Dhana za sine, kosine, tangent na cotangent ni kategoria kuu za trigonometry, tawi la hisabati, na zinaunganishwa kwa usawa na ufafanuzi wa pembe. Umiliki wa hii sayansi ya hisabati inahitaji kukariri na kuelewa kanuni na nadharia, pamoja na maendeleo ya kufikiri anga. Ndio maana watoto wa shule na wanafunzi mahesabu ya trigonometric mara nyingi husababisha shida. Ili kuzishinda, unapaswa kufahamiana zaidi na kazi na fomula za trigonometric.
Dhana katika trigonometry
Kuelewa dhana za msingi trigonometry, lazima kwanza uamue ni nini pembetatu ya kulia na pembe katika mduara ni, na kwa nini mahesabu yote ya msingi ya trigonometric yanahusishwa nao. Pembetatu ambayo moja ya pembe hupima digrii 90 ni mstatili. Kihistoria, takwimu hii mara nyingi ilitumiwa na watu katika usanifu, urambazaji, sanaa, na unajimu. Ipasavyo, kwa kusoma na kuchambua mali ya takwimu hii, watu walikuja kuhesabu uwiano unaolingana wa vigezo vyake.
Makundi makuu yanayohusiana na pembetatu za kulia ni hypotenuse na miguu. Hypotenuse - upande wa pembetatu kinyume pembe ya kulia. Miguu, kwa mtiririko huo, ni pande nyingine mbili. Jumla ya pembe za pembetatu yoyote ni digrii 180 kila wakati.
Trigonometry ya spherical ni sehemu ya trigonometria ambayo haijasomwa shuleni, lakini ndani sayansi zilizotumika kama vile astronomy na geodesy, wanasayansi wanaitumia. Kipengele cha pembetatu ndani trigonometry ya spherical ni kwamba daima ina jumla ya pembe kubwa kuliko digrii 180.
Pembe za pembetatu
Katika pembetatu ya kulia, sine ya pembe ni uwiano wa mguu kinyume na pembe inayotaka kwa hypotenuse ya pembetatu. Ipasavyo, cosine ni uwiano mguu wa karibu na hypotenuse. Thamani hizi zote mbili huwa na ukubwa chini ya moja, kwani hypotenuse daima ni ndefu kuliko mguu.
Tanji ya pembe ni thamani sawa na uwiano mguu wa kinyume kwa upande wa karibu wa pembe inayotaka, au sine hadi kosine. Cotangent, kwa upande wake, ni uwiano wa upande wa karibu wa pembe inayotaka kwa upande mwingine. Kotanjiti ya pembe pia inaweza kupatikana kwa kugawanya moja kwa thamani ya tanjiti.
Mzunguko wa kitengo
Mduara wa kitengo katika jiometri ni duara ambayo radius sawa na moja. Mzunguko kama huo umeundwa ndani Mfumo wa Cartesian kuratibu, wakati katikati ya duara sanjari na hatua ya asili, na nafasi ya kuanzia Vector ya radius imedhamiriwa na mwelekeo mzuri wa mhimili wa X (mhimili wa abscissa). Kila hatua kwenye mduara ina kuratibu mbili: XX na YY, yaani, kuratibu za abscissa na kuratibu. Kwa kuchagua hatua yoyote kwenye mduara katika ndege ya XX na kuacha perpendicular kutoka kwake hadi mhimili wa abscissa, tunapata pembetatu ya kulia inayoundwa na radius hadi hatua iliyochaguliwa (iliyoonyeshwa na barua C), perpendicular inayotolewa kwa mhimili wa X. (hatua ya makutano inaonyeshwa na barua G), na sehemu ya mhimili wa abscissa kati ya asili (hatua imeteuliwa na barua A) na hatua ya makutano G. Pembetatu inayosababisha ACG ni pembetatu ya kulia iliyoandikwa kwenye mduara, ambapo AG ni hypotenuse, na AC na GC ni miguu. Pembe kati ya kipenyo cha duara AC na sehemu ya mhimili wa abscissa yenye jina AG inafafanuliwa kama α (alpha). Kwa hivyo, cos α = AG/AC. Kwa kuzingatia kwamba AC ni radius mduara wa kitengo, na ni sawa na moja, zinageuka kuwa cos α=AG. Vivyo hivyo, dhambi α=CG.
