Trigonometry ya spherical.

Trigonometry ya spherical

Pembetatu za spherical. Juu ya uso wa mpira, umbali mfupi zaidi kati ya pointi mbili hupimwa kando ya mzunguko wa mzunguko mkubwa, yaani, mduara ambao ndege hupita katikati ya mpira. Vipeo vya pembetatu ya duara ni sehemu za makutano za miale mitatu inayotoka katikati ya mpira na uso wa duara. Vyama a, b, c Pembetatu ya duara inaitwa pembe hizo kati ya miale ambayo ni ndogo (ikiwa moja ya pembe hizi ni sawa na , basi pembetatu ya spherical hupungua katika nusu ya duara kubwa). Kila upande wa pembetatu unafanana na arc ya mduara mkubwa juu ya uso wa mpira (angalia takwimu).

Pembe A, B, C pembetatu ya spherical, pande tofauti a, b, c ipasavyo, wao ni, kwa ufafanuzi, pembe chini ya , kati ya arcs ya miduara mikubwa inayolingana na pande za pembetatu, au pembe kati ya ndege zinazofafanuliwa na miale hii.

Trigonometry ya spherical inasoma uhusiano kati ya pande na pembe za pembetatu za spherical (kwa mfano, juu ya uso wa Dunia na kwenye nyanja ya mbinguni). Hata hivyo, wanafizikia na wahandisi wanapendelea kutumia mabadiliko ya mzunguko badala ya trigonometry ya spherical katika matatizo mengi.

Tabia za pembetatu za spherical. Kila upande na pembe ya pembetatu ya duara kwa ufafanuzi ni ndogo.

Jiometri juu ya uso wa mpira sio Euclidean; katika kila pembetatu ya duara, jumla ya pande ni kati ya 0 na , jumla ya pembe ni kati na . Katika kila pembetatu ya duara, pembe kubwa iko kinyume na upande mkubwa. Jumla ya pande zote mbili ni kubwa kuliko upande wa tatu, jumla ya pembe zote mbili ni chini ya pamoja na pembe ya tatu.

Hadithi ya onyesho hili ni hii: siku moja rafiki yangu alitengeneza jenereta ya ramani ya sayari kwa ajili ya mchezo wake na alitaka ramani zilizoundwa kwa njia hii zionyeshwe kama duara linalozunguka. Walakini, hakutaka kutumia michoro ya 3D, lakini badala yake alitoa fremu nyingi na nyanja hii iliyozungushwa kwa pembe tofauti. Kiasi cha kumbukumbu kilichotumiwa kilikuwa ... wacha tuseme, kupita kiasi, na kasi ya utengenezaji wa sura (pamoja na ubora wa utekelezaji wao) iliteseka sana. Baada ya kufikiria kidogo, niliweza kumsaidia kuboresha mchakato huu, lakini kwa ujumla sikuweza kutikisa hisia nzuri kwamba hii ilikuwa kazi ya OpenGL, na si kwa graphics za 2D kabisa.

Na kwa hiyo, siku moja, nilipokuwa nikisumbuliwa na usingizi, niliamua kujaribu kuchanganya njia hizi mbili: kuchora tufe inayozunguka (na ramani ya sayari iliyoinuliwa juu yake) kupitia OpenGL, lakini wakati huo huo kuiacha gorofa.

Na lazima niseme kwamba nilifanikiwa. Lakini mambo ya kwanza kwanza.

Hisabati ya mchakato

Kwanza, hebu tufafanue kazi yenyewe. Kwa kila nukta kwenye skrini, tuna viwianishi viwili vya skrini katika mfumo wa kuratibu wa Cartesian, na tunahitaji kutafuta viwianishi vyake vya duara (kwa kweli, latitudo na longitudo), ambavyo kimsingi ni viwianishi vya unamu vya ramani ya sayari.

Hivyo. Mpito kutoka kwa mfumo wa kuratibu wa Cartesian hadi ule wa duara hutolewa na mfumo wa milinganyo (iliyochukuliwa kutoka Wikipedia):

na mpito wa kinyume - na milinganyo ifuatayo:

Kuratibu Z tunaweza kupata kutoka kwa urahisi X Na Y, kujua radius, na tunaweza kuchukua radius yenyewe sawa na moja.
Katika siku zijazo, tutakubali kwamba tutabadilisha kidogo milinganyo hapo juu kwa kubadilishana dhana Y(kwetu hii itakuwa skrini wima) na Z(hii itakuwa kina cha tukio).

