ఈ వ్యాసం అంకితం చేయబడింది హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణల రూపాంతరం, ఎక్కువగా పాక్షికంగా హేతుబద్ధమైనది, 8వ తరగతి బీజగణితం కోర్సులోని కీలక సమస్యలలో ఒకటి. మొదట, మేము ఏ రకమైన వ్యక్తీకరణలను హేతుబద్ధంగా పిలుస్తామో గుర్తుచేసుకుంటాము. తరువాత మేము నిబంధనలను సమూహపరచడం, సాధారణ కారకాలను బ్రాకెట్‌ల నుండి బయట పెట్టడం, సారూప్య నిబంధనలను తీసుకురావడం మొదలైన హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణలతో ప్రామాణిక పరివర్తనలను నిర్వహించడంపై దృష్టి పెడతాము. చివరగా, మేము పాక్షిక హేతుబద్ధ వ్యక్తీకరణలను హేతుబద్ధమైన భిన్నాలుగా సూచించడం నేర్చుకుంటాము.

పేజీ నావిగేషన్.

హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణల నిర్వచనం మరియు ఉదాహరణలు

పాఠశాలలో బీజగణిత పాఠాలలో అధ్యయనం చేయబడిన వ్యక్తీకరణల రకాల్లో హేతుబద్ధ వ్యక్తీకరణలు ఒకటి. ఒక నిర్వచనం ఇద్దాం.

నిర్వచనం.

సంఖ్యలు, వేరియబుల్స్, కుండలీకరణాలు, పూర్ణాంకాల ఘాతాంకాలతో కూడిన శక్తులు, అంకగణిత సంకేతాలను ఉపయోగించి కనెక్ట్ చేయబడిన +, -, · మరియు:, విభజనను భిన్న రేఖ ద్వారా సూచించగల వ్యక్తీకరణలు అంటారు. హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణలు.

ఇక్కడ హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణలకు కొన్ని ఉదాహరణలు ఉన్నాయి:

హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణలను 7వ తరగతిలో ఉద్దేశపూర్వకంగా అధ్యయనం చేయడం ప్రారంభమవుతుంది. అంతేకాకుండా, 7 వ తరగతిలో పిలవబడే వారితో పని చేసే ప్రాథమికాలను నేర్చుకుంటారు మొత్తం హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణలు, అంటే, వేరియబుల్స్‌తో వ్యక్తీకరణలుగా విభజించబడని హేతుబద్ధ వ్యక్తీకరణలతో. దీన్ని చేయడానికి, మోనోమియల్‌లు మరియు బహుపదిలు వరుసగా అధ్యయనం చేయబడతాయి, అలాగే వాటితో చర్యలను చేసే సూత్రాలు. ఈ జ్ఞానం అంతిమంగా మొత్తం వ్యక్తీకరణల రూపాంతరాలను నిర్వహించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.

గ్రేడ్ 8లో, వారు వేరియబుల్స్ అని పిలువబడే ఒక వ్యక్తీకరణ ద్వారా విభజనను కలిగి ఉన్న హేతుబద్ధ వ్యక్తీకరణలను అధ్యయనం చేస్తారు పాక్షిక హేతుబద్ధ వ్యక్తీకరణలు. ఈ సందర్భంలో, ప్రత్యేక శ్రద్ధ అని పిలవబడేది హేతుబద్ధమైన భిన్నాలు(వారు కూడా అంటారు బీజగణిత భిన్నాలు), అంటే, న్యూమరేటర్ మరియు హారం బహుపదిలను కలిగి ఉండే భిన్నాలు. ఇది అంతిమంగా హేతుబద్ధమైన భిన్నాలను మార్చడం సాధ్యం చేస్తుంది.

సంపాదించిన నైపుణ్యాలు ఏ రూపంలోనైనా హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణలను మార్చడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తాయి. ఏదైనా హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణ హేతుబద్ధమైన భిన్నాలు మరియు అంకగణిత కార్యకలాపాల సంకేతాలతో అనుసంధానించబడిన పూర్ణాంక వ్యక్తీకరణలతో కూడిన వ్యక్తీకరణగా పరిగణించబడుతుందనే వాస్తవం ద్వారా ఇది వివరించబడింది. మొత్తం వ్యక్తీకరణలు మరియు బీజగణిత భిన్నాలతో ఎలా పని చేయాలో మాకు ఇప్పటికే తెలుసు.

హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణల రూపాంతరాల యొక్క ప్రధాన రకాలు

హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణలతో, మీరు ఏదైనా ప్రాథమిక గుర్తింపు పరివర్తనలను నిర్వహించవచ్చు, అది గ్రూపింగ్ నిబంధనలు లేదా కారకాలు కావచ్చు, సారూప్య నిబంధనలను తీసుకురావడం, సంఖ్యలతో కార్యకలాపాలు చేయడం మొదలైనవి. సాధారణంగా ఈ పరివర్తనలను చేయడం యొక్క ఉద్దేశ్యం హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణ యొక్క సరళీకరణ.

ఉదాహరణ.

.

పరిష్కారం.

ఈ హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణ రెండు వ్యక్తీకరణల మధ్య వ్యత్యాసం మరియు , మరియు ఈ వ్యక్తీకరణలు ఒకేలా ఉంటాయి, ఎందుకంటే అవి ఒకే అక్షర భాగాన్ని కలిగి ఉంటాయి. అందువలన, మేము ఇలాంటి పదాల తగ్గింపును చేయవచ్చు:

సమాధానం:

.

హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణలతో, అలాగే ఏవైనా ఇతర వ్యక్తీకరణలతో పరివర్తనలు చేస్తున్నప్పుడు, మీరు చర్యలను ఆమోదించిన క్రమంలోనే ఉండాలని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది.

ఉదాహరణ.

హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణ పరివర్తనను అమలు చేయండి.

పరిష్కారం.

కుండలీకరణాల్లోని చర్యలు ముందుగా అమలు చేయబడతాయని మాకు తెలుసు. అందువల్ల, ముందుగా, మేము వ్యక్తీకరణను బ్రాకెట్లలో మారుస్తాము: 3·x−x=2·x.

ఇప్పుడు మీరు పొందిన ఫలితాన్ని అసలైన హేతుబద్ధ వ్యక్తీకరణకు ప్రత్యామ్నాయం చేయవచ్చు: . కాబట్టి మేము ఒక దశ యొక్క చర్యలను కలిగి ఉన్న వ్యక్తీకరణకు వచ్చాము - కూడిక మరియు గుణకారం.

ఉత్పత్తి ద్వారా విభజన యొక్క లక్షణాన్ని వర్తింపజేయడం ద్వారా వ్యక్తీకరణ ముగింపులో ఉన్న కుండలీకరణాలను వదిలించుకుందాం: .

చివరగా, మేము సంఖ్యా కారకాలు మరియు కారకాలను వేరియబుల్ xతో సమూహపరచవచ్చు, ఆపై సంఖ్యలపై సంబంధిత కార్యకలాపాలను నిర్వహించి మరియు వర్తింపజేయవచ్చు :.

ఇది హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణ యొక్క పరివర్తనను పూర్తి చేస్తుంది మరియు ఫలితంగా మనకు మోనోమియల్ లభిస్తుంది.

సమాధానం:

ఉదాహరణ.

హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణను మార్చండి .

పరిష్కారం.

మొదట మనం న్యూమరేటర్ మరియు హారంను మారుస్తాము. భిన్నాల పరివర్తన యొక్క ఈ క్రమం తప్పనిసరిగా విభజన కోసం మరొక హోదా, మరియు అసలు హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణ తప్పనిసరిగా రూపం యొక్క గుణకం అనే వాస్తవం ద్వారా వివరించబడింది. , మరియు కుండలీకరణాల్లోని చర్యలు ముందుగా నిర్వహించబడతాయి.

కాబట్టి, న్యూమరేటర్‌లో మేము బహుపదాలతో ఆపరేషన్లు చేస్తాము, మొదట గుణకారం, ఆపై వ్యవకలనం, మరియు హారంలో మేము సంఖ్యా కారకాలను సమూహపరుస్తాము మరియు వాటి ఉత్పత్తిని గణిస్తాము: .

ఉత్పత్తి రూపంలో ఫలిత భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ మరియు హారంను కూడా ఊహించుకుందాం: అకస్మాత్తుగా బీజగణిత భిన్నాన్ని తగ్గించడం సాధ్యమవుతుంది. దీన్ని చేయడానికి, మేము న్యూమరేటర్‌లో ఉపయోగిస్తాము చతురస్రాల ఫార్ములా తేడా, మరియు హారంలో మేము బ్రాకెట్ల నుండి రెండింటిని తీసుకుంటాము, మనకు ఉంది .

సమాధానం:

.

కాబట్టి, హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణల పరివర్తనతో ప్రారంభ పరిచయాన్ని పూర్తి చేసినట్లు పరిగణించవచ్చు. చెప్పాలంటే, మధురమైన భాగానికి వెళ్దాం.

హేతుబద్ధమైన భిన్నం ప్రాతినిధ్యం

చాలా తరచుగా, వ్యక్తీకరణలను మార్చడం యొక్క అంతిమ లక్ష్యం వాటి రూపాన్ని సరళీకృతం చేయడం. ఈ కాంతిలో, పాక్షిక హేతుబద్ధ వ్యక్తీకరణను మార్చగల సరళమైన రూపం హేతుబద్ధమైన (బీజగణిత) భిన్నం, మరియు ప్రత్యేక సందర్భంలో బహుపది, మోనోమియల్ లేదా సంఖ్య.

ఏదైనా హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణను హేతుబద్ధమైన భిన్నం వలె సూచించడం సాధ్యమేనా? అవుననే సమాధానం వస్తుంది. ఇది ఎందుకు జరుగుతుందో వివరిద్దాం.

మేము ఇప్పటికే చెప్పినట్లుగా, ప్రతి హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణను ప్లస్, మైనస్, గుణకారం మరియు విభజించే సంకేతాలతో అనుసంధానించబడిన బహుపదిలు మరియు హేతుబద్ధమైన భిన్నాలుగా పరిగణించవచ్చు. బహుపదాలతో అన్ని సంబంధిత కార్యకలాపాలు బహుపది లేదా హేతుబద్ధమైన భిన్నాన్ని అందిస్తాయి. ప్రతిగా, ఏదైనా బహుపదిని హారం 1తో రాయడం ద్వారా బీజగణిత భిన్నంగా మార్చవచ్చు. మరియు హేతుబద్ధమైన భిన్నాలను జోడించడం, తీసివేయడం, గుణించడం మరియు విభజించడం వల్ల కొత్త హేతుబద్ధమైన భిన్నం ఏర్పడుతుంది. అందువల్ల, హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణలో బహుపదాలు మరియు హేతుబద్ధమైన భిన్నాలతో అన్ని కార్యకలాపాలను చేసిన తర్వాత, మనకు హేతుబద్ధమైన భిన్నం లభిస్తుంది.

ఉదాహరణ.

వ్యక్తీకరణను హేతుబద్ధమైన భిన్నం వలె వ్యక్తపరచండి .

పరిష్కారం.

అసలు హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణ అనేది భిన్నం మరియు రూపం యొక్క భిన్నాల ఉత్పత్తి మధ్య వ్యత్యాసం . ఆపరేషన్ల క్రమం ప్రకారం, మనం మొదట గుణకారం చేయాలి, ఆపై మాత్రమే అదనంగా.

మేము బీజగణిత భిన్నాలను గుణించడంతో ప్రారంభిస్తాము:

మేము పొందిన ఫలితాన్ని అసలు హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణకు ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము: .