Kwa kuongezea, ukijua data hii, unaweza kuamua kuratibu kwa nukta C kwenye duara, kwani cos α=AG, na sin α=CG, ambayo inamaanisha kuwa nukta C ina. kuratibu zilizotolewa(cos α; dhambi α). Kujua kwamba tangent sawa na uwiano sine hadi kosine, tunaweza kubainisha kuwa tan α = y/x, na kitanda α = x/y. Kwa kuzingatia pembe katika mfumo hasi wa kuratibu, unaweza kuhesabu kuwa maadili ya sine na cosine ya pembe zingine inaweza kuwa hasi.
Mahesabu na kanuni za msingi
Thamani za utendakazi za trigonometric
Baada ya kuzingatia kiini cha kazi za trigonometric kupitia mduara wa kitengo, tunaweza kupata maadili ya kazi hizi kwa pembe fulani. Thamani zimeorodheshwa kwenye jedwali hapa chini.
Vitambulisho rahisi zaidi vya trigonometric
Milinganyo ambayo ishara ya kazi ya trigonometric ina thamani isiyojulikana, huitwa trigonometric. Vitambulisho na thamani ya dhambi x = α, k - nambari yoyote kamili:
- dhambi x = 0, x = πk.
- 2. dhambi x = 1, x = π/2 + 2πk.
- dhambi x = -1, x = -π/2 + 2πk.
- dhambi x = a, |a| > 1, hakuna masuluhisho.
- dhambi x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.
Vitambulisho vyenye thamani cos x = a, ambapo k ni nambari yoyote kamili:
- cos x = 0, x = π/2 + πk.
- cos x = 1, x = 2πk.
- cos x = -1, x = π + 2πk.
- cos x = a, |a| > 1, hakuna masuluhisho.
- cos x = a, |a| ≦ 1, x = ±arccos α + 2πk.
Vitambulisho vilivyo na thamani tg x = a, ambapo k ni nambari yoyote:
- tan x = 0, x = π/2 + πk.
- tan x = a, x = arctan α + πk.
Vitambulisho vilivyo na thamani ctg x = a, ambapo k ni nambari yoyote:
- kitanda x = 0, x = π/2 + πk.
- ctg x = a, x = arcctg α + πk.
Fomula za kupunguza
Jamii hii fomula za mara kwa mara Inaashiria njia ambazo unaweza kusonga kutoka kwa kazi za trigonometric za fomu hadi kazi za hoja, ambayo ni, kupunguza sine, cosine, tangent na cotangent ya pembe ya thamani yoyote hadi viashiria vinavyolingana vya pembe ya muda kutoka 0 hadi Digrii 90 kwa urahisi zaidi wa kuhesabu.
Mifumo ya kupunguza vitendakazi kwa sine ya pembe inaonekana kama hii:
- dhambi(900 - α) = α;
- dhambi(900 + α) = cos α;
- dhambi(1800 - α) = dhambi α;
- dhambi(1800 + α) = -dhambi α;
- dhambi(2700 - α) = -cos α;
- dhambi(2700 + α) = -cos α;
- dhambi(3600 - α) = -dhambi α;
- dhambi(3600 + α) = dhambi α.
Kwa cosine ya pembe:
- cos(900 - α) = dhambi α;
- cos(900 + α) = -dhambi α;
- cos(1800 - α) = -cos α;
- cos(1800 + α) = -cos α;
- cos(2700 - α) = -dhambi α;
- cos(2700 + α) = dhambi α;
- cos(3600 - α) = cos α;
- cos(3600 + α) = cos α.
Matumizi ya fomula hapo juu inawezekana chini ya sheria mbili. Kwanza, ikiwa pembe inaweza kuwakilishwa kama thamani (π/2 ± a) au (3π/2 ± a), thamani ya chaguo za kukokotoa hubadilika:
- kutoka dhambi hadi cos;
- kutoka cos kwenda dhambini;
- kutoka tg hadi ctg;
- kutoka ctg hadi tg.
Thamani ya chaguo za kukokotoa bado haijabadilika ikiwa pembe inaweza kuwakilishwa kama (π ± a) au (2π ± a).
Pili, ishara ya kazi iliyopunguzwa haibadilika: ikiwa hapo awali ilikuwa chanya, inabaki hivyo. Sawa na utendakazi hasi.
