| № p/p | కంటెంట్ అంశాలు | చేయగలరుసమస్యాత్మక సమస్యలు మరియు పరిస్థితులను పరిష్కరించండి | S-9 |
|
| 26 | ప్రతికూల పూర్ణాంక ఘాతాంకంతో శక్తి | సహజ ఘాతాంకం, ప్రతికూల ఘాతాంకం, గుణకారం, భాగహారం మరియు ఘాతాంకం | కలిగిసహజ ఘాతాంకం కలిగిన శక్తి, ప్రతికూల ఘాతాంకం కలిగిన శక్తి, సంఖ్య యొక్క గుణకారం, భాగహారం మరియు ఘాతాంకం చేయగలరు: - ప్రతికూల ఘాతాంకం మరియు డిగ్రీ లక్షణాలతో డిగ్రీ నిర్వచనాన్ని ఉపయోగించి వ్యక్తీకరణలను సరళీకృతం చేయండి; - శాస్త్రీయ శైలిలో వచనాన్ని కంపోజ్ చేయండి | S-10 |
| 29 | పరీక్ష నం. 2 “హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణల రూపాంతరం” | చేయగలరుస్వతంత్రంగా హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణలను మార్చే హేతుబద్ధమైన మార్గాన్ని ఎంచుకోండి, గుర్తింపులను నిరూపించండి, హారంలను తొలగించడం ద్వారా హేతుబద్ధమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించండి, వాస్తవ పరిస్థితి యొక్క గణిత నమూనాను రూపొందించండి | కె.ఆర్. సంఖ్య 2 |
 |
|
 |  |
 |  |
 |  |
 |  |
పరీక్ష కోసం ప్రశ్నలు
భిన్నం యొక్క ప్రధాన ఆస్తిని పేర్కొనండి.
సూత్రీకరించు
బీజగణిత భిన్నం కోసం అదనపు కారకాన్ని కనుగొనే అల్గోరిథం.
బీజగణిత భిన్నాలను వంటి హారంతో జోడించడం మరియు తీసివేయడం కోసం నియమాలు.
అనేక భిన్నాల యొక్క సాధారణ హారం కనుగొనడానికి అల్గోరిథం
వివిధ హారంతో బీజగణిత భిన్నాలను జోడించే (తీసివేయడం) నియమం.
బీజగణిత భిన్నాలను గుణించడం కోసం నియమం
బీజగణిత భిన్నాలను విభజించడానికి నియమం.
బీజగణిత భిన్నాన్ని శక్తికి పెంచే నియమం.
ఈ పాఠం బీజగణిత భిన్నం యొక్క భావనను కవర్ చేస్తుంది. ప్రజలు సరళమైన జీవిత పరిస్థితులలో భిన్నాలను ఎదుర్కొంటారు: ఒక వస్తువును అనేక భాగాలుగా విభజించాల్సిన అవసరం వచ్చినప్పుడు, ఉదాహరణకు, ఒక కేక్‌ను పది మందికి సమానంగా కత్తిరించడం. సహజంగానే, ప్రతి ఒక్కరూ కేక్ ముక్కను పొందుతారు. ఈ సందర్భంలో, మేము సంఖ్యా భిన్నం యొక్క భావనను ఎదుర్కొంటాము, అయితే ఒక వస్తువు తెలియని సంఖ్యలో భాగాలుగా విభజించబడినప్పుడు పరిస్థితి సాధ్యమవుతుంది, ఉదాహరణకు, x ద్వారా. ఈ సందర్భంలో, పాక్షిక వ్యక్తీకరణ యొక్క భావన తలెత్తుతుంది. మీరు ఇప్పటికే 7వ తరగతిలో పూర్తి వ్యక్తీకరణలు (వేరియబుల్స్‌తో ఎక్స్‌ప్రెషన్‌లుగా విభజించడం లేదు) మరియు వాటి లక్షణాలతో పరిచయం కలిగి ఉన్నారు. తరువాత మనం హేతుబద్ధమైన భిన్నం యొక్క భావనను అలాగే వేరియబుల్స్ యొక్క ఆమోదయోగ్యమైన విలువలను పరిశీలిస్తాము.
విషయం:బీజగణిత భిన్నాలు. బీజగణిత భిన్నాలపై అంకగణిత కార్యకలాపాలు
పాఠం:ప్రాథమిక భావనలు
1. బీజగణిత భిన్నాల నిర్వచనం మరియు ఉదాహరణలు
హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణలు విభజించబడ్డాయి పూర్ణాంకం మరియు పాక్షిక వ్యక్తీకరణలు.
నిర్వచనం. హేతుబద్ధమైన భిన్నంరూపం యొక్క పాక్షిక వ్యక్తీకరణ , బహుపదాలు ఎక్కడ ఉన్నాయి. - న్యూమరేటర్ హారం.
ఉదాహరణలు హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణలు:
- పాక్షిక వ్యక్తీకరణలు; - మొత్తం వ్యక్తీకరణలు. మొదటి వ్యక్తీకరణలో, ఉదాహరణకు, న్యూమరేటర్ , మరియు హారం .
అర్థం బీజగణిత భిన్నంఎవరైనా వంటి బీజగణిత వ్యక్తీకరణ, దానిలో చేర్చబడిన వేరియబుల్స్ యొక్క సంఖ్యా విలువపై ఆధారపడి ఉంటుంది. ప్రత్యేకించి, మొదటి ఉదాహరణలో భిన్నం యొక్క విలువ వేరియబుల్స్ యొక్క విలువలపై ఆధారపడి ఉంటుంది మరియు , మరియు రెండవ ఉదాహరణలో వేరియబుల్ విలువపై మాత్రమే ఆధారపడి ఉంటుంది.
2. బీజగణిత భిన్నం మరియు రెండు ప్రాథమిక భిన్న సమస్యల విలువను గణించడం
మొదటి సాధారణ పనిని పరిశీలిద్దాం: విలువను లెక్కించడం హేతుబద్ధమైన భిన్నందానిలో చేర్చబడిన వేరియబుల్స్ యొక్క విభిన్న విలువల కోసం.
ఉదాహరణ 1. a) , b) , c) కోసం భిన్నం యొక్క విలువను లెక్కించండి
పరిష్కారం. సూచించిన భిన్నంలో వేరియబుల్స్ యొక్క విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం: a) , b) , c) - ఉనికిలో లేదు (మీరు సున్నాతో విభజించలేరు కాబట్టి).
సమాధానం: 3; 1; ఉనికిలో లేదు.
మీరు గమనిస్తే, ఏదైనా భిన్నానికి రెండు సాధారణ సమస్యలు తలెత్తుతాయి: 1) భిన్నాన్ని లెక్కించడం, 2) కనుగొనడం చెల్లుబాటు అయ్యే మరియు చెల్లని విలువలుఅక్షరం వేరియబుల్స్.
