త్రికోణమితి సర్కిల్ క్వార్టర్ సంకేతాలు. యూనిట్ సర్కిల్‌లోని పాయింట్లను ఎలా గుర్తుంచుకోవాలి

సరళంగా చెప్పాలంటే, ఇవి ప్రత్యేక రెసిపీ ప్రకారం నీటిలో వండిన కూరగాయలు. నేను రెండు ప్రారంభ భాగాలను (కూరగాయల సలాడ్ మరియు నీరు) మరియు పూర్తి ఫలితాన్ని పరిశీలిస్తాను - బోర్ష్ట్. జ్యామితీయంగా, దీనిని దీర్ఘచతురస్రాకారంగా భావించవచ్చు, ఒక వైపు పాలకూరను సూచిస్తుంది మరియు మరొక వైపు నీటిని సూచిస్తుంది. ఈ రెండు వైపుల మొత్తం బోర్ష్ట్‌ను సూచిస్తుంది. అటువంటి "బోర్ష్ట్" దీర్ఘచతురస్రం యొక్క వికర్ణం మరియు ప్రాంతం పూర్తిగా గణిత భావనలు మరియు బోర్ష్ట్ వంటకాలలో ఎప్పుడూ ఉపయోగించబడవు.

గణిత కోణం నుండి పాలకూర మరియు నీరు బోర్ష్ట్‌గా ఎలా మారుతాయి? రెండు లైన్ సెగ్మెంట్ల మొత్తం త్రికోణమితి ఎలా అవుతుంది? దీన్ని అర్థం చేసుకోవడానికి, మనకు సరళ కోణీయ విధులు అవసరం.

మీరు గణిత పాఠ్యపుస్తకాలలో సరళ కోణీయ ఫంక్షన్‌ల గురించి ఏమీ కనుగొనలేరు. కానీ అవి లేకుండా గణితం ఉండదు. గణితం యొక్క నియమాలు, ప్రకృతి నియమాల వలె, వాటి ఉనికి గురించి మనకు తెలుసా లేదా అనే దానితో సంబంధం లేకుండా పనిచేస్తాయి.

సరళ కోణీయ విధులు అదనపు చట్టాలు.బీజగణితం జ్యామితిగా మరియు జ్యామితి త్రికోణమితిగా ఎలా మారుతుందో చూడండి.

సరళ కోణీయ విధులు లేకుండా చేయడం సాధ్యమేనా? ఇది సాధ్యమే, ఎందుకంటే గణిత శాస్త్రవేత్తలు ఇప్పటికీ వాటిని లేకుండా నిర్వహిస్తారు. గణిత శాస్త్రవేత్తల ఉపాయం ఏమిటంటే, వారు ఎల్లప్పుడూ తమకు తాము ఎలా పరిష్కరించాలో తెలిసిన సమస్యల గురించి మాత్రమే చెబుతారు మరియు వారు పరిష్కరించలేని సమస్యల గురించి ఎప్పుడూ మాట్లాడరు. చూడు. కూడిక మరియు ఒక పదం యొక్క ఫలితం మనకు తెలిస్తే, మరొక పదాన్ని కనుగొనడానికి వ్యవకలనాన్ని ఉపయోగిస్తాము. అన్నీ. మాకు ఇతర సమస్యలు తెలియవు మరియు వాటిని ఎలా పరిష్కరించాలో మాకు తెలియదు. సంకలనం యొక్క ఫలితం మాత్రమే తెలిసి, రెండు పదాలు తెలియకపోతే మనం ఏమి చేయాలి? ఈ సందర్భంలో, జోడింపు ఫలితాన్ని లీనియర్ కోణీయ ఫంక్షన్‌లను ఉపయోగించి రెండు పదాలుగా విడదీయాలి. తరువాత, ఒక పదం ఎలా ఉంటుందో మనమే ఎంచుకుంటాము మరియు సరళ కోణీయ ఫంక్షన్‌లు రెండవ పదం ఎలా ఉండాలో చూపుతాయి, తద్వారా అదనంగా మనకు అవసరమైన ఫలితం ఉంటుంది. అటువంటి పదాల జతల అనంతమైన సంఖ్యలో ఉండవచ్చు. రోజువారీ జీవితంలో, మొత్తాన్ని కుళ్ళిపోకుండా మనం బాగా కలిసిపోతాము; తీసివేయడం మనకు సరిపోతుంది. కానీ ప్రకృతి నియమాలపై శాస్త్రీయ పరిశోధనలో, మొత్తాన్ని దాని భాగాలుగా కుళ్ళిపోవడం చాలా ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది.

గణిత శాస్త్రజ్ఞులు మాట్లాడటానికి ఇష్టపడని మరొక అదనపు నియమం (వారి మరొక ఉపాయాలు) నిబంధనలు ఒకే కొలత యూనిట్లను కలిగి ఉండాలి. సలాడ్, నీరు మరియు బోర్ష్ట్ కోసం, ఇవి బరువు, వాల్యూమ్, విలువ లేదా కొలత యూనిట్లు కావచ్చు.

ఫిగర్ గణితానికి రెండు స్థాయిల వ్యత్యాసాన్ని చూపుతుంది. మొదటి స్థాయి సంఖ్యల రంగంలో తేడాలు, ఇవి సూచించబడతాయి a, బి, సి. గణిత శాస్త్రవేత్తలు చేసేది ఇదే. రెండవ స్థాయి కొలత యూనిట్ల రంగంలో తేడాలు, ఇవి చదరపు బ్రాకెట్లలో చూపబడతాయి మరియు అక్షరం ద్వారా సూచించబడతాయి యు. భౌతిక శాస్త్రవేత్తలు చేసేది ఇదే. మేము మూడవ స్థాయిని అర్థం చేసుకోగలము - వివరించిన వస్తువుల ప్రాంతంలో తేడాలు. వేర్వేరు వస్తువులు ఒకే విధమైన కొలత యూనిట్ల సంఖ్యను కలిగి ఉంటాయి. ఇది ఎంత ముఖ్యమైనదో మనం బోర్ష్ట్ త్రికోణమితి ఉదాహరణలో చూడవచ్చు. మేము వేర్వేరు వస్తువులకు ఒకే యూనిట్ హోదాకు సబ్‌స్క్రిప్ట్‌లను జోడిస్తే, గణిత పరిమాణం నిర్దిష్ట వస్తువును వివరిస్తుంది మరియు కాలక్రమేణా లేదా మన చర్యల కారణంగా ఎలా మారుతుందో ఖచ్చితంగా చెప్పగలము. ఉత్తరం Wనేను ఒక లేఖతో నీటిని నియమిస్తాను ఎస్నేను ఒక లేఖతో సలాడ్‌ని నియమిస్తాను బి- బోర్ష్. బోర్ష్ట్ కోసం సరళ కోణీయ విధులు ఇలా ఉంటాయి.

మేము నీటిలో కొంత భాగాన్ని మరియు సలాడ్లో కొంత భాగాన్ని తీసుకుంటే, అవి కలిసి బోర్ష్ట్ యొక్క ఒక భాగంలోకి మారుతాయి. ఇక్కడ మీరు బోర్ష్ట్ నుండి కొంచెం విరామం తీసుకోవాలని మరియు మీ సుదూర బాల్యాన్ని గుర్తుంచుకోవాలని నేను సూచిస్తున్నాను. బన్నీస్ మరియు బాతులను కలిపి ఉంచడం మాకు ఎలా నేర్పించబడిందో గుర్తుందా? అందులో ఎన్ని జంతువులు ఉంటాయో కనుక్కోవాల్సి వచ్చింది. అప్పుడు మనం ఏమి చేయాలని నేర్పించాము? సంఖ్యల నుండి కొలత యూనిట్లను వేరు చేయడం మరియు సంఖ్యలను జోడించడం మాకు నేర్పించబడింది. అవును, ఏదైనా ఒక సంఖ్యను ఏ ఇతర సంఖ్యకైనా జోడించవచ్చు. ఇది ఆధునిక గణితం యొక్క ఆటిజమ్‌కు ప్రత్యక్ష మార్గం - మేము దానిని అర్థం చేసుకోలేనంతగా, ఎందుకు అర్థం చేసుకోలేము మరియు ఇది వాస్తవికతతో ఎలా సంబంధం కలిగి ఉందో చాలా తక్కువగా అర్థం చేసుకుంటాము, మూడు స్థాయిల వ్యత్యాసం కారణంగా, గణిత శాస్త్రజ్ఞులు ఒకదానితో మాత్రమే పనిచేస్తారు. కొలత యొక్క ఒక యూనిట్ నుండి మరొకదానికి ఎలా తరలించాలో నేర్చుకోవడం మరింత సరైనది.

బన్నీస్, బాతులు మరియు చిన్న జంతువులను ముక్కలుగా లెక్కించవచ్చు. వేర్వేరు వస్తువుల కోసం ఒక సాధారణ కొలత యూనిట్ వాటిని ఒకదానితో ఒకటి జోడించడానికి అనుమతిస్తుంది. ఇది సమస్య యొక్క పిల్లల సంస్కరణ. పెద్దలకు ఇలాంటి సమస్యేంటో చూద్దాం. మీరు బన్నీలను మరియు డబ్బును జోడించినప్పుడు మీకు ఏమి లభిస్తుంది? ఇక్కడ రెండు సాధ్యమైన పరిష్కారాలు ఉన్నాయి.

మొదటి ఎంపిక. మేము బన్నీల మార్కెట్ విలువను నిర్ణయిస్తాము మరియు అందుబాటులో ఉన్న డబ్బుకు దానిని జోడిస్తాము. మన సంపద మొత్తం విలువను ద్రవ్య పరంగా పొందాము.

రెండవ ఎంపిక. మీరు మా వద్ద ఉన్న నోట్ల సంఖ్యకు బన్నీల సంఖ్యను జోడించవచ్చు. మేము చరాస్తుల మొత్తాన్ని ముక్కలుగా స్వీకరిస్తాము.

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, అదే అదనపు చట్టం విభిన్న ఫలితాలను పొందడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. ఇదంతా మనం ఖచ్చితంగా తెలుసుకోవాలనుకుంటున్న దానిపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

అయితే మన బోర్ష్ట్‌కి తిరిగి వద్దాం. ఇప్పుడు మనం సరళ కోణీయ ఫంక్షన్ల యొక్క విభిన్న కోణ విలువల కోసం ఏమి జరుగుతుందో చూడవచ్చు.

కోణం సున్నా. మాకు సలాడ్ ఉంది, కానీ నీరు లేదు. మేము బోర్ష్ట్ ఉడికించలేము. బోర్ష్ట్ మొత్తం కూడా సున్నా. సున్నా బోర్ష్ట్ సున్నా నీటికి సమానం అని దీని అర్థం కాదు. సున్నా సలాడ్ (లంబ కోణం)తో సున్నా బోర్ష్ట్ ఉండవచ్చు.

