అకిలెస్ తాబేలు కంటే పది రెట్లు వేగంగా పరిగెడుతుంది మరియు దాని వెనుక వెయ్యి అడుగులు ఉన్నాడనుకుందాం. ఈ దూరం పరుగెత్తడానికి అకిలెస్ పట్టే సమయంలో, తాబేలు అదే దిశలో వంద అడుగులు క్రాల్ చేస్తుంది. అకిలెస్ వంద అడుగులు పరిగెత్తినప్పుడు, తాబేలు మరో పది అడుగులు క్రాల్ చేస్తుంది. ఈ ప్రక్రియ అనంతంగా కొనసాగుతుంది, అకిలెస్ తాబేలును ఎప్పటికీ పట్టుకోడు.
ఈ తార్కికం అన్ని తరువాతి తరాలకు తార్కిక షాక్‌గా మారింది. అరిస్టాటిల్, డయోజినెస్, కాంట్, హెగెల్, హిల్బర్ట్... వీళ్లంతా ఏదో ఒక విధంగా జెనో అపోరియాగా భావించారు. షాక్ చాలా బలంగా ఉంది " ... వైరుధ్యాల సారాంశం గురించి ఉమ్మడి అభిప్రాయాన్ని చేరుకోవడానికి చర్చలు నేటికీ కొనసాగుతున్నాయి శాస్త్రీయ సంఘంఇప్పటివరకు అది సాధ్యం కాలేదు... మేము సమస్య అధ్యయనంలో పాల్గొన్నాము గణిత విశ్లేషణ, సెట్ సిద్ధాంతం, కొత్త భౌతిక మరియు తాత్విక విధానాలు; వాటిలో ఏదీ సమస్యకు సాధారణంగా ఆమోదించబడిన పరిష్కారం కాదు..."[వికీపీడియా, "జెనోస్ అపోరియా". ప్రతి ఒక్కరూ తాము మోసపోతున్నారని అర్థం చేసుకుంటారు, కానీ మోసం ఏమిటో ఎవరికీ అర్థం కాలేదు.
గణిత శాస్త్ర దృక్కోణం నుండి, జెనో తన అపోరియాలో పరిమాణం నుండి కు మారడాన్ని స్పష్టంగా ప్రదర్శించాడు. ఈ పరివర్తన శాశ్వత వాటికి బదులుగా అనువర్తనాన్ని సూచిస్తుంది. నాకు అర్థమైనంత వరకు, గణిత ఉపకరణంకొలత యొక్క వేరియబుల్ యూనిట్ల ఉపయోగం ఇంకా అభివృద్ధి చేయబడలేదు లేదా Zeno యొక్క అపోరియాకు వర్తించబడలేదు. మన సాధారణ తర్కాన్ని వర్తింపజేయడం మనల్ని ఒక ఉచ్చులోకి నడిపిస్తుంది. మేము, ఆలోచన యొక్క జడత్వం కారణంగా, పరస్పర విలువకు సమయం యొక్క స్థిరమైన యూనిట్లను వర్తింపజేస్తాము. తో భౌతిక పాయింట్దృక్కోణంలో, అకిలెస్ తాబేలుతో పట్టుకున్న సమయంలో పూర్తిగా ఆగిపోయే వరకు సమయం మందగించినట్లు కనిపిస్తోంది. సమయం ఆగిపోతే, అకిలెస్ ఇకపై తాబేలును అధిగమించలేరు.
మేము మా సాధారణ తర్కాన్ని తిప్పితే, ప్రతిదీ స్థానంలోకి వస్తుంది. అకిలెస్ తో నడుస్తుంది స్థిరమైన వేగం. అతని మార్గంలోని ప్రతి తదుపరి విభాగం మునుపటి కంటే పది రెట్లు తక్కువగా ఉంటుంది. దీని ప్రకారం, దానిని అధిగమించడానికి గడిపిన సమయం మునుపటి కంటే పది రెట్లు తక్కువ. ఈ పరిస్థితిలో మనం “అనంతం” అనే భావనను వర్తింపజేస్తే, “అకిలెస్ తాబేలును అనంతంగా త్వరగా పట్టుకుంటాడు” అని చెప్పడం సరైనది.
ఈ తార్కిక ఉచ్చును ఎలా నివారించాలి? ఉండడానికి స్థిరమైన యూనిట్లుసమయం యొక్క కొలతలు మరియు పరస్పర పరిమాణాలకు వెళ్లవద్దు. జెనో భాషలో ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది:
అకిలెస్ వేయి అడుగులు పరిగెత్తడానికి పట్టే సమయంలో, తాబేలు అదే దిశలో వంద అడుగులు క్రాల్ చేస్తుంది. తదుపరి సమయం విరామం కోసం, మొదటిదానికి సమానం, అకిలెస్ మరో వెయ్యి మెట్లు పరుగెత్తుతుంది, తాబేలు వంద అడుగులు క్రాల్ చేస్తుంది. ఇప్పుడు అకిలెస్ తాబేలు కంటే ఎనిమిది వందల అడుగులు ముందున్నాడు.
ఈ విధానం ఎటువంటి తార్కిక వైరుధ్యాలు లేకుండా వాస్తవికతను తగినంతగా వివరిస్తుంది. కానీ అది కాదు పూర్తి పరిష్కారంసమస్యలు. కాంతి వేగం యొక్క ఇర్రెసిస్టిబిలిటీ గురించి ఐన్స్టీన్ యొక్క ప్రకటన జెనో యొక్క అపోరియా "అకిలెస్ అండ్ ది టార్టాయిస్" కు చాలా పోలి ఉంటుంది. మనం ఇంకా ఈ సమస్యను అధ్యయనం చేయాలి, పునరాలోచించాలి మరియు పరిష్కరించాలి. మరియు పరిష్కారం అనంతమైన పెద్ద సంఖ్యలో కాదు, కానీ కొలత యూనిట్లలో వెతకాలి.
జెనో యొక్క మరొక ఆసక్తికరమైన అపోరియా ఎగిరే బాణం గురించి చెబుతుంది:
ఎగిరే బాణం కదలకుండా ఉంటుంది, ఎందుకంటే ప్రతి క్షణం అది విశ్రాంతిగా ఉంటుంది మరియు ప్రతి క్షణం విశ్రాంతిగా ఉంటుంది కాబట్టి, అది ఎల్లప్పుడూ విశ్రాంతిగా ఉంటుంది.
ఈ అపోరియాలో, తార్కిక పారడాక్స్ చాలా సరళంగా అధిగమించబడుతుంది - ప్రతి క్షణంలో ఎగిరే బాణం అంతరిక్షంలో వేర్వేరు పాయింట్ల వద్ద విశ్రాంతిగా ఉందని స్పష్టం చేయడానికి సరిపోతుంది, ఇది వాస్తవానికి చలనం. ఇక్కడ మరో విషయం గమనించాలి. రహదారిపై ఉన్న కారు యొక్క ఒక ఛాయాచిత్రం నుండి దాని కదలిక యొక్క వాస్తవాన్ని లేదా దానికి దూరాన్ని గుర్తించడం అసాధ్యం. కారు కదులుతుందో లేదో తెలుసుకోవడానికి, మీకు ఒకే పాయింట్ నుండి తీసిన రెండు ఛాయాచిత్రాలు అవసరం విభిన్న క్షణాలుసమయం, కానీ వాటి నుండి దూరం నిర్ణయించబడదు. కారుకు దూరాన్ని నిర్ణయించడానికి, మీరు తీసిన రెండు ఛాయాచిత్రాలు అవసరం వివిధ పాయింట్లుఒక సమయంలో స్థలం, కానీ వాటి నుండి కదలిక వాస్తవాన్ని గుర్తించడం అసాధ్యం (సహజంగా, గణనల కోసం అదనపు డేటా ఇంకా అవసరం, త్రికోణమితి మీకు సహాయం చేస్తుంది). నేను ఏమి ఎత్తి చూపాలనుకుంటున్నాను ప్రత్యేక శ్రద్ధ, సమయం లో రెండు పాయింట్లు మరియు అంతరిక్షంలో రెండు పాయింట్లు గందరగోళానికి గురికాకూడదు, ఎందుకంటే అవి పరిశోధనకు విభిన్న అవకాశాలను అందిస్తాయి.
బుధవారం, జూలై 4, 2018
సెట్ మరియు మల్టీసెట్ మధ్య తేడాలు వికీపీడియాలో బాగా వివరించబడ్డాయి. చూద్దాం.
మీరు చూడగలిగినట్లుగా, “సమితిలో రెండు సారూప్య మూలకాలు ఉండకూడదు,” కానీ ఒక సెట్‌లో ఒకేలా మూలకాలు ఉంటే, అటువంటి సమితిని “మల్టీసెట్” అంటారు. సహేతుకమైన జీవులు ఇలాంటి అసంబద్ధ తర్కాన్ని ఎప్పటికీ అర్థం చేసుకోలేరు. ఇది స్థాయి మాట్లాడే చిలుకలుమరియు శిక్షణ పొందిన కోతులు, "పూర్తిగా" అనే పదం నుండి తెలివితేటలు లేవు. గణిత శాస్త్రవేత్తలు సాధారణ శిక్షకులుగా వ్యవహరిస్తారు, వారి అసంబద్ధమైన ఆలోచనలను మాకు బోధిస్తారు.
ఒకప్పుడు బ్రిడ్జిని టెస్టింగ్ చేస్తున్నప్పుడు బ్రిడ్జిని నిర్మించిన ఇంజనీర్లు బ్రిడ్జి కింద బోటులో ఉన్నారు. వంతెన కూలిపోతే, సాధారణ ఇంజనీర్ తన సృష్టి శిథిలాల కింద మరణించాడు. వంతెన భారాన్ని తట్టుకోగలిగితే, ప్రతిభావంతులైన ఇంజనీర్ ఇతర వంతెనలను నిర్మించారు.
