ఘాతాంక రూపంలో సంక్లిష్ట సంఖ్యలను ఎలా గుణించాలి. సంక్లిష్ట సంఖ్యలను గుణించడం

సంక్లిష్ట సంఖ్యల కూడిక మరియు వ్యవకలనం బీజగణిత రూపంలో చేయడానికి మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది, సంక్లిష్ట సంఖ్యల త్రికోణమితి రూపాన్ని ఉపయోగించి గుణకారం మరియు భాగహారం చేయడం సులభం.

త్రికోణమితి రూపంలో ఇవ్వబడిన రెండు ఏకపక్ష సంక్లిష్ట సంఖ్యలను తీసుకుందాం:

ఈ సంఖ్యలను గుణిస్తే, మనకు లభిస్తుంది:

కానీ త్రికోణమితి సూత్రాల ప్రకారం

అందువలన, సంక్లిష్ట సంఖ్యలను గుణించేటప్పుడు, వాటి మాడ్యూల్స్ గుణించబడతాయి మరియు వాదనలు

మడత పెట్టు. ఈ సందర్భంలో మాడ్యూల్స్ విడిగా మార్చబడతాయి మరియు వాదనలు - విడిగా, త్రికోణమితి రూపంలో గుణకారం చేయడం బీజగణిత రూపంలో కంటే సులభం.

సమానత్వం (1) నుండి క్రింది సంబంధాలు అనుసరించబడతాయి:

విభజన అనేది గుణకారం యొక్క విలోమ చర్య కాబట్టి, మనం దానిని పొందుతాము

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఒక గుణకం యొక్క మాడ్యులస్ డివిడెండ్ మరియు డివైజర్ యొక్క మాడ్యులీల నిష్పత్తికి సమానంగా ఉంటుంది మరియు భాగస్వామ్య వాదన అనేది డివిడెండ్ మరియు డివైజర్ యొక్క వాదనల మధ్య వ్యత్యాసం.

సంక్లిష్ట సంఖ్యల గుణకారం యొక్క రేఖాగణిత అర్థంపై ఇప్పుడు మనం నివసిద్దాం. సూత్రాలు (1) - (3) ఉత్పత్తిని కనుగొనడానికి, మీరు మొదట దాని వాదనను మార్చకుండా మాడ్యులస్ సంఖ్యను పెంచాలి, ఆపై దాని మాడ్యులస్‌ను మార్చకుండా ఫలిత సంఖ్య యొక్క ఆర్గ్యుమెంట్‌ను పెంచాలి. ఈ ఆపరేషన్లలో మొదటిది జ్యామితీయంగా గుణకంతో పాయింట్ Oకి సంబంధించి హోమోథెటీని సూచిస్తుంది , మరియు రెండవది అంటే O పాయింట్‌కి సంబంధించి భ్రమణానికి సమానమైన కోణంతో సమానమైన కోణంతో ఇక్కడ ఒక కారకం స్థిరంగా ఉంటుంది మరియు మరొక వేరియబుల్‌ను పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, మనం ఫలితాన్ని రూపొందించవచ్చు. క్రింది విధంగా: సూత్రం

సంక్లిష్ట సంఖ్య అనేది ఫారమ్ యొక్క సంఖ్య, ఇక్కడ మరియు వాస్తవ సంఖ్యలు, అని పిలవబడేవి ఊహాత్మక యూనిట్. నంబర్ అంటారు నిజమైన భాగం () సంక్లిష్ట సంఖ్య, సంఖ్య అంటారు ఊహాత్మక భాగం () సంక్లిష్ట సంఖ్య.

