లాగరిథమిక్ సమీకరణాల రకాలు మరియు వాటిని పరిష్కరించే పద్ధతులు. సంవర్గమాన సమీకరణాలు

ఈ వీడియోతో నేను లాగరిథమిక్ సమీకరణాల గురించి సుదీర్ఘమైన పాఠాలను ప్రారంభించాను. ఇప్పుడు మీ ముందు మూడు ఉదాహరణలు ఉన్నాయి, దాని ఆధారంగా మేము చాలా పరిష్కరించడానికి నేర్చుకుంటాము సాధారణ పనులు, వీటిని అలా పిలుస్తారు - ప్రోటోజోవా.

లాగ్ 0.5 (3x - 1) = -3

లాగ్ (x + 3) = 3 + 2 లాగ్ 5

సరళమైన సంవర్గమాన సమీకరణం క్రిందిదని నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను:

లాగ్ a f (x) = b

ఈ సందర్భంలో, వేరియబుల్ x ఆర్గ్యుమెంట్ లోపల మాత్రమే ఉండటం ముఖ్యం, అంటే f (x) ఫంక్షన్‌లో మాత్రమే. మరియు a మరియు b సంఖ్యలు కేవలం సంఖ్యలు, మరియు ఏ సందర్భంలోనూ వేరియబుల్ xని కలిగి ఉండే ఫంక్షన్‌లు కావు.

ప్రాథమిక పరిష్కార పద్ధతులు

అటువంటి నిర్మాణాలను పరిష్కరించడానికి అనేక మార్గాలు ఉన్నాయి. ఉదాహరణకు, పాఠశాలలో చాలా మంది ఉపాధ్యాయులు ఈ పద్ధతిని అందిస్తారు: ఫార్ములా ఉపయోగించి f (x) ఫంక్షన్‌ని వెంటనే వ్యక్తపరచండి f ( x ) = ఒక బి . అంటే, మీరు సరళమైన నిర్మాణాన్ని చూసినప్పుడు, మీరు అదనపు చర్యలు మరియు నిర్మాణాలు లేకుండా వెంటనే పరిష్కారానికి వెళ్లవచ్చు.

అవును, ఖచ్చితంగా, నిర్ణయం సరైనది. అయితే, ఈ ఫార్ములా సమస్య చాలా మంది విద్యార్థులు అర్థం కాలేదు, ఇది ఎక్కడ నుండి వస్తుంది మరియు మనం a అక్షరాన్ని b అక్షరానికి ఎందుకు పెంచుతాము.

ఫలితంగా, నేను తరచుగా చాలా బాధించే తప్పులను చూస్తాను, ఉదాహరణకు, ఈ అక్షరాలు మార్చుకున్నప్పుడు. ఈ ఫార్ములా తప్పనిసరిగా అర్థం చేసుకోవాలి లేదా కిక్కిరిసి ఉండాలి మరియు రెండవ పద్ధతి చాలా అసంబద్ధమైన మరియు అత్యంత కీలకమైన సందర్భాలలో తప్పులకు దారితీస్తుంది: పరీక్షలు, పరీక్షలు మొదలైనవి.

అందుకే నేను నా విద్యార్థులందరికీ ప్రామాణిక పాఠశాల సూత్రాన్ని విడిచిపెట్టి, సంవర్గమాన సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి రెండవ విధానాన్ని ఉపయోగించమని సూచిస్తున్నాను, మీరు బహుశా పేరు నుండి ఊహించినట్లుగా దీనిని పిలుస్తారు. కానానికల్ రూపం.

కానానికల్ రూపం యొక్క ఆలోచన చాలా సులభం. మన సమస్యను మళ్ళీ చూద్దాం: ఎడమ వైపున మనకు లాగ్ a ఉంటుంది మరియు a అక్షరం ద్వారా మనం ఒక సంఖ్యను సూచిస్తాము మరియు ఏ సందర్భంలోనూ వేరియబుల్ xని కలిగి ఉన్న ఫంక్షన్. పర్యవసానంగా, ఈ లేఖ సంవర్గమానం యొక్క ఆధారంపై విధించిన అన్ని పరిమితులకు లోబడి ఉంటుంది. అవి:

1 ≠ a > 0

మరోవైపు, అదే సమీకరణం నుండి సంవర్గమానం తప్పనిసరిగా ఉండాలని మనం చూస్తాము సంఖ్యకు సమానం b , మరియు ఈ లేఖపై ఎటువంటి పరిమితులు విధించబడలేదు, ఎందుకంటే ఇది ఏదైనా విలువలను తీసుకోవచ్చు - సానుకూల మరియు ప్రతికూల రెండూ. ఇది f(x) ఫంక్షన్ ఏ విలువలను తీసుకుంటుందనే దానిపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

మరియు ఇక్కడ మేము మా అద్భుతమైన నియమాన్ని గుర్తుంచుకుంటాము, ఏ సంఖ్య b అయినా a యొక్క బేస్ a నుండి b యొక్క శక్తికి సంవర్గమానంగా సూచించబడుతుంది:

b = లాగ్ a a b

ఈ సూత్రాన్ని ఎలా గుర్తుంచుకోవాలి? అవును, చాలా సింపుల్. కింది నిర్మాణాన్ని వ్రాద్దాం:

b = b 1 = b log a a

వాస్తవానికి, ఈ సందర్భంలో మేము ప్రారంభంలో వ్రాసిన అన్ని పరిమితులు తలెత్తుతాయి. ఇప్పుడు సంవర్గమానం యొక్క ప్రాథమిక లక్షణాన్ని ఉపయోగిస్తాము మరియు గుణకం bని a యొక్క శక్తిగా పరిచయం చేద్దాం. మాకు దొరికింది:

b = b 1 = b log a a = log a a b

ఫలితంగా, అసలు సమీకరణం ఈ క్రింది విధంగా తిరిగి వ్రాయబడుతుంది:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

అంతే. కొత్త కథనంఇకపై సంవర్గమానాన్ని కలిగి ఉండదు మరియు ప్రామాణిక బీజగణిత పద్ధతులను ఉపయోగించి పరిష్కరించవచ్చు.

వాస్తవానికి, ఎవరైనా ఇప్పుడు అభ్యంతరం వ్యక్తం చేస్తారు: ఒకరకమైన కానానికల్ ఫార్ములాను ఎందుకు తీసుకురావాలి, అసలు డిజైన్ నుండి తుది సూత్రానికి వెంటనే వెళ్లడం సాధ్యమైతే రెండు అదనపు అనవసరమైన దశలను ఎందుకు చేయాలి? అవును, ఈ ఫార్ములా ఎక్కడ నుండి వచ్చిందో చాలా మంది విద్యార్థులకు అర్థం కానందున మరియు దాని ఫలితంగా, దానిని వర్తించేటప్పుడు క్రమం తప్పకుండా తప్పులు చేస్తుంటారు.

కానీ ఈ చర్యల క్రమం, మూడు దశలను కలిగి ఉంటుంది, చివరి ఫార్ములా ఎక్కడ నుండి వచ్చిందో మీకు అర్థం కాకపోయినా, అసలు సంవర్గమాన సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. మార్గం ద్వారా, కానానికల్ ఫార్ములాఈ ఎంట్రీని అంటారు:

log a f (x) = log a a b

కానానికల్ రూపం యొక్క సౌలభ్యం ఏమిటంటే, ఇది చాలా విస్తృతమైన లాగరిథమిక్ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ఉపయోగించవచ్చు మరియు ఈ రోజు మనం పరిశీలిస్తున్న సరళమైన వాటిని మాత్రమే కాకుండా.

పరిష్కారాల ఉదాహరణలు

ఇప్పుడు చూద్దాం నిజమైన ఉదాహరణలు. కాబట్టి, నిర్ణయించుకుందాం:

లాగ్ 0.5 (3x - 1) = -3

దీన్ని ఇలా తిరిగి వ్రాస్దాం:

లాగ్ 0.5 (3x - 1) = లాగ్ 0.5 0.5 -3

చాలా మంది విద్యార్థులు ఆతురుతలో ఉన్నారు మరియు అసలు సమస్య నుండి మాకు వచ్చిన శక్తికి 0.5 సంఖ్యను వెంటనే పెంచడానికి ప్రయత్నిస్తారు. నిజానికి, మీరు ఇప్పటికే ఇటువంటి సమస్యలను పరిష్కరించడంలో బాగా శిక్షణ పొందినప్పుడు, మీరు వెంటనే ఈ దశను చేయవచ్చు.

అయితే, మీరు ఇప్పుడు ఈ అంశాన్ని అధ్యయనం చేయడం ప్రారంభించినట్లయితే, అప్రియమైన తప్పులు చేయకుండా ఉండటానికి ఎక్కడా తొందరపడకపోవడమే మంచిది. కాబట్టి, మనకు కానానికల్ రూపం ఉంది. మాకు ఉన్నాయి:

3x - 1 = 0.5 -3

ఇది ఇకపై సంవర్గమాన సమీకరణం కాదు, x వేరియబుల్‌కు సంబంధించి సరళంగా ఉంటుంది. దాన్ని పరిష్కరించడానికి, ముందుగా −3 యొక్క శక్తికి 0.5 సంఖ్యను చూద్దాం. 0.5 1/2 అని గమనించండి.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

అన్నీ దశాంశాలుమీరు లాగరిథమిక్ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించినప్పుడు సాధారణ వాటికి మార్చండి.

మేము తిరిగి వ్రాసి పొందుతాము:

3x - 1 = 8
3x = 9
x = 3

అంతే, మాకు సమాధానం వచ్చింది. మొదటి సమస్య పరిష్కరించబడింది.

రెండవ పని

రెండవ పనికి వెళ్దాం:

మనం చూస్తున్నట్లుగా, ఈ సమీకరణం ఇకపై సరళమైనది కాదు. ఎడమవైపు తేడా ఉన్నందున, మరియు ఒక బేస్‌కు ఒక్క సంవర్గమానం కూడా ఉండకపోతే.

అందువల్ల, మనం ఏదో ఒకవిధంగా ఈ వ్యత్యాసాన్ని వదిలించుకోవాలి. IN ఈ విషయంలోప్రతిదీ చాలా సులభం. బేస్‌లను నిశితంగా పరిశీలిద్దాం: ఎడమవైపు రూట్ కింద ఉన్న సంఖ్య:

సాధారణ సిఫార్సు: అన్ని లాగరిథమిక్ సమీకరణాలలో, రాడికల్‌లను వదిలించుకోవడానికి ప్రయత్నించండి, అనగా, మూలాలతో ఉన్న ఎంట్రీల నుండి మరియు కొనసాగండి శక్తి విధులు, ఈ శక్తుల యొక్క ఘాతాంకాలను లాగరిథమ్ యొక్క సంకేతం నుండి సులభంగా తీసివేయడం వలన మరియు అంతిమంగా, అటువంటి సంజ్ఞామానం గణనలను గణనీయంగా సులభతరం చేస్తుంది మరియు వేగవంతం చేస్తుంది. దానిని ఇలా వ్రాస్దాము:

ఇప్పుడు సంవర్గమానం యొక్క విశేషమైన ఆస్తిని మనం గుర్తుంచుకుందాం: శక్తులు వాదన నుండి, అలాగే బేస్ నుండి పొందవచ్చు. ఆధారం విషయంలో, ఈ క్రిందివి జరుగుతాయి:

లాగ్ a k b = 1/k లోగా బి

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, బేస్ పవర్‌లో ఉన్న సంఖ్య ముందుకు తీసుకురాబడుతుంది మరియు అదే సమయంలో విలోమం అవుతుంది, అంటే అది అవుతుంది. పరస్పర సంఖ్య. మా విషయంలో, బేస్ డిగ్రీ 1/2. కాబట్టి, మనం దానిని 2/1గా తీసుకోవచ్చు. మాకు దొరికింది:

5 2 లాగ్ 5 x - లాగ్ 5 x = 18
10 లాగ్ 5 x - లాగ్ 5 x = 18

దయచేసి గమనించండి: ఎట్టి పరిస్థితుల్లోనూ మీరు ఈ దశలో లాగరిథమ్‌లను వదిలించుకోకూడదు. 4వ-5వ తరగతి గణితం మరియు కార్యకలాపాల క్రమాన్ని గుర్తుంచుకోండి: గుణకారం మొదట నిర్వహించబడుతుంది, ఆపై మాత్రమే అదనంగా మరియు తీసివేత. ఈ సందర్భంలో, మేము 10 మూలకాల నుండి ఒకే మూలకాలలో ఒకదాన్ని తీసివేస్తాము:

9 లాగ్ 5 x = 18
లాగ్ 5 x = 2

ఇప్పుడు మన సమీకరణం అలాగే ఉంది. ఇది సరళమైన నిర్మాణం, మరియు మేము దీనిని కానానికల్ రూపాన్ని ఉపయోగించి పరిష్కరిస్తాము:

లాగ్ 5 x = లాగ్ 5 5 2
x = 5 2
x = 25

అంతే. రెండవ సమస్య పరిష్కరించబడింది.

మూడవ ఉదాహరణ

మూడవ పనికి వెళ్దాం:

లాగ్ (x + 3) = 3 + 2 లాగ్ 5

నేను ఈ క్రింది సూత్రాన్ని మీకు గుర్తు చేస్తాను:

లాగ్ బి = లాగ్ 10 బి

కొన్ని కారణాల వల్ల మీరు సంజ్ఞామానం లాగ్ బితో గందరగోళానికి గురైతే, అన్ని గణనలను నిర్వహించేటప్పుడు మీరు లాగ్ 10 బిని వ్రాయవచ్చు. మీరు ఇతరులతో అదే విధంగా దశాంశ లాగరిథమ్‌లతో పని చేయవచ్చు: అధికారాలను తీసుకోండి, lg 10 రూపంలో ఏవైనా సంఖ్యలను జోడించండి మరియు సూచించండి.

ఈ లక్షణాలను మేము ఇప్పుడు సమస్యను పరిష్కరించడానికి ఉపయోగిస్తాము, ఎందుకంటే ఇది మా పాఠం ప్రారంభంలోనే మేము వ్రాసిన సరళమైనది కాదు.

ముందుగా, lg 5కి ముందు ఉన్న కారకం 2 జోడించబడి, బేస్ 5 యొక్క శక్తిగా మారుతుందని గమనించండి. అదనంగా, ఉచిత పదం 3 కూడా సంవర్గమానంగా సూచించబడుతుంది - ఇది మా సంజ్ఞామానం నుండి గమనించడం చాలా సులభం.

మీ కోసం తీర్పు చెప్పండి: బేస్ 10కి ఏదైనా సంఖ్యను లాగ్‌గా సూచించవచ్చు:

3 = లాగ్ 10 10 3 = లాగ్ 10 3

పొందిన మార్పులను పరిగణనలోకి తీసుకొని అసలు సమస్యను తిరిగి వ్రాద్దాం:

లాగ్ (x - 3) = లాగ్ 1000 + లాగ్ 25
లాగ్ (x - 3) = లాగ్ 1000 25
లాగ్ (x - 3) = లాగ్ 25,000

మన ముందు మళ్లీ కానానికల్ రూపం ఉంది మరియు పరివర్తన దశను దాటకుండానే దాన్ని పొందాము, అనగా సరళమైన లాగరిథమిక్ సమీకరణం ఎక్కడా కనిపించలేదు.

పాఠం ప్రారంభంలోనే నేను మాట్లాడినది ఇదే. ప్రామాణిక రూపం కంటే విస్తృత తరగతి సమస్యలను పరిష్కరించడానికి కానానికల్ రూపం మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది పాఠశాల సూత్రం, ఇది చాలా పాఠశాల ఉపాధ్యాయులచే ఇవ్వబడుతుంది.

సరే, అంతే, మేము దశాంశ సంవర్గమానం యొక్క చిహ్నాన్ని వదిలించుకుంటాము మరియు మేము సరళమైన సరళ నిర్మాణాన్ని పొందుతాము:

x + 3 = 25,000
x = 24,997

అన్నీ! సమస్య పరిష్కారమైంది.

పరిధిపై ఒక గమనిక

ఇక్కడ నేను నిర్వచనం యొక్క పరిధికి సంబంధించి ఒక ముఖ్యమైన వ్యాఖ్య చేయాలనుకుంటున్నాను. ఖచ్చితంగా ఇప్పుడు చెప్పే విద్యార్థులు మరియు ఉపాధ్యాయులు ఉంటారు: "మేము సంవర్గమానాలతో వ్యక్తీకరణలను పరిష్కరించినప్పుడు, f (x) వాదన సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉండాలని గుర్తుంచుకోవాలి!" ఈ విషయంలో, ఒక తార్కిక ప్రశ్న తలెత్తుతుంది: పరిగణించబడిన ఏవైనా సమస్యలలో ఈ అసమానత సంతృప్తి చెందాలని మేము ఎందుకు కోరుకోలేదు?