గణిత శాస్త్రజ్ఞులు “స్క్రూ మి, ఐ యామ్ ఇన్ హౌస్” లేదా “గణిత అధ్యయనాల వెనుక ఎలా దాచినా నైరూప్య భావనలు", వాటిని వాస్తవికతతో విడదీయరాని విధంగా అనుసంధానించే బొడ్డు తాడు ఒకటి ఉంది. ఈ బొడ్డు తాడు డబ్బు. వర్తించు గణిత సిద్ధాంతంగణిత శాస్త్రజ్ఞులకే సెట్ చేస్తుంది.
గణితం బాగా చదివి ఇప్పుడు జీతాలు ఇస్తూ క్యాష్ రిజిస్టర్ దగ్గర కూర్చున్నాం. కాబట్టి ఒక గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు తన డబ్బు కోసం మన దగ్గరకు వస్తాడు. మేము అతనికి మొత్తం మొత్తాన్ని లెక్కించి, మా టేబుల్‌పై వేర్వేరు పైల్స్‌లో వేస్తాము, అందులో మేము అదే విలువ కలిగిన బిల్లులను ఉంచాము. అప్పుడు మేము ఒక్కో స్టాక్ నుండి ఒక బిల్లు తీసుకొని గణిత శాస్త్రజ్ఞుడికి అందజేస్తాము" గణిత సమితిజీతాలు." ఒకేలా మూలకాలు లేని సమితి ఒకే మూలకాలతో కూడిన సెట్‌తో సమానం కాదని అతను నిరూపించినప్పుడు మాత్రమే అతను మిగిలిన బిల్లులను స్వీకరిస్తాడని మేము గణితశాస్త్రానికి వివరిస్తాము. ఇక్కడే సరదా ప్రారంభమవుతుంది.
అన్నింటిలో మొదటిది, సహాయకుల తర్కం పని చేస్తుంది: "ఇది ఇతరులకు వర్తించవచ్చు, కానీ నాకు కాదు!" అప్పుడు వారు ఒకే డినామినేషన్‌కు చెందిన బిల్లులు వేర్వేరు బిల్లు నంబర్‌లను కలిగి ఉన్నాయని, అంటే వాటిని ఒకే మూలకాలుగా పరిగణించలేమని వారు మాకు భరోసా ఇవ్వడం ప్రారంభిస్తారు. సరే, జీతాలను నాణేలలో లెక్కిద్దాం - నాణేలపై సంఖ్యలు లేవు. ఇక్కడ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు భౌతిక శాస్త్రాన్ని పిచ్చిగా గుర్తుంచుకోవడం ప్రారంభిస్తాడు: వివిధ నాణేలపై ఉంది వివిధ పరిమాణాలుమట్టి, క్రిస్టల్ నిర్మాణంమరియు ప్రతి నాణెంలోని పరమాణువుల అమరిక ప్రత్యేకంగా ఉంటుంది...
మరియు ఇప్పుడు నాకు చాలా ఉన్నాయి ఆసక్తి అడగండి: మల్టీసెట్ యొక్క మూలకాలు సమితి యొక్క మూలకాలుగా మారే రేఖకు మించిన రేఖ ఎక్కడ ఉంది మరియు దీనికి విరుద్ధంగా? అటువంటి లైన్ ఉనికిలో లేదు - ప్రతిదీ షమన్లచే నిర్ణయించబడుతుంది, సైన్స్ ఇక్కడ అబద్ధం చెప్పడానికి కూడా దగ్గరగా లేదు.
ఇక్కడ చూడండి. మేము అదే మైదాన ప్రాంతంతో ఫుట్‌బాల్ స్టేడియాలను ఎంచుకుంటాము. ఫీల్డ్‌ల ప్రాంతాలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి - అంటే మనకు మల్టీసెట్ ఉంది. కానీ ఇవే స్టేడియాల పేర్లను పరిశీలిస్తే, పేర్లు వేర్వేరుగా ఉన్నందున, మనకు చాలా లభిస్తాయి. మీరు చూడగలిగినట్లుగా, ఒకే మూలకాల సమితి ఒక సెట్ మరియు మల్టీసెట్ రెండూ. ఏది సరైనది? మరియు ఇక్కడ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు-షమన్-షార్పిస్ట్ తన స్లీవ్ నుండి ట్రంప్‌ల ఏస్‌ను బయటకు తీస్తాడు మరియు ఒక సెట్ లేదా మల్టీసెట్ గురించి మాకు చెప్పడం ప్రారంభిస్తాడు. ఏది ఏమైనప్పటికీ, అతను సరైనది అని మనల్ని ఒప్పిస్తాడు.
ఆధునిక షమన్లు సెట్ సిద్ధాంతంతో ఎలా పనిచేస్తారో అర్థం చేసుకోవడానికి, దానిని వాస్తవికతతో ముడిపెట్టి, ఒక ప్రశ్నకు సమాధానం ఇస్తే సరిపోతుంది: ఒక సెట్ యొక్క మూలకాలు మరొక సెట్ యొక్క మూలకాల నుండి ఎలా భిన్నంగా ఉంటాయి? "ఒకే మొత్తంగా ఊహించదగినది కాదు" లేదా "ఒకే మొత్తంగా ఊహించలేనిది" లేకుండా నేను మీకు చూపిస్తాను.
ఆదివారం, మార్చి 18, 2018
సంఖ్య యొక్క అంకెల మొత్తం టాంబురైన్‌తో షమన్ల నృత్యం, దీనికి గణితంతో సంబంధం లేదు. అవును, గణిత పాఠాలలో ఒక సంఖ్య యొక్క అంకెల మొత్తాన్ని కనుగొని దానిని ఉపయోగించడం నేర్పించాము, కానీ అందుకే వారు షమన్లు, వారి వారసులకు వారి నైపుణ్యాలు మరియు జ్ఞానం నేర్పడానికి, లేకుంటే షమన్లు చనిపోతారు.
మీకు రుజువు కావాలా? వికీపీడియాను తెరిచి, "సంఖ్య యొక్క అంకెల మొత్తం" పేజీని కనుగొనడానికి ప్రయత్నించండి. ఆమె ఉనికిలో లేదు. గణితంలో ఏదైనా సంఖ్య యొక్క అంకెల మొత్తాన్ని కనుగొనడానికి ఉపయోగించే సూత్రం లేదు. అన్ని తరువాత, సంఖ్యలు గ్రాఫిక్ చిహ్నాలు, మేము సంఖ్యలను వ్రాసే సహాయంతో మరియు గణిత శాస్త్ర భాషలో పని ఇలా ఉంటుంది: "ఏదైనా సంఖ్యను సూచించే గ్రాఫిక్ చిహ్నాల మొత్తాన్ని కనుగొనండి." గణిత శాస్త్రవేత్తలు ఈ సమస్యను పరిష్కరించలేరు, కానీ షామన్లు దీన్ని సులభంగా చేయగలరు.
సంఖ్యల మొత్తాన్ని కనుగొనడానికి మనం ఏమి మరియు ఎలా చేయాలో గుర్తించండి ఇచ్చిన సంఖ్య. కాబట్టి, మనము 12345 సంఖ్యను కలిగి ఉన్నాము. ఈ సంఖ్య యొక్క అంకెల మొత్తాన్ని కనుగొనడానికి ఏమి చేయాలి? క్రమంలో అన్ని దశలను పరిశీలిద్దాం.
1. ఒక కాగితంపై సంఖ్యను వ్రాయండి. ఏం చేశాం? మేము సంఖ్యను గ్రాఫికల్ సంఖ్య చిహ్నంగా మార్చాము. ఇది గణిత ఆపరేషన్ కాదు.
2. మేము ఒక ఫలిత చిత్రాన్ని వ్యక్తిగత సంఖ్యలను కలిగి ఉన్న అనేక చిత్రాలలో కట్ చేస్తాము. చిత్రాన్ని కత్తిరించడం గణిత ప్రక్రియ కాదు.
3. వ్యక్తిగత గ్రాఫిక్ చిహ్నాలను సంఖ్యలుగా మార్చండి. ఇది గణిత ఆపరేషన్ కాదు.
4. ఫలిత సంఖ్యలను జోడించండి. ఇప్పుడు ఇది గణితం.
12345 సంఖ్య యొక్క అంకెల మొత్తం 15. ఇవి గణిత శాస్త్రజ్ఞులు ఉపయోగించే షమన్లు బోధించే "కటింగ్ మరియు కుట్టు కోర్సులు". అయితే అదంతా కాదు.
గణిత కోణం నుండి, మనం ఏ సంఖ్య వ్యవస్థలో సంఖ్యను వ్రాస్తామో అది పట్టింపు లేదు. కాబట్టి, లో వివిధ వ్యవస్థలుకాలిక్యులస్‌లో, ఒకే సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తం భిన్నంగా ఉంటుంది. గణితంలో, సంఖ్య వ్యవస్థ సంఖ్యకు కుడివైపున సబ్‌స్క్రిప్ట్‌గా సూచించబడుతుంది. తో పెద్ద సంఖ్యలో 12345 నేను నా తలని మోసం చేయకూడదనుకుంటున్నాను, గురించి కథనం నుండి 26 సంఖ్యను చూద్దాం. ఈ సంఖ్యను బైనరీ, ఆక్టల్, డెసిమల్ మరియు హెక్సాడెసిమల్ నంబర్ సిస్టమ్‌లలో వ్రాద్దాం. మేము మైక్రోస్కోప్ క్రింద ప్రతి అడుగును చూడము; ఫలితాన్ని చూద్దాం.