సంక్లిష్ట సంఖ్యలు దీని ద్వారా సూచించబడతాయి క్లిష్టమైన విమానం:

పైన చెప్పినట్లుగా, అక్షరం సాధారణంగా వాస్తవ సంఖ్యల సమితిని సూచిస్తుంది. ఒక గుత్తిఅదే సంక్లిష్ట సంఖ్యలుసాధారణంగా "బోల్డ్" లేదా మందమైన అక్షరంతో సూచించబడుతుంది. అందువల్ల, లేఖను డ్రాయింగ్లో ఉంచాలి, మనకు సంక్లిష్టమైన విమానం ఉందని సూచిస్తుంది.

సంక్లిష్ట సంఖ్య యొక్క బీజగణిత రూపం. సంక్లిష్ట సంఖ్యల కూడిక, తీసివేత, గుణకారం మరియు విభజన

సంక్లిష్ట సంఖ్యల జోడింపు

రెండు సంక్లిష్ట సంఖ్యలను జోడించడానికి, మీరు వాటి వాస్తవ మరియు ఊహాత్మక భాగాలను జోడించాలి:

z 1 + z 2 = (a 1 + a 2) + i*(b 1 + b 2).

సంక్లిష్ట సంఖ్యల కోసం, మొదటి తరగతి నియమం చెల్లుబాటు అవుతుంది: z 1 + z 2 = z 2 + z 1 – నిబంధనలను పునర్వ్యవస్థీకరించడం నుండి మొత్తం మారదు.

సంక్లిష్ట సంఖ్యలను తీసివేయడం

చర్య కూడికకు సమానంగా ఉంటుంది, ఏకైక విశిష్టత ఏమిటంటే, సబ్‌ట్రాహెండ్‌ను బ్రాకెట్లలో ఉంచాలి, ఆపై కుండలీకరణాలను గుర్తు మార్పుతో ప్రామాణిక మార్గంలో తెరవాలి:

z 1 + z 2 = (a 1 – a 2) + i*(b 1 – b 2)

సంక్లిష్ట సంఖ్యలను గుణించడం

సంక్లిష్ట సంఖ్యల ప్రాథమిక సమానత్వం:

సంక్లిష్ట సంఖ్యల ఉత్పత్తి:

z 1 * z 2 = (a 1 + i*b 1)*(a 2 + i*b 2) = a 1 *a 2 + a 1 *i*b 2 + a 2 *i*b 1 + i 2 *b 1 *b 2 = a 1 *a 2 - b 1 *b 2 +i*(a 1 *b 2 +a 2 *b 1).

మొత్తం వలె, సమ్మేళన సంఖ్యల ఉత్పత్తి మార్చదగినది, అంటే సమానత్వం నిజం: .

సంక్లిష్ట సంఖ్యల విభజన

సంఖ్యల విభజన జరుగుతుంది హారం యొక్క సంయోగ వ్యక్తీకరణ ద్వారా హారం మరియు లవం గుణించడం ద్వారా.

2 ప్రశ్న. కాంప్లెక్స్ విమానం. సంక్లిష్ట సంఖ్యల మాడ్యులస్ మరియు వాదనలు

ప్రతి సంక్లిష్ట సంఖ్య z = a + i*b అక్షాంశాలతో (a;b) ఒక బిందువుతో అనుబంధించబడుతుంది మరియు వైస్ వెర్సా, కోఆర్డినేట్‌లతో కూడిన ప్రతి పాయింట్ (c;d) సంక్లిష్ట సంఖ్యతో అనుబంధించబడుతుంది w = c + i* డి. అందువలన, విమానం యొక్క పాయింట్లు మరియు సంక్లిష్ట సంఖ్యల సమితి మధ్య ఒకదానికొకటి అనురూప్యం ఏర్పడుతుంది. అందువల్ల, సంక్లిష్ట సంఖ్యలను విమానంలో పాయింట్లుగా సూచించవచ్చు. సంక్లిష్ట సంఖ్యలు చిత్రీకరించబడిన విమానం సాధారణంగా అంటారు క్లిష్టమైన విమానం.

