కాబట్టి మేము పెరుగుతున్న పురోగతిని కనుగొంటాము. అంకగణిత పురోగతికి ముఖ్యమైన సూత్రాలు

"అంకగణిత పురోగతి" అనే అంశం 9వ తరగతిలోని పాఠశాలల్లోని సాధారణ బీజగణితంలో అధ్యయనం చేయబడుతుంది. సంఖ్య శ్రేణుల గణితాన్ని మరింత లోతుగా అధ్యయనం చేయడానికి ఈ అంశం ముఖ్యమైనది. ఈ వ్యాసంలో మేము అంకగణిత పురోగతి, దాని వ్యత్యాసం, అలాగే పాఠశాల పిల్లలు ఎదుర్కొనే సాధారణ సమస్యలతో పరిచయం పొందుతాము.

బీజగణిత పురోగతి యొక్క భావన

సంఖ్య పురోగతి అనేది సంఖ్యల శ్రేణి, దీనిలో మనం కొంత గణిత చట్టాన్ని వర్తింపజేస్తే ప్రతి తదుపరి మూలకాన్ని మునుపటి దాని నుండి పొందవచ్చు. పురోగమనంలో రెండు సాధారణ రకాలు ఉన్నాయి: జ్యామితీయ మరియు అంకగణితం, దీనిని బీజగణితం అని కూడా అంటారు. దానిని మరింత వివరంగా పరిశీలిద్దాం.

కొంత హేతుబద్ధ సంఖ్యను ఊహించుకుందాం, దానిని a1 గుర్తుతో సూచించండి, ఇక్కడ సూచిక పరిశీలనలో ఉన్న సిరీస్‌లో దాని క్రమ సంఖ్యను సూచిస్తుంది. a1కి వేరే సంఖ్యను జోడించి, దానిని d అని పిలుద్దాం. అప్పుడు సిరీస్ యొక్క రెండవ మూలకం ఈ క్రింది విధంగా ప్రతిబింబిస్తుంది: a2 = a1+d. ఇప్పుడు మళ్లీ dని జోడించండి, మనకు లభిస్తుంది: a3 = a2+d. ఈ గణిత శాస్త్ర చర్యను కొనసాగిస్తూ, మీరు మొత్తం సంఖ్యల శ్రేణిని పొందవచ్చు, ఇది అంకగణిత పురోగతి అని పిలువబడుతుంది.

పై నుండి అర్థం చేసుకోగలిగినట్లుగా, ఈ క్రమం యొక్క nవ మూలకాన్ని కనుగొనడానికి, మీరు సూత్రాన్ని ఉపయోగించాలి: an = a1 + (n-1)*d. వాస్తవానికి, వ్యక్తీకరణలో n=1ని ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, మనకు a1 = a1 వస్తుంది, n = 2 అయితే, అప్పుడు ఫార్ములా క్రింది విధంగా ఉంటుంది: a2 = a1 + 1*d, మరియు మొదలైనవి.

ఉదాహరణకు, అంకగణిత పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసం 5 మరియు a1 = 1 అయితే, దీని అర్థం పరిశీలనలో ఉన్న రకానికి చెందిన సంఖ్యల శ్రేణికి రూపం ఉంటుంది: 1, 6, 11, 16, 21, ... మీరు చేయగలిగిన విధంగా చూడండి, దానిలోని ప్రతి సభ్యులు మునుపటి కంటే 5 మంది ఎక్కువ.

అంకగణిత పురోగతి తేడా సూత్రాలు

పరిశీలనలో ఉన్న సంఖ్యల శ్రేణి యొక్క పై నిర్వచనం నుండి, దానిని నిర్వచించడానికి మీరు రెండు సంఖ్యలను తెలుసుకోవాలి: a1 మరియు d. తరువాతి ఈ పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసం అంటారు. ఇది మొత్తం సిరీస్ యొక్క ప్రవర్తనను ప్రత్యేకంగా నిర్ణయిస్తుంది. నిజానికి, d సానుకూలంగా ఉంటే, సంఖ్య శ్రేణి నిరంతరం పెరుగుతుంది; దీనికి విరుద్ధంగా, d ప్రతికూలంగా ఉంటే, సిరీస్‌లోని సంఖ్యలు సంపూర్ణ విలువలో మాత్రమే పెరుగుతాయి, అయితే వాటి సంపూర్ణ విలువ పెరుగుతున్న సంఖ్యతో తగ్గుతుంది.

అంకగణిత పురోగతికి తేడా ఏమిటి? ఈ విలువను లెక్కించడానికి ఉపయోగించే రెండు ప్రాథమిక సూత్రాలను పరిశీలిద్దాం:

d = an+1-an, ఈ సూత్రం పరిశీలనలో ఉన్న సంఖ్యల శ్రేణి యొక్క నిర్వచనం నుండి నేరుగా అనుసరిస్తుంది.

d = (-a1+an)/(n-1), వ్యాసం యొక్క మునుపటి పేరాలో ఇచ్చిన ఫార్ములా నుండి మనం dని వ్యక్తీకరించినట్లయితే ఈ వ్యక్తీకరణ పొందబడుతుంది. n=1 అయితే ఈ వ్యక్తీకరణ నిర్వచించబడదని గమనించండి (0/0). సిరీస్ యొక్క వ్యత్యాసాన్ని గుర్తించడానికి కనీసం 2 అంశాలను తెలుసుకోవడం అవసరం అనే వాస్తవం దీనికి కారణం.

పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసాన్ని కనుగొనడంలో ఏవైనా సమస్యలను పరిష్కరించడానికి ఈ రెండు ప్రాథమిక సూత్రాలు ఉపయోగించబడతాయి. అయితే, మీరు తెలుసుకోవలసిన మరొక సూత్రం కూడా ఉంది.

మొదటి మూలకాల మొత్తం

చారిత్రిక ఆధారాల ప్రకారం, బీజగణిత పురోగమనం యొక్క ఎన్ని పదాల మొత్తాన్ని మీరు నిర్ణయించగల సూత్రాన్ని మొదట 18వ శతాబ్దంలో గణిత శాస్త్రానికి చెందిన "ప్రిన్స్" కార్ల్ గాస్ పొందారు. ఒక జర్మన్ శాస్త్రవేత్త, గ్రామంలోని పాఠశాలలో ప్రాథమిక తరగతుల్లో చదువుతున్నప్పుడు, 1 నుండి 100 వరకు ఉన్న శ్రేణిలో సహజ సంఖ్యలను జోడించడానికి, మొదట మొదటి మూలకం మరియు చివరి (ఫలితంగా వచ్చే విలువను) సంకలనం చేయడం అవసరం అని గమనించాడు. చివరి మరియు రెండవ, చివరి మరియు మూడవ మూలకాల మొత్తానికి సమానంగా ఉంటుంది, ఆపై ఈ సంఖ్యను ఈ మొత్తాల సంఖ్యతో, అంటే 50 ద్వారా గుణించాలి.

ఒక నిర్దిష్ట ఉదాహరణలో పేర్కొన్న ఫలితాన్ని ప్రతిబింబించే ఫార్ములా, ఏకపక్ష కేసుకు సాధారణీకరించబడుతుంది. ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది: Sn = n/2*(an+a1). సూచించిన విలువను కనుగొనడానికి, పురోగతి యొక్క రెండు పదాలు (a మరియు a1) తెలిసినట్లయితే, వ్యత్యాసం d యొక్క జ్ఞానం అవసరం లేదని గమనించండి.

ఉదాహరణ సంఖ్య 1. సిరీస్ a1 మరియు an యొక్క రెండు పదాలను తెలుసుకోవడం ద్వారా వ్యత్యాసాన్ని నిర్ణయించండి

వ్యాసంలో పైన పేర్కొన్న సూత్రాలను ఎలా వర్తింపజేయాలో మేము మీకు చూపుతాము. ఒక సాధారణ ఉదాహరణను ఇద్దాం: అంకగణిత పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసం తెలియదు, a13 = -5.6 మరియు a1 = -12.1 అయితే అది దేనికి సమానంగా ఉంటుందో నిర్ణయించడం అవసరం.

సంఖ్యా శ్రేణిలోని రెండు మూలకాల విలువలు మనకు తెలుసు మరియు వాటిలో ఒకటి మొదటి సంఖ్య కాబట్టి, తేడాను గుర్తించడానికి మేము ఫార్ములా నంబర్ 2ని ఉపయోగించవచ్చు d. మేము కలిగి ఉన్నాము: d =(-1*(-12.1)+(-5.6))/12 = 0.54167. వ్యక్తీకరణలో మేము n=13 విలువను ఉపయోగించాము, ఈ నిర్దిష్ట ఆర్డినల్ సంఖ్యతో ఉన్న పదం తెలిసినందున.

విధి పరిస్థితులలో ఇచ్చిన మూలకాలు ప్రతికూల విలువను కలిగి ఉన్నప్పటికీ, ఫలిత వ్యత్యాసం పురోగతి పెరుగుతోందని సూచిస్తుంది. ఇది స్పష్టంగా ఉంది a13>a1, అయితే |a13|<|a1|.

ఉదాహరణ సంఖ్య 2. ఉదాహరణ సంఖ్య 1లో పురోగతి యొక్క సానుకూల నిబంధనలు

కొత్త సమస్యను పరిష్కరించడానికి మునుపటి ఉదాహరణలో పొందిన ఫలితాన్ని ఉపయోగించుకుందాం. ఇది క్రింది విధంగా రూపొందించబడింది: ఉదాహరణ సంఖ్య 1లోని పురోగతి యొక్క మూలకాలు ఏ క్రమ సంఖ్య నుండి సానుకూల విలువలను పొందడం ప్రారంభిస్తాయి?