నాకు వ్యక్తిగతంగా, ఇది వాస్తవం యొక్క ప్రధాన గణిత రుజువు. జోడించినప్పుడు సున్నా సంఖ్యను మార్చదు. ఒక పదం మాత్రమే ఉంటే మరియు రెండవ పదం తప్పిపోయినట్లయితే అదనంగా చేయడం అసాధ్యం కనుక ఇది జరుగుతుంది. మీరు దీన్ని మీకు నచ్చినట్లుగా భావించవచ్చు, కానీ గుర్తుంచుకోండి - సున్నాతో ఉన్న అన్ని గణిత కార్యకలాపాలు గణిత శాస్త్రజ్ఞులచే కనుగొనబడ్డాయి, కాబట్టి మీ తర్కాన్ని విసిరివేసి, గణిత శాస్త్రజ్ఞులు కనుగొన్న నిర్వచనాలను మూర్ఖంగా క్రామ్ చేయండి: “సున్నా ద్వారా విభజించడం అసాధ్యం”, “ఏదైనా గుణిస్తే సున్నా సున్నాకి సమానం" , "పంక్చర్ పాయింట్ సున్నాకి మించి" మరియు ఇతర అర్ధంలేనివి. సున్నా అనేది సంఖ్య కాదని ఒక్కసారి గుర్తుంచుకుంటే చాలు, సున్నా అనేది సహజ సంఖ్యా కాదా అనే ప్రశ్న మీకు మళ్లీ ఎప్పటికీ ఉండదు, ఎందుకంటే అలాంటి ప్రశ్న అన్ని అర్థాలను కోల్పోతుంది: సంఖ్య కానిది సంఖ్యగా ఎలా పరిగణించబడుతుంది ? ఇది కనిపించని రంగును ఏ రంగుగా వర్గీకరించాలని అడగడం లాంటిది. సంఖ్యకు సున్నాని జోడించడం అంటే అక్కడ లేని పెయింట్‌తో పెయింట్ చేయడం. మేము డ్రై బ్రష్‌ని ఊపుతూ, "మేము పెయింట్ చేసాము" అని అందరికీ చెప్పాము. కానీ నేను కొంచెం వెనక్కి తగ్గాను.

కోణం సున్నా కంటే ఎక్కువ కానీ నలభై-ఐదు డిగ్రీల కంటే తక్కువ. మాకు పాలకూర చాలా ఉంది, కానీ తగినంత నీరు లేదు. ఫలితంగా, మేము మందపాటి బోర్ష్ట్ పొందుతారు.

కోణం నలభై ఐదు డిగ్రీలు. మాకు నీరు మరియు సలాడ్ సమాన పరిమాణంలో ఉన్నాయి. ఇది ఖచ్చితమైన బోర్ష్ట్ (నన్ను క్షమించండి, చెఫ్‌లు, ఇది కేవలం గణితమే).

కోణం నలభై-ఐదు డిగ్రీల కంటే ఎక్కువ, కానీ తొంభై డిగ్రీల కంటే తక్కువ. మాకు చాలా నీరు మరియు చిన్న సలాడ్ ఉన్నాయి. మీరు ద్రవ బోర్ష్ట్ పొందుతారు.

లంబ కోణం. మాకు నీరు ఉంది. సలాడ్‌లో మిగిలి ఉన్నవన్నీ జ్ఞాపకాలు, ఎందుకంటే మేము ఒకసారి సలాడ్‌ను గుర్తించిన రేఖ నుండి కోణాన్ని కొలవడం కొనసాగిస్తాము. మేము బోర్ష్ట్ ఉడికించలేము. బోర్ష్ట్ మొత్తం సున్నా. ఈ సందర్భంలో, మీ వద్ద నీరు ఉన్నప్పుడే పట్టుకొని త్రాగండి)))

ఇక్కడ. ఇలాంటిది ఏదైనా. ఇక్కడ సముచితం కంటే ఎక్కువగా ఉండే ఇతర కథలను నేను ఇక్కడ చెప్పగలను.

ఇద్దరు స్నేహితులు ఉమ్మడి వ్యాపారంలో తమ వాటాలను కలిగి ఉన్నారు. వారిలో ఒకరిని చంపిన తరువాత, ప్రతిదీ మరొకరికి వెళ్ళింది.

మన గ్రహం మీద గణితశాస్త్రం యొక్క ఆవిర్భావం.

ఈ కథలన్నీ సరళ కోణీయ ఫంక్షన్లను ఉపయోగించి గణిత శాస్త్ర భాషలో చెప్పబడ్డాయి. గణితశాస్త్రం యొక్క నిర్మాణంలో ఈ ఫంక్షన్ల యొక్క నిజమైన స్థానాన్ని నేను మీకు మరొకసారి చూపిస్తాను. ఈలోగా, బోర్ష్ట్ త్రికోణమితికి తిరిగి వెళ్లి అంచనాలను పరిశీలిద్దాం.

శనివారం, అక్టోబర్ 26, 2019

నేను ఒక ఆసక్తికరమైన వీడియోను చూశాను గ్రుండీ సిరీస్ ఒకటి మైనస్ వన్ ప్లస్ వన్ మైనస్ వన్ - నంబర్‌ఫైల్. గణిత శాస్త్రజ్ఞులు అబద్ధం చెబుతారు. వారు తమ వాదన సమయంలో సమానత్వ తనిఖీని నిర్వహించలేదు.

ఇది గురించి నా ఆలోచనలను ప్రతిధ్వనిస్తుంది.

గణిత శాస్త్రజ్ఞులు మనల్ని మోసం చేస్తున్న సంకేతాలను నిశితంగా పరిశీలిద్దాం. వాదన ప్రారంభంలో, గణిత శాస్త్రజ్ఞులు ఒక శ్రేణి యొక్క మొత్తం అది సరిసంఖ్యలో మూలకాలను కలిగి ఉందా లేదా అనే దానిపై ఆధారపడి ఉంటుంది. ఇది ఆబ్జెక్టివ్‌గా ఎస్టాబ్లిష్డ్ ఫ్యాక్ట్. తర్వాత ఏమి జరుగును?

తరువాత, గణిత శాస్త్రజ్ఞులు ఐక్యత నుండి క్రమాన్ని తీసివేస్తారు. ఇది దేనికి దారి తీస్తుంది? ఇది క్రమం యొక్క మూలకాల సంఖ్యలో మార్పుకు దారితీస్తుంది - సరి సంఖ్య బేసి సంఖ్యకు మారుతుంది, బేసి సంఖ్య సరి సంఖ్యగా మారుతుంది. అన్నింటికంటే, మేము క్రమానికి ఒకదానికి సమానమైన ఒక మూలకాన్ని జోడించాము. అన్ని బాహ్య సారూప్యతలు ఉన్నప్పటికీ, పరివర్తనకు ముందు ఉన్న క్రమం, పరివర్తన తర్వాత క్రమానికి సమానంగా ఉండదు. మనం ఒక అనంత శ్రేణి గురించి మాట్లాడుతున్నప్పటికీ, బేసి సంఖ్యలో మూలకాలతో కూడిన అనంతమైన శ్రేణి మూలకాల సంఖ్యతో కూడిన అనంతమైన శ్రేణికి సమానం కాదని గుర్తుంచుకోవాలి.

వేర్వేరు సంఖ్యల మూలకాలతో రెండు శ్రేణుల మధ్య సమాన చిహ్నాన్ని ఉంచడం ద్వారా, గణిత శాస్త్రజ్ఞులు శ్రేణి మొత్తం క్రమంలోని మూలకాల సంఖ్యపై ఆధారపడి ఉండదని పేర్కొన్నారు, ఇది ఆబ్జెక్టివ్‌గా స్థాపించబడిన వాస్తవానికి విరుద్ధంగా ఉంటుంది. అనంత శ్రేణి మొత్తం గురించి మరింత తర్కం తప్పు, ఎందుకంటే ఇది తప్పుడు సమానత్వంపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

గణిత శాస్త్రవేత్తలు, రుజువుల సమయంలో, బ్రాకెట్‌లను ఉంచడం, గణిత వ్యక్తీకరణ యొక్క మూలకాలను క్రమాన్ని మార్చడం, ఏదైనా జోడించడం లేదా తీసివేయడం వంటివి మీరు చూసినట్లయితే, చాలా జాగ్రత్తగా ఉండండి, చాలా మటుకు వారు మిమ్మల్ని మోసగించడానికి ప్రయత్నిస్తున్నారు. కార్డ్ మాంత్రికుల వలె, గణిత శాస్త్రజ్ఞులు మీ దృష్టిని మరల్చడానికి వ్యక్తీకరణ యొక్క వివిధ అవకతవకలను ఉపయోగిస్తారు, చివరికి మీకు తప్పుడు ఫలితాన్ని అందిస్తారు. మోసం యొక్క రహస్యం తెలియకుండా మీరు కార్డ్ ట్రిక్‌ను పునరావృతం చేయలేకపోతే, గణితంలో ప్రతిదీ చాలా సులభం: మీరు మోసం గురించి ఏమీ అనుమానించరు, కానీ గణిత వ్యక్తీకరణతో అన్ని అవకతవకలను పునరావృతం చేయడం వల్ల ఇతరులకు సరైనదని ఒప్పించవచ్చు. వారు మిమ్మల్ని ఒప్పించినట్లుగానే ఫలితం పొందింది.

ప్రేక్షకుల నుండి ప్రశ్న: అనంతం (క్రమం Sలోని మూలకాల సంఖ్యగా) సరి లేదా బేసిగా ఉందా? సమానత్వం లేని దాని యొక్క సమానత్వాన్ని మీరు ఎలా మార్చగలరు?

అనంతం అనేది గణిత శాస్త్రజ్ఞుల కోసం, స్వర్గ రాజ్యం పూజారుల కోసం - అక్కడ ఎవరూ లేరు, కానీ అక్కడ ప్రతిదీ ఎలా పనిచేస్తుందో అందరికీ తెలుసు))) నేను అంగీకరిస్తున్నాను, మరణం తర్వాత మీరు సరి లేదా బేసి సంఖ్యలో జీవించినా మీరు పూర్తిగా ఉదాసీనంగా ఉంటారు. రోజులు, కానీ... మీ జీవితం ప్రారంభంలో కేవలం ఒక రోజుని జోడిస్తే, మేము పూర్తిగా భిన్నమైన వ్యక్తిని పొందుతాము: అతని చివరి పేరు, మొదటి పేరు మరియు పోషకాహారం సరిగ్గా ఒకేలా ఉంటాయి, పుట్టిన తేదీ మాత్రమే పూర్తిగా భిన్నంగా ఉంటుంది - అతను నీ ముందు ఒకరోజు పుట్టాడు.

ఇప్పుడు పాయింట్‌కి వద్దాం))) సమానత్వం ఉన్న పరిమిత శ్రేణి అనంతానికి వెళ్ళేటప్పుడు ఈ సమానత్వాన్ని కోల్పోతుందని చెప్పండి. అప్పుడు అనంత శ్రేణిలోని ఏదైనా పరిమిత విభాగం తప్పనిసరిగా సమానత్వాన్ని కోల్పోతుంది. ఇది మనకు కనిపించదు. అనంత శ్రేణిలో సరి లేదా బేసి సంఖ్యలు ఉన్నాయో లేదో మనం ఖచ్చితంగా చెప్పలేము అంటే సమానత్వం అదృశ్యమైందని కాదు. సమానత్వం, అది ఉనికిలో ఉంటే, షార్పీ స్లీవ్‌లో వలె అనంతంలోకి జాడ లేకుండా అదృశ్యం కాదు. ఈ కేసుకు చాలా మంచి సారూప్యత ఉంది.

గడియారంలో కూర్చున్న కోకిలని గడియారపు ముల్లు ఏ దిశలో తిరుగుతుందని మీరు ఎప్పుడైనా అడిగారా? ఆమె కోసం, బాణం మనం "సవ్యదిశలో" అని పిలిచే దానికి వ్యతిరేక దిశలో తిరుగుతుంది. విరుద్ధమైనదిగా అనిపించినప్పటికీ, భ్రమణ దిశ అనేది మనం ఏ వైపు నుండి భ్రమణాన్ని గమనిస్తుందో దానిపై మాత్రమే ఆధారపడి ఉంటుంది. కాబట్టి, మనకు తిరిగే ఒక చక్రం ఉంది. భ్రమణం ఏ దిశలో జరుగుతుందో మనం చెప్పలేము, ఎందుకంటే భ్రమణ విమానం యొక్క ఒక వైపు నుండి మరియు మరొక వైపు నుండి మనం దానిని గమనించవచ్చు. భ్రమణం ఉందని మేము మాత్రమే సాక్ష్యమివ్వగలము. అనంతమైన క్రమం యొక్క సమానత్వంతో పూర్తి సారూప్యత ఎస్.

