వ్యక్తీకరణ ఉదాహరణలను ఎలా సరళీకృతం చేయాలి. బీజగణిత వ్యక్తీకరణలను ఎలా సరళీకృతం చేయాలి

§ 1 సాహిత్య వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేసే భావన

ఈ పాఠంలో, మేము "సారూప్య పదాలు" అనే భావనతో పరిచయం పొందుతాము మరియు ఉదాహరణలను ఉపయోగించి, సారూప్య పదాల తగ్గింపును ఎలా నిర్వహించాలో నేర్చుకుంటాము, తద్వారా సాహిత్య వ్యక్తీకరణలను సరళీకృతం చేస్తాము.

"సరళీకరణ" అనే భావన యొక్క అర్థాన్ని తెలుసుకుందాం. "సరళీకరణ" అనే పదం "సులభతరం" అనే పదం నుండి ఉద్భవించింది. సరళీకరించడం అంటే సరళంగా, సరళంగా చేయడం. అందువల్ల, సాహిత్య వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయడం అంటే దానిని చిన్నదిగా చేయడం కనీస పరిమాణంచర్యలు.

9x + 4x వ్యక్తీకరణను పరిగణించండి. ఇది మొత్తంగా ఉండే సాహిత్య వ్యక్తీకరణ. ఇక్కడ నిబంధనలు సంఖ్య మరియు అక్షరం యొక్క ఉత్పత్తులుగా ప్రదర్శించబడ్డాయి. అటువంటి పదాల సంఖ్యా కారకాన్ని గుణకం అంటారు. ఈ వ్యక్తీకరణలో, గుణకాలు 9 మరియు 4 సంఖ్యలుగా ఉంటాయి. దయచేసి ఈ మొత్తం యొక్క రెండు నిబంధనలలో అక్షరం ద్వారా సూచించబడే కారకం ఒకేలా ఉంటుందని గమనించండి.

గుణకారం యొక్క పంపిణీ నియమాన్ని గుర్తుచేసుకుందాం:

మొత్తాన్ని సంఖ్యతో గుణించడానికి, మీరు ప్రతి పదాన్ని ఆ సంఖ్యతో గుణించి, ఫలిత ఉత్పత్తులను జోడించవచ్చు.

IN సాధారణ వీక్షణఈ క్రింది విధంగా వ్రాయబడింది: (a + b) ∙ c = ac + bc.

ఈ చట్టం ac + bc = (a + b) ∙ c రెండు దిశల్లోనూ వర్తిస్తుంది

దీన్ని మన సాహిత్య వ్యక్తీకరణకు వర్తింపజేద్దాం: 9x మరియు 4x ఉత్పత్తుల మొత్తం మొదటి కారకం అయిన ఉత్పత్తికి సమానం మొత్తానికి సమానం 9 మరియు 4, రెండవ అంశం x.

9 + 4 = 13, అది 13x.

9x + 4 x = (9 + 4)x = 13x.

వ్యక్తీకరణలో మూడు చర్యలకు బదులుగా, ఒక చర్య మాత్రమే మిగిలి ఉంది - గుణకారం. దీని అర్థం మనం మన సాహిత్య వ్యక్తీకరణను సరళంగా చేసాము, అనగా. దానిని సరళీకృతం చేసింది.

§ 2 సారూప్య నిబంధనల తగ్గింపు

9x మరియు 4x అనే పదాలు వాటి గుణకాలలో మాత్రమే విభిన్నంగా ఉంటాయి - అటువంటి పదాలను సారూప్యత అంటారు. సారూప్య పదాల అక్షర భాగం ఒకేలా ఉంటుంది. సారూప్య పదాలలో సంఖ్యలు మరియు సమాన పదాలు కూడా ఉంటాయి.

ఉదాహరణకు, వ్యక్తీకరణలో 9a + 12 - 15 సారూప్య పదాలు 12 మరియు -15 సంఖ్యలు మరియు 12 మరియు 6a ల ఉత్పత్తి మొత్తంలో, సంఖ్య 14 మరియు 12 మరియు 6a (12 ∙ 6a + 14) + 12 ∙ 6a) 12 మరియు 6a యొక్క ఉత్పత్తి ద్వారా సూచించబడే సమాన పదాలు.

గుణకాలు సమానంగా ఉంటాయి, కానీ అక్షర కారకాలు భిన్నంగా ఉండే పదాలు సారూప్యంగా ఉండవని గమనించడం ముఖ్యం, అయితే వాటికి గుణకారం యొక్క పంపిణీ నియమాన్ని వర్తింపజేయడం కొన్నిసార్లు ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది, ఉదాహరణకు, ఉత్పత్తుల మొత్తం 5x మరియు 5y సంఖ్య 5 మరియు x మరియు y మొత్తానికి సమానం

5x + 5y = 5(x + y).

-9a + 15a - 4 + 10 వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేద్దాం.

లో ఇలాంటి నిబంధనలు ఈ విషయంలో-9a మరియు 15a అనే పదాలు, ఎందుకంటే అవి వాటి గుణకాలలో మాత్రమే విభిన్నంగా ఉంటాయి. వారి అక్షరం గుణకం ఒకేలా ఉంటుంది మరియు పదాలు -4 మరియు 10 కూడా సమానంగా ఉంటాయి, ఎందుకంటే అవి సంఖ్యలు. సారూప్య పదాలను జోడించండి:

9a + 15a - 4 + 10

9a + 15a = 6a;

మనకు లభిస్తుంది: 6a + 6.

వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయడం ద్వారా, మేము గణితంలో సారూప్య పదాల మొత్తాలను కనుగొన్నాము, దీనిని సారూప్య పదాల తగ్గింపు అంటారు.

అటువంటి పదాలను జోడించడం కష్టం అయితే, మీరు వాటి కోసం పదాలను రూపొందించవచ్చు మరియు వస్తువులను జోడించవచ్చు.

ఉదాహరణకు, వ్యక్తీకరణను పరిగణించండి:

ప్రతి అక్షరానికి మేము మా స్వంత వస్తువును తీసుకుంటాము: బి-యాపిల్, సి-పియర్, అప్పుడు మనకు లభిస్తుంది: 2 ఆపిల్ల మైనస్ 5 బేరి ప్లస్ 8 బేరి.

మేము ఆపిల్ నుండి బేరిని తీసివేయవచ్చా? అస్సలు కానే కాదు. కానీ మేము మైనస్ 5 బేరిలకు 8 పియర్లను జోడించవచ్చు.

సారూప్య పదాలు -5 బేరి + 8 బేరిని ప్రదర్శిస్తాము. సారూప్య పదాలు ఒకే అక్షర భాగాన్ని కలిగి ఉంటాయి, కాబట్టి సారూప్య పదాలను తీసుకువచ్చేటప్పుడు గుణకాలను జోడించి, ఫలితానికి అక్షర భాగాన్ని జోడించడం సరిపోతుంది:

(-5 + 8) బేరి - మీరు 3 బేరిని పొందుతారు.

మా సాహిత్య వ్యక్తీకరణకు తిరిగి వస్తే, మనకు -5 s + 8 s = 3 సె. ఈ విధంగా, సారూప్య నిబంధనలను తీసుకువచ్చిన తర్వాత, మేము 2b + 3c అనే వ్యక్తీకరణను పొందుతాము.

కాబట్టి, ఈ పాఠంలో మీరు "సారూప్య పదాలు" అనే భావనతో పరిచయం అయ్యారు మరియు ఇలాంటి పదాలను తగ్గించడం ద్వారా అక్షరాల వ్యక్తీకరణలను ఎలా సరళీకృతం చేయాలో నేర్చుకున్నారు.

ఉపయోగించిన సాహిత్యాల జాబితా:

1. గణితం. 6వ తరగతి: పాఠ్య ప్రణాళికలుపాఠ్యపుస్తకానికి I.I. జుబరేవా, A.G. మోర్డ్కోవిచ్ // రచయిత-కంపైలర్ L.A. టోపిలినా. Mnemosyne 2009.
2. గణితం. 6వ తరగతి: విద్యార్థులకు పాఠ్య పుస్తకం విద్యా సంస్థలు. I.I జుబరేవా, A.G. మోర్డ్కోవిచ్ - M.: Mnemosyne, 2013.
3. గణితం. 6వ తరగతి: సాధారణ విద్యాసంస్థలకు పాఠ్యపుస్తకం/G.V. డోరోఫీవ్, I.F. షారిగిన్, S.B. సువోరోవ్ మరియు ఇతరులు/ఎడిట్ చేసినవారు జి.వి. డోరోఫీవా, I.F. Sharygina; రష్యన్ అకాడమీ ఆఫ్ సైన్సెస్, రష్యన్ అకాడమీ ఆఫ్ ఎడ్యుకేషన్. M.: "జ్ఞానోదయం", 2010.
4. గణితం. 6వ తరగతి: సాధారణ విద్యాసంస్థలకు అధ్యయనం/N.Ya. విలెంకిన్, V.I. జోఖోవ్, A.S. చెస్నోకోవ్, S.I. స్క్వార్ట్జ్‌బర్డ్. - M.: Mnemosyne, 2013.
5. గణితం. 6వ తరగతి: పాఠ్యపుస్తకం/G.K. మురవిన్, O.V. మురవీణ. - M.: బస్టర్డ్, 2014.

ఉపయోగించిన చిత్రాలు:

తరచుగా పనులకు సరళీకృత సమాధానం అవసరం. సరళీకృత మరియు సరళీకృతం కాని సమాధానాలు రెండూ సరైనవే అయినప్పటికీ, మీరు మీ సమాధానాన్ని సరళీకృతం చేయకుంటే మీ బోధకుడు మీ గ్రేడ్‌ను తగ్గించవచ్చు. అంతేకాకుండా, సరళీకృత గణిత వ్యక్తీకరణతో పని చేయడం చాలా సులభం. అందువల్ల, వ్యక్తీకరణలను సరళీకృతం చేయడం నేర్చుకోవడం చాలా ముఖ్యం.

దశలు

గణిత కార్యకలాపాల యొక్క సరైన క్రమం

1. అమలు యొక్క సరైన క్రమాన్ని గుర్తుంచుకోండి గణిత కార్యకలాపాలు. గణిత వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేసేటప్పుడు, దానిని గమనించడం అవసరం ఒక నిర్దిష్ట క్రమంచర్యలు, ఎందుకంటే కొన్ని గణిత శాస్త్ర కార్యకలాపాలు ఇతరులపై ప్రాధాన్యతనిస్తాయి మరియు ముందుగా చేయాలి (వాస్తవానికి, ఆపరేషన్లు చేసే సరైన క్రమాన్ని అనుసరించకపోవడం తప్పు ఫలితానికి దారి తీస్తుంది). కింది గణిత కార్యకలాపాల క్రమాన్ని గుర్తుంచుకోండి: కుండలీకరణాల్లో వ్యక్తీకరణ, ఘాతాంకం, గుణకారం, విభజన, కూడిక, తీసివేత.

   • ఆపరేషన్ల యొక్క సరైన క్రమాన్ని తెలుసుకోవడం చాలా సరళమైన వ్యక్తీకరణలను సులభతరం చేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది, కానీ బహుపదిని (వేరియబుల్‌తో కూడిన వ్యక్తీకరణ) సరళీకృతం చేయడానికి మీరు ప్రత్యేక ఉపాయాలను తెలుసుకోవాలి (తదుపరి విభాగాన్ని చూడండి).

2. కుండలీకరణాల్లో వ్యక్తీకరణను పరిష్కరించడం ద్వారా ప్రారంభించండి.గణితంలో, కుండలీకరణాలు వాటిలోని వ్యక్తీకరణను ముందుగా మూల్యాంకనం చేయాలని సూచిస్తున్నాయి. అందువల్ల, ఏదైనా గణిత వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేస్తున్నప్పుడు, కుండలీకరణాల్లో జతచేయబడిన వ్యక్తీకరణను పరిష్కరించడం ద్వారా ప్రారంభించండి (కుండలీకరణాల లోపల మీరు ఏ ఆపరేషన్లు చేయాలనేది పట్టింపు లేదు). కానీ బ్రాకెట్లలో జతచేయబడిన వ్యక్తీకరణతో పని చేస్తున్నప్పుడు, మీరు తప్పనిసరిగా ఆపరేషన్ల క్రమాన్ని అనుసరించాలి, అనగా బ్రాకెట్లలోని నిబంధనలు మొదట గుణించబడతాయి, విభజించబడతాయి, జోడించబడతాయి, తీసివేయబడతాయి మరియు మొదలైనవి.

   • ఉదాహరణకు, వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేద్దాం 2x + 4(5 + 2) + 3 2 - (3 + 4/2). ఇక్కడ మేము బ్రాకెట్లలోని వ్యక్తీకరణలతో ప్రారంభిస్తాము: 5 + 2 = 7 మరియు 3 + 4/2 = 3 + 2 =5.
     • రెండవ జత కుండలీకరణాల్లోని వ్యక్తీకరణ 5కి సులభతరం అవుతుంది ఎందుకంటే 4/2 ముందుగా విభజించబడాలి (సరైన ఆపరేషన్ల క్రమం ప్రకారం). మీరు ఈ క్రమాన్ని అనుసరించకుంటే, మీరు తప్పు సమాధానం పొందుతారు: 3 + 4 = 7 మరియు 7 ÷ 2 = 7/2.
   • కుండలీకరణాల్లో మరొక జత కుండలీకరణాలు ఉంటే, అంతర్గత కుండలీకరణాల్లోని వ్యక్తీకరణను పరిష్కరించడం ద్వారా సరళీకృతం చేయడం ప్రారంభించండి మరియు బయటి కుండలీకరణాల్లోని వ్యక్తీకరణను పరిష్కరించడానికి కొనసాగండి.