చూపినట్లుగా, a1 = -12.1 మరియు d = 0.54167 యొక్క పురోగతి పెరుగుతోంది, కాబట్టి నిర్దిష్ట సంఖ్య నుండి సంఖ్యలు సానుకూల విలువలను మాత్రమే తీసుకోవడం ప్రారంభిస్తాయి. ఈ సంఖ్య nని నిర్ణయించడానికి, ఒక సాధారణ అసమానతను పరిష్కరించడం అవసరం, ఇది గణితశాస్త్రంలో ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయబడుతుంది: an>0 లేదా, తగిన సూత్రాన్ని ఉపయోగించి, మేము అసమానతను తిరిగి వ్రాస్తాము: a1 + (n-1)*d>0. తెలియని nని కనుగొనడం అవసరం, దానిని వ్యక్తపరుద్దాం: n>-1*a1/d + 1. ఇప్పుడు తేడా యొక్క తెలిసిన విలువలను మరియు క్రమం యొక్క మొదటి పదాన్ని ప్రత్యామ్నాయం చేయడానికి మిగిలి ఉంది. మనకు లభిస్తుంది: n>-1*(-12.1) /0.54167 + 1= 23.338 లేదా n>23.338. n పూర్ణాంకం విలువలను మాత్రమే తీసుకోగలదు కాబట్టి, 23 కంటే ఎక్కువ సంఖ్యను కలిగి ఉన్న శ్రేణిలోని ఏవైనా పదాలు సానుకూలంగా ఉంటాయి.

ఈ అంకగణిత పురోగతి యొక్క 23వ మరియు 24వ మూలకాలను లెక్కించడానికి పై సూత్రాన్ని ఉపయోగించి మనం అందుకున్న సమాధానాన్ని తనిఖీ చేద్దాం. మనకు ఉన్నాయి: a23=-12.1 + 22*0.54167 = -0.18326 (ప్రతికూల సంఖ్య); a24=-12.1 + 23*0.54167 =0.3584 (సానుకూల విలువ). అందువలన, పొందిన ఫలితం సరైనది: n=24 నుండి ప్రారంభించి, సంఖ్యల శ్రేణిలోని సభ్యులందరూ సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉంటారు.

ఉదాహరణ సంఖ్య 3. ఎన్ని లాగ్‌లు సరిపోతాయి?

మేము ఒక ఆసక్తికరమైన సమస్యను ప్రదర్శిస్తాము: లాగింగ్ సమయంలో, దిగువ చిత్రంలో చూపిన విధంగా ఒకదానిపై ఒకటి సాన్ లాగ్లను పేర్చాలని నిర్ణయించారు. మొత్తం 10 వరుసలు సరిపోతాయని తెలిసి, ఈ విధంగా ఎన్ని లాగ్‌లను పేర్చవచ్చు?

లాగ్‌లను మడతపెట్టే ఈ పద్ధతిలో ఒక ఆసక్తికరమైన విషయం గమనించవచ్చు: ప్రతి తదుపరి అడ్డు వరుస మునుపటి కంటే ఒక లాగ్ తక్కువగా ఉంటుంది, అనగా బీజగణిత పురోగతి జరుగుతుంది, దీని వ్యత్యాసం d = 1. ప్రతి అడ్డు వరుసలోని లాగ్‌ల సంఖ్య ఈ పురోగతిలో సభ్యునిగా ఉంటుందని ఊహిస్తూ, మరియు a1 = 1 (ఒక లాగ్ మాత్రమే ఎగువన సరిపోతుంది) అని కూడా పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, మేము a10 సంఖ్యను కనుగొంటాము. మనకు ఉన్నాయి: a10 = 1 + 1*(10-1) = 10. అంటే, నేలపై ఉన్న 10వ వరుసలో, 10 లాగ్‌లు ఉంటాయి.

ఈ "పిరమిడ్" నిర్మాణం యొక్క మొత్తం మొత్తాన్ని గాస్ సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం ద్వారా పొందవచ్చు. మనకు లభిస్తుంది: S10 = 10/2*(10+1) = 55 లాగ్‌లు.

మొదటి స్థాయి

అంకగణిత పురోగతి. ఉదాహరణలతో కూడిన వివరణాత్మక సిద్ధాంతం (2019)

సంఖ్య క్రమం

కాబట్టి, కూర్చుని కొన్ని సంఖ్యలు రాయడం ప్రారంభిద్దాం. ఉదాహరణకి:
మీరు ఏవైనా సంఖ్యలను వ్రాయవచ్చు మరియు వాటిలో మీకు నచ్చినన్ని ఉండవచ్చు (మా విషయంలో, అవి ఉన్నాయి). మనం ఎన్ని అంకెలు వ్రాసినా, ఏది మొదటిది, ఏది రెండవది, మరియు చివరి వరకు, అంటే వాటిని మనం ఎల్లప్పుడూ చెప్పగలము. ఇది సంఖ్యా శ్రేణికి ఉదాహరణ:

సంఖ్య క్రమం
ఉదాహరణకు, మా క్రమం కోసం:

అసైన్డ్ నంబర్ సీక్వెన్స్‌లో ఒక నంబర్‌కు మాత్రమే నిర్దిష్టంగా ఉంటుంది. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, క్రమంలో మూడు సెకన్ల సంఖ్యలు లేవు. రెండవ సంఖ్య (వ సంఖ్య వంటిది) ఎల్లప్పుడూ ఒకే విధంగా ఉంటుంది.
సంఖ్యతో కూడిన సంఖ్యను క్రమం యొక్క వ పదం అంటారు.

మేము సాధారణంగా మొత్తం క్రమాన్ని ఏదో ఒక అక్షరంతో పిలుస్తాము (ఉదాహరణకు,), మరియు ఈ శ్రేణిలోని ప్రతి సభ్యుడు ఈ సభ్యుని సంఖ్యకు సమానమైన సూచికతో ఒకే అక్షరం: .

మా విషయంలో:

మనకు ఒక సంఖ్యా శ్రేణి ఉందని అనుకుందాం, దీనిలో ప్రక్కనే ఉన్న సంఖ్యల మధ్య వ్యత్యాసం సమానంగా మరియు సమానంగా ఉంటుంది.
ఉదాహరణకి:

మొదలైనవి
ఈ సంఖ్యా క్రమాన్ని అంకగణిత పురోగతి అంటారు.
"పురోగతి" అనే పదాన్ని 6వ శతాబ్దంలో రోమన్ రచయిత బోథియస్ పరిచయం చేసాడు మరియు ఇది అనంతమైన సంఖ్యా క్రమం వలె విస్తృత అర్థంలో అర్థం చేసుకోబడింది. "అంకగణితం" అనే పేరు నిరంతర నిష్పత్తుల సిద్ధాంతం నుండి బదిలీ చేయబడింది, దీనిని పురాతన గ్రీకులు అధ్యయనం చేశారు.

ఇది ఒక సంఖ్యా శ్రేణి, ఇందులోని ప్రతి సభ్యుడు అదే సంఖ్యకు జోడించిన మునుపటి దానికి సమానం. ఈ సంఖ్యను అంకగణిత పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసం అని పిలుస్తారు మరియు నియమించబడుతుంది.

ఏ సంఖ్యా శ్రేణులు అంకగణిత పురోగతి మరియు ఏవి కావు అని గుర్తించడానికి ప్రయత్నించండి:

a)
బి)
సి)
d)

దొరికింది? మన సమాధానాలను పోల్చి చూద్దాం:
ఉందిఅంకగణిత పురోగతి - బి, సి.
కాదుఅంకగణిత పురోగతి - a, d.

ఇచ్చిన పురోగతి ()కి తిరిగి వెళ్లి, దాని వ పదం యొక్క విలువను కనుగొనడానికి ప్రయత్నిద్దాం. ఉనికిలో ఉంది రెండుదానిని కనుగొనే మార్గం.

1. పద్ధతి

మేము పురోగతి యొక్క వ పదాన్ని చేరుకునే వరకు మేము మునుపటి విలువకు పురోగతి సంఖ్యను జోడించవచ్చు. సారాంశం చేయడానికి మనకు పెద్దగా ఏమీ లేకపోవడం మంచిది - మూడు విలువలు మాత్రమే:

కాబట్టి, వివరించిన అంకగణిత పురోగతి యొక్క వ పదం సమానం.

2. పద్ధతి

మేము పురోగతి యొక్క వ పదం యొక్క విలువను కనుగొనవలసి వస్తే? సమ్మషన్ మాకు ఒక గంట కంటే ఎక్కువ సమయం పడుతుంది మరియు సంఖ్యలను జోడించేటప్పుడు మనం తప్పులు చేయకూడదనేది వాస్తవం కాదు.
వాస్తవానికి, గణిత శాస్త్రజ్ఞులు ఒక మార్గాన్ని కనుగొన్నారు, దీనిలో మునుపటి విలువకు అంకగణిత పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసాన్ని జోడించాల్సిన అవసరం లేదు. గీసిన చిత్రాన్ని నిశితంగా పరిశీలించండి... ఖచ్చితంగా మీరు ఇప్పటికే ఒక నిర్దిష్ట నమూనాను గమనించారు, అవి:

ఉదాహరణకు, ఈ అంకగణిత పురోగతి యొక్క వ పదం యొక్క విలువ ఏమి కలిగి ఉందో చూద్దాం:

వేరే పదాల్లో:

ఇచ్చిన అంకగణిత పురోగతి యొక్క సభ్యుని విలువను ఈ విధంగా కనుగొనడానికి ప్రయత్నించండి.

