సంఖ్యల పోలిక. సమగ్ర గైడ్ (2019)
సమీకరణాలు మరియు అసమానతలు, అలాగే మాడ్యూల్స్‌తో సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు, మీరు కనుగొన్న మూలాలను సంఖ్య లైన్‌లో ఉంచాలి. మీకు తెలిసినట్లుగా, కనుగొనబడిన మూలాలు భిన్నంగా ఉండవచ్చు. అవి ఇలా ఉండవచ్చు: , లేదా అవి ఇలా ఉండవచ్చు: , .
దీని ప్రకారం, సంఖ్యలు హేతుబద్ధమైనవి కాకపోయినా అహేతుకమైనవి (మీరు అవి ఏమిటో మర్చిపోయినట్లయితే, టాపిక్‌లో చూడండి) లేదా సంక్లిష్టంగా ఉంటే గణిత వ్యక్తీకరణలు, తర్వాత వాటిని నంబర్ లైన్‌లో ఉంచడం చాలా సమస్యాత్మకం. అంతేకాకుండా, మీరు పరీక్ష సమయంలో కాలిక్యులేటర్‌లను ఉపయోగించలేరు మరియు ఉజ్జాయింపు లెక్కలు ఒక సంఖ్య మరొకదాని కంటే తక్కువగా ఉందని 100% హామీలను అందించవు (పోలుస్తున్న సంఖ్యల మధ్య వ్యత్యాసం ఉంటే ఏమి చేయాలి?).
వాస్తవానికి, ప్రతికూల సంఖ్యల కంటే సానుకూల సంఖ్యలు ఎల్లప్పుడూ ఎక్కువగా ఉంటాయని మీకు తెలుసు మరియు మనం ఒక సంఖ్య అక్షాన్ని ఊహించినట్లయితే, పోల్చినప్పుడు, అతిపెద్ద సంఖ్యలుచిన్న వాటి కంటే కుడి వైపున ఉంటుంది: ; ; మొదలైనవి
కానీ ప్రతిదీ ఎల్లప్పుడూ చాలా సులభం? సంఖ్యా రేఖపై మనం ఎక్కడ గుర్తించాము, .
వాటిని ఎలా పోల్చవచ్చు, ఉదాహరణకు, సంఖ్యతో? ఇది రుద్దు...)
మొదట, లోపలికి మాట్లాడుకుందాం సాధారణ రూపురేఖలుఎలా మరియు ఏమి పోల్చాలి.
ముఖ్యమైనది: అసమానత గుర్తు మారని విధంగా పరివర్తనలు చేయడం మంచిది!అంటే, పరివర్తన సమయంలో అది గుణించడం అవాంఛనీయమైనది ప్రతికూల సంఖ్య, మరియు అది నిషేధించబడిందిభాగాలలో ఒకటి ప్రతికూలంగా ఉంటే చతురస్రం.
భిన్నాల పోలిక
కాబట్టి, మేము రెండు భిన్నాలను పోల్చాలి: మరియు.
దీన్ని ఎలా చేయాలో అనేక ఎంపికలు ఉన్నాయి.
ఎంపిక 1. భిన్నాలను సాధారణ హారంకు తగ్గించండి.
దీన్ని సాధారణ భిన్నం రూపంలో వ్రాస్దాం:
- (మీరు చూడగలిగినట్లుగా, నేను న్యూమరేటర్ మరియు హారం కూడా తగ్గించాను).
ఇప్పుడు మనం భిన్నాలను పోల్చాలి:
ఇప్పుడు మనం రెండు విధాలుగా పోల్చడం కొనసాగించవచ్చు. మనం చేయగలము:
- కేవలం ప్రతిదీ తీసుకుని సాధారణ హారం, రెండు భిన్నాలను సరికానివిగా చూపడం (సంఖ్య హారం కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది):
ఏ సంఖ్య ఎక్కువ? అది నిజం, పెద్ద న్యూమరేటర్ ఉన్నది, అంటే మొదటిది.
- “విస్మరిద్దాం” (మనం ప్రతి భిన్నం నుండి ఒకదానిని తీసివేసినట్లు పరిగణించండి మరియు భిన్నాల నిష్పత్తి ఒకదానికొకటి తదనుగుణంగా మారలేదు) మరియు భిన్నాలను సరిపోల్చండి:
మేము వాటిని ఒక సాధారణ హారంకి కూడా తీసుకువస్తాము:
మునుపటి సందర్భంలో మాదిరిగానే మేము అదే ఫలితాన్ని పొందాము - మొదటి సంఖ్య రెండవదాని కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది:
మనం ఒకదాన్ని సరిగ్గా తీసివేసామా లేదా అని కూడా తనిఖీ చేద్దాం? మొదటి గణన మరియు రెండవ గణనలో లవంలోని వ్యత్యాసాన్ని గణిద్దాం:
1)
2)
కాబట్టి, భిన్నాలను ఎలా పోల్చాలో మేము చూశాము, వాటిని ఒక సాధారణ హారంకి తీసుకువస్తుంది. వేరొక పద్ధతికి వెళ్దాం - భిన్నాలను పోల్చడం, వాటిని ఒక సాధారణ... న్యూమరేటర్‌కి తీసుకురావడం.
ఎంపిక 2. సాధారణ సంఖ్యకు తగ్గించడం ద్వారా భిన్నాలను పోల్చడం.
అవును అవును. ఇది అక్షర దోషం కాదు. ఈ పద్ధతి పాఠశాలలో ఎవరికైనా చాలా అరుదుగా బోధించబడుతుంది, కానీ చాలా తరచుగా ఇది చాలా సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది. మీరు దాని సారాంశాన్ని త్వరగా అర్థం చేసుకోవడానికి, నేను మిమ్మల్ని ఒకే ఒక ప్రశ్న అడుగుతాను - “ఏ సందర్భాలలో భిన్నం యొక్క విలువ గొప్పది?” అయితే, మీరు "ల్యూమరేటర్ వీలైనంత పెద్దగా మరియు హారం వీలైనంత చిన్నగా ఉన్నప్పుడు" అని చెబుతారు.
ఉదాహరణకు, ఇది నిజమని మీరు ఖచ్చితంగా చెప్పగలరా? మనం ఈ క్రింది భిన్నాలను పోల్చవలసి వస్తే ఏమి చేయాలి: ? మీరు వెంటనే గుర్తును కూడా సరిగ్గా ఉంచుతారని నేను అనుకుంటున్నాను, ఎందుకంటే మొదటి సందర్భంలో అవి భాగాలుగా విభజించబడ్డాయి మరియు రెండవది మొత్తంగా విభజించబడ్డాయి, అంటే రెండవ సందర్భంలో ముక్కలు చాలా చిన్నవిగా మారతాయి మరియు తదనుగుణంగా: . మీరు చూడగలిగినట్లుగా, ఇక్కడ హారం భిన్నంగా ఉంటుంది, కానీ న్యూమరేటర్లు ఒకే విధంగా ఉంటాయి. అయితే, ఈ రెండు భిన్నాలను పోల్చడానికి, మీరు సాధారణ హారం కోసం చూడవలసిన అవసరం లేదు. అయినప్పటికీ... దాన్ని కనుగొని, పోలిక గుర్తు ఇంకా తప్పుగా ఉందా?
కానీ సంకేతం ఒకటే.
మన అసలు పనికి తిరిగి వెళ్దాం - సరిపోల్చండి మరియు... మేము పోల్చి చూస్తాము మరియు ... మేము ఈ భిన్నాలను సాధారణ హారంగా కాకుండా, సాధారణ సంఖ్యకు కుదిద్దాం. దీన్ని కేవలం చేయడానికి న్యూమరేటర్ మరియు హారంమొదటి భిన్నాన్ని గుణించండి. మాకు దొరికింది:
మరియు. ఏ భిన్నం పెద్దది? అది నిజం, మొదటిది.
ఎంపిక 3: వ్యవకలనం ఉపయోగించి భిన్నాలను పోల్చడం.
వ్యవకలనం ఉపయోగించి భిన్నాలను ఎలా పోల్చాలి? అవును, చాలా సులభం. మేము ఒక భిన్నం నుండి మరొకదాన్ని తీసివేస్తాము. ఫలితం సానుకూలంగా ఉంటే, మొదటి భిన్నం (minuend) రెండవ (సబ్‌ట్రాహెండ్) కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది మరియు ప్రతికూలంగా ఉంటే, అప్పుడు దీనికి విరుద్ధంగా ఉంటుంది.
మా సందర్భంలో, రెండవ నుండి మొదటి భిన్నాన్ని తీసివేయడానికి ప్రయత్నిద్దాం: .
మీరు ఇప్పటికే అర్థం చేసుకున్నట్లుగా, మేము కూడా సాధారణ భిన్నానికి మారుస్తాము మరియు అదే ఫలితాన్ని పొందుతాము - . మా వ్యక్తీకరణ రూపాన్ని తీసుకుంటుంది:
తరువాత, మేము ఇప్పటికీ సాధారణ హారంకు తగ్గింపును ఆశ్రయించవలసి ఉంటుంది. ప్రశ్న: మొదటి మార్గంలో, భిన్నాలను సరికాని వాటిగా మార్చడం లేదా రెండవ మార్గంలో, యూనిట్‌ను "తొలగించడం" లాగా? మార్గం ద్వారా, ఈ చర్య పూర్తిగా గణిత సమర్థనను కలిగి ఉంది. చూడండి:
నేను రెండవ ఎంపికను మెరుగ్గా ఇష్టపడుతున్నాను, ఎందుకంటే సాధారణ హారంకు తగ్గించబడినప్పుడు గుణకంలో గుణించడం చాలా సులభం అవుతుంది.
