సమీకరణాల ఉపయోగం మన జీవితాల్లో విస్తృతంగా ఉంది. వారు అనేక గణనలు, నిర్మాణాల నిర్మాణం మరియు క్రీడలలో కూడా ఉపయోగిస్తారు. మనిషి పురాతన కాలంలో సమీకరణాలను ఉపయోగించాడు మరియు అప్పటి నుండి వాటి ఉపయోగం పెరిగింది. స్పష్టత కోసం, కింది సమస్యను పరిష్కరిద్దాం:

\[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] అయితే \ని లెక్కించండి

అన్నింటిలో మొదటిది, ఒక సంఖ్య బీజగణిత రూపంలో, మరొకటి త్రికోణమితి రూపంలో ప్రదర్శించబడుతుందనే వాస్తవాన్ని దృష్టిలో ఉంచుకుందాం. దీన్ని సరళీకృతం చేసి క్రింది ఫారమ్‌కి తీసుకురావాలి

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

మొయివ్రే ఫార్ములా ఉపయోగించి గుణించడం మరియు 10వ శక్తికి పెంచడం అనేది మొదటగా చేయమని \ అనే వ్యక్తీకరణ చెబుతుంది. సంక్లిష్ట సంఖ్య యొక్క త్రికోణమితి రూపం కోసం ఈ సూత్రం రూపొందించబడింది. మాకు దొరికింది:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]

సంక్లిష్ట సంఖ్యలను త్రికోణమితి రూపంలో గుణించడం కోసం నియమాలను అనుసరించి, మేము ఈ క్రింది వాటిని చేస్తాము:

మా విషయంలో:

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]

భిన్నం \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] సరైనది, మేము 4 మలుపులు \[(8\pi rad.): "ట్విస్ట్" చేయగలము అనే నిర్ణయానికి వచ్చాము \]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]

సమాధానం: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]

ఈ సమీకరణాన్ని మరొక విధంగా పరిష్కరించవచ్చు, ఇది 2వ సంఖ్యను బీజగణిత రూపంలోకి తీసుకురావడం, ఆపై బీజగణిత రూపంలో గుణకారం చేయడం, ఫలితాన్ని త్రికోణమితి రూపంలోకి మార్చడం మరియు మోయివ్రే సూత్రాన్ని వర్తింపజేయడం:

ఆన్‌లైన్‌లో సంక్లిష్ట సంఖ్యలతో సమీకరణాల వ్యవస్థను నేను ఎక్కడ పరిష్కరించగలను?

మీరు మా వెబ్‌సైట్ https://siteలో సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించవచ్చు. ఉచిత ఆన్‌లైన్ పరిష్కర్త ఏదైనా సంక్లిష్టత యొక్క ఆన్‌లైన్ సమీకరణాలను సెకన్ల వ్యవధిలో పరిష్కరించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. మీరు చేయాల్సిందల్లా మీ డేటాను సాల్వర్‌లో నమోదు చేయండి. మీరు వీడియో సూచనలను కూడా చూడవచ్చు మరియు మా వెబ్‌సైట్‌లో సమీకరణాన్ని ఎలా పరిష్కరించాలో తెలుసుకోవచ్చు. మరియు మీకు ఇంకా ప్రశ్నలు ఉంటే, మీరు వాటిని మా VKontakte సమూహంలో అడగవచ్చు http://vk.com/pocketteacher. మా గుంపులో చేరండి, మీకు సహాయం చేయడానికి మేము ఎల్లప్పుడూ సంతోషిస్తాము.

ఫెడరల్ ఏజెన్సీ ఫర్ ఎడ్యుకేషన్

స్టేట్ ఎడ్యుకేషనల్ ఇన్స్టిట్యూట్

ఉన్నత వృత్తి విద్య

"వోరోనెజ్ స్టేట్ పెడగోగికల్ యూనివర్శిటీ"

ఆగ్లెబ్రా మరియు జామెట్రీ విభాగం

సంక్లిష్ట సంఖ్యలు

(ఎంచుకున్న పనులు)

గ్రాడ్యుయేట్ క్వాలిఫైయింగ్ వర్క్

ప్రత్యేకత 050201.65 గణితం

(అదనపు ప్రత్యేకతతో 050202.65 కంప్యూటర్ సైన్స్)

పూర్తి చేసినవారు: 5వ సంవత్సరం విద్యార్థి

భౌతిక మరియు గణిత

అధ్యాపకులు

శాస్త్రీయ సలహాదారు:

వోరోనెజ్ - 2008

1. పరిచయం……………………………………………………...…………..…

2. సంక్లిష్ట సంఖ్యలు (ఎంచుకున్న సమస్యలు)

2.1 బీజగణిత రూపంలో సంక్లిష్ట సంఖ్యలు.............

2.2 సంక్లిష్ట సంఖ్యల రేఖాగణిత వివరణ

2.3 సంక్లిష్ట సంఖ్యల త్రికోణమితి రూపం

2.4 3వ మరియు 4వ డిగ్రీ యొక్క సమీకరణాల పరిష్కారానికి సంక్లిష్ట సంఖ్యల సిద్ధాంతం యొక్క అన్వయం …………………………………………………………………………

2.5 సంక్లిష్ట సంఖ్యలు మరియు పారామితులు ………………………………………

3. తీర్మానం………………………………………………………………………….

4. సూచనల జాబితా …………………………………………………….

1. పరిచయం

పాఠశాల గణిత పాఠ్యాంశాల్లో, సంఖ్య సిద్ధాంతం సహజ సంఖ్యలు, పూర్ణాంకాలు, హేతుబద్ధాలు, అహేతుకాలను ఉదాహరణలను ఉపయోగించి పరిచయం చేయబడింది, అనగా. వాస్తవ సంఖ్యల సెట్‌లో, వాటి చిత్రాలు మొత్తం సంఖ్య రేఖను నింపుతాయి. కానీ ఇప్పటికే 8 వ తరగతిలో వాస్తవ సంఖ్యల తగినంత సరఫరా లేదు, ప్రతికూల వివక్షతతో వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరిస్తుంది. అందువల్ల, సంక్లిష్ట సంఖ్యల సహాయంతో వాస్తవ సంఖ్యల స్టాక్‌ను తిరిగి నింపడం అవసరం, దీని కోసం ప్రతికూల సంఖ్య యొక్క వర్గమూలం అర్ధమే.

"కాంప్లెక్స్ నంబర్స్" అనే అంశాన్ని నా చివరి అర్హత పని యొక్క అంశంగా ఎంచుకున్నది ఏమిటంటే, సంక్లిష్ట సంఖ్య యొక్క భావన విద్యార్థుల సంఖ్య వ్యవస్థల గురించి, బీజగణిత మరియు రేఖాగణిత విషయాల యొక్క విస్తృత తరగతి సమస్యలను పరిష్కరించడం గురించి, బీజగణితాన్ని పరిష్కరించడం గురించి విద్యార్థుల జ్ఞానాన్ని విస్తరిస్తుంది. ఏదైనా డిగ్రీ యొక్క సమీకరణాలు మరియు పారామితులతో సమస్యలను పరిష్కరించడం గురించి.

ఈ థీసిస్ 82 సమస్యలకు పరిష్కారాన్ని పరిశీలిస్తుంది.

"కాంప్లెక్స్ సంఖ్యలు" అనే ప్రధాన విభాగం యొక్క మొదటి భాగం బీజగణిత రూపంలో సంక్లిష్ట సంఖ్యలతో సమస్యలకు పరిష్కారాలను అందిస్తుంది, సంకలనం, తీసివేత, గుణకారం, భాగహారం, బీజగణిత రూపంలో సంక్లిష్ట సంఖ్యల కోసం సంయోగ ఆపరేషన్, ఊహాత్మక యూనిట్ యొక్క శక్తిని నిర్వచిస్తుంది. , సంక్లిష్ట సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్ మరియు సంక్లిష్ట సంఖ్య యొక్క వర్గమూలాన్ని సంగ్రహించే నియమాన్ని కూడా నిర్దేశిస్తుంది.

రెండవ భాగంలో, సంక్లిష్ట విమానం యొక్క పాయింట్లు లేదా వెక్టర్స్ రూపంలో సంక్లిష్ట సంఖ్యల రేఖాగణిత వివరణపై సమస్యలు పరిష్కరించబడతాయి.

