సంభావ్యత సిద్ధాంతం అనేది యాదృచ్ఛిక దృగ్విషయాలలో నమూనాలను అధ్యయనం చేసే గణిత శాస్త్రం. సిద్ధాంతం యొక్క ఆవిర్భావం 17వ శతాబ్దం మధ్యకాలం నాటిది మరియు హ్యూజెన్స్, పాస్కల్, ఫెర్మాట్, J. బెర్నౌలీ పేర్లతో ముడిపడి ఉంది.

మేము విడదీయరాని ఫలితాలు,..., కొన్ని ప్రయోగాల ప్రాథమిక సంఘటనలు మరియు వాటి సంపూర్ణత అని పిలుస్తాము

(పరిమిత) ప్రాథమిక సంఘటనల స్థలం లేదా ఫలితాల స్థలం.

ఉదాహరణ 21. ఎ) డైని విసిరేటప్పుడు, ప్రాథమిక సంఘటనల స్థలం ఆరు పాయింట్లను కలిగి ఉంటుంది:

బి) ఒక నాణెంను వరుసగా రెండుసార్లు టాసు చేయండి

ఇక్కడ G అనేది "కోట్ ఆఫ్ ఆర్మ్స్", P అనేది "లాటిస్" మరియు మొత్తం ఫలితాల సంఖ్య

c) "కోట్ ఆఫ్ ఆర్మ్స్" మొదటి ప్రదర్శన వరకు ఒక నాణెం టాసు, ఆపై

ఈ సందర్భంలో, దీనిని ప్రాథమిక సంఘటనల వివిక్త స్థలం అంటారు.

ట్రయల్ ఫలితంగా నిర్దిష్ట ఫలితం ఏమవుతుందనే దానిపై సాధారణంగా ఆసక్తి ఉండదు, కానీ ఫలితం అన్ని ఫలితాలలో ఒకటి లేదా మరొక ఉపసమితికి చెందినదా అనే దానిపై ఆసక్తి ఉంటుంది. ప్రయోగాత్మక పరిస్థితుల ప్రకారం, రెండు రకాల్లో ఒకదాని ప్రతిస్పందన సాధ్యమయ్యే అన్ని ఉపసమితులు: “ఫలితం” లేదా “ఫలితం”, మేము ఈవెంట్‌లు అని పిలుస్తాము.

ఉదాహరణ 21 బి) సెట్ = (GG, GR, RG) అనేది కనీసం ఒక "కోట్ ఆఫ్ ఆర్మ్స్" కనిపించే సంఘటన. ఈవెంట్ స్థలం యొక్క మూడు ప్రాథమిక ఫలితాలను కలిగి ఉంటుంది

రెండు సంఘటనల మొత్తం ఒక ఈవెంట్ లేదా ఈవెంట్ యొక్క నెరవేర్పుతో కూడిన ఈవెంట్.

ఈవెంట్‌ల ఉత్పత్తి అనేది ఒక ఈవెంట్ మరియు ఈవెంట్‌ని ఉమ్మడిగా అమలు చేసే సంఘటన.

ఒక ఈవెంట్‌కు వ్యతిరేకం అనేది కనిపించని సంఘటనను కలిగి ఉంటుంది మరియు అందుచేత దానిని పూర్తి చేస్తుంది.

సెట్‌ని నమ్మదగిన సంఘటన అంటారు, ఖాళీ సెట్‌ను అసాధ్యమైనది అంటారు.

ఒక సంఘటన యొక్క ప్రతి సంఘటన ఒక సంఘటనతో పాటుగా ఉంటే, అప్పుడు వారు వ్రాసి, ముందు లేదా ఏమి చేయాలో చెబుతారు.

ఈవెంట్స్ మరియు ఉంటే మరియు సమానం అని చెప్పబడింది.

నిర్వచనం. ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత అనేది అన్ని ప్రాథమిక ఫలితాల సంఖ్యకు ఈవెంట్‌ను రూపొందించే ప్రాథమిక ఫలితాల సంఖ్య నిష్పత్తికి సమానమైన సంఖ్య.

సమానంగా సంభావ్య సంఘటనల కేసు ("క్లాసికల్" అని పిలుస్తారు, కాబట్టి సంభావ్యత

"క్లాసికల్" అని పిలుస్తారు.

ఈవెంట్‌లో చేర్చబడిన ప్రాథమిక సంఘటనలు (అనుభవం యొక్క ఫలితాలు) "అనుకూలమైనవి" అంటారు.

సాంప్రదాయ సంభావ్యత యొక్క లక్షణాలు:

ఒకవేళ (మరియు అననుకూల సంఘటనలు).

ఉదాహరణ 22 (హ్యూజెన్స్ సమస్య). కలశంలో 2 తెలుపు మరియు 4 నలుపు బంతులు ఉన్నాయి. ఒక జూదం ఆడే వ్యక్తి గీసిన 3 బంతుల్లో సరిగ్గా ఒక తెల్లటి బంతి ఉంటుందని మరొకరితో పందెం వేస్తాడు. వివాదాస్పద అవకాశాలు ఏ విషయంలో ఉన్నాయి?

పరిష్కారం 1 (సాంప్రదాయ). ఈ సందర్భంలో, పరీక్ష = (3 బంతులను తీసుకోవడం), మరియు ఈవెంట్ వివాదాల్లో ఒకరికి అనుకూలంగా ఉంటుంది:

= (ఖచ్చితంగా ఒక తెల్లని బంతిని పొందండి).

మూడు బంతులు డ్రా చేయబడిన క్రమం ముఖ్యం కాదు కాబట్టి

ఒక తెల్లని బంతిని సందర్భాలలో పొందవచ్చు, మరియు రెండు నలుపు రంగులు - ఆపై కాంబినేటరిక్స్ యొక్క ప్రాథమిక నియమం ప్రకారం. అందువల్ల, మరియు సంభావ్యత యొక్క ఐదవ ఆస్తి ద్వారా, కాబట్టి,

పరిష్కారం 2. ఫలితాల యొక్క సంభావ్య వృక్షాన్ని సృష్టిద్దాం:

ఉదాహరణ 23. ఒక పిగ్గీ బ్యాంకును పరిగణించండి, దీనిలో నాలుగు నాణేలు మిగిలి ఉన్నాయి - ఒక్కొక్కటి 2 రూబిళ్లు. మరియు 5 రూబిళ్లు కోసం ఒకటి. మేము రెండు నాణేలను తీసుకుంటాము.

