సంఖ్య మాడ్యూల్ మరియు వ్యక్తీకరణ మాడ్యూల్. సంక్లిష్ట సంఖ్యల మాడ్యూల్ యొక్క లక్షణాలు

సంఖ్య యొక్క సంపూర్ణ విలువ aమూలం నుండి బిందువుకు దూరం ఎ(a).

ఈ నిర్వచనాన్ని అర్థం చేసుకోవడానికి, వేరియబుల్‌కు ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం aఏదైనా సంఖ్య, ఉదాహరణకు 3 మరియు దాన్ని మళ్లీ చదవడానికి ప్రయత్నించండి:

సంఖ్య యొక్క సంపూర్ణ విలువ 3 మూలం నుండి బిందువుకు దూరం ఎ(3 ).

మాడ్యూల్ సాధారణ దూరం కంటే ఎక్కువ కాదని స్పష్టమవుతుంది. మూలం నుండి పాయింట్ A(బిందువుకి దూరం) చూడటానికి ప్రయత్నిద్దాం 3 )

మూలం నుండి బిందువుకు దూరం A( 3 ) 3కి సమానం (మూడు యూనిట్లు లేదా మూడు దశలు).

సంఖ్య యొక్క మాడ్యూల్ రెండు నిలువు వరుసల ద్వారా సూచించబడుతుంది, ఉదాహరణకు:

సంఖ్య 3 యొక్క మాడ్యులస్ క్రింది విధంగా సూచించబడుతుంది: |3|

సంఖ్య 4 యొక్క మాడ్యులస్ క్రింది విధంగా సూచించబడుతుంది: |4|

సంఖ్య 5 యొక్క మాడ్యులస్ క్రింది విధంగా సూచించబడుతుంది: |5|

మేము సంఖ్య 3 యొక్క మాడ్యులస్ కోసం వెతికాము మరియు అది 3కి సమానమని కనుగొన్నాము. కాబట్టి మేము దానిని వ్రాస్తాము:

ఇలా చదువుతుంది: "మూడు సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్ మూడు"

ఇప్పుడు సంఖ్య -3 యొక్క మాడ్యులస్‌ను కనుగొనడానికి ప్రయత్నిద్దాం. మళ్ళీ, మేము నిర్వచనానికి తిరిగి వస్తాము మరియు దానిలో సంఖ్య -3ని ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము. చుక్కకు బదులుగా మాత్రమే ఎకొత్త పాయింట్ ఉపయోగించండి బి. ఫుల్ స్టాప్ ఎమేము ఇప్పటికే మొదటి ఉదాహరణలో ఉపయోగించాము.

సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్ - 3 మూలం నుండి ఒక బిందువుకు దూరం బి(—3 ).

ఒక పాయింట్ నుండి మరొక పాయింట్ వరకు దూరం ప్రతికూలంగా ఉండకూడదు. అందువల్ల, ఏదైనా ప్రతికూల సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్, దూరం కావడంతో, ప్రతికూలంగా ఉండదు. సంఖ్య -3 యొక్క మాడ్యులస్ సంఖ్య 3 అవుతుంది. మూలం నుండి పాయింట్ B(-3)కి దూరం కూడా మూడు యూనిట్లకు సమానం:

ఇలా చదువుతుంది: "మైనస్ మూడు యొక్క మాడ్యులస్ మూడు."

సంఖ్య 0 యొక్క మాడ్యులస్ 0కి సమానం, ఎందుకంటే కోఆర్డినేట్ 0తో ఉన్న పాయింట్ మూలంతో సమానంగా ఉంటుంది, అనగా. మూలం నుండి బిందువు వరకు దూరం O(0)సున్నాకి సమానం:

"సున్నా యొక్క మాడ్యులస్ సున్నా"

మేము తీర్మానాలు చేస్తాము:

• సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్ ప్రతికూలంగా ఉండకూడదు;
• సానుకూల సంఖ్య మరియు సున్నా కోసం, మాడ్యులస్ సంఖ్యకు సమానంగా ఉంటుంది మరియు ప్రతికూల సంఖ్యకు - వ్యతిరేక సంఖ్య;
• వ్యతిరేక సంఖ్యలు సమాన మాడ్యూళ్లను కలిగి ఉంటాయి.

వ్యతిరేక సంఖ్యలు

సంకేతాలలో మాత్రమే తేడా ఉన్న సంఖ్యలను అంటారు ఎదురుగా. ఉదాహరణకు, −2 మరియు 2 సంఖ్యలు వ్యతిరేకం. అవి సంకేతాలలో మాత్రమే విభిన్నంగా ఉంటాయి. సంఖ్య −2కి మైనస్ గుర్తు ఉంది, మరియు 2కి ప్లస్ గుర్తు ఉంది, కానీ మేము దానిని చూడలేము, ఎందుకంటే ప్లస్, మేము ఇంతకు ముందు చెప్పినట్లుగా, సాంప్రదాయకంగా వ్రాయబడలేదు.

వ్యతిరేక సంఖ్యలకు మరిన్ని ఉదాహరణలు:

వ్యతిరేక సంఖ్యలు సమాన మాడ్యూళ్లను కలిగి ఉంటాయి. ఉదాహరణకు, −2 మరియు 2 కోసం మాడ్యూల్‌లను కనుగొనండి

మూలం నుండి పాయింట్లకు దూరం అని ఫిగర్ చూపిస్తుంది A(-2)మరియు B(2)రెండు దశలకు సమానంగా సమానం.