అయినప్పటికీ, చాలా తరచుగా సంక్లిష్ట సంఖ్యలు పాయింట్ O వద్ద ప్రారంభంతో వెక్టర్‌గా వర్ణించబడతాయి, అవి సంక్లిష్ట సంఖ్య z = a + i*b అక్షాంశాలతో (a;b) బిందువు యొక్క వ్యాసార్థ వెక్టర్‌గా వర్ణించబడుతుంది. ఈ సందర్భంలో, మునుపటి ఉదాహరణ నుండి సంక్లిష్ట సంఖ్యల చిత్రం ఇలా ఉంటుంది:

రెండు సంక్లిష్ట సంఖ్యల మొత్తం యొక్క చిత్రం సంఖ్యలను సూచించే వెక్టర్స్ మొత్తానికి సమానమైన వెక్టార్ మరియు . మరో మాటలో చెప్పాలంటే, సంక్లిష్ట సంఖ్యలను జోడించినప్పుడు, వాటిని సూచించే వెక్టర్స్ కూడా జోడించబడతాయి.

సంక్లిష్ట సంఖ్య z = a + i*b వ్యాసార్థం వెక్టర్ ద్వారా సూచించబడనివ్వండి. అప్పుడు ఈ వెక్టర్ యొక్క పొడవు అంటారు మాడ్యూల్సంఖ్య z మరియు |z|తో సూచించబడుతుంది .

అక్షంతో ఒక సంఖ్య యొక్క వ్యాసార్థం వెక్టర్ ద్వారా ఏర్పడిన కోణాన్ని అంటారు వాదనసంఖ్యలు మరియు arg z ద్వారా సూచించబడుతుంది. సంఖ్య యొక్క ఆర్గ్యుమెంట్ ప్రత్యేకంగా నిర్ణయించబడదు, కానీ గుణకారంలో . అయితే, సాధారణంగా ఆర్గ్యుమెంట్ 0 నుండి పరిధిలో లేదా నుండి -to పరిధిలో పేర్కొనబడుతుంది. అదనంగా, సంఖ్య నిర్వచించబడని వాదనను కలిగి ఉంది.

ఈ సంబంధాన్ని ఉపయోగించి, మీరు సంక్లిష్ట సంఖ్య యొక్క వాదనను కనుగొనవచ్చు:

అంతేకాకుండా, సంఖ్య యొక్క చిత్రం మొదటి లేదా నాల్గవ త్రైమాసికంలో ఉంటే మొదటి సూత్రం చెల్లుతుంది మరియు రెండవది, అది రెండవ లేదా మూడవది. ఒకవేళ , కాంప్లెక్స్ సంఖ్య Oy అక్షం మీద వెక్టర్ ద్వారా సూచించబడుతుంది మరియు దాని ఆర్గ్యుమెంట్ /2 లేదా 3*/2కి సమానం.

మరొక ఉపయోగకరమైన సూత్రాన్ని తెలుసుకుందాం. z = a + i*bని లెట్. అప్పుడు,

త్రికోణమితి రూపంలో ఇవ్వబడిన రెండు ఏకపక్ష సంక్లిష్ట సంఖ్యలను తీసుకుందాం:

ఈ సంఖ్యలను గుణిస్తే, మనకు లభిస్తుంది:

కానీ త్రికోణమితి సూత్రాల ప్రకారం

సమానత్వం (1) నుండి క్రింది సంబంధాలు అనుసరించబడతాయి:

విభజన అనేది గుణకారం యొక్క విలోమ చర్య కాబట్టి, మనం దానిని పొందుతాము

మేము వాస్తవ సంఖ్యల ఉత్పత్తికి సమానంగా రెండు సంక్లిష్ట సంఖ్యల ఉత్పత్తిని నిర్వచిస్తాము, అవి: ఒక కారకం యూనిట్‌తో రూపొందించబడినట్లే, ఉత్పత్తిని గుణకారంతో రూపొందించబడిన సంఖ్యగా పరిగణిస్తారు.