మీరు చూడగలిగినట్లుగా, వేర్వేరు సంఖ్య వ్యవస్థలలో ఒకే సంఖ్య యొక్క అంకెల మొత్తం భిన్నంగా ఉంటుంది. ఈ ఫలితానికి గణితానికి సంబంధం లేదు. మీరు ఒక దీర్ఘచతురస్రం యొక్క వైశాల్యాన్ని మీటర్లు మరియు సెంటీమీటర్లలో నిర్ణయించినట్లయితే, మీరు పూర్తిగా భిన్నమైన ఫలితాలను పొందుతారు.
సున్నా అన్ని నంబర్ సిస్టమ్‌లలో ఒకేలా కనిపిస్తుంది మరియు అంకెల మొత్తం ఉండదు. ఈ వాస్తవం అనుకూలంగా మరొక వాదన. గణిత శాస్త్రజ్ఞులకు ప్రశ్న: గణితంలో సంఖ్య కానిది ఎలా సూచించబడుతుంది? ఏమిటి, గణిత శాస్త్రజ్ఞులకు సంఖ్యలు తప్ప మరేమీ లేదు? నేను షామన్ల కోసం దీన్ని అనుమతించగలను, కానీ శాస్త్రవేత్తల కోసం కాదు. వాస్తవికత కేవలం సంఖ్యలకు సంబంధించినది కాదు.
పొందిన ఫలితం సంఖ్య వ్యవస్థలు సంఖ్యల కొలత యూనిట్లు అని రుజువుగా పరిగణించాలి. అన్నింటికంటే, మేము సంఖ్యలను పోల్చలేము వివిధ యూనిట్లుకొలతలు. ఒకే పరిమాణంలోని వివిధ యూనిట్ల కొలతలతో ఒకే చర్యలు వాటిని పోల్చిన తర్వాత వేర్వేరు ఫలితాలకు దారితీస్తే, దీనికి గణితంతో సంబంధం లేదు.
అసలు గణితం అంటే ఏమిటి? ఇది ఎప్పుడు ఫలితం గణిత ఆపరేషన్సంఖ్య పరిమాణం, ఉపయోగించిన కొలత యూనిట్ మరియు చర్యను ఎవరు నిర్వహిస్తారనే దానిపై ఆధారపడి ఉండదు.
ఓ! ఇది మహిళల విశ్రాంతి గది కాదా?
- యువతి! ఇది స్వర్గానికి వెళ్లే సమయంలో ఆత్మల యొక్క నిర్వికారమైన పవిత్రతను అధ్యయనం చేయడానికి ఒక ప్రయోగశాల! పైన హాలో మరియు పైకి బాణం. ఏ ఇతర టాయిలెట్?
ఆడది... పైన ఉన్న హాలో మరియు క్రింది బాణం మగ.
అలాంటి డిజైన్ ఆర్ట్ పని రోజుకు చాలాసార్లు మీ కళ్ళ ముందు మెరుస్తూ ఉంటే,
అప్పుడు మీరు మీ కారులో అకస్మాత్తుగా వింత చిహ్నాన్ని కనుగొనడంలో ఆశ్చర్యం లేదు:
వ్యక్తిగతంగా, నేను పూపింగ్ వ్యక్తిలో మైనస్ నాలుగు డిగ్రీలను చూడడానికి ప్రయత్నిస్తాను (ఒక చిత్రం) (అనేక చిత్రాల కూర్పు: మైనస్ గుర్తు, సంఖ్య నాలుగు, డిగ్రీల హోదా). మరియు ఈ అమ్మాయి తెలివితక్కువదని నేను అనుకోను, లేదు భౌతిక శాస్త్రంలో పరిజ్ఞానం. ఆమె కేవలం అవగాహన యొక్క ఆర్చ్ స్టీరియోటైప్‌ను కలిగి ఉంది గ్రాఫిక్ చిత్రాలు. మరియు గణిత శాస్త్రజ్ఞులు దీనిని మనకు ఎప్పటికప్పుడు బోధిస్తారు. ఇక్కడ ఒక ఉదాహరణ.
1A అనేది “మైనస్ నాలుగు డిగ్రీలు” లేదా “ఒకటి a” కాదు. ఇది హెక్సాడెసిమల్ సంజ్ఞామానంలో "పూపింగ్ మ్యాన్" లేదా "ఇరవై ఆరు" సంఖ్య. ఈ నంబర్ సిస్టమ్‌లో నిరంతరం పనిచేసే వ్యక్తులు స్వయంచాలకంగా ఒక సంఖ్య మరియు అక్షరాన్ని ఒక గ్రాఫిక్ చిహ్నంగా గ్రహిస్తారు.
మీరు ఇప్పటికే సంఖ్యా వృత్తం గురించి చదివారని మరియు దానిని సంఖ్యా వృత్తం అని ఎందుకు పిలుస్తారు, కోఆర్డినేట్‌ల మూలం దానిపై మరియు ఏ వైపు సానుకూల దిశలో ఉందో మీకు తెలుసునని నేను ఆశిస్తున్నాను. లేకపోతే, అప్పుడు అమలు! అయితే, మీరు పాయింట్లను కనుగొనబోతున్నారు సంఖ్య సర్కిల్.
మేము \(2π\), \(π\), \(\frac(π)(2)\), \(-\frac(π)(2)\), \(\frac(3π) సంఖ్యలను సూచిస్తాము (2)\)
మీకు తెలిసినట్లుగా చివరి వ్యాసం, సంఖ్య వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం \(1\). దీని అర్థం చుట్టుకొలత \(2π\)కి సమానం (\(l=2πR\) సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది). దీన్ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, మేము నంబర్ సర్కిల్‌పై \(2π\) గుర్తు చేస్తాము. ఈ సంఖ్యను గుర్తించడానికి, మేము \(0\) నుండి సంఖ్య వృత్తం వెంట \(2π\)కి సమానమైన దూరానికి సానుకూల దిశలో వెళ్లాలి మరియు సర్కిల్ యొక్క పొడవు \(2π\) కనుక ఇది మారుతుంది. మేము చేస్తాము పూర్తి మలుపు. అంటే, \(2π\) మరియు \(0\) ఒకే పాయింట్‌కి అనుగుణంగా ఉంటాయి. చింతించకండి, ఒక పాయింట్ కోసం బహుళ విలువలు సంఖ్య సర్కిల్‌కు సాధారణం.
ఇప్పుడు సంఖ్య సర్కిల్‌పై \(π\) సంఖ్యను సూచిస్తాము. \(π\) \(2π\)లో సగం. అందువలన, ఈ సంఖ్య మరియు సంబంధిత పాయింట్‌ను గుర్తించడానికి, మీరు \(0\) నుండి సానుకూల దిశలో సగం సర్కిల్‌కు వెళ్లాలి.
పాయింట్ \(\frac(π)(2)\) గుర్తు చేద్దాం. \(\frac(π)(2)\) అనేది \(π\)లో సగం, కాబట్టి, ఈ సంఖ్యను గుర్తించడానికి, మీరు \(0\) నుండి సానుకూల దిశలో \(లో సగానికి సమానమైన దూరం వెళ్లాలి. π\), అది క్వార్టర్ సర్కిల్.
సర్కిల్ \(-\)\(\frac(π)(2)\) పై పాయింట్లను సూచిస్తాము. మేము లో ఉన్న అదే దూరాన్ని తరలిస్తాము చివరిసారి, కానీ ప్రతికూల దిశలో.
\(-π\) పెట్టుకుందాం. దీని కొరకు దూరం వెళ్దాంప్రతికూల దిశలో సగం వృత్తానికి సమానం.
ఇప్పుడు మరింత సంక్లిష్టమైన ఉదాహరణను చూద్దాం. సర్కిల్‌పై \(\frac(3π)(2)\) సంఖ్యను గుర్తించండి. దీన్ని చేయడానికి, మేము \(\frac(3)(2)\) భిన్నాన్ని \(\frac(3)(2)\) \(=1\)\(\frac(1)(2)\ లోకి అనువదిస్తాము. ), అనగా ఇ. \(\frac(3π)(2)\) \(=π+\)\(\frac(π)(2)\) . దీని అర్థం మనకు \(0\) నుండి అవసరం సానుకూల వైపుసగం వృత్తం మరియు మరొక పావు దూరం నడవండి.
వ్యాయామం 1. నంబర్ సర్కిల్‌పై \(-2π\),\(-\)\(\frac(3π)(2)\) పాయింట్లను గుర్తించండి.
మేము \(\frac(π)(4)\), \(\frac(π)(3)\), \(\frac(π)(6)\) ,\(\frac(7π) సంఖ్యలను సూచిస్తాము (6 )\), \(-\frac(4π)(3)\), \(\frac(7π)(4)\)
పైన మేము \(x\) మరియు \(y\) అక్షాలతో నంబర్ సర్కిల్ యొక్క ఖండన పాయింట్ల వద్ద విలువలను కనుగొన్నాము. ఇప్పుడు ఇంటర్మీడియట్ పాయింట్ల స్థానాన్ని నిర్ణయించండి. ముందుగా, \(\frac(π)(4)\) , \(\frac(π)(3)\) మరియు \(\frac(π)(6)\) పాయింట్లను ప్లాట్ చేద్దాం.
\(\frac(π)(4)\) అనేది \(\frac(π)(2)\) (అంటే \(\frac(π)(4)\) \(=\)\ ( \frac(π)(2)\) \(:2)\) , కాబట్టి దూరం \(\frac(π)(4)\) సగం క్వార్టర్ సర్కిల్.