3. ఎక్స్పోనెంటియేట్ చేయండి.కుండలీకరణాల్లోని వ్యక్తీకరణలను పరిష్కరించిన తర్వాత, ఎక్స్‌పోనెన్షియేషన్‌కు వెళ్లండి (శక్తికి ఘాతాంకం మరియు ఆధారం ఉందని గుర్తుంచుకోండి). సంబంధిత వ్యక్తీకరణను (లేదా సంఖ్య) శక్తికి పెంచండి మరియు ఫలితాన్ని మీకు అందించిన వ్యక్తీకరణలో భర్తీ చేయండి.

   • మా ఉదాహరణలో, శక్తికి ఉన్న ఏకైక వ్యక్తీకరణ (సంఖ్య) 3 2: 3 2 = 9. మీకు ఇచ్చిన వ్యక్తీకరణలో, 3 2ని 9తో భర్తీ చేయండి మరియు మీరు పొందుతారు: 2x + 4(7) + 9 - 5.

4. గుణించండి.గుణకారం ఆపరేషన్ క్రింది చిహ్నాల ద్వారా సూచించబడుతుందని గుర్తుంచుకోండి: "x", "∙" లేదా "*". కానీ సంఖ్య మరియు వేరియబుల్ మధ్య (ఉదాహరణకు, 2x) లేదా సంఖ్య మరియు సంఖ్యల మధ్య కుండలీకరణాల్లో (ఉదాహరణకు, 4(7)) చిహ్నాలు లేకపోతే, ఇది కూడా గుణకార చర్య.

   • మా ఉదాహరణలో, రెండు గుణకార కార్యకలాపాలు ఉన్నాయి: 2x (రెండు వేరియబుల్ “x” ద్వారా గుణించబడుతుంది) మరియు 4(7) (నాలుగును ఏడుతో గుణించాలి). మాకు x విలువ తెలియదు, కాబట్టి మేము 2x అనే వ్యక్తీకరణను అలాగే ఉంచుతాము. 4(7) = 4 x 7 = 28. ఇప్పుడు మీరు మీకు ఇచ్చిన వ్యక్తీకరణను ఈ క్రింది విధంగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు: 2x + 28 + 9 - 5.

5. విభజించు.విభజన ఆపరేషన్ క్రింది చిహ్నాల ద్వారా సూచించబడుతుందని గుర్తుంచుకోండి: "/", "÷" లేదా "-" (మీరు ఈ చివరి అక్షరాన్ని భిన్నాలలో చూడవచ్చు). ఉదాహరణకు, 3/4 అనేది మూడుతో భాగించబడినది.

   • మా ఉదాహరణలో, కుండలీకరణాల్లో వ్యక్తీకరణను పరిష్కరించేటప్పుడు మీరు ఇప్పటికే 4ని 2 (4/2)తో విభజించినందున, ఇకపై విభజన ఆపరేషన్ లేదు. కాబట్టి మీరు వెళ్ళవచ్చు తరువాత ప్రక్రియ. చాలా వ్యక్తీకరణలు అన్ని గణిత కార్యకలాపాలను కలిగి ఉండవని గుర్తుంచుకోండి (వాటిలో కొన్ని మాత్రమే).

6. రెట్లు.వ్యక్తీకరణ నిబంధనలను జోడించేటప్పుడు, మీరు చాలా దూరం (ఎడమవైపు) పదంతో ప్రారంభించవచ్చు లేదా ముందుగా సులభంగా జోడించే నిబంధనలను జోడించవచ్చు. ఉదాహరణకు, 49 + 29 + 51 +71 అనే వ్యక్తీకరణలో, మొదట 49 + 51 = 100, ఆపై 29 + 71 = 100 మరియు చివరగా 100 + 100 = 200 జోడించడం సులభం. ఇలా జోడించడం చాలా కష్టం: 49 + 29 = 78; 78 + 51 = 129; 129 + 71 = 200.

   • మా ఉదాహరణలో 2x + 28 + 9 + 5 రెండు అదనపు కార్యకలాపాలు ఉన్నాయి. బయటి (ఎడమ) పదంతో ప్రారంభిద్దాం: 2x + 28; మీరు 2x మరియు 28ని జోడించలేరు ఎందుకంటే "x" వేరియబుల్ విలువ మీకు తెలియదు. కాబట్టి, 28 + 9 = 37 జోడించండి. ఇప్పుడు వ్యక్తీకరణను ఈ క్రింది విధంగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు: 2x + 37 - 5.

7. తీసివేయి.ఈ చివరి ఆపరేషన్వి సరైన క్రమంలోగణిత కార్యకలాపాలను నిర్వహిస్తోంది. ఈ దశలో మీరు కూడా జోడించవచ్చు ప్రతికూల సంఖ్యలులేదా సభ్యులను జోడించే దశలో దీన్ని చేయండి - ఇది తుది ఫలితాన్ని ఏ విధంగానూ ప్రభావితం చేయదు.

   • మా ఉదాహరణ 2x + 37 - 5 లో ఒకే వ్యవకలన ఆపరేషన్ ఉంది: 37 - 5 = 32.

8. ఈ దశలో, అన్ని గణిత కార్యకలాపాలను చేసిన తర్వాత, మీరు సరళీకృత వ్యక్తీకరణను పొందాలి.కానీ మీకు ఇచ్చిన వ్యక్తీకరణలో ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ వేరియబుల్స్ ఉంటే, వేరియబుల్‌తో ఉన్న పదం అలాగే ఉంటుందని గుర్తుంచుకోండి. వేరియబుల్‌తో వ్యక్తీకరణను పరిష్కరించడం (సరళీకరించడం కాదు) ఆ వేరియబుల్ విలువను కనుగొనడం. కొన్నిసార్లు వేరియబుల్ వ్యక్తీకరణలను ఉపయోగించి సరళీకృతం చేయవచ్చు ప్రత్యేక పద్ధతులు(తదుపరి విభాగాన్ని చూడండి).

   • మా ఉదాహరణలో, చివరి సమాధానం 2x + 32. మీరు వేరియబుల్ "x" విలువ తెలుసుకునే వరకు మీరు రెండు పదాలను జోడించలేరు. మీరు వేరియబుల్ విలువను తెలుసుకున్న తర్వాత, మీరు ఈ ద్విపదను సులభంగా సరళీకరించవచ్చు.

   సంక్లిష్ట వ్యక్తీకరణలను సరళీకృతం చేయడం

   1. సారూప్య పదాల జోడింపు.మీరు సారూప్య పదాలను మాత్రమే తీసివేయగలరని మరియు జోడించగలరని గుర్తుంచుకోండి, అంటే, అదే వేరియబుల్ మరియు నిబంధనలతో అదే సూచికడిగ్రీలు. ఉదాహరణకు, మీరు 7x మరియు 5xని జోడించవచ్చు, కానీ మీరు 7x మరియు 5x 2ని జోడించలేరు (ఘాతాంకాలు భిన్నంగా ఉంటాయి కాబట్టి).

      • ఈ నియమం బహుళ వేరియబుల్స్ ఉన్న సభ్యులకు కూడా వర్తిస్తుంది. ఉదాహరణకు, మీరు 2xy 2 మరియు -3xy 2 లను జోడించవచ్చు, కానీ మీరు 2xy 2 మరియు -3x 2 y లేదా 2xy 2 మరియు -3y 2 లను జోడించలేరు.
      • ఒక ఉదాహరణను చూద్దాం: x 2 + 3x + 6 - 8x. ఇక్కడ ఇలాంటి నిబంధనలు 3x మరియు 8x, కాబట్టి వాటిని కలిపి జోడించవచ్చు. సరళీకృత వ్యక్తీకరణ ఇలా కనిపిస్తుంది: x 2 - 5x + 6.

   2. సంఖ్య భిన్నాన్ని సరళీకృతం చేయండి.అటువంటి భిన్నంలో, న్యూమరేటర్ మరియు హారం రెండూ సంఖ్యలను కలిగి ఉంటాయి (వేరియబుల్ లేకుండా). సంఖ్యా భిన్నంఅనేక మార్గాల్లో సరళీకృతం చేయబడింది. మొదట, కేవలం లవం ద్వారా హారం విభజించండి. రెండవది, న్యూమరేటర్ మరియు డినామినేటర్‌ను కారకం చేయండి మరియు ఇలాంటి కారకాలను రద్దు చేయండి (ఒక సంఖ్యను స్వయంగా విభజించడం వలన మీకు 1 వస్తుంది). మరో మాటలో చెప్పాలంటే, న్యూమరేటర్ మరియు హారం రెండూ ఒకే కారకాన్ని కలిగి ఉంటే, మీరు దానిని వదిలివేసి సరళీకృత భిన్నాన్ని పొందవచ్చు.

      • ఉదాహరణకు, భిన్నం 36/60ని పరిగణించండి. కాలిక్యులేటర్‌ని ఉపయోగించి, 0.6 పొందడానికి 36ని 60తో భాగించండి. కానీ మీరు న్యూమరేటర్ మరియు హారం కారకం చేయడం ద్వారా ఈ భిన్నాన్ని మరొక విధంగా సులభతరం చేయవచ్చు: 36/60 = (6x6)/(6x10) = (6/6)*(6/10). 6/6 = 1 నుండి, సరళీకృత భిన్నం: 1 x 6/10 = 6/10. కానీ ఈ భిన్నాన్ని కూడా సరళీకరించవచ్చు: 6/10 = (2x3)/(2*5) = (2/2)*(3/5) = 3/5.

   3. భిన్నం వేరియబుల్‌ని కలిగి ఉంటే, మీరు వేరియబుల్‌తో కూడిన కారకాలను రద్దు చేయవచ్చు.న్యూమరేటర్ మరియు హారం రెండింటినీ ఫాక్టర్ చేయండి మరియు అలాంటి కారకాలను రద్దు చేయండి, అవి వేరియబుల్‌ని కలిగి ఉన్నప్పటికీ (ఇక్కడ ఉన్న ఇలాంటి కారకాలు వేరియబుల్‌ను కలిగి ఉండకపోవచ్చు లేదా ఉండకపోవచ్చని గుర్తుంచుకోండి).

      • ఒక ఉదాహరణను చూద్దాం: (3x 2 + 3x)/(-3x 2 + 15x). ఈ వ్యక్తీకరణను ఈ రూపంలో తిరిగి వ్రాయవచ్చు (కారకం చేయబడింది): (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x). 3x పదం న్యూమరేటర్ మరియు హారం రెండింటిలోనూ ఉన్నందున, మీరు సరళీకృత వ్యక్తీకరణను అందించడానికి దాన్ని రద్దు చేయవచ్చు: (x + 1)/(5 - x). మరొక ఉదాహరణను చూద్దాం: (2x 2 + 4x + 6)/2 = (2(x 2 + 2x + 3))/2 = x 2 + 2x + 3.
      • దయచేసి మీరు ఏ నిబంధనలను రద్దు చేయలేరని గుర్తుంచుకోండి - న్యూమరేటర్ మరియు హారం రెండింటిలోనూ ఉన్న ఒకేలాంటి కారకాలు మాత్రమే రద్దు చేయబడతాయి. ఉదాహరణకు, వ్యక్తీకరణలో (x(x + 2))/x, వేరియబుల్ (కారకం) “x” న్యూమరేటర్ మరియు హారం రెండింటిలోనూ ఉంటుంది, కాబట్టి సరళీకృత వ్యక్తీకరణను పొందడానికి “x”ని తగ్గించవచ్చు: (x + 2)/1 = x + 2. అయితే, వ్యక్తీకరణలో (x + 2)/x, వేరియబుల్ “x” ను తగ్గించడం సాధ్యం కాదు (ఎందుకంటే “x” అనేది న్యూమరేటర్‌లో కారకం కాదు).

   4. కుండలీకరణాలను తెరవండి.దీన్ని చేయడానికి, బ్రాకెట్లలోని ప్రతి పదం ద్వారా బ్రాకెట్ల వెలుపల ఉన్న పదాన్ని గుణించండి. కొన్నిసార్లు ఇది సంక్లిష్ట వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయడానికి సహాయపడుతుంది. ఇది ఇద్దరు సభ్యులకు వర్తిస్తుంది ప్రధాన సంఖ్యలు, మరియు వేరియబుల్ కలిగి ఉన్న సభ్యులకు.

      • ఉదాహరణకు, 3(x 2 + 8) = 3x 2 + 24, మరియు 3x (x 2 + 8) = 3x 3 + 24x.
      • దయచేసి గమనించండి పాక్షిక వ్యక్తీకరణలున్యూమరేటర్ మరియు హారం రెండింటిలోనూ ఒకే అంశం ఉన్నట్లయితే బ్రాకెట్లను తెరవాల్సిన అవసరం లేదు. ఉదాహరణకు, వ్యక్తీకరణలో (3(x 2 + 8))/3x కుండలీకరణాలను విస్తరించాల్సిన అవసరం లేదు, ఇక్కడ మీరు 3 యొక్క కారకాన్ని రద్దు చేసి, సరళీకృత వ్యక్తీకరణ (x 2 + 8)/xని పొందవచ్చు. ఈ వ్యక్తీకరణ పని చేయడం సులభం; మీరు కుండలీకరణాలను విస్తరించినట్లయితే, మీరు క్రింది సంక్లిష్ట వ్యక్తీకరణను పొందుతారు: (3x 3 + 24x)/3x.