Sehemu ya kiufundi

Utekelezaji wa wazo utatuhitaji kutumia quad (nimeshaandika juu ya jinsi ya kuitumia, kwa hivyo sitairudia, haswa kwani hapa chini ni kiunga cha msimbo kamili wa chanzo cha mradi), pamoja na mbili. maandishi: ramani ya sayari yenyewe (nilitumia muundo wa Dunia wa saizi 2048x1024) na ramani za kuratibu muundo. Nambari ya pili ya uundaji wa msimbo unarudia kwa uzuri hesabu ya ubadilishaji kutoka Cartesian hadi kuratibu za duara:

Int texSize = 1024; mara mbili r = texSize * 0.5; saizi za int = int mpya; kwa (safu ya ndani = 0, idx = 0; safu< texSize; row++) { double y = (r - row) / r; double sin_theta = Math.sqrt(1 - y*y); double theta = Math.acos(y); long v = Math.round(255 * theta / Math.PI); for (int col = 0; col < texSize; col++) { double x = (r - col) / r; long u = 0, a = 0; if (x >= -sin_theta && x<= sin_theta) { double z = Math.sqrt(1 - y*y - x*x); double phi = Math.atan2(z, x); u = Math.round(255 * phi / (2 * Math.PI)); a = Math.round(255 * z); } pixels = (int) ((a << 24) + (v << 8) + u); } } GLES20.glGenTextures(1, genbuf, 0); offsetTex = genbuf; if (offsetTex != 0) { GLES20.glBindTexture(GLES20.GL_TEXTURE_2D, offsetTex); GLES20.glTexParameteri(GLES20.GL_TEXTURE_2D, GLES20.GL_TEXTURE_MIN_FILTER, GLES20.GL_NEAREST); GLES20.glTexParameteri(GLES20.GL_TEXTURE_2D, GLES20.GL_TEXTURE_MAG_FILTER, GLES20.GL_NEAREST); GLES20.glTexParameteri(GLES20.GL_TEXTURE_2D, GLES20.GL_TEXTURE_WRAP_S, GLES20.GL_NONE); GLES20.glTexParameteri(GLES20.GL_TEXTURE_2D, GLES20.GL_TEXTURE_WRAP_T, GLES20.GL_NONE); GLES20.glTexImage2D(GLES20.GL_TEXTURE_2D, 0, GLES20.GL_RGBA, texSize, texSize, 0, GLES20.GL_RGBA, GLES20.GL_UNSIGNED_BYTE, IntBuffer.wrap(pixels)); }

Kumbuka kwamba kuratibu X Na Y hutafsiriwa kutoka masafa hadi masafa [-1..1], na viwianishi vya unamu U Na V hubadilishwa kutoka radiani hadi masafa , baada ya hapo huandikwa kwa mtiririko huo kwa vipengele vyekundu na vya kijani vya unamu wa 32-bit. Kituo cha alpha kinatumika kuhifadhi "kina" (coordinates Z), na bluu bado haijatumika kwa sasa. Kuzima uchujaji wa bilinear pia sio ajali: katika hatua hii haitoi athari yoyote (pointi za jirani kwa hali yoyote zina maadili sawa, na kuruka kwa kasi), na katika kile nitakachoonyesha ijayo, itakuwa na madhara. Lakini zaidi juu ya hilo hapa chini.

Private final String quadFS = "precision mediump float;n" + "uniform sampler2D uTexture0;n" + "uniform sampler2D uTexture1;n" + "uniform float uOffset;n" + "variing vec4 TexCoord0;n" + "void main() (n" + " vec4 vTex = texture2D(uTexture0, TexCoord0.xy);n" + " vec3 vOff = vTex.xyz * 255.0;n" + " float hiY = sakafu(vOff.y / 16.0);n" + " float loY = vOff.y - 16.0 * hiY;n" + " vec2 vCoord = vec2(n" + " (256.0 * loY + vOff.x) / 4095.0 + uOffset,n" + " (vOff.z * 16.0 + hiY ) / 4095.0);n" + " vec3 vCol = texture2D(uTexture1, vCoord).rgb;n" + " gl_FragColor = vec4(vCol * vTex.w, (vTex.w > 0.0 ? 1.0: 0.0));n" + ")n";

Naam, hilo ni jambo tofauti kabisa! Kwa mabadiliko madogo (kuongeza zooming ya pinch na mzunguko wa vidole), nilionyesha programu hii kwa marafiki zangu na wafanyakazi wenzangu, na wakati huo huo niliuliza ni pembetatu ngapi walidhani kuwa katika eneo hili. Matokeo yalitofautiana, na swali lenyewe liliibua mashaka ya hila (katika kesi hii, wahojiwa walitania "moja," ambayo haikuwa mbali na ukweli), lakini jibu sahihi lilishangaa kila wakati. Na kila mtu, kama mmoja, aliuliza: kwa nini tufe inaweza kuzungushwa kuzunguka mhimili mmoja, lakini sio kuinamishwa?.. Hmm.

Tembea

Lakini ukweli ni kwamba mteremko katika mpango huu ni ngumu zaidi kutekeleza. Kwa kweli, kazi hiyo haiwezi kushindwa, na hata nilikabiliana nayo, lakini kulikuwa na nuances fulani.

