నిర్వచనం.పాయింట్ల లోకస్ అనేది ఒక నిర్దిష్ట ఆస్తిని కలిగి ఉన్న విమానంలోని అన్ని పాయింట్లను కలిగి ఉండే ఒక ఫిగర్.
సిద్ధాంతం.ఇవ్వబడిన రెండు బిందువుల నుండి సమాన దూరంలో ఉన్న బిందువుల స్థానం ఈ బిందువులను అనుసంధానించే విభాగానికి లంబంగా ద్విభాగంగా ఉంటుంది, అంటే, ఈ విభాగానికి లంబంగా మరియు దాని మధ్య బిందువు గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ.
రుజువు.
A మరియు B నుండి పాయింట్ C సమాన దూరంలో ఉండనివ్వండి. AB సెగ్మెంట్ యొక్క మధ్య బిందువు - పాయింట్ M ని గుర్తు చేద్దాం. త్రిభుజాలు ACM మరియు BCM మూడు వైపులా సమానంగా ఉంటాయి. AMC మరియు BMC కోణాలు సమానంగా ఉంటాయి మరియు సరళ కోణానికి జోడించబడతాయి. కాబట్టి అవి రెండూ 90°కి సమానం.
ఇవ్వబడిన రెండు బిందువుల నుండి సమాన దూరంలో ఉన్న అన్ని పాయింట్లు లంబ ద్విభాగంపై ఉన్నాయని మేము నిరూపించాము.
2) ABకి లంబంగా ఉండే ద్విసెక్టర్‌పై పాయింట్ C ఉండనివ్వండి. త్రిభుజాలు AMC మరియు BMC రెండు వైపులా సమానంగా ఉంటాయి, అంటే AC=BC.
సెగ్మెంట్‌కి లంబంగా ఉన్న ద్విభాగానికి సంబంధించిన అన్ని పాయింట్లు దాని చివరల నుండి సమాన దూరంలో ఉన్నాయని మేము నిరూపించాము.
ఈ విధంగా, ఇచ్చిన రెండు బిందువుల నుండి సమాన దూరంలో ఉన్న బిందువుల స్థానం మరియు ఈ బిందువులను కలిపే సెగ్మెంట్‌కు లంబంగా ఉన్న ద్వైపాక్షికం సమానంగా ఉంటాయి.
సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.
A (0; 0), B (a; 0), C (x; y). AC=CB.
2) సర్కిల్ (నిర్వచనం). వృత్తం యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించడానికి సూత్రం (అవుట్‌పుట్ లేకుండా). వృత్తాకార రంగం యొక్క ప్రాంతం కోసం సూత్రం యొక్క ఉత్పన్నం.
నిర్వచనం.వృత్తం అనేది ఒక సమతలంపై ఉన్న పాయింట్ల సమితి, ఇది ఇచ్చిన పాయింట్ నుండి ఇచ్చిన దాని కంటే ఎక్కువ దూరంలో ఉంది.
టికెట్ 8
1) త్రిభుజం (నిర్వచనం). త్రిభుజం యొక్క కోణాల మొత్తం మీద సిద్ధాంతం, ఆయిలర్ యొక్క సరళ రేఖ (రుజువు లేకుండా).
నిర్వచనం.త్రిభుజం అనేది ఒకే రేఖపై ఉండని 3 పాయింట్లు మరియు వాటిని జతలలో కలుపుతున్న 3 విభాగాలను కలిగి ఉన్న బొమ్మ.
సిద్ధాంతం.త్రిభుజం యొక్క కోణాల మొత్తం 180°.
రుజువు.
AC వైపు సమాంతరంగా B శీర్షం ద్వారా సరళ రేఖను గీయండి.
శిలువలా పడి ఉన్నాయి.
. అప్పుడు .
సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.
సిద్ధాంతం.త్రిభుజం యొక్క చుట్టుకొలత, దాని ఆర్థోసెంటర్, గురుత్వాకర్షణ కేంద్రం మరియు తొమ్మిది బిందువుల వృత్తం యొక్క కేంద్రం ఒక సరళ రేఖపై ఉంటాయి, దీనిని యూలర్ యొక్క సరళ రేఖ అని పిలుస్తారు. 
ఈ పాయింట్ల అక్షాంశాల ద్వారా రెండు పాయింట్ల మధ్య దూరాలు (అన్ని కేసులను పరిగణించండి).
a మరియు bని చేద్దాం, 
.
ఎందుకంటే కుడి త్రిభుజం,
టికెట్ 9
లంబ త్రిభుజాల సమానత్వం యొక్క చిహ్నాలు
లంబ త్రిభుజంలో రెండు కాళ్ల మధ్య కోణం నేరుగా ఉంటుంది మరియు ఏదైనా రెండు లంబ కోణాలు సమానంగా ఉంటాయి కాబట్టి, త్రిభుజాల సమానత్వం యొక్క మొదటి సంకేతం నుండి ఇది క్రింది విధంగా ఉంటుంది:
1) రెండు కాళ్లపై (మొదటి గుర్తు నుండి)
2) కాలు మరియు తీవ్రమైన కోణం వెంట (రెండవ మొదటి సంకేతం నుండి)
(ప్రక్కనే ఉన్న కోణం వ్యతిరేక కోణం ద్వారా స్పష్టంగా నిర్ణయించబడుతుంది కాబట్టి)
3) హైపోటెన్యూస్ మరియు అక్యూట్ యాంగిల్ ద్వారా
రుజువు.
అటువంటి త్రిభుజాలలో, ఇతర రెండు తీవ్రమైన కోణాలు కూడా సమానంగా ఉంటాయి, కాబట్టి త్రిభుజాల సమానత్వం యొక్క రెండవ సంకేతం ప్రకారం త్రిభుజాలు సమానంగా ఉంటాయి, అనగా, వైపు (హైపోటెన్యూస్) మరియు రెండు ప్రక్కనే ఉంటాయి.
ఆమె మూలలు.
సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.
4) హైపోటెన్యూస్ మరియు లెగ్ ద్వారా
రుజువు.
ABC మరియు A 1 B 1 C 1 త్రిభుజాలను పరిగణించండి, దీని కోణాలు C మరియు C 1 లంబ కోణాలు, AB = A 1 B 1 , BC = B 1 C 1 .
∠C=∠C 1 నుండి, ABC త్రిభుజం A 1 B 1 C 1పై సూపర్మోస్ చేయబడుతుంది, తద్వారా C శీర్షం C 1తో సమలేఖనం చేయబడుతుంది మరియు CA మరియు CB భుజాలు వరుసగా C 1 A 1 మరియు C 1 కిరణాలపై సూపర్మోస్ చేయబడతాయి. B 1 . CB=C 1 B 1 కాబట్టి, B శీర్షం B 1తో సమలేఖనం అవుతుంది.
కానీ A మరియు A 1 శీర్షాలు కూడా సమానంగా ఉంటాయి.
వాస్తవానికి, పాయింట్ A కిరణం C 1 A 1 యొక్క మరొక బిందువు A 2తో సమానంగా ఉంటుందని మేము ఊహిస్తే, మేము A 1 B 1 A 2 అనే సమద్విబాహు త్రిభుజాన్ని పొందుతాము, దీనిలో A 1 A 2 బేస్ వద్ద ఉన్న కోణాలు సమానంగా ఉండవు. (∠A 2 - అక్యూట్, a ∠A 1 అక్యూట్ యాంగిల్ B 1 A 1 C 1కి ప్రక్కనే ఉంటుంది). కానీ ఇది అసాధ్యం, కాబట్టి A మరియు A 1 శీర్షాలు సమానంగా ఉంటాయి.
పర్యవసానంగా, ABC మరియు A l B l C l త్రిభుజాలు పూర్తిగా అనుకూలంగా ఉంటాయి, అనగా అవి సమానంగా ఉంటాయి.
సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.
వృత్తం
నిర్వచనం.వృత్తం అనేది ఇచ్చిన దాని నుండి సమాన దూరంలో ఉన్న పాయింట్ల స్థానం.
మొత్తం వృత్తం పొడవు 2πR కాబట్టి, 1° ఆర్క్ పొడవు 2πR/360° = πR/180°కి సమానం.
కాబట్టి, పొడవు l సూత్రం ద్వారా వ్యక్తీకరించబడుతుంది:
టికెట్ 10
1) సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క చిహ్నాలు:
1. చతుర్భుజం యొక్క రెండు భుజాలు సమానంగా మరియు సమాంతరంగా ఉంటే, ఈ చతుర్భుజం సమాంతర చతుర్భుజం.
2వ ఆర్డర్ లైన్‌లతో సమస్యలు.
పాయింట్ల స్థానాన్ని ఎలా కనుగొనాలి?
ఈ వర్క్‌షాప్ ఉపన్యాసం యొక్క తార్కిక కొనసాగింపు రెండవ ఆర్డర్ లైన్లుమరియు దాని ప్రముఖ ప్రతినిధులు - దీర్ఘవృత్తాకారం, హైపర్బోలా మరియు పారాబొలా. ఈ రోజు మనం అనేక పనులతో కప్పబడిన పదార్థాన్ని ఏకీకృతం చేస్తాము మరియు అదనంగా, కొత్త సమాచారంతో “డమ్మీలను” ఓవర్‌లోడ్ చేయకుండా ఉండటానికి, నేను ఉద్దేశపూర్వకంగా మొదటి పాఠాలలో దాచిన జ్ఞానంతో సైద్ధాంతిక జ్ఞానాన్ని భర్తీ చేస్తాము. నిజం చెప్పాలంటే, నా కథనాలలోని మొదటి పేరాగ్రాఫ్‌లను ప్రయత్నించడాన్ని నేను ద్వేషిస్తున్నాను (ముఖ్యంగా స్పష్టమైన పాఠ్య ప్రణాళిక సిద్ధంగా ఉన్నప్పుడు), కాబట్టి కాఫీని కప్పుల్లో పోసి, సర్కిల్‌లో కూర్చుని, అర్హతలపై సమస్యలను చర్చించడానికి కొనసాగిద్దాం.