   5. ఫాక్టర్ బహుపది.ఈ పద్ధతిని ఉపయోగించి, మీరు కొన్ని వ్యక్తీకరణలు మరియు బహుపదాలను సులభతరం చేయవచ్చు. ఫ్యాక్టరింగ్ అనేది ఒక ఆపరేషన్ ప్రారంభానికి వ్యతిరేకంబ్రాకెట్లు, అంటే, వ్యక్తీకరణ రెండు వ్యక్తీకరణల ఉత్పత్తిగా వ్రాయబడుతుంది, వీటిలో ప్రతి ఒక్కటి బ్రాకెట్లలో జతచేయబడుతుంది. కొన్ని సందర్భాల్లో, కారకాన్ని తగ్గించవచ్చు అదే వ్యక్తీకరణ. IN ప్రత్యేక కేసులు(సాధారణంగా తో వర్గ సమీకరణాలు) కారకం సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.

      • x 2 - 5x + 6 అనే వ్యక్తీకరణను పరిగణించండి. ఇది కారకం చేయబడింది: (x - 3)(x - 2). కాబట్టి, ఉదాహరణకు, వ్యక్తీకరణ ఇవ్వబడితే (x 2 - 5x + 6)/(2(x - 2)), అప్పుడు మీరు దానిని (x - 3)(x - 2)/(2(x)గా తిరిగి వ్రాయవచ్చు - 2)), వ్యక్తీకరణను తగ్గించండి (x - 2) మరియు సరళీకృత వ్యక్తీకరణ (x - 3)/2 పొందండి.
      • ఫాక్టరింగ్ బహుపది సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి (మూలాలను కనుగొనడానికి) ఉపయోగించబడుతుంది (ఒక సమీకరణం 0కి సమానమైన బహుపది). ఉదాహరణకు, x 2 - 5x + 6 = 0 సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. దానిని కారకం చేయడం ద్వారా, మీరు (x - 3)(x - 2) = 0 పొందుతారు. 0తో గుణించిన ఏదైనా వ్యక్తీకరణ 0కి సమానం కాబట్టి, మనం దానిని ఇలా వ్రాయవచ్చు ఇది : x - 3 = 0 మరియు x - 2 = 0. ఆ విధంగా, x = 3 మరియు x = 2, అంటే, మీకు ఇచ్చిన సమీకరణం యొక్క రెండు మూలాలను మీరు కనుగొన్నారు.

సాహిత్య వ్యక్తీకరణ (లేదా వేరియబుల్స్‌తో కూడిన వ్యక్తీకరణ) గణిత వ్యక్తీకరణ, ఇది గణిత కార్యకలాపాల యొక్క సంఖ్యలు, అక్షరాలు మరియు చిహ్నాలను కలిగి ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, కింది వ్యక్తీకరణ అక్షరార్థం:

a+b+4

అక్షర వ్యక్తీకరణలను ఉపయోగించి మీరు చట్టాలు, సూత్రాలు, సమీకరణాలు మరియు విధులను వ్రాయవచ్చు. అక్షరాల వ్యక్తీకరణలను మార్చగల సామర్థ్యం కీలకం మంచి జ్ఞానంబీజగణితం మరియు ఉన్నత గణితం.

గణితంలో ఏదైనా తీవ్రమైన సమస్య సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి వస్తుంది. మరియు సమీకరణాలను పరిష్కరించగలగడానికి, మీరు సాహిత్య వ్యక్తీకరణలతో పని చేయగలగాలి.

సాహిత్య వ్యక్తీకరణలతో పనిచేయడానికి, మీరు ప్రాథమిక అంకగణితంలో బాగా ప్రావీణ్యం కలిగి ఉండాలి: కూడిక, వ్యవకలనం, గుణకారం, విభజన, గణిత ప్రాథమిక చట్టాలు, భిన్నాలు, భిన్నాలతో కార్యకలాపాలు, నిష్పత్తులు. మరియు కేవలం అధ్యయనం కాదు, కానీ పూర్తిగా అర్థం.

పాఠం కంటెంట్

వేరియబుల్స్

సాహిత్య వ్యక్తీకరణలలో ఉండే అక్షరాలను అంటారు వేరియబుల్స్. ఉదాహరణకు, వ్యక్తీకరణలో a+b+4వేరియబుల్స్ అక్షరాలు aమరియు బి. ఈ వేరియబుల్స్‌కు బదులుగా మనం ఏదైనా సంఖ్యలను ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, అక్షర వ్యక్తీకరణ a+b+4సంప్రదించండి సంఖ్యా వ్యక్తీకరణ, దీని విలువను కనుగొనవచ్చు.

వేరియబుల్స్‌కు ప్రత్యామ్నాయంగా ఉండే సంఖ్యలను అంటారు వేరియబుల్స్ విలువలు. ఉదాహరణకు, వేరియబుల్స్ విలువలను మారుద్దాం aమరియు బి. సమాన గుర్తు విలువలను మార్చడానికి ఉపయోగించబడుతుంది

a = 2, b = 3

మేము వేరియబుల్స్ విలువలను మార్చాము aమరియు బి. వేరియబుల్ aవిలువను కేటాయించారు 2 , వేరియబుల్ బివిలువను కేటాయించారు 3 . ఫలితంగా, సాహిత్య వ్యక్తీకరణ a+b+4సాధారణ సంఖ్యా వ్యక్తీకరణగా మారుతుంది 2+3+4 దీని విలువను కనుగొనవచ్చు:

2 + 3 + 4 = 9

వేరియబుల్స్ గుణించినప్పుడు, అవి కలిసి వ్రాయబడతాయి. ఉదాహరణకు, రికార్డ్ చేయండి abప్రవేశం అంటే అదే a×b. మేము వేరియబుల్స్ ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే aమరియు బిసంఖ్యలు 2 మరియు 3 , అప్పుడు మనకు 6 వస్తుంది

2 × 3 = 6

మీరు కుండలీకరణాల్లోని వ్యక్తీకరణ ద్వారా సంఖ్య యొక్క గుణకారాన్ని కూడా కలిసి వ్రాయవచ్చు. ఉదాహరణకు, బదులుగా a×(b + c)రాసుకోవచ్చు a(b + c). గుణకారం యొక్క పంపిణీ చట్టాన్ని వర్తింపజేయడం, మేము పొందుతాము a(b + c)=ab+ac.

అసమానత

సాహిత్య వ్యక్తీకరణలలో మీరు తరచుగా ఒక సంఖ్య మరియు వేరియబుల్ కలిసి వ్రాయబడిన సంజ్ఞామానాన్ని కనుగొనవచ్చు, ఉదాహరణకు 3a. ఇది నిజానికి సంఖ్య 3ని వేరియబుల్ ద్వారా గుణించడం కోసం సంక్షిప్తలిపి. aమరియు ఈ ఎంట్రీ ఇలా కనిపిస్తుంది 3×a .

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, వ్యక్తీకరణ 3aసంఖ్య 3 మరియు వేరియబుల్ యొక్క ఉత్పత్తి a. సంఖ్య 3 ఈ పనిలో వారు పిలుస్తారు గుణకం. ఈ గుణకం వేరియబుల్ ఎన్ని సార్లు పెంచబడుతుందో చూపిస్తుంది a. ఈ వ్యక్తీకరణను ఇలా చదవవచ్చు " aమూడు సార్లు" లేదా "మూడు సార్లు ఎ", లేదా "వేరియబుల్ విలువను పెంచండి aమూడు సార్లు", కానీ చాలా తరచుగా చదవండి "మూడు a«

ఉదాహరణకు, వేరియబుల్ అయితే aసమానంగా 5 , అప్పుడు వ్యక్తీకరణ విలువ 3a 15కి సమానంగా ఉంటుంది.

3 × 5 = 15

మాట్లాడుతున్నారు సాధారణ భాషలో, గుణకం అనేది అక్షరానికి ముందు వచ్చే సంఖ్య (వేరియబుల్ ముందు).

అనేక అక్షరాలు ఉండవచ్చు, ఉదాహరణకు 5abc. ఇక్కడ గుణకం సంఖ్య 5 . ఈ గుణకంవేరియబుల్స్ యొక్క ఉత్పత్తి అని చూపిస్తుంది abcఐదు రెట్లు పెరుగుతుంది. ఈ వ్యక్తీకరణను ఇలా చదవవచ్చు " abcఐదు సార్లు" లేదా "వ్యక్తీకరణ విలువను పెంచండి abcఐదు సార్లు" లేదా "ఐదు abc«.

వేరియబుల్స్ బదులుగా ఉంటే abc 2, 3 మరియు 4 సంఖ్యలను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి, ఆపై వ్యక్తీకరణ విలువ 5abcసమానంగా ఉంటుంది 120

5 × 2 × 3 × 4 = 120

2, 3 మరియు 4 సంఖ్యలు మొదట ఎలా గుణించబడతాయో మీరు మానసికంగా ఊహించవచ్చు మరియు ఫలిత విలువ ఐదు రెట్లు పెరిగింది:

గుణకం యొక్క సంకేతం గుణకాన్ని మాత్రమే సూచిస్తుంది మరియు వేరియబుల్స్కు వర్తించదు.

వ్యక్తీకరణను పరిగణించండి −6b. గుణకం ముందు మైనస్ 6 , గుణకం మాత్రమే వర్తిస్తుంది 6 , మరియు వేరియబుల్‌కు చెందినది కాదు బి. ఈ వాస్తవాన్ని అర్థం చేసుకోవడం భవిష్యత్తులో సంకేతాలతో తప్పులు చేయకుండా మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.

వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనండి −6bవద్ద b = 3.

−6b −6×b. స్పష్టత కోసం, వ్యక్తీకరణను వ్రాస్దాం −6bవిస్తరించిన రూపంలో మరియు వేరియబుల్ విలువను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి బి

−6b = -6 × b = -6 × 3 = -18

ఉదాహరణ 2.వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనండి −6bవద్ద b = -5

వ్యక్తీకరణను వ్రాసుకుందాం −6bవిస్తరించిన రూపంలో

−6b = -6 × b = -6 × (-5) = 30

ఉదాహరణ 3.వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనండి −5a+bవద్ద a = 3మరియు b = 2

−5a+bఈ చిన్న రూపంనుండి ఎంట్రీలు −5 × a + b, కాబట్టి స్పష్టత కోసం మేము వ్యక్తీకరణను వ్రాస్తాము −5×a+bవిస్తరించిన రూపంలో మరియు వేరియబుల్స్ యొక్క విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి aమరియు బి

−5a + b = -5 × a + b = -5 × 3 + 2 = -15 + 2 = -13

కొన్నిసార్లు అక్షరాలు గుణకం లేకుండా వ్రాయబడతాయి, ఉదాహరణకు aలేదా ab. ఈ సందర్భంలో, గుణకం ఐక్యత:

కానీ సాంప్రదాయకంగా యూనిట్ వ్రాయబడదు, కాబట్టి వారు కేవలం వ్రాస్తారు aలేదా ab

అక్షరానికి ముందు మైనస్ ఉంటే, అప్పుడు గుణకం ఒక సంఖ్య −1 . ఉదాహరణకు, వ్యక్తీకరణ −aనిజానికి కనిపిస్తోంది −1a. ఇది మైనస్ వన్ మరియు వేరియబుల్ యొక్క ఉత్పత్తి a.ఇది ఇలా మారింది:

−1 × a = -1a

ఇక్కడ ఒక చిన్న క్యాచ్ ఉంది. వ్యక్తీకరణలో −aవేరియబుల్ ముందు మైనస్ గుర్తు aవాస్తవానికి వేరియబుల్ కాకుండా "అదృశ్య యూనిట్"ని సూచిస్తుంది a. అందువల్ల, సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు మీరు జాగ్రత్తగా ఉండాలి.

ఉదాహరణకు, వ్యక్తీకరణ ఇచ్చినట్లయితే −aమరియు దాని విలువను కనుగొనవలసిందిగా కోరాము a = 2, పాఠశాలలో మేము వేరియబుల్‌కు బదులుగా రెండింటిని భర్తీ చేసాము aమరియు సమాధానం పొందింది −2 , అది ఎలా జరిగిందనే దానిపై ఎక్కువ దృష్టి పెట్టకుండా. నిజానికి, మైనస్ ఒకటి గుణించబడింది సానుకూల సంఖ్య 2

−a = -1 × a

−1 × a = -1 × 2 = -2

ఎక్స్‌ప్రెషన్ ఇస్తే −aమరియు మీరు దాని విలువను కనుగొనాలి a = -2, అప్పుడు మేము ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము −2 చరరాశికి బదులుగా a

−a = -1 × a

−1 × a = -1 × (-2) = 2

తప్పులను నివారించడానికి, మొదట కనిపించని యూనిట్లను స్పష్టంగా వ్రాయవచ్చు.

