మేము త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల ప్రవర్తన మరియు విధులను కనుగొన్నాము y = పాపం x ముఖ్యంగా, మొత్తం సంఖ్య రేఖపై (లేదా వాదన యొక్క అన్ని విలువలకు X) విరామంలో దాని ప్రవర్తన ద్వారా పూర్తిగా నిర్ణయించబడుతుంది 0 < X < π / 2 .
అందువల్ల, మొదట, మేము ఫంక్షన్‌ను ప్లాట్ చేస్తాము y = పాపం x సరిగ్గా ఈ విరామంలో.
మన ఫంక్షన్ విలువల క్రింది పట్టికను తయారు చేద్దాం;
కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌పై సంబంధిత పాయింట్లను గుర్తించడం ద్వారా మరియు వాటిని మృదువైన రేఖతో కనెక్ట్ చేయడం ద్వారా, మేము చిత్రంలో చూపిన వక్రతను పొందుతాము
ఫంక్షన్ విలువల పట్టికను కంపైల్ చేయకుండా, ఫలిత వక్రరేఖను రేఖాగణితంగా కూడా నిర్మించవచ్చు y = పాపం x .
1. వ్యాసార్థం 1 యొక్క వృత్తం యొక్క మొదటి త్రైమాసికాన్ని 8 సమాన భాగాలుగా విభజించండి.
2.వృత్తం యొక్క మొదటి త్రైమాసికం 0 నుండి కోణాలకు అనుగుణంగా ఉంటుంది π / 2 . అందువలన, అక్షం మీద Xఒక విభాగాన్ని తీసుకొని దానిని 8 సమాన భాగాలుగా విభజిద్దాము.
3. అక్షాలకు సమాంతరంగా సరళ రేఖలను గీయండి X, మరియు విభజన పాయింట్ల నుండి మేము క్షితిజ సమాంతర రేఖలతో కలిసే వరకు లంబాలను నిర్మిస్తాము.
4. ఖండన పాయింట్లను మృదువైన లైన్తో కనెక్ట్ చేయండి.
ఇప్పుడు ఇంటర్వెల్ చూద్దాం π /
2
<
X <
π
.
ప్రతి వాదన విలువ Xఈ విరామం నుండి ఇలా సూచించవచ్చు
x = π / 2 + φ
ఎక్కడ 0 < φ < π / 2 . తగ్గింపు సూత్రాల ప్రకారం
పాపం ( π / 2 + φ ) = cos φ = పాపం ( π / 2 - φ ).
యాక్సిస్ పాయింట్లు Xఅబ్సిస్సాస్ తో π / 2 + φ మరియు π / 2 - φ అక్ష బిందువు గురించి ఒకదానికొకటి సుష్టంగా ఉంటుంది X abscissa తో π / 2 , మరియు ఈ పాయింట్ల వద్ద ఉన్న సైన్స్ ఒకే విధంగా ఉంటాయి. ఇది ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను పొందటానికి అనుమతిస్తుంది y = పాపం x విరామంలో [ π / 2 , π ] సరళ రేఖకు సంబంధించి విరామంలో ఈ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను సరళంగా ప్రదర్శించడం ద్వారా X = π / 2 .
ఇప్పుడు ఆస్తిని ఉపయోగిస్తున్నారు బేసి సమాన ఫంక్షన్ y = పాపం x,
పాపం(- X) = - పాపం X,
విరామంలో ఈ ఫంక్షన్‌ను ప్లాట్ చేయడం సులభం [- π , 0].
ఫంక్షన్ y = sin x 2π వ్యవధితో ఆవర్తన ఉంటుంది ;. అందువల్ల, ఈ ఫంక్షన్ యొక్క మొత్తం గ్రాఫ్‌ను నిర్మించడానికి, చిత్రంలో చూపిన వక్రరేఖను కాలానుగుణంగా ఎడమ మరియు కుడి వైపున ఒక వ్యవధితో కొనసాగించడం సరిపోతుంది. 2π .
ఫలితంగా వక్రత అంటారు సైనసాయిడ్ . ఇది ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ y = పాపం x.
ఫిగర్ ఫంక్షన్ యొక్క అన్ని లక్షణాలను బాగా వివరిస్తుంది y = పాపం x , మేము ఇంతకుముందు నిరూపించాము. ఈ లక్షణాలను గుర్తుచేసుకుందాం.
1) ఫంక్షన్ y = పాపం x అన్ని విలువలకు నిర్వచించబడింది X , కాబట్టి దాని డొమైన్ అన్ని వాస్తవ సంఖ్యల సమితి.
2) ఫంక్షన్ y = పాపం x పరిమితం. ఇది అంగీకరించే అన్ని విలువలు ఈ రెండు సంఖ్యలతో సహా -1 మరియు 1 మధ్య ఉంటాయి. పర్యవసానంగా, ఈ ఫంక్షన్ యొక్క వైవిధ్యం యొక్క పరిధి అసమానత -1 ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది < వద్ద < 1. ఎప్పుడు X = π / 2 + 2k π ఫంక్షన్ 1కి సమానమైన అతిపెద్ద విలువలను తీసుకుంటుంది మరియు x = - π / 2 + 2k π -కి సమానమైన చిన్న విలువలు - 1.