మీకు పాఠం నచ్చిందా?
మా కొత్త VKontakte సమూహంలో చేరండి మరియు కొత్త పాఠాల గురించి నోటిఫికేషన్‌లను స్వీకరించడం ప్రారంభించండి

మీ గోప్యతను కాపాడుకోవడం మాకు ముఖ్యం. ఈ కారణంగా, మేము మీ సమాచారాన్ని ఎలా ఉపయోగిస్తాము మరియు నిల్వ చేస్తాము అని వివరించే గోప్యతా విధానాన్ని మేము అభివృద్ధి చేసాము. దయచేసి మా గోప్యతా పద్ధతులను సమీక్షించండి మరియు మీకు ఏవైనా ప్రశ్నలు ఉంటే మాకు తెలియజేయండి.

వ్యక్తిగత సమాచారం యొక్క సేకరణ మరియు ఉపయోగం

వ్యక్తిగత సమాచారం అనేది నిర్దిష్ట వ్యక్తిని గుర్తించడానికి లేదా సంప్రదించడానికి ఉపయోగించే డేటాను సూచిస్తుంది.

మీరు మమ్మల్ని సంప్రదించినప్పుడు ఎప్పుడైనా మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని అందించమని మిమ్మల్ని అడగవచ్చు.

మేము సేకరించే వ్యక్తిగత సమాచార రకాలు మరియు అటువంటి సమాచారాన్ని మేము ఎలా ఉపయోగించవచ్చో కొన్ని ఉదాహరణలు క్రింద ఉన్నాయి.

మేము ఏ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని సేకరిస్తాము:

• మీరు సైట్‌లో దరఖాస్తును సమర్పించినప్పుడు, మేము మీ పేరు, ఫోన్ నంబర్, ఇమెయిల్ చిరునామా మొదలైన వాటితో సహా వివిధ సమాచారాన్ని సేకరించవచ్చు.

మేము మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని ఎలా ఉపయోగిస్తాము:

• మేము సేకరించే వ్యక్తిగత సమాచారం ప్రత్యేక ఆఫర్‌లు, ప్రమోషన్‌లు మరియు ఇతర ఈవెంట్‌లు మరియు రాబోయే ఈవెంట్‌లతో మిమ్మల్ని సంప్రదించడానికి మమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.
• ఎప్పటికప్పుడు, ముఖ్యమైన నోటీసులు మరియు కమ్యూనికేషన్‌లను పంపడానికి మేము మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని ఉపయోగించవచ్చు.
• మేము అందించే సేవలను మెరుగుపరచడానికి మరియు మా సేవలకు సంబంధించి మీకు సిఫార్సులను అందించడానికి ఆడిట్‌లు, డేటా విశ్లేషణ మరియు వివిధ పరిశోధనలను నిర్వహించడం వంటి అంతర్గత ప్రయోజనాల కోసం మేము వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని కూడా ఉపయోగించవచ్చు.
• మీరు బహుమతి డ్రా, పోటీ లేదా ఇలాంటి ప్రమోషన్‌లో పాల్గొంటే, అటువంటి ప్రోగ్రామ్‌లను నిర్వహించడానికి మీరు అందించే సమాచారాన్ని మేము ఉపయోగించవచ్చు.

మూడవ పార్టీలకు సమాచారాన్ని బహిర్గతం చేయడం

మేము మీ నుండి స్వీకరించిన సమాచారాన్ని మూడవ పక్షాలకు బహిర్గతం చేయము.

మినహాయింపులు:

• అవసరమైతే - చట్టం, న్యాయ ప్రక్రియ, చట్టపరమైన చర్యలలో, మరియు/లేదా రష్యన్ ఫెడరేషన్ యొక్క భూభాగంలోని ప్రభుత్వ అధికారుల నుండి పబ్లిక్ అభ్యర్థనలు లేదా అభ్యర్థనల ఆధారంగా - మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని బహిర్గతం చేయడానికి. భద్రత, చట్టాన్ని అమలు చేయడం లేదా ఇతర ప్రజా ప్రాముఖ్యత ప్రయోజనాల కోసం అటువంటి బహిర్గతం అవసరమని లేదా సముచితమని మేము నిర్ధారిస్తే మీ గురించిన సమాచారాన్ని కూడా మేము బహిర్గతం చేయవచ్చు.
• పునర్వ్యవస్థీకరణ, విలీనం లేదా విక్రయం జరిగినప్పుడు, మేము సేకరించే వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని వర్తించే మూడవ పక్షానికి బదిలీ చేయవచ్చు.

వ్యక్తిగత సమాచారం యొక్క రక్షణ

మేము మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని నష్టం, దొంగతనం మరియు దుర్వినియోగం నుండి అలాగే అనధికారిక యాక్సెస్, బహిర్గతం, మార్పులు మరియు విధ్వంసం నుండి రక్షించడానికి - అడ్మినిస్ట్రేటివ్, టెక్నికల్ మరియు ఫిజికల్‌తో సహా జాగ్రత్తలు తీసుకుంటాము.

కంపెనీ స్థాయిలో మీ గోప్యతను గౌరవించడం

మీ వ్యక్తిగత సమాచారం సురక్షితంగా ఉందని నిర్ధారించుకోవడానికి, మేము మా ఉద్యోగులకు గోప్యత మరియు భద్రతా ప్రమాణాలను తెలియజేస్తాము మరియు గోప్యతా పద్ధతులను ఖచ్చితంగా అమలు చేస్తాము.

