వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్ధాన్ని కనుగొనండి మరియు ఉంటే. వ్యక్తీకరణల విలువలను లెక్కించడానికి హేతుబద్ధమైన మార్గాలు

కాబట్టి, సంఖ్యా వ్యక్తీకరణ సంఖ్యలు మరియు సంకేతాలతో రూపొందించబడితే +, -, · మరియు:, అప్పుడు ఎడమ నుండి కుడికి క్రమంలో మీరు మొదట గుణకారం మరియు భాగహారం చేయాలి, ఆపై కూడిక మరియు తీసివేత, ఇది మిమ్మల్ని కనుగొనడానికి అనుమతిస్తుంది. వ్యక్తీకరణ యొక్క కావలసిన విలువ.

స్పష్టత కోసం కొన్ని ఉదాహరణలు ఇద్దాం.

ఉదాహరణ.

14−2·15:6−3 వ్యక్తీకరణ విలువను లెక్కించండి.

పరిష్కారం.

వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనడానికి, మీరు ఈ చర్యలను నిర్వహించే ఆమోదించబడిన క్రమానికి అనుగుణంగా దానిలో పేర్కొన్న అన్ని చర్యలను నిర్వహించాలి. మొదట, ఎడమ నుండి కుడికి క్రమంలో, మేము గుణకారం మరియు విభజన చేస్తాము, మనకు లభిస్తుంది 14−2·15:6−3=14−30:6−3=14−5−3. ఇప్పుడు మేము ఎడమ నుండి కుడికి క్రమంలో మిగిలిన చర్యలను కూడా చేస్తాము: 14−5−3=9−3=6. అసలు వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను మేము ఈ విధంగా కనుగొన్నాము, అది 6కి సమానం.

సమాధానం:

14−2·15:6−3=6.

ఉదాహరణ.

వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్ధాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం.

ఈ ఉదాహరణలో, మనం ముందుగా గుణకారం 2·(−7) మరియు వ్యక్తీకరణలో గుణకారంతో భాగహారం చేయాలి. ఎలా గుర్తు చేసుకుంటే, మనం 2·(−7)=−14ని కనుగొంటాము. మరియు ముందుగా వ్యక్తీకరణలోని చర్యలను నిర్వహించడానికి , అప్పుడు , మరియు అమలు చేయండి: .

మేము పొందిన విలువలను అసలు వ్యక్తీకరణలో ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము: .

అయితే మూల సంకేతం కింద సంఖ్యా వ్యక్తీకరణ ఉంటే ఏమి చేయాలి? అటువంటి రూట్ యొక్క విలువను పొందడానికి, మీరు మొదట రాడికల్ వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనాలి, చర్యలను అంగీకరించిన క్రమానికి కట్టుబడి ఉండాలి. ఉదాహరణకి, .

సంఖ్యా వ్యక్తీకరణలలో, మూలాలను కొన్ని సంఖ్యలుగా గుర్తించాలి మరియు వెంటనే మూలాలను వాటి విలువలతో భర్తీ చేయడం మంచిది, ఆపై మూలాలు లేకుండా ఫలిత వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనడం, అంగీకరించిన క్రమంలో చర్యలు చేయడం.

ఉదాహరణ.

మూలాలతో వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్ధాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం.

ముందుగా రూట్ విలువను కనుక్కోండి . దీన్ని చేయడానికి, మొదట, మేము రాడికల్ వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను లెక్కిస్తాము, మనకు ఉంది −2·3−1+60:4=−6−1+15=8. మరియు రెండవది, మేము రూట్ యొక్క విలువను కనుగొంటాము.

ఇప్పుడు అసలు వ్యక్తీకరణ నుండి రెండవ రూట్ విలువను గణిద్దాం: .

చివరగా, మూలాలను వాటి విలువలతో భర్తీ చేయడం ద్వారా అసలు వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్థాన్ని మనం కనుగొనవచ్చు: .

సమాధానం:

చాలా తరచుగా, మూలాలతో వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్ధాన్ని కనుగొనడానికి, మొదట దానిని మార్చడం అవసరం. ఉదాహరణకి పరిష్కారం చూపిద్దాం.

ఉదాహరణ.

వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్థం ఏమిటి .

పరిష్కారం.

మేము మూడు యొక్క మూలాన్ని దాని ఖచ్చితమైన విలువతో భర్తీ చేయలేకపోతున్నాము, ఇది పైన వివరించిన పద్ధతిలో ఈ వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను లెక్కించకుండా నిరోధిస్తుంది. అయినప్పటికీ, మేము సాధారణ పరివర్తనలను చేయడం ద్వారా ఈ వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను లెక్కించవచ్చు. వర్తించే చదరపు తేడా సూత్రం: . పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, మేము పొందుతాము . అందువలన, అసలు వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువ 1.

సమాధానం:

.

డిగ్రీలతో

ఆధారం మరియు ఘాతాంకం సంఖ్యలు అయితే, వాటి విలువ డిగ్రీని నిర్ణయించడం ద్వారా లెక్కించబడుతుంది, ఉదాహరణకు, 3 2 =3·3=9 లేదా 8 −1 =1/8. ఆధారం మరియు/లేదా ఘాతాంకం కొన్ని వ్యక్తీకరణలుగా ఉన్న ఎంట్రీలు కూడా ఉన్నాయి. ఈ సందర్భాలలో, మీరు బేస్‌లో వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను, ఘాతాంకంలోని వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొని, ఆపై డిగ్రీ విలువను లెక్కించాలి.

ఉదాహరణ.

రూపం యొక్క అధికారాలతో వ్యక్తీకరణ విలువను కనుగొనండి 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3.5−2·1/4.

పరిష్కారం.

అసలు వ్యక్తీకరణలో 2 3·4−10 మరియు (1−1/2) 3.5−2·1/4 అనే రెండు శక్తులు ఉన్నాయి. ఇతర చర్యలను చేసే ముందు వాటి విలువలను తప్పనిసరిగా లెక్కించాలి.

పవర్ 2 3·4−10తో ప్రారంభిద్దాం. దీని సూచిక సంఖ్యా వ్యక్తీకరణను కలిగి ఉంది, దాని విలువను గణిద్దాం: 3·4−10=12−10=2. ఇప్పుడు మీరు డిగ్రీ విలువను కనుగొనవచ్చు: 2 3·4−10 =2 2 =4.

బేస్ మరియు ఘాతాంకం (1−1/2) 3.5−2 1/4 వ్యక్తీకరణలను కలిగి ఉంటుంది; ఘాతాంకం యొక్క విలువను కనుగొనడానికి మేము వాటి విలువలను గణిస్తాము. మన దగ్గర ఉంది (1−1/2) 3.5−2 1/4 =(1/2) 3 =1/8.

ఇప్పుడు మనం అసలు వ్యక్తీకరణకు తిరిగి వస్తాము, దానిలోని డిగ్రీలను వాటి విలువలతో భర్తీ చేసి, మనకు అవసరమైన వ్యక్తీకరణ విలువను కనుగొనండి: 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3.5−2·1/4 = 4+16·1/8=4+2=6.

సమాధానం:

2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3.5−2·1/4 =6.

ప్రిలిమినరీని నిర్వహించడం మంచిది అయినప్పుడు మరింత సాధారణ కేసులు ఉన్నాయని గమనించాలి అధికారాలతో వ్యక్తీకరణ యొక్క సరళీకరణబేస్ మీద.

ఉదాహరణ.

వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్ధాన్ని కనుగొనండి .

పరిష్కారం.