మేము వివిధ హారంలతో బీజగణిత భిన్నాల వ్యవకలనానికి వచ్చాము:

కాబట్టి, అసలు హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణను రూపొందించే హేతుబద్ధమైన భిన్నాలతో కార్యకలాపాలను నిర్వహించి, మేము దానిని హేతుబద్ధమైన భిన్నం రూపంలో అందించాము.

సమాధానం:

.

పదార్థాన్ని ఏకీకృతం చేయడానికి, మేము మరొక ఉదాహరణకి పరిష్కారాన్ని విశ్లేషిస్తాము.

ఉదాహరణ.

హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణను హేతుబద్ధమైన భిన్నం వలె వ్యక్తపరచండి.

మునుపటి పాఠంలో, హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణ యొక్క భావన ఇప్పటికే పరిచయం చేయబడింది; నేటి పాఠంలో మేము హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణలతో పని చేస్తూనే ఉంటాము మరియు వాటి పరివర్తనలపై దృష్టి పెడతాము. నిర్దిష్ట ఉదాహరణలను ఉపయోగించి, హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణల రూపాంతరాలకు సంబంధించిన సమస్యలను పరిష్కరించడానికి మరియు వాటితో అనుబంధించబడిన గుర్తింపులను నిరూపించే పద్ధతులను మేము పరిశీలిస్తాము.

విషయం:బీజగణిత భిన్నాలు. బీజగణిత భిన్నాలపై అంకగణిత కార్యకలాపాలు

పాఠం:హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణలను మార్చడం

ముందుగా హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణ యొక్క నిర్వచనాన్ని గుర్తుచేసుకుందాం.

నిర్వచనం.హేతుబద్ధమైనదివ్యక్తీకరణ- బీజగణిత వ్యక్తీకరణ, ఇది మూలాలను కలిగి ఉండదు మరియు కూడిక, తీసివేత, గుణకారం మరియు భాగహారం (శక్తికి పెంచడం) కార్యకలాపాలను మాత్రమే కలిగి ఉంటుంది.

"హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణను మార్చడం" అనే భావన ద్వారా మనం మొదటగా, దాని సరళీకరణ అని అర్థం. మరియు ఇది మనకు తెలిసిన చర్యల క్రమంలో నిర్వహించబడుతుంది: మొదట బ్రాకెట్లలోని చర్యలు, తర్వాత సంఖ్యల ఉత్పత్తి(ఘాతాంకం), సంఖ్యలను విభజించడం, ఆపై కార్యకలాపాలను జోడించడం/తీసివేయడం.

నేటి పాఠం యొక్క ప్రధాన లక్ష్యం హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణలను సరళీకృతం చేయడంలో మరింత క్లిష్టమైన సమస్యలను పరిష్కరించడంలో అనుభవాన్ని పొందడం.

ఉదాహరణ 1.

పరిష్కారం.మొదట ఈ భిన్నాలను తగ్గించవచ్చని అనిపించవచ్చు, ఎందుకంటే భిన్నాల సంఖ్యలలోని వ్యక్తీకరణలు వాటి సంబంధిత హారం యొక్క ఖచ్చితమైన చతురస్రాల సూత్రాలకు చాలా పోలి ఉంటాయి. ఈ సందర్భంలో, తొందరపడకుండా ఉండటం ముఖ్యం, కానీ ఇది అలా ఉందో లేదో విడిగా తనిఖీ చేయండి.

మొదటి భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్‌ని తనిఖీ చేద్దాం: . ఇప్పుడు రెండవ న్యూమరేటర్: .

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, మా అంచనాలను అందుకోలేదు మరియు న్యూమరేటర్‌లలోని వ్యక్తీకరణలు ఖచ్చితమైన చతురస్రాలు కావు, ఎందుకంటే వాటికి ఉత్పత్తి రెట్టింపు లేదు. అటువంటి వ్యక్తీకరణలు, మీరు 7వ తరగతి కోర్సును గుర్తుచేసుకుంటే, అసంపూర్ణ చతురస్రాలు అంటారు. అటువంటి సందర్భాలలో మీరు చాలా జాగ్రత్తగా ఉండాలి, ఎందుకంటే పూర్తి చతురస్రం యొక్క సూత్రాన్ని అసంపూర్తిగా గందరగోళం చేయడం చాలా సాధారణ తప్పు, మరియు అలాంటి ఉదాహరణలు విద్యార్థి యొక్క శ్రద్ధను పరీక్షిస్తాయి.

తగ్గింపు అసాధ్యం కాబట్టి, మేము భిన్నాల జోడింపును చేస్తాము. హారంలకు సాధారణ కారకాలు లేవు, కాబట్టి అవి అతి తక్కువ సాధారణ హారం పొందడానికి గుణించబడతాయి మరియు ప్రతి భిన్నానికి అదనపు కారకం ఇతర భిన్నం యొక్క హారం.

వాస్తవానికి, మీరు బ్రాకెట్‌లను తెరిచి, ఆపై సారూప్య నిబంధనలను తీసుకురావచ్చు, అయితే, ఈ సందర్భంలో మీరు తక్కువ ప్రయత్నంతో పొందవచ్చు మరియు న్యూమరేటర్‌లో మొదటి పదం ఘనాల మొత్తానికి సూత్రం అని గమనించవచ్చు మరియు రెండవది ఘనాల తేడా. సౌలభ్యం కోసం, ఈ సూత్రాలను సాధారణ రూపంలో గుర్తుచేసుకుందాం:

మా సందర్భంలో, న్యూమరేటర్‌లోని వ్యక్తీకరణలు క్రింది విధంగా కుదించబడ్డాయి:

, రెండవ వ్యక్తీకరణ సమానంగా ఉంటుంది. మాకు ఉన్నాయి:

సమాధానం..

ఉదాహరణ 2.హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి .

పరిష్కారం.ఈ ఉదాహరణ మునుపటి మాదిరిగానే ఉంటుంది, అయితే ఇక్కడ భిన్నాల సంఖ్యలు పాక్షిక చతురస్రాలను కలిగి ఉన్నాయని వెంటనే స్పష్టమవుతుంది, కాబట్టి పరిష్కారం యొక్క ప్రారంభ దశలో తగ్గింపు అసాధ్యం. మునుపటి ఉదాహరణ వలె, మేము భిన్నాలను జోడిస్తాము:

ఇక్కడ, పైన సూచించిన పద్ధతి వలె, మేము ఘనాల మొత్తం మరియు వ్యత్యాసానికి సూత్రాలను ఉపయోగించి వ్యక్తీకరణలను గమనించాము మరియు కుదించాము.

సమాధానం..

ఉదాహరణ 3.హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి.

పరిష్కారం.క్యూబ్స్ ఫార్ములా మొత్తాన్ని ఉపయోగించి రెండవ భిన్నం యొక్క హారం కారకం చేయబడిందని మీరు గమనించవచ్చు. మనకు ఇప్పటికే తెలిసినట్లుగా, భిన్నాల యొక్క అత్యల్ప సాధారణ హారంను కనుగొనడానికి ఫ్యాక్టరింగ్ హారం ఉపయోగపడుతుంది.

భిన్నాల యొక్క అత్యల్ప సాధారణ హారంను సూచిస్తాము, ఇది దీనికి సమానం: , ఇది మూడవ భిన్నం యొక్క హారం ద్వారా విభజించబడింది మరియు మొదటి వ్యక్తీకరణ సాధారణంగా పూర్ణాంకం మరియు ఏదైనా హారం దానికి అనుకూలంగా ఉంటుంది. స్పష్టమైన అదనపు కారకాలను సూచించిన తరువాత, మేము వ్రాస్తాము:

సమాధానం.

"బహుళ-కథ" భిన్నాలతో మరింత సంక్లిష్టమైన ఉదాహరణను పరిశీలిద్దాం.

ఉదాహరణ 4.వేరియబుల్ యొక్క అన్ని ఆమోదయోగ్యమైన విలువలకు గుర్తింపును నిరూపించండి.

రుజువు.ఈ గుర్తింపును నిరూపించడానికి, మేము దాని ఎడమ వైపు (కాంప్లెక్స్) మనకు అవసరమైన సాధారణ రూపానికి సరళీకరించడానికి ప్రయత్నిస్తాము. దీన్ని చేయడానికి, మేము అన్ని కార్యకలాపాలను న్యూమరేటర్ మరియు హారంలోని భిన్నాలతో నిర్వహిస్తాము, ఆపై భిన్నాలను విభజించి ఫలితాన్ని సరళీకృతం చేస్తాము.

వేరియబుల్ యొక్క అన్ని అనుమతించదగిన విలువలకు నిరూపించబడింది.

నిరూపించబడింది.

తదుపరి పాఠంలో హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణలను మార్చడానికి మరింత సంక్లిష్టమైన ఉదాహరణలను మేము వివరంగా పరిశీలిస్తాము.

గ్రంథ పట్టిక

1. బాష్మాకోవ్ M.I. ఆల్జీబ్రా 8వ తరగతి. - M.: విద్య, 2004.

2. డోరోఫీవ్ G.V., సువోరోవా S.B., బునిమోవిచ్ E.A. మరియు ఇతరులు ఆల్జీబ్రా 8. - 5వ ఎడిషన్. - M.: విద్య, 2010.

3. నికోల్స్కీ S.M., పొటాపోవ్ M.A., రెషెట్నికోవ్ N.N., షెవ్కిన్ A.V. ఆల్జీబ్రా 8వ తరగతి. సాధారణ విద్యా సంస్థలకు పాఠ్య పుస్తకం. - M.: విద్య, 2006.

2. పాఠం అభివృద్ధి, ప్రదర్శనలు, పాఠ్య గమనికలు ().

ఇంటి పని

1. నం. 96-101. డోరోఫీవ్ G.V., సువోరోవా S.B., బునిమోవిచ్ E.A. మరియు ఇతరులు ఆల్జీబ్రా 8. - 5వ ఎడిషన్. - M.: విద్య, 2010.

2. వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి .

3. వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి.

4. గుర్తింపును నిరూపించండి.

దశాంశ భిన్నాన్ని సాధారణ భిన్నంలోకి మార్చడం ప్రాథమిక అంశం అని అనిపించవచ్చు, కానీ చాలా మంది విద్యార్థులకు ఇది అర్థం కాలేదు! అందువల్ల, ఈ రోజు మనం అనేక అల్గారిథమ్‌లను ఒకేసారి వివరంగా పరిశీలిస్తాము, దీని సహాయంతో మీరు సెకనులో ఏదైనా భిన్నాలను అర్థం చేసుకుంటారు.

ఒకే భిన్నాన్ని వ్రాయడానికి కనీసం రెండు రూపాలు ఉన్నాయని నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను: సాధారణ మరియు దశాంశం. దశాంశ భిన్నాలు 0.75 రూపం యొక్క అన్ని రకాల నిర్మాణాలు; 1.33; మరియు −7.41 కూడా. ఒకే సంఖ్యలను వ్యక్తీకరించే సాధారణ భిన్నాల ఉదాహరణలు ఇక్కడ ఉన్నాయి:

ఇప్పుడు దాన్ని గుర్తించండి: దశాంశ సంజ్ఞామానం నుండి సాధారణ సంజ్ఞామానానికి ఎలా వెళ్లాలి? మరియు ముఖ్యంగా: వీలైనంత త్వరగా దీన్ని ఎలా చేయాలి?