ఉదాహరణ 4.వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనండి abcవద్ద a=2 , b=3మరియు c=4

వ్యక్తీకరణ abc 1×a×b×c.స్పష్టత కోసం, వ్యక్తీకరణను వ్రాస్దాం abc ఎ, బిమరియు సి

1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

ఉదాహరణ 5.వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనండి abcవద్ద a=−2 , b=-3మరియు c=−4

వ్యక్తీకరణను వ్రాసుకుందాం abcవిస్తరించిన రూపంలో మరియు వేరియబుల్స్ యొక్క విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి ఎ, బిమరియు సి

1 × a × b × c = 1 × (-2) × (-3) × (−4) = -24

ఉదాహరణ 6.వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనండి − abcవద్ద a=3, b=5 మరియు c=7

వ్యక్తీకరణ − abcఇది సంక్షిప్త రూపం −1×a×b×c.స్పష్టత కోసం, వ్యక్తీకరణను వ్రాస్దాం − abcవిస్తరించిన రూపంలో మరియు వేరియబుల్స్ యొక్క విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి ఎ, బిమరియు సి

−abc = -1 × a × b × c = -1 × 3 × 5 × 7 = -105

ఉదాహరణ 7.వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనండి − abcవద్ద a=−2 , b=-4 మరియు c=−3

వ్యక్తీకరణను వ్రాసుకుందాం − abcవిస్తరించిన రూపంలో:

−abc = -1 × a × b × c

వేరియబుల్స్ యొక్క విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం a , బిమరియు సి

-abc = -1 × a × b × c = -1 × (-2) × (−4) × (-3) = 24

గుణకాన్ని ఎలా నిర్ణయించాలి

కొన్నిసార్లు మీరు సమస్యను పరిష్కరించాలి, దీనిలో మీరు వ్యక్తీకరణ యొక్క గుణకాన్ని నిర్ణయించాలి. ప్రాథమికంగా, ఈ పనిచాలా సాధారణ. సంఖ్యలను సరిగ్గా గుణించగలిగితే సరిపోతుంది.

వ్యక్తీకరణలో గుణకాన్ని నిర్ణయించడానికి, మీరు ఈ వ్యక్తీకరణలో చేర్చబడిన సంఖ్యలను విడిగా గుణించాలి మరియు అక్షరాలను విడిగా గుణించాలి. ఫలితంగా వచ్చే సంఖ్యా కారకం గుణకం అవుతుంది.

ఉదాహరణ 1. 7m×5a×(-3)×n

వ్యక్తీకరణ అనేక అంశాలను కలిగి ఉంటుంది. మీరు వ్యక్తీకరణను విస్తరించిన రూపంలో వ్రాస్తే ఇది స్పష్టంగా చూడవచ్చు. అంటే పనులు 7మీమరియు 5aరూపంలో వ్రాయండి 7×మీమరియు 5×a

7 × m × 5 × a × (-3) × n

గుణకారం యొక్క అనుబంధ చట్టాన్ని వర్తింపజేద్దాం, ఇది ఏ క్రమంలోనైనా కారకాలను గుణించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. అవి, మేము సంఖ్యలను విడిగా గుణిస్తాము మరియు అక్షరాలను విడిగా గుణిస్తాము (వేరియబుల్స్):

−3 × 7 × 5 × m × a × n = -105 మనిషి

గుణకం ఉంది −105 . పూర్తయిన తర్వాత, అక్షర భాగాన్ని అక్షర క్రమంలో అమర్చడం మంచిది:

−105amn

ఉదాహరణ 2.వ్యక్తీకరణలో గుణకాన్ని నిర్ణయించండి: -a×(-3)×2

-a × (-3) × 2 = -3 × 2 × (-a) = −6 × (-a) = 6a

గుణకం 6.

ఉదాహరణ 3.వ్యక్తీకరణలో గుణకాన్ని నిర్ణయించండి:

సంఖ్యలు మరియు అక్షరాలను విడిగా గుణిద్దాం:

గుణకం −1. గుణకం 1ని వ్రాయకపోవడం ఆచారం కాబట్టి, యూనిట్ వ్రాయబడలేదని దయచేసి గమనించండి.

ఈ అకారణంగా సులభమైన పనులు మనపై చాలా క్రూరమైన జోక్ ఆడవచ్చు. గుణకం యొక్క సంకేతం తప్పుగా సెట్ చేయబడిందని తరచుగా మారుతుంది: మైనస్ లేదు లేదా దీనికి విరుద్ధంగా, అది ఫలించలేదు. వీటిని నివారించేందుకు బాధించే తప్పులు, మంచి స్థాయిలో చదువుకోవాలి.

సాహిత్య వ్యక్తీకరణలలో జోడిస్తుంది

అనేక సంఖ్యలను జోడించినప్పుడు, ఈ సంఖ్యల మొత్తం పొందబడుతుంది. జోడించే సంఖ్యలను జోడింపులు అంటారు. అనేక నిబంధనలు ఉండవచ్చు, ఉదాహరణకు:

1 + 2 + 3 + 4 + 5

వ్యక్తీకరణ నిబంధనలను కలిగి ఉన్నప్పుడు, దానిని విశ్లేషించడం చాలా సులభం ఎందుకంటే తీసివేయడం కంటే జోడించడం సులభం. కానీ వ్యక్తీకరణలో అదనంగా మాత్రమే కాకుండా, తీసివేత కూడా ఉంటుంది, ఉదాహరణకు:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

ఈ వ్యక్తీకరణలో, 3 మరియు 5 సంఖ్యలు ఉప గ్రహాలు, అనుబంధాలు కాదు. కానీ వ్యవకలనాన్ని కూడికతో భర్తీ చేయకుండా మనల్ని ఏదీ నిరోధించదు. అప్పుడు మనం మళ్లీ నిబంధనలతో కూడిన వ్యక్తీకరణను పొందుతాము:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

సంఖ్యలు −3 మరియు −5 ఇప్పుడు మైనస్ గుర్తును కలిగి ఉన్నా పర్వాలేదు. ప్రధాన విషయం ఏమిటంటే, ఈ వ్యక్తీకరణలోని అన్ని సంఖ్యలు అదనపు గుర్తుతో అనుసంధానించబడ్డాయి, అంటే వ్యక్తీకరణ మొత్తం.

రెండు వ్యక్తీకరణలు 1 + 2 − 3 + 4 − 5 మరియు 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) అదే విలువకు సమానం - మైనస్ ఒకటి

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

ఆ విధంగా, వ్యవకలనాన్ని ఎక్కడో కూడికతో భర్తీ చేస్తే వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్థం దెబ్బతినదు.

మీరు సాహిత్య వ్యక్తీకరణలలో అదనంగా తీసివేతను భర్తీ చేయవచ్చు. ఉదాహరణకు, కింది వ్యక్తీకరణను పరిగణించండి:

7a + 6b - 3c + 2d - 4s

7a + 6b + (-3c) + 2d + (−4s)

వేరియబుల్స్ యొక్క ఏదైనా విలువల కోసం ఎ బి సి డిమరియు లువ్యక్తీకరణలు 7a + 6b - 3c + 2d - 4s మరియు 7a + 6b + (-3c) + 2d + (−4s) అదే విలువకు సమానంగా ఉంటుంది.

పాఠశాలలో ఉపాధ్యాయుడు లేదా ఇన్‌స్టిట్యూట్‌లోని ఉపాధ్యాయుడు యాడెండ్‌లు లేని సరి సంఖ్యలకు (లేదా వేరియబుల్స్) కాల్ చేయవచ్చు అనే వాస్తవం కోసం మీరు తప్పనిసరిగా సిద్ధంగా ఉండాలి.

ఉదాహరణకు, తేడా బోర్డుపై వ్రాసినట్లయితే a - b, అప్పుడు గురువుగారు అలా అనరు aఒక minuend, మరియు బి- తీసివేయదగిన. అతను రెండు వేరియబుల్స్‌ను ఒకటి అని పిలుస్తాడు సాధారణ పరంగా — నిబంధనలు. మరియు అన్ని ఎందుకంటే రూపం యొక్క వ్యక్తీకరణ a - bగణిత శాస్త్రజ్ఞుడు మొత్తం ఎలా ఉంటుందో చూస్తాడు a+(-b). ఈ సందర్భంలో, వ్యక్తీకరణ మొత్తం మరియు వేరియబుల్స్ అవుతుంది aమరియు (-బి)నిబంధనలు అవుతాయి.

ఇలాంటి నిబంధనలు

ఇలాంటి నిబంధనలు- ఇవి ఒకే అక్షర భాగాన్ని కలిగి ఉండే పదాలు. ఉదాహరణకు, వ్యక్తీకరణను పరిగణించండి 7a + 6b + 2a. భాగాలు 7aమరియు 2aఒకే అక్షర భాగాన్ని కలిగి ఉంటాయి - వేరియబుల్ a. కాబట్టి నిబంధనలు 7aమరియు 2aపోలి ఉంటాయి.

సాధారణంగా, వ్యక్తీకరణను సులభతరం చేయడానికి లేదా సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి సారూప్య పదాలు జోడించబడతాయి. ఈ ఆపరేషన్ అంటారు ఇలాంటి నిబంధనలను తీసుకురావడం.

సారూప్య నిబంధనలను తీసుకురావడానికి, మీరు ఈ నిబంధనల యొక్క గుణకాలను జోడించాలి మరియు ఫలిత ఫలితాన్ని సాధారణ అక్షర భాగంతో గుణించాలి.

ఉదాహరణకు, వ్యక్తీకరణలో సారూప్య పదాలను ప్రదర్శిస్తాము 3a + 4a + 5a. ఈ సందర్భంలో, అన్ని నిబంధనలు సమానంగా ఉంటాయి. వాటి గుణకాలను జోడించి, ఫలితాన్ని సాధారణ అక్షర భాగం ద్వారా - వేరియబుల్ ద్వారా గుణిద్దాం a

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a

ఇలాంటి నిబంధనలు సాధారణంగా మనస్సులో ఉంచబడతాయి మరియు ఫలితం వెంటనే వ్రాయబడుతుంది:

3a + 4a + 5a = 12a

అలాగే, ఒకరు ఈ క్రింది విధంగా కారణం చేయవచ్చు:

వాటికి 3 వేరియబుల్స్ a , మరో 4 వేరియబుల్స్ a మరియు 5 వేరియబుల్స్ a జోడించబడ్డాయి. ఫలితంగా, మనకు 12 వేరియబుల్స్ వచ్చాయి a

సారూప్య నిబంధనలను తీసుకురావడానికి అనేక ఉదాహరణలను చూద్దాం. పరిగణలోకి ఈ అంశంచాలా ముఖ్యం, మొదట మేము ప్రతి చిన్న వివరాలను వివరంగా వ్రాస్తాము. ఇక్కడ ప్రతిదీ చాలా సులభం అయినప్పటికీ, చాలా మంది చాలా తప్పులు చేస్తారు. ప్రధానంగా అజాగ్రత్త వల్ల, అజ్ఞానం వల్ల కాదు.

ఉదాహరణ 1. 3a + 2a + 6a + 8 a

ఈ వ్యక్తీకరణలోని గుణకాలను జోడించి, ఫలిత ఫలితాన్ని సాధారణ అక్షర భాగంతో గుణిద్దాం:

3a + 2a + 6a + 8a = (3 + 2 + 6 + 8) × a = 19a

రూపకల్పన (3 + 2 + 6 + 8)×aమీరు దానిని వ్రాయవలసిన అవసరం లేదు, కాబట్టి మేము వెంటనే సమాధానాన్ని వ్రాస్తాము

3a + 2a + 6a + 8a = 19a

ఉదాహరణ 2.వ్యక్తీకరణలో సారూప్య పదాలను ఇవ్వండి 2a+a

రెండవ టర్మ్ aగుణకం లేకుండా వ్రాయబడింది, కానీ వాస్తవానికి దాని ముందు ఒక గుణకం ఉంది 1 , ఇది రికార్డ్ చేయబడనందున మనకు కనిపించదు. కాబట్టి వ్యక్తీకరణ ఇలా కనిపిస్తుంది:

2a + 1a

ఇప్పుడు ఇలాంటి నిబంధనలను అందజేద్దాం. అంటే, మేము కోఎఫీషియంట్‌లను జోడిస్తాము మరియు ఫలితాన్ని సాధారణ అక్షర భాగం ద్వారా గుణిస్తాము:

2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a

పరిష్కారాన్ని క్లుప్తంగా వ్రాస్దాం:

2a + a = 3a

2a+a, మీరు భిన్నంగా ఆలోచించవచ్చు:

ఉదాహరణ 3.వ్యక్తీకరణలో సారూప్య పదాలను ఇవ్వండి 2a−a

వ్యవకలనాన్ని కూడికతో భర్తీ చేద్దాం:

2a + (-a)

రెండవ టర్మ్ (-a)గుణకం లేకుండా వ్రాయబడింది, కానీ వాస్తవానికి ఇది కనిపిస్తుంది (-1a).గుణకం −1 అది రికార్డ్ చేయబడనందున మళ్లీ కనిపించదు. కాబట్టి వ్యక్తీకరణ ఇలా కనిపిస్తుంది:

2a + (-1a)

ఇప్పుడు ఇలాంటి నిబంధనలను అందజేద్దాం. గుణకాలను జోడించి, ఫలితాన్ని సాధారణ అక్షర భాగంతో గుణిద్దాం:

2a + (−1a) = (2 + (-1)) × a = 1a = a

సాధారణంగా చిన్నదిగా వ్రాస్తారు:

2a - a = a

వ్యక్తీకరణలో సారూప్య పదాలను ఇవ్వడం 2a−aమీరు భిన్నంగా ఆలోచించవచ్చు:

2 వేరియబుల్స్ a ఉన్నాయి, ఒక వేరియబుల్ aని తీసివేయండి మరియు ఫలితంగా ఒక వేరియబుల్ మాత్రమే మిగిలి ఉంది

ఉదాహరణ 4.వ్యక్తీకరణలో సారూప్య పదాలను ఇవ్వండి 6a - 3a + 4a - 8a

6a - 3a + 4a - 8a = 6a + (-3a) + 4a + (-8a)

ఇప్పుడు ఇలాంటి నిబంధనలను అందజేద్దాం. గుణకాలను జోడించి, ఫలితాన్ని మొత్తం అక్షరం భాగంతో గుణిద్దాం

(6 + (-3) + 4 + (−8)) × a = -1a = -a

పరిష్కారాన్ని క్లుప్తంగా వ్రాస్దాం:

6a - 3a + 4a - 8a = -a

అనేక వ్యక్తీకరణలు ఉన్నాయి వివిధ సమూహాలుసారూప్య నిబంధనలు. ఉదాహరణకి, 3a + 3b + 7a + 2b. అటువంటి వ్యక్తీకరణల కోసం, అదే నియమాలు ఇతరులకు వర్తిస్తాయి, అవి గుణకాలను జోడించడం మరియు ఫలితాన్ని సాధారణ అక్షర భాగం ద్వారా గుణించడం. కానీ తప్పులను నివారించడానికి, ఇది సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది వివిధ సమూహాలునిబంధనలు వేర్వేరు పంక్తులతో హైలైట్ చేయబడ్డాయి.