పరిష్కారం. ఎ) రెండు వరుస వెలికితీతలు (రిటర్న్‌తో) క్రింది ఫలితాలకు దారి తీయవచ్చు:

ఈ ప్రతి ఫలితాల సంభావ్యత ఎంత?

పట్టిక మొత్తం పదహారు కేసులను చూపుతుంది.

అందుకే,

కింది చెట్టు అదే ఫలితాలకు దారి తీస్తుంది:

బి) రెండు వరుస వెలికితీతలు (పునరావృతం లేకుండా) క్రింది మూడు ఫలితాలకు దారి తీయవచ్చు:

పట్టిక అన్ని సాధ్యమైన ఫలితాలను చూపుతుంది:

అందుకే,

సంబంధిత చెట్టు అదే ఫలితాలకు దారి తీస్తుంది:

ఉదాహరణ 24 (డి మేరే సమస్య). ఇద్దరు వ్యక్తులు ఐదు విజయాల వరకు టాస్-అప్ గేమ్ ఆడతారు. మొదటిది నాలుగు గేమ్‌లు గెలవగా, రెండోది మూడు గేమ్‌లు గెలిస్తే గేమ్ ఆగిపోతుంది. ఈ సందర్భంలో ప్రారంభ పందెం ఎలా విభజించబడాలి?

పరిష్కారం. ఈవెంట్ = (బహుమతి గెలుచుకున్న మొదటి ఆటగాడు అవ్వండి). అప్పుడు మొదటి ఆటగాడికి సంభావ్య చెల్లింపు చెట్టు క్రింది విధంగా ఉంటుంది:

అందువల్ల, పందెం యొక్క మూడు భాగాలు మొదటి ఆటగాడికి మరియు ఒక భాగాన్ని రెండవ ఆటగాడికి ఇవ్వాలి.

మేము §1 (ఉదాహరణ 2)లో పరిగణించిన క్రింది ఉదాహరణను ఉపయోగించి గ్రాఫ్‌లను ఉపయోగించి సంభావ్య సమస్యలను పరిష్కరించడం యొక్క ప్రభావాన్ని ప్రదర్శిస్తాము.

ఉదాహరణ 25. "కౌంటింగ్ టేబుల్"ని ఉపయోగించడం న్యాయమా?

పరిష్కారం. ఫలితాల సంభావ్య వృక్షాన్ని సృష్టిద్దాం:

మరియు, అందువలన, "కౌంటింగ్ గేమ్స్" ఆడుతున్నప్పుడు రెండవ స్థానంలో నిలబడటానికి మరింత లాభదాయకంగా ఉంటుంది.

చివరి పరిష్కారం సంభావ్యత యొక్క సంకలనం మరియు గుణకార సిద్ధాంతాల గ్రాఫ్ వివరణలను ఉపయోగిస్తుంది:

మరియు ముఖ్యంగా

అననుకూల సంఘటనలు మరియు ఉంటే

మరియు, ఉంటే మరియు - స్వతంత్ర సంఘటనలు.

స్టాటిక్ సంభావ్యత

సాంప్రదాయిక నిర్వచనం, సంక్లిష్ట సమస్యలను పరిగణనలోకి తీసుకున్నప్పుడు, అధిగమించలేని స్వభావం యొక్క ఇబ్బందులను ఎదుర్కొంటుంది. ప్రత్యేకించి, కొన్ని సందర్భాల్లో సమానంగా సంభావ్య కేసులను గుర్తించడం సాధ్యం కాకపోవచ్చు. ఒక నాణెం విషయంలో కూడా, మనకు తెలిసినట్లుగా, "అంచు" పడిపోయే అవకాశం స్పష్టంగా లేదు, ఇది సైద్ధాంతిక పరిశీలనల నుండి అంచనా వేయబడదు (అది అసంభవమని మరియు ఈ పరిశీలన బదులుగా ఉందని మాత్రమే చెప్పవచ్చు. ఆచరణాత్మక). అందువల్ల, సంభావ్యత సిద్ధాంతం ఏర్పడిన ప్రారంభంలో కూడా, సంభావ్యత యొక్క ప్రత్యామ్నాయ "ఫ్రీక్వెన్సీ" నిర్వచనం ప్రతిపాదించబడింది. అవి, అధికారికంగా, సంభావ్యత అనేది ఈవెంట్ A యొక్క పరిశీలనల ఫ్రీక్వెన్సీపై పరిమితిగా నిర్వచించబడుతుంది, పరిశీలనల సజాతీయత (అంటే, అన్ని పరిశీలన పరిస్థితుల యొక్క సారూప్యత) మరియు ఒకదానికొకటి స్వతంత్రంగా ఉంటుంది:

పరిశీలనల సంఖ్య ఎక్కడ ఉంది మరియు ఈవెంట్ యొక్క సంఘటనల సంఖ్య.

ఈ నిర్వచనం తెలియని సంభావ్యతను అంచనా వేయడానికి ఒక మార్గాన్ని సూచిస్తున్నప్పటికీ - పెద్ద సంఖ్యలో సజాతీయ మరియు స్వతంత్ర పరిశీలనల ద్వారా - అయినప్పటికీ, ఈ నిర్వచనం సంభావ్యత యొక్క భావన యొక్క కంటెంట్‌ను ప్రతిబింబిస్తుంది. అవి, ఒక నిర్దిష్ట సంభావ్యత ఒక ఈవెంట్‌కు దాని సంభావ్యత యొక్క లక్ష్యం కొలతగా కేటాయించబడితే, దీని అర్థం స్థిరమైన పరిస్థితులు మరియు పునరావృత పునరావృత్తులు దాని సంభవనీయత యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీని దగ్గరగా (ఎక్కువ పరిశీలనలు ఉన్నంత దగ్గరగా) పొందాలి. వాస్తవానికి, ఇది సంభావ్యత భావన యొక్క అసలు అర్థం. ఇది సహజ దృగ్విషయాల యొక్క ఆబ్జెక్టివిస్ట్ దృక్కోణంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. సంభావ్యత యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీ అంచనాతో సహా సైద్ధాంతిక ఆధారాన్ని (క్రింద వివరించిన ఆధునిక అక్షసంబంధ విధానం యొక్క ఫ్రేమ్‌వర్క్‌లో) అందించే పెద్ద సంఖ్యల చట్టాలు అని పిలవబడే వాటిని మేము క్రింద పరిశీలిస్తాము.

