ కోసం భేదం (8) మరియు గణిత నిరీక్షణ (5) మరియు నిరంతర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ కోసం (6) నిర్వచనాల ఆధారంగా, మేము వ్యత్యాసం కోసం ఒకే విధమైన వ్యక్తీకరణలను పొందుతాము:

(9)

ఇక్కడ m = ఎం(X).

వ్యాప్తి లక్షణాలు:

ప్రామాణిక విచలనం:

(11)

ప్రామాణిక విచలనం యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ వలె అదే కోణాన్ని కలిగి ఉంటుంది కాబట్టి, ఇది తరచుగా వ్యత్యాసం కంటే వ్యాప్తి యొక్క కొలతగా ఉపయోగించబడుతుంది.

పంపిణీ క్షణాలు. గణిత నిరీక్షణ మరియు వ్యాప్తి యొక్క భావనలు యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క సంఖ్యా లక్షణాల కోసం మరింత సాధారణ భావన యొక్క ప్రత్యేక సందర్భాలు - పంపిణీ క్షణాలు. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క పంపిణీ యొక్క క్షణాలు యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క కొన్ని సాధారణ ఫంక్షన్ల యొక్క గణిత అంచనాలుగా పరిచయం చేయబడ్డాయి. కాబట్టి, ఆర్డర్ యొక్క క్షణం కెపాయింట్ కు సంబంధించి X 0ని గణిత నిరీక్షణ అంటారు ఎం(X–X 0 )కె. మూలం గురించి క్షణాలు X= 0 అంటారు ప్రారంభ క్షణాలుమరియు నియమించబడినవి:

(12)

మొదటి ఆర్డర్ యొక్క ప్రారంభ క్షణం పరిశీలనలో ఉన్న యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ పంపిణీకి కేంద్రం:

(13)

పంపిణీ కేంద్రం గురించి క్షణాలు X= mఅంటారు కేంద్ర పాయింట్లుమరియు నియమించబడినవి:

(14)

(7) నుండి మొదటి-ఆర్డర్ కేంద్ర క్షణం ఎల్లప్పుడూ సున్నాకి సమానంగా ఉంటుంది:

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క విలువల మూలంపై కేంద్ర క్షణాలు ఆధారపడి ఉండవు, ఎందుకంటే స్థిరమైన విలువ ద్వారా మార్చబడినప్పుడు తోదాని పంపిణీ కేంద్రం అదే విలువతో మారుతుంది తో, మరియు కేంద్రం నుండి విచలనం మారదు: X – m = (X – తో) – (m – తో).
ఇప్పుడు అది స్పష్టంగా ఉంది చెదరగొట్టడం- ఇది రెండవ ఆర్డర్ సెంట్రల్ క్షణం:

అసమానత. మూడవ ఆర్డర్ కేంద్ర క్షణం:

(17)

మూల్యాంకనానికి ఉపయోగపడుతుంది పంపిణీ అసమానతలు. పంపిణీ పాయింట్ గురించి సుష్టంగా ఉంటే X= m, అప్పుడు మూడవ-ఆర్డర్ సెంట్రల్ మూమెంట్ సున్నాకి సమానంగా ఉంటుంది (బేసి ఆర్డర్‌ల యొక్క అన్ని సెంట్రల్ మూమెంట్‌ల వలె). అందువల్ల, మూడవ-ఆర్డర్ కేంద్ర క్షణం సున్నాకి భిన్నంగా ఉంటే, అప్పుడు పంపిణీ సౌష్టవంగా ఉండకూడదు. డైమెన్షన్‌లెస్‌ని ఉపయోగించి అసమానత పరిమాణం అంచనా వేయబడుతుంది అసమాన గుణకం:

(18)

అసమాన గుణకం యొక్క సంకేతం (18) కుడి వైపు లేదా ఎడమ వైపు అసమానతను సూచిస్తుంది (Fig. 2).

అన్నం. 2. పంపిణీ అసమానత రకాలు.

మిగులు. నాల్గవ ఆర్డర్ కేంద్ర క్షణం:

(19)

అని పిలవబడే వాటిని మూల్యాంకనం చేయడానికి ఉపయోగపడుతుంది అదనపు, ఇది సాధారణ పంపిణీ వక్రరేఖకు సంబంధించి పంపిణీ మధ్యలో ఉన్న పంపిణీ వక్రత యొక్క ఏటవాలు (పీక్‌నెస్) స్థాయిని నిర్ణయిస్తుంది. సాధారణ పంపిణీ కోసం, కుర్టోసిస్‌గా తీసుకోబడిన విలువ:

(20)

అంజీర్లో. మూర్తి 3 వివిధ కుర్టోసిస్ విలువలతో పంపిణీ వక్రరేఖల ఉదాహరణలను చూపుతుంది. సాధారణ పంపిణీ కోసం ఇ= 0. సాధారణం కంటే ఎక్కువ సూటిగా ఉండే వక్రరేఖలు సానుకూల కుర్టోసిస్‌ను కలిగి ఉంటాయి, ఫ్లాట్-టాప్‌గా ఉన్నవి ప్రతికూల కుర్టోసిస్‌ను కలిగి ఉంటాయి.

అన్నం. 3. వివిధ స్థాయిల ఏటవాలు (కుర్టోసిస్)తో పంపిణీ వక్రతలు.

గణిత గణాంకాల ఇంజనీరింగ్ అప్లికేషన్‌లలో సాధారణంగా హయ్యర్ ఆర్డర్ క్షణాలు ఉపయోగించబడవు.

ఫ్యాషన్ వివిక్తయాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ దాని అత్యంత సంభావ్య విలువ. ఫ్యాషన్ నిరంతరయాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ అనేది సంభావ్యత సాంద్రత గరిష్టంగా ఉండే దాని విలువ (Fig. 2). పంపిణీ వక్రరేఖ గరిష్టంగా ఒకదాన్ని కలిగి ఉంటే, అప్పుడు పంపిణీ అంటారు ఏకరీతి. పంపిణీ వక్రరేఖ గరిష్టంగా ఒకటి కంటే ఎక్కువ ఉంటే, అప్పుడు పంపిణీ అంటారు మల్టీమోడల్. కొన్నిసార్లు వక్రతలు గరిష్టంగా కాకుండా కనిష్టంగా ఉండే పంపిణీలు ఉన్నాయి. ఇటువంటి పంపిణీలు అంటారు వ్యతిరేక మోడల్. సాధారణ సందర్భంలో, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క మోడ్ మరియు గణిత నిరీక్షణ ఏకీభవించవు. ప్రత్యేక సందర్భంలో, కోసం మోడల్, అనగా ఒక మోడ్, సుష్ట పంపిణీ మరియు గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ ఉన్నట్లయితే, రెండోది పంపిణీ యొక్క మోడ్ మరియు సెంటర్ ఆఫ్ సిమెట్రీతో సమానంగా ఉంటుంది.

మధ్యస్థ యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ X- ఇది దాని అర్థం మెహ్, దీని కోసం సమానత్వం ఉంటుంది: అనగా. ఇది యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ కూడా సమానంగా ఉంటుంది Xతక్కువ లేదా ఎక్కువ ఉంటుంది మెహ్. రేఖాగణితం మధ్యస్థడిస్ట్రిబ్యూషన్ కర్వ్ కింద ఉన్న ప్రాంతం సగానికి విభజించబడిన బిందువు యొక్క అబ్సిస్సా (Fig. 2). సిమెట్రిక్ మోడల్ డిస్ట్రిబ్యూషన్ విషయంలో, మధ్యస్థ, మోడ్ మరియు గణిత నిరీక్షణ ఒకే విధంగా ఉంటాయి.