మీరు లెక్కించారా? మీ గమనికలను సమాధానంతో సరిపోల్చండి:

మేము మునుపటి విలువకు అంకగణిత పురోగతి యొక్క నిబంధనలను వరుసగా జోడించినప్పుడు, మీరు మునుపటి పద్ధతిలో అదే సంఖ్యను పొందారని దయచేసి గమనించండి.
ఈ సూత్రాన్ని "వ్యక్తిగతీకరించడానికి" ప్రయత్నిద్దాం - దీనిని సాధారణ రూపంలో ఉంచి, పొందండి:

అంకగణిత పురోగతి సమీకరణం.

అంకగణిత పురోగమనాలు పెరుగుతాయి లేదా తగ్గవచ్చు.

పెరుగుతోంది- నిబంధనల యొక్క ప్రతి తదుపరి విలువ మునుపటి కంటే ఎక్కువగా ఉండే పురోగతి.
ఉదాహరణకి:

అవరోహణ- నిబంధనల యొక్క ప్రతి తదుపరి విలువ మునుపటి కంటే తక్కువగా ఉండే పురోగతి.
ఉదాహరణకి:

ఉత్పన్నమైన ఫార్ములా అంకగణిత పురోగతి యొక్క పెరుగుతున్న మరియు తగ్గుతున్న నిబంధనలలో నిబంధనలను లెక్కించడంలో ఉపయోగించబడుతుంది.
దీన్ని ఆచరణలో తనిఖీ చేద్దాం.
కింది సంఖ్యలతో కూడిన అంకగణిత పురోగమనం మాకు అందించబడింది: ఈ అంకగణిత పురోగతిని లెక్కించడానికి మన సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తే దాని వ సంఖ్య ఏమిటో తనిఖీ చేద్దాం:

అప్పటి నుండి:

అందువల్ల, ఫార్ములా తగ్గుతున్న మరియు పెరుగుతున్న అంకగణిత పురోగతి రెండింటిలోనూ పనిచేస్తుందని మేము నమ్ముతున్నాము.
ఈ అంకగణిత పురోగతి యొక్క వ మరియు వ నిబంధనలను మీరే కనుగొనడానికి ప్రయత్నించండి.

ఫలితాలను పోల్చి చూద్దాం:

అంకగణిత పురోగతి లక్షణం

సమస్యను క్లిష్టతరం చేద్దాం - మేము అంకగణిత పురోగతి యొక్క ఆస్తిని పొందుతాము.
మనకు ఈ క్రింది షరతు ఇవ్వబడిందని అనుకుందాం:
- అంకగణిత పురోగతి, విలువను కనుగొనండి.
సులభం, మీరు చెప్పండి మరియు మీకు ఇప్పటికే తెలిసిన ఫార్ములా ప్రకారం లెక్కించడం ప్రారంభించండి:

లెట్, ఆహ్, అప్పుడు:

కచ్చితముగా. మేము మొదట కనుగొన్నాము, ఆపై దానిని మొదటి సంఖ్యకు జోడించి, మనం వెతుకుతున్న దాన్ని పొందండి. పురోగతి చిన్న విలువలతో సూచించబడితే, దాని గురించి సంక్లిష్టంగా ఏమీ లేదు, కానీ పరిస్థితిలో మనకు సంఖ్యలు ఇచ్చినట్లయితే? అంగీకరిస్తున్నారు, లెక్కల్లో పొరపాటు చేసే అవకాశం ఉంది.
ఏదైనా ఫార్ములా ఉపయోగించి ఈ సమస్యను ఒక దశలో పరిష్కరించడం సాధ్యమేనా అని ఇప్పుడు ఆలోచించండి? వాస్తవానికి అవును, మరియు మేము ఇప్పుడు బయటకు తీసుకురావడానికి ప్రయత్నిస్తాము.

అంకగణిత పురోగతి యొక్క అవసరమైన పదాన్ని సూచిస్తాము, దానిని కనుగొనే సూత్రం మనకు తెలుసు - ఇది మేము ప్రారంభంలో ఉద్భవించిన అదే సూత్రం:
, అప్పుడు:

పురోగతి యొక్క మునుపటి పదం:
పురోగతి యొక్క తదుపరి పదం:

పురోగతి యొక్క మునుపటి మరియు తదుపరి నిబంధనలను సంగ్రహిద్దాం:

పురోగతి యొక్క మునుపటి మరియు తదుపరి నిబంధనల మొత్తం వాటి మధ్య ఉన్న పురోగతి పదం యొక్క రెట్టింపు విలువ అని ఇది మారుతుంది. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, తెలిసిన మునుపటి మరియు వరుస విలువలతో పురోగతి పదం యొక్క విలువను కనుగొనడానికి, మీరు వాటిని జోడించి విభజించాలి.

నిజమే, మాకు అదే నంబర్ వచ్చింది. పదార్థాన్ని భద్రపరుద్దాం. పురోగతి యొక్క విలువను మీరే లెక్కించండి, ఇది అస్సలు కష్టం కాదు.

బాగా చేసారు! పురోగతి గురించి మీకు దాదాపు ప్రతిదీ తెలుసు! పురాణాల ప్రకారం, ఎప్పటికప్పుడు గొప్ప గణిత శాస్త్రజ్ఞులలో ఒకరైన “గణిత శాస్త్రజ్ఞుల రాజు” - కార్ల్ గాస్ చేత సులభంగా తగ్గించబడిన ఒక సూత్రాన్ని మాత్రమే కనుగొనడం మిగిలి ఉంది.

కార్ల్ గాస్ 9 సంవత్సరాల వయస్సులో ఉన్నప్పుడు, ఇతర తరగతుల విద్యార్థుల పనిని తనిఖీ చేయడంలో నిమగ్నమైన ఉపాధ్యాయుడు, తరగతిలో ఈ క్రింది పనిని అప్పగించాడు: "అన్ని సహజ సంఖ్యల మొత్తాన్ని (ఇతర మూలాల ప్రకారం) కలుపుకొని లెక్కించండి." అతని విద్యార్థిలో ఒకరు (ఇది కార్ల్ గౌస్) ఒక నిమిషం తర్వాత టాస్క్‌కు సరైన సమాధానం ఇచ్చినప్పుడు ఉపాధ్యాయుని ఆశ్చర్యాన్ని ఊహించండి, అయితే చాలా మంది డేర్‌డెవిల్ క్లాస్‌మేట్స్, సుదీర్ఘ గణనల తర్వాత, తప్పు ఫలితాన్ని అందుకున్నారు...

యువకుడు కార్ల్ గాస్ మీరు కూడా సులభంగా గమనించగల నిర్దిష్ట నమూనాను గమనించారు.
-వ నిబంధనలతో కూడిన అంకగణిత పురోగతిని కలిగి ఉన్నామని చెప్పండి: అంకగణిత పురోగతి యొక్క ఈ నిబంధనల మొత్తాన్ని మనం కనుగొనాలి. అయితే, మేము అన్ని విలువలను మాన్యువల్‌గా సంక్షిప్తం చేయవచ్చు, అయితే టాస్క్‌కి గాస్ వెతుకుతున్నట్లుగా దాని నిబంధనల మొత్తాన్ని కనుగొనవలసి వస్తే ఏమి చేయాలి?

మనకు అందించిన పురోగతిని వర్ణిద్దాం. హైలైట్ చేసిన సంఖ్యలను నిశితంగా పరిశీలించి, వాటితో వివిధ గణిత కార్యకలాపాలను నిర్వహించడానికి ప్రయత్నించండి.

మీరు ప్రయత్నించారా? మీరు ఏమి గమనించారు? నిజమే! వాటి మొత్తాలు సమానంగా ఉంటాయి

ఇప్పుడు చెప్పండి, మనకు ఇచ్చిన ప్రోగ్రెస్‌లో మొత్తం ఎన్ని జతలు ఉన్నాయి? వాస్తవానికి, అన్ని సంఖ్యలలో సరిగ్గా సగం, అంటే.
అంకగణిత పురోగతి యొక్క రెండు పదాల మొత్తం సమానం మరియు సారూప్య జంటలు సమానం అనే వాస్తవం ఆధారంగా, మొత్తం మొత్తం దీనికి సమానం అని మేము పొందుతాము:
.
అందువల్ల, ఏదైనా అంకగణిత పురోగతి యొక్క మొదటి పదాల మొత్తానికి సూత్రం ఇలా ఉంటుంది:

కొన్ని సమస్యలలో మనకు పదం తెలియదు, కానీ పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసం మనకు తెలుసు. వ పదం యొక్క సూత్రాన్ని మొత్తం సూత్రంలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేయడానికి ప్రయత్నించండి.
నీకు ఏమి వచ్చింది?

బాగా చేసారు! ఇప్పుడు కార్ల్ గౌస్‌ని అడిగిన సమస్యకు తిరిగి వెళ్దాం: వ నుండి ప్రారంభమయ్యే సంఖ్యల మొత్తం ఎంతకు సమానం మరియు వ నుండి ప్రారంభమయ్యే సంఖ్యల మొత్తాన్ని మీరే లెక్కించండి.

మీకు ఎంత వచ్చింది?
నిబంధనల మొత్తం సమానమని, నిబంధనల మొత్తం సమానంగా ఉంటుందని గాస్ కనుగొన్నారు. మీరు నిర్ణయించుకున్నది అదేనా?

