సంఖ్యల సంఖ్య అంటే ఏమిటి. రెండు సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని ఎలా కనుగొనాలి

కింది సమస్యను పరిష్కరించడాన్ని పరిశీలిద్దాం. అబ్బాయి అడుగు 75 సెం.మీ., మరియు అమ్మాయి అడుగు 60 సెం.మీ. వారిద్దరూ పూర్ణాంక సంఖ్యలో అడుగులు వేసే చిన్న దూరాన్ని కనుగొనడం అవసరం.

పరిష్కారం.అబ్బాయిలు వెళ్ళే మొత్తం మార్గం తప్పనిసరిగా 60 మరియు 70 ద్వారా భాగించబడాలి, ఎందుకంటే వారు ప్రతి ఒక్కరు పూర్ణాంక సంఖ్యలో దశలను తీసుకోవాలి. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, సమాధానం తప్పనిసరిగా 75 మరియు 60 రెండింటికి గుణకారంగా ఉండాలి.

మొదట, మేము 75 సంఖ్య యొక్క అన్ని గుణిజాలను వ్రాస్తాము.

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

ఇప్పుడు 60కి గుణిజాలుగా ఉండే సంఖ్యలను వ్రాసుకుందాం.

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

ఇప్పుడు మేము రెండు వరుసలలో ఉన్న సంఖ్యలను కనుగొంటాము.

• సంఖ్యల సాధారణ గుణిజాలు 300, 600, మొదలైనవి.

వాటిలో చిన్నది సంఖ్య 300. ఈ సందర్భంలో, ఇది 75 మరియు 60 సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం అని పిలువబడుతుంది.

సమస్య యొక్క స్థితికి తిరిగి వస్తే, అబ్బాయిలు పూర్ణాంకాల సంఖ్యను తీసుకునే అతి చిన్న దూరం 300 సెం.మీ ఉంటుంది.

తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని నిర్ణయించడం

• a మరియు b అనే రెండు సహజ సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం a మరియు b రెండింటి యొక్క గుణకం అయిన అతి చిన్న సహజ సంఖ్య.

రెండు సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనడానికి, ఈ సంఖ్యల యొక్క అన్ని గుణిజాలను వరుసగా వ్రాయవలసిన అవసరం లేదు.

మీరు క్రింది పద్ధతిని ఉపయోగించవచ్చు.

అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని ఎలా కనుగొనాలి

ముందుగా మీరు ఈ సంఖ్యలను ప్రధాన కారకాలుగా పరిగణించాలి.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

ఇప్పుడు మొదటి సంఖ్య (2,2,3,5) యొక్క విస్తరణలో ఉన్న అన్ని కారకాలను వ్రాసి, రెండవ సంఖ్య (5) యొక్క విస్తరణ నుండి తప్పిపోయిన అన్ని కారకాలను జతచేద్దాం.

ఫలితంగా, మనకు ప్రధాన సంఖ్యల శ్రేణి లభిస్తుంది: 2,2,3,5,5. ఈ సంఖ్యల ఉత్పత్తి ఈ సంఖ్యలకు అతి తక్కువ సాధారణ కారకంగా ఉంటుంది. 2*2*3*5*5 = 300.

అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనడానికి సాధారణ పథకం

• 1. సంఖ్యలను ప్రధాన కారకాలుగా విభజించండి.
• 2. వాటిలో ఒకదానిలో భాగమైన ప్రధాన కారకాలను వ్రాయండి.
• 3. ఈ కారకాలకు ఇతరుల విస్తరణలో ఉన్నవాటిని జోడించండి, కానీ ఎంచుకున్న వాటిలో కాదు.
• 4. అన్ని వ్రాసిన కారకాల యొక్క ఉత్పత్తిని కనుగొనండి.

ఈ పద్ధతి సార్వత్రికమైనది. ఏదైనా సహజ సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనడానికి దీనిని ఉపయోగించవచ్చు.

మల్టిపుల్ అనేది శేషం లేకుండా ఇచ్చిన సంఖ్యతో భాగించబడే సంఖ్య. సంఖ్యల సమూహం యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ బహుళ (LCM) అనేది సమూహంలోని ప్రతి సంఖ్యతో భాగించబడే అతి చిన్న సంఖ్య. అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనడానికి, మీరు ఇచ్చిన సంఖ్యల ప్రధాన కారకాలను కనుగొనాలి. రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యల సమూహాలకు వర్తించే అనేక ఇతర పద్ధతులను ఉపయోగించి LCMని కూడా లెక్కించవచ్చు.

దశలు

గుణకాల శ్రేణి

ఈ సంఖ్యలను చూడండి.ఇక్కడ వివరించిన పద్ధతి రెండు సంఖ్యలను ఇచ్చినప్పుడు ఉత్తమంగా ఉపయోగించబడుతుంది, వీటిలో ప్రతి ఒక్కటి 10 కంటే తక్కువ. పెద్ద సంఖ్యలు ఇచ్చినట్లయితే, వేరే పద్ధతిని ఉపయోగించండి.

• ఉదాహరణకు, 5 మరియు 8 యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనండి. ఇవి చిన్న సంఖ్యలు, కాబట్టి మీరు ఈ పద్ధతిని ఉపయోగించవచ్చు.

1. మల్టిపుల్ అనేది శేషం లేకుండా ఇచ్చిన సంఖ్యతో భాగించబడే సంఖ్య. గుణకార పట్టికలో గుణిజాలను కనుగొనవచ్చు.

   • ఉదాహరణకు, 5 యొక్క గుణకాలుగా ఉండే సంఖ్యలు: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. మొదటి సంఖ్యకు గుణిజాలైన సంఖ్యల శ్రేణిని వ్రాయండి.రెండు సెట్ల సంఖ్యలను సరిపోల్చడానికి మొదటి సంఖ్య యొక్క గుణిజాల క్రింద దీన్ని చేయండి.

   • ఉదాహరణకు, 8 యొక్క గుణకాలుగా ఉండే సంఖ్యలు: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 మరియు 64.

3. గుణకాల రెండు సెట్లలో ఉన్న అతి చిన్న సంఖ్యను కనుగొనండి.మొత్తం సంఖ్యను కనుగొనడానికి మీరు గుణకాల యొక్క సుదీర్ఘ శ్రేణిని వ్రాయవలసి ఉంటుంది. గుణకాల యొక్క రెండు సెట్లలో ఉండే అతి చిన్న సంఖ్య అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం.

   • ఉదాహరణకు, 5 మరియు 8 గుణకాల శ్రేణిలో కనిపించే అతి చిన్న సంఖ్య సంఖ్య 40. కాబట్టి, 40 అనేది 5 మరియు 8 యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం.

