అంటే తప్పనిసరి ఘాతాంక సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించేటప్పుడు? ఖచ్చితంగా, పరివర్తనఈ వ్యవస్థ సాధారణ సమీకరణాల వ్యవస్థలోకి.
ఉదాహరణలు.
సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించండి:
వ్యక్తం చేద్దాం వద్దద్వారా X(2) సిస్టమ్ సమీకరణం నుండి మరియు ఈ విలువను (1) సిస్టమ్ సమీకరణంలోకి మార్చండి.
మేము (2) ఫలిత వ్యవస్థ యొక్క సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తాము:
2 x +2 x +2 =10, సూత్రాన్ని వర్తింపజేయండి: ఒక x + వై=ఒక x∙ ఒక వై.
2 x +2 x ∙2 2 =10, బ్రాకెట్ల నుండి సాధారణ కారకం 2 xని తీసుకుందాం:
2 x (1+2 2)=10 లేదా 2 x ∙5=10, అందుకే 2 x =2.
2 x =2 1, ఇక్కడ నుండి x=1. సమీకరణాల వ్యవస్థకు తిరిగి వెళ్దాం.
సమాధానం: (1; 2).
పరిష్కారం.
మేము (1) సమీకరణం యొక్క ఎడమ మరియు కుడి భుజాలను ఆధారంతో శక్తుల రూపంలో సూచిస్తాము 2 , మరియు సంఖ్య యొక్క సున్నా శక్తిగా (2) సమీకరణం యొక్క కుడి వైపు 5 .
ఒకే స్థావరాలు ఉన్న రెండు శక్తులు సమానంగా ఉంటే, ఈ శక్తుల ఘాతాంకాలు సమానంగా ఉంటాయి - మేము ఘాతాంకాలను బేస్‌లతో సమం చేస్తాము 2 మరియు స్థావరాలు కలిగిన ఘాతాంకాలు 5 .
మేము అదనపు పద్ధతిని ఉపయోగించి రెండు వేరియబుల్స్‌తో సరళ సమీకరణాల ఫలిత వ్యవస్థను పరిష్కరిస్తాము.
మేము కనుగొంటాము x=2మరియు మేము బదులుగా ఈ విలువను ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము Xసిస్టమ్ యొక్క రెండవ సమీకరణంలోకి.
మేము కనుగొంటాము వద్ద.
సమాధానం: (2; 1.5).
పరిష్కారం.
మునుపటి రెండు ఉదాహరణలలో మేము రెండు డిగ్రీల సూచికలను ఒకే స్థావరాలతో సమం చేయడం ద్వారా సరళమైన సిస్టమ్‌కు తరలించినట్లయితే, 3 వ ఉదాహరణలో ఈ ఆపరేషన్ అసాధ్యం. కొత్త వేరియబుల్స్ పరిచయం చేయడం ద్వారా ఇటువంటి వ్యవస్థలను పరిష్కరించడానికి ఇది సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది. మేము వేరియబుల్స్‌ను పరిచయం చేస్తాము uమరియు v,ఆపై వేరియబుల్‌ని వ్యక్తపరచండి uద్వారా vమరియు మనం వేరియబుల్ కోసం ఒక సమీకరణాన్ని పొందుతాము v.
మేము (2) సిస్టమ్ యొక్క సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తాము.
v 2 +63v-64=0. వియెటా సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి మూలాలను ఎంచుకుందాం: v 1 +v 2 = -63; v 1 ∙v 2 =-64.
మనకు లభిస్తుంది: v 1 =-64, v 2 =1. మేము సిస్టమ్‌కి తిరిగి వచ్చి మిమ్మల్ని కనుగొంటాము.
ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ యొక్క విలువలు ఎల్లప్పుడూ సానుకూలంగా ఉంటాయి కాబట్టి, సమీకరణాలు 4 x = -1 మరియు 4 y = -64 పరిష్కారాలు లేవు.