ఇప్పుడు రెండవ భ్రమణ చక్రాన్ని జతచేద్దాం, దాని భ్రమణ విమానం మొదటి భ్రమణ చక్రం యొక్క భ్రమణ విమానానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది. ఈ చక్రాలు ఏ దిశలో తిరుగుతాయో మనం ఇప్పటికీ ఖచ్చితంగా చెప్పలేము, కానీ రెండు చక్రాలు ఒకే దిశలో లేదా వ్యతిరేక దిశలో తిరుగుతాయో లేదో ఖచ్చితంగా చెప్పగలము. రెండు అనంతమైన సన్నివేశాలను పోల్చడం ఎస్మరియు 1-S, ఈ సీక్వెన్స్‌లు వేర్వేరు సమానత్వాన్ని కలిగి ఉన్నాయని మరియు వాటి మధ్య సమాన గుర్తును ఉంచడం తప్పు అని నేను గణితశాస్త్రం సహాయంతో చూపించాను. వ్యక్తిగతంగా, నేను గణితాన్ని విశ్వసిస్తాను, నేను గణిత శాస్త్రజ్ఞులను నమ్మను))) మార్గం ద్వారా, అనంతమైన శ్రేణుల రూపాంతరాల జ్యామితిని పూర్తిగా అర్థం చేసుకోవడానికి, భావనను పరిచయం చేయడం అవసరం "ఏకకాలంలో". ఇది డ్రా చేయవలసి ఉంటుంది.

బుధవారం, ఆగస్టు 7, 2019

గురించి సంభాషణను ముగించడం, మేము అనంతమైన సమితిని పరిగణించాలి. విషయం ఏమిటంటే, "అనంతం" అనే భావన గణిత శాస్త్రజ్ఞులను బోవా కన్‌స్ట్రిక్టర్ ప్రభావితం చేసే విధంగా ప్రభావితం చేస్తుంది. అనంతం యొక్క వణుకుతున్న భయానక గణిత శాస్త్రజ్ఞులకు ఇంగితజ్ఞానం లేకుండా చేస్తుంది. ఇక్కడ ఒక ఉదాహరణ:

అసలు మూలం ఉంది. ఆల్ఫా అంటే వాస్తవ సంఖ్య. పై వ్యక్తీకరణలలోని సమాన సంకేతం మీరు అనంతానికి సంఖ్య లేదా అనంతాన్ని జోడిస్తే, ఏమీ మారదు, ఫలితం అదే అనంతంగా ఉంటుంది. మేము సహజ సంఖ్యల అనంతమైన సమితిని ఉదాహరణగా తీసుకుంటే, పరిగణించబడిన ఉదాహరణలను ఈ రూపంలో సూచించవచ్చు:

అవి సరైనవని స్పష్టంగా నిరూపించడానికి, గణిత శాస్త్రజ్ఞులు అనేక విభిన్న పద్ధతులను కనుగొన్నారు. వ్యక్తిగతంగా, నేను ఈ పద్ధతులన్నింటినీ టాంబురైన్‌లతో నృత్యం చేసే షమన్‌లుగా చూస్తాను. ముఖ్యంగా, కొన్ని గదులు ఖాళీగా ఉన్నాయని మరియు కొత్త అతిథులు లోపలికి వెళ్తున్నారని లేదా అతిథులకు (చాలా మానవీయంగా) చోటు కల్పించడానికి సందర్శకులలో కొందరిని కారిడార్‌లోకి విసిరివేసినట్లు అవన్నీ మరుగున పడతాయి. అలాంటి నిర్ణయాలపై నా అభిప్రాయాన్ని అందగత్తె గురించి ఫాంటసీ కథ రూపంలో అందించాను. నా రీజనింగ్ దేనిపై ఆధారపడి ఉంది? అనంతమైన సందర్శకులను తరలించడానికి అనంతమైన సమయం పడుతుంది. మేము అతిథి కోసం మొదటి గదిని ఖాళీ చేసిన తర్వాత, సందర్శకులలో ఒకరు ఎల్లప్పుడూ తన గది నుండి తదుపరి గదికి సమయం ముగిసే వరకు కారిడార్‌లో నడుస్తూ ఉంటారు. వాస్తవానికి, సమయ కారకాన్ని మూర్ఖంగా విస్మరించవచ్చు, కానీ ఇది "మూర్ఖుల కోసం ఏ చట్టం వ్రాయబడలేదు" అనే వర్గంలో ఉంటుంది. ఇది మనం ఏమి చేస్తున్నామో దానిపై ఆధారపడి ఉంటుంది: వాస్తవికతను గణిత సిద్ధాంతాలకు సర్దుబాటు చేయడం లేదా దీనికి విరుద్ధంగా.

"అంతులేని హోటల్" అంటే ఏమిటి? ఇన్‌ఫినిట్ హోటల్ అనేది ఎన్ని గదులు ఆక్రమించబడినా, ఎప్పుడూ ఎన్ని ఖాళీ బెడ్‌లను కలిగి ఉండే హోటల్. అంతులేని "సందర్శకుల" కారిడార్‌లోని అన్ని గదులు ఆక్రమించబడి ఉంటే, "అతిథి" గదులతో మరొక అంతులేని కారిడార్ ఉంది. అటువంటి కారిడార్లు అనంతమైన సంఖ్యలో ఉంటాయి. అంతేకాకుండా, "అనంతమైన హోటల్" అనంతమైన దేవతలచే సృష్టించబడిన అనంతమైన విశ్వాలలో అనంతమైన గ్రహాలపై అనంతమైన భవనాలలో అనంతమైన అంతస్తులను కలిగి ఉంది. గణిత శాస్త్రవేత్తలు సామాన్యమైన రోజువారీ సమస్యల నుండి తమను తాము దూరం చేసుకోలేరు: ఎల్లప్పుడూ ఒకే దేవుడు-అల్లా-బుద్ధుడు మాత్రమే ఉంటాడు, ఒకే హోటల్ ఉంది, ఒకే కారిడార్ ఉంది. కాబట్టి గణిత శాస్త్రజ్ఞులు హోటల్ గదుల క్రమ సంఖ్యలను మోసగించడానికి ప్రయత్నిస్తున్నారు, "అసాధ్యమైన వాటిని నెట్టడం" సాధ్యమేనని మనల్ని ఒప్పించారు.

అనంతమైన సహజ సంఖ్యల ఉదాహరణను ఉపయోగించి నేను మీకు నా తార్కికం యొక్క తర్కాన్ని ప్రదర్శిస్తాను. మొదట మీరు చాలా సులభమైన ప్రశ్నకు సమాధానం ఇవ్వాలి: సహజ సంఖ్యల ఎన్ని సెట్లు ఉన్నాయి - ఒకటి లేదా అనేక? ఈ ప్రశ్నకు సరైన సమాధానం లేదు, ఎందుకంటే మనమే సంఖ్యలను కనుగొన్నాము; సంఖ్యలు ప్రకృతిలో లేవు. అవును, ప్రకృతి లెక్కింపులో గొప్పది, కానీ దీని కోసం ఆమె మనకు తెలియని ఇతర గణిత సాధనాలను ఉపయోగిస్తుంది. ప్రకృతి ఏమనుకుంటుందో మరొకసారి చెబుతాను. మేము సంఖ్యలను కనుగొన్నాము కాబట్టి, సహజ సంఖ్యలు ఎన్ని సెట్లు ఉన్నాయో మనమే నిర్ణయిస్తాము. నిజమైన శాస్త్రవేత్తలకు తగినట్లుగా రెండు ఎంపికలను పరిశీలిద్దాం.

ఎంపిక ఒకటి. "మనకు ఇవ్వబడదాం" సహజ సంఖ్యల యొక్క ఒకే ఒక్క సెట్, ఇది షెల్ఫ్‌లో నిర్మలంగా ఉంటుంది. మేము ఈ సెట్ను షెల్ఫ్ నుండి తీసుకుంటాము. అంతే, షెల్ఫ్‌లో ఇతర సహజ సంఖ్యలు లేవు మరియు వాటిని తీసుకోవడానికి ఎక్కడా లేదు. మేము ఈ సెట్‌కి ఒకదాన్ని జోడించలేము, ఎందుకంటే ఇది ఇప్పటికే మా వద్ద ఉంది. మీకు నిజంగా కావాలంటే? ఏమి ఇబ్బంది లేదు. మనం ఇంతకుముందే తీసిన సెట్ నుండి ఒకదాన్ని తీసుకొని షెల్ఫ్‌కు తిరిగి ఇవ్వవచ్చు. ఆ తరువాత, మేము షెల్ఫ్ నుండి ఒకదాన్ని తీసివేసి, మనకు మిగిలి ఉన్న వాటికి జోడించవచ్చు. ఫలితంగా, మనం మళ్లీ సహజ సంఖ్యల అనంతమైన సమితిని పొందుతాము. మీరు మా అన్ని అవకతవకలను ఇలా వ్రాయవచ్చు:

నేను బీజగణితంలో మరియు సెట్ థియరీ సంజ్ఞామానంలో చర్యలను వ్రాసాను, సమితిలోని మూలకాల యొక్క వివరణాత్మక జాబితాతో. సబ్‌స్క్రిప్ట్ మనకు సహజ సంఖ్యల యొక్క ఒకే మరియు ఒకే సెట్ ఉందని సూచిస్తుంది. సహజ సంఖ్యల సమితి దాని నుండి ఒకటి తీసివేసి, అదే యూనిట్ జోడించబడితే మాత్రమే అది మారదు.

ఎంపిక రెండు. మన షెల్ఫ్‌లో అనేక విభిన్న అనంతమైన సహజ సంఖ్యల సెట్‌లు ఉన్నాయి. నేను నొక్కి చెబుతున్నాను - విభిన్నమైనవి, అవి ఆచరణాత్మకంగా గుర్తించలేనివి అయినప్పటికీ. ఈ సెట్లలో ఒకదానిని తీసుకుందాం. అప్పుడు మనం మరొక సహజ సంఖ్యల సెట్ నుండి ఒకదాన్ని తీసుకొని, దానిని మనం ఇప్పటికే తీసుకున్న సెట్‌కి జోడిస్తాము. మనం సహజ సంఖ్యల యొక్క రెండు సెట్లను కూడా జోడించవచ్చు. ఇది మనకు లభిస్తుంది:

"ఒకటి" మరియు "రెండు" సబ్‌స్క్రిప్ట్‌లు ఈ మూలకాలు వేర్వేరు సెట్‌లకు చెందినవని సూచిస్తున్నాయి. అవును, మీరు అనంతమైన సెట్‌కి ఒకదాన్ని జోడిస్తే, ఫలితం కూడా అనంతమైన సెట్‌గా ఉంటుంది, కానీ అది అసలు సెట్‌తో సమానంగా ఉండదు. మీరు ఒక అనంతమైన సెట్‌కు మరొక అనంతమైన సెట్‌ను జోడిస్తే, ఫలితం మొదటి రెండు సెట్‌ల మూలకాలతో కూడిన కొత్త అనంతమైన సెట్.

సహజ సంఖ్యల సమితిని లెక్కించడానికి ఒక పాలకుడు ఎలా ఉపయోగిస్తారో అదే విధంగా గణించడానికి ఉపయోగిస్తారు. ఇప్పుడు మీరు పాలకుడికి ఒక సెంటీమీటర్ జోడించారని ఊహించుకోండి. ఇది అసలైన దానికి సమానంగా కాకుండా వేరే లైన్ అవుతుంది.

