Tangent ya pembe ya papo hapo ya pembetatu ya kulia inaitwa. Ufafanuzi wa sine, kosine, tangent na cotangent

Trigonometry, kama sayansi, ilitoka Mashariki ya Kale. Kwanza uwiano wa trigonometric zilitolewa na wanaastronomia kuunda kalenda sahihi na urambazaji kwa nyota. Mahesabu haya yanahusiana na trigonometry ya spherical, akiwa ndani kozi ya shule soma uwiano wa pande na pembe za pembetatu ya ndege.

Trigonometry ni tawi la hisabati linalojishughulisha na sifa za kazi za trigonometric na uhusiano kati ya pande na pembe za pembetatu.

Wakati wa siku kuu ya utamaduni na sayansi katika milenia ya 1 AD, ujuzi ulienea kutoka Mashariki ya Kale hadi Ugiriki. Lakini uvumbuzi kuu wa trigonometry ni sifa ya waume Ukhalifa wa Kiarabu. Hasa, mwanasayansi wa Turkmen al-Marazwi alianzisha kazi kama vile tangent na cotangent, na akakusanya majedwali ya kwanza ya maadili ya sines, tangents na cotangents. Dhana za sine na cosine zilianzishwa na wanasayansi wa Kihindi. Trigonometry ilipokea umakini mwingi katika kazi za takwimu kubwa za zamani kama Euclid, Archimedes na Eratosthenes.

Kiasi cha msingi cha trigonometry

Kazi za msingi za trigonometric hoja ya nambari- hizi ni sine, kosine, tangent na cotangent. Kila mmoja wao ana grafu yake mwenyewe: sine, cosine, tangent na cotangent.

Njia za kuhesabu maadili ya idadi hii ni msingi wa nadharia ya Pythagorean. Inajulikana zaidi kwa watoto wa shule katika uundaji: "Suruali ya Pythagorean, sawa katika pande zote," kwa kuwa uthibitisho hutolewa kwa kutumia mfano wa pembetatu ya kulia ya isosceles.

Sine, cosine na mahusiano mengine huanzisha uhusiano kati ya pembe za papo hapo na pande za pembetatu yoyote ya kulia. Wacha tuwasilishe fomula za kukokotoa idadi hizi kwa pembe A na tufuatilie uhusiano kati ya vitendaji vya trigonometric:

Kama unaweza kuona, tg na ctg ni utendaji kinyume. Ikiwa tutafikiria mguu a kama bidhaa ya dhambi A na hypotenuse c, na mguu b ndani fomu ya cos A * c, basi tunapata fomula zifuatazo kwa tangent na cotangent:

Mduara wa Trigonometric

Kielelezo, uhusiano kati ya idadi iliyotajwa inaweza kuwakilishwa kama ifuatavyo:

Mzunguko, ndani kwa kesi hii, inawakilisha kila kitu maadili iwezekanavyo angle α - kutoka 0 ° hadi 360 °. Kama inavyoonekana kutoka kwa takwimu, kila kazi inachukua hasi au thamani chanya kulingana na ukubwa wa pembe. Kwa mfano, dhambi α itakuwa na ishara "+" ikiwa α ni ya robo ya 1 na 2 ya mduara, yaani, iko katika safu kutoka 0 ° hadi 180 °. Kwa α kutoka 180 ° hadi 360 ° (robo III na IV), dhambi α inaweza tu kuwa thamani hasi.

Hebu jaribu kujenga meza za trigonometric kwa pembe maalum na kujua thamani ya wingi.

Maadili ya α sawa na 30 °, 45 °, 60 °, 90 °, 180 ° na kadhalika huitwa kesi maalum. Maadili ya kazi za trigonometric kwao huhesabiwa na kuwasilishwa kwa namna ya meza maalum.

Pembe hizi hazikuchaguliwa kwa nasibu. Jina π katika majedwali ni la radiani. Rad ni pembe ambayo urefu wa arc ya duara inalingana na radius yake. Thamani hii ilianzishwa ili kuanzisha utegemezi wa ulimwengu wote;

Pembe katika jedwali za vitendaji vya trigonometriki zinalingana na maadili ya radian:

Kwa hivyo, si vigumu kukisia kuwa 2π ni mduara kamili au 360°.

Sifa za kazi za trigonometric: sine na cosine

Ili kuzingatia na kulinganisha mali ya msingi ya sine na cosine, tangent na cotangent, ni muhimu kuteka kazi zao. Hii inaweza kufanywa kwa namna ya curve iko mfumo wa pande mbili kuratibu

Fikiria meza ya kulinganisha mali ya sine na cosine:

Wimbi la sine	Cosine
y = dhambi	y = cos x
ODZ [-1; 1]	ODZ [-1; 1]
dhambi x = 0, kwa x = πk, ambapo k ϵ Z	cos x = 0, kwa x = π/2 + πk, ambapo k ϵ Z
dhambi x = 1, kwa x = π/2 + 2πk, ambapo k ϵ Z	cos x = 1, saa x = 2πk, ambapo k ϵ Z
dhambi x = - 1, saa x = 3π/2 + 2πk, ambapo k ϵ Z	cos x = - 1, kwa x = π + 2πk, ambapo k ϵ Z
dhambi (-x) = - dhambi x, yaani kazi ni isiyo ya kawaida	cos (-x) = cos x, yaani kazi ni sawa
	kazi ni ya mara kwa mara, kipindi kifupi zaidi- 2p
sin x › 0, na x inayomilikiwa na robo ya 1 na 2 au kutoka 0° hadi 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, pamoja na x inayomilikiwa na sehemu ya I na IV au kutoka 270° hadi 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, pamoja na x mali ya robo ya tatu na ya nne au kutoka 180° hadi 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, na x inayomilikiwa na robo ya 2 na 3 au kutoka 90° hadi 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
kuongezeka kwa muda [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	huongezeka kwa muda [-π + 2πk, 2πk]
hupungua kwa vipindi [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	hupungua kwa vipindi
derivative (dhambi x)’ = cos x	derivative (cos x)’ = - dhambi x

Kuamua kama kipengele cha kukokotoa ni sawa au la ni rahisi sana. Inatosha kufikiria mduara wa trigonometric na ishara za idadi ya trigonometric na kiakili "kunja" grafu inayohusiana na mhimili wa OX. Ikiwa ishara zinapatana, kazi ni sawa, ndani vinginevyo- isiyo ya kawaida.