మీ గోప్యతను కాపాడుకోవడం మాకు ముఖ్యం. ఈ కారణంగా, మేము మీ సమాచారాన్ని ఎలా ఉపయోగిస్తాము మరియు నిల్వ చేస్తాము అని వివరించే గోప్యతా విధానాన్ని మేము అభివృద్ధి చేసాము. దయచేసి మా గోప్యతా పద్ధతులను సమీక్షించండి మరియు మీకు ఏవైనా ప్రశ్నలు ఉంటే మాకు తెలియజేయండి.

వ్యక్తిగత సమాచారం యొక్క సేకరణ మరియు ఉపయోగం

వ్యక్తిగత సమాచారం అనేది నిర్దిష్ట వ్యక్తిని గుర్తించడానికి లేదా సంప్రదించడానికి ఉపయోగించే డేటాను సూచిస్తుంది.

మీరు మమ్మల్ని సంప్రదించినప్పుడు ఎప్పుడైనా మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని అందించమని మిమ్మల్ని అడగవచ్చు.

మేము సేకరించే వ్యక్తిగత సమాచార రకాలు మరియు అటువంటి సమాచారాన్ని మేము ఎలా ఉపయోగించవచ్చో కొన్ని ఉదాహరణలు క్రింద ఉన్నాయి.

మేము ఏ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని సేకరిస్తాము:

• మీరు సైట్‌లో దరఖాస్తును సమర్పించినప్పుడు, మేము మీ పేరు, ఫోన్ నంబర్, ఇమెయిల్ చిరునామా మొదలైన వాటితో సహా వివిధ సమాచారాన్ని సేకరించవచ్చు.

మేము మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని ఎలా ఉపయోగిస్తాము:

• మేము సేకరించే వ్యక్తిగత సమాచారం ప్రత్యేక ఆఫర్‌లు, ప్రమోషన్‌లు మరియు ఇతర ఈవెంట్‌లు మరియు రాబోయే ఈవెంట్‌లతో మిమ్మల్ని సంప్రదించడానికి మమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.
• ఎప్పటికప్పుడు, ముఖ్యమైన నోటీసులు మరియు కమ్యూనికేషన్‌లను పంపడానికి మేము మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని ఉపయోగించవచ్చు.
• మేము అందించే సేవలను మెరుగుపరచడానికి మరియు మా సేవలకు సంబంధించి మీకు సిఫార్సులను అందించడానికి ఆడిట్‌లు, డేటా విశ్లేషణ మరియు వివిధ పరిశోధనలను నిర్వహించడం వంటి అంతర్గత ప్రయోజనాల కోసం మేము వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని కూడా ఉపయోగించవచ్చు.
• మీరు బహుమతి డ్రా, పోటీ లేదా ఇలాంటి ప్రమోషన్‌లో పాల్గొంటే, అటువంటి ప్రోగ్రామ్‌లను నిర్వహించడానికి మీరు అందించే సమాచారాన్ని మేము ఉపయోగించవచ్చు.

మూడవ పార్టీలకు సమాచారాన్ని బహిర్గతం చేయడం

మేము మీ నుండి స్వీకరించిన సమాచారాన్ని మూడవ పక్షాలకు బహిర్గతం చేయము.

మినహాయింపులు:

• అవసరమైతే - చట్టం, న్యాయ ప్రక్రియ, చట్టపరమైన చర్యలలో, మరియు/లేదా రష్యన్ ఫెడరేషన్ యొక్క భూభాగంలోని ప్రభుత్వ అధికారుల నుండి పబ్లిక్ అభ్యర్థనలు లేదా అభ్యర్థనల ఆధారంగా - మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని బహిర్గతం చేయడానికి. భద్రత, చట్టాన్ని అమలు చేయడం లేదా ఇతర ప్రజా ప్రాముఖ్యత ప్రయోజనాల కోసం అటువంటి బహిర్గతం అవసరమని లేదా సముచితమని మేము నిర్ధారిస్తే మీ గురించిన సమాచారాన్ని కూడా మేము బహిర్గతం చేయవచ్చు.
• పునర్వ్యవస్థీకరణ, విలీనం లేదా విక్రయం జరిగినప్పుడు, మేము సేకరించే వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని వర్తించే మూడవ పక్షానికి బదిలీ చేయవచ్చు.

వ్యక్తిగత సమాచారం యొక్క రక్షణ

మేము మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని నష్టం, దొంగతనం మరియు దుర్వినియోగం నుండి అలాగే అనధికారిక యాక్సెస్, బహిర్గతం, మార్పులు మరియు విధ్వంసం నుండి రక్షించడానికి - అడ్మినిస్ట్రేటివ్, టెక్నికల్ మరియు ఫిజికల్‌తో సహా జాగ్రత్తలు తీసుకుంటాము.

కంపెనీ స్థాయిలో మీ గోప్యతను గౌరవించడం

మీ వ్యక్తిగత సమాచారం సురక్షితంగా ఉందని నిర్ధారించుకోవడానికి, మేము మా ఉద్యోగులకు గోప్యత మరియు భద్రతా ప్రమాణాలను తెలియజేస్తాము మరియు గోప్యతా పద్ధతులను ఖచ్చితంగా అమలు చేస్తాము.