మీరు నా వాదనను అంగీకరించవచ్చు లేదా అంగీకరించకపోవచ్చు - ఇది మీ స్వంత వ్యాపారం. కానీ మీరు ఎప్పుడైనా గణిత సమస్యలను ఎదుర్కొంటే, మీరు తరాల గణిత శాస్త్రజ్ఞులు తప్పుడు తర్కం యొక్క మార్గాన్ని అనుసరిస్తున్నారా అని ఆలోచించండి. అన్నింటికంటే, గణితాన్ని అధ్యయనం చేయడం, మొదటగా, మనలో స్థిరమైన స్టీరియోటైప్ ఆలోచనను ఏర్పరుస్తుంది మరియు అప్పుడు మాత్రమే మన మానసిక సామర్థ్యాలను జోడిస్తుంది (లేదా, దీనికి విరుద్ధంగా, స్వేచ్ఛా ఆలోచనను కోల్పోతుంది).

pozg.ru

ఆదివారం, ఆగస్టు 4, 2019

నేను ఒక కథనానికి పోస్ట్‌స్క్రిప్ట్‌ను పూర్తి చేస్తున్నాను మరియు వికీపీడియాలో ఈ అద్భుతమైన వచనాన్ని చూశాను:

మేము ఇలా చదువుతాము: "... బాబిలోన్ గణితం యొక్క గొప్ప సైద్ధాంతిక ప్రాతిపదిక సంపూర్ణ లక్షణాన్ని కలిగి లేదు మరియు సాధారణ వ్యవస్థ మరియు సాక్ష్యం ఆధారం లేని అసమాన సాంకేతికతల సమితికి తగ్గించబడింది."

వావ్! మనం ఎంత తెలివిగా ఉన్నాము మరియు ఇతరుల లోపాలను మనం ఎంత బాగా చూడగలం. అదే సందర్భంలో ఆధునిక గణితాన్ని చూడటం మనకు కష్టమా? పై వచనాన్ని కొద్దిగా పారాఫ్రేజ్ చేస్తూ, నేను వ్యక్తిగతంగా ఈ క్రింది వాటిని పొందాను:

ఆధునిక గణితశాస్త్రం యొక్క గొప్ప సైద్ధాంతిక ఆధారం ప్రకృతిలో సంపూర్ణమైనది కాదు మరియు సాధారణ వ్యవస్థ మరియు సాక్ష్యం ఆధారం లేని విభిన్న విభాగాల సమితికి తగ్గించబడింది.

నా పదాలను ధృవీకరించడానికి నేను చాలా దూరం వెళ్లను - ఇది గణితశాస్త్రంలోని అనేక ఇతర శాఖల భాష మరియు సంప్రదాయాలకు భిన్నమైన భాష మరియు సంప్రదాయాలను కలిగి ఉంది. గణితశాస్త్రంలోని వివిధ శాఖలలో ఒకే పేర్లు వేర్వేరు అర్థాలను కలిగి ఉంటాయి. నేను ఆధునిక గణితంలో అత్యంత స్పష్టమైన తప్పుల కోసం మొత్తం ప్రచురణల శ్రేణిని కేటాయించాలనుకుంటున్నాను. త్వరలో కలుద్దాం.

శనివారం, ఆగస్ట్ 3, 2019

సమితిని ఉపసమితులుగా ఎలా విభజించాలి? దీన్ని చేయడానికి, మీరు ఎంచుకున్న సెట్‌లోని కొన్ని అంశాలలో ఉన్న కొత్త కొలత యూనిట్‌ను నమోదు చేయాలి. ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం.

మనకు పుష్కలంగా ఉండవచ్చు ఎనలుగురు వ్యక్తులతో కూడినది. ఈ సెట్ “వ్యక్తులు” ఆధారంగా ఏర్పడింది ఎ, సంఖ్యతో కూడిన సబ్‌స్క్రిప్ట్ ఈ సెట్‌లోని ప్రతి వ్యక్తి యొక్క క్రమ సంఖ్యను సూచిస్తుంది. "లింగం" కొలత యొక్క కొత్త యూనిట్‌ని పరిచయం చేద్దాం మరియు దానిని అక్షరంతో సూచిస్తాము బి. లైంగిక లక్షణాలు అందరిలోనూ అంతర్లీనంగా ఉంటాయి కాబట్టి, మేము సెట్‌లోని ప్రతి మూలకాన్ని గుణిస్తాము ఎలింగం ఆధారంగా బి. మన “వ్యక్తుల” సమితి ఇప్పుడు “లింగ లక్షణాలు కలిగిన వ్యక్తుల” సమితిగా మారిందని గమనించండి. దీని తర్వాత మనం లైంగిక లక్షణాలను మగవారిగా విభజించవచ్చు bmమరియు మహిళల bwలైంగిక లక్షణాలు. ఇప్పుడు మనం గణిత ఫిల్టర్‌ని వర్తింపజేయవచ్చు: మేము ఈ లైంగిక లక్షణాలలో ఒకదానిని ఎంచుకుంటాము, ఏది - మగ లేదా ఆడ. ఒక వ్యక్తి దానిని కలిగి ఉంటే, మేము దానిని ఒకటితో గుణిస్తాము, అలాంటి సంకేతం లేకపోతే, మేము దానిని సున్నాతో గుణిస్తాము. ఆపై మేము సాధారణ పాఠశాల గణితాన్ని ఉపయోగిస్తాము. ఏం జరిగిందో చూడండి.

గుణకారం, తగ్గింపు మరియు పునర్వ్యవస్థీకరణ తర్వాత, మేము రెండు ఉపసమితులతో ముగించాము: పురుషుల ఉపసమితి Bmమరియు మహిళల ఉపసమితి Bw. గణిత శాస్త్రజ్ఞులు ఆచరణలో సమితి సిద్ధాంతాన్ని వర్తింపజేసేటప్పుడు దాదాపు అదే విధంగా వాదిస్తారు. కానీ వారు మాకు వివరాలను చెప్పరు, కానీ పూర్తి ఫలితాన్ని మాకు ఇస్తారు - "చాలా మంది వ్యక్తులు పురుషుల ఉపసమితి మరియు స్త్రీల ఉపసమితిని కలిగి ఉంటారు." సహజంగానే, మీకు ఒక ప్రశ్న ఉండవచ్చు: పైన వివరించిన పరివర్తనలలో గణితశాస్త్రం ఎంత సరిగ్గా వర్తింపజేయబడింది? తప్పనిసరిగా ప్రతిదీ సరిగ్గా జరిగిందని మీకు భరోసా ఇవ్వడానికి నేను ధైర్యం చేస్తున్నాను; అంకగణితం, బూలియన్ బీజగణితం మరియు గణితశాస్త్రంలోని ఇతర శాఖల యొక్క గణిత ప్రాతిపదికను తెలుసుకోవడం సరిపోతుంది. అదేంటి? ఇంకోసారి దీని గురించి చెబుతాను.

సూపర్‌సెట్‌ల విషయానికొస్తే, మీరు ఈ రెండు సెట్‌ల మూలకాలలో ఉన్న కొలత యూనిట్‌ను ఎంచుకోవడం ద్వారా రెండు సెట్‌లను ఒక సూపర్‌సెట్‌గా కలపవచ్చు.

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, కొలత మరియు సాధారణ గణితం యొక్క యూనిట్లు సెట్ సిద్ధాంతాన్ని గతానికి సంబంధించిన అవశేషంగా మారుస్తాయి. గణిత శాస్త్రజ్ఞులు వారి స్వంత భాష మరియు సెట్ సిద్ధాంతం కోసం సంజ్ఞామానంతో ముందుకు వచ్చారు అనేది సెట్ థియరీతో అన్నీ సరిగ్గా లేదనడానికి సంకేతం. గణిత శాస్త్రజ్ఞులు ఒకప్పుడు షమన్ల వలె వ్యవహరించారు. షమన్‌లకు మాత్రమే వారి “జ్ఞానాన్ని” “సరిగ్గా” ఎలా ఉపయోగించాలో తెలుసు. వారు మనకు ఈ "జ్ఞానాన్ని" బోధిస్తారు.

ముగింపులో, గణిత శాస్త్రజ్ఞులు ఎలా తారుమారు చేస్తారో నేను మీకు చూపించాలనుకుంటున్నాను
అకిలెస్ తాబేలు కంటే పది రెట్లు వేగంగా పరిగెడుతుంది మరియు దాని వెనుక వెయ్యి అడుగులు ఉన్నాడనుకుందాం. ఈ దూరం పరుగెత్తడానికి అకిలెస్ పట్టే సమయంలో, తాబేలు అదే దిశలో వంద అడుగులు క్రాల్ చేస్తుంది. అకిలెస్ వంద అడుగులు పరిగెత్తినప్పుడు, తాబేలు మరో పది అడుగులు క్రాల్ చేస్తుంది. ఈ ప్రక్రియ అనంతంగా కొనసాగుతుంది, అకిలెస్ తాబేలును ఎప్పటికీ పట్టుకోడు.

ఈ తార్కికం అన్ని తరువాతి తరాలకు తార్కిక షాక్‌గా మారింది. అరిస్టాటిల్, డయోజినెస్, కాంట్, హెగెల్, హిల్బర్ట్... వీళ్లంతా ఏదో ఒక విధంగా జెనో అపోరియాగా భావించారు. షాక్ చాలా బలంగా ఉంది " ... చర్చలు నేటికీ కొనసాగుతున్నాయి; వైరుధ్యాల సారాంశంపై శాస్త్రీయ సమాజం ఇంకా ఒక సాధారణ అభిప్రాయానికి రాలేకపోయింది ... గణిత విశ్లేషణ, సెట్ సిద్ధాంతం, కొత్త భౌతిక మరియు తాత్విక విధానాలు సమస్య అధ్యయనంలో పాల్గొన్నాయి. ; వాటిలో ఏదీ సమస్యకు సాధారణంగా ఆమోదించబడిన పరిష్కారం కాదు..."[వికీపీడియా, "జెనోస్ అపోరియా". ప్రతి ఒక్కరూ తాము మోసపోతున్నారని అర్థం చేసుకుంటారు, కానీ మోసం ఏమిటో ఎవరికీ అర్థం కాలేదు.

గణిత శాస్త్ర దృక్కోణంలో, జెనో తన అపోరియాలో పరిమాణం నుండి కు మారడాన్ని స్పష్టంగా ప్రదర్శించాడు. ఈ పరివర్తన శాశ్వత వాటికి బదులుగా అనువర్తనాన్ని సూచిస్తుంది. నేను అర్థం చేసుకున్నంత వరకు, వేరియబుల్ కొలత యూనిట్లను ఉపయోగించే గణిత ఉపకరణం ఇంకా అభివృద్ధి చేయబడలేదు లేదా జెనో యొక్క అపోరియాకు వర్తించబడలేదు. మన సాధారణ తర్కాన్ని వర్తింపజేయడం మనల్ని ఒక ఉచ్చులోకి నడిపిస్తుంది. మేము, ఆలోచన యొక్క జడత్వం కారణంగా, పరస్పర విలువకు సమయం యొక్క స్థిరమైన యూనిట్లను వర్తింపజేస్తాము. భౌతిక దృక్కోణం నుండి, ఇది అకిలెస్ తాబేలుతో పట్టుకున్న క్షణంలో పూర్తిగా ఆగిపోయే వరకు సమయం మందగించినట్లు కనిపిస్తోంది. సమయం ఆగిపోతే, అకిలెస్ ఇకపై తాబేలును అధిగమించలేరు.

మేము మా సాధారణ తర్కాన్ని తిప్పితే, ప్రతిదీ స్థానంలోకి వస్తుంది. అకిలెస్ స్థిరమైన వేగంతో నడుస్తుంది. అతని మార్గంలోని ప్రతి తదుపరి విభాగం మునుపటి కంటే పది రెట్లు తక్కువగా ఉంటుంది. దీని ప్రకారం, దానిని అధిగమించడానికి గడిపిన సమయం మునుపటి కంటే పది రెట్లు తక్కువ. ఈ పరిస్థితిలో మనం “అనంతం” అనే భావనను వర్తింపజేస్తే, “అకిలెస్ తాబేలును అనంతంగా త్వరగా పట్టుకుంటాడు” అని చెప్పడం సరైనది.