Utangulizi wa radiani na uorodheshaji wa sifa za kimsingi za mawimbi ya sine na cosine huturuhusu kuwasilisha muundo ufuatao:

Ni rahisi sana kuthibitisha kuwa fomula ni sahihi. Kwa mfano, kwa x = π/2, sine ni 1, kama ilivyo kosine ya x = 0. Ukaguzi unaweza kufanywa kwa majedwali ya kushauriana au kwa kufuatilia mikondo ya utendaji kwa thamani fulani.

Mali ya tangentsoids na cotangentsoids

Grafu za kazi za tanjiti na kotanjenti hutofautiana kwa kiasi kikubwa kutoka kwa vitendaji vya sine na kosine. Thamani za tg na ctg ni maelewano ya kila mmoja.

Y = jua x.
Tanjiti huelekea kwa thamani za y kwa x = π/2 + πk, lakini haizifikii kamwe.
Angalau kipindi chanya tangenti ni sawa na π.
Tg (- x) = - tg x, yaani kazi ni isiyo ya kawaida.
Tg x = 0, kwa x = πk.
Utendaji unaongezeka.
Tg x › 0, kwa x ϵ (πk, π/2 + πk).
Tg x ‹ 0, kwa x ϵ (— π/2 + πk, πk).
Nyingi (tg x)’ = 1/cos 2 ⁡x.

Hebu tuzingatie picha ya mchoro cotangentoids hapa chini kwenye maandishi.

Tabia kuu za cotangentoids:

Y = kitanda x.
Tofauti na kazi za sine na cosine, katika tangentoid Y inaweza kuchukua maadili ya seti ya nambari zote halisi.
Cotangentoid ina mwelekeo wa thamani za y kwa x = πk, lakini haifikii kamwe.
Kipindi kidogo chanya cha cotangentoid ni π.
Ctg (- x) = - ctg x, yaani kazi ni isiyo ya kawaida.
Ctg x = 0, kwa x = π/2 + πk.
Kitendaji kinapungua.
Ctg x › 0, kwa x ϵ (πk, π/2 + πk).
Ctg x ‹ 0, kwa x ϵ (π/2 + πk, πk).
Nyingi (ctg x)’ = - 1/sin 2 ⁡x Sahihi

Mhadhara: Sine, kosine, tangent, cotangent ya pembe ya kiholela

Sine, cosine ya pembe ya kiholela

Ili kuelewa kazi za trigonometric ni nini, hebu tuangalie mduara na radius ya kitengo. Mduara huu una kituo kwenye asili kuratibu ndege. Kwa kuamua kazi zilizobainishwa tutatumia vekta ya radius AU, ambayo huanza katikati ya duara, na uhakika R ni hatua kwenye mduara. Vekta ya radius huunda alfa ya pembe yenye mhimili OH. Kwa kuwa mduara una radius, sawa na moja, Hiyo AU = R = 1.

Ikiwa kutoka kwa uhakika R punguza perpendicular kwa mhimili OH, basi tunapata pembetatu sahihi na hypotenuse sawa na moja.

Ikiwa vekta ya radius inasonga kwa saa, basi mwelekeo huu kuitwa hasi, ikiwa inasonga kinyume cha saa - chanya.

Sine ya pembe AU, ni mratibu wa uhakika R vekta kwenye mduara.

Hiyo ni, kupata thamani ya sine pembe iliyopewa alpha ni muhimu kuamua kuratibu U juu ya uso.

Vipi thamani iliyopewa ilipokelewa? Kwa kuwa tunajua kuwa sine ya pembe ya kiholela katika pembetatu ya kulia ni uwiano mguu wa kinyume kwa hypotenuse, tunapata hiyo

Na tangu R=1, Hiyo dhambi(α) = y 0 .

KATIKA mduara wa kitengo thamani ya kuratibu haiwezi kuwa chini ya -1 na kubwa kuliko 1, ambayo ina maana

Sine inachukua thamani chanya katika robo ya kwanza na ya pili ya duara ya kitengo, na hasi katika tatu na nne.

Cosine ya pembe mduara uliotolewa unaoundwa na vekta ya radius AU, ni abscissa ya uhakika R vekta kwenye mduara.

Hiyo ni, ili kupata thamani ya cosine ya alpha ya angle iliyotolewa, ni muhimu kuamua kuratibu X juu ya uso.

Cosine ya pembe ya kiholela katika pembetatu ya kulia ni uwiano mguu wa karibu kwa hypotenuse, tunapata hiyo

Na tangu R=1, Hiyo cos(α) = x 0 .

Katika mduara wa kitengo, thamani ya abscissa haiwezi kuwa chini ya -1 na kubwa kuliko 1, ambayo ina maana

Cosine inachukua thamani chanya katika robo ya kwanza na ya nne ya mzunguko wa kitengo, na hasi katika pili na ya tatu.

Tangentipembe ya kiholela Uwiano wa sine na kosine huhesabiwa.

Ikiwa tunazingatia pembetatu ya kulia, basi hii ni uwiano wa upande wa kinyume na upande wa karibu. Kama tunazungumzia kuhusu mduara wa kitengo, basi hii ni uwiano wa kuratibu kwa abscissa.

Kwa kuzingatia mahusiano haya, inaweza kueleweka kuwa tangent haiwezi kuwepo ikiwa thamani ya abscissa ni sifuri, yaani, kwa pembe ya digrii 90. Tangenti inaweza kuchukua maadili mengine yote.

Tangent ni chanya katika robo ya kwanza na ya tatu ya mzunguko wa kitengo, na hasi katika pili na ya nne.

Mtihani wa Jimbo la Umoja wa 4? Je, si wewe kupasuka kwa furaha?