Kwa asili, kazi inaanzia kuchukua uratibu uliobadilishwa V, wakati kuratibu U haibadiliki: hii hutokea kwa sababu tunaongeza mzunguko kuzunguka mhimili X. Mpango ni huu: tunabadilisha viwianishi vya unamu kuwa viwianishi vya skrini (katika safu [-1..1]), tumia kwao matrix ya kuzunguka kuzunguka mhimili mlalo (kwa hili tunaandika mapema katika safu mpya isiyobadilika. uTilt sine na cosine ya pembe ya mwelekeo), na kisha tutatumia kuratibu mpya Y kwa sampuli katika muundo wetu wa kiolezo. "Kuzungushwa" kuratibu Z Pia itakuwa muhimu kwetu, kwa msaada wake tutaakisi longitudo kwa upande wa nyuma wa mpira). Kuratibu skrini Z itabidi uihesabu kwa uwazi ili usifanye sampuli mbili za maandishi kutoka kwa muundo mmoja, wakati huo huo hii itaongeza usahihi wake.

Private final String quadFS = "precision mediump float;n" + "uniform sampler2D uTexture0;n" + "uniform sampler2D uTexture1;n" + "uniform float uOffset;n" + "uniform vec2 uTilt;n" + "variing vec4 TexCoord0; n" + "utupu kuu() (n" + " float sx = 2.0 * TexCoord0.x - 1.0;n" + " float sy = 2.0 * TexCoord0.y - 1.0;n" + " float z2 = 1.0 - sx * sx - sy * sy;n" + " ikiwa (z2 > 0.0) (;n" + " float sz = sqrt(z2);n" + " float y = (sy * uTilt.y - sz * uTilt.x + 1.0) * 0.5;n" + " float z = (sy * uTilt.x + sz * uTilt.y);n" + " vec4 vTex = texture2D(uTexture0, vec2(TexCoord0.x, y));n" + " vec3 vOff = vTex.xyz * 255.0;n" + " float hiY = sakafu(vOff.y / 16.0);n" + " float loY = vOff.y - 16.0 * hiY;n" + " vec2 vCoord = vec2( n" + " (256.0 * loY + vOff.x) / 4095.0,n" + " (vOff.z * 16.0 + hiY) / 4095.0);n" + " if (z< 0.0) { vCoord.x = 1.0 - vCoord.x; }n" + " vCoord.x += uOffset;n" + " vec3 vCol = texture2D(uTexture1, vCoord).rgb;n" + " gl_FragColor = vec4(vCol * sz, 1.0);n" + " } else {n" + " gl_FragColor = vec4(0.0, 0.0, 0.0, 0.0);n" + " }n" + "}n";

Hurray, kuinamisha kulikuwa na mafanikio! Lakini kelele ya ajabu kwenye mpaka wa hemispheres ni kuchanganya kidogo. Ole, bado sijaweza kukabiliana na hili. Kwa wazi, shida iko katika usahihi wa kutosha wa kushughulikia katika maeneo ya mipaka (pointi kwenye mduara yenyewe zinahusiana na anuwai kubwa ya kuratibu, texel moja huenea kwa muda wa urefu unaoonekana), na hakuna uwezekano kwamba chochote kinaweza kutokea. kufanyika kuhusu hilo. Kweli, lakini unaweza kuvuta ndani na kusogeza mpira kwa njia ile ile kama kwenye Google Earth. Kwa tofauti kwamba hapa kuna pembetatu mbili tu.

Kwa muda mrefu nilikuwa na mawazo juu ya kujenga nyumba yangu mwenyewe, lakini kwa namna fulani kwa namna ya mawazo ya kuvutia ambayo niliona kutoka kwa wengine katika maisha au kwenye vyombo vya habari. Hapa niliwazia jinsi nyumba ingefanana ambayo ilijumuisha maoni haya yote - shimo la mbweha (tumbo) linalogeuka kuwa duara la kioo linaloning'inia kwenye mti: D. Kwa ujumla, kibadilishaji kiitikadi, nje na ndani.

Sasa ninavutiwa na nyumba na teknolojia za geodesic kwa kutumia kanuni hizi kwa ajili ya ujenzi wa majengo ya makazi na miundo mingine muhimu na ya viwanda (kwa mfano, sheds, bathhouses, greenhouses, sheds, warsha, hangars).

Msimu huu wa joto (2011) nilipata fursa ya kuiona moja kwa moja, na hata kusaidia kidogo katika ujenzi wa jumba la makazi la geodesic (picha upande wa kushoto).

Na sasa nilipata habari ya kuvutia juu yao, nikachimba, na niliamua kuandika makala kwa siku zijazo ... aina ya karatasi ya kudanganya ili niweze kukumbuka haraka na kuipata. Kwa hivyo, habari inapopatikana, nitasasisha nakala hiyo. Nina hakika itakuwa muhimu kwa wasomaji wa tovuti.

Hizi hapa:






Kwa kifupi kuhusu historia na maana ya "geodesic"..

Kama kawaida, kila kitu kipya kimesahaulika zamani.