దీన్ని ఒక సాధారణ హారంలోకి తీసుకువద్దాం:
ఇక్కడ ప్రధాన విషయం ఏమిటంటే, మనం ఏ సంఖ్య నుండి మరియు ఎక్కడ నుండి తీసివేసాము అనే దాని గురించి గందరగోళం చెందకూడదు. పరిష్కారం యొక్క పురోగతిని జాగ్రత్తగా చూడండి మరియు అనుకోకుండా సంకేతాలను కంగారు పెట్టవద్దు. రెండవ సంఖ్య నుండి మొదటి సంఖ్యను తీసివేసి, ప్రతికూల సమాధానం వచ్చింది, కాబట్టి?.. అది సరే, మొదటి సంఖ్య రెండవ సంఖ్య కంటే ఎక్కువ.
దొరికింది? భిన్నాలను పోల్చడానికి ప్రయత్నించండి:
ఆపు, ఆపు. సాధారణ హారం తీసుకురావడానికి లేదా తీసివేయడానికి తొందరపడకండి. చూడండి: మీరు దీన్ని సులభంగా దశాంశ భిన్నానికి మార్చవచ్చు. ఎంతకాలం ఉంటుంది? కుడి. చివరికి ఇంకేముంది?
ఇది మరొక ఎంపిక - దశాంశానికి మార్చడం ద్వారా భిన్నాలను పోల్చడం.
ఎంపిక 4: విభజనను ఉపయోగించి భిన్నాలను పోల్చడం.
అవును అవును. మరియు ఇది కూడా సాధ్యమే. తర్కం సులభం: మేము విభజించినప్పుడు పెద్ద సంఖ్యతక్కువ కోసం, మనకు వచ్చే సమాధానం సంఖ్య ఒకటి కంటే ఎక్కువ, మరియు మేము విభజించినట్లయితే చిన్న సంఖ్యమరింత కోసం, అప్పుడు సమాధానం నుండి విరామంపై వస్తుంది.
ఈ నియమాన్ని గుర్తుంచుకోవడానికి, ఏదైనా రెండింటిని సరిపోల్చండి ప్రధాన సంఖ్యలు, ఉదాహరణకు, మరియు. ఇంతకంటే ఏముందో తెలుసా? ఇప్పుడు విభజన చేద్దాం. మా సమాధానం. దీని ప్రకారం, సిద్ధాంతం సరైనది. మనం విభజించినట్లయితే, మనకు లభించేది ఒకటి కంటే తక్కువగా ఉంటుంది, ఇది వాస్తవానికి తక్కువగా ఉందని నిర్ధారిస్తుంది.
ఈ నియమాన్ని వర్తింపజేయడానికి ప్రయత్నిద్దాం సాధారణ భిన్నాలు. పోల్చి చూద్దాం:
మొదటి భిన్నాన్ని రెండవ దానితో భాగించండి:
బై అండ్ బై షార్ట్ చేద్దాం.
పొందిన ఫలితం తక్కువ, అంటే డివిడెండ్ డివైజర్ కంటే తక్కువ, అంటే:
మేము ప్రతిదీ క్రమబద్ధీకరించాము సాధ్యం ఎంపికలుభిన్నాలను పోల్చడం. మీరు వాటిని ఎలా చూస్తారు 5:
- సాధారణ హారంకు తగ్గింపు;
- సాధారణ సంఖ్యకు తగ్గింపు;
- దశాంశ భిన్నం రూపానికి తగ్గింపు;
- వ్యవకలనం;
- విభజన.
శిక్షణ ఇవ్వడానికి సిద్ధంగా ఉన్నారా? భిన్నాలను సరైన మార్గంలో సరిపోల్చండి:
సమాధానాలను పోల్చి చూద్దాం:
- (- దశాంశానికి మార్చండి)
- (ఒక భిన్నాన్ని మరొకదానితో విభజించి, న్యూమరేటర్ మరియు హారం ద్వారా తగ్గించండి)
- (మొత్తం భాగాన్ని ఎంచుకుని, అదే న్యూమరేటర్ సూత్రం ఆధారంగా భిన్నాలను సరిపోల్చండి)
- (ఒక భిన్నాన్ని మరొకదానితో విభజించి, న్యూమరేటర్ మరియు హారం ద్వారా తగ్గించండి).
2. డిగ్రీల పోలిక
ఇప్పుడు మనం కేవలం సంఖ్యలను మాత్రమే కాకుండా, డిగ్రీ () ఉన్న వ్యక్తీకరణలను సరిపోల్చాల్సిన అవసరం ఉందని ఊహించండి.
వాస్తవానికి, మీరు సులభంగా ఒక చిహ్నాన్ని ఉంచవచ్చు:
అన్నింటికంటే, మేము డిగ్రీని గుణకారంతో భర్తీ చేస్తే, మనకు లభిస్తుంది:
ఈ చిన్న మరియు ప్రాచీన ఉదాహరణ నుండి నియమం క్రింది విధంగా ఉంది:
ఇప్పుడు కింది వాటిని పోల్చడానికి ప్రయత్నించండి: . మీరు సులభంగా గుర్తును కూడా ఉంచవచ్చు:
ఎందుకంటే మనం ఘాతాంకాన్ని గుణకారంతో భర్తీ చేస్తే...
సాధారణంగా, మీరు ప్రతిదీ అర్థం చేసుకుంటారు మరియు ఇది అస్సలు కష్టం కాదు.
పోల్చినప్పుడు, డిగ్రీలు వేర్వేరు స్థావరాలు మరియు సూచికలను కలిగి ఉన్నప్పుడు మాత్రమే ఇబ్బందులు తలెత్తుతాయి. ఈ సందర్భంలో, మీరు దారి తీయడానికి ప్రయత్నించాలి సాధారణ మైదానం. ఉదాహరణకి:
వాస్తవానికి, ఇది తదనుగుణంగా, వ్యక్తీకరణ రూపాన్ని తీసుకుంటుందని మీకు తెలుసు:
బ్రాకెట్లను తెరిచి, మనకు లభించే వాటిని సరిపోల్చండి:
కొన్ని ఒక ప్రత్యేక సందర్భం, డిగ్రీ () యొక్క ఆధారం ఒకటి కంటే తక్కువగా ఉన్నప్పుడు.
ఒకవేళ, రెండు డిగ్రీలు మరియు అంతకంటే ఎక్కువ ఉంటే, దాని సూచిక తక్కువగా ఉంటుంది.
ఈ నియమాన్ని నిరూపించడానికి ప్రయత్నిద్దాం. ఉండని.
మరియు మధ్య వ్యత్యాసంగా కొన్ని సహజ సంఖ్యలను పరిచయం చేద్దాం.
లాజికల్, కాదా?
మరియు ఇప్పుడు మనం మరోసారి పరిస్థితికి శ్రద్ధ చూపుదాం - .
వరుసగా: . అందుకే, .
ఉదాహరణకి:
మీరు అర్థం చేసుకున్నట్లుగా, డిగ్రీల బేస్‌లు సమానంగా ఉన్నప్పుడు మేము కేసును పరిగణించాము. ఇప్పుడు బేస్ నుండి వరకు విరామంలో ఉన్నప్పుడు చూద్దాం, కానీ ఘాతాంకాలు సమానంగా ఉంటాయి. ఇక్కడ ప్రతిదీ చాలా సులభం.
ఉదాహరణను ఉపయోగించి దీన్ని ఎలా పోల్చాలో గుర్తుంచుకోండి:
వాస్తవానికి, మీరు గణితాన్ని త్వరగా చేసారు:
అందువల్ల, మీరు పోలిక కోసం ఇలాంటి సమస్యలను ఎదుర్కొన్నప్పుడు, మీరు త్వరగా లెక్కించగల కొన్ని సాధారణ సారూప్య ఉదాహరణలను గుర్తుంచుకోండి మరియు ఈ ఉదాహరణ ఆధారంగా, మరింత సంక్లిష్టమైన వాటిలో సంకేతాలను ఉంచండి.
పరివర్తనలు చేస్తున్నప్పుడు, మీరు గుణిస్తే, జోడిస్తే, తీసివేస్తే లేదా విభజించినట్లయితే, అన్ని చర్యలు ఎడమ మరియు కుడి వైపులా చేయాలి (మీరు గుణిస్తే, మీరు రెండింటినీ గుణించాలి).
అదనంగా, ఏదైనా అవకతవకలు చేయడం లాభదాయకం కానప్పుడు కేసులు ఉన్నాయి. ఉదాహరణకు, మీరు సరిపోల్చాలి. IN ఈ విషయంలో, శక్తిని పెంచడం అంత కష్టం కాదు మరియు దీని ఆధారంగా గుర్తును ఏర్పాటు చేయండి:
సాధన చేద్దాం. డిగ్రీలను సరిపోల్చండి:
సమాధానాలను పోల్చడానికి సిద్ధంగా ఉన్నారా? నాకు లభించినవి ఇక్కడ ఉన్నాయి:
- - అదే
- - అదే
- - అదే
- - అదే
3. సంఖ్యలను మూలాలతో పోల్చడం
మొదట, మూలాలు ఏమిటో గుర్తుంచుకోండి? ఈ రికార్డింగ్ మీకు గుర్తుందా?
వాస్తవ సంఖ్య యొక్క శక్తి యొక్క మూలం సమానత్వం కలిగి ఉన్న సంఖ్య.
మూలాలుప్రతికూల మరియు బేసి డిగ్రీలు ఉన్నాయి సానుకూల సంఖ్యలు, ఎ మూలాలు కూడా- అనుకూలమైన వాటికి మాత్రమే.
మూలం యొక్క విలువ తరచుగా అనంతంగా ఉంటుంది దశాంశ, ఇది ఖచ్చితంగా గణించడం కష్టతరం చేస్తుంది, కాబట్టి మూలాలను పోల్చడం చాలా ముఖ్యం.