3) ఫంక్షన్ y = పాపం x బేసిగా ఉంటుంది (సినోసోయిడ్ మూలం గురించి సుష్టంగా ఉంటుంది).
4) ఫంక్షన్ y = పాపం x పీరియడ్ 2తో ఆవర్తన π .
5) విరామాలలో 2n π < x < π + 2n π (n ఏదైనా పూర్ణాంకం) ఇది ధనాత్మకం మరియు విరామాలలో ఉంటుంది π + 2k π < X < 2π + 2k π (k ఏదైనా పూర్ణాంకం) ఇది ప్రతికూలంగా ఉంటుంది. x = k వద్ద π ఫంక్షన్ సున్నాకి వెళుతుంది. కాబట్టి, ఈ ఆర్గ్యుమెంట్ x (0; ± π ; ±2 π ; ...) ఫంక్షన్ సున్నాలు అంటారు y = పాపం x
6) విరామాలలో - π / 2 + 2n π < X < π / 2 + 2n π ఫంక్షన్ y = పాపము x మార్పు లేకుండా, మరియు విరామాలలో పెరుగుతుంది π / 2 + 2k π < X < 3π / 2 + 2k π అది ఏకరీతిగా తగ్గుతుంది.
మీరు ఫంక్షన్ యొక్క ప్రవర్తనపై ప్రత్యేక శ్రద్ధ వహించాలి y = పాపం x పాయింట్ దగ్గర X = 0 .
ఉదాహరణకు, sin 0.012 ≈ 0.012; పాపం(-0.05) ≈ -0,05;
పాపం 2° = పాపం π 2 / 180 = పాపం π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.
అదే సమయంలో, x యొక్క ఏదైనా విలువలకు ఇది గమనించాలి
| పాపం x| < | x | . (1)
నిజానికి, చిత్రంలో చూపిన వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం 1కి సమానంగా ఉండనివ్వండి,
a /
AOB = X.
అప్పుడు పాపం x= AC. కానీ ఏసీ< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол X. ఈ ఆర్క్ యొక్క పొడవు స్పష్టంగా సమానంగా ఉంటుంది X, వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం 1 కాబట్టి, 0 వద్ద< X < π / 2
పాపం x< х.
అందువల్ల, ఫంక్షన్ యొక్క అసమానత కారణంగా y = పాపం x ఎప్పుడు అని చూపించడం సులభం - π / 2 < X < 0
| పాపం x| < | x | .
చివరగా, ఎప్పుడు x = 0
| పాపం x | = | x |.
అందువలన, | X | < π / 2 అసమానత (1) నిరూపించబడింది. నిజానికి, ఈ అసమానత | కోసం కూడా నిజం x | > π / 2 వాస్తవం కారణంగా | పాపం X | < 1, ఎ π / 2 > 1
వ్యాయామాలు
1.ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ప్రకారం y = పాపం x నిర్ణయించండి: a) పాపం 2; బి) పాపం 4; సి) పాపం (-3).
2.ఫంక్షన్ గ్రాఫ్ ప్రకారం y = పాపం x
విరామం నుండి ఏ సంఖ్యను నిర్ణయించండి
[ - π /
2 ,
π /
2
] దీనికి సమానమైన సైన్ ఉంది: a) 0.6; బి) -0.8.
3. ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ప్రకారం y = పాపం x
ఏ సంఖ్యలకు సైన్ ఉందో నిర్ణయించండి,
1/2కి సమానం.
4. సుమారుగా కనుగొనండి (పట్టికలను ఉపయోగించకుండా): a) sin 1°; బి) పాపం 0.03;
సి) పాపం (-0.015); d) పాపం (-2°30").
ఈ పాఠంలో మనం ఫంక్షన్ y = sin x, దాని ప్రాథమిక లక్షణాలు మరియు గ్రాఫ్‌లను వివరంగా పరిశీలిస్తాము. పాఠం ప్రారంభంలో, మేము కోఆర్డినేట్ సర్కిల్‌పై త్రికోణమితి ఫంక్షన్ y = sin t యొక్క నిర్వచనాన్ని ఇస్తాము మరియు సర్కిల్ మరియు లైన్‌లో ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను పరిశీలిస్తాము. ఈ ఫంక్షన్ యొక్క ఆవర్తనాన్ని గ్రాఫ్‌లో చూపిద్దాం మరియు ఫంక్షన్ యొక్క ప్రధాన లక్షణాలను పరిశీలిద్దాం. పాఠం ముగింపులో, మేము ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ మరియు దాని లక్షణాలను ఉపయోగించి అనేక సాధారణ సమస్యలను పరిష్కరిస్తాము.
అంశం: త్రికోణమితి విధులు
పాఠం: ఫంక్షన్ y=sinx, దాని ప్రాథమిక లక్షణాలు మరియు గ్రాఫ్
ఒక ఫంక్షన్‌ను పరిగణనలోకి తీసుకున్నప్పుడు, ప్రతి ఆర్గ్యుమెంట్ విలువను ఒకే ఫంక్షన్ విలువతో అనుబంధించడం ముఖ్యం. ఈ కరస్పాండెన్స్ చట్టంమరియు ఫంక్షన్ అంటారు.