Swali, kama wanasema, ni la kuvutia ... Inawezekana, inawezekana kupita na 4! Na wakati huo huo si kupasuka ... Hali kuu ni kufanya mazoezi mara kwa mara. Hapa kuna maandalizi ya kimsingi ya Mtihani wa Jimbo la Umoja katika hisabati. Kwa siri zote na siri za Mtihani wa Jimbo la Umoja, ambalo hutasoma juu ya vitabu vya kiada ... Jifunze sehemu hii, amua kazi zaidi kutoka vyanzo mbalimbali- na kila kitu kitafanya kazi! Inachukuliwa kuwa sehemu ya msingi "A C inatosha kwako!" haikusababishii matatizo yoyote. Lakini ikiwa ghafla ... Fuata viungo, usiwe wavivu!

Na tutaanza na mada kubwa na ya kutisha.

Trigonometry

Makini!
Kuna ziada
nyenzo katika Sehemu Maalum ya 555.
Kwa wale ambao "sio sana ..."
Na kwa wale ambao "sana ...")

Mada hii husababisha matatizo mengi kwa wanafunzi. Inachukuliwa kuwa moja ya kali zaidi. Sini na cosine ni nini? Tangent na cotangent ni nini? Nini kilitokea mduara wa nambari? Mara tu unapouliza maswali haya yasiyo na madhara, mtu hugeuka rangi na anajaribu kugeuza mazungumzo ... Lakini bure. Hii dhana rahisi. Na mada hii sio ngumu zaidi kuliko wengine. Unahitaji tu kuelewa wazi majibu ya maswali haya tangu mwanzo. Ni muhimu sana. Ikiwa unaelewa, utapenda trigonometry. Kwa hiyo,

Sini na cosine ni nini? Tangent na cotangent ni nini?

Wacha tuanze na nyakati za zamani. Usijali, tutapitia karne zote za 20 za trigonometry kwa muda wa dakika 15 Na, bila kutambua, tutarudia kipande cha jiometri kutoka daraja la 8.

Wacha tuchore pembetatu ya kulia na pande a, b, c na pembe X. Hii hapa.

Acha nikukumbushe kwamba pande zinazounda pembe ya kulia huitwa miguu. a na c- miguu. Kuna wawili kati yao. Upande uliobaki unaitwa hypotenuse. Na- hypotenuse.

Pembetatu na pembetatu, fikiria tu! Nini cha kufanya naye? Lakini watu wa zamani walijua nini cha kufanya! Turudie matendo yao. Hebu tupime upande V. Katika takwimu, seli hutolewa maalum, kama ilivyo Kazi za Mtihani wa Jimbo Moja Inatokea. Upande V sawa na seli nne. SAWA. Hebu tupime upande A. Seli tatu.

Sasa hebu tugawanye urefu wa upande A kwa urefu wa upande V. Au, kama wanasema, wacha tuchukue mtazamo A Kwa V. a/v= 3/4.

Kinyume chake, unaweza kugawanya V juu A. Tunapata 4/3. Je! V kugawanya kwa Na. Hypotenuse Na Haiwezekani kuhesabu kwa seli, lakini ni sawa na 5. Tunapata ubora wa juu= 4/5. Kwa kifupi, unaweza kugawanya urefu wa pande kwa kila mmoja na kupata nambari kadhaa.

Kwa hiyo? Kuna umuhimu gani katika hili shughuli ya kuvutia? Bado hakuna. Zoezi lisilo na maana, kuiweka wazi.)

Sasa tufanye hivi. Hebu tupanue pembetatu. Hebu kupanua pande ndani na, lakini ili pembetatu ibaki mstatili. Kona X, bila shaka, haibadilika. Ili kuona hili, weka kipanya chako juu ya picha, au iguse (ikiwa una kompyuta kibao). Vyama a, b na c itageuka kuwa m, n, k, na, bila shaka, urefu wa pande utabadilika.

Lakini uhusiano wao sio!

Mtazamo a/v ilikuwa: a/v= 3/4, ikawa m/n= 6/8 = 3/4. Mahusiano ya vyama vingine husika pia ni haitabadilika . Unaweza kubadilisha urefu wa pande katika pembetatu ya kulia kama unavyopenda, kuongeza, kupungua, bila kubadilisha pembe x – uhusiano kati ya pande husika hautabadilika . Unaweza kuiangalia, au unaweza kuchukua neno la watu wa zamani kwa hilo.

Lakini hii tayari ni muhimu sana! Uwiano wa pande katika pembetatu ya kulia hautegemei kwa njia yoyote juu ya urefu wa pande (kwa pembe sawa). Hii ni muhimu sana kwamba uhusiano kati ya wahusika umepata jina lake maalum. Majina yako, kwa kusema.) Tukutane.

Nini sine ya pembe x ? Hii ndio uwiano wa upande tofauti na hypotenuse:

sinx = a/c

Ni nini cosine ya pembe x ? Hii ndio uwiano wa mguu wa karibu na hypotenuse:

Naosx= ubora wa juu

Tangent x ni nini ? Huu ndio uwiano wa upande mwingine na wa karibu:

tgx =a/v

Ni nini cotangent ya pembe x ? Huu ndio uwiano wa upande wa karibu na kinyume:

ctgx = v/a

Kila kitu ni rahisi sana. Sine, kosine, tangent na cotangent ni baadhi ya nambari. Isiyo na kipimo. Nambari tu. Kila pembe ina yake mwenyewe.

Kwa nini ninarudia kila kitu kwa uchoshi? Halafu hii ni nini haja ya kukumbuka. Ni muhimu kukumbuka. Kukariri kunaweza kurahisishwa. Je, maneno "Wacha tuanze kutoka mbali ..." yanajulikana? Kwa hivyo anza kutoka mbali.

Sinus pembe ni uwiano mbali kutoka pembe ya mguu hadi hypotenuse. Cosine- uwiano wa jirani na hypotenuse.

Tangenti pembe ni uwiano mbali kutoka pembe ya mguu hadi karibu. Cotangent- kinyume chake.

Ni rahisi zaidi, sawa?

Kweli, ikiwa unakumbuka kuwa katika tangent na cotangent kuna miguu tu, na katika sine na cosine hypotenuse inaonekana, basi kila kitu kitakuwa rahisi sana.

Familia hii tukufu - sine, cosine, tangent na cotangent pia inaitwa kazi za trigonometric.