ప్రాథమిక అల్గోరిథం

నిజానికి, కనీసం రెండు అల్గోరిథంలు ఉన్నాయి. మరియు మేము ఇప్పుడు రెండింటినీ పరిశీలిస్తాము. మొదటిదానితో ప్రారంభిద్దాం - సరళమైనది మరియు అర్థమయ్యేది.

దశాంశాన్ని భిన్నానికి మార్చడానికి, మీరు మూడు దశలను అనుసరించాలి:

ప్రతికూల సంఖ్యల గురించి ముఖ్యమైన గమనిక. అసలు ఉదాహరణలో దశాంశ భిన్నం ముందు మైనస్ గుర్తు ఉంటే, అవుట్‌పుట్‌లో సాధారణ భిన్నం ముందు మైనస్ గుర్తు కూడా ఉండాలి. ఇక్కడ మరికొన్ని ఉదాహరణలు ఉన్నాయి:

భిన్నాల దశాంశ సంజ్ఞామానం నుండి సాధారణ వాటికి మారడానికి ఉదాహరణలు

నేను చివరి ఉదాహరణపై ప్రత్యేక శ్రద్ధ వహించాలనుకుంటున్నాను. మీరు చూడగలిగినట్లుగా, 0.0025 భిన్నం దశాంశ బిందువు తర్వాత అనేక సున్నాలను కలిగి ఉంటుంది. దీని కారణంగా, మీరు న్యూమరేటర్ మరియు హారంను 10 కంటే ఎక్కువ నాలుగు సార్లు గుణించాలి. ఈ సందర్భంలో అల్గారిథమ్‌ను ఎలాగైనా సరళీకృతం చేయడం సాధ్యమేనా?

అయితే మీరు చెయ్యగలరు. మరియు ఇప్పుడు మేము ప్రత్యామ్నాయ అల్గోరిథంను పరిశీలిస్తాము - ఇది అర్థం చేసుకోవడం కొంచెం కష్టం, కానీ కొంచెం అభ్యాసం తర్వాత ఇది ప్రామాణికం కంటే చాలా వేగంగా పని చేస్తుంది.

వేగవంతమైన మార్గం

ఈ అల్గోరిథం కూడా 3 దశలను కలిగి ఉంటుంది. దశాంశం నుండి భిన్నాన్ని పొందడానికి, ఈ క్రింది వాటిని చేయండి:

1. దశాంశ బిందువు తర్వాత ఎన్ని అంకెలు ఉన్నాయో లెక్కించండి. ఉదాహరణకు, భిన్నం 1.75 అటువంటి రెండు అంకెలను కలిగి ఉంది మరియు 0.0025 నాలుగు కలిగి ఉంటుంది. ఈ పరిమాణాన్ని $n$ అక్షరంతో సూచిస్తాం.
2. అసలు సంఖ్యను $\frac(a)(((10)^(n))) $ ఫారమ్ యొక్క భిన్నం వలె తిరిగి వ్రాయండి, ఇక్కడ $a$ అనేది అసలు భిన్నం యొక్క అన్ని అంకెలు ("ప్రారంభ" సున్నాలు లేకుండా ఎడమ, ఏదైనా ఉంటే), మరియు $n$ అనేది మొదటి దశలో మనం లెక్కించిన దశాంశ బిందువు తర్వాత అదే అంకెల సంఖ్య. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, మీరు అసలు భిన్నం యొక్క అంకెలను $n$ సున్నాలతో ఒకదానితో విభజించాలి.
3. వీలైతే, ఫలిత భిన్నాన్ని తగ్గించండి.

అంతే! మొదటి చూపులో, ఈ పథకం మునుపటి కంటే చాలా క్లిష్టంగా ఉంటుంది. కానీ నిజానికి ఇది సరళమైనది మరియు వేగవంతమైనది. మీ కోసం తీర్పు చెప్పండి:

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, భిన్నం 0.64లో దశాంశ బిందువు తర్వాత రెండు అంకెలు ఉన్నాయి - 6 మరియు 4. అందువల్ల $n=2$. మనం ఎడమ వైపున ఉన్న కామా మరియు సున్నాలను తీసివేస్తే (ఈ సందర్భంలో, కేవలం ఒక సున్నా), మనకు 64 సంఖ్య వస్తుంది. రెండవ దశకు వెళ్దాం: $((10)^(n))=((10)^ (2))=100$, కాబట్టి, హారం సరిగ్గా వంద. సరే, ఇక మిగిలింది న్యూమరేటర్ మరియు హారం తగ్గించడమే. :)

మరో ఉదాహరణ:

ఇక్కడ ప్రతిదీ కొంచెం క్లిష్టంగా ఉంటుంది. ముందుగా, దశాంశ బిందువు తర్వాత ఇప్పటికే 3 సంఖ్యలు ఉన్నాయి, అనగా. $n=3$, కాబట్టి మీరు $((10)^(n))=((10)^(3))=1000$తో విభజించాలి. రెండవది, మేము దశాంశ సంజ్ఞామానం నుండి కామాను తీసివేస్తే, మనకు ఇది లభిస్తుంది: 0.004 → 0004. ఎడమవైపు ఉన్న సున్నాలు తప్పనిసరిగా తీసివేయబడాలని గుర్తుంచుకోండి, కాబట్టి వాస్తవానికి మనకు సంఖ్య 4 ఉంటుంది. అప్పుడు ప్రతిదీ సులభం: విభజించండి, తగ్గించండి మరియు పొందండి సమాధానం.

చివరగా, చివరి ఉదాహరణ:

ఈ భిన్నం యొక్క విశిష్టత మొత్తం భాగం యొక్క ఉనికి. అందువల్ల, మనకు లభించే అవుట్‌పుట్ 47/25 యొక్క సరికాని భిన్నం. మీరు, వాస్తవానికి, 47ని 25తో మిగిలిన భాగంతో విభజించి, మొత్తం భాగాన్ని మళ్లీ వేరుచేయడానికి ప్రయత్నించవచ్చు. పరివర్తన దశలో దీన్ని చేయగలిగితే మీ జీవితాన్ని ఎందుకు క్లిష్టతరం చేయాలి? సరే, దాన్ని గుర్తించండి.

మొత్తం భాగాన్ని ఏమి చేయాలి

వాస్తవానికి, ప్రతిదీ చాలా సులభం: మనం సరైన భిన్నాన్ని పొందాలనుకుంటే, పరివర్తన సమయంలో మనం దాని నుండి మొత్తం భాగాన్ని తీసివేయాలి, ఆపై, ఫలితాన్ని పొందినప్పుడు, భిన్న రేఖకు ముందు కుడి వైపున మళ్లీ జోడించండి. .

ఉదాహరణకు, అదే సంఖ్యను పరిగణించండి: 1.88. ఒకటి (మొత్తం భాగం) ద్వారా స్కోర్ చేద్దాం మరియు భిన్నం 0.88ని చూద్దాం. దీన్ని సులభంగా మార్చవచ్చు:

అప్పుడు మేము "కోల్పోయిన" యూనిట్ గురించి గుర్తుంచుకుంటాము మరియు దానిని ముందుకి చేర్చండి:

\[\frac(22)(25)\ to 1\frac(22)(25)\]

అంతే! మొత్తానికి చివరిసారి సెలెక్ట్ చేసిన తర్వాత సమాధానం అదే వచ్చింది. మరికొన్ని ఉదాహరణలు:

\[\begin(align)& 2.15\ to 0.15=\frac(15)(100)=\frac(3)(20)\to 2\frac(3)(20); \\& 13.8\ to 0.8=\frac(8)(10)=\frac(4)(5)\ to 13\frac(4)(5). \\\ ముగింపు(సమలేఖనం)\]

ఇది గణితానికి అందం: మీరు ఏ మార్గంలో వెళ్లినా, అన్ని లెక్కలు సరిగ్గా చేస్తే, సమాధానం ఎప్పుడూ ఒకేలా ఉంటుంది. :)

ముగింపులో, చాలా మందికి సహాయపడే మరొక సాంకేతికతను నేను పరిగణించాలనుకుంటున్నాను.

"చెవి ద్వారా" పరివర్తనలు

దశాంశం అంటే ఏమిటో ఆలోచిద్దాం. మరింత ఖచ్చితంగా, మేము దానిని ఎలా చదువుతాము. ఉదాహరణకు, 0.64 సంఖ్య - మేము దానిని "సున్నా పాయింట్ 64 వందల"గా చదువుతాము, సరియైనదా? బాగా, లేదా కేవలం "64 వందల". ఇక్కడ ప్రధాన పదం "వందలు", అనగా. సంఖ్య 100.

0.004 గురించి ఏమిటి? ఇది "సున్నా పాయింట్ 4 వేలు" లేదా కేవలం "నాలుగు వేల వంతు". ఒక మార్గం లేదా మరొకటి, కీలక పదం "వేలాది", అనగా. 1000

కాబట్టి పెద్ద విషయం ఏమిటి? మరియు వాస్తవం ఏమిటంటే, ఈ సంఖ్యలు అల్గోరిథం యొక్క రెండవ దశలో హారంలో చివరికి "పాప్ అప్" అవుతాయి. ఆ. 0.004 అనేది “నాలుగు వేల వంతు” లేదా “4ని 1000తో విభజించడం”:

మీరే సాధన చేయడానికి ప్రయత్నించండి - ఇది చాలా సులభం. ప్రధాన విషయం ఏమిటంటే అసలు భిన్నాన్ని సరిగ్గా చదవడం. ఉదాహరణకు, 2.5 "2 మొత్తం, 5 పదవ వంతు", కాబట్టి

మరియు కొన్ని 1.125 "1 మొత్తం, 125 వేల వంతు", కాబట్టి

చివరి ఉదాహరణలో, వాస్తవానికి, 1000 125 ద్వారా భాగించబడుతుందని ప్రతి విద్యార్థికి స్పష్టంగా తెలియదని ఎవరైనా అభ్యంతరం చెబుతారు. అయితే ఇక్కడ మీరు 1000 = 10 3, మరియు 10 = 2 ∙ 5 అని గుర్తుంచుకోవాలి.

\[\begin(align)& 1000=10\cdot 10\cdot 10=2\cdot 5\cdot 2\cdot 5\cdot 2\cdot 5= \\& =2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\ cdot 5\cdot 5=8\cdot 125\end(align)\]

అందువల్ల, పది యొక్క ఏదైనా శక్తి 2 మరియు 5 కారకాలుగా మాత్రమే కుళ్ళిపోతుంది - ఈ కారకాలు న్యూమరేటర్‌లో వెతకాలి, తద్వారా చివరికి ప్రతిదీ తగ్గుతుంది.

ఇది పాఠాన్ని ముగించింది. మరింత సంక్లిష్టమైన రివర్స్ ఆపరేషన్‌కి వెళ్దాం - చూడండి "

భిన్నాలు

శ్రద్ధ!
అదనంగా ఉన్నాయి
ప్రత్యేక విభాగం 555లోని పదార్థాలు.
చాలా "చాలా కాదు..." ఉన్నవారికి.
మరియు "చాలా..." ఉన్నవారికి)

హైస్కూల్లో భిన్నాలు పెద్దగా ఇబ్బంది పెట్టవు. ప్రస్తుతానికి. మీరు హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకాలు మరియు లాగరిథమ్‌లతో అధికారాలను చూసే వరకు. మరియు అక్కడ... మీరు కాలిక్యులేటర్‌ను నొక్కి, నొక్కండి మరియు అది కొన్ని సంఖ్యల పూర్తి ప్రదర్శనను చూపుతుంది. మూడో తరగతిలా తలపెట్టి ఆలోచించాలి.