మీరు అది ఏమిటో మరియు దానితో ఏమి తింటారో మీరు మరచిపోయినట్లయితే - . మీరు ప్రతిదీ గుర్తుంచుకుంటే, మూలాలను దశలవారీగా పోల్చడం నేర్చుకుందాం.
మనం పోల్చాలి అని చెప్పండి:
ఈ రెండు మూలాలను పోల్చడానికి, మీరు ఎటువంటి గణనలను చేయవలసిన అవసరం లేదు, కేవలం "రూట్" అనే భావనను విశ్లేషించండి. నేను ఏమి మాట్లాడుతున్నానో మీకు అర్థమైందా? అవును, దీని గురించి: లేకుంటే అది రాడికల్ వ్యక్తీకరణకు సమానమైన కొంత సంఖ్య యొక్క మూడవ శక్తిగా వ్రాయవచ్చు.
ఇంకేముంది? లేదా? వాస్తవానికి, మీరు దీన్ని ఏ కష్టం లేకుండా పోల్చవచ్చు. మనం ఎంత పెద్ద సంఖ్యను శక్తికి పెంచితే, విలువ అంత ఎక్కువగా ఉంటుంది.
కాబట్టి. ఒక నియమాన్ని రూపొందిద్దాం.
మూలాల యొక్క ఘాతాంకాలు ఒకే విధంగా ఉంటే (మా విషయంలో ఇది), అప్పుడు రాడికల్ వ్యక్తీకరణలను (మరియు) పోల్చడం అవసరం - పెద్ద రాడికల్ సంఖ్య, ది మరింత విలువసమాన రేట్లు వద్ద మూలాలు.
గుర్తుంచుకోవడం కష్టమా? అప్పుడు మీ తలపై ఒక ఉదాహరణ ఉంచండి మరియు... అంతకుమించి?
మూలం చతురస్రంగా ఉన్నందున మూలాల ఘాతాంకాలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి. ఒక సంఖ్య () యొక్క రాడికల్ వ్యక్తీకరణ మరొక () కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది, అంటే నియమం నిజంగా నిజం.
రాడికల్ వ్యక్తీకరణలు ఒకేలా ఉంటే, కానీ మూలాల డిగ్రీలు భిన్నంగా ఉంటే? ఉదాహరణకి: .
రూట్‌ను సంగ్రహిస్తున్నప్పుడు కూడా ఇది చాలా స్పష్టంగా ఉంది ఎక్కువ మేరకుమీరు చిన్న సంఖ్యను పొందుతారు. ఉదాహరణకు తీసుకుందాం:
మొదటి మూలం యొక్క విలువను ఇలా, మరియు రెండవది - ఇలా, అప్పుడు:
ఈ సమీకరణాలలో తప్పనిసరిగా మరిన్ని ఉండాలని మీరు సులభంగా చూడవచ్చు, కాబట్టి:
రాడికల్ ఎక్స్‌ప్రెషన్స్ ఒకేలా ఉంటే(మా విషయంలో), మరియు మూలాల ఘాతాంకాలు భిన్నంగా ఉంటాయి(మా విషయంలో ఇది మరియు) అప్పుడు ఘాతాంకాలను పోల్చడం అవసరం(మరియు) - సూచిక ఎక్కువ, తక్కువ ఈ వ్యక్తీకరణ .
కింది మూలాలను సరిపోల్చడానికి ప్రయత్నించండి:
ఫలితాలను పోల్చి చూద్దాం?
మేము దీన్ని విజయవంతంగా క్రమబద్ధీకరించాము :). మరొక ప్రశ్న తలెత్తుతుంది: మనమందరం భిన్నంగా ఉంటే? డిగ్రీ మరియు రాడికల్ వ్యక్తీకరణ రెండూ? ప్రతిదీ చాలా క్లిష్టంగా లేదు, మేము కేవలం అవసరం ... రూట్ యొక్క "తొలగించు". అవును అవును. దాన్ని వదిలించుకోండి)
మనకు వేర్వేరు డిగ్రీలు మరియు రాడికల్ ఎక్స్‌ప్రెషన్‌లు ఉంటే, మూలాల ఘాతాంకాల కోసం మనం అతి తక్కువ సాధారణ మల్టిపుల్‌ని (విభాగాన్ని చదవండి) కనుగొనాలి మరియు రెండు వ్యక్తీకరణలను అతి తక్కువ సాధారణ గుణకారానికి సమానమైన శక్తికి పెంచాలి.
మనమందరం మాటలలో మరియు మాటలలో ఉన్నాము. ఇక్కడ ఒక ఉదాహరణ:
- మేము మూలాల సూచికలను పరిశీలిస్తాము - మరియు. వారి అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం .
- రెండు వ్యక్తీకరణలను శక్తికి పెంచుదాం:
- వ్యక్తీకరణను మార్చండి మరియు బ్రాకెట్లను తెరవండి (అధ్యాయంలో మరిన్ని వివరాలు):
- మనం ఏమి చేశామో లెక్కించి, గుర్తు పెట్టండి:
4. లాగరిథమ్‌ల పోలిక
కాబట్టి, నెమ్మదిగా కానీ ఖచ్చితంగా, లాగరిథమ్‌లను ఎలా పోల్చాలి అనే ప్రశ్నకు మేము వచ్చాము. ఇది ఏ రకమైన జంతువు అని మీకు గుర్తులేకపోతే, మొదట విభాగం నుండి సిద్ధాంతాన్ని చదవమని నేను మీకు సలహా ఇస్తున్నాను. మీరు చదివారా? ఆపై కొన్ని ముఖ్యమైన ప్రశ్నలకు సమాధానం ఇవ్వండి:
- సంవర్గమానం యొక్క వాదన ఏమిటి మరియు దాని ఆధారం ఏమిటి?
- ఫంక్షన్ పెరుగుతుందా లేదా తగ్గుతుందా అని ఏది నిర్ణయిస్తుంది?
మీరు ప్రతిదీ గుర్తుంచుకొని మరియు దానిని సంపూర్ణంగా ప్రావీణ్యం పొందినట్లయితే, ప్రారంభించండి!
లాగరిథమ్‌లను ఒకదానితో ఒకటి పోల్చడానికి, మీరు 3 పద్ధతులను మాత్రమే తెలుసుకోవాలి:
- అదే ప్రాతిపదికన తగ్గింపు;
- అదే వాదనకు తగ్గింపు;
- మూడవ సంఖ్యతో పోలిక.
ప్రారంభంలో, లాగరిథమ్ యొక్క స్థావరానికి శ్రద్ద. అది తక్కువగా ఉంటే, అప్పుడు ఫంక్షన్ తగ్గుతుంది మరియు ఎక్కువ ఉంటే, అది పెరుగుతుంది అని మీకు గుర్తుందా. దీని ఆధారంగానే మా తీర్పులు ఉంటాయి.
ఇప్పటికే అదే బేస్ లేదా ఆర్గ్యుమెంట్‌కి తగ్గించబడిన లాగరిథమ్‌ల పోలికను పరిశీలిద్దాం.
ప్రారంభించడానికి, సమస్యను సరళీకృతం చేద్దాం: పోల్చబడిన సంవర్గమానాలను తెలియజేయండి సమాన మైదానాలు . అప్పుడు:
- ఫంక్షన్, కోసం, నుండి విరామంలో పెరుగుతుంది, అంటే, నిర్వచనం ప్రకారం, అప్పుడు ("ప్రత్యక్ష పోలిక").
- ఉదాహరణ:- ఆధారాలు ఒకే విధంగా ఉన్నాయి, మేము తదనుగుణంగా వాదనలను పోల్చాము: , కాబట్టి:
- ఫంక్షన్, వద్ద, నుండి విరామంలో తగ్గుతుంది, అంటే, నిర్వచనం ప్రకారం, ఆపై ("రివర్స్ పోలిక"). - స్థావరాలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి, మేము తదనుగుణంగా ఆర్గ్యుమెంట్‌లను సరిపోల్చాము: అయినప్పటికీ, సంవర్గమానాల సంకేతం “రివర్స్” అవుతుంది, ఎందుకంటే ఫంక్షన్ తగ్గుతోంది: .
ఇప్పుడు కారణాలు భిన్నంగా ఉన్న సందర్భాలను పరిగణించండి, కానీ వాదనలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి.
- పునాది పెద్దది.
- . ఈ సందర్భంలో మేము "రివర్స్ పోలిక" ఉపయోగిస్తాము. ఉదాహరణకు: - వాదనలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి మరియు. బేస్‌లను పోల్చి చూద్దాం: అయితే, లాగరిథమ్‌ల సంకేతం "రివర్స్" అవుతుంది:
- బేస్ a ఖాళీలో ఉంది.
- . ఈ సందర్భంలో మేము "ప్రత్యక్ష పోలిక" ఉపయోగిస్తాము. ఉదాహరణకి:
- . ఈ సందర్భంలో మేము "రివర్స్ పోలిక" ఉపయోగిస్తాము. ఉదాహరణకి:
అన్నింటినీ సాధారణ పట్టిక రూపంలో వ్రాస్దాం:
| , ఇందులో | , ఇందులో | |
తదనుగుణంగా, మీరు ఇప్పటికే అర్థం చేసుకున్నట్లుగా, లాగరిథమ్‌లను పోల్చినప్పుడు, మేము అదే బేస్ లేదా ఆర్గ్యుమెంట్‌కి దారి తీయాలి.ఒక బేస్ నుండి మరొక బేస్‌కు వెళ్లడానికి ఫార్ములా ఉపయోగించి మేము అదే బేస్‌కు చేరుకుంటాము.
మీరు లాగరిథమ్‌లను మూడవ సంఖ్యతో పోల్చవచ్చు మరియు దీని ఆధారంగా, ఏది తక్కువ మరియు ఏది ఎక్కువ అనే దాని గురించి ఒక తీర్మానాన్ని రూపొందించండి. ఉదాహరణకు, ఈ రెండు లాగరిథమ్‌లను ఎలా పోల్చాలో ఆలోచించండి?