పాఠం లక్ష్యాలు

సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్ వంటి గణిత భావనకు పాఠశాల పిల్లలకు పరిచయం చేయడం;
సంఖ్యల మాడ్యూళ్లను కనుగొనే నైపుణ్యాలను పాఠశాల పిల్లలకు నేర్పించడం;
వివిధ పనులను పూర్తి చేయడం ద్వారా నేర్చుకున్న విషయాలను బలోపేతం చేయండి;

పనులు

సంఖ్యల మాడ్యులస్ గురించి పిల్లల జ్ఞానాన్ని బలోపేతం చేయండి;
పరీక్ష పనులను పరిష్కరించడం ద్వారా, విద్యార్థులు అధ్యయనం చేసిన విషయాన్ని ఎలా ప్రావీణ్యం పొందారో తనిఖీ చేయండి;
గణిత పాఠాలపై ఆసక్తిని పెంచడం కొనసాగించండి;
పాఠశాల పిల్లలలో తార్కిక ఆలోచన, ఉత్సుకత మరియు పట్టుదల పెంపొందించడం.

లెసన్ ప్లాన్

1. సాధారణ భావనలు మరియు సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్ యొక్క నిర్వచనం.
2. మాడ్యూల్ యొక్క రేఖాగణిత అర్థం.
3. సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్ మరియు దాని లక్షణాలు.
4. సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్‌ను కలిగి ఉన్న సమీకరణాలు మరియు అసమానతలను పరిష్కరించడం.
5. "సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్" అనే పదం గురించి చారిత్రక సమాచారం.
6. కవర్ చేయబడిన అంశం యొక్క పరిజ్ఞానాన్ని ఏకీకృతం చేయడానికి అసైన్‌మెంట్.
7. హోంవర్క్.

సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్ గురించి సాధారణ భావనలు

ఒక సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్ సాధారణంగా ప్రతికూల విలువను కలిగి ఉండకపోతే లేదా అదే సంఖ్య ప్రతికూలంగా ఉంటే, కానీ వ్యతిరేక గుర్తుతో ఉన్న సంఖ్యనే అంటారు.

అంటే, ప్రతికూల వాస్తవ సంఖ్య a యొక్క మాడ్యులస్ ఆ సంఖ్యయే:

మరియు, ప్రతికూల వాస్తవ సంఖ్య x యొక్క మాడ్యులస్ వ్యతిరేక సంఖ్య:

రికార్డింగ్‌లో ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది:

మరింత అందుబాటులో ఉండే అవగాహన కోసం, ఒక ఉదాహరణ ఇద్దాం. కాబట్టి, ఉదాహరణకు, సంఖ్య 3 యొక్క మాడ్యులస్ 3, మరియు సంఖ్య -3 యొక్క మాడ్యులస్ 3.

దీని నుండి ఒక సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్ అంటే సంపూర్ణ విలువ, అంటే దాని సంపూర్ణ విలువ, కానీ దాని గుర్తును పరిగణనలోకి తీసుకోకుండా. దీన్ని మరింత సరళంగా చెప్పాలంటే, సంఖ్య నుండి గుర్తును తీసివేయడం అవసరం.

సంఖ్య యొక్క మాడ్యూల్ నిర్దేశించబడుతుంది మరియు ఇలా ఉంటుంది: |3|, |x|, |a| మొదలైనవి

కాబట్టి, ఉదాహరణకు, సంఖ్య 3 యొక్క మాడ్యులస్ |3|.

అలాగే, సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్ ఎప్పుడూ ప్రతికూలంగా ఉండదని గుర్తుంచుకోవాలి: |a|≥ 0.

|5| = 5, |-6| = 6, |-12.45| = 12.45, మొదలైనవి.

మాడ్యూల్ యొక్క రేఖాగణిత అర్థం

సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్ అనేది మూలం నుండి బిందువు వరకు యూనిట్ విభాగాలలో కొలవబడే దూరం. ఈ నిర్వచనం రేఖాగణిత కోణం నుండి మాడ్యూల్‌ను వెల్లడిస్తుంది.

కోఆర్డినేట్ లైన్ తీసుకొని దానిపై రెండు పాయింట్లను నిర్దేశిద్దాం. ఈ పాయింట్లు −4 మరియు 2 వంటి సంఖ్యలకు అనుగుణంగా ఉండనివ్వండి.

ఇప్పుడు ఈ సంఖ్యకు శ్రద్ధ చూపుదాం. కోఆర్డినేట్ లైన్‌లో సూచించిన పాయింట్ A, సంఖ్య -4 కి అనుగుణంగా ఉందని మేము చూస్తాము మరియు మీరు జాగ్రత్తగా చూస్తే, ఈ పాయింట్ రిఫరెన్స్ పాయింట్ 0 నుండి 4 యూనిట్ సెగ్మెంట్ల దూరంలో ఉన్నట్లు మీరు చూస్తారు. సెగ్మెంట్ OA యొక్క పొడవు నాలుగు యూనిట్లకు సమానం అని ఇది అనుసరిస్తుంది. ఈ సందర్భంలో, సెగ్మెంట్ OA యొక్క పొడవు, అంటే, సంఖ్య 4, సంఖ్య -4 యొక్క మాడ్యులస్ అవుతుంది.

ఈ సందర్భంలో, సంఖ్య యొక్క మాడ్యూల్ ఈ విధంగా సూచించబడుతుంది మరియు వ్రాయబడుతుంది: |−4| = 4.

ఇప్పుడు కోఆర్డినేట్ లైన్‌లో పాయింట్ B ని తీసుకుందాం.

ఈ పాయింట్ B సంఖ్య +2కి అనుగుణంగా ఉంటుంది మరియు మనం చూస్తున్నట్లుగా, ఇది మూలం నుండి రెండు యూనిట్ విభాగాల దూరంలో ఉంది. దీని నుండి సెగ్మెంట్ OB యొక్క పొడవు రెండు యూనిట్లకు సమానం. ఈ సందర్భంలో, సంఖ్య 2 సంఖ్య +2 యొక్క మాడ్యులస్ అవుతుంది.