   ప్రధాన కారకం

   1. ఈ సంఖ్యలను చూడండి.ఇక్కడ వివరించిన పద్ధతి రెండు సంఖ్యలను ఇచ్చినప్పుడు ఉత్తమంగా ఉపయోగించబడుతుంది, వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి 10 కంటే ఎక్కువ. చిన్న సంఖ్యలు ఇచ్చినట్లయితే, వేరే పద్ధతిని ఉపయోగించండి.

      • ఉదాహరణకు, 20 మరియు 84 సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనండి. ప్రతి సంఖ్య 10 కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది, కాబట్టి మీరు ఈ పద్ధతిని ఉపయోగించవచ్చు.

   2. మొదటి సంఖ్యను ప్రధాన కారకాలుగా కారకం చేయండి.అంటే, మీరు అటువంటి ప్రధాన సంఖ్యలను కనుగొనాలి, గుణించినప్పుడు, ఇచ్చిన సంఖ్య వస్తుంది. మీరు ప్రధాన కారకాలను కనుగొన్న తర్వాత, వాటిని సమానత్వంగా వ్రాయండి.

      • ఉదాహరణకి, 2 × 10 = 20 (\డిస్ప్లేస్టైల్ (\mathbf (2) )\ టైమ్స్ 10=20)మరియు 2 × 5 = 10 (\డిస్ప్లేస్టైల్ (\mathbf (2) )\ సార్లు (\mathbf (5) )=10). అందువలన, సంఖ్య 20 యొక్క ప్రధాన కారకాలు 2, 2 మరియు 5 సంఖ్యలు. వాటిని వ్యక్తీకరణగా వ్రాయండి: .

   3. రెండవ సంఖ్యను ప్రధాన కారకాలుగా కారకం చేయండి.మీరు మొదటి సంఖ్యను కారకం చేసిన విధంగానే దీన్ని చేయండి, అంటే, గుణించినప్పుడు, ఇచ్చిన సంఖ్యను అందించే అటువంటి ప్రధాన సంఖ్యలను కనుగొనండి.

      • ఉదాహరణకి, 2 × 42 = 84 (\డిస్ప్లేస్టైల్ (\mathbf (2) )\ టైమ్స్ 42=84), 7 × 6 = 42 (\డిస్ప్లేస్టైల్ (\mathbf (7) )\ టైమ్స్ 6=42)మరియు 3 × 2 = 6 (\డిస్ప్లేస్టైల్ (\mathbf (3) )\ సార్లు (\mathbf (2) )=6). అందువలన, సంఖ్య 84 యొక్క ప్రధాన కారకాలు 2, 7, 3 మరియు 2 సంఖ్యలు. వాటిని వ్యక్తీకరణగా వ్రాయండి: .

   4. రెండు సంఖ్యలకు సాధారణ కారకాలను వ్రాయండి.గుణకార చర్య వంటి అంశాలను వ్రాయండి. మీరు ప్రతి కారకాన్ని వ్రాసేటప్పుడు, దానిని రెండు వ్యక్తీకరణలలో క్రాస్ చేయండి (సంఖ్యల యొక్క కారకాన్ని ప్రధాన కారకాలుగా వివరించే వ్యక్తీకరణలు).

      • ఉదాహరణకు, రెండు సంఖ్యలు 2 యొక్క సాధారణ కారకాన్ని కలిగి ఉంటాయి, కాబట్టి వ్రాయండి 2 × (\డిస్ప్లే స్టైల్ 2\ సార్లు )మరియు రెండు వ్యక్తీకరణలలో 2ని దాటండి.
      • రెండు సంఖ్యలకు ఉమ్మడిగా ఉన్నది 2 యొక్క మరొక అంశం, కాబట్టి వ్రాయండి 2 × 2 (\డిస్ప్లేస్టైల్ 2\టైమ్స్ 2)మరియు రెండు వ్యక్తీకరణలలో రెండవ 2ని దాటండి.

   5. గుణకార చర్యకు మిగిలిన కారకాలను జోడించండి.ఇవి రెండు వ్యక్తీకరణలలో దాటని కారకాలు, అంటే రెండు సంఖ్యలకు సాధారణం కాని కారకాలు.

      • ఉదాహరణకు, వ్యక్తీకరణలో 20 = 2 × 2 × 5 (\డిస్ప్లేస్టైల్ 20=2\టైమ్స్ 2\టైమ్స్ 5)రెండు (2) రెండూ సాధారణ కారకాలు కాబట్టి దాటవేయబడ్డాయి. కారకం 5 దాటలేదు, కాబట్టి గుణకార చర్యను ఇలా వ్రాయండి: 2 × 2 × 5 (\ ప్రదర్శన శైలి 2\ సార్లు 2\ సార్లు 5)
      • వ్యక్తీకరణలో 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\ ప్రదర్శన శైలి 84=2\ సార్లు 7\ సార్లు 3\ సార్లు 2)రెండు రెండు (2) కూడా దాటబడ్డాయి. కారకాలు 7 మరియు 3 దాటలేదు, కాబట్టి గుణకార చర్యను ఇలా వ్రాయండి: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\ ప్రదర్శన శైలి 2\ సార్లు 2\ సార్లు 5\ సార్లు 7\ సార్లు 3).

   6. అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని లెక్కించండి.దీన్ని చేయడానికి, వ్రాసిన గుణకార చర్యలో సంఖ్యలను గుణించండి.

      • ఉదాహరణకి, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\ప్రదర్శన శైలి 2\ సార్లు 2\ సార్లు 5\ సార్లు 7\ సార్లు 3=420). కాబట్టి 20 మరియు 84 యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం 420.

   సాధారణ కారకాలను కనుగొనడం

   1. టిక్-టాక్-టో గేమ్ కోసం గ్రిడ్‌ను గీయండి.ఇటువంటి గ్రిడ్ రెండు సమాంతర రేఖలను కలిగి ఉంటుంది, ఇవి మరో రెండు సమాంతర రేఖలతో (లంబ కోణంలో) కలుస్తాయి. ఇది మీకు మూడు అడ్డు వరుసలు మరియు మూడు నిలువు వరుసలను ఇస్తుంది (గ్రిడ్ # చిహ్నం వలె కనిపిస్తుంది). మొదటి పంక్తి మరియు రెండవ నిలువు వరుసలో మొదటి సంఖ్యను వ్రాయండి. మొదటి వరుస మరియు మూడవ నిలువు వరుసలో రెండవ సంఖ్యను వ్రాయండి.