స్వతంత్ర మరియు పరీక్షా పనిలో కింది పనులు చాలా తరచుగా ఎదుర్కొంటారు:
– పాయింట్ల స్థానాన్ని కనుగొనండి(లేదా పాయింట్ల సమితికి సమీకరణాన్ని వ్రాయండి), వీటిలో ప్రతి ఒక్కటి నిర్దిష్ట విశ్లేషణాత్మక పరిస్థితులను సంతృప్తి పరుస్తుంది. వాస్తవానికి, ఈ సూత్రీకరణ సాధారణమైనది మరియు ఫలితం తప్పనిసరిగా ఒక పంక్తిగా ఉండాలి మరియు తప్పనిసరిగా రెండవ క్రమంలో ఉండాలి అనేది వాస్తవం కాదు. అయితే, పరిశీలనలో ఉన్న అంశం సందర్భంలో, ఈ మేజిక్ పదాలు దాదాపు ఎల్లప్పుడూ సమీకరణానికి జీవం పోస్తాయి దీర్ఘవృత్తం, వృత్తం, అతిశయోక్తులులేదా పారాబొలాస్.
సమాధానం: అవసరమైన పంక్తి అనేది వ్యాసార్థ బిందువు వద్ద కేంద్రం ఉన్న వృత్తం. నియమానుగుణ సమీకరణం: 
(లేదా 
తగ్గింపు పద్ధతిని బట్టి).
స్వతంత్ర పరిష్కారానికి ఇదే ఉదాహరణ:
సమస్య 2
బిందువుల సమితికి సమీకరణాన్ని వ్రాయండి, వీటిలో ప్రతిదానికి పాయింట్ల నుండి స్క్వేర్డ్ దూరాల మొత్తం 
20కి సమానం. లైన్ రకాన్ని నిర్ణయించండి, డ్రాయింగ్ చేయండి మరియు సమీకరణాన్ని కానానికల్ రూపంలోకి తీసుకురండి. foci యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను సూచించండి, ఏదైనా ఉంటే అసింప్టోట్‌ల సమీకరణాన్ని వ్రాయండి. వక్రత యొక్క విపరీతతను లెక్కించండి.
పాఠం చివరిలో సంక్షిప్త రూపకల్పన మరియు డ్రాయింగ్.
ఈ సమస్యను పరిష్కరించడానికి మేము విధానాన్ని క్రమబద్ధీకరించండి:
మొదటి అడుగులోకావలసిన పాయింట్ల సెట్‌కు చెందిన తెలియని కోఆర్డినేట్‌లతో ఒక పాయింట్‌ను పరిగణనలోకి తీసుకోవడం అవసరం, మరియు సమస్య పరిస్థితులను అర్థం చేసుకోండి. నియమం ప్రకారం, ఇది పాయింట్ "ఉమ్" నుండి ఇతర పాయింట్లు మరియు/లేదా ఇతర పంక్తులకు దూరాల గురించి అలాగే ఈ పొడవుల నిష్పత్తుల గురించి మాట్లాడుతుంది.
రెండవ దశలోమీరు అవసరమైన విభాగాల పొడవును కనుగొని, సమస్య యొక్క విశ్లేషణాత్మక స్థితికి అనుగుణంగా, ఒక సమీకరణాన్ని సృష్టించాలి.
మూడవ దశలోమేము ఫలిత సమీకరణాన్ని సులభతరం చేస్తాము. మొదట మేము దానిని సాధారణ రూపానికి తీసుకువస్తాము, ఆపై కానానికల్ రూపానికి దగ్గరగా ఉన్న రూపానికి తీసుకువస్తాము. కొన్ని సమస్యలలో, కానానికల్ సమీకరణం వెంటనే పొందబడుతుంది.
నాల్గవ మెట్టు మీద- డ్రాయింగ్.
ఐదవ తేదీన- కానానికల్ రూపానికి తగ్గింపు.
ఆరవ తేదీన- foci, లక్షణాలు, అసాధారణత. కానానికల్ రికార్డ్ నుండి వాటిని కనుగొనడం చాలా సౌకర్యవంతంగా ఉంటుందని నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను.
ఆచరణలో, చాలా తరచుగా తక్కువ పనులు ఉన్నాయి, కాబట్టి కొన్ని సందర్భాల్లో సమీకరణాన్ని కానానికల్ రూపానికి తగ్గించాల్సిన అవసరం లేదు మరియు అత్యంత కాంపాక్ట్ వెర్షన్‌లో డ్రాయింగ్ అవసరం లేదు - మీరు సమీకరణాన్ని సరళీకృతం చేసి లైన్‌కు పేరు పెట్టాలి. నేను సమస్యల యొక్క పరిస్థితులను ప్రత్యేకంగా "లోడ్" చేస్తాను, తద్వారా నమూనా పరిష్కారాలు "అన్ని సందర్భాలలో" అనుకూలంగా ఉంటాయి. అయినప్పటికీ, మేము ఎక్కువ పని చేయము మరియు మేము కొన్ని కొత్త కాక్టెయిల్‌లతో వేడెక్కుతాము:
సమస్య 3
బిందువుల సమితికి సమీకరణాన్ని వ్రాయండి, వీటిలో ప్రతిదానికి బిందువుకు దూరం యొక్క స్క్వేర్ ఆర్డినేట్ అక్షానికి దూరం యొక్క స్క్వేర్ కంటే 16 ఎక్కువగా ఉంటుంది.
పరిష్కారం: పాయింట్ కోరుకున్న సెట్‌కు చెందనివ్వండి. అప్పుడు:
గమనిక : ఖచ్చితంగా చెప్పాలంటే, షరతు యొక్క సూత్రీకరణకు అనుగుణంగా, మేము (అదే పొడవు) పరిగణించాలి, కానీ ఇందులో మరియు ఇతర సమస్యలలో మేము ఈ తార్కిక సరికానిని నిర్లక్ష్యం చేస్తాము.
ఒక బిందువు నుండి ఆర్డినేట్ అక్షానికి దూరం ఎంత? మీరు ఒక బిందువు నుండి రేఖకు దూరం కోసం ప్రామాణిక సూత్రాన్ని ఉపయోగించవచ్చు, కానీ మీరు మీ ఊహను కొద్దిగా ఉపయోగిస్తే, ఏ బిందువు నుండి అక్షానికి దూరం అని మీరు సులభంగా అర్థం చేసుకోవచ్చు. మాడ్యూల్దాని "X" అక్షాంశాలు: 
షరతు ప్రకారం మరో 16, కాబట్టి, కింది సమానత్వం చెల్లుతుంది: 
(లేదా 
)
ఈ విధంగా: 
గింజలను విప్పు: 
"X స్క్వేర్" తగ్గించబడింది మరియు, స్పష్టంగా, సమీకరణాన్ని కానానికల్ రూపానికి వీలైనంత దగ్గరగా తీసుకురావాలి:
– పారాబోలాబిందువు వద్ద శీర్షంతో, ఫోకల్ పరామితి.
సమాధానం: అవసరమైన పాయింట్ల సెట్ పారాబొలా
అదనంగా అవసరమైతే లైన్ సమీకరణాన్ని కానానికల్ రూపంలోకి తీసుకురండి, ఈ ఉదాహరణలో ఇది కేవలం చేయబడుతుంది:
1) పారాబొలా యొక్క సమీకరణాన్ని కోఆర్డినేట్‌ల మూలానికి కేంద్రం బదిలీ చేయడం ద్వారా దానిని కానానికల్ రూపంలోకి తీసుకువస్తాము:
2) పాయింట్ వద్ద కేంద్రంతో కొత్త దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌కు వెళ్దాం, అప్పుడు పారాబొలా యొక్క సమీకరణం రూపాన్ని తీసుకుంటుంది: .
నేను డ్రాయింగ్ అందించను, ఎందుకంటే పారాబోలామేము ఇప్పటికే మేము కోరుకున్నట్లు మార్చాము.
సమస్య 4
బిందువుల సమితికి ఒక సమీకరణాన్ని వ్రాయండి, వీటిలో ప్రతిదానికి బిందువుకు దూరం అబ్సిస్సాకు ఉన్న దూరానికి సమానంగా ఉంటుంది. డ్రాయింగ్ను అమలు చేయండి. సమీకరణాన్ని కానానికల్ రూపంలోకి తీసుకురండి.
నమూనా పరిష్కారంలో, చివరి పాయింట్ రెండు విధాలుగా అమలు చేయబడుతుంది.
వృత్తాలు (ముఖ్యంగా తరచుగా) మరియు పారాబొలాస్‌తో సమస్యలు కూడా పాఠశాల పాఠ్యాంశాల్లో కనిపిస్తాయి. బాగా, మా 18+ పార్టీ మరింత వేడిగా ఉంది - మీ జంపర్‌లు మరియు జాకెట్‌లను తీసివేయండి:
సమస్య 5
బిందువుల లోకస్ సమీకరణాన్ని కనుగొనండి, వీటిలో ప్రతిదానికి బిందువుకు దూరం మరియు రేఖకు దూరం యొక్క నిష్పత్తి స్థిరంగా మరియు సమానంగా ఉంటుంది. డ్రాయింగ్ చేయండి. లైన్ యొక్క సమీకరణాన్ని కానానికల్ రూపంలోకి తీసుకురండి, foci, విపరీతత, అసింప్టోట్‌లు మరియు డైరెక్టిక్స్‌లను కనుగొనండి (అవి ఉనికిలో ఉంటే).
పరిష్కారం: పాయింట్ కోరుకున్న పాయింట్ల సెట్‌కు చెందినదిగా ఉండనివ్వండి. సమస్య దూరం గురించి మాట్లాడుతుంది:
,
ఫలితంగా:
– దీర్ఘవృత్తాకారంమూలం వద్ద కేంద్రీకృతమై ఉంది, అర్ధ-అక్షాలు .
దయచేసి ఈ సూత్రీకరణ దీర్ఘవృత్తాకారాన్ని స్పష్టంగా నిర్వచిస్తుంది మరియు ఏదైనా జోడించడం అనవసరం.