Sasa swali la kuzingatia.

Kwa nini tunasema sine, cosine, tangent na cotangent kona? Tunazungumza juu ya uhusiano kati ya wahusika, kama ... Ina uhusiano gani nayo? kona?

Hebu tuangalie picha ya pili. Sawa kabisa na ile ya kwanza.

Weka kipanya chako juu ya picha. Nilibadilisha angle X. Imeongezeka kutoka x hadi x. Mahusiano yote yamebadilika! Mtazamo a/v ilikuwa 3/4, na uwiano unaolingana t/v ikawa 6/4.

Na mahusiano mengine yote yakawa tofauti!

Kwa hiyo, uwiano wa pande hautegemei kwa njia yoyote juu ya urefu wao (kwa pembe moja x), lakini hutegemea kwa kasi kwenye pembe hii! Na tu kutoka kwake. Kwa hiyo, maneno sine, kosine, tangent na cotangent hurejelea kona. Pembe hapa ndio kuu.

Ni lazima ieleweke wazi kwamba pembe imeunganishwa bila usawa na kazi zake za trigonometric. Kila pembe ina sine na cosine yake. Na karibu kila mtu ana tangent yao wenyewe na cotangent. Ni muhimu. Inaaminika kwamba ikiwa tunapewa angle, basi sine yake, cosine, tangent na cotangent tunajua ! Na kinyume chake. Kwa kuzingatia sine, au utendaji mwingine wowote wa trigonometric, inamaanisha tunajua pembe.

Kuna meza maalum ambapo kwa kila pembe kazi zake za trigonometric zinaelezwa. Wanaitwa meza za Bradis. Zilikusanywa muda mrefu sana uliopita. Wakati hapakuwa na vikokotoo au kompyuta bado...

Bila shaka, haiwezekani kukumbuka kazi za trigonometric za pembe zote. Unatakiwa kuzijua kwa pembe chache tu, zaidi kuhusu hili baadaye. Lakini uchawi Ninajua pembe, ambayo inamaanisha najua kazi zake za trigonometric" - daima hufanya kazi!

Kwa hivyo tulirudia kipande cha jiometri kutoka daraja la 8. Je, tunaihitaji kwa ajili ya Mtihani wa Jimbo la Umoja? Muhimu. Hapa kuna shida ya kawaida kutoka kwa Mtihani wa Jimbo la Umoja. Ili kutatua tatizo hili, daraja la 8 linatosha. Picha iliyotolewa:

Wote. Hakuna data zaidi. Tunahitaji kupata urefu wa upande wa ndege.

Seli hazisaidii sana, pembetatu kwa namna fulani imewekwa vibaya .... Kwa makusudi, nadhani ... Kutoka kwa habari kuna urefu wa hypotenuse. 8 seli. Kwa sababu fulani, pembe ilitolewa.

Hapa ndipo unahitaji kukumbuka mara moja kuhusu trigonometry. Kuna pembe, ambayo inamaanisha tunajua kazi zake zote za trigonometric. Je, ni kazi gani kati ya hizo nne tunapaswa kutumia? Hebu tuone, tunajua nini? Tunajua hypotenuse na angle, lakini tunahitaji kupata karibu catheter kwenye kona hii! Ni wazi, cosine inahitaji kuwekwa katika vitendo! Twende sasa. Tunaandika tu, kwa ufafanuzi wa cosine (uwiano karibu mguu hadi hypotenuse):

cosC = BC/8

Pembe yetu C ni digrii 60, cosine yake ni 1/2. Unahitaji kujua hili, bila meza yoyote! Hiyo ni:

1/2 = KK/8

Msingi mlinganyo wa mstari. Haijulikani - Jua. Wale ambao wamesahau jinsi ya kutatua equations, angalia kiunga, kilichobaki suluhisha:

KK = 4

Wakati watu wa zamani waligundua kuwa kila pembe ina seti yake ya kazi za trigonometric, walikuwa na swali la busara. Je, sine, kosine, tangent na cotangent zinahusiana kwa namna fulani? Ili kujua kazi ya pembe moja, unaweza kupata zingine? Bila kuhesabu angle yenyewe?

Hawakuwa na utulivu ...)

Uhusiano kati ya kazi za trigonometric za pembe moja.

Bila shaka, sine, cosine, tangent na cotangent ya pembe sawa ni kuhusiana na kila mmoja. Uunganisho wowote kati ya misemo hutolewa katika hisabati na fomula. Katika trigonometry kuna idadi kubwa ya fomula. Lakini hapa tutaangalia zile za msingi zaidi. Fomula hizi zinaitwa: vitambulisho vya msingi vya trigonometric. Hizi hapa:

Unahitaji kujua fomula hizi kikamilifu. Bila wao, kwa ujumla hakuna kitu cha kufanya katika trigonometry. Vitambulisho vingine vitatu vya usaidizi vinafuata kutoka kwa vitambulisho hivi vya msingi:

Ninakuonya mara moja kwamba fomula tatu za mwisho huanguka haraka kutoka kwa kumbukumbu yako. Kwa sababu fulani.) Unaweza, bila shaka, kupata fomula hizi kutoka tatu za kwanza. Lakini, katika Wakati mgumu... Unaelewa.)

KATIKA kazi za kawaida, kama zile zilizo hapa chini, kuna njia ya kufanya bila fomula hizi zinazosahaulika. NA kupunguza makosa kwa kiasi kikubwa kwa sababu ya kusahau, na katika mahesabu pia. Zoezi hili liko katika Sehemu ya 555, somo "Uhusiano kati ya kazi za trigonometric za pembe sawa."

Katika kazi gani na jinsi vitambulisho vya msingi vya trigonometric vinatumiwa? Kazi maarufu zaidi ni kupata kazi ya pembe ikiwa nyingine imepewa. Katika Mtihani wa Jimbo la Umoja, kazi kama hiyo inapatikana mwaka hadi mwaka.) Kwa mfano:

Tafuta thamani ya sinx, ikiwa x ni pembe ya papo hapo na cosx=0.8.