చివరగా భిన్నాలను గుర్తించండి! సరే, వాటిలో మీరు ఎంత గందరగోళానికి గురవుతారు!? అంతేకాక, ఇదంతా సరళమైనది మరియు తార్కికం. కాబట్టి, భిన్నాల రకాలు ఏమిటి?

భిన్నాల రకాలు. రూపాంతరాలు.

మూడు రకాల భిన్నాలు ఉన్నాయి.

1. సాధారణ భిన్నాలు , ఉదాహరణకి:

కొన్నిసార్లు క్షితిజ సమాంతర రేఖకు బదులుగా వారు స్లాష్‌ను ఉంచారు: 1/2, 3/4, 19/5, బాగా, మరియు మొదలైనవి. ఇక్కడ మనం తరచుగా ఈ స్పెల్లింగ్‌ని ఉపయోగిస్తాము. టాప్ నంబర్ అంటారు న్యూమరేటర్, తక్కువ - హారం.మీరు ఈ పేర్లను నిరంతరం గందరగోళానికి గురిచేస్తే (ఇది జరుగుతుంది...), ఈ పదబంధాన్ని మీరే చెప్పండి: " Zzzzzగుర్తుంచుకో! Zzzzzహారం - చూడు zzzzzఉహ్!" చూడండి, ప్రతిదీ zzzz గుర్తుంచుకోబడుతుంది.)

డాష్, క్షితిజ సమాంతరంగా లేదా వంపుతిరిగినది అని అర్థం విభజనఎగువ సంఖ్య (ల్యూమరేటర్) నుండి దిగువకు (డినామినేటర్). అంతే! డాష్‌కు బదులుగా, విభజన గుర్తును ఉంచడం చాలా సాధ్యమే - రెండు చుక్కలు.

పూర్తి విభజన సాధ్యమైనప్పుడు, ఇది తప్పనిసరిగా చేయాలి. కాబట్టి, “32/8” భిన్నానికి బదులుగా “4” సంఖ్యను వ్రాయడం చాలా ఆహ్లాదకరంగా ఉంటుంది. ఆ. 32 కేవలం 8తో భాగించబడుతుంది.

32/8 = 32: 8 = 4

నేను "4/1" భిన్నం గురించి కూడా మాట్లాడటం లేదు. ఇది కూడా కేవలం "4". మరియు అది పూర్తిగా విభజించబడకపోతే, మేము దానిని ఒక భిన్నం వలె వదిలివేస్తాము. కొన్నిసార్లు మీరు వ్యతిరేక ఆపరేషన్ చేయవలసి ఉంటుంది. పూర్ణ సంఖ్యను భిన్నంలోకి మార్చండి. కానీ తరువాత దాని గురించి మరింత.

2. దశాంశాలు , ఉదాహరణకి:

ఈ రూపంలోనే మీరు “B” పనులకు సమాధానాలను వ్రాయవలసి ఉంటుంది.

3. మిశ్రమ సంఖ్యలు , ఉదాహరణకి:

మిశ్రమ సంఖ్యలు ఆచరణాత్మకంగా ఉన్నత పాఠశాలలో ఉపయోగించబడవు. వారితో పని చేయడానికి, వాటిని సాధారణ భిన్నాలుగా మార్చాలి. కానీ మీరు ఖచ్చితంగా దీన్ని చేయగలగాలి! లేకుంటే మీరు ఒక సమస్యలో అలాంటి నంబర్‌ని చూసి స్తంభించిపోతారు... ఎక్కడా లేనిది. కానీ మేము ఈ విధానాన్ని గుర్తుంచుకుంటాము! కొంచెం తక్కువ.

అత్యంత బహుముఖ సాధారణ భిన్నాలు. వారితో ప్రారంభిద్దాం. మార్గం ద్వారా, ఒక భిన్నం అన్ని రకాల లాగరిథమ్‌లు, సైన్స్ మరియు ఇతర అక్షరాలను కలిగి ఉంటే, ఇది దేనినీ మార్చదు. ప్రతిదీ అనే అర్థంలో పాక్షిక వ్యక్తీకరణలతో కూడిన చర్యలు సాధారణ భిన్నాలతో కూడిన చర్యల నుండి భిన్నంగా ఉండవు!

భిన్నం యొక్క ప్రధాన ఆస్తి.

కనుక మనము వెళ్దాము! ప్రారంభించడానికి, నేను మిమ్మల్ని ఆశ్చర్యపరుస్తాను. భిన్నమైన రూపాంతరాల యొక్క మొత్తం వైవిధ్యం ఒకే ఆస్తి ద్వారా అందించబడుతుంది! అలా అంటారు ఒక భిన్నం యొక్క ప్రధాన ఆస్తి. గుర్తుంచుకో: భిన్నం యొక్క లవం మరియు హారం ఒకే సంఖ్యతో గుణిస్తే (భాగించబడితే), భిన్నం మారదు.అవి:

ముఖంలో నీలిరంగు వచ్చేదాకా రాస్తూనే ఉండొచ్చని స్పష్టం చేసింది. సైన్స్ మరియు లాగరిథమ్‌లు మిమ్మల్ని గందరగోళానికి గురి చేయనివ్వవద్దు, మేము వాటితో మరింతగా వ్యవహరిస్తాము. ప్రధాన విషయం ఏమిటంటే, ఈ వివిధ వ్యక్తీకరణలు అన్నీ అని అర్థం చేసుకోవడం అదే భిన్నం . 2/3.

ఈ పరివర్తనలన్నీ మనకు అవసరమా? మరి ఎలా! ఇప్పుడు మీరే చూస్తారు. ప్రారంభించడానికి, భిన్నం యొక్క ప్రాథమిక లక్షణాన్ని ఉపయోగించుకుందాం భిన్నాలను తగ్గించడం. ఇది ప్రాథమిక విషయంగా అనిపించవచ్చు. న్యూమరేటర్ మరియు హారం ఒకే సంఖ్యతో భాగించండి మరియు అంతే! తప్పు చేయడం అసాధ్యం! కానీ... మనిషి సృజనాత్మక జీవి. మీరు ఎక్కడైనా తప్పు చేయవచ్చు! ప్రత్యేకించి మీరు 5/10 వంటి భిన్నాన్ని కాదు, అన్ని రకాల అక్షరాలతో పాక్షిక వ్యక్తీకరణను తగ్గించవలసి వస్తే.

అదనపు పని చేయకుండా భిన్నాలను సరిగ్గా మరియు త్వరగా ఎలా తగ్గించాలో ప్రత్యేక విభాగం 555లో చదవవచ్చు.

ఒక సాధారణ విద్యార్థి న్యూమరేటర్ మరియు హారంను ఒకే సంఖ్యతో (లేదా వ్యక్తీకరణ) విభజించడంలో ఇబ్బంది పడడు! అతను పైన మరియు క్రింద ఉన్న ప్రతిదానిని దాటవేస్తాడు! ఇక్కడే ఒక సాధారణ పొరపాటు, తప్పు, మీరు కోరుకుంటే, దాగి ఉంటుంది.

ఉదాహరణకు, మీరు వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయాలి:

ఇక్కడ ఆలోచించడానికి ఏమీ లేదు, పైన ఉన్న “a” అక్షరాన్ని మరియు దిగువన “2” అక్షరాన్ని దాటవేయండి! మాకు దొరికింది:

అంతా సరైనదే. కానీ నిజంగా మీరు విభజించారు అన్ని న్యూమరేటర్ మరియు అన్ని హారం "a". మీరు దాటవేయడం అలవాటు చేసుకుంటే, ఆతురుతలో మీరు వ్యక్తీకరణలోని “a”ని దాటవచ్చు

మరియు దాన్ని మళ్లీ పొందండి

ఇది ఖచ్చితంగా అవాస్తవంగా ఉంటుంది. ఎందుకంటే ఇక్కడ అన్ని"a"పై న్యూమరేటర్ ఇప్పటికే ఉంది పంచుకోలేదు! ఈ భిన్నాన్ని తగ్గించడం సాధ్యం కాదు. మార్గం ద్వారా, అటువంటి తగ్గింపు, అమ్మో.. ఉపాధ్యాయునికి తీవ్రమైన సవాలు. ఇది క్షమించబడదు! నీకు గుర్తుందా? తగ్గించేటప్పుడు, మీరు విభజించాలి అన్ని న్యూమరేటర్ మరియు అన్ని హారం!

భిన్నాలను తగ్గించడం జీవితాన్ని చాలా సులభతరం చేస్తుంది. మీరు ఎక్కడో ఒక భిన్నాన్ని పొందుతారు, ఉదాహరణకు 375/1000. నేను ఇప్పుడు ఆమెతో పని చేయడం ఎలా కొనసాగించగలను? కాలిక్యులేటర్ లేకుండా? గుణించండి, చెప్పండి, జోడించు, చతురస్రం!? మరియు మీరు చాలా సోమరితనం కానట్లయితే, మరియు దానిని జాగ్రత్తగా ఐదు, మరియు మరొక ఐదు, మరియు కూడా ... అది కుదించబడుతున్నప్పుడు, సంక్షిప్తంగా. 3/8 పొందండి! చాలా బాగుంది, సరియైనదా?

భిన్నం యొక్క ప్రధాన లక్షణం సాధారణ భిన్నాలను దశాంశాలకు మార్చడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది మరియు దీనికి విరుద్ధంగా కాలిక్యులేటర్ లేకుండా! ఇది ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్షకు ముఖ్యమైనది, సరియైనదా?

భిన్నాలను ఒక రకం నుండి మరొక రకానికి ఎలా మార్చాలి.

దశాంశ భిన్నాలతో ప్రతిదీ సులభం. వినిపించినట్లే రాస్తారు! 0.25 అనుకుందాం. ఇది సున్నా పాయింట్ ఇరవై ఐదు వందల వంతు. కాబట్టి మేము వ్రాస్తాము: 25/100. మేము తగ్గిస్తాము (మేము న్యూమరేటర్ మరియు హారంను 25 ద్వారా విభజిస్తాము), మేము సాధారణ భిన్నాన్ని పొందుతాము: 1/4. అన్నీ. ఇది జరుగుతుంది, మరియు ఏమీ తగ్గదు. 0.3 లాగా. ఇది మూడు పదవ వంతు, అనగా. 3/10.

పూర్ణాంకాలు సున్నా కాకపోతే ఏమి చేయాలి? ఇట్స్ ఓకే. మేము మొత్తం భిన్నాన్ని వ్రాస్తాము ఏ కామాలు లేకుండాన్యూమరేటర్‌లో, మరియు హారంలో - ఏమి వినబడింది. ఉదాహరణకు: 3.17. ఇది మూడు పాయింట్ల పదిహేడు వందల వంతు. న్యూమరేటర్‌లో 317 మరియు హారంలో 100 వ్రాస్తాము. మనకు 317/100 వస్తుంది. ఏమీ తగ్గలేదు, అంటే ప్రతిదీ. ఇదే సమాధానం. ఎలిమెంటరీ వాట్సన్! చెప్పబడిన అన్నింటి నుండి, ఉపయోగకరమైన ముగింపు: ఏదైనా దశాంశ భిన్నం సాధారణ భిన్నం వలె మార్చబడుతుంది .

కానీ కొంతమంది కాలిక్యులేటర్ లేకుండా సాధారణ నుండి దశాంశానికి రివర్స్ కన్వర్షన్ చేయలేరు. మరియు ఇది అవసరం! యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌లో మీరు సమాధానాన్ని ఎలా వ్రాస్తారు!? జాగ్రత్తగా చదవండి మరియు ఈ ప్రక్రియలో నైపుణ్యం పొందండి.