కనుగొనబడిన దీర్ఘవృత్తాకారం, ఒక బిందువు మరియు సరళ రేఖను డ్రాయింగ్‌లో చిత్రీకరిద్దాం 
: 
ఇక్కడ రేఖాగణిత ధృవీకరణ కష్టం, కానీ మరోవైపు, ఇది అతీంద్రియమైనది కాదు. దీర్ఘవృత్తంలోని కొంత పాయింట్‌ను తీసుకుందాం; పరిగణలోకి తీసుకోవడం సులభమయిన మార్గం.
ఆమె కోసం: .
షరతు ప్రకారం, నిష్పత్తి తప్పనిసరిగా సమానంగా ఉండాలి.
మేము తనిఖీ చేస్తాము: 
, ఇది తనిఖీ చేయవలసిన అవసరం ఉంది.
ఆచరణలో, మీరు దీర్ఘవృత్తాకారంలో ఏదైనా బిందువును ఎంచుకోవచ్చు, పాలకుడితో దూరాలను కొలవవచ్చు, కాలిక్యులేటర్‌ని ఉపయోగించి విభజించి, ఫలితం సుమారుగా ఉండేలా చూసుకోవచ్చు.
ఈ సమస్యలో, లైన్ యొక్క సమీకరణం వెంటనే కానానికల్ రూపంలో డ్రా చేయబడింది, ఇది పరిష్కారాన్ని సులభతరం చేస్తుంది. ఇది ఫోకస్‌లు, విపరీతతతో వ్యవహరించడానికి మిగిలి ఉంది, లక్షణములుమరియు ప్రధానోపాధ్యాయులు.
దీర్ఘవృత్తాకారానికి ఎటువంటి లక్షణాలు లేవని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది.
లెక్కలు వేసి రాద్దాం దీర్ఘవృత్తాకార foci:
.
మొదటి దృష్టి పాయింట్‌తో ఏకీభవించింది.
విపరీతతను కనుగొనండి: . మరొక విచిత్రమైన యాదృచ్చికం ద్వారా, విపరీతత నిష్పత్తికి సమానంగా మారింది 
.
...అయితే ఇది యాదృచ్చికమా?
ప్రధానోపాధ్యాయురాలు, మీరు గురించి మెటీరియల్స్ నుండి గుర్తుంచుకోవాలి పారాబోలా, - ఇది నేరుగా. మరియు నేరుగా తీవ్రమైన అభిమానుల సైన్యంతో. ఇప్పుడు నేను Yandex ప్రశ్నల గణాంకాలను అధ్యయనం చేస్తున్నాను - ఒక నెలలో సుమారు 1000 మంది ప్రధానోపాధ్యాయుడితో పోర్న్ కోసం చూస్తున్నారు మరియు సుమారు 600 మంది జ్యామితి ప్రేమికులు ఆమెను ఫక్ చేయాలనే కోరికను వ్యక్తం చేశారు (ఏమీ కాదు =) బాగా, కొంటె వ్యక్తులు, దీర్ఘవృత్తాకారాన్ని చూసి అసూయపడండి రెండుప్రధానోపాధ్యాయులు!
నియమానుగుణంగా ఉన్న దీర్ఘవృత్తాకారంలో రెండు డైరెక్ట్‌రిక్స్‌లు ఉంటాయి, ఇవి సమీకరణాల ద్వారా ఇవ్వబడతాయి 
, ఇక్కడ "ఎప్సిలాన్" అనేది ఈ దీర్ఘవృత్తం యొక్క అసాధారణత.
మా హీరో కోసం: 
అది నిజం, మొదటి దర్శకురాలు ప్రత్యక్ష "డి"తో పూర్తిగా ఏకీభవించింది. అంతేకాకుండా, సమస్య ప్రకటన వాస్తవానికి విశ్లేషణాత్మక జ్యామితి యొక్క క్రింది సిద్ధాంతాన్ని పేర్కొంది:
దీర్ఘవృత్తాకారము వైఖరి 
అంటే, దేనికైనాదీర్ఘవృత్తాకారంలో ఒక బిందువు, ఫోకస్ నుండి దాని దూరం నుండి సమీప డైరెక్టిక్స్ వరకు ఉన్న దూరం యొక్క నిష్పత్తి ఖచ్చితంగా విపరీతతకు సమానంగా ఉంటుంది: 
.
సెకండ్ ఫోకస్ మరియు సెకండ్ డైరెక్ట్‌రిక్స్‌తో కథ సారూప్యంగా ఉంటుంది, మనం దీర్ఘవృత్తాకారంలో ఏ బిందువును తీసుకున్నా, కింది సంబంధం నిజం అవుతుంది: 
సమాధానం: అవసరమైన పాయింట్ల స్థానం foci తో దీర్ఘవృత్తాకారం 
మరియు అసాధారణత. డైరెక్ట్రిక్స్ సమీకరణాలు: .
DIY పరిష్కారానికి ఇదే ఉదాహరణ:
సమస్య 6
బిందువుల లోకస్ సమీకరణాన్ని కనుగొనండి, వీటిలో ప్రతిదానికి బిందువుకు దూరం మరియు రేఖకు దూరం యొక్క నిష్పత్తి స్థిరంగా మరియు సమానంగా ఉంటుంది. డ్రాయింగ్ను పూర్తి చేయండి. రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని కానానికల్ రూపంలోకి తీసుకురండి, foci, విపరీతత, అసింప్టోట్‌లు మరియు డైరెక్టిక్స్‌లు ఉంటే వాటిని కనుగొనండి.
నమూనా పరిష్కారంలో, ముగింపు రెండు విధాలుగా అమలు చేయబడుతుంది; మీ ఉన్నత గణిత కోర్సులో మరింత సముచితమైన సంస్కరణను ఎంచుకోండి.
మా పార్టీ పూర్తి స్వింగ్‌లో ఉంది మరియు మన చుట్టూ చాలా ఆసక్తికరమైన విషయాలు జరుగుతున్నాయి, కొన్నిసార్లు దాని గురించి మాట్లాడటానికి కూడా ఇబ్బందిగా ఉంటుంది =) రాకింగ్ చేస్తూనే ఉందాం!
సమస్య 7
ఒక పంక్తి యొక్క సమీకరణాన్ని సృష్టించండి, వీటిలో ప్రతిదానికి పాయింట్లకు దూరాలు మరియు సంపూర్ణ విలువలో వ్యత్యాసం 8. సమీకరణాన్ని కానానికల్ రూపంలోకి తీసుకురండి మరియు డ్రాయింగ్ చేయండి. అసింప్టోట్‌లు, ఫోసిస్, ఎక్సెంట్రిసిటీస్ మరియు డైరెక్ట్‌రిక్స్‌లు ఉంటే వాటిని కనుగొనండి.
పరిష్కారం: పాయింట్ కోరుకున్న రేఖకు చెందినదిగా ఉండనివ్వండి. అప్పుడు: 
షరతు ప్రకారం: 
మార్గం ద్వారా, ఇది మీకు ఏదైనా గుర్తు చేస్తుందా? శ్రద్ధగల పాఠకులు ఇప్పటికే పంక్తిని నిర్ణయించారు ;-)
మూలాలు? మాడ్యూల్? మిమ్మల్ని మీరు కాల్చుకోండి! నాన్సెన్స్!
మొదటి మీరు రాడికల్స్ వదిలించుకోవటం అవసరం. వెంటనే స్క్వేర్ చేయడం చెడ్డ ఆలోచన కాబట్టి (ప్రయోగులు ప్రయత్నించవచ్చు), రింగ్ యొక్క మూలల్లో మూలాలను వ్యాప్తి చేద్దాం:
బాగా, ఇప్పుడు ఇది పూర్తిగా భిన్నమైన విషయం: 
విజయాలు ఉన్నాయి, కానీ ఒక రూట్ మిగిలి ఉంది. మన మాల్వేర్‌ను వదిలివేసి, సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపు వీలైనంత సరళీకృతం చేద్దాం: 
మేము రెండు భాగాలను మళ్లీ స్క్వేర్ చేస్తాము, మాడ్యూల్‌పై ప్రతీకారం ఏకకాలంలో మరియు పూర్తిగా ప్రశాంతంగా ఎలా పూర్తవుతుందో గమనించండి: 
అన్నింటినీ కుడివైపుకి విసిరి, సమీకరణాన్ని "విస్తరించండి": 
అందుకుంది సాధారణ రూపంలో 2వ ఆర్డర్ లైన్ సమీకరణం. మేము వేరియబుల్ "y" కోసం పూర్తి చతురస్రాన్ని ఎంచుకుంటాము; దీన్ని చేయడానికి, మేము బ్రాకెట్ నుండి "మైనస్ తొమ్మిది"ని తీసుకుంటాము:
ప్రదర్శించిన చర్య గురించి జాగ్రత్తగా ఆలోచించండి - ఒక సాధారణ ట్రిక్.
మేము వ్యత్యాసం యొక్క వర్గాన్ని సేకరిస్తాము మరియు స్థిరాంకాలను జోడిస్తాము: 
మీ కోసం చాలా. అన్ని సూచనల ప్రకారం, సోప్ ఒపెరా ముగిసి ఉండాలి అతిశయోక్తి, కానీ మాకు "అదనపు" మైనస్ ఉంది. బ్రాకెట్లను తనిఖీ చేసి తెరవండి (ఇది ఏ సందర్భంలో అయినా చేయడం మంచిది) ... లేదు, ప్రతిదీ సరైనది - మేము అసలు సాధారణ సమీకరణాన్ని పొందుతాము.
రెండు భాగాల సంకేతాలను మారుద్దాం:
ఇప్పటికే సత్యానికి దగ్గరగా ఉంది, కానీ “మైనస్” “స్థానంలో లేదు” అని తేలింది. అధ్యాయంలో భ్రమణం మరియు హైపర్బోలా యొక్క సమాంతర అనువాదంపైఈ వక్రరేఖ దాని కానానికల్ స్థానానికి సంబంధించి 90 డిగ్రీల భ్రమణానికి సంకేతం అని నేను చెప్పాను.