Geo- Dunia yetu

Imesalia D... - kugawanya (Wagiriki wa kale waligawanyika na kuipima ... na sio wao tu)

Kwa hivyo, ikiwa hautaingia kwenye jiometri ya anga na tofauti ya nafasi zilizopindika))), basi hii ni kuba iliyotengenezwa kutoka kwa sehemu ya tufe, au tuseme polyhedron ya duara, kwani dunia inapimwa kwa alama kwenye uso wake. ambayo kwa upande wetu ni vipeo vya polihedron hii. Kipengele muhimu ni mpangilio uliosambazwa kikamilifu wa vipeo na nyuso zinazoelekea kwenye duara bora. Kawaida hujengwa kwa misingi ya icosahedron (nyuso 20 za triangular) au dodecahedron (nyuso 12 za pentagonal).


Inaendelea kwenye ukurasa unaofuata.
1      


[maoni/majadiliano]

Vladimir (20:06 05.10.2016)
Andrey, asante kwa wazo la kuvutia na vidokezo muhimu! Mimi ni mwanajiolojia na jiofizikia kwa elimu, wakati mwingine mimi huchora picha na kukata kuni. Aina hii ya nyumba ya semina, iliyoangaziwa kutoka pande zote, labda inafaa zaidi! Na inanikumbusha kioo. Wakati wa jioni, ukiangalia nyota, unaweza kuota juu ya kuruka "UFO" yako mwenyewe katika maisha mengine ijayo. :-))
Vyacheslav (18:10 11/14/2015)
Unatafuta kazi!
Miaka 10 ya uzoefu katika ujenzi wa chini-kupanda. Kubuni na ujenzi wa miundo isiyo ya kawaida ya umbo (domes za geodesic). Nyumba tatu zilijengwa kulingana na miradi ya kujitegemea, moja ambayo aliijenga mwenyewe. Ubunifu wa huduma (umeme, usambazaji wa maji, maji taka, paa, insulation). Ninavutiwa sana na vyanzo vya nishati mbadala na uhuru wa majengo ya makazi. Tunafanya mazoezi haraka. Kuwasiliana. Kushika wakati. Rununu. Kwingineko inapatikana!
eneo (02:20 11/28/2014)
kwa wale wanaopenda - rasilimali ya kina zaidi ya lugha ya Kirusi kwenye jukwaa la domes.domesworld.ru
Andrew (19:46 03.12.2013)
kwa Mikhail
Habari za mchana. Ninaona sababu tatu:
+ haswa watu ambao wanapendezwa na geodesics wanapendelea kutumia vifaa vya asili na bidhaa wakati wowote inapowezekana; wakati wa kujenga Eco-nyumba, povu ya PU ni upuuzi (PPU inachukuliwa kuwa polima hatari na unahitaji kujua jinsi ya kujenga kwa usalama ukitumia);
+ ugumu fulani wa kiteknolojia na gharama kubwa za kifedha;
+ kwa chumba cha mvuke vile unahitaji kutumia uingizaji hewa sahihi, kwa maoni ya wengi - kulazimishwa
Mikhail (12:47 03.12.2013)
Habari za mchana Ninashangazwa na ukweli kwamba baada ya kuangalia ripoti nyingi za picha juu ya ujenzi wa nyumba za nyumba, sikuwahi kugundua matumizi ya kunyunyizia PPU. Badala yake, kila mtu anateseka, akiweka mgodi huu usio wa pembetatu. pamba ndani ya pembetatu, nk, wanakabiliwa na kizuizi cha mvuke kinachozunguka kwenye uso wa mviringo. Sielewi kwa nini iko hivyo. Katika ujenzi wa sura rahisi, povu ya polyurethane hutumiwa kila mahali, lakini hapa kuna kupuuza vile. Ingawa viunganisho vingine vina povu na mitungi na madirisha na milango huwekwa kwenye povu))) Inaonekana kwangu kwamba povu ya polyurethane na ujenzi wa nyumba ya nyumba inapaswa kuwa "maji yote" Au kuna baadhi ya pekee na kutowezekana kwa kutumia povu ya polyurethane yenye povu?
Andrew (08:38 09/24/2013)
Pembetatu hukusanywa kutoka kwa bodi kwa kutumia screws, na pembetatu hukusanywa pamoja kwa kutumia bolts.
Amir (10:09 09/23/2013)
... dome hiyo ya geodesic, katika ujenzi ambayo ulisaidia, katika picha ya kwanza kabisa katika makala - kuelezea, au labda unaweza kunitumia habari juu ya njia za kujiunga (ambatanisha) vipengele vya sura ya dome kwa barua pepe yangu. anwani. Nitashukuru sana.
adam gagarin (13:14 10/30/2012)
Hatujafanya upya Gravitonium ru kwa muda mrefu, lakini habari zote kuhusu domes zinapatikana kwa www.valpak.ru & www.cupulageodesica.com/ru

Tulimaliza kutumia karatasi nyembamba ya kutafakari thermo-reflective, iliyounganishwa moja kwa moja kwenye nyuso za ndani za pembetatu za plywood. Athari ya thermos, uzito kama kwenye ISS, na joto na baridi huonyeshwa 99%.