ఈ వ్యక్తీకరణలోని ఘాతాంకాలను బట్టి చూస్తే, ఘాతాంకాల యొక్క ఖచ్చితమైన విలువలను పొందడం సాధ్యం కాదు. అసలు వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయడానికి ప్రయత్నిద్దాం, బహుశా ఇది దాని అర్థాన్ని కనుగొనడంలో సహాయపడుతుంది. మన దగ్గర ఉంది

సమాధానం:

.

వ్యక్తీకరణలలోని శక్తులు తరచుగా లాగరిథమ్‌లతో కలిసి వెళ్తాయి, అయితే మేము ఒకదానిలో లాగరిథమ్‌లతో వ్యక్తీకరణల అర్థాన్ని కనుగొనడం గురించి మాట్లాడుతాము.

భిన్నాలతో వ్యక్తీకరణ విలువను కనుగొనడం

సంఖ్యా వ్యక్తీకరణలు వాటి సంజ్ఞామానంలో భిన్నాలను కలిగి ఉండవచ్చు. మీరు ఇలాంటి వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్ధాన్ని కనుగొనవలసి వచ్చినప్పుడు, మిగిలిన దశలతో కొనసాగడానికి ముందు భిన్నాలు కాకుండా ఇతర భిన్నాలను వాటి విలువలతో భర్తీ చేయాలి.

భిన్నాల లవం మరియు హారం (సాధారణ భిన్నాలకు భిన్నంగా ఉంటాయి) కొన్ని సంఖ్యలు మరియు వ్యక్తీకరణలు రెండింటినీ కలిగి ఉంటాయి. అటువంటి భిన్నం యొక్క విలువను లెక్కించడానికి, మీరు న్యూమరేటర్‌లోని వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను లెక్కించాలి, హారంలోని వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను లెక్కించి, ఆపై భిన్నం యొక్క విలువను లెక్కించాలి. భిన్నం a/b, ఇక్కడ a మరియు b కొన్ని వ్యక్తీకరణలు, తప్పనిసరిగా ఫారమ్ (a):(b), నుండి భాగానికి ప్రాతినిధ్యం వహిస్తుంది అనే వాస్తవం ద్వారా ఈ క్రమం వివరించబడింది.

ఉదాహరణ పరిష్కారాన్ని చూద్దాం.

ఉదాహరణ.

భిన్నాలతో కూడిన వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్థం కనుగొనండి .

పరిష్కారం.

అసలు సంఖ్యా వ్యక్తీకరణలో మూడు భిన్నాలు ఉన్నాయి మరియు . అసలు వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనడానికి, మేము ముందుగా ఈ భిన్నాలను వాటి విలువలతో భర్తీ చేయాలి. మనం చేద్దాం.

భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ మరియు హారం సంఖ్యలను కలిగి ఉంటాయి. అటువంటి భిన్నం యొక్క విలువను కనుగొనడానికి, భిన్నం పట్టీని విభజన గుర్తుతో భర్తీ చేయండి మరియు ఈ చర్యను చేయండి: .

భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్‌లో 7−2·3 అనే వ్యక్తీకరణ ఉంది, దాని విలువను కనుగొనడం సులభం: 7−2·3=7−6=1. ఈ విధంగా, . మీరు మూడవ భిన్నం యొక్క విలువను కనుగొనడానికి కొనసాగవచ్చు.

న్యూమరేటర్ మరియు హారంలోని మూడవ భిన్నం సంఖ్యా వ్యక్తీకరణలను కలిగి ఉంటుంది, కాబట్టి మీరు మొదట వాటి విలువలను లెక్కించాలి మరియు ఇది భిన్నం యొక్క విలువను కనుగొనడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. మన దగ్గర ఉంది .

కనుగొనబడిన విలువలను అసలు వ్యక్తీకరణలో భర్తీ చేయడానికి మరియు మిగిలిన చర్యలను చేయడానికి ఇది మిగిలి ఉంది: .

సమాధానం:

.

తరచుగా, భిన్నాలతో వ్యక్తీకరణల విలువలను కనుగొనేటప్పుడు, మీరు ప్రదర్శించవలసి ఉంటుంది పాక్షిక వ్యక్తీకరణలను సరళీకృతం చేయడం, భిన్నాలతో కార్యకలాపాలను నిర్వహించడం మరియు భిన్నాలను తగ్గించడం ఆధారంగా.

ఉదాహరణ.

వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్ధాన్ని కనుగొనండి .

పరిష్కారం.

ఐదు యొక్క మూలాన్ని పూర్తిగా సంగ్రహించడం సాధ్యం కాదు, కాబట్టి అసలు వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనడానికి, మొదట దానిని సరళీకృతం చేద్దాం. దీని కొరకు హారంలోని అహేతుకతను వదిలించుకుందాంమొదటి భిన్నం: . దీని తరువాత, అసలు వ్యక్తీకరణ రూపాన్ని తీసుకుంటుంది . భిన్నాలను తీసివేసిన తర్వాత, మూలాలు అదృశ్యమవుతాయి, ఇది ప్రారంభంలో ఇచ్చిన వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనడానికి అనుమతిస్తుంది: .

సమాధానం:

.

లాగరిథమ్‌లతో

సంఖ్యా వ్యక్తీకరణ కలిగి ఉంటే మరియు వాటిని వదిలించుకోవడం సాధ్యమైతే, ఇతర చర్యలను చేసే ముందు ఇది జరుగుతుంది. ఉదాహరణకు, వ్యక్తీకరణ లాగ్ 2 4+2·3 విలువను కనుగొనేటప్పుడు, లాగరిథమ్ లాగ్ 2 4 దాని విలువ 2తో భర్తీ చేయబడుతుంది, ఆ తర్వాత మిగిలిన చర్యలు సాధారణ క్రమంలో నిర్వహించబడతాయి, అనగా లాగ్ 2 4+2 ·3=2+2·3=2 +6=8.

సంవర్గమానం యొక్క సంకేతం క్రింద మరియు/లేదా దాని బేస్ వద్ద సంఖ్యా వ్యక్తీకరణలు ఉన్నప్పుడు, వాటి విలువలు మొదట కనుగొనబడతాయి, ఆ తర్వాత సంవర్గమానం యొక్క విలువ లెక్కించబడుతుంది. ఉదాహరణకు, ఫారమ్ యొక్క సంవర్గమానంతో వ్యక్తీకరణను పరిగణించండి . సంవర్గమానం యొక్క బేస్ వద్ద మరియు దాని సంకేతం క్రింద సంఖ్యా వ్యక్తీకరణలు ఉన్నాయి; మేము వాటి విలువలను కనుగొంటాము: . ఇప్పుడు మనం సంవర్గమానాన్ని కనుగొంటాము, దాని తర్వాత మేము గణనలను పూర్తి చేస్తాము: .

లాగరిథమ్‌లు సరిగ్గా లెక్కించబడకపోతే, దానిని ఉపయోగించి ప్రాథమిక సరళీకరణ. ఈ సందర్భంలో, మీరు ఆర్టికల్ మెటీరియల్‌పై మంచి కమాండ్ కలిగి ఉండాలి సంవర్గమాన వ్యక్తీకరణలను మార్చడం.

ఉదాహరణ.

లాగరిథమ్‌లతో వ్యక్తీకరణ విలువను కనుగొనండి .

పరిష్కారం.

లాగ్ 2 (లాగ్ 2 256)ని లెక్కించడం ద్వారా ప్రారంభిద్దాం. 256=2 8 నుండి, ఆపై లాగ్ 2 256=8, కాబట్టి, లాగ్ 2 (లాగ్ 2 256)=లాగ్ 2 8=లాగ్ 2 2 3 =3.