వాస్తవానికి, అంకగణిత పురోగతి యొక్క నిబంధనల మొత్తానికి సూత్రం 3వ శతాబ్దంలో పురాతన గ్రీకు శాస్త్రవేత్త డయోఫాంటస్చే నిరూపించబడింది మరియు ఈ సమయంలో, చమత్కారమైన వ్యక్తులు అంకగణిత పురోగతి యొక్క లక్షణాలను పూర్తిగా ఉపయోగించారు.
ఉదాహరణకు, పురాతన ఈజిప్ట్ మరియు ఆ సమయంలో అతిపెద్ద నిర్మాణ ప్రాజెక్ట్ను ఊహించుకోండి - ఒక పిరమిడ్ నిర్మాణం... చిత్రం దాని ఒక వైపు చూపిస్తుంది.

ఇక్కడ పురోగతి ఎక్కడ ఉంది, మీరు అంటున్నారు? జాగ్రత్తగా చూడండి మరియు పిరమిడ్ గోడ యొక్క ప్రతి వరుసలో ఇసుక బ్లాక్‌ల సంఖ్యలో ఒక నమూనాను కనుగొనండి.

అంకగణిత పురోగతి ఎందుకు లేదు? బ్లాక్ ఇటుకలను బేస్ వద్ద ఉంచినట్లయితే ఒక గోడను నిర్మించడానికి ఎన్ని బ్లాక్స్ అవసరమో లెక్కించండి. మానిటర్‌లో మీ వేలిని కదుపుతున్నప్పుడు మీరు లెక్కించరని నేను ఆశిస్తున్నాను, చివరి ఫార్ములా మరియు అంకగణిత పురోగతి గురించి మేము చెప్పినవన్నీ మీకు గుర్తున్నాయా?

ఈ సందర్భంలో, పురోగతి ఇలా కనిపిస్తుంది: .
అంకగణిత పురోగతి వ్యత్యాసం.
అంకగణిత పురోగతి యొక్క నిబంధనల సంఖ్య.
మన డేటాను చివరి ఫార్ములాల్లోకి ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం (బ్లాకుల సంఖ్యను 2 విధాలుగా లెక్కించండి).

పద్ధతి 1.

పద్ధతి 2.

ఇప్పుడు మీరు మానిటర్‌లో లెక్కించవచ్చు: పొందిన విలువలను మా పిరమిడ్‌లో ఉన్న బ్లాక్‌ల సంఖ్యతో సరిపోల్చండి. దొరికింది? బాగా చేసారు, మీరు అంకగణిత పురోగతి యొక్క nవ నిబంధనల మొత్తాన్ని ప్రావీణ్యం పొందారు.
వాస్తవానికి, మీరు బేస్ వద్ద ఉన్న బ్లాకుల నుండి పిరమిడ్‌ను నిర్మించలేరు, కానీ నుండి? ఈ పరిస్థితితో గోడను నిర్మించడానికి ఎన్ని ఇసుక ఇటుకలు అవసరమో లెక్కించేందుకు ప్రయత్నించండి.
మీరు నిర్వహించారా?
సరైన సమాధానం బ్లాక్స్:

శిక్షణ

పనులు:

మాషా వేసవి కోసం ఆకృతిని పొందుతోంది. ప్రతి రోజు ఆమె స్క్వాట్‌ల సంఖ్యను పెంచుతుంది. మాషా మొదటి శిక్షణలో స్క్వాట్‌లు చేస్తే వారానికి ఎన్నిసార్లు స్క్వాట్‌లు చేస్తారు?
ఇందులో ఉన్న అన్ని బేసి సంఖ్యల మొత్తం ఎంత.
లాగ్‌లను నిల్వ చేస్తున్నప్పుడు, లాగర్లు ప్రతి పై పొర మునుపటి కంటే ఒక లాగ్ తక్కువగా ఉండే విధంగా వాటిని పేర్చారు. ఒక తాపీపనిలో ఎన్ని దుంగలు ఉంటాయి, తాపీకి పునాది దుంగలు అయితే?

సమాధానాలు:

అంకగణిత పురోగతి యొక్క పారామితులను నిర్వచిద్దాం. ఈ విషయంలో
(వారాలు = రోజులు).
సమాధానం:రెండు వారాలలో, Masha రోజుకు ఒకసారి స్క్వాట్స్ చేయాలి.
మొదటి బేసి సంఖ్య, చివరి సంఖ్య.
అంకగణిత పురోగతి వ్యత్యాసం.
బేసి సంఖ్యల సంఖ్య సగం ఉంది, అయితే, అంకగణిత పురోగతి యొక్క వ పదాన్ని కనుగొనడానికి సూత్రాన్ని ఉపయోగించి ఈ వాస్తవాన్ని తనిఖీ చేద్దాం:
సంఖ్యలు బేసి సంఖ్యలను కలిగి ఉంటాయి.
అందుబాటులో ఉన్న డేటాను ఫార్ములాలో ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం:
సమాధానం:కలిగి ఉన్న అన్ని బేసి సంఖ్యల మొత్తం సమానంగా ఉంటుంది.
పిరమిడ్ల గురించిన సమస్యను గుర్తుంచుకుందాం. మా విషయంలో, a , ప్రతి పై పొర ఒక లాగ్ ద్వారా తగ్గించబడినందున, మొత్తంగా అనేక పొరలు ఉన్నాయి, అనగా.
ఫార్ములాలో డేటాను ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం:
సమాధానం:రాతిలో దుంగలు ఉన్నాయి.

సారాంశం చేద్దాం

- ప్రక్కనే ఉన్న సంఖ్యల మధ్య వ్యత్యాసం ఒకేలా మరియు సమానంగా ఉండే సంఖ్యా క్రమం. ఇది పెరగవచ్చు లేదా తగ్గవచ్చు.
సూత్రాన్ని కనుగొనడంఅంకగణిత పురోగతి యొక్క వ పదం సూత్రం ద్వారా వ్రాయబడుతుంది - , పురోగతిలో సంఖ్యల సంఖ్య.
అంకగణిత పురోగతి సభ్యుల ఆస్తి- - పురోగతిలో ఉన్న సంఖ్యల సంఖ్య ఎక్కడ ఉంది.
అంకగణిత పురోగతి యొక్క నిబంధనల మొత్తంరెండు విధాలుగా కనుగొనవచ్చు:

, విలువల సంఖ్య ఎక్కడ ఉంది.

అరిథ్మెటిక్ ప్రోగ్రెషన్. సగటు స్థాయి

సంఖ్య క్రమం

కూర్చొని కొన్ని అంకెలు రాయడం ప్రారంభిద్దాం. ఉదాహరణకి:

మీరు ఏవైనా సంఖ్యలను వ్రాయవచ్చు మరియు వాటిలో మీకు నచ్చినన్ని ఉండవచ్చు. కానీ ఏది మొదటిది, ఏది రెండవది అని మనం ఎల్లప్పుడూ చెప్పగలం, అంటే మనం వాటిని లెక్కించవచ్చు. ఇది సంఖ్యా శ్రేణికి ఉదాహరణ.

సంఖ్య క్రమంసంఖ్యల సమితి, వీటిలో ప్రతి ఒక్కటి ప్రత్యేక సంఖ్యను కేటాయించవచ్చు.

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ప్రతి సంఖ్యను నిర్దిష్ట సహజ సంఖ్యతో మరియు ఒక ప్రత్యేక సంఖ్యతో అనుబంధించవచ్చు. మరియు మేము ఈ సంఖ్యను ఈ సెట్ నుండి మరే ఇతర సంఖ్యకు కేటాయించము.

సంఖ్యతో కూడిన సంఖ్యను క్రమం యొక్క వ సభ్యుడు అంటారు.

క్రమం యొక్క వ పదాన్ని ఏదైనా ఫార్ములా ద్వారా పేర్కొనగలిగితే ఇది చాలా సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, ఫార్ములా

క్రమాన్ని సెట్ చేస్తుంది:

మరియు సూత్రం క్రింది క్రమం:

ఉదాహరణకు, అంకగణిత పురోగతి అనేది ఒక క్రమం (ఇక్కడ మొదటి పదం సమానం మరియు తేడా). లేదా (, వ్యత్యాసం).

nవ పదం సూత్రం

మేము ఫార్ములా పునరావృతం అని పిలుస్తాము, దీనిలో వ పదాన్ని కనుగొనడానికి, మీరు మునుపటి లేదా అనేక మునుపటి వాటిని తెలుసుకోవాలి:

ఉదాహరణకు, ఈ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి పురోగతి యొక్క వ పదాన్ని కనుగొనడానికి, మేము మునుపటి తొమ్మిదిని లెక్కించాలి. ఉదాహరణకు, దానిని అనుమతించండి. అప్పుడు:

సరే, ఫార్ములా ఏమిటో ఇప్పుడు తేలిపోయిందా?

ప్రతి పంక్తిలో మనం జోడించి, కొంత సంఖ్యతో గుణించాలి. ఏది? చాలా సులభం: ఇది ప్రస్తుత సభ్యుల సంఖ్య మైనస్:

ఇప్పుడు మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంది, సరియైనదా? మేము తనిఖీ చేస్తాము:

మీరే నిర్ణయించుకోండి:

అంకగణిత పురోగతిలో, nవ పదానికి సూత్రాన్ని కనుగొని, వందవ పదాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం:

మొదటి పదం సమానం. తేడా ఏమిటి? ఇక్కడ ఏమి ఉంది:

(అందుకే దీనిని వ్యత్యాసం అని పిలుస్తారు, ఎందుకంటే ఇది పురోగతి యొక్క వరుస నిబంధనల వ్యత్యాసానికి సమానం).