Tutafurahi kushiriki habari juu ya maswali yote

Kwa dhati,
Adam Gagarin
Andrew (20:31 02/18/2012)
Haya ndiyo wanayosema katika Maswali Yanayoulizwa Mara kwa Mara ya Timberline:
"Chaguo za kawaida ni fiberglass au povu rigid. Wanachama wa kutunga wa Timberline"s 2" x 6" huruhusu 5 1/2" ya insulation, ya kutosha kwa hali nyingi za hali ya hewa. Chaguzi zingine ni pamoja na povu inayopanua ya dawa ambayo ni nzuri sana. "
"Kwa kutumia dawa ya kupanua katika insulation ya povu, hufunga dome vizuri sana kwamba hakuna kizuizi cha ndani cha mvuke kinachohitajika."
http://www.domehome.com/faqs.html
Kwa hiyo sijasoma suala hilo hasa kuhusu povu.

Ndiyo, hii ni geodome hiyo.
jukwaa (08:53 02/18/2012)
Asante kwa jibu. Kwa kweli sikutaka povu. Bora kuliko pamba ya madini. Lakini ikiwa povu, basi ni aina gani? Na hapa kuna picha http://www.zidar.ru/2011/09/stroim-kryishu-chast-vtoraya/#more-203 na ukweli kwamba ambapo una slats moja kwa moja katika pengo la uingizaji hewa ni kutoka kwa kitu kimoja?
Andrew (03:56 02/08/2012)
- Timberline Geodesics kawaida hutumia pamba ya glasi na povu ya "ujenzi";
- wakati wa kutumia mbavu 2 * 6 inchi (takriban 50 * 150 mm), hakuna pengo la uingizaji hewa linalofanywa na voids zote zimejaa povu, na wanasema kuwa condensation haifanyiki na kizuizi cha mvuke haihitajiki;
- wakati wa kutumia mbavu za sehemu kubwa (50*200/300), kama chaguo, wanatoa kupunguzwa sawa na Nafasi za Asili;
- paa ina kando ya pembetatu iliyofunikwa na carpet ya chini ya paa na kuingizwa na tiles za lami / mbao / chuma au mipako maalum hutumiwa.

Kwa hivyo unaweza kujaribu kupiga kila kitu na povu au kuifanya kulingana na mpango wa kiwango cha juu na pengo la uingizaji hewa:
- kizuizi cha mvuke (hairuhusu hewa na unyevu kupita ... ni muhimu kuziba viungo na mkanda ... vyema ili iwe "tight"... NSD, inaonekana, inachunguzwa kwa mashimo madogo zaidi. na kitengo maalum ... na masanduku yote ya umeme na pembejeo / mazao katika sura imefungwa);
- insulation;
- ulinzi wa upepo (membrane ambayo inaruhusu hewa kupita na kuzuia joto kutoka "kupiga nje" kutoka kwa insulation);
- pengo la uingizaji hewa;
- kuzuia maji ya mvua (huruhusu hewa yenye unyevu kupita kutoka kwa insulation na hairuhusu unyevu kupita kutoka upande wa paa la dome);
- pengo la uingizaji hewa;
- paa
jukwaa (00:48 02/08/2012)
Ninavutiwa na suluhisho tayari kwa uingizaji hewa wa nafasi ya chini ya paa na insulation. Pai ya paa. Fremu 3v 5/8 TIMBERLINE.

Pembetatu ya spherical na matumizi yake.

Pembetatu ya spherical- takwimu ya kijiometri juu ya uso wa nyanja inayoundwa na makutano ya miduara mitatu mikubwa. Miduara mitatu mikubwa juu ya uso wa tufe ambayo haiingiliani kwa hatua moja huunda pembetatu nane za duara. Pembetatu ya duara ambayo pande zote ni chini ya nusu ya duara kubwa inaitwa Eulerian.

Upande wa pembetatu ya spherical hupimwa kwa ukubwa wa pembe ya kati iliyo juu yake. Pembe ya pembetatu ya spherical inapimwa kwa ukubwa wa pembe ya dihedral kati ya ndege ambazo pande za pembe hii ziko. Trigonometry ya spherical inasoma uhusiano kati ya vipengele vya pembetatu za spherical.

Sifa za pembetatu ya duara:

  1. Mbali na vigezo vitatu vya usawa wa pembetatu za ndege, moja zaidi ni ya kweli kwa pembetatu za spherical: pembetatu mbili za spherical ni sawa ikiwa pembe zao zinazofanana ni sawa.
  2. Kwa pande za pembetatu ya duara, usawa wa pembetatu 3 hushikilia: kila upande ni chini ya jumla ya pande zingine mbili na kubwa kuliko tofauti zao.
  3. Jumla ya pande zote a + b + c daima ni chini ya 2πR.
  4. Kiasi 2πR - (a + b + c) inaitwa kasoro ya duara.
  5. Jumla ya pembe za pembetatu ya duara s = α + β + γ daima ni chini ya 3π na kubwa kuliko π.
  6. Kiasi hicho kinaitwa ziada ya spherical au kurtosis ya spherical
  7. Eneo la pembetatu ya spherical imedhamiriwa na formula.
  8. Tofauti na pembetatu ya gorofa, pembetatu ya spherical inaweza kuwa na pembe mbili au hata tatu za 90 ° kila moja.

