పోలార్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ (ధ్రువ కోఆర్డినేట్స్)

ఒక విమానంలో ధ్రువ సమన్వయ వ్యవస్థ అనేది ఒక పాయింట్ O, పోల్ అని పిలువబడే ఒక పాయింట్ మరియు ధ్రువ అక్షం అని పిలువబడే సగం-రేఖ OX కలయిక. అదనంగా, ఇది పేర్కొనబడింది స్థాయి విభాగంవిమానం యొక్క బిందువుల నుండి పోల్ వరకు దూరాలను కొలవడానికి. నియమం ప్రకారం, ధ్రువ అక్షంపై వెక్టర్ \vec(i) ఎంపిక చేయబడుతుంది, పాయింట్ Oకి వర్తించబడుతుంది, దీని పొడవు స్కేల్ సెగ్మెంట్ యొక్క విలువగా తీసుకోబడుతుంది మరియు వెక్టర్ యొక్క దిశ ధ్రువంపై సానుకూల దిశను నిర్దేశిస్తుంది అక్షం (Fig. 2.28a).

పాయింట్ M యొక్క స్థానం ధ్రువ వ్యవస్థఅక్షాంశాలు దూరం r ద్వారా నిర్ణయించబడతాయి ( ధ్రువ వ్యాసార్థం) పాయింట్ M నుండి పోల్ వరకు (అంటే. r=\vert\overrightarrow(OM)\vert) మరియు ధ్రువ అక్షం మరియు వెక్టార్ మధ్య కోణం \varphi (ధ్రువ కోణం). \overrightarrow(OM). ధ్రువ వ్యాసార్థం మరియు ధ్రువ కోణం ఉన్నాయి ధ్రువ కోఆర్డినేట్లుపాయింట్లు M, ఇది M(r,\varphi) గా వ్రాయబడింది . ధ్రువ కోణం రేడియన్లలో కొలుస్తారు మరియు ధ్రువ అక్షం నుండి కొలుస్తారు:

సానుకూల దిశలో (అపసవ్యదిశలో), కోణం విలువ సానుకూలంగా ఉంటే;

కోణ విలువ ప్రతికూలంగా ఉంటే ప్రతికూల దిశలో (సవ్య దిశలో).

ధ్రువ వ్యాసార్థం విమానంలోని ఏదైనా బిందువు కోసం నిర్వచించబడుతుంది మరియు ప్రతికూల విలువలను తీసుకుంటుంది r\geqslant0 . ధ్రువ కోణం \varphi అనేది పోల్ O మినహా విమానంలోని ఏదైనా బిందువుకు నిర్వచించబడుతుంది మరియు విలువలను తీసుకుంటుంది -\pi<\varphi\leqslant\pi , అని పిలిచారు ధ్రువ కోణం యొక్క ప్రధాన విలువలు. కొన్ని సందర్భాల్లో, ధ్రువ కోణం నిబంధనల 2\pi n వరకు నిర్వచించబడిందని భావించడం మంచిది, ఇక్కడ n\in\mathbb(Z) . ఈ సందర్భంలో, అన్ని n\in\mathbb(Z) కోసం ధ్రువ కోణం యొక్క \varphi+2\pi n విలువలు వ్యాసార్థం వెక్టర్ యొక్క అదే దిశకు అనుగుణంగా ఉంటాయి.

ధ్రువ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ లేదా varphi దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ O\vec(i)\vec(j)తో అనుబంధించబడుతుంది, దీని మూలం O ధ్రువంతో సమానంగా ఉంటుంది మరియు అబ్సిస్సా అక్షం (మరింత ఖచ్చితంగా, పాజిటివ్ సెమీ-అబ్సిస్సా అక్షం) ధ్రువ అక్షంతో సమానంగా ఉంటుంది. ఆర్డినేట్ అక్షం అబ్సిస్సా అక్షానికి లంబంగా పూర్తయింది, తద్వారా కుడిచేతి దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ లభిస్తుంది (Fig. 2.28, b). ఆధార వెక్టర్స్ యొక్క పొడవులు ధ్రువ అక్షం మీద స్కేల్ సెగ్మెంట్ ద్వారా నిర్ణయించబడతాయి.

దీనికి విరుద్ధంగా, విమానంలో కుడిచేతి దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ ఇవ్వబడితే, అబ్సిస్సా యొక్క సానుకూల సెమీ-యాక్సిస్‌ను ధ్రువ అక్షంగా తీసుకుంటే, మేము ధ్రువ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌ను పొందుతాము (ఇచ్చిన దీర్ఘచతురస్రాకారంతో అనుబంధించబడింది).

పాయింట్ O నుండి భిన్నమైన M యొక్క దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్‌లు x,y మరియు దాని ధ్రువ కోఆర్డినేట్‌లు r,\varphiని అనుసంధానించే సూత్రాలను మనం పొందుదాం. Fig. 2.28,b ప్రకారం మేము పొందుతాము

\begin(cases)x=r\cdot\cos\varphi,\\y=r\cdot\sin\varphi.\end(కేసులు)

తెలిసిన ధ్రువ కోఆర్డినేట్‌ల నుండి దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనడానికి ఈ సూత్రాలు మిమ్మల్ని అనుమతిస్తాయి. రివర్స్ ట్రాన్సిషన్ సూత్రాల ప్రకారం నిర్వహించబడుతుంది:

\left\(\begin (aligned)r&= \sqrt(x^2+y^2),\\ \cos\varphi&= \frac(x)(r)=\frac(x)(\sqrt(x^ 2+y^2)),\\ \sin\varphi&= \frac(y)(r)=\frac(y)(\sqrt(x^2+y^2)).\end(సమలేఖనం చేయబడింది)\కుడివైపు .

చివరి రెండు సమానతలు ధ్రువ కోణాన్ని నిబంధనలు 2\pi n వరకు నిర్ణయిస్తాయి, ఇక్కడ n\in\mathbb(Z) . x\ne0 కోసం అది వారి నుండి అనుసరిస్తుంది \ ఆపరేటర్ పేరు(tg)\frac(y)(x)\varphi~(-\pi<\varphi\leqslant\pi) సూత్రాల ప్రకారం కనుగొనబడింది (Fig. 2.29):

\varphi=\left\(\begin(aligned)\operatorname(arctg)\frac(y)(x),\quad&x>0,\\\pi+\operatorname(arctg)\frac(y)(x),\ క్వాడ్&x<0,\,y\geqslant0,\\-\pi+\operatorname{arctg}\frac{y}{x},\quad&x<0,\,y<0,\\\frac{\pi}{2},\quad&x=0,\,y>0,\\-\frac(\pi)(2),\quad&x=0,\,y<0.\end{aligned}\right.

ఉదాహరణ 2.9.ధ్రువ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ లేదా\varphi:

ఎ) కోఆర్డినేట్ లైన్లను గీయండి r=1,~r=2,~r=3,~\varphi=\frac(\pi)(4),~\varphi=\frac(\pi)(2);

బి) పోలార్ కోఆర్డినేట్‌లతో M_1,~M_2 పాయింట్లను వర్ణించండి r_1=3,~\varphi_1=\frac(9\pi)(4),~r_2=3,~\varphi=-\frac(7\pi)(4). ఈ పాయింట్ల ధ్రువ కోణాల యొక్క ప్రధాన విలువలను కనుగొనండి;

c) M_1,~M_2 పాయింట్ల దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనండి.

పరిష్కారం. a) కోఆర్డినేట్ లైన్లు r=1,~r=2,~r=3 సంబంధిత రేడియాల వృత్తాలు మరియు పంక్తులను సూచిస్తాయి \varphi=\frac(\pi)(4), \varphi=\frac(\pi)(2)మరియు \varphi=\frac(3\pi)(4)- సెమీ స్ట్రెయిట్ (Fig. 2.30, a).

బి) పాయింట్లను ప్లాట్ చేద్దాం M_1\!\ఎడమ(3,\frac(9\pi)(4)\కుడి)మరియు M_2\!\ఎడమ(3,-\frac(7\pi)(4)\కుడి)(Fig. 2.30, b, c). వారి కోఆర్డినేట్లు ధ్రువ కోణంలో విభిన్నంగా ఉంటాయి, అయినప్పటికీ, అవి ఒకే ప్రధాన అర్థాన్ని కలిగి ఉంటాయి \varphi=\frac(\pi)(4). అందువల్ల, ఇది అదే పాయింట్, ఇది పాయింట్‌తో సమానంగా ఉంటుంది M\!\ఎడమ(3,\frac(\pi)(4)\కుడి), అంజీర్ 2.30లో చూపబడింది, a.

c) "b" పాయింట్‌ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, పాయింట్ M యొక్క దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనండి. ఫార్ములాలను (2.17) ఉపయోగించి మనం పొందుతాము:

x=r\cdot\cos\varphi=3\cdot\cos\frac(\pi)(4)=\frac(3\sqrt(2))(2);~y=r\cdot\sin\frac( \pi)(4)=\frac(3\sqrt(2))(2),అంటే M\!\left(\frac(3\sqrt(2))(2),\frac(3\sqrt(2))(2)\కుడి).

గమనికలు 2.8

1. ధ్రువ కోణం యొక్క ప్రధాన విలువను విభిన్నంగా ఎంచుకోవచ్చు, ఉదాహరణకు, 0\leqslant\varphi<2\pi .

2. రెండు పాయింట్ల మధ్య దూరం M_1(r_1,\varphi_1)మరియు M_2(r_2,\varphi_2)(విభాగం M_1M_2 పొడవు) ఫార్ములా ద్వారా లెక్కించబడుతుంది

M_1M_2=\sqrt(r_1^2+r_2^2-2\cdot r_1\cdot r_2\cdot\cos(\varphi_2-\varphi_1)),

ఇది కొసైన్ సిద్ధాంతం (Fig. 2.31) నుండి అనుసరిస్తుంది.

3. ఒక సమాంతర చతుర్భుజం (Fig. 2.31) యొక్క ఆధారిత ప్రాంతం S_(\ast)^(\భూమి), వ్యాసార్థం వెక్టర్స్‌పై నిర్మించబడింది మరియు ఫార్ములా ద్వారా కనుగొనబడుతుంది

S_(\ast\overrightarrow(OM_1),\overrightarrow(OM_2))^(\land)=\overrightarrow(OM_1)\land\overrightarrow(OM_2)=r_1\cdot r_2\cdot\sin(\varphi_2-\varphi_1) .

ఉంటే సానుకూలంగా ఉంటుంది \varphi_1<\varphi_2 (ఈ సందర్భంలో, ఒక జత వ్యాసార్థ వెక్టర్స్ యొక్క విన్యాసాన్ని \overrightarrow(OM_1)మరియు \overrightarrow(OM_2)కుడి), మరియు ప్రతికూల ఉంటే \varphi_1>\varphi_2(ఒక జత వ్యాసార్థ వెక్టర్స్ యొక్క విన్యాసం \overrightarrow(OM_1)మరియు \overrightarrow(OM_2)ఎడమ).

ఉదాహరణ 2.10.పోలార్ కోఆర్డినేట్లు ఇవ్వబడ్డాయి \varphi_A=\frac(\pi)(3),~r_A=4మరియు \varphi_B=\frac(2\pi)(3),~r_B=2పాయింట్లు A మరియు B (Fig. 2.32). కనుగొనేందుకు అవసరం:

a) స్కేలార్ ఉత్పత్తి \bigl\langle\overrightarrow(OA),\overrightarrow(OB)\bigl\rangle;

బి) సెగ్మెంట్ AB యొక్క పొడవు;

సి) బాహ్య ఉత్పత్తి \overrightarrow(OA)\land\overrightarrow(OB);

d) త్రిభుజం OAB యొక్క ప్రాంతం S_(OAB);

ఇ) ఇచ్చిన ధ్రువంతో అనుబంధించబడిన దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో సెగ్మెంట్ AB యొక్క సెంటర్ C యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు.

పరిష్కారం. a) స్కేలార్ ఉత్పత్తి యొక్క నిర్వచనం ద్వారా మనం కనుగొన్నాము

\left\langle\overrightarrow(OA),\overrightarrow(OB)\right\rangle=\left|\overrightarrow(OA)\right|(\cdot)\left|\overrightarrow(OB)\right|\!\cdot \cos\psi=r_A\cdot r_B\cdot\cos(\varphi_B-\varphi_A)=4\cdot2\cdot\cos\frac(\pi)(3)=4.

బి) సెగ్మెంట్ పొడవును కనుగొనండి (వ్యాఖ్యలు 2.8లోని పేరా 2 చూడండి):

AB=\sqrt(r_A^2+r_B^2-2\cdot r_A\cdot r_B\cdot\cos(\varphi_B-\varphi_A))=\sqrt(4^2+2^2-2\cdot4\cdot2\ cdot\frac(1)(2))=2\sqrt(3).

c) వెక్టర్స్‌పై నిర్మించిన సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క ఆధారిత ప్రాంతంగా మేము బయటి ఉత్పత్తిని కనుగొంటాము మరియు:

\overrightarrow(OA)\land\overrightarrow(OB)=r_A\cdot r_B\cdot\sin(\varphi_B-\varphi_A)=2\cdot4\cdot\sin\frac(\pi)(3)=4\sqrt( 3)

వెక్టర్స్ నుండి ప్రాంతం సానుకూలంగా ఉంటుంది \overrightarrow(OA)మరియు \overrightarrow(OB)సరైన జతను ఏర్పరుస్తుంది (\varphi_A<\varphi_B) .

d) త్రిభుజం OAB యొక్క వైశాల్యం వ్యాసార్థ వెక్టర్లను ఉపయోగించి నిర్మించిన సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క సగం వైశాల్యంగా కనుగొనబడింది \overrightarrow(OA)మరియు \overrightarrow(OB).

ఎందుకంటే S_(\ast\overrightarrow(OA),\overrightarrow(OB))=\left|\overrightarrow(OA)\land\overrightarrow(OB)\right|=4\sqrt(3)(పేరాగ్రాఫ్ "సి" చూడండి), ఆపై S_(OAB)=\frac(1)(2)\cdot4\sqrt(3)=2\sqrt(3).

ఇ) సూత్రాలను ఉపయోగించి (2.17) మేము పాయింట్లు A మరియు B యొక్క దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొంటాము:

\begin(gathered)x_A=r_A\cdot\cos\varphi_A=4\cdot\frac(1)(2)=2,\quad y_A=r_A\cdot\sin\varphi_A=4\cdot\frac(\sqrt( 3))(2)=2\sqrt(3);\\ x_B=r_B\cdot\cos\varphi_B=2\cdot\frac(-1)(2)=-1,\quad y_B=r_B\cdot\ sin\varphi_B=2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)=\sqrt(3).\end(సేకరించారు)

ఆపై AB సెగ్మెంట్ మధ్య C యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు (వ్యాఖ్యలు 2.1 యొక్క పేరా 3 చూడండి):

x_C=\frac(x_A+x_b)(2)=\frac(2+(-1))(2)=\frac(1)(2);\quad y_C=\frac(y_A+y_B)(2) =\frac(2\sqrt(3)+\sqrt(3))(2)=\frac(3\sqrt(3))(2).

ఉదాహరణ 2.11.పాయింట్ A(4,-3) Oxy కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లో గుర్తించబడింది. కనుగొనండి:

a) పాయింట్ A" యొక్క ధ్రువ కోఆర్డినేట్‌లు, వ్యాసార్థం వెక్టార్‌ను తిరిగేటప్పుడు పాయింట్ A యొక్క చిత్రం \overrightarrow(OA)మూలం చుట్టూ \frac(\pi)(3) కోణం ద్వారా (Fig. 2.33);

బి) పాయింట్ A_1 యొక్క ధ్రువ కోఆర్డినేట్‌లు, మూలం వద్ద కేంద్రంతో యూనిట్ వ్యాసార్థం యొక్క సర్కిల్‌కు సంబంధించి విమానం విలోమం చేయబడినప్పుడు పాయింట్ A యొక్క చిత్రం (విభాగం 2.2.4లో విమానం రూపాంతరాల ఉదాహరణ b చూడండి).

పరిష్కారం.ఎ) పాయింట్ A యొక్క ధ్రువ కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనండి. సూత్రాల ప్రకారం (2.17), అత్తి 2.29ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, మేము పొందుతాము:

r_A=\sqrt(x_A^2+y_A^2)=\sqrt(4^2+(-3)^2)=5;\quad\varphi_A=\operatorname(arctg)\frac(y_A)(x_A)= \operatorname(arctg)\frac(-3)(4)=-\operatorname(arctg)\frac(3)(4),

పాయింట్ A \text(IV) త్రైమాసికంలో ఉన్నందున.

వ్యాసార్థం వెక్టార్‌ను తిరిగేటప్పుడు \overrightarrow(OA)పోల్ చుట్టూ ఒక కోణం \frac(\pi)(3), ధ్రువ వ్యాసార్థం మారదు, కానీ ధ్రువ కోణం పెరుగుతుంది. కాబట్టి, పాయింట్ A" యొక్క ధ్రువ కోఆర్డినేట్‌లు: r_(A")=r_(A)=5, \varphi_(A")=\varphi_(A)+\frac(\pi)(3)=\frac(\pi)(3)-\operatorname(arctg)\frac(3)(4), మరియు \varphi_(A") అనేది ధ్రువ కోణం యొక్క ప్రధాన విలువ (-\pi<\varphi_{A"}\leqslant\pi) .

బి) వ్యాసార్థం R యొక్క వృత్తానికి సంబంధించి విలోమం చేసినప్పుడు, చిత్రం యొక్క ధ్రువ కోఆర్డినేట్‌లు r",\varphi" క్రింది సూత్రాల ద్వారా విలోమ చిత్రం యొక్క ధ్రువ కోఆర్డినేట్‌లు r,\varphi ద్వారా వ్యక్తీకరించబడతాయి:

r"=\frac(R^2)(r),\quad\varphi"=\varphi.

అందువల్ల, “a” పాయింట్‌ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, మేము (R=1 కోసం) కనుగొంటాము:

r_(A_1)=\frac(1)(r_A)=\frac(1)(5),\quad\varphi_(A_1)=\varphi_(A)=-\operatorname(arctg)\frac(3)(4 )

పుట 1

మొదటి క్వాడ్రంట్‌లోని ఏదైనా బిందువు యొక్క y-కోఆర్డినేట్‌లు సానుకూలంగా ఉంటాయి.

మూడవ మరియు నాల్గవ క్వాడ్రంట్లలోని పాయింట్లు ప్రతికూల Y-కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంటాయి మరియు మూడవ క్వాడ్రంట్‌లో పాయింట్ల యొక్క X కోఆర్డినేట్‌లు ప్రతికూలంగా ఉంటాయి.

కోఆర్డినేట్ బోర్డు ఉపయోగించిన కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో ArchiCAD కర్సర్ యొక్క ప్రస్తుత స్థానం యొక్క ఖచ్చితమైన X- మరియు Y-కోఆర్డినేట్‌లను ప్రదర్శిస్తుంది.

రెండవ క్వాడ్రంట్‌లో, పాయింట్ల యొక్క X-అక్షాంశాలు సానుకూలంగా ఉంటాయి మరియు Y-కోఆర్డినేట్‌లు ప్రతికూలంగా ఉంటాయి.

ఇబ్బంది ఏమిటంటే, రాణుల స్థానం వారి Y కోఆర్డినేట్‌ల ద్వారా మాత్రమే నిర్ణయించబడుతుంది మరియు X కోఆర్డినేట్‌లు స్థాన ప్రాతినిధ్యంలో స్పష్టంగా లేవు.

పరిష్కారం కోసం శోధిస్తున్నప్పుడు, ప్రోగ్రామ్ అంజీర్లో చూపబడింది. 4.7, క్వీన్స్ Y-కోఆర్డినేట్‌ల యొక్క వివిధ విలువలను పరీక్షిస్తుంది. ప్రోగ్రామ్‌లో ప్రత్యామ్నాయ ఎంపికల గణన క్రమం ఎక్కడ పేర్కొనబడింది?

ఒక బిందువు యొక్క X కోఆర్డినేట్‌ను మొదట వ్రాసి, ఆపై Y కోఆర్డినేట్‌ను వ్రాయడం ఆచారం కాబట్టి, వ్యక్తీకరణ - r - / Q - P ఇంకా అవసరమైన విలువను నిర్ణయించలేదు. ఫలితం X అక్షం వెంట కోఆర్డినేట్‌లలోని వ్యత్యాసాన్ని Y అక్షం వెంట కోఆర్డినేట్ విలువలలోని వ్యత్యాసం ద్వారా విభజించే భాగానికి సమానం, ఇది నిర్వచనం ప్రకారం, రేఖ యొక్క వాలు యొక్క విలోమ విలువను ఇస్తుంది.

కోఆర్డినేట్ విలువలు) మరియు దాన్ని అవుట్‌పుట్ సందేశ పట్టికలో మరియు అవుట్‌పుట్ డేటా జాబితాలో ఉంచుతుంది. తదనంతరం, ఎంచుకున్న స్క్రీన్ స్థానం యొక్క X మరియు Y కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉన్న ఈ ఆదేశం ప్రధాన కంప్యూటర్‌కు ప్రసారం చేయబడుతుంది.

పాత సిస్టమ్ xOyకి సంబంధించి కొత్త సిస్టమ్ XOt Y యొక్క స్థానం కొత్త మూలం O యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు పాత సిస్టమ్ ప్రకారం మరియు Ax మరియు OtX అక్షాల మధ్య కోణం a ప్రకారం తెలిసినట్లయితే నిర్ణయించబడుతుంది. పాత సిస్టమ్‌కు సంబంధించి ఏకపక్ష పాయింట్ M యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను x మరియు y ద్వారా మరియు కొత్త సిస్టమ్‌కు సంబంధించి అదే పాయింట్ యొక్క X మరియు Y కోఆర్డినేట్‌ల ద్వారా సూచిస్తాము. పాత కోఆర్డినేట్‌లు x మరియు yని కొత్త వాటి ద్వారా X మరియు Y ద్వారా వ్యక్తీకరించడం మా పని. ఫలితంగా వచ్చే పరివర్తన సూత్రాలలో స్పష్టంగా a, b మరియు oc స్థిరాంకాలు ఉండాలి. మేము రెండు ప్రత్యేక సందర్భాలను పరిగణనలోకి తీసుకోవడం ద్వారా ఈ సాధారణ సమస్యకు పరిష్కారాన్ని పొందుతాము.

ఇది డేటా జాబితాలోని రెండు మూలకాలను సూచిస్తుంది - X మరియు Y. X మరియు Y కోఆర్డినేట్‌లలో బీమ్‌ను కొత్త స్థానానికి తరలించడానికి మా టెర్మినల్ డిస్‌ప్లే ప్రాసెసర్‌కి ప్రత్యేక ఆదేశాలు ఉన్నాయి. కాబట్టి, SET ORIGIN కమాండ్ రొటీన్ తప్పనిసరిగా రెండు డిస్ప్లే ప్రాసెసర్ ఆదేశాలను రూపొందించాలి. అదనంగా, SET ORIGIN కమాండ్‌తో ప్రారంభించబడుతున్న ఆబ్జెక్ట్ సెగ్మెంట్ లేదా ఎలిమెంట్ కాదా అని మీరు తప్పనిసరిగా నిర్ణయించాలి. దీన్ని చేయడానికి, విధానం కమాండ్ పారామీటర్ ఫీల్డ్‌ని ఉపయోగించి సహసంబంధ పట్టికను ప్రశ్నిస్తుంది. సెగ్మెంట్ విషయంలో, స్క్రీన్‌పై స్థానం సంపూర్ణ కోఆర్డినేట్‌లలో, ఒక మూలకం విషయంలో - సాపేక్ష వాటిలో పేర్కొనబడింది. SET ORIGIN కమాండ్‌ను అమలు చేసే రొటీన్ తప్పనిసరిగా సంబంధిత డిస్‌ప్లే ప్రాసెసర్ ఆదేశాల కోసం ప్రత్యేక బిట్‌ను సెట్ చేయాలి లేదా క్లియర్ చేయాలి.

ప్రోగ్రామ్ ఈ అనంతమైన అంతరిక్ష ప్రాంతాన్ని అనంతంగా అన్వేషిస్తుంది, లక్ష్యానికి చేరువకాదు. ఎనిమిది క్వీన్స్ సమస్య యొక్క రాష్ట్ర స్థలం, ఈ విభాగంలో వలె నిర్వచించబడింది, మొదటి చూపులో సరిగ్గా ఈ రకమైన ఉచ్చును కలిగి ఉంటుంది. Y-కోఆర్డినేట్‌లు పరిమిత సెట్ నుండి ఎంపిక చేయబడినందున ఇది ఇప్పటికీ పరిమితమైందని తేలింది మరియు అందువల్ల ఎనిమిది మంది రాణులను సురక్షితంగా బోర్డులో ఉంచలేరు.

ఈ ఆదేశాన్ని అమలు చేసే విధానం ఇంటరాక్టివ్‌గా ఉత్పత్తి చేసే వస్తువులకు నాలుగు రకాల మార్గాలను అందిస్తుంది. మొదటి సాధనం సరళ రేఖలను గీయడానికి సాధారణీకరించిన విధానం. ఒక ప్రత్యేక గుర్తును పంక్తి ప్రారంభానికి తరలించి, ఆపై దానిని పంక్తి చివరకి తరలించడం ద్వారా డ్రాయింగ్ జరుగుతుంది. మీరు ఒక లేబుల్‌ను పంక్తి చివరకి తరలించినప్పుడు, లైన్ యొక్క ప్రారంభాన్ని మరియు లేబుల్ యొక్క ప్రస్తుత స్థితిని కలుపుతూ వెక్టర్ ఉత్పత్తి అవుతుంది. లైట్ పెన్ బాడీపై కీని విడుదల చేయడం ద్వారా, మీరు గీస్తున్న రేఖ యొక్క ఒక చివర నుండి మరొకదానికి గుర్తును తరలించవచ్చు. వినియోగదారు ACCEPT లైట్ బటన్‌ను సూచించినప్పుడు, L4 కమాండ్ రూపొందించబడుతుంది, దీని సహాయంతో డ్రా లైన్ యొక్క X, Y కోఆర్డినేట్‌లు ప్రధాన కంప్యూటర్‌కు ప్రసారం చేయబడతాయి.

పేజీలు: ..... 1

ఒక విమానంలో దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ వ్యవస్థ రెండు పరస్పర లంబ కోఆర్డినేట్ అక్షాలు OX మరియు OY ద్వారా ఏర్పడుతుంది. కోఆర్డినేట్ అక్షాలు పాయింట్ O వద్ద కలుస్తాయి, దీనిని మూలం అని పిలుస్తారు మరియు ప్రతి అక్షంపై సానుకూల దిశ ఎంపిక చేయబడుతుంది. కుడిచేతి కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో, OY అక్షం పైకి మళ్లినప్పుడు, OX అక్షం కుడి వైపున ఉండేలా అక్షాల సానుకూల దిశ ఎంపిక చేయబడుతుంది.

కోఆర్డినేట్ అక్షాలు X"X మరియు Y"Y ద్వారా ఏర్పడిన నాలుగు కోణాలను (I, II, III, IV) కోఆర్డినేట్ కోణాలు లేదా చతుర్భుజాలు అంటారు.

విమానంలో పాయింట్ A యొక్క స్థానం x మరియు y అనే రెండు కోఆర్డినేట్‌ల ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది. x కోఆర్డినేట్ అనేది సెగ్మెంట్ OB యొక్క పొడవుకు సమానం, y కోఆర్డినేట్ అనేది ఎంచుకున్న కొలత యూనిట్లలో సెగ్మెంట్ OC యొక్క పొడవుకు సమానం. OB మరియు OC విభాగాలు వరుసగా Y"Y మరియు X"X అక్షాలకు సమాంతరంగా పాయింట్ A నుండి గీసిన పంక్తుల ద్వారా నిర్వచించబడతాయి. x కోఆర్డినేట్‌ను పాయింట్ A యొక్క అబ్సిస్సా అని పిలుస్తారు, y కోఆర్డినేట్‌ను పాయింట్ A యొక్క ఆర్డినేట్ అంటారు. ఇది ఇలా వ్రాయబడింది: .

పాయింట్ A కోఆర్డినేట్ కోణం Iలో ఉంటే, పాయింట్ A ధనాత్మక అబ్సిస్సా మరియు ఆర్డినేట్‌ను కలిగి ఉంటుంది. పాయింట్ A కోఆర్డినేట్ యాంగిల్ IIలో ఉంటే, పాయింట్ A నెగటివ్ అబ్సిస్సా మరియు పాజిటివ్ ఆర్డినేట్‌ను కలిగి ఉంటుంది. పాయింట్ A కోఆర్డినేట్ యాంగిల్ IIIలో ఉంటే, పాయింట్ A ప్రతికూల అబ్సిస్సా మరియు ఆర్డినేట్‌ను కలిగి ఉంటుంది. పాయింట్ A కోఆర్డినేట్ యాంగిల్ IVలో ఉంటే, పాయింట్ A ధనాత్మక అబ్సిస్సా మరియు ప్రతికూల ఆర్డినేట్‌ను కలిగి ఉంటుంది.

అంతరిక్షంలో దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ వ్యవస్థమూడు పరస్పర లంబ కోఆర్డినేట్ అక్షాలు OX, OY మరియు OZ ద్వారా ఏర్పడుతుంది. కోఆర్డినేట్ అక్షాలు పాయింట్ O వద్ద కలుస్తాయి, దీనిని మూలం అని పిలుస్తారు, ప్రతి అక్షంపై సానుకూల దిశ ఎంపిక చేయబడుతుంది, ఇది బాణాల ద్వారా సూచించబడుతుంది మరియు అక్షాలపై ఉన్న విభాగాల కోసం కొలత యూనిట్. యూనిట్లు సాధారణంగా అన్ని అక్షాలకు ఒకే విధంగా ఉంటాయి (ఇది తప్పనిసరి కాదు). OX - abscissa అక్షం, OY - ఆర్డినేట్ అక్షం, OZ - దరఖాస్తు అక్షం.

కుడిచేతి బొటనవేలు X దిశగా, చూపుడు వేలును Y దిశగా మరియు మధ్య వేలిని Z దిశగా తీసుకుంటే, అప్పుడు కుడిచేతి కోఆర్డినేట్ వ్యవస్థ ఏర్పడుతుంది. ఎడమ చేతి యొక్క ఇలాంటి వేళ్లు ఎడమ కోఆర్డినేట్ వ్యవస్థను ఏర్పరుస్తాయి. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, OX అక్షం అపసవ్య దిశలో 90° తిప్పబడినప్పుడు, OZ యొక్క సానుకూల దిశ నుండి ఈ భ్రమణాన్ని గమనించినట్లయితే, దాని సానుకూల దిశ OY అక్షం యొక్క సానుకూల దిశతో సమానంగా ఉంటుంది కాబట్టి అక్షాల యొక్క సానుకూల దిశ ఎంపిక చేయబడుతుంది. అక్షం. కుడి మరియు ఎడమ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లను కలపడం అసాధ్యం, తద్వారా సంబంధిత అక్షాలు సమానంగా ఉంటాయి.

స్థలంలో పాయింట్ A యొక్క స్థానం x, y మరియు z అనే మూడు కోఆర్డినేట్‌ల ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది. x కోఆర్డినేట్ అనేది సెగ్మెంట్ OB యొక్క పొడవుకు సమానం, y కోఆర్డినేట్ అనేది సెగ్మెంట్ OC యొక్క పొడవు, z కోఆర్డినేట్ అనేది ఎంచుకున్న కొలత యూనిట్లలో సెగ్మెంట్ OD యొక్క పొడవు. OB, OC మరియు OD విభాగాలు వరుసగా YOZ, XOZ మరియు XOY విమానాలకు సమాంతరంగా పాయింట్ A నుండి గీయబడిన విమానాల ద్వారా నిర్వచించబడతాయి. x కోఆర్డినేట్‌ను పాయింట్ A యొక్క అబ్సిస్సా అని పిలుస్తారు, y కోఆర్డినేట్‌ను పాయింట్ A యొక్క ఆర్డినేట్ అంటారు, z కోఆర్డినేట్‌ను పాయింట్ A యొక్క అప్లికేషన్ అని పిలుస్తారు. ఇది ఇలా వ్రాయబడింది: .

ODA. కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ (O; , ) అంటారు. దీర్ఘచతురస్రాకారంలో ఉంటే: 1) ప్రాతిపదిక వెక్టర్స్ యూనిట్ పొడవు: = = =1;

2) ప్రాతిపదిక వెక్టర్‌లు పెయిర్‌వైస్ ఆర్తోగోనల్ (లంబంగా): ⏊ ⏊ .

ప్రాతిపదిక వెక్టర్లను సాధారణంగా సూచిస్తారు ప్రాతిపదిక వెక్టర్స్, మరియు కోఆర్డినేట్‌లు x, y, z. కోఆర్డినేట్ అక్షాలు అంటారు: Ox - abscissa axis, Oy - ordinate axis, Oz - applicate axis.

సిద్ధాంతం.వెక్టార్ యొక్క పొడవు =(X,Y,Z) దాని కోఆర్డినేట్‌ల వర్గాల మొత్తానికి సమానం: | |= .

పత్రం. వెక్టర్ X, భుజాలతో కూడిన దీర్ఘచతురస్రాకార సమాంతర పైప్ యొక్క వికర్ణం ద్వారా సూచించబడుతుంది.

సమాంతర పైప్డ్ యొక్క భుజాల పొడవులు |X|,|Y|,|Z|కి సమానంగా ఉంటాయి. దీర్ఘచతురస్రాకార సమాంతర వికర్ణం యొక్క పొడవు యొక్క చతురస్రం. దాని భుజాల పొడవు యొక్క చతురస్రాల మొత్తానికి సమానంగా ఉంటుంది (మీరు పైథాగరియన్ సిద్ధాంతాన్ని రెండుసార్లు దరఖాస్తు చేయాలి). ఇక్కడ నుండి మనకు కావలసిన ఫార్ములా లభిస్తుంది.

పర్యవసానం.పాయింట్లు A() మరియు B() మధ్య దూరం AB=కి సమానం.

పత్రం. AB=| |, a =().

13. అక్షం మీద వెక్టార్ ప్రొజెక్షన్ యొక్క పరిమాణం. దిశ కొసైన్లు.

అక్షం అనేది ఒక దిశను ఎంచుకున్న సరళ రేఖ. యూనిట్ వెక్టర్ ద్వారా అక్షం మీద దిశను ఇవ్వనివ్వండి.

నిరంకుశ వెక్టార్‌గా ఉండనివ్వండి మరియు A΄ మరియు B΄ లు A మరియు B బిందువుల ఆర్తోగోనల్ ప్రొజెక్షన్‌లుగా ఉండనివ్వండి l సరళ రేఖపై. వెక్టర్ పేరు l అక్షం మీద వెక్టర్ ప్రొజెక్షన్.

ODA. l అక్షం మీద వెక్టార్ ప్రొజెక్షన్ యొక్క పరిమాణాన్ని అంటారు. బేస్ వెక్టార్‌కి సంబంధించి l లైన్‌లో వెక్టార్ యొక్క సమన్వయం, అనగా. అటువంటి సంఖ్య ఆ = , .

ఈ విధంగా, మేము వెక్టార్ యొక్క ప్రొజెక్షన్ అక్షం మరియు అక్షం మీద వెక్టార్ ప్రొజెక్షన్ యొక్క పరిమాణం మధ్య తేడాను గుర్తించాము: మొదటిది వెక్టర్ మరియు రెండవది ఒక సంఖ్య. వెక్టర్ సమాంతరంగా బదిలీ చేయబడినప్పుడు, వెక్టర్ కూడా l అక్షం మీద సమాంతరంగా మార్చబడుతుంది. అందువల్ల, వెక్టార్ ప్రొజెక్షన్ యొక్క పరిమాణం వెక్టర్ ప్రతినిధి ఎంపికపై ఆధారపడి ఉండదు. అలాగే, వెక్టర్స్ మొత్తం ప్రొజెక్షన్ పరిమాణం వాటి ప్రొజెక్షన్ మాగ్నిట్యూడ్‌ల మొత్తానికి సమానంగా ఉంటుంది.

సిద్ధాంతం.అక్షం మీద వెక్టార్ ప్రొజెక్షన్ యొక్క పరిమాణం ఈ వెక్టర్ యొక్క పొడవు మరియు వెక్టార్ మరియు అక్షం మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్ యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం: =| |cosφ, ఎక్కడ φ=<().

డాక్.రెండు సందర్భాలను పరిశీలిద్దాం: 1) తీవ్రమైన కోణం, 2) ఒక మందమైన కోణం.

దిశ కొసైన్లు.

α, β, γ వెక్టార్ =(X,Y,Z) కోఆర్డినేట్ అక్షాలతో చేసే కోణాలుగా ఉండనివ్వండి. ఈ కోణాల కోసైన్లు, cosα, cosβ, cosγ అంటారు. వెక్టర్ యొక్క దిశ కొసైన్లు.

α=<(Ox. ); β=<(Oy ); γ=<(Oz, .

వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు కోఆర్డినేట్ అక్షాలపై ఈ వెక్టర్ యొక్క ప్రొజెక్షన్‌ల పరిమాణాలకు సమానం అని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది. అందువలన X= = |cosα; Y= = |cosβ; Z= = |cosγ.

ఇక్కడ నుండి మనం దిశ కొసైన్‌లను కనుగొనవచ్చు: cos = = ; cosβ= ; cosγ=