\(\frac(π)(4)\) అనేది \(π\)లో మూడవ వంతు (మరో మాటలో చెప్పాలంటే,\(\frac(π)(3)\) \(=π:3\)), కాబట్టి దూరం \ (\frac(π)(3)\) అర్ధ వృత్తంలో మూడో వంతు.
\(\frac(π)(6)\) అనేది \(\frac(π)(3)\)లో సగం (అన్ని తరువాత, \(\frac(π)(6)\) \(=\)\( \frac (π)(3)\) \(:2\)) కాబట్టి దూరం \(\frac(π)(6)\) దూరం \(\frac(π)(3)\) .
అవి ఒకదానికొకటి సాపేక్షంగా ఈ విధంగా ఉన్నాయి:
వ్యాఖ్య:విలువతో పాయింట్ల స్థానం \(0\), \(\frac(π)(2)\) ,\(π\), \(\frac(3π)(2)\) , \(\frac(π) ( 4)\) , \(\frac(π)(3)\) , \(\frac(π)(6)\) గుర్తుంచుకోవడం మంచిది. అవి లేకుండా, నంబర్ సర్కిల్, మానిటర్ లేని కంప్యూటర్ లాగా, ఉపయోగకరమైన విషయం అనిపిస్తుంది, కానీ ఉపయోగించడానికి చాలా అసౌకర్యంగా ఉంటుంది.
ఇప్పుడు సర్కిల్ \(\frac(7π)(6)\) పై పాయింట్‌ని సూచిస్తాము, దీన్ని చేయడానికి మేము ఈ క్రింది రూపాంతరాలను చేస్తాము: \(\frac(7π)(6)\) \(=\)\(\ frac(6π + π )(6)\) \(=\)\(\frac(6π)(6)\) \(+\)\(\frac(π)(6)\) \(=π+ \)\(\ frac(π)(6)\) . దీని నుండి మనం సానుకూల దిశలో సున్నా నుండి \(π\) దూరం ప్రయాణించవలసి ఉంటుందని, ఆపై మరొక \(\frac(π)(6)\) .
సర్కిల్‌పై \(-\)\(\frac(4π)(3)\) పాయింట్‌ను గుర్తించండి. రూపాంతరం: \(-\)\(\frac(4π)(3)\) \(=-\)\(\frac(3π)(3)\) \(-\)\(\frac(π)( 3)\) \(=-π-\)\(\frac(π)(3)\) . దీని అర్థం \(0\) నుండి మీరు ప్రతికూల దిశలో దూరం \(π\) మరియు \(\frac(π)(3)\) .
\(\frac(7π)(4)\) పాయింట్‌ని ప్లాట్ చేద్దాం, దీన్ని చేయడానికి మనం \(\frac(7π)(4)\) \(=\)\(\frac(8π-π)(4)ని మారుస్తాము. )\) \ (=\)\(\frac(8π)(4)\) \(-\)\(\frac(π)(4)\) \(=2π-\)\(\frac(π) )(4) \) . దీనర్థం \(\frac(7π)(4)\) విలువతో పాయింట్‌ను ఉంచడానికి, మీరు \(2π\) విలువ ఉన్న పాయింట్ నుండి ప్రతికూల వైపు \(\)కి వెళ్లాలి. frac(π)(4)\) .
టాస్క్ 2. \(-\)\(\frac(π)(6)\) ,\(-\)\(\frac(π)(4)\) ,\(-\)\(\frac) పాయింట్లను గుర్తు పెట్టండి సంఖ్య వృత్తం (π)(3)\) ,\(\frac(5π)(4)\) ,\(-\)\(\frac(7π)(6)\) ,\(\frac(11π) (6) \) , \(\frac(2π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(3π)(4)\) .
మేము \(10π\), \(-3π\), \(\frac(7π)(2)\) ,\(\frac(16π)(3)\), \(-\frac(21π) సంఖ్యలను సూచిస్తాము )( 2)\), \(-\frac(29π)(6)\)
\(10π\)ని \(5 \cdot 2π\) రూపంలో వ్రాద్దాం. \(2π\) అనేది దూరం అని గుర్తుంచుకోండి పొడవుకు సమానంసర్కిల్‌లు, కాబట్టి పాయింట్ \(10π\)ని గుర్తించడానికి, మీరు సున్నా నుండి \(5\) సర్కిల్‌లకు సమానమైన దూరానికి వెళ్లాలి. పాయింట్ \(0\) వద్ద మళ్లీ మనల్ని మనం కనుగొంటామని ఊహించడం కష్టం కాదు, కేవలం ఐదు విప్లవాలు చేయండి.
ఈ ఉదాహరణ నుండి మనం ముగించవచ్చు:
\(2πn\) తేడాతో ఉన్న సంఖ్యలు, ఇక్కడ \(n∈Z\) (అంటే \(n\) ఏదైనా పూర్ణాంకం) అదే పాయింట్‌కి అనుగుణంగా ఉంటుంది.
అంటే, \(2π\) (లేదా \(-2π\) కంటే తక్కువ) కంటే ఎక్కువ విలువతో ఒక సంఖ్యను ఉంచడానికి, మీరు దాని నుండి సరి సంఖ్య \(π\) (\(2π\)ని సంగ్రహించాలి, \(8π\), \(-10π\)...) మరియు విస్మరించండి. అందువలన, పాయింట్ యొక్క స్థానాన్ని ప్రభావితం చేయని సంఖ్యల నుండి "ఖాళీ విప్లవాలను" తొలగిస్తాము.
మరొక తీర్మానం:
\(0\) అనుగుణంగా ఉండే పాయింట్ అన్ని సరి పరిమాణాలకు కూడా అనుగుణంగా ఉంటుంది \(π\) (\(±2π\),\(±4π\),\(±6π\)...).
ఇప్పుడు సర్కిల్‌కు \(-3π\) వర్తింపజేద్దాం. \(-3π=-π-2π\), అంటే \(-3π\) మరియు \(–π\) సర్కిల్‌లో ఒకే స్థలంలో ఉన్నాయి (అవి \(-2πలో "ఖాళీ మలుపు"తో విభేదిస్తాయి కాబట్టి \)).
మార్గం ద్వారా, అన్ని బేసి \(π\) కూడా ఉంటుంది.
\(π\) అనుగుణంగా ఉండే పాయింట్ అన్ని బేసి పరిమాణాలకు కూడా అనుగుణంగా ఉంటుంది \(π\) (\(±π\),\(±3π\),\(±5π\)...).
ఇప్పుడు \(\frac(7π)(2)\) సంఖ్యను సూచిస్తాము. ఎప్పటిలాగే, మేము రూపాంతరం చేస్తాము: \(\frac(7π)(2)\) \(=\)\(\frac(6π)(2)\) \(+\)\(\frac(π)(2) \(=3π+\)\(\frac(π)(2)\) \(=2π+π+\)\(\frac(π)(2)\) . మేము రెండు పైలను విస్మరిస్తాము మరియు \(\frac(7π)(2)\) సంఖ్యను సూచించడానికి మీరు సున్నా నుండి సానుకూల దిశలో \(π+\)\(\)కి సమానమైన దూరానికి వెళ్లాలి. frac(π)(2)\ ) (అంటే సగం వృత్తం మరియు మరొక త్రైమాసికం).
మీరు యూనిట్ నంబర్ సర్కిల్‌ను ఆన్ చేస్తే సమన్వయ విమానం, అప్పుడు దాని పాయింట్ల కోసం కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనవచ్చు. సంఖ్య వృత్తం స్థానంలో ఉంది, తద్వారా దాని కేంద్రం విమానం యొక్క మూలంతో సమానంగా ఉంటుంది, అనగా పాయింట్ O (0; 0).
సాధారణంగా యూనిట్ నంబర్ సర్కిల్‌పై సర్కిల్ యొక్క మూలానికి సంబంధించిన పాయింట్లు గుర్తించబడతాయి
- వంతులు - 0 లేదా 2π, π/2, π, (2π)/3,
- మధ్య వంతులు - π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
- త్రైమాసికంలో మూడింట - π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.
పై స్థానంతో కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లో యూనిట్ సర్కిల్మీరు సర్కిల్‌లో ఈ పాయింట్లకు సంబంధించిన కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనవచ్చు.
క్వార్టర్స్ చివరల కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనడం చాలా సులభం. వృత్తం యొక్క పాయింట్ 0 వద్ద, x కోఆర్డినేట్ 1, మరియు y కోఆర్డినేట్ 0. మేము దానిని A (0) = A (1; 0) గా సూచించవచ్చు.
మొదటి త్రైమాసికం ముగింపు సానుకూల y- అక్షం మీద ఉంటుంది. కాబట్టి, B (π/2) = B (0; 1).
రెండవ త్రైమాసికం ముగింపు ప్రతికూల సెమీ-యాక్సిస్‌లో ఉంటుంది: C (π) = C (-1; 0).
మూడవ త్రైమాసికం ముగింపు: D ((2π)/3) = D (0; -1).
అయితే క్వార్టర్స్ మధ్య బిందువుల కోఆర్డినేట్‌లను ఎలా కనుగొనాలి? దీని కోసం వారు నిర్మిస్తారు కుడి త్రిభుజం. దీని హైపోటెన్యూస్ అనేది వృత్తం యొక్క కేంద్రం (లేదా మూలం) నుండి త్రైమాసిక వృత్తం మధ్య బిందువు వరకు ఉన్న ఒక విభాగం. ఇది వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం. వృత్తం యూనిట్ అయినందున, హైపోటెన్యూస్ 1కి సమానం. తర్వాత, వృత్తంలోని ఒక బిందువు నుండి ఏదైనా అక్షానికి లంబంగా గీయండి. అది x అక్షం వైపు ఉండనివ్వండి. ఫలితం ఒక లంబ త్రిభుజం, వృత్తంలోని బిందువు యొక్క x మరియు y కోఆర్డినేట్‌ల కాళ్ళ పొడవు.