అయితే ముందుగా సమీకరణాన్ని ఖరారు చేద్దాం. రెండు వైపులా 144 ద్వారా విభజించండి: 
మరియు చివరి ఫైన్ ట్యూనింగ్: 
- ఇదిగో ఇది, సమస్య యొక్క పరిస్థితులను సంతృప్తిపరిచే దీర్ఘకాలంగా ఎదురుచూస్తున్న హైపర్బోలా ... వాస్తవానికి ఇది హైపర్బోలా యొక్క నిర్వచనం =)
షరతు ప్రకారం అవసరం మొదటసమీకరణాన్ని కానానికల్ రూపంలోకి తీసుకురండి, మరియు అప్పుడు మాత్రమేడ్రాయింగ్ పూర్తి చేయండి. బూడిద పదార్థం యొక్క మరిగే బిందువును మించకుండా ఉండటానికి, మేము సరళీకృత పథకాన్ని ఉపయోగిస్తాము. అయితే, కేసు ఇప్పటికీ సరళమైనది కాదు. మా వార్డు యొక్క సమరూపత కేంద్రం పాయింట్ వద్ద ఉంది మరియు అదనంగా, ఈ పాయింట్ చుట్టూ 90 డిగ్రీలు తిప్పబడుతుంది
మొదటి దశలో, మేము హైపర్బోలా యొక్క సమాంతర అనువాదాన్ని చేస్తాము 
SO - దీని కేంద్రం కోఆర్డినేట్‌ల మూలంలో ఉంటుంది. ఫలితం సమీకరణం అవుతుంది: .
రెండవ చర్య ఏమిటంటే, హైపర్బోలాను మూలం చుట్టూ 90 డిగ్రీలు తిప్పడం సెమీ-యాక్సెస్ యొక్క విలువలను మార్చుకోండి మరియు "మైనస్" ను "y" వేరియబుల్‌కు బదిలీ చేయండి:
సూత్రప్రాయంగా, కార్యకలాపాలు పరివర్తన చెందుతాయి, అనగా. మొదట పాయింట్ చుట్టూ తిప్పడం సాధ్యమైంది, ఆపై కేంద్రాన్ని మూలానికి తరలించడం సాధ్యమైంది.
అసిప్టోట్స్ గురించి మర్చిపోవద్దు 
, డ్రాయింగ్ చేద్దాం: 
మరోసారి: అసలు హైపర్బోలా ఎలా ఉంది 
? ఇది మూలాధారం చుట్టూ 90 డిగ్రీలు కానానికల్ హైపర్బోలాను తిప్పడం ద్వారా పొందబడుతుంది మరియు దానిని సమరూపత కేంద్రం ద్వారా బిందువుకు అక్షం 5 యూనిట్లు పైకి తరలించడం ద్వారా పొందబడుతుంది.
కానీ ఇచ్చిన సమీకరణంతో పనిచేయడం చాలా సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది. ఉపాయాలను కనుగొనండి: 
పైన జాబితా చేయబడిన పరివర్తనాల విషయంలో, వారు కేవలం పాయింట్లకు "తరలిస్తారు" 
సమస్య యొక్క పరిస్థితులు.
విపరీతతను గణిద్దాం:
ఒక దీర్ఘవృత్తాకారం వలె, ఒక హైపర్బోలా, రెండుప్రధానోపాధ్యాయులు. కానానికల్ సందర్భంలో, అవి హైపర్బోలా యొక్క శాఖల మధ్య ఉన్నాయి మరియు అదే సమీకరణాల ద్వారా ఇవ్వబడతాయి 
, ఇక్కడ "ఎప్సిలాన్" అనేది ఈ హైపర్బోలా యొక్క అసాధారణత.
ఈ ఉదాహరణలో: 
అంతేకాకుండా, హైపర్బోలా కోసం ఖచ్చితంగా అదే సిద్ధాంతం ఉంది:
హైపర్బోలా- అనేది విమానం యొక్క అన్ని పాయింట్ల సమితి వైఖరిఫోకస్ నుండి ప్రతి బిందువుకు దూరం వరకు దాని నుండి సంబంధిత (సమీప) డైరెక్టిక్స్ వరకు ఉన్న దూరం అసాధారణతకు సమానం: 
అంటే, దేనికైనాహైపర్బోలా యొక్క బిందువు, ఫోకస్ నుండి దాని దూరం నుండి సమీప డైరెక్టిక్స్ వరకు ఉన్న దూరం యొక్క నిష్పత్తి విపరీతతకు సమానం: 
.
జంటల కోసం మరియు ఏదైనాహైపర్‌బోలా యొక్క పాయింట్లు (వైవిధ్యం కోసం, నేను చాలా శాఖ యొక్క ప్రదర్శన పాయింట్‌ని ఎంచుకున్నాను) సంబంధం ఒకే విధంగా ఉంటుంది: 
మార్గం ద్వారా, పారాబొలాస్దాని ఏకైక దృష్టి మరియు ఏకైక డైరెక్టిక్స్‌తో, నిర్వచనం ప్రకారం, ఈ పొడవులు "ఒకటి నుండి ఒకటి"కి సంబంధించినవి, కాబట్టి ఏదైనా పారాబొలా యొక్క అసాధారణత ఒకదానికి సమానం.
సమాధానం: కోరుకున్న పంక్తి ఒక హైపర్బోలా 
ఒక బిందువు వద్ద సమరూపత కేంద్రం మరియు దాని నియమానుగుణ స్థానానికి సంబంధించి 90 డిగ్రీలు తిప్పబడుతుంది. సమీకరణం యొక్క నియమానుగుణ రూపం: , ఫోకస్ చేస్తుంది: 
, విపరీతత: , లక్షణాలు: 
, ప్రధానోపాధ్యాయులు: .
నేను నిజంగా ఉదాహరణను సరళీకృతం చేయాలనుకున్నాను, కానీ ఇది ఒక నిర్దిష్ట పని నుండి తీసుకోబడింది, కాబట్టి నేను మొండి పట్టుదలగల అన్ని సూక్ష్మబేధాలు మరియు పద్ధతుల ద్వారా వెళ్ళవలసి వచ్చింది. హానికరం అని నేను ప్రతి ఒక్కరికీ ఒక గ్లాసు పాలు పోస్తాను మరియు వారి స్వంతంగా పరిష్కరించుకోవడానికి వారికి ఒక పని ఇస్తాను:
సమస్య 8
బిందువుల లోకస్ సమీకరణాన్ని కనుగొనండి, వీటిలో ప్రతిదానికి బిందువుకు దూరం మరియు రేఖకు దూరం యొక్క నిష్పత్తి స్థిరంగా మరియు సమానంగా ఉంటుంది. ఖచ్చితమైన డ్రాయింగ్ చేయండి.
ఇది ఏ పాయింట్ మరియు పరిస్థితి ఏ లైన్ గురించి గుసగుసలాడుతుందో ఆలోచించండి ;-)
మేము పరిష్కారం మరియు డ్రాయింగ్ను వీరోచితంగా గుర్తించాము, దాని తర్వాత, స్వచ్ఛమైన ఆత్మ మరియు తేలికపాటి హృదయంతో, తాజా తలలు మరియు గులాబీ ముఖాలతో తదుపరి పాఠం కోసం మేల్కొలపడానికి మానిటర్‌ల దగ్గర మడత పడకలపై నిద్రపోతాము.
శుభ రాత్రి!
పరిష్కారాలు మరియు సమాధానాలు:
ఉదాహరణ 2: పరిష్కారం: పాయింట్ అవసరమైన పాయింట్ల సెట్‌కు చెందినదిగా ఉండనివ్వండి. అప్పుడు:
షరతు ప్రకారం:
లేదా:
సమీకరణాన్ని సులభతరం చేద్దాం:
పూర్తి చతురస్రాలను ఎంచుకుందాం:
- వ్యాసార్థ బిందువు వద్ద కేంద్రంతో వృత్తం
డ్రాయింగ్ చేద్దాం:
సమీకరణాన్ని కానానికల్ రూపంలోకి తీసుకువద్దాం.
1) విధానం ఒకటి
. అక్షాంశాల మూలానికి కేంద్రం ద్వారా సర్కిల్ యొక్క సమాంతర అనువాదాన్ని చేద్దాం: 
.
2) విధానం రెండు
. సమాంతర అనువాదాన్ని ఉపయోగించి, మేము అసలైన దాని నుండి కొత్త దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌కు మూలం పాయింట్ వద్దకు వెళ్తాము. అందువలన, ఒక వృత్తం యొక్క సమీకరణం కానానికల్ రూపంలో వ్రాయబడుతుంది: 
.
సమాధానం
: అవసరమైన బిందువుల సమీకరణం వ్యాసార్థ బిందువు వద్ద కేంద్రంతో వృత్తాన్ని నిర్దేశిస్తుంది. సమీకరణం యొక్క నియమానుగుణ రూపం: 
(లేదా 
పద్ధతిని బట్టి). సర్కిల్ యొక్క ఫోకల్ పాయింట్లు సమానంగా ఉంటాయి మరియు దాని మధ్యలో ఉన్నాయి. వృత్తానికి ఎటువంటి లక్షణాలు లేవు. ఏదైనా వృత్తం యొక్క విపరీతత సున్నా.
స్లయిడ్ శీర్షికలు:
పాఠం అంశం:
"పాయింట్ల రేఖాగణిత స్థానం." 9వ తరగతి ఉపాధ్యాయుడు గోర్డీవా N.M.
నాకు చెప్పండి మరియు నేను మరచిపోతాను, నన్ను చూపించు మరియు నేను గుర్తుంచుకుంటాను, నన్ను ఇన్వాల్వ్ చేయండి మరియు నేను అర్థం చేసుకుంటాను. (ప్రాచీన చైనీస్ జ్ఞానం)
పాఠం యొక్క ఉద్దేశ్యం:
"కోఆర్డినేట్ మెథడ్" అనే అంశంపై జ్ఞానాన్ని క్రమబద్ధీకరించండి మరియు లోతుగా చేయండి.
"ఒక పెద్ద శాస్త్రీయ ఆవిష్కరణ ఒక ప్రధాన సమస్యకు పరిష్కారాన్ని అందిస్తుంది, కానీ ఏదైనా సమస్య పరిష్కారంలో ఆవిష్కరణ ధాన్యం ఉంటుంది." (డియోర్జియర్ పోయాట్)
విధి:
నిర్దిష్ట ఆస్తిని కలిగి ఉన్న పాయింట్ల స్థానాన్ని కనుగొనండి (ఒక ఆవిష్కరణ చేయండి).
