భిన్నాలు. భిన్నాలను గుణించడం మరియు విభజించడం

చివరి పాఠంలో, దశాంశాలను జోడించడం మరియు తీసివేయడం ఎలాగో నేర్చుకున్నాము (“దశాంశాలను జోడించడం మరియు తీసివేయడం” అనే పాఠాన్ని చూడండి). అదే సమయంలో, సాధారణ "రెండు-అంతస్తుల" భిన్నాలతో పోలిస్తే ఎంత లెక్కలు సరళీకృతం చేయబడతాయో మేము అంచనా వేసాము.

దురదృష్టవశాత్తూ, దశాంశాలను గుణించడం మరియు భాగించడంతో ఈ ప్రభావం ఏర్పడదు. కొన్ని సందర్భాల్లో, దశాంశ సంజ్ఞామానం ఈ కార్యకలాపాలను క్లిష్టతరం చేస్తుంది.

ముందుగా, ఒక కొత్త నిర్వచనాన్ని పరిచయం చేద్దాం. మేము అతనిని ఈ పాఠంలో మాత్రమే కాకుండా చాలా తరచుగా చూస్తాము.

సంఖ్య యొక్క ముఖ్యమైన భాగం చివరలతో సహా మొదటి మరియు చివరి సున్నా కాని అంకెల మధ్య ఉన్న ప్రతిదీ. దీని గురించిసంఖ్యల గురించి మాత్రమే, దశాంశ బిందువు పరిగణనలోకి తీసుకోబడదు.

చేర్చబడిన సంఖ్యలు ముఖ్యమైన భాగంసంఖ్యలను ముఖ్యమైన సంఖ్యలు అంటారు. అవి పునరావృతమవుతాయి మరియు సున్నాకి కూడా సమానంగా ఉంటాయి.

ఉదాహరణకు, అనేక దశాంశ భిన్నాలను పరిగణించండి మరియు సంబంధిత ముఖ్యమైన భాగాలను వ్రాయండి:

1. 91.25 → 9125 (ముఖ్యమైన గణాంకాలు: 9; 1; 2; 5);
2. 0.008241 → 8241 (ముఖ్యమైన గణాంకాలు: 8; 2; 4; 1);
3. 15.0075 → 150075 (ముఖ్యమైన గణాంకాలు: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
4. 0.0304 → 304 (ముఖ్యమైన గణాంకాలు: 3; 0; 4);
5. 3000 → 3 (ముఖ్యమైన వ్యక్తిఒకటి మాత్రమే: 3).

దయచేసి గమనించండి: సంఖ్య యొక్క ముఖ్యమైన భాగం లోపల ఉన్న సున్నాలు ఎక్కడికీ వెళ్లవు. దశాంశ భిన్నాలను సాధారణ వాటికి మార్చడం నేర్చుకున్నప్పుడు మేము ఇప్పటికే ఇలాంటిదే ఎదుర్కొన్నాము (పాఠం “దశాంశాలు” చూడండి).

ఈ పాయింట్ చాలా ముఖ్యమైనది, మరియు ఇక్కడ చాలా తరచుగా తప్పులు జరుగుతాయి, సమీప భవిష్యత్తులో నేను ఈ అంశంపై ఒక పరీక్షను ప్రచురిస్తాను. తప్పకుండా సాధన చేయండి! మరియు మేము, ముఖ్యమైన భాగం యొక్క భావనతో సాయుధమై, వాస్తవానికి, పాఠం యొక్క అంశానికి వెళ్తాము.

దశాంశాలను గుణించడం

గుణకారం ఆపరేషన్ మూడు వరుస దశలను కలిగి ఉంటుంది:

1. ప్రతి భిన్నం కోసం, ముఖ్యమైన భాగాన్ని వ్రాయండి. మీరు రెండు సాధారణ పూర్ణాంకాలను పొందుతారు - ఎటువంటి హారం మరియు దశాంశ పాయింట్లు లేకుండా;
2. ఈ సంఖ్యలను ఏదైనా అనుకూలమైన మార్గంలో గుణించండి. నేరుగా, సంఖ్యలు చిన్నవిగా లేదా నిలువు వరుసలో ఉంటే. మేము కోరుకున్న భిన్నం యొక్క ముఖ్యమైన భాగాన్ని పొందుతాము;
3. సంబంధిత ముఖ్యమైన భాగాన్ని పొందడానికి అసలు భిన్నాలలో దశాంశ బిందువు ఎక్కడ మరియు ఎన్ని అంకెలతో మార్చబడిందో కనుగొనండి. మునుపటి దశలో పొందిన ముఖ్యమైన భాగానికి రివర్స్ షిఫ్ట్‌లను అమలు చేయండి.

ముఖ్యమైన భాగం యొక్క వైపులా ఉన్న సున్నాలు ఎప్పుడూ పరిగణనలోకి తీసుకోబడవని నేను మీకు మరోసారి గుర్తు చేస్తాను. ఈ నియమాన్ని విస్మరించడం లోపాలకు దారితీస్తుంది.

1. 0.28 12.5;
2. 6.3 · 1.08;
3. 132.5 · 0.0034;
4. 0.0108 1600.5;
5. 5.25 · 10,000.

మేము మొదటి వ్యక్తీకరణతో పని చేస్తాము: 0.28 · 12.5.

1. ఈ వ్యక్తీకరణ నుండి సంఖ్యల కోసం ముఖ్యమైన భాగాలను వ్రాస్దాం: 28 మరియు 125;
2. వారి ఉత్పత్తి: 28 · 125 = 3500;
3. మొదటి కారకంలో దశాంశ బిందువు 2 అంకెలు కుడివైపుకి మార్చబడుతుంది (0.28 → 28), మరియు రెండవది అది మరో 1 అంకెతో మార్చబడుతుంది. మొత్తంగా, మీకు మూడు అంకెలతో ఎడమవైపుకి షిఫ్ట్ అవసరం: 3500 → 3,500 = 3.5.