మాడ్యులస్ మరియు ఆర్గ్యుమెంట్‌తో కూడిన కాంప్లెక్స్ నంబర్‌కు అనుగుణమైన వెక్టార్‌ను యూనిట్ వెక్టార్ నుండి పొందవచ్చు, దీని పొడవు ఒకదానికి సమానం మరియు దిశను కారకం ద్వారా పొడిగించడం మరియు తిప్పడం ద్వారా OX అక్షం యొక్క సానుకూల దిశతో సమానంగా ఉంటుంది. అది ఒక కోణం ద్వారా సానుకూల దిశలో ఉంటుంది

వెక్టార్ ద్వారా ఒక నిర్దిష్ట వెక్టార్ యొక్క ఉత్పత్తి వెక్టార్‌కి పైన పేర్కొన్న పొడవు మరియు భ్రమణాన్ని వర్తింపజేస్తే, వెక్టర్‌ని వెక్టార్‌కి వర్తింపజేస్తే, వెక్టార్‌ని యూనిట్ వెక్టర్ నుండి పొందడం ద్వారా పొందబడుతుంది మరియు రెండోది స్పష్టంగా అనుగుణంగా ఉంటుంది. నిజమైన యూనిట్.

మాడ్యులి మరియు ఆర్గ్యుమెంట్‌లు వెక్టర్‌లకు సంబంధించిన సంక్లిష్ట సంఖ్యలు అయితే, ఈ వెక్టర్స్ యొక్క ఉత్పత్తి స్పష్టంగా మాడ్యులస్ మరియు ఆర్గ్యుమెంట్‌తో కూడిన సంక్లిష్ట సంఖ్యకు అనుగుణంగా ఉంటుంది. కాంప్లెక్స్ సంఖ్యల ఉత్పత్తి యొక్క క్రింది నిర్వచనానికి మేము చేరుకుంటాము:

రెండు సమ్మేళన సంఖ్యల లబ్ధం ఒక సంక్లిష్ట సంఖ్య, దీని మాడ్యులస్ కారకాల యొక్క మాడ్యులీల ఉత్పత్తికి సమానంగా ఉంటుంది మరియు దీని వాదన కారకాల యొక్క ఆర్గ్యుమెంట్‌ల మొత్తానికి సమానంగా ఉంటుంది.

అందువల్ల, సంక్లిష్ట సంఖ్యలు త్రికోణమితి రూపంలో వ్రాయబడినప్పుడు, మనకు ఉంటుంది

సంక్లిష్ట సంఖ్యలను త్రికోణమితి రూపంలో ఇవ్వనప్పుడు కేసు కోసం ఉత్పత్తిని కంపోజ్ చేసే నియమాన్ని ఇప్పుడు పొందుదాం:

మాడ్యూల్స్ మరియు కారకాల వాదనల కోసం పై సంజ్ఞామానాన్ని ఉపయోగించి, మనం వ్రాయవచ్చు

గుణకారం యొక్క నిర్వచనం ప్రకారం (6):

మరియు చివరకు మేము పొందుతాము

కారకాలు వాస్తవ సంఖ్యలు మరియు ఉత్పత్తి ఈ సంఖ్యల ఉత్పత్తి aagకి తగ్గించబడిన సందర్భంలో. సమానత్వం విషయంలో (7) ఇస్తుంది

అంటే ఊహాత్మక యూనిట్ యొక్క స్క్వేర్ సమానంగా ఉంటుంది

సానుకూల పూర్ణాంక శక్తులను వరుసగా గణించడం, మేము పొందుతాము

మరియు సాధారణంగా, ఏదైనా మొత్తం పాజిటివ్‌తో

సమానత్వం (7) ద్వారా వ్యక్తీకరించబడిన గుణకార నియమాన్ని ఈ క్రింది విధంగా రూపొందించవచ్చు: సంక్లిష్ట సంఖ్యలను అక్షర బహుపదిల వలె గుణించాలి, లెక్కింపు

a సమ్మేళన సంఖ్య అయితే, సంక్లిష్ట సంఖ్యను aతో సంయోగం చేసి, aతో సూచిస్తారు. సూత్రాల ప్రకారం (3) మనకు సమానత్వం (7) నుండి ఇది క్రింది విధంగా ఉంటుంది