ఈ తార్కిక ఉచ్చును ఎలా నివారించాలి? సమయం యొక్క స్థిరమైన యూనిట్లలో ఉండండి మరియు పరస్పర యూనిట్లకు మారవద్దు. జెనో భాషలో ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది:

అకిలెస్ వేయి అడుగులు పరిగెత్తడానికి పట్టే సమయంలో, తాబేలు అదే దిశలో వంద అడుగులు క్రాల్ చేస్తుంది. మొదటి సమయానికి సమానమైన తదుపరి సమయ వ్యవధిలో, అకిలెస్ మరో వెయ్యి అడుగులు పరిగెత్తుతుంది మరియు తాబేలు వంద అడుగులు క్రాల్ చేస్తుంది. ఇప్పుడు అకిలెస్ తాబేలు కంటే ఎనిమిది వందల అడుగులు ముందున్నాడు.

ఈ విధానం ఎటువంటి తార్కిక వైరుధ్యాలు లేకుండా వాస్తవికతను తగినంతగా వివరిస్తుంది. అయితే ఇది సమస్యకు పూర్తి పరిష్కారం కాదు. కాంతి వేగం యొక్క ఇర్రెసిస్టిబిలిటీ గురించి ఐన్స్టీన్ యొక్క ప్రకటన జెనో యొక్క అపోరియా "అకిలెస్ అండ్ ది టార్టాయిస్" కు చాలా పోలి ఉంటుంది. మనం ఇంకా ఈ సమస్యను అధ్యయనం చేయాలి, పునరాలోచించాలి మరియు పరిష్కరించాలి. మరియు పరిష్కారం అనంతమైన పెద్ద సంఖ్యలో కాదు, కానీ కొలత యూనిట్లలో వెతకాలి.

జెనో యొక్క మరొక ఆసక్తికరమైన అపోరియా ఎగిరే బాణం గురించి చెబుతుంది:

ఎగిరే బాణం కదలకుండా ఉంటుంది, ఎందుకంటే అది ప్రతి క్షణం విశ్రాంతిగా ఉంటుంది మరియు ప్రతి క్షణం విశ్రాంతిగా ఉంటుంది కాబట్టి, అది ఎల్లప్పుడూ విశ్రాంతిగా ఉంటుంది.

ఈ అపోరియాలో, తార్కిక పారడాక్స్ చాలా సరళంగా అధిగమించబడుతుంది - ప్రతి క్షణంలో ఎగిరే బాణం అంతరిక్షంలో వేర్వేరు పాయింట్ల వద్ద విశ్రాంతిగా ఉందని స్పష్టం చేయడానికి సరిపోతుంది, ఇది వాస్తవానికి చలనం. ఇక్కడ మరో విషయం గమనించాలి. రహదారిపై ఉన్న కారు యొక్క ఒక ఛాయాచిత్రం నుండి దాని కదలిక యొక్క వాస్తవాన్ని లేదా దానికి దూరాన్ని గుర్తించడం అసాధ్యం. కారు కదులుతుందో లేదో తెలుసుకోవడానికి, మీకు ఒకే పాయింట్ నుండి వేర్వేరు సమయాల్లో తీసిన రెండు ఛాయాచిత్రాలు అవసరం, కానీ మీరు వాటి నుండి దూరాన్ని నిర్ణయించలేరు. కారుకు దూరాన్ని నిర్ణయించడానికి, మీకు ఒక సమయంలో అంతరిక్షంలో వేర్వేరు పాయింట్ల నుండి తీసిన రెండు ఛాయాచిత్రాలు అవసరం, కానీ వాటి నుండి మీరు కదలిక వాస్తవాన్ని గుర్తించలేరు (వాస్తవానికి, మీకు ఇంకా లెక్కల కోసం అదనపు డేటా అవసరం, త్రికోణమితి మీకు సహాయం చేస్తుంది. ) నేను ప్రత్యేక దృష్టిని ఆకర్షించదలిచినది ఏమిటంటే, సమయంలో రెండు పాయింట్లు మరియు అంతరిక్షంలో రెండు పాయింట్లు వేర్వేరు విషయాలు, అవి గందరగోళానికి గురికాకూడదు, ఎందుకంటే అవి పరిశోధన కోసం విభిన్న అవకాశాలను అందిస్తాయి.
నేను ఒక ఉదాహరణతో ప్రక్రియను మీకు చూపుతాను. మేము "మొటిమలో ఎరుపు ఘన" ను ఎంచుకుంటాము - ఇది మా "మొత్తం". అదే సమయంలో, ఈ విషయాలు విల్లుతో ఉన్నాయని మరియు విల్లు లేకుండా ఉన్నాయని మనం చూస్తాము. ఆ తరువాత, మేము "మొత్తం" యొక్క భాగాన్ని ఎంచుకుంటాము మరియు "విల్లుతో" సమితిని ఏర్పరుస్తాము. ఈ విధంగా షమన్లు ​​తమ సెట్ థియరీని రియాలిటీతో ముడిపెట్టడం ద్వారా తమ ఆహారాన్ని పొందుతారు.

ఇప్పుడు ఒక చిన్న ట్రిక్ చేద్దాం. "ఒక విల్లుతో ఒక మొటిమతో ఘన" తీసుకుందాం మరియు ఈ "మొత్తాలను" రంగు ప్రకారం కలపండి, ఎరుపు మూలకాలను ఎంచుకుందాం. మాకు చాలా "ఎరుపు" వచ్చింది. ఇప్పుడు చివరి ప్రశ్న: ఫలిత సెట్లు "విల్లుతో" మరియు "ఎరుపు" ఒకే సెట్ లేదా రెండు వేర్వేరు సెట్లు? షామన్లకు మాత్రమే సమాధానం తెలుసు. మరింత ఖచ్చితంగా, వారు తమను తాము ఏమీ తెలియదు, కానీ వారు చెప్పినట్లు, అలా ఉంటుంది.

ఈ సాధారణ ఉదాహరణ వాస్తవికత విషయానికి వస్తే సెట్ సిద్ధాంతం పూర్తిగా పనికిరాదని చూపిస్తుంది. రహస్యం ఏమిటి? మేము "మొటిమ మరియు విల్లుతో ఎర్రటి ఘన" సమితిని ఏర్పరచాము. నిర్మాణం నాలుగు వేర్వేరు కొలత యూనిట్లలో జరిగింది: రంగు (ఎరుపు), బలం (ఘన), కరుకుదనం (పింప్లీ), అలంకరణ (విల్లుతో). కొలత యూనిట్ల సమితి మాత్రమే గణిత శాస్త్ర భాషలో నిజమైన వస్తువులను తగినంతగా వివరించడానికి అనుమతిస్తుంది. ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది.

వేర్వేరు సూచికలతో "a" అనే అక్షరం వేర్వేరు కొలత యూనిట్లను సూచిస్తుంది. ప్రాథమిక దశలో "మొత్తం" వేరు చేయబడిన కొలత యూనిట్లు బ్రాకెట్లలో హైలైట్ చేయబడతాయి. సెట్ ఏర్పడిన కొలత యూనిట్ బ్రాకెట్‌ల నుండి తీసివేయబడుతుంది. చివరి పంక్తి తుది ఫలితాన్ని చూపుతుంది - సెట్ యొక్క మూలకం. మీరు చూడగలిగినట్లుగా, మేము సమితిని రూపొందించడానికి కొలత యూనిట్లను ఉపయోగిస్తే, ఫలితం మా చర్యల క్రమంపై ఆధారపడి ఉండదు. మరియు ఇది గణితం, మరియు టాంబురైన్లతో షమన్ల నృత్యం కాదు. షామన్లు ​​"అకారణంగా" అదే ఫలితానికి రావచ్చు, ఇది "స్పష్టంగా" ఉందని వాదిస్తారు, ఎందుకంటే కొలత యూనిట్లు వారి "శాస్త్రీయ" ఆయుధశాలలో భాగం కాదు.

కొలత యూనిట్లను ఉపయోగించి, ఒక సెట్‌ను విభజించడం లేదా అనేక సెట్‌లను ఒక సూపర్‌సెట్‌గా కలపడం చాలా సులభం. ఈ ప్రక్రియ యొక్క బీజగణితాన్ని నిశితంగా పరిశీలిద్దాం.

త్రికోణమితి సర్కిల్ అనేది సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్‌లతో సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి జ్యామితి యొక్క ప్రాథమిక అంశాలలో ఒకటి.

ఈ పదం యొక్క నిర్వచనం ఏమిటి, ఈ వృత్తాన్ని ఎలా నిర్మించాలి, త్రికోణమితిలో పావు భాగాన్ని ఎలా నిర్ణయించాలి, నిర్మించిన త్రికోణమితి వృత్తంలో కోణాలను ఎలా కనుగొనాలి - మేము దీని గురించి మాట్లాడుతాము మరియు మరింత ఎక్కువ.

త్రికోణమితి వృత్తం

గణితశాస్త్రంలో సంఖ్యా వృత్తం యొక్క త్రికోణమితి రూపం కోఆర్డినేట్ ప్లేన్ యొక్క మూలం వద్ద కేంద్రంతో ఒకే వ్యాసార్థాన్ని కలిగి ఉన్న వృత్తం. నియమం ప్రకారం, ఇది కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌పై కొసైన్, టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్‌తో సైన్ కోసం ఫార్ములాల ఖాళీ ద్వారా ఏర్పడుతుంది.

n-డైమెన్షనల్ స్పేస్‌తో అటువంటి గోళం యొక్క ఉద్దేశ్యం ఏమిటంటే దానికి ధన్యవాదాలు త్రికోణమితి విధులను వివరించవచ్చు. ఇది సరళంగా కనిపిస్తుంది: ఒక వృత్తం, దాని లోపల కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ మరియు త్రికోణమితి ఫంక్షన్‌లను ఉపయోగించి ఈ సర్కిల్ నుండి ఏర్పడిన బహుళ లంబ కోణ త్రిభుజాలు ఉన్నాయి.

లంబ త్రిభుజంలో సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్, కోటాంజెంట్ అంటే ఏమిటి

లంబకోణ త్రిభుజం అంటే కోణాలలో ఒకటి 90°. ఇది త్రికోణమితి యొక్క అన్ని అర్థాలతో కాళ్ళు మరియు హైపోటెన్యూస్ ద్వారా ఏర్పడుతుంది. కాళ్లు 90° కోణానికి ప్రక్కనే ఉన్న త్రిభుజం యొక్క రెండు వైపులా ఉంటాయి మరియు మూడవది హైపోటెన్యూస్, ఇది ఎల్లప్పుడూ కాళ్ళ కంటే పొడవుగా ఉంటుంది.

సైన్ అనేది ఒక కాళ్లకు హైపోటెన్యూస్‌కు ఉన్న నిష్పత్తి, కొసైన్ అనేది మరొక కాలుకు ఉన్న నిష్పత్తి, మరియు టాంజెంట్ అనేది రెండు కాళ్ల నిష్పత్తి. సంబంధం విభజనను సూచిస్తుంది. టాంజెంట్ అనేది సైన్ మరియు కొసైన్ ద్వారా తీవ్రమైన కోణం యొక్క విభజన. కోటాంజెంట్ అనేది టాంజెంట్ యొక్క వ్యతిరేక నిష్పత్తి.

చివరి రెండు నిష్పత్తుల సూత్రాలు క్రింది విధంగా ఉన్నాయి: tg(a) = sin(a) / cos(a) మరియు ctg(a) = cos(a) / sin(a).

యూనిట్ సర్కిల్‌ను నిర్మించడం

యూనిట్ సర్కిల్ యొక్క నిర్మాణం కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ మధ్యలో యూనిట్ వ్యాసార్థంతో దానిని గీయడానికి వస్తుంది. అప్పుడు, నిర్మించడానికి, మీరు కోణాలను లెక్కించాలి మరియు అపసవ్య దిశలో కదిలి, మొత్తం సర్కిల్ చుట్టూ తిరగండి, వాటికి సంబంధించిన కోఆర్డినేట్ పంక్తులను ఉంచాలి.