దశాంశ భిన్నం యొక్క లక్షణం ఏమిటి? ఆమె హారం ఎల్లప్పుడూ 10, లేదా 100, లేదా 1000, లేదా 10000 మరియు మొదలైనవి. మీ సాధారణ భిన్నంలో ఇలాంటి హారం ఉంటే, సమస్య లేదు. ఉదాహరణకు, 4/10 = 0.4. లేదా 7/100 = 0.07. లేదా 12/10 = 1.2. "B" విభాగంలోని టాస్క్‌కి సమాధానం 1/2గా మారినట్లయితే? ప్రతిస్పందనగా మనం ఏమి వ్రాస్తాము? దశాంశాలు అవసరం...

గుర్తుంచుకుందాం ఒక భిన్నం యొక్క ప్రధాన ఆస్తి ! గణితశాస్త్రం మిమ్మల్ని లవం మరియు హారం ఒకే సంఖ్యతో గుణించడానికి అనుకూలంగా అనుమతిస్తుంది. ఏదైనా, మార్గం ద్వారా! సున్నా తప్ప, కోర్సు. కాబట్టి ఈ ఆస్తిని మన ప్రయోజనం కోసం ఉపయోగించుకుందాం! హారం దేనితో గుణించబడుతుంది, అనగా. 2 కాబట్టి అది 10, లేదా 100, లేదా 1000 అవుతుంది (చిన్నది మంచిది, అయితే...)? 5 వద్ద, స్పష్టంగా. హారంను గుణించడానికి సంకోచించకండి (ఇది మాకుఅవసరం) 5 ద్వారా. కానీ అప్పుడు న్యూమరేటర్‌ను కూడా 5తో గుణించాలి. ఇది ఇప్పటికే ఉంది గణితండిమాండ్లు! మనకు 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0.5 వస్తుంది. అంతే.

అయితే, అన్ని రకాల హారం అంతటా వస్తాయి. మీరు చూడవచ్చు, ఉదాహరణకు, భిన్నం 3/16. 100 లేదా 1000 చేయడానికి 16ని దేనితో గుణించాలో ప్రయత్నించండి మరియు గుర్తించండి... ఇది పని చేయలేదా? అప్పుడు మీరు కేవలం 3ని 16తో భాగించవచ్చు. కాలిక్యులేటర్ లేనప్పుడు, వారు ప్రాథమిక పాఠశాలలో బోధించినట్లుగా, మీరు కాగితంపై ఒక మూలతో విభజించాలి. మనకు 0.1875 లభిస్తుంది.

మరియు చాలా చెడ్డ హారం కూడా ఉన్నాయి. ఉదాహరణకు, భిన్నం 1/3ని మంచి దశాంశంగా మార్చడానికి మార్గం లేదు. కాలిక్యులేటర్‌పై మరియు కాగితంపై రెండింటిలోనూ, మనకు 0.3333333 వస్తుంది... అంటే 1/3 ఖచ్చితమైన దశాంశ భిన్నం. అనువదించదు. అదే 1/7, 5/6 మరియు మొదలైనవి. వాటిలో చాలా ఉన్నాయి, అనువదించలేనివి. ఇది మాకు మరొక ఉపయోగకరమైన ముగింపును తీసుకువస్తుంది. ప్రతి భిన్నం దశాంశానికి మార్చబడదు !

మార్గం ద్వారా, ఇది స్వీయ పరీక్ష కోసం ఉపయోగకరమైన సమాచారం. సెక్షన్ "బి"లో మీరు మీ సమాధానంలో దశాంశ భిన్నాన్ని తప్పనిసరిగా రాయాలి. మరియు మీరు పొందారు, ఉదాహరణకు, 4/3. ఈ భిన్నం దశాంశానికి మారదు. మీరు దారిలో ఎక్కడో పొరపాటు చేశారని దీని అర్థం! తిరిగి వెళ్లి పరిష్కారాన్ని తనిఖీ చేయండి.

కాబట్టి, మేము సాధారణ మరియు దశాంశ భిన్నాలను కనుగొన్నాము. మిశ్రమ సంఖ్యలతో వ్యవహరించడం మాత్రమే మిగిలి ఉంది. వారితో పనిచేయడానికి, వాటిని సాధారణ భిన్నాలుగా మార్చాలి. ఇది ఎలా చెయ్యాలి? మీరు ఆరో తరగతి విద్యార్థిని పట్టుకుని అడగవచ్చు. కానీ ఆరవ తరగతి విద్యార్థి ఎల్లప్పుడూ చేతిలో ఉండడు ... మీరు దానిని మీరే చేయవలసి ఉంటుంది. ఇది కష్టం కాదు. మీరు పాక్షిక భాగం యొక్క హారం మొత్తం భాగంతో గుణించాలి మరియు పాక్షిక భాగం యొక్క లవంను జోడించాలి. ఇది సాధారణ భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ అవుతుంది. హారం గురించి ఏమిటి? హారం అలాగే ఉంటుంది. ఇది సంక్లిష్టంగా అనిపిస్తుంది, కానీ వాస్తవానికి ప్రతిదీ చాలా సులభం. ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం.

సమస్యలోని సంఖ్యను చూసి మీరు భయపడిపోయారనుకుందాం:

ప్రశాంతంగా, భయం లేకుండా, మేము ఆలోచిస్తాము. మొత్తం భాగం 1. యూనిట్. పాక్షిక భాగం 3/7. కాబట్టి, భిన్న భాగము యొక్క హారం 7. ఈ హారం సాధారణ భిన్నం యొక్క హారం అవుతుంది. మేము సంఖ్యను లెక్కిస్తాము. మేము 7ని 1 ద్వారా గుణిస్తాము (పూర్ణాంకం భాగం) మరియు 3 (ఫ్రాక్షనల్ పార్ట్ యొక్క న్యూమరేటర్) జోడించండి. మనకు 10 వస్తుంది. ఇది సాధారణ భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ అవుతుంది. అంతే. గణిత సంజ్ఞామానంలో ఇది మరింత సరళంగా కనిపిస్తుంది:

ఇది స్పష్టంగా ఉందా? అప్పుడు మీ విజయాన్ని సురక్షితం చేసుకోండి! సాధారణ భిన్నాలకు మార్చండి. మీరు 10/7, 7/2, 23/10 మరియు 21/4 పొందాలి.

రివర్స్ ఆపరేషన్ - సరికాని భిన్నాన్ని మిశ్రమ సంఖ్యగా మార్చడం - హైస్కూల్లో చాలా అరుదుగా అవసరం. సరే, అలా అయితే... మరియు మీరు హైస్కూల్‌లో లేకుంటే, మీరు ప్రత్యేక సెక్షన్ 555ని పరిశీలించవచ్చు. మార్గం ద్వారా, మీరు అక్కడ సరికాని భిన్నాల గురించి కూడా నేర్చుకుంటారు.

బాగా, ఆచరణాత్మకంగా అంతే. మీరు భిన్నాల రకాలను గుర్తుంచుకున్నారు మరియు అర్థం చేసుకున్నారు ఎలా వాటిని ఒక రకం నుండి మరొకదానికి బదిలీ చేయండి. ప్రశ్న మిగిలి ఉంది: దేనికోసం చేయి? ఈ లోతైన జ్ఞానాన్ని ఎక్కడ మరియు ఎప్పుడు వర్తింపజేయాలి?

నేను సమాధానం ఇస్తాను. ఏదైనా ఉదాహరణ అవసరమైన చర్యలను సూచిస్తుంది. ఉదాహరణలో సాధారణ భిన్నాలు, దశాంశాలు మరియు మిశ్రమ సంఖ్యలు కూడా కలిసి ఉంటే, మేము ప్రతిదీ సాధారణ భిన్నాలుగా మారుస్తాము. ఇది ఎల్లప్పుడూ చేయవచ్చు. సరే, అది 0.8 + 0.3 లాంటిది చెబితే, మేము దానిని ఎలాంటి అనువాదం లేకుండా ఆ విధంగా లెక్కిస్తాము. మనకు అదనపు పని ఎందుకు అవసరం? మేము అనుకూలమైన పరిష్కారాన్ని ఎంచుకుంటాము మాకు !

టాస్క్ మొత్తం దశాంశ భిన్నాలు అయితే, అమ్మో.. కొన్ని రకాల దుర్మార్గులు, సాధారణ వారి వద్దకు వెళ్లి ప్రయత్నించండి! చూడండి, ప్రతిదీ పని చేస్తుంది. ఉదాహరణకు, మీరు 0.125 సంఖ్యను వర్గీకరించాలి. మీరు కాలిక్యులేటర్‌ని ఉపయోగించడం అలవాటు చేసుకోకపోతే ఇది అంత సులభం కాదు! మీరు నిలువు వరుసలో సంఖ్యలను గుణించడమే కాదు, కామాను ఎక్కడ చొప్పించాలో కూడా మీరు ఆలోచించాలి! ఇది ఖచ్చితంగా మీ తలపై పని చేయదు! మనం సాధారణ భిన్నానికి వెళితే?

0.125 = 125/1000. మేము దానిని 5 ద్వారా తగ్గిస్తాము (ఇది స్టార్టర్స్ కోసం). మనకు 25/200 వస్తుంది. మరోసారి 5 ద్వారా. మనకు 5/40 వస్తుంది. ఓహ్, ఇది ఇంకా తగ్గిపోతోంది! 5కి తిరిగి వెళ్ళు! మనకు 1/8 లభిస్తుంది. మనం దానిని సులభంగా వర్గీకరించవచ్చు (మన మనస్సులో!) మరియు 1/64 పొందవచ్చు. అన్నీ!

ఈ పాఠాన్ని సంగ్రహిద్దాం.

1. మూడు రకాల భిన్నాలు ఉన్నాయి. సాధారణ, దశాంశ మరియు మిశ్రమ సంఖ్యలు.

2. దశాంశాలు మరియు మిశ్రమ సంఖ్యలు ఎల్లప్పుడూసాధారణ భిన్నాలకు మార్చవచ్చు. రివర్స్ బదిలీ ఎల్లప్పుడూ కాదుఅందుబాటులో.

3. టాస్క్‌తో పనిచేయడానికి భిన్నాల రకం ఎంపిక పనిపైనే ఆధారపడి ఉంటుంది. ఒక పనిలో వివిధ రకాల భిన్నాలు ఉంటే, సాధారణ భిన్నాలకు మారడం అత్యంత నమ్మదగిన విషయం.

ఇప్పుడు మీరు సాధన చేయవచ్చు. ముందుగా, ఈ దశాంశ భిన్నాలను సాధారణ భిన్నాలకు మార్చండి:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

మీరు ఇలాంటి సమాధానాలను పొందాలి (గజిబిజిలో!):

దీన్ని ముగించుకుందాం. ఈ పాఠంలో మేము భిన్నాల గురించి కీలకమైన విషయాలపై మా జ్ఞాపకశక్తిని రిఫ్రెష్ చేసాము. ఇది జరుగుతుంది, అయితే, రిఫ్రెష్ చేయడానికి ప్రత్యేకంగా ఏమీ లేదు...) ఎవరైనా పూర్తిగా మర్చిపోయి ఉంటే లేదా ఇంకా ప్రావీణ్యం పొందకపోతే... అప్పుడు మీరు ప్రత్యేక సెక్షన్ 555కి వెళ్లవచ్చు. అన్ని ప్రాథమిక అంశాలు అక్కడ వివరంగా ఉన్నాయి. చాలా అకస్మాత్తుగా ప్రతిదీ అర్థం చేసుకోండిప్రారంభిస్తున్నారు. మరియు అవి ఫ్లైలో భిన్నాలను పరిష్కరిస్తాయి).