కోసం కరస్పాండెన్స్ చట్టాన్ని నిర్వచిద్దాం.
ఏదైనా వాస్తవ సంఖ్య యూనిట్ సర్కిల్‌పై ఒకే బిందువుకు అనుగుణంగా ఉంటుంది, ఇది సంఖ్య యొక్క సైన్ అని పిలువబడుతుంది (Fig. 1).
ప్రతి ఆర్గ్యుమెంట్ విలువ ఒకే ఫంక్షన్ విలువతో అనుబంధించబడుతుంది.
సైన్ యొక్క నిర్వచనం నుండి స్పష్టమైన లక్షణాలు అనుసరించబడతాయి.
అని బొమ్మ చూపిస్తుంది 
ఎందుకంటే యూనిట్ సర్కిల్‌పై ఒక బిందువు యొక్క ఆర్డినేట్.
ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను పరిగణించండి. వాదన యొక్క రేఖాగణిత వివరణను గుర్తుచేసుకుందాం. వాదన అనేది కేంద్ర కోణం, రేడియన్లలో కొలుస్తారు. అక్షం వెంట మేము రేడియన్లలో వాస్తవ సంఖ్యలు లేదా కోణాలను ప్లాట్ చేస్తాము, అక్షం వెంట ఫంక్షన్ యొక్క సంబంధిత విలువలు.
ఉదాహరణకు, యూనిట్ సర్కిల్‌లోని కోణం గ్రాఫ్‌లోని ఒక బిందువుకు అనుగుణంగా ఉంటుంది (Fig. 2)
మేము ప్రాంతంలో ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను పొందాము, అయితే సైన్ యొక్క కాలాన్ని తెలుసుకోవడం, మేము నిర్వచనానికి సంబంధించిన మొత్తం డొమైన్‌లో ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను వర్ణించవచ్చు (Fig. 3).
ఫంక్షన్ యొక్క ప్రధాన కాలం అంటే గ్రాఫ్‌ను సెగ్మెంట్లో పొందవచ్చు మరియు డెఫినిషన్ యొక్క మొత్తం డొమైన్ అంతటా కొనసాగించవచ్చు.
ఫంక్షన్ యొక్క లక్షణాలను పరిగణించండి:
1) నిర్వచనం యొక్క పరిధి:
2) విలువల పరిధి: 
3) బేసి ఫంక్షన్:
4) అతి చిన్న సానుకూల కాలం:
5) అబ్సిస్సా అక్షంతో గ్రాఫ్ యొక్క ఖండన బిందువుల కోఆర్డినేట్లు: 
6) ఆర్డినేట్ అక్షంతో గ్రాఫ్ యొక్క ఖండన బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్లు:
7) ఫంక్షన్ సానుకూల విలువలను తీసుకునే విరామాలు:
8) ఫంక్షన్ ప్రతికూల విలువలను తీసుకునే విరామాలు:
9) పెరుగుతున్న విరామాలు:
10) తగ్గుతున్న విరామాలు:
11) కనీస పాయింట్లు: 
12) కనీస విధులు:
13) గరిష్ట పాయింట్లు: 
14) గరిష్ట విధులు:
మేము ఫంక్షన్ మరియు దాని గ్రాఫ్ యొక్క లక్షణాలను చూశాము. సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు లక్షణాలు పదేపదే ఉపయోగించబడతాయి.
సూచనలు
1. బీజగణితం మరియు విశ్లేషణ ప్రారంభం, గ్రేడ్ 10 (రెండు భాగాలుగా). సాధారణ విద్యా సంస్థల కోసం పాఠ్య పుస్తకం (ప్రొఫైల్ స్థాయి), ed. A. G. మోర్డ్కోవిచ్. -ఎం.: మ్నెమోసిన్, 2009.
2. బీజగణితం మరియు విశ్లేషణ ప్రారంభం, గ్రేడ్ 10 (రెండు భాగాలుగా). విద్యా సంస్థల కోసం సమస్య పుస్తకం (ప్రొఫైల్ స్థాయి), ed. A. G. మోర్డ్కోవిచ్. -ఎం.: మ్నెమోసైన్, 2007.
3. విలెంకిన్ N.Ya., ఇవాషెవ్-ముసాటోవ్ O.S., ష్వార్ట్స్బర్డ్ S.I. గ్రేడ్ 10 కోసం బీజగణితం మరియు గణిత విశ్లేషణ (గణితం యొక్క లోతైన అధ్యయనంతో పాఠశాలలు మరియు తరగతుల విద్యార్థులకు పాఠ్య పుస్తకం).
4. గలిట్స్కీ M.L., మోష్కోవిచ్ M.M., ష్వార్ట్స్బర్డ్ S.I. బీజగణితం మరియు గణిత విశ్లేషణ యొక్క లోతైన అధ్యయనం.-M.: విద్య, 1997.