ఉదాహరణకు, వ్యక్తీకరణలో 3a + 3b + 7a + 2bవేరియబుల్ కలిగి ఉన్న ఆ నిబంధనలు a, ఒక లైన్‌తో అండర్‌లైన్ చేయవచ్చు మరియు వేరియబుల్‌ని కలిగి ఉన్న పదాలు బి, రెండు పంక్తులతో నొక్కి చెప్పవచ్చు:

ఇప్పుడు మనం ఇలాంటి నిబంధనలను ప్రదర్శించవచ్చు. అంటే, గుణకాలను జోడించి, ఫలిత ఫలితాన్ని మొత్తం అక్షరం భాగంతో గుణించండి. నిబంధనల యొక్క రెండు సమూహాలకు ఇది తప్పనిసరిగా చేయాలి: వేరియబుల్ కలిగి ఉన్న నిబంధనల కోసం aమరియు వేరియబుల్ కలిగి ఉన్న నిబంధనల కోసం బి.

3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b

మళ్ళీ, మేము పునరావృతం చేస్తాము, వ్యక్తీకరణ చాలా సులభం మరియు ఇలాంటి పదాలను గుర్తుంచుకోండి:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b

ఉదాహరణ 5.వ్యక్తీకరణలో సారూప్య పదాలను ఇవ్వండి 5a - 6a -7b + b

సాధ్యమైన చోట వ్యవకలనాన్ని కూడికతో భర్తీ చేద్దాం:

5a - 6a -7b + b = 5a + (-6a) + (−7b) + b

ఒకే విధమైన పదాలను వేర్వేరు పంక్తులతో అండర్లైన్ చేద్దాం. వేరియబుల్స్ కలిగి ఉన్న నిబంధనలు aమేము ఒక లైన్‌తో అండర్‌లైన్ చేస్తాము మరియు నిబంధనలు వేరియబుల్స్‌లోని విషయాలు బి, రెండు పంక్తులతో అండర్లైన్:

ఇప్పుడు మనం ఇలాంటి నిబంధనలను ప్రదర్శించవచ్చు. అంటే, గుణకాలను జోడించి, ఫలిత ఫలితాన్ని సాధారణ అక్షర భాగంతో గుణించండి:

5a + (-6a) + (-7b) + b = (5 + (−6))×a + ((-7) + 1)×b = -a + (-6b)

వ్యక్తీకరణ కలిగి ఉంటే సాధారణ సంఖ్యలుఅక్షర కారకాలు లేకుండా, అవి విడిగా జోడించబడతాయి.

ఉదాహరణ 6.వ్యక్తీకరణలో సారూప్య పదాలను ఇవ్వండి 4a + 3a - 5 + 2b + 7

సాధ్యమైన చోట వ్యవకలనాన్ని కూడికతో భర్తీ చేద్దాం:

4a + 3a - 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (-5) + 2b + 7

మనం ఇలాంటి నిబంధనలను అందజేద్దాం. సంఖ్యలు −5 మరియు 7 అక్షర కారకాలు లేవు, కానీ అవి ఒకే విధమైన పదాలు - అవి జోడించబడాలి. మరియు పదం 2bఈ ఎక్స్‌ప్రెషన్‌లో అక్షర కారకాన్ని కలిగి ఉన్నది ఒక్కటే కాబట్టి మారదు b,మరియు దీనితో జోడించడానికి ఏమీ లేదు:

4a + 3a + (-5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (-5) + 7 = 7a + 2b + 2

పరిష్కారాన్ని క్లుప్తంగా వ్రాస్దాం:

4a + 3a - 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2

ఒకే అక్షర భాగాన్ని కలిగి ఉన్న పదాలు వ్యక్తీకరణ యొక్క అదే భాగంలో ఉండేలా నిబంధనలను ఆర్డర్ చేయవచ్చు.

ఉదాహరణ 7.వ్యక్తీకరణలో సారూప్య పదాలను ఇవ్వండి 5t+2x+3x+5t+x

వ్యక్తీకరణ అనేక పదాల మొత్తం కాబట్టి, ఇది ఏ క్రమంలోనైనా మూల్యాంకనం చేయడానికి అనుమతిస్తుంది. కాబట్టి, వేరియబుల్ కలిగి ఉన్న నిబంధనలు t, వ్యక్తీకరణ ప్రారంభంలో వ్రాయవచ్చు మరియు వేరియబుల్ కలిగి ఉన్న నిబంధనలు xవ్యక్తీకరణ ముగింపులో:

5t + 5t + 2x + 3x + x

ఇప్పుడు మనం ఇలాంటి నిబంధనలను ప్రదర్శించవచ్చు:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

పరిష్కారాన్ని క్లుప్తంగా వ్రాస్దాం:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x

మొత్తం వ్యతిరేక సంఖ్యలుసున్నాకి సమానం. ఈ నియమం సాహిత్య వ్యక్తీకరణలకు కూడా పని చేస్తుంది. వ్యక్తీకరణ ఒకే విధమైన పదాలను కలిగి ఉంటే, కానీ దానితో వ్యతిరేక సంకేతాలు, అప్పుడు మీరు ఇలాంటి నిబంధనలను తగ్గించే దశలో వాటిని వదిలించుకోవచ్చు. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, వాటిని వ్యక్తీకరణ నుండి తొలగించండి, ఎందుకంటే వాటి మొత్తం సున్నా.

ఉదాహరణ 8.వ్యక్తీకరణలో సారూప్య పదాలను ఇవ్వండి 3t - 4t - 3t + 2t

సాధ్యమైన చోట వ్యవకలనాన్ని కూడికతో భర్తీ చేద్దాం:

3t - 4t - 3t + 2t = 3t + (−4t) + (-3t) + 2t

భాగాలు 3టిమరియు (−3t)ఎదురుగా ఉన్నాయి. వ్యతిరేక పదాల మొత్తం సున్నా. మేము వ్యక్తీకరణ నుండి ఈ సున్నాని తీసివేస్తే, వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువ మారదు, కాబట్టి మేము దానిని తీసివేస్తాము. మరియు మేము నిబంధనలను దాటడం ద్వారా దాన్ని తీసివేస్తాము 3టిమరియు (−3t)

ఫలితంగా, మేము వ్యక్తీకరణతో మిగిలిపోతాము (−4t) + 2t. ఈ వ్యక్తీకరణలో, మీరు సారూప్య నిబంధనలను జోడించవచ్చు మరియు తుది సమాధానాన్ని పొందవచ్చు:

(−4t) + 2t = ((-4) + 2)×t = -2t

పరిష్కారాన్ని క్లుప్తంగా వ్రాస్దాం:

వ్యక్తీకరణలను సరళీకృతం చేయడం

"వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి" మరియు సరళీకృతం చేయవలసిన వ్యక్తీకరణ క్రింద ఉంది. వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండిఅంటే సరళంగా మరియు చిన్నదిగా చేయడం.

వాస్తవానికి, మేము భిన్నాలను తగ్గించినప్పుడు వ్యక్తీకరణలను ఇప్పటికే సరళీకృతం చేస్తున్నాము. తగ్గింపు తర్వాత, భిన్నం చిన్నదిగా మరియు అర్థం చేసుకోవడానికి సులభంగా మారింది.

కింది ఉదాహరణను పరిగణించండి. వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి.

ఈ పనిని అక్షరాలా ఈ క్రింది విధంగా అర్థం చేసుకోవచ్చు: "ఈ వ్యక్తీకరణకు ఏవైనా చెల్లుబాటు అయ్యే చర్యలను వర్తింపజేయండి, కానీ దీన్ని సులభతరం చేయండి." .

ఈ సందర్భంలో, మీరు భిన్నాన్ని తగ్గించవచ్చు, అనగా, భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ మరియు హారంను 2 ద్వారా విభజించండి:

మీరు ఇంకా ఏమి చేయగలరు? మీరు ఫలిత భిన్నాన్ని లెక్కించవచ్చు. అప్పుడు మనకు దశాంశ భిన్నం 0.5 వస్తుంది

ఫలితంగా, భిన్నం 0.5కి సరళీకృతం చేయబడింది.

నిర్ణయించేటప్పుడు మిమ్మల్ని మీరు అడగవలసిన మొదటి ప్రశ్న ఇలాంటి పనులు, అది ఉండాలి "ఏమి చేయవచ్చు?" . ఎందుకంటే మీరు చేయగలిగిన చర్యలు ఉన్నాయి మరియు మీరు చేయలేని చర్యలు ఉన్నాయి.

మరొకటి ముఖ్యమైన పాయింట్గుర్తుంచుకోవాల్సిన విషయం ఏమిటంటే, వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేసిన తర్వాత వ్యక్తీకరణ విలువ మారకూడదు. వ్యక్తీకరణకు తిరిగి వెళ్దాం. ఈ వ్యక్తీకరణ అమలు చేయగల విభజనను సూచిస్తుంది. ఈ విభజనను ప్రదర్శించిన తర్వాత, ఈ వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను మేము పొందుతాము, ఇది 0.5కి సమానం

కానీ మేము వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేసాము మరియు కొత్త సరళీకృత వ్యక్తీకరణను పొందాము. కొత్త సరళీకృత వ్యక్తీకరణ విలువ ఇప్పటికీ 0.5

కానీ మేము దానిని లెక్కించడం ద్వారా వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయడానికి కూడా ప్రయత్నించాము. ఫలితంగా, మేము 0.5 యొక్క తుది సమాధానాన్ని అందుకున్నాము.

అందువల్ల, మనం వ్యక్తీకరణను ఎలా సరళీకృతం చేసినప్పటికీ, ఫలిత వ్యక్తీకరణల విలువ ఇప్పటికీ 0.5కి సమానంగా ఉంటుంది. ప్రతి దశలో సరళీకరణ సరిగ్గా నిర్వహించబడిందని దీని అర్థం. వ్యక్తీకరణలను సరళీకృతం చేసేటప్పుడు మనం ఖచ్చితంగా ప్రయత్నించాలి - వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్థం మన చర్యల నుండి బాధపడకూడదు.

సాహిత్య వ్యక్తీకరణలను సరళీకృతం చేయడం తరచుగా అవసరం. సంఖ్యా వ్యక్తీకరణల మాదిరిగానే వారికి కూడా అదే సరళీకరణ నియమాలు వర్తిస్తాయి. వ్యక్తీకరణ విలువ మారనంత వరకు మీరు ఏవైనా చెల్లుబాటు అయ్యే చర్యలను చేయవచ్చు.

కొన్ని ఉదాహరణలు చూద్దాం.

ఉదాహరణ 1.వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి 5.21సె × టి × 2.5

సరళీకృతం చేయడానికి ఈ వ్యక్తీకరణ, మీరు సంఖ్యలను విడిగా గుణించవచ్చు మరియు అక్షరాలను విడిగా గుణించవచ్చు. ఈ పని గుణకాన్ని నిర్ణయించడం నేర్చుకున్నప్పుడు మనం చూసిన దానితో సమానంగా ఉంటుంది:

5.21s × t × 2.5 = 5.21 × 2.5 × s × t = 13.025 × st = 13.025st

కాబట్టి వ్యక్తీకరణ 5.21సె × టి × 2.5కు సరళీకృతం చేయబడింది 13,025వ.