మీకు ఈ సైట్ నచ్చితే...

మార్గం ద్వారా, నేను మీ కోసం మరికొన్ని ఆసక్తికరమైన సైట్‌లను కలిగి ఉన్నాను.)

మీరు ఉదాహరణలను పరిష్కరించడం సాధన చేయవచ్చు మరియు మీ స్థాయిని కనుగొనవచ్చు. తక్షణ ధృవీకరణతో పరీక్షిస్తోంది. నేర్చుకుందాం - ఆసక్తితో!)

మీరు విధులు మరియు ఉత్పన్నాలతో పరిచయం పొందవచ్చు.

VIII రకం పాఠశాలలో, విద్యార్థులకు భిన్నాల యొక్క క్రింది రూపాంతరాలను పరిచయం చేస్తారు: పెద్ద భిన్నాలలో (6వ తరగతి), సరికాని భిన్నాలను మొత్తంగా లేదా మిశ్రమ సంఖ్యగా వ్యక్తీకరించడం (6వ తరగతి), భిన్నాలను వంటి భిన్నాలలో వ్యక్తీకరించడం (7వ తరగతి), మిశ్రమ సంఖ్యను సరికాని భిన్నం (7వ తరగతి)గా వ్యక్తీకరించడం.

మొత్తం లేదా మిశ్రమ సంఖ్యతో సరికాని భిన్నాన్ని వ్యక్తపరచడం

ఈ పదార్ధం యొక్క అధ్యయనం పనితో ప్రారంభం కావాలి: 2 సమాన వృత్తాలు తీసుకోండి మరియు వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి 4 సమాన వాటాలుగా విభజించండి, నాల్గవ షేర్ల సంఖ్యను లెక్కించండి (Fig. 25). తరువాత, ఈ మొత్తాన్ని భిన్నం వలె వ్రాయాలని ప్రతిపాదించబడింది. అప్పుడు నాల్గవ బీట్లు ఉంటాయి

వాటిని ఒకదానికొకటి పక్కన ఉంచారు మరియు విద్యార్థులు మొత్తం సర్కిల్‌ను ఏర్పరుచుకున్నారని నమ్ముతారు. కాబట్టి, ఇది నాలుగు వంతులకు జతచేస్తుంది -

వరుసగా మళ్లీ మరియు విద్యార్థులు వ్రాస్తారు:

పరిగణించబడిన అన్ని సందర్భాల్లో, వారు సరికాని భిన్నాన్ని తీసుకున్నారని మరియు పరివర్తన ఫలితంగా వారు మొత్తం లేదా మిశ్రమ సంఖ్యను పొందారని, అంటే, వారు మొత్తంగా సరికాని భిన్నాన్ని వ్యక్తం చేశారని ఉపాధ్యాయుడు విద్యార్థుల దృష్టిని ఆకర్షిస్తాడు. లేదా మిశ్రమ సంఖ్య. తర్వాత, ఈ పరివర్తన ఏ అంకగణిత ఆపరేషన్‌ను నిర్వహించవచ్చో విద్యార్థులు స్వతంత్రంగా నిర్ణయించేలా మేము ప్రయత్నించాలి. ప్రశ్నకు సమాధానానికి దారితీసే స్పష్టమైన ఉదాహరణలు: ముగింపు: కు

సరికాని భిన్నాన్ని మొత్తంగా లేదా మిశ్రమ సంఖ్యగా వ్యక్తీకరించడానికి, మీరు భిన్నం యొక్క లవణాన్ని హారంతో విభజించి, గుణకాన్ని పూర్ణాంకంగా వ్రాసి, శేషాన్ని న్యూమరేటర్‌లో వ్రాసి, హారంను అలాగే ఉంచాలి. నియమం గజిబిజిగా ఉన్నందున, విద్యార్థులు దానిని హృదయపూర్వకంగా నేర్చుకోవాల్సిన అవసరం లేదు. ఇచ్చిన పరివర్తనను అమలు చేయడంలో చేరి ఉన్న దశలను వారు స్థిరంగా కమ్యూనికేట్ చేయగలగాలి.

పూర్తి లేదా మిశ్రమ సంఖ్యతో సరికాని భిన్నాన్ని వ్యక్తీకరించడానికి విద్యార్థులను పరిచయం చేసే ముందు, పూర్ణ సంఖ్యను పూర్ణాంకంతో శేషంతో విభజించడాన్ని వారితో సమీక్షించడం మంచిది.

విద్యార్థుల కోసం కొత్త పరివర్తన యొక్క ఏకీకరణ ఆచరణాత్మక స్వభావం యొక్క సమస్యలను పరిష్కరించడం ద్వారా సులభతరం చేయబడుతుంది, ఉదాహరణకు:

“ఒక జాడీలో నారింజలో తొమ్మిది వంతులు ఉన్నాయి. ఈ భాగాల నుండి ఎన్ని మొత్తం నారింజలను తయారు చేయవచ్చు? ఎన్ని క్వార్టర్స్ మిగులుతాయి?”

పూర్తి మరియు మిశ్రమ సంఖ్యలను సరికాని భిన్నాలుగా వ్యక్తీకరించడం

ఈ కొత్త పరివర్తనకు విద్యార్థులను పరిచయం చేయడానికి ముందుగా సమస్యలను పరిష్కరించాలి, ఉదాహరణకు:

“సమానమైన పొడవు గల 2 ముక్కల ఫాబ్రిక్, చదరపు ఆకారంలో, 4 సమాన భాగాలుగా కత్తిరించబడింది. అటువంటి ప్రతి భాగం నుండి ఒక కండువా కుట్టినది. మీకు ఎన్ని కండువాలు వచ్చాయి? .

తరువాత, ఉపాధ్యాయుడు ఈ క్రింది పనిని పూర్తి చేయమని విద్యార్థులను అడుగుతాడు: “మొత్తం వృత్తాన్ని మరియు మరొక సగం సర్కిల్‌ను మొదటి దానికి సమానంగా తీసుకోండి. మొత్తం వృత్తాన్ని సగానికి కట్ చేయండి. ఎన్ని అర్ధభాగాలు ఉన్నాయి? వ్రాయండి: ఇది ఒక వృత్తం, అది ఒక వృత్తంగా మారింది.

అందువల్ల, దృశ్య మరియు ఆచరణాత్మక ప్రాతిపదికన, మేము మరిన్ని ఉదాహరణలను పరిశీలిస్తాము. పరిశీలనలో ఉన్న ఉదాహరణలలో, విద్యార్థులు అసలు సంఖ్య (మిశ్రమ లేదా పూర్ణాంకం) మరియు రూపాంతరం తర్వాత పొందిన సంఖ్య (తగిన భిన్నం) సరిపోల్చమని అడుగుతారు.

పూర్తి సంఖ్యను మరియు మిశ్రమ సంఖ్యను సరికాని భిన్నంగా వ్యక్తీకరించే నియమాన్ని విద్యార్థులను పరిచయం చేయడానికి, మీరు మిశ్రమ సంఖ్య మరియు సరికాని భిన్నం యొక్క హారంలను పోల్చడానికి వారి దృష్టిని ఆకర్షించాలి, అలాగే న్యూమరేటర్ ఎలా పొందబడింది, ఉదాహరణకు. :

15/4 ఉంటుంది. ఫలితంగా, ఒక నియమం రూపొందించబడింది: మిశ్రమ సంఖ్యను సరికాని భిన్నం వలె వ్యక్తీకరించడానికి, మీరు హారంను పూర్ణాంకంతో గుణించాలి, ఉత్పత్తికి లవం జోడించి, హారం మారకుండా వదిలివేసి మొత్తాన్ని న్యూమరేటర్‌గా వ్రాయాలి.

మొదట, మీరు విద్యార్థులకు ఐక్యతను సరికాని భిన్నంగా వ్యక్తీకరించడంలో శిక్షణ ఇవ్వాలి, ఆపై హారంను సూచించే ఏదైనా ఇతర పూర్తి సంఖ్య, ఆపై మాత్రమే మిశ్రమ సంఖ్య -

భిన్నం యొక్క ప్రాథమిక లక్షణం 1

ఒక భిన్నం యొక్క మార్పులేని భావన దాని సభ్యులను ఏకకాలంలో పెంచడం లేదా తగ్గించడం, అంటే, లవం మరియు హారం, VIII రకం పాఠశాల విద్యార్థులు చాలా కష్టంతో నేర్చుకుంటారు. ఈ భావనను దృశ్య మరియు సందేశాత్మక విషయాలను ఉపయోగించి పరిచయం చేయాలి మరియు విద్యార్థులు ఉపాధ్యాయుల కార్యకలాపాలను గమనించడమే కాకుండా, సందేశాత్మక విషయాలతో చురుకుగా పనిచేయడం మరియు పరిశీలనలు మరియు ఆచరణాత్మక కార్యకలాపాల ఆధారంగా, కొన్ని తీర్మానాలు మరియు సాధారణీకరణలకు రావడం చాలా ముఖ్యం.

ఉదాహరణకు, ఉపాధ్యాయుడు మొత్తం టర్నిప్‌ను తీసుకొని, దానిని 2 సమాన భాగాలుగా విభజించి ఇలా అడుగుతాడు: “మీరు మొత్తం టర్నిప్‌ను సగానికి విభజించినప్పుడు మీకు ఏమి వచ్చింది? (2 భాగాలు.) టర్నిప్‌లను చూపించు. టర్నిప్‌లో సగభాగాన్ని మరో 2 సమాన భాగాలుగా కత్తిరించండి (విభజించండి). మనం ఏమి పొందుతాము? వ్రాద్దాం: ఈ భిన్నాల సంఖ్యలు మరియు హారంలను పోల్చి చూద్దాం. ఏ సమయానికి

సంఖ్యా సంఖ్య పెరిగిందా? హారం ఎన్ని రెట్లు పెరిగింది? న్యూమరేటర్ మరియు హారం రెండూ ఎన్ని సార్లు పెరిగాయి? భిన్నం మారిందా? ఎందుకు మారలేదు? షేర్లు ఎలా మారాయి: పెద్దవి లేదా చిన్నవి? షేర్ల సంఖ్య పెరిగిందా లేదా తగ్గిందా?

అప్పుడు విద్యార్థులందరూ సర్కిల్‌ను 2 సమాన భాగాలుగా విభజిస్తారు, ప్రతి సగం 2 సమాన భాగాలుగా విభజించబడింది, ప్రతి త్రైమాసికం 2 మరిన్ని సమాన భాగాలుగా విభజించబడింది మరియు వ్రాయండి: మొదలైనవి.

భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ మరియు హారం ఎన్ని రెట్లు పెరిగాయి మరియు భిన్నం మారిందో లేదో నిర్ధారించండి. అప్పుడు ఒక విభాగాన్ని గీయండి మరియు దానిని వరుసగా 3, 6, 12 సమాన భాగాలుగా విభజించి వ్రాయండి:

భిన్నాలను పోల్చినప్పుడు అని తేలింది

భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ మరియు హారం ఒకే సంఖ్యలో రెట్లు పెంచబడతాయి, కానీ భిన్నం మారదు.