కాబట్టి, సూత్రం:

అప్పుడు వందవ పదం దీనికి సమానం:

నుండి వరకు అన్ని సహజ సంఖ్యల మొత్తం ఎంత?

పురాణాల ప్రకారం, గొప్ప గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు కార్ల్ గౌస్, 9 ఏళ్ల బాలుడిగా, ఈ మొత్తాన్ని కొన్ని నిమిషాల్లో లెక్కించాడు. మొదటి మరియు చివరి సంఖ్యల మొత్తం సమానంగా ఉంటుందని, రెండవ మరియు చివరి సంఖ్యల మొత్తం ఒకేలా ఉంటుందని, చివరి నుండి మూడవ మరియు 3వ మొత్తం ఒకేలా ఉంటుందని అతను గమనించాడు. అలాంటి జంటలు మొత్తం ఎన్ని ఉన్నాయి? అది సరియైనది, అన్ని సంఖ్యల సంఖ్యలో సరిగ్గా సగం, అంటే. కాబట్టి,

ఏదైనా అంకగణిత పురోగతి యొక్క మొదటి నిబంధనల మొత్తానికి సాధారణ సూత్రం:

ఉదాహరణ:
అన్ని రెండు-అంకెల గుణకాల మొత్తాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం:

అటువంటి మొదటి సంఖ్య ఇది. ప్రతి తదుపరి సంఖ్య మునుపటి సంఖ్యకు జోడించడం ద్వారా పొందబడుతుంది. అందువల్ల, మనకు ఆసక్తి ఉన్న సంఖ్యలు మొదటి పదం మరియు వ్యత్యాసంతో అంకగణిత పురోగతిని ఏర్పరుస్తాయి.

ఈ పురోగతి కోసం వ పదం యొక్క సూత్రం:

అవన్నీ రెండు అంకెలుగా ఉండాలంటే పురోగతిలో ఎన్ని నిబంధనలు ఉన్నాయి?

చాలా సులభం: .

పురోగతి యొక్క చివరి పదం సమానంగా ఉంటుంది. అప్పుడు మొత్తం:

సమాధానం: .

ఇప్పుడు మీరే నిర్ణయించుకోండి:

ప్రతి రోజు అథ్లెట్ మునుపటి రోజు కంటే ఎక్కువ మీటర్లు నడుస్తుంది. మొదటి రోజు కిమీ పరిగెత్తితే వారంలో మొత్తం ఎన్ని కిలోమీటర్లు పరిగెత్తాడు?
ఒక సైక్లిస్ట్ మునుపటి రోజు కంటే ప్రతిరోజూ ఎక్కువ కిలోమీటర్లు ప్రయాణిస్తాడు. తొలిరోజు కి.మీ. అతను కిలోమీటరు ప్రయాణించడానికి ఎన్ని రోజులు ప్రయాణించాలి? తన ప్రయాణంలో చివరి రోజు ఎన్ని కిలోమీటర్లు ప్రయాణం చేస్తాడు?
దుకాణంలో రిఫ్రిజిరేటర్ ధర ప్రతి సంవత్సరం అదే మొత్తంలో తగ్గుతుంది. రూబిళ్లు కోసం అమ్మకానికి ఉంచినట్లయితే, ఆరు సంవత్సరాల తరువాత అది రూబిళ్లకు విక్రయించబడితే, ప్రతి సంవత్సరం రిఫ్రిజిరేటర్ ధర ఎంత తగ్గుతుందో నిర్ణయించండి.

సమాధానాలు:

ఇక్కడ అత్యంత ముఖ్యమైన విషయం అంకగణిత పురోగతిని గుర్తించడం మరియు దాని పారామితులను గుర్తించడం. ఈ సందర్భంలో, (వారాలు = రోజులు). మీరు ఈ పురోగతి యొక్క మొదటి నిబంధనల మొత్తాన్ని గుర్తించాలి:
.
సమాధానం:
ఇక్కడ ఇవ్వబడింది: , తప్పక కనుగొనాలి.
సహజంగానే, మీరు మునుపటి సమస్యలో ఉన్న మొత్తం సూత్రాన్ని ఉపయోగించాలి:
.
విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి:
రూట్ స్పష్టంగా సరిపోదు, కాబట్టి సమాధానం.
వ పదం యొక్క సూత్రాన్ని ఉపయోగించి చివరి రోజు ప్రయాణించిన మార్గాన్ని గణిద్దాం:
(కిమీ).
సమాధానం:
ఇచ్చిన: . కనుగొను: .
ఇది సరళమైనది కాదు:
(రబ్).
సమాధానం:

అరిథ్మెటిక్ ప్రోగ్రెషన్. ప్రధాన విషయాల గురించి క్లుప్తంగా

ఇది ఒక సంఖ్యా శ్రేణి, దీనిలో ప్రక్కనే ఉన్న సంఖ్యల మధ్య వ్యత్యాసం ఒకేలా మరియు సమానంగా ఉంటుంది.

అంకగణిత పురోగతి () పెరగడం మరియు తగ్గడం ().

ఉదాహరణకి:

అంకగణిత పురోగతి యొక్క nవ పదాన్ని కనుగొనడానికి సూత్రం

ఫార్ములా ద్వారా వ్రాయబడింది, పురోగతిలో ఉన్న సంఖ్యల సంఖ్య ఎక్కడ ఉంది.

అంకగణిత పురోగతి సభ్యుల ఆస్తి

దాని పొరుగు నిబంధనలు తెలిసినట్లయితే, పురోగతి యొక్క పదాన్ని సులభంగా కనుగొనడానికి ఇది మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది - పురోగతిలో సంఖ్యల సంఖ్య ఎక్కడ ఉంది.

అంకగణిత పురోగతి యొక్క నిబంధనల మొత్తం

మొత్తాన్ని కనుగొనడానికి రెండు మార్గాలు ఉన్నాయి:

విలువల సంఖ్య ఎక్కడ ఉంది.

సూచనలు

అంకగణిత పురోగతి అనేది a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d రూపం యొక్క క్రమం. సంఖ్య d దశ పురోగతి.అరిథ్మెటిక్ యొక్క ఏకపక్ష n-వ పదం యొక్క సాధారణం అని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది పురోగతిఫారమ్‌ను కలిగి ఉంది: An = A1+(n-1)d. అప్పుడు సభ్యుల్లో ఒకరిని తెలుసుకోవడం పురోగతి, సభ్యుడు పురోగతిమరియు అడుగు పురోగతి, మీరు చేయవచ్చు, అంటే, ప్రోగ్రెస్ మెంబర్ సంఖ్య. సహజంగానే, ఇది n = (An-A1+d)/d సూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది.

ఇప్పుడు mth పదం తెలుసుకుందాం పురోగతిమరియు మరొక సభ్యుడు పురోగతి- nth, కానీ n , మునుపటి సందర్భంలో వలె, కానీ n మరియు m ఏకీభవించవని తెలుసు. పురోగతిసూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించవచ్చు: d = (An-Am)/(n-m). అప్పుడు n = (An-Am+md)/d.

అంకగణిత సమీకరణంలోని అనేక మూలకాల మొత్తం తెలిసినట్లయితే పురోగతి, అలాగే దాని మొదటి మరియు చివరి, తర్వాత ఈ మూలకాల సంఖ్యను కూడా నిర్ణయించవచ్చు. అంకగణితం మొత్తం పురోగతిదీనికి సమానంగా ఉంటుంది: S = ((A1+An)/2)n. అప్పుడు n = 2S/(A1+An) - chdenov పురోగతి. An = A1+(n-1)d అనే వాస్తవాన్ని ఉపయోగించి, ఈ సూత్రాన్ని ఇలా తిరిగి వ్రాయవచ్చు: n = 2S/(2A1+(n-1)d). దీని నుండి మనం వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం ద్వారా n ను వ్యక్తపరచవచ్చు.

అంకగణిత శ్రేణి అనేది క్రమబద్ధీకరించబడిన సంఖ్యల సమితి, వీటిలో ప్రతి సభ్యుడు, మొదటిది తప్ప, మునుపటి దాని నుండి అదే మొత్తంలో తేడా ఉంటుంది. ఈ స్థిరమైన విలువను పురోగతి లేదా దాని దశ యొక్క వ్యత్యాసం అని పిలుస్తారు మరియు అంకగణిత పురోగతి యొక్క తెలిసిన నిబంధనల నుండి లెక్కించవచ్చు.