క్వార్టర్ సర్కిల్ 90º. మరియు సగం వంతు 45º. హైపోటెన్యూస్ క్వాడ్రంట్ యొక్క మధ్య బిందువుకు డ్రా అయినందున, మూలం నుండి విస్తరించి ఉన్న హైపోటెన్యూస్ మరియు లెగ్ మధ్య కోణం 45º. కానీ ఏదైనా త్రిభుజం యొక్క కోణాల మొత్తం 180º. పర్యవసానంగా, హైపోటెన్యూస్ మరియు ఇతర కాలు మధ్య కోణం కూడా 45º ఉంటుంది. దీని ఫలితంగా సమద్విబాహు లంబకోణం ఏర్పడుతుంది.
పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం నుండి మనం x 2 + y 2 = 1 2 సమీకరణాన్ని పొందుతాము. x = y మరియు 1 2 = 1 కాబట్టి, సమీకరణం x 2 + x 2 = 1కి సులభతరం అవుతుంది. దాన్ని పరిష్కరిస్తే, మనకు x = √½ = 1/√2 = √2/2 వస్తుంది.
అందువలన, పాయింట్ M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2) యొక్క అక్షాంశాలు.
ఇతర త్రైమాసికాల మధ్య బిందువుల పాయింట్ల కోఆర్డినేట్‌లలో, సంకేతాలు మాత్రమే మారుతాయి మరియు విలువల మాడ్యూల్స్ అలాగే ఉంటాయి, ఎందుకంటే కుడి త్రిభుజం మాత్రమే తిరగబడుతుంది. మాకు దొరికింది:
M 2 ((3π)/4) = M 2 (-√2/2; √2/2)
M 3 ((5π)/4) = M 3 (-√2/2; -√2/2)
M 4 ((7π)/4) = M 4 (√2/2; -√2/2)
వృత్తం యొక్క క్వార్టర్స్ యొక్క మూడవ భాగాల కోఆర్డినేట్‌లను నిర్ణయించేటప్పుడు, ఒక లంబ త్రిభుజం కూడా నిర్మించబడుతుంది. మనం π/6 పాయింట్‌ని తీసుకుని, x-అక్షానికి లంబంగా గీస్తే, హైపోటెన్యూస్ మరియు x-యాక్సిస్‌పై ఉన్న కాలు మధ్య కోణం 30º అవుతుంది. ఒక కాలు 30º కోణానికి ఎదురుగా ఉందని తెలిసింది సగానికి సమానంహైపోటెన్యూస్. దీని అర్థం మనం y కోఆర్డినేట్‌ని కనుగొన్నాము, అది ½కి సమానం.
పైథాగరియన్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి, హైపోటెన్యూస్ మరియు ఒక కాలు యొక్క పొడవును తెలుసుకోవడం, మేము మరొక కాలును కనుగొంటాము:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 = 1 - ¼ = ¾
x = √3/2
అందువలన T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½).
మొదటి త్రైమాసికం (π/3) యొక్క రెండవ మూడవ పాయింట్ కోసం, y అక్షానికి అక్షానికి లంబంగా గీయడం మంచిది. అప్పుడు మూలం వద్ద కోణం కూడా 30º అవుతుంది. ఇక్కడ x కోఆర్డినేట్ వరుసగా ½ మరియు yకి సమానంగా ఉంటుంది, √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).
మూడవ త్రైమాసికంలోని ఇతర పాయింట్ల కోసం, కోఆర్డినేట్ విలువల సంకేతాలు మరియు క్రమం మారుతాయి. x అక్షానికి దగ్గరగా ఉన్న అన్ని పాయింట్లు √3/2కి సమానమైన మాడ్యులస్ x కోఆర్డినేట్ విలువను కలిగి ఉంటాయి. y అక్షానికి దగ్గరగా ఉండే పాయింట్లు √3/2కి సమానమైన మాడ్యులస్ y విలువను కలిగి ఉంటాయి.
T 3 ((2π)/3) = T 3 (-½; √3/2)
T 4 ((5π)/6) = T 4 (-√3/2; ½)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T 8 ((11π)/6) = T 8 (√3/2; -½)
వీడియో పాఠం “యూనిట్ సర్కిల్‌లో సైన్ మరియు కొసైన్ యొక్క నిర్వచనం” అందిస్తుంది దృశ్య పదార్థంసంబంధిత అంశంపై పాఠం కోసం. పాఠం సమయంలో, యూనిట్ సర్కిల్ యొక్క బిందువులకు సంబంధించిన సంఖ్యల కోసం సైన్ మరియు కొసైన్ యొక్క భావనలు చర్చించబడ్డాయి, అనేక ఉదాహరణలు వివరించబడ్డాయి, అవి ఉపయోగించబడే సమస్యలను పరిష్కరించే సామర్థ్యాన్ని ఏర్పరుస్తాయి. ఈ వివరణభావనలు. పరిష్కారాల యొక్క అనుకూలమైన మరియు అర్థమయ్యే దృష్టాంతాలు, వివరమైన రీజనింగ్ కోర్సు అభ్యాస లక్ష్యాలను త్వరగా సాధించడానికి మరియు పాఠం యొక్క ప్రభావాన్ని పెంచడానికి సహాయపడుతుంది.
అంశాన్ని పరిచయం చేయడం ద్వారా వీడియో పాఠం ప్రారంభమవుతుంది. ప్రదర్శన ప్రారంభంలో, ఒక సంఖ్య యొక్క సైన్ మరియు కొసైన్ యొక్క నిర్వచనం ఇవ్వబడింది. కోఆర్డినేట్‌ల మూలం వద్ద ఉన్న ఒక యూనిట్ సర్కిల్ స్క్రీన్‌పై ప్రదర్శించబడుతుంది, A, B, C, D కోఆర్డినేట్ అక్షాలతో యూనిట్ సర్కిల్ యొక్క ఖండన పాయింట్లు ఫ్రేమ్‌లో హైలైట్ చేయబడి ఉంటాయి యూనిట్ సర్కిల్‌కు చెందిన ఒక బిందువు M నిర్దిష్ట సంఖ్య tకి అనుగుణంగా ఉంటే, ఈ బిందువు యొక్క అబ్సిస్సా సంఖ్య t యొక్క కొసైన్ మరియు cos t అని సూచించబడుతుంది, పాయింట్ యొక్క ఆర్డినేట్ సైన్ మరియు ఇది sin t అని సూచించబడుతుంది. నిర్వచనం యొక్క గాత్రం యూనిట్ సర్కిల్‌పై పాయింట్ M యొక్క చిత్రంతో కూడి ఉంటుంది, ఇది దాని అబ్సిస్సా మరియు ఆర్డినేట్‌ని సూచిస్తుంది. M(t)=M(x;y), x= cos t, y= sin t అనే సంజ్ఞామానాన్ని ఉపయోగించి ఒక చిన్న సంజ్ఞామానం ప్రదర్శించబడుతుంది. సంఖ్య యొక్క కొసైన్ మరియు సైన్ విలువపై విధించిన పరిమితులు సూచించబడ్డాయి. సమీక్షించిన డేటా ప్రకారం, -1<=cos t<=1 и -1<= sin t<=1.
పాయింట్ ఏ త్రైమాసికంలో ఉందో దానిపై ఆధారపడి ఫంక్షన్ యొక్క సంకేతం ఎలా మారుతుందో బొమ్మ నుండి చూడటం కూడా సులభం. స్క్రీన్‌పై పట్టిక సంకలనం చేయబడింది, దీనిలో ప్రతి ఫంక్షన్‌కు దాని గుర్తు త్రైమాసికంపై ఆధారపడి సూచించబడుతుంది. మొదటి మరియు నాల్గవ త్రైమాసికాలలో cos t యొక్క సంకేతం ప్లస్ మరియు రెండవ మరియు మూడవ త్రైమాసికంలో మైనస్. మొదటి మరియు రెండవ త్రైమాసికాల్లో sin t గుర్తు ప్లస్, మూడవ మరియు నాల్గవ త్రైమాసికంలో మైనస్.
విద్యార్థులు యూనిట్ సర్కిల్ సమీకరణం x 2 + y 2 = 1 గుర్తుకు తెచ్చుకుంటారు. సంబంధిత ఫంక్షన్ల కోఆర్డినేట్‌లకు బదులుగా ప్రత్యామ్నాయం చేసిన తర్వాత, మేము cos 2 t+ sin 2 t=1 - ప్రధాన త్రికోణమితి గుర్తింపును పొందుతాము. యూనిట్ సర్కిల్‌ను ఉపయోగించి sin t మరియు cos tని కనుగొనే పద్ధతిని ఉపయోగించి, π/4 ఇంక్రిమెంట్లలో 0 నుండి 2π వరకు మరియు π/6 నుండి 11π వరకు సంఖ్యల కోసం సైన్ మరియు కొసైన్ యొక్క ప్రాథమిక విలువల పట్టికను పూరించండి. π/6 ఇంక్రిమెంట్లలో /6. ఈ పట్టికలు తెరపై చూపబడతాయి. వాటిని మరియు డ్రాయింగ్‌ని ఉపయోగించి, ఉపాధ్యాయులు మెటీరియల్‌లో ఎంత బాగా ప్రావీణ్యం పొందారు మరియు విద్యార్థులు పాపం మరియు కాస్టి విలువల మూలాన్ని ఎంత బాగా అర్థం చేసుకున్నారో తనిఖీ చేయవచ్చు.
t=41π/4 కోసం sin t మరియు cos t లెక్కించబడే ఒక ఉదాహరణ పరిగణించబడుతుంది. మూలం వద్ద దాని కేంద్రంతో యూనిట్ సర్కిల్‌ను చూపే బొమ్మ ద్వారా పరిష్కారం వివరించబడింది. దానిపై పాయింట్ 41π/4 గుర్తించబడింది. ఈ పాయింట్ పాయింట్ π/4 యొక్క స్థానంతో సమానంగా ఉంటుందని గుర్తించబడింది. ఈ భిన్నాన్ని మిశ్రమ భిన్నం 41π/4=π/4+2π·5గా సూచించడం ద్వారా ఇది నిరూపించబడింది. కొసైన్ విలువల పట్టికను ఉపయోగించి, మేము cos π/4=√2/2 మరియు sinπ/4=√2/2 విలువలను పొందుతాము. పొందిన సమాచారం నుండి అది cos 41π/4=√2/2 మరియు sin 41π/4=√2/2.