Jukumu ni karibu la msingi. Tunatafuta fomula iliyo na sine na cosine. Hapa kuna formula:

dhambi 2 x + cos 2 x = 1

Badala hapa kiasi kinachojulikana, yaani, 0.8 badala ya cosine:

dhambi 2 x + 0.8 2 = 1

Kweli, tunahesabu kama kawaida:

dhambi 2 x + 0.64 = 1

dhambi 2 x = 1 - 0.64

Hiyo ni kivitendo yote. Tumehesabu mraba wa sine, kilichobaki ni kutoa mzizi wa mraba na jibu liko tayari! Mzizi wa 0.36 ni 0.6.

Jukumu ni karibu la msingi. Lakini neno "karibu" lipo kwa sababu ... Ukweli ni kwamba jibu sinx= - 0.6 pia linafaa ... (-0.6) 2 pia itakuwa 0.36.

Kuna majibu mawili tofauti. Na unahitaji moja. Ya pili si sahihi. Jinsi ya kuwa!? Ndiyo, kama kawaida.) Soma mgawo kwa makini. Kwa sababu fulani inasema: ... ikiwa x ni pembe ya papo hapo ... Na katika kazi, kila neno lina maana, ndiyo ... Maneno haya ni maelezo ya ziada kwa ajili ya ufumbuzi.

Pembe ya papo hapo ni chini ya 90 °. Na kwenye pembe kama hizo Wote kazi za trigonometric - sine, cosine, na tangent na cotangent - chanya. Wale. Tunatupa jibu hasi hapa. Tuna haki.

Kwa kweli, wanafunzi wa darasa la nane hawahitaji ujanja kama huo. Wanafanya kazi tu na pembetatu za kulia, ambapo pembe zinaweza tu kuwa papo hapo. Na hawajui, wenye furaha, kwamba kuna pembe zote hasi na pembe za 1000 ° ... Na pembe hizi zote za kutisha zina kazi zao za trigonometric, pamoja na minus ...

Lakini kwa wanafunzi wa shule ya upili, bila kuzingatia ishara - hakuna njia. Maarifa mengi huzidisha huzuni, ndiyo...) Na kwa uamuzi sahihi Kazi lazima iwe na maelezo ya ziada (ikiwa ni lazima). Kwa mfano, inaweza kutolewa na kiingilio kifuatacho:

Au kwa njia nyingine. Utaona katika mifano hapa chini.) Ili kutatua mifano hiyo unahitaji kujua Je, pembe x iliyotolewa inaangukia katika robo gani na kitendakazi cha trigonometriki kinachohitajika kina ishara gani katika robo hii?

Misingi hii ya trigonometria inajadiliwa katika masomo kuhusu mduara wa trigonometriki ni nini, kipimo cha pembe kwenye mduara huu, kipimo cha radian cha pembe. Wakati mwingine unahitaji kujua meza ya sines, cosines ya tangents na cotangents.

Kwa hivyo, wacha tuangalie jambo muhimu zaidi:

Ushauri wa vitendo:

1. Kumbuka ufafanuzi wa sine, cosine, tangent na cotangent. Itakuwa muhimu sana.

2. Tunaelewa wazi: sine, cosine, tangent na cotangent zimeunganishwa vizuri na pembe. Tunajua kitu kimoja, maana yake tunajua kingine.

3. Tunaelewa wazi: sine, cosine, tangent na cotangent ya pembe moja zinahusiana kwa msingi. vitambulisho vya trigonometric. Tunajua chaguo la kukokotoa moja, ambayo ina maana kwamba tunaweza (ikiwa tunayo maelezo muhimu ya ziada) kuhesabu nyingine zote.

Sasa wacha tuamue, kama kawaida. Kwanza, kazi katika wigo wa daraja la 8. Lakini wanafunzi wa shule ya upili wanaweza kuifanya pia...)

1. Kokotoa thamani ya tgA ikiwa ctgA = 0.4.

2. β ni pembe katika pembetatu ya kulia. Tafuta thamani ya tanβ kama sinβ = 12/13.

3. Tambua sine ya pembe ya papo hapo x ikiwa tgх = 4/3.

4. Tafuta maana ya usemi:

6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°

5. Tafuta maana ya usemi:

(1-cosx)(1+cosx), ikiwa sinx = 0.3

Majibu (yametenganishwa na semicolons, katika hali isiyoeleweka):

0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5

Imetokea? Kubwa! Wanafunzi wa darasa la nane tayari wanaweza kupata A zao.)

Je! kila kitu hakijafanikiwa? Kazi 2 na 3 kwa namna fulani si nzuri sana...? Hakuna shida! Kuna hila moja nzuri kwa kazi zinazofanana. Kila kitu kinaweza kutatuliwa kivitendo bila fomula kabisa! Na, kwa hiyo, bila makosa. Mbinu hii imeelezewa katika somo: "Uhusiano kati ya kazi za trigonometric za pembe moja" katika Sehemu ya 555. Kazi zingine zote pia zinashughulikiwa huko.

Haya yalikuwa matatizo Aina ya Mtihani wa Jimbo Iliyounganishwa, lakini katika toleo lililoondolewa. Mtihani wa Jimbo la Umoja - mwanga). Na sasa karibu kazi sawa, lakini katika muundo kamili. Kwa wanafunzi wa shule ya upili walioelemewa na maarifa.)

6. Tafuta thamani ya tanβ kama sinβ = 12/13, na

7. Tambua sinх ikiwa tgх = 4/3, na x ni ya muda (- 540 °; - 450 °).

8. Tafuta thamani ya usemi sinβ cosβ ikiwa ctgβ = 1.

Majibu (katika hali mbaya):

0,8; 0,5; -2,4.

Hapa katika tatizo la 6 angle haijainishwa kwa uwazi sana ... Lakini katika tatizo la 8 haijainishwa kabisa! Hii ni kwa makusudi). Taarifa za ziada sio tu kuchukuliwa kutoka kwa kazi, lakini pia kutoka kwa kichwa.) Lakini ukiamua, kazi moja sahihi imehakikishiwa!

Nini ikiwa haujaamua? Hmm... Naam, Sehemu ya 555 itasaidia hapa. Huko suluhisho la kazi hizi zote zimeelezewa kwa undani, ni ngumu kutoelewa.