Miongoni mwa poligoni zote za duara, pembetatu ya duara inavutia zaidi. Duru tatu kubwa, zinazoingiliana kwa jozi kwa pointi mbili, huunda pembetatu nane za spherical kwenye nyanja. Kujua vipengele (pande na pembe) za mmoja wao, inawezekana kuamua vipengele vya wengine wote, kwa hiyo tunazingatia uhusiano kati ya vipengele vya mmoja wao, ambaye pande zake zote ni chini ya nusu ya kubwa. mduara. Pande za pembetatu hupimwa na pembe za ndege za pembe ya trihedral OABC, pembe za pembetatu hupimwa na pembe za dihedral za pembe ya trihedral sawa, cm katika Mtini.

Mali ya pembetatu ya spherical hutofautiana kwa njia nyingi kutoka kwa mali ya pembetatu kwenye ndege. Kwa hivyo, kwa kesi tatu zinazojulikana za usawa wa pembetatu za mstatili, ya nne inaongezwa: pembetatu mbili ABC na A'B'C' ni sawa ikiwa pembe tatu RA = RA', PB = PB', RS = RS' ni sawa. , kwa mtiririko huo. Kwa hivyo, hakuna pembetatu zinazofanana kwenye nyanja; zaidi ya hayo, katika jiometri ya spherical hakuna dhana sana ya kufanana, kwa sababu. Hakuna mabadiliko ambayo hubadilisha umbali wote kwa idadi sawa (sio sawa na 1) ya nyakati. Vipengele hivi vinahusishwa na ukiukaji wa axiom ya Euclidean ya mistari inayofanana na pia ni ya asili katika jiometri ya Lobachevsky. Pembetatu ambazo zina vipengele sawa na mielekeo tofauti huitwa ulinganifu, kama vile, kwa mfano, pembetatu AC'C na BCC'.

Jumla ya pembe za pembetatu yoyote ya duara daima ni kubwa kuliko 180 °. Tofauti RA + PB + RS - p = d (kipimo katika radians) ni kiasi chanya na inaitwa ziada ya spherical ya pembetatu ya spherical iliyotolewa. Eneo la pembetatu ya duara: S = R2 d ambapo R ni radius ya tufe na d ni ziada ya spherical. Fomula hii ilichapishwa kwa mara ya kwanza na Mholanzi A. Girard mwaka wa 1629 na jina lake baada yake.

Ikiwa tutazingatia digon iliyo na pembe a, basi kwa 226 = 2p/n (n ni nambari kamili), nyanja inaweza kukatwa kwa nakala n za diagon kama hiyo, na eneo la nyanja ni 4nR2 = 4p. R = 1, kwa hivyo eneo la diagon ni 4p/n = 2a. Fomula hii pia ni kweli kwa = 2pt/n na, kwa hivyo, ni kweli kwa a. Ikiwa tutaendelea pande za pembetatu ya ABC na kuelezea eneo la nyanja kwa suala la maeneo ya bigons zinazosababisha na pembe A, B, C na eneo lake, basi tunaweza kufika kwenye formula ya juu ya Girard.

Pembetatu ya duara ina maana ya pembetatu juu ya uso wa tufe, inayojumuisha arcs ya duru kubwa - yaani, miduara ambayo katikati ni katikati ya tufe. Pembe za pembetatu ya duara ni pembe kati ya tanjenti kwa pande zake zinazochorwa kwenye vipeo vyake. Kama pembe za pembetatu ya kawaida, hutofautiana kutoka 0 hadi 180 °. Tofauti na pembetatu ya gorofa, pembetatu ya spherical ina jumla ya pembe ambayo si sawa na 180 °, lakini kubwa zaidi: hii ni rahisi kuthibitisha kwa kuzingatia, kwa mfano, pembetatu inayoundwa na arcs ya meridians mbili na ikweta kwenye dunia. : ingawa meridiani huungana kwenye nguzo, zote mbili ni sawa na ikweta, na Hii inamaanisha kuwa pembetatu hii ina pembe mbili za kulia!

