ఒక క్యూబిక్ బహుపది కారకం. కారకం బహుపదాలకు ఉదాహరణలు

ఈ పాఠంలో, మేము బహుపదిని కారకం చేయడానికి గతంలో అధ్యయనం చేసిన అన్ని పద్ధతులను గుర్తుకు తెచ్చుకుంటాము మరియు వాటి అప్లికేషన్ యొక్క ఉదాహరణలను పరిశీలిస్తాము, అదనంగా, మేము కొత్త పద్ధతిని అధ్యయనం చేస్తాము - పూర్తి చతురస్రాన్ని వేరుచేసే పద్ధతి మరియు వివిధ సమస్యలను పరిష్కరించడంలో దాన్ని ఎలా ఉపయోగించాలో నేర్చుకుంటాము. .

విషయం:ఫాక్టరింగ్ బహుపది

పాఠం:ఫాక్టరింగ్ బహుపది. పూర్తి చతురస్రాన్ని ఎంచుకునే విధానం. పద్ధతుల కలయిక

ఇంతకు ముందు అధ్యయనం చేసిన బహుపదిని కారకం చేసే ప్రాథమిక పద్ధతులను గుర్తుచేసుకుందాం:

బ్రాకెట్ల నుండి ఒక సాధారణ కారకాన్ని ఉంచే పద్ధతి, అంటే బహుపది యొక్క అన్ని పరంగా ఉండే కారకం. ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం:

మోనోమియల్ అనేది శక్తులు మరియు సంఖ్యల ఉత్పత్తి అని గుర్తుంచుకోండి. మా ఉదాహరణలో, రెండు పదాలు కొన్ని సాధారణ, ఒకేలాంటి అంశాలను కలిగి ఉంటాయి.

కాబట్టి, బ్రాకెట్ల నుండి సాధారణ కారకాన్ని తీసుకుందాం:

;

కుండలీకరణం ద్వారా తీసిన కారకాన్ని గుణించడం ద్వారా, మీరు తీసిన కారకం యొక్క ఖచ్చితత్వాన్ని తనిఖీ చేయవచ్చని మేము మీకు గుర్తు చేద్దాం.

సమూహ పద్ధతి. బహుపదిలో సాధారణ కారకాన్ని సంగ్రహించడం ఎల్లప్పుడూ సాధ్యం కాదు. ఈ సందర్భంలో, మీరు దాని సభ్యులను సమూహాలుగా విభజించాలి, తద్వారా ప్రతి సమూహంలో మీరు ఒక సాధారణ కారకాన్ని తీయవచ్చు మరియు దానిని విచ్ఛిన్నం చేయడానికి ప్రయత్నించవచ్చు, తద్వారా సమూహాలలోని కారకాలను తీసివేసిన తర్వాత, ఒక సాధారణ అంశం కనిపిస్తుంది మొత్తం వ్యక్తీకరణ, మరియు మీరు కుళ్ళిపోవడాన్ని కొనసాగించవచ్చు. ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం:

మొదటి పదాన్ని నాల్గవదానితో, రెండవది ఐదవదానితో మరియు మూడవది ఆరవదానితో సమూహాన్ని చేద్దాం:

సమూహాలలో సాధారణ కారకాలను తీసుకుందాం:

వ్యక్తీకరణకు ఇప్పుడు ఒక సాధారణ అంశం ఉంది. దానిని బయటకు తీసుకుందాం:

సంక్షిప్త గుణకార సూత్రాల అప్లికేషన్. ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం:

;

వ్యక్తీకరణను వివరంగా వ్రాస్దాం:

సహజంగానే, స్క్వేర్డ్ భేదం కోసం మన ముందు సూత్రం ఉంది, ఎందుకంటే ఇది రెండు వ్యక్తీకరణల స్క్వేర్‌ల మొత్తం మరియు వాటి డబుల్ ఉత్పత్తి దాని నుండి తీసివేయబడుతుంది. సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము:

ఈ రోజు మనం మరొక పద్ధతిని నేర్చుకుంటాము - పూర్తి చతురస్రాన్ని ఎంచుకునే పద్ధతి. ఇది మొత్తం యొక్క వర్గానికి మరియు భేదం యొక్క వర్గానికి సంబంధించిన సూత్రాలపై ఆధారపడి ఉంటుంది. వాటిని గుర్తు చేద్దాం:

మొత్తం (తేడా) వర్గానికి ఫార్ములా;

ఈ సూత్రాల యొక్క ప్రత్యేకత ఏమిటంటే అవి రెండు వ్యక్తీకరణల చతురస్రాలు మరియు వాటి డబుల్ ఉత్పత్తిని కలిగి ఉంటాయి. ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం:

వ్యక్తీకరణను వ్రాస్దాం:

కాబట్టి, మొదటి వ్యక్తీకరణ , మరియు రెండవది .