చింతించకండి. ఈ సందర్భాలలో, అదనపు మూలాలు కనిపించవు. మరియు ఇది పరిష్కారాన్ని వేగవంతం చేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతించే మరొక గొప్ప ట్రిక్. సమస్యలో వేరియబుల్ x ఒకే చోట మాత్రమే సంభవిస్తే (లేదా బదులుగా, ఒకే లాగరిథమ్ యొక్క ఒకే ఆర్గ్యుమెంట్‌లో), మరియు మన విషయంలో మరెక్కడా వేరియబుల్ x కనిపించకపోతే, నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను వ్రాయండి. అవసరం లేదు, ఎందుకంటే ఇది స్వయంచాలకంగా అమలు చేయబడుతుంది.

మీ కోసం తీర్పు చెప్పండి: మొదటి సమీకరణంలో మనకు 3x - 1 అని వచ్చింది, అంటే వాదన 8కి సమానంగా ఉండాలి. దీని అర్థం స్వయంచాలకంగా 3x - 1 సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది.

అదే విజయంతో మనం రెండవ సందర్భంలో x 5 2కి సమానంగా ఉండాలి, అంటే అది ఖచ్చితంగా సున్నా కంటే ఎక్కువ అని వ్రాయవచ్చు. మరియు మూడవ సందర్భంలో, ఇక్కడ x + 3 = 25,000, అంటే, మళ్ళీ, స్పష్టంగా సున్నా కంటే ఎక్కువ. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, స్కోప్ స్వయంచాలకంగా సంతృప్తి చెందుతుంది, అయితే ఒక సంవర్గమానం యొక్క ఆర్గ్యుమెంట్‌లో మాత్రమే x సంభవించినట్లయితే మాత్రమే.

సాధారణ సమస్యలను పరిష్కరించడానికి మీరు తెలుసుకోవలసినది అంతే. ఈ నియమం మాత్రమే, పరివర్తన నియమాలతో కలిసి, మీరు చాలా విస్తృతమైన సమస్యలను పరిష్కరించడానికి అనుమతిస్తుంది.

కానీ నిజాయితీగా ఉండండి: చివరకు ఈ సాంకేతికతను అర్థం చేసుకోవడానికి, లాగరిథమిక్ సమీకరణం యొక్క కానానికల్ రూపాన్ని ఎలా ఉపయోగించాలో తెలుసుకోవడానికి, కేవలం ఒక వీడియో పాఠాన్ని చూడటం సరిపోదు. కాబట్టి ఇప్పుడే ఎంపికలను డౌన్‌లోడ్ చేసుకోండి స్వతంత్ర నిర్ణయం, ఇవి ఈ వీడియో పాఠానికి జోడించబడ్డాయి మరియు ఈ రెండు స్వతంత్ర రచనలలో కనీసం ఒకదానినైనా పరిష్కరించడం ప్రారంభించండి.

ఇది మీకు అక్షరాలా కొన్ని నిమిషాలు పడుతుంది. కానీ మీరు ఈ వీడియో పాఠాన్ని చూసిన దానికంటే అలాంటి శిక్షణ ప్రభావం చాలా ఎక్కువగా ఉంటుంది.

సంవర్గమాన సమీకరణాలను అర్థం చేసుకోవడానికి ఈ పాఠం మీకు సహాయపడుతుందని నేను ఆశిస్తున్నాను. కానానికల్ ఫారమ్‌ని ఉపయోగించండి, లాగరిథమ్‌లతో పని చేయడానికి నియమాలను ఉపయోగించి వ్యక్తీకరణలను సరళీకృతం చేయండి - మరియు మీరు ఎటువంటి సమస్యలకు భయపడరు. ఈరోజు నా దగ్గర ఉన్నది అంతే.

నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను పరిగణనలోకి తీసుకోవడం

ఇప్పుడు లాగరిథమిక్ ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ గురించి మాట్లాడుదాం మరియు ఇది లాగరిథమిక్ సమీకరణాల పరిష్కారాన్ని ఎలా ప్రభావితం చేస్తుంది. ఫారమ్ యొక్క నిర్మాణాన్ని పరిగణించండి

లాగ్ a f (x) = b

అటువంటి వ్యక్తీకరణను సరళమైనది అని పిలుస్తారు - ఇది ఒకే ఒక ఫంక్షన్‌ను కలిగి ఉంటుంది మరియు a మరియు b సంఖ్యలు కేవలం సంఖ్యలు, మరియు ఏ సందర్భంలోనూ వేరియబుల్ xపై ఆధారపడి ఉండే ఫంక్షన్ కాదు. ఇది చాలా సరళంగా పరిష్కరించబడుతుంది. మీరు కేవలం సూత్రాన్ని ఉపయోగించాలి:

b = లాగ్ a a b

ఈ ఫార్ములాసంవర్గమానం యొక్క ముఖ్య లక్షణాలలో ఒకటి, మరియు మా అసలు వ్యక్తీకరణకు ప్రత్యామ్నాయం చేసినప్పుడు మేము ఈ క్రింది వాటిని పొందుతాము:

log a f (x) = log a a b

f (x) = a b

ఇది తెలిసిన ఫార్ములా పాఠశాల పాఠ్యపుస్తకాలు. చాలా మంది విద్యార్థులకు బహుశా ఒక ప్రశ్న ఉండవచ్చు: అసలు వ్యక్తీకరణలో f (x) ఫంక్షన్ లాగ్ గుర్తు క్రింద ఉన్నందున, దానిపై క్రింది పరిమితులు విధించబడ్డాయి:

f(x) > 0

యొక్క లాగరిథమ్ కారణంగా ఈ పరిమితి వర్తిస్తుంది ప్రతికూల సంఖ్యలుఉనికిలో లేదు. కాబట్టి, బహుశా, ఈ పరిమితి ఫలితంగా, సమాధానాలపై తనిఖీని ప్రవేశపెట్టాలా? బహుశా వాటిని మూలంలోకి చొప్పించాలా?

లేదు, సరళమైన లాగరిథమిక్ సమీకరణాలలో అదనపు తనిఖీ అనవసరం. మరియు అందుకే. మా చివరి సూత్రాన్ని పరిశీలించండి:

f (x) = a b

వాస్తవం ఏమిటంటే a సంఖ్య ఏదైనా సందర్భంలో 0 కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది - ఈ అవసరం కూడా లాగరిథమ్ ద్వారా విధించబడుతుంది. సంఖ్య a ఆధారం. ఈ సందర్భంలో, సంఖ్య బిపై ఎటువంటి పరిమితులు విధించబడవు. కానీ ఇది పట్టింపు లేదు, ఎందుకంటే మనం ఏ శక్తికి ధనాత్మక సంఖ్యను పెంచినా, అవుట్‌పుట్ వద్ద మనం ఇంకా సానుకూల సంఖ్యను పొందుతాము. అందువలన, అవసరం f (x) > 0 స్వయంచాలకంగా సంతృప్తి చెందుతుంది.

లాగ్ సైన్ కింద ఉన్న ఫంక్షన్ డొమైన్‌ను తనిఖీ చేయడం నిజంగా విలువైనది. చాలా క్లిష్టమైన నిర్మాణాలు ఉండవచ్చు మరియు పరిష్కార ప్రక్రియలో మీరు ఖచ్చితంగా వాటిపై నిఘా ఉంచాలి. చూద్దాం.

మొదటి పని:

మొదటి దశ: కుడి వైపున ఉన్న భిన్నాన్ని మార్చండి. మాకు దొరికింది:

మేము లాగరిథమ్ గుర్తును వదిలించుకుంటాము మరియు సాధారణ అహేతుక సమీకరణాన్ని పొందుతాము:

పొందిన మూలాలలో, రెండవ మూలం సున్నా కంటే తక్కువగా ఉన్నందున మొదటిది మాత్రమే మనకు సరిపోతుంది. 9వ సంఖ్య మాత్రమే సమాధానం అవుతుంది. అంతే, సమస్య పరిష్కారమైంది. సంవర్గమాన సంకేతం క్రింద వ్యక్తీకరణ 0 కంటే ఎక్కువగా ఉందని నిర్ధారించడానికి అదనపు తనిఖీలు అవసరం లేదు, ఎందుకంటే ఇది కేవలం 0 కంటే ఎక్కువ కాదు, కానీ సమీకరణం యొక్క పరిస్థితి ప్రకారం ఇది 2కి సమానం. కాబట్టి, అవసరం “సున్నా కంటే ఎక్కువ ” స్వయంచాలకంగా సంతృప్తి చెందుతుంది.

రెండవ పనికి వెళ్దాం:

ఇక్కడ అంతా అలాగే ఉంది. మేము ట్రిపుల్ స్థానంలో నిర్మాణాన్ని తిరిగి వ్రాస్తాము:

మేము లాగరిథమ్ సంకేతాలను వదిలించుకుంటాము మరియు అహేతుక సమీకరణాన్ని పొందుతాము:

మేము పరిమితులను పరిగణనలోకి తీసుకొని రెండు వైపులా స్క్వేర్ చేస్తాము మరియు పొందుతాము:

4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 -4 + 6x + x 2 = 0

2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2

x 2 + 7x + 6 = 0

మేము వివక్షత ద్వారా ఫలిత సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తాము:

D = 49 - 24 = 25

x 1 = -1

x 2 = −6

కానీ x = −6 మనకు సరిపోదు, ఎందుకంటే మనం ఈ సంఖ్యను మన అసమానతలో ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, మనకు లభిస్తుంది:

−6 + 4 = −2 < 0

మా విషయంలో, ఇది 0 కంటే ఎక్కువగా ఉండాలి లేదా తీవ్రమైన సందర్భాల్లో సమానంగా ఉండాలి. కానీ x = −1 మాకు సరిపోతుంది:

−1 + 4 = 3 > 0

మా విషయంలో ఉన్న ఏకైక సమాధానం x = -1. అదే పరిష్కారం. మన లెక్కల ప్రారంభానికి తిరిగి వెళ్దాం.

ఈ పాఠం నుండి ప్రధాన టేకవే ఏమిటంటే, మీరు సాధారణ లాగరిథమిక్ సమీకరణాలలో ఫంక్షన్‌పై పరిమితులను తనిఖీ చేయవలసిన అవసరం లేదు. ఎందుకంటే పరిష్కార ప్రక్రియ సమయంలో అన్ని పరిమితులు స్వయంచాలకంగా సంతృప్తి చెందుతాయి.

అయితే, ఇది ఏ విధంగానూ మీరు తనిఖీ చేయడం గురించి మరచిపోవచ్చని అర్థం. లాగరిథమిక్ సమీకరణంపై పని చేసే ప్రక్రియలో, ఇది అహేతుకంగా మారవచ్చు, ఇది కుడి వైపున దాని స్వంత పరిమితులు మరియు అవసరాలను కలిగి ఉంటుంది, ఈ రోజు మనం రెండు వేర్వేరు ఉదాహరణలలో చూశాము.

అటువంటి సమస్యలను పరిష్కరించడానికి సంకోచించకండి మరియు వాదనలో మూలం ఉంటే ప్రత్యేకించి జాగ్రత్తగా ఉండండి.

విభిన్న స్థావరాలు కలిగిన లాగరిథమిక్ సమీకరణాలు

మేము లాగరిథమిక్ సమీకరణాలను అధ్యయనం చేస్తూనే ఉన్నాము మరియు మరింత సంక్లిష్టమైన నిర్మాణాలను పరిష్కరించడం ఫ్యాషన్‌గా ఉన్న మరో రెండు ఆసక్తికరమైన పద్ధతులను పరిశీలిస్తాము. అయితే మొదట, సరళమైన సమస్యలను ఎలా పరిష్కరించాలో గుర్తుంచుకోండి:

లాగ్ a f (x) = b

ఈ ఎంట్రీలో, a మరియు b సంఖ్యలు, మరియు f (x) ఫంక్షన్‌లో x వేరియబుల్ ఉండాలి మరియు అక్కడ మాత్రమే, అంటే x అనేది ఆర్గ్యుమెంట్‌లో మాత్రమే ఉండాలి. మేము కానానికల్ ఫారమ్‌ని ఉపయోగించి అటువంటి సంవర్గమాన సమీకరణాలను మారుస్తాము. దీన్ని చేయడానికి, గమనించండి

b = లాగ్ a a b

అంతేకాకుండా, a b అనేది ఖచ్చితంగా ఒక వాదన. ఈ వ్యక్తీకరణను ఈ క్రింది విధంగా తిరిగి వ్రాస్దాం:

log a f (x) = log a a b

మేము సరిగ్గా సాధించడానికి ప్రయత్నిస్తున్నది ఇదే, తద్వారా ఎడమ మరియు కుడి రెండింటిపై ఆధారం చేయడానికి సంవర్గమానం ఉంది. ఈ సందర్భంలో, మేము అలంకారికంగా చెప్పాలంటే, లాగ్ సంకేతాలను దాటవచ్చు మరియు గణిత కోణం నుండి మనం వాదనలను సమం చేస్తున్నామని చెప్పవచ్చు:

f (x) = a b

ఫలితంగా, మేము కొత్త వ్యక్తీకరణను పొందుతాము, అది పరిష్కరించడం చాలా సులభం అవుతుంది. ఈ రోజు మన సమస్యలకు ఈ నియమాన్ని వర్తింపజేద్దాం.

కాబట్టి, మొదటి డిజైన్:

అన్నింటిలో మొదటిది, నేను కుడి వైపున ఒక భిన్నం, దీని హారం లాగ్ అని గమనించండి. మీరు ఇలాంటి వ్యక్తీకరణను చూసినప్పుడు, లాగరిథమ్‌ల యొక్క అద్భుతమైన లక్షణాన్ని గుర్తుంచుకోవడం మంచిది:

రష్యన్ భాషలోకి అనువదించబడింది, దీని అర్థం ఏదైనా సంవర్గమానం ఏదైనా బేస్ సితో రెండు లాగరిథమ్‌ల గుణకం వలె సూచించబడుతుంది. వాస్తవానికి 0< с ≠ 1.

కాబట్టి: ఈ ఫార్ములా ఒక అద్భుతమైనది ప్రత్యేక సంధర్భం, వేరియబుల్ c వేరియబుల్‌కు సమానంగా ఉన్నప్పుడు బి. ఈ సందర్భంలో, మేము నిర్మాణాన్ని పొందుతాము:

మన సమీకరణంలో కుడి వైపున ఉన్న గుర్తు నుండి మనం చూసే నిర్మాణం ఇది. ఈ నిర్మాణాన్ని లాగ్ a bతో భర్తీ చేద్దాం, మనకు లభిస్తుంది:

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, అసలు టాస్క్‌తో పోల్చితే, మేము ఆర్గ్యుమెంట్ మరియు లాగరిథమ్ యొక్క ఆధారాన్ని మార్చుకున్నాము. బదులుగా, మేము భిన్నాన్ని రివర్స్ చేయాల్సి వచ్చింది.

కింది నియమం ప్రకారం ఏదైనా డిగ్రీని బేస్ నుండి పొందవచ్చని మేము గుర్తు చేస్తున్నాము:

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, బేస్ యొక్క శక్తి అయిన గుణకం k, విలోమ భిన్నం వలె వ్యక్తీకరించబడుతుంది. దానిని విలోమ భిన్నం వలె రెండర్ చేద్దాం:

పాక్షిక కారకాన్ని ముందు ఉంచలేము, ఎందుకంటే ఈ సందర్భంలో మేము ఈ సంజ్ఞామానాన్ని కానానికల్ రూపంగా సూచించలేము (అన్ని తరువాత, కానానికల్ రూపంలో రెండవ లాగరిథమ్‌కు ముందు అదనపు కారకం లేదు). కాబట్టి, ఆర్గ్యుమెంట్‌కు 1/4 భిన్నాన్ని శక్తిగా జోడిద్దాం:

ఇప్పుడు మేము ఆర్గ్యుమెంట్‌లను సమానం చేస్తాము (మరియు మా బేస్‌లు నిజంగా ఒకే విధంగా ఉంటాయి), మరియు వ్రాస్తాము:

x + 5 = 1

x = -4

అంతే. మేము మొదటి సంవర్గమాన సమీకరణానికి సమాధానం పొందాము. దయచేసి గమనించండి: అసలు సమస్యలో, వేరియబుల్ x ఒక లాగ్‌లో మాత్రమే కనిపిస్తుంది మరియు ఇది దాని వాదనలో కనిపిస్తుంది. అందువల్ల, డొమైన్‌ను తనిఖీ చేయవలసిన అవసరం లేదు మరియు మా సంఖ్య x = −4 నిజానికి సమాధానం.

