గణిత శాస్త్ర చరిత్రలో, మనం రెండు ప్రధాన కాలాలను సుమారుగా వేరు చేయవచ్చు: ప్రాథమిక మరియు ఆధునిక గణితశాస్త్రం. కొత్త (కొన్నిసార్లు ఎక్కువ అని పిలుస్తారు) గణితం యొక్క యుగాన్ని లెక్కించడం ఆచారం అయిన మైలురాయి 17 వ శతాబ్దం - గణిత విశ్లేషణ యొక్క ఆవిర్భావ శతాబ్దం. 17వ శతాబ్దం చివరి నాటికి. I. న్యూటన్, G. లీబ్నిజ్ మరియు వారి పూర్వీకులు కొత్త అవకలన కాలిక్యులస్ మరియు ఇంటిగ్రల్ కాలిక్యులస్ యొక్క ఉపకరణాన్ని సృష్టించారు, ఇది గణిత విశ్లేషణకు ఆధారం మరియు బహుశా, అన్ని ఆధునిక సహజ విజ్ఞాన శాస్త్రానికి గణిత ఆధారం.
గణిత విశ్లేషణ అనేది గణితశాస్త్రం యొక్క విస్తారమైన ప్రాంతం, ఇది అధ్యయనం యొక్క లక్షణ వస్తువు (వేరియబుల్ పరిమాణం), ఒక ప్రత్యేకమైన పరిశోధన పద్ధతి (అనంతమైన వాటి ద్వారా లేదా పరిమితుల మార్గాల ద్వారా విశ్లేషణ), ప్రాథమిక భావనల యొక్క నిర్దిష్ట వ్యవస్థ (ఫంక్షన్, పరిమితి. , ఉత్పన్నం, అవకలన, సమగ్ర, శ్రేణి) మరియు నిరంతరం అభివృద్ధి చెందుతున్న మరియు అభివృద్ధి చెందుతున్న ఉపకరణం, దీని ఆధారం అవకలన మరియు సమగ్ర కాలిక్యులస్.
17వ శతాబ్దంలో ఎలాంటి గణిత విప్లవం సంభవించిందో, ప్రాథమిక గణితం నుండి గణిత విశ్లేషణ యొక్క పుట్టుకతో సంబంధం ఉన్న పరివర్తనను ఇప్పుడు గణిత విశ్లేషణలో పరిశోధనలో ఉన్నదానికి మరియు దాని గురించి ఏమి వివరిస్తుంది అనే దాని గురించి ఒక ఆలోచన ఇవ్వడానికి ప్రయత్నిద్దాం. సైద్ధాంతిక మరియు అనువర్తిత జ్ఞానం యొక్క మొత్తం ఆధునిక వ్యవస్థలో ప్రాథమిక పాత్ర.
తుఫానుతో కూడిన సముద్ర కెరటం ఒడ్డుకు పరుగెత్తుతున్న ఒక అందమైన రంగు ఛాయాచిత్రం మీ ముందు ఉందని ఊహించండి: శక్తివంతమైన వెనుకకు వంగి, నిటారుగా కానీ కొద్దిగా మునిగిపోయిన ఛాతీ, తల ఇప్పటికే ముందుకు వంగి బూడిద రంగు మేన్‌తో పడిపోవడానికి సిద్ధంగా ఉంది. గాలి. మీరు క్షణం ఆగిపోయారు, మీరు వేవ్‌ను పట్టుకోగలిగారు మరియు ఇప్పుడు మీరు తొందరపడకుండా ప్రతి వివరాలతో జాగ్రత్తగా అధ్యయనం చేయవచ్చు. ఒక తరంగాన్ని కొలవవచ్చు మరియు ప్రాథమిక గణితం యొక్క సాధనాలను ఉపయోగించి, మీరు ఈ తరంగం గురించి చాలా ముఖ్యమైన తీర్మానాలను తీసుకోవచ్చు మరియు అందువల్ల దాని సముద్ర సోదరీమణులందరూ. కానీ తరంగాన్ని ఆపడం ద్వారా, మీరు దాని కదలిక మరియు జీవితాన్ని కోల్పోయారు. దాని మూలం, అభివృద్ధి, పరుగు, అది ఒడ్డుకు చేరే శక్తి - ఇవన్నీ మీ దృష్టి క్షేత్రానికి వెలుపల ఉన్నట్లు తేలింది, ఎందుకంటే మీకు ఇంకా స్థిరంగా కాకుండా వివరించడానికి మరియు అధ్యయనం చేయడానికి అనువైన భాష లేదా గణిత ఉపకరణం లేదు, కానీ అభివృద్ధి చెందుతున్న, డైనమిక్ ప్రక్రియలు, వేరియబుల్స్ మరియు వాటి సంబంధాలు.
"గణిత విశ్లేషణ ప్రకృతి కంటే తక్కువ సమగ్రమైనది కాదు: ఇది అన్ని ప్రత్యక్ష సంబంధాలను నిర్ణయిస్తుంది, సమయాలు, ఖాళీలు, శక్తులు, ఉష్ణోగ్రతలను కొలుస్తుంది." J. ఫోరియర్
కదలికలు, వేరియబుల్స్ మరియు వాటి సంబంధాలు ప్రతిచోటా మన చుట్టూ ఉన్నాయి. వివిధ రకాల చలనాలు మరియు వాటి నమూనాలు నిర్దిష్ట శాస్త్రాల అధ్యయనం యొక్క ప్రధాన వస్తువుగా ఉన్నాయి: భౌతిక శాస్త్రం, భూగర్భ శాస్త్రం, జీవశాస్త్రం, సామాజిక శాస్త్రం మొదలైనవి. అందువల్ల, ఖచ్చితమైన భాష మరియు వేరియబుల్ పరిమాణాలను వివరించడానికి మరియు అధ్యయనం చేయడానికి సంబంధిత గణిత పద్ధతులు అన్ని రంగాలలో అవసరం అని తేలింది. పరిమాణాత్మక సంబంధాలను వివరించేటప్పుడు సంఖ్యలు మరియు అంకగణితం ఎంత అవసరమో అదే స్థాయిలో జ్ఞానం అవసరం. కాబట్టి, గణిత విశ్లేషణ వేరియబుల్స్ మరియు వాటి సంబంధాలను వివరించడానికి భాష మరియు గణిత పద్ధతులకు ఆధారం. ఈ రోజుల్లో, గణిత విశ్లేషణ లేకుండా, అంతరిక్ష పథాలు, అణు రియాక్టర్ల ఆపరేషన్, సముద్రపు అలల కదలిక మరియు తుఫాను అభివృద్ధి నమూనాలను లెక్కించడం మాత్రమే కాదు, ఉత్పత్తి, వనరుల పంపిణీ, సాంకేతిక ప్రక్రియల సంస్థను ఆర్థికంగా నిర్వహించడం కూడా అసాధ్యం. రసాయన ప్రతిచర్యలు లేదా ప్రకృతి జంతువులు మరియు మొక్కలలో పరస్పరం అనుసంధానించబడిన వివిధ జాతుల సంఖ్యలో మార్పులు, ఎందుకంటే ఇవన్నీ డైనమిక్ ప్రక్రియలు.
ప్రాథమిక గణితం ప్రధానంగా స్థిరమైన పరిమాణాల గణితం, ఇది ప్రధానంగా రేఖాగణిత బొమ్మల మూలకాల మధ్య సంబంధాలను, సంఖ్యల అంకగణిత లక్షణాలు మరియు బీజగణిత సమీకరణాలను అధ్యయనం చేస్తుంది. వాస్తవికత పట్ల దాని వైఖరిని కొంతవరకు చలనచిత్రం యొక్క ప్రతి స్థిర ఫ్రేమ్ యొక్క శ్రద్ధగల, సమగ్రమైన మరియు పూర్తి అధ్యయనంతో పోల్చవచ్చు, ఇది మారుతున్న, అభివృద్ధి చెందుతున్న జీవన ప్రపంచాన్ని దాని కదలికలో సంగ్రహిస్తుంది, అయితే ఇది ప్రత్యేక ఫ్రేమ్‌లో కనిపించదు మరియు టేప్‌ను పూర్తిగా చూడటం ద్వారా మాత్రమే గమనించవచ్చు. కానీ ఫోటోగ్రఫీ లేకుండా సినిమా ఊహించలేనట్లే, ఆధునిక గణితశాస్త్రం దానిలోని భాగం లేకుండా అసాధ్యం, మేము సాంప్రదాయకంగా ప్రాథమికంగా పిలుస్తాము, అనేక మంది అత్యుత్తమ శాస్త్రవేత్తల ఆలోచనలు మరియు విజయాలు లేకుండా, కొన్నిసార్లు పదుల శతాబ్దాల ద్వారా వేరు చేయబడుతుంది.
గణితం ఐక్యంగా ఉంటుంది మరియు దానిలోని “ఎత్తైన” భాగం “ప్రాథమిక” భాగంతో అనుసంధానించబడి ఉంటుంది, అదే విధంగా నిర్మాణంలో ఉన్న ఇంటి తదుపరి అంతస్తు మునుపటి దానితో అనుసంధానించబడి ఉంటుంది మరియు గణితం తెరుచుకునే క్షితిజాల వెడల్పు మన చుట్టూ ఉన్న ప్రపంచంలోని మనకు ఈ భవనం యొక్క ఏ అంతస్తులో మేము పైకి చేరుకోగలిగాము అనే దానిపై ఆధారపడి ఉంటుంది. 17వ శతాబ్దంలో జన్మించారు. గణిత విశ్లేషణ పదం యొక్క విస్తృత అర్థంలో వేరియబుల్స్ మరియు చలనాన్ని శాస్త్రీయంగా వివరించడానికి, పరిమాణాత్మకంగా మరియు గుణాత్మకంగా అధ్యయనం చేయడానికి మాకు అవకాశాలను తెరిచింది.
గణిత విశ్లేషణ యొక్క ఆవిర్భావానికి ముందస్తు అవసరాలు ఏమిటి?
17వ శతాబ్దం చివరి నాటికి. కింది పరిస్థితి ఏర్పడింది. మొదట, గణిత శాస్త్ర చట్రంలో, చాలా సంవత్సరాలుగా, ఒకే రకమైన సమస్యల యొక్క కొన్ని ముఖ్యమైన తరగతులు పేరుకుపోయాయి (ఉదాహరణకు, ప్రాంతాలను కొలిచే సమస్యలు మరియు ప్రామాణికం కాని బొమ్మల వాల్యూమ్‌లు, టాంజెంట్‌లను వక్రరేఖలకు గీయడంలో సమస్యలు) మరియు పద్ధతులు వివిధ ప్రత్యేక సందర్భాలలో వాటిని పరిష్కరించడం కనిపించింది. రెండవది, ఈ సమస్యలు ఏకపక్ష (తప్పనిసరిగా ఏకరీతి కాదు) యాంత్రిక కదలికను వివరించే సమస్యలకు దగ్గరి సంబంధం కలిగి ఉన్నాయని తేలింది మరియు ప్రత్యేకించి దాని తక్షణ లక్షణాల గణన (వేగం, ఏ సమయంలోనైనా త్వరణం), అలాగే కనుగొనడంలో ఇచ్చిన వేరియబుల్ వేగంతో కదలిక కోసం ప్రయాణించిన దూరం. భౌతిక శాస్త్రం, ఖగోళ శాస్త్రం మరియు సాంకేతికత అభివృద్ధికి ఈ సమస్యలకు పరిష్కారం అవసరం.
చివరగా, మూడవది, 17వ శతాబ్దం మధ్య నాటికి. R. డెస్కార్టెస్ మరియు P. ఫెర్మాట్ యొక్క రచనలు కోఆర్డినేట్స్ యొక్క విశ్లేషణాత్మక పద్ధతికి (విశ్లేషణాత్మక జ్యామితి అని పిలవబడేవి) పునాదులు వేసాయి, ఇది సంఖ్యల సాధారణ (విశ్లేషణాత్మక) భాషలో భిన్నమైన మూలం యొక్క రేఖాగణిత మరియు భౌతిక సమస్యలను రూపొందించడం సాధ్యం చేసింది. మరియు సంఖ్యా ఆధారపడటం, లేదా, మనం ఇప్పుడు చెప్పినట్లు, సంఖ్యా విధులు.
|
నికోలాయ్ నికోలేవిచ్ లుజిన్
N. N. లుజిన్ - సోవియట్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు, సోవియట్ స్కూల్ ఆఫ్ ఫంక్షన్ థియరీ వ్యవస్థాపకుడు, విద్యావేత్త (1929). లుజిన్ టామ్స్క్‌లో జన్మించాడు మరియు టామ్స్క్ వ్యాయామశాలలో చదువుకున్నాడు. జిమ్నాసియం మ్యాథమెటిక్స్ కోర్సు యొక్క ఫార్మలిజం ప్రతిభావంతులైన యువకుడిని దూరం చేసింది మరియు గణిత శాస్త్రం యొక్క అందం మరియు గొప్పతనాన్ని ఒక సమర్థుడైన బోధకుడు మాత్రమే అతనికి వెల్లడించగలిగాడు. 1901 లో, లుజిన్ మాస్కో విశ్వవిద్యాలయంలోని ఫిజిక్స్ మరియు మ్యాథమెటిక్స్ ఫ్యాకల్టీ యొక్క గణిత విభాగంలో ప్రవేశించాడు. అతని అధ్యయనం యొక్క మొదటి సంవత్సరాల నుండి, అనంతానికి సంబంధించిన సమస్యలు అతని ఆసక్తుల సర్కిల్‌లోకి వచ్చాయి. 19వ శతాబ్దం చివరిలో. జర్మన్ శాస్త్రవేత్త G. కాంటర్ అనంతమైన సెట్ల యొక్క సాధారణ సిద్ధాంతాన్ని సృష్టించాడు, ఇది నిరంతర విధుల అధ్యయనంలో అనేక అనువర్తనాలను పొందింది. లుజిన్ ఈ సిద్ధాంతాన్ని అధ్యయనం చేయడం ప్రారంభించాడు, కానీ అతని అధ్యయనాలు 1905లో అంతరాయం కలిగింది. విప్లవ కార్యకలాపాల్లో పాల్గొన్న విద్యార్థి కొంతకాలం ఫ్రాన్స్‌కు వెళ్లవలసి వచ్చింది. అక్కడ అతను ఆ కాలంలోని ప్రముఖ ఫ్రెంచ్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుల ఉపన్యాసాలు విన్నాడు. రష్యాకు తిరిగి వచ్చిన తరువాత, లుజిన్ విశ్వవిద్యాలయం నుండి పట్టభద్రుడయ్యాడు మరియు ప్రొఫెసర్‌షిప్‌కు సిద్ధమయ్యాడు. త్వరలో అతను మళ్లీ పారిస్‌కు బయలుదేరాడు, ఆపై గోట్టింగెన్‌కు బయలుదేరాడు, అక్కడ అతను చాలా మంది శాస్త్రవేత్తలకు దగ్గరయ్యాడు మరియు తన మొదటి శాస్త్రీయ రచనలను వ్రాసాడు. శాస్త్రవేత్తకు ఆసక్తి కలిగించిన ప్రధాన సమస్య ఏమిటంటే, సహజ సంఖ్యల సమితి కంటే ఎక్కువ మూలకాలను కలిగి ఉన్న సెట్‌లు ఉండవచ్చా అనే ప్రశ్న, కానీ ఒక విభాగంలోని పాయింట్ల సెట్ కంటే తక్కువ (నిరంతర సమస్య). సమితుల యొక్క యూనియన్ మరియు ఖండన యొక్క లెక్కించదగిన సేకరణలను ఉపయోగించి విభాగాల నుండి పొందగలిగే ఏదైనా అనంతమైన సెట్ కోసం, ఈ పరికల్పన సంతృప్తి చెందింది మరియు సమస్యను పరిష్కరించడానికి, సెట్‌లను నిర్మించడానికి ఇతర మార్గాలు ఏవి ఉన్నాయో తెలుసుకోవడం అవసరం. . అదే సమయంలో, త్రికోణమితి శ్రేణి మొత్తంగా, అనంతమైన అనేక నిలిపివేత పాయింట్లతో ఏదైనా ఆవర్తన ఫంక్షన్‌ను సూచించడం సాధ్యమేనా అనే ప్రశ్నను లుజిన్ అధ్యయనం చేశాడు, అనగా. అనంతమైన హార్మోనిక్ వైబ్రేషన్ల మొత్తం. ఈ సమస్యలపై, లుజిన్ అనేక ముఖ్యమైన ఫలితాలను పొందాడు మరియు 1915లో అతను తన "ఇంటిగ్రల్ అండ్ త్రికోణమితి సిరీస్" ను సమర్థించాడు, దీని కోసం అతను వెంటనే డాక్టర్ ఆఫ్ ప్యూర్ మ్యాథమెటిక్స్ యొక్క అకాడెమిక్ డిగ్రీని పొందాడు, ఆ సమయంలో ఉన్న ఇంటర్మీడియట్ మాస్టర్స్ డిగ్రీని దాటవేసాడు. . 1917 లో లుజిన్ మాస్కో విశ్వవిద్యాలయంలో ప్రొఫెసర్ అయ్యాడు. ప్రతిభావంతులైన ఉపాధ్యాయుడు, అతను అత్యంత సమర్థులైన విద్యార్థులను మరియు యువ గణిత శాస్త్రజ్ఞులను ఆకర్షించాడు. లుజిన్ పాఠశాల మొదటి విప్లవానంతర సంవత్సరాల్లో గరిష్ట స్థాయికి చేరుకుంది. లుజిన్ విద్యార్థులు ఒక సృజనాత్మక బృందాన్ని ఏర్పరచుకున్నారు, దానిని వారు సరదాగా "లుసిటానియా" అని పిలిచారు. వారిలో చాలామంది విద్యార్థిగా ఉన్నప్పుడే ఫస్ట్-క్లాస్ సైంటిఫిక్ ఫలితాలను పొందారు. ఉదాహరణకు, P. S. అలెక్సాండ్రోవ్ మరియు M. యా. సుస్లిన్ (1894-1919) సెట్‌లను నిర్మించడానికి ఒక కొత్త పద్ధతిని కనుగొన్నారు, ఇది కొత్త దిశ - వివరణాత్మక సెట్ సిద్ధాంతం యొక్క అభివృద్ధికి నాందిగా పనిచేసింది. ఈ ప్రాంతంలో లుజిన్ మరియు అతని విద్యార్థులు నిర్వహించిన పరిశోధనలో, సెట్ థియరీ యొక్క సాధారణ పద్ధతులు దానిలో ఉత్పన్నమయ్యే అనేక సమస్యలను పరిష్కరించడానికి సరిపోవని తేలింది. లుజిన్ యొక్క శాస్త్రీయ అంచనాలు 60 వ దశకంలో పూర్తిగా ధృవీకరించబడ్డాయి. XX శతాబ్దం N. N. లుజిన్ యొక్క చాలా మంది విద్యార్థులు తరువాత USSR అకాడమీ ఆఫ్ సైన్సెస్‌లో విద్యావేత్తలు మరియు సంబంధిత సభ్యులు అయ్యారు. వారిలో P. S. అలెగ్జాండ్రోవ్. A. N. కోల్మోగోరోవ్. M. A. Lavrentyev, L. A. లియుస్టెర్నిక్, D. E. మెన్షోవ్, P. S. నోవికోవ్. L. G. ష్నిరేల్మాన్ మరియు ఇతరులు. ఆధునిక సోవియట్ మరియు విదేశీ గణిత శాస్త్రజ్ఞులు వారి రచనలలో N. N. లుజిన్ యొక్క ఆలోచనలను అభివృద్ధి చేస్తారు. |
ఈ పరిస్థితుల సంగమం 17వ శతాబ్దం చివరిలో వాస్తవం దారితీసింది. ఇద్దరు శాస్త్రవేత్తలు - I. న్యూటన్ మరియు జి. లీబ్నిజ్ - ఒకరికొకరు స్వతంత్రంగా ఈ సమస్యలను పరిష్కరించడానికి ఒక గణిత ఉపకరణాన్ని రూపొందించగలిగారు, పురాతన శాస్త్రవేత్త ఆర్కిమెడిస్ మరియు న్యూటన్ మరియు లీబ్నిజ్ సమకాలీనులతో సహా వారి పూర్వీకుల వ్యక్తిగత ఫలితాలను సంగ్రహించి మరియు సాధారణీకరించారు. కావలీరి, బి. పాస్కల్, డి. గ్రెగోరీ, ఐ. బారో. ఈ ఉపకరణం గణిత విశ్లేషణ యొక్క ఆధారాన్ని ఏర్పరచింది - వివిధ అభివృద్ధి చెందుతున్న ప్రక్రియలను అధ్యయనం చేసే గణితశాస్త్రం యొక్క కొత్త శాఖ, అనగా. వేరియబుల్స్ మధ్య సంబంధాలు, వీటిని గణితంలో ఫంక్షనల్ డిపెండెన్సీలు లేదా మరో మాటలో చెప్పాలంటే ఫంక్షన్లు అంటారు. మార్గం ద్వారా, "ఫంక్షన్" అనే పదం అవసరం మరియు సహజంగా 17 వ శతాబ్దంలో ఉద్భవించింది మరియు ఇప్పుడు ఇది సాధారణ గణితాన్ని మాత్రమే కాకుండా సాధారణ శాస్త్రీయ ప్రాముఖ్యతను కూడా పొందింది.
విశ్లేషణ యొక్క ప్రాథమిక భావనలు మరియు గణిత ఉపకరణం గురించి ప్రారంభ సమాచారం “డిఫరెన్షియల్ కాలిక్యులస్” మరియు “ఇంటిగ్రల్ కాలిక్యులస్” కథనాలలో ఇవ్వబడింది.
ముగింపులో, నేను అన్ని గణితాలకు సాధారణమైన గణిత సంగ్రహణ సూత్రంపై మాత్రమే నివసించాలనుకుంటున్నాను మరియు విశ్లేషణ యొక్క లక్షణం, మరియు ఈ విషయంలో గణిత విశ్లేషణ వేరియబుల్స్‌ను ఏ రూపంలో అధ్యయనం చేస్తుంది మరియు దాని అధ్యయన పద్ధతుల యొక్క విశ్వవ్యాప్త రహస్యం ఏమిటో వివరించండి. అన్ని రకాల నిర్దిష్ట అభివృద్ధి ప్రక్రియలు మరియు వాటి పరస్పర సంబంధాలు.
కొన్ని సచిత్ర ఉదాహరణలు మరియు సారూప్యతలను చూద్దాం.
ఉదాహరణకు, ఆపిల్‌లు, కుర్చీలు లేదా ఏనుగుల కోసం కాకుండా, నిర్దిష్ట వస్తువుల నుండి సంగ్రహించబడిన నైరూప్య రూపంలో వ్రాసిన గణిత సంబంధాన్ని ఒక అద్భుతమైన శాస్త్రీయ విజయం అని కొన్నిసార్లు మనం గుర్తించలేము. ఇది గణిత శాస్త్ర నియమం, అనుభవం చూపినట్లుగా, వివిధ నిర్దిష్ట వస్తువులకు వర్తిస్తుంది. దీని అర్థం గణితశాస్త్రంలో నైరూప్య, నైరూప్య సంఖ్యల యొక్క సాధారణ లక్షణాలను అధ్యయనం చేయడం ద్వారా, మేము వాస్తవ ప్రపంచం యొక్క పరిమాణాత్మక సంబంధాలను అధ్యయనం చేస్తాము.
ఉదాహరణకు, పాఠశాల గణిత కోర్సు నుండి, ఒక నిర్దిష్ట పరిస్థితిలో మీరు ఇలా చెప్పవచ్చు: “12 టన్నుల మట్టిని రవాణా చేయడానికి వారు నాకు రెండు ఆరు టన్నుల డంప్ ట్రక్కులను ఇవ్వకపోతే, నేను అడగవచ్చు మూడు నాలుగు-టన్నుల డంప్ ట్రక్కుల కోసం మరియు పని పూర్తవుతుంది మరియు వారు నాకు ఒక నాలుగు-టన్నుల డంప్ ట్రక్కును మాత్రమే ఇస్తే, ఆమె మూడు విమానాలు వేయవలసి ఉంటుంది. అందువల్ల, ఇప్పుడు మనకు తెలిసిన నైరూప్య సంఖ్యలు మరియు సంఖ్యా నమూనాలు వాటి నిర్దిష్ట వ్యక్తీకరణలు మరియు అనువర్తనాలతో అనుబంధించబడ్డాయి.
నిర్దిష్ట వేరియబుల్స్ మరియు అభివృద్ధి చెందుతున్న ప్రకృతి ప్రక్రియలలో మార్పు యొక్క చట్టాలు గణిత విశ్లేషణలో కనిపించే మరియు అధ్యయనం చేయబడిన నైరూప్య, నైరూప్య రూపం-ఫంక్షన్‌కు దాదాపు అదే విధంగా సంబంధం కలిగి ఉంటాయి.
ఉదాహరణకు, 20 అంటే 20 కోపెక్‌లు - ఒక టిక్కెట్ ధర - అమ్ముడైన టిక్కెట్‌ల సంఖ్యపై సినిమా బాక్స్ ఆఫీస్ ఆధారపడటాన్ని నైరూప్య నిష్పత్తి ప్రతిబింబిస్తుంది. కానీ మనం హైవేపై సైకిల్ తొక్కుతూ, గంటకు 20 కి.మీ ప్రయాణిస్తున్నట్లయితే, ఇదే నిష్పత్తిని మన సైక్లింగ్ ట్రిప్ సమయం (గంటలు) మరియు ఈ సమయంలో ప్రయాణించే దూరానికి (కిలోమీటర్లు) మధ్య ఉన్న సంబంధంగా అర్థం చేసుకోవచ్చు. ఎల్లప్పుడూ చెప్పండి, ఉదాహరణకు, అనేక సార్లు మార్పు అనేది విలువలో దామాషా (అనగా, అదే సంఖ్యలో) మార్పుకు దారితీస్తుందని మరియు ఒకవేళ , అప్పుడు వ్యతిరేక ముగింపు కూడా నిజం. దీని అర్థం, ప్రత్యేకించి, సినిమా థియేటర్ యొక్క బాక్సాఫీస్‌ను రెట్టింపు చేయడానికి, మీరు రెండు రెట్లు ఎక్కువ మంది ప్రేక్షకులను ఆకర్షించవలసి ఉంటుంది మరియు అదే వేగంతో సైకిల్‌పై రెండింతలు ప్రయాణించాలంటే, మీరు రెండింతలు ప్రయాణించవలసి ఉంటుంది. .
గణితశాస్త్రం ఒక నిర్దిష్ట వివరణ నుండి సంగ్రహించబడిన సాధారణ, నైరూప్య రూపంలో సరళమైన ఆధారపడటం మరియు ఇతర, చాలా సంక్లిష్టమైన ఆధారపడటం రెండింటినీ అధ్యయనం చేస్తుంది. అటువంటి అధ్యయనంలో గుర్తించబడిన ఫంక్షన్ యొక్క లక్షణాలు లేదా ఈ లక్షణాలను అధ్యయనం చేసే పద్ధతులు సాధారణ గణిత సాంకేతికతలు, తీర్మానాలు, చట్టాలు మరియు తీర్మానాలు ప్రతి నిర్దిష్ట దృగ్విషయానికి వర్తించేవి, దీనిలో నైరూప్య రూపంలో అధ్యయనం చేయబడిన ఫంక్షన్ ఏ ప్రాంతంతో సంబంధం లేకుండా ఉంటుంది. జ్ఞానం యొక్క ఈ దృగ్విషయం చెందినది.
కాబట్టి, గణితశాస్త్రం యొక్క శాఖగా గణిత విశ్లేషణ 17వ శతాబ్దం చివరిలో రూపుదిద్దుకుంది. గణిత విశ్లేషణలో అధ్యయనం చేసే అంశం (ఆధునిక స్థానాల నుండి కనిపిస్తుంది) విధులు, లేదా, ఇతర మాటలలో, వేరియబుల్ పరిమాణాల మధ్య ఆధారపడటం.
గణిత విశ్లేషణ యొక్క ఆగమనంతో, వాస్తవ ప్రపంచంలో అభివృద్ధి చెందుతున్న ప్రక్రియల అధ్యయనం మరియు ప్రతిబింబం కోసం గణితం అందుబాటులోకి వచ్చింది; గణితంలో వేరియబుల్స్ మరియు మోషన్ ఉన్నాయి.
దాని సార్వత్రికత కారణంగా, గణితశాస్త్ర పరిశోధన గణితానికి చాలా దూరంగా ఉన్న ప్రాంతాల్లో ఉపయోగించబడుతుంది. గణిత భాషలో వ్రాసిన ఏదైనా నిబంధన, నియమం లేదా చట్టం అనేది ప్రతి శాస్త్రీయ పరిశోధనలో అత్యంత ముఖ్యమైన పని అయిన ప్రిడిక్షన్ (ఫోర్కాస్టింగ్) కోసం ఒక సాధనంగా మారుతుంది అనే వాస్తవం ద్వారా ఇది వివరించబడింది.
సాంప్రదాయ (క్లాసికల్) గణితం యొక్క ఆధారం సిద్ధాంతాల వ్యవస్థ, దీని నుండి ఫలితాలు తగ్గింపు ద్వారా పొందబడతాయి, లెమ్మాస్, సిద్ధాంతాలు మొదలైన వాటి రూపంలో ప్రదర్శించబడతాయి. వాటి ఆధారంగా పొందిన విశ్లేషణాత్మక పరిష్కారాలు పరిమితిలో ఖచ్చితమైనవి. ఈ పద్ధతుల యొక్క ఫ్రేమ్‌వర్క్‌లో, పరిష్కారాల ఉనికి, వాటి ప్రత్యేకత, అలాగే స్థిరత్వం మరియు వాటి సంఖ్యలో అపరిమిత పెరుగుదలతో ఖచ్చితంగా ఖచ్చితమైన పరిష్కారాలకు కలయిక వంటి ప్రశ్నలు అధ్యయనం చేయబడతాయి.
అటువంటి పద్ధతుల అభివృద్ధి గణిత శాస్త్రం అభివృద్ధికి దోహదం చేస్తుంది (కొత్త శాఖలు మరియు దిశల ఆవిర్భావం). అయినప్పటికీ, అనేక అనువర్తిత సమస్యలను పరిష్కరించడానికి అవి పనికిరానివిగా మారతాయి, ఎందుకంటే వాటిని ఉపయోగించడానికి చాలా ఊహలను ప్రవేశపెట్టడం అవసరం, ఇది అధ్యయనంలో ఉన్న ప్రక్రియ యొక్క గణిత నమూనా వాస్తవానికి భిన్నంగా ఉంటుంది. భౌతిక ప్రక్రియ.
ఈ విషయంలో, గణితంలో ఒక శాఖ ఏర్పడింది అనువర్తిత గణితం.సాంప్రదాయిక నుండి దాని ప్రధాన వ్యత్యాసం ఏమిటంటే, ఇక్కడ మనం ఖచ్చితమైనది కాదు, కానీ ఇంజనీరింగ్ అనువర్తనాలకు సరిపోయే ఖచ్చితత్వంతో సుమారుగా పరిష్కారాన్ని కనుగొంటాము, కానీ శాస్త్రీయ గణిత శాస్త్ర చట్రంలో రూపొందించబడిన అంచనాలను పరిగణనలోకి తీసుకోకుండా. పొందిన పరిష్కారాల యొక్క ఖచ్చితత్వం ఏదైనా పరీక్ష సమస్యల యొక్క ఖచ్చితమైన పరిష్కారాలతో లేదా ప్రయోగాత్మక అధ్యయనాల ఫలితాలతో పోల్చడం ద్వారా అంచనా వేయబడుతుంది.
అనువర్తిత గణిత శాస్త్ర పద్ధతులలో వైవిధ్యం (రిట్జ్, ట్రెఫ్ట్జ్, కాంటోరోవిచ్, మొదలైనవి), బరువున్న అవశేషాల ఆర్తోగోనల్ పద్ధతులు (బుబ్నోవ్-గాలెర్కిన్, కాంటోరోవిచ్), కొలోకేషన్‌లు, క్షణాలు, కనిష్ట చతురస్రాలు మొదలైనవి; వైవిధ్య-వ్యత్యాస పద్ధతులు (పరిమిత అంశాలు, సరిహద్దు అంశాలు; వర్ణపట పద్ధతి మొదలైనవి) - అవన్నీ పిలవబడే సమూహానికి చెందినవి ప్రత్యక్ష పద్ధతులు- బీజగణిత సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థల పరిష్కారానికి అవకలన మరియు సమగ్ర సమీకరణాల పరిష్కారాన్ని తగ్గించే గణిత భౌతిక శాస్త్ర సమస్యలను పరిష్కరించడానికి ఇవి సుమారుగా విశ్లేషణాత్మక పద్ధతులు. ఈ పద్ధతుల అభివృద్ధి మరియు వాటి భౌతిక సారాంశం యొక్క కాలక్రమాన్ని క్లుప్తంగా చూద్దాం.
1662లో, ఫ్రెంచ్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు P. ఫెర్మాట్ రెండు మాధ్యమాల సరిహద్దు వద్ద కాంతి వక్రీభవన నియమాన్ని ఈ క్రింది విధంగా రూపొందించాడు: ఒక పాయింట్ నుండి కాంతికి సాధ్యమయ్యే అన్ని మార్గాల గురించి ఎసూచించడానికి INకదలిక సమయం కనిష్ట స్థాయికి చేరుకునేది అమలు చేయబడుతుంది. వైవిధ్య సూత్రం యొక్క మొదటి సూత్రీకరణలలో ఇది ఒకటి.
1696లో, I. బెర్నౌలీ ఒక పాయింట్ నుండి మెటీరియల్ పాయింట్ కదులుతున్న మార్గం (పథం) పొడవును కనుగొనే సమస్యను రూపొందించాడు. ఎకేవలం గురుత్వాకర్షణ ప్రభావంతో, అతి తక్కువ సమయంలో పాయింట్ చేరుకుంటుంది IN.అటువంటి వక్రతను కనుగొనడం, అని పిలుస్తారు బ్రాచిస్టోక్రోన్(నిటారుగా ఉన్న అవరోహణ వక్రరేఖ), ఫంక్షనల్ యొక్క కనిష్టాన్ని నిర్ణయించడానికి తగ్గిస్తుంది
సరిహద్దు పరిస్థితులలో వద్ద (0) = 0; y(a) = y a,ఉద్యమం యొక్క ప్రారంభ మరియు ముగింపు పాయింట్ల అక్షాంశాలు.
ఇక్కడ T -నిటారుగా దిగే సమయం; g-గురుత్వాకర్షణ త్వరణం.
కార్యాచరణ పరిచయం (ఎ)వైవిధ్యాల కాలిక్యులస్ యొక్క ఆవిర్భావానికి నాంది పలికింది. ఇటువంటి విధులు సాధారణంగా ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయబడతాయి:
సరిహద్దు పరిస్థితులలో y(a) = A =స్థిరత్వం, y(b) = B= స్థిరము.
సాధారణంగా గణిత భౌతిక శాస్త్ర సమస్యలలో కొన్ని విధుల యొక్క తీవ్రత కనుగొనబడుతుంది వద్ద = y(x)వైవిధ్యాల కాలిక్యులస్ యొక్క ప్రాముఖ్యత ఏమిటంటే, ఇక్కడ ఫంక్షన్ల కంటే సంక్లిష్టమైన పరిమాణాల యొక్క తీవ్రత నిర్ణయించబడుతుంది - ఫంక్షనల్స్ యొక్క తీవ్రత ఫంక్షన్ల నుండి J =J y(x)ఈ కనెక్షన్లో, కొత్త భౌతిక వస్తువుల అధ్యయనం మరియు కొత్త గణిత దిశల అభివృద్ధికి అవకాశాలు తెరవబడ్డాయి.
1774లో L. Euler ఫంక్షన్ ఉంటే చూపించాడు y(x)లీనియర్ ఇంటిగ్రల్‌కు కనిష్టాన్ని అందిస్తుంది J = J[y(x),అప్పుడు అది తప్పనిసరిగా కొన్ని అవకలన సమీకరణాలను సంతృప్తి పరచాలి, తదనంతరం అంటారు ఆయిలర్ యొక్క సమీకరణాలు.ఈ వాస్తవాన్ని కనుగొనడం గణిత మోడలింగ్‌లో (గణిత నమూనాలను నిర్మించడం) ఒక ముఖ్యమైన విజయం. ఒకే గణిత నమూనాను రెండు సమానమైన రూపాల్లో ప్రదర్శించవచ్చని స్పష్టమైంది: ఫంక్షనల్ రూపంలో లేదా యూలర్ డిఫరెన్షియల్ ఈక్వేషన్ (అవకలన సమీకరణాల వ్యవస్థ) రూపంలో. ఈ విషయంలో, అవకలన సమీకరణాన్ని ఫంక్షనల్‌తో భర్తీ చేయడం అంటారు వైవిధ్యాల కాలిక్యులస్ యొక్క విలోమ సమస్య.అందువల్ల, ఫంక్షనల్ యొక్క అంత్య భాగాల సమస్యకు పరిష్కారం ఈ ఫంక్షనల్‌కు సంబంధించిన ఆయిలర్ అవకలన సమీకరణానికి పరిష్కారం వలె పరిగణించబడుతుంది. పర్యవసానంగా, అదే భౌతిక సమస్య యొక్క గణిత సూత్రీకరణ సంబంధిత సరిహద్దు పరిస్థితులతో ఫంక్షనల్ రూపంలో ప్రదర్శించబడుతుంది (ఈ ఫంక్షనల్ యొక్క తీవ్రత భౌతిక సమస్యకు పరిష్కారాన్ని అందిస్తుంది), లేదా సంబంధిత ఆయులర్ అవకలన సమీకరణం రూపంలో ప్రదర్శించబడుతుంది. అదే సరిహద్దు పరిస్థితులతో ఈ ఫంక్షనల్‌కు (ఈ సమీకరణం యొక్క ఏకీకరణ సమస్యకు పరిష్కారాన్ని అందిస్తుంది).
అనువర్తిత శాస్త్రాలలో వైవిధ్య పద్ధతుల యొక్క విస్తృత వ్యాప్తి 1908లో W. రిట్జ్ యొక్క ప్రచురణ ద్వారా సులభతరం చేయబడింది, ఇది ఫంక్షనల్‌లను కనిష్టీకరించే పద్ధతితో అనుబంధించబడింది, తరువాత దీనిని పిలిచారు. రిట్జ్ పద్ధతి.ఈ పద్ధతి క్లాసికల్ వైవిధ్య పద్ధతిగా పరిగణించబడుతుంది. దీని ప్రధాన ఆలోచన ఏమిటంటే కావలసిన ఫంక్షన్ y = y(x) yఫంక్షనల్ డెలివరీ (A ) తోసరిహద్దు పరిస్థితులు y (a) = A, y (b) = INకనిష్ట విలువ, సిరీస్‌గా శోధించబడింది
ఎక్కడ Cj (i = 0, yy) - తెలియని గుణకాలు; (r/(d) (r = 0, పి) -కోఆర్డినేట్ ఫంక్షన్లు (బీజగణిత లేదా త్రికోణమితి పాలిప్).
కోఆర్డినేట్ ఫంక్షన్లు అటువంటి రూపంలో కనిపిస్తాయి, అవి సమస్య యొక్క సరిహద్దు పరిస్థితులను ఖచ్చితంగా సంతృప్తిపరుస్తాయి.
ఫంక్షనల్ యొక్క డెరివేటివ్‌లను నిర్ణయించిన తర్వాత (సి)ని (A)లోకి మార్చడం జెతెలియని వాటి నుండి C, (r = 0, r) రెండో దానికి సంబంధించి, బీజగణిత సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ పొందబడుతుంది. కోఎఫీషియంట్స్ సిని నిర్ణయించిన తర్వాత, క్లోజ్డ్ రూపంలో సమస్యకు పరిష్కారం (సి) నుండి కనుగొనబడింది.
పెద్ద సంఖ్యలో సిరీస్ నిబంధనలను ఉపయోగిస్తున్నప్పుడు (సి) (పి- 5 ? °о) సూత్రప్రాయంగా అవసరమైన ఖచ్చితత్వం యొక్క పరిష్కారాన్ని పొందడం సాధ్యమవుతుంది. అయితే, ఎలా నిర్దిష్ట సమస్యల లెక్కలు, కోఎఫీషియెంట్ల మాతృకలను చూపుతాయి C, (g = 0, పి)సంపూర్ణ విలువలో గుణకాల యొక్క పెద్ద వ్యాప్తితో నిండిన చదరపు మాతృక. ఇటువంటి మాత్రికలు ఏకవచనానికి దగ్గరగా ఉంటాయి మరియు నియమం ప్రకారం, అనారోగ్యంతో ఉంటాయి. ఎందుకంటే మాత్రికలు బాగా కండిషన్‌గా ఉండగల పరిస్థితులలో దేనినీ అవి సంతృప్తిపరచవు. ఈ పరిస్థితులలో కొన్నింటిని చూద్దాం.
- 1. మాతృక యొక్క సానుకూల నిశ్చయత (ప్రధాన వికర్ణంలో ఉన్న నిబంధనలు తప్పనిసరిగా సానుకూలంగా మరియు గరిష్టంగా ఉండాలి).
- 2. టేప్ యొక్క కనీస వెడల్పుతో ప్రధాన వికర్ణానికి సంబంధించి మాతృక యొక్క రిబ్బన్ వీక్షణ (టేప్ వెలుపల ఉన్న మ్యాట్రిక్స్ కోఎఫీషియంట్స్ సున్నాకి సమానంగా ఉంటాయి).
- 3. ప్రధాన వికర్ణానికి సంబంధించి మాతృక యొక్క సమరూపత.
ఈ విషయంలో, రిట్జ్ పద్ధతిలో పెరుగుతున్న ఉజ్జాయింపులతో, మాతృక యొక్క కండిషన్ సంఖ్య, దాని గరిష్ట మరియు కనిష్ట ఈజెన్‌వాల్యూ యొక్క నిష్పత్తి ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది, ఇది అనంతమైన పెద్ద విలువను కలిగి ఉంటుంది. మరియు బీజగణిత సరళ సమీకరణాల యొక్క పెద్ద వ్యవస్థలను పరిష్కరించేటప్పుడు రౌండింగ్ లోపాలు వేగంగా చేరడం వల్ల ఫలిత పరిష్కారం యొక్క ఖచ్చితత్వం మెరుగుపడకపోవచ్చు, కానీ మరింత తీవ్రమవుతుంది.
రిట్జ్ పద్ధతితో పాటు, సంబంధిత గాలెర్కిన్ పద్ధతి అభివృద్ధి చేయబడింది. 1913లో, I. G. బుబ్నోవ్ తెలియని C, (/ = 0,)కి సంబంధించి బీజగణిత సరళ సమీకరణాలను స్థాపించారు. పిఫారమ్ (A) యొక్క ఫంక్షనల్‌ని ఉపయోగించకుండా (సి) నుండి పొందవచ్చు. ఈ సందర్భంలో సమస్య యొక్క గణిత సూత్రీకరణ తగిన సరిహద్దు పరిస్థితులతో అవకలన సమీకరణాన్ని కలిగి ఉంటుంది. రిట్జ్ పద్ధతిలో వలె పరిష్కారం (సి) రూపంలో తయారు చేయబడింది. కోఆర్డినేట్ ఫంక్షన్ల ప్రత్యేక రూపకల్పనకు ధన్యవాదాలు φ,(x), పరిష్కారం (సి) సమస్య యొక్క సరిహద్దు పరిస్థితులను ఖచ్చితంగా సంతృప్తిపరుస్తుంది. తెలియని కోఎఫీషియంట్స్ సిని గుర్తించడానికి, (g = 0, పి)అవకలన సమీకరణం యొక్క వైరుధ్యం సంకలనం చేయబడింది మరియు వైరుధ్యం అన్ని కోఆర్డినేట్ ఫంక్షన్‌లకు ఆర్తోగోనల్‌గా ఉండాలి φ 7 Cr) (/ = నేను = 0, పి).గ్రహీతలను నిర్ణయించడం తెలియని గుణకాలు Cకి సంబంధించి సమగ్రతలు ఉన్నాయి, (జి= 0, r) మేము రిట్జ్ పద్ధతి యొక్క సారూప్య సమీకరణాల వ్యవస్థతో పూర్తిగా ఏకీభవించే బీజగణిత సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను పొందుతాము. అందువల్ల, అదే సమస్యలను అదే సమన్వయ ఫంక్షన్ల వ్యవస్థలను ఉపయోగించి పరిష్కరించేటప్పుడు, రిట్జ్ మరియు బుబ్నోవ్-గాలెర్కిన్ పద్ధతులు అదే ఫలితాలకు దారితీస్తాయి.
పొందిన ఫలితాల గుర్తింపు ఉన్నప్పటికీ, రిట్జ్ పద్ధతితో పోలిస్తే బుబ్నోవ్-గాలెర్కిన్ పద్ధతి యొక్క ముఖ్యమైన ప్రయోజనం ఏమిటంటే దీనికి అవకలన సమీకరణం యొక్క వైవిధ్యమైన అనలాగ్ (ఫంక్షనల్) నిర్మాణం అవసరం లేదు. అటువంటి అనలాగ్ ఎల్లప్పుడూ నిర్మించబడదని గమనించండి. ఈ బుబ్నోవ్-గాలెర్కిన్ పద్ధతికి సంబంధించి, క్లాసికల్ వైవిధ్య పద్ధతులు వర్తించని సమస్యలను పరిష్కరించవచ్చు.
వైవిధ్య సమూహానికి చెందిన మరొక పద్ధతి కాంటోరోవిచ్ పద్ధతి. దాని విలక్షణమైన లక్షణం ఏమిటంటే, రకం (సి) యొక్క సరళ కలయికలలో తెలియని గుణకాలు స్థిరాంకాలు కావు, అయితే సమస్య యొక్క స్వతంత్ర వేరియబుల్స్‌లో ఒకదానిపై ఆధారపడి ఉండే విధులు (ఉదాహరణకు, సమయం). ఇక్కడ, బుబ్నోవ్-గాలెర్కిన్ పద్ధతిలో వలె, అవకలన సమీకరణం యొక్క వైరుధ్యం సంకలనం చేయబడింది మరియు వైరుధ్యం అన్ని కోఆర్డినేట్ ఫంక్షన్‌లకు ఆర్తోగోనల్‌గా ఉండాలి (ру(дг) (j = i = 0, పి).తెలియని ఫంక్షన్‌లకు సంబంధించి సమగ్రాలను నిర్వచించిన తర్వాత fj(x)మేము మొదటి ఆర్డర్ యొక్క సాధారణ అవకలన సమీకరణాల వ్యవస్థను కలిగి ఉంటాము. అటువంటి వ్యవస్థలను పరిష్కరించడానికి పద్ధతులు బాగా అభివృద్ధి చేయబడ్డాయి (ప్రామాణిక కంప్యూటర్ ప్రోగ్రామ్‌లు అందుబాటులో ఉన్నాయి).
సరిహద్దు విలువ సమస్యలను పరిష్కరించడంలో దిశలలో ఒకటి ఖచ్చితమైన (ఫోరియర్, సమగ్ర పరివర్తనలు, మొదలైనవి) మరియు ఉజ్జాయింపు (వైవిధ్య, వెయిటెడ్ రెసిడ్యూల్స్, కొలోకేషన్స్, మొదలైనవి) విశ్లేషణాత్మక పద్ధతుల ఉమ్మడి ఉపయోగం. అటువంటి సమీకృత విధానం అనువర్తిత గణితంలో ఈ రెండు ముఖ్యమైన పరికరాల యొక్క సానుకూల అంశాలను ఉత్తమంగా ఉపయోగించుకోవడం సాధ్యం చేస్తుంది, ఎందుకంటే సూక్ష్మమైన మరియు గజిబిజిగా ఉన్న గణిత గణనలను నిర్వహించకుండా, సమానమైన సరళమైన రూపంలో వ్యక్తీకరణలను పొందడం సాధ్యమవుతుంది. ఖచ్చితమైన పరిష్కారం యొక్క ప్రధాన భాగానికి, అనంతమైన ఫంక్షనల్ సిరీస్‌ను కలిగి ఉంటుంది. ఆచరణాత్మక గణనల కోసం, ఒక నియమం వలె, అనేక పదాల యొక్క ఈ పాక్షిక మొత్తం ఉపయోగించబడుతుంది. అటువంటి పద్ధతులను ఉపయోగిస్తున్నప్పుడు, పారాబొలిక్ కోఆర్డినేట్ యొక్క ప్రారంభ విభాగంలో మరింత ఖచ్చితమైన ఫలితాలను పొందేందుకు, పెద్ద సంఖ్యలో ఉజ్జాయింపులను నిర్వహించడం అవసరం. అయితే, పెద్ద తో పిప్రక్కనే ఉన్న సూచికలతో సమన్వయ విధులు దాదాపు సరళ సంబంధానికి సంబంధించిన బీజగణిత సమీకరణాలకు దారితీస్తాయి. ఈ సందర్భంలో గుణకం మాతృక, నిండిన చతురస్ర మాతృకగా, ఏకవచనానికి దగ్గరగా ఉంటుంది మరియు ఒక నియమం వలె, అనారోగ్యకరమైనదిగా మారుతుంది. మరి ఎప్పుడూ పి- 3? °° ఉజ్జాయింపు పరిష్కారం బలహీనమైన ఖచ్చితమైన పరిష్కారానికి కూడా కలుస్తుంది. క్రమరహిత మాత్రికలతో బీజగణిత రేఖీయ సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడం వలన రౌండింగ్ లోపాలు వేగంగా చేరడం వలన గణనీయమైన సాంకేతిక ఇబ్బందులు ఉన్నాయి. అందువల్ల, అటువంటి సమీకరణాల వ్యవస్థలు ఇంటర్మీడియట్ లెక్కల యొక్క అధిక ఖచ్చితత్వంతో పరిష్కరించబడాలి.
సమయం (పారాబొలిక్) కోఆర్డినేట్ యొక్క ప్రారంభ విభాగంలో విశ్లేషణాత్మక పరిష్కారాలను పొందడం సాధ్యం చేసే ఉజ్జాయింపు విశ్లేషణాత్మక పద్ధతులలో ప్రత్యేక స్థానం భావనను ఉపయోగించే పద్ధతుల ద్వారా ఆక్రమించబడింది. ఉష్ణోగ్రత భంగం ముందు.ఈ పద్ధతుల ప్రకారం, శరీరాలను వేడి చేయడం లేదా చల్లబరచడం యొక్క మొత్తం ప్రక్రియ అధికారికంగా రెండు దశలుగా విభజించబడింది. వాటిలో మొదటిది శరీరం యొక్క ఉపరితలం నుండి దాని మధ్యలో ఉష్ణోగ్రత భంగం యొక్క ముందు భాగం క్రమంగా ప్రచారం చేయడం ద్వారా వర్గీకరించబడుతుంది మరియు రెండవది స్థిరమైన స్థితి ప్రారంభమయ్యే వరకు శరీరం యొక్క మొత్తం వాల్యూమ్‌లో ఉష్ణోగ్రతలో మార్పు ద్వారా వర్గీకరించబడుతుంది. థర్మల్ ప్రక్రియను రెండు దశలుగా విభజించడం వలన స్థిరమైన ఉష్ణ వాహకత యొక్క సమస్యల యొక్క దశల వారీ పరిష్కారాన్ని అనుమతిస్తుంది మరియు ప్రతి దశకు విడిగా, ఒక నియమం వలె, ఇప్పటికే మొదటి ఉజ్జాయింపులో, సంతృప్తికరమైన గణన సూత్రాలను కనుగొనడం. ఖచ్చితత్వంతో, ఇంజనీరింగ్ అప్లికేషన్‌లలో చాలా సరళంగా మరియు సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది. ఈ పద్ధతులు కూడా ఒక ముఖ్యమైన లోపాన్ని కలిగి ఉన్నాయి, ఇది కావలసిన ఉష్ణోగ్రత ఫంక్షన్ యొక్క కోఆర్డినేట్ డిపెండెన్సీ యొక్క ప్రియోరి ఎంపిక అవసరం. సాధారణంగా క్వాడ్రాటిక్ లేదా క్యూబిక్ పారాబొలాస్ అంగీకరించబడతాయి. పరిష్కారం యొక్క ఈ అస్పష్టత ఖచ్చితత్వం యొక్క సమస్యకు దారి తీస్తుంది, ఎందుకంటే ఉష్ణోగ్రత క్షేత్రం యొక్క ఒకటి లేదా మరొక ప్రొఫైల్ ముందుగానే ఊహించి, ప్రతిసారీ మేము వేర్వేరు తుది ఫలితాలను పొందుతాము.
ఉష్ణోగ్రత భంగం యొక్క ముందు భాగంలో కదలిక యొక్క పరిమిత వేగం యొక్క ఆలోచనను ఉపయోగించే పద్ధతులలో, అత్యంత విస్తృతమైనది సమగ్ర ఉష్ణ సమతుల్య పద్ధతి. దాని సహాయంతో, ఇచ్చిన ప్రారంభ పరిస్థితులతో పాక్షిక అవకలన సమీకరణాన్ని సాధారణ అవకలన సమీకరణంగా తగ్గించవచ్చు, దీని పరిష్కారం తరచుగా సంవృత విశ్లేషణ రూపంలో పొందవచ్చు. సమగ్ర పద్ధతి, ఉదాహరణకు, థర్మోఫిజికల్ లక్షణాలు స్థిరంగా లేనప్పుడు సమస్యలను సుమారుగా పరిష్కరించడానికి ఉపయోగించవచ్చు, కానీ సంక్లిష్టమైన క్రియాత్మక ఆధారపడటం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది మరియు ఉష్ణ వాహకతతో పాటు ఉష్ణప్రసరణను కూడా పరిగణనలోకి తీసుకోవాలి. సమగ్ర పద్ధతిలో పైన పేర్కొన్న ప్రతికూలత కూడా ఉంది - ఉష్ణోగ్రత ప్రొఫైల్ యొక్క ప్రియోరి ఎంపిక, ఇది పరిష్కారం యొక్క ప్రత్యేకత యొక్క సమస్యకు దారితీస్తుంది మరియు దాని తక్కువ ఖచ్చితత్వానికి దారితీస్తుంది.
ఉష్ణ వాహక సమస్యలను పరిష్కరించడానికి సమగ్ర పద్ధతి యొక్క అప్లికేషన్ యొక్క అనేక ఉదాహరణలు T. గుడ్‌మాన్ యొక్క పనిలో ఇవ్వబడ్డాయి. ఈ పనిలో, గొప్ప అవకాశాల దృష్టాంతంతో పాటు, దాని పరిమితులు కూడా చూపబడ్డాయి. అందువల్ల, సమగ్ర పద్ధతి ద్వారా అనేక సమస్యలను విజయవంతంగా పరిష్కరించవచ్చు అనే వాస్తవం ఉన్నప్పటికీ, ఈ పద్ధతి ఆచరణాత్మకంగా వర్తించని సమస్యల యొక్క మొత్తం తరగతి ఉంది. ఇవి, ఉదాహరణకు, ఇన్‌పుట్ ఫంక్షన్‌లలో ప్రేరణ మార్పులతో సమస్యలు. కారణం ఏమిటంటే, చతురస్రాకార లేదా క్యూబిక్ పారాబొలా రూపంలో ఉష్ణోగ్రత ప్రొఫైల్ అటువంటి సమస్యలకు నిజమైన ఉష్ణోగ్రత ప్రొఫైల్‌కు అనుగుణంగా లేదు. అందువల్ల, అధ్యయనంలో ఉన్న శరీరంలోని నిజమైన ఉష్ణోగ్రత పంపిణీ నాన్మోనోటోనిక్ ఫంక్షన్ రూపాన్ని తీసుకుంటే, ఏ పరిస్థితుల్లోనైనా సమస్య యొక్క భౌతిక అర్థానికి అనుగుణంగా సంతృప్తికరమైన పరిష్కారాన్ని పొందడం అసాధ్యం.
సమగ్ర పద్ధతి యొక్క ఖచ్చితత్వాన్ని మెరుగుపరచడానికి ఒక స్పష్టమైన మార్గం అధిక ఆర్డర్ యొక్క బహుపది ఉష్ణోగ్రత ఫంక్షన్లను ఉపయోగించడం. ఈ సందర్భంలో, ఉష్ణోగ్రత భంగం యొక్క ముందు భాగంలో ఉన్న ప్రధాన సరిహద్దు పరిస్థితులు మరియు సున్నితత్వ పరిస్థితులు అటువంటి బహుపదిల గుణకాలను గుర్తించడానికి సరిపోవు. ఈ విషయంలో, తప్పిపోయిన సరిహద్దు పరిస్థితుల కోసం శోధించాల్సిన అవసరం ఉంది, ఇది ఇచ్చిన వాటితో కలిసి, అధిక ఆర్డర్ యొక్క సరైన ఉష్ణోగ్రత ప్రొఫైల్ యొక్క గుణకాలను గుర్తించడానికి అనుమతిస్తుంది, ఇది అన్ని భౌతిక లక్షణాలను పరిగణనలోకి తీసుకుంటుంది. అధ్యయనంలో ఉన్న సమస్య. అటువంటి అదనపు సరిహద్దు పరిస్థితులను ప్రధాన సరిహద్దు పరిస్థితులు మరియు అసలు అవకలన సమీకరణం నుండి వాటిని ప్రాదేశిక కోఆర్డినేట్‌లలో మరియు సమయానికి సరిహద్దు పాయింట్ల వద్ద వేరు చేయడం ద్వారా పొందవచ్చు.
వివిధ ఉష్ణ బదిలీ సమస్యలను అధ్యయనం చేస్తున్నప్పుడు, థర్మోఫిజికల్ లక్షణాలు ఉష్ణోగ్రతపై ఆధారపడి ఉండవని భావించబడుతుంది మరియు సరళ పరిస్థితులు సరిహద్దు పరిస్థితులుగా తీసుకోబడతాయి. అయినప్పటికీ, శరీర ఉష్ణోగ్రత విస్తృత పరిధిలో మారినట్లయితే, ఉష్ణోగ్రతపై థర్మోఫిజికల్ లక్షణాల ఆధారపడటం వలన, ఉష్ణ వాహక సమీకరణం నాన్ లీనియర్ అవుతుంది. దీని పరిష్కారం చాలా క్లిష్టంగా మారుతుంది మరియు తెలిసిన ఖచ్చితమైన విశ్లేషణ పద్ధతులు అసమర్థంగా మారతాయి. ఇంటిగ్రల్ హీట్ బ్యాలెన్స్ మెథడ్ అనేది సమస్య యొక్క నాన్ లీనియారిటీకి సంబంధించిన కొన్ని ఇబ్బందులను అధిగమించడానికి అనుమతిస్తుంది. ఉదాహరణకు, ఇది నాన్ లీనియర్ సరిహద్దు పరిస్థితులతో కూడిన పాక్షిక అవకలన సమీకరణాన్ని ఇచ్చిన ప్రారంభ పరిస్థితులతో సాధారణ అవకలన సమీకరణానికి తగ్గిస్తుంది, దీని పరిష్కారం తరచుగా సంవృత విశ్లేషణ రూపంలో పొందవచ్చు.
ప్రక్రియల యొక్క అనేక ముఖ్యమైన లక్షణాలను పరిగణనలోకి తీసుకోనప్పుడు (నాన్ లీనియారిటీ, లక్షణాల వైవిధ్యం మరియు సరిహద్దు పరిస్థితులు మొదలైనవి) సరళీకృత గణిత సూత్రీకరణలోని సమస్యలకు మాత్రమే ఖచ్చితమైన విశ్లేషణాత్మక పరిష్కారాలు ప్రస్తుతం పొందబడ్డాయి. ఇవన్నీ నిర్దిష్ట పవర్ ప్లాంట్లలో సంభవించే నిజమైన భౌతిక ప్రక్రియల నుండి గణిత నమూనాల గణనీయమైన విచలనానికి దారితీస్తాయి. అదనంగా, ఖచ్చితమైన పరిష్కారాలు సంక్లిష్టమైన అనంతమైన ఫంక్షనల్ సిరీస్ ద్వారా వ్యక్తీకరించబడతాయి, ఇవి సరిహద్దు బిందువుల సమీపంలో మరియు సమయ కోఆర్డినేట్ యొక్క చిన్న విలువల కోసం నెమ్మదిగా కలుస్తాయి. ఇటువంటి పరిష్కారాలు ఇంజినీరింగ్ అనువర్తనాలకు పెద్దగా ఉపయోగపడవు మరియు ముఖ్యంగా ఉష్ణోగ్రత సమస్యను పరిష్కరించడం అనేది కొన్ని ఇతర సమస్యలను (థర్మల్ ఫ్లెక్సిబిలిటీ సమస్యలు, విలోమ సమస్యలు, నియంత్రణ సమస్యలు మొదలైనవి) పరిష్కరించడంలో మధ్యంతర దశ అయిన సందర్భాల్లో. ఈ విషయంలో, పైన జాబితా చేయబడిన అనువర్తిత గణిత పద్ధతులు చాలా ఆసక్తిని కలిగి ఉన్నాయి, ఇంజినీరింగ్ అనువర్తనాలకు సరిపోయే అనేక సందర్భాల్లో ఖచ్చితత్వంతో, సుమారుగా, విశ్లేషణాత్మక రూపంలో, పరిష్కారాలను పొందడం సాధ్యమవుతుంది. ఈ పద్ధతులు శాస్త్రీయ పద్ధతులతో పోల్చితే విశ్లేషణాత్మక పరిష్కారాలను పొందగల సమస్యల పరిధిని గణనీయంగా విస్తరించడం సాధ్యపడుతుంది.
సార్వత్రిక విద్యా చర్యలను రూపొందించడానికి అపారమైన సామర్థ్యాన్ని కలిగి ఉన్న ప్రాజెక్ట్ పద్ధతి పాఠశాల విద్యా వ్యవస్థలో విస్తృతంగా వ్యాపించింది.కానీ తరగతి గది వ్యవస్థలో ప్రాజెక్ట్ పద్ధతిని "సరిపోయేలా" చేయడం చాలా కష్టం. నేను రెగ్యులర్ పాఠంలో చిన్న అధ్యయనాలను చేర్చాను. ఈ రకమైన పని అభిజ్ఞా కార్యకలాపాల ఏర్పాటుకు గొప్ప అవకాశాలను తెరుస్తుంది మరియు విద్యార్థుల వ్యక్తిగత లక్షణాలను పరిగణనలోకి తీసుకుంటుందని నిర్ధారిస్తుంది, పెద్ద ప్రాజెక్టులపై నైపుణ్యాల అభివృద్ధికి మైదానాన్ని సిద్ధం చేస్తుంది.
డౌన్‌లోడ్:
ప్రివ్యూ:
"పాఠశాలలో ఒక విద్యార్థి స్వయంగా ఏదైనా సృష్టించడం నేర్చుకోకపోతే, జీవితంలో అతను అనుకరించడం మరియు కాపీ చేయడం మాత్రమే చేస్తాడు, ఎందుకంటే కాపీ చేయడం నేర్చుకున్న వారు ఈ సమాచారాన్ని స్వతంత్రంగా వర్తింపజేయగలరు." L.N. టాల్‌స్టాయ్.
ఆధునిక విద్య యొక్క విశిష్ట లక్షణం విద్యార్ధులు నేర్చుకోవలసిన సమాచారం మొత్తంలో పదునైన పెరుగుదల. కొత్త జ్ఞానాన్ని స్వతంత్రంగా పొందగల మరియు విద్యా మరియు ఆచరణాత్మక కార్యకలాపాలలో ఉపయోగించగల అతని సామర్థ్యం ద్వారా విద్యార్థి యొక్క అభివృద్ధి స్థాయి కొలుస్తారు మరియు అంచనా వేయబడుతుంది. ఆధునిక బోధనా ప్రక్రియకు బోధనలో వినూత్న సాంకేతికతలను ఉపయోగించడం అవసరం.
కొత్త తరం ఫెడరల్ స్టేట్ ఎడ్యుకేషనల్ స్టాండర్డ్‌కు విద్యా ప్రక్రియలో కార్యాచరణ-రకం సాంకేతికతలను ఉపయోగించడం అవసరం; డిజైన్ మరియు పరిశోధన కార్యకలాపాల పద్ధతులు ప్రధాన విద్యా కార్యక్రమాన్ని అమలు చేయడానికి షరతులలో ఒకటిగా నిర్వచించబడ్డాయి.
గణిత పాఠాలలో ఇటువంటి కార్యకలాపాలకు ప్రత్యేక పాత్ర ఇవ్వబడుతుంది మరియు ఇది ప్రమాదవశాత్తు కాదు. ప్రపంచాన్ని అర్థం చేసుకోవడానికి గణితం కీలకం, శాస్త్రీయ మరియు సాంకేతిక పురోగతికి ఆధారం మరియు వ్యక్తిగత అభివృద్ధిలో ముఖ్యమైన భాగం. ఇది ఒక వ్యక్తికి అప్పగించిన పని యొక్క అర్థాన్ని అర్థం చేసుకోగల సామర్థ్యాన్ని, తార్కికంగా తర్కించే సామర్థ్యాన్ని మరియు అల్గారిథమిక్ ఆలోచనా నైపుణ్యాలను సంపాదించడానికి రూపొందించబడింది.
తరగతి గది వ్యవస్థలో ప్రాజెక్ట్ పద్ధతిని అమర్చడం చాలా కష్టం. నేను సాధారణ పాఠంలో విచారణ అంశాలను చేర్చడం ద్వారా సాంప్రదాయ మరియు అభ్యాసకుల-కేంద్రీకృత వ్యవస్థలను న్యాయబద్ధంగా కలపడానికి ప్రయత్నిస్తాను. నేను అనేక ఉదాహరణలు ఇస్తాను.
కాబట్టి, "సర్కిల్" అనే అంశాన్ని అధ్యయనం చేస్తున్నప్పుడు, మేము విద్యార్థులతో ఈ క్రింది పరిశోధనను నిర్వహిస్తాము.
గణిత అధ్యయనం "సర్కిల్".
- ఒక వృత్తాన్ని ఎలా నిర్మించాలో ఆలోచించండి, దీని కోసం ఏ సాధనాలు అవసరమవుతాయి. సర్కిల్ చిహ్నం.
- వృత్తాన్ని నిర్వచించడానికి, ఈ రేఖాగణిత వ్యక్తికి ఏ లక్షణాలు ఉన్నాయో చూద్దాం. సర్కిల్‌కు సంబంధించిన పాయింట్‌తో సర్కిల్ మధ్యలో కనెక్ట్ చేయండి. ఈ విభాగం యొక్క పొడవును కొలుద్దాం. ప్రయోగాన్ని మూడుసార్లు పునరావృతం చేద్దాం. ఒక తీర్మానం చేద్దాం.
- వృత్తం యొక్క కేంద్రాన్ని దానిపై ఏదైనా బిందువుతో అనుసంధానించే విభాగాన్ని వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం అంటారు. ఇది వ్యాసార్థం యొక్క నిర్వచనం. వ్యాసార్థం హోదా. ఈ నిర్వచనాన్ని ఉపయోగించి, 2cm5mm వ్యాసార్థంతో వృత్తాన్ని నిర్మించండి.
- ఏకపక్ష వ్యాసార్థం యొక్క వృత్తాన్ని నిర్మించండి. వ్యాసార్థాన్ని నిర్మించి దానిని కొలవండి. మీ కొలతలను రికార్డ్ చేయండి. మరో మూడు వేర్వేరు రేడియాలను నిర్మించండి. ఒక వృత్తంలో ఎన్ని వ్యాసార్థాలు గీయవచ్చు?
- వృత్తం యొక్క బిందువుల లక్షణాన్ని తెలుసుకుని, దాని నిర్వచనం ఇవ్వడానికి ప్రయత్నిద్దాం.
- ఏకపక్ష వ్యాసార్థం యొక్క వృత్తాన్ని నిర్మించండి. సర్కిల్‌పై రెండు పాయింట్లను కనెక్ట్ చేయండి, తద్వారా ఈ సెగ్మెంట్ సర్కిల్ మధ్యలో వెళుతుంది. ఈ విభాగాన్ని వ్యాసం అంటారు. వ్యాసాన్ని నిర్వచిద్దాం. వ్యాసం హోదా. మరో మూడు వ్యాసాలను నిర్మించండి. ఒక వృత్తం ఎన్ని వ్యాసాలను కలిగి ఉంటుంది?
- ఏకపక్ష వ్యాసార్థం యొక్క వృత్తాన్ని నిర్మించండి. వ్యాసం మరియు వ్యాసార్థాన్ని కొలవండి. వాటిని సరిపోల్చండి. విభిన్న సర్కిల్‌లతో ప్రయోగాన్ని మరో మూడుసార్లు పునరావృతం చేయండి. ఒక తీర్మానాన్ని గీయండి.
- సర్కిల్‌పై ఏవైనా రెండు పాయింట్లను కనెక్ట్ చేయండి. ఫలితంగా వచ్చే విభాగాన్ని తీగ అంటారు. తీగను నిర్వచిద్దాం. మరో మూడు తీగలను నిర్మించండి. ఒక వృత్తం ఎన్ని తీగలను కలిగి ఉంటుంది?
- వ్యాసార్థం తీగలా? నిరూపించు.
- వ్యాసం తీగలా? నిరూపించు.
పరిశోధన పనులు ప్రొపెడ్యూటిక్ స్వభావం కలిగి ఉండవచ్చు. సర్కిల్‌ను పరిశీలించిన తరువాత, విద్యార్థులు పరికల్పన స్థాయిలో రూపొందించగల అనేక ఆసక్తికరమైన లక్షణాలను మీరు పరిగణించవచ్చు, ఆపై ఈ పరికల్పనను నిరూపించండి. ఉదాహరణకు, కింది అధ్యయనం:
"గణిత పరిశోధన"
- వ్యాసార్థం 3 సెంటీమీటర్ల వృత్తాన్ని నిర్మించి దాని వ్యాసాన్ని గీయండి. వ్యాసం యొక్క చివరలను సర్కిల్‌పై ఏకపక్ష బిందువుకు కనెక్ట్ చేయండి మరియు తీగల ద్వారా ఏర్పడిన కోణాన్ని కొలవండి. మరో రెండు సర్కిల్‌ల కోసం అదే నిర్మాణాలను నిర్వహించండి. మీరు ఏమి గమనిస్తారు?
- ఏకపక్ష వ్యాసార్థం యొక్క వృత్తం కోసం ప్రయోగాన్ని పునరావృతం చేయండి మరియు పరికల్పనను రూపొందించండి. ఇది నిర్వహించిన నిర్మాణాలు మరియు కొలతలను ఉపయోగించి నిరూపించబడవచ్చు.
"విమానంలో పంక్తుల సాపేక్ష స్థానం" అనే అంశాన్ని అధ్యయనం చేస్తున్నప్పుడు, గణిత పరిశోధన సమూహాలలో నిర్వహించబడుతుంది.
సమూహాల కోసం విధులు:
- సమూహం.
1. ఒక కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో, ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌లను నిర్మించండి
Y = 2x, y = 2x+7, y = 2x+3, y = 2x-4, y = 2x-6.
2. పట్టికను పూరించడం ద్వారా ప్రశ్నలకు సమాధానం ఇవ్వండి:
పరిచయం క్రమశిక్షణా కార్యకలాపాల పరిశోధన మరియు అది ఏమి చేస్తుంది
అనువర్తిత గణితం యొక్క స్వతంత్ర శాఖగా కార్యకలాపాల పరిశోధన ఏర్పడటం 40 మరియు 50 ల నాటిది. తరువాతి దశాబ్దంన్నర కాలం వివిధ ఆచరణాత్మక సమస్యలకు పొందిన ప్రాథమిక సైద్ధాంతిక ఫలితాలను విస్తృతంగా అన్వయించడం మరియు సిద్ధాంతం యొక్క సంభావ్య సామర్థ్యాలను పునరాలోచించడం ద్వారా గుర్తించబడింది. ఫలితంగా, కార్యకలాపాల పరిశోధన శాస్త్రీయ శాస్త్రీయ క్రమశిక్షణ యొక్క లక్షణాలను పొందింది, ఇది లేకుండా ప్రాథమిక ఆర్థిక విద్య ఊహించలేనిది.
కార్యకలాపాల పరిశోధన యొక్క అంశంగా ఉండే పనులు మరియు సమస్యల వైపు తిరిగితే, దేశీయ శాస్త్రీయ పాఠశాల ప్రతినిధులు వారి పరిష్కారానికి చేసిన సహకారాన్ని గుర్తుకు తెచ్చుకోలేరు, వీరిలో L. V. కాంటోరోవిచ్, 1975 లో తన పనికి నోబెల్ బహుమతి గ్రహీత అయ్యాడు. ఆర్థిక వ్యవస్థలో వనరుల యొక్క సరైన ఉపయోగం.
ఒక శాస్త్రంగా కార్యకలాపాల పరిశోధన అభివృద్ధి ప్రారంభం సాంప్రదాయకంగా ఇరవయ్యవ శతాబ్దపు నలభైలతో ముడిపడి ఉంది. ఈ దిశలో మొదటి అధ్యయనాలలో 1939లో ప్రచురించబడిన L. V. కాంటోరోవిచ్ యొక్క పనిని "ఉత్పత్తిని నిర్వహించడానికి మరియు ప్రణాళిక చేయడానికి గణిత పద్ధతులు" అని పేరు పెట్టవచ్చు. విదేశీ సాహిత్యంలో, ప్రారంభ స్థానం సాధారణంగా J. డాంట్‌జిగ్ యొక్క పనిగా పరిగణించబడుతుంది. 1947, లీనియర్ తీవ్ర సమస్యల పరిష్కారానికి అంకితం చేయబడింది.
కార్యకలాపాల పరిశోధన విషయం యొక్క దృఢమైన, స్థాపించబడిన మరియు సాధారణంగా ఆమోదించబడిన నిర్వచనం లేదని గమనించాలి. తరచుగా ఈ ప్రశ్నకు సమాధానమిచ్చేటప్పుడు ఇలా అంటారు " కార్యకలాపాలు పరిశోధన సంస్థాగత వ్యవస్థల సమర్థవంతమైన నిర్వహణ యొక్క సమస్యలను పరిష్కరించడానికి శాస్త్రీయ పద్ధతుల సమితి."
రెండవ నిర్వచనం: కార్యకలాపాలు పరిశోధన - ఇది తీసుకున్న నిర్ణయం యొక్క శాస్త్రీయ తయారీ - ఇది అత్యంత ప్రభావవంతమైన లేదా అత్యంత ఆర్థిక పరిష్కారాలను సిద్ధం చేయడానికి మరియు కనుగొనడానికి ప్రతిపాదించబడిన పద్ధతుల సమితి.
"ఆర్గనైజేషనల్" పేరుతో పై నిర్వచనంలో కనిపించే వ్యవస్థల స్వభావం చాలా భిన్నంగా ఉంటుంది మరియు వాటి సాధారణ గణిత నమూనాలు ఉత్పత్తి మరియు ఆర్థిక సమస్యలను పరిష్కరించడంలో మాత్రమే కాకుండా, జీవశాస్త్రం, సామాజిక పరిశోధన మరియు ఇతర ఆచరణాత్మక రంగాలలో కూడా ఉపయోగించబడతాయి. మార్గం ద్వారా, క్రమశిక్షణ యొక్క పేరు సైనిక కార్యకలాపాలను నియంత్రించడానికి గణిత పద్ధతుల ఉపయోగంతో ముడిపడి ఉంది.
వివిధ రకాల సంస్థాగత నిర్వహణ సమస్యలు ఉన్నప్పటికీ, వాటిని పరిష్కరించేటప్పుడు, ఏదైనా కార్యాచరణ పరిశోధన పాస్ అయ్యే దశల యొక్క నిర్దిష్ట సాధారణ క్రమాన్ని గుర్తించడం సాధ్యపడుతుంది. సాధారణంగా ఇది:
1. సమస్య యొక్క ప్రకటన.
2. పరిశీలనలో ఉన్న వస్తువు (ప్రక్రియ) యొక్క అర్ధవంతమైన (మౌఖిక) నమూనా నిర్మాణం. ఈ దశలో, ఆబ్జెక్ట్‌ను నిర్వహించే లక్ష్యం అధికారికం చేయబడింది, సూత్రీకరించిన లక్ష్యాన్ని సాధించడాన్ని ప్రభావితం చేసే సాధ్యమైన నియంత్రణ చర్యలు గుర్తించబడతాయి, అలాగే నియంత్రణ చర్యలపై పరిమితుల వ్యవస్థ వివరించబడింది.
3. గణిత నమూనా నిర్మాణం, అనగా, నిర్మించిన శబ్ద నమూనాను గణిత ఉపకరణాన్ని అధ్యయనం చేయడానికి ఉపయోగించే రూపంలోకి అనువదించడం.
4. నిర్మించిన గణిత నమూనా ఆధారంగా రూపొందించిన సమస్యలను పరిష్కరించడం.
5. అదనపు-మోడల్ కారకాలు అని పిలవబడే ప్రభావం మరియు అసలు మోడల్ యొక్క సాధ్యమైన సర్దుబాటుతో సహా అధ్యయనంలో ఉన్న సిస్టమ్ యొక్క స్వభావానికి వాటి సమర్ధత కోసం పొందిన ఫలితాలను తనిఖీ చేయడం.
6. ఆచరణలో పొందిన పరిష్కారం యొక్క అమలు.
పై రేఖాచిత్రంలోని నాల్గవ అంశానికి సంబంధించిన అంశాలకు ఈ కోర్సులో ప్రధాన స్థానం ఇవ్వబడింది. ఇది చాలా ముఖ్యమైనది, సంక్లిష్టమైనది లేదా ఆసక్తికరంగా ఉన్నందున ఇది జరుగుతుంది, కానీ మిగిలిన పాయింట్లు అధ్యయనం చేయబడిన వ్యవస్థ యొక్క నిర్దిష్ట స్వభావంపై గణనీయంగా ఆధారపడి ఉంటాయి, దీని కారణంగా నిర్వహించాల్సిన చర్యల కోసం సార్వత్రిక మరియు అర్ధవంతమైన సిఫార్సులు రూపొందించబడవు. వారి చట్రంలో.
మానవ కార్యకలాపాల యొక్క విభిన్న రంగాలలో, ఇలాంటి పనులు జరుగుతాయి: ఉత్పత్తిని నిర్వహించడం, రవాణా నిర్వహణ, పోరాట కార్యకలాపాలు, సిబ్బంది నియామకం, టెలిఫోన్ కమ్యూనికేషన్లు మొదలైనవి. ఈ ప్రాంతాల్లో తలెత్తే సమస్యలు సూత్రీకరణలో సమానంగా ఉంటాయి, అనేక సాధారణ లక్షణాలను కలిగి ఉంటాయి మరియు సారూప్య పద్ధతుల ద్వారా పరిష్కరించబడతాయి.
ఉదాహరణ :
ఒక రకమైన ఉద్దేశపూర్వక సంఘటన (చర్యల వ్యవస్థ) నిర్వహించబడుతుంది, ఇది ఒక విధంగా లేదా మరొక విధంగా నిర్వహించబడుతుంది. సాధ్యమయ్యే అనేక ఎంపికల నుండి నిర్దిష్ట పరిష్కారాన్ని ఎంచుకోవడం అవసరం. ప్రతి ఎంపికకు ప్రయోజనాలు మరియు అప్రయోజనాలు ఉన్నాయి; ఏది ఉత్తమమో వెంటనే స్పష్టంగా తెలియదు. పరిస్థితిని స్పష్టం చేయడానికి మరియు అనేక లక్షణాల ఆధారంగా వివిధ ఎంపికలను ఒకదానితో ఒకటి పోల్చడానికి, గణిత గణనల శ్రేణి నిర్వహించబడుతుంది. గణన ఫలితాలు ఏ ఎంపికను ఎంచుకోవాలో చూపుతాయి.
గణిత మోడలింగ్కార్యకలాపాల పరిశోధనలో, ఒక వైపు, చాలా ముఖ్యమైన మరియు సంక్లిష్టమైన ప్రక్రియ, మరియు మరోవైపు, శాస్త్రీయ అధికారికీకరణకు ఆచరణాత్మకంగా అనుకూలించని ప్రక్రియ. గణిత నమూనాలను రూపొందించడానికి సాధారణ సూత్రాలను గుర్తించడానికి పదేపదే చేసిన ప్రయత్నాలు చాలా సాధారణ స్వభావం యొక్క సిఫార్సుల ప్రకటనకు దారితీశాయని గమనించండి, నిర్దిష్ట సమస్యలను పరిష్కరించడానికి దరఖాస్తు చేయడం కష్టం, లేదా దీనికి విరుద్ధంగా, వాస్తవానికి మాత్రమే వర్తించే వంటకాల ఆవిర్భావానికి దారితీసింది. సమస్యల యొక్క ఇరుకైన పరిధి. అందువల్ల, నిర్దిష్ట ఉదాహరణలను ఉపయోగించి గణిత మోడలింగ్ యొక్క సాంకేతికతను తెలుసుకోవడం మరింత ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది.
1) సంస్థ సరఫరా ప్రణాళిక.
వివిధ రకాల ముడి పదార్థాలను ఉపయోగించే అనేక సంస్థలు ఉన్నాయి; అనేక ముడి పదార్థాల స్థావరాలు ఉన్నాయి. స్థావరాలు వివిధ కమ్యూనికేషన్ మార్గాల ద్వారా (రైల్‌రోడ్‌లు, మోటారు రవాణా, నీటి రవాణా, వాయు రవాణా) సంస్థలకు అనుసంధానించబడి ఉన్నాయి. ప్రతి రవాణాకు దాని స్వంత సుంకాలు ఉన్నాయి. ముడి పదార్థాలతో సంస్థలకు సరఫరా చేయడానికి అటువంటి ప్రణాళికను అభివృద్ధి చేయడం అవసరం, తద్వారా ముడి పదార్థాల అవసరాలు కనీస రవాణా ఖర్చులతో సంతృప్తి చెందుతాయి.
2) హైవే యొక్క ఒక విభాగం నిర్మాణం.
రైల్వే లైన్‌లో కొంత భాగాన్ని నిర్మిస్తున్నారు. మా వద్ద కొంత మొత్తంలో వనరులు ఉన్నాయి: వ్యక్తులు, పరికరాలు మొదలైనవి. సాధ్యమైనంత తక్కువ సమయంలో నిర్మాణాన్ని పూర్తి చేసే విధంగా పని యొక్క క్రమాన్ని కేటాయించడం, ట్రాక్ యొక్క విభాగాల వెంట ప్రజలను మరియు పరికరాలను పంపిణీ చేయడం అవసరం.
ఒక నిర్దిష్ట రకం ఉత్పత్తి ఉత్పత్తి అవుతుంది. అధిక నాణ్యత ఉత్పత్తులను నిర్ధారించడానికి, నమూనా నియంత్రణ వ్యవస్థను నిర్వహించడం అవసరం: నియంత్రణ స్థలం యొక్క పరిమాణాన్ని నిర్ణయించడం, పరీక్షల సమితి, తిరస్కరణ నియమాలు మొదలైనవి. తక్కువ నియంత్రణ ఖర్చులతో ఉత్పత్తి నాణ్యత యొక్క నిర్దిష్ట స్థాయిని నిర్ధారించడం అవసరం.
4) సైనిక చర్యలు.
ఈ సందర్భంలో లక్ష్యం శత్రువు వస్తువును నాశనం చేయడం.
ఇలాంటి సమస్యలు ఆచరణలో తరచుగా జరుగుతాయి. వారు సాధారణ లక్షణాలను కలిగి ఉన్నారు. ప్రతి పనికి నిర్దిష్ట లక్ష్యం ఉంటుంది - ఈ లక్ష్యాలు సారూప్యంగా ఉంటాయి; కొన్ని షరతులు పేర్కొనబడ్డాయి - ఈ పరిస్థితులలో, ఈ ఈవెంట్ అత్యంత లాభదాయకంగా ఉండేలా నిర్ణయం తీసుకోవాలి. ఈ సాధారణ లక్షణాలకు అనుగుణంగా, సాధారణ పద్ధతులు వర్తించబడతాయి.
1. సాధారణ భావనలు
1.1 కార్యకలాపాల పరిశోధనలో ప్రయోజనం మరియు ప్రాథమిక అంశాలు
ఆపరేషన్ -ఇది ఒకే ప్రణాళికతో ఏకీకృతమైన మరియు కొంత లక్ష్యాన్ని సాధించే లక్ష్యంతో కూడిన ఏదైనా చర్యల వ్యవస్థ (ఈవెంట్లు). ఇది నియంత్రిత ఈవెంట్, అంటే, దాని సంస్థను వివరించే కొన్ని పారామితులను ఎలా ఎంచుకోవాలో అది మనపై ఆధారపడి ఉంటుంది.
మనపై ఆధారపడిన ప్రతి నిర్దిష్ట ఎంపిక పారామితులను అంటారు నిర్ణయం.
కార్యకలాపాల పరిశోధన యొక్క ఉద్దేశ్యంసరైన పరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక పరిమాణాత్మక సమర్థన.
ఆ పారామితులు, వాటి కలయిక ఒక పరిష్కారాన్ని ఏర్పరుస్తుంది, అంటారు పరిష్కారం యొక్క అంశాలు.పరిష్కారం యొక్క మూలకాలు వివిధ సంఖ్యలు, వెక్టర్స్, ఫంక్షన్లు, భౌతిక లక్షణాలు మొదలైనవి కావచ్చు.
ఉదాహరణ : సజాతీయ కార్గో రవాణా.
నిష్క్రమణ పాయింట్లు ఉన్నాయి: ఎ 1 , ఎ 2 , ఎ 3 ,…, ఎ m .
అందుబాటులో ఉన్న గమ్యస్థానాలు: IN 1 , IN 2 , IN 3 ,…, IN n .
ఇక్కడ పరిష్కారం యొక్క మూలకాలు సంఖ్యలుగా ఉంటాయి x ij , బయలుదేరే i-th పాయింట్ నుండి ఎంత కార్గో పంపబడుతుందో చూపుతుంది జెవ గమ్యం.
ఈ సంఖ్యల కలయిక: x 11 , x 12 , x 13 ,…, x 1 m ,…, x n 1 , x n 2 ,…, x nm ఒక పరిష్కారాన్ని ఏర్పరుస్తుంది.
విభిన్న ఎంపికలను పోల్చడానికి, మీరు ఒక రకమైన పరిమాణాత్మక ప్రమాణాన్ని కలిగి ఉండాలి - సమర్థతా సూచిక ( W) ఈ సూచిక అంటారు లక్ష్యం ఫంక్షన్.
ఈ సూచిక ఎంపిక చేయబడింది, తద్వారా ఇది ఆపరేషన్ యొక్క లక్ష్య ధోరణిని ప్రతిబింబిస్తుంది. పరిష్కారాన్ని ఎన్నుకునేటప్పుడు, ఈ సూచిక గరిష్టంగా లేదా కనిష్టంగా ఉండేలా చూసుకోవడానికి మేము ప్రయత్నిస్తాము. W అయితే ఆదాయం, W max; మరియు W అనేది ఫ్లో రేట్ అయితే, W నిమి.
ఎంపిక యాదృచ్ఛిక కారకాలపై ఆధారపడి ఉంటే (వాతావరణం, పరికరాల వైఫల్యం, డిమాండ్ మరియు సరఫరాలో హెచ్చుతగ్గులు), అప్పుడు సగటు విలువ - గణిత అంచనా - సమర్థతకు సూచికగా ఎంపిక చేయబడుతుంది.
లక్ష్యాన్ని సాధించే సంభావ్యత కొన్నిసార్లు ప్రభావ సూచికగా ఎంపిక చేయబడుతుంది. ఇక్కడ ఆపరేషన్ యొక్క ప్రయోజనం యాదృచ్ఛిక కారకాలతో కూడి ఉంటుంది మరియు YES-NO పథకం ప్రకారం పని చేస్తుంది.
పనితీరు సూచికను ఎంచుకునే సూత్రాలను వివరించడానికి, గతంలో చర్చించిన ఉదాహరణలకు తిరిగి వెళ్దాం:
1) సంస్థ సరఫరా ప్రణాళిక.
పనితీరు సూచిక లక్ష్యంలో కనిపిస్తుంది. ఆర్– సంఖ్య – రవాణా ఖర్చు, . ఈ సందర్భంలో, అన్ని పరిమితులు తప్పక పాటించాలి.
2) హైవే యొక్క ఒక విభాగం నిర్మాణం.
సమస్యలో యాదృచ్ఛిక కారకాలు పెద్ద పాత్ర పోషిస్తాయి. నిర్మాణం యొక్క సగటు అంచనా పూర్తి సమయం సమర్థతకు సూచికగా ఎంపిక చేయబడింది.
3) ఉత్పత్తుల నమూనా నియంత్రణ.
సమస్య యొక్క సూత్రీకరణ ద్వారా సూచించబడిన సమర్ధత యొక్క సహజ సూచిక, ఒక యూనిట్ సమయానికి సగటున అంచనా వేయబడిన నియంత్రణ వ్యయం, సిస్టమ్ ఇచ్చిన స్థాయి నాణ్యతను అందించడాన్ని నియంత్రిస్తుంది.
భౌతిక లేదా గణితశాస్త్రంమోడలింగ్. ఫిజికల్ మోడలింగ్... లేఅవుట్‌లు మరియు వాటి శ్రమతో కూడుకున్నవి చదువు. గణితశాస్త్రంమోడలింగ్ ఉపయోగించి నిర్వహిస్తారు ... మోడలింగ్ కోసం కింది వాటిని చేయడం అవసరం ఆపరేషన్లు: 1. మెనుని నమోదు చేయండి...
చదువు op-amps ఆధారంగా యాంప్లిఫైయర్‌లను సమగ్రపరచడం మరియు వేరు చేయడం
ప్రయోగశాల పని >> కమ్యూనికేషన్స్ మరియు కమ్యూనికేషన్పని ప్రయోగాత్మకమైనది చదువులక్షణాలు మరియు లక్షణాలు ... ఇది ప్రధానమైనది గణితశాస్త్రం ఆపరేషన్లుమరియు దాని విద్యుత్ అమలు... వద్ద అవుట్‌పుట్ వోల్టేజీల DB ఓసిల్లోగ్రామ్‌లు పరిశోధనపల్స్ మోడ్‌లో: యాంప్లిఫైయర్‌ను సమీకృతం చేస్తోంది...
గణితశాస్త్రంఆర్థిక విశ్లేషణలో పద్ధతులు
టెస్ట్ >> ఆర్థిక మరియు గణిత మోడలింగ్కొన్ని పద్ధతులు గణితశాస్త్రంప్రోగ్రామింగ్ మరియు పద్ధతులు పరిశోధన ఆపరేషన్లు, ఆప్టిమైజేషన్ ఉజ్జాయింపులకు - పద్ధతులలో భాగం గణితశాస్త్రంప్రోగ్రామింగ్, పరిశోధన ఆపరేషన్లు, ఆర్థిక...
గణితశాస్త్రంతార్కిక ఆలోచనను అభివృద్ధి చేసే సాధనంగా ఆటలు
థీసిస్ >> బోధనాశాస్త్రంతార్కిక ఆలోచన అభివృద్ధి. అంశం పరిశోధన: గణితశాస్త్రంసహాయంతో ఆటలు... లాజికల్ ఉపయోగించి చర్యలు ఆపరేషన్లు. మానసిక చర్యలు రూపం ... పని యొక్క ఆచరణాత్మక భాగాలు. క్లిష్టమైన ఆపరేషన్లునైరూప్య ఆలోచనతో ముడిపడి ఉంది...
మరియు జ్యామితి. ఇతర ప్రాంతాలతో పోల్చితే విశ్లేషణ యొక్క ప్రధాన విశిష్ట లక్షణం పరిశోధన యొక్క అంశంగా వేరియబుల్స్ ఫంక్షన్ల ఉనికి. అదే సమయంలో, విద్యా కార్యక్రమాలు మరియు సామగ్రిలో విశ్లేషణ యొక్క ప్రాథమిక విభాగాలు తరచుగా ప్రాథమిక బీజగణితంతో కలిపి ఉంటే (ఉదాహరణకు, "బీజగణితం మరియు విశ్లేషణ యొక్క ప్రారంభం" అనే శీర్షికతో అనేక పాఠ్యపుస్తకాలు మరియు కోర్సులు ఉన్నాయి), అప్పుడు ఆధునిక విశ్లేషణ ఎక్కువగా ఉపయోగిస్తుంది ఆధునిక రేఖాగణిత విభాగాల పద్ధతులు, ప్రాథమికంగా అవకలన జ్యామితి మరియు టోపోలాజీ.
కథ
సాధారణ అవకలన సమీకరణాల సిద్ధాంతం (యూలర్, జోహన్ బెర్నౌల్లి, డి'అలెంబెర్ట్), వైవిధ్యాల కాలిక్యులస్ (యూలర్, లాగ్రాంజ్), విశ్లేషణాత్మక విధుల సిద్ధాంతం (లాగ్రంజ్, కౌచీ, తర్వాత రీమాన్) వంటి "అనంతమైన అంశాల విశ్లేషణ" నుండి ప్రత్యేక శాఖలు ), XVIII - XIX శతాబ్దపు మొదటి సగంలో మరింతగా వేరుచేయడం ప్రారంభమైంది. ఏది ఏమయినప్పటికీ, స్వతంత్ర ఆధునిక విభాగంగా విశ్లేషణ ఏర్పడటం యొక్క ప్రారంభం శాస్త్రీయ విశ్లేషణ యొక్క ముఖ్య భావనల అధికారికీకరణపై 19వ శతాబ్దం మధ్యకాలం యొక్క రచనలుగా పరిగణించబడుతుంది - వాస్తవ సంఖ్య, పనితీరు, పరిమితి, సమగ్రం, ప్రధానంగా రచనలలో కౌచీ మరియు బోల్జానో, మరియు ఇది వీయర్‌స్ట్రాస్, డెడెకిండ్ మరియు కాంటర్ యొక్క రచనలలో 1870-1880 సంవత్సరాల నాటికి పూర్తి రూపాన్ని పొందింది. ఈ విషయంలో, నిజమైన వేరియబుల్ యొక్క ఫంక్షన్ల సిద్ధాంతం మరియు విశ్లేషణాత్మక ఫంక్షన్లతో పనిచేసే పద్ధతుల అభివృద్ధిలో, సంక్లిష్ట వేరియబుల్ యొక్క ఫంక్షన్ల సిద్ధాంతం ఏర్పడింది. 19వ శతాబ్దం చివరలో కాంటర్ రూపొందించిన అమాయక సెట్ సిద్ధాంతం మెట్రిక్ మరియు టోపోలాజికల్ స్పేస్‌ల భావనల ఆవిర్భావానికి ప్రేరణనిచ్చింది, ఇది మొత్తం విశ్లేషణ సాధనాలను గణనీయంగా మార్చింది, అధ్యయనం చేయబడిన వస్తువుల సంగ్రహణ స్థాయిని పెంచుతుంది మరియు కదిలిస్తుంది. వాస్తవ సంఖ్యల నుండి సంఖ్యా రహిత భావనలపై దృష్టి పెట్టండి.
20 వ శతాబ్దం ప్రారంభంలో, ప్రధానంగా ఫ్రెంచ్ గణిత పాఠశాల (జోర్డాన్, బోరెల్, లెబెస్గ్యు, బేర్) యొక్క ప్రయత్నాల ద్వారా, కొలత సిద్ధాంతం సృష్టించబడింది, దీనికి కృతజ్ఞతలు సమగ్ర భావన సాధారణీకరించబడింది మరియు ఫంక్షన్ల సిద్ధాంతం. నిజమైన వేరియబుల్ నిర్మించబడింది. అలాగే 20వ శతాబ్దం ప్రారంభంలో, క్రియాత్మక విశ్లేషణ ఆధునిక విశ్లేషణ యొక్క స్వతంత్ర ఉపవిభాగంగా రూపాన్ని పొందడం ప్రారంభించింది, టోపోలాజికల్ వెక్టర్ ఖాళీలు మరియు వాటి మ్యాపింగ్‌లను అధ్యయనం చేస్తుంది. "ఫంక్షనల్ అనాలిసిస్" అనే పదాన్ని హడమర్డ్ ప్రవేశపెట్టారు, ఇది 19వ మరియు 20వ శతాబ్దాల ప్రారంభంలో ఇటాలియన్ మరియు ఫ్రెంచ్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుల బృందం (వోల్టెరా, ఆర్సెలాతో సహా) అభివృద్ధి చేసిన వైవిధ్యాల కాలిక్యులస్ యొక్క శాఖను సూచిస్తుంది. 1900లో, ఫ్రెడ్‌హోమ్ సమగ్ర సమీకరణాలపై ఒక కథనాన్ని ప్రచురించాడు, ఇవి రెండూ సమగ్ర సమీకరణాల సిద్ధాంతం అభివృద్ధికి, ఏకీకరణ యొక్క సాధారణ సిద్ధాంతం (లెబెస్గ్యూ) అభివృద్ధికి మరియు క్రియాత్మక విశ్లేషణ ఏర్పడటానికి ప్రేరణనిచ్చాయి. 1906లో, హిల్బర్ట్ యొక్క పని వర్ణపట సిద్ధాంతాన్ని వివరించింది మరియు అదే సంవత్సరంలో ఫ్రెచెట్ యొక్క పని ప్రచురించబడింది, దీనిలో వియుక్త మెట్రిక్ ఖాళీలు మొదటిసారిగా విశ్లేషణలో ప్రవేశపెట్టబడ్డాయి. 1910 - 1920 లలో, విభజన యొక్క భావనలు స్పష్టం చేయబడ్డాయి మరియు మొదటి సారి విశ్లేషణకు సాధారణ టోపోలాజికల్ పద్ధతులు వర్తింపజేయబడ్డాయి (హౌస్‌డార్ఫ్), ఫంక్షనల్ స్పేస్‌లు ప్రావీణ్యం పొందాయి మరియు సాధారణ ఖాళీల యొక్క సాధారణ సిద్ధాంతం ఏర్పడటం ప్రారంభమైంది (హిల్బర్ట్, రైస్, బనాచ్, హాన్). 1929-1932 కాలంలో, హిల్బర్ట్ ఖాళీల యొక్క అక్షసంబంధ సిద్ధాంతం ఏర్పడింది (జాన్ వాన్ న్యూమాన్, మార్షల్ స్టోన్, రీస్). 1936లో, సోబోలెవ్ సాధారణీకరించిన ఫంక్షన్ యొక్క భావనను రూపొందించాడు (తరువాత 1940లలో, అతని నుండి స్వతంత్రంగా, లారెంట్ స్క్వార్ట్జ్ ఇదే విధమైన భావనకు వచ్చాడు), ఇది అనేక విశ్లేషణ రంగాలలో విస్తృతంగా వ్యాపించింది మరియు అప్లికేషన్‌లలో విస్తృత అనువర్తనాన్ని కనుగొంది (ఉదాహరణకు, సాధారణీకరించబడింది ఫంక్షన్ ఉంది δ (\డిస్ప్లేస్టైల్ \డెల్టా)-డైరాక్ ఫంక్షన్). 1930 - 1950 లలో, సాధారణ బీజగణిత సాధనాల (వెక్టార్ లాటిస్, ఆపరేటర్ ఆల్జీబ్రాస్, బానాచ్ ఆల్జీబ్రాస్) ఉపయోగించడం ద్వారా క్రియాత్మక విశ్లేషణలో ముఖ్యమైన ఫలితాలు పొందబడ్డాయి.
20వ శతాబ్దం మధ్య నాటికి, డైనమిక్ సిస్టమ్స్ సిద్ధాంతం మరియు ఎర్గోడిక్ సిద్ధాంతం (జార్జ్ బిర్‌ఖాఫ్, కోల్మోగోరోవ్, వాన్ న్యూమాన్) వంటి ప్రాంతాలు స్వతంత్ర అభివృద్ధిని పొందాయి, సాధారణ బీజగణిత మార్గాలను ఉపయోగించడం ద్వారా హార్మోనిక్ విశ్లేషణ ఫలితాలు గణనీయంగా సాధారణీకరించబడ్డాయి - టోపోలాజికల్ సమూహాలు. మరియు ప్రాతినిధ్యాలు (వెయిల్, పీటర్, పోంట్రియాగిన్). 1940 - 1950 ల నుండి, ఫంక్షనల్ విశ్లేషణ యొక్క పద్ధతులు అనువర్తిత రంగాలలో అనువర్తనాన్ని కనుగొన్నాయి, ప్రత్యేకించి, 1930 - 1940 లలో కాంటోరోవిచ్ యొక్క రచనలలో, ఫంక్షనల్ విశ్లేషణ యొక్క సాధనాలు గణన గణితం మరియు ఆర్థిక శాస్త్రంలో ఉపయోగించబడ్డాయి (లీనియర్ ప్రోగ్రామింగ్). 1950 లలో, పోంట్రియాగిన్ మరియు అతని విద్యార్థుల రచనలలో, వైవిధ్యాల కాలిక్యులస్ యొక్క పద్ధతుల అభివృద్ధిలో సరైన నియంత్రణ సిద్ధాంతం సృష్టించబడింది.
20వ శతాబ్దపు రెండవ అర్ధభాగం నుండి, అవకలన టోపోలాజీ అభివృద్ధితో, కొత్త దిశలో చేరిన విశ్లేషణ - మానిఫోల్డ్‌లపై విశ్లేషణ, "గ్లోబల్ అనాలిసిస్" అని పిలుస్తారు, ఇది వాస్తవానికి 1920 లలో, మోర్స్ యొక్క చట్రంలో రూపాన్ని పొందడం ప్రారంభించింది. వైవిధ్యాల కాలిక్యులస్ యొక్క సాధారణీకరణగా సిద్ధాంతం (సాధారణంగా మోర్స్ కాలిక్యులస్ ద్వారా "వైవిధ్యం" అని పిలుస్తారు", పెద్దగా ఆంగ్ల వేరియేషన్ కాలిక్యులస్). ఈ దిశలో ఏకవచనాల సిద్ధాంతం (విట్నీ,) మరియు విపత్తుల సిద్ధాంతం (టామ్ మరియు మాసర్,), ఇది 1970లలో జిమాన్ మరియు ఆర్నాల్డ్ రచనలలో అభివృద్ధి చేయబడింది.
సాంప్రదాయ గణిత విశ్లేషణ
శాస్త్రీయ గణిత విశ్లేషణ - వాస్తవానికి పూర్తిగా చారిత్రక "అనంతమైన విశ్లేషణ"కు అనుగుణంగా ఉండే విభాగం, రెండు ప్రధాన భాగాలను కలిగి ఉంటుంది: అవకలన మరియు సమగ్ర కాలిక్యులస్. ప్రాథమిక భావనలు - ఒక ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితి, అవకలన, ఉత్పన్నం, సమగ్ర, ప్రధాన ఫలితాలు - ఒక నిర్దిష్ట సమగ్ర మరియు యాంటీడెరివేటివ్ మరియు టేలర్ సిరీస్‌ను అనుసంధానించే న్యూటన్-లీబ్నిజ్ ఫార్ములా - ఒక పాయింట్ యొక్క పొరుగున ఉన్న అనంతమైన భేదాత్మక ఫంక్షన్ యొక్క శ్రేణి విస్తరణ.
"గణిత విశ్లేషణ" అనే పదం సాధారణంగా ఈ శాస్త్రీయ విభాగాన్ని సూచిస్తుంది మరియు ఇది ప్రధానంగా విద్యా కార్యక్రమాలు మరియు సామగ్రిలో ఉపయోగించబడుతుంది. అదే సమయంలో, విశ్లేషణ యొక్క ప్రాథమికాల అధ్యయనం చాలా మాధ్యమిక విద్యా కార్యక్రమాలలో చేర్చబడింది మరియు విస్తృత శ్రేణి ప్రత్యేకతల కోసం ఉన్నత విద్య యొక్క మొదటి సంవత్సరాల కార్యక్రమాలలో ఈ విషయం యొక్క ఎక్కువ లేదా తక్కువ పూర్తి అధ్యయనం చేర్చబడింది. మానవీయ శాస్త్రాలలో చాలా మంది. ఆంగ్లో-అమెరికన్ విద్యా సంప్రదాయంలో, "కాలిక్యులస్" అనే పదాన్ని శాస్త్రీయ గణిత విశ్లేషణను సూచించడానికి ఉపయోగిస్తారు.
నిజమైన వేరియబుల్ యొక్క ఫంక్షన్ల సిద్ధాంతం(కొన్నిసార్లు క్లుప్తంగా పిలుస్తారు - ఫంక్షన్ సిద్ధాంతం) వాస్తవ సంఖ్య మరియు ఫంక్షన్ యొక్క భావనల అధికారికీకరణ ఫలితంగా ఉద్భవించింది: విశ్లేషణ యొక్క శాస్త్రీయ విభాగాలలో సహజ మార్గంలో నిర్దిష్ట సమస్యలలో ఉత్పన్నమయ్యే విధులు మాత్రమే పరిగణించబడితే, అప్పుడు ఫంక్షన్ల సిద్ధాంతంలో విధులు స్వయంగా అవుతాయి. అధ్యయనం యొక్క విషయం, వారి ప్రవర్తన మరియు వారి లక్షణాల మధ్య సంబంధాలు అధ్యయనం చేయబడతాయి. నిజమైన వేరియబుల్ యొక్క ఫంక్షన్ల సిద్ధాంతం యొక్క విశిష్టతను వివరించే ఫలితాలలో ఒకటి, నిరంతర ఫంక్షన్‌కు ఏ సమయంలోనూ ఉత్పన్నం ఉండకపోవచ్చు (అంతేకాకుండా, శాస్త్రీయ గణిత విశ్లేషణ యొక్క మునుపటి ఆలోచనల ప్రకారం, అన్ని నిరంతర ఫంక్షన్ల భేదం ప్రశ్నించబడలేదు).
నిజమైన వేరియబుల్ యొక్క ఫంక్షన్ల సిద్ధాంతం యొక్క ప్రధాన దిశలు:
సంక్లిష్ట వేరియబుల్ యొక్క ఫంక్షన్ల సిద్ధాంతం
సంక్లిష్ట వేరియబుల్ యొక్క ఫంక్షన్ల సిద్ధాంతాన్ని అధ్యయనం చేసే అంశం సంక్లిష్ట విమానంలో నిర్వచించబడిన సంఖ్యా విధులు. C 1 (\డిస్ప్లేస్టైల్ \mathbb (C) ^(1))లేదా సంక్లిష్టమైన యూక్లిడియన్ స్పేస్ C n (\డిస్ప్లేస్టైల్ \mathbb (C) ^(n)), అత్యంత క్షుణ్ణంగా అధ్యయనం చేయబడిన విశ్లేషణాత్మక విధులు గణిత విశ్లేషణ యొక్క దాదాపు అన్ని శాఖలకు ముఖ్యమైన అనుసంధాన పాత్రను పోషిస్తాయి. ప్రత్యేకించి, ఒక విశ్లేషణాత్మక ఫంక్షన్ యొక్క భావన ఏకపక్ష బనాచ్ ఖాళీల కోసం సాధారణీకరించబడింది, తద్వారా సంక్లిష్ట వేరియబుల్ యొక్క ఫంక్షన్ల సిద్ధాంతం నుండి అనేక ఫలితాలు ఫంక్షనల్ విశ్లేషణలో సాధారణీకరణను కనుగొన్నాయి.
ఫంక్షనల్ విశ్లేషణ
ఒక విభాగంగా ఫంక్షనల్ అనాలిసిస్ అనేది టోపోలాజికల్ వెక్టార్ స్పేస్‌లు మరియు వాటిపై విధించిన వివిధ బీజగణిత మరియు టోపోలాజికల్ పరిస్థితులతో వాటి మ్యాపింగ్‌ల అధ్యయనం యొక్క అంశంగా ఉనికిని కలిగి ఉంటుంది. ఫంక్షనల్ విశ్లేషణలో ఫంక్షన్ ఖాళీలు ప్రధాన పాత్ర పోషిస్తాయి, అన్ని కొలవగల ఫంక్షన్ల ఖాళీలు ఒక క్లాసిక్ ఉదాహరణ. p (\డిస్ప్లేస్టైల్ p)-వ డిగ్రీ సమగ్రమైనది; అదే సమయంలో ఇప్పటికే L 2 (\డిస్ప్లేస్టైల్ L^(2))- అనంత-డైమెన్షనల్ స్పేస్ (హిల్బర్ట్ స్పేస్), మరియు అనంతమైన పరిమాణాల ఖాళీలు ఫంక్షనల్ విశ్లేషణలో అంతర్లీనంగా ఉంటాయి, కొన్నిసార్లు మొత్తం విభాగం అనంత-డైమెన్షనల్ ఖాళీలు మరియు వాటి మ్యాపింగ్‌లను అధ్యయనం చేసే గణితశాస్త్రంలో భాగంగా నిర్వచించబడుతుంది. ఫంక్షనల్ అనాలిసిస్ యొక్క క్లాసికల్ విభాగాలలో ఖాళీల యొక్క అతి ముఖ్యమైన రూపం బానాచ్ ఖాళీలు - నార్మ్డ్ వెక్టార్ స్పేస్‌లు, కట్టుబాటు ద్వారా రూపొందించబడిన మెట్రిక్‌లో పూర్తి చేయబడతాయి: ఆచరణలో ఆసక్తికరమైన ఖాళీల యొక్క గణనీయమైన నిష్పత్తి అలాంటివి, వాటిలో అన్ని హిల్బర్ట్ ఖాళీలు ఉన్నాయి, ఖాళీలు L p (\డిస్ప్లేస్టైల్ L^(p)), హార్డీ ఖాళీలు, సోబోలెవ్ ఖాళీలు. ఫంక్షనల్ విశ్లేషణలో ముఖ్యమైన పాత్ర బీజగణిత నిర్మాణాలచే పోషించబడుతుంది, అవి బనాచ్ ఖాళీలు - బానాచ్ లాటిస్‌లు మరియు బానాచ్ బీజగణితాలు (సహా - C ∗ (\డిస్ప్లేస్టైల్ C^(*))-బీజగణితాలు, వాన్ న్యూమాన్ ఆల్జీబ్రాస్).
వియుక్త హార్మోనిక్ విశ్లేషణ హార్ కొలత మరియు సమూహ ప్రాతినిధ్యాలు వంటి భావనలను ఉపయోగించి వియుక్త నిర్మాణాలకు సాంప్రదాయ పద్ధతులను సాధారణీకరిస్తుంది. కమ్యుటేటివ్ హార్మోనిక్ విశ్లేషణ యొక్క అతి ముఖ్యమైన ఫలితం పోంట్‌ర్యాగిన్ యొక్క ద్వంద్వ సిద్ధాంతం, దీనికి ధన్యవాదాలు హార్మోనిక్ విశ్లేషణ యొక్క దాదాపు అన్ని శాస్త్రీయ ఫలితాలు సాపేక్షంగా సాధారణ సాధారణ బీజగణిత మార్గాల ద్వారా వివరించబడ్డాయి. సిద్ధాంతం యొక్క మరింత అభివృద్ధి నాన్-కమ్యుటేటివ్ హార్మోనిక్ విశ్లేషణ, ఇది క్వాంటం మెకానిక్స్‌లో ముఖ్యమైన అనువర్తనాలను కలిగి ఉంది.
అవకలన మరియు సమగ్ర సమీకరణాలు
సమగ్ర సమీకరణాల సిద్ధాంతంలో, క్లాసికల్ సొల్యూషన్ పద్ధతులతో పాటు, ఫ్రెడ్‌హోమ్ సిద్ధాంతం వంటి దిశలు ఉన్నాయి, ఇది స్వతంత్ర విభాగంగా ఫంక్షనల్ విశ్లేషణ ఏర్పడటంపై గుర్తించదగిన ప్రభావాన్ని కలిగి ఉంది, ప్రత్యేకించి, హిల్బర్ట్ భావన ఏర్పడటానికి దోహదం చేస్తుంది. స్థలం.
డైనమిక్ సిస్టమ్స్ మరియు ఎర్గోడిక్ సిద్ధాంతం యొక్క సిద్ధాంతం
అవకలన సమీకరణాల అధ్యయనంలో ప్రధాన దిశలలో, యాంత్రిక వ్యవస్థల సమయ పరిణామాన్ని అధ్యయనం చేసే డైనమిక్ సిస్టమ్స్ సిద్ధాంతం మరియు గణాంక భౌతిక శాస్త్రాన్ని ధృవీకరించే లక్ష్యంతో ఎర్గోడిక్ సిద్ధాంతం స్వతంత్ర విభాగాలుగా ఉద్భవించాయి. సమస్యల యొక్క అనువర్తిత స్వభావం ఉన్నప్పటికీ, ఈ విభాగాలు సాధారణ గణిత శాస్త్ర ప్రాముఖ్యత యొక్క విస్తృత శ్రేణి భావనలు మరియు పద్ధతులను కలిగి ఉంటాయి, ప్రత్యేకించి, స్థిరత్వం మరియు ఎర్గోడిసిటీ యొక్క భావనలు.
ప్రపంచ విశ్లేషణ
ప్రపంచ విశ్లేషణ- మానిఫోల్డ్‌లు మరియు వెక్టార్ బండిల్స్‌పై విధులు మరియు అవకలన సమీకరణాలను అధ్యయనం చేసే విశ్లేషణ విభాగం; కొన్నిసార్లు ఈ దిశను "మానిఫోల్డ్‌లపై విశ్లేషణ"గా సూచిస్తారు.
ప్రపంచ విశ్లేషణ యొక్క మొదటి రంగాలలో ఒకటి మోర్స్ సిద్ధాంతం మరియు రీమాన్నియన్ మానిఫోల్డ్‌లపై జియోడెసిక్స్‌పై సమస్యలకు దాని అప్లికేషన్; దిశను "సాధారణంగా వైవిధ్యాల కాలిక్యులస్" అని పిలుస్తారు. ప్రధాన ఫలితాలు మోర్స్ లెమ్మా, ఇది క్షీణించని ఏకవచన బిందువుల వద్ద మృదువైన మానిఫోల్డ్‌లపై మృదువైన ఫంక్షన్ల ప్రవర్తనను వివరిస్తుంది మరియు లియుస్టెర్నిక్-ష్నిరెల్‌మాన్ వర్గం వంటి హోమోటోపీ మార్పులేనిది. అనేక నిర్మాణాలు మరియు ప్రకటనలు అనంత-డైమెన్షనల్ మానిఫోల్డ్‌ల విషయంలో సాధారణీకరించబడ్డాయి ( హిల్బర్ట్ రకాలు *, బానాచ్ రకాలు) ఏకవచన బిందువుల ప్రపంచ విశ్లేషణ యొక్క చట్రంలో పొందిన ఫలితాలు పూర్తిగా టోపోలాజికల్ సమస్యలను పరిష్కరించడానికి విస్తృత అప్లికేషన్‌ను కనుగొన్నాయి, ఉదాహరణకు, బాట్ యొక్క ఆవర్తన సిద్ధాంతం, ఇది గణితశాస్త్రం యొక్క స్వతంత్ర శాఖకు చాలావరకు ఆధారం - K (\డిస్ప్లేస్టైల్ K)సిద్ధాంతాలు, అలాగే సిద్ధాంతం గురించి h (\డిస్ప్లేస్టైల్ h)-కోబోర్డిజం, దీని పర్యవసానంగా 4 కంటే ఎక్కువ కొలతలు కోసం Poincaré ఊహాజనిత నెరవేర్పు.
భౌతిక శాస్త్రం మరియు ఆర్థిక శాస్త్రంలో విస్తృతంగా ఉపయోగించే ప్రపంచ విశ్లేషణ యొక్క మరొక పెద్ద బ్లాక్, ఏకవచనాల సిద్ధాంతం, విభజనల సిద్ధాంతం మరియు విపత్తుల సిద్ధాంతం; ఈ బ్లాక్‌లో పరిశోధన యొక్క ప్రధాన దిశ అనేది క్లిష్టమైన పాయింట్ల పరిసరాల్లో అవకలన సమీకరణాలు లేదా విధుల ప్రవర్తన యొక్క వర్గీకరణ మరియు సంబంధిత తరగతుల లక్షణ లక్షణాలను గుర్తించడం.
ప్రామాణికం కాని విశ్లేషణ
ప్రామాణికం కాని విశ్లేషణ అనేది గణిత తర్కం ద్వారా విశ్లేషణ యొక్క కీలక భావనల అధికారికీకరణ, ప్రధాన ఆలోచన అనంతమైన పెద్ద మరియు అనంతమైన చిన్న పరిమాణాల యొక్క అధికారిక వాస్తవికత మరియు వాటితో మానిప్యులేషన్‌ల యొక్క తార్కిక అధికారికీకరణ. అదే సమయంలో, ప్రామాణికం కాని విశ్లేషణ సాధనాలు చాలా సౌకర్యవంతంగా మారాయి: స్పష్టత లేకపోవడం వల్ల అవి శాస్త్రీయ సాధనాల ద్వారా గతంలో కనుగొనబడని ఫలితాలను పొందాయి.