కుండలీకరణాల్లోని సంఖ్యలు వాటి వ్యతిరేకతలతో గుణించబడతాయి. ఉత్పత్తి సమయంలో కుండలీకరణాలను తెరవడానికి నియమం

ఈ వీడియోలో మేము ఒకే అల్గోరిథం ఉపయోగించి పరిష్కరించబడిన సరళ సమీకరణాల మొత్తం సెట్‌ను విశ్లేషిస్తాము - అందుకే వాటిని సరళమైనవి అని పిలుస్తారు.

ముందుగా, నిర్వచిద్దాం: సరళ సమీకరణం అంటే ఏమిటి మరియు ఏది సరళమైనది?

సరళ సమీకరణం అంటే ఒకే ఒక వేరియబుల్ మరియు మొదటి డిగ్రీ వరకు మాత్రమే ఉంటుంది.

సరళమైన సమీకరణం అంటే నిర్మాణం:

అన్ని ఇతర సరళ సమీకరణాలు అల్గోరిథం ఉపయోగించి సరళమైన వాటికి తగ్గించబడ్డాయి:

1. ఏదైనా ఉంటే కుండలీకరణాలను విస్తరించండి;
2. వేరియబుల్‌ను కలిగి ఉన్న నిబంధనలను సమాన గుర్తులో ఒక వైపుకు మరియు వేరియబుల్ లేని నిబంధనలను మరొక వైపుకు తరలించండి;
3. సమాన సంకేతం యొక్క ఎడమ మరియు కుడికి ఒకే విధమైన పదాలను ఇవ్వండి;
4. ఫలిత సమీకరణాన్ని $x$ వేరియబుల్ యొక్క గుణకంతో భాగించండి.

వాస్తవానికి, ఈ అల్గోరిథం ఎల్లప్పుడూ సహాయం చేయదు. వాస్తవం ఏమిటంటే కొన్నిసార్లు ఈ కుతంత్రాల తర్వాత $x$ వేరియబుల్ యొక్క గుణకం సున్నాకి సమానంగా మారుతుంది. ఈ సందర్భంలో, రెండు ఎంపికలు సాధ్యమే:

1. సమీకరణానికి ఎటువంటి పరిష్కారాలు లేవు. ఉదాహరణకు, $0\cdot x=8$ వంటిది మారినప్పుడు, అనగా. ఎడమవైపు సున్నా, మరియు కుడి వైపున సున్నా కాకుండా వేరే సంఖ్య ఉంటుంది. కింది వీడియోలో ఈ పరిస్థితి ఎందుకు సాధ్యమవుతుందనే అనేక కారణాలను పరిశీలిస్తాము.
2. పరిష్కారం అన్ని సంఖ్యలు. సమీకరణం $0\cdot x=0$కి తగ్గించబడినప్పుడు మాత్రమే ఇది సాధ్యమయ్యే సందర్భం. మనం ఏ $x$ని ప్రత్యామ్నాయం చేసినా, అది ఇప్పటికీ “సున్నా సున్నాకి సమానం” అని తేలింది, అనగా. సరైన సంఖ్యా సమానత్వం.

నిజ జీవిత ఉదాహరణలను ఉపయోగించి ఇవన్నీ ఎలా పనిచేస్తాయో ఇప్పుడు చూద్దాం.

సమీకరణాలను పరిష్కరించే ఉదాహరణలు

ఈ రోజు మనం సరళ సమీకరణాలతో వ్యవహరిస్తున్నాము మరియు సరళమైన వాటిని మాత్రమే. సాధారణంగా, ఒక సరళ సమీకరణం అంటే ఖచ్చితంగా ఒక వేరియబుల్‌ను కలిగి ఉన్న ఏదైనా సమానత్వం, మరియు అది మొదటి డిగ్రీకి మాత్రమే వెళుతుంది.

ఇటువంటి నిర్మాణాలు సుమారుగా అదే విధంగా పరిష్కరించబడతాయి:

1. అన్నింటిలో మొదటిది, మీరు కుండలీకరణాలను విస్తరించాలి, ఏవైనా ఉంటే (మా చివరి ఉదాహరణలో వలె);
2. అప్పుడు ఇలాంటి కలపండి
3. చివరగా, వేరియబుల్‌ను వేరు చేయండి, అనగా. వేరియబుల్‌తో అనుసంధానించబడిన ప్రతిదాన్ని-అది ఉన్న నిబంధనలను-ఒక వైపుకు తరలించండి మరియు అది లేకుండా మిగిలి ఉన్న ప్రతిదాన్ని మరొక వైపుకు తరలించండి.

అప్పుడు, ఒక నియమం వలె, మీరు ఫలిత సమానత్వం యొక్క ప్రతి వైపు ఇలాంటి వాటిని తీసుకురావాలి, మరియు ఆ తర్వాత మిగిలి ఉన్నది "x" యొక్క గుణకం ద్వారా విభజించడం, మరియు మేము తుది సమాధానం పొందుతాము.

సిద్ధాంతంలో, ఇది చక్కగా మరియు సరళంగా కనిపిస్తుంది, కానీ ఆచరణలో, అనుభవజ్ఞులైన ఉన్నత పాఠశాల విద్యార్థులు కూడా చాలా సరళమైన సరళ సమీకరణాలలో ప్రమాదకర తప్పులు చేయవచ్చు. సాధారణంగా, బ్రాకెట్‌లను తెరిచేటప్పుడు లేదా “ప్లస్‌లు” మరియు “మైనస్‌లను” లెక్కించేటప్పుడు లోపాలు జరుగుతాయి.

అదనంగా, ఒక సరళ సమీకరణానికి ఎటువంటి పరిష్కారాలు లేవు లేదా పరిష్కారం మొత్తం సంఖ్య రేఖ, అనగా. ఏదైనా సంఖ్య. నేటి పాఠంలో ఈ సూక్ష్మబేధాలను పరిశీలిస్తాము. కానీ మీరు ఇప్పటికే అర్థం చేసుకున్నట్లుగా, మేము సరళమైన పనులతో ప్రారంభిస్తాము.

సరళమైన సరళ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి పథకం

మొదట, సరళమైన సరళ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి మొత్తం పథకాన్ని మరోసారి వ్రాస్తాను:

1. బ్రాకెట్లు ఏవైనా ఉంటే వాటిని విస్తరించండి.
2. మేము వేరియబుల్స్ను వేరు చేస్తాము, అనగా. మేము “X”లను కలిగి ఉన్న ప్రతిదాన్ని ఒక వైపుకు మరియు “X”లు లేని ప్రతిదాన్ని మరొక వైపుకు తరలిస్తాము.
3. మేము ఇలాంటి నిబంధనలను అందిస్తున్నాము.
4. మేము "x" యొక్క గుణకం ద్వారా ప్రతిదాన్ని విభజిస్తాము.

వాస్తవానికి, ఈ పథకం ఎల్లప్పుడూ పని చేయదు;

సాధారణ సరళ సమీకరణాల యొక్క నిజమైన ఉదాహరణలను పరిష్కరించడం

టాస్క్ నంబర్ 1

మొదటి దశ బ్రాకెట్‌లను తెరవడం అవసరం. కానీ అవి ఈ ఉదాహరణలో లేవు, కాబట్టి మేము ఈ దశను దాటవేస్తాము. రెండవ దశలో మనం వేరియబుల్స్‌ను వేరుచేయాలి. దయచేసి గమనించండి: మేము వ్యక్తిగత నిబంధనల గురించి మాత్రమే మాట్లాడుతున్నాము. దానిని వ్రాసుకుందాం:

మేము ఒకే విధమైన నిబంధనలను ఎడమ మరియు కుడి వైపున ప్రదర్శిస్తాము, కానీ ఇది ఇప్పటికే ఇక్కడ జరిగింది. కాబట్టి, మేము నాల్గవ దశకు వెళ్తాము: గుణకం ద్వారా విభజించండి:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

కాబట్టి మాకు సమాధానం వచ్చింది.

పని సంఖ్య 2

ఈ సమస్యలో మనం కుండలీకరణాలను చూడవచ్చు, కాబట్టి వాటిని విస్తరింపజేద్దాం:

ఎడమ మరియు కుడి వైపున మేము దాదాపు ఒకే రూపకల్పనను చూస్తాము, అయితే అల్గోరిథం ప్రకారం పని చేద్దాం, అనగా. వేరియబుల్స్ వేరు చేయడం:

ఇలాంటివి ఇక్కడ ఉన్నాయి:

ఇది ఏ మూలాల్లో పని చేస్తుంది? సమాధానం: దేనికైనా. కాబట్టి, మనం $x$ ఏదైనా సంఖ్య అని వ్రాయవచ్చు.