మరియు తత్ఫలితంగా,

అంటే, సంయోజిత సంక్లిష్ట సంఖ్యల ఉత్పత్తి వాటిలో ప్రతి మాడ్యులస్ వర్గానికి సమానం.

మేము స్పష్టమైన సూత్రాలను కూడా గమనించండి

(4) మరియు (7) సూత్రాల నుండి, సంక్లిష్ట సంఖ్యల కూడిక మరియు గుణకారం కమ్యుటేటివ్ చట్టానికి లోబడి ఉంటుందని వెంటనే అనుసరిస్తుంది, అనగా, మొత్తం నిబంధనల క్రమంపై ఆధారపడి ఉండదు మరియు ఉత్పత్తి యొక్క క్రమం మీద ఆధారపడి ఉండదు. కారకాలు. కింది గుర్తింపుల ద్వారా వ్యక్తీకరించబడిన కలయిక మరియు పంపిణీ చట్టాల చెల్లుబాటును ధృవీకరించడం కష్టం కాదు:

దీన్ని పాఠకులకు వదిలివేస్తాము.

చివరగా, అనేక కారకాల యొక్క ఉత్పత్తి కారకాల యొక్క మాడ్యులీ యొక్క ఉత్పత్తికి సమానమైన మాడ్యులస్ మరియు కారకాల యొక్క ఆర్గ్యుమెంట్ల మొత్తానికి సమానమైన వాదనను కలిగి ఉంటుందని గమనించండి. అందువల్ల, సంక్లిష్ట సంఖ్యల ఉత్పత్తి సున్నాకి సమానంగా ఉంటుంది మరియు కనీసం ఒక కారకం సున్నాకి సమానం అయితే మాత్రమే.

రెండు సమ్మేళన సంఖ్యల ఉత్పత్తి రెండు వాస్తవ సంఖ్యల ఉత్పత్తికి సమానంగా ఉంటుంది, అవి: ఒక కారకం యూనిట్‌తో రూపొందించబడినట్లే, ఉత్పత్తిని గుణకారంతో రూపొందించబడిన సంఖ్యగా పరిగణిస్తారు. మాడ్యులస్ r మరియు ఆర్గ్యుమెంట్ jతో కూడిన కాంప్లెక్స్ నంబర్‌కు సంబంధించిన వెక్టార్‌ను యూనిట్ వెక్టార్ నుండి పొందవచ్చు, దీని పొడవు ఒకదానికి సమానంగా ఉంటుంది మరియు దీని దిశ OX అక్షం యొక్క సానుకూల దిశతో సమానంగా ఉంటుంది, దానిని r రెట్లు పొడిగించి, దాన్ని తిప్పడం ద్వారా పొందవచ్చు. ఒక కోణం j ద్వారా సానుకూల దిశ. వెక్టర్ a 2 ద్వారా ఒక నిర్దిష్ట వెక్టర్ a 1 యొక్క ఉత్పత్తి వెక్టర్ a 1కి పొడవు మరియు భ్రమణాన్ని వర్తింపజేస్తే, వెక్టర్ a 2 యూనిట్ వెక్టార్ నుండి పొందబడుతుంది మరియు తరువాతిది స్పష్టంగా నిజమైన యూనిట్‌కు అనుగుణంగా ఉంటుంది. (r 1 , ? 1), (r 2 , ? 2) 1 మరియు a 2 వెక్టర్‌లకు సంబంధించిన సంక్లిష్ట సంఖ్యల మాడ్యూల్స్ మరియు ఆర్గ్యుమెంట్‌లు అయితే, ఈ వెక్టర్స్ యొక్క ఉత్పత్తి స్పష్టంగా మాడ్యూల్‌తో సంక్లిష్ట సంఖ్యకు అనుగుణంగా ఉంటుంది. r 1 r 2 మరియు వాదన (j 1 + j 2). ఈ విధంగా, రెండు సంక్లిష్ట సంఖ్యల లబ్ధం సంక్లిష్ట సంఖ్య, దీని మాడ్యులస్ కారకాల యొక్క మాడ్యులి యొక్క ఉత్పత్తికి సమానంగా ఉంటుంది మరియు దీని వాదన కారకాల యొక్క ఆర్గ్యుమెంట్‌ల మొత్తానికి సమానంగా ఉంటుంది.