అనేక ఉదాహరణలను పరిశీలించిన తర్వాత, విద్యార్థులను ఈ ప్రశ్నకు సమాధానం చెప్పమని అడగాలి: “లవంకం ఉంటే భిన్నం మారుతుందా

"సాధారణ భిన్నాలు" అనే అంశంపై కొంత జ్ఞానం టైప్ VIII దిద్దుబాటు పాఠశాలల్లోని గణిత పాఠ్యాంశాల నుండి మినహాయించబడింది, అయితే ఇది మెంటల్ రిటార్డేషన్ ఉన్న పిల్లలకు పాఠశాలల్లోని విద్యార్థులకు, గణితం నేర్చుకోవడంలో ఇబ్బందులు ఉన్న పిల్లలకు ఈక్వలైజేషన్ తరగతులలో బోధించబడుతుంది. ఈ పాఠ్యపుస్తకంలో, ఈ విషయాన్ని అధ్యయనం చేయడానికి పద్ధతులను అందించే పేరాగ్రాఫ్‌లు నక్షత్రం (*)తో సూచించబడ్డాయి.

మరియు భిన్నం యొక్క హారంను అదే సంఖ్యతో గుణించండి (అదే సంఖ్యల ద్వారా పెంచండి)?" అదనంగా, మీరు విద్యార్థులను స్వయంగా ఉదాహరణలు ఇవ్వమని అడగాలి.

లవం మరియు హారం ఒకే సంఖ్యలో (లవం మరియు హారం ఒకే సంఖ్యతో భాగించబడతాయి) తగ్గించడాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకున్నప్పుడు ఇలాంటి ఉదాహరణలు ఇవ్వబడ్డాయి. ఉదాహరణకు, ఒక వృత్తం 8 సమాన భాగాలుగా విభజించబడింది, వృత్తంలో 4 ఎనిమిదో వంతులు తీసుకోబడ్డాయి,

షేర్లను పెంచిన తరువాత, వారు నాల్గవ వాటిని తీసుకుంటారు, వాటిలో 2 ఉంటాయి. షేర్లను పెంచిన తర్వాత, వారు రెండవ వాటిని తీసుకుంటారు. అవి వరుసగా పోల్చబడతాయి

ఈ భిన్నాల యొక్క న్యూమరేటర్లు మరియు హారం, ప్రశ్నలకు సమాధానమిస్తూ: “ల్యూమరేటర్ మరియు హారం ఎన్ని సార్లు తగ్గుతాయి? భిన్నం మారుతుందా?*.

ఒక మంచి గైడ్ 12, 6, 3 సమాన భాగాలుగా విభజించబడిన చారలు (Fig. 26).

పరిగణించబడిన ఉదాహరణల ఆధారంగా, విద్యార్థులు ఇలా ముగించవచ్చు: భిన్నం యొక్క లవం మరియు హారం ఒకే సంఖ్యతో భాగించబడితే (అదే సంఖ్యలో సార్లు తగ్గించబడుతుంది) భిన్నం మారదు. అప్పుడు సాధారణీకరించిన ముగింపు ఇవ్వబడుతుంది - ఒక భిన్నం యొక్క ప్రధాన ఆస్తి: భిన్నం యొక్క లవం మరియు హారం ఒకే సంఖ్యలో పెరిగినా లేదా తగ్గించబడినా భిన్నం మారదు.

భిన్నాలను తగ్గించడం

భిన్నాల ఈ మార్పిడికి విద్యార్థులను సిద్ధం చేయడం మొదట అవసరం. మీకు తెలిసినట్లుగా, భిన్నాన్ని తగ్గించడం అంటే భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ మరియు హారంను అదే సంఖ్యతో విభజించడం. కానీ భాగహారం తప్పనిసరిగా సమాధానానికి తగ్గించలేని భిన్నాన్ని ఇచ్చే సంఖ్య అయి ఉండాలి.

భిన్నాలను తగ్గించడానికి విద్యార్థులను పరిచయం చేయడానికి ఒక నెల నుండి నెలన్నర ముందు, సన్నాహక పని జరుగుతుంది - ఒకే సంఖ్యతో విభజించబడే గుణకార పట్టిక నుండి రెండు సమాధానాలకు పేరు పెట్టమని వారు అడుగుతారు. ఉదాహరణకు: "4చే భాగించబడే రెండు సంఖ్యలకు పేరు పెట్టండి." (మొదట, విద్యార్థులు పట్టికలో 1ని చూసి, ఆపై మెమరీ నుండి ఈ సంఖ్యలకు పేరు పెట్టండి.) వారు సంఖ్యలు మరియు వాటిని 4 ద్వారా విభజించే ఫలితాలు రెండింటినీ పేరు పెట్టండి. అప్పుడు ఉపాధ్యాయులు విద్యార్థులకు భిన్నాలు, 3ని అందిస్తారు.

ఉదాహరణకు, న్యూమరేటర్ మరియు హారం కోసం డివైజర్‌ను ఎంచుకోండి (అటువంటి చర్యను నిర్వహించడానికి ఆధారం గుణకార పట్టిక).

నేను ఏ టేబుల్‌ని చూడాలి? 5 మరియు 15 సంఖ్యలను ఏ సంఖ్యతో భాగించవచ్చు?) భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ మరియు హారం ఒకే సంఖ్యతో భాగించబడినప్పుడు, భిన్నం యొక్క పరిమాణం మారలేదు (ఇది స్ట్రిప్, సెగ్మెంట్‌లో చూపబడుతుంది, ఒక వృత్తం), భిన్నాలు మాత్రమే పెద్దవిగా మారాయి: భిన్నం రకం సరళంగా మారింది . భిన్నాలను తగ్గించే నియమాల ముగింపుకు విద్యార్థులు దారి తీస్తారు.

రకం VIII పాఠశాల విద్యార్థులు తరచుగా ఒక భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ మరియు హారం రెండింటినీ విభజించే అతిపెద్ద సంఖ్యను కనుగొనడం కష్టం. అందువల్ల, 4/12 = 2/6 వంటి స్వభావం యొక్క లోపాలు తరచుగా గమనించబడతాయి, అనగా విద్యార్థికి గొప్ప సాధారణమైనది కనుగొనబడలేదు.

4 మరియు 12 సంఖ్యల కోసం డివైజర్. కాబట్టి, మొదట మీరు క్రమంగా విభజనను అనుమతించవచ్చు, అనగా, అదే సమయంలో భిన్నం యొక్క లవం మరియు హారం మొదట ఏ సంఖ్యతో భాగించబడ్డాయి, ఆపై ఏ సంఖ్యతో ఆపై ఏ సంఖ్యతో లవం భాగించబడిందో అడగండి. మరియు హారం వెంటనే భిన్నాలుగా విభజించబడవచ్చు ఇలాంటి ప్రశ్నలు విద్యార్థులు ఒక భిన్నం యొక్క లవం మరియు హారం యొక్క గొప్ప సాధారణ కారకాన్ని క్రమంగా కనుగొనడంలో సహాయపడతాయి.

తీసుకురావడంభిన్నాలు నుండి అత్యల్ప సాధారణ హారం*

భిన్నాలను అత్యల్ప సాధారణ హారంకు తగ్గించడం అనేది ఒక ముగింపుగా పరిగణించబడదు, కానీ భిన్నాలను పోల్చడానికి మరియు వివిధ హారంలతో భిన్నాలను జోడించడం మరియు తీసివేయడం వంటి కార్యకలాపాలను నిర్వహించడానికి అవసరమైన పరివర్తనగా పరిగణించాలి.

భిన్నాలను ఒకే న్యూమరేటర్‌లతో పోల్చడం విద్యార్థులకు ఇప్పటికే తెలుసు, అయితే వేర్వేరు హారం మరియు అదే హారంతో విభిన్న సంఖ్యలతో పోల్చవచ్చు. అయినప్పటికీ, భిన్నాలను వేర్వేరు సంఖ్యలు మరియు విభిన్న హారంలతో ఎలా పోల్చాలో వారికి ఇంకా తెలియదు.

కొత్త పరివర్తన యొక్క అర్ధాన్ని విద్యార్థులకు వివరించే ముందు, పూర్తి చేయడం ద్వారా కవర్ చేయబడిన విషయాన్ని పునరావృతం చేయడం అవసరం, ఉదాహరణకు, ఈ క్రింది పనులు:

భిన్నాలను పోల్చండి 2/5,2/7,2/3 భిన్నాలను పోల్చడానికి నియమాన్ని చెప్పండి

ఒకేలా సంఖ్యలు.

భిన్నాలను సరిపోల్చండి భిన్నాలను పోల్చడానికి నియమాన్ని చెప్పండి

అదే హారంతో.

భిన్నాలను సరిపోల్చండి విద్యార్థులకు భిన్నాలను పోల్చడం కష్టం

వేర్వేరు సంఖ్యలు మరియు విభిన్న హారం ఉన్నందున అవి భిన్నంగా ఉంటాయి. ఈ భిన్నాలను సరిపోల్చడానికి, మీరు ఈ భిన్నాల సంఖ్యలు లేదా హారంలను సమానంగా చేయాలి. సాధారణంగా హారం సమాన భిన్నాలలో వ్యక్తీకరించబడుతుంది, అనగా, అవి భిన్నాలను అత్యల్ప సాధారణ హారంకు తగ్గిస్తాయి.

భిన్నాలను సమాన భాగాలుగా వ్యక్తీకరించే విధానాన్ని విద్యార్థులకు పరిచయం చేయాలి.

మొదట, భిన్నమైన హారంతో కూడిన భిన్నాలు పరిగణించబడతాయి, అయితే ఒక భిన్నం యొక్క హారం మిగిలినవి లేకుండా మరొక భిన్నం యొక్క హారం ద్వారా భాగించబడుతుంది మరియు అందువల్ల, మరొక భిన్నం యొక్క హారం కూడా కావచ్చు.

ఉదాహరణకు, భిన్నాలలో హారం 8 మరియు 2 సంఖ్యలు.

ఈ భిన్నాలను సమాన భాగాలుగా వ్యక్తీకరించడానికి, ఉపాధ్యాయుడు చిన్న హారంను 2, 3, 4 మొదలైన సంఖ్యల ద్వారా వరుసగా గుణించాలని సూచిస్తాడు మరియు మీరు మొదటి భిన్నం యొక్క హారంతో సమానమైన ఫలితాన్ని పొందే వరకు దీన్ని చేయండి. ఉదాహరణకు, 2ని 2తో గుణించి, 4 పొందండి. రెండు భిన్నాల హారం మళ్లీ భిన్నంగా ఉంటాయి. తరువాత, మేము 2 ను 3 ద్వారా గుణిస్తాము, మనకు 6 వస్తుంది. సంఖ్య 6 కూడా తగినది కాదు. మేము 2ని 4 ద్వారా గుణిస్తాము, మనకు 8 వస్తుంది. ఈ సందర్భంలో, హారం ఒకే విధంగా ఉంటుంది. భిన్నం మారకుండా ఉండటానికి, భిన్నం యొక్క లవం కూడా 4 ద్వారా గుణించాలి (భిన్నం యొక్క ప్రాథమిక ఆస్తి ఆధారంగా). భిన్నాన్ని పొందండి ఇప్పుడు భిన్నాలు సమాన భిన్నాలలో వ్యక్తీకరించబడ్డాయి. వారి

వారితో పోల్చడం మరియు చర్యలను చేయడం సులభం.