రెండవ ఉదాహరణలో, t=-25π/3 కోసం sin t మరియు cos t లను లెక్కించడం అవసరం. స్క్రీన్ t=-25π/3 పాయింట్‌తో యూనిట్ సర్కిల్‌ను ప్రదర్శిస్తుంది. మొదట, సమస్యను పరిష్కరించడానికి, దాని sin t మరియు cos t ఏ పట్టిక విలువకు అనుగుణంగా ఉంటుందో తెలుసుకోవడానికి -25π/3 సంఖ్య మిశ్రమ భిన్నం వలె సూచించబడుతుంది. పరివర్తన తర్వాత మనకు -25π/3=-π/3+2π·(-4) వస్తుంది. సహజంగానే, t=-25π/3 -π/3 లేదా 5π/3 పాయింట్‌తో సర్కిల్‌పై ఏకీభవిస్తుంది. పట్టిక నుండి మేము సైన్ మరియు కొసైన్ cos 5π/3=1/2 మరియు sin 5π/3=-√3/2 యొక్క సంబంధిత విలువలను ఎంచుకుంటాము. ఈ విలువలు ప్రశ్నలోని సంఖ్య cos (-25π/3)=1/2 మరియు sin (-25π/3)=-√3/2కి సరైనవి. సమస్య పరిష్కారమైంది.
ఉదాహరణ 3 అదే విధంగా పరిష్కరించబడింది, దీనిలో t=37π కోసం sin t మరియు cos t లెక్కించడం అవసరం. ఉదాహరణను పరిష్కరించడానికి, 37π సంఖ్య విస్తరించబడింది, π మరియు 2πలను వేరు చేస్తుంది. ఈ ప్రాతినిధ్యంలో ఇది 37π=π+2π·18 అవుతుంది. పరిష్కారం ప్రక్కన చూపబడిన యూనిట్ సర్కిల్‌లో, ఈ పాయింట్ ఆర్డినేట్ అక్షం యొక్క ప్రతికూల భాగం మరియు యూనిట్ సర్కిల్ - పాయింట్ π యొక్క ఖండన వద్ద గుర్తించబడింది. సహజంగానే, సంఖ్య యొక్క సైన్ మరియు కొసైన్ విలువలు π యొక్క పట్టిక విలువలతో సమానంగా ఉంటాయి. పట్టిక నుండి మనం sin π=-1 మరియు cos π=0 విలువలను కనుగొంటాము. దీని ప్రకారం, ఇదే విలువలు కావలసినవి, అంటే sin 37π=-1 మరియు cos 37π=0.
ఉదాహరణ 4లో t=-12π వద్ద sin t మరియు cos t లను లెక్కించడం అవసరం. మేము సంఖ్యను -12π=0+2π·(-6)గా సూచిస్తాము. దీని ప్రకారం, పాయింట్ -12π పాయింట్ 0తో సమానంగా ఉంటుంది. ఈ పాయింట్ యొక్క కొసైన్ మరియు సైన్ విలువలు sin 0=1 మరియు cos 0=0. ఈ విలువలు అవసరమైనవి sin (-12π)=1 మరియు cos (-12π)=0.
ఐదవ ఉదాహరణలో, మీరు sin t=√3/2 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించాలి. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడంలో, సంఖ్య యొక్క సైన్ భావన ఉపయోగించబడుతుంది. ఇది పాయింట్ M(t) యొక్క ఆర్డినేట్‌ను సూచిస్తుంది కాబట్టి, ఆర్డినేట్ √3/2తో పాయింట్‌ను కనుగొనడం అవసరం. పరిష్కారంతో పాటుగా ఉన్న బొమ్మ ఆర్డినేట్ √3/2 రెండు పాయింట్లకు అనుగుణంగా ఉందని చూపిస్తుంది - మొదటి π/3 మరియు రెండవది 2π/3. ఫంక్షన్ యొక్క ఆవర్తనాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, పూర్ణాంకం k కోసం t=π/3+2πk మరియు t= 2π/3+2πk అని మేము గమనించాము.
ఉదాహరణ 6లో, కొసైన్‌తో సమీకరణం పరిష్కరించబడుతుంది - cos t=-1/2. సమీకరణానికి పరిష్కారాల కోసం శోధించడంలో, మేము యూనిట్ సర్కిల్‌పై అబ్సిస్సా 2π/3తో పాయింట్లను కనుగొంటాము. స్క్రీన్ abscissa -1/2 గుర్తు ఉన్న బొమ్మను ప్రదర్శిస్తుంది. ఇది సర్కిల్‌లోని రెండు పాయింట్లకు అనుగుణంగా ఉంటుంది - 2π/3 మరియు -2π/3. ఫంక్షన్ల ఆవర్తనాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, కనుగొనబడిన పరిష్కారం t=2π/3+2πk మరియు t=-2π/3+2πk రూపంలో వ్రాయబడుతుంది, ఇక్కడ k అనేది పూర్ణాంకం.
ఉదాహరణ 7లో sin t-1=0 అనే సమీకరణం పరిష్కరించబడింది. పరిష్కారాన్ని కనుగొనడానికి, సమీకరణం sin t=1కి రూపాంతరం చెందుతుంది. సైన్ 1 సంఖ్య π/2కి అనుగుణంగా ఉంటుంది. ఫంక్షన్ యొక్క ఆవర్తనాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, కనుగొనబడిన పరిష్కారం t=π/2+2πk రూపంలో వ్రాయబడుతుంది, ఇక్కడ k అనేది పూర్ణాంకం. అదేవిధంగా, ఉదాహరణ 8లో t+1=0 కాస్ సమీకరణం పరిష్కరించబడుతుంది. సమీకరణాన్ని cos t=-1 రూపానికి మారుద్దాం. అబ్సిస్సా -1 ఉన్న పాయింట్ π సంఖ్యకు అనుగుణంగా ఉంటుంది. ఈ పాయింట్ టెక్స్ట్ సొల్యూషన్ ప్రక్కన చూపబడిన యూనిట్ సర్కిల్‌లో గుర్తించబడింది. దీని ప్రకారం, ఈ సమీకరణానికి పరిష్కారం t=π+2πk సంఖ్య, ఇక్కడ k అనేది పూర్ణాంకం. ఉదాహరణ 9లో cos t+1=1 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కష్టం కాదు. సమీకరణాన్ని మార్చడం ద్వారా, మేము cos t=0ని పొందుతాము. పరిష్కారం ప్రక్కన చూపబడిన యూనిట్ సర్కిల్‌పై, మేము -π/2 మరియు -3π/2 పాయింట్లను గుర్తు చేస్తాము, దాని వద్ద కొసైన్ విలువ 0 తీసుకుంటుంది. సహజంగానే, ఈ సమీకరణానికి పరిష్కారం t= విలువల శ్రేణిగా ఉంటుంది. π/2+πk, ఇక్కడ k అనేది పూర్ణాంకం.
ఉదాహరణ 10లో, సిన్ 2 మరియు కాస్ 3 యొక్క విలువలు సరిపోల్చబడ్డాయి, పరిష్కారాన్ని స్పష్టం చేయడానికి, π/2≈1.57 పాయింట్లు గుర్తించబడితే, మేము పాయింట్ల దూరాన్ని అంచనా వేస్తాము దాని నుండి. π/2 నుండి పాయింట్ 2 0.43 దూరంలో ఉంది, అయితే 3 1.43 దూరంలో ఉంది, కాబట్టి పాయింట్ 2 పాయింట్ 3 కంటే పెద్ద అబ్సిస్సాను కలిగి ఉంది. దీని అర్థం sin 2> cos 3.
ఉదాహరణ 11 sin 5π/4 వ్యక్తీకరణ యొక్క గణనను వివరిస్తుంది. 5π/4 π/4+π కాబట్టి, తగ్గింపు సూత్రాలను ఉపయోగించి, వ్యక్తీకరణను - sin π/4గా మార్చవచ్చు. పట్టిక నుండి మనం దాని విలువను ఎంచుకుంటాము - sin π/4=-√2/2. అదేవిధంగా, ఉదాహరణ 12లో cos7π/6 వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువ కనుగొనబడింది. రూపాన్ని cos (π/6+π)కి మార్చడం, మేము వ్యక్తీకరణను పొందుతాము - cos π/6. పట్టిక విలువ π/6=-√3/2. ఈ విలువ పరిష్కారం అవుతుంది.