సంక్లిష్ట సంఖ్యలు త్రికోణమితి రూపంలో వ్రాయబడిన సందర్భంలో, మనకు ఉంటుంది

r 1 (cos? 1 + i sin? 1) * r 2 (cos? 2 + i sin? 2) = r 1 r 2.

సందర్భంలో (a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = x + yi, మాడ్యూల్స్ యొక్క సంజ్ఞామానం మరియు కారకాల వాదనలను ఉపయోగించి, మనం వ్రాయవచ్చు:

a 1 = r 1 cos? 1 ; b 1 = r 1 పాపం? 1 ; a 2 = r 2 cos? 2 ; b 2 = r 2 పాపం? 2 ;

గుణకారం యొక్క నిర్వచనం ప్రకారం:

x = r 1 r 2 cos(? 1 + ? 2); y = r 1 r 2 sin(? 1 + ? 2),

x = r 1 r 2 (cos? 1 cos? 2 - sin? 1 sin? 2) = = r 1 cos? 1 ఆర్ 2 కాస్? 2 - r 1 పాపం? 1 ఆర్ 2 పాపమా? 2 = a 1 a 2 - b 1 b 2

y = r 1 r 2 (పాపం? 1 cos? 2 + cos? 1 sin? 2) = = r 1 పాపం? 1 ఆర్ 2 కాస్? 2 + r 1 కాస్? 1 ఆర్ 2 పాపమా? 2 = b 1 a 2 + a 1 b 2,

మరియు చివరకు మేము పొందుతాము:

(a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (b 1 a 2 + a 1 b 2)i.

b 1 = b 2 = 0 సందర్భంలో, కారకాలు వాస్తవ సంఖ్యలు a 1 మరియు a 2 మరియు ఉత్పత్తి ఈ సంఖ్యల యొక్క 1 a 2 ఉత్పత్తికి తగ్గించబడుతుంది. ఎప్పుడు

a 1 = a 2 = 0 మరియు b 1 = b 2 = 1,

సమానత్వం (a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (b 1 a 2 + a 1 b 2)నేను ఇస్తున్నాను: i???i = i 2 = -1, అనగా. ఊహాత్మక యూనిట్ యొక్క వర్గము -1. సానుకూల పూర్ణాంకాల శక్తులను వరుసగా గణించడం ద్వారా, మేము పొందుతాము:

i 2 = -1; i 3 = -i; i 4 = 1; i 5 = i; i 6 = -1; ...

మరియు, సాధారణంగా, ఏదైనా సానుకూల k కోసం:

i 4k = 1; i 4k+1 = i; i 4k+2 = -1; i 4k+3 = -i

సమానత్వం ద్వారా వ్యక్తీకరించబడిన గుణకార నియమం (a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (b 1 a 2 + a 1 b 2) నేను కావచ్చు ఈ క్రింది విధంగా రూపొందించబడింది: సంక్లిష్ట సంఖ్యలను అక్షర బహుపదాల వలె గుణించాలి, i 2 = -1 లెక్కింపు.