5. ఉన్నత విద్యా సంస్థలకు దరఖాస్తుదారులకు గణితంలో సమస్యల సేకరణ (M.I. స్కనవిచే సవరించబడింది).: హయ్యర్ స్కూల్, 1992.
6. మెర్జ్లియాక్ A.G., పోలోన్స్కీ V.B., యాకిర్ M.S. బీజగణిత సిమ్యులేటర్.-K.: A.S.K., 1997.
7. సహక్యాన్ S.M., గోల్డ్‌మన్ A.M., డెనిసోవ్ D.V. బీజగణితం మరియు విశ్లేషణ సూత్రాలపై సమస్యలు (సాధారణ విద్యా సంస్థల 10-11 తరగతుల విద్యార్థుల కోసం ఒక మాన్యువల్.: ప్రోస్వేష్చెనీ, 2003.
8. కార్ప్ ఎ.పి. బీజగణితం మరియు విశ్లేషణ సూత్రాలపై సమస్యల సేకరణ: పాఠ్య పుస్తకం. 10-11 తరగతులకు భత్యం. లోతుతో చదువుకున్నాడు గణితం.-M.: విద్య, 2006.
హోంవర్క్
బీజగణితం మరియు విశ్లేషణ ప్రారంభం, గ్రేడ్ 10 (రెండు భాగాలుగా). విద్యా సంస్థల కోసం సమస్య పుస్తకం (ప్రొఫైల్ స్థాయి), ed.
A. G. మోర్డ్కోవిచ్. -ఎం.: మ్నెమోసైన్, 2007.
№№ 16.4, 16.5, 16.8.
అదనపు వెబ్ వనరులు
3. పరీక్ష తయారీ కోసం విద్యా పోర్టల్ ().
త్రికోణమితి ఫంక్షన్లపై సూచన సమాచారం సైన్ (సిన్ x) మరియు కొసైన్ (కాస్ x). రేఖాగణిత నిర్వచనం, లక్షణాలు, గ్రాఫ్‌లు, సూత్రాలు. సైన్స్ మరియు కొసైన్‌ల పట్టిక, డెరివేటివ్‌లు, ఇంటిగ్రల్స్, సిరీస్ ఎక్స్‌పాన్షన్‌లు, సెకాంట్, కోసెకెంట్. సంక్లిష్ట వేరియబుల్స్ ద్వారా వ్యక్తీకరణలు. హైపర్బోలిక్ ఫంక్షన్లతో కనెక్షన్.
సైన్ మరియు కొసైన్ యొక్క రేఖాగణిత నిర్వచనం
|BD|- ఒక బిందువు వద్ద మధ్యలో ఉన్న వృత్తం యొక్క ఆర్క్ యొక్క పొడవు ఎ.
α
- కోణం రేడియన్లలో వ్యక్తీకరించబడింది.
నిర్వచనం
సైన్ (పాపం α)త్రికోణమితి ఫంక్షన్ అనేది హైపోటెన్యూస్ మరియు లంబ త్రిభుజం యొక్క కాలు మధ్య α కోణంపై ఆధారపడి ఉంటుంది, ఇది వ్యతిరేక కాలు యొక్క పొడవు యొక్క నిష్పత్తికి సమానం |BC| హైపోటెన్యూస్ |AC| పొడవు వరకు.
కొసైన్ (cos α)ఒక త్రికోణమితి ఫంక్షన్ అనేది హైపోటెన్యూస్ మరియు లంబ త్రిభుజం యొక్క కాలు మధ్య α కోణంపై ఆధారపడి ఉంటుంది, ప్రక్కనే ఉన్న కాలు పొడవు నిష్పత్తికి సమానం |AB| హైపోటెన్యూస్ |AC| పొడవు వరకు.
ఆమోదించబడిన సంకేతాలు
;
;
.
;
;
.
సైన్ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్, y = sin x
కొసైన్ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్, y = cos x
సైన్ మరియు కొసైన్ యొక్క లక్షణాలు
ఆవర్తనము
విధులు y = పాపం xమరియు y = కాస్ xకాలంతో ఆవర్తన 2π.
సమానత్వం
సైన్ ఫంక్షన్ బేసిగా ఉంది. కొసైన్ ఫంక్షన్ సమానంగా ఉంటుంది.
నిర్వచనం మరియు విలువల డొమైన్, తీవ్రత, పెరుగుదల, తగ్గుదల
సైన్ మరియు కొసైన్ ఫంక్షన్‌లు వాటి నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌లో నిరంతరంగా ఉంటాయి, అంటే x అందరికీ (కొనసాగింపు రుజువు చూడండి). వాటి ప్రధాన లక్షణాలు పట్టికలో ప్రదర్శించబడ్డాయి (n - పూర్ణాంకం).
| y= పాపం x | y= కాస్ x | |
| పరిధి మరియు కొనసాగింపు | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| విలువల పరిధి | -1 ≤ y ≤ 1 | -1 ≤ y ≤ 1 |
| పెరుగుతోంది | ||
| అవరోహణ | ||
| మాక్సిమా, y = 1 | ||
| మినిమా, y = - 1 | ||
| సున్నాలు, y = 0 | ||
| ఆర్డినేట్ అక్షంతో బిందువులను అడ్డగించు, x = 0 | y= 0 | y= 1 |
ప్రాథమిక సూత్రాలు
సైన్ మరియు కొసైన్ చతురస్రాల మొత్తం
మొత్తం మరియు వ్యత్యాసం నుండి సైన్ మరియు కొసైన్ కోసం సూత్రాలు
;
;
సైన్స్ మరియు కొసైన్‌ల ఉత్పత్తికి సూత్రాలు
సమ్ మరియు తేడా సూత్రాలు
కొసైన్ ద్వారా సైన్‌ని వ్యక్తపరచడం
;
;
;
.