Fomula za nyongeza
Njia hizi zinaonyesha maadili ya sine, cosine, tangent na cotangent ya jumla na tofauti ya pembe mbili za mzunguko kupitia kazi zao za trigonometric. Kwa kawaida pembe huonyeshwa kama α na β.
Fomula zinaonekana kama hii:
- sin(α ± β) = dhambi α * cos β ± cos α * dhambi.
- cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ dhambi α * dhambi.
- tan(α ± β) = (tg α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
- ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).
Fomula hizi ni halali kwa pembe zozote α na β.
Fomula za pembe mbili na tatu
Fomula za trigonometriki za pembe mbili na tatu ni fomula zinazohusiana na kazi za pembe 2α na 3α, mtawalia, na kazi za trigonometriki za pembe α. Imetolewa kutoka kwa fomula za nyongeza:
- sin2α = 2sinα*cosα.
- cos2α = 1 - 2sin^2 α.
- tan2α = 2tgα / (1 - tan^2 α).
- sin3α = 3sinα - 4sin^3 α.
- cos3α = 4cos^3 α - 3cosα.
- tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).
Mpito kutoka jumla hadi bidhaa
Kwa kuzingatia kwamba 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), kurahisisha fomula hii, tunapata dhambi ya utambulishoα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Vile vile sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α - β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * dhambi (α - β)/2; tanα + tanβ = dhambi(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = dhambi(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).
Mpito kutoka kwa bidhaa hadi jumla
Fomula hizi hufuata kutoka kwa utambulisho wa ubadilishaji wa jumla hadi bidhaa:
- sinα * sinβ = 1/2*;
- cosα * cosβ = 1/2 *;
- sinα * cosβ = 1/2*.
Fomula za kupunguza shahada
Katika vitambulisho hivi, mraba na shahada ya ujazo sine na kosine zinaweza kuonyeshwa kupitia sine na kosine ya shahada ya kwanza ya pembe nyingi:
- dhambi^2 α = (1 - cos2α)/2;
- cos^2 α = (1 + cos2α)/2;
- dhambi^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
- cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
- dhambi^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
- cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.
Ubadilishaji wa Universal
Fomula za ubadilishaji wa trigonometriki zima huonyesha vitendaji vya trigonometriki kulingana na tanjiti ya pembe ya nusu.
- dhambi x = (2tgx/2) * (1 + tan^2 x/2), pamoja na x = π + 2πn;
- cos x = (1 - tan^2 x/2) / (1 + tan^2 x/2), ambapo x = π + 2πn;
- tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2), ambapo x = π + 2πn;
- kitanda x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2), pamoja na x = π + 2πn.
Kesi maalum
Kesi maalum za protozoa milinganyo ya trigonometric zimepewa hapa chini (k ni nambari yoyote).
Nukuu za sine:
| Dhambi x thamani | thamani ya x |
|---|---|
| 0 | πk |
| 1 | π/2 + 2πk |
| -1 | -π/2 + 2πk |
| 1/2 | π/6 + 2πk au 5π/6 + 2πk |
| -1/2 | -π/6 + 2πk au -5π/6 + 2πk |
| √2/2 | π/4 + 2πk au 3π/4 + 2πk |
| -√2/2 | -π/4 + 2πk au -3π/4 + 2πk |
| √3/2 | π/3 + 2πk au 2π/3 + 2πk |
| -√3/2 | -π/3 + 2πk au -2π/3 + 2πk |
Nukuu za cosine:
| thamani ya cos x | thamani ya x |
|---|---|
| 0 | π/2 + 2πk |
| 1 | 2pk |
| -1 | 2 + 2πk |
| 1/2 | ±π/3 + 2πk |
| -1/2 | ±2π/3 + 2πk |
| √2/2 | ±π/4 + 2πk |
| -√2/2 | ±3π/4 + 2πk |
| √3/2 | ±π/6 + 2πk |
| -√3/2 | ±5π/6 + 2πk |
Nukuu za tangent:
| thamani ya tg | thamani ya x |
|---|---|
| 0 | πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3/3 | π/6 + πk |
| -√3/3 | -π/6 + πk |
| √3 | π/3 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
Vidokezo vya Cotangent:
| thamani ya ctg | thamani ya x |
|---|---|
| 0 | π/2 + πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3 | π/6 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
| √3/3 | π/3 + πk |
| -√3/3 | -π/3 + πk |
Nadharia
Nadharia ya sines
Kuna matoleo mawili ya theorem - rahisi na kupanuliwa. Nadharia rahisi sines: a/sin α = b/sin β = c/dhambi γ. Katika kesi hii, a, b, c ni pande za pembetatu, na α, β, γ ni pembe za kinyume, kwa mtiririko huo.