సూచనలు

సమస్య యొక్క పరిస్థితుల నుండి మొదటి మరియు రెండవ లేదా ఏదైనా ఇతర జత ప్రక్కనే ఉన్న పదాల విలువలు తెలిసినట్లయితే, వ్యత్యాసాన్ని లెక్కించేందుకు (d) కేవలం మునుపటి పదాన్ని తదుపరి పదం నుండి తీసివేయండి. ఫలిత విలువ సానుకూల లేదా ప్రతికూల సంఖ్య కావచ్చు - ఇది పురోగతి పెరుగుతుందా అనే దానిపై ఆధారపడి ఉంటుంది. సాధారణ రూపంలో, పురోగతి యొక్క పొరుగు నిబంధనల యొక్క ఏకపక్ష జత (aᵢ మరియు aᵢ₊₁) కోసం ఈ క్రింది విధంగా పరిష్కారాన్ని వ్రాయండి: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

అటువంటి పురోగతి యొక్క ఒక జత నిబంధనల కోసం, వాటిలో ఒకటి మొదటిది (a₁), మరియు మరొకటి ఏదైనా ఇతర ఏకపక్షంగా ఎంపిక చేయబడినది, వ్యత్యాసాన్ని (d) కనుగొనడానికి ఒక సూత్రాన్ని సృష్టించడం కూడా సాధ్యమే. అయితే, ఈ సందర్భంలో, క్రమం యొక్క ఏకపక్షంగా ఎంచుకున్న సభ్యుని క్రమ సంఖ్య (i) తప్పనిసరిగా తెలుసుకోవాలి. వ్యత్యాసాన్ని లెక్కించడానికి, రెండు సంఖ్యలను జోడించి, ఫలితంగా వచ్చే ఫలితాన్ని ఏకపక్ష పదం యొక్క ఆర్డినల్ సంఖ్యతో భాగించండి. సాధారణంగా, ఈ సూత్రాన్ని క్రింది విధంగా వ్రాయండి: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

ఒకవేళ, ఆర్డినల్ నంబర్ iతో ఉన్న అంకగణిత పురోగతి యొక్క ఏకపక్ష సభ్యునితో పాటు, ఆర్డినల్ నంబర్ u ఉన్న మరొక సభ్యుడు తెలిసినట్లయితే, తదనుగుణంగా మునుపటి దశ నుండి సూత్రాన్ని మార్చండి. ఈ సందర్భంలో, పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసం (d) ఈ రెండు పదాల మొత్తం వాటి ఆర్డినల్ సంఖ్యల వ్యత్యాసంతో భాగించబడుతుంది: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

సమస్య పరిస్థితులు దాని మొదటి పదం (a₁) మరియు అంకగణిత శ్రేణి యొక్క మొదటి నిబంధనల యొక్క ఇచ్చిన సంఖ్య (i) యొక్క మొత్తం (Sᵢ) విలువను అందిస్తే, తేడా (d)ని లెక్కించే సూత్రం కొంత క్లిష్టంగా మారుతుంది. కావలసిన విలువను పొందేందుకు, దాన్ని రూపొందించే పదాల సంఖ్యతో మొత్తాన్ని భాగించండి, క్రమంలో మొదటి సంఖ్య యొక్క విలువను తీసివేయండి మరియు ఫలితాన్ని రెట్టింపు చేయండి. ఫలిత విలువను ఒకదానితో తగ్గించిన మొత్తాన్ని చేసే పదాల సంఖ్యతో భాగించండి. సాధారణంగా, వివక్షను లెక్కించడానికి సూత్రాన్ని ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయండి: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

మొదటి స్థాయి

అంకగణిత పురోగతి. ఉదాహరణలతో కూడిన వివరణాత్మక సిద్ధాంతం (2019)

సంఖ్య క్రమం

సంఖ్య క్రమం
ఉదాహరణకు, మా క్రమం కోసం:

మా విషయంలో:

a)
బి)
సి)
d)

1. పద్ధతి

కాబట్టి, వివరించిన అంకగణిత పురోగతి యొక్క వ పదం సమానం.

2. పద్ధతి

మీరు లెక్కించారా? మీ గమనికలను సమాధానంతో సరిపోల్చండి:

అంకగణిత పురోగతి సమీకరణం.

అంకగణిత పురోగమనాలు పెరుగుతాయి లేదా తగ్గవచ్చు.

అప్పటి నుండి:

ఫలితాలను పోల్చి చూద్దాం:

అంకగణిత పురోగతి లక్షణం

లెట్, ఆహ్, అప్పుడు:

పురోగతి యొక్క మునుపటి పదం:
పురోగతి యొక్క తదుపరి పదం:

పురోగతి యొక్క మునుపటి మరియు తదుపరి నిబంధనలను సంగ్రహిద్దాం:

పద్ధతి 1.

పద్ధతి 2.

శిక్షణ

పనులు:

మాషా వేసవి కోసం ఆకృతిని పొందుతోంది. ప్రతి రోజు ఆమె స్క్వాట్‌ల సంఖ్యను పెంచుతుంది. మాషా మొదటి శిక్షణలో స్క్వాట్‌లు చేస్తే వారానికి ఎన్నిసార్లు స్క్వాట్‌లు చేస్తారు?
ఇందులో ఉన్న అన్ని బేసి సంఖ్యల మొత్తం ఎంత.
లాగ్‌లను నిల్వ చేస్తున్నప్పుడు, లాగర్లు ప్రతి పై పొర మునుపటి కంటే ఒక లాగ్ తక్కువగా ఉండే విధంగా వాటిని పేర్చారు. ఒక తాపీపనిలో ఎన్ని దుంగలు ఉంటాయి, తాపీకి పునాది దుంగలు అయితే?

సమాధానాలు:

అంకగణిత పురోగతి యొక్క పారామితులను నిర్వచిద్దాం. ఈ విషయంలో
(వారాలు = రోజులు).
సమాధానం:రెండు వారాలలో, Masha రోజుకు ఒకసారి స్క్వాట్స్ చేయాలి.
మొదటి బేసి సంఖ్య, చివరి సంఖ్య.
అంకగణిత పురోగతి వ్యత్యాసం.
బేసి సంఖ్యల సంఖ్య సగం ఉంది, అయితే, అంకగణిత పురోగతి యొక్క వ పదాన్ని కనుగొనడానికి సూత్రాన్ని ఉపయోగించి ఈ వాస్తవాన్ని తనిఖీ చేద్దాం:
సంఖ్యలు బేసి సంఖ్యలను కలిగి ఉంటాయి.
అందుబాటులో ఉన్న డేటాను ఫార్ములాలో ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం:
సమాధానం:కలిగి ఉన్న అన్ని బేసి సంఖ్యల మొత్తం సమానంగా ఉంటుంది.
పిరమిడ్ల గురించిన సమస్యను గుర్తుంచుకుందాం. మా విషయంలో, a , ప్రతి పై పొర ఒక లాగ్ ద్వారా తగ్గించబడినందున, మొత్తంగా అనేక పొరలు ఉన్నాయి, అనగా.
ఫార్ములాలో డేటాను ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం:
సమాధానం:రాతిలో దుంగలు ఉన్నాయి.

సారాంశం చేద్దాం

- ప్రక్కనే ఉన్న సంఖ్యల మధ్య వ్యత్యాసం ఒకేలా మరియు సమానంగా ఉండే సంఖ్యా క్రమం. ఇది పెరగవచ్చు లేదా తగ్గవచ్చు.
సూత్రాన్ని కనుగొనడంఅంకగణిత పురోగతి యొక్క వ పదం సూత్రం ద్వారా వ్రాయబడుతుంది - , పురోగతిలో సంఖ్యల సంఖ్య.
అంకగణిత పురోగతి సభ్యుల ఆస్తి- - పురోగతిలో ఉన్న సంఖ్యల సంఖ్య ఎక్కడ ఉంది.
అంకగణిత పురోగతి యొక్క నిబంధనల మొత్తంరెండు విధాలుగా కనుగొనవచ్చు:

, విలువల సంఖ్య ఎక్కడ ఉంది.

అరిథ్మెటిక్ ప్రోగ్రెషన్. సగటు స్థాయి

సంఖ్య క్రమం

కూర్చొని కొన్ని అంకెలు రాయడం ప్రారంభిద్దాం. ఉదాహరణకి:

సంఖ్యతో కూడిన సంఖ్యను క్రమం యొక్క వ సభ్యుడు అంటారు.

క్రమాన్ని సెట్ చేస్తుంది:

మరియు సూత్రం క్రింది క్రమం:

nవ పదం సూత్రం

సరే, ఫార్ములా ఏమిటో ఇప్పుడు తేలిపోయిందా?

ఇప్పుడు మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంది, సరియైనదా? మేము తనిఖీ చేస్తాము:

మీరే నిర్ణయించుకోండి:

అంకగణిత పురోగతిలో, nవ పదానికి సూత్రాన్ని కనుగొని, వందవ పదాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం:

మొదటి పదం సమానం. తేడా ఏమిటి? ఇక్కడ ఏమి ఉంది:

కాబట్టి, సూత్రం:

అప్పుడు వందవ పదం దీనికి సమానం:

నుండి వరకు అన్ని సహజ సంఖ్యల మొత్తం ఎంత?

ఏదైనా అంకగణిత పురోగతి యొక్క మొదటి నిబంధనల మొత్తానికి సాధారణ సూత్రం:

ఉదాహరణ:
అన్ని రెండు-అంకెల గుణకాల మొత్తాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం:

ఈ పురోగతి కోసం వ పదం యొక్క సూత్రం:

అవన్నీ రెండు అంకెలుగా ఉండాలంటే పురోగతిలో ఎన్ని నిబంధనలు ఉన్నాయి?

చాలా సులభం: .

పురోగతి యొక్క చివరి పదం సమానంగా ఉంటుంది. అప్పుడు మొత్తం:

సమాధానం: .

ఇప్పుడు మీరే నిర్ణయించుకోండి:

ప్రతి రోజు అథ్లెట్ మునుపటి రోజు కంటే ఎక్కువ మీటర్లు నడుస్తుంది. మొదటి రోజు కిమీ పరిగెత్తితే వారంలో మొత్తం ఎన్ని కిలోమీటర్లు పరిగెత్తాడు?
ఒక సైక్లిస్ట్ మునుపటి రోజు కంటే ప్రతిరోజూ ఎక్కువ కిలోమీటర్లు ప్రయాణిస్తాడు. తొలిరోజు కి.మీ. అతను కిలోమీటరు ప్రయాణించడానికి ఎన్ని రోజులు ప్రయాణించాలి? తన ప్రయాణంలో చివరి రోజు ఎన్ని కిలోమీటర్లు ప్రయాణం చేస్తాడు?
దుకాణంలో రిఫ్రిజిరేటర్ ధర ప్రతి సంవత్సరం అదే మొత్తంలో తగ్గుతుంది. రూబిళ్లు కోసం అమ్మకానికి ఉంచినట్లయితే, ఆరు సంవత్సరాల తరువాత అది రూబిళ్లకు విక్రయించబడితే, ప్రతి సంవత్సరం రిఫ్రిజిరేటర్ ధర ఎంత తగ్గుతుందో నిర్ణయించండి.