నిర్వచనం:
పాయింట్ల లోకస్ అనేది ఒక నిర్దిష్ట ఆస్తిని కలిగి ఉన్న విమానం యొక్క అన్ని పాయింట్లను కలిగి ఉండే ఫిగర్.
పాయింట్ల రేఖాగణిత స్థానం,
ఇచ్చిన పాయింట్ నుండి సమాన దూరంలో, ఉంది
వృత్తం.
పాయింట్ల రేఖాగణిత స్థానం,
ఇచ్చిన సెగ్మెంట్ చివరల నుండి సమాన దూరంలో ఉన్నాయి
ఈ భాగానికి లంబంగా ద్విభాగము.
పాయింట్ల రేఖాగణిత స్థానం,
ఇచ్చిన కోణం యొక్క భుజాల నుండి సమాన దూరంలో, ఉంది
ఈ కోణం యొక్క ద్విభాగము.
పాయింట్ల రేఖాగణిత స్థానం,
రెండు సమాంతర రేఖల నుండి సమాన దూరంలో ఉంది
వాటికి సమాంతరంగా ఒక పంక్తి, వాటి సాధారణ లంబంగా మధ్యలో గుండా వెళుతుంది (ఈ రేఖలకు టాంజెంట్ వృత్తాల కేంద్రాలు దానిపై ఉంటాయి).
పాయింట్ల రేఖాగణిత స్థానం,
ఇచ్చిన హైపోటెన్యూస్‌తో లంబ త్రిభుజాల శీర్షాలు ఉన్నాయి
హైపోటెన్యూస్‌పై వ్యాసంగా నిర్మించిన వృత్తం (హైపోటెన్యూస్ చివరలను మినహాయించి).
పాయింట్ల రేఖాగణిత స్థానం,
ఇచ్చిన రెండు పాయింట్ల నుండి దూరాల నిష్పత్తి స్థిరమైన విలువ
వృత్తం
(దీనిని అపోలోనియస్ సర్కిల్ అంటారు).
వ్యాయామం 1
చిత్రంలో AD=DB=2 సెం.మీ. దూరంలో ఉన్న పాయింట్ D నుండి తీసివేయబడిన ఇచ్చిన రేఖకు చెందిన పాయింట్ల రేఖాగణిత స్థానం ఏమిటి: a) 2 cmకి సమానం; బి) 2cm కంటే ఎక్కువ; c) 2cm కంటే ఎక్కువ కాదు.
a
బి
ఎ
డి
బి
పరిష్కారం:
ఎ
డి
బి
a
బి
ఎ
డి
బి
a
బి
ఎ
డి
బి
a
బి
టాస్క్ 2
అదే బొమ్మను ఉపయోగించి, 2 సెంటీమీటర్ల దూరంలో ఉన్న పాయింట్ D నుండి దూరంగా ఉన్న విమానంలో పాయింట్ల రేఖాగణిత స్థానం ఏమిటో నిర్ణయించండి; బి) 2cm కంటే ఎక్కువ; c) 2cm కంటే ఎక్కువ కాదు.
ఎ
డి
బి
a
బి
పరిష్కారం:
ఎ) D నుండి దూరం 2cm:
ఎ
డి
బి
a
బి
పరిష్కారం:
బి) D నుండి 2cm కంటే ఎక్కువ దూరం:
ఎ
డి
బి
a
బి
పరిష్కారం:
సి) D నుండి దూరం 2cm కంటే ఎక్కువ కాదు:
ఎ
డి
బి
a
బి
టాస్క్ 3
కోఆర్డినేట్ పద్ధతిని ఉపయోగించి, పరిస్థితిని సంతృప్తిపరిచే ఒక జత సంఖ్యలను కనుగొనండి
టాస్క్ 4
కోఆర్డినేట్ పద్ధతిని ఉపయోగించి, సమీకరణాల వ్యవస్థకు ప్రత్యేకమైన పరిష్కారం ఉందని నిరూపించండి:
టాస్క్ 5
సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరిచే GMTలను నిర్ణయించండి: a)
టాస్క్ 5
సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరిచే GMTలను నిర్ణయించండి: b)
టాస్క్ 5
సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరిచే GMTలను నిర్ణయించండి: సి)
టాస్క్ 5
సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరిచే GMTలను నిర్ణయించండి: d)
టాస్క్ 5
సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరిచే GMTలను నిర్ణయించండి: ఇ)
పారాబోలా పాయింట్ల లోకస్.
పారాబొలా అనేది ఇచ్చిన బిందువు నుండి మరియు ఇచ్చిన సరళ రేఖ నుండి సమాన దూరంలో ఉన్న పాయింట్ల స్థానం.
పారాబొలా నిర్మాణం.
ఫ్లవర్‌బెడ్‌ను ఎలా నాటాలి?
పాయింట్ల రేఖాగణిత స్థానం,
ఇచ్చిన రెండు పాయింట్ల దూరాల మొత్తం F1, F2 స్థిరమైన విలువ; F1F2 కంటే ఎక్కువ.
GMT నిర్మాణ ప్రణాళిక.
F1 మరియు F2 పాయింట్లకు బటన్‌లను ఉపయోగించి థ్రెడ్ చివరలను అటాచ్ చేయండి. పెన్సిల్ ఉపయోగించి, థ్రెడ్‌ను సాగదీయండి, తద్వారా దాని పాయింట్ కాగితాన్ని తాకుతుంది. మేము పెన్సిల్‌ను కాగితం వెంట కదిలిస్తాము, తద్వారా థ్రెడ్ గట్టిగా ఉంటుంది. పెన్సిల్‌తో గీతను గీయండి.
GMT నిర్మాణం
foci: a) ఒకదానికొకటి చేరుకుంటే దీర్ఘవృత్తాకారానికి ఏమి జరుగుతుంది; బి) ఒకదానికొకటి దూరంగా వెళ్లండి.
ఇచ్చిన రెండు పాయింట్ల దూరాల మొత్తం F1 మరియు F2: a) ఇచ్చిన విలువ 2a కంటే తక్కువగా ఉండే పాయింట్ల స్థానాన్ని కనుగొనండి; బి) ఇచ్చిన విలువ 2a కంటే ఎక్కువ.
HMT సమీకరణం
సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరిచే GMTలను నిర్ణయించండి:
HMT సమీకరణం
, అప్పుడు
- దీర్ఘవృత్తాకార సమీకరణం
సమాధానం: F1, F2
కోనిక్ విభాగాలు
కోనిక్ విభాగాలు
అపోలోనియస్ ఆఫ్ పెర్గా (II-III శతాబ్దాలు BC) - ప్రాచీన గ్రీకు గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు. అతి ముఖ్యమైన పని “శంఖాకార విభాగాలు”
కోనిక్ విభాగాలు
వారు పురాతన గ్రీకు జియోమీటర్లచే అధ్యయనం చేయబడ్డారు. శంఖాకార విభాగాల సిద్ధాంతం పురాతన జ్యామితి యొక్క పరాకాష్టలలో ఒకటి.ఈ పంక్తుల సమీకరణాలు చాలా కాలం తరువాత, కోఆర్డినేట్ పద్ధతిని ఉపయోగించడం ప్రారంభించినప్పుడు ఉద్భవించాయి.
రెండవ ఆర్డర్ వక్రతలు
వై
0
x
కోఆర్డినేట్ పద్ధతి, బీజగణితంతో కలిపి, విశ్లేషణాత్మక జ్యామితి అని పిలువబడే జ్యామితి శాఖను ఏర్పరుస్తుంది.
దీర్ఘవృత్తాకార విపరీతత
దాని పొడుగు స్థాయిని వర్ణిస్తుంది.
జర్మనీ ఖగోళ శాస్త్రవేత్త అయిన జోహన్నెస్ కెప్లర్ (1571 - 1630) కూడా, సౌర వ్యవస్థ యొక్క గ్రహాలు సూర్యుని చుట్టూ కదులుతున్నాయని గతంలో అనుకున్నట్లుగా, కానీ దీర్ఘవృత్తాకారంలో కాకుండా, సూర్యుడు ఈ దీర్ఘవృత్తాకార కేంద్రాలలో ఒకదానిలో ఉన్నాడని కనుగొన్నారు. .
ఖగోళ వస్తువుల కక్ష్యలు
వీనస్ నెప్ట్యూన్ ఎర్త్ ప్లూటో హాలీ యొక్క కామెట్
0,0068
0,0086
0,0167
0,253
0,967
మేము పాయింట్ల సమితికి సంబంధించిన సమస్యను పరిష్కరించాము మరియు ఈ GMT విశ్వానికి సంబంధించినది (మరియు ఇది ఒక సమస్య మాత్రమే!).
ఇంటి పని
పాయింట్ల లోకస్ కోసం ఒక సమీకరణాన్ని సృష్టించండి, దాని నుండి రెండు ఇవ్వబడిన పాయింట్ల దూరాల ఉత్పత్తి F1(-c; 0), F2(c; 0) స్థిరమైన విలువ a2. ఈ బిందువుల స్థానాన్ని కాస్సిని ఓవల్ అంటారు.
ఇంటి పని
పాయింట్ల లోకస్ కోసం సమీకరణాన్ని సృష్టించండి, దాని నుండి రెండు ఇవ్వబడిన పాయింట్ల దూరాల ఉత్పత్తి F1(-a; 0), F2(a; 0) స్థిరమైన విలువ a2. అటువంటి పాయింట్ల స్థానాన్ని లెమ్నిస్కేట్ అంటారు (ఫిగర్ చూడండి). (మొదట లెమ్నిస్కేట్ యొక్క సమీకరణాన్ని నేరుగా కనుగొనండి, ఆపై దానిని కాస్సిని ఓవల్ యొక్క ప్రత్యేక రకంగా పరిగణించండి).
పాఠాన్ని సంగ్రహించడం
పాయింట్ల రేఖాగణిత లోకస్ (ఇకపై GMT) అనేది ఒక నిర్దిష్ట ఆస్తిని కలిగి ఉన్న పాయింట్లను కలిగి ఉన్న విమానం యొక్క బొమ్మ, మరియు ఈ లక్షణం లేని ఒక్క పాయింట్‌ను కలిగి ఉండదు.
దిక్సూచి మరియు రూలర్‌ని ఉపయోగించి నిర్మించగల HMTలను మాత్రమే మేము పరిశీలిస్తాము.
విమానంలో HMTలను పరిశీలిద్దాం, ఇవి సరళమైన మరియు చాలా తరచుగా వ్యక్తీకరించబడిన లక్షణాలను కలిగి ఉంటాయి:
1) ఇచ్చిన పాయింట్ O నుండి ఇచ్చిన దూరం r వద్ద ఉన్న GMTలు వ్యాసార్థం r యొక్క పాయింట్ O వద్ద కేంద్రంతో కూడిన వృత్తం.
2) A మరియు B అనే రెండు పాయింట్ల నుండి సమాన దూరంలో ఉన్న GMT అనేది AB విభాగానికి లంబంగా మరియు దాని మధ్య గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ.
3) ఇచ్చిన రెండు ఖండన రేఖల నుండి సమాన దూరంలో ఉన్న GMT, ఖండన బిందువు గుండా ఒక జత పరస్పర లంబ రేఖలు ఉన్నాయి మరియు ఇచ్చిన రేఖల మధ్య కోణాలను సగానికి విభజిస్తాయి.
4) ఒక సరళ రేఖ నుండి అదే దూరం h వద్ద ఉన్న GMTలు ఈ సరళ రేఖకు సమాంతరంగా ఉండే రెండు సరళ రేఖలు మరియు ఇచ్చిన దూరం h వద్ద దానికి ఎదురుగా ఉంటాయి.
5) ఇచ్చిన బిందువు M వద్ద ఇచ్చిన పంక్తి mకి టాంజెంట్ సర్కిల్‌ల కేంద్రాల రేఖాగణిత స్థానం దానిపై M పాయింట్ వద్ద ABకి లంబంగా ఉంటుంది (పాయింట్ M మినహా).
6) ఇచ్చిన బిందువు M వద్ద ఇచ్చిన వృత్తానికి టాంజెంట్ వృత్తాల కేంద్రాల యొక్క రేఖాగణిత స్థానం M పాయింట్ మరియు ఇచ్చిన వృత్తం మధ్యలో (పాయింట్లు M మరియు O మినహా) గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ.
7) GMT, ఇచ్చిన సెగ్మెంట్ ఇచ్చిన కోణంలో కనిపిస్తుంది, ఇది ఇచ్చిన సెగ్మెంట్‌పై వివరించిన మరియు ఇచ్చిన కోణాన్ని కలిగి ఉన్న రెండు వృత్తాల ఆర్క్‌లను ఏర్పరుస్తుంది.
8) GMT, A మరియు B అనే రెండు పాయింట్ల నుండి దూరాలు m నిష్పత్తిలో ఉంటాయి: n, ఒక వృత్తం (అపోలోనియస్ సర్కిల్ అని పిలుస్తారు).
9) ఒక వృత్తం యొక్క ఒక బిందువు నుండి గీసిన తీగల మధ్య బిందువుల యొక్క రేఖాగణిత లోకస్ అనేది ఒక వ్యాసం వలె ఇచ్చిన వృత్తం యొక్క కేంద్రంతో ఇచ్చిన బిందువును కలుపుతూ ఒక విభాగంలో నిర్మించబడిన వృత్తం.
10) త్రిభుజాల శీర్షాల రేఖాగణిత స్థానం ఇవ్వబడిన దానికి సమానమైన పరిమాణం మరియు ఒక సాధారణ ఆధారాన్ని కలిగి ఉండే రెండు సరళ రేఖలు, ఆధారానికి సమాంతరంగా మరియు ఇచ్చిన త్రిభుజం యొక్క శీర్షం గుండా వెళుతుంది మరియు కలిగి ఉన్న సరళ రేఖకు సంబంధించి దానికి సుష్టంగా ఉంటుంది. మూలం.
GMTని కనుగొనే ఉదాహరణలను ఇద్దాం.
ఉదాహరణ 2.తీగల మధ్య బిందువులు అయిన GMTలను కనుగొనండి,ఇచ్చిన వృత్తం యొక్క ఒక పాయింట్ నుండి డ్రా చేయబడింది(GMT నం. 9).
పరిష్కారం . O కేంద్రంతో ఒక వృత్తాన్ని ఇవ్వనివ్వండి మరియు ఈ సర్కిల్‌లో తీగలు గీయబడిన పాయింట్ Aని ఎంచుకోనివ్వండి. కావలసిన GMT అనేది AO పై ఒక వ్యాసంగా (పాయింట్ A మినహా) నిర్మించబడిన వృత్తం అని చూపుదాం (Fig. 3).
AB ఒక తీగ మరియు M దాని మధ్య బిందువుగా ఉండనివ్వండి. M మరియు O లను కనెక్ట్ చేద్దాం. తర్వాత MO ^ AB (తీగను సగానికి విభజించే వ్యాసార్థం ఈ తీగకు లంబంగా ఉంటుంది). కానీ అప్పుడు RAMO = 90 0. దీని అర్థం M వ్యాసం AO (GMT నం. 7) కలిగిన సర్కిల్‌కు చెందినది. ఎందుకంటే ఈ వృత్తం O పాయింట్ గుండా వెళుతుంది, ఆపై O మన GMTకి చెందినది.
దీనికి విరుద్ధంగా, M మన GMTకి చెందినదిగా ఉండనివ్వండి. అప్పుడు, M ద్వారా AB తీగను గీయడం మరియు M మరియు Oని కనెక్ట్ చేయడం ద్వారా, మేము RAMO = 90 0ని పొందుతాము, అనగా. MO ^ AB, మరియు, అందువలన, M అనేది AB తీగ మధ్యలో ఉంటుంది. M అనేది Oతో కలిసినట్లయితే, O అనేది AC మధ్యలో ఉంటుంది.
తరచుగా కోఆర్డినేట్ పద్ధతి GMTని కనుగొనడానికి అనుమతిస్తుంది.
ఉదాహరణ 3.GMTలను కనుగొనండి, ఇవ్వబడిన రెండు పాయింట్ల నుండి దూరం A మరియు B ఇవ్వబడిన నిష్పత్తిలో m: n (m ≠ n).
పరిష్కారం . ఒక దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌ను ఎంచుకుందాం, తద్వారా పాయింట్లు A మరియు B మూలానికి సంబంధించి ఆక్స్ అక్షం మీద సుష్టంగా ఉంటాయి మరియు Oy అక్షం మధ్య AB గుండా వెళుతుంది (Fig. 4). AB = 2a లెట్. అప్పుడు పాయింట్ A కి కోఆర్డినేట్‌లు A (a, 0), పాయింట్ B కి కోఆర్డినేట్‌లు B (-a, 0) ఉన్నాయి. C మా HMTకి చెందినదిగా ఉండనివ్వండి, C(x, y) మరియు CB/CA = కోఆర్డినేట్‌లు m/n.కానీ 
అర్థం
(*)
మన సమానత్వాన్ని మార్చుకుందాం. మన దగ్గర ఉంది
పాఠ్య లక్ష్యాలు:
- విద్యా: పాయింట్ల రేఖాగణిత స్థానాన్ని నిర్మించడంలో సమస్యలను పరిష్కరించడానికి కొత్త పద్ధతిని చూపండి; సమస్యలను పరిష్కరించడంలో దాన్ని ఉపయోగించడం నేర్చుకోండి.
- అభివృద్ధి: దృశ్య మరియు అలంకారిక ఆలోచన అభివృద్ధి; అభిజ్ఞా ఆసక్తి.
- విద్యా: పనిని ప్లాన్ చేయగల సామర్థ్యాన్ని అభివృద్ధి చేయడం, దానిని నిర్వహించడానికి హేతుబద్ధమైన మార్గాల కోసం వెతకడం, ఒకరి అభిప్రాయాన్ని కారణంతో సమర్థించుకోవడం మరియు ఫలితాన్ని విమర్శనాత్మకంగా అంచనా వేయడం.
పాఠ్య లక్ష్యాలు:
- కొత్త మెటీరియల్ అధ్యయనం.
- విద్యార్థుల సమస్య పరిష్కార నైపుణ్యాలను పరీక్షించండి.
పాఠ్య ప్రణాళిక:
- నిర్వచనాలు.
- ఉదాహరణ 1.
- ఉదాహరణ 2.
- ఉదాహరణ 3.
- సైద్ధాంతిక భాగం.
- సాధారణ భావనలు.
పరిచయం.
గణిత రంగంలో పురాతన ఈజిప్షియన్ మరియు బాబిలోనియన్ సంస్కృతిని గ్రీకులు కొనసాగించారు. వారు తమ జ్యామితి యొక్క అన్ని అనుభవాలను నేర్చుకోవడమే కాకుండా, మరింత ముందుకు వెళ్ళారు. పురాతన గ్రీస్ శాస్త్రవేత్తలు సేకరించిన రేఖాగణిత జ్ఞానాన్ని క్రమబద్ధీకరించగలిగారు మరియు అందువలన, జ్యామితి యొక్క పునాదులను తగ్గింపు శాస్త్రంగా ఉంచారు.
గ్రీకు వ్యాపారులు వాణిజ్య మార్గాలను స్థాపించేటప్పుడు తూర్పు గణితాన్ని పరిచయం చేసుకున్నారు. కానీ తూర్పు ప్రజలు దాదాపు సిద్ధాంతంలో పాల్గొనలేదు మరియు గ్రీకులు దీనిని త్వరగా కనుగొన్నారు. వారు ప్రశ్నలు అడిగారు: సమద్విబాహు త్రిభుజంలో బేస్ వద్ద రెండు కోణాలు ఎందుకు సమానంగా ఉంటాయి; త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం సమానమైన స్థావరాలు మరియు ఎత్తులతో దీర్ఘచతురస్రం యొక్క సగం వైశాల్యానికి ఎందుకు సమానంగా ఉంటుంది?
దురదృష్టవశాత్తూ, గ్రీకు గణిత శాస్త్ర అభివృద్ధి యొక్క ప్రారంభ కాలాన్ని వివరించే ప్రాథమిక వనరులు ఏవీ లేవు. క్రీస్తుపూర్వం నాల్గవ శతాబ్దపు పునరుద్ధరించబడిన గ్రంథాలు మరియు ప్రాచీన గ్రీస్ రచయితల రచనల అనువాదాలలో గొప్పగా ఉన్న అరబ్ పండితుల రచనలకు మాత్రమే ధన్యవాదాలు, మనకు యూక్లిడ్, ఆర్కిమెడిస్, అపోలోనియస్ మరియు ఇతర గొప్ప వ్యక్తుల సంచికలు ఉన్నాయి. కానీ ఈ రచనలలో పూర్తిగా అభివృద్ధి చెందిన గణిత శాస్త్రం ఇప్పటికే ప్రదర్శించబడింది.
పురాతన గ్రీస్ యొక్క గణితం 6వ శతాబ్దం BC నుండి సుదీర్ఘమైన మరియు సంక్లిష్టమైన అభివృద్ధి మార్గం గుండా సాగింది. మరియు 6వ శతాబ్దం వరకు. సైన్స్ చరిత్రకారులు జ్ఞానం యొక్క స్వభావానికి అనుగుణంగా దాని అభివృద్ధి యొక్క మూడు కాలాలను వేరు చేస్తారు:
- వ్యక్తిగత గణిత వాస్తవాలు మరియు సమస్యల సంచితం (6 - 5B.B. BC).
- పొందిన జ్ఞానం యొక్క క్రమబద్ధీకరణ (4వ - 3వ శతాబ్దాలు BC).
- గణన గణిత కాలం (3వ శతాబ్దం BC - 6వ శతాబ్దం).
పాయింట్ల రేఖాగణిత లోకస్ (GLP).
నిర్వచనాలు.
రేఖాగణిత స్థానం- జ్యామితిపై పాత సాహిత్యంలో ఉపయోగించిన పదం మరియు ఇప్పటికీ విద్యా సాహిత్యంలో అర్థం కొన్ని షరతులను సంతృప్తిపరిచే పాయింట్ల సెట్, ఒక నియమం వలె, ఒక రేఖాగణిత స్వభావం. ఉదాహరణకు: A మరియు B అనే రెండు పాయింట్ల నుండి సమాన దూరంలో ఉన్న పాయింట్ల స్థానం AB విభాగానికి లంబంగా ఉంటుంది. కొన్నిసార్లు వారు సరళ రేఖలు మరియు ఇతర బొమ్మల రేఖాగణిత స్థానం గురించి మాట్లాడతారు.
పాయింట్లు ఉన్న "స్థలం"గా లైన్ యొక్క ఆలోచనతో పేరు అనుబంధించబడింది.
జ్యామితిలో, ఇచ్చిన ఫార్ములా లేదా షరతుకు అనుగుణంగా కదులుతున్న పాయింట్ యొక్క పథం. ఉదాహరణకు, ఒక వృత్తం అనేది ఒక విమానంలో కదులుతున్న బిందువు యొక్క స్థానం, తద్వారా దాని స్థానం నుండి మధ్యకు దూరం మారదు.
పాయింట్ల రేఖాగణిత స్థానం (GMT)ఒక నిర్దిష్ట షరతును సంతృప్తిపరిచే అన్ని పాయింట్లను మరియు వాటిని మాత్రమే కలిగి ఉండే పాయింట్ల సమితి.
పాయింట్ల రేఖాగణిత స్థానం (GMT)- గణితంలో ప్రసంగం యొక్క చిత్రం, ఒక నిర్దిష్ట ఆస్తిని కలిగి ఉన్న పాయింట్ల సమితిగా రేఖాగణిత బొమ్మను నిర్వచించడానికి ఉపయోగిస్తారు.
ఉదాహరణలు.
- సెగ్మెంట్ యొక్క లంబ ద్విభాగము అనేది సెగ్మెంట్ చివరల నుండి సమాన దూరంలో ఉన్న పాయింట్ల స్థానం.
- వృత్తం అనేది ఇచ్చిన బిందువు నుండి సమాన దూరంలో ఉన్న పాయింట్ల స్థానం, దీనిని వృత్తం యొక్క కేంద్రం అంటారు.
- పారాబొలా అనేది ఒక బిందువు (ఫోకస్ అని పిలుస్తారు) మరియు ఒక లైన్ (డైరెక్ట్రిక్స్ అని పిలుస్తారు) నుండి సమాన దూరంలో ఉన్న పాయింట్ల స్థానం.
ఉదాహరణ 1.
ఏదైనా సెగ్మెంట్ యొక్క లంబ మధ్యస్థం అనేది ఈ సెగ్మెంట్ చివరల నుండి సమాన దూరంలో ఉన్న పాయింట్ల స్థానం (అంటే, అన్ని పాయింట్ల సమితి). PO AB మరియు AO = OBకి లంబంగా ఉండనివ్వండి:
అప్పుడు, మధ్యస్థ లంబంగా ఉన్న PO పై ఉన్న ఏ బిందువు P నుండి AB విభాగంలోని A మరియు B చివరల వరకు ఉన్న దూరాలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి మరియు dకి సమానంగా ఉంటాయి.
అందువల్ల, సెగ్మెంట్ యొక్క లంబ మధ్యస్థం యొక్క ప్రతి బిందువు క్రింది ఆస్తిని కలిగి ఉంటుంది: ఇది సెగ్మెంట్ చివరల నుండి సమానంగా ఉంటుంది.
ఉదాహరణ 2.
కోణం యొక్క ద్వంద్వ భాగము దాని భుజాల నుండి సమాన దూరంలో ఉన్న బిందువుల స్థానం.
ఉదాహరణ 3.
వృత్తం అనేది దాని కేంద్రం నుండి సమాన దూరంలో ఉన్న పాయింట్ల స్థానం (అనగా అన్ని పాయింట్ల సమితి) (ఫిగర్ ఈ బిందువులలో ఒకదాన్ని చూపుతుంది - A).
తీగ, వృత్తం మధ్యలో గుండా వెళుతుంది (ఉదాహరణకు, BC, Fig. 1) ఒక వ్యాసం అని పిలుస్తారు మరియు d లేదా D అని సూచించబడుతుంది. వ్యాసంరెండు రేడియాలకు (d = 2 r) సమానమైన అతిపెద్ద తీగ.
టాంజెంట్. సెకాంట్ PQ (Fig. 2) సర్కిల్ యొక్క K మరియు M పాయింట్ల గుండా వెళుతుందని అనుకుందాం. పాయింట్ M ఒక వృత్తం వెంబడి కదులుతుంది, బిందువు Kకి చేరుకుంటుంది. అప్పుడు సెకెంట్ PQ దాని స్థానాన్ని మారుస్తుంది, పాయింట్ K చుట్టూ తిరుగుతుంది. పాయింట్ M పాయింట్ Kకి చేరుకునేటప్పుడు, సెకెంట్ PQ ఒక నిర్దిష్ట పరిమితి స్థానం ABకి మొగ్గు చూపుతుంది. పాయింట్ K వద్ద ఉన్న సర్కిల్‌కి AB లైన్ టాంజెంట్ అంటారు. పాయింట్ Kని టాంజెన్సీ పాయింట్ అంటారు. టాంజెంట్ మరియు వృత్తం ఒకే ఒక సాధారణ బిందువును కలిగి ఉంటాయి - కాంటాక్ట్ పాయింట్.
టాంజెంట్ యొక్క లక్షణాలు.
- వృత్తానికి టాంజెంట్ సంపర్క బిందువుకు గీసిన వ్యాసార్థానికి లంబంగా ఉంటుంది (AB అనేది OKకి లంబంగా ఉంటుంది, Fig. 2).
- వృత్తం వెలుపల ఒక బిందువు నుండి, రెండు టాంజెంట్‌లను ఒకే వృత్తానికి గీయవచ్చు; వాటి విభాగాలు AB=ACకి సమానంగా ఉంటాయి (Fig. 3).
సెగ్మెంట్– ఇది ఆర్క్ ACB మరియు సంబంధిత తీగ AB (Fig. 4) ద్వారా సరిహద్దులుగా ఉన్న సర్కిల్ యొక్క భాగం. AB తీగ మధ్య నుండి ఆర్క్ ACBతో ఖండన వరకు గీసిన లంబ CD యొక్క పొడవును సెగ్మెంట్ యొక్క ఎత్తు అంటారు.
వృత్తంలో కోణాలు.
కేంద్ర కోణం అనేది రెండు రేడియాల ద్వారా ఏర్పడిన కోణం (∠AOB, Fig. 5). లిఖిత కోణం అనేది AB మరియు AC అనే రెండు తీగలతో ఏర్పడిన కోణం, వాటి సాధారణ బిందువు (∠BAC, Fig. 4). చుట్టుకొలత కోణం అనేది ఒక సాధారణ బిందువు (∠BAC, Fig. 3) నుండి గీసిన AB మరియు AC అనే రెండు టాంజెంట్‌ల ద్వారా ఏర్పడిన కోణం.
వృత్తం యొక్క మూలకాల మధ్య సంబంధాలు.
లిఖిత కోణం(∠ABC, Fig.7) అదే ఆర్క్ AmC (∠AOC, Fig.7) ఆధారంగా సగం కేంద్ర కోణానికి సమానం. కాబట్టి, ఒకే ఆర్క్ (AmC, Fig. 7) ఆధారంగా అన్ని లిఖించబడిన కోణాలు (Fig. 7) సమానంగా ఉంటాయి. మరియు కేంద్ర కోణం దాని ఆర్క్ (AmC, Fig. 7) వలె అదే సంఖ్యలో డిగ్రీలను కలిగి ఉన్నందున, ఏదైనా లిఖించబడిన కోణం అది ఉన్న ఆర్క్‌లో సగం ద్వారా కొలుస్తారు (మా సందర్భంలో, AmC).