Nadharia ya sine iliyopanuliwa ya pembetatu ya kiholela: a/dhambi α = b/dhambi β = c/dhambi γ = 2R. Katika utambulisho huu, R inaashiria radius ya duara ambayo pembetatu iliyotolewa imeandikwa.
Nadharia ya Cosine
Utambulisho unaonyeshwa kama ifuatavyo: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Katika fomula, a, b, c ni pande za pembetatu, na α ni pembe kinyume na upande a.
Nadharia ya tangent
Fomu hiyo inaelezea uhusiano kati ya tangents ya pembe mbili na urefu wa pande zinazopingana nao. Pande hizo zimeandikwa a, b, c, na pembe za kinyume zinazolingana ni α, β, γ. Mfumo wa nadharia ya tanjiti: (a - b) / (a+b) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2).
Nadharia ya Cotangent
Huunganisha kipenyo cha duara kilichoandikwa kwenye pembetatu na urefu wa pande zake. Ikiwa a, b, c ni pande za pembetatu, na A, B, C, kwa mtiririko huo, ni pembe zilizo kinyume nao, r ni radius ya mduara ulioandikwa, na p ni nusu ya mzunguko wa pembetatu, zifuatazo. vitambulisho ni halali:
- kitanda A/2 = (p-a)/r;
- kitanda B/2 = (p-b)/r;
- kitanda C/2 = (p-c)/r.
Maombi
Trigonometry - sio tu sayansi ya kinadharia kuhusiana na fomula za hisabati. Tabia zake, nadharia na sheria hutumiwa katika mazoezi na tasnia anuwai. shughuli za binadamu- astronomia, angani na urambazaji wa baharini, nadharia ya muziki, jiografia, kemia, acoustics, optics, umeme, usanifu, uchumi, uhandisi wa mitambo, kazi ya kupima, michoro za kompyuta, ramani ya ramani, oceanography, na mengine mengi.
Sine, cosine, tangent na cotangent ni dhana za msingi za trigonometry, kwa msaada wa ambayo mtu anaweza kueleza kihisabati uhusiano kati ya pembe na urefu wa pande katika pembetatu, na kupata kiasi kinachohitajika kwa njia ya utambulisho, nadharia na sheria.
Sitajaribu kukushawishi usiandike karatasi za kudanganya. Andika! Ikiwa ni pamoja na karatasi za kudanganya kwenye trigonometry. Baadaye ninapanga kueleza kwa nini karatasi za kudanganya zinahitajika na kwa nini karatasi za kudanganya zinafaa. Na hapa kuna habari juu ya jinsi ya kutojifunza, lakini kumbuka baadhi fomula za trigonometric. Kwa hivyo - trigonometry bila karatasi ya kudanganya! Tunatumia vyama vya kukariri.
1. Fomula za nyongeza:
Cosines daima "kuja kwa jozi": cosine-cosine, sine-sine.
Na jambo moja zaidi: cosines "haitoshi". "Kila kitu sio sawa" kwao, kwa hivyo wanabadilisha ishara: "-" hadi "+", na kinyume chake.
Sinuses - "changanya": sine-cosine, cosine-sine.
2. Jumla na tofauti formula:
cosines daima "kuja kwa jozi". Kwa kuongeza cosines mbili - "koloboks", tunapata jozi ya cosines - "koloboks". Na kwa kutoa, hakika hatutapata koloboks yoyote. Tunapata sines kadhaa. Pia na minus mbele.