నిర్వచనం. చెల్లుబాటు అయ్యే వేరియబుల్ విలువలు- వ్యక్తీకరణ అర్థవంతంగా ఉండే వేరియబుల్స్ విలువలు. వేరియబుల్స్ యొక్క సాధ్యమయ్యే అన్ని విలువల సమితిని అంటారు ODZలేదా డొమైన్.
3. ఒక వేరియబుల్‌తో భిన్నాలలో వేరియబుల్స్ యొక్క ఆమోదయోగ్యమైన (ADV) మరియు ఆమోదయోగ్యం కాని విలువలు
ఈ విలువలలో భిన్నం యొక్క హారం సున్నా అయితే లిటరల్ వేరియబుల్స్ విలువ చెల్లదు. అన్ని ఇతర సందర్భాలలో, వేరియబుల్స్ యొక్క విలువలు చెల్లుబాటు అవుతాయి, ఎందుకంటే భిన్నాన్ని లెక్కించవచ్చు.
ఉదాహరణ 2. వేరియబుల్ యొక్క ఏ విలువలలో భిన్నం అర్ధవంతం కాదో నిర్ణయించండి.
పరిష్కారం. ఈ వ్యక్తీకరణ అర్ధవంతం కావడానికి, భిన్నం యొక్క హారం సున్నాకి సమానం కాకపోవడం అవసరం మరియు సరిపోతుంది. అందువలన, వేరియబుల్ యొక్క విలువలు మాత్రమే చెల్లవు, దీని కోసం హారం సున్నాకి సమానంగా ఉంటుంది. భిన్నం యొక్క హారం , కాబట్టి మేము సరళ సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తాము:
కాబట్టి, వేరియబుల్ విలువను బట్టి, భిన్నానికి అర్థం లేదు.
ఉదాహరణ యొక్క పరిష్కారం నుండి, వేరియబుల్స్ యొక్క చెల్లని విలువలను కనుగొనే నియమం క్రింది విధంగా ఉంటుంది - భిన్నం యొక్క హారం సున్నాకి సమానం మరియు సంబంధిత సమీకరణం యొక్క మూలాలు కనుగొనబడ్డాయి.
ఇలాంటి అనేక ఉదాహరణలను చూద్దాం.
ఉదాహరణ 3. వేరియబుల్ యొక్క ఏ విలువలలో భిన్నం అర్ధవంతం కాదో నిర్ణయించండి.
పరిష్కారం. .
ఉదాహరణ 4. వేరియబుల్ యొక్క ఏ విలువలలో భిన్నం అర్ధవంతం కాదో నిర్ణయించండి.
పరిష్కారం..
ఈ సమస్య యొక్క ఇతర సూత్రీకరణలు ఉన్నాయి - కనుగొనండి డొమైన్లేదా ఆమోదయోగ్యమైన వ్యక్తీకరణ విలువల పరిధి (APV). దీని అర్థం వేరియబుల్స్ యొక్క అన్ని చెల్లుబాటు అయ్యే విలువలను కనుగొనడం. మా ఉదాహరణలో, ఇవి తప్ప అన్ని విలువలు. సంఖ్య అక్షంపై నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను వర్ణించడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది.
దీన్ని చేయడానికి, చిత్రంలో సూచించిన విధంగా మేము దానిపై ఒక పాయింట్‌ను కత్తిరించుకుంటాము:
ఈ విధంగా, భిన్నం నిర్వచనం డొమైన్ 3 తప్ప అన్ని సంఖ్యలు ఉంటాయి.
ఉదాహరణ 5. వేరియబుల్ యొక్క ఏ విలువలలో భిన్నం అర్ధవంతం కాదో నిర్ణయించండి.
పరిష్కారం..
ఫలిత పరిష్కారాన్ని సంఖ్యా అక్షంపై చిత్రీకరిద్దాం:
4. అంగీకారయోగ్యమైన (AP) ప్రాంతం యొక్క గ్రాఫికల్ ప్రాతినిధ్యం మరియు భిన్నాలలో వేరియబుల్స్ యొక్క ఆమోదయోగ్యం కాని విలువలు
ఉదాహరణ 6. వేరియబుల్స్ యొక్క ఏ విలువలలో భిన్నం అర్ధవంతం కాదో నిర్ణయించండి.
పరిష్కారం.. మేము రెండు వేరియబుల్స్ యొక్క సమానత్వాన్ని పొందాము, మేము సంఖ్యా ఉదాహరణలను ఇస్తాము: లేదా, మొదలైనవి.
కార్టీసియన్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లోని గ్రాఫ్‌లో ఈ పరిష్కారాన్ని చిత్రీకరిద్దాం:
అన్నం. 3. ఫంక్షన్ గ్రాఫ్.
ఈ గ్రాఫ్‌పై ఉన్న ఏదైనా పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు ఆమోదయోగ్యమైన భిన్న విలువల పరిధిలో చేర్చబడలేదు.
5. "సున్నా ద్వారా విభజన" రకం కేసు
చర్చించిన ఉదాహరణలలో, సున్నా ద్వారా విభజన సంభవించే పరిస్థితిని మేము ఎదుర్కొన్నాము. రకం విభజనతో మరింత ఆసక్తికరమైన పరిస్థితి ఉత్పన్నమయ్యే సందర్భాన్ని ఇప్పుడు పరిగణించండి.
ఉదాహరణ 7. వేరియబుల్స్ యొక్క ఏ విలువలలో భిన్నం అర్ధవంతం కాదో నిర్ణయించండి.
పరిష్కారం..
భిన్నం వద్ద అర్ధమే లేదని తేలింది. కానీ ఇది అలా కాదని ఎవరైనా వాదించవచ్చు ఎందుకంటే: 
.
అంతిమ వ్యక్తీకరణ 8 వద్దకు సమానంగా ఉంటే, అసలైన దానిని కూడా గణించవచ్చు మరియు అందువల్ల వద్ద అర్థవంతంగా ఉంటుంది. అయినప్పటికీ, మేము దానిని అసలు వ్యక్తీకరణలో ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, మనం పొందుతాము - ఇది అర్ధం కాదు.
ఈ ఉదాహరణను మరింత వివరంగా అర్థం చేసుకోవడానికి, ఈ క్రింది సమస్యను పరిష్కరిద్దాం: సూచించిన భిన్నం ఏ విలువలతో సున్నాకి సమానం?
(సంఖ్య సున్నా అయినప్పుడు భిన్నం సున్నా) 
. కానీ అసలైన సమీకరణాన్ని భిన్నంతో పరిష్కరించడం అవసరం, మరియు వేరియబుల్ యొక్క ఈ విలువ వద్ద హారం సున్నా కాబట్టి ఇది అర్ధవంతం కాదు. అంటే ఈ సమీకరణానికి ఒకే మూలం ఉంటుంది.