పని సంఖ్య 3

మూడవ సరళ సమీకరణం మరింత ఆసక్తికరంగా ఉంటుంది:

\[\ఎడమ(6-x \కుడి)+\ఎడమ(12+x \కుడి)-\ఎడమ(3-2x \కుడి)=15\]

ఇక్కడ అనేక బ్రాకెట్లు ఉన్నాయి, కానీ అవి దేనితోనూ గుణించబడవు, అవి వేర్వేరు సంకేతాలతో ముందుగా ఉంటాయి. వాటిని విచ్ఛిన్నం చేద్దాం:

మేము ఇప్పటికే మాకు తెలిసిన రెండవ దశను చేస్తాము:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

గణితాన్ని చేద్దాం:

మేము చివరి దశను నిర్వహిస్తాము - ప్రతిదాన్ని “x” గుణకం ద్వారా విభజించండి:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

సరళ సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు గుర్తుంచుకోవలసిన విషయాలు

మేము చాలా సులభమైన పనులను విస్మరిస్తే, నేను ఈ క్రింది వాటిని చెప్పాలనుకుంటున్నాను:

• నేను పైన చెప్పినట్లుగా, ప్రతి సరళ సమీకరణానికి పరిష్కారం లేదు - కొన్నిసార్లు మూలాలు లేవు;
• మూలాలు ఉన్నప్పటికీ, వాటిలో సున్నా ఉండవచ్చు - దానిలో తప్పు లేదు.

సున్నా అనేది ఇతరులతో సమానమైన సంఖ్య;

మరొక లక్షణం బ్రాకెట్లను తెరవడానికి సంబంధించినది. దయచేసి గమనించండి: వాటి ముందు "మైనస్" ఉన్నప్పుడు, మేము దానిని తీసివేస్తాము, కానీ కుండలీకరణాల్లో మేము సంకేతాలను మారుస్తాము ఎదురుగా. ఆపై మేము దానిని ప్రామాణిక అల్గారిథమ్‌లను ఉపయోగించి తెరవవచ్చు: పై గణనలలో మనం చూసిన వాటిని మనం పొందుతాము.

ఈ సాధారణ వాస్తవాన్ని అర్థం చేసుకోవడం, ఉన్నత పాఠశాలలో తెలివితక్కువ మరియు హానికరమైన తప్పులు చేయకుండా ఉండటానికి మీకు సహాయం చేస్తుంది, అలాంటి పనులు చేయడం పెద్దగా పరిగణించబడదు.

సంక్లిష్ట సరళ సమీకరణాలను పరిష్కరించడం

మరింత సంక్లిష్టమైన సమీకరణాలకు వెళ్దాం. ఇప్పుడు నిర్మాణాలు మరింత క్లిష్టంగా మారతాయి మరియు వివిధ పరివర్తనలు చేస్తున్నప్పుడు ఒక చతురస్రాకార ఫంక్షన్ కనిపిస్తుంది. అయినప్పటికీ, మేము దీనికి భయపడకూడదు, ఎందుకంటే, రచయిత యొక్క ప్రణాళిక ప్రకారం, మేము సరళ సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తున్నట్లయితే, పరివర్తన ప్రక్రియలో క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్ ఉన్న అన్ని మోనోమియల్‌లు తప్పనిసరిగా రద్దు చేయబడతాయి.

ఉదాహరణ సంఖ్య 1

సహజంగానే, బ్రాకెట్లను తెరవడం మొదటి దశ. దీన్ని చాలా జాగ్రత్తగా చేద్దాం:

ఇప్పుడు గోప్యతను పరిశీలిద్దాం:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

ఇలాంటివి ఇక్కడ ఉన్నాయి:

సహజంగానే, ఈ సమీకరణానికి పరిష్కారాలు లేవు, కాబట్టి మేము దీన్ని సమాధానంలో వ్రాస్తాము:

\[\వర్ణేమీ\]

లేదా మూలాలు లేవు.

ఉదాహరణ సంఖ్య 2

మేము అదే చర్యలను చేస్తాము. మొదటి అడుగు:

వేరియబుల్‌తో ప్రతిదీ ఎడమ వైపుకు మరియు అది లేకుండా - కుడి వైపుకు తరలిద్దాం:

ఇలాంటివి ఇక్కడ ఉన్నాయి:

సహజంగానే, ఈ సరళ సమీకరణానికి పరిష్కారం లేదు, కాబట్టి మేము దానిని ఈ విధంగా వ్రాస్తాము:

\[\వర్ణేమీ\],

లేదా మూలాలు లేవు.

పరిష్కారం యొక్క సూక్ష్మ నైపుణ్యాలు

రెండు సమీకరణాలు పూర్తిగా పరిష్కరించబడ్డాయి. ఈ రెండు వ్యక్తీకరణలను ఉదాహరణగా ఉపయోగించి, సరళమైన సరళ సమీకరణాలలో కూడా, ప్రతిదీ అంత సులభం కాదని మేము మరోసారి ఒప్పించాము: ఒకటి లేదా ఏదీ ఉండకపోవచ్చు లేదా అనంతమైన అనేక మూలాలు ఉండవచ్చు. మా విషయంలో, మేము రెండు సమీకరణాలను పరిగణించాము, రెండింటికీ మూలాలు లేవు.

కానీ నేను మీ దృష్టిని మరొక వాస్తవాన్ని ఆకర్షించాలనుకుంటున్నాను: కుండలీకరణాలతో ఎలా పని చేయాలి మరియు వాటి ముందు మైనస్ గుర్తు ఉంటే వాటిని ఎలా తెరవాలి. ఈ వ్యక్తీకరణను పరిగణించండి:

తెరవడానికి ముందు, మీరు ప్రతిదీ "X" ద్వారా గుణించాలి. దయచేసి గమనించండి: గుణించడం ప్రతి వ్యక్తి పదం. లోపల రెండు పదాలు ఉన్నాయి - వరుసగా, రెండు పదాలు మరియు గుణించడం.

మరియు ఈ అంతమయినట్లుగా చూపబడతాడు ప్రాథమిక, కానీ చాలా ముఖ్యమైన మరియు ప్రమాదకరమైన పరివర్తనలు పూర్తయిన తర్వాత మాత్రమే, మీరు దాని తర్వాత మైనస్ గుర్తు ఉన్నదనే కోణం నుండి బ్రాకెట్‌ను తెరవగలరు. అవును, అవును: ఇప్పుడు మాత్రమే, పరివర్తనలు పూర్తయినప్పుడు, బ్రాకెట్ల ముందు మైనస్ గుర్తు ఉందని మేము గుర్తుంచుకుంటాము, అంటే క్రింద ఉన్న ప్రతిదీ కేవలం సంకేతాలను మారుస్తుంది. అదే సమయంలో, బ్రాకెట్లు తాము అదృశ్యమవుతాయి మరియు, ముఖ్యంగా, ముందు "మైనస్" కూడా అదృశ్యమవుతుంది.

మేము రెండవ సమీకరణంతో అదే చేస్తాము:

ఈ చిన్న, అంతమయినట్లుగా చూపబడని వాస్తవాలపై నేను శ్రద్ధ చూపడం యాదృచ్ఛికంగా కాదు. సమీకరణాలను పరిష్కరించడం ఎల్లప్పుడూ ప్రాథమిక పరివర్తనల క్రమం, ఇక్కడ సరళమైన చర్యలను స్పష్టంగా మరియు సమర్ధవంతంగా చేయలేకపోవడం వల్ల ఉన్నత పాఠశాల విద్యార్థులు నా వద్దకు వచ్చి మళ్లీ అలాంటి సాధారణ సమీకరణాలను పరిష్కరించడం నేర్చుకుంటారు.

అయితే, మీరు ఈ నైపుణ్యాలను స్వయంచాలకంగా మెరుగుపరిచే రోజు వస్తుంది. మీరు ఇకపై ప్రతిసారీ చాలా పరివర్తనలు చేయవలసిన అవసరం లేదు; కానీ మీరు నేర్చుకుంటున్నప్పుడు, మీరు ప్రతి చర్యను విడిగా వ్రాయాలి.

మరింత సంక్లిష్టమైన సరళ సమీకరణాలను పరిష్కరించడం

మనం ఇప్పుడు పరిష్కరించబోయేది చాలా సరళమైన పని అని పిలవబడదు, కానీ అర్థం అలాగే ఉంటుంది.

టాస్క్ నంబర్ 1

\[\ఎడమ(7x+1 \కుడి)\ఎడమ(3x-1 \కుడి)-21((x)^(2))=3\]

మొదటి భాగంలోని అన్ని అంశాలను గుణిద్దాం:

కొంత గోప్యత చేద్దాం:

ఇలాంటివి ఇక్కడ ఉన్నాయి:

చివరి దశను పూర్తి చేద్దాం:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

ఇక్కడ మా చివరి సమాధానం ఉంది. మరియు, పరిష్కరించే ప్రక్రియలో మనకు క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్‌తో గుణకాలు ఉన్నప్పటికీ, అవి ఒకదానికొకటి రద్దు చేయబడ్డాయి, ఇది సమీకరణాన్ని సరళంగా చేస్తుంది మరియు చతుర్భుజం కాదు.

పని సంఖ్య 2

\[\ఎడమ(1-4x \కుడి)\ఎడమ(1-3x \కుడి)=6x\ఎడమ(2x-1 \కుడి)\]

మొదటి దశను జాగ్రత్తగా చేద్దాం: మొదటి బ్రాకెట్ నుండి ప్రతి మూలకాన్ని రెండవ నుండి ప్రతి మూలకం ద్వారా గుణించండి. పరివర్తనల తర్వాత మొత్తం నాలుగు కొత్త పదాలను పొందాలి:

ఇప్పుడు ప్రతి పదంలోని గుణకారాన్ని జాగ్రత్తగా చేద్దాం:

“X”తో ఉన్న నిబంధనలను ఎడమ వైపుకు మరియు లేని వాటిని కుడి వైపుకు తరలిద్దాం:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

ఇక్కడ సారూప్య నిబంధనలు ఉన్నాయి:

మరోసారి మాకు తుది సమాధానం లభించింది.