సైన్ ద్వారా కొసైన్‌ను వ్యక్తపరుస్తుంది
;
;
;
.
టాంజెంట్ ద్వారా వ్యక్తీకరణ
; .
ఎప్పుడు , మనకు ఉన్నాయి:
;
.
వద్ద:
;
.
సైన్స్ మరియు కొసైన్‌లు, టాంజెంట్‌లు మరియు కోటాంజెంట్‌ల పట్టిక
ఈ పట్టిక ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క నిర్దిష్ట విలువలకు సైన్స్ మరియు కొసైన్‌ల విలువలను చూపుతుంది. 
సంక్లిష్ట వేరియబుల్స్ ద్వారా వ్యక్తీకరణలు
;
ఆయిలర్ సూత్రం
{ -∞ < x < +∞ }
సెకెంట్, కోసెకెంట్
విలోమ విధులు
సైన్ మరియు కొసైన్ యొక్క విలోమ విధులు వరుసగా ఆర్క్సిన్ మరియు ఆర్కోసిన్.
ఆర్క్సిన్, ఆర్క్సిన్
ఆర్కోసిన్, ఆర్కోస్
వాడిన సాహిత్యం:
ఐ.ఎన్. బ్రోన్‌స్టెయిన్, K.A. సెమెండ్యావ్, ఇంజనీర్లు మరియు కళాశాల విద్యార్థుల కోసం మ్యాథమెటిక్స్ హ్యాండ్‌బుక్, "లాన్", 2009.
అంశంపై పాఠం మరియు ప్రదర్శన: "ఫంక్షన్ y=sin(x). నిర్వచనాలు మరియు లక్షణాలు"
అదనపు పదార్థాలు
ప్రియమైన వినియోగదారులు, మీ వ్యాఖ్యలు, సమీక్షలు, శుభాకాంక్షలు తెలియజేయడం మర్చిపోవద్దు! అన్ని పదార్థాలు యాంటీ-వైరస్ ప్రోగ్రామ్ ద్వారా తనిఖీ చేయబడ్డాయి.
1C నుండి గ్రేడ్ 10 కోసం ఇంటిగ్రల్ ఆన్‌లైన్ స్టోర్‌లో మాన్యువల్‌లు మరియు సిమ్యులేటర్‌లు
మేము జ్యామితిలో సమస్యలను పరిష్కరిస్తాము. 7-10 తరగతులకు ఇంటరాక్టివ్ నిర్మాణ పనులు
సాఫ్ట్‌వేర్ వాతావరణం "1C: మ్యాథమెటికల్ కన్‌స్ట్రక్టర్ 6.1"
మేము ఏమి అధ్యయనం చేస్తాము:
- Y=sin(X) ఫంక్షన్ యొక్క లక్షణాలు
- ఫంక్షన్ గ్రాఫ్.
- గ్రాఫ్ మరియు దాని స్థాయిని ఎలా నిర్మించాలి.
- ఉదాహరణలు.
సైన్ యొక్క లక్షణాలు. Y=పాపం(X)
గైస్, మేము ఇప్పటికే సంఖ్యా వాదన యొక్క త్రికోణమితి ఫంక్షన్లతో పరిచయం చేసుకున్నాము. అవి గుర్తున్నాయా?
Y=sin(X) ఫంక్షన్‌ని నిశితంగా పరిశీలిద్దాం
ఈ ఫంక్షన్ యొక్క కొన్ని లక్షణాలను వ్రాద్దాం:
1) నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ వాస్తవ సంఖ్యల సమితి.
2) ఫంక్షన్ బేసి. బేసి ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనాన్ని గుర్తుంచుకోండి. సమానత్వం కలిగి ఉంటే ఫంక్షన్ బేసి అంటారు: y(-x)=-y(x). మేము దెయ్యం సూత్రాల నుండి గుర్తుంచుకోవాలి: sin(-x)=-sin(x). నిర్వచనం నెరవేరింది, అంటే Y=sin(X) అనేది బేసి ఫంక్షన్.
3) ఫంక్షన్ Y=sin(X) సెగ్మెంట్‌పై పెరుగుతుంది మరియు సెగ్మెంట్‌పై తగ్గుతుంది [π/2; π]. మనం మొదటి త్రైమాసికంలో (అపసవ్యదిశలో) కదిలినప్పుడు, ఆర్డినేట్ పెరుగుతుంది మరియు రెండవ త్రైమాసికంలో కదిలినప్పుడు, అది తగ్గుతుంది.