Somo hili linatoa uelewa mdogo sana wa vitendaji vya trigonometric. Ndani ya daraja la 8. Na wazee bado wana maswali...

Kwa mfano, ikiwa pembe X(angalia picha ya pili kwenye ukurasa huu) - fanya ujinga!? Pembetatu itaanguka kabisa! Kwa hiyo tufanye nini? Hakutakuwa na mguu, hakuna hypotenuse ... Sine imetoweka ...

Ikiwa watu wa kale hawakupata njia ya kuondokana na hali hii, hatungekuwa na simu za mkononi, TV, au umeme sasa. Ndiyo ndiyo! Msingi wa kinadharia vitu hivi vyote bila kazi za trigonometric ni sifuri bila fimbo. Lakini watu wa zamani hawakukata tamaa. Jinsi walivyotoka ni katika somo linalofuata.

Ikiwa unapenda tovuti hii ...

Kwa njia, nina tovuti kadhaa za kupendeza kwako.)

Unaweza kufanya mazoezi ya kutatua mifano na kujua kiwango chako. Inajaribu kwa uthibitishaji wa papo hapo. Wacha tujifunze - kwa hamu!)

Unaweza kufahamiana na kazi na derivatives.

Moja ya maeneo ya hisabati ambayo wanafunzi wanahangaika nayo zaidi ni trigonometry. Haishangazi: ili kujua kwa uhuru eneo hili la maarifa, unahitaji mawazo ya anga, uwezo wa kupata sines, cosines, tangents, cotangents kwa kutumia fomula, kurahisisha misemo, na kuweza kutumia nambari pi mahesabu. Kwa kuongeza, unahitaji kuwa na uwezo wa kutumia trigonometry wakati wa kuthibitisha nadharia, na hii inahitaji kumbukumbu ya hisabati iliyoendelezwa au uwezo wa kupata minyororo tata ya mantiki.

Asili ya trigonometry

Kufahamiana na sayansi hii inapaswa kuanza na ufafanuzi wa sine, cosine na tangent ya pembe, lakini kwanza unahitaji kuelewa ni nini trigonometry hufanya kwa ujumla.

Kihistoria, lengo kuu la utafiti katika sehemu hii sayansi ya hisabati zilikuwa pembetatu za kulia. Uwepo wa angle ya digrii 90 hufanya iwezekanavyo kufanya shughuli mbalimbali zinazoruhusu mtu kuamua maadili ya vigezo vyote vya takwimu inayohusika kwa kutumia pande mbili na pembe moja au pembe mbili na upande mmoja. Hapo zamani, watu waliona muundo huu na wakaanza kuutumia kikamilifu katika ujenzi wa majengo, urambazaji, unajimu na hata katika sanaa.

Hatua ya kwanza

Hapo awali, watu walizungumza juu ya uhusiano kati ya pembe na pande kwa kutumia mfano wa pembetatu za kulia. Kisha fomula maalum ziligunduliwa ambazo zilifanya iwezekane kupanua mipaka ya matumizi ndani Maisha ya kila siku tawi hili la hisabati.

Utafiti wa trigonometry shuleni leo huanza na pembetatu za kulia, baada ya hapo wanafunzi hutumia ujuzi uliopatikana katika fizikia na kutatua matatizo ya kufikirika. milinganyo ya trigonometric, kazi ambayo huanza katika shule ya upili.

Trigonometry ya spherical

Baadaye, sayansi ilipofikia kiwango kinachofuata cha maendeleo, fomula zilizo na sine, cosine, tangent, na cotangent zilianza kutumika katika jiometri ya spherical, ambapo sheria tofauti hutumika, na jumla ya pembe katika pembetatu daima ni zaidi ya digrii 180. Sehemu hii haijasomwa shuleni, lakini ni muhimu kujua kuhusu kuwepo kwake angalau kwa sababu uso wa dunia, na uso wa sayari nyingine yoyote ni laini, ambayo inamaanisha kuwa alama yoyote ya uso itakuwa ndani nafasi tatu-dimensional"umbo la arc".

Chukua globu na uzi. Ambatanisha thread kwa pointi yoyote mbili kwenye dunia ili iwe taut. Tafadhali kumbuka - imechukua sura ya arc. Jiometri ya spherical inahusika na aina hizo, ambazo hutumiwa katika geodesy, astronomy na nyanja nyingine za kinadharia na kutumika.

Pembetatu ya kulia

Baada ya kujifunza kidogo juu ya njia za kutumia trigonometry, wacha turudi kwenye trigonometry ya msingi ili kuelewa zaidi sine, cosine, tangent ni nini, ni mahesabu gani yanaweza kufanywa kwa msaada wao na ni njia gani za kutumia.

Hatua ya kwanza ni kuelewa dhana zinazohusiana na pembetatu sahihi. Kwanza, hypotenuse ni upande ulio kinyume na pembe ya digrii 90. Ni ndefu zaidi. Tunakumbuka kwamba kulingana na nadharia ya Pythagorean, yake thamani ya nambari sawa na mzizi wa jumla wa miraba ya pande nyingine mbili.

Kwa mfano, ikiwa pande mbili ni sentimita 3 na 4 kwa mtiririko huo, urefu wa hypotenuse utakuwa sentimita 5. Kwa njia, Wamisri wa kale walijua kuhusu hili kuhusu miaka elfu nne na nusu iliyopita.

Pande mbili zilizobaki, ambazo huunda pembe ya kulia, huitwa miguu. Kwa kuongeza, ni lazima tukumbuke kwamba jumla ya pembe katika pembetatu ni mfumo wa mstatili kuratibu ni digrii 180.

Ufafanuzi

Hatimaye, kwa ufahamu thabiti wa msingi wa kijiometri, mtu anaweza kurejea kwa ufafanuzi wa sine, cosine na tangent ya angle.

Sine ya pembe ni uwiano wa mguu wa kinyume (yaani, upande ulio kinyume na pembe inayotaka) kwa hypotenuse. Cosine ya pembe ni uwiano wa upande wa karibu na hypotenuse.