Pembetatu ya duara inaweza kuwa na pembe mbili za kulia

Tayari kati ya Wahindi Varahamihira (karne za V-VI), kati ya wanahisabati wa Kiarabu na wanaastronomia kuanzia karne ya 9. (Sabit ibn Korra, al-Battani), na miongoni mwa wanahisabati wa Magharibi, kuanzia Regiomontanus (karne ya XV), nadharia ya ajabu kuhusu pembetatu duara inapatikana katika uundaji mbalimbali. Hivi ndivyo inavyoweza kutengenezwa katika nukuu za kisasa:

cosa = cosbcosc + sinbsinccosA. Nadharia ya spherical cosine ni muhimu sana kwa astronomia na jiografia. Nadharia hii hukuruhusu kutumia kuratibu za miji miwili A na B kupata umbali kati yao. Kwa kuongezea, nadharia ya duara ya cosines ilisaidia wanahisabati katika nchi za Kiisilamu katika kutatua shida nyingine ya vitendo: katika jiji lililo na kuratibu zilizopewa, pata mwelekeo wa mji mtakatifu wa Makka (kila Mwislamu mwaminifu lazima aombe kwa mwelekeo wa Makka mara tano kwa siku. ) Wakati wa kutatua tatizo hili, kwa kuzingatia mji B kuwa Makka, ilikuwa ni lazima kupata angle A ya pembetatu sawa.

Ukurasa kutoka kwa "Kanuni Zilizokusanywa za Sayansi ya Astronomia," karne ya 11, mwandishi haijulikani.

Katika astronomia, theorem ya spherical cosine inaruhusu mtu kuhama kutoka kwa mfumo mmoja wa kuratibu kwenye nyanja ya mbinguni hadi nyingine. Mara nyingi, mifumo mitatu kama hiyo hutumiwa: kwa moja, ikweta ya mbinguni hutumika kama ikweta, na miti ni miti ya ulimwengu, ambayo mzunguko unaoonekana wa kila siku wa taa hufanyika; kwa mwingine, ikweta ni ecliptic - duara ambayo harakati inayoonekana ya Jua hufanyika wakati wa mwaka dhidi ya asili ya nyota; katika tatu, jukumu la ikweta linachezwa na upeo wa macho, na jukumu la miti linachezwa na zenith na nadir. Hasa, shukrani kwa theorem ya spherical cosine, inawezekana kuhesabu urefu wa Jua juu ya upeo wa macho kwa nyakati tofauti na kwa siku tofauti za mwaka.

Saili katika usanifu ni pembetatu ya duara, ikitoa mpito kutoka nafasi ya mraba chini ya kuba hadi mzingo wa kuba. Sail, pandative (kutoka pendentif ya Kifaransa) - sehemu ya vault, kipengele cha muundo wa dome, kwa njia ambayo mpito hufanywa kutoka kwa msingi wa mstatili hadi kwenye sakafu ya dome au ngoma yake. Sail ina umbo la pembetatu ya duara, na kilele chake kuelekea chini, na inajaza nafasi kati ya matao ya girth inayounganisha nguzo zilizo karibu za mraba uliotawaliwa. Misingi ya pembetatu ya spherical ya meli pamoja huunda mduara na kusambaza mzigo wa dome kando ya mzunguko wa matao.

Dome kwenye meli Uchoraji wa meli

George Nelson

"Msanifu anaweza kupumzika kidogo na kufurahiya; matokeo yanaweza kuwa mzaha, burudani. Inashangaza ni mara ngapi hii inaweza kuwa burudani muhimu sana" George Nelson

George Nelson ni mbunifu wa Marekani, mbunifu, mkosoaji na mwananadharia wa kubuni. (1908, Hartford, Connecticut - 1986, New York)

Alitengeneza taa, saa, fanicha, vifungashio, na alihusika katika muundo wa maonyesho.

Miradi ya usanifu maarufu ya George Nelson inawakilisha umaridadi wa ustadi wa maumbo ya kijiometri katika roho ya sanaa ya op au uondoaji wa kijiometri.

Mbuni huweka umbo la kiti chake cheusi maarufu kwa msingi wa pembetatu ya spherical, ambayo ilitumiwa sana katika miundo ya usanifu wa miundo iliyotawala. Hasa, katika makanisa ya Byzantine na Kirusi pembetatu kama hiyo ya spherical iliitwa "meli". Shukrani kwa "meli" kulikuwa na mabadiliko ya laini kutoka kwa usaidizi wa chini ya dome hadi kwenye dome.

George Nelson (1908-1986)

Uchoraji wa Escher

Tufe zilizo makini.. 1935. Maliza kuchora 24 kwa 24 cm.

Tufe nne zenye mashimo zilizoko ndani zimeangaziwa na chanzo kikuu cha mwanga. Kila tufe linajumuisha gridi ya taifa inayoundwa na pete tisa kubwa zinazoingiliana; wanagawanya uso wa spherical katika pembetatu 48 sawa za spherical. Maurits Cornelis Escher (Kiholanzi: Maurits Cornelis Juni 17, 1898, Leeuwarden, Uholanzi - Machi 27, 1972, Laren, Uholanzi) - msanii wa picha wa Uholanzi.