6. ODZని కనుగొనడానికి నియమం
అందువల్ల, భిన్నం యొక్క అనుమతించదగిన విలువల పరిధిని కనుగొనడానికి మేము ఖచ్చితమైన నియమాన్ని రూపొందించవచ్చు: కనుగొనడానికి ODZభిన్నాలుదాని హారంను సున్నాకి సమం చేయడం మరియు ఫలిత సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనడం అవసరం మరియు సరిపోతుంది.
మేము రెండు ప్రధాన పనులను పరిగణించాము: భిన్నం యొక్క విలువను గణించడంవేరియబుల్స్ యొక్క పేర్కొన్న విలువల కోసం మరియు భిన్నం యొక్క ఆమోదయోగ్యమైన విలువల పరిధిని కనుగొనడం.
భిన్నాలతో పనిచేసేటప్పుడు తలెత్తే మరికొన్ని సమస్యలను ఇప్పుడు పరిశీలిద్దాం.
7. వివిధ పనులు మరియు ముగింపులు
ఉదాహరణ 8. వేరియబుల్ యొక్క ఏదైనా విలువలకు భిన్నం అని నిరూపించండి.
రుజువు. న్యూమరేటర్ అనేది ధనాత్మక సంఖ్య. . ఫలితంగా, న్యూమరేటర్ మరియు హారం రెండూ ధనాత్మక సంఖ్యలు, కాబట్టి భిన్నం ధనాత్మక సంఖ్య.
నిరూపించబడింది.
ఉదాహరణ 9. ఇది తెలుసు , కనుగొనండి .
పరిష్కారం. భిన్న పదాన్ని పదం ద్వారా భాగిద్దాం. ఇచ్చిన భిన్నం కోసం చెల్లని వేరియబుల్ విలువను పరిగణనలోకి తీసుకుని, తగ్గించే హక్కు మాకు ఉంది.
ఈ పాఠంలో మేము భిన్నాలకు సంబంధించిన ప్రాథమిక భావనలను కవర్ చేసాము. తదుపరి పాఠంలో మనం చూద్దాం ఒక భిన్నం యొక్క ప్రధాన ఆస్తి.
గ్రంథ పట్టిక
1. బాష్మాకోవ్ M.I. ఆల్జీబ్రా 8వ తరగతి. - M.: విద్య, 2004.
2. డోరోఫీవ్ G.V., సువోరోవా S.B., బునిమోవిచ్ E.A. మరియు ఇతరులు ఆల్జీబ్రా 8. - 5వ ఎడిషన్. - M.: విద్య, 2010.
3. నికోల్స్కీ S. M., పొటాపోవ్ M. A., Reshetnikov N. N., షెవ్కిన్ A. V. ఆల్జీబ్రా 8వ తరగతి. సాధారణ విద్యా సంస్థలకు పాఠ్య పుస్తకం. - M.: విద్య, 2006.
1. బోధనా ఆలోచనల పండుగ.
2. పాత పాఠశాల.
3. ఇంటర్నెట్ పోర్టల్ lib2.podelise. రు.
ఇంటి పని
1. నం. 4, 7, 9, 12, 13, 14. డోరోఫీవ్ G.V., సువోరోవా S.B., బునిమోవిచ్ E.A. మరియు ఇతరులు ఆల్జీబ్రా 8. - 5వ ఎడిషన్. - M.: విద్య, 2010.
2. నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ అయిన హేతుబద్ధమైన భిన్నాన్ని వ్రాయండి: a) సెట్, బి) సెట్, c) మొత్తం సంఖ్య రేఖ.
3. వేరియబుల్ యొక్క అన్ని సాధ్యమైన విలువలకు, భిన్నం యొక్క విలువ ప్రతికూలంగా లేదని నిరూపించండి.
4. వ్యక్తీకరణ యొక్క డొమైన్‌ను కనుగొనండి. సూచనలు: రెండు సందర్భాలను విడిగా పరిగణించండి: దిగువ భిన్నం యొక్క హారం సున్నా అయినప్పుడు మరియు అసలు భిన్నం యొక్క హారం సున్నా అయినప్పుడు.
గణితం యొక్క విభాగం. లైన్ ద్వారా.
సంఖ్యలు మరియు లెక్కలు
వ్యక్తీకరణలు మరియు రూపాంతరాలు
బీజగణిత భిన్నం.
భిన్నాలను తగ్గించడం.
బీజగణిత భిన్నాలతో కార్యకలాపాలు.
| కార్యక్రమం | ^ గంటల సంఖ్య | నియంత్రణ మార్కులు | |
| U-1. సంయుక్త పాఠం "ప్రాథమిక భావనలు" | 1 | మానసిక గణన కోసం పనులు. వ్యాయామం 1 "సంఖ్యా వ్యక్తీకరణలు" |
|
| U-2. పాఠం-ఉపన్యాసం "బీజగణిత భిన్నం యొక్క ప్రధాన లక్షణం. భిన్నాలను తగ్గించడం" | 1 | ప్రదర్శన పదార్థం "బీజగణిత భిన్నాల యొక్క ప్రధాన లక్షణం" |
|
| U-3. పాఠం - నేర్చుకున్న వాటి ఏకీకరణ | 1 | మౌఖిక లెక్కింపు స్వతంత్ర పని 1.1 "ఒక భిన్నం యొక్క ప్రధాన ఆస్తి. భిన్నాలను తగ్గించడం" | మానసిక గణన కోసం పనులు. వ్యాయామం 2 "బీజగణిత భిన్నాలను తగ్గించడం" |
| U-4. సంయుక్త పాఠం "వంటి హారంతో భిన్నాలను జోడించడం మరియు తీసివేయడం" | 1 | |
|
| U-5. పాఠం - సమస్య పరిష్కారం | 1 | CD గణితం 5-11 వ్యాయామాలు "హేతుబద్ధ సంఖ్యలు". |
|
| U-6. సంయుక్త పాఠం "వివిధ హారంతో భిన్నాలను జోడించడం మరియు తీసివేయడం" | 1 | ప్రదర్శన మెటీరియల్ "బీజగణిత భిన్నాలను జోడించడం మరియు తీసివేయడం" |
|
| U-7. పాఠం - సమస్య పరిష్కారం | 1 | మౌఖిక లెక్కింపు | మానసిక గణన కోసం పనులు. వ్యాయామం 3 "బీజగణిత భిన్నాలను జోడించడం మరియు తీసివేయడం" |
| U-8. పాఠం - స్వతంత్ర పని | 1 | స్వతంత్ర పని 1.2 "బీజగణిత భిన్నాలను జోడించడం మరియు తీసివేయడం" | |
| U-9. పాఠం - సమస్య పరిష్కారం | 1 | ||
| U-10. పాఠం-పరీక్ష | 1 | పరీక్ష నం. 1 | |
| U-11. సంయుక్త పాఠం "బీజగణిత భిన్నాల గుణకారం మరియు విభజన. బీజగణిత భిన్నాలను శక్తులుగా పెంచడం" | 1 | ||
| U-12. పాఠం - సమస్య పరిష్కారం | 2 | స్వతంత్ర పని 1.3 "భిన్నాలను గుణించడం మరియు విభజించడం" | |
| U-13. సంయుక్త పాఠం "హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణలను మార్చడం" | 1 | మౌఖిక లెక్కింపు | మానసిక గణన కోసం పనులు. వ్యాయామం 4 “బీజగణిత భిన్నాల గుణకారం మరియు విభజన” |
| U-14. పాఠం - సమస్య పరిష్కారం | 1 | ||
| U-15. పాఠం - స్వతంత్ర పని | 1 | స్వతంత్ర పని 1.4 "హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణల రూపాంతరం" | |
| U-16. వర్క్‌షాప్ పాఠం "హేతుబద్ధ సమీకరణాలను పరిష్కరించడం గురించి మొదటి ఆలోచనలు" | 1 | CD గణితం 5-11 వర్చువల్ లాబొరేటరీ "ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్". |
|
| U-17. పాఠం - సమస్య పరిష్కారం | 1 | పరీక్ష 1 "బీజగణిత భిన్నాలు" | |
| U-18. పాఠం - పరీక్ష. | 1 | పరీక్ష సంఖ్య 2 |
బీజగణిత భిన్నాలను తగ్గించగలగాలి.