Sinuses - "changanya" :
3. Fomula za kubadilisha bidhaa kuwa jumla na tofauti.
Je, ni lini tunapata jozi ya cosine? Tunapoongeza cosines. Ndiyo maana
Ni lini tunapata sines kadhaa? Wakati wa kuondoa cosines. Kutoka hapa:
"Kuchanganya" hupatikana wote wakati wa kuongeza na kupunguza sines. Nini cha kufurahisha zaidi: kuongeza au kupunguza? Hiyo ni kweli, kunja. Na kwa formula huchukua nyongeza:
Katika fomula ya kwanza na ya tatu, jumla iko kwenye mabano. Kupanga upya maeneo ya masharti hakubadilishi jumla. Utaratibu ni muhimu tu kwa fomula ya pili. Lakini, ili usichanganyike, kwa urahisi wa kukumbuka, katika fomula zote tatu kwenye mabano ya kwanza tunachukua tofauti.
na pili - kiasi
Karatasi za kudanganya kwenye mfuko wako hukupa amani ya akili: ukisahau fomula, unaweza kuinakili. Na wanakupa ujasiri: ikiwa utashindwa kutumia karatasi ya kudanganya, unaweza kukumbuka fomula kwa urahisi.
Sine na cosine awali zilitoka kwa hitaji la kuhesabu idadi katika pembetatu sahihi. Ilibainika kuwa ikiwa kipimo cha digrii ya pembe katika pembetatu ya kulia haibadilishwa, basi uwiano wa kipengele, bila kujali ni kiasi gani pande hizi zinabadilika kwa urefu, daima hubakia sawa.
Hivi ndivyo dhana za sine na cosine zilivyoanzishwa. Sinus angle ya papo hapo katika pembetatu ya kulia ni uwiano wa upande wa kinyume na hypotenuse, na cosine ni uwiano wa upande ulio karibu na hypotenuse.
Nadharia za cosines na sines
Lakini kosini na sines zinaweza kutumika kwa zaidi ya pembetatu sahihi. Ili kupata thamani ya pembe iliyo wazi au ya papo hapo au upande wa pembetatu yoyote, inatosha kutumia nadharia ya cosines na sines.
Nadharia ya cosine ni rahisi sana: "Mraba wa upande wa pembetatu sawa na jumla miraba ya pande hizo mbili kando kando ya pande hizo mbili kwa kosini ya pembe kati yake.”
Kuna tafsiri mbili za nadharia ya sine: ndogo na iliyopanuliwa. Kulingana na ndogo: "Katika pembetatu, pembe ni sawia vyama vinavyopingana». Nadharia hii mara nyingi hupanuliwa kwa sababu ya mali ya mduara wa pembetatu: "Katika pembetatu, pembe ni sawia na pande tofauti, na uwiano wao ni sawa na kipenyo cha mduara uliozungukwa."
Viingilio
Derivative ni zana ya hisabati inayoonyesha jinsi chaguo za kukokotoa hubadilika haraka kuhusiana na mabadiliko katika hoja yake. Derivatives hutumiwa katika jiometri, na katika idadi ya taaluma za kiufundi.
Wakati wa kutatua shida, unahitaji kujua maadili ya tabular ya derivatives ya kazi za trigonometric: sine na cosine. Derivative ya sine ni kosine, na kosine ni sine, lakini yenye ishara ya kutoa.
Maombi katika hisabati
Sines na cosine hutumiwa mara nyingi wakati wa kutatua pembetatu za kulia na kazi zinazohusiana nao.
Urahisi wa sines na cosines pia inaonekana katika teknolojia. Ilikuwa rahisi kutathmini pembe na pande kwa kutumia nadharia za cosines na sines, kuvunjika. takwimu tata na vitu katika pembetatu "rahisi". Wahandisi mara nyingi hushughulika na mahesabu ya uwiano wa kipengele na hatua za shahada, alitumia muda mwingi na jitihada kuhesabu cosines na sines ya pembe zisizo za jedwali.
Kisha meza za Bradis zilikuja kuwaokoa, zilizo na maelfu ya maadili ya sines, cosines, tangents na cotangents. pembe tofauti. KATIKA Wakati wa Soviet walimu wengine waliwalazimisha wanafunzi wao kukariri kurasa za meza za Bradis.
Radiani - ukubwa wa angular arcs, urefu sawa na radius au digrii 57.295779513°.
Shahada (katika jiometri) - 1/360 sehemu ya mduara au sehemu ya 1/90 ya pembe ya kulia.
π = 3.141592653589793238462… ( thamani ya takriban Nambari za Pi).