రికార్డింగ్‌లో ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది: |+2| = 2 లేదా |2| = 2.

ఇప్పుడు సంగ్రహించండి. మనం కొంత తెలియని సంఖ్య a ని తీసుకొని దానిని కోఆర్డినేట్ లైన్‌లో పాయింట్ A గా సూచిస్తే, ఈ సందర్భంలో పాయింట్ A నుండి మూలానికి దూరం, అంటే OA సెగ్మెంట్ యొక్క పొడవు, ఖచ్చితంగా “a” సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్. ”.

వ్రాసేటప్పుడు ఇది ఇలా ఉంటుంది: |a| = OA.

సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్ మరియు దాని లక్షణాలు

ఇప్పుడు మాడ్యూల్ యొక్క లక్షణాలను హైలైట్ చేయడానికి ప్రయత్నిద్దాం, సాధ్యమయ్యే అన్ని కేసులను పరిగణించండి మరియు వాటిని సాహిత్య వ్యక్తీకరణలను ఉపయోగించి వ్రాయండి:

ముందుగా, ఒక సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్ నాన్-నెగటివ్ సంఖ్య, అంటే ధనాత్మక సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్ సంఖ్యకు సమానంగా ఉంటుంది: |a| = a, అయితే a > 0;

రెండవది, వ్యతిరేక సంఖ్యలను కలిగి ఉండే మాడ్యూల్స్ సమానంగా ఉంటాయి: |a| = |–a|. అంటే, వ్యతిరేక సంఖ్యలు ఎల్లప్పుడూ సమాన మాడ్యూల్‌లను కలిగి ఉంటాయని ఈ లక్షణం చెబుతుంది, అవి ఒక కోఆర్డినేట్ లైన్‌లో వలె, అవి వ్యతిరేక సంఖ్యలను కలిగి ఉన్నప్పటికీ, అవి రిఫరెన్స్ పాయింట్ నుండి ఒకే దూరంలో ఉంటాయి. దీని నుండి ఈ వ్యతిరేక సంఖ్యల మాడ్యూల్స్ సమానంగా ఉంటాయి.

మూడవదిగా, ఈ సంఖ్య సున్నా అయితే సున్నా యొక్క మాడ్యులస్ సున్నాకి సమానం: |0| = 0 అయితే a = 0. ఇక్కడ మేము సున్నా యొక్క మాడ్యులస్ నిర్వచనం ప్రకారం సున్నా అని చెప్పగలము, ఎందుకంటే ఇది కోఆర్డినేట్ లైన్ యొక్క మూలానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది.

మాడ్యులస్ యొక్క నాల్గవ లక్షణం ఏమిటంటే, రెండు సంఖ్యల ఉత్పత్తి యొక్క మాడ్యులస్ ఈ సంఖ్యల మాడ్యులి యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం. ఇప్పుడు దీని అర్థం ఏమిటో నిశితంగా పరిశీలిద్దాం. మేము నిర్వచనాన్ని అనుసరిస్తే, a మరియు b సంఖ్యల ఉత్పత్తి యొక్క మాడ్యులస్ a bకి సమానంగా ఉంటుందని మీకు మరియు నాకు తెలుసు, లేదా −(a b), a b ≥ 0 అయితే, లేదా – (a b), a b కంటే ఎక్కువగా ఉంటే 0. B రికార్డింగ్ ఇలా కనిపిస్తుంది: |a b| = |ఎ| |బి|.

ఐదవ లక్షణం ఏమిటంటే, సంఖ్యల గుణకం యొక్క మాడ్యులస్ ఈ సంఖ్యల మాడ్యులి నిష్పత్తికి సమానంగా ఉంటుంది: |a: b| = |ఎ| : |బి|.

మరియు సంఖ్య మాడ్యూల్ యొక్క క్రింది లక్షణాలు:

సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్‌ను కలిగి ఉన్న సమీకరణాలు మరియు అసమానతలను పరిష్కరించడం

సంఖ్య మాడ్యులస్ ఉన్న సమస్యలను పరిష్కరించడం ప్రారంభించినప్పుడు, అటువంటి పనిని పరిష్కరించడానికి, ఈ సమస్యకు అనుగుణంగా ఉన్న లక్షణాల జ్ఞానాన్ని ఉపయోగించి మాడ్యులస్ యొక్క చిహ్నాన్ని బహిర్గతం చేయడం అవసరం అని మీరు గుర్తుంచుకోవాలి.

వ్యాయామం 1

కాబట్టి, ఉదాహరణకు, మాడ్యూల్ గుర్తు క్రింద వేరియబుల్‌పై ఆధారపడిన వ్యక్తీకరణ ఉంటే, అప్పుడు మాడ్యూల్ నిర్వచనానికి అనుగుణంగా విస్తరించబడాలి:

వాస్తవానికి, సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు, మాడ్యూల్ ప్రత్యేకంగా వెల్లడి చేయబడిన సందర్భాలు ఉన్నాయి. ఉదాహరణకు, మేము తీసుకుంటే

, మాడ్యులస్ గుర్తు క్రింద అటువంటి వ్యక్తీకరణ x మరియు y యొక్క ఏదైనా విలువలకు ప్రతికూలం కాదని ఇక్కడ మనం చూస్తాము.

లేదా, ఉదాహరణకు, తీసుకుందాం

, ఈ మాడ్యులస్ వ్యక్తీకరణ z యొక్క ఏదైనా విలువలకు సానుకూలంగా లేదని మేము చూస్తాము.