పరిష్కారం యొక్క సూక్ష్మ నైపుణ్యాలు

ఈ రెండు సమీకరణాల గురించిన అతి ముఖ్యమైన గమనిక ఏమిటంటే: మనం ఒకటి కంటే ఎక్కువ పదాలను కలిగి ఉన్న బ్రాకెట్‌లను గుణించడం ప్రారంభించిన వెంటనే, ఇది క్రింది నియమం ప్రకారం జరుగుతుంది: మేము మొదటి పదం నుండి మొదటి పదాన్ని తీసుకుంటాము మరియు ప్రతి మూలకంతో గుణిస్తాము రెండవది; అప్పుడు మనం మొదటి మూలకం నుండి రెండవ మూలకాన్ని తీసుకుంటాము మరియు అదే విధంగా రెండవదాని నుండి ప్రతి మూలకంతో గుణించాలి. ఫలితంగా, మాకు నాలుగు పదాలు ఉంటాయి.

బీజగణిత మొత్తం గురించి

ఈ చివరి ఉదాహరణతో, నేను బీజగణిత మొత్తం అంటే ఏమిటో విద్యార్థులకు గుర్తు చేయాలనుకుంటున్నాను. శాస్త్రీయ గణితంలో, $1-7$ అంటే సాధారణ నిర్మాణం అని అర్థం: ఒకటి నుండి ఏడింటిని తీసివేయండి. బీజగణితంలో, మేము ఈ క్రింది వాటిని అర్థం చేసుకుంటాము: “ఒకటి” సంఖ్యకు మనం మరొక సంఖ్యను జోడిస్తాము, అవి “మైనస్ ఏడు”. బీజగణిత మొత్తం సాధారణ అంకగణిత మొత్తానికి ఈ విధంగా భిన్నంగా ఉంటుంది.

అన్ని పరివర్తనలు, ప్రతి సంకలనం మరియు గుణకారం చేసేటప్పుడు, మీరు పైన వివరించిన వాటికి సమానమైన నిర్మాణాలను చూడటం ప్రారంభించిన వెంటనే, బహుపదాలు మరియు సమీకరణాలతో పనిచేసేటప్పుడు బీజగణితంలో మీకు ఎటువంటి సమస్యలు ఉండవు.

చివరగా, మనం ఇప్పుడు చూసిన వాటి కంటే మరింత క్లిష్టంగా ఉండే రెండు ఉదాహరణలను చూద్దాం మరియు వాటిని పరిష్కరించడానికి మేము మా ప్రామాణిక అల్గోరిథంను కొద్దిగా విస్తరించాలి.

భిన్నాలతో సమీకరణాలను పరిష్కరించడం

అటువంటి పనులను పరిష్కరించడానికి, మేము మా అల్గోరిథంకు మరో దశను జోడించాలి. అయితే ముందుగా, మా అల్గోరిథం గురించి మీకు గుర్తు చేస్తాను:

1. బ్రాకెట్లను తెరవండి.
2. వేరియబుల్స్ వేరు.
3. ఇలాంటి వాటిని తీసుకురండి.
4. నిష్పత్తి ద్వారా విభజించండి.

అయ్యో, ఈ అద్భుతమైన అల్గోరిథం, దాని ప్రభావం కోసం, మన ముందు భిన్నాలు ఉన్నప్పుడు పూర్తిగా సముచితం కాదు. మరియు మనం క్రింద చూడబోయే వాటిలో, మనకు రెండు సమీకరణాలలో ఎడమ మరియు కుడి రెండింటిలో భిన్నం ఉంటుంది.

ఈ సందర్భంలో ఎలా పని చేయాలి? అవును, ఇది చాలా సులభం! దీన్ని చేయడానికి, మీరు అల్గోరిథంకు మరో దశను జోడించాలి, ఇది మొదటి చర్యకు ముందు మరియు తరువాత రెండింటినీ చేయవచ్చు, అవి భిన్నాలను వదిలించుకోవటం. కాబట్టి అల్గోరిథం క్రింది విధంగా ఉంటుంది:

1. భిన్నాలను వదిలించుకోండి.
2. బ్రాకెట్లను తెరవండి.
3. వేరియబుల్స్ వేరు.
4. ఇలాంటి వాటిని తీసుకురండి.
5. నిష్పత్తి ద్వారా విభజించండి.

"భిన్నాలను వదిలించుకోవటం" అంటే ఏమిటి? మరియు ఇది మొదటి ప్రామాణిక దశ తర్వాత మరియు ముందు ఎందుకు చేయవచ్చు? వాస్తవానికి, మా విషయంలో, అన్ని భిన్నాలు వాటి హారంలో సంఖ్యాపరంగా ఉంటాయి, అనగా. ప్రతిచోటా హారం ఒక సంఖ్య మాత్రమే. కాబట్టి, సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా ఈ సంఖ్యతో గుణిస్తే, మనం భిన్నాలను తొలగిస్తాము.

ఉదాహరణ సంఖ్య 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

ఈ సమీకరణంలోని భిన్నాలను వదిలించుకుందాం:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

దయచేసి గమనించండి: ప్రతిదీ ఒకసారి "నాలుగు" ద్వారా గుణించబడుతుంది, అనగా. మీరు రెండు కుండలీకరణాలను కలిగి ఉన్నందున మీరు ప్రతిదాన్ని "నాలుగు" ద్వారా గుణించాలి అని కాదు. రాసుకుందాం:

\[\ఎడమ(2x+1 \కుడి)\ఎడమ(2x-3 \కుడి)=\ఎడమ(((x)^(2))-1 \కుడి)\cdot 4\]

ఇప్పుడు విస్తరింపజేద్దాం:

మేము వేరియబుల్‌ను వేరు చేస్తాము:

మేము సారూప్య నిబంధనల తగ్గింపును చేస్తాము:

\[-4x=-1\ఎడమ| :\ఎడమ(-4 \కుడి) \కుడి.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

మేము తుది పరిష్కారాన్ని అందుకున్నాము, రెండవ సమీకరణానికి వెళ్దాం.

ఉదాహరణ సంఖ్య 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

ఇక్కడ మేము ఒకే విధమైన చర్యలను చేస్తాము:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

సమస్య పరిష్కారమైంది.

నిజానికి, ఈరోజు నేను మీకు చెప్పాలనుకున్నది ఒక్కటే.

కీ పాయింట్లు

కీలక అన్వేషణలు:

• సరళ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి అల్గోరిథం తెలుసుకోండి.
• బ్రాకెట్లను తెరవగల సామర్థ్యం.
• మీరు ఎక్కడో చతుర్భుజ విధులను కలిగి ఉంటే చింతించకండి, తదుపరి పరివర్తన ప్రక్రియలో అవి తగ్గించబడతాయి.
• సరళ సమీకరణాలలో మూడు రకాల మూలాలు ఉన్నాయి, సరళమైనవి కూడా: ఒకే రూట్, మొత్తం సంఖ్య రేఖ ఒక మూలం మరియు మూలాలు లేవు.

అన్ని గణితాలను మరింత అర్థం చేసుకోవడానికి ఈ పాఠం మీకు సరళమైన, కానీ చాలా ముఖ్యమైన అంశాన్ని నేర్చుకోవడంలో సహాయపడుతుందని నేను ఆశిస్తున్నాను. ఏదైనా స్పష్టంగా తెలియకపోతే, సైట్‌కి వెళ్లి అక్కడ అందించిన ఉదాహరణలను పరిష్కరించండి. వేచి ఉండండి, ఇంకా చాలా ఆసక్తికరమైన విషయాలు మీ కోసం వేచి ఉన్నాయి!

A+(b + c) కుండలీకరణాలు లేకుండా వ్రాయవచ్చు: a+(b + c)=a + b + c. ఈ ఆపరేషన్‌ను ఓపెనింగ్ కుండలీకరణాలు అంటారు.

ఉదాహరణ 1. a + (- b + c) వ్యక్తీకరణలో బ్రాకెట్లను తెరవండి.

పరిష్కారం. a + (-b+c) = a + ((-b) + c)=a + (-b) + c = a-b + c.

బ్రాకెట్ల ముందు "+" గుర్తు ఉన్నట్లయితే, మీరు బ్రాకెట్లలోని నిబంధనల సంకేతాలను కొనసాగిస్తూ బ్రాకెట్లను మరియు ఈ "+" గుర్తును వదిలివేయవచ్చు. బ్రాకెట్లలో మొదటి పదం గుర్తు లేకుండా వ్రాసినట్లయితే, అది తప్పనిసరిగా “+” గుర్తుతో వ్రాయాలి.

ఉదాహరణ 2.వ్యక్తీకరణ -2.87+ (2.87-7.639) విలువను కనుగొనండి.

పరిష్కారం.బ్రాకెట్లను తెరవడం, మనకు లభిస్తుంది - 2.87 + (2.87 - 7.639) = - - 2.87 + 2.87 - 7.639 = 0 - 7.639 = - 7.639.

వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనడానికి - (- 9 + 5), మీరు జోడించాలి సంఖ్యలు-9 మరియు 5 మరియు ఫలిత మొత్తానికి వ్యతిరేక సంఖ్యను కనుగొనండి: -(- 9 + 5)= -(- 4) = 4.

అదే విలువను మరొక విధంగా పొందవచ్చు: ముందుగా ఈ నిబంధనలకు వ్యతిరేక సంఖ్యలను వ్రాసి (అంటే వాటి సంకేతాలను మార్చండి), ఆపై జోడించండి: 9 + (- 5) = 4. అందువలన, -(- 9 + 5) = 9 - 5 = 4.

అనేక నిబంధనల మొత్తానికి వ్యతిరేక మొత్తాన్ని వ్రాయడానికి, మీరు ఈ నిబంధనల సంకేతాలను మార్చాలి.

దీని అర్థం - (a + b) = - a - b.

ఉదాహరణ 3.వ్యక్తీకరణ 16 - (10 -18 + 12) విలువను కనుగొనండి.

పరిష్కారం. 16-(10 -18 + 12) = 16 + (-(10 -18 + 12)) = = 16 + (-10 +18-12) = 16-10 +18-12 = 12.

“-” గుర్తుకు ముందు ఉన్న బ్రాకెట్‌లను తెరవడానికి, మీరు ఈ గుర్తును “+”తో భర్తీ చేయాలి, బ్రాకెట్‌లలోని అన్ని పదాల సంకేతాలను వ్యతిరేకానికి మార్చాలి, ఆపై బ్రాకెట్‌లను తెరవండి.

ఉదాహరణ 4.వ్యక్తీకరణ 9.36-(9.36 - 5.48) విలువను కనుగొనండి.

పరిష్కారం. 9.36 - (9.36 - 5.48) = 9.36 + (- 9.36 + 5.48) = = 9.36 - 9.36 + 5.48 = 0 -f 5.48 = 5 ,48.

కుండలీకరణాలను విస్తరించడం మరియు కమ్యుటేటివ్ మరియు అనుబంధ లక్షణాలను వర్తింపజేయడం అదనంగాగణనలను సులభతరం చేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.

ఉదాహరణ 5.వ్యక్తీకరణ (-4-20)+(6+13)-(7-8)-5 విలువను కనుగొనండి.

పరిష్కారం.ముందుగా, బ్రాకెట్‌లను తెరిచి, ఆపై అన్ని సానుకూల సంఖ్యల మొత్తాన్ని విడిగా మరియు అన్ని ప్రతికూల సంఖ్యల మొత్తాన్ని విడిగా కనుగొని, చివరగా, ఫలితాలను జోడించండి:

(- 4 - 20)+(6+ 13)-(7 - 8) - 5 = -4-20 + 6 + 13-7 + 8-5 = = (6 + 13 + 8)+(- 4 - 20 - 7 - 5)= 27-36=-9.

ఉదాహరణ 6.వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనండి

పరిష్కారం.ముందుగా, ప్రతి పదాన్ని వాటి పూర్ణాంకం మరియు భిన్న భాగాల మొత్తంగా ఊహించుకుందాం, ఆపై బ్రాకెట్లను తెరిచి, ఆపై పూర్ణాంకాలను జోడించి విడిగా భిన్నమైనభాగాలు మరియు చివరకు ఫలితాలను జోడించండి:

మీరు "+" గుర్తుకు ముందు ఉన్న కుండలీకరణాలను ఎలా తెరవాలి? అనేక సంఖ్యల మొత్తానికి వ్యతిరేకమైన వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను మీరు ఎలా కనుగొనగలరు? "-" గుర్తుకు ముందు కుండలీకరణాలను ఎలా విస్తరించాలి?

1218. బ్రాకెట్లను తెరవండి:

ఎ) 3.4+(2.6+ 8.3); సి) m+(n-k);

బి) 4.57+(2.6 - 4.57); d) c+(-a + b).

1219. వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్ధాన్ని కనుగొనండి:

1220. బ్రాకెట్లను తెరవండి:

ఎ) 85+(7.8+ 98); d) -(80-16) + 84; g) a-(b-k-n);
బి) (4.7 -17)+7.5; ఇ) -a + (m-2.6); h) -(a-b + c);
సి) 64-(90 + 100); ఇ) c+(- a-b); i) (m-n)-(p-k).

1221. బ్రాకెట్లను తెరిచి, వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్థాన్ని కనుగొనండి:

1222. వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి:

1223. వ్రాయండి మొత్తంరెండు వ్యక్తీకరణలు మరియు దానిని సులభతరం చేయండి:

a) - 4 - m మరియు m + 6.4; d) a+b మరియు p - b
బి) 1.1+a మరియు -26-a; ఇ) - m + n మరియు -k - n;
సి) a + 13 మరియు -13 + b; ఇ)m - n మరియు n - m.

1224. రెండు వ్యక్తీకరణల వ్యత్యాసాన్ని వ్రాసి దానిని సులభతరం చేయండి:

1226. సమస్యను పరిష్కరించడానికి సమీకరణాన్ని ఉపయోగించండి:

ఎ) ఒక షెల్ఫ్‌లో 42 పుస్తకాలు ఉన్నాయి, రెండో షెల్ఫ్‌లో 34 పుస్తకాలు ఉన్నాయి మరియు మొదటి షెల్ఫ్ నుండి చాలా పుస్తకాలు రెండవ షెల్ఫ్ నుండి తీయబడ్డాయి. ఆ తర్వాత, మొదటి షెల్ఫ్‌లో 12 పుస్తకాలు మిగిలి ఉన్నాయి. రెండవ షెల్ఫ్ నుండి ఎన్ని పుస్తకాలు తీసివేయబడ్డాయి?

బి) మొదటి తరగతిలో 42 మంది విద్యార్థులు ఉన్నారు, మూడవ తరగతి కంటే రెండవ తరగతిలో 3 మంది విద్యార్థులు తక్కువ. ఈ మూడు తరగతుల్లో 125 మంది విద్యార్థులుంటే మూడో తరగతిలో ఎంత మంది విద్యార్థులు ఉన్నారు?

1227. వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్ధాన్ని కనుగొనండి:

1228. మౌఖికంగా లెక్కించు:

1229. వ్యక్తీకరణ యొక్క గొప్ప విలువను కనుగొనండి:

1230. ఒకవేళ 4 వరుస పూర్ణాంకాలని పేర్కొనండి:

ఎ) వాటిలో చిన్నది -12; సి) వాటిలో చిన్నది n;
బి) వాటిలో అతిపెద్దది -18; d) వాటిలో ఎక్కువ భాగం k కి సమానం.

పాఠం కంటెంట్ పాఠ్య గమనికలుసపోర్టింగ్ ఫ్రేమ్ లెసన్ ప్రెజెంటేషన్ యాక్సిలరేషన్ మెథడ్స్ ఇంటరాక్టివ్ టెక్నాలజీస్ సాధన టాస్క్‌లు మరియు వ్యాయామాలు స్వీయ-పరీక్ష వర్క్‌షాప్‌లు, శిక్షణలు, కేసులు, అన్వేషణలు హోంవర్క్ చర్చ ప్రశ్నలు విద్యార్థుల నుండి అలంకారిక ప్రశ్నలు దృష్టాంతాలు ఆడియో, వీడియో క్లిప్‌లు మరియు మల్టీమీడియాఛాయాచిత్రాలు, చిత్రాలు, గ్రాఫిక్స్, పట్టికలు, రేఖాచిత్రాలు, హాస్యం, ఉపాఖ్యానాలు, జోకులు, కామిక్స్, ఉపమానాలు, సూక్తులు, క్రాస్‌వర్డ్‌లు, కోట్స్ యాడ్-ఆన్‌లు సారాంశాలుఆసక్తికరమైన క్రిబ్స్ పాఠ్యపుస్తకాల కోసం కథనాలు ఉపాయాలు ఇతర పదాల ప్రాథమిక మరియు అదనపు నిఘంటువు పాఠ్యపుస్తకాలు మరియు పాఠాలను మెరుగుపరచడంపాఠ్యపుస్తకంలోని లోపాలను సరిదిద్దడంపాఠ్యపుస్తకంలో ఒక భాగాన్ని నవీకరించడం, పాఠంలో ఆవిష్కరణ అంశాలు, పాత జ్ఞానాన్ని కొత్త వాటితో భర్తీ చేయడం ఉపాధ్యాయులకు మాత్రమే పరిపూర్ణ పాఠాలుసంవత్సరానికి సంబంధించిన క్యాలెండర్ ప్రణాళిక; ఇంటిగ్రేటెడ్ లెసన్స్

సంఖ్యా, సాహిత్యం మరియు వేరియబుల్ వ్యక్తీకరణలలో చర్యలు నిర్వహించబడే క్రమాన్ని సూచించడానికి కుండలీకరణాలు ఉపయోగించబడతాయి. బ్రాకెట్‌లతో కూడిన వ్యక్తీకరణ నుండి బ్రాకెట్‌లు లేకుండా ఒకేలా సమానమైన వ్యక్తీకరణకు తరలించడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది. ఈ పద్ధతిని ఓపెనింగ్ బ్రాకెట్స్ అంటారు.

కుండలీకరణాలను విస్తరించడం అంటే వ్యక్తీకరణ నుండి కుండలీకరణాలను తీసివేయడం.