మునిసిపల్ ఎడ్యుకేషనల్ ఇన్స్టిట్యూట్

వ్యాయామశాల నం. 6

"సంభావ్యత యొక్క క్లాసికల్ నిర్వచనం" అనే అంశంపై

గ్రేడ్ 8 "B" విద్యార్థిచే పూర్తి చేయబడింది

క్లిమంటోవా అలెగ్జాండ్రా.

గణిత ఉపాధ్యాయుడు: విడెంకినా V. A.

వొరోనెజ్, 2008

అనేక ఆటలు పాచికలు ఉపయోగిస్తాయి. క్యూబ్‌కు 6 వైపులా ఉన్నాయి, ప్రతి వైపు 1 నుండి 6 వరకు వేర్వేరు సంఖ్యలో చుక్కలు గుర్తించబడతాయి. ప్లేయర్ పాచికలను చుట్టి, పడిపోయిన వైపు (పైన ఉన్న వైపు) ఎన్ని చుక్కలు ఉన్నాయో చూస్తాడు. . చాలా తరచుగా, క్యూబ్ యొక్క ముఖంపై ఉన్న పాయింట్లు సంబంధిత సంఖ్యతో భర్తీ చేయబడతాయి మరియు తర్వాత వారు 1, 2 లేదా 6ని రోలింగ్ చేయడం గురించి మాట్లాడతారు. డై విసరడం అనేది ఒక అనుభవం, ప్రయోగం, ఒక పరీక్ష మరియు పొందిన ఫలితం పరీక్ష లేదా ప్రాథమిక సంఘటన యొక్క ఫలితం. ఈ లేదా ఆ సంఘటన యొక్క సంఘటనను ఊహించడం మరియు దాని ఫలితాన్ని అంచనా వేయడంలో ప్రజలు ఆసక్తి కలిగి ఉంటారు. వారు పాచికలను చుట్టినప్పుడు వారు ఎలాంటి అంచనాలు వేయగలరు? ఉదాహరణకు, ఇవి:

1) ఈవెంట్ A - సంఖ్య 1, 2, 3, 4, 5 లేదా 6 రోల్ చేయబడింది;

2) ఈవెంట్ B - సంఖ్య 7, 8 లేదా 9 కనిపిస్తుంది;

3) ఈవెంట్ సి - సంఖ్య 1 కనిపిస్తుంది.

మొదటి సందర్భంలో ఊహించిన ఈవెంట్ A, ఖచ్చితంగా జరుగుతుంది. సాధారణంగా, ఇచ్చిన అనుభవంలో ఖచ్చితంగా సంభవించే సంఘటన అంటారు నమ్మదగిన సంఘటన .

ఈవెంట్ B, రెండవ సందర్భంలో ఊహించబడింది, ఎప్పటికీ జరగదు, ఇది కేవలం అసాధ్యం. సాధారణంగా, ఇచ్చిన అనుభవంలో జరగని సంఘటన అంటారు అసాధ్యమైన సంఘటన .

మరియు మూడవ సందర్భంలో ఊహించిన ఈవెంట్ C, జరుగుతుందా లేదా? మేము ఈ ప్రశ్నకు పూర్తి నిశ్చయతతో సమాధానం చెప్పలేము, ఎందుకంటే 1 నుండి బయటకు రావచ్చు లేదా రాకపోవచ్చు. ఇచ్చిన అనుభవంలో సంభవించే లేదా జరగని సంఘటన అంటారు యాదృచ్ఛిక సంఘటన .

నమ్మదగిన సంఘటన గురించి ఆలోచిస్తున్నప్పుడు, మేము చాలా మటుకు "బహుశా" అనే పదాన్ని ఉపయోగించము. ఉదాహరణకు, ఈ రోజు బుధవారం అయితే, రేపు గురువారం, ఇది నమ్మదగిన సంఘటన. బుధవారం మేము చెప్పము: "బహుశా రేపు గురువారం," మేము క్లుప్తంగా మరియు స్పష్టంగా చెబుతాము: "రేపు గురువారం." నిజమే, మనం అందమైన పదబంధాలకు లోనవుతున్నట్లయితే, మనం ఇలా చెప్పవచ్చు: "నూరు శాతం సంభావ్యతతో నేను రేపు గురువారం అని చెప్తున్నాను." దీనికి విరుద్ధంగా, ఈ రోజు బుధవారం అయితే, రేపు శుక్రవారం ప్రారంభం కావడం అసాధ్యం. బుధవారం ఈ ఈవెంట్‌ను అంచనా వేస్తూ, మనం ఇలా చెప్పగలం: "రేపు శుక్రవారం కాదని నేను ఖచ్చితంగా అనుకుంటున్నాను." లేదా ఇది: "రేపు శుక్రవారం కావడం నమ్మశక్యం కాదు." సరే, మనం అందమైన పదబంధాలకు లోనవుతున్నట్లయితే, మనం ఇలా చెప్పవచ్చు: "రేపు శుక్రవారం అయ్యే సంభావ్యత సున్నా." కాబట్టి, నమ్మదగిన సంఘటన అనేది ఇచ్చిన పరిస్థితులలో సంభవించే సంఘటన వంద శాతం సంభావ్యతతో(అనగా, 10కి 10 కేసుల్లో, 100లో 100 కేసుల్లో, మొదలైనవి). అసాధ్యమైన సంఘటన అనేది ఇచ్చిన పరిస్థితులలో ఎప్పుడూ జరగని సంఘటన, ఒక సంఘటన సున్నా సంభావ్యతతో .

కానీ, దురదృష్టవశాత్తు (మరియు బహుశా అదృష్టవశాత్తూ), జీవితంలో ప్రతిదీ చాలా స్పష్టంగా మరియు ఖచ్చితమైనది కాదు: ఇది ఎల్లప్పుడూ ఉంటుంది (నిర్దిష్ట సంఘటన), ఇది ఎప్పటికీ (అసాధ్యమైన సంఘటన). చాలా తరచుగా మనం యాదృచ్ఛిక సంఘటనలను ఎదుర్కొంటాము, వాటిలో కొన్ని ఎక్కువ సంభావ్యమైనవి, మరికొన్ని తక్కువ సంభావ్యమైనవి. సాధారణంగా ప్రజలు "ఎక్కువ అవకాశం" లేదా "తక్కువ అవకాశం" అనే పదాలను ఉపయోగిస్తారు, వారు చెప్పినట్లు, ఒక ఇష్టానుసారం, ఇంగితజ్ఞానం అని పిలవబడే వాటిపై ఆధారపడతారు. కానీ చాలా తరచుగా ఇటువంటి అంచనాలు సరిపోవు, ఎందుకంటే తెలుసుకోవడం ముఖ్యం ఎంత వరకూశాతం బహుశా యాదృచ్ఛిక సంఘటన లేదా ఎన్ని సార్లుఒక యాదృచ్ఛిక సంఘటన మరొకదాని కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, మనకు ఖచ్చితమైన అవసరం పరిమాణాత్మకమైనలక్షణాలు, మీరు సంభావ్యతను సంఖ్యతో వర్ణించగలగాలి.