Utumiaji wa pembetatu ya duara:

  1. Kwa kutumia pembetatu za duara katika michoro ya 3D
  2. Katika astronomia
  3. Katika jiografia. Nadharia ya pembetatu ya spherical inakuwezesha kutumia kuratibu za miji miwili A na B ili kupata umbali kati yao.
  4. Katika usanifu
  5. Ubunifu wa mwenyekiti na George Nelson
  6. Katika kuchora

Pembetatu za spherical.

Juu ya uso wa mpira, umbali mfupi zaidi kati ya pointi mbili hupimwa kando ya mzunguko wa mzunguko mkubwa, yaani, mduara ambao ndege hupita katikati ya mpira. Vipeo vya pembetatu ya duara ni sehemu za makutano za miale mitatu inayotoka katikati ya mpira na uso wa duara. Vyama a, b, c Pembetatu ya duara inafafanuliwa kama pembe hizo kati ya miale ambayo ni chini ya 180 °. Kila upande wa pembetatu inafanana na arc ya mduara mkubwa juu ya uso wa mpira (Mchoro 1). Pembe A, B, C pembetatu ya spherical, pande tofauti a, b, c ipasavyo, wao ni, kwa ufafanuzi, pembe chini ya 180 ° kati ya arcs ya miduara mikubwa inayolingana na pande za pembetatu, au pembe kati ya ndege zinazofafanuliwa na miale hii.

Tabia za pembetatu za spherical.

Kila upande na pembe ya pembetatu ya duara, kwa ufafanuzi, ni chini ya 180 °. Jiometri juu ya uso wa mpira sio Euclidean; Katika kila pembetatu ya duara, jumla ya pande ni kati ya 0 na 360 °, jumla ya pembe ni kati ya 180 ° na 540 °. Katika kila pembetatu ya duara, pembe kubwa iko kinyume na upande mkubwa. Jumla ya pande zote mbili ni kubwa kuliko upande wa tatu, na jumla ya pembe zote mbili ni chini ya 180 ° pamoja na pembe ya tatu.

Pembetatu ya duara inafafanuliwa kipekee (hadi mabadiliko ya ulinganifu):

  • pande tatu,
  • pembe tatu,
  • pande mbili na pembe kati yao,
  • upande na pembe mbili za karibu.

Kutatua pembetatu za duara (Jedwali)

(tazama fomula hapa chini na Kielelezo 1 hapo juu)

Fomula za hesabu

Masharti ya kuwepo kwa suluhisho
1

Pande tatu

a, b, c

A, B, C

Jumla ya pande mbili lazima iwe kubwa kuliko ya tatu
2

A, B, C

a, b, c kutoka (8) na vibali vya mzunguko

Jumla ya pembe mbili lazima iwe chini ya 180 ° pamoja na pembe ya tatu
3

Pande mbili na pembe kati yao

b, c, A

kutoka (6), basi KATIKA Na NA; A kutoka (7), (8) au (4)
4

Pembe mbili na upande kati yao

B, C, a

kutoka (6), basi b Na Na; A kutoka (7), (8) au (5)
5

Pande mbili na pembe kinyume na mmoja wao

b, s, b

NA kutoka (3); A Na A kutoka (6)

dhambi Na dhambi KATIKA≤ dhambi b.

Wale wa wingi ni kuokolewa Na, kwa ajili yake A-B Na a -b kuwa na ishara sawa;

A+B- 180 °

Na a + b- 180 °
6

Pembe mbili na upande ulio kinyume na mmoja wao

B, C, b

Na kutoka (3); A Na A kutoka (6)

Tatizo lina suluhu moja au mbili ikiwa

dhambi b dhambi NA≤ dhambi KATIKA.

Wale wa wingi ni kuokolewa Na, kwa ajili yake A-B Na a -b kuwa na ishara sawa;

A+B- 180 °

Na a + b- 180 °

lazima pia kuwa na ishara sawa

Fomula za kutatua pembetatu za spherical

Katika uwiano unaofuata A, B, C ni pembe kinyume na pande kwa mtiririko huo a, b, c pembetatu ya spherical. "Radi" ya cones iliyozunguka na iliyoandikwa huteuliwa na r na r, kwa mtiririko huo. Fomula ambazo hazijajumuishwa kwenye orodha zinaweza kupatikana kwa upitishaji wa mzunguko wa wakati mmoja A, B, C Na a, b, c. Jedwali lililo hapo juu hukuruhusu kukokotoa pande na pembe za pembetatu yoyote ya duara kutokana na pande na/au pembe tatu zinazotolewa ipasavyo. Ukosefu wa usawa uliotajwa mwanzoni mwa aya ya 2 lazima uzingatiwe ili kuwatenga matokeo ya nje wakati wa kutatua pembetatu.

nadharia ya sine

cosine theorem kwa pande

cosine theorem kwa pembe

Analogi za Napier

Analogi za Delambre na Gauss

Kwa hivyo, ikiwa meza za kazi ya hav zinapatikana, basi fomula hizi zinaweza kutumika kutatua pembetatu za duara:

Mahusiano mengine yanayofanana yanaweza kupatikana kwa kibali cha mzunguko