ఉదాహరణ 2.వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి −0.4 × (-6.3b) × 2

రెండవ ముక్క (−6.3b)మనకు అర్థమయ్యే రూపంలోకి అనువదించవచ్చు, అవి రూపంలో వ్రాయబడతాయి ( −6,3)×b ,ఆపై సంఖ్యలను విడిగా గుణించండి మరియు అక్షరాలను విడిగా గుణించండి:

− 0,4 × (−6.3b) × 2 = − 0,4 × (−6.3) × b × 2 = 5.04b

కాబట్టి వ్యక్తీకరణ −0.4 × (-6.3b) × 2 కు సరళీకృతం చేయబడింది 5.04b

ఉదాహరణ 3.వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి

సంఖ్యలు ఎక్కడ ఉన్నాయో మరియు అక్షరాలు ఎక్కడ ఉన్నాయో స్పష్టంగా చూడటానికి ఈ వ్యక్తీకరణను మరింత వివరంగా వ్రాస్దాం:

ఇప్పుడు సంఖ్యలను విడిగా గుణిద్దాం మరియు అక్షరాలను విడిగా గుణిద్దాం:

కాబట్టి వ్యక్తీకరణ కు సరళీకృతం చేయబడింది −abc.ఈ పరిష్కారం క్లుప్తంగా వ్రాయవచ్చు:

వ్యక్తీకరణలను సరళీకృతం చేస్తున్నప్పుడు, పరిష్కార ప్రక్రియలో భిన్నాలను తగ్గించవచ్చు మరియు మేము చేసిన విధంగా చివరిలో కాదు. సాధారణ భిన్నాలు. ఉదాహరణకు, పరిష్కరిస్తున్నప్పుడు మనం ఫారమ్ యొక్క వ్యక్తీకరణను చూసినట్లయితే, లవం మరియు హారంను లెక్కించడం మరియు ఇలాంటివి చేయడం అస్సలు అవసరం లేదు:

న్యూమరేటర్ మరియు హారంలో ఒక కారకాన్ని ఎంచుకోవడం ద్వారా మరియు ఈ కారకాలను వాటి అతిపెద్ద ద్వారా తగ్గించడం ద్వారా భిన్నాన్ని తగ్గించవచ్చు. సాధారణ విభజన. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, న్యూమరేటర్ మరియు హారం ఏమి విభజించబడిందో మనం వివరంగా వివరించని ఉపయోగించండి.

ఉదాహరణకు, న్యూమరేటర్‌లో కారకం 12 మరియు హారంలో కారకం 4ని 4 ద్వారా తగ్గించవచ్చు. మనము నలుగురిని మన మనస్సులో ఉంచుకుని, 12 మరియు 4ని ఈ నాలుగుతో భాగించి, ఈ సంఖ్యల పక్కన సమాధానాలను వ్రాస్తాము, మొదట వాటిని దాటింది

ఇప్పుడు మీరు ఫలిత చిన్న కారకాలను గుణించవచ్చు. ఈ సందర్భంలో, వాటిలో కొన్ని ఉన్నాయి మరియు మీరు వాటిని మీ మనస్సులో గుణించవచ్చు:

కాలక్రమేణా, ఒక నిర్దిష్ట సమస్యను పరిష్కరించేటప్పుడు, వ్యక్తీకరణలు "లావుగా మారడం" ప్రారంభమవుతాయని మీరు కనుగొనవచ్చు, కాబట్టి అలవాటు చేసుకోవడం మంచిది. వేగవంతమైన లెక్కలు. మనసులో గణించగలిగేది మనసులో లెక్కించాలి. త్వరగా తగ్గించగలిగేది త్వరగా తగ్గించాలి.

ఉదాహరణ 4.వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి

కాబట్టి వ్యక్తీకరణ కు సరళీకృతం చేయబడింది

ఉదాహరణ 5.వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి

సంఖ్యలను విడిగా మరియు అక్షరాలను విడిగా గుణిద్దాం:

కాబట్టి వ్యక్తీకరణ కు సరళీకృతం చేయబడింది mn

ఉదాహరణ 6.వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి

సంఖ్యలు ఎక్కడ ఉన్నాయో మరియు అక్షరాలు ఎక్కడ ఉన్నాయో స్పష్టంగా చూడటానికి ఈ వ్యక్తీకరణను మరింత వివరంగా వ్రాస్దాం:

ఇప్పుడు సంఖ్యలను విడిగా మరియు అక్షరాలను విడిగా గుణిద్దాం. గణన సౌలభ్యం కోసం, దశాంశ భిన్నం −6.4 మరియు మిశ్రమ సంఖ్యసాధారణ భిన్నాలకు మార్చవచ్చు:

కాబట్టి వ్యక్తీకరణ కు సరళీకృతం చేయబడింది

ఈ ఉదాహరణకి పరిష్కారం చాలా చిన్నదిగా వ్రాయవచ్చు. ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది:

ఉదాహరణ 7.వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి

సంఖ్యలను విడిగా మరియు అక్షరాలను విడిగా గుణిద్దాం. గణన సౌలభ్యం కోసం, మిశ్రమ సంఖ్య మరియు దశాంశాలు 0.1 మరియు 0.6 సాధారణ భిన్నాలుగా మార్చబడతాయి:

కాబట్టి వ్యక్తీకరణ కు సరళీకృతం చేయబడింది ఎ బి సి డి. మీరు వివరాలను దాటవేస్తే, అప్పుడు ఈ నిర్ణయంచాలా చిన్నదిగా వ్రాయవచ్చు:

భిన్నం ఎలా తగ్గించబడిందో గమనించండి. మునుపటి కారకాల తగ్గింపు ఫలితంగా పొందిన కొత్త కారకాలు కూడా తగ్గించడానికి అనుమతించబడతాయి.

ఇప్పుడు ఏమి చేయకూడదు అనే దాని గురించి మాట్లాడుకుందాం. వ్యక్తీకరణలను సరళీకృతం చేసేటప్పుడు, వ్యక్తీకరణ మొత్తం మరియు ఉత్పత్తి కానట్లయితే సంఖ్యలు మరియు అక్షరాలను గుణించడం ఖచ్చితంగా నిషేధించబడింది.

ఉదాహరణకు, మీరు వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయాలనుకుంటే 5a+4b, అప్పుడు మీరు దీన్ని ఇలా వ్రాయలేరు:

మనం రెండు సంఖ్యలను జోడించమని అడిగితే, వాటిని జోడించకుండా గుణించినట్లే ఇది.

ఏదైనా వేరియబుల్ విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేసినప్పుడు aమరియు బివ్యక్తీకరణ 5a +4bసాధారణ సంఖ్యా వ్యక్తీకరణగా మారుతుంది. వేరియబుల్స్ అని అనుకుందాం aమరియు బికింది అర్థాలు ఉన్నాయి:

a = 2, b = 3

అప్పుడు వ్యక్తీకరణ విలువ 22కి సమానంగా ఉంటుంది

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

మొదట, గుణకారం నిర్వహించబడుతుంది, ఆపై ఫలితాలు జోడించబడతాయి. మరియు మేము సంఖ్యలు మరియు అక్షరాలను గుణించడం ద్వారా ఈ వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయడానికి ప్రయత్నించినట్లయితే, మేము ఈ క్రింది వాటిని పొందుతాము:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 × 2 × 3 = 120

ఇది వ్యక్తీకరణకు పూర్తిగా భిన్నమైన అర్థాన్ని చూపుతుంది. మొదటి సందర్భంలో అది పని చేసింది 22 , రెండవ సందర్భంలో 120 . వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయడం అని దీని అర్థం 5a+4bతప్పుగా నిర్వహించబడింది.

వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేసిన తర్వాత, దాని విలువ వేరియబుల్స్ యొక్క అదే విలువలతో మారకూడదు. అసలు వ్యక్తీకరణలో ఏదైనా వేరియబుల్ విలువలను భర్తీ చేసినప్పుడు, ఒక విలువను పొందినట్లయితే, వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేసిన తర్వాత, సరళీకరణకు ముందు అదే విలువను పొందాలి.

వ్యక్తీకరణతో 5a+4bమీరు నిజంగా ఏమీ చేయలేరు. ఇది సరళీకృతం చేయదు.

వ్యక్తీకరణ ఒకే విధమైన పదాలను కలిగి ఉన్నట్లయితే, వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయడమే మా లక్ష్యం అయితే వాటిని జోడించవచ్చు.

ఉదాహరణ 8.వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి 0.3a−0.4a+a

0.3a - 0.4a + a = 0.3a + (-0.4a) + a = (0.3 + (-0.4) + 1)×a = 0.9a

లేదా చిన్నది: 0.3a - 0.4a + a = 0.9a

కాబట్టి వ్యక్తీకరణ 0.3a−0.4a+aకు సరళీకృతం చేయబడింది 0.9a

ఉదాహరణ 9.వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి −7.5a - 2.5b + 4a

ఈ వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయడానికి, మేము ఇలాంటి పదాలను జోడించవచ్చు:

−7.5a - 2.5b + 4a = -7.5a + (−2.5b) + 4a = ((-7.5) + 4)×a + (-2.5b) = -3.5a + (-2.5b)

లేదా చిన్నది −7.5a - 2.5b + 4a = −3.5a + (-2.5b)

పదం (−2.5b)ఉంచడానికి ఏమీ లేనందున మారలేదు.

ఉదాహరణ 10.వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి

ఈ వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయడానికి, మేము ఇలాంటి పదాలను జోడించవచ్చు:

గుణకం గణన సౌలభ్యం కోసం.

కాబట్టి వ్యక్తీకరణ కు సరళీకృతం చేయబడింది

ఉదాహరణ 11.వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి

ఈ వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయడానికి, మేము ఇలాంటి పదాలను జోడించవచ్చు:

కాబట్టి వ్యక్తీకరణ కు సరళీకృతం చేయబడింది.

IN ఈ ఉదాహరణలోమొదటి మరియు చివరి గుణకాలను ముందుగా జోడించడం మరింత సముచితంగా ఉంటుంది. ఈ సందర్భంలో, మనకు ఒక చిన్న పరిష్కారం ఉంటుంది. ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది:

ఉదాహరణ 12.వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి

ఈ వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయడానికి, మేము ఇలాంటి పదాలను జోడించవచ్చు:

కాబట్టి వ్యక్తీకరణ కు సరళీకృతం చేయబడింది .

జోడించడానికి ఏమీ లేనందున పదం మారలేదు.

ఈ పరిష్కారం చాలా చిన్నదిగా వ్రాయవచ్చు. ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది:

సంక్షిప్త పరిష్కారం వ్యవకలనాన్ని కూడికతో భర్తీ చేసే దశలను దాటవేసింది మరియు భిన్నాలు సాధారణ హారంకు ఎలా తగ్గించబడ్డాయో వివరిస్తుంది.

మరొక తేడా ఏమిటంటే వివరణాత్మక పరిష్కారంసమాధానం ఇలా కనిపిస్తుంది , మరియు సంక్షిప్తంగా. నిజానికి, అవి ఒకే వ్యక్తీకరణ. వ్యత్యాసం ఏమిటంటే, మొదటి సందర్భంలో, వ్యవకలనం అదనంగా భర్తీ చేయబడుతుంది, ప్రారంభంలో మనం పరిష్కారాన్ని వ్రాసినప్పుడు విస్తృతంగా, మేము సాధ్యమైన చోట వ్యవకలనాన్ని కూడికతో భర్తీ చేసాము మరియు సమాధానం కోసం ఈ భర్తీ భద్రపరచబడింది.

గుర్తింపులు. ఒకేలా సమాన వ్యక్తీకరణలు

మనం ఏదైనా వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేసిన తర్వాత, అది సరళంగా మరియు చిన్నదిగా మారుతుంది. సరళీకృత వ్యక్తీకరణ సరైనదా కాదా అని తనిఖీ చేయడానికి, ఏదైనా వేరియబుల్ విలువలను ముందుగా సరళీకృతం చేయవలసిన మునుపటి వ్యక్తీకరణలో మరియు ఆపై సరళీకృతం చేయబడిన కొత్తదానికి ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే సరిపోతుంది. రెండు వ్యక్తీకరణలలోని విలువ ఒకేలా ఉంటే, అప్పుడు సరళీకృత వ్యక్తీకరణ నిజం.

పరిగణలోకి తీసుకుందాం సరళమైన ఉదాహరణ. వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయడం అవసరం 2a×7b. ఈ వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయడానికి, మీరు సంఖ్యలు మరియు అక్షరాలను విడిగా గుణించవచ్చు:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

మేము వ్యక్తీకరణను సరిగ్గా సరళీకృతం చేసామో లేదో తనిఖీ చేద్దాం. దీన్ని చేయడానికి, వేరియబుల్స్ యొక్క ఏదైనా విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం aమరియు బిమొదట సరళీకృతం చేయవలసిన మొదటి వ్యక్తీకరణలోకి, ఆపై రెండవది, ఇది సరళీకృతం చేయబడింది.

వేరియబుల్స్ విలువలను తెలియజేయండి a , బిఈ క్రింది విధంగా ఉంటుంది:

a = 4, b = 5

వాటిని మొదటి వ్యక్తీకరణలో ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం 2a×7b

ఇప్పుడు అదే వేరియబుల్ విలువలను సరళీకరణ ఫలితంగా వచ్చిన వ్యక్తీకరణలో ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం 2a×7b, అవి వ్యక్తీకరణలో 14ab

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

అది ఎప్పుడు చూస్తాం a=4మరియు b=5మొదటి వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువ 2a×7bమరియు రెండవ వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్థం 14abసమానం

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

ఇతర విలువల విషయంలో కూడా అదే జరుగుతుంది. ఉదాహరణకు, వీలు a=1మరియు b=2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 =28

14ab = 14 × 1 × 2 =28

అందువలన, ఏదైనా విలువలకు వ్యక్తీకరణ వేరియబుల్స్ 2a×7bమరియు 14abఒకే విలువకు సమానంగా ఉంటాయి. ఇటువంటి వ్యక్తీకరణలు అంటారు ఒకేలా సమానంగా.