బీజగణిత భిన్నాలతో ప్రాథమిక కార్యకలాపాలను నిర్వహించగలగాలి.
బీజగణిత భిన్నాలతో చర్యలపై మిశ్రమ వ్యాయామాలు చేయగలరు.
అంశం 2. క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్. ఫంక్షన్ . (18 గంటలు)
ఫంక్షన్
గణితం యొక్క విద్యా రంగంలో తప్పనిసరి కనీస కంటెంట్
కార్యక్రమం. దాని అమలును పర్యవేక్షిస్తోంది
| కార్యక్రమం | సంఖ్య గంటకు | నియంత్రణ మార్కులు | కంప్యూటర్ సాఫ్ట్ వేర్ పాఠం |
| U-1. కంబైన్డ్ పాఠం “ఫంక్షన్ , దాని లక్షణాలు మరియు గ్రాఫ్" | 1 | |
|
| | 1 | మౌఖిక లెక్కింపు | మానసిక గణన కోసం పనులు. వ్యాయామం 5 "ఫంక్షన్" ప్రదర్శన మెటీరియల్ “పారాబోలా. సైన్స్ అండ్ టెక్నాలజీలో అప్లికేషన్" |
| U-3. సమస్య పరిష్కార పాఠం | 1 | స్వతంత్ర పని 2.1 "ఫంక్షన్ y = kx 2
» | |
| U-4. పాఠం-ఉపన్యాసం "ఫంక్షన్ మరియు దాని గ్రాఫ్" | 1 | ప్రదర్శన పదార్థం "ఫంక్షన్, దాని లక్షణాలు మరియు గ్రాఫ్" |
|
| ^ U-5. సమస్య పరిష్కార పాఠం | 3 | మౌఖిక లెక్కింపు స్వతంత్ర పని 2.2 "ఫంక్షన్" | మానసిక గణన కోసం పనులు. వ్యాయామం 6 "విలోమ అనుపాతత" |
| U-6,7. పాఠాలు-వర్క్‌షాప్‌లు “ఫంక్షన్‌ను ఎలా గ్రాఫ్ చేయాలి » | 2 | ప్రాక్టికల్ పని | |
| U-8,9. పాఠాలు-వర్క్‌షాప్‌లు “ఫంక్షన్‌ను ఎలా గ్రాఫ్ చేయాలి , ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ తెలిసినట్లయితే » | 2 | CD "గణితం 5-11 తరగతులు." వర్చువల్ లాబొరేటరీ “ఫంక్షన్‌ల గ్రాఫ్‌లు” |
|
| ^ U-10. పాఠం-పరీక్ష | 1 | పరీక్ష సంఖ్య 3 | |
| U-11 పాఠాలు-వర్క్‌షాప్ “ఫంక్షన్ గ్రాఫ్‌ను ఎలా ప్లాట్ చేయాలి , ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ తెలిసినట్లయితే » | 1 | CD "గణితం 5-11 తరగతులు." వర్చువల్ లాబొరేటరీ “ఫంక్షన్‌ల గ్రాఫ్‌లు” |
|
| U-12 పాఠం-వర్క్‌షాప్ “ఫంక్షన్ గ్రాఫ్‌ను ఎలా ప్లాట్ చేయాలి , ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ తెలిసినట్లయితే » | 1 | స్వతంత్ర పని 2.3 "ఫంక్షన్ గ్రాఫ్‌లు" | CD "గణితం 5-11 తరగతులు." వర్చువల్ లాబొరేటరీ “ఫంక్షన్‌ల గ్రాఫ్‌లు” |
| U-13. కంబైన్డ్ పాఠం “ఫంక్షన్ , దాని లక్షణాలు మరియు గ్రాఫ్" | 1 | ప్రదర్శన మెటీరియల్ "క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్ యొక్క లక్షణాలు" |
|
| U-14. పాఠం - నేర్చుకున్న దాని ఏకీకరణ.. | 1 | మౌఖిక లెక్కింపు | మానసిక గణన కోసం పనులు. వ్యాయామం 7 “క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్” |
| U-15. సమస్య పరిష్కార పాఠం | 1 | మౌఖిక లెక్కింపు స్వతంత్ర పని 2.4 "క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్ యొక్క లక్షణాలు మరియు గ్రాఫ్" | మానసిక గణన కోసం పనులు. వ్యాయామం 8 “క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్ యొక్క లక్షణాలు” |
| U-16. పాఠం-పరీక్ష | 1 | పరీక్ష 2 "క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్" | |
| ^ U-17. వర్క్‌షాప్ “క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణాల గ్రాఫికల్ సొల్యూషన్” | 1 | ప్రదర్శన మెటీరియల్ “క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణాల గ్రాఫికల్ సొల్యూషన్” |
|
| U-18. పాఠం-పరీక్ష | 1 | పరీక్ష సంఖ్య 4 |
గణిత శిక్షణ కోసం అవసరాలు
విద్యార్థి యొక్క నిర్బంధ శిక్షణ స్థాయి
విద్యార్థికి సాధ్యమయ్యే శిక్షణ స్థాయి
అంశం 3 ఫంక్షన్ . వర్గమూలం యొక్క లక్షణాలు (11 గంటలు)
గణితం యొక్క విభాగం. లైన్ ద్వారా
సంఖ్యలు మరియు లెక్కలు
వ్యక్తీకరణలు మరియు రూపాంతరాలు
విధులు
సంఖ్య యొక్క వర్గమూలం. అంకగణిత వర్గమూలం.
అకరణీయ సంఖ్య భావన. సంఖ్యల అహేతుకత.
వాస్తవ సంఖ్యలు.
గణనలలో వర్గమూలాల లక్షణాలు మరియు వాటి అప్లికేషన్లు.
ఫంక్షన్.
కార్యక్రమం. దాని అమలును పర్యవేక్షిస్తోంది
| కార్యక్రమం | గంటల సంఖ్య | నియంత్రణ మార్కులు | పాఠం కోసం కంప్యూటర్ మద్దతు |
| ^ U-1. పాఠం-ఉపన్యాసం “ప్రతికూలత లేని సంఖ్య యొక్క వర్గమూలం యొక్క భావన” | 1 | ప్రదర్శన మెటీరియల్ “స్క్వేర్ రూట్ భావన” |
|
| U-2. పాఠం - సమస్య పరిష్కారం | 1 | స్వతంత్ర పని 3.1 "అంకగణిత వర్గమూలం" | |
| U-3. కంబైన్డ్ పాఠం “ఫంక్షన్ , దాని లక్షణాలు మరియు గ్రాఫ్" | 1 | ప్రదర్శన పదార్థం "ఫంక్షన్, దాని లక్షణాలు మరియు గ్రాఫ్" |
|
| ^ U-4. పాఠం - సమస్య పరిష్కారం | 1 | మౌఖిక లెక్కింపు | మానసిక గణన కోసం పనులు. వ్యాయామం 9 “అంకగణిత వర్గమూలం” |
| ^ U-5. సంయుక్త పాఠం "వర్గమూలాల లక్షణాలు" | 1 | ప్రదర్శన మెటీరియల్ "అంకగణిత వర్గమూలం యొక్క లక్షణాల అప్లికేషన్" |
|
| ^ U-6 పాఠం - సమస్య పరిష్కారం | 1 | మౌఖిక లెక్కింపు స్వతంత్ర పని 3.2 "అంకగణిత వర్గమూలం యొక్క లక్షణాలు" | మానసిక గణన కోసం పనులు. వ్యాయామం 10 “ఒక ఉత్పత్తి మరియు భిన్నం యొక్క స్క్వేర్ రూట్” |
| ^ U-7.8. వర్క్‌షాప్‌లు "వర్గమూలాన్ని సంగ్రహించే ఆపరేషన్‌ను కలిగి ఉన్న వ్యక్తీకరణలను మార్చడం." | 2 | ప్రాక్టికల్ పని | |
| ^ U-9. పాఠం - సమస్య పరిష్కారం | 1 | మౌఖిక లెక్కింపు స్వతంత్ర పని 3.3 "అరిథ్మెటిక్ స్క్వేర్ రూట్ యొక్క లక్షణాలను వర్తింపజేయడం" | మానసిక గణన కోసం పనులు. వ్యాయామం 11 “డిగ్రీ యొక్క స్క్వేర్ రూట్” |
| U-10. పాఠం - సమస్య పరిష్కారం | 1 | పరీక్ష 3 "స్క్వేర్ రూట్స్" | |
| U-11. పాఠం - పరీక్ష. | 1 | పరీక్ష సంఖ్య 5 |
^ గణిత శిక్షణ కోసం అవసరాలు
విద్యార్థి యొక్క నిర్బంధ శిక్షణ స్థాయి
సాధారణ సందర్భాలలో మూలాల అర్థాలను కనుగొనండి.
ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం మరియు లక్షణాలను తెలుసుకోండి , ఒక షెడ్యూల్‌ను రూపొందించుకోగలుగుతారు.
విలువలు మరియు వర్గమూలాలను కలిగి ఉన్న సంఖ్యా వ్యక్తీకరణల యొక్క సాధారణ రూపాంతరాలను లెక్కించడానికి అంకగణిత వర్గమూలాల లక్షణాలను ఉపయోగించగలగాలి.
విద్యార్థికి సాధ్యమయ్యే శిక్షణ స్థాయి
అంకగణిత వర్గమూలం యొక్క భావనను తెలుసుకోండి.
వ్యక్తీకరణలను మార్చేటప్పుడు అంకగణిత వర్గమూలాల లక్షణాలను వర్తింపజేయగలగాలి.
ఆచరణాత్మక సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు ఫంక్షన్ యొక్క లక్షణాలను ఉపయోగించగలగాలి.
అహేతుక మరియు వాస్తవ సంఖ్యల గురించి అవగాహన కలిగి ఉండండి.
^ అంశం 4 క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణాలు (21 గంటలు)
గణితం యొక్క విభాగం. లైన్ ద్వారా
సమీకరణాలు మరియు అసమానతలు
గణితం యొక్క విద్యా రంగంలో తప్పనిసరి కనీస కంటెంట్
చతుర్భుజ సమీకరణం: వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలకు సూత్రం.
హేతుబద్ధమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించడం.
చతుర్భుజ మరియు పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాలను ఉపయోగించి పద సమస్యలను పరిష్కరించడం.
కార్యక్రమం. దాని అమలును పర్యవేక్షిస్తోంది
| కార్యక్రమం | గంటల సంఖ్య | నియంత్రణ మార్కులు | కంప్యూటర్ సాఫ్ట్ వేర్ పాఠం |
| ^ U-1. కొత్త మెటీరియల్ "ప్రాథమిక భావనలు" యొక్క పాఠం-అధ్యయనం. | 1 | ప్రదర్శన మెటీరియల్ “క్వాడ్రాటిక్ ఈక్వేషన్స్” |
|
| U-2. పాఠం - నేర్చుకున్న వాటి ఏకీకరణ. | 1 | మౌఖిక లెక్కింపు | మానసిక గణన కోసం పనులు. వ్యాయామం 12 “క్వాడ్రాటిక్ ఈక్వేషన్ మరియు దాని మూలాలు” |
| U-3. సంయుక్త పాఠం "క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణాల మూలాల సూత్రాలు." | 1 | స్వతంత్ర పని 4.1 "చతుర్భుజ సమీకరణం మరియు దాని మూలాలు" | |
| U-4.5. సమస్య పరిష్కార పాఠాలు | 2 | మౌఖిక లెక్కింపు | మానసిక గణన కోసం పనులు. వ్యాయామం 11 “క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణాలను పరిష్కరించడం” |
| U-6. పాఠం - స్వతంత్ర పని | 1 | స్వతంత్ర పని 4.2 "ఫార్ములా ఉపయోగించి వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడం" | |
| U-7. సంయుక్త పాఠం "హేతుబద్ధ సమీకరణాలు" | 1 | ప్రాక్టికల్ పని | |
| U-8,9. సమస్య పరిష్కార పాఠాలు | 2 | స్వతంత్ర పని 4.3 "హేతుబద్ధ సమీకరణాలు" | |
| U-10,11. వర్క్‌షాప్‌లు "వాస్తవ పరిస్థితుల యొక్క గణిత నమూనాలుగా హేతుబద్ధ సమీకరణాలు." | 2 | ||
| U-12. సమస్య పరిష్కార పాఠం | 1 | ||
| U-13. పాఠం - స్వతంత్ర పని | 1 | స్వతంత్ర పని 4.4 "చతురస్రాకార సమీకరణాలను ఉపయోగించి సమస్యలను పరిష్కరించడం" | |
| U-14. కంబైన్డ్ పాఠం "క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణం యొక్క మూలాల కోసం మరొక సూత్రం." | 1 | ||
| U-15. పాఠం - సమస్య పరిష్కారం | 1 | ||
| U-16. కంబైన్డ్ పాఠం "Viete's Theorem". | 1 | ప్రదర్శన పదార్థం "వియటా సిద్ధాంతం" |
|
| U-17. పాఠం - సమస్య పరిష్కారం | 1 | మౌఖిక లెక్కింపు | మానసిక గణన కోసం పనులు. వ్యాయామం 14 “వీటీస్ సిద్ధాంతం” |
| U-18. సంయుక్త పాఠం "అహేతుక సమీకరణాలు" | 1 | ||
| U-19. పాఠం - సమస్య పరిష్కారం | 1 | ||
| U-20. సమస్య పరిష్కార పాఠం | 1 | పరీక్ష 4 "చతుర్భుజ సమీకరణాలు" | CD గణితం 5-11. వర్చువల్ లాబొరేటరీ "సమీకరణాలు మరియు అసమానతల గ్రాఫ్‌లు" |
| U-21. పాఠం - పరీక్ష. | 1 | పరీక్ష సంఖ్య 6 |
^ గణిత తయారీ కోసం అవసరాలు
విద్యార్థి యొక్క నిర్బంధ శిక్షణ స్థాయి
వర్గ సమీకరణాలు, సాధారణ హేతుబద్ధమైన మరియు అహేతుక సమీకరణాలను పరిష్కరించగలగాలి.
సమీకరణాలను ఉపయోగించి సాధారణ పద సమస్యలను పరిష్కరించగలగాలి.
విద్యార్థికి సాధ్యమయ్యే శిక్షణ స్థాయి
గణితం, సంబంధిత జ్ఞాన రంగాలు మరియు అభ్యాసం నుండి వివిధ సమస్యలను పరిష్కరించడానికి సమీకరణాలు ఒక గణిత ఉపకరణం అని అర్థం చేసుకోండి.
వర్గ సమీకరణాలు, హేతుబద్ధమైన మరియు అహేతుక సమీకరణాలను పరిష్కరించగలగాలి, వాటిని వర్గ సమీకరణాలకు తగ్గించవచ్చు.
సమస్యలను పరిష్కరించడానికి క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణాలు మరియు హేతుబద్ధ సమీకరణాలను ఉపయోగించగలగాలి.
ఈ పాఠంలో మేము బీజగణిత భిన్నాలతో సరళమైన కార్యకలాపాలను పరిగణించడం కొనసాగిస్తాము - వాటి కూడిక మరియు తీసివేత. ఈ రోజు మనం ఉదాహరణలను పరిగణనలోకి తీసుకుంటాము, దీనిలో పరిష్కారం యొక్క అత్యంత ముఖ్యమైన భాగం మనకు తెలిసిన అన్ని విధాలుగా హారంను కారకాలుగా చేస్తుంది: సాధారణ అంశంతో, సమూహ పద్ధతి, ఖచ్చితమైన చతురస్రాన్ని వేరుచేయడం, సంక్షిప్త గుణకార సూత్రాలను ఉపయోగించడం. పాఠం సమయంలో మేము చాలా క్లిష్టమైన భిన్న సమస్యలను పరిశీలిస్తాము.
విషయం:బీజగణిత భిన్నాలు. బీజగణిత భిన్నాలపై అంకగణిత కార్యకలాపాలు
పాఠం:భిన్నాలను జోడించడం మరియు తీసివేయడం వంటి సమస్యలు
పాఠం సమయంలో మేము భిన్నాలను జోడించడం మరియు తీసివేయడం యొక్క అన్ని సందర్భాలను పరిశీలిస్తాము మరియు సాధారణీకరిస్తాము: అదే మరియు విభిన్న హారంతో. సాధారణంగా, మేము ఫారమ్ యొక్క సమస్యలను పరిష్కరిస్తాము:
బీజగణిత భిన్నాలను జోడించేటప్పుడు లేదా తీసివేసేటప్పుడు, హారంలను కారకం చేయడం అత్యంత ముఖ్యమైన కార్యకలాపాలలో ఒకటి అని మేము ఇంతకు ముందు చూశాము. సాధారణ భిన్నాల విషయంలో ఇదే విధమైన విధానం నిర్వహిస్తారు. సాధారణ భిన్నాలతో ఎలా పని చేయాలో మరోసారి గుర్తుచేసుకుందాం.
ఉదాహరణ 1.లెక్కించు.
పరిష్కారం.ఏదైనా సంఖ్యను ప్రధాన కారకాలుగా కారకం చేయగల అంకగణితం యొక్క ప్రాథమిక సిద్ధాంతాన్ని మునుపటిలాగా ఉపయోగించుకుందాం: 
.
హారం యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని నిర్ధారిద్దాం: - ఇది భిన్నాల యొక్క సాధారణ హారం అవుతుంది మరియు దాని ఆధారంగా, మేము ప్రతి భిన్నానికి అదనపు కారకాలను నిర్ణయిస్తాము: మొదటి భిన్నం కోసం 
, రెండవ భిన్నం కోసం 
, మూడవ భాగానికి.
సమాధానం..
పై ఉదాహరణలో, మేము కారకం సంఖ్యలకు అంకగణితం యొక్క ప్రాథమిక సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించాము. ఇంకా, బహుపదిలు హారం వలె పనిచేసినప్పుడు, అవి మనకు తెలిసిన క్రింది పద్ధతులను ఉపయోగించి కారకం చేయబడాలి: సాధారణ కారకాన్ని తీయడం, సమూహ పద్ధతి, పూర్తి చతురస్రాన్ని వేరుచేయడం, సంక్షిప్త గుణకార సూత్రాలను ఉపయోగించడం.
ఉదాహరణ 2.భిన్నాలను జోడించండి మరియు తీసివేయండి .
పరిష్కారం.మూడు భిన్నాల యొక్క హారం సంక్లిష్ట వ్యక్తీకరణలు, అవి తప్పనిసరిగా కారకం చేయబడాలి, ఆపై వాటికి అత్యల్ప సాధారణ హారం కనుగొని, ప్రతి భిన్నాలకు అదనపు కారకాలను సూచిస్తాయి. ఈ దశలన్నింటినీ విడిగా చేద్దాం, ఆపై ఫలితాలను అసలైన వ్యక్తీకరణలో భర్తీ చేయండి.
మొదటి హారంలో మేము సాధారణ కారకాన్ని తీసుకుంటాము: - సాధారణ కారకాన్ని తీసివేసిన తర్వాత, బ్రాకెట్లలోని వ్యక్తీకరణ మొత్తం స్క్వేర్ సూత్రం ప్రకారం ముడుచుకున్నట్లు మీరు గమనించవచ్చు.
రెండవ హారంలో మేము సాధారణ కారకాన్ని తీసుకుంటాము: - సాధారణ కారకాన్ని తీసివేసిన తర్వాత, మేము చతురస్రాల వ్యత్యాసం కోసం సూత్రాన్ని వర్తింపజేస్తాము.
మూడవ హారంలో మేము సాధారణ కారకాన్ని తీసుకుంటాము: .
మూడవ హారంను కారకం చేసిన తర్వాత, రెండవ హారంలో మీరు భిన్నాల యొక్క అత్యల్ప సాధారణ హారం కోసం మరింత అనుకూలమైన శోధన కోసం ఒక కారకాన్ని ఎంచుకోవచ్చని మీరు గమనించవచ్చు, బ్రాకెట్లలో మైనస్‌ను ఉంచడం ద్వారా మేము దీన్ని చేస్తాము, రెండవ బ్రాకెట్‌లో మరింత అనుకూలమైన సంజ్ఞామానం కోసం నిబంధనలను మార్చుకున్నారు.
భిన్నాల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ హారం ఒకే సమయంలో అన్ని హారంలచే విభజించబడిన వ్యక్తీకరణగా నిర్వచిద్దాం, ఇది సమానంగా ఉంటుంది: .
మేము అదనపు కారకాలను సూచిస్తాము: మొదటి భిన్నం కోసం 
, రెండవ భిన్నం కోసం 
- మేము హారంలోని మైనస్‌ను పరిగణనలోకి తీసుకోము, ఎందుకంటే మేము దానిని మొత్తం భిన్నం కోసం, మూడవ భిన్నం కోసం వ్రాస్తాము. 
.
ఇప్పుడు రెండవ భిన్నానికి ముందు గుర్తును మార్చడం మర్చిపోకుండా, భిన్నాలతో చర్యలను చేద్దాం:
పరిష్కారం యొక్క చివరి దశలో, మేము ఒకే విధమైన నిబంధనలను తీసుకువచ్చాము మరియు వాటిని వేరియబుల్ యొక్క అధికారాల అవరోహణ క్రమంలో వ్రాసాము.
సమాధానం..
పై ఉదాహరణను ఉపయోగించి, మేము మరోసారి, మునుపటి పాఠాలలో వలె, భిన్నాలను జోడించడం/వ్యవకలనం చేయడం కోసం అల్గోరిథంను ప్రదర్శించాము, ఇది క్రింది విధంగా ఉంటుంది: భిన్నాల హారం, అత్యల్ప సాధారణ హారం, అదనపు కారకాలు, కూడిక/వ్యవకలన ప్రక్రియను నిర్వహించడం మరియు, వీలైతే, వ్యక్తీకరణను సులభతరం చేయండి మరియు తగ్గించండి. మేము భవిష్యత్తులో ఈ అల్గారిథమ్‌ని ఉపయోగించడం కొనసాగిస్తాము. ఇప్పుడు సరళమైన ఉదాహరణలను చూద్దాం.
ఉదాహరణ 3.భిన్నాలను తీసివేయండి 
.
పరిష్కారం.ఈ ఉదాహరణలో, రెండవ భిన్నంతో ఒక సాధారణ హారంకి తీసుకురావడానికి ముందు మొదటి భిన్నాన్ని తగ్గించే అవకాశాన్ని చూడటం ముఖ్యం. దీన్ని చేయడానికి, మేము మొదటి భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ మరియు హారంను కారకం చేస్తాము.
న్యూమరేటర్: - మొదటి దశలో చతురస్రాల ఫార్ములా వ్యత్యాసం ప్రకారం మేము వ్యక్తీకరణ యొక్క భాగాన్ని విస్తరించాము మరియు రెండవ దశలో మేము సాధారణ కారకాన్ని తీసుకున్నాము.
హారం: - మొదటి దశలో మేము వ్యత్యాసం యొక్క వర్గ సూత్రం ప్రకారం వ్యక్తీకరణ యొక్క భాగాన్ని విస్తరించాము మరియు రెండవ దశలో మేము సాధారణ కారకాన్ని తీసుకున్నాము. ఫలితంగా వచ్చే న్యూమరేటర్ మరియు హారంను అసలు వ్యక్తీకరణలో భర్తీ చేయండి మరియు మొదటి భిన్నాన్ని సాధారణ కారకం ద్వారా తగ్గించండి:
సమాధానం:.
ఉదాహరణ 4.చర్యలు జరుపుము 
.
పరిష్కారం.ఈ ఉదాహరణలో, మునుపటి మాదిరిగానే, చర్యలను నిర్వహించడానికి ముందు భిన్నం యొక్క తగ్గింపును గమనించడం మరియు అమలు చేయడం ముఖ్యం. న్యూమరేటర్ మరియు హారం కారకం చేద్దాం.
విషయం:
పాఠం: హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణలను మార్చడం
1. హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణ మరియు దానిని సరళీకృతం చేయడానికి పద్ధతులు
ముందుగా హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణ యొక్క నిర్వచనాన్ని గుర్తుచేసుకుందాం.
నిర్వచనం. హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణ- బీజగణిత వ్యక్తీకరణ, ఇది మూలాలను కలిగి ఉండదు మరియు కూడిక, తీసివేత, గుణకారం మరియు భాగహారం (శక్తికి పెంచడం) కార్యకలాపాలను మాత్రమే కలిగి ఉంటుంది.
"హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణను మార్చడం" అనే భావన ద్వారా మనం మొదటగా, దాని సరళీకరణ అని అర్థం. మరియు ఇది మనకు తెలిసిన చర్యల క్రమంలో నిర్వహించబడుతుంది: మొదట బ్రాకెట్లలోని చర్యలు, తర్వాత సంఖ్యల ఉత్పత్తి(ఘాతాంకం), సంఖ్యలను విభజించడం, ఆపై కార్యకలాపాలను జోడించడం/తీసివేయడం.
2. భిన్నాల మొత్తం/భేదంతో హేతుబద్ధ వ్యక్తీకరణల సరళీకరణ
నేటి పాఠం యొక్క ప్రధాన లక్ష్యం హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణలను సరళీకృతం చేయడంలో మరింత క్లిష్టమైన సమస్యలను పరిష్కరించడంలో అనుభవాన్ని పొందడం.
ఉదాహరణ 1.
పరిష్కారం.మొదట ఈ భిన్నాలను తగ్గించవచ్చని అనిపించవచ్చు, ఎందుకంటే భిన్నాల సంఖ్యలలోని వ్యక్తీకరణలు వాటి సంబంధిత హారం యొక్క ఖచ్చితమైన చతురస్రాల సూత్రాలకు చాలా పోలి ఉంటాయి. ఈ సందర్భంలో, తొందరపడకుండా ఉండటం ముఖ్యం, కానీ ఇది అలా ఉందో లేదో విడిగా తనిఖీ చేయండి.
మొదటి భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్‌ని తనిఖీ చేద్దాం: . ఇప్పుడు రెండవ న్యూమరేటర్: .
మీరు చూడగలిగినట్లుగా, మా అంచనాలను అందుకోలేదు మరియు న్యూమరేటర్‌లలోని వ్యక్తీకరణలు ఖచ్చితమైన చతురస్రాలు కావు, ఎందుకంటే వాటికి ఉత్పత్తి రెట్టింపు లేదు. అలాంటి వ్యక్తీకరణలు, మీరు 7 వ తరగతి కోర్సును గుర్తుంచుకుంటే, అసంపూర్ణ చతురస్రాలు అంటారు. అటువంటి సందర్భాలలో మీరు చాలా జాగ్రత్తగా ఉండాలి, ఎందుకంటే పూర్తి చతురస్రం యొక్క సూత్రాన్ని అసంపూర్తిగా గందరగోళం చేయడం చాలా సాధారణ తప్పు, మరియు అలాంటి ఉదాహరణలు విద్యార్థి యొక్క శ్రద్ధను పరీక్షిస్తాయి.
తగ్గింపు అసాధ్యం కాబట్టి, మేము భిన్నాల జోడింపును చేస్తాము. హారంలకు సాధారణ కారకాలు లేవు, కాబట్టి అవి అతి తక్కువ సాధారణ హారం పొందడానికి గుణించబడతాయి మరియు ప్రతి భిన్నానికి అదనపు కారకం ఇతర భిన్నం యొక్క హారం.
అయితే, మీరు బ్రాకెట్‌లను తెరిచి, ఆపై సారూప్య నిబంధనలను తీసుకురావచ్చు, అయితే, ఈ సందర్భంలో మీరు తక్కువ శ్రమతో పొందవచ్చు మరియు మొదటి పదం ఘనాల మొత్తానికి సూత్రం అని న్యూమరేటర్‌లో గమనించవచ్చు మరియు రెండవది ఘనాల తేడా. సౌలభ్యం కోసం, ఈ సూత్రాలను సాధారణ రూపంలో గుర్తుచేసుకుందాం:
మా సందర్భంలో, న్యూమరేటర్‌లోని వ్యక్తీకరణలు క్రింది విధంగా కుదించబడ్డాయి:
, రెండవ వ్యక్తీకరణ సమానంగా ఉంటుంది. మాకు ఉన్నాయి:
సమాధానం..
ఉదాహరణ 2.హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి 
.
పరిష్కారం.ఈ ఉదాహరణ మునుపటి మాదిరిగానే ఉంటుంది, కానీ ఇక్కడ భిన్నాల సంఖ్యలు పాక్షిక చతురస్రాలను కలిగి ఉన్నాయని వెంటనే స్పష్టమవుతుంది, కాబట్టి పరిష్కారం యొక్క ప్రారంభ దశలో తగ్గింపు అసాధ్యం. మునుపటి ఉదాహరణ వలె, మేము భిన్నాలను జోడిస్తాము:
ఇక్కడ, పైన సూచించిన పద్ధతి వలె, మేము ఘనాల మొత్తం మరియు వ్యత్యాసానికి సూత్రాలను ఉపయోగించి వ్యక్తీకరణలను గమనించాము మరియు కుదించాము.
సమాధానం..
ఉదాహరణ 3.హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి.
పరిష్కారం.క్యూబ్స్ ఫార్ములా మొత్తాన్ని ఉపయోగించి రెండవ భిన్నం యొక్క హారం కారకం చేయబడిందని మీరు గమనించవచ్చు. మనకు ఇప్పటికే తెలిసినట్లుగా, భిన్నాల యొక్క అత్యల్ప సాధారణ హారంను కనుగొనడానికి ఫ్యాక్టరింగ్ హారం ఉపయోగపడుతుంది.
భిన్నాల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ హారంను సూచిస్తాము, ఇది దీనికి సమానం: https://pandia.ru/text/80/351/images/image016_27.gif" alt="http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront. net/content/konspekt_image/ 23332/d6838ff258e40dc138ebee9552f3b9fb.png" width="624" height="70">.!}
సమాధానం.
3. సంక్లిష్టమైన "బహుళ-కథ" భిన్నాలతో హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణల సరళీకరణ
"బహుళ-కథ" భిన్నాలతో మరింత సంక్లిష్టమైన ఉదాహరణను పరిశీలిద్దాం.
ఉదాహరణ 4.గుర్తింపును రుజువు చేయండి https://pandia.ru/text/80/351/images/image019_25.gif" alt="http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/23335/25bd4e84df905d4e84df06df06" width="402" height="55">. Доказано при всех допустимых значениях переменной.!}
నిరూపించబడింది.
తదుపరి పాఠంలో హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణలను మార్చడానికి మరింత సంక్లిష్టమైన ఉదాహరణలను మేము వివరంగా పరిశీలిస్తాము.
విషయం: బీజగణిత భిన్నాలు. బీజగణిత భిన్నాలపై అంకగణిత కార్యకలాపాలు
పాఠం: మరింత సంక్లిష్టమైన హేతుబద్ధ వ్యక్తీకరణలను మార్చడం
1. హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణల రూపాంతరాలను ఉపయోగించి గుర్తింపును నిరూపించే ఉదాహరణ
ఈ పాఠంలో మనం మరింత సంక్లిష్టమైన హేతుబద్ధ వ్యక్తీకరణలను మార్చడాన్ని పరిశీలిస్తాము. మొదటి ఉదాహరణ గుర్తింపును నిరూపించడానికి అంకితం చేయబడుతుంది.
ఉదాహరణ 1
గుర్తింపును నిరూపించండి: .
రుజువు:
అన్నింటిలో మొదటిది, హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణలను మార్చేటప్పుడు, చర్యల క్రమాన్ని నిర్ణయించడం అవసరం. కుండలీకరణాల్లోని కార్యకలాపాలు మొదట, గుణకారం మరియు భాగహారం, ఆపై కూడిక మరియు వ్యవకలనం అని మీకు గుర్తు చేద్దాం. అందువల్ల, ఈ ఉదాహరణలో, చర్యల క్రమం క్రింది విధంగా ఉంటుంది: మొదట మేము చర్యను మొదటి బ్రాకెట్లలో చేస్తాము, తరువాత రెండవ బ్రాకెట్లలో చేస్తాము, ఆపై మేము పొందిన ఫలితాలను విభజిస్తాము, ఆపై ఫలిత వ్యక్తీకరణకు మేము ఒక భిన్నాన్ని జోడిస్తాము. ఈ చర్యల ఫలితంగా, అలాగే సరళీకరణ, వ్యక్తీకరణ పొందాలి.