సమాధానాలు:

ఇక్కడ అత్యంత ముఖ్యమైన విషయం అంకగణిత పురోగతిని గుర్తించడం మరియు దాని పారామితులను గుర్తించడం. ఈ సందర్భంలో, (వారాలు = రోజులు). మీరు ఈ పురోగతి యొక్క మొదటి నిబంధనల మొత్తాన్ని గుర్తించాలి:
.
సమాధానం:
ఇక్కడ ఇవ్వబడింది: , తప్పక కనుగొనాలి.
సహజంగానే, మీరు మునుపటి సమస్యలో ఉన్న మొత్తం సూత్రాన్ని ఉపయోగించాలి:
.
విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి:
రూట్ స్పష్టంగా సరిపోదు, కాబట్టి సమాధానం.
వ పదం యొక్క సూత్రాన్ని ఉపయోగించి చివరి రోజు ప్రయాణించిన మార్గాన్ని గణిద్దాం:
(కిమీ).
సమాధానం:
ఇచ్చిన: . కనుగొను: .
ఇది సరళమైనది కాదు:
(రబ్).
సమాధానం:

అరిథ్మెటిక్ ప్రోగ్రెషన్. ప్రధాన విషయాల గురించి క్లుప్తంగా

అంకగణిత పురోగతి () పెరగడం మరియు తగ్గడం ().

ఉదాహరణకి:

అంకగణిత పురోగతి యొక్క nవ పదాన్ని కనుగొనడానికి సూత్రం

ఫార్ములా ద్వారా వ్రాయబడింది, పురోగతిలో ఉన్న సంఖ్యల సంఖ్య ఎక్కడ ఉంది.

అంకగణిత పురోగతి సభ్యుల ఆస్తి

అంకగణిత పురోగతి యొక్క నిబంధనల మొత్తం

మొత్తాన్ని కనుగొనడానికి రెండు మార్గాలు ఉన్నాయి:

విలువల సంఖ్య ఎక్కడ ఉంది.

ఉదాహరణకు, క్రమం \(2\); \(5\); \(8\); \(పదకొండు\); \(14\)... ఒక అంకగణిత పురోగతి, ఎందుకంటే ప్రతి తదుపరి మూలకం మునుపటి దాని నుండి మూడు తేడా ఉంటుంది (మూడు జోడించడం ద్వారా మునుపటి నుండి పొందవచ్చు):

ఈ పురోగతిలో, తేడా \(d\) సానుకూలంగా ఉంటుంది (\(3\)కి సమానం), అందువల్ల ప్రతి తదుపరి పదం మునుపటి కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది. ఇటువంటి పురోగతులు అంటారు పెరుగుతున్నాయి.

అయితే, \(d\) కూడా ప్రతికూల సంఖ్య కావచ్చు. ఉదాహరణకి, అంకగణిత పురోగతిలో \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... పురోగతి వ్యత్యాసం \(d\) మైనస్ ఆరుకి సమానం.

మరియు ఈ సందర్భంలో, ప్రతి తదుపరి మూలకం మునుపటి కంటే చిన్నదిగా ఉంటుంది. ఈ పురోగతులు అంటారు తగ్గుతోంది.

అంకగణిత పురోగతి సంజ్ఞామానం

పురోగతి చిన్న లాటిన్ అక్షరంతో సూచించబడుతుంది.

పురోగతిని ఏర్పరిచే సంఖ్యలను అంటారు సభ్యులు(లేదా అంశాలు).

అవి అదే అక్షరంతో అంకగణిత పురోగతిగా సూచించబడతాయి, కానీ క్రమంలో మూలకం సంఖ్యకు సమానమైన సంఖ్యా సూచికతో ఉంటాయి.

ఉదాహరణకు, అంకగణిత పురోగతి \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14...\right\)\) మూలకాలు \(a_1=2\) ఉంటాయి; \(a_2=5\); \(a_3=8\) మరియు మొదలైనవి.

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, పురోగతి కోసం \(a_n = \ఎడమ\(2; 5; 8; 11; 14...\కుడి\)\)

అంకగణిత పురోగతి సమస్యలను పరిష్కరించడం

సూత్రప్రాయంగా, దాదాపు ఏదైనా అంకగణిత పురోగతి సమస్యను (OGEలో అందించిన వాటితో సహా) పరిష్కరించడానికి పైన అందించిన సమాచారం ఇప్పటికే సరిపోతుంది.

ఉదాహరణ (OGE). అంకగణిత పురోగతి షరతుల ద్వారా పేర్కొనబడింది \(b_1=7; d=4\). \(b_5\)ని కనుగొనండి.
పరిష్కారం:

సమాధానం: \(b_5=23\)

ఉదాహరణ (OGE). అంకగణిత పురోగతి యొక్క మొదటి మూడు పదాలు ఇవ్వబడ్డాయి: \(62; 49; 36...\) ఈ పురోగతి యొక్క మొదటి ప్రతికూల పదం యొక్క విలువను కనుగొనండి..
పరిష్కారం:

	మనకు సీక్వెన్స్ యొక్క మొదటి అంశాలు ఇవ్వబడ్డాయి మరియు ఇది అంకగణిత పురోగతి అని తెలుసు. అంటే, ప్రతి మూలకం దాని పొరుగు నుండి ఒకే సంఖ్యలో భిన్నంగా ఉంటుంది. తదుపరి మూలకం నుండి మునుపటి దాన్ని తీసివేయడం ద్వారా ఏది కనుగొనండి: \(d=49-62=-13\).
	ఇప్పుడు మనం మన పురోగతిని మనకు అవసరమైన (మొదటి ప్రతికూల) మూలకానికి పునరుద్ధరించవచ్చు.
	సిద్ధంగా ఉంది. మీరు సమాధానం వ్రాయగలరు.

సమాధానం: \(-3\)

ఉదాహరణ (OGE). అంకగణిత పురోగతి యొక్క అనేక వరుస మూలకాలు అందించబడ్డాయి: \(...5; x; 10; 12.5...\) \(x\) అక్షరం ద్వారా నిర్దేశించబడిన మూలకం విలువను కనుగొనండి.
పరిష్కారం:

	\(x\)ని కనుగొనడానికి, తదుపరి మూలకం మునుపటి దాని నుండి ఎంత భిన్నంగా ఉందో మనం తెలుసుకోవాలి, మరో మాటలో చెప్పాలంటే, పురోగతి వ్యత్యాసం. తెలిసిన రెండు పొరుగు మూలకాల నుండి దానిని కనుగొనండి: \(d=12.5-10=2.5\).
	మరియు ఇప్పుడు మనం వెతుకుతున్న దాన్ని సులభంగా కనుగొనవచ్చు: \(x=5+2.5=7.5\).
	సిద్ధంగా ఉంది. మీరు సమాధానం వ్రాయగలరు.

సమాధానం: \(7,5\).

ఉదాహరణ (OGE). అంకగణిత పురోగతి క్రింది పరిస్థితుల ద్వారా నిర్వచించబడింది: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) ఈ పురోగతి యొక్క మొదటి ఆరు పదాల మొత్తాన్ని కనుగొనండి.
పరిష్కారం:

మేము పురోగతి యొక్క మొదటి ఆరు పదాల మొత్తాన్ని కనుగొనాలి. కానీ వాటి అర్థాలు మనకు తెలియవు; మనకు మొదటి మూలకం మాత్రమే ఇవ్వబడింది. కాబట్టి, మేము మొదట మనకు అందించిన వాటిని ఉపయోగించి విలువలను ఒక్కొక్కటిగా లెక్కిస్తాము:

\(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\)
\(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\)
\(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\)
మరియు మనకు అవసరమైన ఆరు మూలకాలను లెక్కించిన తరువాత, వాటి మొత్తాన్ని మేము కనుగొంటాము.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\)
\(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

అవసరమైన మొత్తం కనుగొనబడింది.

సమాధానం: \(S_6=9\).

ఉదాహరణ (OGE). అంకగణిత పురోగతిలో \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). ఈ పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసాన్ని కనుగొనండి.
పరిష్కారం:

సమాధానం: \(d=7\).

అంకగణిత పురోగతికి ముఖ్యమైన సూత్రాలు

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, అంకగణిత పురోగతిపై చాలా సమస్యలను ప్రధాన విషయం అర్థం చేసుకోవడం ద్వారా పరిష్కరించవచ్చు - అంకగణిత పురోగతి అనేది సంఖ్యల గొలుసు, మరియు ఈ గొలుసులోని ప్రతి తదుపరి మూలకం మునుపటి సంఖ్యకు అదే సంఖ్యను జోడించడం ద్వారా పొందబడుతుంది (ది పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసం).

అయితే, కొన్నిసార్లు "హెడ్-ఆన్" నిర్ణయించడం చాలా అసౌకర్యంగా ఉన్నప్పుడు పరిస్థితులు ఉన్నాయి. ఉదాహరణకు, మొదటి ఉదాహరణలో మనం ఐదవ మూలకం \(b_5\) కాకుండా మూడు వందల ఎనభై ఆరవ \(b_(386)\)ని కనుగొనవలసి ఉంటుందని ఊహించండి. మేము నాలుగు \(385\) సార్లు జోడించాలా? లేదా చివరి ఉదాహరణలో మీరు మొదటి డెబ్బై-మూడు మూలకాల మొత్తాన్ని కనుగొనవలసి ఉంటుందని ఊహించండి. మీరు లెక్కించి విసిగిపోతారు ...