బ్రాకెట్లను తెరిచేటప్పుడు రికార్డింగ్ సొల్యూషన్స్ యొక్క ప్రత్యేకతలకు సంబంధించిన మరో పాయింట్ ప్రత్యేక శ్రద్ధకు అర్హమైనది. మేము బ్రాకెట్‌లతో ప్రారంభ వ్యక్తీకరణను మరియు బ్రాకెట్‌లను తెరిచిన తర్వాత పొందిన ఫలితాన్ని సమానత్వంగా వ్రాయవచ్చు. ఉదాహరణకు, వ్యక్తీకరణకు బదులుగా కుండలీకరణాలను విస్తరించిన తర్వాత
3−(5−7) మనకు 3−5+7 అనే వ్యక్తీకరణ వస్తుంది. మనం ఈ రెండు వ్యక్తీకరణలను సమానత్వం 3−(5−7)=3−5+7గా వ్రాయవచ్చు.

మరియు మరొక ముఖ్యమైన అంశం. గణితంలో, సంజ్ఞామానాలను కుదించడానికి, ఒక వ్యక్తీకరణలో లేదా కుండలీకరణాల్లో ముందుగా కనిపిస్తే ప్లస్ గుర్తును వ్రాయకూడదని ఆచారం. ఉదాహరణకు, మేము రెండు సానుకూల సంఖ్యలను జోడిస్తే, ఉదాహరణకు, ఏడు మరియు మూడు, అప్పుడు మేము +7+3 కాదు, కేవలం 7+3 అని వ్రాస్తాము, ఏడు కూడా సానుకూల సంఖ్య అయినప్పటికీ. అదేవిధంగా, మీరు చూస్తే, ఉదాహరణకు, వ్యక్తీకరణ (5+x) - బ్రాకెట్‌కు ముందు ప్లస్ ఉందని, అది వ్రాయబడలేదని మరియు ఐదు కంటే ముందు ప్లస్ +(+5+x) ఉందని తెలుసుకోండి.

అదనంగా సమయంలో కుండలీకరణాలను తెరవడానికి నియమం

బ్రాకెట్లను తెరిచేటప్పుడు, బ్రాకెట్ల ముందు ప్లస్ ఉన్నట్లయితే, ఈ ప్లస్ బ్రాకెట్లతో పాటు తొలగించబడుతుంది.

ఉదాహరణ. 2 + (7 + 3) ఎక్స్‌ప్రెషన్‌లో బ్రాకెట్‌లను తెరవండి, బ్రాకెట్‌ల ముందు ప్లస్ ఉంది, అంటే బ్రాకెట్‌లలోని సంఖ్యల ముందు ఉన్న సంకేతాలను మనం మార్చలేము.

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

తీసివేసేటప్పుడు కుండలీకరణాలను తెరవడానికి నియమం

బ్రాకెట్‌లకు ముందు మైనస్ ఉంటే, బ్రాకెట్‌లతో పాటు ఈ మైనస్ విస్మరించబడుతుంది, అయితే బ్రాకెట్‌లలో ఉన్న నిబంధనలు వాటి గుర్తును వ్యతిరేకానికి మారుస్తాయి. కుండలీకరణాల్లో మొదటి పదానికి ముందు గుర్తు లేకపోవడం + గుర్తును సూచిస్తుంది.

ఉదాహరణ. వ్యక్తీకరణ 2 - (7 + 3) లో కుండలీకరణాలను విస్తరించండి

బ్రాకెట్ల ముందు మైనస్ ఉంది, అంటే మీరు బ్రాకెట్లలోని సంఖ్యల ముందు సంకేతాలను మార్చాలి. కుండలీకరణాల్లో సంఖ్య 7 ముందు గుర్తు లేదు, దీని అర్థం ఏడు సానుకూలంగా ఉంటుంది, దాని ముందు + గుర్తు ఉన్నట్లు పరిగణించబడుతుంది.

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

బ్రాకెట్లను తెరిచేటప్పుడు, బ్రాకెట్ల ముందు ఉన్న మైనస్ మరియు బ్రాకెట్లు 2 - (+ 7 + 3) ను ఉదాహరణ నుండి తీసివేస్తాము మరియు బ్రాకెట్లలో ఉన్న సంకేతాలను వ్యతిరేక వాటికి మారుస్తాము.

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

గుణించేటప్పుడు కుండలీకరణాలను విస్తరించడం

బ్రాకెట్ల ముందు గుణకార చిహ్నం ఉంటే, బ్రాకెట్లలోని ప్రతి సంఖ్య బ్రాకెట్ల ముందు ఉన్న కారకంతో గుణించబడుతుంది. ఈ సందర్భంలో, మైనస్‌ను మైనస్‌తో గుణించడం ప్లస్‌ను ఇస్తుంది మరియు మైనస్‌ను ప్లస్‌తో గుణించడం మైనస్‌ను ఇస్తుంది, ప్లస్‌ను మైనస్‌తో గుణించడం మైనస్‌ను ఇస్తుంది.

అందువలన, ఉత్పత్తులలోని కుండలీకరణాలు గుణకారం యొక్క పంపిణీ ఆస్తికి అనుగుణంగా విస్తరించబడతాయి.

ఉదాహరణ. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7

మీరు బ్రాకెట్‌ను బ్రాకెట్‌తో గుణించినప్పుడు, మొదటి బ్రాకెట్‌లోని ప్రతి పదం రెండవ బ్రాకెట్‌లోని ప్రతి పదంతో గుణించబడుతుంది.

(2 + 3) · (4 + 5) = 2 · 4 + 2 · 5 + 3 · 4 + 3 · 5

వాస్తవానికి, అన్ని నియమాలను గుర్తుంచుకోవలసిన అవసరం లేదు, ఇది ఒక్కటి మాత్రమే గుర్తుంచుకోవడానికి సరిపోతుంది, ఇది: c(a−b)=ca−cb. ఎందుకు? ఎందుకంటే మీరు c బదులుగా ఒకదానిని ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, మీరు నియమం (a−b)=a−b పొందుతారు. మరియు మనం మైనస్ ఒకటిని ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, మనకు −(a−b)=-a+b అనే నియమం వస్తుంది. సరే, మీరు సికి బదులుగా మరొక బ్రాకెట్‌ను ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, మీరు చివరి నియమాన్ని పొందవచ్చు.

విభజించేటప్పుడు కుండలీకరణాలను తెరవడం

బ్రాకెట్ల తర్వాత విభజన గుర్తు ఉంటే, బ్రాకెట్లలోని ప్రతి సంఖ్య బ్రాకెట్ల తర్వాత భాగహారంతో భాగించబడుతుంది మరియు దీనికి విరుద్ధంగా ఉంటుంది.

ఉదాహరణ. (9 + 6) : 3=9: 3 + 6: 3

సమూహ కుండలీకరణాలను ఎలా విస్తరించాలి

ఒక వ్యక్తీకరణ సమూహ కుండలీకరణాలను కలిగి ఉంటే, అవి బయటి లేదా లోపలి వాటితో ప్రారంభించి క్రమంలో విస్తరించబడతాయి.

ఈ సందర్భంలో, బ్రాకెట్లలో ఒకదానిని తెరిచేటప్పుడు, మిగిలిన బ్రాకెట్లను తాకవద్దు, వాటిని తిరిగి వ్రాయడం చాలా ముఖ్యం.

ఉదాహరణ. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b

“ప్రారంభ కుండలీకరణాలు” - గణిత పాఠ్య పుస్తకం, గ్రేడ్ 6 (విలెంకిన్)

సంక్షిప్త వివరణ:

ఈ విభాగంలో మీరు ఉదాహరణలలో కుండలీకరణాలను ఎలా విస్తరించాలో నేర్చుకుంటారు. ఇది దేనికి? ప్రతిదీ మునుపటి మాదిరిగానే ఉంటుంది - మీరు లెక్కించడాన్ని సులభతరం చేయడానికి మరియు సరళంగా చేయడానికి, తక్కువ తప్పులు చేయడానికి మరియు తప్పులు లేకుండా ప్రతిదీ పరిష్కరించడానికి ఆదర్శంగా (మీ గణిత ఉపాధ్యాయుడి కల).
రెండు గణిత సంకేతాలు వరుసగా కనిపిస్తే, మేము సంఖ్యల కలయికను, వాటి పునఃసమూహాన్ని చూపాలనుకుంటే, కుండలీకరణాలు గణిత సంజ్ఞామానంలో ఉంచబడతాయని మీకు ఇప్పటికే తెలుసు. కుండలీకరణాలను విస్తరించడం అంటే అనవసరమైన అక్షరాలను తొలగించడం. ఉదాహరణకు: (-15)+3=-15+3=-12, 18+(-16)=18-16=2. కూడికకు సంబంధించి గుణకారం యొక్క పంపిణీ లక్షణం మీకు గుర్తుందా? నిజానికి, ఆ ఉదాహరణలో మేము గణనలను సరళీకృతం చేయడానికి బ్రాకెట్లను కూడా వదిలించుకున్నాము. పేరు పెట్టబడిన గుణకారం నాలుగు, మూడు, ఐదు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ పదాలకు కూడా వర్తించవచ్చు. ఉదాహరణకు: 15*(3+8+9+6)=15*3+15*8+15*9+15*6=390. మీరు బ్రాకెట్‌లను తెరిచినప్పుడు, బ్రాకెట్‌ల ముందు ఉన్న సంఖ్య సానుకూలంగా ఉంటే వాటిలోని సంఖ్యలు గుర్తును మార్చవని మీరు గమనించారా? అన్ని తరువాత, పదిహేను సానుకూల సంఖ్య. మరియు మీరు ఈ ఉదాహరణను పరిష్కరిస్తే: -15*(3+8+9+6)=-15*3+(-15)*8+(-15)*9+(-15)*6=-45+( - 120)+(-135)+(-90)=-45-120-135-90=-390. మేము బ్రాకెట్‌ల ముందు ప్రతికూల సంఖ్య మైనస్ పదిహేను కలిగి ఉన్నాము, మేము బ్రాకెట్‌లను తెరిచినప్పుడు అన్ని సంఖ్యలు వాటి గుర్తును మరొకదానికి మార్చడం ప్రారంభించాయి - వ్యతిరేకం - ప్లస్ నుండి మైనస్‌కు.
పై ఉదాహరణల ఆధారంగా, కుండలీకరణాలను తెరవడానికి రెండు ప్రాథమిక నియమాలను పేర్కొనవచ్చు:
1. మీరు బ్రాకెట్ల ముందు సానుకూల సంఖ్యను కలిగి ఉన్నట్లయితే, బ్రాకెట్లను తెరిచిన తర్వాత బ్రాకెట్లలోని సంఖ్యల యొక్క అన్ని చిహ్నాలు మారవు, కానీ అవి ఉన్నట్లే ఉంటాయి.
2. మీరు బ్రాకెట్ల ముందు ప్రతికూల సంఖ్యను కలిగి ఉంటే, బ్రాకెట్లను తెరిచిన తర్వాత మైనస్ గుర్తు ఇకపై వ్రాయబడదు మరియు బ్రాకెట్లలోని అన్ని సంపూర్ణ సంఖ్యల సంకేతాలు అకస్మాత్తుగా విరుద్ధంగా మారుతాయి.
ఉదాహరణకు: (13+8)+(9-8)=13+8+9-8=22; (13+8)-(9-8)=13+8-9+8=20. మన ఉదాహరణలను కొంచెం క్లిష్టతరం చేద్దాం: (13+8)+2(9-8)=13+8+2*9-2*8=21+18-16=23. రెండవ బ్రాకెట్లను తెరిచినప్పుడు, మేము 2 ద్వారా గుణించామని మీరు గమనించారు, కానీ సంకేతాలు అలాగే ఉన్నాయి. ఇక్కడ ఒక ఉదాహరణ ఉంది: (3+8)-2*(9-8)=3+8-2*9+2*8=11-18+16=9, ఈ ఉదాహరణలో సంఖ్య రెండు ప్రతికూలంగా ఉంటుంది, ఇది ముందు బ్రాకెట్లు మైనస్ గుర్తుతో ఉంటాయి, కాబట్టి వాటిని తెరిచినప్పుడు, మేము సంఖ్యల సంకేతాలను వ్యతిరేక వాటికి మార్చాము (తొమ్మిది ప్లస్‌తో ఉంది, మైనస్ అయ్యింది, ఎనిమిది మైనస్‌తో ఉంది, ప్లస్ అయ్యింది).

క్రీస్తుపూర్వం ఐదవ శతాబ్దంలో, పురాతన గ్రీకు తత్వవేత్త జెనో ఆఫ్ ఎలియా తన ప్రసిద్ధ అపోరియాలను రూపొందించాడు, వీటిలో అత్యంత ప్రసిద్ధమైనది "అకిలెస్ మరియు టార్టాయిస్" అపోరియా. ఇది ఎలా అనిపిస్తుందో ఇక్కడ ఉంది:

అకిలెస్ తాబేలు కంటే పదిరెట్లు వేగంగా పరిగెడుతుంది మరియు దాని వెనుక వెయ్యి అడుగులు ఉన్నాడనుకుందాం. ఈ దూరం పరుగెత్తడానికి అకిలెస్ పట్టే సమయంలో, తాబేలు అదే దిశలో వంద అడుగులు క్రాల్ చేస్తుంది. అకిలెస్ వంద అడుగులు పరిగెత్తినప్పుడు, తాబేలు మరో పది అడుగులు క్రాల్ చేస్తుంది. ప్రక్రియ అనంతంగా కొనసాగుతుంది, అకిలెస్ తాబేలును ఎప్పటికీ పట్టుకోడు.

ఈ తార్కికం అన్ని తరువాతి తరాలకు తార్కిక షాక్‌గా మారింది. అరిస్టాటిల్, డయోజినెస్, కాంట్, హెగెల్, హిల్బర్ట్.. వీళ్లంతా ఏదో ఒక విధంగా జెనో అపోరియాగా భావించారు. షాక్ చాలా బలంగా ఉంది " ... ఈ రోజు వరకు చర్చలు కొనసాగుతున్నాయి, వైరుధ్యాల సారాంశంపై శాస్త్రీయ సమాజం ఇంకా ఒక సాధారణ అభిప్రాయానికి రాలేకపోయింది ... గణిత విశ్లేషణ, సెట్ సిద్ధాంతం, కొత్త భౌతిక మరియు తాత్విక విధానాలు సమస్య యొక్క అధ్యయనంలో పాల్గొన్నాయి. ; వాటిలో ఏదీ సమస్యకు సాధారణంగా ఆమోదించబడిన పరిష్కారం కాదు..."[వికీపీడియా, "జెనోస్ అపోరియా". ప్రతి ఒక్కరూ తాము మోసపోతున్నారని అర్థం చేసుకుంటారు, కానీ మోసం ఏమిటో ఎవరికీ అర్థం కాలేదు.

గణిత శాస్త్ర దృక్కోణం నుండి, జెనో తన అపోరియాలో పరిమాణం నుండి కు మారడాన్ని స్పష్టంగా ప్రదర్శించాడు. ఈ పరివర్తన శాశ్వత వాటికి బదులుగా అనువర్తనాన్ని సూచిస్తుంది. నేను అర్థం చేసుకున్నంత వరకు, వేరియబుల్ కొలత యూనిట్లను ఉపయోగించే గణిత ఉపకరణం ఇంకా అభివృద్ధి చేయబడలేదు లేదా జెనో యొక్క అపోరియాకు వర్తించబడలేదు. మన సాధారణ తర్కాన్ని వర్తింపజేయడం మనల్ని ఉచ్చులోకి నెట్టివేస్తుంది. మేము, ఆలోచన యొక్క జడత్వం కారణంగా, పరస్పర విలువకు సమయం యొక్క స్థిరమైన యూనిట్లను వర్తింపజేస్తాము. భౌతిక దృక్కోణం నుండి, ఇది అకిలెస్ తాబేలుతో పట్టుకున్న క్షణంలో పూర్తిగా ఆగిపోయే వరకు సమయం మందగించినట్లు కనిపిస్తోంది. సమయం ఆగిపోతే, అకిలెస్ ఇకపై తాబేలును అధిగమించలేరు.

మేము మా సాధారణ తర్కాన్ని మలుపు తిప్పినట్లయితే, ప్రతిదీ సరిగ్గా జరుగుతుంది. అకిలెస్ స్థిరమైన వేగంతో నడుస్తుంది. అతని మార్గంలోని ప్రతి తదుపరి విభాగం మునుపటి కంటే పది రెట్లు తక్కువగా ఉంటుంది. దీని ప్రకారం, దానిని అధిగమించడానికి గడిపిన సమయం మునుపటి కంటే పది రెట్లు తక్కువ. ఈ పరిస్థితిలో మనం “అనంతం” అనే భావనను వర్తింపజేస్తే, “అకిలెస్ తాబేలును అనంతంగా త్వరగా పట్టుకుంటాడు” అని చెప్పడం సరైనది.

ఈ తార్కిక ఉచ్చును ఎలా నివారించాలి? సమయం యొక్క స్థిరమైన యూనిట్లలో ఉండండి మరియు పరస్పర యూనిట్లకు మారకండి. జెనో భాషలో ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది:

అకిలెస్ వేయి అడుగులు పరిగెత్తడానికి పట్టే సమయంలో, తాబేలు అదే దిశలో వంద అడుగులు క్రాల్ చేస్తుంది. మొదటి సమయానికి సమానమైన తదుపరి సమయ వ్యవధిలో, అకిలెస్ మరో వెయ్యి అడుగులు పరిగెత్తుతుంది మరియు తాబేలు వంద అడుగులు క్రాల్ చేస్తుంది. ఇప్పుడు అకిలెస్ తాబేలు కంటే ఎనిమిది వందల అడుగులు ముందున్నాడు.

ఈ విధానం ఎటువంటి తార్కిక వైరుధ్యాలు లేకుండా వాస్తవికతను తగినంతగా వివరిస్తుంది. అయితే ఇది సమస్యకు పూర్తి పరిష్కారం కాదు. కాంతి వేగం యొక్క ఇర్రెసిస్టిబిలిటీ గురించి ఐన్స్టీన్ యొక్క ప్రకటన జెనో యొక్క అపోరియా "అకిలెస్ అండ్ ది టార్టాయిస్" కు చాలా పోలి ఉంటుంది. మనం ఇంకా ఈ సమస్యను అధ్యయనం చేయాలి, పునరాలోచించాలి మరియు పరిష్కరించాలి. మరియు పరిష్కారం అనంతమైన పెద్ద సంఖ్యలో కాదు, కానీ కొలత యూనిట్లలో వెతకాలి.