పెద్ద హారంను చిన్న దానితో విభజించడం ద్వారా భిన్నాలలో ఒకదాని యొక్క చిన్న హారంను మీరు గుణించాల్సిన సంఖ్యను మీరు కనుగొనవచ్చు. ఉదాహరణకు, మీరు 8ని 2తో భాగిస్తే, మీకు సంఖ్య 4 వస్తుంది. మీరు భిన్నం యొక్క హారం మరియు లవం రెండింటినీ ఈ సంఖ్యతో గుణించాలి. దీని అర్థం అనేక భిన్నాలను సమాన భాగాలుగా వ్యక్తీకరించడానికి, మీరు పెద్ద హారంను చిన్న దానితో విభజించాలి, చిన్న హారంతో భిన్నం యొక్క హారం మరియు లవం ద్వారా గుణకాన్ని గుణించాలి. ఉదాహరణకు, భిన్నాలు ఇవ్వబడ్డాయి. ఈ భిన్నాలను తీసుకురావడానికి

అత్యల్ప సాధారణ హారంకి, మీకు 12:6=2, 2x6=12, 306 అవసరం

2x1=2. భిన్నం రూపం తీసుకుంటుంది. అప్పుడు 12:3=4, 4x3=12, 4x2=8. భిన్నం రూపాన్ని తీసుకుంటుంది కాబట్టి, భిన్నాలు తదనుగుణంగా రూపాన్ని తీసుకుంటాయి, అనగా అవి వ్యక్తీకరించబడతాయి

సమాన షేర్లలో nymi.

భిన్నాలను సాధారణ అత్యల్ప హారంకు తగ్గించే నైపుణ్యాలను అభివృద్ధి చేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతించే వ్యాయామాలు నిర్వహించబడతాయి.

ఉదాహరణకు, మీరు దానిని భిన్నం యొక్క సమాన భాగాలలో వ్యక్తీకరించాలి

పెద్ద హారంను చిన్న దానితో భాగించడం ద్వారా పొందిన గుణకాన్ని విద్యార్థులు మరచిపోకుండా ఉండటానికి, ఇది మంచిది.

చిన్న హారంతో భిన్నం మీద వ్రాయండి. ఉదాహరణకు, మరియు

పెద్ద హారం చిన్నదానితో భాగించబడని భిన్నాలను మేము పరిశీలిస్తాము మరియు అందువల్ల,

ఈ భిన్నాలకు సాధారణం. ఉదాహరణకు, హారం 8 కాదు

6తో భాగించబడుతుంది. ఈ సందర్భంలో, పెద్ద హారం 8 సంఖ్యల శ్రేణిలోని సంఖ్యలతో గుణించబడుతుంది, 2తో మొదలై, 8 మరియు 6 రెండు హారంలతో శేషం లేకుండా భాగించబడే సంఖ్యను పొందే వరకు. భిన్నాలు డేటాకు సమానంగా ఉండాలంటే, న్యూమరేటర్లు తదనుగుణంగా అదే సంఖ్యలతో గుణించాలి. న -

3 5 ఉదాహరణ, తద్వారా tg మరియు * భిన్నాలు సమాన నిష్పత్తిలో వ్యక్తీకరించబడతాయి,

8 యొక్క పెద్ద హారం 2(8x2=16)తో గుణించబడుతుంది. 16 6చే భాగించబడదు, అంటే మనం 8ని తదుపరి సంఖ్య 3తో గుణిస్తాము (8x3=24). 24 6 మరియు 8 ద్వారా భాగించబడుతుంది, అంటే 24 ఈ భిన్నాలకు సాధారణ హారం. భిన్నాలు సమానంగా ఉండాలంటే, వాటి సంఖ్యలను హారం పెంచినట్లే, 8ని 3 రెట్లు పెంచాలి, అంటే ఈ భిన్నం 3 యొక్క న్యూమరేటర్ 3 రెట్లు పెరుగుతుంది.

భిన్నం 4 రెట్లు పెరిగిన హారం 6 రూపాన్ని తీసుకుంటుంది. దీని ప్రకారం, 5వ భిన్నం యొక్క లవం తప్పనిసరిగా 4 సార్లు పెంచాలి. భిన్నాలు క్రింది రూపాన్ని తీసుకుంటాయి:

ఈ విధంగా, మేము విద్యార్థులను సాధారణ ముగింపు (నియమం)కి తీసుకువస్తాము మరియు సమాన భాగాలలో భిన్నాలను వ్యక్తీకరించడానికి అల్గోరిథంకు వారిని పరిచయం చేస్తాము. ఉదాహరణకు, ¾ మరియు 5/7 అనే రెండు భిన్నాలు ఇవ్వబడ్డాయి

1. అత్యల్ప సాధారణ హారం కనుగొనండి: 7x2=14, 7x3=21,
7x4=28. 28 4చే భాగించబడుతుంది మరియు 7. 28 అనేది అతి చిన్న సాధారణ హారం
భిన్నం హోల్డర్

2. అదనపు కారకాలను కనుగొనండి: 28:4=7,

3. వాటిని భిన్నాలపై వ్రాస్దాం:

4. అదనపు కారకాల ద్వారా భిన్నాల సంఖ్యలను గుణించండి:
3x7=21, 5x4=20.

మేము అదే హారంతో భిన్నాలను పొందుతాము. దీని అర్థం

మేము భిన్నాలను సాధారణ అత్యల్ప హారంకి తగ్గించాము.

భిన్నాలతో వివిధ అంకగణిత కార్యకలాపాలను అధ్యయనం చేసే ముందు విద్యార్థులకు భిన్నాలను మార్చడం గురించి పరిచయం చేయడం మంచిది అని అనుభవం చూపిస్తుంది. ఉదాహరణకు, భిన్నాలను సంక్షిప్తీకరించడం లేదా సరికాని భిన్నాన్ని పూర్తి లేదా మిశ్రమ సంఖ్యతో భర్తీ చేయడం మంచిది, ఫలితంగా వచ్చే మొత్తం లేదా వ్యత్యాసం నుండి భిన్నాల కూడిక మరియు వ్యవకలనాన్ని నేర్చుకునే ముందు

మీరు ఒకటి లేదా రెండు మార్పిడులు చేయవలసి ఉంటుంది.

"వివిధ హారంలతో భిన్నాలను జోడించడం మరియు తీసివేయడం" అనే అంశానికి ముందు విద్యార్థులతో భిన్నాన్ని అతి తక్కువ సాధారణ హారంకు తగ్గించడం మరియు "పూర్తి సంఖ్యలతో భిన్నాలను గుణించడం మరియు విభజించడం" అనే అంశానికి ముందు మిశ్రమ సంఖ్యను సరికాని భిన్నంతో భర్తీ చేయడం ఉత్తమం.

సాధారణ భిన్నాలను జోడించడం మరియు తీసివేయడం

1. అదే హారంతో భిన్నాల కూడిక మరియు తీసివేత.

Alysheva T.V నిర్వహించిన ఒక అధ్యయనం. 1, ఒకే హారంతో సాధారణ భిన్నాల సంకలనం మరియు తీసివేత కార్యకలాపాలను అధ్యయనం చేసేటప్పుడు విద్యార్థులకు ఇప్పటికే తెలిసిన కూడిక మరియు వ్యవకలనంతో సారూప్యతను ఉపయోగించడం యొక్క సలహాను సూచిస్తుంది.

పరిమాణాలను కొలిచే ఫలితంగా పొందిన సంఖ్యలు మరియు తగ్గింపు పద్ధతిని ఉపయోగించి చర్యలను అధ్యయనం చేయడం, అంటే "సాధారణం నుండి నిర్దిష్టం వరకు."

మొదట, విలువ మరియు పొడవు యొక్క కొలతల పేర్లతో సంఖ్యల కూడిక మరియు తీసివేత పునరావృతమవుతుంది. ఉదాహరణకు, 8 రూబిళ్లు. 20 కి. ± 4 ఆర్. 15 కి. నోటి అదనంగా మరియు వ్యవకలనం చేస్తున్నప్పుడు, మీరు మొదటి రూబిళ్లు (తీసివేయి) జోడించాలి, ఆపై కోపెక్స్.

3 మీ 45 సెం.మీ ± 2 మీ 24 సెం.మీ - మీటర్లు మొదట జోడించబడతాయి (తీసివేయబడతాయి), ఆపై సెంటీమీటర్లు.

భిన్నాలను జోడించేటప్పుడు మరియు తీసివేసేటప్పుడు, పరిగణించండి సాధారణసందర్భం: మిశ్రమ సంఖ్యలతో ఈ చర్యలను చేయడం (డినామినేటర్‌లు ఒకే విధంగా ఉంటాయి): ఈ సందర్భంలో, మీరు వీటిని చేయాలి: “పూర్తి సంఖ్యలను జోడించు (తీసివేయి), ఆపై సంఖ్యలను మరియు హారం అలాగే ఉంటుంది.” ఈ సాధారణ నియమం భిన్నాలను జోడించడం మరియు తీసివేయడం అన్ని సందర్భాలలో వర్తిస్తుంది. ప్రత్యేక సందర్భాలు క్రమంగా పరిచయం చేయబడతాయి: భిన్నంతో మిశ్రమ సంఖ్యను జోడించడం, ఆపై మొత్తంతో మిశ్రమ సంఖ్య. దీని తరువాత, వ్యవకలనం యొక్క మరింత క్లిష్టమైన సందర్భాలు పరిగణించబడతాయి: 1) భిన్నం యొక్క మిశ్రమ సంఖ్య నుండి: 2) మొత్తం మిశ్రమ సంఖ్య నుండి:

వ్యవకలనం యొక్క ఈ చాలా సరళమైన కేసులను మాస్టరింగ్ చేసిన తర్వాత, విద్యార్థులు మైన్యూఎండ్ యొక్క పరివర్తన అవసరమయ్యే మరింత క్లిష్టమైన కేసులకు పరిచయం చేయబడతారు: ఒక మొత్తం యూనిట్ నుండి లేదా అనేక యూనిట్ల నుండి వ్యవకలనం, ఉదాహరణకు:

మొదటి సందర్భంలో, యూనిట్ తప్పనిసరిగా సబ్‌ట్రాహెండ్ యొక్క హారంతో సమానమైన హారంతో భిన్నం వలె సూచించబడాలి. రెండవ సందర్భంలో, మేము పూర్ణ సంఖ్య నుండి ఒకదాన్ని తీసుకుంటాము మరియు సబ్‌ట్రాహెండ్ యొక్క హారంతో సరికాని భిన్నం రూపంలో కూడా వ్రాస్తాము, మేము మినియెండ్‌లో మిశ్రమ సంఖ్యను పొందుతాము. వ్యవకలనం సాధారణ నియమం ప్రకారం నిర్వహించబడుతుంది.

చివరగా, వ్యవకలనం యొక్క అత్యంత క్లిష్టమైన కేసు పరిగణించబడుతుంది: మిశ్రమ సంఖ్య నుండి, మరియు పాక్షిక భాగం యొక్క లవం సబ్‌ట్రాహెండ్‌లోని న్యూమరేటర్ కంటే తక్కువగా ఉంటుంది. ఈ సందర్భంలో, సాధారణ నియమాన్ని వర్తింపజేయడానికి మినుఎండ్‌ను మార్చడం అవసరం, అనగా, మైనుఎండ్‌లో, మొత్తం నుండి ఒక యూనిట్‌ని తీసుకొని దానిని విభజించండి.

ఐదవ వంతులో, మనం పొందుతాము మరియు మనకు ఒక ఉదాహరణ లభిస్తుంది

కింది ఫారమ్‌ను తీసుకుంటుంది: మీరు ఇప్పటికే దాని పరిష్కారానికి దరఖాస్తు చేసుకోవచ్చు

సాధారణ నియమం.

భిన్నాల జోడింపు మరియు తీసివేత బోధన యొక్క తగ్గింపు పద్ధతిని ఉపయోగించడం వలన విద్యార్థులు భిన్నాలతో కార్యకలాపాల గురించి సాధారణ జ్ఞాన వ్యవస్థలో గణనల యొక్క వ్యక్తిగత కేసులను సాధారణీకరించడం, పోల్చడం, వేరు చేయడం మరియు చేర్చడం వంటి సామర్థ్యాన్ని అభివృద్ధి చేయడంలో సహాయపడుతుంది.