లాగరిథమ్‌ల లాగ్ 6 2 మరియు లాగ్ 6 3లను సమూహం చేయవచ్చు. లాగరిథమ్‌ల లాగ్ 6 2+లాగ్ 6 3 మొత్తం ఉత్పత్తి లాగ్ 6 (2 3) యొక్క లాగరిథమ్‌కి సమానం, అందువలన, లాగ్ 6 2+లాగ్ 6 3=లాగ్ 6 (2 3)=లాగ్ 6 6=1.

ఇప్పుడు భిన్నం చూద్దాం. ప్రారంభించడానికి, మేము సంవర్గమానం యొక్క ఆధారాన్ని హారంలో 1/5 రూపంలో సాధారణ భిన్నం రూపంలో తిరిగి వ్రాస్తాము, ఆ తర్వాత మేము లాగరిథమ్‌ల లక్షణాలను ఉపయోగిస్తాము, ఇది భిన్నం యొక్క విలువను పొందటానికి అనుమతిస్తుంది:
.

అసలు వ్యక్తీకరణలో పొందిన ఫలితాలను భర్తీ చేయడం మరియు దాని విలువను కనుగొనడం పూర్తి చేయడం మాత్రమే మిగిలి ఉంది:

సమాధానం:

త్రికోణమితి వ్యక్తీకరణ విలువను ఎలా కనుగొనాలి?

సంఖ్యా వ్యక్తీకరణ కలిగి ఉన్నప్పుడు లేదా మొదలైనవి, ఇతర చర్యలను నిర్వహించడానికి ముందు వాటి విలువలు లెక్కించబడతాయి. త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల సంకేతం క్రింద సంఖ్యా వ్యక్తీకరణలు ఉంటే, వాటి విలువలు మొదట లెక్కించబడతాయి, ఆ తర్వాత త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల విలువలు కనుగొనబడతాయి.

ఉదాహరణ.

వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్ధాన్ని కనుగొనండి .

పరిష్కారం.

వ్యాసం వైపు తిరగడం, మేము పొందుతాము మరియు cosπ=−1 . మేము ఈ విలువలను అసలు వ్యక్తీకరణలో భర్తీ చేస్తాము, అది రూపాన్ని తీసుకుంటుంది . దాని విలువను కనుగొనడానికి, మీరు ముందుగా ఎక్స్‌పోనెన్షియేషన్‌ను నిర్వహించాలి, ఆపై గణనలను పూర్తి చేయాలి: .

సమాధానం:

.

సైన్స్, కొసైన్లు మొదలైన వాటితో వ్యక్తీకరణల విలువలను లెక్కించడం గమనించదగినది. తరచుగా ముందు అవసరం త్రికోణమితి వ్యక్తీకరణను మార్చడం.

ఉదాహరణ.

త్రికోణమితి వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువ ఏమిటి .

పరిష్కారం.

ఉపయోగించి అసలు వ్యక్తీకరణను మారుద్దాం, ఈ సందర్భంలో మనకు డబుల్ యాంగిల్ కొసైన్ ఫార్ములా మరియు సమ్ కొసైన్ ఫార్ములా అవసరం:

మేము చేసిన పరివర్తనలు వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్థాన్ని కనుగొనడంలో మాకు సహాయపడింది.

సమాధానం:

.

సాధారణ కేసు

సాధారణంగా, సంఖ్యా వ్యక్తీకరణలో మూలాలు, శక్తులు, భిన్నాలు, కొన్ని విధులు మరియు కుండలీకరణాలు ఉంటాయి. అటువంటి వ్యక్తీకరణల విలువలను కనుగొనడం క్రింది చర్యలను కలిగి ఉంటుంది:

• మొదటి మూలాలు, శక్తులు, భిన్నాలు మొదలైనవి. వాటి విలువలతో భర్తీ చేయబడతాయి,
• బ్రాకెట్లలో తదుపరి చర్యలు,
• మరియు ఎడమ నుండి కుడికి క్రమంలో, మిగిలిన కార్యకలాపాలు నిర్వహించబడతాయి - గుణకారం మరియు విభజన, తరువాత కూడిక మరియు తీసివేత.

తుది ఫలితం పొందే వరకు జాబితా చేయబడిన చర్యలు నిర్వహించబడతాయి.

ఉదాహరణ.

వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్ధాన్ని కనుగొనండి .

పరిష్కారం.

ఈ వ్యక్తీకరణ యొక్క రూపం చాలా క్లిష్టంగా ఉంటుంది. ఈ వ్యక్తీకరణలో మనం భిన్నాలు, మూలాలు, శక్తులు, సైన్ మరియు లాగరిథమ్‌లను చూస్తాము. దాని విలువను ఎలా కనుగొనాలి?

రికార్డును ఎడమ నుండి కుడికి తరలించడం ద్వారా, మేము ఫారమ్‌లో కొంత భాగాన్ని చూస్తాము . సంక్లిష్ట భిన్నాలతో పని చేస్తున్నప్పుడు, మనం న్యూమరేటర్ యొక్క విలువను విడిగా, హారం విడిగా లెక్కించి, చివరకు భిన్నం యొక్క విలువను కనుగొనవలసి ఉంటుందని మాకు తెలుసు.

న్యూమరేటర్‌లో మనకు రూపం యొక్క మూలం ఉంది . దాని విలువను నిర్ణయించడానికి, మీరు మొదట రాడికల్ వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను లెక్కించాలి . ఇక్కడ ఒక సైన్ ఉంది. వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను లెక్కించిన తర్వాత మాత్రమే మనం దాని విలువను కనుగొనగలము . ఇది మనం చేయగలము: . అప్పుడు ఎక్కడ మరియు నుండి .

హారం సులభం: .

ఈ విధంగా, .

ఈ ఫలితాన్ని ఒరిజినల్ ఎక్స్‌ప్రెషన్‌లో భర్తీ చేసిన తర్వాత, అది ఫారమ్‌ను తీసుకుంటుంది. ఫలిత వ్యక్తీకరణ డిగ్రీని కలిగి ఉంటుంది. దాని విలువను కనుగొనడానికి, మేము మొదట సూచిక యొక్క విలువను కనుగొనవలసి ఉంటుంది, మనకు ఉంది .

కాబట్టి, .

సమాధానం:

.

మూలాలు, శక్తులు మొదలైన వాటి యొక్క ఖచ్చితమైన విలువలను లెక్కించడం సాధ్యం కాకపోతే, మీరు కొన్ని పరివర్తనలను ఉపయోగించి వాటిని వదిలించుకోవడానికి ప్రయత్నించవచ్చు, ఆపై పేర్కొన్న పథకం ప్రకారం విలువను లెక్కించడానికి తిరిగి వెళ్లండి.

వ్యక్తీకరణల విలువలను లెక్కించడానికి హేతుబద్ధమైన మార్గాలు

సంఖ్యా వ్యక్తీకరణల విలువలను లెక్కించడానికి స్థిరత్వం మరియు ఖచ్చితత్వం అవసరం. అవును, మునుపటి పేరాల్లో నమోదు చేయబడిన చర్యల క్రమానికి కట్టుబడి ఉండటం అవసరం, కానీ దీన్ని గుడ్డిగా మరియు యాంత్రికంగా చేయవలసిన అవసరం లేదు. దీని ద్వారా మనం అర్థం చేసుకున్నది ఏమిటంటే, వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్థాన్ని కనుగొనే ప్రక్రియను తరచుగా హేతుబద్ధీకరించడం సాధ్యమవుతుంది. ఉదాహరణకు, సంఖ్యలతో కూడిన కార్యకలాపాల యొక్క నిర్దిష్ట లక్షణాలు వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనడాన్ని గణనీయంగా వేగవంతం చేస్తాయి మరియు సులభతరం చేస్తాయి.