జెనో యొక్క మరొక ఆసక్తికరమైన అపోరియా ఎగిరే బాణం గురించి చెబుతుంది:

ఎగిరే బాణం కదలకుండా ఉంటుంది, ఎందుకంటే ప్రతి క్షణం అది విశ్రాంతిగా ఉంటుంది మరియు ప్రతి క్షణం విశ్రాంతిగా ఉంటుంది కాబట్టి, అది ఎల్లప్పుడూ విశ్రాంతిగా ఉంటుంది.

ఈ అపోరియాలో, తార్కిక పారడాక్స్ చాలా సరళంగా అధిగమించబడుతుంది - ప్రతి క్షణంలో ఎగిరే బాణం అంతరిక్షంలో వేర్వేరు పాయింట్ల వద్ద విశ్రాంతిగా ఉందని స్పష్టం చేయడానికి సరిపోతుంది, ఇది వాస్తవానికి చలనం. ఇక్కడ మరో విషయం గమనించాలి. రహదారిపై ఉన్న కారు యొక్క ఒక ఛాయాచిత్రం నుండి దాని కదలిక యొక్క వాస్తవాన్ని లేదా దానికి దూరాన్ని గుర్తించడం అసాధ్యం. కారు కదులుతుందో లేదో తెలుసుకోవడానికి, మీకు ఒకే పాయింట్ నుండి వేర్వేరు సమయాల్లో తీసిన రెండు ఛాయాచిత్రాలు అవసరం, కానీ మీరు వాటి నుండి దూరాన్ని నిర్ణయించలేరు. కారుకు దూరాన్ని నిర్ణయించడానికి, మీకు ఒక సమయంలో అంతరిక్షంలో వేర్వేరు పాయింట్ల నుండి తీసిన రెండు ఛాయాచిత్రాలు అవసరం, కానీ వాటి నుండి మీరు కదలిక వాస్తవాన్ని గుర్తించలేరు (వాస్తవానికి, మీకు ఇంకా లెక్కల కోసం అదనపు డేటా అవసరం, త్రికోణమితి మీకు సహాయం చేస్తుంది. ) నేను ప్రత్యేక దృష్టిని ఆకర్షించాలనుకుంటున్నాను, సమయం మరియు అంతరిక్షంలో రెండు పాయింట్లు వేర్వేరు విషయాలు, అవి గందరగోళానికి గురికాకూడదు, ఎందుకంటే అవి పరిశోధన కోసం విభిన్న అవకాశాలను అందిస్తాయి.

బుధవారం, జూలై 4, 2018

సెట్ మరియు మల్టీసెట్ మధ్య తేడాలు వికీపీడియాలో బాగా వివరించబడ్డాయి. చూద్దాం.

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, “సమితిలో రెండు సారూప్య మూలకాలు ఉండకూడదు,” కానీ ఒక సెట్‌లో ఒకేలా మూలకాలు ఉంటే, అటువంటి సమితిని “మల్టీసెట్” అంటారు. ఇలాంటి అసంబద్ధ తర్కాన్ని సహేతుకమైన జీవులు ఎప్పటికీ అర్థం చేసుకోలేరు. ఇది మాట్లాడే చిలుకలు మరియు శిక్షణ పొందిన కోతుల స్థాయి, వీరికి "పూర్తిగా" అనే పదం నుండి తెలివితేటలు లేవు. గణిత శాస్త్రవేత్తలు సాధారణ శిక్షకులుగా వ్యవహరిస్తారు, వారి అసంబద్ధమైన ఆలోచనలను మాకు బోధిస్తారు.

ఒకప్పుడు బ్రిడ్జిని టెస్టింగ్ చేస్తున్నప్పుడు బ్రిడ్జిని నిర్మించిన ఇంజనీర్లు బ్రిడ్జి కింద బోటులో ఉన్నారు. వంతెన కూలిపోతే, సాధారణ ఇంజనీర్ తన సృష్టి యొక్క శిథిలాల కింద మరణించాడు. వంతెన భారాన్ని తట్టుకోగలిగితే, ప్రతిభావంతులైన ఇంజనీర్ ఇతర వంతెనలను నిర్మించారు.

గణిత శాస్త్రజ్ఞులు "నన్ను చూసుకోండి, నేను ఇంట్లో ఉన్నాను" లేదా "గణితశాస్త్రం వియుక్త భావనలను అధ్యయనం చేస్తుంది" అనే పదబంధాన్ని ఎలా దాచినా, వాటిని వాస్తవికతతో విడదీయరాని విధంగా అనుసంధానించే ఒక బొడ్డు తాడు ఉంది. ఈ బొడ్డు తాడు డబ్బు. గణిత శాస్త్రజ్ఞులకే గణిత సమితి సిద్ధాంతాన్ని వర్తింపజేద్దాం.

గణితం బాగా చదివి ఇప్పుడు జీతాలు ఇస్తూ క్యాష్ రిజిస్టర్ దగ్గర కూర్చున్నాం. కాబట్టి ఒక గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు తన డబ్బు కోసం మన దగ్గరకు వస్తాడు. మేము అతనికి మొత్తం మొత్తాన్ని లెక్కించి, మా టేబుల్‌పై వేర్వేరు పైల్స్‌లో వేస్తాము, అందులో మేము అదే విలువ కలిగిన బిల్లులను ఉంచాము. అప్పుడు మేము ప్రతి కుప్ప నుండి ఒక బిల్లును తీసుకుంటాము మరియు గణిత శాస్త్రజ్ఞుడికి అతని "గణిత జీతం యొక్క సెట్" ఇస్తాము. ఒకే మూలకాలు లేని సమితి ఒకే మూలకాలతో కూడిన సెట్‌తో సమానం కాదని నిరూపించినప్పుడే మిగిలిన బిల్లులను అతను స్వీకరిస్తాడని గణిత శాస్త్రజ్ఞుడికి వివరిస్తాము. ఇక్కడే సరదా మొదలవుతుంది.

అన్నింటిలో మొదటిది, సహాయకుల తర్కం పని చేస్తుంది: "ఇది ఇతరులకు వర్తించవచ్చు, కానీ నాకు కాదు!" అప్పుడు వారు ఒకే డినామినేషన్‌కు చెందిన బిల్లులు వేర్వేరు బిల్లు నంబర్‌లను కలిగి ఉన్నాయని, అంటే వాటిని ఒకే మూలకాలుగా పరిగణించలేమని వారు మాకు భరోసా ఇవ్వడం ప్రారంభిస్తారు. సరే, జీతాలను నాణేలలో లెక్కిద్దాం - నాణేలపై సంఖ్యలు లేవు. ఇక్కడ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు భౌతిక శాస్త్రాన్ని పిచ్చిగా గుర్తుంచుకోవడం ప్రారంభిస్తాడు: వేర్వేరు నాణేలు వేర్వేరు మొత్తంలో ధూళిని కలిగి ఉంటాయి, ప్రతి నాణేనికి పరమాణువుల స్ఫటిక నిర్మాణం మరియు అమరిక ప్రత్యేకంగా ఉంటాయి.

మరియు ఇప్పుడు నాకు చాలా ఆసక్తికరమైన ప్రశ్న ఉంది: మల్టీసెట్ యొక్క మూలకాలు సెట్ యొక్క మూలకాలుగా మారే రేఖకు మించిన పంక్తి ఎక్కడ ఉంది మరియు దీనికి విరుద్ధంగా? అటువంటి లైన్ ఉనికిలో లేదు - ప్రతిదీ షమన్లచే నిర్ణయించబడుతుంది, సైన్స్ ఇక్కడ అబద్ధం చెప్పడానికి కూడా దగ్గరగా లేదు.

ఇక్కడ చూడు. మేము అదే మైదాన ప్రాంతంతో ఫుట్‌బాల్ స్టేడియాలను ఎంచుకుంటాము. ఫీల్డ్‌ల ప్రాంతాలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి - అంటే మనకు మల్టీసెట్ ఉంది. కానీ ఇవే స్టేడియాల పేర్లను పరిశీలిస్తే, పేర్లు భిన్నంగా ఉన్నందున, మనకు చాలా లభిస్తాయి. మీరు చూడగలిగినట్లుగా, ఒకే మూలకాల సమితి ఒక సెట్ మరియు మల్టీసెట్ రెండూ. ఏది సరైనది? మరియు ఇక్కడ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు-షమన్-షార్పిస్ట్ తన స్లీవ్ నుండి ట్రంప్‌ల ఏస్‌ను బయటకు తీస్తాడు మరియు ఒక సెట్ లేదా మల్టీసెట్ గురించి మాకు చెప్పడం ప్రారంభిస్తాడు. ఏది ఏమైనప్పటికీ, అతను సరైనది అని మనల్ని ఒప్పిస్తాడు.