పై సూత్రాల నుండి, సంక్లిష్ట సంఖ్యల సంకలనం మరియు గుణకారం కమ్యుటేటివ్ చట్టానికి లోబడి ఉంటుందని వెంటనే అనుసరిస్తుంది, అనగా. మొత్తం నిబంధనల క్రమం మీద ఆధారపడి ఉండదు మరియు ఉత్పత్తి కారకాల క్రమం మీద ఆధారపడి ఉండదు. కింది గుర్తింపుల ద్వారా వ్యక్తీకరించబడిన కలయిక మరియు పంపిణీ చట్టాల చెల్లుబాటును ధృవీకరించడం కష్టం కాదు:

(? 1 + ? 2) + ? 3 = ? 1 + (? 2 + ? 3); (? 1 ? 2)? 3 = ? 1 (? 2 ? 3); (? 1 + ? 2)? = ? 1 ? + ? 2 ? .

అనేక కారకాల యొక్క ఉత్పత్తి కారకాల యొక్క మాడ్యులి యొక్క ఉత్పత్తికి సమానమైన మాడ్యులస్ మరియు కారకాల యొక్క ఆర్గ్యుమెంట్ల మొత్తానికి సమానమైన ఆర్గ్యుమెంట్ కలిగి ఉంటుంది. అందువల్ల, సంక్లిష్ట సంఖ్యల ఉత్పత్తి సున్నాకి సమానంగా ఉంటుంది మరియు కనీసం ఒక కారకం సున్నాకి సమానం అయితే మాత్రమే.

ఉదాహరణ: సంక్లిష్ట సంఖ్యలు z 1 = 2 + 3i, z 2 = 5 - 7i ఇవ్వబడ్డాయి. కనుగొనండి:

a) z 1 + z 2; బి) z 1 - z 2; సి) z 1 z 2 .

a) z 1 + z 2 = (2 + 3i) + (5 - 7i) = 2 + 3i + 5 - 7i = (2 + 5) + (3i - 7i) = 7 - 4i; బి) z 1 - z 2 = (2 + 3i) - (5 - 7i) = 2 + 3i - 5 + 7i = (2 - 5) + (3i + 7i) = - 3 + 10i; c) z 1 z 2 = (2 + 3i)(5 - 7i) = 10 - 17i + 15i - 21i 2 = 10 - 14i + 15i + 21 = (10 + 21) + (- 14i + 15i) = 31 + i (ఇక్కడ i 2 = - 1 అని పరిగణనలోకి తీసుకోబడింది).

ఉదాహరణ: ఈ దశలను అనుసరించండి:

a) (2 + 3i) 2 ; బి) (3 - 5i) 2 ; సి) (5 + 3i) 3 .

a) (2 + 3i) 2 = 4 + 2Х2Ч3i + 9i 2 = 4 + 12i - 9 = - 5 + 12i; బి) (3 - 5i) 2 = 9 - 2Х3Ч5i + 25i 2 = 9 - 30i - 25 = - 16 - 30i; సి) (5 + 3i) 3 = 125 + 3Х25Ч3i + 3Ч5Ч9i 2 + 27i 3 ; i 2 = - 1, మరియు i 3 = - i, మేము పొందుతాము (5 + 3i) 3 = 125 + 225i - 135 - - 27i = - 10 + 198i.

ఉదాహరణ: చర్యలు చేయండి

a) (5 + 3i)(5 - 3i); బి) (2 + 5i)(2 - 5i); c) (1 + i)(1 - i).

a) (5 + 3i)(5 - 3i) = 5 2 - (3i) 2 = 25 - 9i 2 = 25 + 9 = 34; బి) (2 + 5i)(2 - 5i) = 2 2 - (5i) 2 = 4 + 25 = 29; c) (1 + i)(1 - i) = 1 2 - i 2 = 1 + 1 = 2.