మేము వ్యక్తీకరణల మధ్య దానిని ముగించాము 2a×7bమరియు 14abమీరు సమాన చిహ్నాన్ని ఉంచవచ్చు ఎందుకంటే అవి ఒకే విలువకు సమానంగా ఉంటాయి.

2a × 7b = 14ab

సమానత్వం అనేది సమాన గుర్తు (=) ద్వారా అనుసంధానించబడిన ఏదైనా వ్యక్తీకరణ.

మరియు రూపం యొక్క సమానత్వం 2a×7b = 14abఅని పిలిచారు గుర్తింపు.

గుర్తింపు అనేది వేరియబుల్స్ యొక్క ఏదైనా విలువలకు నిజమైన సమానత్వం.

గుర్తింపు యొక్క ఇతర ఉదాహరణలు:

a + b = b + a

a(b+c) = ab + ac

a(bc) = (ab)c

అవును, మేము అధ్యయనం చేసిన గణిత శాస్త్ర నియమాలు గుర్తింపులు.

విశ్వాసపాత్రుడు సంఖ్యా సమానతలుగుర్తింపులు కూడా. ఉదాహరణకి:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

నిర్ణయించడం కష్టమైన పనిగణనను సులభతరం చేయడానికి, సంక్లిష్ట వ్యక్తీకరణ మునుపటి దానికి సమానంగా ఉండే సరళమైన వ్యక్తీకరణతో భర్తీ చేయబడుతుంది. ఈ భర్తీ అంటారు వ్యక్తీకరణ యొక్క ఒకే విధమైన పరివర్తనలేదా కేవలం వ్యక్తీకరణను మార్చడం.

ఉదాహరణకు, మేము వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేసాము 2a×7b, మరియు సరళమైన వ్యక్తీకరణ వచ్చింది 14ab. ఈ సరళీకరణను గుర్తింపు పరివర్తన అని పిలుస్తారు.

మీరు తరచుగా చెప్పే పనిని కనుగొనవచ్చు "సమానత్వం ఒక గుర్తింపు అని నిరూపించండి" ఆపై నిరూపించవలసిన సమానత్వం ఇవ్వబడుతుంది. సాధారణంగా ఈ సమానత్వం రెండు భాగాలను కలిగి ఉంటుంది: సమానత్వం యొక్క ఎడమ మరియు కుడి భాగాలు. సమానత్వంలోని ఒకదానితో గుర్తింపు పరివర్తనలు చేయడం మరియు మరొక భాగాన్ని పొందడం మా పని. లేదా సమానత్వం యొక్క రెండు వైపులా ఒకే విధమైన పరివర్తనలను నిర్వహించండి మరియు సమానత్వం యొక్క రెండు వైపులా ఒకే వ్యక్తీకరణలు ఉన్నాయని నిర్ధారించుకోండి.

ఉదాహరణకు, సమానత్వం అని నిరూపిద్దాం 0.5a × 5b = 2.5abఅనేది ఒక గుర్తింపు.

ఈ సమానత్వం యొక్క ఎడమ వైపును సరళీకృతం చేద్దాం. దీన్ని చేయడానికి, సంఖ్యలు మరియు అక్షరాలను విడిగా గుణించండి:

0.5 × 5 × a × b = 2.5ab

2.5ab = 2.5ab

చిన్న గుర్తింపు పరివర్తన ఫలితంగా, ఎడమ వైపుసమానత్వం సమానత్వం యొక్క కుడి వైపుకు సమానంగా మారింది. కాబట్టి మేము సమానత్వం నిరూపించాము 0.5a × 5b = 2.5abఅనేది ఒక గుర్తింపు.

ఒకే విధమైన రూపాంతరాల నుండి మేము సంఖ్యలను జోడించడం, తీసివేయడం, గుణించడం మరియు విభజించడం, భిన్నాలను తగ్గించడం, సారూప్య పదాలను జోడించడం మరియు కొన్ని వ్యక్తీకరణలను సరళీకృతం చేయడం నేర్చుకున్నాము.

కానీ ఇవన్నీ గణితంలో ఉన్న ఒకే విధమైన పరివర్తనలు కావు. గుర్తింపు పరివర్తనలుచాలా ఎక్కువ. మేము దీనిని భవిష్యత్తులో ఒకటి కంటే ఎక్కువసార్లు చూస్తాము.

స్వతంత్ర పరిష్కారం కోసం విధులు:

మీకు పాఠం నచ్చిందా?
మాలో చేరండి కొత్త సమూహం VKontakte మరియు కొత్త పాఠాల గురించి నోటిఫికేషన్‌లను స్వీకరించడం ప్రారంభించండి

విభాగం 5 వ్యక్తీకరణలు మరియు సమీకరణాలు

ఈ విభాగంలో మీరు నేర్చుకుంటారు:

ü o వ్యక్తీకరణలు మరియు వాటి సరళీకరణలు;

ü సమానత్వం యొక్క లక్షణాలు ఏమిటి;

ü సమానత్వ లక్షణాల ఆధారంగా సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరించాలి;

ü సమీకరణాలను ఉపయోగించి ఏ రకమైన సమస్యలు పరిష్కరించబడతాయి; లంబ రేఖలు ఏమిటి మరియు వాటిని ఎలా నిర్మించాలి;

ü ఏ పంక్తులను సమాంతరంగా పిలుస్తారు మరియు వాటిని ఎలా నిర్మించాలి;

ü కోఆర్డినేట్ ప్లేన్ అంటే ఏమిటి?

ü ఒక విమానంలో పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్లను ఎలా గుర్తించాలి;

ü పరిమాణాల మధ్య సంబంధం యొక్క గ్రాఫ్ ఏమిటి మరియు దానిని ఎలా నిర్మించాలి;

ü అధ్యయనం చేసిన పదార్థాన్ని ఆచరణలో ఎలా దరఖాస్తు చేయాలి

§ 30. వ్యక్తీకరణలు మరియు వాటి సరళీకరణ

అక్షరాల వ్యక్తీకరణలు ఏమిటో మీకు ఇప్పటికే తెలుసు మరియు సంకలనం మరియు గుణకారం యొక్క చట్టాలను ఉపయోగించి వాటిని ఎలా సరళీకృతం చేయాలో మీకు తెలుసు. ఉదాహరణకు, 2a ∙ (-4 b ) = -8 ab . ఫలిత వ్యక్తీకరణలో, సంఖ్య -8 వ్యక్తీకరణ యొక్క గుణకం అంటారు.

వ్యక్తీకరణ చేస్తుంది CD గుణకం? కాబట్టి. ఇది 1కి సమానం ఎందుకంటే cd - 1 ∙ cd .

కుండలీకరణాలతో కూడిన వ్యక్తీకరణను కుండలీకరణాలు లేకుండా వ్యక్తీకరణగా మార్చడాన్ని కుండలీకరణాలను విస్తరించడం అని గుర్తుంచుకోండి. ఉదాహరణకు: 5(2x + 4) = 10x+ 20.

ఈ ఉదాహరణలో రివర్స్ చర్య బ్రాకెట్ల నుండి సాధారణ కారకాన్ని తీసుకోవడం.

ఒకే అక్షర కారకాలను కలిగి ఉన్న నిబంధనలను సారూప్య పదాలు అంటారు. బ్రాకెట్ల నుండి సాధారణ కారకాన్ని తీసుకోవడం ద్వారా, ఇలాంటి నిబంధనలు పెంచబడతాయి:

5x + y + 4 - 2x + 6 y - 9 =

= (5x - 2x) + (y + 6 y )+ (4 - 9) = = (5-2)* + (1 + 6)* y -5 =

B x+ 7y - 5.

కుండలీకరణాలను తెరవడానికి నియమాలు

1. బ్రాకెట్ల ముందు "+" గుర్తు ఉన్నట్లయితే, బ్రాకెట్లను తెరిచినప్పుడు, బ్రాకెట్లలోని నిబంధనల సంకేతాలు భద్రపరచబడతాయి;

2. బ్రాకెట్ల ముందు "-" గుర్తు ఉన్నట్లయితే, బ్రాకెట్లను తెరిచినప్పుడు, బ్రాకెట్లలోని నిబంధనల సంకేతాలు విరుద్ధంగా మారుతాయి.

టాస్క్ 1. వ్యక్తీకరణను సులభతరం చేయండి:

1) 4x+(-7x + 5);

2) 15 y -(-8 + 7 y ).

పరిష్కారాలు. 1. బ్రాకెట్‌ల ముందు “+” గుర్తు ఉంటుంది, కాబట్టి బ్రాకెట్‌లను తెరిచేటప్పుడు, అన్ని నిబంధనల సంకేతాలు భద్రపరచబడతాయి:

4x +(-7x + 5) = 4x - 7x + 5=-3x + 5.

2. బ్రాకెట్‌ల ముందు “-” గుర్తు ఉంటుంది, కాబట్టి బ్రాకెట్‌లను తెరిచేటప్పుడు: అన్ని నిబంధనల సంకేతాలు రివర్స్ చేయబడతాయి:

15 - (- 8 + 7y) = 15y + 8 - 7y = 8y +8.

కుండలీకరణాలను తెరవడానికి ఉపయోగించండి పంపిణీ ఆస్తిగుణకారం: a( b + c ) = ab + ac. ఒక > 0 అయితే, నిబంధనల సంకేతాలుబి మరియు మారవద్దు. ఒకవేళ ఎ< 0, то знаки слагаемых బి మరియు విరుద్ధంగా మార్చండి.

పని 2. వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి:

1) 2(6 y -8) + 7 y ;

2)-5(2-5x) + 12.

పరిష్కారాలు. 1. బ్రాకెట్ల ముందు కారకం 2 సానుకూలంగా ఉంటుంది, కాబట్టి, బ్రాకెట్లను తెరిచేటప్పుడు, మేము అన్ని నిబంధనల సంకేతాలను సంరక్షిస్తాము: 2(6 y - 8) + 7 y = 12 y - 16 + 7 y =19 y -16.

2. బ్రాకెట్ల ముందు కారకం -5 ప్రతికూలంగా ఉంటుంది, కాబట్టి బ్రాకెట్లను తెరిచినప్పుడు, మేము అన్ని నిబంధనల సంకేతాలను వ్యతిరేకానికి మారుస్తాము:

5(2 - 5x) + 12 = -10 + 25x +12 = 2 + 25x.

మరింత తెలుసుకోవడానికి

1. "సమ్" అనే పదం లాటిన్ నుండి వచ్చిందిసుమా , అంటే "మొత్తం", "మొత్తం మొత్తం".

2. "ప్లస్" అనే పదం లాటిన్ నుండి వచ్చిందిఅదనంగా అంటే "మరింత" మరియు "మైనస్" అనే పదం లాటిన్ నుండి వచ్చిందిమైనస్ "తక్కువ" అంటే ఏమిటి? సంకలనం మరియు తీసివేత కార్యకలాపాలను సూచించడానికి “+” మరియు “-” సంకేతాలు ఉపయోగించబడతాయి. ఈ సంకేతాలను చెక్ శాస్త్రవేత్త J. విడ్‌మాన్ 1489లో “వ్యాపారులందరికీ త్వరగా మరియు ఆహ్లాదకరమైన ఖాతా” పుస్తకంలో పరిచయం చేశారు.(Fig. 138).

అన్నం. 138

ముఖ్యమైనది గుర్తుంచుకోండి

1. ఏ పదాలను సారూప్యంగా పిలుస్తారు? అటువంటి నిబంధనలు ఎలా నిర్మించబడ్డాయి?

2. మీరు "+" గుర్తుకు ముందు ఉన్న కుండలీకరణాలను ఎలా తెరుస్తారు?

3. మీరు "-" గుర్తుకు ముందు ఉన్న కుండలీకరణాలను ఎలా తెరుస్తారు?

4. మీరు సానుకూల కారకం ముందు కుండలీకరణాలను ఎలా తెరుస్తారు?

5. మీరు ప్రతికూల కారకం ముందు ఉన్న కుండలీకరణాలను ఎలా తెరుస్తారు?

1374". వ్యక్తీకరణ యొక్క గుణకం పేరు:

1)12 ఎ; 3) -5.6 xy;

2)4 6; 4)-లు.

1375". గుణకం ద్వారా మాత్రమే భిన్నమైన నిబంధనలకు పేరు పెట్టండి:

1) 10a + 76-26 + a; 3) 5 n + 5 m -4 n + 4;

2) bc -4 d - bc + 4 d ; 4)5x + 4y-x + y.

ఈ నిబంధనలను ఏమని పిలుస్తారు?

1376". ఉంది సారూప్య నిబంధనలువ్యక్తీకరణలో:

1)11a+10a; 3)6 n + 15 n; 5) 25r - 10r + 15r;

2) 14సె-12; 4)12 m + m ; 6)8 k +10 k - n ?

1377". వ్యక్తీకరణలో బ్రాకెట్లను తెరిచి, బ్రాకెట్లలోని నిబంధనల సంకేతాలను మార్చడం అవసరమా:

1)4 + (a+ 3 బి); 2)-c +(5-d); 3) 16-(5 మీ -8 ని)?