టాస్క్ 2

మీ ముందు కోఆర్డినేట్ లైన్ చూపబడింది. ఈ లైన్‌లో మాడ్యులస్ 2కి సమానంగా ఉండే సంఖ్యలను గుర్తించడం అవసరం.

పరిష్కారం

అన్నింటిలో మొదటిది, మేము ఒక కోఆర్డినేట్ లైన్ను గీయాలి. దీన్ని చేయడానికి, మొదట సరళ రేఖలో మీరు మూలం, దిశ మరియు యూనిట్ విభాగాన్ని ఎంచుకోవాలని మీకు ఇప్పటికే తెలుసు. తరువాత, మేము మూలం నుండి రెండు యూనిట్ విభాగాల దూరానికి సమానమైన పాయింట్లను ఉంచాలి.

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, కోఆర్డినేట్ లైన్‌లో అటువంటి రెండు పాయింట్లు ఉన్నాయి, వాటిలో ఒకటి సంఖ్య -2కి మరియు మరొకటి సంఖ్య 2కి అనుగుణంగా ఉంటుంది.

సంఖ్యల మాడ్యులస్ గురించి చారిత్రక సమాచారం

"మాడ్యూల్" అనే పదం లాటిన్ పేరు మాడ్యులస్ నుండి వచ్చింది, అంటే "కొలత". ఈ పదాన్ని ఆంగ్ల గణిత శాస్త్రవేత్త రోజర్ కోట్స్ ఉపయోగించారు. కానీ జర్మన్ గణిత శాస్త్రవేత్త కార్ల్ వీర్‌స్ట్రాస్‌కు మాడ్యులస్ గుర్తు పరిచయం చేయబడింది. వ్రాసినప్పుడు, మాడ్యూల్ క్రింది చిహ్నాన్ని ఉపయోగించి సూచించబడుతుంది: | |.

పదార్థం యొక్క జ్ఞానాన్ని ఏకీకృతం చేయడానికి ప్రశ్నలు

నేటి పాఠంలో, మేము ఒక సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్ వంటి భావనతో పరిచయం పొందాము మరియు ఇప్పుడు మీరు అడిగిన ప్రశ్నలకు సమాధానమివ్వడం ద్వారా ఈ అంశంపై ఎలా ప్రావీణ్యం పొందారో తనిఖీ చేద్దాం:

1. ధన సంఖ్యకు వ్యతిరేకమైన సంఖ్య పేరు ఏమిటి?
2. ప్రతికూల సంఖ్యకు వ్యతిరేకమైన సంఖ్య పేరు ఏమిటి?
3. సున్నాకి వ్యతిరేకమైన సంఖ్యకు పేరు పెట్టండి. అటువంటి సంఖ్య ఉందా?
4. సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్ కాలేని సంఖ్యకు పేరు పెట్టండి.
5. సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్‌ను నిర్వచించండి.

ఇంటి పని

1. మాడ్యూల్స్ యొక్క అవరోహణ క్రమంలో మీరు ఏర్పాటు చేయవలసిన సంఖ్యలు మీ ముందు ఉన్నాయి. మీరు పనిని సరిగ్గా పూర్తి చేస్తే, గణితంలో "మాడ్యూల్" అనే పదాన్ని మొదట పరిచయం చేసిన వ్యక్తి పేరును మీరు కనుగొంటారు.

2. కోఆర్డినేట్ లైన్‌ని గీయండి మరియు M (-5) మరియు K (8) నుండి మూలానికి దూరాన్ని కనుగొనండి.

సబ్జెక్టులు > గణితం > గణితం 6వ తరగతి

వ్యతిరేక సంఖ్యలు- ఇవి సంకేతంలో మాత్రమే ఒకదానికొకటి భిన్నంగా ఉండే సంఖ్యలు. వ్యక్తీకరణ -ఎఈ సంఖ్యను సూచిస్తుంది ఎదురుగాసంఖ్య ఎ.

ఉదాహరణకు, 7 మరియు - 7;
41 మరియు - 41, మొదలైనవి.

సంఖ్య 0 దానికదే వ్యతిరేకం!

అంటే, చూపించడానికి వ్యతిరేక సంఖ్యలుగణితంలో వారు గుర్తును ఉపయోగిస్తారు « – ».

సానుకూల సంఖ్యకు ముందు “–” గుర్తును జోడించడం ద్వారా 5 , మనకు ప్రతికూల సంఖ్య వస్తుంది – 5 .

ప్రతికూల సంఖ్యకు ముందు “–” గుర్తును జోడించడం ద్వారా – 5 , మేము వ్యతిరేక సానుకూల సంఖ్యను పొందుతాము 5 , అంటే – (–5) = 5.

– (–a) = a

కోఆర్డినేట్ లైన్‌లో, వ్యతిరేక కోఆర్డినేట్‌లతో పాయింట్లు మూలం నుండి అదే దూరంలో ఉంటాయి.

AO = OC
BO = OD

సంఖ్య యొక్క సంపూర్ణ విలువ

సంఖ్య యొక్క సంపూర్ణ విలువ– ఇది మూలం నుండి కోఆర్డినేట్ లైన్‌లో ఈ సంఖ్యను సూచించే బిందువు వరకు (యూనిట్ విభాగాలలో) దూరం.

పాయింట్లు A (– 4) మరియు B (4) మూలం నుండి 4 యూనిట్ విభాగాల ద్వారా దూరంగా ఉంటాయి మరియు సంఖ్యలు - 4 మరియు 4 ఒకే మాడ్యూల్‌లను కలిగి ఉంటాయి, 4కి సమానం.

a సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్ | ద్వారా సూచించబడుతుంది ఒక |

మాడ్యులస్ దూరం కాబట్టి, దూరం ప్రతికూలంగా ఉండకూడదు సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్ ప్రతికూల సంఖ్య కాకూడదు!!!