      • ఉదాహరణకు, 18 మరియు 30 సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనండి. మొదటి వరుస మరియు రెండవ నిలువు వరుసలో 18 సంఖ్యను వ్రాయండి మరియు మొదటి వరుస మరియు మూడవ నిలువు వరుసలో 30 సంఖ్యను వ్రాయండి.

   2. రెండు సంఖ్యలకు ఉమ్మడిగా ఉండే భాగహారాన్ని కనుగొనండి.మొదటి వరుస మరియు మొదటి నిలువు వరుసలో వ్రాయండి. ప్రధాన కారకాల కోసం వెతకడం మంచిది, కానీ ఇది అవసరం లేదు.

      • ఉదాహరణకు, 18 మరియు 30 సమాన సంఖ్యలు, కాబట్టి వాటి సాధారణ కారకం 2. కాబట్టి మొదటి వరుస మరియు మొదటి నిలువు వరుసలో 2 వ్రాయండి.

   3. ప్రతి సంఖ్యను మొదటి డివైజర్ ద్వారా భాగించండి.ప్రతి గుణకాన్ని తగిన సంఖ్య క్రింద వ్రాయండి. రెండు సంఖ్యలను విభజించడం వల్ల వచ్చే ఫలితం గుణకం.

      • ఉదాహరణకి, 18 ÷ 2 = 9 (\డిస్ప్లేస్టైల్ 18\div 2=9), కాబట్టి 18 కింద 9 రాయండి.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\డిస్ప్లేస్టైల్ 30\div 2=15), కాబట్టి 15ని 30 కింద రాయండి.

   4. రెండు భాగాలకు ఉమ్మడిగా ఉండే విభజనను కనుగొనండి.అటువంటి డివైజర్ లేకపోతే, తదుపరి రెండు దశలను దాటవేయండి. లేకపోతే, రెండవ వరుస మరియు మొదటి నిలువు వరుసలో విభజనను వ్రాయండి.

      • ఉదాహరణకు, 9 మరియు 15 3 ద్వారా భాగించబడతాయి, కాబట్టి రెండవ వరుస మరియు మొదటి నిలువు వరుసలో 3 వ్రాయండి.

   5. ప్రతి భాగాన్ని దాని రెండవ భాజకంతో భాగించండి.ప్రతి విభజన ఫలితాన్ని సంబంధిత గుణకం కింద వ్రాయండి.

      • ఉదాహరణకి, 9 ÷ 3 = 3 (\డిస్ప్లేస్టైల్ 9\div 3=3), కాబట్టి 9 కింద 3 రాయండి.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\డిస్ప్లేస్టైల్ 15\div 3=5), కాబట్టి 15 కింద 5 రాయండి.

   6. అవసరమైతే, గ్రిడ్‌కు అదనపు సెల్‌లను జోడించండి.కోటియంట్స్‌కు ఉమ్మడి డివైజర్ ఉండే వరకు వివరించిన దశలను పునరావృతం చేయండి.

   7. గ్రిడ్ యొక్క మొదటి నిలువు వరుస మరియు చివరి వరుసలోని సంఖ్యలను సర్కిల్ చేయండి.అప్పుడు ఎంచుకున్న సంఖ్యలను గుణకార చర్యగా వ్రాయండి.

      • ఉదాహరణకు, 2 మరియు 3 సంఖ్యలు మొదటి నిలువు వరుసలో ఉన్నాయి మరియు 3 మరియు 5 సంఖ్యలు చివరి వరుసలో ఉన్నాయి, కాబట్టి గుణకార చర్యను ఇలా వ్రాయండి: 2 × 3 × 3 × 5 (\ ప్రదర్శన శైలి 2\ సార్లు 3\ సార్లు 3\ సార్లు 5).

   8. సంఖ్యలను గుణించడం యొక్క ఫలితాన్ని కనుగొనండి.ఇది ఇచ్చిన రెండు సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని గణిస్తుంది.

      • ఉదాహరణకి, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\ ప్రదర్శన శైలి 2\ సార్లు 3\ సార్లు 3\ సార్లు 5=90). కాబట్టి 18 మరియు 30 యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం 90.

   యూక్లిడ్ యొక్క అల్గోరిథం

   1. విభజన ఆపరేషన్‌తో అనుబంధించబడిన పదజాలాన్ని గుర్తుంచుకోండి.డివిడెండ్ అనేది విభజించబడే సంఖ్య. భాగహారం అంటే భాగించబడుతున్న సంఖ్య. రెండు సంఖ్యలను విభజించడం వల్ల వచ్చే ఫలితం గుణకం. రెండు సంఖ్యలను విభజించినప్పుడు మిగిలి ఉన్న సంఖ్యను శేషం అంటారు.

      • ఉదాహరణకు, వ్యక్తీకరణలో 15 ÷ 6 = 2 (\డిస్ప్లేస్టైల్ 15\div 6=2) ost. 3:
        15 డివిడెండ్
        6 ఒక భాగహారం
        2 గుణకం
        3 మిగిలినది.

గ్రేటెస్ట్ కామన్ డివైజర్ మరియు అతి తక్కువ సాధారణ మల్టిపుల్ అనేది భిన్నాలతో పని చేయడం అప్రయత్నంగా చేసే కీలక అంకగణిత భావనలు. LCM మరియు చాలా తరచుగా అనేక భిన్నాల యొక్క సాధారణ హారంను కనుగొనడానికి ఉపయోగిస్తారు.

ప్రాథమిక భావనలు

పూర్ణాంకం X యొక్క భాజకం అనేది మరొక పూర్ణాంకం Y, దీని ద్వారా X శేషాన్ని వదలకుండా విభజించబడుతుంది. ఉదాహరణకు, 4 యొక్క భాజకం 2, మరియు 36 అనేది 4, 6, 9. పూర్ణాంకం X యొక్క గుణకం అనేది Y సంఖ్య, ఇది శేషం లేకుండా Xతో భాగించబడుతుంది. ఉదాహరణకు, 3 అనేది 15 యొక్క గుణకం మరియు 6 అనేది 12 యొక్క గుణకం.

ఏదైనా జత సంఖ్యల కోసం మనం వాటి సాధారణ భాగహారాలు మరియు గుణిజాలను కనుగొనవచ్చు. ఉదాహరణకు, 6 మరియు 9 కోసం, సాధారణ గుణకం 18, మరియు సాధారణ విభజన 3. సహజంగానే, జంటలు అనేక భాగహారాలు మరియు గుణిజాలను కలిగి ఉంటాయి, కాబట్టి గణనలు అతిపెద్ద డివైజర్ GCD మరియు అతి చిన్న బహుళ LCMని ఉపయోగిస్తాయి.