మొత్తం లేదా వ్యత్యాసం యొక్క వర్గానికి ఫార్ములాను రూపొందించడానికి, వ్యక్తీకరణల యొక్క రెట్టింపు ఉత్పత్తి సరిపోదు. ఇది జోడించడం మరియు తీసివేయడం అవసరం:

మొత్తం యొక్క వర్గాన్ని పూర్తి చేద్దాం:

ఫలిత వ్యక్తీకరణను మారుద్దాం:

చతురస్రాల వ్యత్యాసానికి సూత్రాన్ని వర్తింపజేద్దాం, రెండు వ్యక్తీకరణల వర్గాల వ్యత్యాసం వాటి వ్యత్యాసం యొక్క ఉత్పత్తి మరియు మొత్తం అని గుర్తుంచుకోండి:

కాబట్టి, ఈ పద్ధతిలో, మొదటగా, స్క్వేర్ చేయబడిన a మరియు b వ్యక్తీకరణలను గుర్తించడం, అంటే, ఈ ఉదాహరణలో ఏ వ్యక్తీకరణలు స్క్వేర్ చేయబడతాయో నిర్ణయించడం. దీని తరువాత, మీరు డబుల్ ఉత్పత్తి ఉనికిని తనిఖీ చేయాలి మరియు అది లేనట్లయితే, దానిని జోడించి తీసివేయండి, ఇది ఉదాహరణ యొక్క అర్ధాన్ని మార్చదు, కానీ వర్గానికి సంబంధించిన సూత్రాలను ఉపయోగించి బహుపదిని కారకం చేయవచ్చు. వీలైతే చతురస్రాల మొత్తం లేదా వ్యత్యాసం మరియు వ్యత్యాసం.

ఉదాహరణల పరిష్కారానికి వెళ్దాం.

ఉదాహరణ 1 - కారకం:

స్క్వేర్ చేయబడిన వ్యక్తీకరణలను కనుగొనండి:

వారి డబుల్ ఉత్పత్తి ఎలా ఉండాలో వ్రాస్దాం:

ఉత్పత్తిని రెట్టింపు చేద్దాం మరియు తీసివేద్దాం:

మొత్తం యొక్క వర్గాన్ని పూర్తి చేసి, ఇలాంటి వాటిని ఇద్దాం:

స్క్వేర్స్ ఫార్ములా తేడాను ఉపయోగించి దీన్ని వ్రాస్దాం:

ఉదాహరణ 2 - సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి:

;

సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున ఒక త్రికోణం ఉంది. మీరు దానిని కారకాలుగా పరిగణించాలి. మేము స్క్వేర్డ్ తేడా సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము:

మేము మొదటి వ్యక్తీకరణ యొక్క వర్గాన్ని మరియు డబుల్ ఉత్పత్తిని కలిగి ఉన్నాము, రెండవ వ్యక్తీకరణ యొక్క స్క్వేర్ లేదు, దానిని జోడించి తీసివేద్దాం:

పూర్తి చతురస్రాన్ని మడిచి, ఇలాంటి నిబంధనలను ఇద్దాం:

స్క్వేర్స్ ఫార్ములా యొక్క వ్యత్యాసాన్ని వర్తింపజేద్దాం:

కాబట్టి మనకు సమీకరణం ఉంది

కనీసం ఒక కారకం సున్నాకి సమానమైనట్లయితే మాత్రమే ఉత్పత్తి సున్నాకి సమానం అని మనకు తెలుసు. దీని ఆధారంగా కింది సమీకరణాలను రూపొందిద్దాం:

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం:

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం:

సమాధానం: లేదా

;

మేము మునుపటి ఉదాహరణ మాదిరిగానే కొనసాగుతాము - వ్యత్యాసం యొక్క చతురస్రాన్ని ఎంచుకోండి.

సంక్షిప్త గుణకార సూత్రాలు బహుపదాలతో కార్యకలాపాలకు చాలా అనుకూలమైన సాధనం. సాధారణంగా, ఇది సంక్లిష్ట బహుపది నిర్మాణాలను ద్విపద ద్వారా సూచించబడే చిన్న వ్యక్తీకరణకు తగ్గించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. లేదా, వేరొక క్రమంలో, ఒక కాంపాక్ట్ ద్విపద రెండు బహుపదిల ఉత్పత్తి నుండి సులభంగా తీసుకోబడుతుంది.

అల్పమైన సమీకరణాలు మరియు అసమానతలను పరిష్కరించేటప్పుడు, అలాగే వివిధ సాక్ష్యాధార సమస్యలకు ఇటువంటి చర్యలు అవసరం.

మునుపటి వీడియో పాఠాలలో మేము చతురస్రాల వ్యత్యాసం మరియు ఘనాల భేదం కోసం సూత్రాలను చూశాము. ఇంకా ఎక్కువ ఆర్డర్ యొక్క ఫార్ములాను పొందేందుకు ప్రయత్నిద్దాం - నాల్గవ శక్తికి వ్యక్తీకరణల వ్యత్యాసం దేనికి సమానమో కనుగొనండి:

ఈ వ్యక్తీకరణ సాపేక్షంగా x 4 మరియు y 4 సారూప్య వర్గ వ్యక్తీకరణల (x 2) 2 మరియు (y 2) 2కి బదులుగా ప్రత్యామ్నాయంగా మార్చడం చాలా సులభం.

x 4 - y 4 = (x 2) 2 - (y 2) 2

ఫలితంగా, మేము చతురస్రాల వ్యత్యాసాన్ని పొందుతాము, దీనిని ప్రాథమిక FSUని ఉపయోగించి ఇలా సూచించవచ్చు:

(x 2) 2 - (y 2) 2 = (x 2 + y 2)(x 2 - y 2)

మరోవైపు, ఫలిత వ్యక్తీకరణ యొక్క రెండవ కుండలీకరణాలు చతురస్రాల వ్యత్యాసాన్ని కలిగి ఉంటాయి, వీటిని సులభంగా మార్చవచ్చు:

(x 2 + y 2)(x 2 - y 2) = (x 2 + y 2)((x + y)(x - y))

ఇది దాన్ని అనుసరిస్తుంది:

x 4 - y 4 = (x 2 + y 2)(x + y)(x - y)

ప్రాథమిక ఉమ్మడి భాగాన్ని (x - y) వదిలి, మిగిలిన రెండు వ్యక్తీకరణలను బ్రాకెట్లలో గుణిద్దాం:

x 4 - y 4 = (x 2 + y 2)(x + y)(x - y) = (x - y)(x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3)

(x - y) ఎందుకు ఎంచుకోవాలి అనేది తరువాత చూపబడుతుంది. కాబట్టి, శక్తి వ్యక్తీకరణల వ్యత్యాసానికి మేము మరొక సూత్రాన్ని కనుగొన్నాము. ఈ సమానత్వాన్ని వ్యక్తీకరించడం చాలా కష్టం - అయినప్పటికీ, చతురస్రాలు మరియు ఘనాల మధ్య వ్యత్యాసాన్ని నిర్ణయించడానికి ఇది చాలా తార్కికంగా అనేక సారూప్య సూత్రాలకు సరిపోతుందని అర్థం చేసుకోవడం విలువ. సాధారణ నమూనాలను కనుగొనడానికి ఈ సూత్రాలను ఒకదానితో ఒకటి సరిపోల్చండి:

x 2 - y 2 = (x - y)(x + y)

x 3 - y 3 = (x - y)(x 2 + 2xy + y 2)

x 4 - y 4 = (x - y)(x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3)

వేరియబుల్స్‌లో వివిధ స్థాయిలలో తేడాలు కొన్ని నమూనాలను కలిగి ఉన్నాయని వీడియో స్పష్టంగా చూపిస్తుంది. సమానత్వం యొక్క కుడి వైపున ఉన్న అన్ని వ్యక్తీకరణలు రెండు బహుపదిల ఉత్పత్తిని కలిగి ఉంటాయి మరియు వాటిలో ఒకటి ఎల్లప్పుడూ x - y (వ్యక్తీకరణల అసలు వ్యత్యాసం) రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది. రెండవది నిర్దిష్ట సంక్లిష్ట బహుపది ద్వారా ఏర్పడుతుంది, వీటిలో మోనోమియల్‌ల సంఖ్య డిగ్రీతో పెరుగుతుంది.

ఏదైనా డిగ్రీతో వేరియబుల్స్ యొక్క వ్యత్యాసాన్ని బహుపదిల ఉత్పత్తిగా మార్చడంలో సహాయపడే సాధారణ సూత్రాన్ని పొందేందుకు, ప్రారంభ క్రమంలో సమానత్వంలో సాధారణ పోకడలను అర్థం చేసుకోవడం చాలా ముఖ్యం. మా ఉత్పత్తిలోని రెండవ బహుపది రెండు వ్యక్తీకరణల జత వైపు ఉత్పత్తుల మొత్తం అని గమనించండి. అంతేకాకుండా, వేరియబుల్స్ యొక్క డిగ్రీలు విలోమ సంబంధంలో ఉంటాయి. ఈ నమూనాలను సులభంగా అర్థం చేసుకోవడానికి, నాల్గవ డిగ్రీ యొక్క వ్యక్తీకరణల వ్యత్యాసం కోసం సమానత్వాన్ని ఈ విధంగా తిరిగి వ్రాస్దాం:

x 4 - y 4 = (x - y)(x 3 y 0 + x 2 y 1 + x 1 y 2 + x 0 y 3)

సున్నా శక్తికి ఏదైనా సంఖ్య తప్పనిసరిగా ఒకదానికి సమానం. అందువల్ల, మీరు ఏదైనా నిజమైన వేరియబుల్‌కు సున్నా డిగ్రీతో నిర్మాణాన్ని సురక్షితంగా జోడించవచ్చు. ఏదైనా వేరియబుల్‌కు డిగ్రీ ఉందని కూడా మేము గుర్తుంచుకోవాలి - అది పేర్కొనబడకపోతే, అది ఒకదానికి సమానం. డిగ్రీలను నిర్వహించడానికి ఈ నియమాలు సమానత్వాన్ని మరింత అర్థమయ్యే రూపంలో ప్రదర్శించడం సాధ్యం చేశాయి.

దయచేసి రెండవ బ్రాకెట్ల యొక్క బహుపదిలోని పదాల సంఖ్య ప్రధాన డిగ్రీకి సమానం (తేడాలోని వేరియబుల్స్ కలిగి ఉంటాయి). బహుపది శ్రేణి ప్రకారం, ఒక వ్యక్తీకరణ యొక్క డిగ్రీ బీజగణితంలో తగ్గుతుంది మరియు రెండవది పెరుగుతుంది. ఈ సందర్భంలో, డిగ్రీల కోసం తీవ్ర పాయింట్లు 0 మరియు వ్యక్తీకరణల ప్రారంభ వ్యత్యాసం యొక్క అత్యధిక డిగ్రీ.

ఈ పరిగణనలను ఉపయోగించి, మేము ఐదవ డిగ్రీ యొక్క వ్యక్తీకరణల వ్యత్యాసాన్ని కనుగొనడానికి ఒక సూత్రాన్ని పొందుతాము:

x 5 - y 5 = (x - y)(x 4 y 0 + x 3 y 1 + x 2 y 2 + x 1 y 3 + x 0 y 4)

ప్రారంభించడానికి, మేము మార్పులు లేకుండా మొదటి కారకాన్ని (x - y) వ్రాస్తాము. రెండవ బహుపది ఐదు మూలకాల మొత్తాన్ని (అత్యున్నత స్థాయికి) సూచిస్తుంది. మూలకాలు, బీజగణిత, విలోమ మరియు శక్తులలో పరస్పర సంబంధం ఉన్న మార్పులతో వేరియబుల్స్ యొక్క ఉత్పత్తి ద్వారా ఏర్పడతాయి. బహుపదిలో:

x 4 y 0 + x 3 y 1 + x 2 y 2 + x 1 y 3 + x 0 y 4

x డిగ్రీని 4 నుండి 0కి తగ్గిస్తుంది, y 0 నుండి 4కి పెరుగుతుంది. స్వీయ-పరీక్ష కోసం, ఏదైనా మోనోమియల్ యొక్క డిగ్రీల మొత్తం, ఈ సందర్భంలో, అదే అత్యధిక డిగ్రీకి సమానంగా ఉంటుందని తెలుసుకోవడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది - 5 .

సున్నా డిగ్రీలను వదిలించుకోవడం ద్వారా సూత్రాన్ని సరిగ్గా వ్రాయడం మాత్రమే మిగిలి ఉంది:

x 5 - y 5 = (x - y)(x 4 + x 3 y + x 2 y 2 + xy 3 + y 4)

సాధారణ పరంగా, ఏదైనా డిగ్రీ n సమానత్వం నిజం:

(x) n - (y) n = (x - y)((x) n + (x) n-1 y…+x(y) n - 1 + y n)

n వ వ్యత్యాసంతో రెండు వ్యక్తీకరణల మొత్తాన్ని కనుగొనడానికి సార్వత్రిక సూత్రం రూపం యొక్క పరివర్తన ద్వారా ఉద్భవించింది:

x n + y n = x n - (-y n)

పైన పొందిన వ్యక్తీకరణల వ్యత్యాసం కోసం సూత్రాన్ని ఉపయోగించి, మేము సమానత్వాన్ని పొందుతాము:

x n + y n = x n - (-y n) = (x + y)((x) n-1 - (x) n-2 y…- x(y) n - 2 + y n-1)

ఏదైనా వ్యక్తీకరణ యొక్క స్క్వేర్ దాని ప్రతికూలతను తొలగిస్తుంది అనే వాస్తవం కారణంగా, రెండు బహుపదాల ఉత్పత్తిగా వేరియబుల్స్ యొక్క చతురస్రాల మొత్తాన్ని (లేదా ఏదైనా కూడా శక్తులు) సూచించడం ప్రాప్యత మార్గాల ద్వారా అసాధ్యం.

బహుపదిని కారకం. 1 వ భాగము

కారకంసంక్లిష్ట సమీకరణాలు మరియు అసమానతలను పరిష్కరించడంలో సహాయపడే సార్వత్రిక సాంకేతికత. కుడి వైపున సున్నా ఉన్న సమీకరణాలు మరియు అసమానతలను పరిష్కరించేటప్పుడు గుర్తుంచుకోవలసిన మొదటి ఆలోచన ఎడమ వైపు కారకం చేయడానికి ప్రయత్నించడం.

ప్రధాన జాబితా చేద్దాం బహుపదిని కారకం చేసే మార్గాలు:

• బ్రాకెట్ల నుండి సాధారణ కారకాన్ని ఉంచడం
• సంక్షిప్త గుణకార సూత్రాలను ఉపయోగించడం
• ఒక క్వాడ్రాటిక్ ట్రినోమియల్‌ను ఫ్యాక్టరింగ్ చేయడానికి సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం
• సమూహ పద్ధతి
• ద్విపద ద్వారా బహుపదిని విభజించడం
• అనిశ్చిత గుణకాల పద్ధతి

ఈ వ్యాసంలో మేము మొదటి మూడు పద్ధతులపై వివరంగా నివసిస్తాము; మిగిలిన వాటిని తదుపరి కథనాలలో పరిశీలిస్తాము.

1. బ్రాకెట్ల నుండి సాధారణ కారకాన్ని తీసుకోవడం.

బ్రాకెట్ల నుండి సాధారణ కారకాన్ని తీసుకోవడానికి, మీరు మొదట దాన్ని కనుగొనాలి. సాధారణ గుణకం కారకంఅన్ని కోఎఫీషియంట్స్ యొక్క గొప్ప సాధారణ విభజనకు సమానం.

లేఖ భాగంసాధారణ కారకం చిన్న ఘాతాంకంతో ప్రతి పదంలో చేర్చబడిన వ్యక్తీకరణల ఉత్పత్తికి సమానం.

సాధారణ గుణకాన్ని కేటాయించే పథకం ఇలా కనిపిస్తుంది:

శ్రద్ధ!
బ్రాకెట్లలోని పదాల సంఖ్య అసలు వ్యక్తీకరణలోని పదాల సంఖ్యకు సమానం. పదాలలో ఒకటి సాధారణ కారకంతో సమానంగా ఉంటే, దానిని సాధారణ కారకంతో విభజించినప్పుడు, మనకు ఒకటి వస్తుంది.

ఉదాహరణ 1.

బహుపది కారకం:

బ్రాకెట్ల నుండి సాధారణ కారకాన్ని తీసుకుందాం. దీన్ని చేయడానికి, మేము మొదట దాన్ని కనుగొంటాము.

1. బహుపది యొక్క అన్ని కోఎఫీషియంట్స్ యొక్క గొప్ప సాధారణ విభజనను కనుగొనండి, అనగా. సంఖ్యలు 20, 35 మరియు 15. ఇది 5కి సమానం.

2. వేరియబుల్ అన్ని నిబంధనలలో ఉందని మరియు దాని ఘాతాంకాలలో చిన్నది 2కి సమానం అని మేము నిర్ధారిస్తాము. వేరియబుల్ అన్ని నిబంధనలలో ఉంటుంది మరియు దాని ఘాతాంకాలలో చిన్నది 3.

వేరియబుల్ రెండవ పదంలో మాత్రమే ఉంటుంది, కాబట్టి ఇది సాధారణ అంశంలో భాగం కాదు.

కాబట్టి మొత్తం అంశం

3. మేము పైన ఇచ్చిన రేఖాచిత్రాన్ని ఉపయోగించి బ్రాకెట్ల నుండి గుణకాన్ని తీసుకుంటాము:

ఉదాహరణ 2.సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి:

పరిష్కారం. సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపు కారకం చేద్దాం. బ్రాకెట్ల నుండి కారకాన్ని తీసుకుందాం:

కాబట్టి మేము సమీకరణాన్ని పొందుతాము

ప్రతి కారకాన్ని సున్నాకి సమం చేద్దాం:

మేము పొందుతాము - మొదటి సమీకరణం యొక్క మూలం.

మూలాలు:

సమాధానం: -1, 2, 4

2. సంక్షిప్త గుణకార సూత్రాలను ఉపయోగించి కారకం.

మనం కారకం చేయబోయే బహుపదిలోని పదాల సంఖ్య మూడు కంటే తక్కువ లేదా సమానంగా ఉంటే, మేము సంక్షిప్త గుణకార సూత్రాలను వర్తింపజేయడానికి ప్రయత్నిస్తాము.