Kumbuka kwamba sine wala cosine haiwezi kuwa zaidi ya moja! Kwa nini? Kwa sababu hypotenuse ni kwa default mrefu zaidi Haijalishi ni muda gani mguu, itakuwa mfupi kuliko hypotenuse, ambayo ina maana uwiano wao daima utakuwa chini ya moja. Kwa hivyo, ikiwa katika jibu lako kwa tatizo unapata sine au kosine yenye thamani kubwa kuliko 1, tafuta hitilafu katika hesabu au hoja. Jibu hili si sahihi kabisa.

Hatimaye, tangent ya angle ni uwiano wa upande kinyume na upande wa karibu. Kugawanya sine na cosine itatoa matokeo sawa. Angalia: kulingana na formula, tunagawanya urefu wa upande na hypotenuse, kisha ugawanye kwa urefu wa upande wa pili na kuzidisha kwa hypotenuse. Kwa hivyo, tunapata uhusiano sawa na katika ufafanuzi wa tangent.

Cotangent, ipasavyo, ni uwiano wa upande ulio karibu na kona hadi upande wa pili. Tunapata matokeo sawa kwa kugawanya moja kwa tangent.

Kwa hivyo, tumeangalia ufafanuzi wa sine, kosine, tanjiti na kotangent ni nini, na tunaweza kuendelea na fomula.

Fomula rahisi zaidi

Katika trigonometry huwezi kufanya bila formula - jinsi ya kupata sine, cosine, tangent, cotangent bila wao? Lakini hii ndiyo hasa inahitajika wakati wa kutatua matatizo.

Fomula ya kwanza unayohitaji kujua unapoanza kusoma trigonometria inasema kwamba jumla ya miraba ya sine na kosini ya pembe ni sawa na moja. Formula hii ni tokeo la moja kwa moja la nadharia ya Pythagorean, lakini inaokoa muda ikiwa unahitaji kujua ukubwa wa pembe badala ya upande.

Wanafunzi wengi hawawezi kukumbuka fomula ya pili, ambayo pia ni maarufu sana wakati wa kusuluhisha kazi za shule: jumla ya moja na mraba wa tangent ya angle ni sawa na moja iliyogawanywa na mraba wa cosine ya pembe. Angalia kwa karibu: hii ni taarifa sawa na katika fomula ya kwanza, pande zote mbili za utambulisho ziligawanywa na mraba wa cosine. Inageuka kuwa operesheni rahisi ya hisabati hufanya fomula ya trigonometric haitambuliki kabisa. Kumbuka: kujua nini sine, cosine, tangent na cotangent ni, sheria za uongofu na kadhaa kanuni za msingi unaweza wakati wowote kuondoa inayohitajika zaidi fomula tata kwenye kipande cha karatasi.

Fomula za pembe mbili na nyongeza ya hoja

Njia mbili zaidi ambazo unahitaji kujifunza zinahusiana na maadili ya sine na cosine kwa jumla na tofauti ya pembe. Zinawasilishwa kwenye takwimu hapa chini. Tafadhali kumbuka kuwa katika kesi ya kwanza, sine na cosine huongezeka mara zote mbili, na katika pili, bidhaa ya jozi ya sine na cosine huongezwa.

Pia kuna fomula zinazohusiana na hoja katika fomu pembe mbili. Zimetolewa kabisa kutoka kwa zile zilizotangulia - kama mafunzo jaribu kuzipata mwenyewe kwa kuchukua pembe ya alpha sawa na pembe beta.

Hatimaye, kumbuka kuwa fomula za pembe mbili zinaweza kupangwa upya ili kupunguza nguvu za sine, kosine, alfa tanjiti.

Nadharia

Nadharia mbili kuu katika trigonometria ya msingi ni nadharia ya sine na nadharia ya cosine. Kwa msaada wa nadharia hizi, unaweza kuelewa kwa urahisi jinsi ya kupata sine, cosine na tangent, na kwa hiyo eneo la takwimu, na ukubwa wa kila upande, nk.

Theorem ya sine inasema kwamba kwa kugawanya urefu wa kila upande wa pembetatu kwa pembe kinyume, tunapata nambari sawa. Kwa kuongezea, nambari hii itakuwa sawa na radii mbili za duara iliyozungukwa, ambayo ni, duara iliyo na alama zote za pembetatu fulani.

Nadharia ya cosine inajumlisha nadharia ya Pythagorean, ikiionyesha kwenye pembetatu zozote. Inatokea kwamba kutoka kwa jumla ya mraba wa pande zote mbili, toa bidhaa zao zilizozidishwa na cosine mara mbili ya pembe iliyo karibu - thamani inayotokana itakuwa sawa na mraba wa upande wa tatu. Kwa hivyo, nadharia ya Pythagorean inageuka kuwa kesi maalum ya theorem ya cosine.

Makosa ya kutojali

Hata kujua nini sine, cosine na tangent ni, ni rahisi kufanya makosa kwa sababu ya kutokuwa na akili au kosa katika mahesabu rahisi zaidi. Ili kuepuka makosa hayo, hebu tuangalie wale maarufu zaidi.

Kwanza, haupaswi kubadilisha sehemu kuwa desimali hadi upate matokeo ya mwisho - unaweza kuacha jibu kama sehemu ya kawaida, isipokuwa kama ilivyoelezwa vinginevyo katika masharti. Mabadiliko hayo hayawezi kuitwa kosa, lakini ikumbukwe kwamba katika kila hatua ya tatizo mizizi mpya inaweza kuonekana, ambayo, kulingana na wazo la mwandishi, inapaswa kupunguzwa. Katika kesi hii, utakuwa unapoteza wakati wako bila lazima shughuli za hisabati. Hii ni kweli hasa kwa maadili kama vile mzizi wa tatu au mzizi wa mbili, kwa sababu hupatikana katika matatizo katika kila hatua. Vile vile huenda kwa kuzungusha nambari "mbaya".

Zaidi ya hayo, kumbuka kwamba theorem ya cosine inatumika kwa pembetatu yoyote, lakini sio nadharia ya Pythagorean! Ikiwa utasahau kimakosa kuondoa mara mbili bidhaa za pande zilizozidishwa na cosine ya pembe kati yao, hautapata tu matokeo mabaya kabisa, lakini pia utaonyesha ukosefu kamili wa uelewa wa somo. Hii ni mbaya zaidi kuliko kosa la kutojali.

Tatu, usichanganye maadili ya pembe za digrii 30 na 60 za sines, cosines, tangents, cotangents. Kumbuka maadili haya, kwa sababu sine ni digrii 30 sawa na cosine 60, na kinyume chake. Ni rahisi kuwachanganya, kama matokeo ambayo utapata matokeo mabaya.

Maombi

Wanafunzi wengi hawana haraka ya kuanza kusoma trigonometry kwa sababu hawaelewi maana yake ya vitendo. Sine, kosine, tangent ni nini kwa mhandisi au mwanaastronomia? Hizi ni dhana za shukrani ambazo unaweza kuhesabu umbali nyota za mbali, kutabiri kuanguka kwa meteorite, kutuma uchunguzi wa utafiti kwenye sayari nyingine. Bila yao, haiwezekani kujenga jengo, kubuni gari, kuhesabu mzigo juu ya uso au trajectory ya kitu. Na hawa ndio wengi tu mifano dhahiri! Baada ya yote, trigonometry kwa namna moja au nyingine hutumiwa kila mahali, kutoka kwa muziki hadi dawa.

Hatimaye

Kwa hivyo wewe ni sine, cosine, tangent. Unaweza kuzitumia katika mahesabu na kutatua kwa mafanikio matatizo ya shule.

Hatua nzima ya trigonometry inakuja kwa ukweli kwamba kwa kutumia vigezo vinavyojulikana vya pembetatu unahitaji kuhesabu haijulikani. Kuna vigezo sita kwa jumla: urefu wa tatu pande na ukubwa pembe tatu. Tofauti pekee katika kazi ziko katika ukweli kwamba data tofauti za pembejeo hutolewa.

Sasa unajua jinsi ya kupata sine, cosine, tangent kulingana na urefu unaojulikana wa miguu au hypotenuse. Kwa kuwa maneno haya hayamaanishi chochote zaidi ya uwiano, na uwiano ni sehemu, lengo kuu tatizo la trigonometric ni kutafuta mizizi ya mlingano wa kawaida au mfumo wa milinganyo. Na hapa hisabati ya shule ya kawaida itakusaidia.

Sine na cosine awali zilitoka kwa hitaji la kuhesabu idadi katika pembetatu sahihi. Ilibainika kuwa ikiwa kipimo cha digrii ya pembe katika pembetatu ya kulia haibadilishwa, basi uwiano wa kipengele, bila kujali ni kiasi gani pande hizi zinabadilika kwa urefu, daima hubakia sawa.

Hivi ndivyo dhana za sine na cosine zilivyoanzishwa. Sine ya pembe ya papo hapo katika pembetatu ya kulia ni uwiano wa upande kinyume na hypotenuse, na cosine ni uwiano wa upande ulio karibu na hypotenuse.

Nadharia za cosines na sines

Lakini kosini na sines zinaweza kutumika kwa zaidi ya pembetatu sahihi. Ili kupata thamani ya pembe iliyo wazi au ya papo hapo au upande wa pembetatu yoyote, inatosha kutumia nadharia ya cosines na sines.

Nadharia ya cosine ni rahisi sana: "Mraba wa upande wa pembetatu sawa na jumla miraba ya pande hizo mbili kando kando ya pande hizo mbili kwa kosini ya pembe kati yake.”

Kuna tafsiri mbili za nadharia ya sine: ndogo na iliyopanuliwa. Kulingana na ndogo: "Katika pembetatu, pembe ni sawia vyama vinavyopingana». Nadharia hii mara nyingi hupanuliwa kwa sababu ya mali ya mduara wa pembetatu: "Katika pembetatu, pembe ni sawia na pande tofauti, na uwiano wao ni sawa na kipenyo cha mduara uliozungukwa."

Viingilio

Derivative ni zana ya hisabati inayoonyesha jinsi chaguo za kukokotoa hubadilika haraka kuhusiana na mabadiliko katika hoja yake. Derivatives hutumiwa katika jiometri, na katika idadi ya taaluma za kiufundi.

Wakati wa kutatua shida, unahitaji kujua maadili ya tabular ya derivatives ya kazi za trigonometric: sine na cosine. Derivative ya sine ni kosine, na kosine ni sine, lakini yenye ishara ya kutoa.

Maombi katika hisabati

Sines na cosine mara nyingi hutumiwa katika kutatua pembetatu sahihi na matatizo yanayohusiana nao.

Urahisi wa sines na cosines pia inaonekana katika teknolojia. Ilikuwa rahisi kutathmini pembe na pande kwa kutumia nadharia za cosines na sines, kuvunjika. takwimu tata na vitu katika pembetatu "rahisi". Wahandisi mara nyingi hushughulika na mahesabu ya uwiano wa kipengele na hatua za shahada, alitumia muda mwingi na jitihada kuhesabu cosines na sines ya pembe zisizo za jedwali.

Kisha meza za Bradis zilikuja kuwaokoa, zilizo na maelfu ya maadili ya sines, cosines, tangents na cotangents. pembe tofauti. KATIKA Wakati wa Soviet walimu wengine waliwalazimisha wanafunzi wao kukariri kurasa za meza za Bradis.

Radiani - ukubwa wa angular arcs, urefu sawa na radius au digrii 57.295779513°.

Shahada (katika jiometri) - 1/360 sehemu ya mduara au sehemu ya 1/90 pembe ya kulia.

π = 3.141592653589793238462… ( thamani ya takriban Nambari za Pi).

Jedwali la Cosine kwa pembe: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

Pembe x (katika digrii)	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	210°	225°	240°	270°	300°	315°	330°	360°
Pembe x (katika radiani)	0	π/6	π/4	π/3	π/2	2 x π/3	3 x π/4	5 x π/6	π	7 x π/6	5 x π/4	4 x π/3	3 x π/2	5 x π/3	7 x π/4	11 x π/6	2 x p
kwani x	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0	-1/2 (-0,5)	-√2/2 (-0,7071)	-√3/2 (-0,8660)	-1	-√3/2 (-0,8660)	-√2/2 (-0,7071)	-1/2 (-0,5)	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1