ఆధునిక షమన్లు ​​సెట్ సిద్ధాంతంతో ఎలా పనిచేస్తారో అర్థం చేసుకోవడానికి, దానిని వాస్తవికతతో ముడిపెట్టి, ఒక ప్రశ్నకు సమాధానం ఇస్తే సరిపోతుంది: ఒక సెట్ యొక్క మూలకాలు మరొక సెట్ యొక్క మూలకాల నుండి ఎలా భిన్నంగా ఉంటాయి? "ఒకే మొత్తంగా ఊహించదగినది కాదు" లేదా "ఒకే మొత్తంగా ఊహించలేనిది" లేకుండా నేను మీకు చూపిస్తాను.

ఆదివారం, మార్చి 18, 2018

సంఖ్య యొక్క అంకెల మొత్తం టాంబురైన్‌తో షమన్ల నృత్యం, దీనికి గణితంతో సంబంధం లేదు. అవును, గణిత పాఠాలలో ఒక సంఖ్య యొక్క అంకెల మొత్తాన్ని కనుగొని దానిని ఉపయోగించడం నేర్పించాము, కానీ అందుకే వారు షమన్లు, వారి వారసులకు వారి నైపుణ్యాలు మరియు జ్ఞానం నేర్పడానికి, లేకుంటే షమన్లు ​​చనిపోతారు.

మీకు రుజువు కావాలా? వికీపీడియాను తెరిచి, "సంఖ్య యొక్క అంకెల మొత్తం" పేజీని కనుగొనడానికి ప్రయత్నించండి. ఆమె ఉనికిలో లేదు. ఏదైనా సంఖ్య యొక్క అంకెల మొత్తాన్ని కనుగొనడానికి గణితంలో సూత్రం లేదు. అన్నింటికంటే, సంఖ్యలు మేము సంఖ్యలను వ్రాసే గ్రాఫిక్ చిహ్నాలు, మరియు గణిత శాస్త్ర భాషలో ఈ పని ఇలా ఉంటుంది: "ఏదైనా సంఖ్యను సూచించే గ్రాఫిక్ చిహ్నాల మొత్తాన్ని కనుగొనండి." గణిత శాస్త్రవేత్తలు ఈ సమస్యను పరిష్కరించలేరు, కానీ షామన్లు ​​దీన్ని సులభంగా చేయగలరు.

ఇచ్చిన సంఖ్య యొక్క అంకెల మొత్తాన్ని కనుగొనడానికి మనం ఏమి మరియు ఎలా చేయాలో గుర్తించండి. కాబట్టి, మనము 12345 సంఖ్యను కలిగి ఉన్నాము. ఈ సంఖ్య యొక్క అంకెల మొత్తాన్ని కనుగొనడానికి ఏమి చేయాలి? అన్ని దశలను క్రమంలో చూద్దాం.

1. ఒక కాగితంపై సంఖ్యను వ్రాయండి. ఏం చేశాం? మేము సంఖ్యను గ్రాఫికల్ సంఖ్య చిహ్నంగా మార్చాము. ఇది గణిత ఆపరేషన్ కాదు.

2. మేము ఒక ఫలిత చిత్రాన్ని వ్యక్తిగత సంఖ్యలను కలిగి ఉన్న అనేక చిత్రాలలో కట్ చేస్తాము. చిత్రాన్ని కత్తిరించడం గణిత ప్రక్రియ కాదు.

3. వ్యక్తిగత గ్రాఫిక్ చిహ్నాలను సంఖ్యలుగా మార్చండి. ఇది గణిత ఆపరేషన్ కాదు.

4. ఫలిత సంఖ్యలను జోడించండి. ఇప్పుడు ఇది గణితం.

12345 సంఖ్య యొక్క అంకెల మొత్తం 15. ఇవి గణిత శాస్త్రజ్ఞులు ఉపయోగించే షమన్లు ​​బోధించే "కటింగ్ మరియు కుట్టు కోర్సులు". అయితే అంతే కాదు.

గణిత కోణం నుండి, మనం ఏ సంఖ్య వ్యవస్థలో సంఖ్యను వ్రాస్తామో అది పట్టింపు లేదు. కాబట్టి, వేర్వేరు సంఖ్య వ్యవస్థలలో ఒకే సంఖ్య యొక్క అంకెల మొత్తం భిన్నంగా ఉంటుంది. గణితంలో, సంఖ్య వ్యవస్థ సంఖ్యకు కుడివైపున సబ్‌స్క్రిప్ట్‌గా సూచించబడుతుంది. పెద్ద సంఖ్య 12345 తో, నేను నా తలని మోసం చేయకూడదనుకుంటున్నాను, గురించి కథనం నుండి 26 సంఖ్యను పరిశీలిద్దాం. ఈ సంఖ్యను బైనరీ, ఆక్టల్, డెసిమల్ మరియు హెక్సాడెసిమల్ నంబర్ సిస్టమ్‌లలో వ్రాద్దాం. మేము మైక్రోస్కోప్ క్రింద ప్రతి అడుగును చూడము; ఫలితాన్ని చూద్దాం.

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, వేర్వేరు సంఖ్య వ్యవస్థలలో ఒకే సంఖ్య యొక్క అంకెల మొత్తం భిన్నంగా ఉంటుంది. ఈ ఫలితానికి గణితానికి సంబంధం లేదు. మీరు ఒక దీర్ఘచతురస్రం యొక్క వైశాల్యాన్ని మీటర్లు మరియు సెంటీమీటర్లలో నిర్ణయించినట్లయితే, మీరు పూర్తిగా భిన్నమైన ఫలితాలను పొందుతారు.

సున్నా అన్ని నంబర్ సిస్టమ్‌లలో ఒకేలా కనిపిస్తుంది మరియు అంకెల మొత్తం ఉండదు. ఈ వాస్తవం అనుకూలంగా మరొక వాదన. గణిత శాస్త్రజ్ఞులకు ప్రశ్న: గణితంలో సంఖ్య కానిది ఎలా సూచించబడుతుంది? ఏమిటి, గణిత శాస్త్రజ్ఞులకు సంఖ్యలు తప్ప మరేమీ లేదు? నేను దీనిని షమన్ల కోసం అనుమతించగలను, కానీ శాస్త్రవేత్తల కోసం కాదు. వాస్తవికత కేవలం సంఖ్యలకు సంబంధించినది కాదు.

పొందిన ఫలితం సంఖ్య వ్యవస్థలు సంఖ్యల కొలత యూనిట్లు అని రుజువుగా పరిగణించాలి. అన్నింటికంటే, మేము సంఖ్యలను వేర్వేరు యూనిట్ల కొలతలతో పోల్చలేము. ఒకే పరిమాణంలోని వివిధ యూనిట్ల కొలతలతో ఒకే చర్యలు వాటిని పోల్చిన తర్వాత వేర్వేరు ఫలితాలకు దారితీస్తే, దీనికి గణితంతో సంబంధం లేదు.

అసలు గణితం అంటే ఏమిటి? గణిత ఆపరేషన్ ఫలితం సంఖ్య యొక్క పరిమాణం, ఉపయోగించిన కొలత యూనిట్ మరియు ఈ చర్యను ఎవరు నిర్వహిస్తారనే దానిపై ఆధారపడి ఉండదు.

తలుపు మీద సంతకం చేయండి అతను తలుపు తెరిచి ఇలా అంటాడు:

ఓ! ఇది మహిళల విశ్రాంతి గది కాదా?
- యువతి! ఇది స్వర్గానికి వెళ్లే సమయంలో ఆత్మల యొక్క నిర్వికారమైన పవిత్రతను అధ్యయనం చేయడానికి ఒక ప్రయోగశాల! పైన హాలో మరియు పైకి బాణం. ఏ ఇతర టాయిలెట్?

స్త్రీ... పైన ఉన్న హాలో మరియు క్రింది బాణం మగ.

అలాంటి డిజైన్ ఆర్ట్ పని రోజుకు చాలాసార్లు మీ కళ్ళ ముందు మెరుస్తూ ఉంటే,

అప్పుడు మీరు మీ కారులో అకస్మాత్తుగా వింత చిహ్నాన్ని కనుగొనడంలో ఆశ్చర్యం లేదు:

వ్యక్తిగతంగా, నేను ఒక పూపింగ్ వ్యక్తిలో మైనస్ నాలుగు డిగ్రీలను చూడడానికి ప్రయత్నిస్తాను (ఒక చిత్రం) (అనేక చిత్రాల కూర్పు: మైనస్ గుర్తు, సంఖ్య నాలుగు, డిగ్రీ హోదా). మరియు ఈ అమ్మాయి భౌతికశాస్త్రం తెలియని మూర్ఖురాలు అని నేను అనుకోను. ఆమె కేవలం గ్రాఫిక్ చిత్రాలను గ్రహించే బలమైన మూసను కలిగి ఉంది. మరియు గణిత శాస్త్రజ్ఞులు దీనిని మనకు ఎప్పటికప్పుడు బోధిస్తారు. ఇక్కడ ఒక ఉదాహరణ.

1A అనేది “మైనస్ నాలుగు డిగ్రీలు” లేదా “ఒకటి a” కాదు. ఇది హెక్సాడెసిమల్ సంజ్ఞామానంలో "పూపింగ్ మ్యాన్" లేదా "ఇరవై ఆరు" సంఖ్య. ఈ నంబర్ సిస్టమ్‌లో నిరంతరం పనిచేసే వ్యక్తులు స్వయంచాలకంగా ఒక సంఖ్య మరియు అక్షరాన్ని ఒక గ్రాఫిక్ చిహ్నంగా గ్రహిస్తారు.