ఉదాహరణకు, గుణకారం యొక్క ఈ లక్షణం మనకు తెలుసు: ఉత్పత్తిలోని కారకాలలో ఒకటి సున్నాకి సమానం అయితే, ఉత్పత్తి విలువ సున్నాకి సమానం. ఈ ఆస్తిని ఉపయోగించి, వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను మనం వెంటనే చెప్పగలం 0·(2·3+893−3234:54·65−79·56·2.2)·(45·36−2·4+456:3·43) సున్నాకి సమానం. మేము ఆపరేషన్ల యొక్క ప్రామాణిక క్రమాన్ని అనుసరిస్తే, ముందుగా కుండలీకరణాల్లోని గజిబిజిగా ఉండే వ్యక్తీకరణల విలువలను లెక్కించవలసి ఉంటుంది, దీనికి చాలా సమయం పడుతుంది మరియు ఫలితం ఇప్పటికీ సున్నాగా ఉంటుంది.

సమాన సంఖ్యలను తీసివేయడం యొక్క ఆస్తిని ఉపయోగించడం కూడా సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది: మీరు ఒక సంఖ్య నుండి సమాన సంఖ్యను తీసివేస్తే, ఫలితం సున్నా. ఈ లక్షణాన్ని మరింత విస్తృతంగా పరిగణించవచ్చు: రెండు సారూప్య సంఖ్యా వ్యక్తీకరణల మధ్య వ్యత్యాసం సున్నా. ఉదాహరణకు, కుండలీకరణాల్లోని వ్యక్తీకరణల విలువను లెక్కించకుండా, మీరు వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనవచ్చు (54 6−12 47362:3)−(54 6−12 47362:3), ఇది సున్నాకి సమానం, అసలైన వ్యక్తీకరణ ఒకే విధమైన వ్యక్తీకరణల వ్యత్యాసం కాబట్టి.

గుర్తింపు రూపాంతరాలు వ్యక్తీకరణ విలువల యొక్క హేతుబద్ధమైన గణనను సులభతరం చేస్తాయి. ఉదాహరణకు, గ్రూపింగ్ నిబంధనలు మరియు కారకాలు ఉపయోగకరంగా ఉంటాయి; బ్రాకెట్‌ల నుండి సాధారణ కారకాన్ని ఉంచడం తక్కువ తరచుగా ఉపయోగించబడదు. కావున 53·5+53·7−53·11+5 అనే వ్యక్తీకరణ విలువను బ్రాకెట్‌ల నుండి కారకం 53ని తీసుకున్న తర్వాత కనుగొనడం చాలా సులభం: 53·(5+7−11)+5=53·1+5=53+5=58. ప్రత్యక్ష గణనకు ఎక్కువ సమయం పడుతుంది.

ఈ అంశాన్ని ముగించడానికి, భిన్నాలతో వ్యక్తీకరణల విలువలను లెక్కించడానికి హేతుబద్ధమైన విధానానికి శ్రద్ధ చూపుదాం - భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ మరియు హారంలోని ఒకేలాంటి కారకాలు రద్దు చేయబడతాయి. ఉదాహరణకు, భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ మరియు హారంలో అదే వ్యక్తీకరణలను తగ్గించడం దాని విలువను వెంటనే కనుగొనడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది, ఇది 1/2కి సమానం.

అక్షర వ్యక్తీకరణ మరియు వేరియబుల్స్‌తో వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనడం

అక్షరాలు మరియు వేరియబుల్స్ యొక్క నిర్దిష్ట విలువలకు అక్షర వ్యక్తీకరణ మరియు వేరియబుల్స్‌తో కూడిన వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువ కనుగొనబడుతుంది. అంటే, మేము ఇచ్చిన అక్షరాల విలువలకు అక్షర వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనడం గురించి లేదా ఎంచుకున్న వేరియబుల్ విలువలకు వేరియబుల్స్‌తో వ్యక్తీకరణ విలువను కనుగొనడం గురించి మాట్లాడుతున్నాము.

నియమంఅక్షర వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువ లేదా అక్షరాలు లేదా వేరియబుల్స్ యొక్క ఎంచుకున్న విలువల కోసం వేరియబుల్స్‌తో కూడిన వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనడం క్రింది విధంగా ఉంటుంది: మీరు అక్షరాలు లేదా వేరియబుల్స్ యొక్క ఇచ్చిన విలువలను అసలు వ్యక్తీకరణలో భర్తీ చేయాలి మరియు లెక్కించాలి. ఫలిత సంఖ్యా వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువ; ఇది కావలసిన విలువ.

ఉదాహరణ.

వ్యక్తీకరణ 0.5·x−y విలువను x=2.4 మరియు y=5 వద్ద లెక్కించండి.

పరిష్కారం.

వ్యక్తీకరణ యొక్క అవసరమైన విలువను కనుగొనడానికి, మీరు మొదట వేరియబుల్స్ యొక్క ఇచ్చిన విలువలను అసలు వ్యక్తీకరణలో భర్తీ చేయాలి, ఆపై క్రింది దశలను చేయండి: 0.5·2.4−5=1.2−5=−3.8.

సమాధానం:

−3,8 .

చివరి గమనికగా, కొన్నిసార్లు అక్షరాలు మరియు వేరియబుల్స్ యొక్క విలువలతో సంబంధం లేకుండా లిటరల్ మరియు వేరియబుల్ ఎక్స్‌ప్రెషన్‌లపై మార్పిడులు చేయడం వల్ల వాటి విలువలు లభిస్తాయి. ఉదాహరణకు, x+3−x వ్యక్తీకరణను సరళీకరించవచ్చు, దాని తర్వాత అది ఫారమ్ 3ని తీసుకుంటుంది. దీని నుండి మనం x+3−x వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువ దాని అనుమతించదగిన విలువల పరిధి (APV) నుండి వేరియబుల్ x యొక్క ఏదైనా విలువలకు 3కి సమానం అని నిర్ధారించవచ్చు. మరొక ఉదాహరణ: వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువ x యొక్క అన్ని సానుకూల విలువలకు 1కి సమానం, కాబట్టి అసలు వ్యక్తీకరణలో వేరియబుల్ x యొక్క అనుమతించదగిన విలువల పరిధి సానుకూల సంఖ్యల సమితి, మరియు ఈ పరిధిలో సమానత్వం పట్టుకుంటుంది.

గ్రంథ పట్టిక.

• గణితం: పాఠ్య పుస్తకం 5వ తరగతి కోసం. సాధారణ విద్య సంస్థలు / N. Ya. Vilenkin, V. I. జోఖోవ్, A. S. చెస్నోకోవ్, S. I. ష్వార్ట్స్బర్డ్. - 21వ ఎడిషన్, తొలగించబడింది. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 pp.: అనారోగ్యం. ISBN 5-346-00699-0.
• గణితం. 6వ తరగతి: విద్యా. సాధారణ విద్య కోసం సంస్థలు / [ఎన్. యా. విలెంకిన్ మరియు ఇతరులు]. - 22వ ఎడిషన్., రెవ. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: అనారోగ్యం. ISBN 978-5-346-00897-2.
• బీజగణితం:పాఠ్యపుస్తకం 7వ తరగతి కోసం సాధారణ విద్య సంస్థలు / [యు. N. మకరిచెవ్, N. G. మిండియుక్, K. I. నెష్కోవ్, S. B. సువోరోవా]; ద్వారా సవరించబడింది S. A. టెల్యకోవ్స్కీ. - 17వ ఎడిషన్. - M.: విద్య, 2008. - 240 p. : అనారోగ్యం. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• బీజగణితం:పాఠ్యపుస్తకం 8వ తరగతి కోసం. సాధారణ విద్య సంస్థలు / [యు. N. మకరిచెవ్, N. G. మిండియుక్, K. I. నెష్కోవ్, S. B. సువోరోవా]; ద్వారా సవరించబడింది S. A. టెల్యకోవ్స్కీ. - 16వ ఎడిషన్. - M.: ఎడ్యుకేషన్, 2008. - 271 p. : అనారోగ్యం. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• బీజగణితం: 9వ తరగతి: విద్యా. సాధారణ విద్య కోసం సంస్థలు / [యు. N. మకరిచెవ్, N. G. మిండియుక్, K. I. నెష్కోవ్, S. B. సువోరోవా]; ద్వారా సవరించబడింది S. A. టెల్యకోవ్స్కీ. - 16వ ఎడిషన్. - M.: విద్య, 2009. - 271 p. : అనారోగ్యం. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• బీజగణితంమరియు విశ్లేషణ ప్రారంభం: ప్రో. 10-11 తరగతులకు. సాధారణ విద్య సంస్థలు / A. N. కోల్మోగోరోవ్, A. M. అబ్రమోవ్, యు. పి. డడ్నిట్సిన్ మరియు ఇతరులు; Ed. A. N. కోల్మోగోరోవ్ - 14వ ఎడిషన్ - M.: ఎడ్యుకేషన్, 2004. - 384 pp.: ill. - ISBN 5-09-013651-3.

ఇప్పుడు మనం వ్యక్తిగత భిన్నాలను ఎలా జోడించాలో మరియు గుణించాలో నేర్చుకున్నాము, మనం మరింత క్లిష్టమైన నిర్మాణాలను చూడవచ్చు. ఉదాహరణకు, అదే సమస్య భిన్నాలను జోడించడం, తీసివేయడం మరియు గుణించడం వంటివి కలిగి ఉంటే ఏమి చేయాలి?

అన్నింటిలో మొదటిది, మీరు అన్ని భిన్నాలను సరికాని వాటికి మార్చాలి. అప్పుడు మేము అవసరమైన చర్యలను వరుసగా చేస్తాము - సాధారణ సంఖ్యల కోసం అదే క్రమంలో. అవి:

1. ఎక్స్‌పోనెన్షియేషన్ మొదట చేయబడుతుంది - ఘాతాంకాలను కలిగి ఉన్న అన్ని వ్యక్తీకరణలను వదిలించుకోండి;
2. అప్పుడు - విభజన మరియు గుణకారం;
3. చివరి దశ కూడిక మరియు తీసివేత.

వాస్తవానికి, వ్యక్తీకరణలో కుండలీకరణాలు ఉంటే, ఆపరేషన్ల క్రమం మారుతుంది - కుండలీకరణాల లోపల ఉన్న ప్రతిదీ ముందుగా లెక్కించబడాలి. మరియు సరికాని భిన్నాల గురించి గుర్తుంచుకోండి: అన్ని ఇతర చర్యలు ఇప్పటికే పూర్తయినప్పుడు మాత్రమే మీరు మొత్తం భాగాన్ని హైలైట్ చేయాలి.

మొదటి వ్యక్తీకరణ నుండి అన్ని భిన్నాలను సరికాని వాటికి మారుద్దాం, ఆపై క్రింది దశలను చేయండి:

ఇప్పుడు రెండవ వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనండి. పూర్ణాంక భాగంతో భిన్నాలు లేవు, కానీ కుండలీకరణాలు ఉన్నాయి, కాబట్టి మొదట మేము అదనంగా చేస్తాము, ఆపై మాత్రమే విభజన చేస్తాము. 14 = 7 · 2 అని గమనించండి. అప్పుడు:

చివరగా, మూడవ ఉదాహరణను పరిగణించండి. ఇక్కడ బ్రాకెట్లు మరియు డిగ్రీ ఉన్నాయి - వాటిని విడిగా లెక్కించడం మంచిది. 9 = 3 3ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, మనకు ఇవి ఉన్నాయి:

చివరి ఉదాహరణకి శ్రద్ధ వహించండి. ఒక భిన్నాన్ని శక్తికి పెంచడానికి, మీరు విడిగా ఈ శక్తికి న్యూమరేటర్‌ను మరియు విడిగా, హారంను పెంచాలి.

మీరు భిన్నంగా నిర్ణయించుకోవచ్చు. మేము డిగ్రీ యొక్క నిర్వచనాన్ని గుర్తుచేసుకుంటే, సమస్య భిన్నాల సాధారణ గుణకారానికి తగ్గించబడుతుంది:

బహుళస్థాయి భిన్నాలు

ఇప్పటి వరకు, న్యూమరేటర్ మరియు హారం సాధారణ సంఖ్యలు అయినప్పుడు మేము "స్వచ్ఛమైన" భిన్నాలను మాత్రమే పరిగణించాము. ఇది మొదటి పాఠంలో ఇవ్వబడిన సంఖ్య భిన్నం యొక్క నిర్వచనంతో చాలా స్థిరంగా ఉంటుంది.

కానీ మీరు న్యూమరేటర్ లేదా హారంలో మరింత క్లిష్టమైన వస్తువును ఉంచినట్లయితే? ఉదాహరణకు, మరొక సంఖ్యా భిన్నం? ఇటువంటి నిర్మాణాలు చాలా తరచుగా తలెత్తుతాయి, ప్రత్యేకించి పొడవైన వ్యక్తీకరణలతో పని చేస్తున్నప్పుడు. ఇక్కడ కొన్ని ఉదాహరణలు ఉన్నాయి:

బహుళ-స్థాయి భిన్నాలతో పనిచేయడానికి ఒకే ఒక నియమం ఉంది: మీరు వెంటనే వాటిని వదిలించుకోవాలి. "అదనపు" అంతస్తులను తొలగించడం చాలా సులభం, స్లాష్ అంటే ప్రామాణిక విభజన ఆపరేషన్ అని మీరు గుర్తుంచుకోవాలి. అందువల్ల, ఏదైనా భిన్నాన్ని ఈ క్రింది విధంగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు:

ఈ వాస్తవాన్ని ఉపయోగించి మరియు విధానాన్ని అనుసరించడం ద్వారా, మనం ఏదైనా బహుళ-అంతస్తుల భిన్నాన్ని సాధారణమైన దానికి సులభంగా తగ్గించవచ్చు. ఉదాహరణలను పరిశీలించండి:

టాస్క్. బహుళ అంతస్థుల భిన్నాలను సాధారణ వాటికి మార్చండి:

ప్రతి సందర్భంలో, మేము ప్రధాన భిన్నాన్ని తిరిగి వ్రాస్తాము, విభజన రేఖను విభజన గుర్తుతో భర్తీ చేస్తాము. ఏదైనా పూర్ణాంకం 1 యొక్క హారంతో భిన్నం వలె సూచించబడుతుందని గుర్తుంచుకోండి. అంటే 12 = 12/1; 3 = 3/1. మాకు దొరికింది:

చివరి ఉదాహరణలో, చివరి గుణకారానికి ముందు భిన్నాలు రద్దు చేయబడ్డాయి.

బహుళ-స్థాయి భిన్నాలతో పని చేసే ప్రత్యేకతలు

బహుళ-స్థాయి భిన్నాలలో ఒక సూక్ష్మభేదం ఉంది, అది ఎల్లప్పుడూ గుర్తుంచుకోవాలి, లేకపోతే మీరు అన్ని లెక్కలు సరిగ్గా ఉన్నప్పటికీ, తప్పు సమాధానం పొందవచ్చు. ఒకసారి చూడు:

1. న్యూమరేటర్ ఒకే సంఖ్య 7ని కలిగి ఉంటుంది మరియు హారం 12/5 భిన్నాన్ని కలిగి ఉంటుంది;
2. న్యూమరేటర్ 7/12 భిన్నాన్ని కలిగి ఉంటుంది మరియు హారం ప్రత్యేక సంఖ్య 5ని కలిగి ఉంటుంది.

కాబట్టి, ఒక రికార్డింగ్ కోసం మాకు రెండు పూర్తిగా భిన్నమైన వివరణలు వచ్చాయి. మీరు లెక్కించినట్లయితే, సమాధానాలు కూడా భిన్నంగా ఉంటాయి:

రికార్డు ఎల్లప్పుడూ నిస్సందేహంగా చదవబడుతుందని నిర్ధారించుకోవడానికి, ఒక సాధారణ నియమాన్ని ఉపయోగించండి: ప్రధాన భిన్నం యొక్క విభజన రేఖ తప్పనిసరిగా సమూహ భిన్నం యొక్క రేఖ కంటే పొడవుగా ఉండాలి. ప్రాధాన్యంగా అనేక సార్లు.

మీరు ఈ నియమాన్ని అనుసరిస్తే, పై భిన్నాలు ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయాలి:

అవును, ఇది బహుశా వికారమైనది మరియు ఎక్కువ స్థలాన్ని తీసుకుంటుంది. కానీ మీరు సరిగ్గా లెక్కిస్తారు. చివరగా, బహుళ-అంతస్తుల భిన్నాలు వాస్తవానికి ఉత్పన్నమయ్యే కొన్ని ఉదాహరణలు:

టాస్క్. వ్యక్తీకరణల అర్ధాలను కనుగొనండి:

కాబట్టి, మొదటి ఉదాహరణతో పని చేద్దాం. అన్ని భిన్నాలను సరికాని వాటికి మారుద్దాం, ఆపై అదనంగా మరియు విభజన కార్యకలాపాలను నిర్వహిస్తాము:

రెండవ ఉదాహరణతో కూడా అదే చేద్దాం. అన్ని భిన్నాలను సరికాని వాటికి మార్చండి మరియు అవసరమైన కార్యకలాపాలను నిర్వహిస్తాము. పాఠకుడికి విసుగు చెందకుండా ఉండటానికి, నేను కొన్ని స్పష్టమైన లెక్కలను వదిలివేస్తాను. మాకు ఉన్నాయి:

ప్రాథమిక భిన్నాల యొక్క న్యూమరేటర్ మరియు హారం మొత్తాలను కలిగి ఉన్నందున, బహుళ-అంతస్తుల భిన్నాలను వ్రాయడానికి నియమం స్వయంచాలకంగా గమనించబడుతుంది. అలాగే, చివరి ఉదాహరణలో, విభజనను నిర్వహించడానికి మేము ఉద్దేశపూర్వకంగా 46/1ని భిన్నం రూపంలో ఉంచాము.

రెండు ఉదాహరణలలో భిన్నం పట్టీ వాస్తవానికి కుండలీకరణాలను భర్తీ చేస్తుందని కూడా నేను గమనించాను: మొదటగా, మేము మొత్తాన్ని కనుగొన్నాము మరియు ఆ తర్వాత మాత్రమే గుణకం.

రెండవ ఉదాహరణలో సరికాని భిన్నాలకు మారడం స్పష్టంగా అనవసరమని కొందరు చెబుతారు. బహుశా ఇది నిజం. కానీ ఇలా చేయడం ద్వారా మనం పొరపాట్లకు వ్యతిరేకంగా బీమా చేసుకుంటాము, ఎందుకంటే తదుపరిసారి ఉదాహరణ చాలా క్లిష్టంగా మారవచ్చు. మీ కోసం మరింత ముఖ్యమైనది ఎంచుకోండి: వేగం లేదా విశ్వసనీయత.

సంఖ్యా వ్యక్తీకరణలు సంఖ్యలు, అంకగణిత చిహ్నాలు మరియు కుండలీకరణాలతో రూపొందించబడ్డాయి. అటువంటి వ్యక్తీకరణలో వేరియబుల్స్ ఉంటే, దానిని బీజగణితం అంటారు. త్రికోణమితి వ్యక్తీకరణ అనేది త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల సంకేతాల క్రింద వేరియబుల్ కలిగి ఉన్న వ్యక్తీకరణ. సంఖ్యా, త్రికోణమితి మరియు బీజగణిత వ్యక్తీకరణల విలువలను నిర్ణయించడంలో సమస్యలు తరచుగా పాఠశాల గణిత కోర్సులలో కనిపిస్తాయి.

సూచనలు

సంఖ్యా వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనడానికి, ఇచ్చిన ఉదాహరణలో కార్యకలాపాల క్రమాన్ని నిర్ణయించండి. సౌలభ్యం కోసం, సంబంధిత చిహ్నాల పైన పెన్సిల్‌తో గుర్తించండి. సూచించిన అన్ని చర్యలను ఒక నిర్దిష్ట క్రమంలో అమలు చేయండి: కుండలీకరణాల్లో చర్యలు, ఘాతాంకం, గుణకారం, విభజన, కూడిక, తీసివేత. ఫలిత సంఖ్య సంఖ్యా వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువ అవుతుంది.

ఉదాహరణ. వ్యక్తీకరణ విలువను కనుగొనండి (34 10+(489–296) 8):4–410. చర్య యొక్క కోర్సును నిర్ణయించండి. మొదటి చర్యను లోపలి బ్రాకెట్లలో 489–296=193 చేయండి. అప్పుడు, 193 8=1544 మరియు 34 10=340 గుణించండి. తదుపరి చర్య: 340+1544=1884. తర్వాత, 1884:4=461ని విభజించి, ఆపై 461–410=60ని తీసివేయండి. మీరు ఈ వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్ధాన్ని కనుగొన్నారు.

తెలిసిన కోణం కోసం త్రికోణమితి వ్యక్తీకరణ విలువను కనుగొనడానికి?, ముందుగా. దీన్ని చేయడానికి, తగిన త్రికోణమితి సూత్రాలను వర్తించండి. త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల యొక్క ఇచ్చిన విలువలను లెక్కించండి మరియు వాటిని ఉదాహరణలో భర్తీ చేయండి. దశలను అనుసరించండి.

ఉదాహరణ. 2sin 30 అనే వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్థం కనుగొనండి? 30 ఖర్చు? tg 30? ctg 30?. ఈ వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి. దీన్ని చేయడానికి, tg సూత్రాన్ని ఉపయోగించాలా? ctg ?=1. పొందండి: 2sin 30? 30 ఖర్చు? 1=2పాపం 30? 30?. పాపం 30?=1/2 మరియు కాస్ 30?=?3/2 అని తెలుసు. కాబట్టి, 2sin 30? 30?=2 1/2 ?3/2=?3/2. మీరు ఈ వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్ధాన్ని కనుగొన్నారు.

బీజగణిత వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్థం వేరియబుల్ విలువపై ఆధారపడి ఉంటుంది. వేరియబుల్స్ ఇచ్చిన బీజగణిత వ్యక్తీకరణ విలువను కనుగొనడానికి, వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి. వేరియబుల్స్ కోసం నిర్దిష్ట విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి. అవసరమైన దశలను పూర్తి చేయండి. ఫలితంగా, మీరు ఒక సంఖ్యను అందుకుంటారు, ఇది ఇచ్చిన వేరియబుల్స్ కోసం బీజగణిత వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువ అవుతుంది.

ఉదాహరణ. a=21 మరియు y=10తో 7(a+y)–3(2a+3y) వ్యక్తీకరణ విలువను కనుగొనండి. ఈ వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేసి, పొందండి: a–2y. వేరియబుల్స్ యొక్క సంబంధిత విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి మరియు లెక్కించండి: a–2y=21–2 10=1. ఇది a=21 మరియు y=10తో 7(a+y)–3(2a+3y) వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువ.

గమనిక

వేరియబుల్స్ యొక్క కొన్ని విలువలకు అర్థం లేని బీజగణిత వ్యక్తీకరణలు ఉన్నాయి. ఉదాహరణకు, x/(7–a) అనే వ్యక్తీకరణ a=7 అయితే అర్థం కాదు, ఎందుకంటే ఈ సందర్భంలో, భిన్నం యొక్క హారం సున్నా అవుతుంది.

నియమం ప్రకారం, పిల్లలు ప్రాథమిక పాఠశాలలో బీజగణితాన్ని అధ్యయనం చేయడం ప్రారంభిస్తారు. సంఖ్యలతో పని చేసే ప్రాథమిక సూత్రాలను మాస్టరింగ్ చేసిన తర్వాత, వారు ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ తెలియని వేరియబుల్స్‌తో ఉదాహరణలను పరిష్కరిస్తారు. ఇలాంటి వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్ధాన్ని కనుగొనడం చాలా కష్టం, కానీ మీరు ప్రాథమిక పాఠశాల పరిజ్ఞానాన్ని ఉపయోగించి దాన్ని సరళీకృతం చేస్తే, ప్రతిదీ త్వరగా మరియు సులభంగా పని చేస్తుంది.

వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్థం ఏమిటి

సంఖ్యా వ్యక్తీకరణ అనేది సంఖ్యలు, కుండలీకరణాలు మరియు సంకేతాలతో కూడిన బీజగణిత సంజ్ఞామానం.

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్థాన్ని కనుగొనడం సాధ్యమైతే, ప్రవేశం అర్థం లేకుండా ఉండదు మరియు దీనికి విరుద్ధంగా ఉంటుంది.

కింది ఎంట్రీల ఉదాహరణలు చెల్లుబాటు అయ్యే సంఖ్యా నిర్మాణాలు:

• 3*8-2;
• 15/3+6;
• 0,3*8-4/2;
• 3/1+15/5;

ఎగువ ఉదాహరణలోని సంఖ్య 18 వంటి సంఖ్యా వ్యక్తీకరణను కూడా ఒకే సంఖ్య సూచిస్తుంది.
అర్ధవంతం కాని తప్పు సంఖ్య నిర్మాణాల ఉదాహరణలు:

• *7-25);
• 16/0-;
• (*-5;

సరికాని సంఖ్యా ఉదాహరణలు కేవలం గణిత చిహ్నాల సమూహం మాత్రమే మరియు వాటికి అర్థం లేదు.

వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను ఎలా కనుగొనాలి

అటువంటి ఉదాహరణలు అంకగణిత సంకేతాలను కలిగి ఉన్నందున, అవి అంకగణిత గణనలను అనుమతిస్తాయని మేము నిర్ధారించగలము. సంకేతాలను లెక్కించడానికి లేదా, ఇతర మాటలలో, వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్ధాన్ని కనుగొనడానికి, తగిన అంకగణిత అవకతవకలను నిర్వహించడం అవసరం.

ఉదాహరణగా, కింది నిర్మాణాన్ని పరిగణించండి: (120-30)/3=30. సంఖ్య 30 అనేది సంఖ్యా వ్యక్తీకరణ (120-30)/3 యొక్క విలువ.

సూచనలు:

సంఖ్యా సమానత్వం యొక్క భావన

సంఖ్యా సమానత్వం అనేది ఒక ఉదాహరణలోని రెండు భాగాలను “=” గుర్తుతో వేరు చేసే పరిస్థితి. అంటే, చిహ్నాలు మరియు సంఖ్యల ఇతర కలయికల రూపంలో ప్రదర్శించబడినప్పటికీ, ఒక భాగం పూర్తిగా సమానంగా (ఒకేలా) ఉంటుంది.
ఉదాహరణకు, 2+2=4 వంటి ఏదైనా నిర్మాణాన్ని సంఖ్యా సమానత్వం అని పిలుస్తారు, ఎందుకంటే భాగాలు మార్చబడినప్పటికీ, అర్థం మారదు: 4=2+2. కుండలీకరణాలు, విభజన, గుణకారం, భిన్నాలతో కూడిన కార్యకలాపాలు మొదలైన వాటితో కూడిన సంక్లిష్టమైన నిర్మాణాలకు కూడా ఇది వర్తిస్తుంది.

వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను సరిగ్గా ఎలా కనుగొనాలి

వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను సరిగ్గా కనుగొనడానికి, నిర్దిష్ట చర్యల క్రమంలో గణనలను నిర్వహించడం అవసరం. ఈ క్రమాన్ని గణిత పాఠాలలో మరియు తరువాత ప్రాథమిక పాఠశాలలో బీజగణిత తరగతులలో బోధిస్తారు. దీనిని అంకగణిత దశలు అని కూడా అంటారు.

అంకగణిత దశలు:

1. మొదటి దశ సంఖ్యల కూడిక మరియు తీసివేత.
2. రెండవ దశలో విభజన మరియు గుణకారం నిర్వహిస్తారు.
3. మూడవ దశ - సంఖ్యలు స్క్వేర్డ్ లేదా క్యూబ్డ్.

కింది నియమాలను పాటించడం ద్వారా, మీరు ఎల్లప్పుడూ వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్ధాన్ని సరిగ్గా నిర్ణయించవచ్చు:

1. ఉదాహరణలో కుండలీకరణాలు లేకుంటే, మూడవ దశ నుండి ప్రారంభించి, మొదటి దశతో ముగిసే చర్యలను అమలు చేయండి. అంటే, మొదటి చతురస్రం లేదా క్యూబ్, ఆపై విభజించండి లేదా గుణించాలి, ఆపై మాత్రమే జోడించి తీసివేయండి.
2. బ్రాకెట్లతో నిర్మాణాలలో, ముందుగా బ్రాకెట్లలోని చర్యలను నిర్వహించండి, ఆపై పైన వివరించిన క్రమాన్ని అనుసరించండి. అనేక బ్రాకెట్లు ఉంటే, మొదటి పేరా నుండి విధానాన్ని కూడా ఉపయోగించండి.
3. భిన్నం రూపంలోని ఉదాహరణలలో, మొదట న్యూమరేటర్‌లో ఫలితాన్ని కనుగొనండి, ఆపై హారంలో, ఆపై మొదటిదాన్ని రెండవ దానితో విభజించండి.

మీరు బీజగణితం మరియు గణితంలో ప్రాథమిక కోర్సుల ప్రాథమిక జ్ఞానాన్ని పొందినట్లయితే వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్ధాన్ని కనుగొనడం కష్టం కాదు. పైన వివరించిన సమాచారం ద్వారా మార్గనిర్దేశం చేయబడితే, మీరు పెరిగిన సంక్లిష్టతతో కూడా ఏదైనా సమస్యను పరిష్కరించవచ్చు.

లాగిన్ తెలుసుకోవడం, VK నుండి పాస్వర్డ్ను కనుగొనండి

మీరు, తల్లిదండ్రులుగా, మీ పిల్లలకు విద్యాబోధన చేసే ప్రక్రియలో, గణితం, బీజగణితం మరియు జ్యామితిలో హోంవర్క్ సమస్యలను పరిష్కరించడంలో సహాయం అవసరాన్ని ఒకటి కంటే ఎక్కువసార్లు ఎదుర్కొంటారు. మరియు మీరు నేర్చుకోవలసిన ప్రాథమిక నైపుణ్యాలలో ఒకటి వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్థాన్ని ఎలా కనుగొనాలి. చాలా మంది ప్రజలు చివరి దశలో ఉన్నారు, ఎందుకంటే మేము 3-5 తరగతులలో చదివి ఎన్ని సంవత్సరాలు గడిచాయి? ఇప్పటికే చాలా మర్చిపోయారు మరియు కొన్ని నేర్చుకోలేదు. గణిత కార్యకలాపాల నియమాలు సరళమైనవి మరియు మీరు వాటిని సులభంగా గుర్తుంచుకోగలరు. గణిత వ్యక్తీకరణ అంటే ఏమిటి అనే ప్రాథమిక అంశాలతో ప్రారంభిద్దాం.

వ్యక్తీకరణ నిర్వచనం

గణిత వ్యక్తీకరణ అనేది సంఖ్యలు, చర్య సంకేతాలు (=, +, -, *, /), బ్రాకెట్లు మరియు వేరియబుల్స్ యొక్క సమాహారం. క్లుప్తంగా, ఇది ఫార్ములా, దీని విలువను కనుగొనవలసి ఉంటుంది. ఇటువంటి సూత్రాలు పాఠశాల నుండి గణిత కోర్సులలో కనిపిస్తాయి, ఆపై ఖచ్చితమైన శాస్త్రాలకు సంబంధించిన ప్రత్యేకతలను ఎంచుకున్న విద్యార్థులను వెంటాడతాయి. గణిత వ్యక్తీకరణలు త్రికోణమితి, బీజగణితం మరియు మొదలైనవాటిగా విభజించబడ్డాయి; మేము చిక్కుల్లోకి రావద్దు.

1. ముందుగా డ్రాఫ్ట్‌లో ఏవైనా గణనలను చేసి, ఆపై వాటిని మీ వర్క్‌బుక్‌లోకి కాపీ చేయండి. ఈ విధంగా మీరు అనవసరమైన క్రాసింగ్లు మరియు ధూళిని నివారించవచ్చు;
2. వ్యక్తీకరణలో నిర్వహించాల్సిన మొత్తం గణిత కార్యకలాపాల సంఖ్యను మళ్లీ లెక్కించండి. దయచేసి నిబంధనల ప్రకారం, కుండలీకరణాల్లోని కార్యకలాపాలు మొదట నిర్వహించబడతాయి, తరువాత విభజన మరియు గుణకారం మరియు చివరిలో వ్యవకలనం మరియు కూడికలో నిర్వహించబడతాయి. పెన్సిల్‌లో అన్ని చర్యలను హైలైట్ చేయాలని మరియు వాటిని ప్రదర్శించిన క్రమంలో చర్యల పైన సంఖ్యలను ఉంచాలని మేము సిఫార్సు చేస్తున్నాము. ఈ సందర్భంలో, మీరు మరియు మీ బిడ్డ నావిగేట్ చేయడం సులభం అవుతుంది;
3. చర్యల క్రమాన్ని ఖచ్చితంగా అనుసరించి గణనలను చేయడం ప్రారంభించండి. పిల్లవాడు, గణన సరళంగా ఉంటే, దానిని తన తలపై ప్రదర్శించడానికి ప్రయత్నించనివ్వండి, కానీ అది కష్టంగా ఉంటే, అప్పుడు పెన్సిల్‌తో వ్యక్తీకరణ యొక్క ఆర్డినల్ సంఖ్యకు అనుగుణమైన సంఖ్యను వ్రాయండి మరియు ఫార్ములా కింద గణనను వ్రాతపూర్వకంగా నిర్వహించండి;
4. సాధారణంగా, అన్ని గణనలు నియమాల ప్రకారం మరియు సరైన క్రమంలో జరిగితే సాధారణ వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనడం కష్టం కాదు. వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్ధాన్ని కనుగొనే ఈ దశలో చాలా మంది వ్యక్తులు ఖచ్చితంగా సమస్యను ఎదుర్కొంటారు, కాబట్టి జాగ్రత్తగా ఉండండి మరియు తప్పులు చేయవద్దు;
5. కాలిక్యులేటర్‌ను నిషేధించండి. గణిత సూత్రాలు మరియు సమస్యలు మీ పిల్లల జీవితంలో ఉపయోగకరంగా ఉండకపోవచ్చు, కానీ అది విషయాన్ని అధ్యయనం చేయడం యొక్క ఉద్దేశ్యం కాదు. ప్రధాన విషయం తార్కిక ఆలోచన అభివృద్ధి. మీరు కాలిక్యులేటర్లను ఉపయోగిస్తే, ప్రతిదీ యొక్క అర్థం పోతుంది;
6. తల్లిదండ్రులుగా మీ పని మీ పిల్లల కోసం సమస్యలను పరిష్కరించడం కాదు, కానీ అతనికి ఈ విషయంలో సహాయం చేయడం, అతనికి మార్గనిర్దేశం చేయడం. అతను అన్ని గణనలను స్వయంగా తయారు చేయనివ్వండి మరియు అతను తప్పులు చేయలేదని మీరు నిర్ధారించుకోండి, అతను దీన్ని ఎందుకు ఈ విధంగా చేయాలో మరియు లేకపోతే చేయకూడదని వివరించండి.
7. వ్యక్తీకరణకు సమాధానం కనుగొనబడిన తర్వాత, దానిని “=” గుర్తు తర్వాత వ్రాయండి;
8. మీ గణిత పాఠ్యపుస్తకం చివరి పేజీని తెరవండి. సాధారణంగా, పుస్తకంలో ప్రతి వ్యాయామానికి సమాధానాలు ఉంటాయి. ప్రతిదీ సరిగ్గా లెక్కించబడిందో లేదో తనిఖీ చేయడం బాధించదు.

వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్ధాన్ని కనుగొనడం, ఒక వైపు, ఒక సాధారణ ప్రక్రియ; పాఠశాల గణిత కోర్సులో మనం నేర్చుకున్న ప్రాథమిక నియమాలను గుర్తుంచుకోవడం ప్రధాన విషయం. అయితే, మరోవైపు, మీరు మీ పిల్లల సూత్రాలను ఎదుర్కోవడంలో మరియు సమస్యలను పరిష్కరించడంలో సహాయం చేయవలసి వచ్చినప్పుడు, సమస్య మరింత క్లిష్టంగా మారుతుంది. అన్నింటికంటే, మీరు ఇప్పుడు విద్యార్థి కాదు, ఉపాధ్యాయుడు, మరియు భవిష్యత్ ఐన్స్టీన్ యొక్క విద్య మీ భుజాలపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్ధాన్ని ఎలా కనుగొనాలి అనే ప్రశ్నకు సమాధానాన్ని కనుగొనడంలో మా కథనం మీకు సహాయపడిందని మేము ఆశిస్తున్నాము మరియు మీరు ఏదైనా సూత్రాన్ని సులభంగా గుర్తించవచ్చు!