ఇప్పుడు రెండవ వ్యక్తీకరణకు వెళ్దాం:

లాగ్ 56 = లాగ్ 2 లాగ్ 2 7 - 3లాగ్ (x + 4)

ఇక్కడ, సాధారణ లాగరిథమ్‌లతో పాటు, మేము లాగ్ f (x) తో పని చేయాలి. అటువంటి సమీకరణాన్ని ఎలా పరిష్కరించాలి? సిద్ధపడని విద్యార్థికి ఇది ఒక రకమైన కఠినమైన పనిలా అనిపించవచ్చు, కానీ వాస్తవానికి ప్రతిదీ ప్రాథమిక మార్గంలో పరిష్కరించబడుతుంది.

lg 2 లాగ్ అనే పదాన్ని నిశితంగా పరిశీలించండి 2 7. దాని గురించి మనం ఏమి చెప్పగలం? log మరియు lg యొక్క ఆధారాలు మరియు వాదనలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి మరియు ఇది కొన్ని ఆలోచనలను ఇవ్వాలి. సంవర్గమానం యొక్క సంకేతం క్రింద నుండి అధికారాలు ఎలా తీసివేయబడతాయో మరోసారి గుర్తుచేసుకుందాం:

log a b n = nlog a b

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఆర్గ్యుమెంట్‌లో b యొక్క పవర్ ఏది అనేది లాగ్ ముందు కారకంగా మారుతుంది. lg 2 log 2 7 అనే వ్యక్తీకరణకు ఈ సూత్రాన్ని వర్తింపజేద్దాం. lg 2 ద్వారా భయపడవద్దు - ఇది అత్యంత సాధారణ వ్యక్తీకరణ. మీరు దానిని ఈ క్రింది విధంగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు:

ఏదైనా ఇతర లాగరిథమ్‌కు వర్తించే అన్ని నియమాలు దీనికి చెల్లుబాటు అవుతాయి. ముఖ్యంగా, ముందు ఉన్న కారకాన్ని వాదన స్థాయికి జోడించవచ్చు. దానిని వ్రాసుకుందాం:

చాలా తరచుగా, విద్యార్థులు ఈ చర్యను నేరుగా చూడలేరు, ఎందుకంటే మరొక సంకేతం క్రింద ఒక లాగ్‌ను నమోదు చేయడం మంచిది కాదు. నిజానికి ఇందులో నేరం ఏమీ లేదు. అంతేకాకుండా, మీరు ఒక ముఖ్యమైన నియమాన్ని గుర్తుంచుకుంటే లెక్కించడానికి సులభమైన సూత్రాన్ని మేము పొందుతాము:

ఈ సూత్రాన్ని నిర్వచనంగా మరియు దాని లక్షణాలలో ఒకటిగా పరిగణించవచ్చు. ఏదైనా సందర్భంలో, మీరు సంవర్గమాన సమీకరణాన్ని మారుస్తుంటే, మీరు ఏ సంఖ్య యొక్క లాగ్ ప్రాతినిధ్యాన్ని తెలుసుకుంటారో అలాగే మీరు ఈ సూత్రాన్ని తెలుసుకోవాలి.

మన పనికి తిరిగి వెళ్దాం. సమాన సంకేతం యొక్క కుడి వైపున ఉన్న మొదటి పదం కేవలం lg 7కి సమానంగా ఉంటుంది అనే వాస్తవాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకొని మేము దానిని తిరిగి వ్రాస్తాము.

lg 56 = lg 7 - 3lg (x + 4)

lg 7ని ఎడమవైపుకు తరలిద్దాం, మనకు లభిస్తుంది:

lg 56 - lg 7 = -3lg (x + 4)

మేము ఎడమ వైపున ఉన్న వ్యక్తీకరణలను తీసివేస్తాము ఎందుకంటే వాటికి ఒకే ఆధారం ఉంది:

lg (56/7) = -3lg (x + 4)

ఇప్పుడు మనకు లభించిన సమీకరణాన్ని నిశితంగా పరిశీలిద్దాం. ఇది ఆచరణాత్మకంగా కానానికల్ రూపం, కానీ కుడి వైపున కారకం -3 ఉంది. దీన్ని సరైన lg ఆర్గ్యుమెంట్‌కి జోడిద్దాం:

లాగ్ 8 = లాగ్ (x + 4) -3

మాకు ముందు సంవర్గమాన సమీకరణం యొక్క కానానికల్ రూపం, కాబట్టి మేము lg సంకేతాలను దాటి ఆర్గ్యుమెంట్‌లను సమం చేస్తాము:

(x + 4) −3 = 8

x + 4 = 0.5

అంతే! మేము రెండవ సంవర్గమాన సమీకరణాన్ని పరిష్కరించాము. ఈ సందర్భంలో, అదనపు తనిఖీలు అవసరం లేదు, ఎందుకంటే అసలు సమస్యలో x ఒక వాదనలో మాత్రమే ఉంది.

ఈ పాఠంలోని ముఖ్యాంశాలను మళ్లీ జాబితా చేస్తాను.

సంవర్గమాన సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి అంకితమైన ఈ పేజీలోని అన్ని పాఠాలలో బోధించబడే ప్రధాన సూత్రం కానానికల్ రూపం. మరియు చాలా పాఠశాల పాఠ్యపుస్తకాలలో మీరు పరిష్కరించడానికి బోధించబడతారని భయపడకండి ఇలాంటి పనులుభిన్నంగా. ఈ సాధనం చాలా ప్రభావవంతంగా పనిచేస్తుంది మరియు మా పాఠం ప్రారంభంలో మేము అధ్యయనం చేసిన సరళమైన వాటి కంటే చాలా విస్తృతమైన సమస్యలను పరిష్కరించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.

అదనంగా, లాగరిథమిక్ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ఇది ప్రాథమిక లక్షణాలను తెలుసుకోవడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది. అవి:

1. ఒక స్థావరానికి తరలించడానికి సూత్రం మరియు మేము రివర్స్ లాగ్ చేసినప్పుడు ప్రత్యేక సందర్భం (ఇది మొదటి సమస్యలో మాకు చాలా ఉపయోగకరంగా ఉంది);
2. సంవర్గమాన సంకేతం నుండి అధికారాలను జోడించడం మరియు తీసివేయడం కోసం ఫార్ములా. ఇక్కడ, చాలా మంది విద్యార్థులు చిక్కుకుపోతారు మరియు తీసిన మరియు ప్రవేశపెట్టిన డిగ్రీలో లాగ్ f (x) ఉండవచ్చని చూడలేదు. అందులో తప్పేమీ లేదు. మేము మరొక సంకేతం ప్రకారం ఒక లాగ్‌ను పరిచయం చేయవచ్చు మరియు అదే సమయంలో సమస్య యొక్క పరిష్కారాన్ని గణనీయంగా సులభతరం చేయవచ్చు, ఇది రెండవ సందర్భంలో మనం గమనించవచ్చు.

ముగింపులో, ఈ సందర్భాలలో ప్రతిదానిలో డెఫినిషన్ డొమైన్‌ను తనిఖీ చేయవలసిన అవసరం లేదని నేను జోడించాలనుకుంటున్నాను, ఎందుకంటే ప్రతిచోటా వేరియబుల్ x లాగ్ యొక్క ఒక సంకేతంలో మాత్రమే ఉంటుంది మరియు అదే సమయంలో దాని వాదనలో ఉంటుంది. పర్యవసానంగా, స్కోప్ యొక్క అన్ని అవసరాలు స్వయంచాలకంగా నెరవేరుతాయి.

వేరియబుల్ బేస్‌తో సమస్యలు

ఈ రోజు మనం లాగరిథమిక్ సమీకరణాలను పరిశీలిస్తాము, ఇది చాలా మంది విద్యార్థులకు ప్రామాణికం కానిది, పూర్తిగా పరిష్కరించలేనిది. దీని గురించిసంఖ్యల ఆధారంగా కాకుండా వేరియబుల్స్ మరియు ఫంక్షన్ల ఆధారంగా వ్యక్తీకరణల గురించి. మేము మా ప్రామాణిక సాంకేతికతను ఉపయోగించి అటువంటి నిర్మాణాలను పరిష్కరిస్తాము, అవి కానానికల్ రూపం ద్వారా.

ప్రారంభించడానికి, సరళమైన సమస్యలు ఎలా పరిష్కరించబడుతున్నాయో గుర్తుంచుకోండి సాధారణ సంఖ్యలు. కాబట్టి, సరళమైన నిర్మాణం అంటారు

లాగ్ a f (x) = b

అటువంటి సమస్యలను పరిష్కరించడానికి, మేము ఈ క్రింది సూత్రాన్ని ఉపయోగించవచ్చు:

b = లాగ్ a a b

మేము మా అసలు వ్యక్తీకరణను తిరిగి వ్రాసి, పొందుతాము:

log a f (x) = log a a b

అప్పుడు మేము వాదనలను సమం చేస్తాము, అనగా మేము వ్రాస్తాము:

f (x) = a b

అందువలన, మేము లాగ్ గుర్తును వదిలించుకుంటాము మరియు సాధారణ సమస్యను పరిష్కరిస్తాము. ఈ సందర్భంలో, పరిష్కారం నుండి పొందిన మూలాలు అసలు లాగరిథమిక్ సమీకరణం యొక్క మూలాలుగా ఉంటాయి. అదనంగా, ఎడమ మరియు కుడి రెండూ ఒకే బేస్‌తో ఒకే లాగరిథమ్‌లో ఉన్నప్పుడు రికార్డ్‌ను ఖచ్చితంగా కానానికల్ ఫారమ్ అంటారు. అటువంటి రికార్డుకు మేము నేటి డిజైన్లను తగ్గించడానికి ప్రయత్నిస్తాము. కనుక మనము వెళ్దాము.

మొదటి పని:

లాగ్ x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = 1

1ని లాగ్ x - 2 (x - 2) 1తో భర్తీ చేయండి. ఆర్గ్యుమెంట్‌లో మనం గమనించే డిగ్రీ నిజానికి సమాన గుర్తుకు కుడివైపున ఉన్న సంఖ్య b. కాబట్టి, మన వ్యక్తీకరణను తిరిగి వ్రాస్దాం. మాకు దొరికింది:

లాగ్ x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = లాగ్ x - 2 (x - 2)

మనం ఏమి చూస్తాము? మాకు ముందు సంవర్గమాన సమీకరణం యొక్క నియమానుగుణ రూపం, కాబట్టి మనం వాదనలను సురక్షితంగా సమం చేయవచ్చు. మాకు దొరికింది:

2x 2 - 13x + 18 = x - 2

కానీ పరిష్కారం అక్కడ ముగియదు, ఎందుకంటే ఈ సమీకరణం అసలు దానికి సమానం కాదు. అన్నింటికంటే, ఫలిత నిర్మాణం మొత్తం సంఖ్య లైన్‌లో నిర్వచించబడిన ఫంక్షన్‌లను కలిగి ఉంటుంది మరియు మా అసలు లాగరిథమ్‌లు ప్రతిచోటా నిర్వచించబడవు మరియు ఎల్లప్పుడూ కాదు.

కాబట్టి, మనం డెఫినిషన్ డొమైన్‌ను విడిగా వ్రాయాలి. వెంట్రుకలను విడదీయవద్దు మరియు మొదట అన్ని అవసరాలను వ్రాయండి:

ముందుగా, ప్రతి లాగరిథమ్‌ల ఆర్గ్యుమెంట్ తప్పనిసరిగా 0 కంటే ఎక్కువగా ఉండాలి:

2x 2 - 13x + 18 > 0

x - 2 > 0

రెండవది, బేస్ 0 కంటే ఎక్కువగా ఉండటమే కాకుండా 1 నుండి భిన్నంగా ఉండాలి:

x − 2 ≠ 1

ఫలితంగా, మేము వ్యవస్థను పొందుతాము:

కానీ భయపడవద్దు: లాగరిథమిక్ సమీకరణాలను ప్రాసెస్ చేస్తున్నప్పుడు, అటువంటి వ్యవస్థను గణనీయంగా సరళీకృతం చేయవచ్చు.

మీ కోసం తీర్పు చెప్పండి: ఒకవైపు, క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్ సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉండాలని మేము కోరుతున్నాము మరియు మరోవైపు, ఈ క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్ నిర్దిష్టంగా ఉంటుంది సరళ వ్యక్తీకరణ, ఇది కూడా సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉండాలి.

ఈ సందర్భంలో, మనకు ఆ x − 2 > 0 అవసరమైతే, 2x 2 - 13x + 18 > 0 అవసరం స్వయంచాలకంగా సంతృప్తి చెందుతుంది. కాబట్టి, మనం కలిగి ఉన్న అసమానతను సురక్షితంగా దాటవచ్చు క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్. అందువలన, మా సిస్టమ్‌లో ఉన్న వ్యక్తీకరణల సంఖ్య మూడుకి తగ్గించబడుతుంది.

వాస్తవానికి, మనం కూడా దాటవచ్చు సరళ అసమానత, అంటే, x − 2 > 0ని దాటి, 2x 2 - 13x + 18 > 0 అని డిమాండ్ చేయండి. అయితే, సరళమైన సరళ అసమానతను పరిష్కరించడం అనేది చతుర్భుజం కంటే చాలా వేగంగా మరియు సులభంగా ఉంటుందని మీరు అంగీకరించాలి. ఈ వ్యవస్థ మేము అదే మూలాలను పొందుతాము.

సాధారణంగా, సాధ్యమైనప్పుడల్లా గణనలను ఆప్టిమైజ్ చేయడానికి ప్రయత్నించండి. మరియు లాగరిథమిక్ సమీకరణాల విషయంలో, చాలా కష్టమైన అసమానతలను దాటండి.

మన సిస్టమ్‌ని మళ్లీ వ్రాద్దాం:

ఇక్కడ మూడు వ్యక్తీకరణల వ్యవస్థ ఉంది, వాటిలో రెండు, వాస్తవానికి, మేము ఇప్పటికే వ్యవహరించాము. విడిగా రాసుకుందాం వర్గ సమీకరణంమరియు దానిని పరిష్కరిద్దాం:

2x 2 - 14x + 20 = 0

x 2 - 7x + 10 = 0

మా ముందు ఇచ్చారు చతుర్భుజ త్రికోణముమరియు, అందువలన, మేము Vieta యొక్క సూత్రాలను ఉపయోగించవచ్చు. మాకు దొరికింది:

(x - 5)(x - 2) = 0

x 1 = 5

x 2 = 2

ఇప్పుడు మేము మా సిస్టమ్‌కి తిరిగి వస్తాము మరియు x = 2 మనకు సరిపోదని కనుగొన్నాము, ఎందుకంటే x ఖచ్చితంగా 2 కంటే ఎక్కువగా ఉండాలి.

కానీ x = 5 మాకు ఖచ్చితంగా సరిపోతుంది: సంఖ్య 5 2 కంటే ఎక్కువ, మరియు అదే సమయంలో 5 3కి సమానం కాదు. కాబట్టి, ఈ వ్యవస్థకు ఏకైక పరిష్కారం x = 5.

అంతే, ODZ ను పరిగణనలోకి తీసుకోవడంతో సహా సమస్య పరిష్కరించబడుతుంది. రెండవ సమీకరణానికి వెళ్దాం. మరిన్ని ఆసక్తికరమైన మరియు సమాచార గణనలు ఇక్కడ మాకు వేచి ఉన్నాయి:

మొదటి దశ: లో వలె చివరిసారి, మేము ఈ మొత్తం విషయాన్ని కానానికల్ రూపంలోకి తీసుకువస్తాము. దీన్ని చేయడానికి, మేము 9 సంఖ్యను ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు:

మీరు రూట్‌తో బేస్‌ను తాకవలసిన అవసరం లేదు, కానీ వాదనను మార్చడం మంచిది. రూట్ నుండి పవర్ సికి వెళ్దాం హేతుబద్ధమైన సూచిక. రాసుకుందాం:

మా మొత్తం పెద్ద సంవర్గమాన సమీకరణాన్ని తిరిగి వ్రాయనివ్వండి, కానీ వెంటనే వాదనలను సమం చేయండి:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

మన ముందు కొత్తగా తగ్గించబడిన క్వాడ్రాటిక్ ట్రినోమియల్, వియటా సూత్రాలను ఉపయోగించుకుని వ్రాద్దాం:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = −1

కాబట్టి, మేము మూలాలను పొందాము, కానీ అవి అసలు లాగరిథమిక్ సమీకరణానికి సరిపోతాయని ఎవరూ మాకు హామీ ఇవ్వలేదు. అన్నింటికంటే, లాగ్ సంకేతాలు అదనపు పరిమితులను విధిస్తాయి (ఇక్కడ మనం సిస్టమ్‌ను వ్రాసి ఉండాలి, కానీ మొత్తం నిర్మాణం యొక్క గజిబిజి స్వభావం కారణంగా, నేను నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను విడిగా లెక్కించాలని నిర్ణయించుకున్నాను).

అన్నింటిలో మొదటిది, ఆర్గ్యుమెంట్‌లు తప్పనిసరిగా 0 కంటే ఎక్కువగా ఉండాలని గుర్తుంచుకోండి, అవి:

ఇవి నిర్వచనం యొక్క పరిధిచే విధించబడిన అవసరాలు.

మేము సిస్టమ్ యొక్క మొదటి రెండు వ్యక్తీకరణలను ఒకదానికొకటి సమానం చేసినందున, వాటిలో దేనినైనా మనం దాటగలమని వెంటనే గమనించండి. మొదటిదానిని దాటవేద్దాం ఎందుకంటే ఇది రెండవదాని కంటే మరింత ప్రమాదకరంగా కనిపిస్తోంది.