1378°. వ్యక్తీకరణను సులభతరం చేయండి మరియు గుణకాన్ని అండర్లైన్ చేయండి:

1379°. వ్యక్తీకరణను సులభతరం చేయండి మరియు గుణకాన్ని అండర్లైన్ చేయండి:

1380°. సారూప్య పదాలను కలపండి:

1) 4a - Po + 6a - 2a; 4) 10 - 4 d - 12 + 4 d ;

2) 4 బి - 5 బి + 4 + 5 బి ; 5) 5a - 12 b - 7a + 5 b;

3)-7 ang="EN-US">c+ 5-3 c + 2; 6) 14 n - 12 m -4 n -3 m.

1381°. సారూప్య పదాలను కలపండి:

1) 6a - 5a + 8a -7a; 3) 5s + 4-2s-3s;

2)9 బి +12-8-46; 4) -7 n + 8 m - 13 n - 3 m.

1382°. బ్రాకెట్ల నుండి సాధారణ కారకాన్ని తీసుకోండి:

1)1.2 a +1.2 b; 3) -3 n - 1.8 మీ; 5) -5 p + 2.5 k -0.5 t ;

2) 0.5 సె + 5 డి; 4) 1.2 n - 1.8 మీ; 6) -8r - 10k - 6t.

1383°. బ్రాకెట్ల నుండి సాధారణ కారకాన్ని తీసుకోండి:

1) 6a-12 b; 3) -1.8 n -3.6 మీ;

2) -0.2 సె + 1 4 డి ; A) 3p - 0.9 k + 2.7 t.

1384°. బ్రాకెట్లను తెరిచి, సారూప్య పదాలను కలపండి;

1) 5 + (4a -4); 4) -(5 సి - డి) + (4 డి + 5 సి);

2) 17x-(4x-5); 5) (n - m) - (-2 m - 3 n);

3) (76 - 4) - (46 + 2); 6) 7(-5x + y) - (-2y + 4x) + (x - 3y).

1385°. బ్రాకెట్లను తెరిచి, సారూప్య పదాలను కలపండి:

1) 10a + (4 - 4a); 3) (లు - 5 d) - (- d + 5c);

2) -(46- 10) + (4- 56); 4)-(5 n + m) + (-4 n + 8 m)-(2 m -5 n).

1386°. బ్రాకెట్లను తెరిచి, వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్ధాన్ని కనుగొనండి:

1)15+(-12+ 4,5); 3) (14,2-5)-(12,2-5);

2) 23-(5,3-4,7); 4) (-2,8 + 13)-(-5,6 + 2,8) + (2,8-13).

1387°. బ్రాకెట్లను తెరిచి, వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్థాన్ని కనుగొనండి:

1) (14- 15,8)- (5,8 + 4);

2)-(18+22,2)+ (-12+ 22,2)-(5- 12).

1388°. ఓపెన్ కుండలీకరణాలు:

1)0.5 ∙ (a + 4); 4) (n - m) ∙ (-2.4 p);

2)-s ∙ (2.7-1.2 డి ); 5)3 ∙ (-1.5 r + k - 0.2 t);

3) 1.6 ∙ (2 n + m); 6) (4.2 p - 3.5 k -6 t) ∙ (-2a).

1389°. ఓపెన్ కుండలీకరణాలు:

1) 2.2 ∙ (x-4); 3)(4 సి - డి ) ∙(-0.5 y );

2) -2 ∙ (1.2 n - m); 4)6- (-р + 0.3 k - 1.2 t).

1390. వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి:

1391. వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి:

1392. ఇలాంటి నిబంధనలను తగ్గించండి:

1393. సారూప్య పదాలను కలపండి:

1394. వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి:

1)2.8 - (0.5 a + 4) - 2.5 ∙ (2a - 6);

2) -12 ∙ (8 - 2, బై ) + 4.5 ∙ (-6 y - 3.2);

4) (-12.8 మీ + 24.8 ని) ∙ (-0.5)-(3.5 మీ -4.05 మీ) ∙ 2.

1395. వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి:

1396. వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్థం కనుగొనండి;

1) 4-(0.2 a-3)-(5.8 a-16), a = -5 అయితే;

2) 2-(7-56)+ 156-3∙(26+ 5), అయితే = -0.8;

m = 0.25, n = 5.7.

1397. వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్ధాన్ని కనుగొనండి:

1) -4∙ (i-2) + 2∙(6x - 1), x = -0.25 అయితే;

1398*. పరిష్కారంలో లోపాన్ని కనుగొనండి:

1)5- (a-2.4)-7 ∙ (-a+ 1.2) = 5a - 12-7a + 8.4 = -2a-3.6;

2) -4 ∙ (2.3 ఎ - 6) + 4.2 ∙ (-6 - 3.5 a) = -9.2 a + 46 + 4.26 - 14.7 a = -5.5 a + 8.26.

1399*. కుండలీకరణాలను తెరిచి, వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి:

1) 2ab - 3(6(4a - 1) - 6(6 - 10a)) + 76;

1400*. సరైన సమానత్వాన్ని పొందడానికి కుండలీకరణాలను అమర్చండి:

1)a-6-a + 6 = 2a; 2) a -2 b -2 a + b = 3 a -3 b .

1401*. ఏదైనా సంఖ్యలు a మరియు అని నిరూపించండి b అయితే a > b , అప్పుడు సమానత్వం కలిగి ఉంటుంది:

1) (a + b) + (a- b) = 2a; 2) (a + b) - (a - b) = 2 b.

ఒకవేళ ఈ సమానత్వం సరైనదేనా: ఎ) ఎ< b ; బి) ఎ = 6?

1402*. దేనికైనా అని నిరూపించండి సహజ సంఖ్యమరియు మునుపటి మరియు క్రింది సంఖ్యల అంకగణిత సగటు సంఖ్య aకి సమానం.

ఆచరణలో పెట్టండి

1403. ముగ్గురు వ్యక్తుల కోసం పండ్ల డెజర్ట్‌ను సిద్ధం చేయడానికి మీకు అవసరం: 2 ఆపిల్ల, 1 నారింజ, 2 అరటిపండ్లు మరియు 1 కివి. అతిథుల కోసం డెజర్ట్ సిద్ధం చేయడానికి అవసరమైన పండ్ల మొత్తాన్ని నిర్ణయించడానికి అక్షర వ్యక్తీకరణను ఎలా సృష్టించాలి? ఒకవేళ ఆమె ఎన్ని పండ్లను కొనుగోలు చేయాలో లెక్కించడంలో మారిన్‌కు సహాయం చేయండి: 1) 5 మంది స్నేహితులు ఆమెను సందర్శించడానికి వచ్చారు; 2) 8 మంది స్నేహితులు.

1404. మీ గణిత హోంవర్క్‌ని పూర్తి చేయడానికి అవసరమైన సమయాన్ని నిర్ణయించడానికి అక్షర వ్యక్తీకరణను రూపొందించండి:

1) సమస్యలను పరిష్కరించడానికి ఒక నిమిషం గడిపారు; 2) సమస్యలను పరిష్కరించడం కంటే వ్యక్తీకరణల సరళీకరణ 2 రెట్లు ఎక్కువ. పూర్తి చేయడానికి ఎంత సమయం పట్టింది ఇంటి పనివాసిల్కో, అతను సమస్యలను పరిష్కరించడానికి 15 నిమిషాలు గడిపినట్లయితే?

1405. పాఠశాల ఫలహారశాలలో భోజనంలో సలాడ్, బోర్ష్ట్, క్యాబేజీ రోల్స్ మరియు కంపోట్ ఉంటాయి. సలాడ్ ధర 20%, బోర్ష్ట్ - 30%, క్యాబేజీ రోల్స్ - 45%, కంపోట్ - మొత్తం భోజనం మొత్తం ఖర్చులో 5%. పాఠశాల క్యాంటీన్‌లో మధ్యాహ్న భోజనం ఖర్చును కనుగొనడానికి వ్యక్తీకరణను వ్రాయండి. సలాడ్ ధర 2 UAH అయితే లంచ్ ధర ఎంత?

సమస్యలను సమీక్షించండి

1406. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి:

1407. తాన్యా ఐస్ క్రీం కోసం ఖర్చు చేసిందిఅందుబాటులో ఉన్న మొత్తం డబ్బు, మరియు మిఠాయి కోసం -మిగిలినవి. తాన్య వద్ద ఎంత డబ్బు మిగిలి ఉంది?

మిఠాయికి 12 UAH ఖర్చవుతుందా?

గమనిక 1

బూలియన్ ఫంక్షన్‌ను బూలియన్ ఎక్స్‌ప్రెషన్‌ని ఉపయోగించి వ్రాయవచ్చు మరియు తర్వాత లాజిక్ సర్క్యూట్‌కి తరలించవచ్చు. సాధ్యమైనంత సరళమైన (అందువలన చౌకైన) లాజికల్ సర్క్యూట్‌ను పొందేందుకు తార్కిక వ్యక్తీకరణలను సరళీకృతం చేయడం అవసరం. ముఖ్యంగా, లాజికల్ ఫంక్షన్, లాజికల్ ఎక్స్‌ప్రెషన్ మరియు లాజిక్ సర్క్యూట్- అది మూడు వివిధ భాషలు, ఒక సంస్థ గురించి చెప్పడం.

సరళీకృతం చేయడానికి తార్కిక వ్యక్తీకరణలువా డు బీజగణిత తర్కం యొక్క చట్టాలు.

కొన్ని రూపాంతరాలు క్లాసికల్ బీజగణితంలో సూత్రాల రూపాంతరాలను పోలి ఉంటాయి (బ్రాకెట్ల నుండి సాధారణ కారకాన్ని తీసుకొని, కమ్యుటేటివ్ మరియు కలయిక చట్టాలుమొదలైనవి), మరియు ఇతర రూపాంతరాలు శాస్త్రీయ బీజగణితం యొక్క కార్యకలాపాలు కలిగి లేని లక్షణాలపై ఆధారపడి ఉంటాయి (సంయోగం కోసం పంపిణీ చట్టం యొక్క ఉపయోగం, శోషణ చట్టాలు, గ్లైయింగ్, డి మోర్గాన్ నియమాలు మొదలైనవి).

తర్కం యొక్క బీజగణితం యొక్క నియమాలు ప్రాథమిక కోసం రూపొందించబడ్డాయి తార్కిక కార్యకలాపాలు- “కాదు” – విలోమం (నిరాకరణ), “AND” – సంయోగం (తార్కిక గుణకారం) మరియు “OR” – డిస్జంక్షన్ (తార్కిక జోడింపు).

డబుల్ నెగేషన్ చట్టం అంటే "NOT" ఆపరేషన్ రివర్సిబుల్ అని అర్థం: మీరు దీన్ని రెండుసార్లు వర్తింపజేస్తే, చివరికి తార్కిక విలువ మారదు.

మినహాయించబడిన మధ్యస్థ చట్టం ఏదైనా తార్కిక వ్యక్తీకరణ నిజం లేదా తప్పు ("మూడవది లేదు") అని పేర్కొంది. కాబట్టి, $A=1$ అయితే, $\bar(A)=0$ (మరియు వైస్ వెర్సా), అంటే ఈ పరిమాణాల సంయోగం ఎల్లప్పుడూ సున్నాకి సమానంగా ఉంటుంది మరియు విభజన ఎల్లప్పుడూ ఒకదానికి సమానంగా ఉంటుంది.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

ఈ సూత్రాన్ని సులభతరం చేద్దాం:

మూర్తి 3.

ఇది $A = 0$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$.

సమాధానం:విద్యార్థులు $B$, $C$ మరియు $D$ చెస్ ఆడతారు, కానీ విద్యార్థి $A$ ఆడరు.

తార్కిక వ్యక్తీకరణలను సరళీకృతం చేస్తున్నప్పుడు, మీరు ఈ క్రింది చర్యల క్రమాన్ని చేయవచ్చు:

1. అన్ని "ప్రాథమిక" కార్యకలాపాలను (సమానత, అంతర్దృష్టి, ప్రత్యేకమైన OR మొదలైనవి) వాటి వ్యక్తీకరణలతో భర్తీ చేయండి ప్రాథమిక కార్యకలాపాలువిలోమం, సంయోగం మరియు విభజన.
2. విలోమాలను విస్తరించండి సంక్లిష్ట వ్యక్తీకరణలుడి మోర్గాన్ నియమాల ప్రకారం వ్యక్తిగత వేరియబుల్స్ కోసం మాత్రమే నిరాకరణ కార్యకలాపాలు ఉంటాయి.
3. ఆపై కుండలీకరణాలను తెరవడం, తొలగించడం ద్వారా వ్యక్తీకరణను సులభతరం చేయండి సాధారణ కారకాలుబ్రాకెట్లు మరియు తర్కం యొక్క బీజగణితం యొక్క ఇతర చట్టాలు దాటి.

ఉదాహరణ 2

ఇక్కడ, డి మోర్గాన్ నియమం, పంపిణీ చట్టం, మినహాయించబడిన మధ్యస్థ చట్టం, కమ్యుటేటివ్ చట్టం, పునరావృతం చట్టం, మళ్లీ కమ్యుటేటివ్ చట్టం మరియు శోషణ చట్టం వరుసగా ఉపయోగించబడతాయి.