Dhana ya pembe iliyoandikwa na ya kati
Hebu kwanza tujulishe dhana ya pembe ya kati.
Kumbuka 1
Kumbuka hilo kipimo cha digrii cha pembe ya kati ni sawa na kipimo cha digrii ya arc ambayo inakaa.
Hebu sasa tujulishe dhana ya pembe iliyoandikwa.
Ufafanuzi 2
Pembe ambayo vertex iko kwenye mduara na ambayo pande zake zinaingiliana na mduara huo huo inaitwa angle iliyoandikwa (Mchoro 2).
Kielelezo 2. Pembe iliyoandikwa
Nadharia ya pembe iliyoandikwa
Nadharia 1
Kipimo cha digrii cha pembe iliyoandikwa ni sawa na nusu ya kipimo cha digrii ya arc ambayo hutegemea.
Ushahidi.
Wacha tupewe mduara wenye kituo katika sehemu ya $O$. Hebu tuonyeshe pembe iliyoandikwa $ ACB $ (Mchoro 2). Kesi tatu zifuatazo zinawezekana:
- Ray $CO$ inalingana na upande wowote wa pembe. Hebu hii iwe upande $ CB $ (Mchoro 3).
Kielelezo cha 3.
Katika kesi hii, arc $AB$ ni chini ya $(180)^(()^\circ )$, kwa hivyo pembe ya kati $AOB$ sawa na arc$AB$. Kwa kuwa $AO=OC=r$, basi pembetatu $AOC$ ni isosceles. Hii ina maana kwamba pembe msingi $CAO$ na $ACO$ ni sawa kwa kila mmoja. Kwa nadharia kuhusu pembe ya nje pembetatu, tunayo:
- Beam $CO$ mgawanyiko kona ya ndani kwa pembe mbili. Hebu ikatishe mduara kwa uhakika $ D $ (Mchoro 4).
Kielelezo cha 4.
Tunapata
- Ray $CO $ haina kugawanya angle ya mambo ya ndani katika pembe mbili na haina sanjari na yoyote ya pande zake (Mchoro 5).
Kielelezo cha 5.
Hebu tuzingatie pembe $ACD$ na $DCB$ kando. Kulingana na kile kilichothibitishwa katika nukta ya 1, tunapata
Tunapata
Nadharia imethibitishwa.
Hebu tupe matokeo kutoka kwa nadharia hii.
Muhimu 1: Pembe zilizoandikwa ambazo hutegemea arc sawa ni sawa na kila mmoja.
Nambari ya 2: Pembe iliyoandikwa ambayo hupunguza kipenyo ni pembe ya kulia.
Pembe ya kati- ni pembe inayoundwa na radii mbili mduara. Mfano wa pembe ya kati ni angle AOB, BOC, COE, na kadhalika.
KUHUSU kona ya kati Na arc iliyohitimishwa kati ya vyama vyake inasemekana kuwa yanahusiana kila mmoja.
1. ikiwa pembe za kati arcs ni sawa.
2. ikiwa pembe za kati si sawa, basi kubwa zaidi yao inalingana na kubwa zaidi arc.
Acha AOB na COD ziwe mbili pembe za kati, sawa au zisizo sawa. Hebu tuzungushe sekta ya AOB karibu na kituo katika mwelekeo ulioonyeshwa na mshale, ili radius OA ifanane na OC. Kisha, ikiwa pembe za kati ni sawa, basi radius OA itafanana na OD na arc AB na CD ya arc. .
Hii inamaanisha kuwa safu hizi zitakuwa sawa.
Kama pembe za kati si sawa, basi radius OB haitaenda pamoja na OD, lakini katika mwelekeo mwingine, kwa mfano, pamoja na OE au OF. Katika visa vyote viwili, pembe kubwa ni wazi inalingana na arc kubwa.
Nadharia tuliyothibitisha kwa mduara mmoja inasalia kuwa kweli kwayo miduara sawa, kwa sababu miduara kama hiyo haina tofauti kutoka kwa kila mmoja kwa chochote isipokuwa msimamo wao.
Ofa za kubadilisha pia itakuwa kweli . Katika mduara mmoja au ndani miduara sawa:
1. ikiwa arcs ni sawa, basi zinalingana pembe za kati ni sawa.
2. ikiwa arcs si sawa, basi kubwa zaidi yao inalingana na kubwa zaidi pembe ya kati.
Katika duara moja au kwa miduara sawa, pembe za kati zinahusiana kama safu zao zinazolingana. Au tukifafanua tunapata hiyo pembe ya kati sawia safu yake inayolingana.
Maagizo
Ikiwa radius (R) ya mduara na urefu wa arc (L) inayofanana na pembe ya kati inayotakiwa (θ) inajulikana, inaweza kuhesabiwa kwa digrii na kwa radians. Jumla imedhamiriwa na fomula 2*π*R na inalingana na pembe ya kati ya 360° au nambari mbili za Pi, ikiwa radiani hutumiwa badala ya digrii. Kwa hiyo, endelea kutoka kwa uwiano 2 * π * R / L = 360 ° / θ = 2 * π / θ. Onyesha kutoka kwayo pembe ya kati katika radiani θ = 2*π/(2*π*R/L) = L/R au digrii θ = 360°/(2*π*R/L) = 180*L/(π * R) na uhesabu kwa kutumia fomula inayosababisha.
Kulingana na urefu wa chord (m) kuunganisha pointi zinazoamua angle ya kati (θ), thamani yake inaweza pia kuhesabiwa ikiwa radius (R) ya mduara inajulikana. Ili kufanya hivyo, fikiria pembetatu inayoundwa na radii mbili na. Hii pembetatu ya isosceles, kila mtu anajulikana, lakini unahitaji kupata pembe kinyume na msingi. Sine ya nusu yake sawa na uwiano urefu wa msingi - chord - hadi mara mbili urefu wa upande - radius. Kwa hivyo, tumia kitendakazi cha sine kinyume kwa hesabu - arcsine: θ = 2*arcsin(½*m/R).
Pembe ya kati inaweza kubainishwa katika sehemu za mapinduzi au kutoka kwa pembe inayozunguka. Kwa mfano, ikiwa unahitaji kupata pembe ya kati inayofanana na robo zamu kamili, kugawanya 360 ° kwa nne: θ = 360 °/4 = 90 °. Thamani sawa katika radiani inapaswa kuwa 2*π/4 ≈ 3.14/2 ≈ 1.57. Pembe moja kwa moja sawa na nusu mapinduzi kamili, kwa hivyo, kwa mfano, pembe ya kati inayolingana na robo yake itakuwa nusu ya maadili yaliyohesabiwa hapo juu katika digrii zote mbili na radians.
Kinyume cha sine kinaitwa kazi ya trigonometric arcsine. Inaweza kuchukua thamani ndani ya nusu ya Pi, chanya na hasi inapopimwa katika radiani. Inapopimwa kwa digrii, maadili haya yatakuwa kwa mtiririko kutoka -90 ° hadi +90 °.
Maagizo
Baadhi ya maadili "ya pande zote" hayahitaji kuhesabiwa; ni rahisi kukumbuka. Kwa mfano:- ikiwa hoja ya kazi sawa na sifuri, basi thamani ya arcsine yake pia ni sifuri; - kutoka 1/2 ni sawa na 30 ° au 1/6 Pi, ikiwa imepimwa; - arcsine ya -1/2 ni sawa na -30 ° au -1/ 6 ya nambari ya Pi ndani - arcsine kutoka 1 ni sawa na 90 ° au 1/2 ya Pi katika radiani - arcsine ya -1 ni sawa na -90 ° au -1/2 ya Pi katika radiani;
Kupima maadili ya chaguo hili la kukokotoa kutoka kwa hoja zingine, njia rahisi ni kutumia kiwango Kikokotoo cha Windows, ikiwa unayo karibu. Kuanza, fungua menyu kuu kwenye kitufe cha "Anza" (au kwa kushinikiza kitufe cha WIN), nenda kwenye sehemu ya "Programu Zote", na kisha kwa kifungu cha "Vifaa" na ubonyeze "Calculator".
Badilisha kiolesura cha kikokotoo kuwa modi ya kufanya kazi ambayo hukuruhusu kuhesabu kazi za trigonometric. Ili kufanya hivyo, fungua sehemu ya "Tazama" kwenye menyu yake na uchague "Uhandisi" au "Kisayansi" (kulingana na aina ya mfumo wa uendeshaji).
Ingiza thamani ya hoja ambayo arctangent inapaswa kuhesabiwa. Hii inaweza kufanyika kwa kubofya vifungo kwenye kiolesura cha calculator na panya, au kwa kushinikiza funguo kwenye , au kwa kunakili thamani (CTRL + C) na kisha kuibandika (CTRL + V) kwenye uwanja wa pembejeo wa calculator.
Chagua vitengo vya kipimo ambavyo unahitaji kupata matokeo ya hesabu ya kazi. Chini ya uwanja wa pembejeo kuna chaguzi tatu, ambazo unahitaji kuchagua (kwa kubofya na panya) moja - , radians au rads.
Weka alama kwenye kisanduku cha kuteua kinachogeuza vitendakazi vilivyoonyeshwa kwenye vitufe vya kiolesura cha kikokotoo. Kando yake kuna maandishi mafupi ya Inv.
Bofya kitufe cha dhambi. Calculator itageuza kazi inayohusishwa nayo, fanya hesabu na kukuletea matokeo katika vitengo vilivyoainishwa.
Video kwenye mada
Moja ya kawaida matatizo ya kijiometri ni hesabu ya eneo la sehemu ya duara - sehemu ya duara iliyofungwa na chord na chord inayolingana na safu ya duara.
Eneo la sehemu ya mviringo ni sawa na tofauti kati ya eneo la sekta inayofanana ya mviringo na eneo la pembetatu linaloundwa na radii ya sekta inayofanana na sehemu na chord inayopunguza sehemu.
Mfano 1
Urefu wa chord inayopunguza duara ni sawa na thamani a. Kipimo cha digrii ya arc inayolingana na chord ni 60 °. Pata eneo la sehemu ya mviringo.
Suluhisho
Pembetatu inayoundwa na radii mbili na chord ni isosceles, kwa hivyo urefu unaotolewa kutoka kwa kipeo cha pembe ya kati hadi upande wa pembetatu ni. iliyoundwa na chord, pia itakuwa bisector ya pembe ya kati, kuigawanya kwa nusu, na wastani, kugawanya chord katika nusu. Kujua kwamba sine ya pembe ndani ni sawa na uwiano upande kinyume kwa hypotenuse, unaweza kuhesabu radius:
Dhambi 30°= a/2:R = 1/2;
Sc = πR²/360°*60° = πa²/6
S▲=1/2*ah, ambapo h ni urefu unaotolewa kutoka kwenye kipeo cha pembe ya kati hadi kwenye chord. Kulingana na nadharia ya Pythagorean h=√(R²-a²/4)= √3*a/2.
Ipasavyo, S▲=√3/4*a².
Eneo la sehemu, linalohesabiwa kama Sreg = Sc - S▲, ni sawa na:
Sreg = πa²/6 - √3/4*a²
Kubadilisha thamani ya nambari Badala ya thamani a, unaweza kuhesabu kwa urahisi thamani ya nambari ya eneo la sehemu.
Mfano 2
Radi ya mduara sawa na thamani A. Kipimo cha digrii ya arc inayolingana na sehemu ni 60 °. Pata eneo la sehemu ya mviringo.
Suluhisho:
Eneo la sekta inayolingana pembe iliyopewa inaweza kuhesabiwa kwa kutumia formula ifuatayo:
Sc = πа²/360°*60° = πa²/6,
Eneo la pembetatu inayolingana na sekta imehesabiwa kama ifuatavyo:
S▲=1/2*ah, ambapo h ni urefu unaotolewa kutoka kwenye kipeo cha pembe ya kati hadi kwenye chord. Kulingana na nadharia ya Pythagorean h=√(a²-a²/4)= √3*a/2.
Ipasavyo, S▲=√3/4*a².
Na mwishowe, eneo la sehemu, iliyohesabiwa kama Sreg = Sc - S▲, ni sawa na:
Sreg = πa²/6 - √3/4*a².
Suluhisho katika visa vyote viwili ni karibu kufanana. Kwa hivyo, tunaweza kuhitimisha kuwa kuhesabu eneo la sehemu katika kesi rahisi, inatosha kujua thamani ya pembe inayolingana na safu ya sehemu na moja ya vigezo viwili - ama radius ya duara au. urefu wa chord inayopunguza safu ya duara inayounda sehemu.
Vyanzo:
- Sehemu - jiometri
Mara nyingi, mchakato wa kuandaa Mtihani wa Jimbo la Umoja katika hesabu huanza na marudio ya ufafanuzi wa kimsingi, kanuni na nadharia, pamoja na mada "Pembe za kati na zilizoandikwa kwenye mduara." Kwa kawaida, sehemu hii planimetry imekuwa alisoma tangu sekondari. Haishangazi kwamba wanafunzi wengi wanakabiliwa na hitaji la kurudia dhana za msingi na nadharia juu ya mada "Pembe ya kati ya duara." Baada ya kuelewa algorithm ya suluhisho kazi zinazofanana, wanafunzi wataweza kuhesabu kupokea alama za ushindani kulingana na matokeo ya kufaulu mtihani wa serikali ya umoja.
Jinsi ya kujiandaa kwa urahisi na kwa ufanisi kwa kupita mtihani wa udhibitisho?
Kusoma kabla ya kupita single mtihani wa serikali, wanafunzi wengi wa shule za upili wanakabiliwa na tatizo la kupata taarifa muhimu juu ya mada "Pembe za kati na zilizoandikwa kwenye mduara." Si mara zote kitabu cha shule inapatikana kwa mkono. Na kutafuta fomula kwenye Mtandao wakati mwingine huchukua muda mwingi.
Timu yetu itakusaidia "kusukuma" ujuzi wako na kuboresha ujuzi wako katika sehemu ngumu ya jiometri kama planimetry. portal ya elimu. "Shkolkovo" inatoa wanafunzi wa shule ya sekondari na walimu wao njia mpya ya kujenga mchakato wa kuandaa mtihani wa umoja wa serikali. Nyenzo zote za msingi zinawasilishwa na wataalamu wetu kwa kiwango cha juu iwezekanavyo. fomu inayopatikana. Baada ya kusoma habari katika sehemu ya "Usuli wa Kinadharia", wanafunzi watajifunza sifa ambazo pembe ya kati ya duara ina, jinsi ya kupata thamani yake, nk.
Kisha, ili kuunganisha ujuzi uliopatikana na ujuzi wa mazoezi, tunapendekeza kufanya mazoezi sahihi. Uchaguzi mkubwa wa kazi za kutafuta ukubwa wa pembe iliyoandikwa kwenye mduara na vigezo vingine huwasilishwa katika sehemu ya "Catalogue". Kwa kila zoezi, wataalam wetu waliandika suluhisho la kina na walionyesha jibu sahihi. Orodha ya kazi kwenye wavuti inaongezewa kila wakati na kusasishwa.
Wanafunzi wa shule ya upili wanaweza kujiandaa kwa Mtihani wa Jimbo la Umoja kwa kufanya mazoezi ya mazoezi, kwa mfano, kupata ukubwa wa pembe ya kati na urefu wa safu ya duara, mkondoni, kutoka mkoa wowote wa Urusi.
Ikiwa ni lazima, kazi iliyokamilishwa inaweza kuokolewa katika sehemu ya "Favorites" ili kurudi baadaye na kwa mara nyingine kuchambua kanuni ya suluhisho lake.
Hii ni pembe inayoundwa na mbili nyimbo, inayotokana na hatua moja kwenye duara. Pembe iliyoandikwa inasemekana kuwa mapumziko kwenye arc iliyofungwa kati ya pande zake.
Pembe iliyoandikwa sawa na nusu ya arc ambayo inakaa.
Kwa maneno mengine, pembe iliyoandikwa inajumuisha digrii nyingi za angular, dakika na sekunde kama digrii za arc, dakika na sekunde zinazomo katika nusu ya arc ambayo hutegemea. Ili kuhalalisha hili, hebu tuchambue kesi tatu:
Kesi ya kwanza:
Center O iko upande pembe iliyoandikwa ABC. Kuchora radius AO, tunapata ΔABO, ndani yake OA = OB (kama radii) na, ipasavyo, ∠ABO = ∠BAO. Kuhusiana na hili pembetatu, angle AOC - nje. Na hiyo inamaanisha yeye sawa na jumla pembe ABO na BAO, au sawa na kona mbili ABO. Kwa hivyo ∠ABO ni sawa na nusu pembe ya kati AOC. Lakini angle hii inapimwa na arc AC. Hiyo ni, angle iliyoandikwa ABC inapimwa na nusu ya arc AC.
Kesi ya pili:
Center O iko kati ya pande pembe iliyoandikwa ABC Baada ya kuchora kipenyo cha BD, tunagawanya pembe ABC katika pembe mbili, ambazo, kulingana na kesi ya kwanza, moja hupimwa kwa nusu. arcs AD, na nusu nyingine ya arc CD. Na ipasavyo, angle ABC inapimwa (AD + DC) /2, i.e. 1/2 AC.
Kesi ya tatu:
Center O iko nje pembe iliyoandikwa ABC. Kuchora kipenyo BD, tutakuwa na:∠ABC = ∠ABD - ∠CBD . Lakini pembe ABD na CBD hupimwa kulingana na nusu iliyohalalishwa hapo awali arc AD na CD. Na kwa kuwa ∠ABC inapimwa kwa (AD-CD)/2, yaani, nusu ya arc AC.
Muhimu 1. Yoyote kulingana na arc sawa ni sawa, yaani, sawa na kila mmoja. Kwa kuwa kila mmoja wao hupimwa kwa nusu ya sawa arcs .
Muhimu 2. Pembe iliyoandikwa, kulingana na kipenyo - pembe ya kulia. Kwa kuwa kila angle hiyo inapimwa na nusu ya nusu na, ipasavyo, ina 90 °.