తరువాత, సమస్యలను పరిష్కరించడంలో సహాయపడే ముఖ్యమైన సమానత్వాలను గుర్తుంచుకోవాలని సూచించబడింది - ఇవి sin(-t)= -sin t మరియు cos (-t)=cos t. వాస్తవానికి, ఈ వ్యక్తీకరణ కొసైన్ యొక్క సమానత్వాన్ని మరియు సైన్ యొక్క అసమానతను ప్రతిబింబిస్తుంది. సమానత్వాల ప్రక్కన ఉన్న యూనిట్ సర్కిల్ యొక్క చిత్రంలో మీరు ఈ సమానతలు కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లో ఎలా పనిచేస్తాయో చూడవచ్చు. ఫంక్షన్ల ఆవర్తనతను ప్రతిబింబించే రెండు సమానతలు కూడా అందించబడ్డాయి, ఇవి సమస్యలను పరిష్కరించడానికి ముఖ్యమైనవి sin(t+2πk)= sin t మరియు cos (t+2πk)=cos t. యూనిట్ సర్కిల్ sin(t+π)= -sin t మరియు cos (t+π)=-cos t పై బిందువుల సుష్ట అమరికను ప్రతిబింబించే సమానతలు ప్రదర్శించబడతాయి. సమానత్వాల పక్కన, యూనిట్ సర్కిల్‌లో ఈ పాయింట్ల స్థానాన్ని ప్రదర్శించే చిత్రం నిర్మించబడింది. మరియు చివరిగా సమర్పించబడిన సమానతలు sin(t+π/2)= cos t మరియు cos (t+π/2)=- sin t.
వీడియో పాఠం "యూనిట్ సర్కిల్‌పై సైన్ మరియు కొసైన్ యొక్క నిర్వచనం" దాని ప్రభావాన్ని పెంచడానికి మరియు ఉపాధ్యాయుని వివరణ యొక్క స్పష్టతను నిర్ధారించడానికి సాంప్రదాయ పాఠశాల గణిత పాఠంలో ఉపయోగించడానికి సిఫార్సు చేయబడింది. అదే ప్రయోజనం కోసం, దూరవిద్య సమయంలో పదార్థం ఉపయోగించవచ్చు. స్వతంత్రంగా మెటీరియల్‌పై పట్టు సాధించేటప్పుడు విద్యార్థులలో తగిన సమస్య పరిష్కార నైపుణ్యాలను పెంపొందించడానికి కూడా మాన్యువల్ ఉపయోగపడుతుంది.
టెక్స్ట్ డీకోడింగ్:
"యూనిట్ సర్కిల్‌పై సైన్ మరియు కొసైన్ యొక్క నిర్వచనం."
సంఖ్య యొక్క సైన్ మరియు కొసైన్‌లను నిర్వచిద్దాం
నిర్వచనం: సంఖ్యా యూనిట్ సర్కిల్ యొక్క పాయింట్ M సంఖ్య t(te)కి అనుగుణంగా ఉంటే, పాయింట్ M యొక్క అబ్సిస్సా సంఖ్య t(te) యొక్క కొసైన్ అని పిలువబడుతుంది మరియు ఇది నిర్ణీత ధర మరియు పాయింట్ M యొక్క ఆర్డినేట్ t(te) సంఖ్య యొక్క సైన్ అని పిలుస్తారు మరియు దీనిని sint(fig) అని పిలుస్తారు.
అంటే M(t) = M (x,y)(em నుండి te నుండి em అంటే x మరియు y అక్షాంశాలతో సమానం), అప్పుడు x = ఖర్చు, y= sint (x అనేది te యొక్క కొసైన్‌కి సమానం, y తత్ఫలితంగా, - 1≤ ఖరీదు ≤ 1, -1≤ sint ≤1 (కొసైన్ te మైనస్ ఒకటి కంటే ఎక్కువ లేదా సమానం, కానీ ఒకటి కంటే తక్కువ లేదా సమానం; sine te కంటే ఎక్కువ లేదా సమానం. మైనస్ ఒకటి, కానీ ఒకదానికంటే తక్కువ లేదా సమానం). ఇక్కడ కొసైన్ విలువ మొదటి మరియు నాల్గవ త్రైమాసికాల్లో సానుకూలంగా ఉంటుంది మరియు తదనుగుణంగా, రెండవ మరియు మూడవ త్రైమాసికాల్లో ప్రతికూలంగా ఉంటుంది.
సైన్ విలువ మొదటి మరియు రెండవ త్రైమాసికాల్లో సానుకూలంగా ఉంటుంది మరియు తదనుగుణంగా, మూడవ మరియు నాల్గవ త్రైమాసికంలో ప్రతికూలంగా ఉంటుంది. (డ్రాయింగ్‌లో చూపించు)
సంఖ్య వృత్తం యొక్క సమీకరణం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది కాబట్టి x 2 + y 2 = 1 (x స్క్వేర్ ప్లస్ y స్క్వేర్ ఒకటికి సమానం), అప్పుడు మనకు సమానత్వం వస్తుంది:
(కొసైన్ స్క్వేర్డ్ టె ప్లస్ సైన్ స్క్వేర్డ్ టె ఈక్వల్ వన్).
సంఖ్యా వృత్తంలో పాయింట్ల కోఆర్డినేట్‌లను నిర్ణయించేటప్పుడు మేము సంకలనం చేసిన పట్టికల ఆధారంగా, ధర మరియు సింట్ విలువల కోసం సంఖ్యా వృత్తంపై పాయింట్ల కోఆర్డినేట్‌ల కోసం మేము పట్టికలను కంపైల్ చేస్తాము.
ఉదాహరణలు చూద్దాం.
ఉదాహరణ 1. t = (te నాలుగు కంటే నలభై-ఒక్క పై సమానం) కాస్ t మరియు sin tని లెక్కించండి.
పరిష్కారం. సంఖ్య t = సంఖ్య సర్కిల్‌పై ఉన్న అదే పాయింట్‌కి అనుగుణంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే = ∙π = (10 +) ∙π = + 2π ∙ 5 (నలభై ఒక్క pi సార్లు నాలుగు pi సార్లు నాలుగు మరియు రెండు pi సార్లు ఐదు యొక్క ఉత్పత్తి). మరియు పాయింట్ t = పట్టిక ప్రకారం కొసైన్స్ 1 విలువ మనకు cos = మరియు sin = ఉంటుంది. అందుకే,
ఉదాహరణ 2. లెక్కించు కాస్ t మరియు పాపం t, అయితే t = (te అనేది మూడు కంటే ఇరవై-ఐదు పై మైనస్).
పరిష్కారం: సంఖ్య t = సంఖ్య వృత్తంలోని అదే బిందువుకు అనుగుణంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే = ∙ π = - (8 +)∙π = + 2π ∙ (- 4) (మైనస్ ఇరవై-ఐదు పై మూడింటికి సమానం మూడు కంటే మైనస్ పై మొత్తం మరియు రెండు పై రెట్లు మైనస్ నాలుగు) మరియు సంఖ్య సంఖ్య సర్కిల్‌లోని అదే బిందువుకు అనుగుణంగా ఉంటుంది. మరియు పాయింట్ t = టేబుల్ 2 ప్రకారం మనకు cos = మరియు sin = కాబట్టి, cos () = మరియు sin () =.
ఉదాహరణ 3. t = 37π అయితే cos t మరియు sin tని లెక్కించండి; (te ముప్పై ఏడు piకి సమానం).
పరిష్కారం: 37π = 36π + π = π + 2π ∙ 18. దీనర్థం 37π సంఖ్య π సంఖ్య వలె సంఖ్య సర్కిల్‌పై అదే బిందువుకు అనుగుణంగా ఉంటుంది. మరియు పాయింట్ t = π కోసం, టేబుల్ 1 ప్రకారం, మనకు cos π = -1, sin π = 0. దీని అర్థం cos37π = -1, sin37π = 0.
ఉదాహరణ 4. t = -12π (మైనస్ పన్నెండు piకి సమానం) అయితే cos t మరియు sin tని లెక్కించండి.
పరిష్కారం: - 12π = 0 + 2π ∙ (- 6), అంటే, సంఖ్య - 12π సంఖ్య సర్కిల్‌పై సున్నా సంఖ్య వలె అదే పాయింట్‌కు అనుగుణంగా ఉంటుంది. మరియు t = 0 పాయింట్ కోసం, టేబుల్ 1 ప్రకారం, మనకు cos 0 = 1, sin 0 =0 అంటే cos(-12π) =1, sin(-12π) =0.
ఉదాహరణ 5. sin t = సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.
పరిష్కారం. sin t అనేది సంఖ్యా వృత్తం యొక్క పాయింట్ M(t) (em నుండి te) యొక్క ఆర్డినేట్ అని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, మేము సంఖ్య సర్కిల్‌పై ఆర్డినేట్‌తో పాయింట్లను కనుగొంటాము మరియు అవి ఏ సంఖ్యలకు అనుగుణంగా ఉన్నాయో వ్రాస్తాము. ఒక పాయింట్ సంఖ్యకు అనుగుణంగా ఉంటుంది మరియు అందువల్ల ఫారమ్ యొక్క ఏదైనా సంఖ్య + 2πk. రెండవ పాయింట్ ఒక సంఖ్యకు అనుగుణంగా ఉంటుంది మరియు అందువల్ల ఫారమ్ + 2πk యొక్క ఏదైనా సంఖ్యకు అనుగుణంగా ఉంటుంది. సమాధానం: t = + 2πk, ఇక్కడ kϵZ (ka అనేది zetకి చెందినది), t= + 2πk, ఇక్కడ kϵZ (ka అనేది zetకి చెందినది).
ఉదాహరణ 6. cos t = సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.