అంశంపై పాఠం మరియు ప్రదర్శన: "ఘాతాంక సమీకరణాలు మరియు ఘాతాంక అసమానతలు"
అదనపు పదార్థాలు
ప్రియమైన వినియోగదారులు, మీ వ్యాఖ్యలు, సమీక్షలు, శుభాకాంక్షలు తెలియజేయడం మర్చిపోవద్దు! అన్ని పదార్థాలు యాంటీ-వైరస్ ప్రోగ్రామ్ ద్వారా తనిఖీ చేయబడ్డాయి.
గ్రేడ్ 11 కోసం ఇంటిగ్రల్ ఆన్‌లైన్ స్టోర్‌లో టీచింగ్ ఎయిడ్స్ మరియు సిమ్యులేటర్‌లు
9–11 గ్రేడ్‌ల కోసం ఇంటరాక్టివ్ మాన్యువల్ "త్రికోణమితి"
10–11 గ్రేడ్‌ల కోసం ఇంటరాక్టివ్ మాన్యువల్ "లాగరిథమ్స్"
ఘాతాంక సమీకరణాల నిర్వచనం
గైస్, మేము ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్‌లను అధ్యయనం చేసాము, వాటి లక్షణాలను నేర్చుకున్నాము మరియు గ్రాఫ్‌లను రూపొందించాము, ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్‌లు కనుగొనబడిన సమీకరణాల ఉదాహరణలను విశ్లేషించాము. ఈ రోజు మనం ఘాతాంక సమీకరణాలు మరియు అసమానతలను అధ్యయనం చేస్తాము.నిర్వచనం. ఫారమ్ యొక్క సమీకరణాలు: $a^(f(x))=a^(g(x))$, ఇక్కడ $a>0$, $a≠1$ని ఘాతాంక సమీకరణాలు అంటారు.
"ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్" అనే అంశంలో మేము అధ్యయనం చేసిన సిద్ధాంతాలను గుర్తుచేసుకుంటూ, మేము కొత్త సిద్ధాంతాన్ని పరిచయం చేయవచ్చు:
సిద్ధాంతం. ఘాతాంక సమీకరణం $a^(f(x))=a^(g(x))$, ఇక్కడ $a>0$, $a≠1$ అనేది $f(x)=g(x) సమీకరణానికి సమానం $.
ఘాతాంక సమీకరణాల ఉదాహరణలు
ఉదాహరణ.సమీకరణాలను పరిష్కరించండి:
ఎ) $3^(3x-3)=27$.
బి) $((\frac(2)(3)))^(2x+0.2)=\sqrt(\frac(2)(3))$.
c) $5^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$.
పరిష్కారం.
ఎ) $27=3^3$ అని మాకు బాగా తెలుసు.
మన సమీకరణాన్ని మళ్లీ వ్రాద్దాం: $3^(3x-3)=3^3$.
పైన ఉన్న సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి, మన సమీకరణం $3x-3=3$కి తగ్గుతుందని, ఈ సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తే, మనకు $x=2$ వస్తుంది.
సమాధానం: $x=2$.
బి) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
అప్పుడు మన సమీకరణాన్ని తిరిగి వ్రాయవచ్చు: $((\frac(2)(3)))^(2x+0.2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5) ) =((\frac(2)(3)))^(0.2)$.
$2х+0.2=0.2$.
$x=0$.
సమాధానం: $x=0$.
సి) అసలు సమీకరణం సమీకరణానికి సమానం: $x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ మరియు $x_2=-3$.
సమాధానం: $x_1=6$ మరియు $x_2=-3$.
ఉదాహరణ.
సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి: $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=16*((0.0625))^(x+1)$.
పరిష్కారం:
వరుసగా చర్యల శ్రేణిని నిర్వహిస్తాము మరియు మన సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా ఒకే స్థావరాలకు తీసుకువస్తాము.