Jedwali la Cosine kwa pembe: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.
| Pembe x (katika digrii) | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | 180° | 210° | 225° | 240° | 270° | 300° | 315° | 330° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Pembe x (katika radiani) | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | 2 x π/3 | 3 x π/4 | 5 x π/6 | π | 7 x π/6 | 5 x π/4 | 4 x π/3 | 3 x π/2 | 5 x π/3 | 7 x π/4 | 11 x π/6 | 2 x p |
| kwani x | 1 | √3/2 (0,8660) | √2/2 (0,7071) | 1/2 (0,5) | 0 | -1/2 (-0,5) | -√2/2 (-0,7071) | -√3/2 (-0,8660) | -1 | -√3/2 (-0,8660) | -√2/2 (-0,7071) | -1/2 (-0,5) | 0 | 1/2 (0,5) | √2/2 (0,7071) | √3/2 (0,8660) | 1 |
Kutatua milinganyo rahisi ya trigonometric.
Utatuzi wa milinganyo ya trigonometriki ya kiwango chochote cha utata hatimaye huja kwenye kutatua milinganyo rahisi zaidi ya trigonometriki. Na katika hili msaidizi bora tena inageuka kuwa mduara wa trigonometric.
Wacha tukumbuke ufafanuzi wa cosine na sine.
Kosine ya pembe ni abscissa (yaani, kuratibu kando ya mhimili) ya uhakika kwenye mzunguko wa kitengo unaofanana na mzunguko kupitia pembe fulani.
Sini ya pembe ni kuratibu (yaani, kuratibu kando ya mhimili) ya hatua kwenye duara ya kitengo inayolingana na mzunguko kupitia pembe fulani.
Mwelekeo mzuri wa harakati kwenye mzunguko wa trigonometric ni kinyume cha saa. Mzunguko wa digrii 0 (au radiani 0) hulingana na nukta yenye viwianishi (1;0)
Tunatumia ufafanuzi huu kutatua milinganyo rahisi ya trigonometric.
1. Tatua mlinganyo
Mlinganyo huu unatoshelezwa na maadili yote ya pembe ya mzunguko ambayo yanahusiana na pointi kwenye mduara ambao mpangilio wake ni sawa na .
Wacha tuweke alama kwa kuratibu kwenye mhimili wa kuratibu:
Hebu kutekeleza mstari wa usawa sambamba na mhimili wa x hadi inaingiliana na duara. Tunapata alama mbili ziko kwenye duara na kuwa na mpangilio. Pointi hizi zinalingana na pembe za mzunguko ndani na radiani:
Ikiwa sisi, tukiacha hatua inayolingana na angle ya mzunguko na radians, tunazunguka mduara kamili, basi tutafika kwenye hatua inayolingana na pembe ya mzunguko kwa kila radian na kuwa na kuratibu sawa. Hiyo ni, pembe hii ya mzunguko pia inakidhi equation yetu. Tunaweza kufanya mapinduzi mengi "ya bure" kama tunavyopenda, kurudi kwenye hatua sawa, na maadili haya yote yatatosheleza mlinganyo wetu. Idadi ya mapinduzi "ya kutofanya kazi" itaonyeshwa kwa herufi (au). Kwa kuwa tunaweza kufanya mapinduzi haya katika pande chanya na hasi, (au) tunaweza kuchukua maadili kamili.
Hiyo ni, safu ya kwanza ya suluhisho kwa equation ya asili ina fomu:
, , - seti ya nambari kamili (1)
Vivyo hivyo, safu ya pili ya suluhisho ina fomu:
, wapi,. (2)
Kama unavyoweza kukisia, safu hii ya suluhu ni msingi wa nukta kwenye duara inayolingana na pembe ya kuzunguka kwa .
Msururu huu wa suluhu mbili unaweza kuunganishwa katika ingizo moja:
Ikiwa tuko katika hili tuchukue maelezo(hiyo ni, hata), basi tunapata safu ya kwanza ya suluhisho.
Ikiwa tunachukua (hiyo ni, isiyo ya kawaida) katika kiingilio hiki, basi tunapata safu ya pili ya suluhisho.