అదనంగా, రెండవ మరియు మూడవ అసమానతలకు పరిష్కారం ఒకే సెట్‌లుగా ఉంటుందని గమనించండి (కొంత సంఖ్య యొక్క క్యూబ్ సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది, ఈ సంఖ్య సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉంటే; అదేవిధంగా, మూడవ డిగ్రీ యొక్క మూలంతో - ఈ అసమానతలు పూర్తిగా సారూప్యమైనవి, కాబట్టి మనం దానిని దాటవచ్చు).

కానీ మూడవ అసమానతతో ఇది పనిచేయదు. రెండు భాగాలను క్యూబ్‌గా పెంచడం ద్వారా ఎడమ వైపున ఉన్న రాడికల్ గుర్తును వదిలించుకుందాం. మాకు దొరికింది:

కాబట్టి మేము ఈ క్రింది అవసరాలను పొందుతాము:

− 2 ≠ x > −3

మా మూలాలలో ఏది: x 1 = -3 లేదా x 2 = -1 ఈ అవసరాలను తీరుస్తుంది? సహజంగానే, x = −1 మాత్రమే, ఎందుకంటే x = -3 మొదటి అసమానతను సంతృప్తిపరచదు (మన అసమానత కఠినంగా ఉంటుంది కాబట్టి). కాబట్టి, మా సమస్యకు తిరిగి వస్తే, మనకు ఒక రూట్ వస్తుంది: x = -1. అంతే, సమస్య పరిష్కరించబడింది.

మరోసారి, ఈ పని యొక్క ముఖ్య అంశాలు:

1. కానానికల్ ఫారమ్‌ని ఉపయోగించి లాగరిథమిక్ సమీకరణాలను వర్తింపజేయడానికి మరియు పరిష్కరించడానికి సంకోచించకండి. ఈ విధంగా వ్రాసే విద్యార్థులు, అసలు సమస్య నుండి నేరుగా లాగ్ a f (x) = b వంటి నిర్మాణానికి వెళ్లకుండా, చాలా వరకు అనుమతిస్తారు తక్కువ తప్పులుగణనల ఇంటర్మీడియట్ దశలను దాటవేయడం, ఎక్కడా ఆతురుతలో ఉన్నవారి కంటే;
2. సంవర్గమానంలో వేరియబుల్ బేస్ కనిపించిన వెంటనే, సమస్య సరళమైనదిగా నిలిచిపోతుంది. అందువల్ల, దానిని పరిష్కరించేటప్పుడు, నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను పరిగణనలోకి తీసుకోవడం అవసరం: ఆర్గ్యుమెంట్‌లు సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉండాలి మరియు స్థావరాలు 0 కంటే ఎక్కువగా ఉండకూడదు, కానీ అవి 1కి సమానంగా ఉండకూడదు.

తుది అవసరాలు వివిధ మార్గాల్లో తుది సమాధానాలకు వర్తించవచ్చు. ఉదాహరణకు, మీరు డెఫినిషన్ డొమైన్ కోసం అన్ని అవసరాలను కలిగి ఉన్న మొత్తం సిస్టమ్‌ను పరిష్కరించవచ్చు. మరోవైపు, మీరు మొదట సమస్యను స్వయంగా పరిష్కరించవచ్చు, ఆపై నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను గుర్తుంచుకోండి, దానిని సిస్టమ్ రూపంలో విడిగా పని చేయండి మరియు పొందిన మూలాలకు వర్తించండి.

నిర్దిష్ట లాగరిథమిక్ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించేటప్పుడు ఏ పద్ధతిని ఎంచుకోవాలి అనేది మీ ఇష్టం. ఏ సందర్భంలో, సమాధానం అదే ఉంటుంది.

లాగరిథమిక్ సమీకరణాలను పరిష్కరించడం గురించి పాఠాల యొక్క సుదీర్ఘ శ్రేణిలో చివరి వీడియోలు. ఈసారి మేము ప్రధానంగా లాగరిథమ్ యొక్క ODZ తో పని చేస్తాము - ఇది ఖచ్చితంగా డెఫినిషన్ డొమైన్‌ను తప్పుగా పరిగణించడం (లేదా విస్మరించడం) వల్ల ఇటువంటి సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు చాలా లోపాలు తలెత్తుతాయి.

ఈ చిన్న వీడియో పాఠంలో, మేము లాగరిథమ్‌లను జోడించడం మరియు తీసివేయడం కోసం సూత్రాల వినియోగాన్ని పరిశీలిస్తాము మరియు చాలా మంది విద్యార్థులకు కూడా సమస్యలు ఉన్న పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాలను కూడా పరిశీలిస్తాము.

దేని గురించి మేము మాట్లాడతాము? నేను అర్థం చేసుకోవాలనుకుంటున్న ప్రధాన సూత్రం ఇలా కనిపిస్తుంది:

log a (f g) = log a f + log a g

ఇది ఉత్పత్తి నుండి లాగరిథమ్‌ల మొత్తానికి మరియు వెనుకకు ప్రామాణిక మార్పు. లాగరిథమ్‌లను అధ్యయనం చేయడం ప్రారంభించినప్పటి నుండి మీకు ఈ సూత్రం తెలిసి ఉండవచ్చు. అయితే, ఒక చిక్కు ఉంది.

వేరియబుల్స్ a, f మరియు g సాధారణ సంఖ్యలుగా ఉన్నంత వరకు, ఎటువంటి సమస్యలు తలెత్తవు. ఈ ఫార్ములా గొప్పగా పనిచేస్తుంది.

అయితే, f మరియు gకి బదులుగా ఫంక్షన్‌లు కనిపించిన వెంటనే, డెఫినిషన్ యొక్క డొమైన్‌ను విస్తరించడం లేదా తగ్గించడం అనే సమస్య ఏ దిశలో రూపాంతరం చెందాలనే దానిపై ఆధారపడి ఉంటుంది. మీ కోసం తీర్పు చెప్పండి: ఎడమవైపు వ్రాసిన లాగరిథమ్‌లో, నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ క్రింది విధంగా ఉంటుంది:

fg > 0

కానీ కుడివైపున వ్రాసిన మొత్తంలో, నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ ఇప్పటికే కొంత భిన్నంగా ఉంది:

f > 0

g > 0

ఈ అవసరాల సెట్ అసలు దాని కంటే చాలా కఠినమైనది. మొదటి సందర్భంలో, మేము f ఎంపికతో సంతృప్తి చెందుతాము< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >0 అమలు చేయబడింది).

కాబట్టి, ఎడమ నిర్మాణం నుండి కుడి వైపుకు వెళ్లినప్పుడు, నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ యొక్క సంకుచితం సంభవిస్తుంది. మొదట మనకు మొత్తం ఉంటే, మరియు మేము దానిని ఉత్పత్తి రూపంలో తిరిగి వ్రాస్తాము, అప్పుడు నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ విస్తరిస్తుంది.

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, మొదటి సందర్భంలో మనం మూలాలను కోల్పోవచ్చు మరియు రెండవది అదనపు వాటిని పొందవచ్చు. నిజమైన లాగరిథమిక్ సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు ఇది తప్పనిసరిగా పరిగణనలోకి తీసుకోవాలి.

కాబట్టి, మొదటి పని:

[చిత్రానికి శీర్షిక]

ఎడమవైపున మనం ఒకే ఆధారాన్ని ఉపయోగించి లాగరిథమ్‌ల మొత్తాన్ని చూస్తాము. కాబట్టి, ఈ లాగరిథమ్‌లను జోడించవచ్చు:

[చిత్రానికి శీర్షిక]

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, కుడివైపున మేము సూత్రాన్ని ఉపయోగించి సున్నాని భర్తీ చేసాము:

a = లాగ్ బి బి ఎ

మన సమీకరణాన్ని మరికొంత క్రమాన్ని మార్చుకుందాం:

లాగ్ 4 (x - 5) 2 = లాగ్ 4 1

సంవర్గమాన సమీకరణం యొక్క నియమానుగుణ రూపం మన ముందు ఉంది; మేము లాగ్ గుర్తును దాటవచ్చు మరియు వాదనలను సమం చేయవచ్చు:

(x - 5) 2 = 1

|x − 5| = 1

దయచేసి గమనించండి: మాడ్యూల్ ఎక్కడ నుండి వచ్చింది? ఖచ్చితమైన చతురస్రం యొక్క మూలం మాడ్యులస్‌కు సమానం అని నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను:

[చిత్రానికి శీర్షిక]

అప్పుడు మేము మాడ్యులస్‌తో క్లాసికల్ సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తాము:

|f | = g (g > 0) ⇒f = ±g

x - 5 = ±1 ⇒x 1 = 5 - 1 = 4; x 2 = 5 + 1 = 6

ఇక్కడ రెండు అభ్యర్థుల సమాధానాలు ఉన్నాయి. అసలు సంవర్గమాన సమీకరణానికి అవి పరిష్కారమా? అవకాశమే లేదు!

అవన్నీ అలా వదిలేసి సమాధానం రాసే హక్కు మనకు లేదు. మేము లాగరిథమ్‌ల మొత్తాన్ని ఆర్గ్యుమెంట్‌ల ఉత్పత్తి యొక్క ఒక లాగరిథమ్‌తో భర్తీ చేసే దశను పరిశీలించండి. సమస్య ఏమిటంటే అసలు వ్యక్తీకరణలలో మనకు విధులు ఉన్నాయి. అందువలన, మీరు అవసరం:

x(x - 5) > 0; (x - 5)/x > 0.

మేము ఉత్పత్తిని మార్చినప్పుడు, ఖచ్చితమైన చతురస్రాన్ని పొందడం ద్వారా, అవసరాలు మారాయి:

(x - 5) 2 > 0

ఈ అవసరం ఎప్పుడు నెరవేరుతుంది? అవును, దాదాపు ఎల్లప్పుడూ! x − 5 = 0 ఉన్నప్పుడు తప్ప. అంటే అసమానత ఒక పంక్చర్ పాయింట్‌కి తగ్గించబడుతుంది:

x − 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ 5

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, నిర్వచనం యొక్క పరిధి విస్తరించింది, ఇది పాఠం ప్రారంభంలోనే మేము మాట్లాడాము. అందువలన, ఉండవచ్చు అదనపు మూలాలు.

ఈ అదనపు మూలాలు కనిపించకుండా మీరు ఎలా నిరోధించగలరు? ఇది చాలా సులభం: మేము మా పొందిన మూలాలను పరిశీలిస్తాము మరియు వాటిని అసలు సమీకరణం యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌తో పోల్చాము. లెక్కిద్దాం:

x (x - 5) > 0

మేము విరామం పద్ధతిని ఉపయోగించి పరిష్కరిస్తాము:

x (x - 5) = 0 ⇒ x = 0; x = 5

మేము ఫలిత సంఖ్యలను లైన్‌లో గుర్తు చేస్తాము. అసమానత కఠినంగా ఉన్నందున అన్ని పాయింట్లు లేవు. 5 కంటే ఎక్కువ ఏదైనా సంఖ్యను తీసుకోండి మరియు ప్రత్యామ్నాయం చేయండి:

[చిత్రానికి శీర్షిక]

మేము విరామాలపై ఆసక్తి కలిగి ఉన్నాము (-∞; 0) ∪ (5; ∞). మేము సెగ్మెంట్‌లో మన మూలాలను గుర్తించినట్లయితే, x = 4 మనకు సరిపోదని చూస్తాము, ఎందుకంటే ఈ మూలం అసలు లాగరిథమిక్ సమీకరణం యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ వెలుపల ఉంది.

మేము టోటాలిటీకి తిరిగి వస్తాము, x = 4 అనే రూట్‌ను దాటవేసి, సమాధానాన్ని వ్రాయండి: x = 6. ఇది అసలైన లాగరిథమిక్ సమీకరణానికి చివరి సమాధానం. అంతే, సమస్య పరిష్కరించబడింది.

రెండవ సంవర్గమాన సమీకరణానికి వెళ్దాం:

[చిత్రానికి శీర్షిక]

దాన్ని పరిష్కరించుకుందాం. మొదటి పదం భిన్నం, మరియు రెండవది అదే భిన్నం, కానీ విలోమం అని గమనించండి. lgx అనే వ్యక్తీకరణకు భయపడవద్దు - ఇది కేవలం దశాంశ సంవర్గమానం, మనం దీన్ని వ్రాయవచ్చు:

lgx = లాగ్ 10 x

మేము రెండు విలోమ భిన్నాలను కలిగి ఉన్నందున, నేను కొత్త వేరియబుల్‌ని పరిచయం చేయమని ప్రతిపాదిస్తున్నాను:

[చిత్రానికి శీర్షిక]

కాబట్టి, మా సమీకరణాన్ని ఈ క్రింది విధంగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు:

t + 1/t = 2;

t + 1/t - 2 = 0;

(t 2 - 2t + 1)/t = 0;

(t - 1) 2 / t = 0.

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ ఖచ్చితమైన చతురస్రం. ఒక భిన్నం దాని లవం అయినప్పుడు సున్నాకి సమానం సున్నాకి సమానం, మరియు హారం సున్నాకి భిన్నంగా ఉంటుంది:

(t - 1) 2 = 0; t ≠ 0

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం:

t - 1 = 0;

t = 1.

ఈ విలువ రెండవ అవసరాన్ని సంతృప్తిపరుస్తుంది. అందువల్ల, మేము మా సమీకరణాన్ని పూర్తిగా పరిష్కరించామని చెప్పగలం, అయితే t అనే వేరియబుల్‌కు సంబంధించి మాత్రమే. ఇప్పుడు t అంటే ఏమిటో గుర్తుంచుకోండి:

[చిత్రానికి శీర్షిక]

మేము నిష్పత్తిని పొందాము:

logx = 2 logx + 1

2 logx - logx = -1

logx = -1

మేము ఈ సమీకరణాన్ని దాని కానానికల్ రూపానికి తీసుకువస్తాము:

logx = లాగ్ 10 -1

x = 10 -1 = 0.1

ఫలితంగా, మేము ఒకే మూలాన్ని అందుకున్నాము, ఇది సిద్ధాంతంలో, అసలు సమీకరణానికి పరిష్కారం. అయినప్పటికీ, దానిని సురక్షితంగా ప్లే చేద్దాం మరియు అసలు సమీకరణం యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను వ్రాస్దాం:

[చిత్రానికి శీర్షిక]

అందువలన, మా రూట్ అన్ని అవసరాలను సంతృప్తిపరుస్తుంది. అసలు సంవర్గమాన సమీకరణానికి మేము ఒక పరిష్కారాన్ని కనుగొన్నాము. సమాధానం: x = 0.1. సమస్య పరిష్కారమైంది.

నేటి పాఠంలో ఒకే ఒక కీలకాంశం ఉంది: ఉత్పత్తి నుండి మొత్తానికి మరియు వెనుకకు తరలించడానికి సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తున్నప్పుడు, పరివర్తన ఏ దిశలో జరిగిందనే దానిపై ఆధారపడి నిర్వచనం యొక్క పరిధి ఇరుకైన లేదా విస్తరించగలదని గుర్తుంచుకోండి.

ఏమి జరుగుతుందో అర్థం చేసుకోవడం ఎలా: సంకోచం లేదా విస్తరణ? చాలా సింపుల్. ఇంతకుముందు విధులు కలిసి ఉంటే, ఇప్పుడు అవి వేరుగా ఉంటే, నిర్వచనం యొక్క పరిధి తగ్గిపోయింది (ఎందుకంటే ఎక్కువ అవసరాలు ఉన్నాయి). మొదట విధులు విడివిడిగా నిలబడి, ఇప్పుడు అవి కలిసి ఉంటే, అప్పుడు నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ విస్తరించబడుతుంది (వ్యక్తిగత కారకాల కంటే ఉత్పత్తిపై తక్కువ అవసరాలు విధించబడతాయి).

ఈ వ్యాఖ్యను పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, రెండవ సంవర్గమాన సమీకరణానికి ఈ రూపాంతరాలు అస్సలు అవసరం లేదని నేను గమనించాలనుకుంటున్నాను, అంటే, మేము వాదనలను ఎక్కడా జోడించము లేదా గుణించము. అయితే, ఇక్కడ నేను పరిష్కారాన్ని గణనీయంగా సరళీకృతం చేయగల మరొక అద్భుతమైన సాంకేతికతకు మీ దృష్టిని ఆకర్షించాలనుకుంటున్నాను. ఇది వేరియబుల్‌ను భర్తీ చేయడం గురించి.

అయితే, ఏ ప్రత్యామ్నాయాలు మనల్ని నిర్వచనం పరిధి నుండి విముక్తి చేయవని గుర్తుంచుకోండి. అందుకే అన్ని మూలాలు కనుగొనబడిన తర్వాత, మేము సోమరితనం చెందలేదు మరియు దాని ODZని కనుగొనడానికి అసలు సమీకరణానికి తిరిగి వచ్చాము.