ధనాత్మక సంఖ్య మరియు సున్నా యొక్క మాడ్యులస్ ఒకే సంఖ్య, మరియు ప్రతికూల సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్ దాని వ్యతిరేక సంఖ్య:

| ఒక | = a, ≥ 0 అయితే (a అనేది ప్రతికూల సంఖ్య అయితే)

| ఒక | = – a, అయితే a< 0 (если а – отрицательное число)

ముగింపులు

సంఖ్య మాడ్యూల్ యొక్క లక్షణాలు:

1. సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్ ప్రతికూలంగా ఉండకూడదు. సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్ ఎల్లప్పుడూ ధనాత్మక సంఖ్య లేదా 0కి సమానంగా ఉంటుంది.

1. వ్యతిరేక సంఖ్యలు సమాన మాడ్యూళ్లను కలిగి ఉంటాయి.

| – a | = | ఒక | = ఎ

ఉదాహరణ, | – 12 | = | 12 | = 12

సమీకరణాలను పరిష్కరించడం (ఉదాహరణలు)

1. – x = 7
బదులుగా -x మరియు 7 మేము "-" గుర్తును ఉపయోగించి వారి వ్యతిరేక సంఖ్యలను వ్రాస్తాము
–(– x) = – 7
మనకు లభించే - (–a) = a అనే నియమాన్ని ఉపయోగిస్తాము
x = – 7

2. – x = – 10
–(– x) = –(– 10)
x = 10

3. x = –(– 32)
x = 32

4. | x | = 4
x = 4 లేదా x = – 4
సమాధానం: 4; - 4

5. | x | = 0
x = 0
సమాధానం: 0

6. | y | = – 8
మాడ్యులస్ ప్రతికూల సంఖ్య కాకూడదు, అంటే ఈ సమీకరణానికి పరిష్కారం లేదు
సమాధానం: మూలాలు లేవు

7. | – x | = 12
మాడ్యూల్ యొక్క రెండవ ఆస్తిని గుర్తుంచుకుందాం, అది| - ఎ| = |ఎ| = a, అప్పుడు
| x | = 12
x = 12 లేదా x = – 12
సమాధానం: 12; - 12

8. | y | – 2 = 12
సారూప్య సమీకరణాలు సాధారణ సమీకరణాలుగా పరిష్కరించబడతాయి, మాడ్యులస్‌ను మాత్రమే పరిగణనలోకి తీసుకుంటాయి
| y | = 12 + 2
| y | = 14
y = 14 లేదా y = – 14
సమాధానం: 14; - 14

9. 10 – 2| x | = 4
2| x | = 10 – 4
2| x | = 6
| x | = 6:2
| x | = 3
x = 3 లేదా x = – 3
సమాధానం: 3; – 3

అంటే, మాడ్యులస్ ఉన్న సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు, మనకు మూడు రకాల సమాధానాలు లభిస్తాయి:
రెండు మూలాలు (మాడ్యులస్ గుర్తు సానుకూల సంఖ్య అయితే), ఒక మూలం (మాడ్యులస్ గుర్తు 0 కింద ఉంటే)
మూలాలు లేవు (మాడ్యులస్ గుర్తు ప్రతికూల సంఖ్య అయితే).

మాడ్యులస్‌ని కలిగి ఉన్న సరళమైన అసమానతలను పరిష్కరించడం

5 వ తరగతిలో మేము సాధారణ అసమానతలతో ఉదాహరణలను పరిష్కరించాము. సరళ అసమానతలు కఠినంగా లేదా కఠినంగా ఉండకపోవచ్చు.
కఠినమైన అసమానతలు- ఇవి (>) కంటే ఎక్కువ లేదా ( (>) కంటే తక్కువ సంకేతాలతో అసమానతలు<).
x > a; x< a;
కఠినమైన అసమానతలు- ఇవి (≥) కంటే ఎక్కువ లేదా సమానమైన లేదా (≤) కంటే తక్కువ లేదా సమానమైన సంకేతాలతో అసమానతలు.
x ≥ a; x ≤ a.

ఉదాహరణలు

1. అసమానత x నిజమైన x యొక్క అన్ని సహజ విలువలను కనుగొనండి< 9

పరిష్కారం.
ఈ అసమానత x యొక్క క్రింది విలువలకు సరైనది: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8.
సమాధానం: x = (1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8) - ఈ అసమానతకు సహజ పరిష్కారాలు.

గమనిక:
ఈ అసమానతకు 0 అనే సంఖ్య పరిష్కారం కాదు, ఎందుకంటే 0 సహజ సంఖ్య కాదు;
సంఖ్య 9 ఈ అసమానతకు పరిష్కారం కాదు, ఎందుకంటే ఈ అసమానత కఠినమైనది, అంటే x ఖచ్చితంగా 9 కంటే తక్కువగా ఉంటుంది మరియు 9కి సమానంగా ఉండకూడదు.

2. ఎఅసమానతను సంతృప్తిపరుస్తుంది ఎ> 12?

పరిష్కారం.
అసమానత కఠినంగా ఉన్నందున, ఈ అసమానతను సంతృప్తిపరిచే a యొక్క అతిచిన్న సహజ విలువ 13.
సమాధానం: 13

3. అతి చిన్న సహజ విలువ ఏమిటి ఎఅసమానతను సంతృప్తిపరుస్తుంది ఎ ≥ 12?