2. Sasa hebu tutatue equation
Kwa kuwa hii ni abscissa ya uhakika kwenye mduara wa kitengo kilichopatikana kwa kuzunguka kupitia pembe, tunaweka alama kwenye abscissa kwenye mhimili:
Hebu kutekeleza mstari wa wima sambamba na mhimili hadi inapoingiliana na duara. Tutapata alama mbili ziko kwenye duara na kuwa na abscissa. Pointi hizi zinalingana na pembe za mzunguko ndani na radiani. Kumbuka kwamba tunaposonga mwendo wa saa tunapata pembe hasi ya kuzunguka:
Wacha tuandike safu mbili za suluhisho:
,
,
(Tunafika kwenye hatua tunayotaka kwa kwenda kutoka kwa duara kuu kamili, yaani.
Wacha tuunganishe safu hizi mbili kuwa ingizo moja:
3. Tatua mlinganyo
Mstari wa tanjiti hupitia hatua na viwianishi (1,0) vya mduara wa kitengo sambamba na mhimili wa OY.
Wacha tuweke alama juu yake na mpangilio sawa na 1 (tunatafuta tangent ambayo pembe ni sawa na 1):
Hebu tuunganishe hatua hii kwa asili ya kuratibu na mstari wa moja kwa moja na alama pointi za makutano ya mstari na mzunguko wa kitengo. Sehemu za makutano ya mstari wa moja kwa moja na duara zinalingana na pembe za kuzunguka na :
Kwa kuwa vidokezo vinavyolingana na pembe za mzunguko zinazokidhi equation yetu ziko kwa umbali wa radians kutoka kwa kila mmoja, tunaweza kuandika suluhisho kwa njia hii:
4. Tatua mlinganyo
Mstari wa cotangents hupitia hatua na kuratibu za mzunguko wa kitengo sambamba na mhimili.
Wacha tuweke alama alama na abscissa -1 kwenye mstari wa cotangents:
Hebu tuunganishe hatua hii kwa asili ya mstari wa moja kwa moja na uendelee mpaka inaingiliana na mduara. Mstari huu wa moja kwa moja utavuka mduara kwa pointi zinazolingana na pembe za kuzunguka ndani na radiani:
Kwa kuwa pointi hizi zimetenganishwa kutoka kwa kila mmoja kwa umbali sawa na , basi uamuzi wa pamoja Tunaweza kuandika equation kama hii:
Katika mifano iliyotolewa inayoonyesha suluhisho la hesabu rahisi zaidi za trigonometric, maadili ya tabular ya kazi za trigonometric yalitumiwa.
Walakini, ikiwa upande wa kulia wa equation una thamani isiyo ya jedwali, basi tunabadilisha thamani hiyo katika suluhisho la jumla la mlinganyo:
SULUHISHO MAALUM:
Wacha tuweke alama kwenye mduara ambao mpangilio wake ni 0:
Wacha tuweke alama kwenye mduara ambao mpangilio wake ni 1:
Wacha tuweke alama kwenye mduara ambao mpangilio wake ni sawa na -1:
Kwa kuwa ni kawaida kuonyesha maadili karibu na sifuri, tunaandika suluhisho kama ifuatavyo:
Wacha tuweke alama kwenye mduara ambao abscissa ni sawa na 0:
5.
Wacha tuweke alama kwenye mduara ambao abscissa ni sawa na 1:
Wacha tuweke alama kwenye mduara ambao abscissa ni sawa na -1:
Na mifano ngumu zaidi:
1.
Sinifu ni sawa na moja ikiwa hoja ni sawa na
Hoja ya sine yetu ni sawa, kwa hivyo tunapata:
Wacha tugawanye pande zote mbili za usawa na 3:
Jibu:
2.
Cosine sawa na sifuri, ikiwa hoja ya cosine ni sawa na
Hoja ya cosine yetu ni sawa na , kwa hivyo tunapata:
Wacha tueleze, kufanya hivi kwanza tunasonga kulia na ishara iliyo kinyume:
Wacha turahisishe upande wa kulia:
Gawa pande zote mbili kwa -2:
Kumbuka kuwa ishara iliyo mbele ya neno haibadiliki, kwani k inaweza kuchukua thamani yoyote kamili.
Jibu:
Na hatimaye, tazama mafunzo ya video "Kuchagua mizizi katika equation ya trigonometric kwa kutumia mzunguko wa trigonometric"
Hii inahitimisha mazungumzo yetu kuhusu kutatua milinganyo rahisi ya trigonometric. Wakati ujao tutazungumzia jinsi ya kuamua.