తరచుగా, వేరియబుల్‌ను భర్తీ చేసేటప్పుడు, విద్యార్థులు t విలువను కనుగొన్నప్పుడు మరియు పరిష్కారం పూర్తయిందని భావించినప్పుడు బాధించే లోపం ఏర్పడుతుంది. అవకాశమే లేదు!

మీరు t విలువను కనుగొన్న తర్వాత, మీరు అసలు సమీకరణానికి తిరిగి వెళ్లి, మేము ఈ అక్షరంతో సరిగ్గా ఏమి చెప్పామో చూడాలి. ఫలితంగా, మనం మరొక సమీకరణాన్ని పరిష్కరించాలి, అయితే ఇది అసలు కంటే చాలా సరళంగా ఉంటుంది.

ఇది ఖచ్చితంగా కొత్త వేరియబుల్‌ని పరిచయం చేసే అంశం. మేము అసలు సమీకరణాన్ని రెండు ఇంటర్మీడియట్‌లుగా విభజించాము, వీటిలో ప్రతి ఒక్కటి చాలా సరళమైన పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

"నెస్టెడ్" లాగరిథమిక్ సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరించాలి

ఈ రోజు మనం సంవర్గమాన సమీకరణాలను అధ్యయనం చేస్తూనే ఉంటాము మరియు ఒక సంవర్గమానం మరొక సంవర్గమానం యొక్క చిహ్నంలో ఉన్నప్పుడు నిర్మాణాలను విశ్లేషిస్తాము. మేము కానానికల్ ఫారమ్ ఉపయోగించి రెండు సమీకరణాలను పరిష్కరిస్తాము.

ఈ రోజు మనం సంవర్గమాన సమీకరణాలను అధ్యయనం చేస్తూనే ఉంటాము మరియు ఒక సంవర్గమానం మరొక సంకేతం క్రింద ఉన్నప్పుడు నిర్మాణాలను విశ్లేషిస్తాము. మేము కానానికల్ ఫారమ్ ఉపయోగించి రెండు సమీకరణాలను పరిష్కరిస్తాము. లాగ్ a f (x) = b ఫారమ్ యొక్క సరళమైన లాగరిథమిక్ సమీకరణాన్ని కలిగి ఉంటే, అటువంటి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి మేము నిర్వహిస్తామని నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను. తదుపరి దశలు. అన్నింటిలో మొదటిది, మేము బి సంఖ్యను భర్తీ చేయాలి:

b = లాగ్ a a b

గమనిక: a b అనేది ఒక వాదన. అదేవిధంగా, అసలు సమీకరణంలో, వాదన f(x) ఫంక్షన్. అప్పుడు మేము సమీకరణాన్ని తిరిగి వ్రాసి ఈ నిర్మాణాన్ని పొందుతాము:

log a f (x) = log a a b

అప్పుడు మేము మూడవ దశను చేయవచ్చు - లాగరిథమ్ గుర్తును వదిలించుకోండి మరియు వ్రాయండి:

f (x) = a b

ఫలితంగా, మేము కొత్త సమీకరణాన్ని పొందుతాము. ఈ సందర్భంలో, f (x) ఫంక్షన్‌పై ఎటువంటి పరిమితులు విధించబడవు. ఉదాహరణకు, దాని స్థానంలో కూడా ఉండవచ్చు లాగరిథమిక్ ఫంక్షన్. ఆపై మనం మళ్ళీ లాగరిథమిక్ సమీకరణాన్ని పొందుతాము, దానిని మనం మళ్ళీ దాని సరళమైన రూపానికి తగ్గించి, కానానికల్ రూపంలో పరిష్కరిస్తాము.

అయితే, తగినంత సాహిత్యం. అసలు సమస్యను పరిష్కరిద్దాం. కాబట్టి, టాస్క్ నంబర్ 1:

లాగ్ 2 (1 + 3 లాగ్ 2 x ) = 2

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, మాకు సాధారణ సంవర్గమాన సమీకరణం ఉంది. f (x) యొక్క పాత్ర నిర్మాణం 1 + 3 లాగ్ 2 x, మరియు సంఖ్య b యొక్క పాత్ర సంఖ్య 2 (a పాత్రను ఇద్దరు కూడా ఆడతారు). ఈ రెండింటిని ఈ క్రింది విధంగా తిరిగి వ్రాద్దాం:

మొదటి రెండు రెండు సంవర్గమానం యొక్క ఆధారం నుండి మనకు వచ్చాయని అర్థం చేసుకోవడం ముఖ్యం, అంటే అసలు సమీకరణంలో 5 ఉంటే, అప్పుడు మనకు 2 = లాగ్ 5 5 2 వస్తుంది. సాధారణంగా, ఆధారం సమస్యలో మొదట ఇవ్వబడిన లాగరిథమ్‌పై మాత్రమే ఆధారపడి ఉంటుంది. మరియు మా విషయంలో ఇది సంఖ్య 2.

కాబట్టి, కుడి వైపున ఉన్న రెండు కూడా వాస్తవానికి సంవర్గమానం అనే వాస్తవాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకొని మేము మా సంవర్గమాన సమీకరణాన్ని తిరిగి వ్రాస్తాము. మాకు దొరికింది:

లాగ్ 2 (1 + 3 లాగ్ 2 x ) = లాగ్ 2 4

మన పథకం యొక్క చివరి దశకు వెళ్దాం - కానానికల్ రూపాన్ని వదిలించుకోవడం. మీరు చెప్పగలరు, మేము కేవలం లాగ్ సంకేతాలను దాటుతాము. అయినప్పటికీ, గణిత శాస్త్ర దృక్కోణం నుండి, "క్రాస్ అవుట్ లాగ్" చేయడం అసాధ్యం - మేము కేవలం వాదనలను సమానం అని చెప్పడం మరింత సరైనది:

1 + 3 లాగ్ 2 x = 4

ఇక్కడ నుండి మనం 3 లాగ్ 2 xని సులభంగా కనుగొనవచ్చు:

3 లాగ్ 2 x = 3

లాగ్ 2 x = 1

మేము మళ్ళీ సరళమైన సంవర్గమాన సమీకరణాన్ని పొందాము, దానిని తిరిగి కానానికల్ రూపానికి తీసుకువద్దాం. దీన్ని చేయడానికి, మేము ఈ క్రింది మార్పులను చేయాలి:

1 = లాగ్ 2 2 1 = లాగ్ 2 2

బేస్ వద్ద రెండు ఎందుకు ఉన్నాయి? ఎందుకంటే ఎడమవైపున ఉన్న మా కానానికల్ సమీకరణంలో బేస్ 2కి ఖచ్చితంగా సంవర్గమానం ఉంది. ఈ వాస్తవాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకుని మేము సమస్యను తిరిగి వ్రాస్తాము:

లాగ్ 2 x = లాగ్ 2 2

మళ్ళీ మేము లాగరిథమ్ గుర్తును వదిలించుకుంటాము, అనగా మేము వాదనలను సమం చేస్తాము. స్థావరాలు ఒకే విధంగా ఉన్నందున దీన్ని చేయడానికి మాకు హక్కు ఉంది మరియు కుడి వైపున లేదా ఎడమ వైపున మరిన్ని అదనపు చర్యలు నిర్వహించబడలేదు:

అంతే! సమస్య పరిష్కారమైంది. మేము లాగరిథమిక్ సమీకరణానికి ఒక పరిష్కారాన్ని కనుగొన్నాము.

గమనిక! ఆర్గ్యుమెంట్‌లో వేరియబుల్ x కనిపించినప్పటికీ (అంటే, డెఫినిషన్ డొమైన్‌కు ఆవశ్యకాలు ఉన్నాయి), మేము ఎలాంటి అదనపు అవసరాలు చేయము.

నేను పైన చెప్పినట్లు, ఈ చెక్వేరియబుల్ ఒక సంవర్గమానం యొక్క ఒక ఆర్గ్యుమెంట్‌లో మాత్రమే సంభవిస్తే, ఇది అనవసరంగా ఉంటుంది. మా విషయంలో, x నిజంగా ఆర్గ్యుమెంట్‌లో మాత్రమే కనిపిస్తుంది మరియు ఒక లాగ్ సైన్ కింద మాత్రమే కనిపిస్తుంది. అందువల్ల, అదనపు తనిఖీలు అవసరం లేదు.

అయితే, మీరు విశ్వసించకపోతే ఈ పద్ధతి, అప్పుడు మీరు x = 2 నిజానికి రూట్ అని సులభంగా ధృవీకరించవచ్చు. ఈ సంఖ్యను అసలు సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే సరిపోతుంది.

రెండవ సమీకరణానికి వెళ్దాం, ఇది కొంచెం ఆసక్తికరంగా ఉంటుంది:

లాగ్ 2 (లాగ్ 1/2 (2x - 1) + లాగ్ 2 4) = 1

మేము లోపల వ్యక్తీకరణను సూచిస్తే పెద్ద సంవర్గమానంఫంక్షన్ f (x), మేము నేటి వీడియో పాఠాన్ని ప్రారంభించిన సరళమైన లాగరిథమిక్ సమీకరణాన్ని పొందుతాము. కాబట్టి, మేము కానానికల్ ఫారమ్‌ను వర్తింపజేయవచ్చు, దీని కోసం మనం లాగ్ 2 2 1 = లాగ్ 2 2 ఫారమ్‌లో యూనిట్‌ను సూచించాలి.

మన పెద్ద సమీకరణాన్ని మళ్లీ వ్రాద్దాం:

లాగ్ 2 (లాగ్ 1/2 (2x - 1) + లాగ్ 2 4) = లాగ్ 2 2

వాదనలను సమం చేస్తూ సంవర్గమానం యొక్క సంకేతం నుండి దూరంగా ఉందాం. దీన్ని చేయడానికి మాకు హక్కు ఉంది, ఎందుకంటే ఎడమ మరియు కుడి వైపున రెండూ ఒకే విధంగా ఉంటాయి. అదనంగా, లాగ్ 2 4 = 2:

లాగ్ 1/2 (2x - 1) + 2 = 2

లాగ్ 1/2 (2x - 1) = 0

లాగ్ a f (x) = b ఫారమ్ యొక్క సరళమైన సంవర్గమాన సమీకరణం మళ్లీ మన ముందు ఉంది. కానానికల్ ఫారమ్‌కి వెళ్దాం, అంటే, ఫారమ్ లాగ్ 1/2 (1/2)0 = లాగ్ 1/2 1లో సున్నాని సూచిస్తాము.

మేము మా సమీకరణాన్ని తిరిగి వ్రాస్తాము మరియు లాగ్ గుర్తును వదిలించుకుంటాము, వాదనలను సమం చేస్తాము:

లాగ్ 1/2 (2x - 1) = లాగ్ 1/2 1

2x - 1 = 1

మళ్ళీ, మాకు వెంటనే సమాధానం వచ్చింది. అసలు సమీకరణంలో ఒక సంవర్గమానం మాత్రమే ఫంక్షన్‌ను ఆర్గ్యుమెంట్‌గా కలిగి ఉన్నందున అదనపు తనిఖీలు అవసరం లేదు.

అందువల్ల, అదనపు తనిఖీలు అవసరం లేదు. ఈ సమీకరణం యొక్క ఏకైక మూలం x = 1 అని మనం సురక్షితంగా చెప్పగలం.

కానీ రెండవ లాగరిథమ్‌లో నాలుగుకి బదులుగా x యొక్క కొంత ఫంక్షన్ ఉంటే (లేదా 2x వాదనలో లేదు, కానీ బేస్‌లో) - అప్పుడు డెఫినిషన్ డొమైన్‌ను తనిఖీ చేయడం అవసరం. లేకపోతే, అదనపు మూలాల్లోకి వెళ్లే అవకాశం ఉంది.

ఈ అదనపు మూలాలు ఎక్కడ నుండి వచ్చాయి? ఈ విషయాన్ని చాలా స్పష్టంగా అర్థం చేసుకోవాలి. అసలు సమీకరణాలను పరిశీలించండి: ప్రతిచోటా ఫంక్షన్ x లాగరిథమ్ గుర్తు క్రింద ఉంటుంది. కాబట్టి, మేము లాగ్ 2 xని వ్రాసినందున, మేము స్వయంచాలకంగా అవసరాన్ని x > 0 సెట్ చేస్తాము. లేకపోతే ఈ ఎంట్రీఇది కేవలం అర్ధం కాదు.

అయినప్పటికీ, మేము లాగరిథమిక్ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించినప్పుడు, మేము అన్ని లాగ్ సంకేతాలను వదిలించుకుంటాము మరియు సాధారణ నిర్మాణాలను పొందుతాము. ఇక్కడ ఎటువంటి పరిమితులు లేవు, ఎందుకంటే సరళ ఫంక్షన్ x యొక్క ఏదైనా విలువ కోసం నిర్వచించబడింది.

ఇది సరిగ్గా ఉన్నప్పుడు సమస్య చివరి ఫంక్షన్ప్రతిచోటా మరియు ఎల్లప్పుడూ నిర్వచించబడింది, కానీ అసలైనది ప్రతిచోటా ఉండదు మరియు ఎల్లప్పుడూ కాదు, మరియు సంవర్గమాన సమీకరణాలను పరిష్కరించడంలో అదనపు మూలాలు చాలా తరచుగా తలెత్తడానికి కారణం.

కానీ నేను మరోసారి పునరావృతం చేస్తున్నాను: ఇది ఫంక్షన్ అనేక లాగరిథమ్‌లలో లేదా వాటిలో ఒకదాని బేస్‌లో ఉన్న పరిస్థితిలో మాత్రమే జరుగుతుంది. ఈ రోజు మనం పరిశీలిస్తున్న సమస్యలలో, నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను విస్తరించడంలో సూత్రప్రాయంగా ఎటువంటి సమస్యలు లేవు.

వివిధ కారణాల కేసులు

ఈ పాఠం మరిన్నింటికి అంకితం చేయబడింది సంక్లిష్ట నిర్మాణాలు. నేటి సమీకరణాల్లోని లాగరిథమ్‌లు ఇకపై వెంటనే పరిష్కరించబడవు; ముందుగా కొన్ని పరివర్తనలు చేయవలసి ఉంటుంది.

మేము సంవర్గమాన సమీకరణాలను పూర్తిగా భిన్నమైన ఆధారాలతో పరిష్కరించడం ప్రారంభిస్తాము, అవి ఒకదానికొకటి ఖచ్చితమైన శక్తులు కాదు. అలాంటి సమస్యలు మిమ్మల్ని భయపెట్టనివ్వవద్దు - మేము పైన చర్చించిన సరళమైన డిజైన్ల కంటే వాటిని పరిష్కరించడం కష్టం కాదు.

కానీ నేరుగా సమస్యలకు వెళ్లే ముందు, కానానికల్ ఫారమ్‌ని ఉపయోగించి సరళమైన సంవర్గమాన సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి సూత్రాన్ని నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను. ఇలాంటి సమస్యను పరిగణించండి:

లాగ్ a f (x) = b

ఫంక్షన్ f (x) కేవలం ఒక ఫంక్షన్ మాత్రమే కావడం ముఖ్యం మరియు a మరియు b సంఖ్యల పాత్ర సంఖ్యలు (ఏ వేరియబుల్స్ లేకుండా x) ఉండాలి. వాస్తవానికి, వేరియబుల్స్‌కు బదులుగా a మరియు b ఫంక్షన్‌లు ఉన్నప్పుడు అక్షరాలా ఒక నిమిషంలో మేము అలాంటి సందర్భాలను పరిశీలిస్తాము, కానీ అది ఇప్పుడు దాని గురించి కాదు.

మనకు గుర్తున్నట్లుగా, ఎడమవైపు ఉన్న అదే బేస్ aకి సంవర్గమానం ద్వారా సంఖ్య b తప్పనిసరిగా భర్తీ చేయబడాలి. ఇది చాలా సరళంగా చేయబడుతుంది:

b = లాగ్ a a b

వాస్తవానికి, "ఏ సంఖ్య b" మరియు "ఏ సంఖ్య a" అనే పదాలు నిర్వచనం యొక్క పరిధిని సంతృప్తిపరిచే విలువలను సూచిస్తాయి. ముఖ్యంగా, ఈ సమీకరణంలో మేము మాట్లాడుతున్నాముఆధారం a > 0 మరియు a ≠ 1 మాత్రమే.

అయినప్పటికీ, ఈ ఆవశ్యకత స్వయంచాలకంగా సంతృప్తి చెందుతుంది, ఎందుకంటే అసలైన సమస్య ఇప్పటికే aని బేస్ చేయడానికి సంవర్గమానాన్ని కలిగి ఉంది - ఇది ఖచ్చితంగా 0 కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది మరియు 1కి సమానంగా ఉండదు. కాబట్టి, మేము లాగరిథమిక్ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కొనసాగిస్తాము:

log a f (x) = log a a b

అటువంటి సంజ్ఞామానాన్ని కానానికల్ రూపం అంటారు. దీని సౌలభ్యం ఏమిటంటే, వాదనలను సమం చేయడం ద్వారా మనం వెంటనే లాగ్ గుర్తును వదిలించుకోవచ్చు:

f (x) = a b

ఈ సాంకేతికతనే మనం ఇప్పుడు లాగరిథమిక్ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ఉపయోగిస్తాము వేరియబుల్ బేస్. కనుక మనము వెళ్దాము!