మూడవ భాగం త్రికోణమితి రూపంలో సంక్లిష్ట సంఖ్యలపై కార్యకలాపాలను పరిశీలిస్తుంది. ఉపయోగించిన సూత్రాలు: మోయివ్రే మరియు సంక్లిష్ట సంఖ్య యొక్క మూలాన్ని సంగ్రహించడం.

నాల్గవ భాగం 3 వ మరియు 4 వ డిగ్రీల సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి అంకితం చేయబడింది.

చివరి భాగంలో సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు, "సంక్లిష్ట సంఖ్యలు మరియు పారామితులు," మునుపటి భాగాలలో ఇచ్చిన సమాచారం ఉపయోగించబడుతుంది మరియు ఏకీకృతం చేయబడుతుంది. అధ్యాయంలోని సమస్యల శ్రేణి పరామితితో సమీకరణాల (అసమానతలు) ద్వారా నిర్వచించబడిన సంక్లిష్ట సమతలంలో పంక్తుల కుటుంబాలను నిర్ణయించడానికి అంకితం చేయబడింది. వ్యాయామాలలో భాగంగా మీరు ఒక పరామితితో సమీకరణాలను పరిష్కరించాలి (ఓవర్ ఫీల్డ్ సి). సంక్లిష్ట వేరియబుల్ ఏకకాలంలో అనేక షరతులను సంతృప్తిపరిచే పనులు ఉన్నాయి. ఈ విభాగంలో సమస్యలను పరిష్కరించే ప్రత్యేక లక్షణం ఏమిటంటే, వాటిలో చాలా వరకు రెండవ డిగ్రీ యొక్క సమీకరణాల (అసమానతలు, వ్యవస్థలు) పరిష్కారానికి తగ్గించడం, అహేతుకమైన, పరామితితో త్రికోణమితి.

ప్రతి భాగంలోని పదార్థం యొక్క ప్రదర్శన యొక్క లక్షణం సైద్ధాంతిక పునాదుల యొక్క ప్రారంభ పరిచయం మరియు తరువాత సమస్యలను పరిష్కరించడంలో వారి ఆచరణాత్మక అనువర్తనం.

థీసిస్ చివరిలో ఉపయోగించిన సూచనల జాబితా ఉంది. వాటిలో ఎక్కువ భాగం సైద్ధాంతిక విషయాలను తగినంత వివరంగా మరియు అందుబాటులో ఉండే పద్ధతిలో ప్రదర్శిస్తాయి, కొన్ని సమస్యలకు పరిష్కారాలను చర్చిస్తాయి మరియు స్వతంత్ర పరిష్కారం కోసం ఆచరణాత్మక పనులను ఇస్తాయి. నేను అటువంటి మూలాధారాలపై ప్రత్యేక శ్రద్ధ వహించాలనుకుంటున్నాను:

1. గోర్డియెంకో N.A., Belyaeva E.S., ఫర్స్టోవ్ V.E., సెరెబ్రియాకోవా I.V. సంక్లిష్ట సంఖ్యలు మరియు వాటి అప్లికేషన్లు: పాఠ్య పుస్తకం. . పాఠ్యపుస్తకం యొక్క పదార్థం ఉపన్యాసాలు మరియు ఆచరణాత్మక వ్యాయామాల రూపంలో ప్రదర్శించబడుతుంది.

2. Shklyarsky D.O., Chentsov N.N., Yaglom I.M. ఎలిమెంటరీ గణితం యొక్క ఎంచుకున్న సమస్యలు మరియు సిద్ధాంతాలు. అంకగణితం మరియు బీజగణితం. ఈ పుస్తకంలో బీజగణితం, అంకగణితం మరియు సంఖ్యా సిద్ధాంతానికి సంబంధించిన 320 సమస్యలు ఉన్నాయి. ఈ పనులు ప్రామాణిక పాఠశాల పనుల నుండి ప్రకృతిలో గణనీయంగా భిన్నంగా ఉంటాయి.

2. సంక్లిష్ట సంఖ్యలు (ఎంచుకున్న సమస్యలు)

2.1 బీజగణిత రూపంలో సంక్లిష్ట సంఖ్యలు

గణితం మరియు భౌతిక శాస్త్రంలో అనేక సమస్యల పరిష్కారం బీజగణిత సమీకరణాలను పరిష్కరించడం ద్వారా వస్తుంది, అనగా. రూపం యొక్క సమీకరణాలు

,

ఇక్కడ a0, a1, …, an వాస్తవ సంఖ్యలు. కాబట్టి, బీజగణిత సమీకరణాల అధ్యయనం గణితంలో అత్యంత ముఖ్యమైన సమస్యలలో ఒకటి. ఉదాహరణకు, ప్రతికూల వివక్షతో కూడిన వర్గ సమీకరణానికి అసలు మూలాలు లేవు. అటువంటి సరళమైన సమీకరణం సమీకరణం

.

ఈ సమీకరణం పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉండటానికి, సమీకరణం యొక్క మూలాన్ని జోడించడం ద్వారా వాస్తవ సంఖ్యల సమితిని విస్తరించడం అవసరం.

.

మనం ఈ మూలాన్ని దీని ద్వారా సూచిస్తాము

. అందువలన, నిర్వచనం ప్రకారం, లేదా,

అందుచేత,

. ఊహాత్మక యూనిట్ అని పిలుస్తారు. దాని సహాయంతో మరియు వాస్తవ సంఖ్యల జత సహాయంతో, రూపం యొక్క వ్యక్తీకరణ సంకలనం చేయబడింది.

ఫలిత వ్యక్తీకరణను సంక్లిష్ట సంఖ్యలు అని పిలుస్తారు, ఎందుకంటే అవి వాస్తవ మరియు ఊహాత్మక భాగాలను కలిగి ఉంటాయి.

కాబట్టి, సంక్లిష్ట సంఖ్యలు రూపం యొక్క వ్యక్తీకరణలు

, మరియు వాస్తవ సంఖ్యలు, మరియు షరతును సంతృప్తిపరిచే నిర్దిష్ట చిహ్నం . సంఖ్యను సంక్లిష్ట సంఖ్య యొక్క వాస్తవ భాగం అని పిలుస్తారు మరియు సంఖ్య దాని ఊహాత్మక భాగం. చిహ్నాలు , వాటిని సూచించడానికి ఉపయోగిస్తారు.

రూపం యొక్క సంక్లిష్ట సంఖ్యలు

వాస్తవ సంఖ్యలు మరియు అందువల్ల, సంక్లిష్ట సంఖ్యల సమితి వాస్తవ సంఖ్యల సమితిని కలిగి ఉంటుంది.

రూపం యొక్క సంక్లిష్ట సంఖ్యలు

పూర్తిగా ఊహాత్మకంగా పిలువబడతాయి. రూపం యొక్క రెండు సంక్లిష్ట సంఖ్యలు మరియు వాటి వాస్తవ మరియు ఊహాత్మక భాగాలు సమానంగా ఉంటే సమానంగా చెప్పబడుతుంది, అనగా. సమానత్వం ఉంటే, .

సంక్లిష్ట సంఖ్యల బీజగణిత సంజ్ఞామానం బీజగణితం యొక్క సాధారణ నియమాల ప్రకారం వాటిపై కార్యకలాపాలను అనుమతిస్తుంది.

వ్యక్తీకరణలు, సమీకరణాలు మరియు సమీకరణాల వ్యవస్థలు
సంక్లిష్ట సంఖ్యలతో

ఈ రోజు తరగతిలో మేము సంక్లిష్ట సంఖ్యలతో విలక్షణమైన కార్యకలాపాలను ప్రాక్టీస్ చేస్తాము మరియు ఈ సంఖ్యలను కలిగి ఉన్న వ్యక్తీకరణలు, సమీకరణాలు మరియు సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించే సాంకేతికతను కూడా నేర్చుకుంటాము. ఈ వర్క్‌షాప్ పాఠం యొక్క కొనసాగింపు, కాబట్టి మీకు టాపిక్‌పై బాగా ప్రావీణ్యం లేకుంటే, దయచేసి పై లింక్‌ని అనుసరించండి. బాగా, మరింత సిద్ధమైన పాఠకుల కోసం నేను మీకు వెంటనే వేడెక్కాలని సూచిస్తున్నాను:

ఉదాహరణ 1

వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి , ఉంటే. ఫలితాన్ని త్రికోణమితి రూపంలో సూచించండి మరియు సంక్లిష్ట విమానంలో దాన్ని ప్లాట్ చేయండి.