సెమిసర్కిల్ (∠APB, ∠AQB, ..., Fig. 8) ఆధారంగా అన్ని లిఖించబడిన కోణాలు లంబ కోణాలు.
కార్నర్(∠AOD, Fig.9), రెండు తీగలతో (AB మరియు CD) ఏర్పడింది, దాని భుజాల మధ్య ఉన్న ఆర్క్‌ల సగం మొత్తంతో కొలుస్తారు: (AnD + CmB) / 2.
రెండు సెకంట్లు (AO మరియు OD) ద్వారా ఏర్పడిన కోణం (∠AOD, Fig. 10) దాని భుజాల మధ్య ఉన్న ఆర్క్‌ల యొక్క సగం-వ్యత్యాసం ద్వారా కొలుస్తారు: (AnD – BmC) / 2.
టాంజెంట్ మరియు తీగ (AB మరియు CD) ద్వారా ఏర్పడిన కోణం (∠DCB, Fig. 11) దానిలో ఉన్న సగం ఆర్క్‌తో కొలుస్తారు: CmD / 2.
టాంజెంట్ మరియు సెకెంట్ (CO మరియు BO) ద్వారా ఏర్పడిన కోణం (∠BOC, Fig. 12) దాని భుజాల మధ్య ఉన్న ఆర్క్‌ల యొక్క సగం-వ్యత్యాసం ద్వారా కొలుస్తారు: (BmC – CnD) / 2.
రెండు టాంజెంట్‌ల (CO మరియు AO) ద్వారా ఏర్పడిన చుట్టుపక్కల కోణం (∠AOC, Fig. 12), దాని భుజాల మధ్య ఉన్న ఆర్క్‌ల సగం-వ్యత్యాసం ద్వారా కొలుస్తారు: (ABC – CDA) / 2.
తీగల యొక్క విభాగాల ఉత్పత్తులు (AB మరియు CD, Fig. 13 లేదా Fig. 14), ఖండన బిందువు ద్వారా విభజించబడిన వాటికి సమానంగా ఉంటాయి: AO · BO = CO · DO.
టాంజెంట్ యొక్క స్క్వేర్ సెకాంట్ మరియు దాని బయటి భాగం (Fig. 12) యొక్క ఉత్పత్తికి సమానంగా ఉంటుంది: OA 2 = OB · OD. ఈ ఆస్తిని అంజీర్ 14 యొక్క ప్రత్యేక సందర్భంగా పరిగణించవచ్చు.
తీగ(AB , అత్తి 15) , వ్యాసానికి లంబంగా( CD) , ఓసగం లో: AO = OB.
అన్నం. 15
ఆసక్తికరమైన వాస్తవం:
పై-హాలిడేకి అభినందనలు.
శాస్త్రీయ పరంగా, "Pi" సంఖ్య అనేది ఒక వృత్తం యొక్క చుట్టుకొలత మరియు దాని వ్యాసం యొక్క నిష్పత్తి. ఇది సాధారణ విషయంగా అనిపించినప్పటికీ, ఇది పురాతన కాలం నుండి గణిత శాస్త్రజ్ఞుల మనస్సులను ఆందోళనకు గురిచేస్తుంది. మరియు ఆందోళన కొనసాగుతుంది. శాస్త్రవేత్తలు - సుమారు 20 సంవత్సరాల క్రితం - ఈ తేదీ యొక్క సెలవుదినాన్ని జరుపుకోవడానికి అంగీకరించారు. ఈ వేడుకల్లో ప్రగతిశీల సమాజం అంతా భాగస్వాములు కావాలని పిలుపునిచ్చారు. ఆమె చేరింది: ఆమె గుండ్రని పి-రాగ్‌లను తింటుంది, మీరు మూత్ర విసర్జన చేస్తారు, ఎల్లప్పుడూ Pi-vo, మరియు వారు కలిసినప్పుడు పై శబ్దాలు చేస్తుంది.
పై గుర్తులను గుర్తుంచుకునేందుకు అభిమానులు పోటీ పడతారు. మరియు వారు 24 ఏళ్ల చైనీస్ విద్యార్థి లియు చావో రికార్డును అధిగమించడానికి ప్రయత్నిస్తారు, అతను మెమరీ నుండి 68,890 అక్షరాలను లోపాలు లేకుండా పేర్కొన్నాడు. అందుకు అతనికి 24 గంటల 4 నిమిషాల సమయం పట్టింది.
వేడుకల నిష్క్రమణ మార్చి 14 న షెడ్యూల్ చేయబడింది - అమెరికన్ రచనలో 3.14 లాగా కనిపించే తేదీ - అంటే, పై యొక్క మొదటి మూడు అంకెలు.
పురాణాల ప్రకారం, బాబిలోనియన్ పూజారులు "పై" సంఖ్య గురించి తెలుసు. బాబెల్ టవర్ నిర్మాణంలో ఉపయోగించారు. కానీ వారు దాని విలువను ఖచ్చితంగా లెక్కించలేకపోయారు మరియు అందువల్ల ప్రాజెక్ట్ను పూర్తి చేయడంలో విఫలమయ్యారు. గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు విలియం జోన్స్ 1706లో అతని రచనలలో "పై" సంఖ్యకు చిహ్నాన్ని మొట్టమొదట ఉపయోగించారు. కానీ స్వీడిష్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు లియోన్‌హార్డ్ ఆయిలర్ ప్రయత్నాల వల్ల 1737 తర్వాత ఇది నిజంగా రూట్ తీసుకుంది.
అమెరికన్ భౌతిక శాస్త్రవేత్త లారీ షా సెలవుదినాన్ని జరుపుకోవాలనే ఆలోచనతో వచ్చారు.
"పై" సంఖ్యలో ఎన్ని దశాంశ స్థానాలు ఉన్నాయి అనే ప్రశ్నకు ఖచ్చితమైన సమాధానం లేదు. చాలా మటుకు వాటిలో అనంతమైన సంఖ్యలో ఉన్నాయి. మరియు ప్రధాన లక్షణం ఏమిటంటే ఈ సంకేతాల క్రమం పునరావృతం కాదు. నేడు 12,411 ట్రిలియన్లు ఉన్నాయి. 500 బిలియన్లను సర్వే చేసింది. మరియు పునరావృత్తులు కనుగొనబడలేదు.
కొంతమంది ప్రముఖ భౌతిక శాస్త్రవేత్తలు మరియు గణిత శాస్త్రజ్ఞుల ప్రకారం, ఉదాహరణకు డేవిడ్ బైలీ, పీటర్ బోర్విన్, సైమన్ ప్లౌఫ్, ఎవరూ వాటిని కనుగొనలేరు - పునరావృత్తులు. కనీసం మొత్తం విశ్వాన్ని సంకేతాలతో వ్రాయండి. అవును, కనీసం ఎన్ని యూనివర్స్... మరియు శాస్త్రవేత్తలు ఇందులో దాగివున్న మార్మికతను చూస్తారు. "పై" సంఖ్య అంతులేని ఆదిమ గందరగోళాన్ని ఎన్కోడ్ చేస్తుందని నమ్ముతారు, ఇది తరువాత సామరస్యంగా మారింది. లేదా కొన్ని రహస్య సమాచారం.
ప్రశ్నలు:
- సర్కిల్ మరియు సర్కిల్ నిర్వచనాన్ని రూపొందించాలా?
- మీరు ఏ కొత్త కాన్సెప్ట్‌లతో పరిచయం అయ్యారు?
- పాయింట్ల లోకస్‌ని ఏమంటారు?
- వ్యాసం మరియు వ్యాసార్థం మధ్య తేడా ఏమిటి?
- త్రిభుజంతో చుట్టబడిన వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థాన్ని ఎలా కనుగొనాలి?
ఉపయోగించిన మూలాల జాబితా:
- "విజువల్ జ్యామితి" అనే అంశంపై పాఠం
- సవిన్ ఎ.పి. రేఖాగణిత స్థలాల పద్ధతి / గణితంలో ఐచ్ఛిక కోర్సు: మాధ్యమిక పాఠశాల 7-9 తరగతులకు పాఠ్య పుస్తకం. కాంప్. ఐ.ఎల్. నికోల్స్కాయ. – M.: జ్ఞానోదయం, p. 74.
- స్మిర్నోవా I.M., స్మిర్నోవ్ V.A. జ్యామితి: సాధారణ విద్యా సంస్థల 7-9 తరగతులకు పాఠ్య పుస్తకం. – M.: Mnemosyne, 2005, p. 84.
- Sharygin I.F. జ్యామితి. 7-9 తరగతులు: సాధారణ విద్యా సంస్థలకు పాఠ్య పుస్తకం. – M.: బస్టర్డ్, p. 76.
- మజూర్ K. I. “M. I. స్కనవి సంకలనం చేసిన సేకరణ యొక్క గణితంలో ప్రధాన పోటీ సమస్యలను పరిష్కరించడం”
పాఠంపై పని చేసారు:
సమిలీనా M.V.
పోతుర్నాక్ S.A.
వ్లాదిమిర్ లాగోవ్స్కీ
మీరు ఆధునిక విద్య గురించి ఒక ప్రశ్నను లేవనెత్తవచ్చు, ఒక ఆలోచనను వ్యక్తపరచవచ్చు లేదా ఒక ముఖ్యమైన సమస్యను పరిష్కరించవచ్చు విద్యా వేదిక, ఇక్కడ తాజా ఆలోచన మరియు చర్య యొక్క విద్యా మండలి అంతర్జాతీయంగా కలుస్తుంది. సృష్టించిన తరువాత బ్లాగు,మీరు సమర్థ ఉపాధ్యాయునిగా మీ స్థితిని మెరుగుపరచడమే కాకుండా, భవిష్యత్ పాఠశాల అభివృద్ధికి గణనీయమైన సహకారాన్ని అందిస్తారు. విద్యా నాయకుల సంఘంఅగ్రశ్రేణి నిపుణులకు తలుపులు తెరుస్తుంది మరియు ప్రపంచంలోని అత్యుత్తమ పాఠశాలలను రూపొందించడంలో సహకరించమని వారిని ఆహ్వానిస్తుంది.