ఒక చిన్న సూచన - పోలిక కోసం, సంవర్గమానం మీకు చాలా సహాయం చేస్తుంది, దీని వాదన సమానంగా ఉంటుంది.
ఆలోచన? కలిసి నిర్ణయం తీసుకుందాం.
మేము ఈ రెండు లాగరిథమ్‌లను మీతో సులభంగా పోల్చవచ్చు:
ఎలాగో తెలియదా? పైన చుడండి. మేము దీన్ని ఇప్పుడే క్రమబద్ధీకరించాము. ఏ సంకేతం ఉంటుంది? కుడి:
అంగీకరిస్తున్నారు?
ఒకదానితో ఒకటి పోల్చి చూద్దాం:
మీరు ఈ క్రింది వాటిని పొందాలి:
ఇప్పుడు మా అన్ని తీర్మానాలను ఒకటిగా కలపండి. జరిగిందా?
5. త్రికోణమితి వ్యక్తీకరణల పోలిక.
సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్, కోటాంజెంట్ అంటే ఏమిటి? యూనిట్ సర్కిల్ దేనికి మరియు దానిపై విలువను ఎలా కనుగొనాలి త్రికోణమితి విధులు? ఈ ప్రశ్నలకు సమాధానాలు మీకు తెలియకపోతే, మీరు ఈ అంశంపై సిద్ధాంతాన్ని చదవాలని నేను బాగా సిఫార్సు చేస్తున్నాను. మరియు మీకు తెలిస్తే, త్రికోణమితి వ్యక్తీకరణలను ఒకదానితో ఒకటి పోల్చడం మీకు కష్టం కాదు!
మన జ్ఞాపకశక్తిని కొద్దిగా రిఫ్రెష్ చేద్దాం. యూనిట్ త్రికోణమితి వృత్తాన్ని మరియు దానిలో చెక్కబడిన త్రిభుజాన్ని గీద్దాం. మీరు నిర్వహించారా? ఇప్పుడు త్రిభుజం యొక్క భుజాలను ఉపయోగించి మనం కొసైన్‌ను ఏ వైపు మరియు ఏ వైపు సైన్‌ను ప్లాట్ చేస్తాము. (మీరు, వాస్తవానికి, సైన్ నిష్పత్తి అని గుర్తుంచుకోండి ఎదురుగాహైపోటెన్యూస్, మరియు ప్రక్కనే ఉన్న కొసైన్?). మీరు దానిని గీసారా? గొప్ప! అంతిమ స్పర్శ ఏమిటంటే, మనకు అది ఎక్కడ ఉంటుంది, ఎక్కడ మరియు మొదలైనవి. కింద పెట్టావా? ఫ్యూ) మీకు మరియు నాకు ఏమి జరిగిందో పోల్చి చూద్దాం.
అయ్యో! ఇప్పుడు పోలికను ప్రారంభిద్దాం!
మనం పోల్చి చూడాల్సిన అవసరం ఉందని చెప్పండి మరియు. ఫ్రేమ్‌లలోని సూచనలను ఉపయోగించి ఈ కోణాలను గీయండి (మనం ఎక్కడ గుర్తించాము), పాయింట్లను ఉంచడం యూనిట్ సర్కిల్. మీరు నిర్వహించారా? ఇక్కడ నేను పొందాను.
ఇప్పుడు మనం సర్కిల్‌పై గుర్తించిన పాయింట్ల నుండి అక్షం మీదకు లంబంగా వదలండి... ఏది? ఏ అక్షం సైన్స్ విలువను చూపుతుంది? కుడి, . మీరు పొందవలసినది ఇదే:
ఈ చిత్రాన్ని చూస్తే, ఏది పెద్దది: లేదా? వాస్తవానికి, పాయింట్ పాయింట్ పైన ఉన్నందున.
ఇదే విధంగా, మేము కొసైన్‌ల విలువను పోల్చాము. మేము అక్షానికి లంబంగా మాత్రమే తగ్గిస్తాము... అది నిజం, . దీని ప్రకారం, ఏ బిందువు కుడి వైపున ఉందో చూస్తాము (లేదా అంతకంటే ఎక్కువ, సైన్స్ విషయంలో), అప్పుడు విలువ ఎక్కువగా ఉంటుంది.
టాంజెంట్లను ఎలా పోల్చాలో మీకు ఇప్పటికే తెలిసి ఉండవచ్చు, సరియైనదా? టాంజెంట్ అంటే ఏమిటో మీరు తెలుసుకోవలసినది. కాబట్టి టాంజెంట్ అంటే ఏమిటి?) అది సరే, కొసైన్‌కి సైన్ నిష్పత్తి.
టాంజెంట్లను పోల్చడానికి, మేము మునుపటి సందర్భంలో మాదిరిగానే కోణాన్ని గీస్తాము. మనం పోల్చాలి అని చెప్పండి:
మీరు దానిని గీసారా? ఇప్పుడు మనం సైన్ విలువలను కూడా గుర్తించాము కోఆర్డినేట్ అక్షం. నీవు గమనించావా? ఇప్పుడు కోఆర్డినేట్ లైన్‌లో కొసైన్ విలువలను సూచించండి. జరిగిందా? పోల్చి చూద్దాం:
ఇప్పుడు మీరు వ్రాసిన వాటిని విశ్లేషించండి. - మేము పొడవైన విభాగంచిన్నగా విభజించండి. సమాధానం ఖచ్చితంగా ఒకటి కంటే ఎక్కువ విలువను కలిగి ఉంటుంది. సరియైనదా?
మరియు మేము చిన్నదాన్ని పెద్దదానితో విభజించినప్పుడు. సమాధానం సరిగ్గా ఒకటి కంటే తక్కువ ఉన్న సంఖ్యగా ఉంటుంది.
కాబట్టి అర్థం ఏమిటి త్రికోణమితి వ్యక్తీకరణమరింత?
కుడి:
మీరు ఇప్పుడు అర్థం చేసుకున్నట్లుగా, కోటాంజెంట్‌లను పోల్చడం అనేది అదే విషయం, రివర్స్‌లో మాత్రమే: కొసైన్ మరియు సైన్‌లను నిర్వచించే విభాగాలు ఒకదానితో ఒకటి ఎలా సంబంధం కలిగి ఉన్నాయో మేము పరిశీలిస్తాము.
కింది త్రికోణమితి వ్యక్తీకరణలను మీరే సరిపోల్చడానికి ప్రయత్నించండి:
ఉదాహరణలు.
సమాధానాలు.
సంఖ్యల పోలిక. సగటు స్థాయి.
ఏ సంఖ్య ఎక్కువ: లేదా? సమాధానం స్పష్టంగా ఉంది. మరియు ఇప్పుడు: లేదా? ఇకపై అంత స్పష్టంగా లేదు, సరియైనదా? కాబట్టి: లేదా?
తరచుగా మీరు ఏ సంఖ్యా వ్యక్తీకరణ ఎక్కువ అని తెలుసుకోవాలి. ఉదాహరణకు, అసమానతను పరిష్కరించేటప్పుడు పాయింట్లను సరైన క్రమంలో అక్షం మీద ఉంచడానికి.
అటువంటి సంఖ్యలను ఎలా పోల్చాలో ఇప్పుడు నేను మీకు నేర్పుతాను.
మీరు సంఖ్యలను సరిపోల్చవలసి వస్తే మరియు వాటి మధ్య మేము ఒక గుర్తును ఉంచుతాము (నుండి వస్తుంది లాటిన్ పదంవర్సెస్ లేదా సంక్షిప్త vs. - వ్యతిరేకంగా): . ఈ గుర్తు తెలియని అసమానత గుర్తు ()ని భర్తీ చేస్తుంది. తరువాత, సంఖ్యల మధ్య ఏ గుర్తును ఉంచాలో స్పష్టంగా కనిపించే వరకు మేము ఒకే విధమైన పరివర్తనలను చేస్తాము.
సంఖ్యలను పోల్చడం యొక్క సారాంశం ఇది: మేము సంకేతాన్ని ఒక రకమైన అసమానత గుర్తుగా భావిస్తాము. మరియు వ్యక్తీకరణతో మనం సాధారణంగా చేసే ప్రతిదాన్ని అసమానతలతో చేయవచ్చు:
- రెండు వైపులా ఏదైనా సంఖ్యను జోడించండి (మరియు, మేము కూడా తీసివేయవచ్చు)
- "అన్నీ ఒక వైపుకు తరలించు", అంటే, రెండు భాగాల నుండి పోల్చిన వ్యక్తీకరణలలో ఒకదాన్ని తీసివేయండి. తీసివేసిన వ్యక్తీకరణ స్థానంలో మిగిలి ఉంటుంది: .
- అదే సంఖ్యతో గుణించండి లేదా భాగించండి. ఈ సంఖ్య ప్రతికూలంగా ఉంటే, అసమానత గుర్తు రివర్స్ అవుతుంది: .
- రెండు వైపులా ఒకే శక్తికి పెంచండి. ఈ డిగ్రీ సమానంగా ఉంటే, మీరు రెండు వైపులా ఉండేలా చూసుకోవాలి అదే సంకేతం; రెండు భాగాలు సానుకూలంగా ఉంటే, శక్తికి పెంచినప్పుడు గుర్తు మారదు, కానీ అవి ప్రతికూలంగా ఉంటే, అది వ్యతిరేకతకు మారుతుంది.
- రెండు భాగాల నుండి ఒకే డిగ్రీ యొక్క మూలాన్ని సంగ్రహించండి. మనం ఈవెన్ డిగ్రీ యొక్క మూలాన్ని సంగ్రహిస్తున్నట్లయితే, ముందుగా రెండు వ్యక్తీకరణలు ప్రతికూలంగా లేవని నిర్ధారించుకోవాలి.