OX కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌ను ఉంచడం ద్వారా ఒక వృత్తాన్ని గీయడం మరియు దాని మధ్యలో ఒక పాయింట్‌ను సెట్ చేసిన తర్వాత నిర్మాణం ప్రారంభమవుతుంది. కోఆర్డినేట్ అక్షం పైన ఉన్న పాయింట్ O అనేది సైన్, మరియు X అనేది కొసైన్. దీని ప్రకారం, వారు అబ్సిస్సా మరియు ఆర్డినేట్. అప్పుడు మీరు కొలతలు తీసుకోవాలి ∠. అవి డిగ్రీలు మరియు రేడియన్లలో నిర్వహించబడతాయి.

ఈ సూచికలను అనువదించడం సులభం - పూర్తి వృత్తం రెండు పై రేడియన్‌లకు సమానం. సున్నా అపసవ్య దిశలో ఉన్న కోణం + గుర్తుతో వస్తుంది మరియు 0 నుండి సవ్యదిశలో ∠ - గుర్తుతో వస్తుంది. సైన్ మరియు కొసైన్ యొక్క సానుకూల మరియు ప్రతికూల విలువలు సర్కిల్ యొక్క ప్రతి విప్లవం పునరావృతమవుతాయి.

త్రికోణమితి వృత్తంలో కోణాలు

త్రికోణమితి వృత్తం యొక్క సిద్ధాంతాన్ని ప్రావీణ్యం చేయడానికి, దానిపై ∠ ఎలా లెక్కించబడుతుందో మరియు అవి ఏ విధంగా కొలుస్తాయో మీరు అర్థం చేసుకోవాలి. అవి చాలా సరళంగా లెక్కించబడతాయి.

సర్కిల్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ ద్వారా నాలుగు భాగాలుగా విభజించబడింది. ప్రతి భాగం ∠ 90°ని ఏర్పరుస్తుంది. ఈ కోణాలలో సగం 45 డిగ్రీలు. దీని ప్రకారం, ఒక వృత్తంలోని రెండు భాగాలు 180°కి సమానం, మరియు మూడు భాగాలు 360°. ఈ సమాచారాన్ని ఎలా ఉపయోగించాలి?

∠ని కనుగొనే సమస్యను పరిష్కరించాల్సిన అవసరం ఉన్నట్లయితే, వారు త్రిభుజాల గురించిన సిద్ధాంతాలను మరియు వాటికి సంబంధించిన ప్రాథమిక పైథాగరియన్ చట్టాలను ఆశ్రయిస్తారు.

కోణాలు రేడియన్లలో కొలుస్తారు:

• 0 నుండి 90° వరకు - 0 నుండి ∏/2 వరకు కోణం విలువలు;
• 90 నుండి 180° వరకు - ∏/2 నుండి ∏ వరకు కోణం విలువలు;
• 180 నుండి 270° వరకు - ∏ నుండి 3*∏/2 వరకు;
• చివరి త్రైమాసికం 270 0 నుండి 360 0 వరకు - 3*∏/2 నుండి 2*∏ వరకు విలువలు.

నిర్దిష్ట కొలతను కనుగొనడానికి, రేడియన్‌లను డిగ్రీలుగా మార్చండి లేదా దీనికి విరుద్ధంగా, మీరు చీట్ షీట్‌ను ఆశ్రయించాలి.

కోణాలను డిగ్రీల నుండి రేడియన్‌లకు మార్చడం

కోణాలను డిగ్రీలు లేదా రేడియన్లలో కొలవవచ్చు. రెండు అర్థాల మధ్య అనుబంధం గురించి తెలుసుకోవడం అవసరం. ఈ సంబంధం ప్రత్యేక సూత్రాన్ని ఉపయోగించి త్రికోణమితిలో వ్యక్తీకరించబడింది. సంబంధాన్ని అర్థం చేసుకోవడం ద్వారా, మీరు కోణాలను త్వరగా నియంత్రించడం మరియు డిగ్రీల నుండి రేడియన్‌లకు తిరిగి వెళ్లడం ఎలాగో నేర్చుకోవచ్చు.

ఒక రేడియన్ దేనికి సమానమో ఖచ్చితంగా తెలుసుకోవడానికి, మీరు ఈ క్రింది సూత్రాన్ని ఉపయోగించవచ్చు:

1 రాడ్. = 180 / ∏ = 180 / 3.1416 = 57.2956

అంతిమంగా, 1 రేడియన్ 57°కి సమానం, మరియు 1 డిగ్రీలో 0.0175 రేడియన్‌లు ఉన్నాయి:

1 డిగ్రీ = (∏ /180) రాడ్. = 3.1416 / 180 రాడ్. = 0.0175 రేడ్.

త్రికోణమితి వృత్తంపై కొసైన్, సైన్, టాంజెంట్, కోటాంజెంట్

త్రికోణమితి సర్కిల్‌పై సైన్, టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్‌తో కూడిన కొసైన్ - 0 నుండి 360 డిగ్రీల వరకు ఆల్ఫా కోణాల విధులు. కోణం యొక్క పరిమాణంపై ఆధారపడి ప్రతి ఫంక్షన్ సానుకూల లేదా ప్రతికూల విలువను కలిగి ఉంటుంది. అవి వృత్తంలో ఏర్పడిన లంబ త్రిభుజాలకు సంబంధాన్ని సూచిస్తాయి.

త్రికోణమితి ఫంక్షన్ యొక్క సంకేతం సంఖ్యా వాదం ఉన్న కోఆర్డినేట్ క్వాడ్రంట్‌పై మాత్రమే ఆధారపడి ఉంటుంది. చివరిసారి మేము ఆర్గ్యుమెంట్‌లను రేడియన్ కొలత నుండి డిగ్రీ కొలతకు మార్చడం నేర్చుకున్నాము (“ రేడియన్ మరియు కోణం యొక్క డిగ్రీ కొలత” అనే పాఠాన్ని చూడండి), ఆపై ఇదే కోఆర్డినేట్ క్వార్టర్‌ని నిర్ణయించండి. ఇప్పుడు వాస్తవానికి సైన్, కొసైన్ మరియు టాంజెంట్ యొక్క సంకేతాన్ని నిర్ధారిద్దాం.

కోణం α యొక్క సైన్ అనేది త్రికోణమితి వృత్తంలోని ఒక బిందువు యొక్క ఆర్డినేట్ (y కోఆర్డినేట్), ఇది వ్యాసార్థాన్ని కోణం α ద్వారా తిప్పినప్పుడు సంభవిస్తుంది.

కోణం α యొక్క కొసైన్ అనేది త్రికోణమితి వృత్తంలోని ఒక బిందువు యొక్క అబ్సిస్సా (x కోఆర్డినేట్), ఇది వ్యాసార్థాన్ని కోణం α ద్వారా తిప్పినప్పుడు సంభవిస్తుంది.

కోణం α యొక్క టాంజెంట్ అనేది సైన్ మరియు కొసైన్ నిష్పత్తి. లేదా, అదే విషయం, x కోఆర్డినేట్‌కు y కోఆర్డినేట్ నిష్పత్తి.

సంజ్ఞామానం: sin α = y ; cos α = x ; tg α = y: x.

ఈ నిర్వచనాలన్నీ హైస్కూల్ బీజగణితం నుండి మీకు తెలిసినవే. అయినప్పటికీ, మేము నిర్వచనాలపై ఆసక్తి చూపడం లేదు, కానీ త్రికోణమితి వృత్తంలో ఉత్పన్నమయ్యే పరిణామాలపై. ఒకసారి చూడు:

నీలం రంగు OY అక్షం (ఆర్డినేట్ యాక్సిస్) యొక్క సానుకూల దిశను సూచిస్తుంది, ఎరుపు OX అక్షం (అబ్సిస్సా యాక్సిస్) యొక్క సానుకూల దిశను సూచిస్తుంది. ఈ "రాడార్"లో త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల సంకేతాలు స్పష్టంగా కనిపిస్తాయి. ముఖ్యంగా:

1. α కోణం α I లేదా II కోఆర్డినేట్ క్వాడ్రంట్‌లో ఉంటే sin α > 0. ఎందుకంటే, నిర్వచనం ప్రకారం, సైన్ అనేది ఆర్డినేట్ (y కోఆర్డినేట్). మరియు y కోఆర్డినేట్ I మరియు II కోఆర్డినేట్ క్వార్టర్స్‌లో ఖచ్చితంగా సానుకూలంగా ఉంటుంది;
2. cos α > 0, కోణం α 1వ లేదా 4వ కోఆర్డినేట్ క్వాడ్రంట్‌లో ఉంటే. ఎందుకంటే అక్కడ మాత్రమే x కోఆర్డినేట్ (అకా abscissa) సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది;
3. tan α > 0 కోణం α I లేదా III కోఆర్డినేట్ క్వాడ్రంట్‌లో ఉంటే. ఇది నిర్వచనం నుండి అనుసరిస్తుంది: అన్ని తరువాత, tan α = y : x, కాబట్టి x మరియు y సంకేతాలు కలిసే చోట మాత్రమే ఇది సానుకూలంగా ఉంటుంది. ఇది మొదటి కోఆర్డినేట్ క్వార్టర్ (ఇక్కడ x > 0, y > 0) మరియు మూడవ కోఆర్డినేట్ క్వార్టర్ (x)లో జరుగుతుంది< 0, y < 0).

స్పష్టత కోసం, ప్రతి త్రికోణమితి ఫంక్షన్ యొక్క సంకేతాలను - సైన్, కొసైన్ మరియు టాంజెంట్ - ప్రత్యేక “రాడార్‌లలో” గమనించండి. మేము ఈ క్రింది చిత్రాన్ని పొందుతాము:

దయచేసి గమనించండి: నా చర్చలలో నేను నాల్గవ త్రికోణమితి ఫంక్షన్ - కోటాంజెంట్ గురించి ఎప్పుడూ మాట్లాడలేదు. వాస్తవం ఏమిటంటే, కోటాంజెంట్ సంకేతాలు టాంజెంట్ సంకేతాలతో సమానంగా ఉంటాయి - అక్కడ ప్రత్యేక నియమాలు లేవు.

ఇప్పుడు నేను సెప్టెంబర్ 27, 2011న జరిగిన గణితంలోని ట్రయల్ యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ నుండి B11 సమస్యలకు సమానమైన ఉదాహరణలను పరిగణించాలని ప్రతిపాదించాను. అన్నింటికంటే, సిద్ధాంతాన్ని అర్థం చేసుకోవడానికి ఉత్తమ మార్గం అభ్యాసం. చాలా సాధన చేయడం మంచిది. వాస్తవానికి, పనుల పరిస్థితులు కొద్దిగా మార్చబడ్డాయి.

టాస్క్. త్రికోణమితి విధులు మరియు వ్యక్తీకరణల సంకేతాలను నిర్ణయించండి (ఫంక్షన్ల విలువలను లెక్కించాల్సిన అవసరం లేదు):

1. sin(3π/4);
2. cos(7π/6);
3. tg(5π/3);
4. sin (3π/4) cos (5π/6);
5. cos (2π/3) tg (π/4);
6. sin (5π/6) cos (7π/4);
7. టాన్ (3π/4) cos (5π/3);
8. ctg (4π/3) tg (π/6).