పరిష్కారం: కాబట్టి, మీరు భిన్నాన్ని "భయంకరమైన" భిన్నంలోకి మార్చాలి, సరళీకృతం చేయాలి మరియు ఫలితాన్ని మార్చాలి సంక్లిష్ట సంఖ్యవి త్రికోణమితి రూపం. ప్లస్ డ్రాయింగ్.

నిర్ణయాన్ని అధికారికీకరించడానికి ఉత్తమ మార్గం ఏమిటి? దశలవారీగా "అధునాతన" బీజగణిత వ్యక్తీకరణతో వ్యవహరించడం మరింత లాభదాయకంగా ఉంటుంది. మొదట, శ్రద్ధ తక్కువ పరధ్యానంలో ఉంటుంది, మరియు రెండవది, పని అంగీకరించబడకపోతే, లోపాన్ని కనుగొనడం చాలా సులభం అవుతుంది.

1) ముందుగా, న్యూమరేటర్‌ను సరళీకృతం చేద్దాం. దానిలో విలువను ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం, బ్రాకెట్లను తెరిచి, కేశాలంకరణను పరిష్కరించండి:

...అవును, అటువంటి క్వాసిమోడో సంక్లిష్ట సంఖ్యల నుండి వచ్చింది...

పరివర్తన సమయంలో, పూర్తిగా సరళమైన విషయాలు ఉపయోగించబడుతున్నాయని నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను - బహుపదాలను గుణించే నియమం మరియు ఇప్పటికే సామాన్యంగా మారిన సమానత్వం. ప్రధాన విషయం ఏమిటంటే జాగ్రత్తగా ఉండండి మరియు సంకేతాల ద్వారా గందరగోళం చెందకండి.

2) ఇప్పుడు హారం వస్తుంది. అయితే, అప్పుడు:

ఇది ఏ అసాధారణ వివరణలో ఉపయోగించబడిందో గమనించండి చదరపు మొత్తం సూత్రం. ప్రత్యామ్నాయంగా, మీరు ఇక్కడ పునర్వ్యవస్థీకరణను చేయవచ్చు ఉపసూత్రం ఫలితాలు సహజంగానే ఉంటాయి.

3) చివరకు, మొత్తం వ్యక్తీకరణ. అయితే, అప్పుడు:

భిన్నాన్ని వదిలించుకోవడానికి, హారం యొక్క సంయోగ వ్యక్తీకరణ ద్వారా లవం మరియు హారం గుణించండి. అదే సమయంలో, అప్లికేషన్ ప్రయోజనాల కోసం చదరపు తేడా సూత్రాలుముందుగా తప్పక (మరియు ఇప్పటికే తప్పనిసరి!)ప్రతికూల వాస్తవ భాగాన్ని 2వ స్థానంలో ఉంచండి:

మరియు ఇప్పుడు ప్రధాన నియమం:

మేము ఎటువంటి రష్ లో లేము! దీన్ని సురక్షితంగా ప్లే చేయడం మరియు అదనపు అడుగు వేయడం మంచిది.
వ్యక్తీకరణలు, సమీకరణాలు మరియు సంక్లిష్ట సంఖ్యలతో కూడిన వ్యవస్థలు, అహంకార శబ్ద గణనలు గతంలో కంటే ఎక్కువ నిండిపోయింది!

చివరి దశలో మంచి తగ్గింపు ఉంది మరియు ఇది గొప్ప సంకేతం.

గమనిక : ఖచ్చితంగా చెప్పాలంటే, ఇక్కడ సంక్లిష్ట సంఖ్య 50 ద్వారా సంక్లిష్ట సంఖ్యను విభజించడం జరిగింది (అది గుర్తుంచుకోండి). నేను ఇప్పటివరకు ఈ స్వల్పభేదాన్ని గురించి మౌనంగా ఉన్నాను మరియు మేము దాని గురించి కొంచెం తరువాత మాట్లాడుతాము.

మన విజయాన్ని అక్షరంతో సూచిస్తాం

త్రికోణమితి రూపంలో పొందిన ఫలితాన్ని అందజేద్దాం. సాధారణంగా చెప్పాలంటే, ఇక్కడ మీరు డ్రాయింగ్ లేకుండా చేయవచ్చు, కానీ ఇది అవసరం కాబట్టి, ఇప్పుడే దీన్ని చేయడం కొంత హేతుబద్ధమైనది:

సంక్లిష్ట సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్‌ను గణిద్దాం:

మీరు 1 యూనిట్ స్కేల్‌పై గీస్తే. = 1 సెం.మీ (2 నోట్‌బుక్ సెల్‌లు), అప్పుడు పొందిన విలువను సాధారణ పాలకుడిని ఉపయోగించి సులభంగా తనిఖీ చేయవచ్చు.

ఒక వాదనను కనుగొనండి. సంఖ్య 2వ కోఆర్డినేట్ క్వార్టర్‌లో ఉన్నందున, అప్పుడు:

కోణాన్ని ప్రోట్రాక్టర్‌తో సులభంగా తనిఖీ చేయవచ్చు. ఇది డ్రాయింగ్ యొక్క నిస్సందేహమైన ప్రయోజనం.

అందువలన: – త్రికోణమితి రూపంలో అవసరమైన సంఖ్య.

తనిఖీ చేద్దాం:
, ఇది ధృవీకరించాల్సిన అవసరం ఉంది.

సైన్ మరియు కొసైన్ ఉపయోగించి తెలియని విలువలను కనుగొనడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది త్రికోణమితి పట్టిక.

సమాధానం:

స్వతంత్ర పరిష్కారం కోసం ఇదే ఉదాహరణ:

ఉదాహరణ 2

వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి , ఎక్కడ . సంక్లిష్ట విమానంలో ఫలిత సంఖ్యను గీయండి మరియు దానిని ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ రూపంలో వ్రాయండి.

ట్యుటోరియల్‌లను దాటవేయకుండా ప్రయత్నించండి. వారు సరళంగా అనిపించవచ్చు, కానీ శిక్షణ లేకుండా, "సిరామరకంలోకి ప్రవేశించడం" సులభం కాదు, కానీ చాలా సులభం. కాబట్టి, మేము "దానిపై చేయి చేసుకుంటాము."

తరచుగా సమస్య ఒకటి కంటే ఎక్కువ పరిష్కారాలను కలిగి ఉంటుంది:

ఉదాహరణ 3

ఉంటే లెక్కించండి,

పరిష్కారం: అన్నింటిలో మొదటిది, అసలు స్థితికి శ్రద్ధ చూపుదాం - ఒక సంఖ్య బీజగణితంలో మరియు మరొకటి త్రికోణమితి రూపంలో మరియు డిగ్రీలతో కూడా ప్రదర్శించబడుతుంది. వెంటనే దానిని మరింత సుపరిచితమైన రూపంలో తిరిగి వ్రాస్దాం: .

గణనలను ఏ రూపంలో నిర్వహించాలి? వ్యక్తీకరణ స్పష్టంగా మొదటి గుణకారం మరియు 10వ శక్తికి పెంచడం మోయివ్రే సూత్రం, ఇది సంక్లిష్ట సంఖ్య యొక్క త్రికోణమితి రూపం కోసం రూపొందించబడింది. కాబట్టి మొదటి సంఖ్యను మార్చడం మరింత తార్కికంగా కనిపిస్తుంది. దాని మాడ్యూల్ మరియు వాదనను కనుగొనండి:

త్రికోణమితి రూపంలో సంక్లిష్ట సంఖ్యలను గుణించడం కోసం మేము నియమాన్ని ఉపయోగిస్తాము:
ఉంటే, అప్పుడు

భిన్నాన్ని సరిదిద్దడం ద్వారా, మేము 4 మలుపులు "ట్విస్ట్" చేయగలమని నిర్ధారణకు వస్తాము (సంతోషం.):

రెండవ పరిష్కారం 2వ సంఖ్యను బీజగణిత రూపంలోకి మార్చడం , గుణకారాన్ని బీజగణిత రూపంలో నిర్వహించండి, ఫలితాన్ని త్రికోణమితి రూపంలోకి మార్చండి మరియు Moivre సూత్రాన్ని ఉపయోగించండి.