పరిష్కారం.
అసమానత కఠినంగా లేనందున, ఈ అసమానతను సంతృప్తిపరిచే a యొక్క అతి చిన్న సహజ విలువ 12.
సమాధానం: 12.

4. < x < 9

పరిష్కారం.
అసమానత రెట్టింపు ("x 2 కంటే ఎక్కువ, కానీ 9 కంటే తక్కువ" అని చదవండి), కఠినం, కాబట్టి 3; 4; 5; 6; 7; 8 - ఈ ద్వంద్వ అసమానతకు సహజ పరిష్కారాలు.
సమాధానం: x = (3; 4; 5; 6; 7; 8)

5. అసమానత 2 నిజమైన x యొక్క అన్ని సహజ విలువలను కనుగొనండి< x ≤ 9.

పరిష్కారం.
3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 - ఈ ద్వంద్వ అసమానతకు సహజ పరిష్కారాలు.
సమాధానం: x = (3; 4; 5; 6; 7; 8; 9)

6. అసమానతను సంతృప్తిపరిచే అన్ని పూర్ణాంకాలను కనుగొనండి| x |< 5.

పరిష్కారం.
| x |< 5 (читаем как «расстояние от начала отсчёта до точки изображающей х меньше 5»).
అసమానత | x |< 5 эквивалентно (కూడా వ్రాయవచ్చు) –5 < x < 5. Неравенство двойное, строгое, поэтому данное неравенство будет правильным при таких значениях x: –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4.
సమాధానం: x = (–4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4)

7. అసమానతను సంతృప్తిపరిచే అన్ని పూర్ణాంకాలను కనుగొనండి| x | ≤ 5.

పరిష్కారం.
అసమానత | x | ≤ 5 అనేది –5 ≤ x ≤ 5కి సమానం. అసమానత రెట్టింపు మరియు కఠినమైనది కాదు, కాబట్టి సంఖ్యలు –5 మరియు 5 ఈ అసమానత సరిగ్గా ఉండే సంఖ్యల సెట్‌లో చేర్చబడతాయి. అందువలన, ఈ అసమానత x యొక్క క్రింది విలువలకు సరైనది: –5; -4; –3; –2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5.
సమాధానం: x = (–5; –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4; 5)

8. అసమానతను సంతృప్తిపరిచే అన్ని పూర్ణాంకాలను కనుగొనండి | x | > 2 మరియు వాటిని కోఆర్డినేట్ లైన్‌లో గుర్తించండి.

పరిష్కారం.
అసమానత | x | > 2 xకి సమానం< – 2 или x >2. కోఆర్డినేట్‌లు ఈ అసమానతను సంతృప్తిపరిచే పాయింట్లను కోఆర్డినేట్ లైన్‌లో సూచిస్తాము

అసమానత కఠినంగా ఉన్నందున, ఈ అసమానత నిజమయ్యే పూర్ణాంకాల సమితిలో 2 మరియు 2 సంఖ్యలు చేర్చబడలేదు. మరియు కోఆర్డినేట్ లైన్‌లో మేము ఈ పాయింట్లను షేడెడ్ పాయింట్‌గా సూచిస్తాము.

సమాధానం: x = (...–5; –4; –3; 3; 4; 5…)

9. అసమానతను సంతృప్తిపరిచే అన్ని పూర్ణాంకాలను కనుగొనండి | x | ≥ 2 మరియు వాటిని కోఆర్డినేట్ లైన్‌లో గుర్తించండి.

పరిష్కారం.
అసమానత | x | ≥ 2 అనేది x ≤ – 2 లేదా x ≥ 2కి సమానం. ఈ అసమానతను సంతృప్తిపరిచే కోఆర్డినేట్‌లను కోఆర్డినేట్ లైన్‌లో సూచిస్తాము.

అసమానత కఠినంగా లేనందున, ఈ అసమానత సరిగ్గా ఉండే పూర్ణాంకాల సమితిలో - 2 మరియు 2 సంఖ్యలు చేర్చబడ్డాయి. మరియు కోఆర్డినేట్ లైన్‌లో మేము ఈ పాయింట్లను షేడెడ్ డాట్‌గా సూచిస్తాము.

సమాధానం: x = (...–5; –4; –3; –2; 2; 3; 4; 5…)

10. అసమానతను సంతృప్తిపరిచే అన్ని పూర్ణాంకాలను కనుగొనండి 1< | x | ≤ 3 и обозначте их на координатной прямой.

పరిష్కారం.
మొదట అసమానత యొక్క ఎడమ వైపును పరిశీలిద్దాం. మూలం నుండి పాయింట్లకు దూరం 1 కంటే తక్కువగా ఉందని దీని అర్థం. అసమానత యొక్క కుడి వైపున పరిగణించండి: మూలం నుండి అదే పాయింట్లకు దూరం 3 కంటే తక్కువ లేదా సమానంగా ఉంటుంది.
కోఆర్డినేట్ లైన్‌లో ఈ పాయింట్లను ప్లాట్ చేద్దాం:

అసమానతను సంతృప్తిపరిచే పూర్ణాంకాల సమితిలో 1 మరియు – 1 చేర్చబడలేదు, ఎందుకంటే అసమానత కఠినంగా ఉంటుంది.
అసమానత కఠినంగా లేనందున అసమానతను సంతృప్తిపరిచే పూర్ణాంకాల సమితిలో 3 మరియు – 3 చేర్చబడ్డాయి.

సమాధానం: x = (–3; –2; 2; 3)