కార్యాచరణ ప్రణాళిక ఇది: మొదట మేము అన్ని కోణాలను రేడియన్ కొలతల నుండి డిగ్రీలకు (π → 180°) మారుస్తాము, ఆపై ఫలిత సంఖ్య ఏ కోఆర్డినేట్ క్వార్టర్‌లో ఉందో చూడండి. క్వార్టర్స్ తెలుసుకోవడం, మేము సులభంగా సంకేతాలను కనుగొనవచ్చు - ఇప్పుడే వివరించిన నియమాల ప్రకారం. మాకు ఉన్నాయి:

1. పాపం (3π/4) = పాపం (3 · 180°/4) = పాపం 135°. 135° ∈ నుండి, ఇది II కోఆర్డినేట్ క్వాడ్రంట్ నుండి ఒక కోణం. కానీ రెండవ త్రైమాసికంలో సైన్ సానుకూలంగా ఉంది, కాబట్టి sin (3π/4) > 0;
2. cos (7π/6) = cos (7 · 180°/6) = cos 210°. ఎందుకంటే 210° ∈ , ఇది మూడవ కోఆర్డినేట్ క్వాడ్రంట్ నుండి కోణం, దీనిలో అన్ని కొసైన్‌లు ప్రతికూలంగా ఉంటాయి. కాబట్టి ఖర్చు(7π/6)< 0;
3. tg (5π/3) = tg (5 · 180°/3) = tg 300°. 300° ∈ నుండి, మేము IV త్రైమాసికంలో ఉన్నాము, ఇక్కడ టాంజెంట్ ప్రతికూల విలువలను తీసుకుంటుంది. కాబట్టి టాన్ (5π/3)< 0;
4. sin (3π/4) cos (5π/6) = sin (3 180°/4) cos (5 180°/6) = sin 135° cos 150°. సైన్ తో వ్యవహరిస్తాము: ఎందుకంటే 135° ∈ , ఇది సైన్స్ సానుకూలంగా ఉన్న రెండవ త్రైమాసికం, అనగా. sin (3π/4) > 0. ఇప్పుడు మేము కొసైన్‌తో పని చేస్తాము: 150° ∈ - మళ్లీ రెండవ త్రైమాసికంలో, అక్కడ ఉన్న కొసైన్‌లు ప్రతికూలంగా ఉన్నాయి. కాబట్టి cos(5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
5. cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°. మేము కొసైన్‌ని పరిశీలిస్తాము: 120° ∈ అనేది II కోఆర్డినేట్ క్వార్టర్, కాబట్టి cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) >0. మళ్ళీ మేము కారకాలు వేర్వేరు సంకేతాలను కలిగి ఉన్న ఉత్పత్తిని పొందాము. “మైనస్ బై ప్లస్ మైనస్ ఇస్తుంది” కాబట్టి, మనకు ఇవి ఉన్నాయి: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
6. sin (5π/6) cos (7π/4) = sin (5 180°/6) cos (7 180°/4) = sin 150° cos 315°. మేము సైన్తో పని చేస్తాము: 150° ∈ నుండి, మేము II కోఆర్డినేట్ క్వార్టర్ గురించి మాట్లాడుతున్నాము, ఇక్కడ సైన్స్ సానుకూలంగా ఉంటాయి. కాబట్టి, sin (5π/6) > 0. అదేవిధంగా, 315° ∈ IV కోఆర్డినేట్ క్వార్టర్, అక్కడ ఉన్న కొసైన్‌లు సానుకూలంగా ఉంటాయి. అందువల్ల cos (7π/4) > 0. మేము రెండు ధనాత్మక సంఖ్యల ఉత్పత్తిని పొందాము - అటువంటి వ్యక్తీకరణ ఎల్లప్పుడూ సానుకూలంగా ఉంటుంది. మేము ముగించాము: sin (5π/6) cos (7π/4) > 0;
7. tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° కాస్ 300°. కానీ కోణం 135° ∈ రెండవ త్రైమాసికం, అనగా. tg(3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. “మైనస్ బై ప్లస్ మైనస్ చిహ్నాన్ని ఇస్తుంది” కాబట్టి, మనకు ఇవి ఉన్నాయి: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
8. ctg (4π/3) tg (π/6) = ctg (4 180°/3) tg (180°/6) = ctg 240° tg 30°. మేము కోటాంజెంట్ ఆర్గ్యుమెంట్‌ని పరిశీలిస్తాము: 240° ∈ III కోఆర్డినేట్ క్వార్టర్, కాబట్టి ctg (4π/3) > 0. అదేవిధంగా, టాంజెంట్‌కి మన దగ్గర: 30° ∈ అనేది I కోఆర్డినేట్ క్వార్టర్, అనగా. సరళమైన కోణం. అందువల్ల టాన్ (π/6) > 0. మళ్లీ మనకు రెండు సానుకూల వ్యక్తీకరణలు ఉన్నాయి - వాటి ఉత్పత్తి కూడా సానుకూలంగా ఉంటుంది. కాబట్టి cot (4π/3) tg (π/6) > 0.

చివరగా, కొన్ని క్లిష్టమైన సమస్యలను చూద్దాం. త్రికోణమితి ఫంక్షన్ యొక్క చిహ్నాన్ని గుర్తించడంతో పాటు, మీరు ఇక్కడ కొద్దిగా గణితాన్ని చేయాల్సి ఉంటుంది - ఇది నిజమైన సమస్యలు B11లో చేసినట్లే. సూత్రప్రాయంగా, ఇవి వాస్తవానికి గణితంలో యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్‌లో కనిపించే దాదాపు నిజమైన సమస్యలు.

టాస్క్. పాపం α అయితే 2 α = 0.64 మరియు α ∈ [π/2; π].

పాపం 2 α = 0.64 నుండి, మనకు ఉంది: sin α = ±0.8. నిర్ణయించడమే మిగిలి ఉంది: ప్లస్ లేదా మైనస్? షరతు ప్రకారం, కోణం α ∈ [π/2; π] అనేది II కోఆర్డినేట్ క్వార్టర్, ఇక్కడ అన్ని సైన్‌లు సానుకూలంగా ఉంటాయి. అందువలన, sin α = 0.8 - సంకేతాలతో అనిశ్చితి తొలగించబడుతుంది.

టాస్క్. కాస్ 2 α = 0.04 మరియు α ∈ [π; 3π/2].

మేము అదేవిధంగా వ్యవహరిస్తాము, అనగా. వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి: cos 2 α = 0.04 ⇒ cos α = ±0.2. షరతు ప్రకారం, కోణం α ∈ [π; 3π/2], అనగా. మేము మూడవ కోఆర్డినేట్ త్రైమాసికం గురించి మాట్లాడుతున్నాము. అక్కడ ఉన్న అన్ని కొసైన్‌లు ప్రతికూలంగా ఉంటాయి, కాబట్టి cos α = -0.2.

టాస్క్. sin 2 α = 0.25 మరియు α ∈ అయితే sin αని కనుగొనండి.

మనకు ఉంది: sin 2 α = 0.25 ⇒ sin α = ±0.5. మేము మళ్లీ కోణాన్ని చూస్తాము: α ∈ IV కోఆర్డినేట్ క్వార్టర్, దీనిలో మనకు తెలిసినట్లుగా, సైన్ ప్రతికూలంగా ఉంటుంది. అందువలన, మేము ముగించాము: sin α = -0.5.

టాస్క్. టాన్ 2 α = 9 మరియు α ∈ అయితే టాన్ αని కనుగొనండి.

అంతా ఒకటే, టాంజెంట్ కోసం మాత్రమే. వర్గమూలాన్ని సంగ్రహించండి: టాన్ 2 α = 9 ⇒ టాన్ α = ±3. కానీ షరతు ప్రకారం, కోణం α ∈ I కోఆర్డినేట్ క్వార్టర్. అన్ని త్రికోణమితి విధులు, incl. టాంజెంట్, పాజిటివ్ ఉన్నాయి, కాబట్టి టాన్ α = 3. అంతే!

త్రికోణమితి వృత్తం. యూనిట్ సర్కిల్. నంబర్ సర్కిల్. అదేంటి?

శ్రద్ధ!
అదనంగా ఉన్నాయి
ప్రత్యేక విభాగం 555లోని పదార్థాలు.
చాలా "చాలా కాదు..." ఉన్నవారికి.
మరియు "చాలా..." ఉన్నవారికి)

చాలా తరచుగా నిబంధనలు త్రికోణమితి వృత్తం, యూనిట్ సర్కిల్, సంఖ్య వృత్తంవిద్యార్థులకు సరిగా అర్థం కాలేదు. మరియు పూర్తిగా ఫలించలేదు. ఈ భావనలు త్రికోణమితి యొక్క అన్ని రంగాలలో శక్తివంతమైన మరియు సార్వత్రిక సహాయకుడు. నిజానికి, ఇది చట్టపరమైన చీట్ షీట్! నేను త్రికోణమితి వృత్తాన్ని గీసాను మరియు వెంటనే సమాధానాలను చూశాను! టెంప్టింగ్? కాబట్టి నేర్చుకుందాం, అలాంటిది ఉపయోగించకపోతే పాపం. అంతేకాక, ఇది అస్సలు కష్టం కాదు.

త్రికోణమితి సర్కిల్‌తో విజయవంతంగా పని చేయడానికి, మీరు మూడు విషయాలు మాత్రమే తెలుసుకోవాలి.

మీకు ఈ సైట్ నచ్చితే...

మార్గం ద్వారా, నేను మీ కోసం మరికొన్ని ఆసక్తికరమైన సైట్‌లను కలిగి ఉన్నాను.)

మీరు ఉదాహరణలను పరిష్కరించడం సాధన చేయవచ్చు మరియు మీ స్థాయిని కనుగొనవచ్చు. తక్షణ ధృవీకరణతో పరీక్షిస్తోంది. నేర్చుకుందాం - ఆసక్తితో!)

మీరు విధులు మరియు ఉత్పన్నాలతో పరిచయం పొందవచ్చు.

పాఠం రకం:జ్ఞానం మరియు ఇంటర్మీడియట్ నియంత్రణ యొక్క క్రమబద్ధీకరణ.

సామగ్రి:త్రికోణమితి సర్కిల్, పరీక్షలు, టాస్క్ కార్డ్‌లు.

పాఠ్య లక్ష్యాలు:ఒక కోణం యొక్క సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్ యొక్క నిర్వచనాల ప్రకారం అధ్యయనం చేయబడిన సైద్ధాంతిక పదార్థాన్ని క్రమబద్ధీకరించండి; ఈ అంశంపై జ్ఞాన సముపార్జన స్థాయిని తనిఖీ చేయండి మరియు ఆచరణలో అప్లికేషన్.

పనులు:

• ఒక కోణం యొక్క సైన్, కొసైన్ మరియు టాంజెంట్ భావనలను సాధారణీకరించండి మరియు ఏకీకృతం చేయండి.
• త్రికోణమితి విధులపై సమగ్ర అవగాహనను ఏర్పరచుకోండి.
• విద్యార్థుల కోరికను ప్రోత్సహించడానికి మరియు త్రికోణమితి పదార్థాన్ని అధ్యయనం చేయవలసిన అవసరం; కమ్యూనికేషన్ సంస్కృతిని పెంపొందించుకోండి, సమూహాలలో పని చేసే సామర్థ్యం మరియు స్వీయ-విద్య అవసరం.

“ఎవరైతే చిన్నప్పటి నుండి తన గురించి ఆలోచించుకుంటాడు మరియు చేస్తాడు,
అప్పుడు అది మరింత విశ్వసనీయంగా, బలంగా, తెలివిగా మారుతుంది.

(వి. శుక్షిన్)

తరగతుల సమయంలో

I. సంస్థాగత క్షణం

తరగతి మూడు సమూహాలచే ప్రాతినిధ్యం వహిస్తుంది. ప్రతి సమూహానికి ఒక సలహాదారు ఉంటారు.
ఉపాధ్యాయుడు పాఠం యొక్క అంశం, లక్ష్యాలు మరియు లక్ష్యాలను ప్రకటిస్తాడు.

II. జ్ఞానాన్ని నవీకరించడం (తరగతితో ముందు పని)

1) పనులపై సమూహాలలో పని చేయండి:

1. పాప కోణం యొక్క నిర్వచనాన్ని రూపొందించండి.