4) ఫంక్షన్ Y=sin(X) దిగువ నుండి మరియు పై నుండి పరిమితం చేయబడింది. ఈ ఆస్తి వాస్తవం నుండి అనుసరిస్తుంది
-1 ≤ పాపం(X) ≤ 1
5) ఫంక్షన్ యొక్క అతి చిన్న విలువ -1 (x = - π/2+ πk వద్ద). ఫంక్షన్ యొక్క అతిపెద్ద విలువ 1 (x = π/2+ πk వద్ద).
Y=sin(X) ఫంక్షన్‌ను ప్లాట్ చేయడానికి 1-5 లక్షణాలను ఉపయోగిస్తాము. మేము మా లక్షణాలను వర్తింపజేస్తూ మా గ్రాఫ్‌ను వరుసగా నిర్మిస్తాము. విభాగంలో గ్రాఫ్‌ను రూపొందించడం ప్రారంభిద్దాం.
ప్రత్యేక శ్రద్ధ స్థాయికి చెల్లించాలి. ఆర్డినేట్ అక్షంలో 2 కణాలకు సమానమైన యూనిట్ విభాగాన్ని తీసుకోవడం మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది మరియు అబ్సిస్సా అక్షంపై π/3కి సమానమైన యూనిట్ సెగ్మెంట్ (రెండు కణాలు) తీసుకోవడం మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది (ఫిగర్ చూడండి).
_2.png)
సైన్ ఫంక్షన్ x, y=sin(x)ని ప్లాట్ చేయడం
మన విభాగంలో ఫంక్షన్ యొక్క విలువలను గణిద్దాం:
_3.png)
మూడవ ప్రాపర్టీని పరిగణనలోకి తీసుకుని, మన పాయింట్లను ఉపయోగించి గ్రాఫ్‌ను రూపొందిద్దాం.
_4.png)
దెయ్యం సూత్రాల కోసం మార్పిడి పట్టిక
మన ఫంక్షన్ బేసి అని చెప్పే రెండవ లక్షణాన్ని వుపయోగిద్దాం, అంటే మూలానికి సంబంధించి ఇది సుష్టంగా ప్రతిబింబిస్తుంది:
_5.png)
పాపం(x+ 2π) = sin(x) అని మనకు తెలుసు. దీని అర్థం సెగ్మెంట్లో [- π; π] గ్రాఫ్ సెగ్మెంట్ [π; 3π] లేదా [-3π; - π] మరియు మొదలైనవి. మనం చేయాల్సిందల్లా మునుపటి చిత్రంలో ఉన్న గ్రాఫ్‌ను మొత్తం x-యాక్సిస్‌తో పాటు జాగ్రత్తగా మళ్లీ గీయడం.
_6.png)
Y=sin(X) ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను సైనూసాయిడ్ అంటారు.
నిర్మించిన గ్రాఫ్ ప్రకారం మరికొన్ని లక్షణాలను వ్రాస్దాం:
6) Y=sin(X) ఫంక్షన్ ఫారమ్‌లోని ఏదైనా విభాగంలో పెరుగుతుంది: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k అనేది పూర్ణాంకం మరియు ఫారమ్‌లోని ఏదైనా విభాగంలో తగ్గుతుంది: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k – పూర్ణాంకం.
7) ఫంక్షన్ Y=sin(X) ఒక నిరంతర ఫంక్షన్. ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ని చూద్దాం మరియు మన ఫంక్షన్‌కు బ్రేక్‌లు లేవని నిర్ధారించుకోండి, దీని అర్థం కొనసాగింపు.
8) విలువల పరిధి: సెగ్మెంట్ [- 1; 1]. ఇది ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ నుండి కూడా స్పష్టంగా కనిపిస్తుంది.
9) ఫంక్షన్ Y=sin(X) - ఆవర్తన ఫంక్షన్. గ్రాఫ్‌ను మళ్లీ చూద్దాం మరియు ఫంక్షన్ నిర్దిష్ట వ్యవధిలో అదే విలువలను తీసుకుంటుందని చూద్దాం.
సైన్ తో సమస్యల ఉదాహరణలు
1. sin(x)= x-π సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి
పరిష్కారం: ఫంక్షన్ యొక్క 2 గ్రాఫ్‌లను రూపొందిద్దాం: y=sin(x) మరియు y=x-π (ఫిగర్ చూడండి).
మా గ్రాఫ్‌లు ఒక పాయింట్ A(π;0) వద్ద కలుస్తాయి, ఇది సమాధానం: x = π
_7.png)
2. y=sin(π/6+x)-1 ఫంక్షన్‌ను గ్రాఫ్ చేయండి
పరిష్కారం: y=sin(x) π/6 యూనిట్ల ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను ఎడమవైపుకు మరియు 1 యూనిట్ క్రిందికి తరలించడం ద్వారా కావలసిన గ్రాఫ్ పొందబడుతుంది.
_8.png)
పరిష్కారం: ఫంక్షన్‌ను ప్లాట్ చేద్దాం మరియు మన విభాగాన్ని పరిశీలిద్దాం [π/2; 5π/4].
ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ వరుసగా π/2 మరియు 5π/4 పాయింట్ల వద్ద సెగ్మెంట్ చివర్లలో అతిపెద్ద మరియు చిన్న విలువలు సాధించబడతాయని చూపిస్తుంది.
సమాధానం: sin(π/2) = 1 – అతిపెద్ద విలువ, sin(5π/4) = అతి చిన్న విలువ.
_9.png)
స్వతంత్ర పరిష్కారం కోసం సైన్ సమస్యలు
- సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
- y=sin(π/3+x)-2 ఫంక్షన్‌ను గ్రాఫ్ చేయండి
- y=sin(-2π/3+x)+1 ఫంక్షన్‌ను గ్రాఫ్ చేయండి
- విభాగంలో y=sin(x) ఫంక్షన్ యొక్క అతిపెద్ద మరియు చిన్న విలువను కనుగొనండి
- [- π/3 విరామంలో y=sin(x) ఫంక్షన్ యొక్క అతిపెద్ద మరియు అతిచిన్న విలువను కనుగొనండి; 5π/6]
>>గణితం: విధులు y = sin x, y = cos x, వాటి లక్షణాలు మరియు గ్రాఫ్‌లు
విధులు y = sin x, y = cos x, వాటి లక్షణాలు మరియు గ్రాఫ్‌లు
ఈ విభాగంలో మనం y = sin x, y = cos x ఫంక్షన్ల యొక్క కొన్ని లక్షణాలను చర్చిస్తాము మరియు వాటి గ్రాఫ్‌లను నిర్మిస్తాము.
1. ఫంక్షన్ y = sin X.
పైన, § 20లో, మేము ప్రతి సంఖ్య tని cos t సంఖ్యతో అనుబంధించడానికి అనుమతించే నియమాన్ని రూపొందించాము, అనగా. ఫంక్షన్ y = sin t. దానిలోని కొన్ని లక్షణాలను మనం గమనించండి.
ఫంక్షన్ యొక్క లక్షణాలు u = sin t.
నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ వాస్తవ సంఖ్యల సెట్ K.
ఏదైనా సంఖ్య 2 అనేది సంఖ్యా వృత్తంలోని ఒక బిందువు M(1)కి అనుగుణంగా ఉంటుంది, ఇది బాగా నిర్వచించబడిన ఆర్డినేట్‌ను కలిగి ఉంటుంది; ఈ ఆర్డినేట్ ఖర్చు t.
u = sin t అనేది బేసి ఫంక్షన్.
§ 19లో నిరూపించబడినట్లుగా, ఏదైనా t సమానత్వానికి ఇది వర్తిస్తుంది
దీనర్థం u = sin t ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్, ఏదైనా బేసి ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ లాగా, దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ tOiలో మూలానికి సంబంధించి సుష్టంగా ఉంటుంది.
u = sin t అనే ఫంక్షన్ విరామంలో పెరుగుతుంది 
సంఖ్య వృత్తం యొక్క మొదటి త్రైమాసికంలో ఒక బిందువు కదులుతున్నప్పుడు, ఆర్డినేట్ క్రమంగా పెరుగుతుంది (0 నుండి 1 వరకు - అంజీర్ 115 చూడండి), మరియు పాయింట్ సంఖ్య వృత్తం యొక్క రెండవ త్రైమాసికంలో కదులుతున్నప్పుడు, ఆర్డినేట్ క్రమంగా తగ్గుతుంది (1 నుండి 0 వరకు - అంజీర్ 116 చూడండి).
ఫంక్షన్ u = sint క్రింద మరియు పైన రెండు సరిహద్దులుగా ఉంది. మేము § 19 లో చూసినట్లుగా, ఏదైనా t అసమానత కోసం ఇది వాస్తవం నుండి అనుసరిస్తుంది
(ఫంక్షన్ ఫారమ్‌లోని ఏ పాయింట్ వద్దనైనా ఈ విలువను చేరుకుంటుంది 
(ఫంక్షన్ ఫారమ్‌లోని ఏ పాయింట్ వద్దనైనా ఈ విలువను చేరుకుంటుంది
పొందిన లక్షణాలను ఉపయోగించి, మనకు ఆసక్తి ఉన్న ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను మేము నిర్మిస్తాము. కానీ (శ్రద్ధ!) u - sin t కి బదులుగా మనం y = sin x అని వ్రాస్తాము (అన్ని తరువాత, మేము y = f(x), మరియు u = f(t) అని వ్రాయడం అలవాటు చేసుకున్నాము). దీని అర్థం మనం సాధారణ xOy కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో గ్రాఫ్‌ను నిర్మిస్తాము (మరియు tOy కాదు).
ఫంక్షన్ y - sin x విలువల పట్టికను తయారు చేద్దాం:
వ్యాఖ్యానించండి.
"సైన్" అనే పదం యొక్క మూలం యొక్క సంస్కరణల్లో ఒకదానిని ఇద్దాం. లాటిన్‌లో సైనస్ అంటే బెండ్ (బో స్ట్రింగ్) అని అర్థం.