ఇప్పుడు 6.3 · 1.08 అనే వ్యక్తీకరణను చూద్దాం.

1. ముఖ్యమైన భాగాలను వ్రాస్దాం: 63 మరియు 108;
2. వారి ఉత్పత్తి: 63 · 108 = 6804;
3. మళ్లీ, కుడివైపుకి రెండు షిఫ్ట్‌లు: వరుసగా 2 మరియు 1 అంకెల ద్వారా. మొత్తం - మళ్లీ కుడివైపు 3 అంకెలు, కాబట్టి రివర్స్ షిఫ్ట్ ఎడమవైపు 3 అంకెలు ఉంటుంది: 6804 → 6.804. ఈసారి వెనుకంజలో సున్నాలు లేవు.

మేము మూడవ వ్యక్తీకరణకు చేరుకున్నాము: 132.5 · 0.0034.

1. ముఖ్యమైన భాగాలు: 1325 మరియు 34;
2. వారి ఉత్పత్తి: 1325 · 34 = 45,050;
3. మొదటి భిన్నంలో, దశాంశ బిందువు 1 అంకెతో కుడి వైపుకు కదులుతుంది మరియు రెండవది - 4. మొత్తం: 5 కుడికి. మేము 5 ద్వారా ఎడమ వైపుకు మారుస్తాము: 45,050 → .45050 = 0.4505. సున్నా చివరలో తీసివేయబడింది మరియు "నగ్న" దశాంశ బిందువును వదిలివేయకుండా ముందు భాగంలో జోడించబడింది.

కింది వ్యక్తీకరణ: 0.0108 · 1600.5.

1. మేము ముఖ్యమైన భాగాలను వ్రాస్తాము: 108 మరియు 16 005;
2. మేము వాటిని గుణిస్తాము: 108 · 16,005 = 1,728,540;
3. మేము దశాంశ బిందువు తర్వాత సంఖ్యలను గణిస్తాము: మొదటి సంఖ్యలో 4 ఉన్నాయి, రెండవది 1 ఉన్నాయి. మొత్తం మళ్లీ 5. మనకు ఉన్నాయి: 1,728,540 → 17.28540 = 17.2854. ముగింపులో, "అదనపు" సున్నా తీసివేయబడింది.

చివరగా, చివరి వ్యక్తీకరణ: 5.25 · 10,000.

1. ముఖ్యమైన భాగాలు: 525 మరియు 1;
2. మేము వాటిని గుణిస్తాము: 525 · 1 = 525;
3. మొదటి భిన్నం 2 అంకెలు కుడివైపుకి మార్చబడింది మరియు రెండవ భిన్నం 4 అంకెలు ఎడమవైపుకి మార్చబడుతుంది (10,000 → 1.0000 = 1). ఎడమవైపు మొత్తం 4 - 2 = 2 అంకెలు. మేము కుడి వైపున 2 అంకెలతో రివర్స్ షిఫ్ట్ చేస్తాము: 525, → 52,500 (మేము సున్నాలను జోడించాలి).

దయచేసి గమనించండి చివరి ఉదాహరణ: దశాంశ బిందువు వేర్వేరు దిశల్లో కదులుతుంది కాబట్టి, మొత్తం మార్పు తేడా ద్వారా కనుగొనబడుతుంది. ఇది చాలా ముఖ్యమైన పాయింట్! ఇక్కడ మరొక ఉదాహరణ:

1.5 మరియు 12,500 సంఖ్యలను పరిగణించండి. మనకు ఇవి ఉన్నాయి: 1.5 → 15 (కుడివైపు 1 ద్వారా షిఫ్ట్); 12,500 → 125 (ఎడమవైపుకి షిఫ్ట్ 2). మేము 1 అంకెను కుడివైపుకు, ఆపై 2ను ఎడమవైపుకు "దశ" చేస్తాము. ఫలితంగా, మేము 2 − 1 = 1 అంకెను ఎడమవైపుకి అడుగుపెట్టాము.

దశాంశ విభజన

విభజన బహుశా చాలా కష్టమైన ఆపరేషన్. వాస్తవానికి, ఇక్కడ మీరు గుణకారంతో సారూప్యతతో పని చేయవచ్చు: ముఖ్యమైన భాగాలను విభజించి, ఆపై దశాంశ బిందువును "తరలించండి". కానీ ఈ సందర్భంలో సంభావ్య పొదుపులను తిరస్కరించే అనేక సూక్ష్మబేధాలు ఉన్నాయి.

అందువల్ల, సార్వత్రిక అల్గోరిథం చూద్దాం, ఇది కొంచెం పొడవుగా ఉంటుంది, కానీ చాలా నమ్మదగినది:

1. అన్ని దశాంశ భిన్నాలను సాధారణ భిన్నాలకు మార్చండి. కొంచెం అభ్యాసంతో, ఈ దశ మీకు కొన్ని సెకన్ల సమయం పడుతుంది;
2. ఫలిత భిన్నాలను శాస్త్రీయ పద్ధతిలో విభజించండి. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, మొదటి భిన్నాన్ని “విలోమ” రెండవతో గుణించండి (“సంఖ్యా భిన్నాలను గుణించడం మరియు విభజించడం” అనే పాఠాన్ని చూడండి);
3. వీలైతే, ఫలితాన్ని మళ్లీ రూపంలో ప్రదర్శించండి దశాంశ. ఈ దశ కూడా త్వరగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే హారం తరచుగా పది శక్తిగా ఉంటుంది.

టాస్క్. వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్థం కనుగొనండి:

1. 3,51: 3,9;
2. 1,47: 2,1;
3. 6,4: 25,6:
4. 0,0425: 2,5;
5. 0,25: 0,002.

మొదటి వ్యక్తీకరణను పరిశీలిద్దాం. ముందుగా, భిన్నాలను దశాంశాలకు మారుద్దాం:

రెండవ వ్యక్తీకరణతో కూడా అదే చేద్దాం. మొదటి భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ మళ్లీ కారకం చేయబడుతుంది:

మూడవ మరియు నాల్గవ ఉదాహరణలలో ఒక ముఖ్యమైన విషయం ఉంది: వదిలించుకున్న తర్వాత దశాంశ సంజ్ఞామానంతగ్గించదగిన భిన్నాలు ఉత్పన్నమవుతాయి. అయితే, మేము ఈ తగ్గింపును అమలు చేయము.

రెండవ భిన్నం యొక్క లవం ప్రధాన సంఖ్యను కలిగి ఉన్నందున చివరి ఉదాహరణ ఆసక్తికరంగా ఉంది. ఇక్కడ కారకం చేయడానికి ఏమీ లేదు, కాబట్టి మేము దానిని నేరుగా ముందుకు పరిగణిస్తాము:

కొన్నిసార్లు విభజన ఫలితంగా పూర్ణాంకం వస్తుంది (నేను చివరి ఉదాహరణ గురించి మాట్లాడుతున్నాను). ఈ సందర్భంలో, మూడవ దశ అస్సలు నిర్వహించబడదు.

అదనంగా, విభజించేటప్పుడు, "అగ్లీ" భిన్నాలు తరచుగా ఉత్పన్నమవుతాయి, అవి దశాంశాలకు మార్చబడవు. ఇది గుణకారం నుండి విభజనను వేరు చేస్తుంది, ఇక్కడ ఫలితాలు ఎల్లప్పుడూ దశాంశ రూపంలో సూచించబడతాయి. వాస్తవానికి, ఈ సందర్భంలో చివరి దశ మళ్లీ నిర్వహించబడదు.

3వ మరియు 4వ ఉదాహరణలకు కూడా శ్రద్ధ వహించండి. వాటిలో మనం ఉద్దేశపూర్వకంగా కుదించము సాధారణ భిన్నాలు, దశాంశాల నుండి తీసుకోబడింది. లేదంటే క్లిష్టతరం అవుతుంది విలోమ సమస్య- దశాంశ రూపంలో తుది సమాధానం యొక్క ప్రదర్శన.

గుర్తుంచుకోండి: భిన్నం యొక్క ప్రాథమిక లక్షణం (గణితంలో ఏదైనా ఇతర నియమం వలె) దాని అర్థం ప్రతిచోటా మరియు ఎల్లప్పుడూ, ప్రతి అవకాశంలో తప్పనిసరిగా వర్తింపజేయాలి.

స్వచ్ఛమైన గణితం, దాని స్వంత మార్గంలో, తార్కిక ఆలోచన యొక్క కవిత్వం. ఆల్బర్ట్ ఐన్స్టీన్

ఈ వ్యాసంలో మేము మీకు సరళమైన గణిత పద్ధతుల ఎంపికను అందిస్తున్నాము, వీటిలో చాలా వరకు జీవితంలో చాలా సందర్భోచితమైనవి మరియు వేగంగా లెక్కించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తాయి.

1. త్వరిత వడ్డీ గణన

బహుశా, రుణాలు మరియు వాయిదాల ప్రణాళికల యుగంలో, అత్యంత సంబంధిత గణిత నైపుణ్యాన్ని మనస్సులో ఆసక్తిని నైపుణ్యంగా లెక్కించడం అని పిలుస్తారు. అత్యంత వేగవంతమైన మార్గంలోలెక్కించు నిర్దిష్ట శాతంఒక సంఖ్య నుండి గుణకారం ఇచ్చిన శాతంఈ సంఖ్య ద్వారా, ఫలిత ఫలితంలో చివరి రెండు అంకెలను విస్మరించడం ద్వారా, ఒక శాతం వందవ వంతు కంటే ఎక్కువ కాదు.

70లో 20% ఎంత? 70 × 20 = 1400. మేము రెండు అంకెలను విస్మరించి 14ని పొందుతాము. కారకాలను పునర్వ్యవస్థీకరించేటప్పుడు, ఉత్పత్తి మారదు మరియు మీరు 20లో 70% లెక్కించడానికి ప్రయత్నిస్తే, సమాధానం కూడా 14 అవుతుంది.

రౌండ్ సంఖ్యల విషయంలో ఈ పద్ధతి చాలా సులభం, కానీ మీరు లెక్కించాల్సిన అవసరం ఉంటే, ఉదాహరణకు, సంఖ్య 72 లేదా 29 శాతం? అటువంటి పరిస్థితిలో, మీరు వేగం కోసం ఖచ్చితత్వాన్ని త్యాగం చేయాలి మరియు సంఖ్యను రౌండ్ చేయాలి (మా ఉదాహరణలో, 72 70కి గుండ్రంగా ఉంటుంది మరియు 29 నుండి 30 వరకు ఉంటుంది), ఆపై అదే పద్ధతిని గుణకారంతో మరియు చివరి రెండింటిని విస్మరించాలి. అంకెలు.

2. త్వరిత విభజన తనిఖీ

408 క్యాండీలను 12 మంది పిల్లలకు సమానంగా పంచడం సాధ్యమేనా? మీరు గుర్తుంచుకుంటే, కాలిక్యులేటర్ సహాయం లేకుండా ఈ ప్రశ్నకు సమాధానం ఇవ్వడం సులభం సాధారణ సంకేతాలుమేము పాఠశాలలో బోధించిన విభజన.

• ఒక సంఖ్య దాని చివరి అంకె 2చే భాగించబడితే 2చే భాగించబడుతుంది.
• సంఖ్యను రూపొందించే అంకెల మొత్తం 3చే భాగించబడినట్లయితే, ఒక సంఖ్య 3చే భాగించబడుతుంది. ఉదాహరణకు, 501 సంఖ్యను తీసుకోండి, దానిని 5 + 0 + 1 = 6గా ఊహించుకోండి. 6 అనేది 3చే భాగించబడుతుంది, అంటే సంఖ్య 501 కూడా 3 ద్వారా భాగించబడుతుంది.
• ఒక సంఖ్య దాని చివరి రెండు అంకెలతో ఏర్పడిన సంఖ్య 4చే భాగించబడినట్లయితే అది 4చే భాగించబడుతుంది. ఉదాహరణకు, 2,340ని తీసుకోండి. చివరి రెండు అంకెలు 40తో భాగించబడే సంఖ్యను ఏర్పరుస్తాయి.
• ఒక సంఖ్య దాని చివరి అంకె 0 లేదా 5 అయితే 5చే భాగించబడుతుంది.
• ఒక సంఖ్యను 2 మరియు 3తో భాగిస్తే అది 6చే భాగించబడుతుంది.
• సంఖ్యను రూపొందించే అంకెల మొత్తం 9తో భాగించబడితే ఒక సంఖ్య 9చే భాగించబడుతుంది. ఉదాహరణకు, 6 390 సంఖ్యను తీసుకోండి, దానిని 6 + 3 + 9 + 0 = 18గా ఊహించుకోండి. 18 అనేది 9తో భాగించబడుతుంది, అంటే 6 390 సంఖ్య 9చే భాగించబడుతుంది.
• ఒక సంఖ్యను 3 మరియు 4తో భాగిస్తే అది 12తో భాగించబడుతుంది.

3. వేగవంతమైన వర్గమూల గణన

4 యొక్క వర్గమూలం 2. దీనిని ఎవరైనా లెక్కించవచ్చు. 85 యొక్క వర్గమూలం గురించి ఏమిటి?

శీఘ్ర ఉజ్జాయింపు పరిష్కారం కోసం, మేము ఇచ్చిన దానికి దగ్గరగా ఉన్నదాన్ని కనుగొంటాము చదరపు సంఖ్య, వి ఈ విషయంలోఅది 81 = 9^2.

ఇప్పుడు మనం తదుపరి సమీప చతురస్రాన్ని కనుగొంటాము. ఈ సందర్భంలో అది 100 = 10^2.

85 యొక్క వర్గమూలం ఎక్కడో 9 మరియు 10 మధ్య ఉంటుంది మరియు 85 100 కంటే 81కి దగ్గరగా ఉంటుంది కాబట్టి, అప్పుడు వర్గమూలంఈ సంఖ్య 9-ఏదో ఉంటుంది.

4. నిర్దిష్ట శాతంలో నగదు డిపాజిట్ అయిన తర్వాత సమయం రెట్టింపు అవుతుంది

మీరు మీ కోసం పట్టే సమయాన్ని త్వరగా కనుగొనాలనుకుంటున్నారా నగదు జమనిర్దిష్ట వడ్డీ రేటుతో రెట్టింపు? మీకు ఇక్కడ కాలిక్యులేటర్ అవసరం లేదు, "రూల్ ఆఫ్ 72" గురించి తెలుసుకోండి.

మేము 72 సంఖ్యను మా వడ్డీ రేటుతో భాగిస్తాము, దాని తర్వాత మనకు లభిస్తుంది సుమారు సమయం, దీని ద్వారా సహకారం రెట్టింపు అవుతుంది.

ఏడాదికి 5% చొప్పున పెట్టుబడి పెడితే, అది రెట్టింపు కావడానికి 14 ఏళ్లకు పైగా పడుతుంది.

ఎందుకు సరిగ్గా 72 (కొన్నిసార్లు వారు 70 లేదా 69 తీసుకుంటారు)? అది ఎలా పని చేస్తుంది? వికీపీడియా ఈ ప్రశ్నలకు వివరంగా సమాధానం ఇస్తుంది.

5. నిర్దిష్ట శాతంలో నగదు డిపాజిట్ మూడు రెట్లు పెరిగే సమయం యొక్క శీఘ్ర గణన

ఈ సందర్భంలో, డిపాజిట్‌పై వడ్డీ రేటు 115 సంఖ్య యొక్క భాగహారంగా మారాలి.

ఏడాదికి 5% చొప్పున పెట్టుబడి పెడితే, అది మూడు రెట్లు పెరగడానికి 23 ఏళ్లు పడుతుంది.

6. మీ గంట రేటును త్వరగా లెక్కించండి

"నెలకు రూబిళ్లు" అనే సాధారణ ఆకృతిలో జీతం ఇవ్వని ఇద్దరు యజమానులతో మీరు ఇంటర్వ్యూలకు గురవుతున్నారని ఊహించుకోండి, కానీ వార్షిక జీతాలు మరియు గంట జీతం. వారు ఎక్కడ ఎక్కువ చెల్లించాలో త్వరగా ఎలా లెక్కించాలి? వార్షిక జీతం 360,000 రూబిళ్లు, లేదా వారు గంటకు 200 రూబిళ్లు ఎక్కడ చెల్లిస్తారు?

వార్షిక జీతం ప్రకటించినప్పుడు ఒక గంట పని కోసం చెల్లింపును లెక్కించేందుకు, మీరు పేర్కొన్న మొత్తం నుండి చివరి మూడు అంకెలను విస్మరించాలి, ఆపై ఫలిత సంఖ్యను 2 ద్వారా విభజించండి.

360,000 గంటకు 360 ÷ 2 = 180 రూబిళ్లుగా మారుతుంది. అది కాకుండా సమాన పరిస్థితులురెండవ ప్రతిపాదన మంచిదని తేలింది.

7. మీ వేళ్లపై అధునాతన గణితం

మీ వేళ్లు సాధారణ కూడిక మరియు తీసివేత కంటే చాలా ఎక్కువ సామర్థ్యాన్ని కలిగి ఉంటాయి.

మీరు అకస్మాత్తుగా గుణకార పట్టికను మరచిపోయినట్లయితే మీ వేళ్లను ఉపయోగించి మీరు సులభంగా 9 ద్వారా గుణించవచ్చు.

ఎడమ నుండి కుడికి 1 నుండి 10 వరకు వేళ్లను సంఖ్య చేద్దాం.

మనం 9ని 5తో గుణించాలనుకుంటే, ఐదవ వేలును ఎడమవైపుకు వంచుతాము.

ఇప్పుడు చేతులు చూద్దాం. ఇది బెంట్ ఒక ముందు నాలుగు unbent వేళ్లు మారుతుంది. వారు పదులను సూచిస్తారు. మరియు వంగిన తర్వాత ఐదు వంగని వేళ్లు. అవి యూనిట్లను సూచిస్తాయి. సమాధానం: 45.

మనం 9ని 6తో గుణించాలనుకుంటే, ఆరవ వేలును ఎడమవైపుకు వంచుతాము. మేము వంగిన వేలుకు ముందు ఐదు మరియు నాలుగు తర్వాత వంగని వేళ్లను పొందుతాము. సమాధానం: 54.

ఈ విధంగా మీరు గుణకారం యొక్క మొత్తం నిలువు వరుసను 9 ద్వారా పునరుత్పత్తి చేయవచ్చు.

8. త్వరగా 4తో గుణించండి

చాలా ఉంది సులభమైన మార్గంమెరుపు-వేగవంతమైన గుణకారం కూడా పెద్ద సంఖ్యలో 4 ద్వారా. దీన్ని చేయడానికి, ఆపరేషన్‌ను రెండు చర్యలుగా విడదీయడం సరిపోతుంది, కావలసిన సంఖ్యను 2 ద్వారా గుణించి, ఆపై మళ్లీ 2 ద్వారా.

మీ కోసం చూడండి. ప్రతి ఒక్కరూ తమ తలలో 1,223ని 4తో గుణించలేరు. ఇప్పుడు మనం 1223 × 2 = 2446 ఆపై 2446 × 2 = 4892 చేస్తాము. ఇది చాలా సరళమైనది.

9. అవసరమైన కనిష్టాన్ని త్వరగా నిర్ణయించండి

మీరు ఐదు పరీక్షల శ్రేణిని తీసుకుంటున్నారని ఊహించుకోండి... విజయవంతంగా పూర్తిమీకు కావలసినది కనీస స్కోరు 92. చివరి పరీక్ష మిగిలి ఉంది మరియు మునుపటి ఫలితాలు క్రింది విధంగా ఉన్నాయి: 81, 98, 90, 93. చివరి పరీక్షలో పొందవలసిన అవసరమైన కనీసాన్ని ఎలా లెక్కించాలి?

దీన్ని చేయడానికి, మేము ఇప్పటికే ఉత్తీర్ణులైన పరీక్షలలో ఎన్ని పాయింట్లు తక్కువ/ఓవర్‌టేక్ చేశామో లెక్కిస్తాము, ఇది కొరతను సూచిస్తుంది ప్రతికూల సంఖ్యలు, మరియు ఫలితాలు సానుకూలంగా కంటే ఎక్కువగా ఉన్నాయి.

కాబట్టి, 81 - 92 = -11; 98 - 92 = 6; 90 - 92 = -2; 93 - 92 = 1.

ఈ సంఖ్యలను జోడించడం ద్వారా, మేము అవసరమైన కనిష్టానికి సర్దుబాటు చేస్తాము: −11 + 6 - 2 + 1 = -6.

ఫలితం 6 పాయింట్ల లోటు, అంటే అవసరమైన కనీస పెరుగుదల: 92 + 6 = 98. విషయాలు చెడ్డవి. :(

10. భిన్నం యొక్క విలువను త్వరగా సూచిస్తుంది

సుమారు విలువ సాధారణ భిన్నం 1/4, 1/3, 1/2 మరియు 3/4: మీరు మొదట దానిని సాధారణ మరియు అర్థమయ్యే నిష్పత్తులకు తగ్గించినట్లయితే, చాలా త్వరగా దశాంశ భిన్నం వలె సూచించబడుతుంది.

ఉదాహరణకు, మనకు భిన్నం 28/77 ఉంది, ఇది 28/84 = 1/3కి చాలా దగ్గరగా ఉంటుంది, కానీ మేము హారంను పెంచాము కాబట్టి, అసలు సంఖ్య కొంచెం పెద్దదిగా ఉంటుంది, అంటే 0.33 కంటే కొంచెం ఎక్కువగా ఉంటుంది.

11. నంబర్ గెస్సింగ్ ట్రిక్

మీరు కొద్దిగా డేవిడ్ బ్లెయిన్‌ని ప్లే చేయవచ్చు మరియు ఆసక్తికరమైన, కానీ చాలా సులభమైన గణిత ట్రిక్‌తో మీ స్నేహితులను ఆశ్చర్యపరచవచ్చు.

1. ఏదైనా పూర్ణాంకాన్ని ఊహించమని స్నేహితుడిని అడగండి.
2. అతను దానిని 2 ద్వారా గుణించనివ్వండి.
3. అప్పుడు అతను ఫలిత సంఖ్యకు 9 జోడిస్తుంది.
4. ఇప్పుడు అతను ఫలిత సంఖ్య నుండి 3ని తీసివేయనివ్వండి.
5. ఇప్పుడు అతను ఫలిత సంఖ్యను సగానికి విభజించనివ్వండి (ఏదైనా సందర్భంలో, అది శేషం లేకుండా విభజించబడుతుంది).
6. చివరగా, అతను ప్రారంభంలో ఊహించిన సంఖ్యను ఫలిత సంఖ్య నుండి తీసివేయమని అతనిని అడగండి.

సమాధానం ఎల్లప్పుడూ 3 అవుతుంది.

అవును, ఇది చాలా తెలివితక్కువది, కానీ తరచుగా ప్రభావం అన్ని అంచనాలను మించిపోయింది.

అదనపు

మరియు, వాస్తవానికి, గుణకార పద్ధతిలో అదే చిత్రాన్ని ఈ పోస్ట్‌లో చేర్చకుండా ఉండలేము.

) మరియు హారం ద్వారా హారం (మేము ఉత్పత్తి యొక్క హారం పొందుతాము).

భిన్నాలను గుణించడం కోసం సూత్రం:

ఉదాహరణకి:

మీరు న్యూమరేటర్లు మరియు డినామినేటర్లను గుణించడం ప్రారంభించే ముందు, మీరు భిన్నాన్ని తగ్గించవచ్చో లేదో తనిఖీ చేయాలి. మీరు భిన్నాన్ని తగ్గించగలిగితే, మీరు తదుపరి గణనలను చేయడం సులభం అవుతుంది.

ఒక సాధారణ భిన్నాన్ని భిన్నం ద్వారా విభజించడం.

సహజ సంఖ్యలతో కూడిన భిన్నాలను విభజించడం.

ఇది కనిపించేంత భయానకంగా లేదు. సంకలనం విషయంలో వలె, మేము పూర్ణాంకాన్ని హారంలో ఒకదానితో భిన్నంలోకి మారుస్తాము. ఉదాహరణకి:

మిశ్రమ భిన్నాలను గుణించడం.

భిన్నాలను గుణించడం కోసం నియమాలు (మిశ్రమ):

• మిశ్రమ భిన్నాలను సరికాని భిన్నాలుగా మార్చండి;
• భిన్నాల సంఖ్యలు మరియు హారంలను గుణించడం;
• భిన్నాన్ని తగ్గించండి;
• మీరు సరికాని భిన్నాన్ని పొందినట్లయితే, మేము సరికాని భిన్నాన్ని మిశ్రమ భిన్నంగా మారుస్తాము.

గమనిక!గుణించడం మిశ్రమ భిన్నంమరొక మిశ్రమ భిన్నానికి, మీరు మొదట వాటిని ఫారమ్‌కి తీసుకురావాలి సరికాని భిన్నాలు, ఆపై సాధారణ భిన్నాలను గుణించడం కోసం నియమం ప్రకారం గుణించాలి.

సహజ సంఖ్యతో భిన్నాన్ని గుణించే రెండవ మార్గం.

సాధారణ భిన్నాన్ని సంఖ్యతో గుణించే రెండవ పద్ధతిని ఉపయోగించడం మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉండవచ్చు.

గమనిక!భిన్నాన్ని గుణించడం సహజ సంఖ్యభిన్నం యొక్క హారంను ఈ సంఖ్యతో విభజించడం అవసరం, మరియు న్యూమరేటర్‌ను మార్చకుండా వదిలివేయండి.

పైన ఇచ్చిన ఉదాహరణ నుండి, భిన్నం యొక్క హారం సహజ సంఖ్యతో శేషం లేకుండా విభజించబడినప్పుడు ఈ ఎంపికను ఉపయోగించడం మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుందని స్పష్టమవుతుంది.

బహుళస్థాయి భిన్నాలు.

ఉన్నత పాఠశాలలో, మూడు-అంతస్తుల (లేదా అంతకంటే ఎక్కువ) భిన్నాలు తరచుగా ఎదుర్కొంటారు. ఉదాహరణ:

అటువంటి భిన్నాన్ని దాని సాధారణ రూపానికి తీసుకురావడానికి, 2 పాయింట్ల ద్వారా విభజనను ఉపయోగించండి:

గమనిక!భిన్నాలను విభజించేటప్పుడు, విభజన క్రమం చాలా ముఖ్యం. జాగ్రత్తగా ఉండండి, ఇక్కడ గందరగోళం చెందడం సులభం.

గమనిక, ఉదాహరణకి:

ఏదైనా భిన్నం ద్వారా ఒకదానిని విభజించినప్పుడు, ఫలితం అదే భిన్నం అవుతుంది, విలోమం మాత్రమే:

భిన్నాలను గుణించడం మరియు విభజించడం కోసం ఆచరణాత్మక చిట్కాలు:

1. పాక్షిక వ్యక్తీకరణలతో పని చేస్తున్నప్పుడు అత్యంత ముఖ్యమైన విషయం ఖచ్చితత్వం మరియు శ్రద్ద. అన్ని గణనలను జాగ్రత్తగా మరియు ఖచ్చితంగా, ఏకాగ్రతతో మరియు స్పష్టంగా చేయండి. మానసిక గణనల్లో చిక్కుకోవడం కంటే మీ డ్రాఫ్ట్‌లో కొన్ని అదనపు పంక్తులు రాయడం మంచిది.

2. పనులలో వివిధ రకములుభిన్నాలు - సాధారణ భిన్నాల రూపానికి వెళ్లండి.

3. తగ్గించడం సాధ్యం కానంత వరకు మేము అన్ని భిన్నాలను తగ్గిస్తాము.

4. బహుళ అంతస్తులు పాక్షిక వ్యక్తీకరణలుమేము వాటిని సాధారణ రూపంలోకి తీసుకువస్తాము, 2 పాయింట్ల ద్వారా విభజనను ఉపయోగిస్తాము.

5. మీ తలలోని భిన్నం ద్వారా యూనిట్‌ను విభజించండి, భిన్నాన్ని తిప్పండి.

ఉదాహరణ.

బీజగణిత భిన్నాల ఉత్పత్తిని కనుగొనండి మరియు .

పరిష్కారం.

భిన్నాలను గుణించే ముందు, మేము మొదటి భిన్నం యొక్క లవం మరియు రెండవ హారంలో బహుపదిని కారకం చేస్తాము. సంబంధిత సంక్షిప్త గుణకార సూత్రాలు దీనితో మాకు సహాయపడతాయి: x 2 +2·x+1=(x+1) 2 మరియు x 2 −1=(x−1)·(x+1) . ఈ విధంగా, .

సహజంగానే, ఫలిత భిన్నాన్ని తగ్గించవచ్చు (బీజగణిత భిన్నాలను తగ్గించే వ్యాసంలో మేము ఈ ప్రక్రియను చర్చించాము).

ఫలితాన్ని రూపంలో రాయడమే మిగిలి ఉంది బీజగణిత భిన్నం, దీని కోసం మీరు హారంలోని బహుపది ద్వారా మోనోమియల్‌ను గుణించాలి: .

సాధారణంగా పరిష్కారం సమానత్వాల క్రమం వలె వివరణ లేకుండా వ్రాయబడుతుంది:

సమాధానం:

.

కొన్నిసార్లు గుణించాల్సిన లేదా విభజించాల్సిన బీజగణిత భిన్నాలతో, మీరు ఆపరేషన్‌ను సులభతరం చేయడానికి మరియు వేగవంతం చేయడానికి కొన్ని పరివర్తనలను నిర్వహించాలి.

ఉదాహరణ.

బీజగణిత భిన్నాన్ని భిన్నంతో భాగించండి.

పరిష్కారం.

వదిలించుకోవటం ద్వారా బీజగణిత భిన్నం యొక్క రూపాన్ని సరళీకృతం చేద్దాం పాక్షిక గుణకం. దీన్ని చేయడానికి, మేము దాని లవం మరియు హారం 7 ద్వారా గుణిస్తాము, ఇది బీజగణిత భిన్నం యొక్క ప్రధాన ఆస్తిని చేయడానికి మాకు వీలు కల్పిస్తుంది. .

ఫలిత భిన్నం యొక్క హారం మరియు మనం విభజించాల్సిన భిన్నం యొక్క హారం వ్యతిరేక వ్యక్తీకరణలు అని ఇప్పుడు స్పష్టమైంది. భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ మరియు హారం యొక్క చిహ్నాలను మార్చుకుందాం, మనకు ఉంది .

భిన్నాలను గుణించడం మరియు విభజించడం.

శ్రద్ధ!
అదనంగా ఉన్నాయి
ప్రత్యేక విభాగం 555లోని పదార్థాలు.
చాలా "చాలా కాదు..." ఉన్నవారికి.
మరియు "చాలా..." ఉన్నవారికి)

ఈ ఆపరేషన్ కూడిక-వ్యవకలనం కంటే చాలా బాగుంది! ఎందుకంటే ఇది సులభం. రిమైండర్‌గా, భిన్నాన్ని భిన్నంతో గుణించడానికి, మీరు న్యూమరేటర్‌లను గుణించాలి (ఇది ఫలితం యొక్క న్యూమరేటర్ అవుతుంది) మరియు హారం (ఇది హారం అవుతుంది). అంటే:

ఉదాహరణకి:

ప్రతిదీ చాలా సులభం. మరియు దయచేసి చూడకండి సాధారణ హారం! ఇక్కడ అతని అవసరం లేదు...

భిన్నాన్ని భిన్నం ద్వారా విభజించడానికి, మీరు రివర్స్ చేయాలి రెండవ(ఇది ముఖ్యం!) భిన్నం మరియు వాటిని గుణించండి, అనగా:

ఉదాహరణకి:

మీరు పూర్ణాంకాలు మరియు భిన్నాలతో గుణకారం లేదా భాగహారాన్ని చూసినట్లయితే, అది సరే. అదనంగా, మేము హారంలో ఒకదానితో పూర్తి సంఖ్య నుండి భిన్నాన్ని తయారు చేస్తాము - మరియు ముందుకు సాగండి! ఉదాహరణకి:

ఉన్నత పాఠశాలలో, మీరు తరచుగా మూడు-అంతస్తుల (లేదా నాలుగు-అంతస్తుల!) భిన్నాలతో వ్యవహరించాల్సి ఉంటుంది. ఉదాహరణకి:

నేను ఈ భిన్నాన్ని మర్యాదగా ఎలా చూడగలను? అవును, చాలా సులభం! రెండు పాయింట్ల విభజనను ఉపయోగించండి:

కానీ విభజన క్రమం గురించి మర్చిపోవద్దు! గుణకారం కాకుండా, ఇది ఇక్కడ చాలా ముఖ్యమైనది! వాస్తవానికి, మేము 4:2 లేదా 2:4ని కంగారు పెట్టము. కానీ మూడు-అంతస్తుల భిన్నంలో తప్పు చేయడం సులభం. ఉదాహరణకు దయచేసి గమనించండి:

మొదటి సందర్భంలో (ఎడమవైపు వ్యక్తీకరణ):

రెండవది (కుడివైపున వ్యక్తీకరణ):

మీకు తేడా అనిపిస్తుందా? 4 మరియు 1/9!

విభజన క్రమాన్ని ఏది నిర్ణయిస్తుంది? బ్రాకెట్‌లతో లేదా (ఇక్కడ వలె) క్షితిజ సమాంతర రేఖల పొడవుతో. మీ కంటిని అభివృద్ధి చేయండి. మరియు బ్రాకెట్‌లు లేదా డాష్‌లు లేకుంటే, ఇలా:

అప్పుడు విభజించి గుణించాలి క్రమంలో, ఎడమ నుండి కుడికి!