– ప్రతి కోఆర్డినేట్ క్వాడ్రంట్‌లో సిన్ α ఏ సంకేతాలను కలిగి ఉంటుంది?
– పాపం α అనే వ్యక్తీకరణ ఏ విలువలతో అర్థవంతంగా ఉంటుంది మరియు అది ఏ విలువలను తీసుకోవచ్చు?

2. రెండవ సమూహం cos α కోసం అదే ప్రశ్నలు.

3. మూడవ సమూహం tg α మరియు ctg α అదే ప్రశ్నలకు సమాధానాలను సిద్ధం చేస్తుంది.

ఈ సమయంలో, ముగ్గురు విద్యార్థులు కార్డులను (వివిధ సమూహాల ప్రతినిధులు) ఉపయోగించి బోర్డులో స్వతంత్రంగా పని చేస్తారు.

కార్డ్ నంబర్ 1.

ప్రాక్టికల్ పని.
యూనిట్ సర్కిల్‌ని ఉపయోగించి, 50, 210 మరియు – 210 కోణాల కోసం sin α, cos α మరియు tan α విలువలను లెక్కించండి.

కార్డ్ నంబర్ 2.

వ్యక్తీకరణ యొక్క చిహ్నాన్ని నిర్ణయించండి: tg 275; ధర 370; పాపం 790; tg 4.1 మరియు sin 2.

కార్డ్ నంబర్ 3.

1) లెక్కించు:
2) సరిపోల్చండి: cos 60 మరియు cos 2 30 – sin 2 30

2) మౌఖికంగా:

a) సంఖ్యల శ్రేణి ప్రతిపాదించబడింది: 1; 1.2; 3; , 0, , – 1. వాటిలో అనవసరమైనవి ఉన్నాయి. ఈ సంఖ్యలు సిన్ α లేదా cos α యొక్క ఏ ఆస్తిని వ్యక్తపరచగలవు (సిన్ α లేదా cos α ఈ విలువలను తీసుకోగలవు).
బి) వ్యక్తీకరణ అర్థవంతంగా ఉందా: cos (–); పాపం 2; tg 3: ctg (- 5); ; ctg0;
cotg(–π). ఎందుకు?
c) sin లేదా cos, tg, ctg యొక్క కనిష్ట మరియు గరిష్ట విలువ ఉందా.
డి) ఇది నిజమేనా?
1) α = 1000 అనేది రెండవ త్రైమాసికం యొక్క కోణం;
2) α = – 330 అనేది IV త్రైమాసికం యొక్క కోణం.
ఇ) సంఖ్యలు యూనిట్ సర్కిల్‌లోని ఒకే బిందువుకు అనుగుణంగా ఉంటాయి.

3) బోర్డులో పని చేయండి

సంఖ్య 567 (2; 4) - వ్యక్తీకరణ విలువను కనుగొనండి
నం. 583 (1-3) వ్యక్తీకరణ యొక్క చిహ్నాన్ని నిర్ణయించండి

ఇంటి పని:నోట్బుక్లో టేబుల్. నం. 567(1, 3) నం. 578

III. అదనపు జ్ఞానాన్ని పొందడం. మీ అరచేతిలో త్రికోణమితి

ఉపాధ్యాయుడు:కోణాల సైన్స్ మరియు కొసైన్‌ల విలువలు మీ అరచేతిలో “ఉన్నాయి” అని తేలింది. మీ చేతిని (చేతిలో అయినా) చాచి, మీ వేళ్లను వీలైనంత దూరంగా విస్తరించండి (పోస్టర్‌లో వలె). ఒక విద్యార్థి ఆహ్వానించబడ్డారు. మేము మా వేళ్ల మధ్య కోణాలను కొలుస్తాము.
30, 45 మరియు 60 90 కోణం ఉన్న త్రిభుజాన్ని తీసుకోండి మరియు మీ అరచేతిలో చంద్రుని కొండపై కోణం యొక్క శీర్షాన్ని వర్తించండి. చంద్రుని పర్వతం చిటికెన వేలు మరియు బొటనవేలు యొక్క పొడిగింపుల ఖండన వద్ద ఉంది. మేము ఒక వైపు చిటికెన వేలుతో కలుపుతాము, మరియు మరొక వైపు ఇతర వేళ్లతో కలుపుతాము.
చిటికెన వేలు మరియు బొటనవేలు మధ్య 90, చిన్న మరియు ఉంగరపు వేళ్ల మధ్య 30, చిన్న మరియు మధ్య వేళ్ల మధ్య 45 మరియు చిన్న మరియు చూపుడు వేళ్ల మధ్య 60 కోణం ఉందని తేలింది. మరియు ఇది ప్రజలందరికీ వర్తిస్తుంది. మినహాయింపు లేకుండా.

చిటికెన వేలు సంఖ్య. 0 – 0కి అనుగుణంగా ఉంటుంది,
పేరులేని నం. 1 – 30కి అనుగుణంగా ఉంటుంది,
సగటు సంఖ్య. 2 - 45కి అనుగుణంగా ఉంటుంది,
సూచిక సంఖ్య 3 - 60కి అనుగుణంగా ఉంటుంది,
పెద్ద సంఖ్య 4 - 90కి అనుగుణంగా ఉంటుంది.

ఈ విధంగా, మన చేతిలో 4 వేళ్లు ఉన్నాయి మరియు సూత్రాన్ని గుర్తుంచుకోండి:

వేలు నం.	కార్నర్	అర్థం

ఇది కేవలం స్మృతి నియమం. సాధారణంగా, పాపం α లేదా cos α విలువ హృదయపూర్వకంగా తెలుసుకోవాలి, అయితే కొన్నిసార్లు ఈ నియమం కష్ట సమయాల్లో సహాయపడుతుంది.
cos కోసం ఒక నియమాన్ని రూపొందించండి (కోణాలు మారవు, కానీ బొటనవేలు నుండి లెక్కించబడతాయి). sin α లేదా cos α సంకేతాలతో అనుబంధించబడిన భౌతిక విరామం.

IV. జ్ఞానం మరియు నైపుణ్యాల గురించి మీ జ్ఞానాన్ని తనిఖీ చేస్తోంది

అభిప్రాయంతో స్వతంత్ర పని

ప్రతి విద్యార్థి ఒక పరీక్ష (4 ఎంపికలు) అందుకుంటారు మరియు జవాబు పత్రం అందరికీ ఒకే విధంగా ఉంటుంది.

పరీక్ష

ఎంపిక 1

1) 50 కోణంలో తిరిగేటప్పుడు వ్యాసార్థం ఏ భ్రమణ కోణంలో అదే స్థానాన్ని తీసుకుంటుంది?
2) వ్యక్తీకరణ విలువను కనుగొనండి: 4cos 60 – 3sin 90.
3) ఏ సంఖ్య సున్నా కంటే తక్కువ: sin 140, cos 140, sin 50, tg 50.

ఎంపిక 2

1) 10 కోణంతో తిరిగేటప్పుడు వ్యాసార్థం ఏ భ్రమణ కోణంలో అదే స్థానాన్ని తీసుకుంటుంది.
2) వ్యక్తీకరణ విలువను కనుగొనండి: 4cos 90 – 6sin 30.
3) ఏ సంఖ్య సున్నా కంటే ఎక్కువ: sin 340, cos 340, sin 240, tg (- 240).

ఎంపిక 3

1) వ్యక్తీకరణ విలువను కనుగొనండి: 2ctg 45 – 3cos 90.
2) ఏ సంఖ్య సున్నా కంటే తక్కువ: sin 40, cos (– 10), tan 210, sin 140.
3) ఏ క్వార్టర్ కోణం కోణం α, అయితే సిన్ α > 0, cos α< 0.

ఎంపిక 4

1) వ్యక్తీకరణ విలువను కనుగొనండి: tg 60 – 6ctg 90.
2) ఏ సంఖ్య సున్నా కంటే తక్కువ: sin(– 10), cos 140, tg 250, cos 250.
3) ఏ క్వాడ్రంట్ కోణం కోణం α, అయితే ctg α< 0, cos α> 0.

ఎ 0	బి పాపం 50	IN 1	జి – 350	డి – 1	ఇ కాస్(– 140)
మరియు 3	Z 310	మరియు ధర 140		ఎల్ 350	ఎం 2
ఎన్ ధర 340	గురించి – 3	పి ధర 250	ఆర్	తో పాపం 140	టి – 310
యు – 2	ఎఫ్ 2	X Tg 50	శ Tg 250	యు పాపం 340	I 4

(ముఖ్య పదం త్రికోణమితి)

V. త్రికోణమితి చరిత్ర నుండి సమాచారం

ఉపాధ్యాయుడు:త్రికోణమితి మానవ జీవితానికి గణితశాస్త్రంలో చాలా ముఖ్యమైన విభాగం. త్రికోణమితి యొక్క ఆధునిక రూపాన్ని 18వ శతాబ్దపు గొప్ప గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు, లియోన్‌హార్డ్ ఆయిలర్ అందించారు, అతను పుట్టుకతో స్విస్‌కి చెందినవాడు, అతను రష్యాలో చాలా సంవత్సరాలు పనిచేశాడు మరియు సెయింట్ పీటర్స్‌బర్గ్ అకాడమీ ఆఫ్ సైన్సెస్‌లో సభ్యుడు. అతను త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల యొక్క ప్రసిద్ధ నిర్వచనాలను ప్రవేశపెట్టాడు, బాగా తెలిసిన సూత్రాలను రూపొందించాడు మరియు నిరూపించాడు, మేము వాటిని తరువాత నేర్చుకుంటాము. ఆయిలర్ జీవితం చాలా ఆసక్తికరంగా ఉంది మరియు యాకోవ్లెవ్ పుస్తకం "లియోనార్డ్ ఆయిలర్" ద్వారా దానితో పరిచయం పొందడానికి నేను మీకు సలహా ఇస్తున్నాను.

(ఈ అంశంపై అబ్బాయిల నుండి సందేశం)

VI. పాఠాన్ని సంగ్రహించడం

గేమ్ "టిక్ టాక్ టో"

ఇద్దరు అత్యంత చురుకైన విద్యార్థులు పాల్గొంటున్నారు. వారికి సమూహాలు మద్దతు ఇస్తున్నాయి. పనులకు పరిష్కారాలు నోట్‌బుక్‌లో వ్రాయబడ్డాయి.

పనులు

1) లోపాన్ని కనుగొనండి

ఎ) పాపం 225 = – 1.1 సి) పాపం 115< О
b) cos 1000 = 2 d) cos (– 115) > 0

2) డిగ్రీలలో కోణాన్ని వ్యక్తపరచండి
3) కోణాన్ని 300 రేడియన్లలో వ్యక్తపరచండి
4) వ్యక్తీకరణ కలిగి ఉండే అతిపెద్ద మరియు అతి చిన్న విలువ ఏమిటి: 1+ sin α;
5) వ్యక్తీకరణ యొక్క చిహ్నాన్ని నిర్ణయించండి: sin 260, cos 300.
6) సంఖ్య వృత్తంలోని ఏ త్రైమాసికంలో పాయింట్ ఉంది?
7) వ్యక్తీకరణ సంకేతాలను నిర్ణయించండి: cos 0.3π, sin 195, ctg 1, tg 390
8) లెక్కించు:
9) సరిపోల్చండి: sin 2 మరియు sin 350

VII. పాఠం ప్రతిబింబం

ఉపాధ్యాయుడు:త్రికోణమితిని మనం ఎక్కడ కలుసుకోవచ్చు?
9వ తరగతిలో ఏ పాఠాలలో, మరియు ఇప్పుడు కూడా, మీరు sin α, cos α అనే భావనలను ఉపయోగిస్తున్నారు; tg α; ctg α మరియు ఏ ప్రయోజనం కోసం?