లాగ్ 2 (x 2 + 4x + 11) = లాగ్ 0.5 0.125

తరవాత ఏంటి? మీరు సరైన లాగరిథమ్‌ను లెక్కించాలని లేదా వాటిని అదే స్థావరానికి తగ్గించాలని లేదా మరేదైనా చేయాలని ఇప్పుడు ఎవరైనా చెబుతారు. నిజానికి, ఇప్పుడు మనం రెండు బేస్‌లను ఒకే రూపంలోకి తీసుకురావాలి - 2 లేదా 0.5. అయితే ఈ క్రింది నియమాన్ని ఒకసారి నేర్చుకుందాం:

సంవర్గమాన సమీకరణంలో దశాంశాలు ఉంటే, ఆ భిన్నాలను దీని నుండి మార్చాలని నిర్ధారించుకోండి దశాంశ సంజ్ఞామానంసాధారణ స్థితికి. ఈ పరివర్తన పరిష్కారాన్ని చాలా సులభతరం చేస్తుంది.

ఏదైనా చర్యలు లేదా పరివర్తనలు చేసే ముందు కూడా అలాంటి పరివర్తన తక్షణమే నిర్వహించబడాలి. చూద్దాం:

లాగ్ 2 (x 2 + 4x + 11) = లాగ్ 1/2 1/8

అటువంటి రికార్డు మనకు ఏమి ఇస్తుంది? మేము 1/2 మరియు 1/8ని c యొక్క శక్తులుగా సూచించవచ్చు ప్రతికూల సూచిక:

[చిత్రానికి శీర్షిక]

మన ముందు కానానికల్ రూపం. మేము వాదనలను సమం చేస్తాము మరియు క్లాసిక్ క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణాన్ని పొందుతాము:

x 2 + 4x + 11 = 8

x 2 + 4x + 3 = 0

మన ముందు క్రింది వర్గ సమీకరణం ఉంది, దీనిని వియెటా సూత్రాలను ఉపయోగించి సులభంగా పరిష్కరించవచ్చు. ఉన్నత పాఠశాలలో, మీరు ఇలాంటి ప్రదర్శనలను అక్షరాలా మౌఖికంగా చూడాలి:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = −1

అంతే! అసలైన లాగరిథమిక్ సమీకరణం పరిష్కరించబడింది. మాకు రెండు మూలాలు వచ్చాయి.

వేరియబుల్ xతో ఉన్న ఫంక్షన్ ఒకే ఆర్గ్యుమెంట్‌లో ఉన్నందున, ఈ సందర్భంలో నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను నిర్ణయించాల్సిన అవసరం లేదని నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను. అందువల్ల, నిర్వచనం పరిధి స్వయంచాలకంగా నిర్వహించబడుతుంది.

కాబట్టి, మొదటి సమీకరణం పరిష్కరించబడింది. రెండవదానికి వెళ్దాం:

లాగ్ 0.5 (5x 2 + 9x + 2) = లాగ్ 3 1/9

లాగ్ 1/2 (5x 2 + 9x + 2) = లాగ్ 3 9 −1

ఇప్పుడు మొదటి సంవర్గమానం యొక్క వాదనను ప్రతికూల ఘాతాంకంతో శక్తిగా కూడా వ్రాయవచ్చు: 1/2 = 2 −1. అప్పుడు మీరు సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా శక్తులను తీయవచ్చు మరియు ప్రతిదీ −1 ద్వారా విభజించవచ్చు:

[చిత్రానికి శీర్షిక]

మరియు ఇప్పుడు మేము చాలా సాధించాము ముఖ్యమైన దశసంవర్గమాన సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడంలో. బహుశా ఎవరైనా ఏదైనా గమనించి ఉండకపోవచ్చు, కాబట్టి నేను వివరిస్తాను.

మా సమీకరణాన్ని చూడండి: ఎడమ మరియు కుడి వైపున ఒక లాగ్ గుర్తు ఉంది, కానీ ఎడమ వైపున బేస్ 2కి సంవర్గమానం ఉంది, మరియు కుడి వైపున ఆధారం 3కి సంవర్గమానం ఉంది. మూడు అనేది పూర్ణాంక శక్తి కాదు రెండు మరియు, దీనికి విరుద్ధంగా, మీరు పూర్ణాంకాల డిగ్రీలలో 2ని 3 అని వ్రాయలేరు.

పర్యవసానంగా, ఇవి వేర్వేరు స్థావరాలు కలిగిన లాగరిథమ్‌లు, వీటిని కేవలం శక్తులను జోడించడం ద్వారా ఒకదానికొకటి తగ్గించలేము. ఏకైక మార్గంఅటువంటి సమస్యలకు పరిష్కారం ఈ లాగరిథమ్‌లలో ఒకదానిని వదిలించుకోవడమే. ఈ సందర్భంలో, మేము ఇప్పటికీ చాలా సరళమైన సమస్యలను పరిశీలిస్తున్నందున, కుడి వైపున ఉన్న లాగరిథమ్ సరళంగా లెక్కించబడుతుంది మరియు మేము సరళమైన సమీకరణాన్ని పొందాము - నేటి పాఠం ప్రారంభంలో మనం మాట్లాడినది.

లాగ్ 2 2 2 = లాగ్ 2 4 వలె కుడి వైపున ఉన్న సంఖ్య 2ని సూచిస్తాము. ఆపై మనం లాగరిథమ్ గుర్తును వదిలించుకుంటాము, దాని తర్వాత మనం కేవలం ఒక వర్గ సమీకరణంతో మిగిలిపోతాము:

లాగ్ 2 (5x 2 + 9x + 2) = లాగ్ 2 4

5x 2 + 9x + 2 = 4

5x 2 + 9x - 2 = 0

మన ముందు ఒక సాధారణ చతుర్భుజ సమీకరణం ఉంది, కానీ x 2 యొక్క గుణకం ఐక్యతకు భిన్నంగా ఉన్నందున అది తగ్గించబడలేదు. కాబట్టి, మేము దానిని వివక్షను ఉపయోగించి పరిష్కరిస్తాము:

D = 81 - 4 5 (-2) = 81 + 40 = 121

x 1 = (-9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5

x 2 = (-9 - 11)/10 = -2

అంతే! మేము రెండు మూలాలను కనుగొన్నాము, అంటే అసలు సంవర్గమాన సమీకరణానికి మేము ఒక పరిష్కారాన్ని పొందాము. నిజానికి, అసలు సమస్యలో, వేరియబుల్ xతో ఉన్న ఫంక్షన్ కేవలం ఒక ఆర్గ్యుమెంట్‌లో మాత్రమే ఉంటుంది. పర్యవసానంగా, నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌పై అదనపు తనిఖీలు అవసరం లేదు - మేము కనుగొన్న రెండు మూలాలు ఖచ్చితంగా సాధ్యమయ్యే అన్ని పరిమితులకు అనుగుణంగా ఉంటాయి.

ఇది నేటి వీడియో పాఠం ముగింపు కావచ్చు, కానీ ముగింపులో నేను మళ్లీ చెప్పాలనుకుంటున్నాను: లాగరిథమిక్ సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు అన్ని దశాంశ భిన్నాలను సాధారణ భిన్నాలకు మార్చాలని నిర్ధారించుకోండి. చాలా సందర్భాలలో, ఇది వారి పరిష్కారాన్ని చాలా సులభతరం చేస్తుంది.

అరుదుగా, చాలా అరుదుగా, మీరు దశాంశ భిన్నాలను వదిలించుకోవడం గణనలను క్లిష్టతరం చేసే సమస్యలను ఎదుర్కొంటారు. అయితే, అటువంటి సమీకరణాలలో, ఒక నియమం వలె, దశాంశ భిన్నాలను వదిలించుకోవలసిన అవసరం లేదని మొదట్లో స్పష్టమవుతుంది.

చాలా ఇతర సందర్భాల్లో (ముఖ్యంగా మీరు సంవర్గమాన సమీకరణాలను పరిష్కరించడం ప్రారంభించినట్లయితే), దశాంశాలను వదిలించుకోవడానికి సంకోచించకండి మరియు వాటిని సాధారణ వాటికి మార్చండి. ఎందుకంటే ఈ విధంగా మీరు తదుపరి పరిష్కారం మరియు గణనలను గణనీయంగా సులభతరం చేస్తారని అభ్యాసం చూపిస్తుంది.

పరిష్కారం యొక్క సూక్ష్మబేధాలు మరియు ఉపాయాలు

ఈ రోజు మనం మరిన్నింటికి వెళ్తాము క్లిష్టమైన పనులుమరియు మేము సంవర్గమాన సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తాము, దాని ఆధారం సంఖ్య కాదు, కానీ ఒక ఫంక్షన్.

మరియు ఈ ఫంక్షన్ సరళంగా ఉన్నప్పటికీ, మీరు జోడించవలసి ఉంటుంది చిన్న మార్పులు, దీని అర్థం మరుగుతుంది అదనపు అవసరాలు, సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌పై సూపర్మోస్ చేయబడింది.

సంక్లిష్ట పనులు

ఈ ట్యుటోరియల్ చాలా పొడవుగా ఉంటుంది. దీనిలో చాలా మంది విద్యార్థులు తప్పులు చేసే రెండు తీవ్రమైన లాగరిథమిక్ సమీకరణాలను విశ్లేషిస్తాము. గణిత బోధకుడిగా నా ప్రాక్టీస్ సమయంలో, నేను నిరంతరం రెండు రకాల లోపాలను ఎదుర్కొన్నాను:

1. లాగరిథమ్‌ల నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ విస్తరణ కారణంగా అదనపు మూలాలు కనిపించడం. అటువంటి ప్రమాదకర తప్పులను నివారించడానికి, ప్రతి పరివర్తనను జాగ్రత్తగా పర్యవేక్షించండి;
2. విద్యార్థి కొన్ని “సూక్ష్మ” కేసులను పరిగణనలోకి తీసుకోవడం మరచిపోయినందున మూలాలను కోల్పోవడం - ఈ పరిస్థితులపై మనం దృష్టి పెడతాము.

ఈ చివరి పాఠం, సంవర్గమాన సమీకరణాలకు అంకితం చేయబడింది. ఇది చాలా పొడవుగా ఉంటుంది, మేము సంక్లిష్ట సంవర్గమాన సమీకరణాలను విశ్లేషిస్తాము. మిమ్మల్ని మీరు సౌకర్యవంతంగా చేసుకోండి, మీరే కొంచెం టీ తయారు చేసుకోండి మరియు ప్రారంభించండి.

మొదటి సమీకరణం చాలా ప్రామాణికంగా కనిపిస్తుంది:

లాగ్ x + 1 (x - 0.5) = లాగ్ x - 0.5 (x + 1)

రెండు లాగరిథమ్‌లు ఒకదానికొకటి విలోమ కాపీలు అని వెంటనే గమనించండి. అద్భుతమైన సూత్రాన్ని గుర్తుంచుకోండి:

లాగ్ a b = 1/log b a

అయితే, ఈ ఫార్ములా a మరియు b సంఖ్యలకు బదులుగా వేరియబుల్ x యొక్క విధులు ఉంటే ఉత్పన్నమయ్యే అనేక పరిమితులను కలిగి ఉంటుంది:

b > 0

1 ≠ a > 0

ఈ అవసరాలు సంవర్గమానం యొక్క ఆధారానికి వర్తిస్తాయి. మరోవైపు, ఒక భిన్నంలో మనం 1 ≠ a > 0ని కలిగి ఉండాలి, ఎందుకంటే సంవర్గమానం యొక్క ఆర్గ్యుమెంట్‌లో వేరియబుల్ a మాత్రమే కాదు (అందుకే a > 0), కానీ లాగరిథం కూడా భిన్నం యొక్క హారంలో ఉంటుంది. . కానీ లాగ్ b 1 = 0, మరియు హారం తప్పనిసరిగా సున్నా కాదు, కాబట్టి a ≠ 1.

కాబట్టి, వేరియబుల్‌పై పరిమితులు మిగిలి ఉన్నాయి. కానీ వేరియబుల్ బికి ఏమి జరుగుతుంది? ఒకవైపు, ఆధారం b > 0ని సూచిస్తుంది, మరోవైపు, వేరియబుల్ b ≠ 1, ఎందుకంటే సంవర్గమానం యొక్క ఆధారం 1 నుండి భిన్నంగా ఉండాలి. మొత్తంగా, సూత్రం యొక్క కుడి వైపు నుండి అది 1 ≠ని అనుసరిస్తుంది b > 0.

కానీ ఇక్కడ సమస్య ఉంది: ఎడమ లాగరిథమ్‌తో వ్యవహరించే మొదటి అసమానత నుండి రెండవ అవసరం (b ≠ 1) లేదు. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఈ పరివర్తన చేస్తున్నప్పుడు మనం తప్పక విడిగా తనిఖీ చేయండి, b వాదన ఒకదానికి భిన్నంగా ఉందని!

కాబట్టి దాన్ని తనిఖీ చేద్దాం. మన సూత్రాన్ని వర్తింపజేద్దాం:

[చిత్రానికి శీర్షిక]

1 ≠ x - 0.5 > 0; 1 ≠ x + 1 > 0

కాబట్టి మేము ఇప్పటికే అసలైన సంవర్గమాన సమీకరణం నుండి a మరియు b రెండూ తప్పనిసరిగా 0 కంటే ఎక్కువగా ఉండాలి మరియు 1కి సమానంగా ఉండకూడదు అని అర్థం చేసుకున్నాము. దీని అర్థం మనం లాగరిథమిక్ సమీకరణాన్ని సులభంగా విలోమం చేయవచ్చు:

కొత్త వేరియబుల్‌ని పరిచయం చేయమని నేను సూచిస్తున్నాను:

లాగ్ x + 1 (x - 0.5) = t

ఈ సందర్భంలో, మా నిర్మాణం క్రింది విధంగా తిరిగి వ్రాయబడుతుంది:

(t 2 - 1)/t = 0

న్యూమరేటర్‌లో మనకు చతురస్రాల వ్యత్యాసం ఉందని గమనించండి. మేము సంక్షిప్త గుణకార సూత్రాన్ని ఉపయోగించి చతురస్రాల వ్యత్యాసాన్ని వెల్లడిస్తాము:

(t - 1)(t + 1)/t = 0

ఒక భిన్నం దాని లవం సున్నా మరియు దాని హారం నాన్-సున్నా అయినప్పుడు సున్నాకి సమానం. కానీ న్యూమరేటర్ ఒక ఉత్పత్తిని కలిగి ఉంది, కాబట్టి మేము ప్రతి కారకాన్ని సున్నాకి సమం చేస్తాము:

t 1 = 1;

t 2 = -1;

t ≠ 0.

మనం చూడగలిగినట్లుగా, వేరియబుల్ t యొక్క రెండు విలువలు మనకు సరిపోతాయి. అయినప్పటికీ, పరిష్కారం అక్కడ ముగియదు, ఎందుకంటే మనం t కాదు, x విలువను కనుగొనవలసి ఉంటుంది. మేము లాగరిథమ్‌కి తిరిగి వెళ్లి పొందుతాము:

లాగ్ x + 1 (x - 0.5) = 1;

లాగ్ x + 1 (x - 0.5) = -1.

ఈ సమీకరణాలను ప్రతి ఒక్కటి కానానికల్ రూపంలో ఉంచుదాం:

లాగ్ x + 1 (x - 0.5) = లాగ్ x + 1 (x + 1) 1

లాగ్ x + 1 (x - 0.5) = లాగ్ x + 1 (x + 1) -1

మేము మొదటి సందర్భంలో లాగరిథమ్ గుర్తును వదిలించుకుంటాము మరియు వాదనలను సమం చేస్తాము:

x - 0.5 = x + 1;

x - x = 1 + 0.5;

అటువంటి సమీకరణానికి మూలాలు లేవు, కాబట్టి మొదటి సంవర్గమాన సమీకరణానికి కూడా మూలాలు లేవు. కానీ రెండవ సమీకరణంతో ప్రతిదీ చాలా ఆసక్తికరంగా ఉంటుంది:

(x - 0.5)/1 = 1/(x + 1)

నిష్పత్తిని పరిష్కరించడం, మేము పొందుతాము:

(x - 0.5)(x + 1) = 1

సంవర్గమాన సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు అన్ని దశాంశ భిన్నాలను సాధారణమైనవిగా ఉపయోగించడం చాలా సౌకర్యవంతంగా ఉంటుందని నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను, కాబట్టి మన సమీకరణాన్ని ఈ క్రింది విధంగా తిరిగి వ్రాద్దాం:

(x - 1/2)(x + 1) = 1;

x 2 + x - 1/2x - 1/2 - 1 = 0;

x 2 + 1/2x - 3/2 = 0.