కనీసం భాగహారం అర్థరహితం, ఎందుకంటే ఏ సంఖ్యకైనా అది ఎల్లప్పుడూ ఒకటి. గుణకాల క్రమం అనంతానికి వెళుతుంది కాబట్టి గొప్ప గుణకం కూడా అర్థరహితం.

gcdని కనుగొంటోంది

గొప్ప సాధారణ విభజనను కనుగొనడానికి అనేక పద్ధతులు ఉన్నాయి, వాటిలో అత్యంత ప్రసిద్ధమైనవి:

• విభజనల వరుస శోధన, ఒక జత కోసం సాధారణ వాటిని ఎంపిక చేయడం మరియు వాటిలో అతిపెద్దది కోసం శోధించడం;
• అవిభాజ్య కారకాలుగా సంఖ్యల కుళ్ళిపోవడం;
• యూక్లిడియన్ అల్గోరిథం;
• బైనరీ అల్గోరిథం.

నేడు విద్యాసంస్థల్లో అత్యంత ప్రజాదరణ పొందిన పద్ధతులు ప్రధాన కారకాలుగా కుళ్ళిపోవడం మరియు యూక్లిడియన్ అల్గోరిథం. డయోఫాంటైన్ సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు రెండోది ఉపయోగించబడుతుంది: పూర్ణాంకాలలో రిజల్యూషన్ యొక్క అవకాశం కోసం సమీకరణాన్ని తనిఖీ చేయడానికి GCD కోసం శోధించడం అవసరం.

NOCని కనుగొనడం

అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం కూడా వరుస శోధన లేదా విడదీయరాని కారకాలుగా కుళ్ళిపోవడం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది. అదనంగా, గొప్ప డివైజర్ ఇప్పటికే నిర్ణయించబడి ఉంటే LCMని కనుగొనడం సులభం. X మరియు Y సంఖ్యల కోసం, LCM మరియు GCD క్రింది సంబంధానికి సంబంధించినవి:

LCD(X,Y) = X × Y / GCD(X,Y).

ఉదాహరణకు, GCM(15,18) = 3 అయితే, అప్పుడు LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. LCMని ఉపయోగించడంలో అత్యంత స్పష్టమైన ఉదాహరణ సాధారణ హారంను కనుగొనడం, ఇది అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం ఇచ్చిన భిన్నాలు.

కాప్రైమ్ నంబర్లు

ఒక జత సంఖ్యలకు సాధారణ భాగహారాలు లేకుంటే, అటువంటి జతని కాప్రైమ్ అంటారు. అటువంటి జతల కోసం gcd ఎల్లప్పుడూ ఒకదానికి సమానంగా ఉంటుంది మరియు భాగహారాలు మరియు గుణకాల మధ్య కనెక్షన్ ఆధారంగా, coprime జతల కోసం gcd వారి ఉత్పత్తికి సమానం. ఉదాహరణకు, 25 మరియు 28 సంఖ్యలు సాపేక్షంగా ప్రధానమైనవి, ఎందుకంటే వాటికి సాధారణ విభజనలు లేవు మరియు LCM(25, 28) = 700, ఇది వాటి ఉత్పత్తికి అనుగుణంగా ఉంటుంది. ఏవైనా రెండు అవిభాజ్య సంఖ్యలు ఎల్లప్పుడూ సాపేక్షంగా ప్రధానమైనవి.

సాధారణ విభజన మరియు బహుళ కాలిక్యులేటర్

మా కాలిక్యులేటర్‌ని ఉపయోగించి మీరు ఎంచుకోవడానికి ఏకపక్ష సంఖ్యల కోసం GCD మరియు LCMని లెక్కించవచ్చు. సాధారణ విభజనలు మరియు గుణిజాలను గణించే పనులు 5వ మరియు 6వ తరగతి అంకగణితంలో కనిపిస్తాయి, అయితే GCD మరియు LCM గణితంలో కీలకమైన అంశాలు మరియు సంఖ్య సిద్ధాంతం, ప్లానిమెట్రీ మరియు కమ్యూనికేటివ్ ఆల్జీబ్రాలో ఉపయోగించబడతాయి.

నిజ జీవిత ఉదాహరణలు

భిన్నాల సాధారణ హారం

బహుళ భిన్నాల సాధారణ హారం కనుగొనడంలో తక్కువ సాధారణ బహుళ ఉపయోగించబడుతుంది. అంకగణిత సమస్యలో మీరు 5 భిన్నాలను సంకలనం చేయాలి:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

భిన్నాలను జోడించడానికి, వ్యక్తీకరణ తప్పనిసరిగా సాధారణ హారంకు తగ్గించబడాలి, ఇది LCMని కనుగొనడంలో సమస్యను తగ్గిస్తుంది. దీన్ని చేయడానికి, కాలిక్యులేటర్‌లో 5 సంఖ్యలను ఎంచుకోండి మరియు తగిన సెల్‌లలో హారం యొక్క విలువలను నమోదు చేయండి. ప్రోగ్రామ్ LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360ని లెక్కిస్తుంది. ఇప్పుడు మీరు ప్రతి భిన్నానికి అదనపు కారకాలను లెక్కించాలి, ఇవి LCM యొక్క హారంకు నిష్పత్తిగా నిర్వచించబడతాయి. కాబట్టి అదనపు గుణకాలు ఇలా కనిపిస్తాయి:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

దీని తరువాత, మేము అన్ని భిన్నాలను సంబంధిత అదనపు కారకం ద్వారా గుణిస్తాము మరియు పొందండి:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

అటువంటి భిన్నాలను మనం సులభంగా సంకలనం చేయవచ్చు మరియు ఫలితాన్ని 159/360గా పొందవచ్చు. మేము భిన్నాన్ని 3 ద్వారా తగ్గిస్తాము మరియు చివరి సమాధానం చూడండి - 53/120.

సరళ డయోఫాంటైన్ సమీకరణాలను పరిష్కరించడం

లీనియర్ డయోఫాంటైన్ సమీకరణాలు ax + by = d రూపం యొక్క వ్యక్తీకరణలు. నిష్పత్తి d / gcd(a, b) పూర్ణాంకం అయితే, సమీకరణం పూర్ణాంకాలలో పరిష్కరించబడుతుంది. ఒక పూర్ణాంకం పరిష్కారం ఉందో లేదో తెలుసుకోవడానికి రెండు సమీకరణాలను తనిఖీ చేద్దాం. ముందుగా, 150x + 8y = 37 సమీకరణాన్ని తనిఖీ చేద్దాం. కాలిక్యులేటర్‌ని ఉపయోగించి, GCD (150.8) = 2. 37/2 = 18.5ని విభజించండి. సంఖ్య పూర్ణాంకం కాదు, కాబట్టి సమీకరణానికి పూర్ణాంకం మూలాలు లేవు.

1320x + 1760y = 10120 సమీకరణాన్ని తనిఖీ చేద్దాం. GCD(1320, 1760) = 440ని కనుగొనడానికి కాలిక్యులేటర్‌ను ఉపయోగించండి. 10120/440 = 23ని విభజించండి. ఫలితంగా, మనకు ఒక పూర్ణాంకం లభిస్తుంది, కాబట్టి, డయోఫాంటైన్‌లో ద్వంద్వ సారూప్య సమీకరణం .

ముగింపు

GCD మరియు LCM సంఖ్యా సిద్ధాంతంలో పెద్ద పాత్రను పోషిస్తాయి మరియు గణితశాస్త్రంలోని అనేక రకాల విభాగాలలో భావనలు విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతున్నాయి. ఎన్ని సంఖ్యల యొక్క గొప్ప డివైజర్‌లను మరియు కనీసం గుణిజాలను లెక్కించడానికి మా కాలిక్యులేటర్‌ని ఉపయోగించండి.

రెండవ సంఖ్య: b=

వెయ్యి సెపరేటర్స్పేస్ సెపరేటర్ లేకుండా "´

ఫలితం:

గ్రేటెస్ట్ కామన్ డివైజర్ gcd( a,బి)=6

LCM యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం( a,బి)=468

a మరియు b సంఖ్యల ద్వారా శేషం లేకుండా భాగించబడే అతిపెద్ద సహజ సంఖ్యను అంటారు గొప్ప సాధారణ విభజనఈ సంఖ్యల (GCD). gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) లేదా hcf(a,b) ద్వారా సూచించబడుతుంది.

అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం a మరియు b అనే రెండు పూర్ణాంకాల LCM అనేది శేషం లేకుండా a మరియు bతో భాగించబడే అతి చిన్న సహజ సంఖ్య. LCM(a,b), లేదా lcm(a,b)ని సూచిస్తారు.

పూర్ణాంకాలు a మరియు b అంటారు పరస్పరం ప్రధానమైనది, వాటికి +1 మరియు −1 కాకుండా సాధారణ విభజనలు లేకుంటే.

గొప్ప సాధారణ విభజన

రెండు సానుకూల సంఖ్యలను ఇవ్వనివ్వండి a 1 మరియు a 2 1) ఈ సంఖ్యల ఉమ్మడి భాగహారాన్ని కనుగొనడం అవసరం, అనగా. అటువంటి సంఖ్యను కనుగొనండి λ , ఇది సంఖ్యలను విభజిస్తుంది a 1 మరియు a 2 అదే సమయంలో. అల్గోరిథం గురించి వివరిస్తాము.

1) ఈ వ్యాసంలో, సంఖ్య అనే పదాన్ని పూర్ణాంకంగా అర్థం చేసుకోవచ్చు.

వీలు a 1 ≥ a 2 మరియు వీలు

ఎక్కడ m 1 , a 3 కొన్ని పూర్ణాంకాలు, a 3 <a 2 (విభజనలో మిగిలినవి a 1 చొప్పున a 2 తక్కువగా ఉండాలి a 2).

అలా నటిద్దాం λ విభజిస్తుంది a 1 మరియు a 2 అప్పుడు λ విభజిస్తుంది m 1 a 2 మరియు λ విభజిస్తుంది a 1 −m 1 a 2 =a 3 (వ్యాసం 2వ ప్రకటన "సంఖ్యల విభజన. విభజన పరీక్ష"). ఇది ప్రతి సాధారణ విభజనను అనుసరిస్తుంది a 1 మరియు a 2 సాధారణ విభజన a 2 మరియు a 3. ఒకవేళ రివర్స్ కూడా నిజం λ సాధారణ విభజన a 2 మరియు a 3 అప్పుడు m 1 a 2 మరియు a 1 =m 1 a 2 +a 3 ద్వారా కూడా భాగించబడుతుంది λ . కావున సాధారణ విభజన a 2 మరియు a 3 కూడా ఒక సాధారణ విభజన a 1 మరియు a 2. ఎందుకంటే a 3 <a 2 ≤a 1, అప్పుడు సంఖ్యల ఉమ్మడి భాగహారాన్ని కనుగొనే సమస్యకు పరిష్కారం అని మనం చెప్పగలం a 1 మరియు a 2 సంఖ్యల సాధారణ భాగహారాన్ని కనుగొనే సరళమైన సమస్యకు తగ్గించబడింది a 2 మరియు a 3 .

ఉంటే a 3 ≠0, అప్పుడు మనం విభజించవచ్చు a 2 న a 3. అప్పుడు

,

ఎక్కడ m 1 మరియు a 4 కొన్ని పూర్ణాంకాలు, ( aడివిజన్ నుండి 4 మిగిలి ఉన్నాయి a 2 న a 3 (a 4 <a 3)). ఇలాంటి తార్కికం ద్వారా మనం సాధారణ సంఖ్యల భాగహారాలు అనే నిర్ధారణకు వస్తాము a 3 మరియు a 4 సంఖ్యల సాధారణ విభజనలతో సమానంగా ఉంటుంది a 2 మరియు a 3, మరియు సాధారణ విభజనలతో కూడా a 1 మరియు a 2. ఎందుకంటే a 1 , a 2 , a 3 , a 4, ... నిరంతరం తగ్గుతున్న సంఖ్యలు, మరియు వాటి మధ్య పూర్ణాంకాల యొక్క పరిమిత సంఖ్య ఉన్నందున a 2 మరియు 0, తర్వాత కొంత దశలో n, డివిజన్ యొక్క మిగిలినవి aకాని a n+1 సున్నాకి సమానంగా ఉంటుంది ( a n+2 =0).

.

ప్రతి సాధారణ విభజన λ సంఖ్యలు a 1 మరియు a 2 సంఖ్యల భాగహారం కూడా a 2 మరియు a 3 , a 3 మరియు a 4 , .... a n మరియు a n+1. సంభాషణ కూడా నిజం, సంఖ్యల సాధారణ భాగహారాలు a n మరియు a n+1 కూడా సంఖ్యల భాగహారాలు a n−1 మరియు a n , .... , a 2 మరియు a 3 , a 1 మరియు a 2. కానీ సంఖ్యల సాధారణ భాగహారం a n మరియు a n+1 అనేది ఒక సంఖ్య a n+1 , ఎందుకంటే a n మరియు a n+1 ద్వారా భాగించబడుతుంది a n+1 (అది గుర్తుంచుకోండి a n+2 =0). అందుకే a n+1 కూడా సంఖ్యల భాగహారమే a 1 మరియు a 2 .

సంఖ్య అని గమనించండి a n+1 అనేది సంఖ్యల అతిపెద్ద భాగహారం a n మరియు a n+1 , గొప్ప డివైజర్ నుండి a n+1 దానంతట అదే a n+1. ఉంటే a n+1ని పూర్ణాంకాల ఉత్పత్తిగా సూచించవచ్చు, అప్పుడు ఈ సంఖ్యలు కూడా సంఖ్యల యొక్క సాధారణ భాగహారాలు. a 1 మరియు a 2. సంఖ్య a n+1 అంటారు గొప్ప సాధారణ విభజనసంఖ్యలు a 1 మరియు a 2 .

సంఖ్యలు a 1 మరియు a 2 ధనాత్మక లేదా ప్రతికూల సంఖ్యలు కావచ్చు. సంఖ్యలలో ఒకటి సున్నాకి సమానంగా ఉంటే, ఈ సంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ భాగహారం ఇతర సంఖ్య యొక్క సంపూర్ణ విలువకు సమానంగా ఉంటుంది. సున్నా సంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ భాగహారం నిర్వచించబడలేదు.

పై అల్గోరిథం అంటారు యూక్లిడియన్ అల్గోరిథంరెండు పూర్ణాంకాల యొక్క గొప్ప సాధారణ భాగహారాన్ని కనుగొనడానికి.

రెండు సంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ విభజనను కనుగొనే ఉదాహరణ

630 మరియు 434 అనే రెండు సంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ భాగహారాన్ని కనుగొనండి.

• దశ 1. 630 సంఖ్యను 434తో భాగించండి. మిగిలినది 196.
• దశ 2. 434 సంఖ్యను 196తో భాగించండి. మిగిలినది 42.
• దశ 3. 196 సంఖ్యను 42తో భాగించండి. మిగిలినది 28.
• దశ 4. 42 సంఖ్యను 28తో భాగించండి. మిగిలినది 14.
• దశ 5. 28 సంఖ్యను 14తో భాగించండి. మిగిలినది 0.

దశ 5లో, విభజన యొక్క శేషం 0. కాబట్టి, 630 మరియు 434 సంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ భాగహారం 14. 2 మరియు 7 సంఖ్యలు కూడా 630 మరియు 434 సంఖ్యల భాగహారాలు అని గమనించండి.

కాప్రైమ్ నంబర్లు

నిర్వచనం 1. సంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ భాగహారాన్ని అనుమతించండి a 1 మరియు a 2 ఒకదానికి సమానం. అప్పుడు ఈ నంబర్లు అంటారు ప్రధాన సంఖ్యలు, సాధారణ విభజన లేదు.

సిద్ధాంతం 1. ఉంటే a 1 మరియు a 2 కాపీరైమ్ నంబర్లు మరియు λ కొంత సంఖ్య, ఆపై సంఖ్యల ఏదైనా సాధారణ భాగహారం λa 1 మరియు a 2 కూడా సంఖ్యల సాధారణ భాగహారం λ మరియు a 2 .

రుజువు. సంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ విభజనను కనుగొనడానికి యూక్లిడియన్ అల్గోరిథంను పరిగణించండి a 1 మరియు a 2 (పైన చూడండి).

.

సిద్ధాంతం యొక్క పరిస్థితుల నుండి ఇది సంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ భాగహారాన్ని అనుసరిస్తుంది a 1 మరియు a 2 మరియు అందువలన a n మరియు a n+1 1. అంటే a n+1 =1.

ఈ సమానత్వాలన్నింటినీ గుణిద్దాం λ , అప్పుడు

.

సాధారణ విభజనను లెట్ a 1 λ మరియు a 2 అవును δ . అప్పుడు δ లో గుణకం వలె చేర్చబడింది a 1 λ , m 1 a 2 λ మరియు లోపల a 1 λ -m 1 a 2 λ =a 3 λ ("సంఖ్యల విభజన", ప్రకటన 2 చూడండి). ఇంకా δ లో గుణకం వలె చేర్చబడింది a 2 λ మరియు m 2 a 3 λ , మరియు, అందువలన, ఒక అంశం a 2 λ -m 2 a 3 λ =a 4 λ .

ఈ విధంగా తర్కించడం, మేము దానిని ఒప్పించాము δ లో గుణకం వలె చేర్చబడింది a n−1 λ మరియు m n−1 a n λ , అందువలన లో a n−1 λ −m n−1 a n λ =a n+1 λ . ఎందుకంటే a n+1 =1, అప్పుడు δ లో గుణకం వలె చేర్చబడింది λ . అందువలన సంఖ్య δ సంఖ్యల సాధారణ భాగహారం λ మరియు a 2 .

సిద్ధాంతం 1 యొక్క ప్రత్యేక సందర్భాలను పరిశీలిద్దాం.

పర్యవసానం 1. వీలు aమరియు సిప్రధాన సంఖ్యలు సాపేక్షంగా ఉంటాయి బి. అప్పుడు వారి ఉత్పత్తి acసంబంధించి ప్రధాన సంఖ్య బి.

నిజంగా. సిద్ధాంతం 1 నుండి acమరియు బిఅదే సాధారణ విభజనలను కలిగి ఉంటాయి సిమరియు బి. కానీ సంఖ్యలు సిమరియు బిసాపేక్షంగా సాధారణ, అనగా. ఒకే ఉమ్మడి విభజన 1. అప్పుడు acమరియు బిఒకే ఉమ్మడి విభజనను కూడా కలిగి ఉంటుంది 1. కాబట్టి acమరియు బిపరస్పరం సాధారణ.

పర్యవసానం 2. వీలు aమరియు బిప్రధాన సంఖ్యలు మరియు వీలు బివిభజిస్తుంది ak. అప్పుడు బివిభజిస్తుంది మరియు కె.

నిజంగా. ఆమోదం పరిస్థితి నుండి akమరియు బిఒక సాధారణ విభజనను కలిగి ఉంటాయి బి. సిద్ధాంతం 1 ద్వారా, బిఒక సాధారణ భాగహారంగా ఉండాలి బిమరియు కె. అందుకే బివిభజిస్తుంది కె.

కరోలరీ 1ని సాధారణీకరించవచ్చు.

పర్యవసానం 3. 1. సంఖ్యలను తెలియజేయండి a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m సంఖ్యకు సంబంధించి ప్రధానమైనవి బి. అప్పుడు a 1 a 2 , a 1 a 2 · a 3 , ..., a 1 a 2 a 3 ··· a m, ఈ సంఖ్యల ఉత్పత్తి సంఖ్యకు సంబంధించి ప్రధానమైనది బి.

2. మనకు రెండు వరుసల సంఖ్యలు ఉండనివ్వండి

మొదటి శ్రేణిలోని ప్రతి సంఖ్య రెండవ శ్రేణిలోని ప్రతి సంఖ్య నిష్పత్తిలో ప్రధానమైనది. అప్పుడు ఉత్పత్తి

మీరు ఈ సంఖ్యల ద్వారా భాగించబడే సంఖ్యలను కనుగొనాలి.

సంఖ్య ద్వారా భాగించబడినట్లయితే a 1, అప్పుడు దానికి రూపం ఉంటుంది సా 1 ఎక్కడ లుకొంత సంఖ్య. ఉంటే qసంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ భాగహారం a 1 మరియు a 2, అప్పుడు

ఎక్కడ లు 1 కొంత పూర్ణాంకం. అప్పుడు

ఉంది సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాలు a 1 మరియు a 2 .

a 1 మరియు a 2 సాపేక్షంగా ప్రధానమైనవి, ఆపై సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం a 1 మరియు a 2:

మేము ఈ సంఖ్యలలో అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనాలి.

పైన పేర్కొన్నదాని నుండి ఇది ఏదైనా బహుళ సంఖ్యలను అనుసరిస్తుంది a 1 , a 2 , a 3 సంఖ్యల గుణకారం అయి ఉండాలి ε మరియు a 3 మరియు వెనుక. సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకారాన్ని అనుమతించండి ε మరియు a 3 అవును ε 1 . తర్వాత, సంఖ్యల గుణిజాలు a 1 , a 2 , a 3 , a 4 తప్పనిసరిగా సంఖ్యల గుణకారం అయి ఉండాలి ε 1 మరియు a 4 . సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకారాన్ని అనుమతించండి ε 1 మరియు a 4 అవును ε 2. అందువలన, మేము సంఖ్యల యొక్క అన్ని గుణిజాలను కనుగొన్నాము a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m నిర్దిష్ట సంఖ్య యొక్క గుణిజాలతో సమానంగా ఉంటుంది ε n, ఇచ్చిన సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం అంటారు.

ప్రత్యేక సందర్భంలో సంఖ్యలు ఉన్నప్పుడు a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m సాపేక్షంగా ప్రధానం, ఆపై సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం a 1 , a 2, పైన చూపిన విధంగా, ఫారమ్ (3) ఉంది. తదుపరి, నుండి aసంఖ్యలకు సంబంధించి 3 ప్రధానం a 1 , a 2 అప్పుడు a 3 ప్రధాన సంఖ్య a 1 · a 2 (కరోలరీ 1). సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం అని అర్థం a 1 ,a 2 ,a 3 అనేది ఒక సంఖ్య a 1 · a 2 · a 3. ఇదే విధంగా తర్కించి, మేము ఈ క్రింది ప్రకటనలకు వస్తాము.

ప్రకటన 1. కాప్రైమ్ నంబర్లలో అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m వారి ఉత్పత్తికి సమానం a 1 · a 2 · a 3 ··· a m.

ప్రకటన 2. ప్రతి కాప్రైమ్ నంబర్లతో భాగించబడే ఏదైనా సంఖ్య a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m వారి ఉత్పత్తి ద్వారా కూడా భాగించబడుతుంది a 1 · a 2 · a 3 ··· a m.

ఆన్‌లైన్ కాలిక్యులేటర్ రెండు లేదా మరేదైనా ఇతర సంఖ్యల కోసం గొప్ప సాధారణ విభజనను మరియు తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని త్వరగా కనుగొనడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.

GCD మరియు LCMని కనుగొనడానికి కాలిక్యులేటర్

GCD మరియు LOCని కనుగొనండి

GCD మరియు LOC కనుగొనబడింది: 5806

కాలిక్యులేటర్ ఎలా ఉపయోగించాలి

• ఇన్‌పుట్ ఫీల్డ్‌లో సంఖ్యలను నమోదు చేయండి
• మీరు తప్పు అక్షరాలను నమోదు చేస్తే, ఇన్‌పుట్ ఫీల్డ్ ఎరుపు రంగులో హైలైట్ చేయబడుతుంది
• "GCD మరియు LOCని కనుగొనండి" బటన్‌ను క్లిక్ చేయండి

సంఖ్యలను ఎలా నమోదు చేయాలి

• సంఖ్యలు ఖాళీ, వ్యవధి లేదా కామాతో వేరు చేయబడతాయి
• నమోదు చేసిన సంఖ్యల పొడవు పరిమితం కాదు, కాబట్టి పెద్ద సంఖ్యల GCD మరియు LCMని కనుగొనడం కష్టం కాదు

GCD మరియు NOC అంటే ఏమిటి?

గొప్ప సాధారణ విభజనఅనేక సంఖ్యలు అతిపెద్ద సహజ పూర్ణాంకం, దీని ద్వారా అన్ని అసలు సంఖ్యలు శేషం లేకుండా భాగించబడతాయి. గొప్ప సాధారణ విభజనను ఇలా సంక్షిప్తీకరించారు GCD.
అతి తక్కువ సాధారణ గుణకంఅనేక సంఖ్యలు అనేది శేషం లేకుండా అసలు ప్రతి సంఖ్యతో భాగించబడే అతి చిన్న సంఖ్య. అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం ఇలా సంక్షిప్తీకరించబడింది NOC.

ఒక సంఖ్య శేషం లేకుండా మరొక సంఖ్యతో భాగించబడిందని ఎలా తనిఖీ చేయాలి?

ఒక సంఖ్య శేషం లేకుండా మరొక సంఖ్యతో భాగించబడుతుందో లేదో తెలుసుకోవడానికి, మీరు సంఖ్యల విభజన యొక్క కొన్ని లక్షణాలను ఉపయోగించవచ్చు. అప్పుడు, వాటిని కలపడం ద్వారా, మీరు వాటిలో కొన్ని మరియు వాటి కలయికల విభజనను తనిఖీ చేయవచ్చు.

సంఖ్యల విభజన యొక్క కొన్ని సంకేతాలు

1. 2 ద్వారా సంఖ్య కోసం భాగహారిత పరీక్ష
ఒక సంఖ్యను రెండిటితో భాగించవచ్చో లేదో నిర్ణయించడానికి (అది సమానంగా ఉందా), ఈ సంఖ్య యొక్క చివరి అంకెను చూస్తే సరిపోతుంది: ఇది 0, 2, 4, 6 లేదా 8కి సమానం అయితే, సంఖ్య సమానంగా ఉంటుంది, అంటే అది 2చే భాగించబడుతుంది.
ఉదాహరణ: 34938 సంఖ్య 2చే భాగించబడుతుందో లేదో నిర్ణయించండి.
పరిష్కారం:మేము చివరి అంకెను పరిశీలిస్తాము: 8 - అంటే సంఖ్యను రెండుగా విభజించవచ్చు.

2. 3 ద్వారా సంఖ్య కోసం భాగహారం పరీక్ష
ఒక సంఖ్య దాని అంకెల మొత్తం మూడుచే భాగించబడినప్పుడు అది 3చే భాగించబడుతుంది. ఈ విధంగా, ఒక సంఖ్య 3తో భాగించబడుతుందో లేదో తెలుసుకోవడానికి, మీరు అంకెల మొత్తాన్ని లెక్కించి, అది 3తో భాగించబడుతుందో లేదో తనిఖీ చేయాలి. అంకెల మొత్తం చాలా పెద్దది అయినప్పటికీ, మీరు అదే విధానాన్ని మళ్లీ పునరావృతం చేయవచ్చు.
ఉదాహరణ: 34938 సంఖ్య 3చే భాగించబడుతుందో లేదో నిర్ణయించండి.
పరిష్కారం:మేము సంఖ్యల మొత్తాన్ని లెక్కిస్తాము: 3+4+9+3+8 = 27. 27 అనేది 3చే భాగించబడుతుంది, అంటే సంఖ్య మూడుచే భాగించబడుతుంది.

3. 5 ద్వారా సంఖ్యకు భాగహారం పరీక్ష
ఒక సంఖ్య దాని చివరి అంకె సున్నా లేదా ఐదు అయినప్పుడు 5తో భాగించబడుతుంది.
ఉదాహరణ: 34938 సంఖ్య 5చే భాగించబడుతుందో లేదో నిర్ణయించండి.
పరిష్కారం:చివరి అంకె చూడండి: 8 అంటే సంఖ్య ఐదుతో భాగించబడదు.

4. 9 ద్వారా సంఖ్యకు భాగహారం పరీక్ష
ఈ సంకేతం మూడుచే భాగించబడే సంకేతానికి చాలా పోలి ఉంటుంది: ఒక సంఖ్య దాని అంకెల మొత్తం 9చే భాగించబడినప్పుడు 9చే భాగించబడుతుంది.
ఉదాహరణ: 34938 సంఖ్య 9చే భాగించబడుతుందో లేదో నిర్ణయించండి.
పరిష్కారం:మేము సంఖ్యల మొత్తాన్ని లెక్కిస్తాము: 3+4+9+3+8 = 27. 27 అనేది 9 ద్వారా భాగించబడుతుంది, అంటే సంఖ్య తొమ్మిదితో భాగించబడుతుంది.

రెండు సంఖ్యల GCD మరియు LCMని ఎలా కనుగొనాలి

రెండు సంఖ్యల gcdని ఎలా కనుగొనాలి

రెండు సంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ భాగహారాన్ని లెక్కించడానికి సులభమైన మార్గం ఏమిటంటే, ఆ సంఖ్యల యొక్క సాధ్యమైన అన్ని భాగహారాలను కనుగొని, అతిపెద్దదాన్ని ఎంచుకోవడం.

GCD(28, 36)ని కనుగొనే ఉదాహరణను ఉపయోగించి ఈ పద్ధతిని పరిశీలిద్దాం:

1. మేము రెండు సంఖ్యలను కారకం చేస్తాము: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
2. మేము సాధారణ కారకాలను కనుగొంటాము, అంటే, రెండు సంఖ్యలు కలిగి ఉన్నవి: 1, 2 మరియు 2.
3. మేము ఈ కారకాల ఉత్పత్తిని గణిస్తాము: 1 2 2 = 4 - ఇది 28 మరియు 36 సంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ విభజన.

రెండు సంఖ్యల LCMని ఎలా కనుగొనాలి

రెండు సంఖ్యలలో అతి తక్కువ గుణకాన్ని కనుగొనడానికి రెండు సాధారణ మార్గాలు ఉన్నాయి. మొదటి పద్ధతి ఏమిటంటే, మీరు రెండు సంఖ్యల మొదటి గుణిజాలను వ్రాసి, ఆపై వాటిలో రెండు సంఖ్యలకు సాధారణం మరియు అదే సమయంలో అతి చిన్న సంఖ్యను ఎంచుకోవచ్చు. మరియు రెండవది ఈ సంఖ్యల gcdని కనుగొనడం. దానిని మాత్రమే పరిశీలిద్దాం.

LCMని లెక్కించడానికి, మీరు అసలైన సంఖ్యల ఉత్పత్తిని లెక్కించి, ఆపై గతంలో గుర్తించిన GCDతో విభజించాలి. అదే సంఖ్యలు 28 మరియు 36 కోసం LCMని కనుగొనండి:

1. 28 మరియు 36: 28·36 = 1008 సంఖ్యల ఉత్పత్తిని కనుగొనండి
2. GCD(28, 36), ఇప్పటికే తెలిసినట్లుగా, 4కి సమానం
3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

అనేక సంఖ్యల కోసం GCD మరియు LCMని కనుగొనడం

రెండు సంఖ్యలకు మాత్రమే కాకుండా అనేక సంఖ్యలకు గొప్ప సాధారణ భాగహారాన్ని కనుగొనవచ్చు. దీన్ని చేయడానికి, గొప్ప సాధారణ విభజన కోసం కనుగొనబడే సంఖ్యలు ప్రధాన కారకాలుగా కుళ్ళిపోతాయి, అప్పుడు ఈ సంఖ్యల యొక్క సాధారణ ప్రధాన కారకాల యొక్క ఉత్పత్తి కనుగొనబడుతుంది. మీరు అనేక సంఖ్యల gcdని కనుగొనడానికి క్రింది సంబంధాన్ని కూడా ఉపయోగించవచ్చు: GCD(a, b, c) = GCD(GCD(a, b), c).

ఇదే విధమైన సంబంధం అతి తక్కువ సాధారణ గుణకారానికి వర్తిస్తుంది: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

ఉదాహరణ: 12, 32 మరియు 36 సంఖ్యల కోసం GCD మరియు LCMని కనుగొనండి.

1. ముందుగా, సంఖ్యలను కారకం చేద్దాం: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
2. సాధారణ కారకాలను కనుగొనండి: 1, 2 మరియు 2.
3. వారి ఉత్పత్తి GCDని ఇస్తుంది: 1·2·2 = 4
4. ఇప్పుడు LCMని కనుగొనండి: దీన్ని చేయడానికి, ముందుగా LCM(12, 32): 12·32 / 4 = 96ని కనుగొనండి.
5. మూడు సంఖ్యల LCMని కనుగొనడానికి, మీరు GCD(96, 36)ని కనుగొనాలి: 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1·2· 2 3 = 12.
6. LCM(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.