అందువల్ల, అటువంటి సందర్భాలలో వారు "హెడ్-ఆన్" విషయాలను పరిష్కరించరు, కానీ అంకగణిత పురోగతి కోసం రూపొందించిన ప్రత్యేక సూత్రాలను ఉపయోగిస్తారు. మరియు ప్రధానమైనవి ప్రోగ్రెస్షన్ యొక్క nవ పదానికి సూత్రం మరియు \(n\) మొదటి పదాల మొత్తానికి సూత్రం.

\(n\)వ పదం యొక్క ఫార్ములా: \(a_n=a_1+(n-1)d\), ఇక్కడ \(a_1\) అనేది పురోగతి యొక్క మొదటి పదం;
\(n\) – అవసరమైన మూలకం సంఖ్య;
\(a_n\) – సంఖ్య \(n\)తో పురోగతి యొక్క పదం.

ఈ ఫార్ములా మూడు వందల లేదా మిలియన్ల మూలకాన్ని కూడా త్వరగా కనుగొనడానికి అనుమతిస్తుంది, మొదటి మరియు పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసాన్ని మాత్రమే తెలుసుకుంటుంది.

ఉదాహరణ. అంకగణిత పురోగతి షరతుల ద్వారా పేర్కొనబడింది: \(b_1=-159\); \(d=8.2\). కనుగొను \(b_(246)\).
పరిష్కారం:

సమాధానం: \(b_(246)=1850\).

మొదటి n నిబంధనల మొత్తానికి ఫార్ములా: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), ఇక్కడ

\(a_n\) – చివరిగా సంగ్రహించిన పదం;

ఉదాహరణ (OGE). అంకగణిత పురోగతి షరతుల ద్వారా పేర్కొనబడింది \(a_n=3.4n-0.6\). ఈ పురోగతి యొక్క మొదటి \(25\) నిబంధనల మొత్తాన్ని కనుగొనండి.
పరిష్కారం:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		మొదటి ఇరవై ఐదు పదాల మొత్తాన్ని లెక్కించడానికి, మొదటి మరియు ఇరవై ఐదవ పదాల విలువను మనం తెలుసుకోవాలి. మా పురోగతి దాని సంఖ్యను బట్టి nవ పదం యొక్క సూత్రం ద్వారా అందించబడుతుంది (మరిన్ని వివరాల కోసం, చూడండి). మొదటి మూలకాన్ని \(n\)కి ప్రత్యామ్నాయంగా గణిద్దాం.
\(n=1;\) \(a_1=3.4·1-0.6=2.8\)		ఇప్పుడు ఇరవై ఐదవ పదాన్ని \(n\)కి బదులుగా ఇరవై ఐదుని భర్తీ చేసి చూద్దాం.
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4·25-0.6=84.4\)		బాగా, ఇప్పుడు మనం అవసరమైన మొత్తాన్ని సులభంగా లెక్కించవచ్చు.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		సమాధానం సిద్ధంగా ఉంది.

సమాధానం: \(S_(25)=1090\).

మొదటి నిబంధనల మొత్తం \(n\) కోసం, మీరు మరొక సూత్రాన్ని పొందవచ్చు: మీరు కేవలం \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) \(a_n\)కి బదులుగా \(a_n=a_1+(n-1)d\) సూత్రాన్ని ప్రత్యామ్నాయం చేయండి. మాకు దొరికింది:

మొదటి n నిబంధనల మొత్తానికి ఫార్ములా: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), ఇక్కడ

\(S_n\) – \(n\) మొదటి మూలకాల యొక్క అవసరమైన మొత్తం;
\(a_1\) – మొదటి సంగ్రహ పదం;
\(d\) - పురోగతి వ్యత్యాసం;
\(n\) – మొత్తం మూలకాల సంఖ్య.

ఉదాహరణ. అంకగణిత పురోగతి యొక్క మొదటి \(33\)-మాజీ నిబంధనల మొత్తాన్ని కనుగొనండి: \(17\); \(15.5\); \(14\)…
పరిష్కారం:

సమాధానం: \(S_(33)=-231\).

మరింత సంక్లిష్టమైన అంకగణిత పురోగతి సమస్యలు

ఇప్పుడు మీరు దాదాపు ఏదైనా అంకగణిత పురోగతి సమస్యను పరిష్కరించడానికి అవసరమైన మొత్తం సమాచారాన్ని కలిగి ఉన్నారు. మీరు సూత్రాలను వర్తింపజేయడమే కాకుండా, కొంచెం ఆలోచించాల్సిన సమస్యలను పరిగణనలోకి తీసుకోవడం ద్వారా అంశాన్ని పూర్తి చేద్దాం (గణితంలో ఇది ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది ☺)

ఉదాహరణ (OGE). పురోగతి యొక్క అన్ని ప్రతికూల నిబంధనల మొత్తాన్ని కనుగొనండి: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
పరిష్కారం:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		పని మునుపటి మాదిరిగానే ఉంటుంది. మేము అదే విషయాన్ని పరిష్కరించడం ప్రారంభిస్తాము: మొదట మేము \(d\)ని కనుగొంటాము.
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		ఇప్పుడు నేను మొత్తానికి ఫార్ములాలో \(d\)ని ప్రత్యామ్నాయం చేయాలనుకుంటున్నాను... మరియు ఇక్కడ ఒక చిన్న సూక్ష్మభేదం ఉద్భవించింది - మాకు \(n\) తెలియదు. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఎన్ని నిబంధనలను జోడించాలో మాకు తెలియదు. ఎలా కనుక్కోవాలి? ఆలోచిద్దాం. మేము మొదటి సానుకూల మూలకాన్ని చేరుకున్నప్పుడు మూలకాలను జోడించడం ఆపివేస్తాము. అంటే, మీరు ఈ మూలకం యొక్క సంఖ్యను కనుగొనాలి. ఎలా? అంకగణిత పురోగతి యొక్క ఏదైనా మూలకాన్ని లెక్కించడానికి సూత్రాన్ని వ్రాస్దాం: మన కేసు కోసం \(a_n=a_1+(n-1)d\).
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19.3+(n-1)·0.3\)		సున్నా కంటే ఎక్కువ కావడానికి మనకు \(a_n\) అవసరం. ఇది ఏమి జరుగుతుందో \(n\) వద్ద తెలుసుకుందాం.
\(-19.3+(n-1)·0.3>0\)
\((n-1)·0.3>19.3\) \(\|:0.3\)		మేము అసమానత యొక్క రెండు వైపులా \(0.3\) ద్వారా విభజిస్తాము.
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		మేము సంకేతాలను మార్చడం మర్చిపోకుండా, మైనస్ ఒకటి బదిలీ చేస్తాము
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		లెక్క తీసుకుందాం...
\(n>65,333...\)		...మరియు మొదటి సానుకూల మూలకం \(66\) సంఖ్యను కలిగి ఉంటుందని తేలింది. దీని ప్రకారం, చివరి ప్రతికూలత \(n=65\) కలిగి ఉంటుంది. ఒకవేళ, దీనిని తనిఖీ చేద్దాం.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1)·0.3=-0.1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19.3+(66-1)·0.3=0.2\)		కాబట్టి మనం మొదటి \(65\) మూలకాలను జోడించాలి.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		సమాధానం సిద్ధంగా ఉంది.

సమాధానం: \(S_(65)=-630.5\).

ఉదాహరణ (OGE). అంకగణిత పురోగతి షరతుల ద్వారా పేర్కొనబడింది: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). \(26\)వ నుండి \(42\) మూలకం కలుపుకొని మొత్తాన్ని కనుగొనండి.
పరిష్కారం:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	ఈ సమస్యలో మీరు మూలకాల మొత్తాన్ని కూడా కనుగొనవలసి ఉంటుంది, అయితే మొదటి నుండి కాకుండా \(26\)వ నుండి ప్రారంభించండి. అటువంటి సందర్భానికి మన దగ్గర ఫార్ములా లేదు. ఎలా నిర్ణయించుకోవాలి? ఇది సులభం - \(26\)వ నుండి \(42\)వ వరకు మొత్తాన్ని పొందడానికి, మీరు ముందుగా \(1\)వ నుండి \(42\)వ వరకు మొత్తాన్ని కనుగొని, ఆపై తీసివేయాలి. దాని నుండి మొదటి నుండి \(25\)వ వరకు మొత్తం (చిత్రాన్ని చూడండి).
	మా పురోగతి కోసం \(a_1=-33\), మరియు తేడా \(d=4\) (అన్నింటికంటే, మేము తదుపరిదాన్ని కనుగొనడానికి మునుపటి మూలకంకి నలుగురిని జోడిస్తాము). దీన్ని తెలుసుకుంటే, మొదటి \(42\)-y మూలకాల మొత్తాన్ని మనం కనుగొంటాము.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	ఇప్పుడు మొదటి \(25\) మూలకాల మొత్తం.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	చివరకు, మేము సమాధానాన్ని లెక్కిస్తాము.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

సమాధానం: \(S=1683\).

అంకగణిత పురోగతి కోసం, వాటి తక్కువ ఆచరణాత్మక ఉపయోగం కారణంగా మేము ఈ వ్యాసంలో పరిగణించని అనేక సూత్రాలు ఉన్నాయి. అయితే, మీరు వాటిని సులభంగా కనుగొనవచ్చు.