మీరు గమనిస్తే, ఒక "అదనపు" చర్య ఉంది. కోరుకునే వారు నిర్ణయాన్ని అనుసరించవచ్చు మరియు ఫలితాలు ఒకే విధంగా ఉన్నాయని నిర్ధారించుకోండి.

తుది సంక్లిష్ట సంఖ్య రూపం గురించి షరతు ఏమీ చెప్పదు, కాబట్టి:

సమాధానం:

కానీ "అందం కోసం" లేదా డిమాండ్ మీద, ఫలితంగా బీజగణిత రూపంలో ఊహించడం కష్టం కాదు:

స్వంతంగా:

ఉదాహరణ 4

వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి

ఇక్కడ మనం గుర్తుంచుకోవాలి డిగ్రీలతో చర్యలు, మాన్యువల్‌లో ఒక ఉపయోగకరమైన నియమం లేనప్పటికీ, ఇక్కడ ఇది ఉంది: .

మరియు మరొక ముఖ్యమైన గమనిక: ఉదాహరణ రెండు శైలులలో పరిష్కరించబడుతుంది. పని చేయడం మొదటి ఎంపిక రెండుసంఖ్యలు మరియు భిన్నాలతో సరిగ్గా ఉండటం. ప్రతి సంఖ్యను ఇలా సూచించడం రెండవ ఎంపిక రెండు సంఖ్యల గుణకం: మరియు నాలుగు అంతస్తుల నిర్మాణాన్ని వదిలించుకోండి. అధికారిక దృక్కోణం నుండి, మీరు ఎలా నిర్ణయం తీసుకున్నారనేది పట్టింపు లేదు, కానీ గణనీయమైన వ్యత్యాసం ఉంది! దయచేసి దీని గురించి జాగ్రత్తగా ఆలోచించండి:
సంక్లిష్ట సంఖ్య;
రెండు సమ్మేళన సంఖ్యల ( మరియు ) యొక్క గుణకం, కానీ సందర్భాన్ని బట్టి, మీరు ఇలా కూడా చెప్పవచ్చు: రెండు సంక్లిష్ట సంఖ్యల గుణకం వలె సూచించబడిన సంఖ్య.

పాఠం చివరిలో ఒక చిన్న పరిష్కారం మరియు సమాధానం.

వ్యక్తీకరణలు బాగున్నాయి, కానీ సమీకరణాలు మంచివి:

సంక్లిష్ట గుణకాలతో సమీకరణాలు

అవి "సాధారణ" సమీకరణాల నుండి ఎలా భిన్నంగా ఉంటాయి? అసమానత =)

పై వ్యాఖ్య వెలుగులో, ఈ ఉదాహరణతో ప్రారంభిద్దాం:

ఉదాహరణ 5

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

మరియు తక్షణ ఉపోద్ఘాతం “హాట్ ఆన్ ది హీల్స్”: ప్రారంభంలోసమీకరణం యొక్క కుడి వైపు రెండు సంక్లిష్ట సంఖ్యల (మరియు 13) యొక్క గుణకం వలె ఉంచబడుతుంది, అందువల్ల ఆ సంఖ్యతో షరతును తిరిగి వ్రాయడం చెడు రూపం (అయితే ఇది లోపాన్ని కలిగించదు). ఈ వ్యత్యాసం, భిన్నంలో మరింత స్పష్టంగా కనిపిస్తుంది - సాపేక్షంగా చెప్పాలంటే, ఈ విలువ ప్రధానంగా అర్థం అవుతుంది సమీకరణం యొక్క "పూర్తి" సంక్లిష్ట మూలం, మరియు సంఖ్య యొక్క భాగహారంగా కాదు మరియు ప్రత్యేకించి సంఖ్యలో భాగంగా కాదు!

పరిష్కారం, సూత్రప్రాయంగా, స్టెప్ బై స్టెప్ కూడా చేయవచ్చు, కానీ ఈ సందర్భంలో ఆట కొవ్వొత్తికి విలువైనది కాదు. తెలియని "z"ని కలిగి లేని ప్రతిదాన్ని సరళీకృతం చేయడం ప్రారంభ పని, దీని ఫలితంగా సమీకరణం ఫారమ్‌కి తగ్గించబడుతుంది:

మేము నమ్మకంగా మధ్య భాగాన్ని సులభతరం చేస్తాము:

మేము ఫలితాన్ని కుడి వైపుకు బదిలీ చేస్తాము మరియు వ్యత్యాసాన్ని కనుగొంటాము:

గమనిక : మరియు మళ్ళీ నేను మీ దృష్టిని అర్ధవంతమైన పాయింట్‌కి ఆకర్షిస్తున్నాను - ఇక్కడ మేము సంఖ్య నుండి సంఖ్యను తీసివేయలేదు, కానీ భిన్నాలను సాధారణ హారంకి తీసుకువచ్చాము! ఇప్పటికే పరిష్కరించే పురోగతిలో సంఖ్యలతో పని చేయడం నిషేధించబడలేదని గమనించాలి: , అయితే, పరిశీలనలో ఉన్న ఉదాహరణలో ఈ శైలి ఉపయోగకరమైన దానికంటే హానికరం =)

నిష్పత్తి నియమం ప్రకారం, మేము "zet"ని వ్యక్తపరుస్తాము:

ఇప్పుడు మీరు మళ్లీ సంయోగం ద్వారా విభజించవచ్చు మరియు గుణించవచ్చు, కానీ న్యూమరేటర్ మరియు హారంలోని అనుమానాస్పద సారూప్య సంఖ్యలు తదుపరి కదలికను సూచిస్తాయి:

సమాధానం:

తనిఖీ చేయడానికి, ఫలిత విలువను అసలు సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపుకు ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం మరియు సరళీకరణలను చేద్దాం:

- అసలు సమీకరణం యొక్క కుడి వైపు పొందబడుతుంది, తద్వారా మూలం సరిగ్గా కనుగొనబడుతుంది.

...ఇప్పుడు, ఇప్పుడు... నేను మీ కోసం మరింత ఆసక్తికరమైనదాన్ని కనుగొంటాను... ఇక్కడ మీరు చూడండి:

ఉదాహరణ 6

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

ఈ సమీకరణం రూపానికి తగ్గిస్తుంది, అంటే ఇది సరళంగా ఉంటుంది. సూచన స్పష్టంగా ఉందని నేను భావిస్తున్నాను - దాని కోసం వెళ్ళండి!

అయితే... అతడు లేకుండా నువ్వు ఎలా జీవించగలవు:

సంక్లిష్ట గుణకాలతో చతురస్రాకార సమీకరణం

పాఠం వద్ద డమ్మీల కోసం సంక్లిష్ట సంఖ్యలువాస్తవ గుణకాలతో కూడిన చతురస్రాకార సమీకరణం సంక్లిష్ట మూలాలను సంయోగం చేయగలదని మేము తెలుసుకున్నాము, దాని తర్వాత తార్కిక ప్రశ్న తలెత్తుతుంది: వాస్తవానికి, గుణకాలు ఎందుకు సంక్లిష్టంగా ఉండవు? నేను ఒక సాధారణ కేసును రూపొందించనివ్వండి:

ఏకపక్ష సంక్లిష్ట గుణకాలతో చతుర్భుజ సమీకరణం (వీటిలో 1 లేదా 2 లేదా మొత్తం మూడు, ప్రత్యేకించి, చెల్లుబాటు అయ్యేవి)ఇది కలిగి ఉంది రెండు మరియు రెండు మాత్రమేసంక్లిష్ట మూలం (బహుశా ఒకటి లేదా రెండూ చెల్లుబాటు అయ్యేవి). అదే సమయంలో, మూలాలు (నిజమైన మరియు సున్నా కాని ఊహాత్మక భాగం రెండూ)ఏకీభవించవచ్చు (గుణకాలు కావచ్చు).