ఎడమ వైపున అనేక కార్యకలాపాలను చేద్దాం:
1) $((0.25))^(x-0.5)=((\frac(1)(4)))^(x-0.5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0.5+0.5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
కుడి వైపునకు వెళ్దాం:
4) $16=4^2$.
5) $((0.0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) $16*((0.0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
అసలు సమీకరణం సమీకరణానికి సమానం:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
సమాధానం: $x=0$.
ఉదాహరణ.
సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
పరిష్కారం:
మన సమీకరణాన్ని మళ్లీ వ్రాద్దాం: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
వేరియబుల్స్ మార్పు చేద్దాం, $a=3^x$.
కొత్త వేరియబుల్స్‌లో, సమీకరణం రూపాన్ని తీసుకుంటుంది: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ మరియు $a_2=3$.
వేరియబుల్స్ రివర్స్ మార్పుని చేద్దాం: $3^x=-12$ మరియు $3^x=3$.
గత పాఠంలో ఘాతాంక వ్యక్తీకరణలు సానుకూల విలువలను మాత్రమే తీసుకుంటాయని మేము నేర్చుకున్నాము, గ్రాఫ్‌ను గుర్తుంచుకోండి. దీని అర్థం మొదటి సమీకరణానికి పరిష్కారాలు లేవు, రెండవ సమీకరణానికి ఒక పరిష్కారం ఉంది: $x=1$.
సమాధానం: $x=1$.
ఘాతాంక సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరించాలో రిమైండర్ చేద్దాం:
1. గ్రాఫిక్ పద్ధతి.మేము సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా ఫంక్షన్ల రూపంలో ప్రాతినిధ్యం వహిస్తాము మరియు వాటి గ్రాఫ్‌లను నిర్మిస్తాము, గ్రాఫ్‌ల ఖండన పాయింట్లను కనుగొనండి. (మేము ఈ పద్ధతిని గత పాఠంలో ఉపయోగించాము).
2. సూచికల సమానత్వం యొక్క సూత్రం.ఈ స్థావరాల యొక్క డిగ్రీలు (ఘాతాంకాలు) సమానంగా ఉంటే మరియు ఒకే బేస్‌లతో రెండు వ్యక్తీకరణలు సమానంగా ఉంటాయి అనే వాస్తవం ఆధారంగా సూత్రం ఉంటుంది. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. వేరియబుల్ భర్తీ పద్ధతి.సమీకరణం, వేరియబుల్స్ స్థానంలో ఉన్నప్పుడు, దాని రూపాన్ని సులభతరం చేస్తుంది మరియు పరిష్కరించడం చాలా సులభం అయితే ఈ పద్ధతిని ఉపయోగించాలి.
ఉదాహరణ.
సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి: $\ ప్రారంభం (కేసులు) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \ ముగింపు (కేసులు)$.
పరిష్కారం.
సిస్టమ్ యొక్క రెండు సమీకరణాలను విడిగా పరిశీలిద్దాం:
$27^y*3^x=1$.
$3^(3y)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
వేరియబుల్స్ యొక్క మార్పు పద్ధతిని ఉపయోగిస్తాము, $y=2^(x+y)$ని తెలపండి.
అప్పుడు సమీకరణం రూపం తీసుకుంటుంది:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ మరియు $y_2=-3$.
ప్రారంభ వేరియబుల్స్‌కి వెళ్దాం, మొదటి సమీకరణం నుండి మనకు $x+y=2$ వస్తుంది. రెండవ సమీకరణానికి పరిష్కారాలు లేవు. అప్పుడు మన ప్రారంభ సమీకరణాల వ్యవస్థ వ్యవస్థకు సమానం: $\begin (కేసులు) x+3y=0, \\ x+y=2. \ ముగింపు (కేసులు)$.
మొదటి సమీకరణం నుండి రెండవ దాన్ని తీసివేయండి, మనకు లభిస్తుంది: $\begin (కేసులు) 2y=-2, \\ x+y=2. \ ముగింపు (కేసులు)$.