1. బహుపది ఉంటేరెండు పదాల వ్యత్యాసం, అప్పుడు మేము దరఖాస్తు చేయడానికి ప్రయత్నిస్తాము చదరపు తేడా సూత్రం:

లేదా ఘనాల ఫార్ములా తేడా:

ఇక్కడ అక్షరాలు ఉన్నాయి మరియు సంఖ్య లేదా బీజగణిత వ్యక్తీకరణను సూచిస్తాయి.

2. బహుపది అనేది రెండు పదాల మొత్తం అయితే, బహుశా దానిని ఉపయోగించి కారకం చేయవచ్చు ఘనాల సూత్రాల మొత్తం:

3. బహుపది మూడు పదాలను కలిగి ఉంటే, మేము దరఖాస్తు చేయడానికి ప్రయత్నిస్తాము చదరపు మొత్తం సూత్రం:

లేదా స్క్వేర్డ్ తేడా ఫార్ములా:

లేదా మేము కారకం చేయడానికి ప్రయత్నిస్తాము ఒక క్వాడ్రాటిక్ ట్రినోమియల్ ఫ్యాక్టరింగ్ కోసం సూత్రం:

ఇక్కడ మరియు చతుర్భుజ సమీకరణం యొక్క మూలాలు

ఉదాహరణ 3.వ్యక్తీకరణకు కారకం:

పరిష్కారం. మన ముందు రెండు పదాల మొత్తం ఉంది. ఘనాల మొత్తానికి సూత్రాన్ని వర్తింపజేయడానికి ప్రయత్నిద్దాం. దీన్ని చేయడానికి, మీరు మొదట ప్రతి పదాన్ని కొంత వ్యక్తీకరణ యొక్క క్యూబ్‌గా సూచించాలి, ఆపై ఘనాల మొత్తానికి సూత్రాన్ని వర్తింపజేయాలి:

ఉదాహరణ 4.వ్యక్తీకరణకు కారకం:

నిర్ణయం. ఇక్కడ మనకు రెండు వ్యక్తీకరణల చతురస్రాల వ్యత్యాసం ఉంది. మొదటి వ్యక్తీకరణ: , రెండవ వ్యక్తీకరణ:

చతురస్రాల వ్యత్యాసం కోసం సూత్రాన్ని వర్తింపజేద్దాం:

బ్రాకెట్లను తెరిచి, సారూప్య పదాలను జోడిద్దాం, మనకు లభిస్తుంది:

బహుపదిని ఎలా కారకం చేయాలో నిర్దిష్ట ఉదాహరణలను చూద్దాం.

మేము అనుగుణంగా బహుపదిలను విస్తరిస్తాము.

ఫాక్టర్ బహుపదిలు:

సాధారణ అంశం ఉందో లేదో తనిఖీ చేద్దాం. అవును, ఇది 7cdకి సమానం. బ్రాకెట్ల నుండి తీసుకుందాం:

కుండలీకరణాల్లోని వ్యక్తీకరణ రెండు పదాలను కలిగి ఉంటుంది. ఇకపై సాధారణ అంశం లేదు, వ్యక్తీకరణ అనేది ఘనాల మొత్తానికి సూత్రం కాదు, అంటే కుళ్ళిపోవడం పూర్తయింది.

సాధారణ అంశం ఉందో లేదో తనిఖీ చేద్దాం. నం. బహుపది మూడు పదాలను కలిగి ఉంటుంది, కాబట్టి మేము పూర్తి చతురస్రానికి ఫార్ములా ఉందో లేదో తనిఖీ చేస్తాము. రెండు పదాలు వ్యక్తీకరణల వర్గాలు: 25x²=(5x)², 9y²=(3y)², మూడవ పదం ఈ వ్యక్తీకరణల యొక్క డబుల్ ఉత్పత్తికి సమానం: 2∙5x∙3y=30xy. అంటే ఈ బహుపది పరిపూర్ణ చతురస్రం. డబుల్ ఉత్పత్తికి మైనస్ గుర్తు ఉన్నందున, ఇది:

బ్రాకెట్ల నుండి సాధారణ కారకాన్ని తీసుకోవడం సాధ్యమేనా అని మేము తనిఖీ చేస్తాము. ఒక సాధారణ కారకం ఉంది, ఇది a కి సమానం. బ్రాకెట్ల నుండి తీసుకుందాం:

బ్రాకెట్లలో రెండు పదాలు ఉన్నాయి. చతురస్రాల వ్యత్యాసం లేదా ఘనాల భేదం కోసం ఫార్ములా ఉందా అని మేము తనిఖీ చేస్తాము. a² అనేది a యొక్క వర్గము, 1=1². దీనర్థం బ్రాకెట్లలోని వ్యక్తీకరణను స్క్వేర్స్ ఫార్ములా తేడాను ఉపయోగించి వ్రాయవచ్చు:

ఒక సాధారణ కారకం ఉంది, అది 5కి సమానం. దానిని బ్రాకెట్ల నుండి తీసుకుందాం:

బ్రాకెట్లలో మూడు పదాలు ఉన్నాయి. వ్యక్తీకరణ ఖచ్చితమైన చతురస్రాకారంలో ఉందో లేదో మేము తనిఖీ చేస్తాము. రెండు పదాలు చతురస్రాలు: 16=4² మరియు a² - a యొక్క వర్గము, మూడవ పదం 4 యొక్క డబుల్ ఉత్పత్తికి సమానం మరియు a: 2∙4∙a=8a. అందువలన, ఇది ఒక ఖచ్చితమైన చతురస్రం. అన్ని పదాలు "+" గుర్తును కలిగి ఉన్నందున, కుండలీకరణాల్లోని వ్యక్తీకరణ మొత్తం యొక్క ఖచ్చితమైన వర్గంగా ఉంటుంది:

మేము బ్రాకెట్ల నుండి సాధారణ గుణకం -2xని తీసుకుంటాము:

కుండలీకరణాల్లో రెండు పదాల మొత్తం. మేము ఈ వ్యక్తీకరణ ఘనాల మొత్తం కాదా అని తనిఖీ చేస్తాము. 64=4³, x³- క్యూబ్ x. ఫార్ములా ఉపయోగించి ద్విపదను విస్తరించవచ్చని దీని అర్థం:

ఒక సాధారణ గుణకం ఉంది. కానీ, బహుపది 4 పదాలను కలిగి ఉన్నందున, మేము మొదట, ఆపై మాత్రమే, బ్రాకెట్ల నుండి సాధారణ కారకాన్ని తీసుకుంటాము. మొదటి పదాన్ని నాల్గవదానితో మరియు రెండవదాన్ని మూడవదానితో సమూహపరుద్దాం:

మొదటి బ్రాకెట్ల నుండి మేము సాధారణ కారకం 4a ను తీసుకుంటాము, రెండవది - 8b:

ఇంకా సాధారణ గుణకం లేదు. దాన్ని పొందడానికి, మేము రెండవ బ్రాకెట్ల నుండి "-"ని తీసివేస్తాము మరియు బ్రాకెట్లలోని ప్రతి గుర్తు విరుద్ధంగా మారుతుంది:

ఇప్పుడు బ్రాకెట్ల నుండి సాధారణ కారకాన్ని (1-3a) తీసుకుందాం:

రెండవ బ్రాకెట్లలో ఒక సాధారణ కారకం 4 ఉంది (ఉదాహరణ ప్రారంభంలో మేము బ్రాకెట్ల నుండి బయట పెట్టని అదే అంశం):

బహుపది నాలుగు పదాలను కలిగి ఉంటుంది కాబట్టి, మేము సమూహాన్ని చేస్తాము. మొదటి పదాన్ని రెండవ దానితో, మూడవది నాల్గవ పదంతో సమూహాన్ని చేద్దాం:

మొదటి బ్రాకెట్లలో సాధారణ కారకం లేదు, కానీ చతురస్రాల వ్యత్యాసానికి ఒక సూత్రం ఉంది, రెండవ బ్రాకెట్లలో సాధారణ కారకం -5:

ఒక సాధారణ గుణకం కనిపించింది (4m-3n). సమీకరణం నుండి బయటకు తీసుకుందాం.

బహుపది అనేది మోనోమియల్‌ల మొత్తంతో కూడిన వ్యక్తీకరణ. రెండవది k యొక్క శక్తికి వ్యక్తీకరణ యొక్క స్థిరమైన (సంఖ్య) మరియు మూలం (లేదా మూలాలు) యొక్క ఉత్పత్తి. ఈ సందర్భంలో, మేము డిగ్రీ k యొక్క బహుపది గురించి మాట్లాడుతాము. బహుపది యొక్క విస్తరణ వ్యక్తీకరణ యొక్క పరివర్తనను కలిగి ఉంటుంది, దీనిలో పదాలు కారకాల ద్వారా భర్తీ చేయబడతాయి. ఈ రకమైన పరివర్తనను నిర్వహించడానికి ప్రధాన మార్గాలను పరిశీలిద్దాం.

ఒక సాధారణ కారకాన్ని వేరుచేయడం ద్వారా బహుపదిని విస్తరించే పద్ధతి

ఈ పద్ధతి పంపిణీ చట్టం యొక్క చట్టాలపై ఆధారపడి ఉంటుంది. కాబట్టి, mn + mk = m * (n + k).

• ఉదాహరణ: 7y 2 + 2uy మరియు 2m 3 - 12m 2 + 4lm విస్తరించండి.

7y 2 + 2uy = y * (7y + 2u),

2m 3 - 12m 2 + 4lm = 2m(m 2 - 6m + 2l).

అయినప్పటికీ, ప్రతి బహుపదిలో తప్పనిసరిగా ఉండే అంశం ఎల్లప్పుడూ కనుగొనబడకపోవచ్చు, కాబట్టి ఈ పద్ధతి సార్వత్రికమైనది కాదు.

సంక్షిప్త గుణకార సూత్రాల ఆధారంగా బహుపది విస్తరణ పద్ధతి

సంక్షిప్త గుణకార సూత్రాలు ఏదైనా డిగ్రీ యొక్క బహుపదిలకు చెల్లుబాటు అవుతాయి. సాధారణంగా, పరివర్తన వ్యక్తీకరణ ఇలా కనిపిస్తుంది:

u k – l k = (u – l)(u k-1 + u k-2 * l + u k-3 *l 2 + … u * l k-2 + l k-1), ఇక్కడ k అనేది ప్రతినిధి సహజ సంఖ్యలు.

ఆచరణలో చాలా తరచుగా ఉపయోగించే సూత్రాలు రెండవ మరియు మూడవ ఆర్డర్‌ల బహుపదాల కోసం:

u 2 – l 2 = (u – l)(u + l),

u 3 – l 3 = (u – l)(u 2 + ul + l 2),

u 3 + l 3 = (u + l)(u 2 – ul + l 2).

• ఉదాహరణ: 25p 2 – 144b 2 మరియు 64m 3 – 8l 3ని విస్తరించండి.

25p 2 – 144b 2 = (5p – 12b)(5p + 12b),

64m 3 – 8l 3 = (4m) 3 – (2l) 3 = (4m – 2l)((4m) 2 + 4m * 2l + (2l) 2) = (4m – 2l)(16m 2 + 8ml + 4l 2 )

బహుపది విస్తరణ పద్ధతి - వ్యక్తీకరణ నిబంధనలను సమూహపరచడం

ఈ పద్ధతి ఏదో ఒక విధంగా సాధారణ కారకాన్ని ఉత్పన్నం చేసే సాంకేతికతతో ఉమ్మడిగా ఉంటుంది, కానీ కొన్ని తేడాలు ఉన్నాయి. ప్రత్యేకించి, ఒక సాధారణ కారకాన్ని వేరు చేయడానికి ముందు, మోనోమియల్స్ సమూహం చేయబడాలి. సమూహ సమ్మేళన మరియు పరివర్తన చట్టాల నియమాలపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

వ్యక్తీకరణలో సమర్పించబడిన అన్ని మోనోమియల్‌లు సమూహాలుగా విభజించబడ్డాయి, వీటిలో ప్రతి ఒక్కటి సాధారణ విలువ ఇవ్వబడుతుంది, అన్ని సమూహాలలో రెండవ అంశం ఒకే విధంగా ఉంటుంది. సాధారణంగా, ఈ కుళ్ళిపోయే పద్ధతిని వ్యక్తీకరణగా సూచించవచ్చు:

pl + ks + kl + ps = (pl + ps) + (ks + kl) ⇒ pl + ks + kl + ps = p(l + s) + k(l + s),

pl + ks + kl + ps = (p + k)(l + s).

• ఉదాహరణ: 14mn + 16ln – 49m – 56l విస్తరించింది.

14మి.ని

బహుపది విస్తరణ పద్ధతి - పరిపూర్ణ చతురస్రాన్ని ఏర్పరుస్తుంది

బహుపది యొక్క విస్తరణలో ఈ పద్ధతి అత్యంత ప్రభావవంతమైనది. ప్రారంభ దశలో, వ్యత్యాసం లేదా మొత్తం యొక్క వర్గానికి "కూలిపోయే" మోనోమియల్‌లను గుర్తించడం అవసరం. దీన్ని చేయడానికి, సంబంధాలలో ఒకదాన్ని ఉపయోగించండి:

(p – b) 2 = p 2 – 2pb + b 2 ,

• ఉదాహరణ: u 4 + 4u 2 - 1 వ్యక్తీకరణను విస్తరించండి.

దాని మోనోమియల్‌లలో, మేము పూర్తి చతురస్రాన్ని రూపొందించే నిబంధనలను ఎంచుకుంటాము: u 4 + 4u 2 – 1 = u 4 + 2 * 2u 2 + 4 – 4 – 1 =

= (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) – 4 – 1 = (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) – 5.

సంక్షిప్త గుణకార నియమాలను ఉపయోగించి పరివర్తనను పూర్తి చేయండి: (u 2 + 2) 2 – 5 = (u 2 + 2 – √5)(u 2 + 2 + √5).

ఆ. u 4 + 4u 2 – 1 = (u 2 + 2 – √5)(u 2 + 2 + √5).