సంక్లిష్ట గుణకాలతో కూడిన చతురస్రాకార సమీకరణం అదే పథకాన్ని ఉపయోగించి పరిష్కరించబడుతుంది "పాఠశాల" సమీకరణం, గణన సాంకేతికతలో కొన్ని తేడాలతో:

ఉదాహరణ 7

వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనండి

పరిష్కారం: ఊహాత్మక యూనిట్ మొదట వస్తుంది, మరియు, సూత్రప్రాయంగా, మీరు దానిని వదిలించుకోవచ్చు (రెండు వైపులా గుణించడం), అయితే, దీని కోసం ప్రత్యేకంగా అవసరం లేదు.

సౌలభ్యం కోసం, మేము గుణకాలను వ్రాస్తాము:

ఉచిత సభ్యుని "మైనస్"ని కోల్పోవద్దు! ...ఇది అందరికీ స్పష్టంగా తెలియకపోవచ్చు - నేను సమీకరణాన్ని ప్రామాణిక రూపంలో తిరిగి వ్రాస్తాను :

వివక్షను గణిద్దాం:

మరియు ఇక్కడ ప్రధాన అడ్డంకి ఉంది:

రూట్‌ను సంగ్రహించడానికి సాధారణ ఫార్ములా యొక్క అప్లికేషన్ (వ్యాసం చివరి పేరా చూడండి డమ్మీల కోసం సంక్లిష్ట సంఖ్యలు) రాడికల్ కాంప్లెక్స్ నంబర్ ఆర్గ్యుమెంట్‌తో సంబంధం ఉన్న తీవ్రమైన ఇబ్బందులతో సంక్లిష్టంగా ఉంటుంది (మీ కోసం చూడండి). కానీ మరొక, "బీజగణిత" మార్గం ఉంది! మేము రూపంలో రూట్ కోసం చూస్తాము:

రెండు వైపులా స్క్వేర్ చేద్దాం:

వాటి వాస్తవ మరియు ఊహాత్మక భాగాలు సమానంగా ఉంటే రెండు సంక్లిష్ట సంఖ్యలు సమానంగా ఉంటాయి. అందువలన, మేము ఈ క్రింది వ్యవస్థను పొందుతాము:

వ్యవస్థను ఎంచుకోవడం ద్వారా పరిష్కరించడం సులభం (మరింత క్షుణ్ణమైన మార్గం 2వ సమీకరణం నుండి వ్యక్తీకరించడం - 1వ స్థానంలోకి ప్రత్యామ్నాయం, ద్విచక్ర సమీకరణాన్ని పొందడం మరియు పరిష్కరించడం). సమస్య యొక్క రచయిత రాక్షసుడు కాదని ఊహిస్తూ, మేము పూర్ణాంకాల పరికల్పనను ముందుకు తెచ్చాము. 1వ సమీకరణం నుండి అది "x"ని అనుసరిస్తుంది మాడ్యులో"Y" కంటే ఎక్కువ. అదనంగా, సానుకూల ఉత్పత్తి మనకు తెలియనివి ఒకే గుర్తు అని చెబుతుంది. పైన పేర్కొన్నదాని ఆధారంగా మరియు 2వ సమీకరణంపై దృష్టి సారించి, దానికి సరిపోయే అన్ని జతలను మేము వ్రాస్తాము:

సిస్టమ్ యొక్క 1వ సమీకరణం చివరి రెండు జతల ద్వారా సంతృప్తి చెందిందని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది, ఈ విధంగా:

ఇంటర్మీడియట్ చెక్ బాధించదు:

ఏది తనిఖీ చేయవలసి ఉంది.

మీరు "పని" రూట్‌గా ఎంచుకోవచ్చు ఏదైనాఅర్థం. “కాన్స్” లేకుండా సంస్కరణను తీసుకోవడం మంచిదని స్పష్టమైంది:

మేము మూలాలను కనుగొంటాము, మర్చిపోకుండా, మార్గం ద్వారా, అది:

సమాధానం:

కనుగొన్న మూలాలు సమీకరణాన్ని సంతృప్తి పరుస్తాయో లేదో తనిఖీ చేద్దాం :

1) ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం:

నిజమైన సమానత్వం.

2) ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం:

నిజమైన సమానత్వం.

అందువలన, పరిష్కారం సరిగ్గా కనుగొనబడింది.

సమస్య ఆధారంగా మేము ఇప్పుడే చర్చించాము:

ఉదాహరణ 8

సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనండి

యొక్క వర్గమూలం అని గమనించాలి పూర్తిగా సంక్లిష్టమైనదిసాధారణ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి సంఖ్యలను సులభంగా సంగ్రహించవచ్చు , ఎక్కడ , కాబట్టి రెండు పద్ధతులు నమూనాలో చూపబడ్డాయి. రెండవ ఉపయోగకరమైన వ్యాఖ్య, స్థిరాంకం యొక్క మూలం యొక్క ప్రాథమిక వెలికితీత పరిష్కారాన్ని అస్సలు సులభతరం చేయదు.

ఇప్పుడు మీరు విశ్రాంతి తీసుకోవచ్చు - ఈ ఉదాహరణలో మీరు కొంచెం భయంతో బయటపడతారు :)

ఉదాహరణ 9

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి మరియు తనిఖీ చేయండి

పాఠం చివరిలో పరిష్కారాలు మరియు సమాధానాలు.

వ్యాసం యొక్క చివరి పేరా అంకితం చేయబడింది

సంక్లిష్ట సంఖ్యలతో సమీకరణాల వ్యవస్థ

విశ్రాంతి తీసుకోండి మరియు... ఉద్విగ్నత చెందకండి =) సరళమైన సందర్భాన్ని పరిశీలిద్దాం - రెండు తెలియని రెండు సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ:

ఉదాహరణ 10

సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి. బీజగణితం మరియు ఘాతాంక రూపాల్లో సమాధానాన్ని ప్రదర్శించండి, డ్రాయింగ్‌లోని మూలాలను వర్ణించండి.

పరిష్కారం: సిస్టమ్‌కు ప్రత్యేకమైన పరిష్కారం ఉందని షరతు సూచిస్తుంది, అంటే, సంతృప్తిపరిచే రెండు సంఖ్యలను మనం కనుగొనాలి. ప్రతి ఒక్కరికివ్యవస్థ యొక్క సమీకరణం.

వ్యవస్థ నిజంగా "పిల్లతనం" మార్గంలో పరిష్కరించబడుతుంది (ఒక వేరియబుల్‌ని మరొక పరంగా వ్యక్తపరచండి) , అయితే ఇది ఉపయోగించడానికి చాలా సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది క్రామెర్ సూత్రాలు. లెక్క తీసుకుందాం ప్రధాన నిర్ణయాధికారివ్యవస్థలు:

, అంటే సిస్టమ్‌కు ప్రత్యేకమైన పరిష్కారం ఉంది.

మీ సమయాన్ని వెచ్చించి, దశలను వీలైనంత వివరంగా వ్రాయడం మంచిదని నేను పునరావృతం చేస్తున్నాను:

మేము ఒక ఊహాత్మక యూనిట్ ద్వారా న్యూమరేటర్ మరియు హారంను గుణించి, 1వ మూలాన్ని పొందుతాము:

అదేవిధంగా:

సంబంధిత కుడి-భుజాలు మొదలైనవి పొందబడతాయి.

డ్రాయింగ్ చేద్దాం:

ఘాతాంక రూపంలో మూలాలను సూచిస్తాం. దీన్ని చేయడానికి, మీరు వారి మాడ్యూల్స్ మరియు వాదనలను కనుగొనాలి:

1) - "రెండు" యొక్క ఆర్క్టాంజెంట్ "పేలవంగా" లెక్కించబడుతుంది, కాబట్టి మేము దానిని ఇలా వదిలివేస్తాము:

సంక్లిష్ట సంఖ్యలతో సమస్యలను పరిష్కరించడానికి, మీరు ప్రాథమిక నిర్వచనాలను అర్థం చేసుకోవాలి. ఈ సమీక్ష కథనం యొక్క ప్రధాన లక్ష్యం సంక్లిష్ట సంఖ్యలు అంటే ఏమిటో మరియు సంక్లిష్ట సంఖ్యలతో ప్రాథమిక సమస్యలను పరిష్కరించడానికి ప్రస్తుత పద్ధతులను వివరించడం. కాబట్టి, సంక్లిష్ట సంఖ్యను ఫారమ్ యొక్క సంఖ్య అంటారు z = a + bi, ఎక్కడ ఎ, బి- వాస్తవ సంఖ్యలు, ఇవి వరుసగా సంక్లిష్ట సంఖ్య యొక్క వాస్తవ మరియు ఊహాత్మక భాగాలుగా పిలువబడతాయి మరియు సూచిస్తాయి a = Re(z), b=Im(z).
iఊహాత్మక యూనిట్ అని పిలుస్తారు. i 2 = -1. ప్రత్యేకించి, ఏదైనా వాస్తవ సంఖ్యను సంక్లిష్టంగా పరిగణించవచ్చు: a = a + 0i, ఇక్కడ a నిజమైనది. ఉంటే a = 0మరియు బి ≠ 0, అప్పుడు సంఖ్య సాధారణంగా పూర్తిగా ఊహాత్మకంగా పిలువబడుతుంది.

ఇప్పుడు సంక్లిష్ట సంఖ్యలపై కార్యకలాపాలను పరిచయం చేద్దాం.
రెండు సంక్లిష్ట సంఖ్యలను పరిగణించండి z 1 = a 1 + b 1 iమరియు z 2 = a 2 + b 2 i.

పరిగణలోకి తీసుకుందాం z = a + bi.

సంక్లిష్ట సంఖ్యల సమితి వాస్తవ సంఖ్యల సమితిని విస్తరిస్తుంది, ఇది హేతుబద్ధ సంఖ్యల సమితిని విస్తరిస్తుంది. ఈ పెట్టుబడుల గొలుసును చిత్రంలో చూడవచ్చు: N - సహజ సంఖ్యలు, Z - పూర్ణాంకాలు, Q - హేతుబద్ధం, R - నిజమైన, C - కాంప్లెక్స్.

సంక్లిష్ట సంఖ్యల ప్రాతినిధ్యం

బీజగణిత సంజ్ఞామానం.

సంక్లిష్ట సంఖ్యను పరిగణించండి z = a + bi, సంక్లిష్ట సంఖ్యను వ్రాసే ఈ రూపాన్ని అంటారు బీజగణితం. మేము ఇప్పటికే మునుపటి విభాగంలో ఈ రకమైన రికార్డింగ్ గురించి వివరంగా చర్చించాము. కింది విజువల్ డ్రాయింగ్ చాలా తరచుగా ఉపయోగించబడుతుంది

త్రికోణమితి రూపం.

సంఖ్య అని బొమ్మ నుండి చూడవచ్చు z = a + biభిన్నంగా వ్రాయవచ్చు. అది స్పష్టంగా ఉంది a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, అందుకే z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) సంక్లిష్ట సంఖ్య యొక్క వాదన అంటారు. సంక్లిష్ట సంఖ్య యొక్క ఈ ప్రాతినిధ్యం అంటారు త్రికోణమితి రూపం. సంజ్ఞామానం యొక్క త్రికోణమితి రూపం కొన్నిసార్లు చాలా సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, సంక్లిష్ట సంఖ్యను పూర్ణాంక శక్తికి పెంచడానికి దీన్ని ఉపయోగించడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది, అవి ఉంటే z = rcos(φ) + rsin(φ)i, ఆ z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, ఈ ఫార్ములా అంటారు మోయివ్రే సూత్రం.

ప్రదర్శన రూపం.

పరిగణలోకి తీసుకుందాం z = rcos(φ) + rsin(φ)i- త్రికోణమితి రూపంలో సంక్లిష్ట సంఖ్య, దానిని మరొక రూపంలో వ్రాయండి z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, చివరి సమానత్వం యూలర్ సూత్రం నుండి అనుసరిస్తుంది, కాబట్టి మేము సంక్లిష్ట సంఖ్యను వ్రాయడానికి కొత్త రూపాన్ని పొందాము: z = reiφ, అని పిలుస్తారు సూచిక. సంక్లిష్ట సంఖ్యను శక్తికి పెంచడానికి ఈ రకమైన సంజ్ఞామానం కూడా చాలా సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది: z n = r n e inφ, ఇక్కడ nతప్పనిసరిగా పూర్ణాంకం కాదు, కానీ ఏకపక్ష వాస్తవ సంఖ్య కావచ్చు. ఈ రకమైన సంజ్ఞామానం సమస్యలను పరిష్కరించడానికి చాలా తరచుగా ఉపయోగించబడుతుంది.

ఉన్నత బీజగణితం యొక్క ప్రాథమిక సిద్ధాంతం

మనకు x 2 + x + 1 = 0 అనే చతుర్భుజ సమీకరణం ఉందని ఊహించుకుందాం. సహజంగానే, ఈ సమీకరణం యొక్క వివక్ష ప్రతికూలమైనది మరియు దీనికి నిజమైన మూలాలు లేవు, కానీ ఈ సమీకరణానికి రెండు విభిన్న సంక్లిష్ట మూలాలు ఉన్నాయని తేలింది. కాబట్టి, అధిక బీజగణితం యొక్క ప్రాథమిక సిద్ధాంతం డిగ్రీ n యొక్క ఏదైనా బహుపది కనీసం ఒక సంక్లిష్ట మూలాన్ని కలిగి ఉంటుందని పేర్కొంది. దీని నుండి డిగ్రీ n యొక్క ఏదైనా బహుపది ఖచ్చితంగా n సంక్లిష్ట మూలాలను కలిగి ఉంటుంది, వాటి గుణకారాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటుంది. ఈ సిద్ధాంతం గణితంలో చాలా ముఖ్యమైన ఫలితం మరియు విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతుంది. ఈ సిద్ధాంతం యొక్క సాధారణ పరిణామం ఏమిటంటే, ఏకత్వం యొక్క డిగ్రీ n యొక్క విభిన్న మూలాలు సరిగ్గా n ఉన్నాయి.

విధుల యొక్క ప్రధాన రకాలు

ఈ విభాగం సంక్లిష్ట సంఖ్యలతో కూడిన సాధారణ సమస్యల యొక్క ప్రధాన రకాలను పరిశీలిస్తుంది. సాంప్రదాయకంగా, సంక్లిష్ట సంఖ్యలతో కూడిన సమస్యలను క్రింది వర్గాలుగా విభజించవచ్చు.

• సంక్లిష్ట సంఖ్యలపై సాధారణ అంకగణిత కార్యకలాపాలను నిర్వహించడం.
• సంక్లిష్ట సంఖ్యలలో బహుపదాల మూలాలను కనుగొనడం.
• సంక్లిష్ట సంఖ్యలను అధికారాలకు పెంచడం.
• సంక్లిష్ట సంఖ్యల నుండి మూలాలను సంగ్రహించడం.
• ఇతర సమస్యలను పరిష్కరించడానికి సంక్లిష్ట సంఖ్యలను ఉపయోగించడం.

ఇప్పుడు ఈ సమస్యలను పరిష్కరించడానికి సాధారణ పద్ధతులను చూద్దాం.

సంక్లిష్ట సంఖ్యలతో సరళమైన అంకగణిత కార్యకలాపాలు మొదటి విభాగంలో వివరించిన నియమాల ప్రకారం నిర్వహించబడతాయి, అయితే సంక్లిష్ట సంఖ్యలు త్రికోణమితి లేదా ఘాతాంక రూపాల్లో ప్రదర్శించబడితే, ఈ సందర్భంలో మీరు వాటిని బీజగణిత రూపంలోకి మార్చవచ్చు మరియు తెలిసిన నియమాల ప్రకారం కార్యకలాపాలను నిర్వహించవచ్చు.

బహుపదాల మూలాలను కనుగొనడం సాధారణంగా వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనడానికి వస్తుంది. మనకు చతుర్భుజ సమీకరణం ఉందని అనుకుందాం, దాని వివక్షత ప్రతికూలంగా ఉంటే, దాని మూలాలు నిజమైనవి మరియు బాగా తెలిసిన ఫార్ములా ప్రకారం కనుగొనబడతాయి. వివక్షత ప్రతికూలంగా ఉంటే, అంటే, D = -1∙a 2, ఎక్కడ aఒక నిర్దిష్ట సంఖ్య, అప్పుడు వివక్షను ఇలా సూచించవచ్చు D = (ia) 2, అందుకే √D = i|a|, ఆపై మీరు వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాల కోసం ఇప్పటికే తెలిసిన సూత్రాన్ని ఉపయోగించవచ్చు.

ఉదాహరణ. x 2 + x + 1 = 0 పైన పేర్కొన్న వర్గ సమీకరణానికి తిరిగి వెళ్దాం.
వివక్షత - D = 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1(√3) 2 = (i√3) 2.
ఇప్పుడు మనం సులభంగా మూలాలను కనుగొనవచ్చు:

సంక్లిష్ట సంఖ్యలను అధికారాలకు పెంచడం అనేక విధాలుగా చేయవచ్చు. మీరు బీజగణిత రూపంలో సంక్లిష్ట సంఖ్యను చిన్న శక్తికి (2 లేదా 3) పెంచాల్సిన అవసరం ఉంటే, మీరు దీన్ని ప్రత్యక్ష గుణకారం ద్వారా చేయవచ్చు, కానీ శక్తి పెద్దది అయితే (సమస్యలలో ఇది చాలా పెద్దది), అప్పుడు మీరు దీన్ని చేయాలి ఈ సంఖ్యను త్రికోణమితి లేదా ఘాతాంక రూపాల్లో వ్రాయండి మరియు ఇప్పటికే తెలిసిన పద్ధతులను ఉపయోగించండి.

ఉదాహరణ. z = 1 + iని పరిగణించండి మరియు దానిని పదవ శక్తికి పెంచండి.
z ని ఘాతాంక రూపంలో వ్రాద్దాం: z = √2 e iπ/4.
అప్పుడు z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
బీజగణిత రూపానికి తిరిగి వెళ్దాం: z 10 = -32i.

సంక్లిష్ట సంఖ్యల నుండి మూలాలను సంగ్రహించడం అనేది ఎక్స్‌పోనెన్షియేషన్ యొక్క విలోమ ఆపరేషన్ మరియు అందువల్ల ఇదే విధంగా నిర్వహించబడుతుంది. మూలాలను సంగ్రహించడానికి, సంఖ్యను వ్రాయడం యొక్క ఘాతాంక రూపం తరచుగా ఉపయోగించబడుతుంది.

ఉదాహరణ. ఐక్యత యొక్క డిగ్రీ 3 యొక్క అన్ని మూలాలను కనుగొనండి. దీన్ని చేయడానికి, మేము z 3 = 1 సమీకరణం యొక్క అన్ని మూలాలను కనుగొంటాము, మేము ఘాతాంక రూపంలో మూలాల కోసం చూస్తాము.
సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం: r 3 e 3iφ = 1 లేదా r 3 e 3iφ = e 0 .
అందువల్ల: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, కాబట్టి φ = 2πk/3.
వివిధ మూలాలు φ = 0, 2π/3, 4π/3 వద్ద పొందబడతాయి.
కాబట్టి 1, e i2π/3, e i4π/3 మూలాలు.
లేదా బీజగణిత రూపంలో:

చివరి రకమైన సమస్యలు అనేక రకాల సమస్యలను కలిగి ఉంటాయి మరియు వాటిని పరిష్కరించడానికి సాధారణ పద్ధతులు లేవు. అటువంటి పనికి ఒక సాధారణ ఉదాహరణ ఇద్దాం:

మొత్తాన్ని కనుగొనండి sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + ... + sin(nx).

ఈ సమస్య యొక్క సూత్రీకరణ సంక్లిష్ట సంఖ్యలను కలిగి ఉండనప్పటికీ, ఇది వారి సహాయంతో సులభంగా పరిష్కరించబడుతుంది. దాన్ని పరిష్కరించడానికి, కింది ప్రాతినిధ్యాలు ఉపయోగించబడతాయి:


మేము ఇప్పుడు ఈ ప్రాతినిధ్యాన్ని మొత్తానికి ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, సమస్య సాధారణ రేఖాగణిత పురోగతిని సంక్షిప్తీకరించడానికి తగ్గించబడుతుంది.

ముగింపు

సంక్లిష్ట సంఖ్యలు గణితంలో విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతున్నాయి; ఈ సమీక్షా వ్యాసం సంక్లిష్ట సంఖ్యలపై ప్రాథమిక కార్యకలాపాలను పరిశీలించింది, అనేక రకాల ప్రామాణిక సమస్యలను వివరించింది మరియు సంక్లిష్ట సంఖ్యల సామర్థ్యాలను మరింత వివరంగా అధ్యయనం చేయడానికి సాధారణ పద్ధతులను వివరించింది ప్రత్యేక సాహిత్యాన్ని ఉపయోగించండి.

సాహిత్యం

ఆన్‌లైన్ సమీకరణ పరిష్కార సేవ ఏదైనా సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడంలో మీకు సహాయం చేస్తుంది. మా వెబ్‌సైట్‌ను ఉపయోగించి, మీరు సమీకరణానికి సమాధానాన్ని మాత్రమే అందుకుంటారు, కానీ వివరణాత్మక పరిష్కారాన్ని కూడా చూస్తారు, అంటే ఫలితాన్ని పొందే ప్రక్రియ యొక్క దశల వారీ ప్రదర్శన. మా సేవ ఉన్నత పాఠశాల విద్యార్థులకు మరియు వారి తల్లిదండ్రులకు ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది. విద్యార్థులు పరీక్షలు మరియు పరీక్షల కోసం సిద్ధం చేయగలరు, వారి జ్ఞానాన్ని పరీక్షించగలరు మరియు తల్లిదండ్రులు వారి పిల్లలచే గణిత సమీకరణాల పరిష్కారాన్ని పర్యవేక్షించగలరు. సమీకరణాలను పరిష్కరించే సామర్థ్యం పాఠశాల పిల్లలకు తప్పనిసరి అవసరం. గణిత సమీకరణాల రంగంలో మిమ్మల్ని మీరు విద్యావంతులను చేసుకోవడానికి మరియు మీ జ్ఞానాన్ని మెరుగుపరచుకోవడానికి ఈ సేవ మీకు సహాయం చేస్తుంది. దాని సహాయంతో, మీరు ఏదైనా సమీకరణాన్ని పరిష్కరించవచ్చు: క్వాడ్రాటిక్, క్యూబిక్, అహేతుక, త్రికోణమితి, మొదలైనవి. ఆన్‌లైన్ సేవ యొక్క ప్రయోజనాలు అమూల్యమైనవి, ఎందుకంటే సరైన సమాధానంతో పాటు, మీరు ప్రతి సమీకరణానికి వివరణాత్మక పరిష్కారాన్ని అందుకుంటారు. ఆన్‌లైన్‌లో సమీకరణాలను పరిష్కరించడం వల్ల కలిగే ప్రయోజనాలు. మీరు మా వెబ్‌సైట్‌లో ఆన్‌లైన్‌లో ఏదైనా సమీకరణాన్ని పూర్తిగా ఉచితంగా పరిష్కరించవచ్చు. సేవ పూర్తిగా ఆటోమేటిక్, మీరు మీ కంప్యూటర్‌లో ఏదైనా ఇన్‌స్టాల్ చేయవలసిన అవసరం లేదు, మీరు డేటాను నమోదు చేయాలి మరియు ప్రోగ్రామ్ మీకు పరిష్కారాన్ని ఇస్తుంది. గణనలలో ఏవైనా లోపాలు లేదా అక్షరదోషాలు మినహాయించబడ్డాయి. మాతో, ఆన్‌లైన్‌లో ఏదైనా సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం చాలా సులభం, కాబట్టి ఎలాంటి సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి మా సైట్‌ను ఉపయోగించాలని నిర్ధారించుకోండి. మీరు డేటాను మాత్రమే నమోదు చేయాలి మరియు గణన సెకన్ల వ్యవధిలో పూర్తవుతుంది. ప్రోగ్రామ్ మానవ ప్రమేయం లేకుండా స్వతంత్రంగా పనిచేస్తుంది మరియు మీరు ఖచ్చితమైన మరియు వివరణాత్మక సమాధానాన్ని అందుకుంటారు. సాధారణ రూపంలో సమీకరణం యొక్క పరిష్కారం. అటువంటి సమీకరణంలో, వేరియబుల్ కోఎఫీషియంట్స్ మరియు కావలసిన మూలాలు పరస్పరం అనుసంధానించబడి ఉంటాయి. వేరియబుల్ యొక్క అత్యధిక శక్తి అటువంటి సమీకరణం యొక్క క్రమాన్ని నిర్ణయిస్తుంది. దీని ఆధారంగా, పరిష్కారాలను కనుగొనడానికి సమీకరణాల కోసం వివిధ పద్ధతులు మరియు సిద్ధాంతాలను ఉపయోగిస్తారు. ఈ రకమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించడం అంటే సాధారణ రూపంలో అవసరమైన మూలాలను కనుగొనడం. ఆన్‌లైన్‌లో అత్యంత సంక్లిష్టమైన బీజగణిత సమీకరణాన్ని కూడా పరిష్కరించడానికి మా సేవ మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. మీరు సమీకరణానికి సాధారణ పరిష్కారం మరియు మీరు పేర్కొన్న గుణకాల సంఖ్యా విలువల కోసం ఒక నిర్దిష్ట పరిష్కారం రెండింటినీ పొందవచ్చు. వెబ్‌సైట్‌లో బీజగణిత సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి, కేవలం రెండు ఫీల్డ్‌లను మాత్రమే సరిగ్గా పూరిస్తే సరిపోతుంది: ఇచ్చిన సమీకరణం యొక్క ఎడమ మరియు కుడి వైపులా. వేరియబుల్ కోఎఫీషియంట్‌లతో బీజగణిత సమీకరణాలు అనంతమైన పరిష్కారాలను కలిగి ఉంటాయి మరియు కొన్ని షరతులను సెట్ చేయడం ద్వారా, పరిష్కారాల సమితి నుండి పాక్షిక వాటిని ఎంపిక చేస్తారు. చతుర్భుజ సమీకరణం. చతురస్రాకార సమీకరణం a>0 కోసం ax^2+bx+c=0 రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది. చతురస్రాకార సమీకరణాలను పరిష్కరించడం అనేది x విలువలను కనుగొనడంలో ఉంటుంది, దీనిలో సమానత్వం ax^2+bx+c=0 ఉంటుంది. దీన్ని చేయడానికి, D=b^2-4ac సూత్రాన్ని ఉపయోగించి వివక్షత విలువను కనుగొనండి. వివక్షత సున్నా కంటే తక్కువగా ఉంటే, సమీకరణానికి నిజమైన మూలాలు ఉండవు (మూలాలు సంక్లిష్ట సంఖ్యల ఫీల్డ్ నుండి వచ్చినవి), అది సున్నాకి సమానం అయితే, సమీకరణానికి ఒక వాస్తవ మూలం ఉంటుంది మరియు వివక్షత సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉంటే , అప్పుడు సమీకరణం రెండు వాస్తవ మూలాలను కలిగి ఉంటుంది, ఇవి ఫార్ములా ద్వారా కనుగొనబడతాయి: D = -b+-sqrt/2a. ఆన్‌లైన్‌లో క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి, మీరు సమీకరణం యొక్క గుణకాలను (పూర్ణాంకాలు, భిన్నాలు లేదా దశాంశాలు) నమోదు చేయాలి. సమీకరణంలో వ్యవకలన సంకేతాలు ఉంటే, మీరు తప్పనిసరిగా సమీకరణం యొక్క సంబంధిత నిబంధనల ముందు మైనస్ గుర్తును ఉంచాలి. మీరు పరామితిపై ఆధారపడి ఆన్‌లైన్‌లో వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించవచ్చు, అంటే సమీకరణం యొక్క గుణకాలలోని వేరియబుల్స్. సాధారణ పరిష్కారాలను కనుగొనడానికి మా ఆన్‌లైన్ సేవ ఈ పనిని బాగా ఎదుర్కొంటుంది. సరళ సమీకరణాలు. సరళ సమీకరణాలను (లేదా సమీకరణాల వ్యవస్థలు) పరిష్కరించడానికి, ఆచరణలో నాలుగు ప్రధాన పద్ధతులు ఉపయోగించబడతాయి. మేము ప్రతి పద్ధతిని వివరంగా వివరిస్తాము. ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతి. ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతిని ఉపయోగించి సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ఒక వేరియబుల్‌ను ఇతరుల పరంగా వ్యక్తీకరించడం అవసరం. దీని తరువాత, వ్యక్తీకరణ వ్యవస్థ యొక్క ఇతర సమీకరణాలలోకి భర్తీ చేయబడుతుంది. అందువల్ల పరిష్కార పద్ధతి పేరు, అంటే, వేరియబుల్‌కు బదులుగా, దాని వ్యక్తీకరణ మిగిలిన వేరియబుల్స్ ద్వారా భర్తీ చేయబడుతుంది. ఆచరణలో, పద్ధతికి సంక్లిష్టమైన గణనలు అవసరం, అయితే ఇది అర్థం చేసుకోవడం సులభం, కాబట్టి ఆన్‌లైన్‌లో ఇటువంటి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సమయాన్ని ఆదా చేయడంలో సహాయపడుతుంది మరియు గణనలను సులభతరం చేస్తుంది. మీరు సమీకరణంలో తెలియని వ్యక్తుల సంఖ్యను సూచించాలి మరియు సరళ సమీకరణాల నుండి డేటాను పూరించండి, అప్పుడు సేవ గణనను చేస్తుంది. గాస్ పద్ధతి. ఈ పద్ధతి సమానమైన త్రిభుజాకార వ్యవస్థకు చేరుకోవడానికి సిస్టమ్ యొక్క సరళమైన పరివర్తనలపై ఆధారపడి ఉంటుంది. దాని నుండి, తెలియనివి ఒక్కొక్కటిగా నిర్ణయించబడతాయి. ఆచరణలో, మీరు అటువంటి సమీకరణాన్ని ఆన్‌లైన్‌లో వివరణాత్మక వర్ణనతో పరిష్కరించాలి, దీనికి ధన్యవాదాలు మీరు సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడానికి గాస్సియన్ పద్ధతిని బాగా అర్థం చేసుకుంటారు. సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను సరైన ఆకృతిలో వ్రాసి, సిస్టమ్‌ను ఖచ్చితంగా పరిష్కరించడానికి తెలియని వ్యక్తుల సంఖ్యను పరిగణనలోకి తీసుకోండి. క్రామెర్ పద్ధతి. ఈ పద్ధతి వ్యవస్థకు ప్రత్యేకమైన పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉన్న సందర్భాలలో సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరిస్తుంది. ఇక్కడ ప్రధాన గణిత చర్య మాతృక నిర్ణాయకాలను లెక్కించడం. క్రామర్ పద్ధతిని ఉపయోగించి సమీకరణాలను పరిష్కరించడం ఆన్‌లైన్‌లో నిర్వహించబడుతుంది, మీరు పూర్తి మరియు వివరణాత్మక వివరణతో తక్షణమే ఫలితాన్ని అందుకుంటారు. సిస్టమ్‌ను గుణకాలతో పూరించడానికి మరియు తెలియని వేరియబుల్స్ సంఖ్యను ఎంచుకుంటే సరిపోతుంది. మ్యాట్రిక్స్ పద్ధతి. ఈ పద్ధతిలో మాతృక Aలో తెలియని వాటి గుణకాలు, కాలమ్ Xలో తెలియనివి మరియు కాలమ్ Bలోని ఉచిత నిబంధనలను సేకరించడం జరుగుతుంది. అందువలన, సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ AxX=B రూపం యొక్క మాతృక సమీకరణానికి తగ్గించబడుతుంది. మాతృక A యొక్క నిర్ణాయకం సున్నా నుండి భిన్నంగా ఉంటే మాత్రమే ఈ సమీకరణం ఒక ప్రత్యేక పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటుంది, లేకపోతే సిస్టమ్‌కు పరిష్కారాలు లేవు లేదా అనంతమైన పరిష్కారాలు ఉంటాయి. మాతృక పద్ధతిని ఉపయోగించి సమీకరణాలను పరిష్కరించడం అనేది విలోమ మాతృక Aని కనుగొనడం.