మరియు కూడా చాలా సాధారణ మరియు ముఖ్యమైన సాంకేతికత. డిగ్రీలతో చర్యలలో, ఇది మీకు చాలా ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది! ఏదైనా భిన్నం ద్వారా ఒకదానిని భాగిద్దాం, ఉదాహరణకు, 13/15 ద్వారా:

షాట్ తిరగబడింది! మరియు ఇది ఎల్లప్పుడూ జరుగుతుంది. 1ని ఏదైనా భిన్నంతో భాగించినప్పుడు, ఫలితం అదే భిన్నం, తలక్రిందులుగా మాత్రమే ఉంటుంది.

భిన్నాలతో కూడిన కార్యకలాపాలకు అంతే. విషయం చాలా సులభం, కానీ ఇది తగినంత లోపాలు కంటే ఎక్కువ ఇస్తుంది. గమనిక ఆచరణాత్మక సలహా, మరియు వాటిలో తక్కువ (లోపాలు) ఉంటాయి!

ప్రాక్టికల్ చిట్కాలు:

1. పాక్షిక వ్యక్తీకరణలతో పని చేస్తున్నప్పుడు అత్యంత ముఖ్యమైన విషయం ఖచ్చితత్వం మరియు శ్రద్ద! కాదు సాధారణ పదాలు, శుభాకాంక్షలు కాదు! ఇది చాలా అవసరం! యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌లోని అన్ని గణనలను పూర్తి స్థాయి టాస్క్‌గా, దృష్టి కేంద్రీకరించి మరియు స్పష్టంగా చేయండి. మానసిక గణనలను చేసేటప్పుడు గందరగోళానికి గురికావడం కంటే మీ డ్రాఫ్ట్‌లో రెండు అదనపు పంక్తులు రాయడం మంచిది.

2. వివిధ రకాల భిన్నాలతో ఉదాహరణలలో, మేము సాధారణ భిన్నాలకు వెళ్తాము.

3. మేము అన్ని భిన్నాలను ఆపే వరకు తగ్గిస్తాము.

4. మేము రెండు పాయింట్ల ద్వారా విభజనను ఉపయోగించి సాధారణ వాటికి బహుళ-స్థాయి పాక్షిక వ్యక్తీకరణలను తగ్గిస్తాము (మేము విభజన క్రమాన్ని అనుసరిస్తాము!).

5. మీ తలలోని భిన్నం ద్వారా యూనిట్‌ను విభజించండి, భిన్నాన్ని తిప్పండి.

మీరు ఖచ్చితంగా పూర్తి చేయవలసిన పనులు ఇక్కడ ఉన్నాయి. అన్ని పనుల తర్వాత సమాధానాలు ఇవ్వబడతాయి. ఈ అంశంపై పదార్థాలు మరియు ఆచరణాత్మక చిట్కాలను ఉపయోగించండి. మీరు ఎన్ని ఉదాహరణలను సరిగ్గా పరిష్కరించగలిగారో అంచనా వేయండి. మొదటి సారి! కాలిక్యులేటర్ లేకుండా! మరియు సరైన తీర్మానాలు చేయండి ...

గుర్తుంచుకో - సరైన సమాధానం రెండవ (ముఖ్యంగా మూడవ) సమయం నుండి అందుకున్న సమయం లెక్కించబడదు!కఠినమైన జీవితం అలాంటిది.

కాబట్టి, పరీక్ష మోడ్‌లో పరిష్కరించండి ! ఇది ఇప్పటికే యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌కు సన్నాహకంగా ఉంది. మేము ఉదాహరణను పరిష్కరిస్తాము, దాన్ని తనిఖీ చేయండి, తదుపరిదాన్ని పరిష్కరించండి. మేము ప్రతిదీ నిర్ణయించుకున్నాము - మొదటి నుండి చివరి వరకు మళ్లీ తనిఖీ చేసాము. కానీ మాత్రమే అప్పుడుసమాధానాలను చూడండి.

లెక్కించు:

మీరు నిర్ణయించుకున్నారా?

మేము మీకు సరిపోయే సమాధానాల కోసం వెతుకుతున్నాము. నేను ఉద్దేశపూర్వకంగా వాటిని గందరగోళంగా, టెంప్టేషన్‌కు దూరంగా వ్రాసాను, చెప్పాలంటే... ఇక్కడ అవి, సెమికోలన్‌లతో వ్రాసిన సమాధానాలు.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

ఇప్పుడు మేము తీర్మానాలు చేస్తాము. ప్రతిదీ పని చేస్తే, నేను మీ కోసం సంతోషంగా ఉన్నాను! ప్రాథమిక లెక్కలుభిన్నాలతో - మీ సమస్య కాదు! మీరు మరింత చేయవచ్చు తీవ్రమైన విషయాలు. కాకపోతె...

కాబట్టి మీకు రెండు సమస్యలలో ఒకటి ఉంది. లేదా రెండూ ఒకేసారి.) జ్ఞానం లేకపోవడం మరియు (లేదా) అజాగ్రత్త. ఇది మాత్రం పరిష్కరించగల సమస్యలు.

మీకు ఈ సైట్ నచ్చితే...

మార్గం ద్వారా, నేను మీ కోసం మరికొన్ని ఆసక్తికరమైన సైట్‌లను కలిగి ఉన్నాను.)

మీరు ఉదాహరణలను పరిష్కరించడం సాధన చేయవచ్చు మరియు మీ స్థాయిని కనుగొనవచ్చు. తక్షణ ధృవీకరణతో పరీక్షిస్తోంది. నేర్చుకుందాం - ఆసక్తితో!)

మీరు విధులు మరియు ఉత్పన్నాలతో పరిచయం పొందవచ్చు.