Katika makala hii tutaangalia kwa kina. Vitambulisho vya msingi vya trigonometriki ni usawa ambao huanzisha muunganisho kati ya sine, kosine, tanjiti na kotangenti ya pembe moja, na kuruhusu mtu kupata mojawapo ya vitendakazi hivi vya trigonometriki kupitia nyingine inayojulikana.
Hebu tuorodhe mara moja vitambulisho kuu vya trigonometric ambavyo tutachambua katika makala hii. Wacha tuandike kwenye jedwali, na hapa chini tutatoa matokeo ya fomula hizi na kutoa maelezo muhimu.
Urambazaji wa ukurasa.
Uhusiano kati ya sine na kosine wa pembe moja
Wakati mwingine hawazungumzi juu ya vitambulisho kuu vya trigonometric vilivyoorodheshwa kwenye jedwali hapo juu, lakini kuhusu moja kitambulisho cha msingi cha trigonometric aina 
. Maelezo ya ukweli huu ni rahisi sana: usawa hupatikana kutoka kwa kitambulisho kikuu cha trigonometric baada ya kugawanya sehemu zake zote mbili na, kwa mtiririko huo, na usawa. 
Na 
kufuata kutoka kwa fasili za sine, kosine, tanjiti na kotanji. Tutazungumza juu ya hili kwa undani zaidi katika aya zifuatazo.
Hiyo ni, maslahi maalum inawakilisha kwa usahihi usawa, ambao ulipewa jina la utambulisho mkuu wa trigonometric.
Kabla ya kuthibitisha utambulisho mkuu wa trigonometric, tunatoa uundaji wake: jumla ya mraba ya sine na cosine ya pembe moja ni sawa sawa na moja. Sasa hebu tuthibitishe.
Utambulisho wa msingi wa trigonometric hutumiwa mara nyingi sana wakati mabadiliko maneno ya trigonometric . Inaruhusu jumla ya miraba ya sine na kosine ya pembe moja kubadilishwa na moja. Sio chini ya mara nyingi kitambulisho cha msingi cha trigonometric hutumiwa utaratibu wa nyuma: kitengo kinabadilishwa na jumla ya miraba ya sine na kosine ya pembe yoyote.
Tanji na kotanjiti kupitia sine na kosine
Vitambulisho vinavyounganisha tanjiti na kotanji na sine na kosine ya pembe moja ya mwonekano na 
fuata mara moja kutoka kwa ufafanuzi wa sine, kosine, tanjiti na cotangent. Hakika, kwa ufafanuzi, sine ni mratibu wa y, cosine ni abscissa ya x, tangent ni uwiano wa kuratibu kwa abscissa, yaani, 
, na cotangent ni uwiano wa abscissa kwa kuratibu, yaani, 
.
Shukrani kwa uwazi huo wa utambulisho na Tangenti na cotangent mara nyingi hufafanuliwa si kwa uwiano wa abscissa na kuratibu, lakini kupitia uwiano wa sine na cosine. Kwa hivyo tanjiti ya pembe ni uwiano wa sine na kosine ya pembe hii, na kotanjenti ni uwiano wa kosine na sine.
Kwa kumalizia aya hii, ni lazima ieleweke kwamba utambulisho na hufanyika kwa pembe zote ambazo kazi za trigonometric zilizojumuishwa ndani yao zina maana. Kwa hivyo fomula ni halali kwa any , zaidi ya (vinginevyo denominator itakuwa na sifuri, na hatukufafanua mgawanyiko kwa sifuri), na fomula. - kwa wote, tofauti na, ambapo z ni yoyote.
Uhusiano kati ya tangent na cotangent
Hata wazi zaidi kitambulisho cha trigonometric kuliko zile mbili zilizopita, ni utambulisho unaounganisha tanjiti na kotanji ya pembe moja ya fomu . Ni wazi kwamba hufanyika kwa pembe yoyote isipokuwa , in vinginevyo ama tanjiti au kotanji haijafafanuliwa.
Uthibitisho wa formula rahisi sana. Kwa ufafanuzi na kutoka wapi 
. Uthibitisho ungeweza kufanywa kwa njia tofauti kidogo. Tangu , Hiyo 
.
Kwa hivyo, tanjiti na cotangent ya pembe sawa ambayo zinafanya maana ni .