- ఏదైనా ఇతర సమానమైన పరివర్తనలు.
ముఖ్యమైనది: అసమానత గుర్తు మారని విధంగా పరివర్తనలు చేయడం మంచిది! అంటే, పరివర్తన సమయంలో, ప్రతికూల సంఖ్యతో గుణించడం అవాంఛనీయమైనది మరియు భాగాలలో ఒకటి ప్రతికూలంగా ఉంటే మీరు దానిని వర్గీకరించలేరు.
కొన్ని సాధారణ పరిస్థితులను చూద్దాం.
1. ఎక్స్పోనెన్షియేషన్.
ఉదాహరణ.
ఏది ఎక్కువ: లేదా?
పరిష్కారం.
అసమానత యొక్క రెండు వైపులా సానుకూలంగా ఉన్నందున, మూలాన్ని వదిలించుకోవడానికి మేము దానిని వర్గీకరించవచ్చు:
ఉదాహరణ.
ఏది ఎక్కువ: లేదా?
పరిష్కారం.
ఇక్కడ మనం దానిని కూడా స్క్వేర్ చేయవచ్చు, కానీ ఇది వదిలించుకోవడానికి మాత్రమే మాకు సహాయపడుతుంది వర్గమూలం. ఇక్కడ రెండు మూలాలు అదృశ్యమయ్యేంత స్థాయికి పెంచడం అవసరం. దీని అర్థం ఈ డిగ్రీ యొక్క ఘాతాంకం తప్పనిసరిగా రెండింటి ద్వారా (మొదటి మూలం యొక్క డిగ్రీ) మరియు ద్వారా భాగించబడాలి. ఈ సంఖ్య, కాబట్టి, వ శక్తికి పెంచబడింది:
2. దాని సంయోగం ద్వారా గుణకారం.
ఉదాహరణ.
ఏది ఎక్కువ: లేదా?
పరిష్కారం.
ప్రతి వ్యత్యాసాన్ని సంయోగ మొత్తంతో గుణిద్దాం మరియు భాగిద్దాం:
సహజంగానే, ఎడమ వైపున ఉన్న హారం కంటే కుడి వైపున ఉన్న హారం ఎక్కువగా ఉంటుంది. కాబట్టి, కుడి భిన్నం ఎడమ కంటే చిన్నది:
3. తీసివేత
అది గుర్తుంచుకుందాం.
ఉదాహరణ.
ఏది ఎక్కువ: లేదా?
పరిష్కారం.
వాస్తవానికి, మేము ప్రతిదానిని వర్గీకరించవచ్చు, మళ్లీ సమూహపరచవచ్చు మరియు మళ్లీ వర్గీకరించవచ్చు. కానీ మీరు తెలివిగా ఏదైనా చేయవచ్చు:
ఎడమ వైపున ప్రతి పదం కుడి వైపున ఉన్న ప్రతి పదం కంటే తక్కువగా ఉన్నట్లు చూడవచ్చు.
దీని ప్రకారం, ఎడమ వైపున ఉన్న అన్ని నిబంధనల మొత్తం కుడి వైపున ఉన్న అన్ని నిబంధనల మొత్తం కంటే తక్కువగా ఉంటుంది.
కానీ జాగ్రత్తగా ఉండు! ఇంకా ఏమిటని మమ్మల్ని అడిగారు...
కుడివైపు పెద్దది.
ఉదాహరణ.
సంఖ్యలను సరిపోల్చండి మరియు...
పరిష్కారం.
త్రికోణమితి సూత్రాలను గుర్తుంచుకోండి:
ఏ క్వార్టర్స్‌లో ఉన్నాయో చూద్దాం త్రికోణమితి వృత్తంపాయింట్లు ఉన్నాయి మరియు.
4. విభజన.
ఇక్కడ మేము ఒక సాధారణ నియమాన్ని కూడా ఉపయోగిస్తాము: .
వద్ద లేదా, అంటే.
గుర్తు మారినప్పుడు: .
ఉదాహరణ.
సరిపోల్చండి: .
పరిష్కారం.
5. సంఖ్యలను మూడవ సంఖ్యతో సరిపోల్చండి
ఒకవేళ మరియు, అప్పుడు (ట్రాన్సిటివిటీ యొక్క చట్టం).
ఉదాహరణ.
సరిపోల్చండి.
పరిష్కారం.
సంఖ్యలను ఒకదానితో ఒకటి కాకుండా సంఖ్యతో సరిపోల్చండి.
అది స్పష్టంగా ఉంది.
మరోవైపు, .
ఉదాహరణ.
ఏది ఎక్కువ: లేదా?
పరిష్కారం.
రెండు సంఖ్యలు పెద్దవి, కానీ చిన్నవి. ఒకటి కంటే ఎక్కువ, కానీ మరొకదాని కంటే తక్కువగా ఉండే సంఖ్యను ఎంచుకుందాం. ఉదాహరణకి, . తనిఖీ చేద్దాం:
6. లాగరిథమ్‌లతో ఏమి చేయాలి?
ప్రత్యేకంగా ఏమీ లేదు. లాగరిథమ్‌లను ఎలా వదిలించుకోవాలో అంశంలో వివరంగా వివరించబడింది. ప్రాథమిక నియమాలు:
\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \ఎడమవైపున (\rm( ))\ఎడమ[ (\begin(array)(*(20)(l))(x \vee (a^ b)\;(\rm(at))\;a > 1)\\(x \wedge (a^b)\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \wedge y\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]
మేము లాగరిథమ్‌ల గురించి ఒక నియమాన్ని కూడా జోడించవచ్చు వివిధ కారణాల కోసంమరియు అదే వాదన:
దీన్ని ఈ విధంగా వివరించవచ్చు: బేస్ ఎంత పెద్దదైతే, అదే విషయాన్ని పొందడానికి అది తక్కువ డిగ్రీని పెంచాలి. బేస్ చిన్నగా ఉంటే, దానికి విరుద్ధంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే సంబంధిత ఫంక్షన్ మార్పు లేకుండా తగ్గుతుంది.
ఉదాహరణ.
సంఖ్యలను సరిపోల్చండి: మరియు.
పరిష్కారం.
పై నిబంధనల ప్రకారం:
మరియు ఇప్పుడు అధునాతన కోసం ఫార్ములా.
లాగరిథమ్‌లను పోల్చడానికి నియమాన్ని మరింత క్లుప్తంగా వ్రాయవచ్చు:
ఉదాహరణ.
ఏది ఎక్కువ: లేదా?
పరిష్కారం.
ఉదాహరణ.
ఏ సంఖ్య ఎక్కువగా ఉందో సరిపోల్చండి: .
పరిష్కారం.
సంఖ్యల పోలిక. ప్రధాన విషయాల గురించి క్లుప్తంగా
1. ఎక్స్పోనెన్షియేషన్
అసమానత యొక్క రెండు వైపులా సానుకూలంగా ఉంటే, మూలాన్ని వదిలించుకోవడానికి వాటిని వర్గీకరించవచ్చు
2. దాని సంయోగం ద్వారా గుణకారం
సంయోగం అనేది చతురస్రాల ఫార్ములా యొక్క వ్యత్యాసానికి వ్యక్తీకరణను పూర్తి చేసే అంశం: - కోసం సంయోగం మరియు వైస్ వెర్సా, ఎందుకంటే .
3. తీసివేత
4. విభజన
ఎప్పుడు లేదా అది
గుర్తు మారినప్పుడు:
5. మూడవ సంఖ్యతో పోలిక
ఉంటే ఆపై
6. లాగరిథమ్‌ల పోలిక
ప్రాథమిక నియమాలు.
వ్యక్తీకరణలు, వ్యక్తీకరణ మార్పిడి
శక్తి వ్యక్తీకరణలు (శక్తులతో వ్యక్తీకరణలు) మరియు వాటి పరివర్తన
ఈ కథనంలో మేము వ్యక్తీకరణలను అధికారాలతో మార్చడం గురించి మాట్లాడుతాము. ముందుగా, మేము ఏ రకమైన వ్యక్తీకరణలతో సహా ప్రదర్శించబడే పరివర్తనలపై దృష్టి పెడతాము శక్తి వ్యక్తీకరణలు, కుండలీకరణాలను తెరవడం మరియు సారూప్య పదాలను తీసుకురావడం వంటివి. ఆపై మేము డిగ్రీలతో వ్యక్తీకరణలలో ప్రత్యేకంగా అంతర్గతంగా ఉన్న పరివర్తనలను విశ్లేషిస్తాము: బేస్ మరియు ఎక్స్పోనెంట్తో పని చేయడం, డిగ్రీల లక్షణాలను ఉపయోగించడం మొదలైనవి.
పేజీ నావిగేషన్.
శక్తి వ్యక్తీకరణలు ఏమిటి?
"శక్తి వ్యక్తీకరణలు" అనే పదం దాదాపు ఎప్పుడూ ఉపయోగించబడదు పాఠశాల పాఠ్యపుస్తకాలుగణితం, కానీ ఇది చాలా తరచుగా సమస్యల సేకరణలలో కనిపిస్తుంది, ప్రత్యేకించి యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ మరియు యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌కు ప్రిపరేషన్ కోసం ఉద్దేశించినవి, ఉదాహరణకు. పవర్ ఎక్స్‌ప్రెషన్‌లతో ఏదైనా చర్యలను చేయాల్సిన పనిని విశ్లేషించిన తర్వాత, పవర్ ఎక్స్‌ప్రెషన్‌లు వాటి ఎంట్రీలలో శక్తులను కలిగి ఉన్న వ్యక్తీకరణలుగా అర్థం చేసుకోవచ్చని స్పష్టమవుతుంది. కాబట్టి, మీరు మీ కోసం క్రింది నిర్వచనాన్ని అంగీకరించవచ్చు:
నిర్వచనం.
శక్తి వ్యక్తీకరణలుడిగ్రీలు కలిగిన వ్యక్తీకరణలు.
ఇద్దాం శక్తి వ్యక్తీకరణల ఉదాహరణలు. అంతేకాకుండా, డిగ్రీ నుండి డిగ్రీ వరకు వీక్షణల అభివృద్ధి ఎలా జరుగుతుందో దాని ప్రకారం మేము వాటిని ప్రదర్శిస్తాము. సహజ సూచికనిజమైన ఘాతాంకంతో ఒక స్థాయికి.
తెలిసినట్లుగా, మొదటి వ్యక్తి సహజ ఘాతాంకంతో సంఖ్య యొక్క శక్తితో పరిచయం పొందుతాడు; ఈ దశలో, రకం 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0.1) యొక్క మొదటి సరళమైన శక్తి వ్యక్తీకరణలు 4, 3 a 2 కనిపిస్తుంది −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 మొదలైనవి.
కొద్దిసేపటి తరువాత, పూర్ణాంక ఘాతాంకం ఉన్న సంఖ్య యొక్క శక్తి అధ్యయనం చేయబడుతుంది, ఇది పూర్ణాంకాలతో శక్తి వ్యక్తీకరణల రూపానికి దారితీస్తుంది ప్రతికూల శక్తులు, క్రింది విధంగా: 3 -2 , 
, a −2 +2 b -3 +c 2 .
ఉన్నత పాఠశాలలో వారు తిరిగి డిగ్రీలకు చేరుకుంటారు. అక్కడ డిగ్రీ ప్రవేశపెడతారు హేతుబద్ధమైన సూచిక, ఇది సంబంధిత శక్తి వ్యక్తీకరణల రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది: 
, , 
మరియు అందువలన న. చివరగా, అహేతుక ఘాతాంకాలు మరియు వాటిని కలిగి ఉన్న వ్యక్తీకరణలతో కూడిన డిగ్రీలు పరిగణించబడతాయి: , .
విషయం లిస్టెడ్ పవర్ ఎక్స్‌ప్రెషన్‌లకు మాత్రమే పరిమితం కాదు: మరింత వేరియబుల్ ఘాతాంకంలోకి చొచ్చుకుపోతుంది మరియు ఉదాహరణకు, కింది వ్యక్తీకరణలు ఉత్పన్నమవుతాయి: 2 x 2 +1 లేదా 
. మరియు పరిచయమైన తర్వాత, అధికారాలు మరియు లాగరిథమ్‌లతో వ్యక్తీకరణలు కనిపించడం ప్రారంభిస్తాయి, ఉదాహరణకు, x 2·lgx −5·x lgx.
కాబట్టి, శక్తి వ్యక్తీకరణలు దేనిని సూచిస్తాయి అనే ప్రశ్నతో మేము వ్యవహరించాము. తరువాత మనం వాటిని మార్చడం నేర్చుకుందాం.
శక్తి వ్యక్తీకరణల రూపాంతరాల యొక్క ప్రధాన రకాలు
శక్తి వ్యక్తీకరణలతో మీరు ఏదైనా ప్రాథమికంగా చేయవచ్చు వ్యక్తీకరణల గుర్తింపు రూపాంతరాలు. ఉదాహరణకు, మీరు బ్రాకెట్లను విస్తరించవచ్చు, భర్తీ చేయవచ్చు సంఖ్యా వ్యక్తీకరణలువాటి అర్థాలు, ఇవ్వండి సారూప్య నిబంధనలుమొదలైనవి సహజంగానే, అంగీకరించిన వాటికి అనుగుణంగా ఉండటం అవసరం చర్యల క్రమం. ఉదాహరణలు ఇద్దాం.
ఉదాహరణ.
శక్తి వ్యక్తీకరణ 2 3 ·(4 2 −12) విలువను లెక్కించండి.
పరిష్కారం.
చర్యల అమలు క్రమం ప్రకారం, మొదట బ్రాకెట్లలో చర్యలను చేయండి. అక్కడ, మొదట, మేము పవర్ 4 2 ను దాని విలువ 16తో భర్తీ చేస్తాము (అవసరమైతే, చూడండి), మరియు రెండవది, మేము 16−12=4 వ్యత్యాసాన్ని లెక్కిస్తాము. మన దగ్గర ఉంది 2 3 ·(4 2 -12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.
ఫలిత వ్యక్తీకరణలో, మేము పవర్ 2 3 ను దాని విలువ 8తో భర్తీ చేస్తాము, దాని తర్వాత మేము ఉత్పత్తి 8 · 4 = 32 ను లెక్కిస్తాము. ఇది కావలసిన విలువ.
కాబట్టి, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.
సమాధానం:
2 3 ·(4 2 −12)=32.
ఉదాహరణ.
అధికారాలతో వ్యక్తీకరణలను సరళీకృతం చేయండి 3 a 4 b −7 -1+2 a 4 b -7.
పరిష్కారం.
సహజంగానే, ఈ వ్యక్తీకరణ కలిగి ఉంటుంది సారూప్య నిబంధనలు 3·a 4 ·b −7 మరియు 2·a 4 ·b −7 , మరియు మేము వాటిని ఇవ్వగలము: .
సమాధానం:
3 a 4 b −7 -1+2 a 4 b -7 =5 a 4 b -7 −1.
ఉదాహరణ.
శక్తులతో వ్యక్తీకరణను ఉత్పత్తిగా వ్యక్తపరచండి.
పరిష్కారం.
మీరు 9 సంఖ్యను 3 2 యొక్క శక్తిగా సూచించి, ఆపై ఉపయోగించడం ద్వారా పనిని ఎదుర్కోవచ్చు సంక్షిప్త గుణకార సూత్రాలుచతురస్రాల వ్యత్యాసం: 
సమాధానం:
ఒక సంఖ్య కూడా ఉన్నాయి గుర్తింపు పరివర్తనలు, శక్తి వ్యక్తీకరణలలో ప్రత్యేకంగా అంతర్లీనంగా ఉంటుంది. మేము వాటిని మరింత విశ్లేషిస్తాము.
బేస్ మరియు ఎక్స్పోనెంట్తో పని చేస్తోంది
బేస్ మరియు/లేదా ఘాతాంకం కేవలం సంఖ్యలు లేదా వేరియబుల్స్ మాత్రమే కాకుండా కొన్ని వ్యక్తీకరణలు ఉండే డిగ్రీలు ఉన్నాయి. ఉదాహరణగా, మేము ఎంట్రీలు (2+0.3·7) 5−3.7 మరియు (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .
సారూప్య వ్యక్తీకరణలతో పని చేస్తున్నప్పుడు, మీరు డిగ్రీ యొక్క బేస్‌లోని వ్యక్తీకరణ మరియు ఘాతాంకంలోని వ్యక్తీకరణ రెండింటినీ ఒకేలా భర్తీ చేయవచ్చు సమాన వ్యక్తీకరణపై ODZదాని వేరియబుల్స్. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, మనకు తెలిసిన నియమాల ప్రకారం, మేము డిగ్రీ యొక్క ఆధారాన్ని విడిగా మరియు ఘాతాంకాన్ని విడిగా మార్చవచ్చు. ఈ పరివర్తన ఫలితంగా, అసలైన దానికి సమానంగా సమానమైన వ్యక్తీకరణ పొందబడుతుంది.
ఇటువంటి పరివర్తనలు అధికారాలతో వ్యక్తీకరణలను సరళీకృతం చేయడానికి లేదా మనకు అవసరమైన ఇతర లక్ష్యాలను సాధించడానికి అనుమతిస్తాయి. ఉదాహరణకు, పైన పేర్కొన్న పవర్ ఎక్స్‌ప్రెషన్‌లో (2+0.3 7) 5−3.7, మీరు బేస్ మరియు ఎక్స్‌పోనెంట్‌లోని సంఖ్యలతో కార్యకలాపాలను నిర్వహించవచ్చు, ఇది మిమ్మల్ని పవర్ 4.1 1.3కి తరలించడానికి అనుమతిస్తుంది. మరియు బ్రాకెట్లను తెరిచి, డిగ్రీ (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) యొక్క బేస్‌కి సారూప్య పదాలను తీసుకువచ్చిన తర్వాత మనం మరింత పవర్ ఎక్స్‌ప్రెషన్‌ను పొందుతాము సాధారణ రకం a 2·(x+1) .
డిగ్రీ లక్షణాలను ఉపయోగించడం
వ్యక్తీకరణలను శక్తులతో మార్చడానికి ప్రధాన సాధనాల్లో ఒకటి ప్రతిబింబించే సమానత్వం. ప్రధానమైన వాటిని గుర్తుచేసుకుందాం. ఏదైనా సానుకూల సంఖ్యల కోసం a మరియు b మరియు ఏకపక్షం వాస్తవ సంఖ్యలు r మరియు s క్రింది డిగ్రీల లక్షణాలు చెల్లుతాయి:
- a r ·a s = a r+s ;
- a r:a s =a r−s ;
- (a·b) r =a r ·b r;
- (a:b) r =a r:b r ;
- (a r) s =a r·s .
సహజ, పూర్ణాంకం మరియు కూడా అని గమనించండి సానుకూల సూచికలు a మరియు b సంఖ్యలపై పరిమితి యొక్క డిగ్రీలు అంత కఠినంగా ఉండకపోవచ్చు. ఉదాహరణకు, కోసం సహజ సంఖ్యలు m మరియు n సమానత్వం a m ·a n =a m+n అనేది సానుకూల aకి మాత్రమే కాదు, ప్రతికూల aకి మరియు a=0కి కూడా వర్తిస్తుంది.
పాఠశాలలో, పవర్ ఎక్స్‌ప్రెషన్‌లను మార్చేటప్పుడు ప్రధాన దృష్టి తగిన ఆస్తిని ఎంచుకునే సామర్థ్యం మరియు దానిని సరిగ్గా వర్తింపజేయడం. ఈ సందర్భంలో, డిగ్రీల స్థావరాలు సాధారణంగా సానుకూలంగా ఉంటాయి, ఇది డిగ్రీల లక్షణాలను పరిమితులు లేకుండా ఉపయోగించడానికి అనుమతిస్తుంది. శక్తులు - ప్రాంతం యొక్క స్థావరాలలో వేరియబుల్స్ కలిగి ఉన్న వ్యక్తీకరణల పరివర్తనకు కూడా ఇది వర్తిస్తుంది ఆమోదయోగ్యమైన విలువలువేరియబుల్స్ సాధారణంగా దాని ఆధారంగా మాత్రమే అంగీకరిస్తుంది సానుకూల విలువలు, ఇది డిగ్రీల లక్షణాలను స్వేచ్ఛగా ఉపయోగించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. సాధారణంగా, ఈ సందర్భంలో డిగ్రీ యొక్క ఏదైనా ఆస్తిని ఉపయోగించడం సాధ్యమేనా అని మీరు నిరంతరం మిమ్మల్ని మీరు ప్రశ్నించుకోవాలి, ఎందుకంటే ఆస్తుల యొక్క సరికాని ఉపయోగం విద్యా విలువ మరియు ఇతర ఇబ్బందులను తగ్గించడానికి దారితీస్తుంది. ఈ అంశాలు వ్యాసంలో వివరంగా మరియు ఉదాహరణలతో చర్చించబడ్డాయి. అధికారాల లక్షణాలను ఉపయోగించి వ్యక్తీకరణలను మార్చడం. ఇక్కడ మేము కొన్ని సాధారణ ఉదాహరణలను పరిగణనలోకి తీసుకుంటాము.
ఉదాహరణ.
a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 అనే వ్యక్తీకరణను బేస్ aతో పవర్‌గా వ్యక్తపరచండి.
పరిష్కారం.
ముందుగా, పవర్‌ను పవర్‌గా పెంచే లక్షణాన్ని ఉపయోగించి మేము రెండవ కారకాన్ని (a 2) -3ని మారుస్తాము: (a 2) −3 =a 2·(-3) =a −6. అసలు శక్తి వ్యక్తీకరణ 2.5 ·a −6:a −5.5 రూపాన్ని తీసుకుంటుంది. సహజంగానే, గుణకారం మరియు శక్తుల విభజన యొక్క లక్షణాలను ఒకే ఆధారంతో ఉపయోగించడం మిగిలి ఉంది.
a 2.5 ·a −6:a −5.5 =
a 2.5−6:a −5.5 =a −3.5:a −5.5 =
a −3.5−(-5.5) =a 2 .
సమాధానం:
a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 =a 2.
శక్తి వ్యక్తీకరణలను మార్చేటప్పుడు శక్తుల లక్షణాలు ఎడమ నుండి కుడికి మరియు కుడి నుండి ఎడమకు ఉపయోగించబడతాయి.
ఉదాహరణ.
శక్తి వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనండి.
పరిష్కారం.
సమానత్వం (a·b) r =a r ·b r, కుడి నుండి ఎడమకు వర్తించబడుతుంది, అసలు వ్యక్తీకరణ నుండి ఫారమ్ యొక్క ఉత్పత్తికి మరియు మరింత ముందుకు వెళ్లడానికి అనుమతిస్తుంది. మరియు శక్తులను గుణించేటప్పుడు అదే ప్రాతిపదికనసూచికలు జోడించబడతాయి: 
.
అసలు వ్యక్తీకరణను మరొక విధంగా మార్చడం సాధ్యమైంది: 
సమాధానం:
.
ఉదాహరణ.
పవర్ ఎక్స్‌ప్రెషన్‌ను 1.5 -a 0.5 −6 ఇచ్చినట్లయితే, కొత్త వేరియబుల్ t=a 0.5ని పరిచయం చేయండి.
పరిష్కారం.
డిగ్రీ a 1.5ని 0.5 3గా సూచించవచ్చు మరియు ఆపై డిగ్రీ (a r) s =a r s వరకు ఉన్న లక్షణం ఆధారంగా, కుడి నుండి ఎడమకు వర్తించబడుతుంది, దానిని ఫారమ్ (a 0.5) 3కి మార్చవచ్చు. ఈ విధంగా, a 1.5 -a 0.5 -6=(a 0.5) 3 -a 0.5 -6. ఇప్పుడు కొత్త వేరియబుల్ t=a 0.5ని పరిచయం చేయడం సులభం, మనకు t 3 -t−6 వస్తుంది.
సమాధానం:
t 3 -t-6 .
అధికారాలను కలిగి ఉన్న భిన్నాలను మార్చడం
శక్తి వ్యక్తీకరణలు శక్తులతో భిన్నాలను కలిగి ఉండవచ్చు లేదా సూచించవచ్చు. ప్రాథమిక వాటిలో ఏదైనా అటువంటి భిన్నాలకు పూర్తిగా వర్తిస్తుంది భిన్నం మార్పిడులు, ఏ రకమైన భిన్నాలలో అంతర్లీనంగా ఉంటాయి. అంటే, శక్తులను కలిగి ఉన్న భిన్నాలను తగ్గించవచ్చు, కొత్త హారంకు తగ్గించవచ్చు, వాటి సంఖ్యతో విడిగా మరియు హారంతో విడిగా పని చేయవచ్చు. ఈ పదాలను వివరించడానికి, అనేక ఉదాహరణలకు పరిష్కారాలను పరిగణించండి.
ఉదాహరణ.
శక్తి వ్యక్తీకరణను సులభతరం చేయండి 
.
పరిష్కారం.
ఈ శక్తి వ్యక్తీకరణ ఒక భిన్నం. దాని న్యూమరేటర్ మరియు హారంతో పని చేద్దాం. న్యూమరేటర్‌లో మేము బ్రాకెట్లను తెరిచి, అధికారాల లక్షణాలను ఉపయోగించి ఫలిత వ్యక్తీకరణను సులభతరం చేస్తాము మరియు హారంలో మేము ఇలాంటి పదాలను ప్రదర్శిస్తాము: 
మరియు భిన్నం ముందు మైనస్‌ని ఉంచడం ద్వారా హారం యొక్క చిహ్నాన్ని కూడా మారుద్దాం: 
.
సమాధానం:
.
కొత్త హారంకు అధికారాలను కలిగి ఉన్న భిన్నాల తగ్గింపు కొత్త హారంకు తగ్గించిన విధంగానే నిర్వహించబడుతుంది. హేతుబద్ధమైన భిన్నాలు. ఈ సందర్భంలో, ఒక అదనపు కారకం కూడా కనుగొనబడింది మరియు భిన్నం యొక్క లవం మరియు హారం దాని ద్వారా గుణించబడతాయి. ఈ చర్యను నిర్వహిస్తున్నప్పుడు, కొత్త హారంకు తగ్గింపు VA యొక్క సంకుచితానికి దారితీస్తుందని గుర్తుంచుకోవడం విలువ. ఇది జరగకుండా నిరోధించడానికి, అసలు వ్యక్తీకరణ కోసం ODZ వేరియబుల్స్ నుండి వేరియబుల్స్ యొక్క ఏదైనా విలువలకు అదనపు కారకం సున్నాకి వెళ్లకుండా ఉండటం అవసరం.
ఉదాహరణ.
భిన్నాలను కొత్త హారంకి తగ్గించండి: a) హారం నుండి a, b) 
హారం వరకు.
పరిష్కారం.
ఎ) ఈ సందర్భంలో, అదనపు గుణకం ఏమి సాధించడానికి సహాయపడుతుందో గుర్తించడం చాలా సులభం ఆశించిన ఫలితం. ఇది 0.3 యొక్క గుణకం, ఎందుకంటే 0.7 ·a 0.3 =a 0.7+0.3 =a. వేరియబుల్ a యొక్క అనుమతించదగిన విలువల పరిధిలో (ఇది అన్ని సానుకూల వాస్తవ సంఖ్యల సమితి), 0.3 యొక్క శక్తి అదృశ్యం కాదని గమనించండి, కాబట్టి, ఇచ్చిన లవం మరియు హారంను గుణించే హక్కు మనకు ఉంది. ఈ అదనపు కారకం ద్వారా భిన్నం: 
బి) హారంను నిశితంగా పరిశీలిస్తే, మీరు దానిని కనుగొంటారు 
మరియు ఈ వ్యక్తీకరణను గుణించడం ద్వారా ఘనాల మొత్తం లభిస్తుంది మరియు , అంటే, . మరియు ఇదే కొత్త హారం, దీనికి మనం అసలు భిన్నాన్ని తగ్గించాలి.
ఈ విధంగా మేము అదనపు కారకాన్ని కనుగొన్నాము. x మరియు y వేరియబుల్స్ యొక్క అనుమతించదగిన విలువల పరిధిలో, వ్యక్తీకరణ అదృశ్యం కాదు, కాబట్టి, మనం భిన్నం యొక్క లవం మరియు హారంను దాని ద్వారా గుణించవచ్చు: 
సమాధానం:
ఎ) 
, బి) 
.
శక్తులను కలిగి ఉన్న భిన్నాలను తగ్గించడంలో కూడా కొత్తది ఏమీ లేదు: న్యూమరేటర్ మరియు హారం అనేక కారకాలుగా సూచించబడతాయి మరియు న్యూమరేటర్ మరియు హారం యొక్క అదే కారకాలు తగ్గించబడతాయి.
ఉదాహరణ.
భిన్నాన్ని తగ్గించండి: a) 
, బి) .
పరిష్కారం.