పరిష్కారం. cos t అనేది సంఖ్యా వృత్తం యొక్క పాయింట్ M(t) (em నుండి te) యొక్క అబ్సిస్సా అని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, మేము సంఖ్య సర్కిల్‌పై అబ్సిస్సాతో ఉన్న పాయింట్లను కనుగొని, అవి ఏ సంఖ్యలకు అనుగుణంగా ఉన్నాయో వ్రాస్తాము. ఒక పాయింట్ సంఖ్యకు అనుగుణంగా ఉంటుంది మరియు అందువల్ల ఫారమ్ యొక్క ఏదైనా సంఖ్య + 2πk. మరియు రెండవ పాయింట్ సంఖ్యకు అనుగుణంగా ఉంటుంది లేదా, అందువలన ఫారమ్ యొక్క ఏదైనా సంఖ్య + 2πk లేదా + 2πk.
సమాధానం: t = + 2πk, t=+ 2πk (లేదా ± + 2πk (ప్లస్ మైనస్ టూ pi బై త్రీ ప్లస్ టూ pi ka), ఇక్కడ kϵZ (ka అనేది zetకి చెందినది).
ఉదాహరణ 7. cos t = సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.
పరిష్కారం. మునుపటి ఉదాహరణ మాదిరిగానే, మీరు నంబర్ సర్కిల్‌పై అబ్సిస్సాతో పాయింట్లను కనుగొని, అవి ఏ సంఖ్యలకు అనుగుణంగా ఉన్నాయో వ్రాయాలి.
E మరియు S అనే రెండు పాయింట్లు అబ్సిస్సా కలిగి ఉన్నాయని ఫిగర్ చూపిస్తుంది, అయితే అవి ఏ సంఖ్యలకు అనుగుణంగా ఉంటాయో మనం ఇంకా చెప్పలేము. మేము తరువాత ఈ సమస్యకు తిరిగి వస్తాము.
ఉదాహరణ 8. sin t = - 0.3 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.
పరిష్కారం. నంబర్ సర్కిల్‌లో మనం ఆర్డినేట్ - 0.3తో పాయింట్లను కనుగొంటాము మరియు అవి ఏ సంఖ్యలకు అనుగుణంగా ఉంటాయి t అని వ్రాయండి.
ఆర్డినేట్ - 0.3కి P మరియు H అనే రెండు పాయింట్లు ఉన్నాయి, కానీ అవి ఏ సంఖ్యలకు అనుగుణంగా ఉంటాయో మనం ఇంకా చెప్పలేము. మేము కూడా తర్వాత ఈ సమస్యకు తిరిగి వస్తాము.
ఉదాహరణ 9. sin t -1 =0 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి
పరిష్కారం. మైనస్ వన్‌ని సమీకరణం యొక్క కుడి వైపుకు తరలిద్దాం, మనకు సైన్ te సమానం ఒకటి (sin t = 1) వస్తుంది. సంఖ్య వృత్తంలో మనం ఒక బిందువును కనుగొనాలి, దీని ఆర్డినేట్ ఒకదానికి సమానం. ఈ పాయింట్ ఒక సంఖ్యకు అనుగుణంగా ఉంటుంది మరియు అందువల్ల ఫారమ్ + 2πk (పై సార్లు రెండు ప్లస్ రెండు శిఖరాలు) యొక్క అన్ని సంఖ్యలకు అనుగుణంగా ఉంటుంది.
సమాధానం: t = + 2πk, kϵZ(ka అనేది zetకి చెందినది).
ఉదాహరణ 10. t + 1 = 0 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.
సమీకరణం యొక్క కుడి వైపుకు ఒకదానిని తరలిద్దాం, మేము కొసైన్ te మైనస్ వన్ (cos t = - 1) ను పొందుతాము (అబ్సిస్సా మైనస్ ఒకటి సంఖ్య సర్కిల్‌పై ఒక పాయింట్‌ను కలిగి ఉంటుంది, ఇది π సంఖ్యకు అనుగుణంగా ఉంటుంది మరియు దీని అర్థం అన్నీ. π+2πk రూపం యొక్క సంఖ్యలు. సమాధానం: t = π+ 2πk, kϵZ.
ఉదాహరణ 11. t + 1 = 1 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.
సమీకరణం యొక్క కుడి వైపుకు యూనిట్‌ను తరలిద్దాం, మేము కొసైన్ te సున్నాకి సమానం (cos t = 0) పాయింట్లు B మరియు D (Figure 1), ఇది సంఖ్యలకు అనుగుణంగా ఉంటుంది. ఈ సంఖ్యలను వ్రాయవచ్చు. + πk గా. సమాధానం: t = + πk, kϵZ.
ఉదాహరణ 12. రెండు సంఖ్యలలో ఏది ఎక్కువ, cos 2 లేదా cos 3? (రెండు కొసైన్ లేదా మూడు కొసైన్)
పరిష్కారం. ప్రశ్నను విభిన్నంగా సంస్కరించుకుందాం: 2 మరియు 3 పాయింట్లు సంఖ్య సర్కిల్‌పై గుర్తించబడ్డాయి, వాటిలో ఏది పెద్ద అబ్సిస్సాను కలిగి ఉంది?
నంబర్ సర్కిల్‌లో, పాయింట్లు 2 మరియు 3ని గుర్తు పెట్టుకోండి. దీని అర్థం పాయింట్ 2 సర్కిల్ నుండి సుమారు 0.43 (సున్నా పాయింట్ నలభై మూడు వందలు) (2 -≈ 2 - 1.57 = 0.43), మరియు పాయింట్ 3 ద్వారా తీసివేయబడుతుంది. 1.43 (ఒక పాయింట్ నలభై మూడు వందల వంతు). అందువల్ల, పాయింట్ 2 పాయింట్ 3 కంటే పాయింట్‌కి దగ్గరగా ఉంటుంది, కాబట్టి దీనికి పెద్ద అబ్సిస్సా ఉంది (రెండు అబ్సిస్సాస్ ప్రతికూలంగా ఉన్నాయని మేము పరిగణనలోకి తీసుకున్నాము).
సమాధానం: cos 2 > cos 3.
ఉదాహరణ 13. పాపాన్ని లెక్కించండి (సైన్ ఐదు పై సార్లు నాలుగు)
పరిష్కారం. sin(+ π) = - sin = (నాలుగుపైగా ఉన్న సైన్ ఫైవ్ పై నాలుగు కంటే పై మొత్తం మరియు పై నాలుగు కంటే మైనస్ సైన్ పై సమానం మైనస్ రూట్ రెండు కంటే రెండు).
ఉదాహరణ 14. cos (కోసైన్ ఆఫ్ సెవెన్ పై బై సిక్స్) లెక్కించండి.
cos(+ π) = - cos =. (మేము ఆరు కంటే ఏడు పైలను ఆరు మరియు పైపై మొత్తంగా సూచించాము మరియు మూడవ సమానత్వాన్ని వర్తింపజేసాము).
సైన్ మరియు కొసైన్ కోసం మనం కొన్ని ముఖ్యమైన సూత్రాలను పొందుతాము.
1. t యొక్క ఏదైనా విలువ కోసం క్రింది సమానతలు నిజమైనవి:
sin (-t) = -sin t
cos (-t) = cos t
మైనస్ టె యొక్క సైన్ టె యొక్క మైనస్ సైన్కి సమానం
మిను టె యొక్క కొసైన్ టె యొక్క కొసైన్‌కి సమానం.
అబ్సిస్సా అక్షానికి సంబంధించి సుష్టమైన E మరియు L పాయింట్లు ఒకే అబ్సిస్సాను కలిగి ఉన్నాయని ఫిగర్ చూపిస్తుంది, దీని అర్థం
cos(-t) = ఖర్చు, కానీ ఆర్డినేట్లు పరిమాణంలో సమానంగా ఉంటాయి మరియు సంకేతంలో వ్యతిరేకం (దీని అర్థం sin(- t) = - sint.
2. t యొక్క ఏదైనా విలువ కోసం క్రింది సమానతలు చెల్లుతాయి:
sin (t+2πk) = sin t
cos (t+2πk) = cos t
te ప్లస్ టూ పై యొక్క సైన్ te యొక్క సైన్కి సమానం
te ప్లస్ టూ పై యొక్క కొసైన్ te యొక్క కొసైన్‌కి సమానం
ఇది నిజం, ఎందుకంటే t మరియు t+2πk సంఖ్యలు ఒకే బిందువుకు అనుగుణంగా ఉంటాయి.
3. t యొక్క ఏదైనా విలువ కోసం క్రింది సమానతలు చెల్లుబాటు అవుతాయి:
sin (t+π) = -sin t
cos (t+π) = -cos t
te ప్లస్ pi యొక్క సైన్, te యొక్క సైన్ మైనస్‌కి సమానం
te ప్లస్ pi యొక్క కొసైన్ te యొక్క మైనస్ కొసైన్‌కి సమానం
సంఖ్య వృత్తం యొక్క పాయింట్ Eకి అనుగుణంగా t సంఖ్యను అనుమతించండి, ఆపై t+π సంఖ్య పాయింట్ Lకి అనుగుణంగా ఉంటుంది, ఇది మూలానికి సంబంధించి పాయింట్ Eకి సుష్టంగా ఉంటుంది. ఈ పాయింట్ల వద్ద అబ్సిస్సా మరియు ఆర్డినేట్ పరిమాణంలో సమానంగా మరియు సంకేతంలో వ్యతిరేకం అని ఫిగర్ చూపిస్తుంది. దీని అర్ధం,
cos(t +π)= - ఖర్చు;
sin(t +π)= - sint.
4. t యొక్క ఏదైనా విలువ కోసం క్రింది సమానతలు చెల్లుతాయి:
sin(t+) = cos t
cos(t+) = -sin t
Sine te ప్లస్ pi బై టూ కొసైన్ teకి సమానం
Cosine te plus pi by two మైనస్ sine teకి సమానం.