క్రింద ఉన్న చతురస్రాకార సమీకరణం మన ముందు ఉంది, దీనిని వియెటా సూత్రాలను ఉపయోగించి సులభంగా పరిష్కరించవచ్చు:

(x + 3/2) (x - 1) = 0;

x 1 = -1.5;

x 2 = 1.

మాకు రెండు మూలాలు ఉన్నాయి - అవి అసలైన లాగరిథమిక్ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి అభ్యర్థులు. వాస్తవానికి ఏ మూలాలు సమాధానానికి వెళ్తాయో అర్థం చేసుకోవడానికి, అసలు సమస్యకు తిరిగి వెళ్దాం. ఇప్పుడు మేము మా ప్రతి మూలాలను డెఫినిషన్ డొమైన్‌లో సరిపోతాయో లేదో తనిఖీ చేస్తాము:

1.5 ≠ x > 0.5; 0 ≠ x > −1.

ఈ అవసరాలు ద్వంద్వ అసమానతకు సమానం:

1 ≠ x > 0.5

x = −1.5 మూలం మనకు సరిపోదని ఇక్కడ నుండి మనం వెంటనే చూస్తాము, కానీ x = 1 మనకు బాగా సరిపోతుంది. కాబట్టి x = 1 - తుది నిర్ణయంసంవర్గమాన సమీకరణం.

రెండవ పనికి వెళ్దాం:

లాగ్ x 25 + లాగ్ 125 x 5 = లాగ్ 25 x 625

మొదటి చూపులో అన్ని లాగరిథమ్‌లు అని అనిపించవచ్చు వివిధ కారణాలుమరియు విభిన్న వాదనలు. అటువంటి నిర్మాణాలతో ఏమి చేయాలి? అన్నింటిలో మొదటిది, 25, 5 మరియు 625 సంఖ్యలు 5 యొక్క శక్తులు అని గమనించండి:

25 = 5 2 ; 625 = 5 4

ఇప్పుడు వాడుకుందాం విశేషమైన ఆస్తిసంవర్గమానం పాయింట్ ఏమిటంటే, మీరు కారకాల రూపంలో వాదన నుండి అధికారాలను సంగ్రహించవచ్చు:

log a b n = n ∙ log a b

ఈ పరివర్తన b ఒక ఫంక్షన్ ద్వారా భర్తీ చేయబడిన సందర్భంలో కూడా పరిమితులకు లోబడి ఉంటుంది. కానీ మాకు, b అనేది ఒక సంఖ్య, మరియు ఏవీ లేవు అదనపు పరిమితులుతలెత్తదు. మన సమీకరణాన్ని తిరిగి వ్రాద్దాం:

2 ∙ లాగ్ x 5 + లాగ్ 125 x 5 = 4 ∙ లాగ్ 25 x 5

మేము లాగ్ గుర్తును కలిగి ఉన్న మూడు పదాలతో సమీకరణాన్ని పొందాము. అంతేకాకుండా, మూడు లాగరిథమ్‌ల వాదనలు సమానంగా ఉంటాయి.

లాగరిథమ్‌లను ఒకే స్థావరానికి తీసుకురావడానికి ఇది రివర్స్ సమయం - 5. వేరియబుల్ b స్థిరంగా ఉన్నందున, నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌లో ఎటువంటి మార్పులు జరగవు. మేము కేవలం తిరిగి వ్రాస్తాము:

[చిత్రానికి శీర్షిక]

ఊహించినట్లుగానే, హారంలో అదే లాగరిథమ్‌లు కనిపించాయి. వేరియబుల్‌ను భర్తీ చేయమని నేను సూచిస్తున్నాను:

లాగ్ 5 x = t

ఈ సందర్భంలో, మా సమీకరణం క్రింది విధంగా తిరిగి వ్రాయబడుతుంది:

న్యూమరేటర్‌ని వ్రాసి బ్రాకెట్‌లను తెరవండి:

2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) - 4t (t + 3) = 2 (t 2 + 5t + 6) + t 2 + 2t - 4t 2 - 12t = 2t 2 + 10 టి + 12 + t 2 + 2t - 4t 2 - 12t = -t 2 + 12

మన భాగానికి తిరిగి వెళ్దాం. న్యూమరేటర్ తప్పనిసరిగా సున్నా అయి ఉండాలి:

[చిత్రానికి శీర్షిక]

మరియు హారం సున్నాకి భిన్నంగా ఉంటుంది:

t ≠ 0; t ≠ −3; t ≠ −2

చివరి అవసరాలు స్వయంచాలకంగా పూర్తి చేయబడతాయి, ఎందుకంటే అవన్నీ పూర్ణాంకాలతో "టైడ్" చేయబడ్డాయి మరియు అన్ని సమాధానాలు అహేతుకంగా ఉంటాయి.

కాబట్టి, పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణంపరిష్కరించబడింది, వేరియబుల్ t యొక్క విలువలు కనుగొనబడ్డాయి. లాగరిథమిక్ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి తిరిగి వెళ్దాం మరియు t అంటే ఏమిటో గుర్తుంచుకోండి:

[చిత్రానికి శీర్షిక]

మేము ఈ సమీకరణాన్ని కానానికల్ రూపానికి తీసుకువస్తాము, మనకు ఒక సంఖ్య వస్తుంది అహేతుక డిగ్రీ. ఇది మిమ్మల్ని గందరగోళానికి గురి చేయనివ్వవద్దు - అటువంటి వాదనలు కూడా సమానంగా ఉంటాయి:

[చిత్రానికి శీర్షిక]

మాకు రెండు మూలాలు వచ్చాయి. మరింత ఖచ్చితంగా చెప్పాలంటే, ఇద్దరు అభ్యర్థుల సమాధానాలు - డెఫినిషన్ డొమైన్‌కు అనుగుణంగా వాటిని తనిఖీ చేద్దాం. సంవర్గమానం యొక్క ఆధారం వేరియబుల్ x కాబట్టి, మనకు ఈ క్రిందివి అవసరం:

1 ≠ x > 0;

అదే విజయంతో మేము x ≠ 1/125 అని నొక్కిచెప్పాము, లేకుంటే రెండవ సంవర్గమానం యొక్క ఆధారం ఏకత్వంగా మారుతుంది. చివరగా, మూడవ సంవర్గమానానికి x ≠ 1/25.

మొత్తంగా, మేము నాలుగు పరిమితులను పొందాము:

1 ≠ x > 0; x ≠ 1/125; x ≠ 1/25

ఇప్పుడు ప్రశ్న: మన మూలాలు ఈ అవసరాలను తీరుస్తాయా? వాస్తవానికి వారు సంతృప్తి చెందుతారు! ఎందుకంటే 5 నుండి ఏదైనా శక్తి సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది మరియు అవసరం x > 0 స్వయంచాలకంగా సంతృప్తి చెందుతుంది.

మరోవైపు, 1 = 5 0, 1/25 = 5 -2, 1/125 = 5 -3, అంటే మన మూలాలకు ఈ పరిమితులు (ఇది మీకు గుర్తు చేద్దాం, అకరణీయ సంఖ్య) కూడా సంతృప్తి చెందారు మరియు రెండు సమాధానాలు సమస్యకు పరిష్కారాలు.

కాబట్టి, మాకు చివరి సమాధానం ఉంది. ప్రధానాంశాలుఈ సమస్యలో రెండు ఉన్నాయి:

1. ఆర్గ్యుమెంట్ మరియు బేస్ మార్చుకున్నప్పుడు లాగరిథమ్‌ను తిప్పేటప్పుడు జాగ్రత్తగా ఉండండి. ఇటువంటి పరివర్తనలు నిర్వచనం యొక్క పరిధిపై అనవసరమైన పరిమితులను విధిస్తాయి.
2. లాగరిథమ్‌లను మార్చడానికి బయపడకండి: మీరు వాటిని తిప్పికొట్టడమే కాకుండా, మొత్తం సూత్రాన్ని ఉపయోగించి వాటిని తెరవవచ్చు మరియు సాధారణంగా మీరు పరిష్కరించేటప్పుడు అధ్యయనం చేసిన ఏదైనా సూత్రాలను ఉపయోగించి వాటిని మార్చవచ్చు. లాగరిథమిక్ వ్యక్తీకరణలు. అయితే, ఎల్లప్పుడూ గుర్తుంచుకోండి: కొన్ని పరివర్తనలు నిర్వచనం యొక్క పరిధిని విస్తరిస్తాయి మరియు కొన్ని వాటిని ఇరుకైనవి.

ఈ పాఠంలో మేము లాగరిథమ్‌ల గురించి ప్రాథమిక సైద్ధాంతిక వాస్తవాలను సమీక్షిస్తాము మరియు సరళమైన లాగరిథమిక్ సమీకరణాలను పరిష్కరించడాన్ని పరిశీలిస్తాము.

కేంద్ర నిర్వచనాన్ని గుర్తుచేసుకుందాం - సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం. ఇది నిర్ణయానికి సంబంధించినది ఘాతాంక సమీకరణం. ఈ సమీకరణంఒకే మూలాన్ని కలిగి ఉంది, దీనిని a బేస్ చేయడానికి b యొక్క సంవర్గమానం అంటారు:

నిర్వచనం:

b నుండి b యొక్క సంవర్గమానం a ఆధారితం, ఇది b పొందడానికి a బేస్‌ని పెంచాలి.

మీకు గుర్తు చేద్దాం ప్రాథమిక లాగరిథమిక్ గుర్తింపు.

వ్యక్తీకరణ (వ్యక్తీకరణ 1) సమీకరణం యొక్క మూలం (వ్యక్తీకరణ 2). ఎక్స్‌ప్రెషన్ 1కి బదులుగా ఎక్స్‌ప్రెషన్ 1 నుండి x విలువను ఎక్స్‌ప్రెషన్ 2లోకి మార్చండి మరియు ప్రధాన లాగరిథమిక్ గుర్తింపును పొందండి:

కాబట్టి ప్రతి విలువ ఒక విలువతో అనుబంధించబడిందని మనం చూస్తాము. మేము bని x(), cని y ద్వారా సూచిస్తాము మరియు తద్వారా సంవర్గమాన విధిని పొందుతాము:

ఉదాహరణకి:

లాగరిథమిక్ ఫంక్షన్ యొక్క ప్రాథమిక లక్షణాలను గుర్తుచేసుకుందాం.

సంవర్గమానం క్రింద, సంవర్గమానం యొక్క ఆధారం వలె ఖచ్చితంగా సానుకూల వ్యక్తీకరణ ఉండవచ్చు కాబట్టి, ఇక్కడ మరోసారి శ్రద్ధ చూపుదాం.

అన్నం. 1. వివిధ బేస్‌లతో లాగరిథమిక్ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్

వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ నలుపు రంగులో చూపబడింది. అన్నం. 1. ఆర్గ్యుమెంట్ సున్నా నుండి అనంతానికి పెరిగితే, ఫంక్షన్ మైనస్ నుండి ప్లస్ ఇన్ఫినిటీకి పెరుగుతుంది.

వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ఎరుపు రంగులో చూపబడింది. అన్నం. 1.

ఈ ఫంక్షన్ యొక్క లక్షణాలు:

డొమైన్: ;

విలువల పరిధి: ;

ఫంక్షన్ డెఫినిషన్ యొక్క మొత్తం డొమైన్ అంతటా మోనోటోనిక్. మార్పు లేకుండా (కఠినంగా) పెరిగినప్పుడు, అధిక విలువవాదన ఫంక్షన్ యొక్క పెద్ద విలువకు అనుగుణంగా ఉంటుంది. మోనోటోనికల్ (స్ట్రిక్ట్లీ) తగ్గినప్పుడు, ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క పెద్ద విలువ ఫంక్షన్ యొక్క చిన్న విలువకు అనుగుణంగా ఉంటుంది.

లాగరిథమిక్ ఫంక్షన్ యొక్క లక్షణాలు వివిధ లాగరిథమిక్ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి కీలకం.

సరళమైన సంవర్గమాన సమీకరణాన్ని పరిశీలిద్దాం; అన్ని ఇతర సంవర్గమాన సమీకరణాలు, ఒక నియమం వలె, ఈ రూపానికి తగ్గించబడ్డాయి.

లాగరిథమ్‌లు మరియు లాగరిథమ్‌ల బేస్‌లు సమానంగా ఉంటాయి కాబట్టి, సంవర్గమానం కింద ఉండే ఫంక్షన్‌లు కూడా సమానంగా ఉంటాయి, అయితే మనం డెఫినిషన్ డొమైన్‌ను కోల్పోకూడదు. సంవర్గమానం క్రింద సానుకూల సంఖ్య మాత్రమే కనిపిస్తుంది, మనకు ఇవి ఉన్నాయి:

f మరియు g ఫంక్షన్‌లు సమానంగా ఉన్నాయని మేము కనుగొన్నాము, కాబట్టి ODZకి అనుగుణంగా ఏదైనా ఒక అసమానతను ఎంచుకుంటే సరిపోతుంది.

ఈ విధంగా, మనకు మిశ్రమ వ్యవస్థ ఉంది, దీనిలో సమీకరణం మరియు అసమానత ఉన్నాయి:

నియమం ప్రకారం, అసమానతను పరిష్కరించాల్సిన అవసరం లేదు; సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి మరియు కనుగొనబడిన మూలాలను అసమానతలోకి మార్చడానికి సరిపోతుంది, తద్వారా తనిఖీ చేయండి.

సరళమైన లాగరిథమిక్ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ఒక పద్ధతిని రూపొందిద్దాం:

లాగరిథమ్‌ల బేస్‌లను సమం చేయండి;

సబ్‌లోగరిథమిక్ ఫంక్షన్‌లను సమం చేయండి;

తనిఖీ చేయండి.

నిర్దిష్ట ఉదాహరణలను చూద్దాం.

ఉదాహరణ 1 - సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి:

సంవర్గమానాల స్థావరాలు ప్రారంభంలో సమానంగా ఉంటాయి, సబ్‌లోగరిథమిక్ వ్యక్తీకరణలను సమం చేసే హక్కు మాకు ఉంది, ODZ గురించి మర్చిపోవద్దు, అసమానతను కంపోజ్ చేయడానికి మేము మొదటి లాగరిథమ్‌ను ఎంచుకుంటాము:

ఉదాహరణ 2 - సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి:

ఈ సమీకరణం మునుపటి నుండి భిన్నంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే లాగరిథమ్‌ల స్థావరాలు ఒకటి కంటే తక్కువగా ఉంటాయి, అయితే ఇది ఏ విధంగానూ పరిష్కారాన్ని ప్రభావితం చేయదు:

మూలాన్ని కనుగొని దానిని అసమానతలో ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం:

మేము ఒక సరికాని అసమానతను అందుకున్నాము, అంటే కనుగొనబడిన రూట్ ODZని సంతృప్తిపరచదు.

ఉదాహరణ 3 - సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి:

సంవర్గమానాల స్థావరాలు మొదట్లో సమానంగా ఉంటాయి, సబ్‌లోగరిథమిక్ వ్యక్తీకరణలను సమం చేసే హక్కు మాకు ఉంది, ODZ గురించి మర్చిపోవద్దు, అసమానతను కంపోజ్ చేయడానికి మేము రెండవ లాగరిథమ్‌ను ఎంచుకుంటాము:

మూలాన్ని కనుగొని దానిని అసమానతలో ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం:

సహజంగానే, మొదటి రూట్ మాత్రమే ODZని సంతృప్తిపరుస్తుంది.

పరిచయం

గణనలను వేగవంతం చేయడానికి మరియు సరళీకృతం చేయడానికి లాగరిథమ్‌లు కనుగొనబడ్డాయి. సంవర్గమానం యొక్క ఆలోచన, అంటే, అదే ఆధారం యొక్క శక్తులుగా సంఖ్యలను వ్యక్తీకరించే ఆలోచన, మిఖాయిల్ స్టీఫెల్‌కు చెందినది. కానీ స్టీఫెల్ కాలంలో, గణితం అంతగా అభివృద్ధి చెందలేదు మరియు సంవర్గమానం యొక్క ఆలోచన అభివృద్ధి చెందలేదు. స్కాటిష్ శాస్త్రవేత్త జాన్ నేపియర్ (1550-1617) మరియు స్విస్ జాబ్స్ట్ బుర్గి (1552-1632) ద్వారా లాగరిథమ్‌లు ఒకదానికొకటి ఏకకాలంలో మరియు స్వతంత్రంగా కనుగొనబడ్డాయి.1614లో నేపియర్ ఈ పనిని ప్రచురించిన మొదటి వ్యక్తి. "సంవర్గమానాల యొక్క అద్భుతమైన పట్టిక యొక్క వివరణ" అనే శీర్షికతో, నేపియర్ యొక్క సంవర్గమాన సిద్ధాంతం తగినంతగా ఇవ్వబడింది పూర్తిగా, లాగరిథమ్‌లను లెక్కించే పద్ధతి చాలా సరళమైనది, కాబట్టి లాగరిథమ్‌ల ఆవిష్కరణలో నేపియర్ యొక్క మెరిట్‌లు బర్గి కంటే ఎక్కువ. Bürgi నేపియర్ అదే సమయంలో పట్టికలు పని, కానీ చాలా కాలం వరకువాటిని రహస్యంగా ఉంచి 1620లో మాత్రమే ప్రచురించింది. నేపియర్ 1594లో సంవర్గమానం యొక్క ఆలోచనపై పట్టు సాధించాడు. పట్టికలు 20 సంవత్సరాల తర్వాత ప్రచురించబడినప్పటికీ. మొదట అతను తన లాగరిథమ్‌లను “కృత్రిమ సంఖ్యలు” అని పిలిచాడు మరియు ఆ తర్వాత మాత్రమే ఈ “కృత్రిమ సంఖ్యలను” ఒక పదం “లాగరిథం” అని పిలవాలని ప్రతిపాదించాడు, గ్రీకు నుండి అనువదించబడినది “సహసంబంధ సంఖ్యలు”, ఒకటి అంకగణిత పురోగతి నుండి తీసుకోబడింది మరియు మరొకటి దాని కోసం ప్రత్యేకంగా ఎంపిక చేయబడిన రేఖాగణిత పురోగతి. పురోగతి. రష్యన్ భాషలో మొదటి పట్టికలు 1703లో ప్రచురించబడ్డాయి. 18వ శతాబ్దానికి చెందిన అద్భుతమైన ఉపాధ్యాయుని భాగస్వామ్యంతో. L. F. మాగ్నిట్స్కీ. లాగరిథమ్స్ సిద్ధాంతం అభివృద్ధిలో గొప్ప ప్రాముఖ్యతసెయింట్ పీటర్స్‌బర్గ్ విద్యావేత్త లియోన్‌హార్డ్ ఆయిలర్ రచనలు ఉన్నాయి. అతను సంవర్గమానాలను శక్తికి పెంచే విలోమంగా పరిగణించిన మొదటి వ్యక్తి; అతను "లాగరిథమ్ బేస్" మరియు "మాంటిస్సా" అనే పదాలను ప్రవేశపెట్టాడు. బ్రిగ్స్ బేస్ 10తో లాగరిథమ్‌ల పట్టికలను సంకలనం చేశాడు. దశాంశ పట్టికలు ఆచరణాత్మక ఉపయోగం కోసం మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటాయి, వాటి సిద్ధాంతం నేపియర్ లాగరిథమ్‌ల కంటే సరళమైనది. అందుకే దశాంశ సంవర్గమానాలుకొన్నిసార్లు బ్రిగ్స్ అని పిలుస్తారు. "క్యారెక్టరైజేషన్" అనే పదాన్ని బ్రిగ్స్ పరిచయం చేశారు.

ఆ సుదూర కాలంలో, ఋషులు మొదట తెలియని పరిమాణాలను కలిగి ఉన్న సమానత్వం గురించి ఆలోచించడం ప్రారంభించినప్పుడు, బహుశా నాణేలు లేదా పర్సులు లేవు. కానీ కుప్పలు, అలాగే కుండలు మరియు బుట్టలు ఉన్నాయి, ఇవి తెలియని సంఖ్యలో వస్తువులను కలిగి ఉండే నిల్వ కాష్‌ల పాత్రకు సరైనవి. పూర్వీకులలో గణిత సమస్యలుమెసొపొటేమియా, భారతదేశం, చైనా, గ్రీస్, తెలియని పరిమాణంలో తోటలోని నెమళ్ల సంఖ్య, మందలోని ఎద్దుల సంఖ్య, ఆస్తిని విభజించేటప్పుడు పరిగణనలోకి తీసుకున్న విషయాల మొత్తం. లేఖకులు, అధికారులు మరియు ప్రారంభకులు ఖాతాల శాస్త్రంలో బాగా శిక్షణ పొందారు రహస్య జ్ఞానంపూజారులు అలాంటి పనులను చాలా విజయవంతంగా ఎదుర్కొన్నారు.

పురాతన శాస్త్రవేత్తలు కొన్నింటిని కలిగి ఉన్నారని మాకు చేరుకున్న మూలాలు సూచిస్తున్నాయి సాధారణ పద్ధతులుతెలియని పరిమాణాలతో సమస్యలను పరిష్కరించడం. అయితే, ఒక్క పాపిరస్ లేదా క్లే టాబ్లెట్‌లో కూడా ఈ పద్ధతుల వివరణ లేదు. రచయితలు అప్పుడప్పుడు వారి సంఖ్యా గణనలను తక్కువ కామెంట్‌లతో అందించారు: “చూడండి!”, “దీన్ని చేయండి!”, “మీరు సరైనది కనుగొన్నారు.” ఈ కోణంలో, మినహాయింపు గ్రీకు గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు డయోఫాంటస్ ఆఫ్ అలెగ్జాండ్రియా (III శతాబ్దం) యొక్క "అంకగణితం" - సమీకరణాలను వాటి పరిష్కారాల యొక్క క్రమబద్ధమైన ప్రదర్శనతో కంపోజ్ చేయడంలో సమస్యల సమాహారం.

అయినప్పటికీ, 9వ శతాబ్దానికి చెందిన బాగ్దాద్ శాస్త్రవేత్త యొక్క పని, విస్తృతంగా తెలిసిన సమస్యలను పరిష్కరించడానికి మొదటి మాన్యువల్. ముహమ్మద్ బిన్ మూసా అల్-ఖ్వారిజ్మీ. ఈ గ్రంథం యొక్క అరబిక్ పేరు నుండి "అల్-జబర్" అనే పదం - "కితాబ్ అల్-జబర్ వాల్-ముకాబాలా" ("పునరుద్ధరణ మరియు వ్యతిరేకత పుస్తకం") - కాలక్రమేణా "బీజగణితం" మరియు అల్- ప్రసిద్ధ పదంగా మారింది. ఖ్వారిజ్మీ యొక్క పని సమీకరణాలను పరిష్కరించే శాస్త్రం అభివృద్ధిలో ప్రారంభ బిందువుగా పనిచేసింది.

సంవర్గమాన సమీకరణాలుమరియు అసమానతలు

1. సంవర్గమాన సమీకరణాలు

సంవర్గమాన సంకేతం క్రింద లేదా దాని బేస్ వద్ద తెలియని ఒక సమీకరణాన్ని సంవర్గమాన సమీకరణం అంటారు.

సరళమైన లాగరిథమిక్ సమీకరణం రూపం యొక్క సమీకరణం

లాగ్ a x = బి . (1)

ప్రకటన 1. ఒకవేళ a > 0, aఏదైనా వాస్తవానికి ≠ 1, సమీకరణం (1). బిఇది కలిగి ఉంది మాత్రమే నిర్ణయం x = ఒక బి .

ఉదాహరణ 1. సమీకరణాలను పరిష్కరించండి:

ఎ) లాగ్ 2 x= 3, బి) లాగ్ 3 x= -1, సి)

పరిష్కారం. స్టేట్‌మెంట్ 1ని ఉపయోగించి, మేము ఎ) x= 2 3 లేదా x= 8; బి) x= 3 -1 లేదా x= 1/3 ; సి)

లేదా x = 1.

సంవర్గమానం యొక్క ప్రాథమిక లక్షణాలను ప్రదర్శిస్తాము.

P1. ప్రాథమిక లాగరిథమిక్ గుర్తింపు:

ఎక్కడ a > 0, a≠ 1 మరియు బి > 0.

P2. సానుకూల కారకాల ఉత్పత్తి యొక్క సంవర్గమానం మొత్తానికి సమానంఈ కారకాల సంవర్గమానాలు:

లాగ్ a ఎన్ 1 · ఎన్ 2 = లాగ్ a ఎన్ 1 + లాగ్ a ఎన్ 2 (a > 0, a ≠ 1, ఎన్ 1 > 0, ఎన్ 2 > 0).

వ్యాఖ్య. ఉంటే ఎన్ 1 · ఎన్ 2 > 0, అప్పుడు ప్రాపర్టీ P2 రూపం తీసుకుంటుంది

లాగ్ a ఎన్ 1 · ఎన్ 2 = లాగ్ a |ఎన్ 1 | + లాగ్ a |ఎన్ 2 | (a > 0, a ≠ 1, ఎన్ 1 · ఎన్ 2 > 0).

P3. రెండు ధనాత్మక సంఖ్యల సంవర్గమానం డివిడెండ్ మరియు డివైజర్ యొక్క లాగరిథమ్‌ల మధ్య వ్యత్యాసానికి సమానం

(a > 0, a ≠ 1, ఎన్ 1 > 0, ఎన్ 2 > 0).

వ్యాఖ్య. ఉంటే

, (ఇది సమానం ఎన్ 1 ఎన్ 2 > 0) అప్పుడు ప్రాపర్టీ P3 రూపం తీసుకుంటుంది (a > 0, a ≠ 1, ఎన్ 1 ఎన్ 2 > 0).

P4. డిగ్రీ యొక్క సంవర్గమానం సానుకూల సంఖ్య ఉత్పత్తికి సమానంఈ సంఖ్య యొక్క సంవర్గమానానికి ఘాతాంకం:

లాగ్ a ఎన్ కె = కెలాగ్ a ఎన్ (a > 0, a ≠ 1, ఎన్ > 0).

వ్యాఖ్య. ఉంటే కె - సరి సంఖ్య (కె = 2లు), అది

లాగ్ a ఎన్ 2లు = 2లులాగ్ a |ఎన్ | (a > 0, a ≠ 1, ఎన్ ≠ 0).

P5. మరొక స్థావరానికి వెళ్లడానికి సూత్రం:

(a > 0, a ≠ 1, బి > 0, బి ≠ 1, ఎన్ > 0),

ముఖ్యంగా ఉంటే ఎన్ = బి, మాకు దొరికింది

(a > 0, a ≠ 1, బి > 0, బి ≠ 1). (2)

P4 మరియు P5 లక్షణాలను ఉపయోగించి, కింది లక్షణాలను పొందడం సులభం

(a > 0, a ≠ 1, బి > 0, సి ≠ 0), (3) (a > 0, a ≠ 1, బి > 0, సి ≠ 0), (4) (a > 0, a ≠ 1, బి > 0, సి ≠ 0), (5)

మరియు, (5)లో ఉంటే సి- సరి సంఖ్య ( సి = 2n), సంభవిస్తుంది

(బి > 0, a ≠ 0, |a | ≠ 1). (6)

లాగరిథమిక్ ఫంక్షన్ యొక్క ప్రధాన లక్షణాలను జాబితా చేద్దాం f (x) = లాగ్ a x :

1. సంవర్గమాన ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ సానుకూల సంఖ్యల సమితి.

2. లాగరిథమిక్ ఫంక్షన్ యొక్క విలువల పరిధి వాస్తవ సంఖ్యల సమితి.

3. ఎప్పుడు a> 1 లాగరిథమిక్ ఫంక్షన్ ఖచ్చితంగా పెరుగుతోంది (0< x 1 < x 2లాగ్ a x 1 < loga x 2), మరియు 0 వద్ద< a < 1, - строго убывает (0 < x 1 < x 2లాగ్ a x 1 > లాగ్ a x 2).

4.లాగ్ a 1 = 0 మరియు లాగ్ a a = 1 (a > 0, a ≠ 1).

5. ఉంటే a> 1, అప్పుడు లాగరిథమిక్ ఫంక్షన్ ప్రతికూలంగా ఉన్నప్పుడు x(0;1) మరియు పాజిటివ్ వద్ద x(1;+∞), మరియు 0 అయితే< a < 1, то логарифмическая функция положительна при x (0;1) మరియు ప్రతికూల వద్ద x (1;+∞).

6. ఉంటే a> 1, అప్పుడు లాగరిథమిక్ ఫంక్షన్ పైకి కుంభాకారంగా ఉంటుంది మరియు ఉంటే a(0;1) - కుంభాకార క్రిందికి.

లాగరిథమిక్ సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు క్రింది స్టేట్‌మెంట్‌లు (ఉదాహరణకు చూడండి) ఉపయోగించబడతాయి.

మీ గోప్యతను కాపాడుకోవడం మాకు ముఖ్యం. ఈ కారణంగా, మేము మీ సమాచారాన్ని ఎలా ఉపయోగిస్తాము మరియు నిల్వ చేస్తాము అని వివరించే గోప్యతా విధానాన్ని మేము అభివృద్ధి చేసాము. దయచేసి మా గోప్యతా పద్ధతులను సమీక్షించండి మరియు మీకు ఏవైనా ప్రశ్నలు ఉంటే మాకు తెలియజేయండి.

వ్యక్తిగత సమాచారం యొక్క సేకరణ మరియు ఉపయోగం

వ్యక్తిగత సమాచారం అనేది నిర్దిష్ట వ్యక్తిని గుర్తించడానికి లేదా సంప్రదించడానికి ఉపయోగించే డేటాను సూచిస్తుంది.

మీరు మమ్మల్ని సంప్రదించినప్పుడు ఎప్పుడైనా మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని అందించమని మిమ్మల్ని అడగవచ్చు.

మేము సేకరించే వ్యక్తిగత సమాచార రకాలు మరియు అటువంటి సమాచారాన్ని మేము ఎలా ఉపయోగించవచ్చో కొన్ని ఉదాహరణలు క్రింద ఉన్నాయి.

మేము ఏ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని సేకరిస్తాము:

• మీరు సైట్‌లో దరఖాస్తును సమర్పించినప్పుడు, మేము మీ పేరు, టెలిఫోన్ నంబర్, చిరునామాతో సహా వివిధ సమాచారాన్ని సేకరించవచ్చు ఇమెయిల్మొదలైనవి

మేము మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని ఎలా ఉపయోగిస్తాము:

• మా ద్వారా సేకరించబడింది వ్యక్తిగత సమాచారంమిమ్మల్ని సంప్రదించడానికి మరియు మీకు తెలియజేయడానికి మమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది ప్రత్యేక ఆఫర్లు, ప్రమోషన్‌లు మరియు ఇతర ఈవెంట్‌లు మరియు రాబోయే ఈవెంట్‌లు.
• ఎప్పటికప్పుడు, ముఖ్యమైన నోటీసులు మరియు కమ్యూనికేషన్‌లను పంపడానికి మేము మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని ఉపయోగించవచ్చు.
• మేము ఆడిటింగ్, డేటా విశ్లేషణ మరియు వంటి అంతర్గత ప్రయోజనాల కోసం వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని కూడా ఉపయోగించవచ్చు వివిధ అధ్యయనాలుమేము అందించే సేవలను మెరుగుపరచడానికి మరియు మా సేవలకు సంబంధించిన సిఫార్సులను మీకు అందించడానికి.
• మీరు బహుమతి డ్రా, పోటీ లేదా ఇలాంటి ప్రమోషన్‌లో పాల్గొంటే, అటువంటి ప్రోగ్రామ్‌లను నిర్వహించడానికి మీరు అందించే సమాచారాన్ని మేము ఉపయోగించవచ్చు.

మూడవ పార్టీలకు సమాచారాన్ని బహిర్గతం చేయడం

మేము మీ నుండి స్వీకరించిన సమాచారాన్ని మూడవ పక్షాలకు బహిర్గతం చేయము.

మినహాయింపులు:

• అవసరమైతే, చట్టం ప్రకారం, న్యాయ ప్రక్రియ, వి విచారణ, మరియు/లేదా పబ్లిక్ అభ్యర్థనలు లేదా అభ్యర్థనల ఆధారంగా ప్రభుత్వ సంస్థలురష్యన్ ఫెడరేషన్ యొక్క భూభాగంలో - మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని బహిర్గతం చేయండి. భద్రత, చట్టాన్ని అమలు చేయడం లేదా ఇతర ప్రజా ప్రాముఖ్యత ప్రయోజనాల కోసం అటువంటి బహిర్గతం అవసరమని లేదా సముచితమని మేము నిర్ధారిస్తే మీ గురించిన సమాచారాన్ని కూడా మేము బహిర్గతం చేయవచ్చు.
• పునర్వ్యవస్థీకరణ, విలీనం లేదా విక్రయం జరిగినప్పుడు, మేము సేకరించే వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని వర్తించే మూడవ పక్షానికి బదిలీ చేయవచ్చు.

వ్యక్తిగత సమాచారం యొక్క రక్షణ

మేము మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని నష్టం, దొంగతనం మరియు దుర్వినియోగం నుండి అలాగే అనధికారిక యాక్సెస్, బహిర్గతం, మార్పు మరియు విధ్వంసం నుండి రక్షించడానికి - అడ్మినిస్ట్రేటివ్, టెక్నికల్ మరియు ఫిజికల్‌తో సహా జాగ్రత్తలు తీసుకుంటాము.

కంపెనీ స్థాయిలో మీ గోప్యతను గౌరవించడం

మీ వ్యక్తిగత సమాచారం సురక్షితంగా ఉందని నిర్ధారించుకోవడానికి, మేము మా ఉద్యోగులకు గోప్యత మరియు భద్రతా ప్రమాణాలను తెలియజేస్తాము మరియు గోప్యతా పద్ధతులను ఖచ్చితంగా అమలు చేస్తాము.