ఎ) ముందుగా, న్యూమరేటర్ మరియు హారంను 30 మరియు 45 సంఖ్యల ద్వారా తగ్గించవచ్చు, ఇది 15కి సమానం. x 0.5 +1 మరియు ద్వారా తగ్గింపు చేయడం కూడా స్పష్టంగా సాధ్యమే 
. మన దగ్గర ఉన్నది ఇక్కడ ఉంది: 
బి) ఈ సందర్భంలో, న్యూమరేటర్ మరియు హారంలో ఒకే విధమైన కారకాలు వెంటనే కనిపించవు. వాటిని పొందడానికి, మీరు ప్రాథమిక పరివర్తనలను నిర్వహించాలి. ఈ సందర్భంలో, అవి చతురస్రాల ఫార్ములా యొక్క వ్యత్యాసాన్ని ఉపయోగించి హారంను కారకం చేయడంలో ఉంటాయి: 
సమాధానం:
ఎ) 
బి) 
.
భిన్నాలను కొత్త హారంలోకి మార్చడం మరియు భిన్నాలను తగ్గించడం ప్రధానంగా భిన్నాలతో పనులు చేయడానికి ఉపయోగిస్తారు. తెలిసిన నియమాల ప్రకారం చర్యలు నిర్వహించబడతాయి. భిన్నాలను జోడించేటప్పుడు (తీసివేసేటప్పుడు), అవి సాధారణ హారంకి తగ్గించబడతాయి, దాని తర్వాత సంఖ్యలు జోడించబడతాయి (వ్యవకలనం చేయబడతాయి), కానీ హారం అలాగే ఉంటుంది. ఫలితం ఒక భిన్నం, దీని లవం సంఖ్యల ఉత్పత్తి, మరియు హారం అనేది హారం యొక్క ఉత్పత్తి. భిన్నం ద్వారా విభజించడం అనేది దాని విలోమం ద్వారా గుణించడం.
ఉదాహరణ.
దశలను అనుసరించండి 
.
పరిష్కారం.
మొదట, మేము కుండలీకరణాల్లోని భిన్నాలను తీసివేస్తాము. దీన్ని చేయడానికి, మేము వాటిని ఒక సాధారణ హారంకు తీసుకువస్తాము 
, దాని తర్వాత మేము న్యూమరేటర్లను తీసివేస్తాము: 
ఇప్పుడు మేము భిన్నాలను గుణిస్తాము: 
సహజంగానే, x 1/2 శక్తితో తగ్గించడం సాధ్యమవుతుంది, దాని తర్వాత మనకు ఉంటుంది 
.
మీరు చతురస్రాల ఫార్ములా యొక్క వ్యత్యాసాన్ని ఉపయోగించడం ద్వారా హారంలోని శక్తి వ్యక్తీకరణను కూడా సులభతరం చేయవచ్చు: 
.
సమాధానం:
ఉదాహరణ.
పవర్ ఎక్స్‌ప్రెషన్‌ను సరళీకృతం చేయండి 
.
పరిష్కారం.
స్పష్టంగా, ఇచ్చిన భిన్నం(x 2.7 +1) 2 ద్వారా తగ్గించవచ్చు, ఇది భిన్నాన్ని ఇస్తుంది 
. X యొక్క అధికారాలతో ఇంకేదో చేయవలసి ఉందని స్పష్టమైంది. దీన్ని చేయడానికి, మేము ఫలిత భిన్నాన్ని ఉత్పత్తిగా మారుస్తాము. అదే స్థావరాలతో అధికారాలను విభజించే ఆస్తిని సద్వినియోగం చేసుకునే అవకాశాన్ని ఇది మాకు అందిస్తుంది: 
. మరియు ప్రక్రియ ముగింపులో మేము నుండి తరలించడానికి చివరి పనిఒక భాగానికి.
సమాధానం:
.
మరియు మల్టిప్లైయర్‌లను ఉపయోగించడం సాధ్యమే మరియు అనేక సందర్భాల్లో కావాల్సినది అని కూడా జతచేద్దాం ప్రతికూల సూచికలుడిగ్రీలు న్యూమరేటర్ నుండి హారంకు లేదా హారం నుండి న్యూమరేటర్‌కు బదిలీ చేయబడతాయి, ఘాతాంకం యొక్క చిహ్నాన్ని మారుస్తుంది. ఇటువంటి పరివర్తనలు తరచుగా తదుపరి చర్యలను సులభతరం చేస్తాయి. ఉదాహరణకు, పవర్ ఎక్స్‌ప్రెషన్‌ని దీని ద్వారా భర్తీ చేయవచ్చు.
మూలాలు మరియు శక్తులతో వ్యక్తీకరణలను మార్చడం
శక్తులతో పాటుగా కొన్ని రూపాంతరాలు అవసరమయ్యే వ్యక్తీకరణలలో తరచుగా పాక్షిక సూచికలుమూలాలు కూడా ఉన్నాయి. మార్చడానికి సారూప్య వ్యక్తీకరణకావలసిన రూపానికి, చాలా సందర్భాలలో మూలాలకు లేదా శక్తులకు మాత్రమే వెళ్లడానికి సరిపోతుంది. కానీ అధికారాలతో పనిచేయడం మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది కాబట్టి, అవి సాధారణంగా మూలాల నుండి శక్తులకు మారుతాయి. అయినప్పటికీ, అసలు వ్యక్తీకరణ కోసం వేరియబుల్స్ యొక్క ODZ మాడ్యూల్‌ను సూచించాల్సిన అవసరం లేకుండా లేదా ODZని అనేక విరామాలుగా విభజించాల్సిన అవసరం లేకుండా మూలాలను శక్తులతో భర్తీ చేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతించినప్పుడు అటువంటి పరివర్తనను నిర్వహించడం మంచిది (మేము దీనిని వివరంగా చర్చించాము వ్యాసం మూలాల నుండి శక్తులకు మరియు వెనుకకు పరివర్తన చెందడం వలన డిగ్రీతో పరిచయం పొందిన తర్వాత హేతుబద్ధమైన ఘాతాంక డిగ్రీ సి పరిచయం చేయబడింది అహేతుక సూచిక, ఇది ఏకపక్ష వాస్తవ ఘాతాంకంతో డిగ్రీ గురించి మాట్లాడటానికి అనుమతిస్తుంది. ఈ దశలో పాఠశాల అధ్యయనం ప్రారంభమవుతుంది ఘాతాంక విధి , ఇది శక్తి ద్వారా విశ్లేషణాత్మకంగా ఇవ్వబడుతుంది, దీని ఆధారం ఒక సంఖ్య మరియు ఘాతాంకం ఒక వేరియబుల్. కాబట్టి మనం శక్తి యొక్క బేస్‌లో సంఖ్యలను కలిగి ఉన్న శక్తి వ్యక్తీకరణలను ఎదుర్కొంటాము మరియు ఘాతాంకంలో - వేరియబుల్స్‌తో వ్యక్తీకరణలు, మరియు సహజంగానే అటువంటి వ్యక్తీకరణల రూపాంతరాలను నిర్వహించాల్సిన అవసరం ఏర్పడుతుంది.
ఎక్స్ ప్రెషన్స్ ట్రాన్స్ ఫార్మింగ్ అని చెప్పాలి పేర్కొన్న రకంసాధారణంగా పరిష్కరించేటప్పుడు చేయాలి ఘాతాంక సమీకరణాలుమరియు ఘాతాంక అసమానతలు , మరియు ఈ మార్పిడులు చాలా సులభం. అధిక సంఖ్యలో కేసుల్లో, అవి డిగ్రీ యొక్క లక్షణాలపై ఆధారపడి ఉంటాయి మరియు భవిష్యత్తులో కొత్త వేరియబుల్‌ను పరిచయం చేయడంలో ఎక్కువ భాగం లక్ష్యంగా ఉంటాయి. సమీకరణం వాటిని ప్రదర్శించడానికి అనుమతిస్తుంది 5 2 x+1 −3 5 x 7 x -14 7 2 x−1 =0.
ముందుగా, పవర్స్, ఘాతాంకాలలో నిర్దిష్ట వేరియబుల్ (లేదా వేరియబుల్స్‌తో వ్యక్తీకరణ) మరియు ఒక సంఖ్య యొక్క మొత్తం, ఉత్పత్తుల ద్వారా భర్తీ చేయబడతాయి. ఇది ఎడమ వైపున ఉన్న వ్యక్తీకరణ యొక్క మొదటి మరియు చివరి నిబంధనలకు వర్తిస్తుంది:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x -14 7 2 x 7 -1 =0,
5 5 2 x -3 5 x 7 x -2 7 2 x =0.
తరువాత, సమానత్వం యొక్క రెండు వైపులా వ్యక్తీకరణ 7 2 x ద్వారా విభజించబడింది, ఇది అసలు సమీకరణం కోసం వేరియబుల్ x యొక్క ODZలో సానుకూల విలువలను మాత్రమే తీసుకుంటుంది (ఇది ఈ రకమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ప్రామాణిక సాంకేతికత, మేము కాదు ఇప్పుడు దాని గురించి మాట్లాడుతున్నాను, కాబట్టి శక్తులతో వ్యక్తీకరణల తదుపరి రూపాంతరాలపై దృష్టి పెట్టండి ): 
ఇప్పుడు మనం శక్తులతో భిన్నాలను రద్దు చేయవచ్చు, ఇది ఇస్తుంది 
.
చివరగా, అధికారాల నిష్పత్తి అదే సూచికలుసంబంధాల శక్తులచే భర్తీ చేయబడుతుంది, ఇది సమీకరణానికి దారి తీస్తుంది 
, ఇది సమానమైనది 
. చేసిన పరివర్తనలు కొత్త వేరియబుల్‌ను పరిచయం చేయడానికి మాకు అనుమతిస్తాయి, ఇది అసలు పరిష్కారాన్ని తగ్గిస్తుంది ఘాతాంక సమీకరణంఒక వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి