Uhusiano wa upande kinyume. Pembetatu ya kulia: sine, kosine, tangent, cotangent ya pembe

Maagizo

Pembetatu inaitwa pembe ya kulia ikiwa moja ya pembe zake ni digrii 90. Inajumuisha miguu miwili na hypotenuse. Hypotenuse inaitwa upande mkubwa pembetatu hii. Inalala dhidi ya pembe ya kulia. Miguu, ipasavyo, inaitwa pande zake ndogo. Wanaweza kuwa sawa kwa kila mmoja au kuwa na ukubwa tofauti. Usawa wa miguu ndio unafanya kazi na pembetatu ya kulia. Uzuri wake ni kwamba unachanganya takwimu mbili: mstatili na pembetatu ya isosceles. Ikiwa miguu si sawa, basi pembetatu ni ya kiholela na hufuata sheria ya msingi: pembe kubwa, zaidi ya moja amelala kinyume chake inazunguka.

Kuna njia kadhaa za kupata hypotenuse na pembe. Lakini kabla ya kutumia mmoja wao, unapaswa kuamua ni angle gani inayojulikana. Ikiwa unapewa pembe na upande ulio karibu nayo, basi ni rahisi kupata hypotenuse kwa kutumia cosine ya pembe. Cosine angle ya papo hapo(cos a) katika pembetatu ya kulia inaitwa uwiano mguu wa karibu kwa hypotenuse. Inafuata kwamba hypotenuse (c) itakuwa sawa na uwiano wa mguu wa karibu (b) na cosine ya pembe a (cos a). Hii inaweza kuandikwa hivi: cos a=b/c => c=b/cos a.

Ikiwa pembe na mguu wa kinyume hutolewa, basi unapaswa kufanya kazi. Sini ya pembe ya papo hapo (sin a) katika pembetatu ya kulia ni uwiano upande kinyume(a) kwa hypotenuse (c). Hapa kanuni ni sawa na katika mfano uliopita, tu badala ya kazi ya cosine, sine inachukuliwa. dhambi a=a/c => c=a/dhambi a.

Unaweza pia kutumia kazi ya trigonometric kama vile . Lakini kupata thamani inayotaka itakuwa ngumu zaidi. Tangent ya pembe ya papo hapo (tg a) katika pembetatu ya kulia ni uwiano wa mguu wa kinyume (a) na mguu wa karibu (b). Baada ya kupata pande zote mbili, tumia nadharia ya Pythagorean (mraba wa hypotenuse sawa na jumla mraba wa miguu) na kubwa zaidi itapatikana.

Kumbuka

Unapofanya kazi na nadharia ya Pythagorean, kumbuka kuwa unashughulika na digrii. Baada ya kupata jumla ya mraba wa miguu, unahitaji kuchukua mizizi ya mraba kupata jibu la mwisho.

Vyanzo:

jinsi ya kupata mguu na hypotenuse

Hypotenuse ni upande katika pembetatu ya kulia ambayo iko kinyume na pembe ya digrii 90. Ili kuhesabu urefu wake, inatosha kujua urefu wa moja ya miguu na saizi ya moja ya pembe za papo hapo za pembetatu.

Maagizo

Kwa kuzingatia pembe ya mstatili inayojulikana na ya papo hapo, basi saizi ya hypotenuse itakuwa uwiano wa mguu kwa / wa pembe hii, ikiwa pembe hii ni kinyume / karibu nayo:

h = C1 (au C2)/sinα;

h = C1 (au C2)/cosα.

Mfano: Acha ABC yenye hypotenuse AB na C itolewe.Acha angle B iwe digrii 60 na angle A iwe digrii 30. Urefu wa mguu BC ni cm 8. Urefu wa hypotenuse AB unahitajika. Ili kufanya hivyo, unaweza kutumia njia yoyote iliyopendekezwa hapo juu:

AB = BC/cos60 = 8 cm.

AB = BC/sin30 = 8 cm.

Neno" mguu" Imetoholewa kutoka Maneno ya Kigiriki"perpendicular" au "bomba" - hii inaelezea kwa nini pande zote mbili za pembetatu ya kulia, inayojumuisha angle yake ya digrii tisini, ziliitwa hivyo. Tafuta urefu wa yoyote kati ya mguu ov sio ngumu ikiwa thamani ya pembe ya karibu na vigezo vingine vinajulikana, kwani katika kesi hii maadili ya pembe zote tatu yatajulikana.

Maagizo

Ikiwa, pamoja na thamani ya pembe iliyo karibu (β), urefu wa pili mguu a (b), kisha urefu mguu na (a) inaweza kufafanuliwa kama sehemu ya urefu wa inayojulikana mguu na kwa pembe inayojulikana: a=b/tg(β). Hii inafuatia kutokana na ufafanuzi wa trigonometric hii. Unaweza kufanya bila tangent ikiwa unatumia nadharia. Inafuata kutoka kwa hiyo kwamba urefu wa taka kwa sine ya pembe tofauti na uwiano wa urefu wa inayojulikana. mguu na kwa sine ya pembe inayojulikana. Kinyume na taka mguu y pembe ya papo hapo inaweza kuonyeshwa kupitia pembe inayojulikana kama 180°-90°-β = 90°-β, kwani jumla ya pembe zote za pembetatu yoyote lazima iwe 180°, na moja ya pembe zake ni 90°. Kwa hivyo, urefu unaohitajika mguu na inaweza kuhesabiwa kwa kutumia fomula a=sin(90°-β)∗b/sin(β).

Ikiwa thamani ya pembe iliyo karibu (β) na urefu wa hypotenuse (c) inajulikana, basi urefu mguu na (a) inaweza kuhesabiwa kama bidhaa ya urefu wa hypotenuse na kosine ya pembe inayojulikana: a=c∗cos(β). Hii inafuatia kutokana na ufafanuzi wa cosine kama chaguo za kukokotoa za trigonometriki. Lakini unaweza kutumia, kama katika hatua ya awali, theorem ya sines na kisha urefu wa taka mguu a itakuwa sawa na bidhaa ya sine kati ya 90° na angle inayojulikana uwiano wa urefu wa hypotenuse kwa sine ya pembe ya kulia. Na kwa kuwa sine ni 90 ° sawa na moja, basi tunaweza kuiandika hivi: a=sin(90°-β)∗c.

Mahesabu ya vitendo yanaweza kufanywa, kwa mfano, kwa kutumia OS iliyojumuishwa Programu ya Windows kikokotoo. Ili kuiendesha, unaweza kuchagua "Run" kutoka kwenye orodha kuu kwenye kitufe cha "Anza", chapa amri ya calc na ubofye "Sawa". Katika toleo rahisi zaidi la interface ya programu hii ambayo inafungua kwa default kazi za trigonometric haijatolewa, kwa hivyo baada ya kuizindua unahitaji kubofya sehemu ya "Angalia" kwenye menyu na uchague mstari "Kisayansi" au "Uhandisi" (kulingana na toleo lililotumiwa. mfumo wa uendeshaji).

Video kwenye mada

Neno "kathet" lilikuja kwa Kirusi kutoka kwa Kigiriki. KATIKA tafsiri sahihi ina maana ya bomba, yaani, perpendicular kwa uso wa dunia. Katika hisabati, miguu ni pande zinazounda pembe ya kulia ya pembetatu ya kulia. Upande ulio kinyume na pembe hii inaitwa hypotenuse. Neno "cathet" pia hutumiwa katika usanifu na teknolojia kazi ya kulehemu.

Chora pembetatu ya kulia DIA. Weka miguu yake alama kama a na b, na hypotenuse yake kama c. Pande zote na pembe za pembetatu ya kulia hufafanuliwa kati yao wenyewe. Uwiano wa mguu kinyume na moja ya pembe za papo hapo kwa hypotenuse inaitwa sine pembe iliyopewa. KATIKA pembetatu iliyotolewa sinCAB=a/c. Cosine ni uwiano wa hypotenuse ya mguu wa karibu, yaani, cosCAB=b/c. Mahusiano ya kinyume huitwa secant na cosecant.

Secant ya angle hii inapatikana kwa kugawanya hypotenuse na mguu wa karibu, yaani, secCAB = c / b. Matokeo yake ni ulinganifu wa kosine, yaani, inaweza kuonyeshwa kwa kutumia fomula secCAB=1/cosSAB.
Kosekanati ni sawa na mgawo wa hypotenuse iliyogawanywa na upande wa pili na ni wingi. kinyume cha sine. Inaweza kuhesabiwa kwa kutumia fomula cosecCAB=1/sinCAB

Miguu yote miwili imeunganishwa kwa kila mmoja na kwa cotangent. KATIKA kwa kesi hii tangent itakuwa uwiano wa upande a kwa upande b, yaani, upande kinyume na upande wa karibu. Uhusiano huu unaweza kuonyeshwa kwa fomula tgCAB=a/b. Kwa mtiririko huo, uhusiano wa kinyume kutakuwa na cotangent: ctgCAB=b/a.

Uhusiano kati ya ukubwa wa hypotenuse na miguu yote miwili imedhamiriwa na Pythagoras ya kale ya Kigiriki. Watu bado wanatumia nadharia na jina lake. Inasema kwamba mraba wa hypotenuse ni sawa na jumla ya mraba wa miguu, yaani, c2 = a2 + b2. Ipasavyo, kila mguu utakuwa sawa na kipeo kutoka kwa tofauti kati ya mraba wa hypotenuse na mguu mwingine. Fomula hii inaweza kuandikwa kama b=√(c2-a2).

Urefu wa mguu pia unaweza kuonyeshwa kupitia uhusiano unaojulikana kwako. Kulingana na nadharia za sines na cosines, mguu sawa na bidhaa hypotenuse kwa moja ya kazi hizi. Inaweza kuonyeshwa kama na au cotangent. Mguu a unaweza kupatikana, kwa mfano, kwa kutumia formula a = b*tan CAB. Kwa njia sawa, kulingana na tangent iliyotolewa au , mguu wa pili umeamua.

Neno "cathet" pia hutumiwa katika usanifu. Inatumika kwa mji mkuu wa Ionic na inapita katikati ya mgongo wake. Hiyo ni, katika kesi hii, neno hili ni perpendicular kwa mstari fulani.

Katika teknolojia ya kulehemu kuna "fillet weld mguu". Kama katika hali nyingine, hii ni umbali mfupi zaidi. Hapa tunazungumzia kuhusu pengo kati ya sehemu moja ya svetsade hadi mpaka wa mshono ulio juu ya uso wa sehemu nyingine.

Video kwenye mada

Vyanzo:

mguu na hypotenuse ni nini mnamo 2019

Sinus pembe ya papo hapo α ya pembetatu ya kulia ni uwiano kinyume mguu hadi hypotenuse.
Inaonyeshwa kama ifuatavyo: dhambi α.

Cosine Pembe ya papo hapo α ya pembetatu ya kulia ni uwiano wa mguu wa karibu na hypotenuse.
Imeteuliwa kama ifuatavyo: cos α.

Tangenti pembe ya papo hapo α ni uwiano wa upande kinyume na upande wa karibu.
Imeteuliwa kama ifuatavyo: tg α.

Cotangent pembe ya papo hapo α ni uwiano wa upande wa karibu na upande wa kinyume.
Imeteuliwa kama ifuatavyo: ctg α.

Sine, kosine, tangent na cotangent ya pembe hutegemea tu ukubwa wa pembe.

Kanuni:

Msingi vitambulisho vya trigonometric katika pembetatu ya kulia:

(α - pembe ya papo hapo kinyume na mguu b na karibu na mguu a . Upande Na - hypotenuse. β - pembe ya pili ya papo hapo).

b dhambi α = - c	dhambi 2 α + cos 2 α = 1
a cos α = - c	1 1 + tani 2 α = -- kwa 2a
b tan α = - a	1 1 + ctg 2 α = -- dhambi 2 alpha
a ctg α = - b	1 1 1 + -- = -- tan 2 α dhambi 2 α
dhambi α tg α = -- kwani α

Kadiri pembe ya papo hapo inavyoongezekadhambi α natan α kuongezeka, nacos α hupungua.

Kwa pembe yoyote ya papo hapo α:

dhambi (90° – α) = cos α

cos (90° – α) = dhambi α

Mfano-maelezo:

Weka pembetatu ya kulia ABC
AB = 6,
BC = 3,
pembe A = 30º.

Wacha tujue sine ya pembe A na kosine ya pembe B.

Suluhisho .

1) Kwanza, tunapata thamani ya pembe B. Kila kitu ni rahisi hapa: kwa kuwa katika pembetatu ya kulia jumla ya pembe za papo hapo ni 90º, kisha angle B = 60º:

B = 90º - 30º = 60º.

2) Hebu tuhesabu dhambi A. Tunaijua sine sawa na uwiano upande mwingine wa hypotenuse. Kwa pembe A, upande wa kinyume ni upande BC. Kwa hivyo:

KK 3 1
dhambi A = -- = - = -
AB 6 2

3) Sasa hebu tuhesabu cos B. Tunajua kwamba cosine ni sawa na uwiano wa mguu wa karibu na hypotenuse. Kwa pembe B, mguu wa karibu ni upande sawa wa BC. Hii inamaanisha kuwa tunahitaji tena kugawanya BC na AB - ambayo ni, kufanya vitendo sawa na wakati wa kuhesabu sine ya pembe A:

KK 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2

Matokeo yake ni:
dhambi A = cos B = 1/2.

dhambi 30º = cos 60º = 1/2.

Inafuata kutoka kwa hili kwamba katika pembetatu ya kulia sine ya pembe moja ya papo hapo ni sawa na cosine angle nyingine ya papo hapo - na kinyume chake. Hivi ndivyo kanuni zetu mbili zinamaanisha:
dhambi (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = dhambi α

Hebu tuhakikishe hili tena:

1) Acha α = 60º. Kubadilisha thamani ya α kwenye fomula ya sine, tunapata:
dhambi (90º - 60º) = cos 60º.
dhambi 30º = cos 60º.

2) Acha α = 30º. Kubadilisha thamani ya α kwenye formula ya cosine, tunapata:
cos (90° – 30º) = dhambi 30º.
cos 60° = dhambi 30º.

(Kwa habari zaidi kuhusu trigonometry, angalia sehemu ya Aljebra)

Trigonometry - sehemu sayansi ya hisabati, ambayo inachunguza kazi za trigonometric na matumizi yao katika jiometri. Maendeleo ya trigonometry ilianza katika Ugiriki ya kale. Wakati wa Zama za Kati mchango muhimu Wanasayansi kutoka Mashariki ya Kati na India walichangia maendeleo ya sayansi hii.

Makala hii imejitolea dhana za msingi na ufafanuzi wa trigonometry. Inajadili ufafanuzi wa kazi za msingi za trigonometric: sine, cosine, tangent na cotangent. Maana yao inaelezewa na kuonyeshwa katika muktadha wa jiometri.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Hapo awali, ufafanuzi wa kazi za trigonometric ambazo hoja yake ni pembe ilionyeshwa kwa uwiano wa pande za pembetatu ya kulia.

Ufafanuzi wa kazi za trigonometric

Sini ya pembe (sin α) ni uwiano wa mguu kinyume na pembe hii kwa hypotenuse.

Cosine ya pembe (cos α) - uwiano wa mguu wa karibu na hypotenuse.

Angle tangent (t g α) - uwiano wa upande kinyume na upande wa karibu.

Angle cotangent (c t g α) - uwiano wa upande wa karibu na upande wa kinyume.

Ufafanuzi huu umetolewa kwa pembe ya papo hapo ya pembetatu ya kulia!

Hebu tutoe kielelezo.

Katika pembetatu ABC yenye pembe ya kulia C, sine ya pembe A ni sawa na uwiano wa mguu BC na hypotenuse AB.

Ufafanuzi wa sine, cosine, tangent na cotangent hukuruhusu kuhesabu maadili ya kazi hizi kutoka kwa urefu unaojulikana wa pande za pembetatu.

Muhimu kukumbuka!

Aina mbalimbali za thamani za sine na kosine ni kutoka -1 hadi 1. Kwa maneno mengine, sine na kosine huchukua maadili kutoka -1 hadi 1. Aina mbalimbali za thamani za tangent na cotangent ni mstari mzima wa nambari, yaani, kazi hizi zinaweza kuchukua maadili yoyote.

Ufafanuzi uliotolewa hapo juu unatumika kwa pembe kali. Katika trigonometry, dhana ya angle ya mzunguko imeanzishwa, thamani ambayo, tofauti na angle ya papo hapo, sio mdogo kwa digrii 0 hadi 90. Pembe ya mzunguko katika digrii au radians inaonyeshwa na nambari yoyote halisi kutoka - ∞ hadi + ∞ .

Katika muktadha huu, tunaweza kufafanua sine, kosine, tanjiti na kotanjiti ya pembe ya ukubwa wa kiholela. Wacha tufikirie mduara wa kitengo na kituo chake katika asili ya mfumo wa kuratibu wa Cartesian.

Sehemu ya kuanzia A iliyo na viwianishi (1, 0) inazungushwa katikati mduara wa kitengo kwa pembe fulani α na kwenda kwa uhakika A 1 . Ufafanuzi hutolewa kwa mujibu wa kuratibu za uhakika A 1 (x, y).

Sine (dhambi) ya pembe ya mzunguko

Sini ya pembe ya mzunguko α ni mratibu wa hatua A 1 (x, y). dhambi α = y

Cosine (cos) ya pembe ya mzunguko

Cosine ya pembe ya mzunguko α ni abscissa ya uhakika A 1 (x, y). maana α = x

Tanji (tg) ya pembe ya mzunguko

Tangent ya angle ya mzunguko α ni uwiano wa kuratibu wa uhakika A 1 (x, y) kwa abscissa yake. t g α = y x

Kotanjenti (ctg) ya pembe ya mzunguko

Cotangent ya pembe ya mzunguko α ni uwiano wa abscissa ya uhakika A 1 (x, y) kwa kuratibu kwake. c t g α = x y

Sine na cosine hufafanuliwa kwa pembe yoyote ya mzunguko. Hii ni mantiki, kwa sababu abscissa na kuratibu ya hatua baada ya mzunguko inaweza kuamua kwa pembe yoyote. Hali ni tofauti na tangent na cotangent. Tangent haijafafanuliwa wakati hatua baada ya kuzunguka inaenda kwa uhakika na sifuri abscissa (0, 1) na (0, - 1). Katika hali kama hizi, usemi wa tangent t g α = y x hauna maana, kwani una mgawanyiko kwa sifuri. Hali ni sawa na cotangent. Tofauti ni kwamba kotanjiti haijafafanuliwa katika hali ambapo mpangilio wa nukta huenda hadi sifuri.

Muhimu kukumbuka!

Sine na kosine hufafanuliwa kwa pembe zozote α.

Tanji hufafanuliwa kwa pembe zote isipokuwa α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

Kotanjiti hufafanuliwa kwa pembe zote isipokuwa α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Wakati wa kuamua mifano ya vitendo usiseme "sine ya pembe ya mzunguko α". Maneno "pembe ya mzunguko" yameachwa tu, ikimaanisha kwamba tayari iko wazi kutoka kwa muktadha kile kinachojadiliwa.

Nambari

Vipi kuhusu ufafanuzi wa sine, kosine, tanjiti na kotanjiti ya nambari, na si pembe ya mzunguko?

Sine, kosine, tanjiti, cotangent ya nambari

Sine, kosine, tanjiti na cotangent ya nambari t ni nambari ambayo mtawalia ni sawa na sine, kosine, tanjiti na cotangent ndani t radian.

Kwa mfano, sine ya nambari 10 π ni sawa na sine ya pembe ya mzunguko ya 10 π rad.

Kuna mbinu nyingine ya kubainisha sine, kosine, tanjiti na kotanjiti ya nambari. Hebu tuangalie kwa karibu zaidi.

Yeyote nambari halisi t hatua kwenye mduara wa kitengo inahusishwa na kituo kwenye asili ya mfumo wa kuratibu wa Cartesian ya mstatili. Sine, cosine, tangent na cotangent imedhamiriwa kupitia kuratibu za hatua hii.

Sehemu ya kuanzia kwenye duara ni hatua A iliyo na viwianishi (1, 0).

Nambari chanya t

Nambari hasi t inalingana na hatua ambayo hatua ya kuanzia itaenda ikiwa inazunguka mduara kinyume na saa na itapita njia t.

Sasa kwa kuwa uhusiano kati ya nambari na hatua kwenye mduara umeanzishwa, tunaendelea kwenye ufafanuzi wa sine, cosine, tangent na cotangent.

Sine (dhambi) ya t

Sine ya nambari t- mpangilio wa nukta kwenye duara ya kitengo inayolingana na nambari t. dhambi t = y

Cosine (cos) ya t

Cosine ya nambari t- abscissa ya hatua ya mzunguko wa kitengo sambamba na nambari t. gharama t = x

Tangenti (tg) ya t

Tanji ya nambari t- uwiano wa kuratibu kwa abscissa ya uhakika kwenye mzunguko wa kitengo unaofanana na nambari t. t g t = y x = dhambi t cos t

Ufafanuzi wa hivi karibuni ni kwa mujibu wa na haupingani na ufafanuzi uliotolewa mwanzoni mwa aya hii. Pointi kwenye duara sambamba na nambari t, inafanana na hatua ambayo hatua ya kuanzia huenda baada ya kugeuka kwa pembe t radian.

Utendakazi wa trigonometriki za hoja ya angular na nambari

Kila thamani ya pembe α inalingana na thamani maalum sine na kosine ya pembe hii. Kama vile pembe zote α zaidi ya α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) zinalingana na thamani fulani ya tanjiti. Kotanjiti, kama ilivyoelezwa hapo juu, imefafanuliwa kwa α zote isipokuwa α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

Tunaweza kusema kwamba dhambi α, cos α, t g α, c t g α ni kazi za alfa ya pembe, au kazi za hoja ya angular.

Vile vile, tunaweza kuzungumza kuhusu sine, kosine, tanjiti na kotanji kama vitendakazi hoja ya nambari. Kila nambari halisi t inalingana na thamani fulani ya sine au kosine ya nambari t. Nambari zote isipokuwa π 2 + π · k, k ∈ Z, zinalingana na thamani ya tanjiti. Cotangent, vile vile, imefafanuliwa kwa nambari zote isipokuwa π · k, k ∈ Z.

Kazi za msingi za trigonometry

Sine, kosine, tangent na cotangent ni kazi za msingi za trigonometric.

Kwa kawaida huwa wazi kutokana na muktadha ni hoja gani ya kitendakazi cha trigonometriki (hoja ya angular au hoja ya nambari) tunayoshughulikia.

Wacha turudi kwenye ufafanuzi uliotolewa mwanzoni kabisa na pembe ya alfa, ambayo iko katika safu kutoka digrii 0 hadi 90. Ufafanuzi wa trigonometric sine, kosine, tanjiti na kotanjenti zinaendana kabisa ufafanuzi wa kijiometri, iliyotolewa kwa kutumia uwiano wa vipengele vya pembetatu ya kulia. Hebu tuonyeshe.

Chukua mduara wa kitengo na katikati kwenye mstatili Mfumo wa Cartesian kuratibu Hebu tuzungushe hatua ya kuanzia A (1, 0) kwa pembe ya hadi digrii 90 na kuteka perpendicular kwa mhimili wa abscissa kutoka kwa hatua ya kusababisha A 1 (x, y). Katika pembetatu ya kulia inayosababisha, pembe A 1 O H sawa na pembe kugeuka α, urefu wa mguu O H ni sawa na abscissa ya uhakika A 1 (x, y). Urefu wa mguu kinyume na angle ni sawa na kuratibu ya hatua A 1 (x, y), na urefu wa hypotenuse ni sawa na moja, kwa kuwa ni radius ya mzunguko wa kitengo.

Kwa mujibu wa ufafanuzi kutoka kwa jiometri, sine ya angle α ni sawa na uwiano wa upande wa kinyume na hypotenuse.

dhambi α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Hii inamaanisha kuwa kubainisha sine ya pembe ya papo hapo katika pembetatu ya kulia kupitia uwiano wa kipengele ni sawa na kubainisha sine ya pembe ya mzunguko α, huku alfa ikiwa katika safu kutoka digrii 0 hadi 90.

Vile vile, mawasiliano ya ufafanuzi yanaweza kuonyeshwa kwa cosine, tangent na cotangent.

Ukiona hitilafu katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter

Sine, cosine, tangent, cotangent ya pembe ni nini itakusaidia kuelewa pembetatu sahihi.

Pande za pembetatu ya kulia zinaitwaje? Hiyo ni kweli, hypotenuse na miguu: hypotenuse ni upande ulio kinyume na pembe ya kulia (kwa mfano wetu hii ni upande \(AC\)); miguu ni pande mbili zilizobaki \(AB\) na \(BC\) (zilizo karibu na pembe ya kulia), na, ikiwa tunazingatia miguu inayohusiana na pembe \(BC\), basi mguu \(AB\) ni mguu wa karibu, na mguu \(BC\) ni kinyume chake. Kwa hiyo, sasa hebu tujibu swali: sine, cosine, tangent na cotangent ya angle ni nini?

Sine ya pembe- hii ni uwiano wa mguu wa kinyume (mbali) kwa hypotenuse.

Katika pembetatu yetu:

\[ \dhambi \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Cosine ya pembe- hii ni uwiano wa mguu wa karibu (karibu) na hypotenuse.

Katika pembetatu yetu:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Tangent ya pembe- hii ni uwiano wa upande wa kinyume (mbali) kwa karibu (karibu).

Katika pembetatu yetu:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Cotangent ya pembe- hii ni uwiano wa mguu wa karibu (karibu) hadi kinyume (mbali).

Katika pembetatu yetu:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Ufafanuzi huu ni muhimu kumbuka! Ili iwe rahisi kukumbuka ni mguu gani wa kugawanya katika nini, unahitaji kuelewa wazi kuwa ndani tangent Na kotangent miguu tu hukaa, na hypotenuse inaonekana tu ndani sinus Na kosini. Na kisha unaweza kuja na mlolongo wa vyama. Kwa mfano, hii:

Cosine→gusa→gusa→karibu;

Cotangent→gusa→gusa→karibu.

Kwanza kabisa, unahitaji kukumbuka kuwa sine, cosine, tangent na cotangent kwani uwiano wa pande za pembetatu hautegemei urefu wa pande hizi (kwa pembe sawa). Usiamini? Kisha hakikisha kwa kuangalia picha:

Fikiria, kwa mfano, cosine ya pembe \(\beta \) . Kwa ufafanuzi, kutoka kwa pembetatu \(ABC\) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), lakini tunaweza kuhesabu cosine ya pembe \(\beta \) kutoka kwa pembetatu \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Unaona, urefu wa pande ni tofauti, lakini thamani ya cosine ya pembe moja ni sawa. Kwa hivyo, maadili ya sine, cosine, tangent na cotangent inategemea tu ukubwa wa pembe.

Ikiwa unaelewa ufafanuzi, basi endelea na uimarishe!

Kwa pembetatu \ (ABC \) iliyoonyeshwa kwenye takwimu hapa chini, tunapata \(\dhambi \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\anza(safu)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\\alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\mwisho(safu) \)

Naam, umeipata? Kisha jaribu mwenyewe: hesabu sawa kwa pembe \(\beta \) .

Majibu: \(\dhambi \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Mduara wa kitengo (trigonometric).

Kwa kuelewa dhana za digrii na radiani, tulizingatia mduara wenye kipenyo sawa na \(1\) . Mzunguko kama huo unaitwa single. Itakuwa muhimu sana wakati wa kusoma trigonometry. Kwa hiyo, hebu tuangalie kwa undani zaidi.

Kama unavyoona, mduara uliopewa iliyojengwa katika mfumo wa kuratibu wa Cartesian. Radi ya duara ni sawa na moja, na katikati ya duara iko kwenye asili, nafasi ya kuanzia Vekta ya radius imewekwa kando ya mwelekeo mzuri wa mhimili \(x\) (kwa mfano wetu, hii ni radius \(AB\)).

Kila nukta kwenye duara inalingana na nambari mbili: kuratibu kando ya mhimili \(x\) na kuratibu kando ya mhimili wa \(y\). Nambari hizi za kuratibu ni nini? Na kwa ujumla, wana uhusiano gani na mada iliyopo? Ili kufanya hivyo, tunahitaji kukumbuka juu ya pembetatu inayozingatiwa ya kulia. Katika takwimu hapo juu, unaweza kuona pembetatu mbili za kulia. Fikiria pembetatu \(ACG\) . Ni ya mstatili kwa sababu \(CG\) inaendana na mhimili \(x\) .

\(\cos \\alpha \) kutoka kwa pembetatu \(ACG \) ni nini? Hiyo ni sawa \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Kwa kuongeza, tunajua kwamba \(AC\) ni radius ya duara ya kitengo, ambayo ina maana \(AC=1\) . Hebu tubadilishe thamani hii katika fomula yetu ya cosine. Hiki ndicho kinachotokea:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

\(\dhambi \\alpha \) kutoka kwa pembetatu \(ACG \) ni sawa na nini? Naam, bila shaka, \(\dhambi \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Badilisha thamani ya radius \(AC\) kwenye fomula hii na upate:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Kwa hivyo, unaweza kusema ni nini kinachoratibu hatua \(C\) ya mduara inayo? Naam, hakuna njia? Je, ikiwa utagundua kuwa \(\cos \ \alpha \) na \(\sin \alpha \) ni nambari tu? \(\cos \alpha \) inalingana na kuratibu gani? Kweli, kwa kweli, kuratibu \(x\)! Na \(\sin \ alpha \) inalingana na uratibu gani? Hiyo ni kweli, ratibu \(y\)! Hivyo uhakika \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

Je, basi \(tg \alpha \) na \(ctg \alpha \) ni sawa na nini? Hiyo ni kweli, hebu tutumie ufafanuzi unaolingana wa tangent na cotangent na tupate hiyo \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

Nini ikiwa pembe ni kubwa zaidi? Kwa mfano, kama kwenye picha hii:

Nini kimebadilika katika katika mfano huu? Hebu tufikirie. Ili kufanya hivyo, hebu tugeuke tena kwenye pembetatu ya kulia. Zingatia pembetatu ya kulia \((A)_(1))((C)_(1))G \) : pembe (inayopakana na pembe \(\beta \) ). Ni nini thamani ya sine, kosine, tanjiti na kotanji kwa pembe \((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \\)? Hiyo ni kweli, tunafuata ufafanuzi unaolingana wa kazi za trigonometric:

\(\anza(safu)(l)\sin \pembe ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))(C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \pembe ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\pembe ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\pembe ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\mwisho(safu) \)

Kweli, kama unavyoona, thamani ya sine ya pembe bado inalingana na kuratibu \(y\) ; thamani ya cosine ya pembe - kuratibu \(x\) ; na maadili ya tangent na cotangent kwa uwiano unaolingana. Kwa hivyo, mahusiano haya yanatumika kwa mzunguko wowote wa vector ya radius.

Imetajwa tayari kuwa nafasi ya awali ya vekta ya radius iko kando ya mwelekeo mzuri wa mhimili \(x\). Kufikia sasa tumezungusha vekta hii kinyume cha saa, lakini ni nini hufanyika ikiwa tutaizungusha kisaa? Hakuna kitu cha ajabu, utapata pia angle ya thamani fulani, lakini tu itakuwa mbaya. Kwa hivyo, wakati wa kuzungusha vekta ya radius kinyume cha saa, tunapata pembe chanya, na wakati wa kuzunguka saa - hasi.

Kwa hivyo, tunajua kuwa mapinduzi yote ya vekta ya radius kuzunguka duara ni \(360()^\circ \) au \(2\pi \) . Je, inawezekana kuzungusha vekta ya radius na \(390()^\circ \) au kwa \(-1140()^\circ \)? Naam, bila shaka unaweza! Katika kesi ya kwanza, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), kwa hivyo, vekta ya radius itafanya mapinduzi moja kamili na kusimama kwenye nafasi \(30()^\circ \) au \(\dfrac(\pi )(6) \) .

Katika kesi ya pili, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), yaani, vector ya radius itafanya tatu mapinduzi kamili na itasimama katika nafasi \(-60()^\circ \) au \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Kwa hivyo, kutoka kwa mifano hapo juu tunaweza kuhitimisha kuwa pembe ambazo hutofautiana na \(360()^\circ \cdot m \) au \(2\pi \cdot m \) (ambapo \(m \) ni nambari yoyote), yanahusiana na nafasi sawa ya vector ya radius.

Kielelezo kilicho hapa chini kinaonyesha pembe \(\beta =-60()^\circ \) . Picha sawa inalingana na kona \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) na kadhalika. Orodha hii inaweza kuendelea kwa muda usiojulikana. Pembe hizi zote zinaweza kuandikwa na formula ya jumla \(\beta +360()^\circ \cdot m\) au \(\beta +2\pi \cdot m \) (ambapo \(m \) ni nambari kamili)

\(\anza(safu)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\mwisho(safu) \)

Sasa, ukijua ufafanuzi wa kazi za msingi za trigonometric na kutumia mduara wa kitengo, jaribu kujibu maadili ni nini:

\(\anza(safu)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\dhambi \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\mwisho(safu) \)

Hapa kuna mduara wa kitengo kukusaidia:

Je, una matatizo? Kisha tufikirie. Kwa hivyo tunajua kwamba:

\(\anza(safu)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\mwisho(safu)\)

Kuanzia hapa, tunaamua kuratibu za pointi zinazofanana na hatua fulani za angle. Kweli, wacha tuanze kwa mpangilio: kona ndani \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) inalingana na hatua iliyo na kuratibu \(\left(0;1 \right) \) , kwa hivyo:

\(\ dhambi 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- haipo;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Zaidi ya hayo, kwa kuzingatia mantiki hiyo hiyo, tunagundua kuwa pembe ndani \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\\ ) yanahusiana na pointi na kuratibu \(\kushoto(-1;0 \kulia),\text( )\kushoto(0;-1 \kulia),\text( )\left(1;0 \kulia),\text( )\left(0 ;1 \kulia) \), kwa mtiririko huo. Kujua hili, ni rahisi kuamua maadili ya kazi za trigonometric katika pointi zinazolingana. Jaribu mwenyewe kwanza, na kisha uangalie majibu.

Majibu:

\(\mtindo wa maonyesho \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\mtindo wa maonyesho \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\\pi =\dfrac(-1)(0)\rightarrow \text(ctg)\\pi \)- haipo

\(\dhambi \270()^\circ =-1\)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- haipo

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\dhambi \360()^\circ =0\)

\(\cos \360()^\circ =1\)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- haipo

\(\dhambi \ 450()^\circ =\sin \ \kushoto(360()^\circ +90()^\circ \kulia)=\dhambi \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \kushoto(360()^\circ +90()^\circ \kulia)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \kulia)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- haipo

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \kulia)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Kwa hivyo, tunaweza kutengeneza meza ifuatayo:

Hakuna haja ya kukumbuka maadili haya yote. Inatosha kukumbuka mawasiliano kati ya kuratibu za alama kwenye mduara wa kitengo na maadili ya kazi za trigonometric:

\(\kushoto. \anza(safu)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\mwisho(safu) \kulia\)\ \maandishi(Lazima ukumbuke au uweze kuionyesha!! \) !}

Lakini maadili ya kazi za trigonometric za pembe ndani na \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) kama inavyoonyeshwa kwenye jedwali hapa chini, lazima ukumbuke:

Usiogope, sasa tutakuonyesha mfano mmoja wa kukariri kwa urahisi kwa maadili yanayolingana:

Ili kutumia njia hii, ni muhimu kukumbuka maadili ya sine kwa hatua zote tatu za pembe ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), pamoja na thamani ya tangent ya pembe katika \(30()^\circ \) . Kujua maadili haya \(4\) ni rahisi sana kurejesha meza nzima - maadili ya cosine huhamishwa kwa mujibu wa mishale, ambayo ni:

\(\anza(safu)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \\\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\ \mwisho(safu) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), ukijua hili, unaweza kurejesha maadili ya \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Nambari "\(1 \)" italingana na \(\text(tg)\ 45()^\circ \\) na denominata "\(\sqrt(\text(3)) \)" italingana na \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Thamani za Cotangent huhamishwa kwa mujibu wa mishale iliyoonyeshwa kwenye takwimu. Ikiwa unaelewa hili na kukumbuka mchoro na mishale, basi itakuwa ya kutosha kukumbuka tu \(4\) maadili kutoka kwa meza.

Kuratibu za nukta kwenye duara

Je, inawezekana kupata uhakika (kuratibu zake) kwenye mduara, kujua kuratibu za katikati ya mduara, radius yake na angle ya mzunguko? Naam, bila shaka unaweza! Hebu tutoe nje formula ya jumla kupata viwianishi vya uhakika. Kwa mfano, hapa kuna duara mbele yetu:

Tunapewa hatua hiyo \(K(((x)_(0)));((y)_(0)))=K(3;2) \)- katikati ya mduara. Radi ya mduara ni \(1.5\) . Ni muhimu kupata kuratibu za uhakika \(P\) zilizopatikana kwa kuzungusha uhakika \(O\) na \(\delta \) digrii.

Kama inavyoonekana kutoka kwa takwimu, kuratibu \(x\) ya nukta \(P\) inalingana na urefu wa sehemu \(TP=UQ=UK+KQ\) . Urefu wa sehemu \(UK\) inalingana na kuratibu \(x\) ya katikati ya duara, yaani, ni sawa na \(3\) . Urefu wa sehemu \(KQ\) unaweza kuonyeshwa kwa kutumia ufafanuzi wa cosine:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \\delta \).

Halafu tunayo hiyo kwa uhakika \(P\) kuratibu \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1.5\cdot \cos \ \delta \).

Kwa kutumia mantiki sawa, tunapata thamani ya y kuratibu kwa uhakika \(P\) . Hivyo,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \\delta =2+1.5\cdot \sin \delta \).

Kwa hivyo, katika mtazamo wa jumla kuratibu za pointi imedhamiriwa na fomula:

\(\anza(safu)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \\delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \mwisho(safu) \), Wapi

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - kuratibu za katikati ya duara,

\(r\) - radius ya duara,

\(\delta \) - angle ya mzunguko wa radius ya vector.

Kama unaweza kuona, kwa mduara wa kitengo tunachozingatia, fomula hizi zimepunguzwa sana, kwani kuratibu za kituo ni sawa na sifuri na radius ni sawa na moja:

\(\anza(safu)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \\delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \\delta =0+1\cdot \sin \\delta =\sin \\delta \mwisho(safu) \)

Javascript imezimwa kwenye kivinjari chako.
Ili kufanya hesabu, lazima uwashe vidhibiti vya ActiveX!

Katika makala hii tutaonyesha jinsi ya kutoa ufafanuzi wa sine, kosine, tanjiti na kotangenti ya pembe na nambari katika trigonometria. Hapa tutazungumza juu ya nukuu, kutoa mifano ya maingizo, na kutoa vielelezo vya picha. Kwa kumalizia, hebu tuchore usawa kati ya ufafanuzi wa sine, cosine, tangent na cotangent katika trigonometry na jiometri.

Urambazaji wa ukurasa.

Ufafanuzi wa sine, kosine, tangent na cotangent

Wacha tuone jinsi wazo la sine, cosine, tangent na cotangent linaundwa ndani kozi ya shule hisabati. Katika masomo ya jiometri, ufafanuzi wa sine, cosine, tangent na cotangent ya angle ya papo hapo katika pembetatu ya kulia hutolewa. Na baadaye trigonometry inasomwa, ambayo inazungumzia sine, cosine, tangent na cotangent ya angle ya mzunguko na namba. Wacha tuwasilishe ufafanuzi huu wote, tutoe mifano na tutoe maoni muhimu.

Pembe ya papo hapo katika pembetatu ya kulia

Kutoka kwa kozi ya jiometri tunajua ufafanuzi wa sine, kosine, tanjiti na cotangent ya pembe ya papo hapo katika pembetatu ya kulia. Zinatolewa kama uwiano wa pande za pembetatu ya kulia. Wacha tutoe muundo wao.

Ufafanuzi.

Sine ya pembe ya papo hapo katika pembetatu ya kulia ni uwiano wa upande kinyume na hypotenuse.

Ufafanuzi.

Cosine ya pembe ya papo hapo katika pembetatu ya kulia ni uwiano wa mguu wa karibu na hypotenuse.

Ufafanuzi.

Tangenti ya pembe ya papo hapo katika pembetatu ya kulia- hii ni uwiano wa upande wa kinyume na upande wa karibu.

Ufafanuzi.

Cotangent ya pembe ya papo hapo katika pembetatu ya kulia- hii ni uwiano wa upande wa karibu na upande wa kinyume.

Majina ya sine, cosine, tangent na cotangent pia yanaletwa hapo - sin, cos, tg na ctg, mtawaliwa.

Kwa mfano, ikiwa ABC ni pembetatu ya kulia yenye pembe ya kulia C, basi sine ya pembe ya papo hapo A ni sawa na uwiano wa upande kinyume BC na hypotenuse AB, yaani, sin∠A=BC/AB.

Ufafanuzi huu hukuruhusu kuhesabu maadili ya sine, cosine, tangent na cotangent ya pembe ya papo hapo kutoka kwa urefu unaojulikana wa pande za pembetatu ya kulia, na vile vile kutoka. maadili yanayojulikana tafuta urefu wa pande nyingine kwa kutumia sine, kosine, tanjiti, kotanji na urefu wa moja ya pande. Kwa mfano, ikiwa tungejua kuwa katika pembetatu ya kulia mguu AC ni sawa na 3 na hypotenuse AB ni sawa na 7, basi tunaweza kuhesabu thamani ya cosine ya pembe ya papo hapo A kwa ufafanuzi: cos∠A=AC/ AB=3/7.

Pembe ya mzunguko

Katika trigonometry, wanaanza kuangalia angle kwa upana zaidi - wao huanzisha dhana ya angle ya mzunguko. Ukubwa wa pembe ya mzunguko, tofauti na pembe ya papo hapo, sio tu kwa digrii 0 hadi 90; pembe ya mzunguko katika digrii (na katika radiani) inaweza kuonyeshwa kwa nambari yoyote halisi kutoka -∞ hadi +∞.

Kwa mwanga huu, ufafanuzi wa sine, cosine, tangent na cotangent hutolewa si ya angle ya papo hapo, lakini ya angle ya ukubwa wa kiholela - angle ya mzunguko. Zinatolewa kupitia viwianishi vya x na y vya hatua A 1, ambayo kinachojulikana kama hatua ya kuanzia A (1, 0) huenda baada ya kuzunguka kwa pembe α karibu na hatua O - mwanzo wa mfumo wa kuratibu wa Cartesian wa mstatili. na katikati ya mzunguko wa kitengo.

Ufafanuzi.

Sine ya pembe ya mzungukoα ni mratibu wa nukta A 1, yaani, sinα=y.

Ufafanuzi.

Cosine ya pembe ya mzungukoα inaitwa abscissa ya uhakika A 1, yaani, cosα=x.

Ufafanuzi.

Tangenti ya pembe ya mzungukoα ni uwiano wa uwiano wa nukta A 1 kwa abscissa yake, yaani, tanα=y/x.

Ufafanuzi.

Kotanji ya pembe ya mzungukoα ni uwiano wa abscissa ya uhakika A 1 kwa kuratibu yake, yaani, ctgα=x/y.

Sine na cosine hufafanuliwa kwa angle yoyote α, kwa kuwa tunaweza daima kuamua abscissa na kuratibu ya uhakika, ambayo hupatikana kwa kuzunguka hatua ya kuanzia kwa angle α. Lakini tangent na cotangent haijafafanuliwa kwa pembe yoyote. Tangenti haijafafanuliwa kwa pembe α ambapo mahali pa kuanzia huenda hadi hatua yenye sifuri abscissa (0, 1) au (0, -1), na hii hutokea kwa pembe 90°+180° k, k∈Z (π). /2+π·k rad). Hakika, katika pembe kama hizo za mzunguko, usemi tgα=y/x hauna maana, kwani una mgawanyiko kwa sifuri. Kuhusu kotanjiti, haijafafanuliwa kwa pembe α ambapo mahali pa kuanzia huenda hadi mahali na kuratibu sifuri (1, 0) au (-1, 0), na hii hutokea kwa pembe 180° k, k ∈Z. (π·k rad).

Kwa hivyo, sine na kosine hufafanuliwa kwa pembe zozote za mzunguko, tanjiti hufafanuliwa kwa pembe zote isipokuwa 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad), na kotangent imefafanuliwa kwa pembe zote isipokuwa 180° ·k. , k∈Z (π·k rad).

Ufafanuzi huo ni pamoja na majina ambayo tayari tunajulikana sisi sin, cos, tg na ctg, pia hutumiwa kuteua sine, cosine, tangent na cotangent ya pembe ya mzunguko (wakati mwingine unaweza kupata majina tan na cot sambamba na tanjiti na cotangent) . Kwa hivyo sine ya pembe ya mzunguko ya digrii 30 inaweza kuandikwa kama sin30°, maingizo tg(-24°17′) na ctgα yanahusiana na tanjiti ya pembe ya mzunguko -24 digrii dakika 17 na cotangent ya pembe ya mzunguko α. . Kumbuka kwamba wakati wa kuandika kipimo cha radian cha pembe, jina "rad" mara nyingi huachwa. Kwa mfano, kosine ya pembe ya mzunguko ya pi rad tatu kwa kawaida huashiria cos3·π.

Kwa kumalizia hatua hii, ni muhimu kuzingatia kwamba wakati wa kuzungumza juu ya sine, cosine, tangent na cotangent ya angle ya mzunguko, maneno "pembe ya mzunguko" au neno "mzunguko" mara nyingi huachwa. Hiyo ni, badala ya maneno "sine ya pembe ya mzunguko alpha," maneno "sine ya pembe ya alpha" au hata mfupi zaidi, "sine alpha," hutumiwa kwa kawaida. Hali hiyo hiyo inatumika kwa cosine, tangent na cotangent.

Tutasema pia kwamba fasili za sine, kosine, tanjiti na kotanjiti ya pembe ya papo hapo katika pembetatu ya kulia zinalingana na ufafanuzi ambao umetolewa hivi punde wa sine, kosine, tanjiti na cotangent ya pembe ya mzunguko kuanzia digrii 0 hadi 90. Tutahalalisha hili.

Nambari

Ufafanuzi.

Sine, kosine, tanjiti na cotangent ya nambari t ni nambari sawa na sine, kosine, tanjiti na kotangenti ya pembe ya mzunguko katika t radiani, mtawalia.

Kwa mfano, cosine ya nambari 8 π kwa ufafanuzi ni nambari sawa na cosine pembe ya 8·π rad. Na kosine ya pembe ya 8·π rad ni sawa na moja, kwa hivyo, kosine ya nambari 8·π ni sawa na 1.

Kuna mbinu nyingine ya kubainisha sine, kosine, tanjiti na kotanjiti ya nambari. Inajumuisha ukweli kwamba kila nambari halisi t inahusishwa na nukta kwenye duara la kitengo na kituo hapo mwanzo. mfumo wa mstatili kuratibu, na sine, kosine, tangent na cotangent imedhamiriwa kupitia kuratibu za hatua hii. Hebu tuangalie hili kwa undani zaidi.

Wacha tuonyeshe jinsi mawasiliano yanaanzishwa kati ya nambari halisi na vidokezo kwenye duara:

nambari 0 imepewa sehemu ya kuanzia A (1, 0);
nambari chanya t inahusishwa na hatua ya mduara wa kitengo ambayo tutapata ikiwa tunasonga kando ya duara kutoka mahali pa kuanzia kwa mwelekeo wa saa na twende njia urefu t;
nambari hasi t inahusishwa na hatua ya mduara wa kitengo, ambayo tutapata ikiwa tunasonga kando ya mduara kutoka mahali pa kuanzia kwa mwelekeo wa saa na kutembea kwa urefu |t| .

Sasa tunaendelea na ufafanuzi wa sine, cosine, tangent na cotangent ya nambari t. Wacha tuchukue kuwa nambari t inalingana na nukta kwenye duara A 1 (x, y) (kwa mfano, nambari &pi/2; inalingana na nukta A 1 (0, 1) ).

Ufafanuzi.

Sine ya nambari t ni mratibu wa nukta kwenye duara la kitengo sambamba na nambari t, yaani, sint=y.

Ufafanuzi.

Cosine ya nambari t inaitwa abscissa ya hatua ya mzunguko wa kitengo sambamba na namba t, yaani, gharama = x.

Ufafanuzi.

Tangenti ya nambari t ni uwiano wa kuratibu na abscissa ya uhakika kwenye mzunguko wa kitengo unaofanana na namba t, yaani, tgt=y/x. Katika uundaji mwingine sawa, tanjenti ya nambari t ni uwiano wa sine ya nambari hii kwa kosine, yaani, tgt=sint/cost.

Ufafanuzi.

Cotangent ya nambari t ni uwiano wa abscissa kwa kuratibu ya hatua kwenye mzunguko wa kitengo sambamba na namba t, yaani, ctgt=x/y. Uundaji mwingine ni huu: tanjiti ya nambari t ni uwiano wa kosine ya nambari t hadi sine ya nambari t: ctgt=cost/sint.

Hapa tunaona kwamba fasili zilizotolewa hivi punde zinapatana na ufafanuzi uliotolewa mwanzoni mwa aya hii. Hakika, hatua kwenye mduara wa kitengo sambamba na nambari t inafanana na hatua iliyopatikana kwa kuzungusha mahali pa kuanzia kwa pembe ya t radians.

Bado inafaa kufafanua jambo hili. Tuseme tuna dhambi ya kuingia3. Tunawezaje kuelewa ikiwa tunazungumza kuhusu sine ya nambari 3 au sine ya pembe ya mzunguko ya radiani 3? Hii kawaida ni wazi kutoka kwa muktadha, in vinginevyo hii ina uwezekano mkubwa sio wa umuhimu wa kimsingi.

Utendakazi wa trigonometriki za hoja ya angular na nambari

Kulingana na data katika aya iliyotangulia ufafanuzi, kila pembe ya mzunguko α inalingana na iliyofafanuliwa vizuri thamani ya dhambiα, kama thamani ya cosα. Kwa kuongezea, pembe zote za mzunguko zaidi ya 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) zinalingana na thamani za tgα, na thamani zingine zaidi ya 180°k, k∈Z (πk rad ) - thamani. ya ctgA. Kwa hiyo sinα, cosα, tanα na ctgα ni kazi za pembe α. Kwa maneno mengine, hizi ni kazi za hoja ya angular.

Tunaweza kuzungumza vivyo hivyo kuhusu sifa za sine, kosine, tanjiti na cotangent ya hoja ya nambari. Hakika, kila nambari halisi t inalingana na thamani maalum ya sint, pamoja na gharama. Kwa kuongezea, nambari zote zaidi ya π/2+π · K, k∈Z zinahusiana na maadili TGT, na nambari π · K, k∈Z - maadili CTGT.

Kazi za sine, kosine, tangent na cotangent zinaitwa kazi za msingi za trigonometric.

Kwa kawaida huwa wazi kutokana na muktadha iwapo tunashughulikia utendaji wa trigonometriki za hoja ya angular au hoja ya nambari. Vinginevyo, tunaweza kufikiria tofauti huru kama kipimo cha pembe (hoja ya angular) na hoja ya nambari.

Walakini, shuleni wanasoma zaidi vipengele vya nambari, yaani, chaguo za kukokotoa ambazo hoja zake, kama vile thamani za utendakazi zinazolingana, ni nambari. Kwa hivyo, ikiwa tunazungumza haswa juu ya kazi, basi inashauriwa kuzingatia kazi za trigonometric kama kazi za hoja za nambari.

Uhusiano kati ya ufafanuzi kutoka kwa jiometri na trigonometry

Ikiwa tutazingatia pembe ya mzunguko α kuanzia digrii 0 hadi 90, basi ufafanuzi wa sine, kosine, tanjiti na cotangent ya pembe ya mzunguko katika muktadha wa trigonometria yanawiana kikamilifu na ufafanuzi wa sine, kosine, tanjiti na kotanjiti ya an. pembe ya papo hapo katika pembetatu ya kulia, ambayo hutolewa katika kozi ya jiometri. Hebu kuhalalisha hili.

Wacha tuonyeshe mduara wa kitengo katika mfumo wa kuratibu wa Cartesian wa mstatili wa Oxy. Wacha tuweke alama mahali pa kuanzia A(1, 0) . Wacha tuizungushe kwa pembe α kuanzia digrii 0 hadi 90, tunapata uhakika A 1 (x, y). Wacha tuachane na perpendicular A 1 H kutoka kwa uhakika A 1 hadi mhimili wa Ox.

Ni rahisi kuona kwamba katika pembetatu ya kulia, pembe A 1 OH ni sawa na angle ya mzunguko α, urefu wa mguu OH karibu na pembe hii ni sawa na abscissa ya uhakika A 1, yaani, |OH. |=x, urefu wa mguu A 1 H kinyume na pembe ni sawa na mratibu wa nukta A 1, yaani, |A 1 H|=y, na urefu wa hypotenuse OA 1 ni sawa na moja, kwa kuwa ni radius ya duara ya kitengo. Kisha, kwa ufafanuzi kutoka kwa jiometri, sine ya pembe ya papo hapo α katika pembetatu ya kulia A 1 OH ni sawa na uwiano wa mguu kinyume na hypotenuse, yaani, sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. Na kwa ufafanuzi kutoka trigonometria, sine ya pembe ya mzunguko α ni sawa na mratibu wa nukta A 1, yaani, sinα=y. Hii inaonyesha kuwa kubainisha sine ya pembe ya papo hapo katika pembetatu ya kulia ni sawa na kubainisha sine ya pembe ya mzunguko α wakati α ni kutoka digrii 0 hadi 90.

Vile vile, inaweza kuonyeshwa kuwa ufafanuzi wa cosine, tangent na cotangent ya angle ya papo hapo α ni sawa na ufafanuzi wa cosine, tangent na cotangent ya angle ya mzunguko α.

Bibliografia.

Jiometri. 7-9 darasa: kitabu cha maandishi kwa elimu ya jumla taasisi / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, nk]. - toleo la 20. M.: Elimu, 2010. - 384 p.: mgonjwa. - ISBN 978-5-09-023915-8.
Pogorelov A.V. Jiometri: Kitabu cha maandishi. kwa darasa la 7-9. elimu ya jumla taasisi / A. V. Pogorelov. - Toleo la 2 - M.: Elimu, 2001. - 224 p.: mgonjwa. - ISBN 5-09-010803-X.
Algebra na kazi za msingi : Mafunzo kwa wanafunzi wa darasa la 9 sekondari/ E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Imehaririwa na Daktari wa Sayansi ya Kimwili na Hisabati O. N. Golovin. - 4th ed. M.: Elimu, 1969.
Aljebra: Kitabu cha kiada kwa daraja la 9. wastani. shule/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Mh. S. A. Telyakovsky - M.: Elimu, 1990. - 272 pp.: mgonjwa - ISBN 5-09-002727-7
Aljebra na mwanzo wa uchambuzi: Proc. kwa darasa la 10-11. elimu ya jumla taasisi / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn na wengine; Mh. A. N. Kolmogorov - toleo la 14 - M.: Elimu, 2004 - 384 pp.: mgonjwa - ISBN 5-09-013651-3.
Mordkovich A.G. Algebra na mwanzo wa uchambuzi. Daraja la 10. Saa 2 uk Sehemu ya 1: mafunzo kwa taasisi za elimu (kiwango cha wasifu)/ A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Toleo la 4., ongeza. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 p.: mgonjwa. ISBN 978-5-346-00792-0.
Aljebra na kuanza uchambuzi wa hisabati. Daraja la 10: kitabu cha maandishi. kwa elimu ya jumla taasisi: msingi na wasifu. viwango /[Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; imehaririwa na A. B. Zhizhchenko. - Toleo la 3. - I.: Elimu, 2010.- 368 p.: mgonjwa.- ISBN 978-5-09-022771-1.
Bashmakov M.I. Algebra na mwanzo wa uchambuzi: Kitabu cha maandishi. kwa darasa la 10-11. wastani. shule - Toleo la 3. - M.: Elimu, 1993. - 351 p.: mgonjwa. - ISBN 5-09-004617-4.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Hisabati (mwongozo kwa wale wanaoingia shule za ufundi): Proc. posho.- M.; Juu zaidi shule, 1984.-351 p., mgonjwa.