$\begin (కేసులు) y=-1, \\ x=3. \ ముగింపు (కేసులు)$.
సమాధానం: $(3;-1)$.
ఘాతాంక అసమానతలు
అసమానతలకు వెళ్దాం. అసమానతలను పరిష్కరించేటప్పుడు, డిగ్రీ ఆధారంగా దృష్టి పెట్టడం అవసరం. అసమానతలను పరిష్కరించేటప్పుడు సంఘటనల అభివృద్ధికి రెండు సాధ్యమైన దృశ్యాలు ఉన్నాయి.సిద్ధాంతం. $a>1$ అయితే, ఘాతాంక అసమానత $a^(f(x))>a^(g(x))$ అసమానత $f(x)>g(x)$కి సమానం.
$0 అయితే
ఉదాహరణ.
అసమానతలను పరిష్కరించండి:
ఎ) $3^(2x+3)>81$.
బి) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) సి) $(0.3)^(x^2+6x)≤(0.3)^(4x+15)$ .
పరిష్కారం.
ఎ) $3^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
మన అసమానత అసమానతతో సమానం:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0.5$.
B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) మన సమీకరణంలో, ఆధారం డిగ్రీ అయినప్పుడు 1 కంటే తక్కువగా ఉంటుంది, అప్పుడు అసమానతను సమానమైన దానితో భర్తీ చేసినప్పుడు, గుర్తును మార్చడం అవసరం.
$2x-4>2$.
$x>3$.
సి) మన అసమానత అసమానతకు సమానం:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
విరామం పరిష్కార పద్ధతిని ఉపయోగిస్తాము:
సమాధానం: $(-∞;-5]U \ \
సమాధానం: $(-4,6)$.
ఉదాహరణ 2
సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి
మూర్తి 3.
పరిష్కారం.
ఈ వ్యవస్థ వ్యవస్థకు సమానం
చిత్రం 4.
సమీకరణాలను పరిష్కరించే నాల్గవ పద్ధతిని వర్తింపజేద్దాం. $2^x=u\ (u >0)$, మరియు $3^y=v\ (v >0)$ని అనుమతించండి, మేము పొందుతాము:
మూర్తి 5.
అదనపు పద్ధతిని ఉపయోగించి ఫలిత వ్యవస్థను పరిష్కరిద్దాం. సమీకరణాలను జోడిద్దాం:
\ \
అప్పుడు రెండవ సమీకరణం నుండి, మనం దానిని పొందుతాము
భర్తీకి తిరిగి వచ్చినప్పుడు, నేను ఘాతాంక సమీకరణాల యొక్క కొత్త వ్యవస్థను పొందాను:
మూర్తి 6.
మాకు దొరికింది:
చిత్రం 7.
సమాధానం: $(0,1)$.
ఘాతాంక అసమానతల వ్యవస్థలు
నిర్వచనం 2
ఘాతాంక సమీకరణాలతో కూడిన అసమానతల వ్యవస్థలను ఘాతాంక అసమానతల వ్యవస్థలు అంటారు.
ఉదాహరణలను ఉపయోగించి ఘాతాంక అసమానతలను పరిష్కరించే వ్యవస్థలను మేము పరిశీలిస్తాము.
ఉదాహరణ 3
అసమానతల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి
చిత్రం 8.
పరిష్కారం:
ఈ అసమానతల వ్యవస్థ వ్యవస్థకు సమానం
చిత్రం 9.
మొదటి అసమానతను పరిష్కరించడానికి, ఘాతాంక అసమానతల సమానత్వంపై క్రింది సిద్ధాంతాన్ని గుర్తుకు తెచ్చుకోండి:
సిద్ధాంతం 1.అసమానత $a^(f(x)) >a^(\varphi (x)) $, ఇక్కడ $a >0,a\ne 1$ రెండు సిస్టమ్‌ల సేకరణకు సమానం
\}