నిర్మించిన గ్రాఫ్ కొంతవరకు ఈ పరిభాషను సమర్థిస్తుంది. 
y = sin x ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌గా పనిచేసే లైన్‌ను సైన్ వేవ్ అంటారు. అంజీర్‌లో చూపిన సైనూసోయిడ్ యొక్క ఆ భాగం. 118 లేదా 119ని సైన్ వేవ్ అని పిలుస్తారు మరియు అంజీర్‌లో చూపబడిన సైన్ వేవ్‌లోని ఆ భాగాన్ని. 117ను సైన్ వేవ్ యొక్క హాఫ్-వేవ్ లేదా ఆర్క్ అంటారు.
2. ఫంక్షన్ y = cos x.
y = cos x ఫంక్షన్ యొక్క అధ్యయనం y = sin x ఫంక్షన్ కోసం పైన ఉపయోగించిన అదే పథకం ప్రకారం సుమారుగా నిర్వహించబడుతుంది. కానీ మేము వేగంగా లక్ష్యానికి దారితీసే మార్గాన్ని ఎంచుకుంటాము. మొదట, మేము తమలో తాము ముఖ్యమైన రెండు సూత్రాలను నిరూపిస్తాము (మీరు దీన్ని ఉన్నత పాఠశాలలో చూస్తారు), కానీ ప్రస్తుతానికి మా ప్రయోజనాల కోసం సహాయక ప్రాముఖ్యత మాత్రమే ఉంది.
t యొక్క ఏదైనా విలువ కోసం క్రింది సమానతలు చెల్లుతాయి:
రుజువు. సంఖ్య t సంఖ్యా వృత్తం n యొక్క పాయింట్ Mకి అనుగుణంగా ఉండనివ్వండి మరియు సంఖ్య * + - పాయింట్ P (Fig. 124; సరళత కొరకు, మేము మొదటి త్రైమాసికంలో పాయింట్ M తీసుకున్నాము). ఆర్క్‌లు AM మరియు BP సమానంగా ఉంటాయి మరియు కుడి త్రిభుజాలు OKM మరియు OLBP సమానంగా ఉంటాయి. దీని అర్థం O K = Ob, MK = Pb. ఈ సమానత్వాల నుండి మరియు కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లోని త్రిభుజాల OCM మరియు OBP స్థానం నుండి, మేము రెండు తీర్మానాలు చేస్తాము:
1) పాయింట్ P యొక్క ఆర్డినేట్ పరిమాణం మరియు గుర్తు రెండింటిలోనూ పాయింట్ M యొక్క అబ్సిస్సాతో సమానంగా ఉంటుంది; దీని అర్థం
2) పాయింట్ P యొక్క అబ్సిస్సా పాయింట్ M యొక్క ఆర్డినేట్‌కు సంపూర్ణ విలువతో సమానంగా ఉంటుంది, కానీ దాని నుండి సంకేతంలో తేడా ఉంటుంది; దీని అర్థం
పాయింట్ M మొదటి త్రైమాసికానికి చెందని సందర్భాల్లో దాదాపు అదే తార్కికం నిర్వహించబడుతుంది.
సూత్రాన్ని ఉపయోగించుకుందాం 
(ఇది పైన నిరూపించబడిన ఫార్ములా, కానీ వేరియబుల్ tకి బదులుగా మనం వేరియబుల్ xని ఉపయోగిస్తాము). ఈ ఫార్ములా మనకు ఏమి ఇస్తుంది? ఇది విధులు అని నొక్కిచెప్పడానికి అనుమతిస్తుంది
ఒకేలా ఉంటాయి, అంటే వాటి గ్రాఫ్‌లు సమానంగా ఉంటాయి.
ఫంక్షన్ ప్లాట్ చేద్దాం 
దీన్ని చేయడానికి, ఒక పాయింట్ వద్ద మూలంతో సహాయక కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌కు వెళ్దాం (చుక్కల రేఖ అంజీర్ 125లో డ్రా చేయబడింది). y = sin x ఫంక్షన్‌ని కొత్త కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌కు బంధిద్దాం - ఇది ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ అవుతుంది 
(Fig. 125), i.e. ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ y - cos x. ఇది, ఫంక్షన్ y = sin x యొక్క గ్రాఫ్ లాగా, సైన్ వేవ్ అంటారు (ఇది చాలా సహజమైనది).
y = cos x ఫంక్షన్ యొక్క లక్షణాలు.
y = cos x అనేది సరి ఫంక్షన్.
నిర్మాణ దశలు అంజీర్‌లో చూపబడ్డాయి. 126:
1) ఫంక్షన్ y = cos x (మరింత ఖచ్చితంగా, ఒక సగం-వేవ్) యొక్క గ్రాఫ్‌ను రూపొందించండి;
2) 0.5 కారకంతో x- అక్షం నుండి నిర్మించిన గ్రాఫ్‌ను సాగదీయడం ద్వారా, మేము అవసరమైన గ్రాఫ్‌లో ఒక సగం-వేవ్‌ను పొందుతాము;
3) ఫలితంగా వచ్చే సగం-వేవ్‌ని ఉపయోగించి, మేము y = 0.5 cos x ఫంక్షన్ యొక్క మొత్తం గ్రాఫ్‌ను నిర్మిస్తాము.