ఈ దిశగా ఇప్పటికే తొలి అడుగులు వేసాం. ఒక నిర్దిష్ట సంఘటన సంభవించే సంభావ్యత ఇలా వర్గీకరించబడిందని మేము చెప్పాము వంద శాతం, మరియు అసాధ్యమైన సంఘటన సంభవించే సంభావ్యత ఇలా ఉంటుంది సున్నా. 100% 1కి సమానం అయినందున, ప్రజలు ఈ క్రింది వాటిని అంగీకరించారు:

1) నమ్మదగిన సంఘటన యొక్క సంభావ్యత సమానంగా పరిగణించబడుతుంది 1;

2) అసాధ్యమైన సంఘటన యొక్క సంభావ్యత సమానంగా పరిగణించబడుతుంది 0.

యాదృచ్ఛిక సంఘటన యొక్క సంభావ్యతను ఎలా లెక్కించాలి? అన్ని తరువాత, ఇది జరిగింది అనుకోకుండా, అంటే ఇది చట్టాలు, అల్గారిథమ్‌లు లేదా ఫార్ములాలను పాటించదు. యాదృచ్ఛికత ప్రపంచంలో సంభావ్యతలను లెక్కించడానికి అనుమతించే కొన్ని చట్టాలు వర్తిస్తాయని తేలింది. ఇది గణిత శాస్త్ర శాఖగా పిలువబడుతుంది - సంభావ్యత సిద్ధాంతం .

గణితం వ్యవహరిస్తుంది మోడల్మన చుట్టూ ఉన్న వాస్తవికత యొక్క కొన్ని దృగ్విషయం. సంభావ్యత సిద్ధాంతంలో ఉపయోగించే అన్ని మోడళ్లలో, మనం సరళమైన వాటికి పరిమితం చేస్తాము.

క్లాసికల్ ప్రాబబిలిస్టిక్ స్కీమ్

కొన్ని ప్రయోగాలు చేస్తున్నప్పుడు ఈవెంట్ A యొక్క సంభావ్యతను కనుగొనడానికి, మీరు వీటిని చేయాలి:

1) ఈ ప్రయోగం యొక్క సాధ్యమయ్యే అన్ని ఫలితాల సంఖ్య N ను కనుగొనండి;

2) ఈ ఫలితాలన్నింటికీ సమాన సంభావ్యత (సమాన అవకాశం) యొక్క ఊహను అంగీకరించండి;

3) ఈవెంట్ A సంభవించే ప్రయోగాత్మక ఫలితాల సంఖ్య N(A)ని కనుగొనండి;

4) గుణకాన్ని కనుగొనండి ; ఇది ఈవెంట్ A యొక్క సంభావ్యతకు సమానంగా ఉంటుంది.

ఈవెంట్ A: P(A) యొక్క సంభావ్యతను సూచించడం ఆచారం. ఈ హోదాకు వివరణ చాలా సులభం: ఫ్రెంచ్లో "సంభావ్యత" అనే పదం సంభావ్యత, ఆంగ్లం లో- సంభావ్యత.హోదా పదం యొక్క మొదటి అక్షరాన్ని ఉపయోగిస్తుంది.

ఈ సంజ్ఞామానాన్ని ఉపయోగించి, సాంప్రదాయిక పథకం ప్రకారం ఈవెంట్ A యొక్క సంభావ్యతను సూత్రాన్ని ఉపయోగించి కనుగొనవచ్చు

P(A)=.

పై క్లాసికల్ ప్రాబబిలిస్టిక్ స్కీమ్ యొక్క అన్ని పాయింట్లు తరచుగా ఒక పొడవైన పదబంధంలో వ్యక్తీకరించబడతాయి.

సంభావ్యత యొక్క క్లాసిక్ నిర్వచనం

ఒక నిర్దిష్ట పరీక్ష సమయంలో ఈవెంట్ A యొక్క సంభావ్యత అనేది ఫలితాల సంఖ్య యొక్క నిష్పత్తి, దీని ఫలితంగా ఈ పరీక్ష యొక్క అన్ని సమానమైన ఫలితాల మొత్తం సంఖ్యకు ఈవెంట్ A ఏర్పడుతుంది.

ఉదాహరణ 1. ఒక డై యొక్క ఒక త్రోతో ఫలితం వచ్చే సంభావ్యతను కనుగొనండి: a) 4; బి) 5; సి) పాయింట్ల సరి సంఖ్య; d) 4 కంటే ఎక్కువ పాయింట్ల సంఖ్య; ఇ) మూడుతో భాగించబడని పాయింట్ల సంఖ్య.

పరిష్కారం. మొత్తంగా N=6 సాధ్యమయ్యే ఫలితాలు ఉన్నాయి: 1, 2, 3, 4, 5 లేదా 6కి సమానమైన అనేక పాయింట్లతో కూడిన క్యూబ్ ఫేస్ నుండి పడిపోవడం. వాటిలో దేనికీ ఇతర వాటి కంటే ఎటువంటి ప్రయోజనాలు ఉండవని మేము విశ్వసిస్తున్నాము, అనగా మేము ఈ ఫలితాల సమభావనను అంగీకరించండి.

ఎ) ఫలితాలలో సరిగ్గా ఒకదానిలో, మనకు ఆసక్తి కలిగించే సంఘటన A సంభవిస్తుంది-సంఖ్య 4 కనిపిస్తుంది. దీని అర్థం N(A)=1 మరియు

పి ( ఎ )= =.

బి) పరిష్కారం మరియు సమాధానం మునుపటి పేరాలో ఉన్నట్లే ఉంటాయి.

c) పాయింట్ల సంఖ్య 2, 4 లేదా 6 అయినప్పుడు మనకు ఆసక్తి ఉన్న ఈవెంట్ B సరిగ్గా మూడు సందర్భాలలో జరుగుతుంది. దీని అర్థం

ఎన్ ( బి )=3 మరియు పి ( బి )==.

d) పాయింట్ల సంఖ్య 5 లేదా 6 అయినప్పుడు మనకు ఆసక్తి ఉన్న ఈవెంట్ C సరిగ్గా రెండు సందర్భాలలో జరుగుతుంది. దీని అర్థం

ఎన్ ( సి ) =2 మరియు Р(С)=.

ఇ) గీయబడిన ఆరు సంభావ్య సంఖ్యలలో, నాలుగు (1, 2, 4 మరియు 5) మూడింటికి గుణకారం కాదు మరియు మిగిలిన రెండు (3 మరియు 6) మూడుతో భాగించబడతాయి. దీనర్థం, మనకు ఆసక్తి కలిగించే సంఘటన అనేది ప్రయోగం యొక్క సాధ్యమయ్యే మరియు సమానంగా సంభావ్య మరియు సమానంగా సంభావ్య ఫలితాలలో ఆరింటిలో సరిగ్గా నాలుగింటిలో సంభవిస్తుంది. అందువలన సమాధానం మారుతుంది

. ; బి) ; V) ; జి) ; d)

నిజమైన పాచికలు ఆదర్శవంతమైన (మోడల్) క్యూబ్ నుండి బాగా భిన్నంగా ఉండవచ్చు, కాబట్టి, దాని ప్రవర్తనను వివరించడానికి, ఒక ముఖం యొక్క ప్రయోజనాలు, అయస్కాంతాల ఉనికి మొదలైనవాటిని పరిగణనలోకి తీసుకొని మరింత ఖచ్చితమైన మరియు వివరణాత్మక నమూనా అవసరం. "వివరాలలో దెయ్యం ఉంది," మరియు మరింత ఖచ్చితత్వం ఎక్కువ సంక్లిష్టతకు దారి తీస్తుంది మరియు సమాధానాన్ని పొందడం సమస్యగా మారుతుంది. మేము సరళమైన సంభావ్యత నమూనాను పరిగణనలోకి తీసుకుంటాము, ఇక్కడ సాధ్యమయ్యే అన్ని ఫలితాలు సమానంగా సంభావ్యంగా ఉంటాయి.

గమనిక 1. మరొక ఉదాహరణ చూద్దాం. ప్రశ్న అడిగారు: "ఒక డై రోల్‌లో మూడు పొందడానికి సంభావ్యత ఏమిటి?" విద్యార్థి సమాధానమిచ్చాడు: "సంభావ్యత 0.5." మరియు అతను తన సమాధానాన్ని ఇలా వివరించాడు: “ముగ్గురు వస్తాయి లేదా రాకపోవచ్చు. దీనర్థం మొత్తంగా రెండు ఫలితాలు ఉన్నాయి మరియు వాటిలో సరిగ్గా ఒకదానిలో మనకు ఆసక్తి కలిగించే సంఘటన సంభవిస్తుంది. క్లాసికల్ ప్రాబబిలిస్టిక్ స్కీమ్‌ని ఉపయోగించి, మేము 0.5 సమాధానం పొందుతాము. ఈ తర్కంలో తప్పేముంది? మొదటి చూపులో, లేదు. అయినప్పటికీ, ఇది ఇప్పటికీ ఉనికిలో ఉంది మరియు ప్రాథమిక మార్గంలో ఉంది. అవును, నిజానికి, మూడు వస్తాయి లేదా రాకపోవచ్చు, అంటే, టాస్ N=2 ఫలితం యొక్క ఈ నిర్వచనంతో. N(A) = 1 అనేది కూడా నిజం మరియు, ఇది నిజం

=0.5, అంటే సంభావ్య పథకం యొక్క మూడు పాయింట్లు పరిగణనలోకి తీసుకోబడ్డాయి, అయితే పాయింట్ 2) అమలులో సందేహం ఉంది. వాస్తవానికి, పూర్తిగా చట్టబద్ధమైన దృక్కోణం నుండి, మూడు రోలింగ్ చేయడం అనేది బయట పడకుండా సమానంగా ఉంటుందని నమ్మే హక్కు మాకు ఉంది. కానీ అంచుల యొక్క "సమానత్వం" గురించి మన స్వంత సహజ అంచనాలను ఉల్లంఘించకుండా మనం అలా ఆలోచించగలమా? అస్సలు కానే కాదు! ఇక్కడ మేము ఒక నిర్దిష్ట నమూనాలో సరైన తార్కికంతో వ్యవహరిస్తున్నాము. కానీ ఈ మోడల్ కూడా "తప్పు", నిజమైన దృగ్విషయానికి అనుగుణంగా లేదు.

గమనిక 2. సంభావ్యత గురించి చర్చిస్తున్నప్పుడు, ఈ క్రింది ముఖ్యమైన పరిస్థితిని కోల్పోకండి. డైని విసిరేటప్పుడు, ఒక పాయింట్ వచ్చే సంభావ్యత అని మనం చెబితే

, పాచికలను 6 సార్లు తిప్పడం ద్వారా మీరు ఖచ్చితంగా ఒక పాయింట్ పొందుతారు అని దీని అర్థం కాదు, పాచికలు 12 సార్లు విసిరితే మీరు ఒక పాయింట్ ఖచ్చితంగా రెండు సార్లు పొందుతారు, పాచికలు 18 సార్లు విసిరితే మీరు ఒక పాయింట్ ఖచ్చితంగా మూడు పొందుతారు. సార్లు, మొదలైనవి. పదం బహుశా ఊహాజనితమైనది. ఎక్కువగా ఏమి జరుగుతుందో మేము ఊహిస్తాము. బహుశా మనం పాచికలను 600 సార్లు చుట్టినట్లయితే, ఒక పాయింట్ 100 సార్లు లేదా 100 వరకు వస్తుంది.

ఈవెంట్‌లను వాటి సంభావ్యత స్థాయికి అనుగుణంగా ఒకదానితో ఒకటి పరిమాణాత్మకంగా సరిపోల్చడానికి, స్పష్టంగా, ప్రతి ఈవెంట్‌తో నిర్దిష్ట సంఖ్యను అనుబంధించడం అవసరం, ఇది ఎక్కువ, ఈవెంట్ మరింత సాధ్యమవుతుంది. మేము ఈ సంఖ్యను ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత అని పిలుస్తాము. ఈ విధంగా, ఒక సంఘటన యొక్క సంభావ్యతఈ సంఘటన యొక్క ఆబ్జెక్టివ్ అవకాశం యొక్క డిగ్రీ యొక్క సంఖ్యా కొలత.

సంభావ్యత యొక్క మొదటి నిర్వచనం శాస్త్రీయమైనదిగా పరిగణించబడాలి, ఇది జూదం యొక్క విశ్లేషణ నుండి ఉద్భవించింది మరియు ప్రారంభంలో అకారణంగా వర్తించబడింది.

సంభావ్యతను నిర్ణయించే శాస్త్రీయ పద్ధతి సమానంగా సాధ్యమయ్యే మరియు అననుకూల సంఘటనల భావనపై ఆధారపడి ఉంటుంది, ఇవి ఇచ్చిన అనుభవం యొక్క ఫలితాలు మరియు అసంగత సంఘటనల యొక్క పూర్తి సమూహాన్ని ఏర్పరుస్తాయి.

పూర్తి సమూహాన్ని ఏర్పరుచుకునే సమానమైన మరియు అననుకూల సంఘటనల యొక్క సరళమైన ఉదాహరణ ఏమిటంటే, ఒకే పరిమాణం, బరువు మరియు ఇతర స్పష్టమైన లక్షణాలతో కూడిన అనేక బంతులను కలిగి ఉన్న ఒక గిన్నె నుండి ఒకటి లేదా మరొక బంతి కనిపించడం, రంగులో మాత్రమే తేడా ఉంటుంది, తొలగించే ముందు పూర్తిగా కలపబడుతుంది.

అందువల్ల, పూర్తి అననుకూలమైన మరియు సమానంగా సాధ్యమయ్యే సంఘటనల యొక్క పూర్తి సమూహాన్ని ఏర్పరుచుకున్న ఒక పరీక్ష, ఉర్న్‌ల నమూనాకు లేదా కేసుల నమూనాకు తగ్గించబడుతుంది లేదా సాంప్రదాయ నమూనాకు సరిపోతుందని చెప్పబడుతుంది.

పూర్తి సమూహాన్ని రూపొందించే సమానంగా సాధ్యమయ్యే మరియు అననుకూల సంఘటనలను కేవలం కేసులు లేదా అవకాశాలు అంటారు. అంతేకాకుండా, ప్రతి ప్రయోగంలో, కేసులతో పాటు, మరింత క్లిష్టమైన సంఘటనలు సంభవించవచ్చు.

ఉదాహరణ: పాచికలను విసిరేటప్పుడు, A i - ఎగువ భాగంలో ఉన్న i-పాయింట్‌ల నష్టంతో పాటు, మేము అటువంటి సంఘటనలను పరిగణించవచ్చు B - సమాన సంఖ్యలో పాయింట్ల నష్టం, C - అనేక సంఖ్యల నష్టం మూడింటికి గుణింతమైన పాయింట్లు...

ప్రయోగం సమయంలో సంభవించే ప్రతి సంఘటనకు సంబంధించి, కేసులు విభజించబడ్డాయి అనుకూలమైన, దీనిలో ఈ సంఘటన జరుగుతుంది మరియు అననుకూలమైనది, దీనిలో ఈవెంట్ జరగదు. మునుపటి ఉదాహరణలో, ఈవెంట్ Bకి A 2, A 4, A 6 కేసులు అనుకూలంగా ఉంటాయి; ఈవెంట్ సి - కేసులు A 3, A 6.

క్లాసికల్ సంభావ్యతఒక నిర్దిష్ట సంఘటన సంభవించడాన్ని ఈ సంఘటనకు అనుకూలమైన కేసుల సంఖ్యకు, ఇచ్చిన ప్రయోగంలో పూర్తి సమూహాన్ని రూపొందించే సమానంగా సాధ్యమయ్యే, అననుకూల కేసుల మొత్తం సంఖ్యకు నిష్పత్తి అంటారు:

ఎక్కడ పి(ఎ)- ఈవెంట్ A సంభవించే సంభావ్యత; m- ఈవెంట్ Aకి అనుకూలమైన కేసుల సంఖ్య; n- మొత్తం కేసుల సంఖ్య.

ఉదాహరణలు:

1) (పై ఉదాహరణ చూడండి) పి(బి)= , P(C) =.

2) కలశంలో 9 ఎరుపు మరియు 6 నీలం బంతులు ఉంటాయి. యాదృచ్ఛికంగా గీసిన ఒకటి లేదా రెండు బంతులు ఎరుపు రంగులోకి మారే సంభావ్యతను కనుగొనండి.

ఎ- యాదృచ్ఛికంగా గీసిన ఎరుపు బంతి:

m= 9, n= 9 + 6 = 15, పి(ఎ)=

బి- యాదృచ్ఛికంగా గీసిన రెండు ఎరుపు బంతులు:

సంభావ్యత యొక్క శాస్త్రీయ నిర్వచనం నుండి క్రింది లక్షణాలు అనుసరించబడతాయి (మీరే చూపించండి):

1) అసాధ్యమైన సంఘటన యొక్క సంభావ్యత 0;

2) నమ్మదగిన సంఘటన యొక్క సంభావ్యత 1;

3) ఏదైనా ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత 0 మరియు 1 మధ్య ఉంటుంది;

4) ఈవెంట్ A కి వ్యతిరేక సంఘటన సంభావ్యత,

సంభావ్యత యొక్క క్లాసిక్ నిర్వచనం ట్రయల్ యొక్క ఫలితాల సంఖ్య పరిమితంగా ఉంటుందని ఊహిస్తుంది. ఆచరణలో, చాలా తరచుగా పరీక్షలు ఉన్నాయి, వీటిలో సాధ్యమయ్యే కేసుల సంఖ్య అనంతం. అదనంగా, క్లాసికల్ డెఫినిషన్ యొక్క బలహీనత ఏమిటంటే, ప్రాథమిక సంఘటనల సమితి రూపంలో పరీక్ష ఫలితాన్ని సూచించడం చాలా తరచుగా అసాధ్యం. పరీక్ష యొక్క ప్రాథమిక ఫలితాలను సమానంగా సాధ్యమయ్యేలా పరిగణించడానికి కారణాలను సూచించడం మరింత కష్టం. సాధారణంగా, ప్రాథమిక పరీక్ష ఫలితాల సమరూపత సమరూపత యొక్క పరిశీలనల నుండి ముగించబడుతుంది. అయితే, ఆచరణలో ఇటువంటి పనులు చాలా అరుదు. ఈ కారణాల వల్ల, సంభావ్యత యొక్క శాస్త్రీయ నిర్వచనంతో పాటు, సంభావ్యత యొక్క ఇతర నిర్వచనాలు కూడా ఉపయోగించబడతాయి.

గణాంక సంభావ్యతఈవెంట్ A అనేది నిర్వహించిన పరీక్షలలో ఈ సంఘటన సంభవించిన సాపేక్ష ఫ్రీక్వెన్సీ:

ఈవెంట్ A సంభవించే సంభావ్యత ఎక్కడ ఉంది;

ఈవెంట్ A యొక్క సాపేక్ష ఫ్రీక్వెన్సీ;

ఈవెంట్ A కనిపించిన ట్రయల్స్ సంఖ్య;

మొత్తం ట్రయల్స్ సంఖ్య.

క్లాసికల్ సంభావ్యత వలె కాకుండా, గణాంక సంభావ్యత అనేది ఒక ప్రయోగాత్మక లక్షణం.

ఉదాహరణ: ఒక బ్యాచ్ నుండి ఉత్పత్తుల నాణ్యతను నియంత్రించడానికి, 100 ఉత్పత్తులు యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడ్డాయి, వాటిలో 3 ఉత్పత్తులు లోపభూయిష్టంగా మారాయి. వివాహం యొక్క సంభావ్యతను నిర్ణయించండి.

.

సంభావ్యతను నిర్ణయించే గణాంక పద్ధతి క్రింది లక్షణాలను కలిగి ఉన్న ఈవెంట్‌లకు మాత్రమే వర్తిస్తుంది:

పరిశీలనలో ఉన్న ఈవెంట్‌లు ఒకే విధమైన పరిస్థితులలో అపరిమిత సంఖ్యలో పునరుత్పత్తి చేయగల పరీక్షల ఫలితాలు మాత్రమే అయి ఉండాలి.

ఈవెంట్‌లు తప్పనిసరిగా గణాంక స్థిరత్వాన్ని కలిగి ఉండాలి (లేదా సంబంధిత పౌనఃపున్యాల స్థిరత్వం). దీనర్థం వివిధ పరీక్షల శ్రేణిలో ఈవెంట్ యొక్క సాపేక్ష ఫ్రీక్వెన్సీ కొద్దిగా మారుతుంది.

ఈవెంట్ Aకి దారితీసే ట్రయల్స్ సంఖ్య చాలా పెద్దదిగా ఉండాలి.

సాంప్రదాయిక నిర్వచనం నుండి ఉత్పన్నమయ్యే సంభావ్యత యొక్క లక్షణాలు సంభావ్యత యొక్క గణాంక నిర్వచనంలో కూడా భద్రపరచబడి ఉన్నాయని ధృవీకరించడం సులభం.

సంభావ్యత యొక్క క్లాసిక్ నిర్వచనం.

పైన చెప్పినట్లుగా, పెద్ద సంఖ్యలో n పరీక్ష ఫ్రీక్వెన్సీ P*(A)=m/ nఒక సంఘటన సంభవించడం ఎ స్థిరంగా ఉంటుంది మరియు ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత యొక్క ఉజ్జాయింపు విలువను ఇస్తుంది ఎ , అనగా .

ఈ పరిస్థితి ప్రయోగాత్మకంగా ఈవెంట్ యొక్క సుమారు సంభావ్యతను కనుగొనడానికి అనుమతిస్తుంది. ఆచరణలో, ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యతను కనుగొనే ఈ పద్ధతి ఎల్లప్పుడూ అనుకూలమైనది కాదు. అన్నింటికంటే, ప్రయోగానికి ముందు కూడా కొన్ని సంఘటనల సంభావ్యతను మనం ముందుగానే తెలుసుకోవాలి. ఇది సైన్స్ యొక్క హ్యూరిస్టిక్, ప్రిడిక్టివ్ పాత్ర. అనేక సందర్భాల్లో, ఈవెంట్‌ల సమతౌల్యత (లేదా ఈక్విపోసిబిలిటీ) భావనను ఉపయోగించి ప్రయోగానికి ముందు ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యతను నిర్ణయించవచ్చు.

రెండు సంఘటనలు అంటారు సమానంగా సంభావ్య (లేదా సమానంగా సాధ్యం ), వాటిలో ఒకటి మరొకదాని కంటే ఎక్కువగా సంభవించవచ్చని విశ్వసించడానికి ఎటువంటి లక్ష్యం కారణాలు లేకుంటే.

కాబట్టి, ఉదాహరణకు, ఒక నాణెం విసిరేటప్పుడు ఒక కోటు లేదా శాసనం కనిపించడం సమానంగా సంభావ్య సంఘటనలు.

మరొక ఉదాహరణ చూద్దాం. వారు పాచికలు వేయనివ్వండి. క్యూబ్ యొక్క సమరూపత కారణంగా, ఏదైనా సంఖ్యల రూపాన్ని మనం ఊహించవచ్చు 1, 2, 3, 4, 5 లేదా 6 సమానంగా సాధ్యం (సమానంగా అవకాశం).

ఈవెంట్స్ ఈ ప్రయోగంలో అవి ఏర్పడతాయి పూర్తి సమూహం , వాటిలో కనీసం ఒకటి ప్రయోగం ఫలితంగా సంభవించినట్లయితే. కాబట్టి, చివరి ఉదాహరణలో, సంఘటనల యొక్క పూర్తి సమూహం ఆరు సంఘటనలను కలిగి ఉంటుంది - సంఖ్యల రూపాన్ని 1, 2, 3, 4, 5 మరియు 6.

స్పష్టంగా, ఏదైనా సంఘటన ఎ మరియు దాని వ్యతిరేక సంఘటన పూర్తి సమూహాన్ని ఏర్పరుస్తుంది.

ఈవెంట్ బి అని పిలిచారు అనుకూలమైన సంఘటన ఎ , ఒక సంఘటన సంభవించినట్లయితే బి ఒక సంఘటన సంభవించడాన్ని సూచిస్తుంది ఎ . కాబట్టి, ఉంటే ఎ - పాచికలు విసిరేటప్పుడు సమాన సంఖ్యలో పాయింట్ల రూపాన్ని, ఆపై సంఖ్య యొక్క రూపాన్ని 4 ఈవెంట్‌కు అనుకూలంగా ఉండే ఈవెంట్‌ను సూచిస్తుంది ఎ.

ఈవెంట్స్ లెట్ ఈ ప్రయోగంలో సమానంగా సంభావ్య మరియు జత వైపు అననుకూల సంఘటనల పూర్తి సమూహాన్ని ఏర్పరుస్తుంది. వారిని పిలుద్దాం ఫలితాలను పరీక్షలు. ఆ సంఘటన అనుకుందాం ఎ విచారణ ఫలితాలకు అనుకూలంగా. అప్పుడు ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత ఎ ఈ ప్రయోగంలో వైఖరి అంటారు. కాబట్టి మేము ఈ క్రింది నిర్వచనానికి వచ్చాము.

ఇచ్చిన ప్రయోగంలో ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత P(A) అనేది ఈవెంట్ Aకి అనుకూలమైన ప్రయోగాత్మక ఫలితాల సంఖ్యకు సమానమైన సంభావ్య జత వైపు అననుకూల సంఘటనల యొక్క పూర్తి సమూహాన్ని ఏర్పరిచే మొత్తం ప్రయోగాత్మక ఫలితాల సంఖ్యకు నిష్పత్తి: .

సంభావ్యత యొక్క ఈ నిర్వచనాన్ని తరచుగా పిలుస్తారు క్లాసిక్. సాంప్రదాయిక నిర్వచనం సంభావ్యత యొక్క సిద్ధాంతాలను సంతృప్తిపరుస్తుందని చూపవచ్చు.

ఉదాహరణ 1.1.నుండి ఒక బ్యాచ్ 1000 బేరింగ్లు. అనుకోకుండా ఈ బ్యాచ్‌లోకి వచ్చాను 30 ప్రమాణానికి అనుగుణంగా లేని బేరింగ్లు. సంభావ్యతను నిర్ణయించండి పి(ఎ) యాదృచ్ఛికంగా తీసుకున్న బేరింగ్ ప్రామాణికంగా మారుతుంది.

పరిష్కారం:ప్రామాణిక బేరింగ్ల సంఖ్య 1000-30=970 . ప్రతి బేరింగ్‌ని ఎంపిక చేయడానికి ఒకే విధమైన సంభావ్యత ఉందని మేము ఊహిస్తాము. అప్పుడు సంఘటనల యొక్క పూర్తి సమూహం సమానంగా సంభావ్య ఫలితాలను కలిగి ఉంటుంది, వీటిలో ఈవెంట్ ఎ అనుకూలమైన ఫలితాలు. అందుకే .

ఉదాహరణ 1.2.కలశంలో 10 బంతులు: 3 తెలుపు మరియు 7 నలుపు. కలశం నుండి ఒకేసారి రెండు బంతులను తీసుకుంటారు. సంభావ్యత ఏమిటి ఆర్ రెండు బంతులు తెల్లగా మారతాయా?

పరిష్కారం:అన్ని సమానంగా సంభావ్య పరీక్ష ఫలితాల సంఖ్య ఏ మార్గాల సంఖ్యకు సమానంగా ఉంటుంది 10 రెండు బంతులను తీయండి, అనగా కలయికల సంఖ్య 10 ద్వారా అంశాలు 2 (పూర్తి ఈవెంట్ గ్రూప్):

అనుకూలమైన ఫలితాల సంఖ్య (ఒకరు ఎన్ని విధాలుగా ఎంచుకోవచ్చు 3 బంతులను ఎంచుకోండి 2) : . అందువలన, అవసరమైన సంభావ్యత .

మున్ముందు చూస్తే, ఈ సమస్య మరొక విధంగా పరిష్కరించబడుతుంది.

పరిష్కారం:మొదటి ట్రయల్‌లో (బంతిని బయటకు లాగడం) తెల్లటి బంతిని డ్రా చేసే సంభావ్యత (మొత్తం బంతులు)కి సమానం 10 , వారిది 3 తెలుపు). రెండవ ట్రయల్ సమయంలో వైట్ బాల్ మళ్లీ డ్రా అయ్యే సంభావ్యత (మొత్తం బంతుల సంఖ్య ఇప్పుడు ఉంది 9, ఎందుకంటే వారు ఒకదాన్ని బయటకు తీశారు, అది తెల్లగా మారింది 2, ఎందుకంటే వారు తెల్లటిదాన్ని బయటకు తీశారు). పర్యవసానంగా, ఈవెంట్‌లను కలపడం యొక్క సంభావ్యత వాటి సంభావ్యత యొక్క ఉత్పత్తికి సమానంగా ఉంటుంది, అనగా. .

ఉదాహరణ 1.3.కలశంలో 2 ఆకుపచ్చ, 7 ఎరుపు, 5 గోధుమ మరియు 10 తెల్లని బంతులు. రంగు బంతి కనిపించే సంభావ్యత ఏమిటి?

పరిష్కారం: మేము వరుసగా, ఆకుపచ్చ, ఎరుపు మరియు గోధుమ బంతుల్లో కనిపించే సంభావ్యతలను కనుగొంటాము: ; . పరిశీలనలో ఉన్న సంఘటనలు స్పష్టంగా విరుద్ధంగా ఉన్నందున, అదనపు సూత్రాన్ని ఉపయోగించి, మేము రంగు బంతి కనిపించే సంభావ్యతను కనుగొంటాము:

లేదా, మరొక విధంగా. తెల్లటి బంతి కనిపించే సంభావ్యత . అప్పుడు నాన్-వైట్ బాల్ (అంటే రంగు) కనిపించే సంభావ్యత, అనగా. వ్యతిరేక సంఘటన యొక్క సంభావ్యత సమానంగా ఉంటుంది .

సంభావ్యత యొక్క రేఖాగణిత నిర్వచనం. సంభావ్యత యొక్క శాస్త్రీయ నిర్వచనం యొక్క ప్రతికూలతను అధిగమించడానికి (అనంతమైన ఫలితాలతో పరీక్షలకు ఇది వర్తించదు), సంభావ్యత యొక్క రేఖాగణిత నిర్వచనం ప్రవేశపెట్టబడింది - ఒక ప్రాంతం (సెగ్మెంట్, విమానం యొక్క భాగం, మొదలైనవి).

సెగ్మెంట్ సెగ్మెంట్లో భాగంగా ఉండనివ్వండి. సెగ్మెంట్‌పై ఒక పాయింట్ యాదృచ్ఛికంగా ఉంచబడుతుంది, అంటే కింది అంచనాలు నెరవేరుతాయి: ఉంచిన పాయింట్ సెగ్మెంట్‌పై ఏ పాయింట్‌లోనైనా ఉండవచ్చు, సెగ్మెంట్‌పై పడే పాయింట్ సంభావ్యత ఈ సెగ్మెంట్ పొడవుకు అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది మరియు అలా చేయదు విభాగానికి సంబంధించి దాని స్థానంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. ఈ అంచనాల ప్రకారం, ఒక సెగ్మెంట్‌పై పాయింట్ పడే సంభావ్యత సమానత్వం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది